PROFESOR: Leonardo Flórez
1
REFUERZO TERCER PERÍODO LÍMITES DE FUNCIONES INTRODUCCIÓN Cálculo infinitesimal Designación conjunta para el cálculo diferencial, integral y de variaciones; en principio fue el calculo ingenuo con magnitudes infinitamente pequeñas; en la actualidad es el cálculo mediante límites El concepto de límite marcó una gran diferencia entre las matemáticas fundamentales y el cálculo. El nacimiento del cálculo infinitesimal permitió el desarrollo de ideas importantes en matemáticas y física. Conocer la velocidad y la aceleración de un objeto a partir de la posición o conocer la posición a partir de la velocidad y la velocidad a partir de la aceleración, involucra procesos propios del cálculo. Los límites son importantes para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemáticas, como crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radiactivos, inversiones de capital y velocidades límites alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura dada. Cuando, por ejemplo, un paracaidista de masa (m), cae por la acción de la gravedad (g), la resistencia del aire logra disminuir la velocidad de caída. La velocidad del paracaidista en función del tiempo, está dada por la ecuación:
V (t )
mg 1 e k
k t m
, en donde k es una
constante positiva. A medida que transcurre el tiempo, el término e
k t m
se hace cada vez más pequeño, de tal manera que la
velocidad límite es V ()
mg (ver pie de página). Esta velocidad es k
aproximadamente 20 km/h
PRÁCTICA PREVIA DE ÁLGEBRA Límites de funciones
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2
A.
Utilice un método apropiado para factorizar cada una de las expresiones: 3x + 4x2 – 5xy + 12xz 22 x2 + 4x + 3 2 6x + 10xy + 18z + 22y 23 x2 + 4x – 12 27xz2 – 33x2z + 18x3yz 24 x4 – 9x2 + 20 2 2 X (1 – y) + y (1 – y) 25 x2 + 5xy – 24y2 2x(1 + 2y) + 3y(1 + 2y) 26 8xy + 48y2 – x2 Z(2x – 1) – 2x + 1 27 2x2 + 3x + 1 –3x + 2 – 5x(3x – 2) + 2y(3x – 2) 28 2x2 + 7x + 3 2x + 4xy + 3z + 6yz 29 6x2 + 7x – 3 10xz – 5xy + 8yz – 4y2 30 3x2 + 19x + 20 2 8xy – 24y + 10x – 30x + 7xz – 21z 31 x3 – 9x2 + 27x – 27 4x2 – 20x + 25 32 8x3 + 36x2 + 54x + 27 2 Z + 14z + 49 33 8x3 – 24x2 + 24x – 8 2 2 48xz + 16x + 36z 34 X3 + 27 x 2 6 xy 9y2 14 35 x3 + 8 25 5 15 16 – y2 36 27x3 – 1 1 16 25x2 – 81y2 37 x3 – 8 4 2 2 3 17 100x z – 16y 38 x – xy2 2 x 25 18 39 x3 – 5x2 + 6x 36 49 19 (x – 2)2 – 1 40 x3 + x2 – x – 1 20 (x + 5)2 – 25 41 x8 – 1 2 2 2 21 (x + 2xy + y ) – z 42 x4 + 2x3 – 9x2 – 18x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
B. Simplifique cada una de las expresiones dadas 1 1+
6
2 y 1 1 y
x 2x 2 x 4 x 3 x 48
1
2 3x
2
2 1 1 x 6x 3
7
3
1 3 2 3 6x 4x 3
8
4
6x2 6 3( x 1) 3( x 1)
5
3 2 x 2 x 1
2
x 1 2 3 x y x xy y 2 3
y2 1 x2 y2 9 x2 x x y 1 x 1 3 10 2 3x 27 4 x 24 x 2 36 x
TEOREMA DE LA UNICIDAD 1. Hallar el límite, en caso de que exista.
Límites de funciones
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a) Hallar
b) Hallar
c) Hallar
lim f ( x ) , si x5
3
x 2 1, si x 5
f ( x)
6x 7, si x 5 x 2 2x 5, si x 1
lim f ( x) , si
f ( x)
lim f ( x) , si
x2 4 , si x 2 f ( x) x 2 x(6 x 12), si x 2
x1
x 2
3x 7, si x 1
2. Si
ax 2 4 , si x 3 f ( x) x 2 x, si x 3
Calcula el valor de a para que
3. Si
3ax 2 4 , si x 2 f ( x) 4 x 7 4 x, si x 2
Calcula el valor de a para que
4. Si
5ax 2 3, si x 1 Calcula el valor de f ( x) 5x, si x 1
lim f ( x) , exista. x3
lim f ( x) exista. x 2
a para que xlim 1
f ( x ) exista.
PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN Evaluar los siguientes límites: 1. lim x 2
3.
x 2 3x 6 5x 1
lim 3 x 4 x 4
4 16 x x 0 x
5. lim
Límites de funciones
2. 4.
lim x 4
lim Cos3 x x
x2 1 x 1 x3 2x2 x x 1 x 1
6. lim
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7. lim x4
9.
4
25 ( x 1) 2 5 ( x 1)
lim Sen( x a )
8.
lim Sen2 x Cos 2 x
x
x lim
10.
x 2
2
9 x 3 2 x 2 3x x 2 3x
2
x 3
FORMA INDETERMINADA
1.
x3 1 x 1 x 2 1 x 4 16 d) Lim 3 x2 x 8 5u 3 8u 2 g) Lim u 0 3u 4 16u 2
3m 2 3 m1 m 1 t2 9 e) Lim 2 t 3 t 5t 6 3 x 1 h) Lim x 1 x 1
v 1 2 v 3 v3 2h 3 h m) Lim h 3 h3 p) Lim r 8
3
k) Lim n 0
3.
Dada
4.
Resuelve los siguientes límites: x 1
5n 5 2n
f ( x ) x 2 3 x , hallar
Dada la función
5x 1
Lim
hallar
(3 x 1) 2 ( x 1) 3
3 x 3 x x0 3 x 3 x ( x h) 3 x 3 g) Lim h 0 h d) Lim
h0
Lim h0
x 27
x 3 x 27
3
f ( x h) f ( x ) h
f ( x h) f ( x ) 1 cuando x . 5 h
b) Lim v2
e) Lim x 2
v2 v2 4
x2 x 4
Lim h 0
x 1
1 x 1 x
( 2 x 3)( x 1) 2x 2 x 3 (2 h) 2 2 2 i) Lim h0 h x 1
( x 2 3 x 2) x 1 x 2 4 x 3
h) Lim
c) Lim f) Lim
2
f ( x) bx 2 cx d , demuestre que
Límites de funciones
x2 2 x 1 x 1 x 1 x2 l) Lim 2 x2 x x 6 x2 o) Lim x2 4 x2 r) Lim
5. Resuelve los siguientes límites: a) Si
Lim
i) Lim
( x 2) 2 x2 x2 4 ( x 1) 3 q) Lim 3 x 1 x 1
2.
a) Lim
c.
n) Lim
r 2 r 8
f ( x)
t 3 64 t 4 t 4 x 64 f) Lim x 64 x 8
b) Lim
j) Lim
e
0 : 0
Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten a) Lim
d
f ( x h) f ( x ) 2bx c h
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5
b) Si
f ( x ) x 2 , demuestre que
Lim
f ( x h) f ( x ) 2x h
c) Si
f ( x)
1 , demuestre que x
Lim
f ( x h) f ( x ) 1 2 h x
h 0
h 0
LA DIVISIÓN SINTÉTICA EN EL CÁLCULO DE LÍMITES Utilice la división sintética para factorizar, y así poder eliminar las indeterminaciones en los siguientes límites: 1.
5 4 2 Lim 6 x 4 x 3 x 9 x 4 x 1 x 4 8 x3 9 x 2
3.
Lim
5. 7.
x 3
Lim
x 1 / 2
Lim
a 1
2.
x2 x 6 x3 4 x 3 8 x 2 11x 4 2x 1 a 4 a 2 2a 2 a 1
4. 6. 8.
Lim
x 2
Lim x 2
Lim
a 2
Lim x 1
5 x 4 x 3 2 x 76 x 3 2 x 2 x 18
x 3 4 x 2 x 10 x2 3 2a 2a 2 4a 16 a2 x4 5x 6 x 1
LÍMITES INFINITOS Evaluar los siguientes límites por simple intuición
2x 1 x 1 x 1 x 1 5. lim 2 x 2 x 3 x 2 1.
lim
2. 6.
lim
x 2
lim
x2
x3 x2
x 4 x2
3. 7. xlim 2
lim
x 3
3 x ( x 2) 2
LÍMITES AL INFINITO:
2x 3 x 3x 1 x2 c) Lim 3 x x x 4 x5 6 x 4 3x 2 e) Lim x 3x3 5 x 2 6 x a) Lim
3x 2 x g) lim x i) Lim x
x2 4 x2
Límites de funciones
5 x 2 3x 1 x 2 x 2 4 x 5 x2 2 x 3 d) Lim x x3 1 1 x f) Lim x x2 x 4 3x h) Lim x 3x 3 4 x 2 b) Lim
j) Lim x
3 x 10 3 x
x2 1 2x 1
4.
8. xlim 4
lim
x4
x5 4x
x (4 x) 2
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u3 k) u 2 3 u u3 4 1 z2 m) Lim z 2 z 3 2x 3 o) Lim x 4 x 5 x q) Lim 2 x x 5 s) lim 2 x 1 x Lim
x
6
l) Lim t
3t 4 3t 3 3t 4t 4 2t 3
n) Lim z
1 z 1 z2
2x 1 6 x 3x 2 x3 r) Lim 2 x x 5x 6 t) lim 3 x 4 x 2 p) Lim x
x
LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Evaluar los siguientes límites, aplicando las fórmulas anteriores, cuando sea necesario, y considerando algunas identidades trigonométricas cuando se requiera:
Sen 2 0 Sen3 3. lim 0 5 Sen 4 5. lim 0 Sen3 7. lim 0 2 1. lim
9.
lim
Sen
0
2
Sen 2 Sen lim Cos 0 Sen lim 0 4 2 Tan lim 0 1 Cos 2 lim 0 1 Cos 2 lim 0 2 3 3Cos 2 lim 0 6 5 5Cos 4 lim 0 10
Sen 0 2 Sen2 4. lim 0 6. lim 0 Sen Sen4 x 8. lim x0 3x 2. lim
10. lim
0
Sen7 4 4 Sen 25 lim 0 3 Cos lim 0 1 Sen tan lim 0 Sen 1 Cos 2 2 lim 0 4 1 Cos 6 lim 0 5 5Cos3 24. lim 0 15 7 7Cos3 26. lim 0 21
11. lim
12. lim
13.
14.
0
15. 17. 19. 21. 23. 25.
Límites de funciones
0
16. 18. 20. 22.
4 Sen9 3
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7
1 Cos 0 2 2
4 4 1 Sen 2 4 0 4 4Cos 4 30. lim 0 8
27. lim
28. lim
8 4 4 4Sen 2 3 0 9
29. lim 31.
lim x0
x
1
32. lim x0
2
1 x Sen x 3
Sen 2 x xCos3 x
34.
lim xSecxCscx
lim xCot 3x
36.
lim x 2Csc 2 xCot 2 x
33. lim x 0
35.
Senx
x0
Cos ( x h) Cosx h 1 Senx lim x) 39. x 2 (sugerencia u = x 2 2 37. lim h 0
x 0
x 0
38. lim Sen( x x 0
40. lim x a
a) 41. lim x
Senx (sugerencia u = x – x
Sen( x h) Senx 43. lim h0 h
Práctica previa A. 1
x(3 + 4x – 5y + 12z)
2
2(3x2 + 5xy + 9z + 11y)
3
3xz(9z – 11x + 6x2y)
4
(1 – y)(x2 + y2)
5
(1 + 2y)(2x + 3y)
6
(2x – 1)(z – 1)
7
(3x – 2)( –1 – 5x + 2y)
8
(1 + 2y)(2x + 3z)
9
(2z – y)(5x + 4y)
10 (x – 3)(8y + 10x + 7z)) 11 (2x – 5)2
Límites de funciones
)
42. lim x 0
44.
) 2
Cosx Cosa (sugerencia u = x – xa
1 Cos3 x Senx
x 2 lim x 2 Cosx
(sugerencia u = x
Respuestas 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2
(x + 3)(x + 1) (x + 6)(x – 2) (x2 – 5)(x2 – 4) (x + 8y)(x – 3y) –(x – 12y)(x +4y ) (x + 1)(2x + 1) (x + 3)(2x + 1) (2x + 3)(3x – 1) (x + 5)(5x + 4) (x – 3)3 (2x + 3)3
) 2
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8 3 3 3 4
12 (Z + 7)2 13 (4x + 6z)2 2
(2x – 2)3 (x + 3)(x2 – 3x + 9)
14
3 5
(x + 2)(x2 – 2x + 4)
15 (4 – y)(4 + y)
3 6
(3x – 1)(9x2 + 3x + 1)
16 (5x – 9y)(5x + 9y)
3 7
17 (10x2z – 4y)(10x2z + 4y)
3 8
x(x + y)(x – y)
3 9
x(x – 3)(x – 2)
x 3y 5
x 5 x 5 6 7 6 7
18
4 0 4 1 4 2
19 (x – 3)(x – 1) 20 x(x + 10) 21 (x + y + z)(x + y – z) B. 1 2
3x 2 3x 2 x 11 6x
6 7
3
2 9 x 2 8x3 12 x 3
8
4
2(x + 1)
9
5
x7 ( x 2)( x 1)
2 x
x 1 2 4
(x + 1)2(x – 1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) x(x + 3)(x – 3)(x + 2)
y2 y 1 5 x 12 3( x 4)( x 4)
y x y3 x y( x y) 3
3)
2) a = 1/9
3) a = 1
3) 2 8) Cosa
4) 5 9) –1
c) 48 j) 1/4 q) 0
d) 8/3 k) 0 r) 1/27
4) a = 8/5
5) N.E. 10) 72 e) 6 l) 1/5
f) 16 m) –2/3
g) –1/2 n) 0
5 2 5x 1
4) a) 1/2 b) 1/4 c) 1/2 d) 0 e) 0 ________________ La vivisión sintética em El cálculo de límites 1) –1 2) –50/7 3) 5 4) –5 ________________ Límites de funciones
1 x 2
x 2 24 x 9 10 12 x ( x 3)( x 3) 2
________________ Teorema de la unicidad 1) a) N.E. b) N.E. c) 0 ________________ Principio de sustitución 1) 4/9 2) –1 6) 0 7) 0 ________________ Indeterminaciones 0/0 1) a) 3/2 b) 6 h) 1/3 i) 0 o) 1/4 p) 1/12 2) 2x – 3
f) 1/2 g) 3x2 5) 3
h) 1/2 6) 28
7) 0
i) –1/4 8) 9
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Limites infinitos 1) 2) – 7) 8) ________________ Limites aL infinito a) 2/3 b) 5/2 h) i) o) ½ p) 0 ________________ Limites trigonométricos 1) 2 2) 1/2 8) 4/3 9) 1/2
9
3)
4)
5) –
6) –
c) 0 j) 1/2 q) 0
d) 0 k) 1 r) 0
e) l) 3/4 s) –
f) 0 m) i/2
3) 3/5 10) 12
4) 0 11) 1/2
5) 4 12) 7/4
6) 1 13) 1
7) 3/2 14) 100/3
t)
g) – n) i
15)
2 8
16) 1
17) 1
18) 2
19) 1
20) 1/2
21) 0
22) 29) 36) 43)
0 0 1/4 Cosx
23) 30) 37) 44)
24) 0 31) 0 38) 1
25) 0 32) 1/3 39) 0
26) 0 33) 2 40) –Sena
27) 1/4 34) 1 41) –1
28) 0 35) 1/3 42) 0
Límites de funciones
0 0 –Senx 1
