Inte In ter´ r´ es es Simp Si mple le 6. Cu´ al es el precio de contado de un autom´ovil al ovil que se paga con un enganch enganchee del 40 % y un documen documento to a seis seis meses meses con valor nominal de $120,000. Suponga Sup onga una tasa de inter´ es es simple igual al TIIE m´as as 4 puntos porcentuales porcentua les y que el d´ıa ıa de la compra compra la TIIE fue del del 6 %.
D = V = V p dt = $780000 · p dt =
V f f 1 + it + it $120000 ⇒ V = $190 $190,, 476 476..19 p = .6(1 + 10 % · 6/12) .6V p =
26. ¿En qu´ e fecha se descont´ o un documento con valor nominal de $3,000, si su fecha de vencimiento era el 29 de diciembre, el tipo de descuento 15% 15 % y el descuento comercial comercial fue de $112.50?
10. ¿Cu´ al al es el monto monto el d´ıa 4 de junio de un capital capital por $150,0 $15 0,000 00 deposit depositado ado el 4 de marzo, marzo, del mismo mismo a˜ no, no, que paga el 9 % anual simple, bajo el criterio de inter´ es es exacto?
D = V = V F F dt ⇒ t =
D = 0.25 a˜ nos nos ≈ 91 d´ıas ıa s V F F d
Entonces Entonces se busca el d´ıa 363, correspondie correspondiente nte al 29 de diciembre, menos los 91 d´ıas calculados. Por lo tanto, la fecha fue el 29 de septiembre.
t = 4/jun − 4/ma 4/marr = 92 d´ıas
18 % · 64 = $24 $24960 960 360
9 % ⇒ V F (1+it)) = 150000 1 + · 92 = $153 $153,, 402 402..74 F = V p (1+it 365
Inte In ter´ r´ es es Compue Com puest sto o
12. Una persona persona obtiene obtiene un pr´ estamo estamo de $50,0 $50,000y 00y acepta acepta ogico de Monterrey Campus Guadaliquid liquidarl arloo a˜ no no y medio medio despu despu´´es. es. Acuerd Acuerdaa que mient mientras ras 29. El Instituto Tecnol´ogico actualmente 5,000 alumnos. La matr´ matr´ıcula crece exista el adeudo pagara un inter´es es simple mensual de 1.5 % lajara tiene actualmente a ritmo de 11 % anual. anual. ¿cu´ anto anto deber´a pagar p agar de inter´es es cada mes? (a) ¿Cu´ ¿Cu´antos antos alumnos tendr´a en 5 a˜nos? nos?
I = = V p it = 50000(1. 50000(1.5 %)(1 %)(1)) = $750 $750 p it =
V F + i))t = $5000(1 + 11 %)5 ≈ 8425 alumnos 16. Se ganaron intereses de una inversi´on on por $22,500, el F = V p (1 + i plazo fue de 50 d´ıas y se invirtieron $450,000 ¿Cu´al al fue la tasa anual ganada por la inversi´on? on? (b) ¿En cu´ cu´ antos antos a˜ nos nos de duplicar´a la matr´ıcula? ıcu la? i I = = V p t m
2V p = V p (1+i (1+i)t
I ⇒ i = m = 36 % anual anual simpl simplee V p t
t =
ln 2 ln 2 = = 6.64 a˜ nos nos ln(1 + i + i)) ln(1 + 11 %)
30. ¿En cu´anto anto tiempo se duplicar´a el capital, si la tasa de inter´ es es es de 14.5 %? ¿Cu´al al ser´ ser´ıa la respuesta si la tasa de inter´es es del problema se capitalizar capi talizara a mensualmente? mensua lmente?
19. En cuanto tiempo se triplica un Capital que se invierte a una tasa del 5 % anual simple? simple? 3V p = V = V p + it)) ⇒ t = p (1 + it
⇒
2 2 = = 40 a˜ nos nos i 50 %
(a) Usando Usando el ejercicio ejercicio anterior: anterior: t =
Descuento
ln 2 = 5.119 a˜ nos nos ln(1 + 14. 14.5 %)
(b)
23. Qu´e cantidad debe de pagar una persona p ersona (M) dentro de 90 d´ıas, ıas, si el banco le descuenta un documento, por el cual le otorga actualmente un valor efectivo de $200,000 (C), si la tasa de descuento descuento es del 18 % anual (d)?
t = 5.119 a˜ nos nos
12 meses 1a˜ no no
= 57 57..709 meses
31. Un proyecto de inversi´on on promete una triplicaci´on on del capital en 10 a˜nos. nos. ¿Cu´al al es la tasa de rendimiento anual impl´ıcita ıcita en este proyecto? 3V p = V = V p + i))t p (1 + i
V p $200000 V F = = $209 $209,, 424 424..0838 F = 18 % 1 − dt 1− · 90 360
⇒
i = 31/t − 1 = 31/10 − 1 = 11.612 % anual efectiva efectiva
25. 1. Si se descuenta el siguiente documento a una tasa 32. En cuantos cuantos d´ıas ıas un capital capital que se invierte invierte al 31.8 % anua anuall de 18% el 15 de julio julio,, ¿Cu´ ¿Cu´ al al ser´ ser´ıa el descuento de inter´ inter´ es es anual anual efectivo efectivo,, crece un 18 %?? (utilice (utilice a˜no n o de comercial? 365 36 5 d´ıas) ıa s)
1
V p(118 %) = V p (1 + i)t ⇒
t =
ln118% ln(1 + 31.8 %)
·
Ecuaciones Equivalentes
365 = 218.795 d´ıas
33. Usted desea tener dentro de 20 a˜nos un capital de un mill´ o n de d´olares en el banco, para lo cual debe depositar hoy cierta cantidad y dejarlo ganando intereses. Si el banco le ofrece un 12 % anual capitalizable semestralmente. ¿Cu´ anto debe depositar hoy? V p = V F (1 + it)− t = 1000000(1 +
2. Arturo debe a Ciro $18,100 que pagar´ a dentro de 3 meses, $22,400 a pagar dentro de 5 meses y $ 312,000 a pagar dentro de 8 meses. Acuerdan que arturo liquide sus deudas mediante un pago u ´ nico al final de 6 meses, aplicando una tasa de inter´ es de 20 % anual capitalizable cada mes. Calcule el valor del pago ´unico.
12 % −20·2 ) = $97222.19 2
Flujos de efectivo $31,200
CETES $22,400
34. El d´ıa de hoy se compra un CETE en $9.70, si su valor nominal es de $10.00 y su vencimiento es en 70 d´ıas, ¿Cu´ a l ser´ a su rendimiento anual (tasa efectiva anual)? Nota: usar a˜ no de 360 d´ıas en todos los c´alculos. r = =
$18,100
0
d
1
2
3
4
5
6
f
7
8
meses
1 − dt 1
x
1 t −1 1 − V p /V F 360 = 1 70 −1 1 − 9.7/10
α = 1 + 20 %/12 = 1.016 −2 ⇒ x = 31200α + 18100α3 + 22400α = $71978.93
= 15.9057 % anual efectiva
35. ¿Cu´ al es el valor de compra de los CETES a 28 d´ıas 3. Joel tiene una empresa productora de yogurt y hace o una m´aquina envasadora. La m´ aquina con valor nominal de $10 y 7.5 % de descuento simple anual? 8 meses compr´ cuesta 27300 d´ olares de contado y la adquiri´o a cr´edito, sin enganche y a un a˜ no de plazo, pagando un inter´ es 7.5 % V p = V F (1 − dt) = 10 1 − · 28 = $9.9416 de 12 % capitalizable cada bimestre. Si joel dio un 360 36. Suponga que una persona cuenta con un monto de abono de 5000 d´olares a los 4 meses y otro de 10000 d´olares 600 mil para invertirlos en cetes, los cuales se ofrecen con a los 6 meses ¿cu´anto deber´a pargar al final de los 12 meses? una tasa de descuento de 5 % anual para un plazo de 15 d´ıas. Flujos de efectivo:
(a) N´ umero de CETES N C =
→
N ; Inversi´on
In In = = 10(1 − dt) V p
→
In. $10,000 $5,000
600000 5%
10 1 −
360
·
0
15
1
2
3
4
5
6
f bimestres
= 60125.25 CETES (b) Ganancia
→
x
G.
G = (V F − V p)N C = 10 · N C · d · t 5% = 10 · 60125.26 · · 15 360 = $1252.61
$27,300 α = 1 + 4 % = 1.04 6 4 3 ⇒ x = 27300α − 5000α + 10000α = $14720
(c) ¿Qu´e rendimiento anualizado obtuvo? r =
d 1 − dt
= 1−
5% = 5.0104 % anual 5% · 15 360
5. Se tienen los siguientes pagar´es:
2
Valor de vencimiento
$11 $21 $16 $23
Fecha de vencimiento
730 355 963 928
$18,700
15 de marzo 20 de abril 25 de mayo 31 de julio
0
Se desea pagar la deuda mediante un abono de $25000 en este momento y reemplazar los pagar´es con uno solo cno fecha de vencimiento 31 de octubre. Si el momento hoy es de 21 de febrero ¿cu´al ser´a la cantidad a pagar el 31 de octubre, si la operaci´on se efect´ua con una tasa de inter´es compuesto cada d´ıa de 31.37 %? utilice ael a˜no natural.
1
2
3
4
5
meses $ 6828.37
α = 1 + i Flujos de efectivo:
⇒
18700α5 = 6828.37(α2 + α + 1) 2.31 % 12 mes ⇒ α = 1.0231 · ∴ i = = 27.72 % anual mes 1 a˜no ⇒
$23,928 $21,355 $16,963 $11,730 52
74
110
145
212
304
f d´ıa x
$25,000 Calcular equivalencias de tiempos: t = t = t = t = t = t =
18700 = 6828.37(α−3 + α−4 + α−5 )
15 − mar = 74 d´ıas 20 − abr = 110 d´ıas 25 − may = 145 d´ıas 31 − jul = 212 d´ıas 31 − feb = 52 d´ıas 31 − oct = 304 d´ıas
Factor de inter´es: α = 1 + 34.37 %/365
x = 11730α230 + 21355α194 + 16963α159 + 23928α92 − 25000α252 = $54299.81 32. Andr´ es compra a cr´ edito un televisor con pantalla de plasma, cuyo precio de contado es de $ 18 700. El televisor se pagar´ a mediante 3 abonos mensuales consecutivos de $6 828.37 cada uno, empezando el tercer mes. Calcule la tasa de inter´ es capitalizable cada mes que cobra la tienda departamental.
3
