Ejercicios_ inventarios1

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210

INVENTARIOS 1. Happy Pet, Inc., es una tienda de animales domésticos situada en Long Beach Mall. Aunque la tienda se especializa en perros, también se venden productos para peces, tortugas y pájaros. Everlast Leader, una correa de piel para perros, le cuesta a Happy Pet 7$ cada una. Existe una demanda anual de 6000 Everlast. El administrador de Happy Pet ha determinado que el coste de lanzamiento de un pedido es de 20$ y que el coste de almacenamiento del inventario, como porcentaje del coste unitario, es del 15%. Happy Pet está considerando ahora a un nuevo proveedor de Everlast Leaders. Cada correa costaría 6.65$; pero para obtener este descuento, Happy Pet tendría que comprar envíos de 3000 Everlast Leaders a la vez. ¿Debería utilizar Happy Pet al nuevo proveedor y tomar este descuento de compra por cantidad? RESOLUCION. Datos ⎡ pares ⎤ ⎣ año ⎥⎦

D = 6000 ⎢

⎡ $ ⎤ ⎥ ⎣ pedido ⎦ ⎡ 1 ⎤ i = 0.15⎢ ⎣ año ⎥⎦ ⎡ $ ⎤ C 1 = 7 ⎢ ⎥ K = 20⎢

C 2

⎣ correa ⎦ $ ⎤ si = 6.65⎡⎢ ⎣ correa ⎥⎦

Calculando

Q*

Q ≥ 3000

con C 1 :

⎡ 1 ⎤ ⎡ $ ⎤ correas ⎤ ⋅ 6000⎡⎢ ⋅ 2⎢ 20 ⎥ ⎢ ⎥ pedido ⎦ ⎡ correas ⎤ ⎡ correas ⎤ 2 ⋅ D ⋅ K ⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ ⎣ = = 478.09⎢ ≈ 478⎢ Q' = ⎥ ⎥ i ⋅ C 1 pedido ⎦ pedido ⎦ ⎡ 1 ⎤⋅ ⎡ $ ⎤ ⎣ ⎣ 0.15⎢ 7 ⎣ año ⎥⎦ ⎢⎣ correa ⎥⎦

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 Como

Q ' esta

Calculando

Q*

está en el intervalo de 1 a 2999 se toma

Q*

⎡ correas ⎤ = 478⎢ ⎥ ⎣ pedido ⎦

con C 2 :

⎡ 1 ⎤ ⎡ $ ⎤ correas ⎤ ⋅ 6000⎡⎢ ⋅ 20⎢ 2⎢ ⎥ ⎥ ⎥ pedido ⎦ ⎡ correas ⎤ ⎡ correas ⎤ ⎣ año ⎦ ⎣ pedido ⎦ 2 ⋅ D ⋅ K ⎣ = = 490.51⎢ ≈ 490⎢ Q' = ⎥ ⎥ i ⋅ C 2 ⎡ 1 ⎤⋅ ⎡ $ ⎤ ⎣ pedido ⎦ ⎣ pedido ⎦ 0.15⎢ 6 . 65 ⎢⎣ correa ⎥⎦ ⎣ año ⎥⎦

Como

Q ' no

está en el intervalo de 3000 o más se toma

Q*

⎡ correas ⎤ , el = 3000 ⎢ ⎥ ⎣ pedido ⎦

límite inferior. Calculando los costos totales con las diferentes propuestas: ⎡ correas⎤ 6000⎢ ⎡ $ ⎤ ⎡ correas⎤ año ⎥⎦ 1 correas⎤ 1 $ ⎤ ⎡ $ ⎤ $ ⎣ ⋅ + [ pedido]⋅ 478⎢ ⋅ 0.15⎡⎢ ⎤⎥ ⋅ 7⎡⎢ + 7⎢ ⋅ 6000⎡⎢ = 42501.99⎡⎢ ⎤⎥ CT (478) = 20⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ año⎦ ⎣ correa⎦ ⎣ correa⎦ ⎣ año ⎦ ⎣ año⎦ ⎣ pedido⎦ 478⎡ correas⎤ 2 ⎣ pedido⎦ ⎢ pedido⎥ ⎣ ⎦ ⎡ correas ⎤ 6000⎢ ⎡ $ ⎤ ⎣ año ⎥⎦ + 1 [ pedido]⋅ 3000⎡ correas ⎤ ⋅ 0.15⎡ 1 ⎤ ⋅ 6.65⎡ $ ⎤ + 6.65⎡ $ ⎤ ⋅ 6000⎡ correas ⎤ = 41436.25⎡ $ ⎤ CT (478) = 20⎢ ⋅ ⎥ ⎢ pedido ⎥ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎢⎣ correa ⎥⎦ ⎢⎣ correa ⎥⎦ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ 3000⎡ correas ⎤ 2 ⎣ ⎦ ⎢ pedido ⎥ ⎣ ⎦

Respuesta. Happy Pet deberá aceptar la oferta del nuevo proveedor. 2. Soundly Speaking fábrica bocinas de todos tipos para sistemas estéreo. La demanda anual de su modelo más popular, que se vende a $30 por bocina, es de 10400 unidades. La planta puede producir aproximadamente 300 de tales bocinas por semana, pero se necesita media semana para instalar el equipo necesario para hacer este tipo de modelo. El departamento de contabilidad estima $ 500 por cada montaje para cubrir los costos de administración y recomienda una tasa de transferencia de 30%. Utilice las fórmulas POQ para determinar lo siguiente: a. La cantidad de pedidos de producción óptima, Q b. El punto de nuevos pedidos, R, y si este punto se representa antes o después de que la producción se ha terminado. c. El número de pedidos pedidos por año d. El costo anual total RESOLUCION.

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 Como

Q ' esta

Calculando

Q*

está en el intervalo de 1 a 2999 se toma

Q*

⎡ correas ⎤ = 478⎢ ⎥ ⎣ pedido ⎦

con C 2 :

⎡ 1 ⎤ ⎡ $ ⎤ correas ⎤ ⋅ 6000⎡⎢ ⋅ 20⎢ 2⎢ ⎥ ⎥ ⎥ pedido ⎦ ⎡ correas ⎤ ⎡ correas ⎤ ⎣ año ⎦ ⎣ pedido ⎦ 2 ⋅ D ⋅ K ⎣ = = 490.51⎢ ≈ 490⎢ Q' = ⎥ ⎥ i ⋅ C 2 ⎡ 1 ⎤⋅ ⎡ $ ⎤ ⎣ pedido ⎦ ⎣ pedido ⎦ 0.15⎢ 6 . 65 ⎢⎣ correa ⎥⎦ ⎣ año ⎥⎦

Como

Q ' no

está en el intervalo de 3000 o más se toma

Q*

⎡ correas ⎤ , el = 3000 ⎢ ⎥ ⎣ pedido ⎦

límite inferior. Calculando los costos totales con las diferentes propuestas: ⎡ correas⎤ 6000⎢ ⎡ $ ⎤ ⎡ correas⎤ año ⎥⎦ 1 correas⎤ 1 $ ⎤ ⎡ $ ⎤ $ ⎣ ⋅ + [ pedido]⋅ 478⎢ ⋅ 0.15⎡⎢ ⎤⎥ ⋅ 7⎡⎢ + 7⎢ ⋅ 6000⎡⎢ = 42501.99⎡⎢ ⎤⎥ CT (478) = 20⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ año⎦ ⎣ correa⎦ ⎣ correa⎦ ⎣ año ⎦ ⎣ año⎦ ⎣ pedido⎦ 478⎡ correas⎤ 2 ⎣ pedido⎦ ⎢ pedido⎥ ⎣ ⎦ ⎡ correas ⎤ 6000⎢ ⎡ $ ⎤ ⎣ año ⎥⎦ + 1 [ pedido]⋅ 3000⎡ correas ⎤ ⋅ 0.15⎡ 1 ⎤ ⋅ 6.65⎡ $ ⎤ + 6.65⎡ $ ⎤ ⋅ 6000⎡ correas ⎤ = 41436.25⎡ $ ⎤ CT (478) = 20⎢ ⋅ ⎥ ⎢ pedido ⎥ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎢⎣ correa ⎥⎦ ⎢⎣ correa ⎥⎦ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ 3000⎡ correas ⎤ 2 ⎣ ⎦ ⎢ pedido ⎥ ⎣ ⎦

Respuesta. Happy Pet deberá aceptar la oferta del nuevo proveedor. 2. Soundly Speaking fábrica bocinas de todos tipos para sistemas estéreo. La demanda anual de su modelo más popular, que se vende a $30 por bocina, es de 10400 unidades. La planta puede producir aproximadamente 300 de tales bocinas por semana, pero se necesita media semana para instalar el equipo necesario para hacer este tipo de modelo. El departamento de contabilidad estima $ 500 por cada montaje para cubrir los costos de administración y recomienda una tasa de transferencia de 30%. Utilice las fórmulas POQ para determinar lo siguiente: a. La cantidad de pedidos de producción óptima, Q b. El punto de nuevos pedidos, R, y si este punto se representa antes o después de que la producción se ha terminado. c. El número de pedidos pedidos por año d. El costo anual total RESOLUCION.

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 Datos ⎡ bocinas ⎤ ⋅ 1[año] = 200 ⎡ bocinas ⎤ ⎢⎣ semana ⎥⎦ ⎣ año ⎥⎦ 52[semanas] ⎡ bocinas ⎤ ⋅ 52[semanas] = 15600 ⎡ bocinas ⎤ P = 300 ⎢ ⎢⎣ año ⎥⎦ 1[año] ⎣ semana ⎥⎦

D = 10400 ⎢

⎡ $ ⎤ ⎥ ⎣ montaje ⎦ ⎡ 1 ⎤ i = 0.30 ⎢ ⎣ año ⎥⎦ ⎡ $ ⎤ C = 30⎢ ⎥ K = 500⎢

⎣ bocina ⎦ 1 ⎡ semans ⎤ L = ⎢ 2 ⎣ montaje ⎥⎦

a). Calculando

Q*

Q* :

⎡ 1 ⎤ ⎡ $ ⎤ bocinas ⎤ ⋅10400⎡⎢ ⋅ 2⎢ 500 ⎥ ⎢ montaje ⎥ montaje ⎦ 2 ⋅ D ⋅ K ⎣ año ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎦ = 1861.89⎡ bocinas ⎤ ≈ 1862⎡ bocinas ⎤ = = ⎢ montaje ⎥ ⎢ montaje ⎥ i ⋅ C ⎛ bocinas ⎤ ⎞ ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ 10400⎢ ⎟ ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⋅ 30⎡ $ ⎤ ⋅ ⎜1 − ⎣ año ⎦ ⎟ 0.30⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ año ⎦ ⎣ bocina ⎦ ⎜⎜ 15600⎡ bocinas ⎤ ⎟⎟ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎝ ⎠ Respuesta. Soundly Speaking deberá pedir 1862 bocinas.

b). Calculando el punto de nuevos pedidos R, tiempo de producción t y el tiempo ciclo T: ⎡ bocinas ⎤ 1862 ⎢ montaje ⎥ ⎡ bocinas ⎤ ⋅ 1 [semanas] = 100[bocinas] ; ⎣ ⎦ = 6.21⎡ semanas ⎤ ; R = 200 ⎢ t = ⎢ montaje ⎥ ⎣ año ⎥⎦ 2 ⎡ bocianas ⎤ ⎣ ⎦ 300 ⎢ ⎥ montaje ⎣ ⎦ ⎡ bocinas ⎤ 1862 ⎢ ⎥ ⎡ semanas ⎤ montaje ⎦ ⎣ = = 9.21⎢ T ⎥ bocianas ⎤ montaje ⎦ ⎡ ⎣ 200 ⎢ ⎣ semana ⎥⎦


⎡ semanas ⎤ ⎡ semanas ⎤ indica que se pedirá semanas ⎤ − 0.5⎡⎢ = 8.81⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ montake ⎦ ⎣ monjaje ⎦ ⎣ montaje ⎦ después que termine la producción porque T − L > t . luego:

T − L = 9.31⎢

Respuesta. El montaje se hará después que termine la producción cuando existan 100 bocinas. ⎡ bocinas ⎤ 10400 ⎢ ⎣ año ⎥⎦ = 5.58⎡ montajes ⎤ c). n * = D = ⎢⎣ año ⎥⎦ Q* ⎡ bocinas ⎤ 1862⎢ ⎥ ⎣ montaje ⎦ Respuesta. Existen de 5 a 6 montajes (pedidos) en un año. d). ⎛ bocinas⎤ ⎞ ⎡bocinas⎤ ⎜ 10400⎡⎢ ⎟ 104000⎢ ⎥ ⎡ $ ⎤ ⎡ ⎤ bocinas 1 1 $ año ⎦ año ⎥⎦ ⎟ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ $ ⎤⋅ ⎡bocinas⎤ ⎣ ⎣ ⎜ CTA= 500⎢ ⋅ + [montaje]⋅1862⎢ ⋅ 0.3⎢ ⎥ ⋅ 30⎢ ⋅ ⎜1 − + 30 10400 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎣ montaje⎦ 1862⎡ bocinas⎤ 2 ⎣ montaje⎦ ⎣ año⎦ ⎣bocina⎦ ⎜ 15600⎡bocinas⎤ ⎟⎟ ⎣bocina⎦ ⎢ montaje⎥ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ $ ⎤ ⎣ año ⎥⎦

CTA = 317585.70 ⎢

⎛ bocinas⎤ ⎞ ⎡bocinas⎤ ⎜ 10400⎡⎢ ⎟ 104000⎢ ⎥ ⎡ $ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ año ⎦ + 1 [montaje]⋅1862 bocinas ⋅ 0.3⎡ 1 ⎤ ⋅ 30⎡ $ ⎤ ⋅ ⎜1− ⎣ año ⎥⎦ ⎟ = 5585.70⎡ $ ⎤ CTSinCosto DeCompra = 500⎢ ⋅ ⎥ ⎢montaje⎥ ⎢año⎥ ⎢bocina⎥ ⎜ ⎢⎣año⎥⎦ ⎡bocinas⎤ ⎟ ⎦ ⎣montaje⎦ 1862⎡ bocinas⎤ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 15600 ⎜ ⎟ ⎢montaje⎥ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Respuesta. Para poner en funcionamiento el sistema POQ Soundly Speaking deberá gastar anualmente 317585.70 $ y sin costo fijo 5585.70 $. $. 3. Durante cada año, CLS computer Company necesita capacitar a 27 representantes de servicio. Independientemente de cuantos estudiantes se capaciten, le cuesta 12000 $ llevar acabo el programa de capacitación. Como los representantes de servicio ganan 1500$ mensuales, CLS no desea entrenarlos antes de que se necesiten. Cada sesión de entrenamiento toma un mes. e. Enuncie las hipótesis necesarias para que sea aplicable el modelo de cantidad económica del pedido. f. ¿Cuántos representantes de servicio deben estar en cada grupo de capacitación? g. ¿Cuántos programas de capacitación debe organizar CLS cada año?

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 h. ¿Cuántos representantes de servicio son capacitación estarán disponibles cuando comience cada programa de entrenamiento?

RESOLUCION. a). Hipótesis: 1. Demanda determinística

⎡ estudiantes ⎤ ⎣ año ⎥⎦

D = 27 ⎢

⎡ ⎤ $ ⎥ ⎣ capcitacion ⎦ $ ⎤ 3. Se conoce el Costo de por unidad H = 1500 ⎡ ⎢⎣ estudiante ⋅ mes ⎥⎦ ⎡ ⎤ mes 4. El tiempo líder se conoce: L = 1⎢ ⎥ ⎣ capacitacion ⎦

2. Se conoce el costo de organizacion:

K = 12000 ⎢

5. No existen faltantes 6. Existe un punto R de nuevos pedidos.

b).

Q*

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 $ estudiantes ⎤ ⋅ 2.25⎡⎢ ⋅ 2⎢ 12000 ⎥ ⎢ ⎥ capacitacion ⎦ capacitacion ⎦ ⎡ estudiantes ⎤ 2 ⋅ D ⋅ K ⎣ mes ⎥⎦ ⎣ ⎣ = = = 6⎢ ⎥ $ H capacitación ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ 1500⎢ ⎣ estudiante ⋅ mes ⎥⎦

Respuesta. Se deberán capacitar 6 estudiantes. ⎡ estudiantes ⎤ 27 ⎢ ⎥ c). n * = D = ⎣ año ⎦ = 4.5⎡ capaticacioes ⎤ * ⎢⎣ ⎥⎦ año Q ⎡ estudiantes ⎤ 6⎢ ⎥ ⎣ capacitación ⎦ Respuesta. Cinco programas de capacitación. d).

R

⎤ ⎡ estudiantes ⎤ estudiantes ⎤ ⎡ mes = D ⋅ L = 2.25⎡⎢ ⋅1⎢ = 2.25⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ mes ⎦ ⎣ capacitacion ⎦ ⎣ capacitacion ⎦

Respuesta. De dos a tres estudiantes. 4. Froelich Products ofrece el siguiente programa de descuentos para sus paneles 4’x8’ :


Pedido 9 paneles o menos De 10 a 50 paneles Más de 50 paneles

Coste unitario $18.00 $17.50 $17.25

Home Sweet, Home Company pide paneles de Froelich Products, Home Sweet Home tiene un coste de lanzamiento de 45$. El coste de almacenamiento es 20% y la demanda anual son 100 paneles. ¿Qué política de pedido recomendaría usted? RESOLUCION. Datos. ⎡ paneles ⎤ ⎣ año ⎥⎦

D = 100⎢

C 1

⎡ $ ⎤ ⎥ ⎣ pedido ⎦

K = 45⎢

C 2

⎡ 1 ⎤ ⎣ año ⎥⎦

i = 0.20 ⎢

Calculando

Q*

⎡ $ ⎤ si = 18⎢ ⎥ ⎣ panel ⎦

Q≤9

⎡ $ ⎤ si 10 ≤ Q ≤ 50 = 17.50⎢ ⎥ panel ⎣ ⎦

C 2

⎡ $ ⎤ si = 17.25⎢ ⎥ ⎣ panel ⎦

Q ≥ 51

⎡ con C 1 = 18⎢ $

⎤ ⎥ ⎣ panel ⎦

⎡ 1 ⎤ ⎡ paneles ⎤ ⎡ $ ⎤ ⋅100⎢ ⋅ 45⎢ 2⎢ ⎥ ⎥ pedido ⎦ ⎡ paneles ⎤ 2 ⋅ D ⋅ K ⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ ⎣ = = 50⎢ Q' = ⎥ i ⋅ C 1 pedido ⎦ ⎡ 1 ⎤⋅ ⎡ $ ⎤ ⎣ 0.20⎢ 18⎢ ⎥ ⎣ año ⎥⎦ ⎣ panel ⎦

Como

Q ' no

está en el intervalo de 1 a 9 paneles, se toma

límite superior. Calculando

Q*

⎡ $ ⎤ ⎥ ⎣ panel ⎦

con C 1 = 17.50⎢

Q*

⎡ paneles ⎤ , el = 9⎢ ⎥ ⎣ pedido ⎦

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 ⎡ 1 ⎤ ⎡ paneles ⎤ ⎡ $ ⎤ ⋅100⎢ ⋅ 45⎢ 2⎢ ⎥ ⎥ pedido ⎦ ⎡ paneles ⎤ ⎡ paneles ⎤ 2 ⋅ D ⋅ K ⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ ⎣ = = 50.71⎢ ≈ 51⎢ Q' = ⎥ ⎥ i ⋅ C 1 pedido ⎦ pedido ⎦ ⎡ $ ⎤ 1 ⎤ ⎡ ⎣ ⎣ ⋅17.50⎢ 0.20⎢ ⎥ ⎣ año ⎥⎦ ⎣ panel ⎦

Como Q*

Q ' no

está

en

⎡ paneles ⎤ ,Calculando = 50 ⎢ ⎥ ⎣ pedido ⎦

el Q*

intervalo

de

10

a

50

paneles,

se

toma

⎡ $ ⎤ : ⎥ ⎣ panel ⎦

con C 2 = 17.25⎢

⎡ 1 ⎤ ⎡ paneles ⎤ ⎡ $ ⎤ ⋅100⎢ ⋅ 45⎢ 2⎢ ⎥ ⎥ pedido ⎦ ⎡ paneles ⎤ ⎡ paneles ⎤ 2 ⋅ D ⋅ K ⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ ⎣ = = 51.07 ⎢ ≈ 51⎢ Q' = ⎥ ⎥ i ⋅ C 1 pedido ⎦ pedido ⎦ ⎡ $ ⎤ ⎡ 1 ⎤⋅ ⎣ ⎣ 0.20⎢ 17.25⎢ ⎥ ⎣ año ⎥⎦ ⎣ panel ⎦

Como

Q'

está en el intervalo de 50 a más paneles, se toma

Q*

⎡ paneles ⎤ . = 51⎢ ⎥ ⎣ pedido ⎦

Calculando los costos totales con las diferentes propuestas: ⎤ 100⎡⎢ ⎡ $ ⎤ ⎣ año ⎥⎦ + 1 [ pedido]⋅ 9 ⎡ paneles ⎤ ⋅ 0.20 ⎡ 1 ⎤ ⋅ 18⎡ $ ⎤ + 18⎡ $ ⎤ ⋅ 100 ⎡ correas ⎤ = 2316.2 ⎡ $ ⎤ ⋅ CT (9) = 45⎢ ⎥ ⎢ pedido ⎥ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎢ panel ⎥ ⎢⎣ correa ⎥⎦ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ 9 ⎡ paneles ⎤ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ pedido ⎥ ⎣ ⎦ paneles

⎡ paneles ⎤ 100 ⎢ ⎥ 1 ⎡ $ ⎤ ⎡ paneles ⎤ ⎡ $ ⎤ 1 ⎤ $ ⎤ $ ⎤ correas ⎤ CT (50) = 45 ⎢ ⋅ ⎣ año ⎦ + [ pedido] ⋅ 50 ⎢ ⋅ 0.20 ⎡⎢ ⋅ 17.50 ⎢ + 17.5⎡⎢ ⋅ 100 ⎡⎢ = 1927.5⎡⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ año ⎦ ⎣ correa ⎦ ⎣ año ⎦ ⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ 50 ⎡ paneles ⎤ 2 ⎣ pedido ⎦ ⎣ panel ⎦ ⎢ pedido ⎥ ⎣ ⎦ paneles ⎤ 100 ⎡⎢ ⎡ $ ⎤ ⎣ año ⎥⎦ + 1 [ pedido] ⋅ 161⎡ paneles ⎤ ⋅ 0.20 ⎡ 1 ⎤ ⋅ 17.25⎡ $ ⎤ + 17.25⎡ $ ⎤ ⋅ 100 ⎡ correas ⎤ = 1901.2 ⎡ $ ⎤ CT (51) = 45 ⎢ ⋅ ⎥ ⎢ pedido ⎥ ⎢ panel ⎥ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎢⎣ correa ⎥⎦ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ 161⎡ paneles ⎤ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ pedido ⎥ ⎣ ⎦

Respuesta Home Sweet, Home Company deberá aceptar la oferta de pedir 51 paneles de su proveedor a un costo de 1901.2 $. 5. Jim Spivey’s Computer store en Houston vende una impresora por 200$. La demanda de esta es constante durante el año, y la previsión de demanda anual es de 600 unidades. El coste de almacenamiento es de 20$ por unidad por año, y el costo de lanzamiento es de 60$ por pedido. Actualmente, la compañía realiza

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 pedidos 12 veces al año (50 unidades cada vez). Hay 250 días al año y el plazo de entrega es de 10 días. a. Dada la política actual de pedir 50 unidades cada vez, ¿Cuál es el total del coste anual de lanzamiento y del coste anual de almacenamiento? b. Si la compañía utilizara la mejor política de inventarios. ¿Cuáles sería los costes totales de lanzamiento y almacenamiento? c. ¿Cuál es el punto de pedidos?

RESOLUCION. Datos: ⎡ impresoras ⎤ ⋅ 1[años] = ⎡ impresoras ⎤ 2.4 ⎢ ⎣ año ⎥⎦ 250[dias] ⎣ dias ⎥⎦

D = 600⎢

⎡ $ ⎤ ⎥ ⎣ pedido ⎦

K = 60 ⎢

C 1

⎡ ⎤ $ = 200⎢ ⎥ ⎣ impresora ⎦ ⎡ impresora ⎤ con ⎥ ⎣ pedido ⎦

Q = 50⎢

⎡ pedidos ⎤ ⎣ año ⎥⎦

n = 12⎢

⎡ ⎤ $ ⎥ ⎣ impresora ⋅ año ⎦

H = 20 ⎢

L

a).

250[dias ] = 1[año]

⎡ dias ⎤ = 10⎢ ⎥ ⎣ pedido ⎦

⎡ impresoras ⎤ 600⎢ ⎡ $ ⎤ ⎣ año ⎥⎦ = 720⎡ $ ⎤ ⋅ CTK (50) = 60⎢ ⎥ ⎢⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ 50⎡ impresoras ⎤ ⎢ pedido ⎥ ⎣ ⎦ CTH (50) =

⎡ impresoras ⎤ ⎡ ⎤ 1 $ $ [ pedido] ⋅ 50⎢ ⋅ 20⎢ = 500⎡⎢ ⎤⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎣ año ⎦ ⎣ pedido ⎦ ⎣ impresora ⋅ año ⎦

Respuesta. Existe un gasto total 1220 $ en almacenamiento y pedidos . ⎡ 1 ⎤ ⎡ impresoras ⎤ ⎡ $ ⎤ ⋅ 600⎢ ⋅ 60⎢ 2⎢ ⎥ ⎥ ⎡ impresoras ⎤ ⎣ año ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ b). Q' = 2 ⋅ D ⋅ K = ⎣ pedido ⎦ = 60⎢ ⎥ i ⋅ C 1 pedido ⎦ ⎡ ⎤ $ ⎣ 20⎢ ⎥ ⎣ impresorar l ⋅ año ⎦


CTH (50) =

⎡ impresoras ⎤ ⎡ ⎤ 1 $ $ [ pedido] ⋅ 60⎢ ⋅ 20⎢ = 600⎡⎢ ⎤⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎣ año ⎦ ⎣ pedido ⎦ ⎣ impresora ⋅ año ⎦

Respuesta. Existe un gasto total 1200 $ en almacenamiento y pedidos con Q* .

⎡ dia ⎤ ⎡ impresoras ⎤ impresoras ⎤ ⋅ 2.4⎡⎢ = 24 ⎥ ⎢ pedido ⎥ ⎣ dia ⎥⎦ ⎣ pedido ⎦ ⎣ ⎦

c).

R = D ⋅ L = 10⎢

Respuesta. Cuado existan 24 impresoras.

FUNCION UTILIDAD Problema Nº1 1. Una empresa debe seleccionar un solo proyecto: Proyecto A Ganancia x106 50 10 -20

% Proyecto B Probabilidad Ganancia x106 70 40 10 30 20 -10

% Probabilidad 60 20 20

Solución. 1. Ordenar los valores f(a j , θk) de la matriz de consecuencias, descendentemente.

{ ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ,..., ξ n } E= {50,40,30,10,0,−10,−20} Se adiciona el valor de “0” para una mejor construcción de la función. Donde el valor máximo es ξ 1 2.

= 50

y el valor mínimo es ξ 7

Utilizaremos una función de aversión al riesgo.

= −20


Asociando (a mano alzada) las utilidades a los valores de la matriz de ganancias U(50) = 1 U (10) = 0.79 U (-20) = 0 U(40) = 0.97 U (0) = 0.67 U(30) = 0.90 U (-10) = 0.41 Aplicando el criterio de Bayes:

= {1 * 0 .70 + 0 .79 * 0 .10 + 0 * 20 }= 0.779 E (U (a 2 , θ k )) = {0.97 * 0.60 + 0.90 * 0.20 + 0.41 * 0.20}= 0.844 E (U ( a 1 , θ k ))

Como es una matriz de utilidades, se escogerá la máxima utilidad esperada que corresponde al Proyecto B

Problema Nº2 2. Se cuenta con la siguiente tabla de pagos Estados de naturaleza Pago Acción Θ1 A1 25 A2 100 A3 0 Probabilidades A priori P Con una función de utilidad U(x) =

x

Θ2

36 0 49 1-P

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 Determine el valor más grande de p para que la elección de la acción a3 maximice la utilidad esperada. Solución E = {100,49,36,25,0} U(x)= x U(100)= √ 100 = 10 U(49)= √ 49 = 7 U(36)= √ 36 =6 U(25)= √ 25 =5 U(0)= √ 0 = 0 Obteniendo la utilidad de Cada acción en función de p Para a1 E[u(A1)] = 5*p +6*(1-p) = 6 - p E[u(A2)] = 10*p +0*(1-p) = 10*p E[u(A3)] = 0*p +7*(1-p) =7 -7*p

Graficando la utilidad esperada de cada acción en función de p vemos que el mayor valor de p que maximiza la utilidad esperada para A3 se encuentra entre la intersección de A1 y A3

Gráfica de las utilidades esperadas de cada A j en función de p 12

10

8

A1 A2

6

A3 4

2

0 0

8 1 6 2 4 3 2 8 6 4 2 8 6 4 8 0 , 0 6 , 0 7 , , 0 9 , 0 , 0 , 4 0 5 0 , 0 8 0 , 0 , 0 , 0 ,

Resolviendo: 7-7*p = 6 – p Donde p =1 / 6 = 0.1666666

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 Entonces el mayor valor de p que maximice la utilidad esperada de A3 seria un p muy próximo por la izquierda de

1 este valor podría ser: P = 0.165 6

E[u(A1)] = 6 – p = 5.835 E[u(A2)] = 10*p = 1.65 E[u(A3)] = 7 -7*p = 5.845 de esta manera se demuestra que este es el valor mas grande de p= 0.165 que maximiza la utilidad esperada de la acción3 Problema Nº 3 BOBY SA. una empresa dedicada a la confección de ropa infantil, se esta preparando para lanzar al mercado una gama de prendas con el motivo de la época de invierno que se avecina. Si bien la demanda puede ser alta, moderada y baja cuyas probabilidades son 0.30, 0.45 y 0.25 respectivamente, BOBY SA. deberá decidir ahora si contratara mas empleados, sino va a hacer nada o si subcontratara una parte de sus negocios con otras empresas similares, BOBY SA. ha elaborado la siguiente tabla de de réditos • ¿Cual de las alternativas es la mejor si adoptamos una función de utilidad neutra, con propensión y aversión al riesgo? Probabilidad(θk) 0.25 0.45 0.30 Θ1: Demanda baja Θ1: Demanda Θ1: Demanda alta θk moderada Aj A1:Contratar 250 000 100 000 625 000 A2:Subcontratar 100 000 150 000 415 000 A3:No hacer nada 50 000 80 000 300 000

Solución Ordenando los valores f(a j , θk) en orden descendente E={625 000, 415 000, 300 000, 250 000, 150 000, 100 000, 80 000, 50 000}

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 Grafico de la funcion de u tilidad 1,2

1

0,8 d a d 0,6 i l i t U

Neutra Propension Aversion

0,4

0,2

0 0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

f(aj ,0k)

De acuerdo al gráfico asignamos las utilidades respectivas a cada f(a j , θk) Valores f(aj , θk) 625000 415000 300000 250000 150000 100000 80000 50000

Utilidad Neutra

Utilidad Propensión

1 0,67 0,5 0,4 0,22 0,12 0,07 0

Utilidad Aversión

0 0,14 0,22 0,28 0,42 0,61 0,77 1

1 0,95 0,9 0,85 0,65 0,4 0,21 0

Como es una matriz de Beneficios, se escogerá la máxima utilidad esperada. Para la función de utilidad Neutra tenemos: Matriz de utilidades con función neutra

Probabilidad(θk) θk

Aj A1:Contratar A2:Subcontratar A3:No hacer nada

0.25 Θ1: Demanda baja 0.4 0.12 0

0.45 Θ1: Demanda moderada 0.12 0.22 0.07

0.30 Θ1: Demanda alta 1 0.67 0.5

= 0.4*0.25 + 0.12* 0.45 + 1*0.30 =0.454 E [U (a 2 , θ k )] = 0.12*0.25 + 0.22* 0.45 + 0.67*0.30 =0.33 E [U (a3 , θ k )] = 0*0.25 + 0.07* 0.45 + 0.5*0.30 =0.181 E [U ( a1 , θ k )]

La máxima utilidad esperada corresponde a la acción 1: Contratar Para la función de utilidad con propensión al riesgo tenemos:

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 Matriz de utilidades con función propensa al riesgo

Probabilidad(θk)

0.25 Θ1: Demanda baja

0.45 0.30 Θ1: Demanda Θ1: Demanda alta θk moderada Aj A1:Contratar 0.28 0.61 0 A2:Subcontratar 0.61 0.42 0.14 A3:No hacer nada 1 0.77 0.22 E [U ( a1 , θ k )] = 0.28*0.25 + 0.61* 0.45 + 0*0.30 = 0.345 E [U (a 2 , θ k )] = 0.61*0.25 E [U (a3 , θ k )] = 1*0.25

+ 0.42* 0.45 + 0.14 *0.30 = 0.383

+ 0.77* 0.45 + 0.22*0.30 = 0.663

La máxima utilidad esperada corresponde a la acción 3: No hacer nada Para la función de utilidad aversión al riesgo tenemos: Matriz de utilidades con función de aversión al riesgo

Probabilidad(θk)

0.25 Θ1: Demanda baja

0.45 0.30 Θ1: Demanda Θ1: Demanda alta θk moderada Aj A1:Contratar 0.85 0.4 1 A2:Subcontratar 0.4 0.65 0.95 A3:No hacer nada 0 0.21 0.9 E [U ( a1 , θ k )] = 0.85*0.25 + 0.4* 0.45 + 1*0.30 = 0.692 E [U (a 2 , θ k )] = 0.4*0.25 E [U (a3 , θ k )] =

+ 0.65* 0.45 +

0.95*0.30 = 0.678

0*0.25 + 0.21* 0.45 + 0.9*0.30 = 0.365

La máxima utilidad esperada corresponde a la acción 1: Contratar

INVENTARIOS Y LINEAS DE ESPERA 1. Suponga que la demanda de un producto de 30 unidades al mes y los artículos se retira de manera uniforme. El costo fijo de preparación cada vez que se hace un acorrida de producción es de 15 $, el costo de producción es de 1 $ por artículo y el costo de mantener un inventario es de 0.30 $ por artículo por mes. a) Suponga que no se permite faltantes determine cada cuando conviene hacer una corrida de producción y de qué tamaño debe ser. b) Si el costo por faltantes de 3 $ por artículo mes, determine cada cuando resulta preferible hacer una corrida de producción y de qué tamaño debe ser.


SOLUCIÓN a) D = 30 art. / mes. h = 0.30 * (1 $) = 0.30 $ K = 15 $ q* = t=

2KD = h

2 * 15 * 30 = 54.772256 ≈ 54.77 [artículos] 0.30

q * 54.77 = = 1.825742 ≈ 1.83 [meses]. D 30

La corrida de producción debe hacerse cada 1.83 meses y una cantidad de 54.77 artículos. b) s = 3 $q* =

2KD(h + s) = hs

2 * 15 * 30 * (0.30 + 3) = 57.445626 ≈ 0.30 * 3

57.45 [articulos] t=

q * 57.45 = = 1.914854 ≈ 1.91 [meses]. D 30

La corrida de producción debe hacerse cada 1.91 meses y una cantidad de 57.45 artículos.

2. La demanda de producción es de 600 unidades a ala semana y los artículos se retirarán uniformemente. Los artículos se ordenan y el costo de preparación de 25 $. El costo unitario de cada artículo es de 3 $ y el costo de mantener el inventario es de 0.05 $ por artículo por semana. a) Suponga que no se permite faltantes. Determine cuánto y con qué frecuencia debe ordenarse. b) Si el costo por faltante es de 2 $ por artículo por semana, determine qué tan seguido debe ordenarse y de qué tamaño debe ser la orden. SOLUCIÓN a)D = 600 art. / mes. h = 0.05 * (3 $) = 0.15 $ K = 25 $


2KD = h

q* = t=

2 * 25 * 600 = 447.21359 ≈ 447.21 [artículos] 0.15

q * 447.21 = = 0.745356 ≈ 0.75 [semanas]. D 600

b) s=2$ q* =

2KD(h + s) = hs

2 * 25 * 600 * (0.15 + 2) = 463.680925 ≈ 463.68 0.15 * 2

[artículos] t=

q * 463.68 = = 0.772801 ≈ 0.77 [semanas]. D 600

3. Un distribuidor de periódico compra periódicos a 18 centavos y los vende a 25 centavos. El costo por faltante de 25 centavos por periódico (ya que el distribuidor los compra al menudeo para satisfacer al faltante). El costo de mantener es de 0.1 centavos. La demanda de periódicos tiene una distribución uniforme entre 200 y 300. Encuentre el número óptimo de periódicos que debe comprarse. SOLUCIÓN 262 222 226 289 238 206 282 218 243 300

265 242 299 293 290 292 263 252 226 232

285 215 226 285 211 262 259 236 231 267

243 221 267 239 264 252 243 215 202 299

280 201 225 247 292 297 295 221 220 266

Demanda 200-225 226-250 251-275

296 201 219 247 252 241 206 258 259 271

224 201 260 211 274 213 286 266 210 241

Probabilidad 0.31 0.19 0.27

200 269 200 258 207 285 209 222 251 201

255 286 248 228 299 289 300 202 210 263

267 231 219 214 252 264 288 296 200 263


276-300 0.23 q = Número de periódicos pedidos. d = Número de periódicos vendidos.

q >= d COSTO

Compra de q periódicos a 0.18 $ c/u. Venta de d calendarios a 0.25 $ c/u. Compra al menudeo de q-d periódicos a 0.25 $ c/u.

0.1*(0.18 q) - 0.25 d 0.25 (q-d) COSTO

Compra de q periódicos a 0.18 $ c/u. Venta de d calendarios a 0.25 $ c/u.

0.018 q – 0.25 d

Compra al menudeo de q-d periódicos a 0.25 $ c/u.

0.25 q – 0.25 d

Costo Total

0.268 q – 0.50 d

q + 1 <= d COSTO Compra de q periódicos a 0.18 $ c/u.

0.018 q

Venta de q calendarios a 0.25 $ c/u.

– 0.25 q

Costo Total

– 0.232 q

Si q >= d c0 = 0.268 Si q + 1 <= d - cu = - 0.232 cu = 0.232 Entonces :

cu 0.232 0.232 = = = 0.464 c0 + cu 0.268 + 0.232 0.5 P (D ≤ 225) = 0.31 P (D ≤ 250) = 0.50

Como P (D ≤ 250) es mayor o igual que 0.464, se debe pedir q* = 250 periódicos.


4. Encuentre la política óptima para ordenar en un modelo de un periódico en donde la demanda tiene una densidad de probabilidad:

1 20 ϕ D (ξ ) = 0

ϕ D (ξ ) =

, si 0 ≤ ξ ≤ 20 , de otra manera

y los costos son: almacenaje = 1$ por artículo faltantes

= 3$ por artículo

preparación = 1.50$ por artículo producción = 2$ por artículo SOLUCIÓN h = 1*(2) $ = 2 $ q=

; p =3 $

; c = 1.50 $

p − c 3 − 1.50 = 0.3 = p+h 3+2

P {D ≤ y*} =

y*

∫ 0

1 1 dD = D 20 20

y* = 0.3 20

y* = 0.3*20

y* 0

=

y* 1 y* = 20 20 y* = 6

Debe ordenarse 6 artículos.

5. Un artículo se vende en 4$ por unidad, pero se ofrece un descuento del 10 % en lotes de 150 unidades o más. Una compañía que consume este producto a razón de 20 unidades diarias desea saber si aprovecha o no el descuento. El costo fijo del lote es de 50$ y el costo de almacenamiento por unidad por día es 0.30$ ¿ Debe aprovechar el descuento la compañía ?


SOLUCIÓN ORDEN

PRECIOS

1 < q < 150

4$

150 ≤ q

4-0.10*4$

ORDEN

PRECIOS

1 < q < 150

4$

150 ≤ q

3.6 $

r = 20 unid / día. C1 = 0.30 + P j C3 = 50 $ Para la cantidad óptima se tiene : q* =

2c 3 r c1

q1* =

2 * 50 * 20 = 21.566554 ≈ 22 unidades 0.30 + 4

q2* =

2 * 50 * 20 = 22.645541 ≈ 23 unidades 0.30 + 3.6

Determinando el costo mínimo :

⎧22⎫ q = ⎨ ⎬ ≥ 20 ⎩23⎭ c1(q) = P jr +

c3r 1 + (0.30 + P j)q q 2

j = 1 c1(22) = 4*20 +

50 * 20 1 + (0.30 + 4)*22 = 172.75 22 2

c1(23) = 4*20 +

50 * 20 1 + (0.30 + 4)*23 = 172.93 23 2

j = 2


c2(22) = 3.6*20 +

50 * 20 1 + (0.30 + 3.6)*22 = 160.35 22 2

c2(23) = 3.6*20 +

50 * 20 1 + (0.30 + 3.6)*23 = 160.33 23 2

Se deben ordenar 23 unidades diarias a un costo mínimo de 160.33 $. Por tanto la compañía debe aprovechar el descuento ofrecido del 10 %

LINEAS DE ESPERA. 1.- Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de auto servicio, según una distribución de Poisson con media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos .El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos. El espacio en frente de la ventanilla, incluyendo al auto al que se le está dando servicio, puede acomodar un máximo de tres automóviles. Otros vehículos pueden esperar fuera de este espacio. a) ¿ Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega pueda manejar directamente hasta el espacio frente a la ventanilla ? b) ¿ Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tendrá que a aguardar fuera del espacio indicado? c) ¿ Cuántos espacios deberán proporcionar enfrente de la ventanilla de manera que todos los clientes que llegan puedan esperar frente a ésta al menos 20 % del tiempo SOLUCIÓN (M/M/) : (DG/ ∞ / ∞)

λ : 10 Clientes/hora = 0.16667 Clientes/minuto 10

Clientes 1 hora * = 0.16667 Clientes/minuto hora 60 minutos

μ : 5 minutos P0 = 1 −

0.16667 λ = 1− = 1 – 0.03333 = 0.96667 μ 5

P 0 = 96.667 % ≈ 96.7 %


La probabilidad

deque un cliente llegue y pueda manejar

directamente hasta el espacio de la ventanilla es del 96.7 % c) ρ =

0.16667 λ = = 0.03333 5 μ

P n = (1 – ρ ) ρ n = (1 - 0.03333)*(0.03333)4 = 0.96667*0.000001 P 4 = 0.000001 = 0% Como son tres las ventanillas de atención, la probabilidad de que un cliente llegue y tenga que aguardar fuera del espacio indicado es del 0 %. d) P n = (1 – ρ ) ρ n (1 - 0.03333)*(0.03333) n = 0.2

(0.03333) n =

n log(0.03333) = log (0.20689) n =

0.2 0.9667

− 0.68426 = 0.46320 n ≈ 1 − 1.47716

Los espacios en la ventanilla para que un cliente espere por lo menos el 20 % frente a ella tiene como óptimo 1 sola ventanilla.

2.- Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para dar servicio a automóviles. Se estima que los autos llegan de acuerdo a una distribución de Poisson a la tasa de 2 cada 5 segundos y que hay espacio suficiente para dar cabida a una fila de 10 automóviles. Otros autos que llegan pueden esperar fuera de este espacio de ser necesario. Los empleados quedan 15 minutos en promedio en surtir un pedido, pero el tiempo de servicio varía en realidad, según una distribución exponencial. Determine lo siguiente : a) La probabilidad de que el estacionamiento esté inactivo. b) El número esperado de clientes en espera, pero que no se les atiende en el momento.


c) El tiempo de espera calculando hasta que un cliente pueda hacer su pedido en ventanilla. d) La probabilidad de que la linea de espera sea mayor que la capacidad de espacio que conduce a la ventanilla de servicio de automóviles. SOLUCIÓN (M/M/) : (DG/N/ ∞) a)

λ : 2/5 Automóviles/hora = 0.4 Automóviles/minuto N = 10

μ : 1.5 minutos P0 =

ρ=

λ 0.4 = = 0.73333 μ 1.5

1−ρ 1 − 0.26667 0.73333 = = = 0.73333 0.99999 1 − ρ N +1 1 − 0.26667 11

P 0 = 73.333 % ≈ 73 % La probabilidad de que el restaurante esté inactivo es del 73 % b) P 1 = (0.26667)*(0.73333) = 0.19556 P 2 = (0.26667) 2 *(0.73333) = 0.05215 P 3 = (0.26667) 3 *(0.73333) = 0.01391 P 4 = (0.26667) 4 *(0.73333) = 0.00371 P 5 = (0.26667) 5 *(0.73333) = 0.00099 P 6 = (0.26667) 6 *(0.73333) = 0.00026 P 7 = (0.26667) 7 *(0.73333) = 0.00007 P 8 = (0.26667) 8 *(0.73333) = 0.00002 P 9 ≥ (0.26667) 9 *(0.73333) = 0.00000

λ e f = λ (P 0 +P 1 …….+P n ) λ e f = 0.4*(0.73333+0.19556+0.05215+0.01391+0.00371+ 0.00099+0.00026+0.00007+0.00002+0.000)

λ e f = 0.4


ρ{1 − (N + 1)ρ N + Nρ N +1 } Ls = (1 − ρ)(1 − ρ N +1 ) 0.26667 * {1 − (10 + 1) * 0.26667 10 + 10 * 0.26667 10+1 } Ls = (1 − 0.26667)(1 − 0.26667 10+1 ) Ls =

0.26667 = 0.36364 0.73333

Lq = Ls +

λ ef 0.4 = 0.36364 + = 0.63031 1.5 μ

L q ≈ 1 automóvil. El número esperado de clientes en espera es de 1 automóvil. c)W q =

Lq 0.63031 = = 1.57578 ≈ 1.58 minutos. λ ef 0.4

El tiempo de espera calculado hasta que un cliente pueda hacer su pedido es de 1.58 minutos, no incluye el tiempo de servicio. d) Pn =

1−ρ 1 − 0.26667 0.73333 * ρn = * 0.26667 11 = = N +1 10 +1 0.99999 1−ρ 1 − 0.26667

0.73333 P 1 1 = 73.333 % ≈ 73 % La probabilidad de que la línea de espera sea mayor a la capacidades del 73 % puesto que la capacidad es de 10 automóviles

INVENTARIOS Y LINEAS DE ESPERA 1. Suponga que la demanda de un producto de 30 unidades al mes y los artículos se retira de manera uniforme. El costo fijo de preparación cada vez que se hace un acorrida de


producción es de 15 $, el costo de producción es de 1 $ por artículo y el costo de mantener un inventario es de 0.30 $ por artículo por mes. c) Suponga que no se permite faltantes determine cada cuando conviene hacer una corrida de producción y de qué tamaño debe ser. d) Si el costo por faltantes de 3 $ por artículo mes, determine cada cuando resulta preferible hacer una corrida de producción y de qué tamaño debe ser. SOLUCIÓN a) D = 30 art. / mes. h = 0.30 * (1 $) = 0.30 $ K = 15 $ q* = t=

2KD = h

2 * 15 * 30 = 54.772256 ≈ 54.77 [artículos] 0.30

q * 54.77 = = 1.825742 ≈ 1.83 [meses]. D 30 La corrida de producción debe hacerse cada 1.83 meses y una

cantidad de 54.77 artículos. b) s = 3 $q* =

2KD(h + s) = hs

2 * 15 * 30 * (0.30 + 3) = 57.445626 ≈ 0.30 * 3

57.45 [articulos] t=

q * 57.45 = = 1.914854 ≈ 1.91 [meses]. D 30 La corrida de producción debe hacerse cada 1.91 meses y una

cantidad de 57.45 artículos.

2. La demanda de producción es de 600 unidades a ala semana y los artículos se retirarán uniformemente. Los artículos se ordenan y el costo de preparación de 25 $. El costo


unitario de cada artículo es de 3 $ y el costo de mantener el inventario es de 0.05 $ por artículo por semana. e) Suponga que no se permite faltantes. Determine cuánto y con qué frecuencia debe ordenarse. f) Si el costo por faltante es de 2 $ por artículo por semana, determine qué tan seguido debe ordenarse y de qué tamaño debe ser la orden. SOLUCIÓN a) D = 600 art. / mes. h = 0.05 * (3 $) = 0.15 $ K = 25 $ q* = t=

2KD = h

2 * 25 * 600 = 447.21359 ≈ 447.21 [artículos] 0.15

q * 447.21 = = 0.745356 ≈ 0.75 [semanas]. D 600

b) s=2$ q* =

2KD(h + s) = hs

2 * 25 * 600 * (0.15 + 2) = 463.680925 ≈ 463.68 0.15 * 2

[artículos] t=

q * 463.68 = = 0.772801 ≈ 0.77 [semanas]. D 600

4. Encuentre la política óptima para ordenar en un modelo de un periódico en donde la demanda tiene una densidad de probabilidad:

1 20 ϕ D (ξ ) = 0

ϕ D (ξ ) =

, si 0 ≤ ξ ≤ 20 , de otra manera


y los costos son: almacenaje = 1$ por artículo faltantes

= 3$ por artículo

preparación = 1.50$ por artículo producción = 2$ por artículo SOLUCIÓN h = 1*(2) $ = 2 $ q=

; p =3 $

; c = 1.50 $

p − c 3 − 1.50 = 0.3 = p+h 3+2

P {D ≤ y*} =

y*

∫ 0

1 1 dD = D 20 20

y* 0

=

y* 1 y* = 20 20

y* = 0.3 20 y* = 0.3*20 y* = 6 Debe ordenarse 6 artículos.

5. Un artículo se vende en 4$ por unidad, pero se ofrece un descuento del 10 % en lotes de 150 unidades o más. Una compañía que consume este producto a razón de 20 unidades diarias desea saber si aprovecha o no el descuento. El costo fijo del lote es de 50$ y el costo de almacenamiento por unidad por día es 0.30$ ¿ Debe aprovechar el descuento la compañía ? SOLUCIÓN ORDEN

PRECIOS

1 < q < 150

4$


150 ≤ q

4-0.10*4$

ORDEN

PRECIOS

1 < q < 150

4$

150 ≤ q

3.6 $

r = 20 unid / día. C1 = 0.30 + P j C3 = 50 $ Para la cantidad óptima se tiene : q* =

2c 3 r c1

q1* =

2 * 50 * 20 = 21.566554 ≈ 22 unidades 0.30 + 4

q2* =

2 * 50 * 20 = 22.645541 ≈ 23 unidades 0.30 + 3.6

Determinando el costo mínimo :

⎧22⎫ q = ⎨ ⎬ ≥ 20 ⎩23⎭

c1(q) = P jr +

c3r 1 + (0.30 + P j)q q 2

j = 1 c1(22) = 4*20 +

50 * 20 1 + (0.30 + 4)*22 = 172.75 22 2

c1(23) = 4*20 +

50 * 20 1 + (0.30 + 4)*23 = 172.93 23 2

j = 2


c2(22) = 3.6*20 +

50 * 20 1 + (0.30 + 3.6)*22 = 160.35 22 2

c2(23) = 3.6*20 +

50 * 20 1 + (0.30 + 3.6)*23 = 160.33 23 2

Se deben ordenar 23 unidades diarias a un costo mínimo de 160.33 $. Por tanto la compañía debe aprovechar el descuento ofrecido del 10 %

EJERCICIOS CADENAS DE MARKOV 1.- Realice una planeación para 5 años por programación dinámica.

⎡0.2 0.5 0.3⎤ r = ⎢⎢ 0 0.5 0.5⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦

⎡7 6 3 ⎤ R = ⎢⎢0 5 1 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦

⎡ 0.3 0.6 0.1 ⎤ r 2 = ⎢⎢ 0.1 0.6 0.3 ⎥⎥ ⎢⎣0.05 0.4 0.55⎥⎦

⎡6 5 − 1⎤ R 2 = ⎢⎢7 4 0 ⎥⎥ ⎢⎣6 3 2 ⎥⎦

1

PROGRAMACIÓN DINÁMICA. vi = Σ Pij Rij 1

v1 = 0.2 * 7 + 0.5 * 6 + 0.3 * 3 = 5.3

1


v2 = 0 * 0 + 0.5 * 5 + 0.5 * 1 = 3 v3 = 0 * 0 + 0 * 0 + 1 * (-1) = -1 2

v1 = 0.3 * 6 + 0.6 * 5 + 0.1 * (-1) = 4.7 v2 = 0.1 * 7 + 0.6 * 4 + 0.3 * 0 = 3.1 v3 = 0.05 * 6 + 0.4 * 3 + 0.55 * (-2) = 0.4 f(i)=max{vi} f(1) = 5.3 f(2) = 3.1 f(3) = 0.4 f(i) = max{vi + Σ Pij fn+i(j)} En este primer año se debe fertilizar sólo si el sistema se encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.

Para el 2º año de producción: 1

S1 = 5.3 + 0.2 * 5.3 + 0.5 * 3.1 + 0.3 * 0.4 = 8.03 S2 = 3 + 0 * 5.3 + 0.5 * 3.1 + 0.5 * 0.4 = 4.75 S3 = -1 + 0 * 5.3 + 0 * 3.1 + 1 * 0.4 = -0.6 2

S1 = 4.7 + 0.3 * 5.3 + 0.6 * 3.1 + 0.1 * 0.4 = 8.19 S2 = 3.1 + 0.1 * 5.3 + 0.6 * 3.1 + 0.3 * 0.4 = 5.61 S3 = 0.4 + 0.05 * 5.3 + 0.4 * 3.1 + 0.55 * 0.4 = 2.13 f(i)=max{vi}


f(1) = 8.19 f(2) = 5.61 f(3) = 2.13 En el segundo año se debe fertilizar sin importar el estado del sistema.


S1 = 5.3 + 0.2 * 8.19 + 0.5 * 5.61 + 0.3 * 2.13 = 10.382 S2 = 3 + 0 * 8.19 + 0.5 * 5.61 + 0.5 * 2.13 = 6.87 S3 = (-1) + 0 * 8.19 + 0 * 5.61 + 1 * 2.13 = 1.13 2

S1 = 4.7 + 0.3 * 8.19 + 0.6 * 5.61 + 0.1 * 2.13 = 10.736 S2 = 3.1 + 0.1 * 8.19 + 0.6 * 5.61 + 0.3 * 2.13 = 7.924 S3 = 0.4 + 0.05 * 8.19 + 0.4 * 5.61 + 0.55 * 2.13 = 4.225 f(i)=max{vi} f(1) = 10.736 f(2) = 7.924 f(3) = 4.225 Para el tercer año, se debe fertilizar sin importar el estado del sistema.


S1 = 5.3 + 0.2 * 10.736 + 0.5 * 7.924 + 0.3 * 4.225 = 12.677 S2 = 3 + 0 * 10.736 + 0.5 * 7.924 + 0.5 * 4.225 = 9.075 S3 = (-1) + 0 * 10.736 + 0 * 7.924 + 1 * 4.225 = 3.225

INVESTIGACION OPERATIVA II SIS-2210 2

S1 = 4.7 + 0.3 * 10.736 + 0.6 * 7.924 + 0.1 * 4.225 = 13.098 S2 = 3.1 + 0.1 * 10.736 + 0.6 * 7.924 + 0.3 * 4.225 = 10.196 S3 = 0.4 + 0.05 * 10.736 + 0.4 * 7.924 + 0.55 * 4.225 = 6.430 f(i)=max{vi} f(1) = 13.098 f(2) = 10.196 f(3) = 6.430

Para el cuarto año, se debe fertilizar sin importar el estado del sistema.


S1 = 5.3 + 0.2 * 13.098 + 0.5 * 10.196 + 0.3 * 6.430 = 14.947 S2 = 3 + 0 * 13.098 + 0.5 * 10.196 + 0.5 * 6.430 = 11.313 S3 = (-1) + 0 * 13.098 + 0 * 10.196 + 1 * 6.430 = 5.43 2

S1 = 4.7 + 0.3 * 13.098 + 0.6 * 10.196 + 0.1 * 6.430 = 15.39 S2 = 3.1 + 0.1 * 13.098 + 0.6 * 10.196 + 0.3 * 6.430 = 12.456 S3 = 0.4 + 0.05 * 13.098 + 0.4 * 10.196 + 0.55 * 6.430 = 8.670 f(i)=max{vi} f(1) = 15.39 f(2) = 12.456 f(3) = 8.670 En el quinto año, se debe fertilizar sin importar el estado del sistema.

b) Realice el cálculo de solución óptima si el descuento = 0.6 . Cuales serán las soluciones óptimas para el terreno: Fertilizar o no fertilizar.


⎡0.2 0.5 0.3⎤ r 1 = ⎢⎢ 0 0.5 0.5⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦

⎡7 6 3 ⎤ R 1 = ⎢⎢0 5 1 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦

⎡ 0.3 0.6 0.1 ⎤ r 2 = ⎢⎢ 0.1 0.6 0.3 ⎥⎥ ⎢⎣0.05 0.4 0.55⎥⎦

⎡6 5 − 1⎤ R 2 = ⎢⎢7 4 0 ⎥⎥ ⎢⎣6 3 2 ⎥⎦ = 0.6

PROGRAMACIÓN DINÁMICA. vi = Σ Pij Rij 1

v1 = 0.2 * 7 + 0.5 * 6 + 0.3 * 3 = 5.3 v2 = 0 * 0 + 0.5 * 5 + 0.5 * 1 = 3 v3 = 0 * 0 + 0 * 0 + 1 * (-1) = -1 2

v1 = 0.3 * 6 + 0.6 * 5 + 0.1 * (-1) = 4.7 v2 = 0.1 * 7 + 0.6 * 4 + 0.3 * 0 = 3.1 v3 = 0.05 * 6 + 0.4 * 3 + 0.55 * (-2) = 0.4 f(i)=max{vi} f(1) = 5.3 f(2) = 3.1 f(3) = 0.4 En este primer año se debe fertilizar sólo si el sistema se encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente. f(i) = max{vi + αΣ Pij fn+i(j)}



S1 = 5.3 + 0.6*(0.2 * 5.3 + 0.5 * 3.1 + 0.3 * 0.4) = 6.938 S2 = 3 + 0.6*(0 * 5.3 + 0.5 * 3.1 + 0.5 * 0.4) = 4.05 S3 = (-1) + 0.6*(0 * 5.3 + 0 * 3.1 + 1 * 0.4) = -0.76 2

S1 = 4.7 + 0.6*(0.3 * 5.3 + 0.6 * 3.1 + 0.1 * 0.4) = 6.794 S2 = 3.1 + 0.6*(0.1 * 5.3 + 0.6 * 3.1 + 0.3 * 0.4) = 4.606 S3 = 0.4 + 0.6*(0.05 * 5.3 + 0.4 * 3.1 + 0.55 * 0.4) = 1.435 f(i)=max{vi} f(1) = 6.938 f(2) = 4.606 f(3) = 1.435 En el segundo año se debe fertilizar sólo si el sistema se encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.


S1 = 5.3 + 0.6*(0.2 * 6.938 + 0.5 * 4.606 + 0.3 * 1.435) = 7.773 S2 = 3 + 0.6*(0 * 6.938 + 0.5 * 4.606 + 0.5 * 1.435) = 4.812 S3 = (-1) + 0.6*(0 * 6.938 + 0 * 4.606 + 1 * 1.435) = -0.139 2

S1 = 4.7 + 0.6*(0.3 * 6.938 + 0.6 * 4.606 + 0.1 * 1.435) = 7.693 S2 = 3.1 + 0.6*(0.1 * 6.938 + 0.6 * 4.606 + 0.3 * 1.435) = 5.433


S3 = 0.4 + 0.6*(0.05 * 6.938 + 0.4 * 4.606 + 0.55 * 1.435) = 2.187 f(i)=max{vi} f(1) = 7.773 f(2) = 5.433 f(3) = 2.187 Para el tercer año, se debe fertilizar sólo si el sistema se encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.


S1 = 5.3 + 0.6*(0.2 * 7.773 + 0.5 * 5.433 + 0.3 * 2.187) = 8.256 S2 = 3 + 0.6*(0 * 7.773 + 0.5 * 5.433 + 0.5 * 2.187) = 5.286 S3 = (-1) + 0.6*(0 * 7.773 + 0 * 5.433 + 1 * 2.187) = 0.312

2

S1 = 4.7 + 0.6*(0.3 * 7.773 + 0.6 * 5.433 + 0.1 * 2.187) = 8.186 S2 = 3.1 + 0.6*(0.1 * 7.773 + 0.6 * 5.433 + 0.3 * 2.187) = 5.916 S3 = 0.4 + 0.6*(0.05 * 7.773 + 0.4 * 5.433 + 0.55 * 2.187) = 2.659 f(i)=max{vi} f(1) = 8.256 f(2) = 5.916 f(3) = 2.659 Para el cuarto año, se debe fertilizar sólo si el sistema se encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.



S1 = 5.3 + 0.6*(0.2 * 8.256 + 0.5 * 5.916 + 0.3 * 2.659) = 8.544 S2 = 3 + 0.6*(0 * 8.256 + 0.5 * 5.916 + 0.5 * 2.659) = 5.573 S3 = (-1) + 0.6*(0 * 8.256 + 0 * 5.916 + 1 * 2.659) = 0.595 2

S1 = 4.7 + 0.6*(0.3 * 8.256 + 0.6 * 5.916 + 0.1 * 2.659) = 8.475 S2 = 3.1 + 0.6*(0.1 * 8.256 + 0.6 * 5.916 + 0.3 * 2.659) = 6.204 S3 = 0.4 + 0.6*(0.05 * 8.256 + 0.4 * 5.916 + 0.55 * 2.659) = 2.945 f(i)=max{vi} f(1) = 8.544 f(2) = 6.204 f(3) = 2.945 En el quinto año, se debe fertilizar en caso sólo si el sistema se encuentra en los estados 2 o 3 de terreno regular o deficiente.

1. S1 : Oferta de 6 millones de pesos. S2 : Oferta de 6 14 millones de pesos. S3 : Oferta de 7 millones de pesos. f(i)=max{vi} f(1) = 6 f(2) = 6.25 f(3) = 7

P(f1) = 6/10 = 0.6 P(f2) = 3/10 = 0.3 P(f3) = 1/10 = 0.1 = 0.85 f(i) = max{vi + αΣ Pij fn+i(j)}

S1 = 6 + 0.85*(0.6 * 6 + 0 * 6.25 + 0 * 7) = 9.06 S2 = 6.25 + 0.85*(0 * 6 + 0.3 * 6.25 + 0 * 7) = 7.84 S3 = 7 + 0.85*(0 * 6 + 0 * 6.25 + 0.1 * 7) = 7.60 Para el Segundo mes de rechazo de la oferta o espera.

INVESTIGACION OPERATIVA II

SIS-2210

S1 = 6 + 0.85*(0.6 * 9.06 + 0 * 7.84 + 0 * 7.60) = 10.62 S2 = 6.25 + 0.85*(0 * 9.06 + 0.3 * 7.84 + 0 * 7.60) = 8.25 S3 = 7 + 0.85*(0 * 9.06 + 0 * 7.84 + 0.1 * 7.60) = 7.65 La política óptima que minimizan el costo total esperado es aceptar la oferta de 7 millones por vender su negocio en el primer mes, posteriormente se incrementan los costos totales. 2. S1 : Costo de 3 millones de pesos. S2 : Costo de 4 millones de pesos. S3 : Costo de 5 millones de pesos. f(1) = 3 f(2) = 4 f(3) = 5

f(i)=max{vi} P(f1) = 1/6 = 0.17 P(f2) = 2/6 = 0.33 P(f3) = 3/6 = 0.50

= 0.9 R = $ 350 D = $ 200 f(i) = max{vi + αΣ Pij fn+i(j)} S1 = 3 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 3 + 0.33 * 4 + 0.5 * 5) = 556.897 S2 = 4 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 3 + 0.33 * 4 + 0.5 * 5) = 557.897 S3 = 5 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 3 + 0.33 * 4 + 0.5 * 5) = 558.897 En el Segundo día de espera o de no compra los costos serán. S1 = 3 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 556.897 + 0.33 * 557.897 + 0.5 * 558.897) = 1055.4043 S2 = 4 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 556.897 + 0.33 * 557.897 + 0.5 * 558.897) = 1056.4043 S3 = 5 + 200 + 350 + 0.9*(0.17 * 556.897 + 0.33 * 557.897 + 0.5 * 558.897) = 1057.4043 A la persona se conviene comprar una casa lo más antes posible pues sus costos se incrementan enormemente día a día a los costos originales, por tanto la política óptima es comprar el primer día cuando la casa cuesta 3 millones.

3. Una investigación recientemente realizada con suscriptora de una revista de viajes, muestra que el 65% de ellos tienen al menos una tarjeta de crédito de alguna línea aérea. Comparando estos resultados con una investigación similar efectuada hace 5 años, los datos indican que 40% de aquellos individuos que no tenían una tarjeta de crédito de alguna línea aérea, obtuvieron posteriormente una, mientras que el 10% de aquellas que poseían alguna de estas tarjetas, hace 5 años, ya no lo hacen. Considerando que estas tendencias continúen en el futuro, determínese la proporción de suscriptores que poseerán tarjetas de crédito de líneas aéreas: a) dentro de 10 años. b) A largo plazo SOLUCIÓN Sean los estados:

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S1 : Suscriptores con tarjeta de crédito. S2 : Suscriptores sin tarjeta de crédito. a) x 0 = [x 1 x 2 ] x 0 = [0.65 0.35] S1 S2 S1 ⎡0.90 0.10⎤ S2 ⎢⎣0.40 0.60⎥⎦ Para n = 10 años x 10 = P 0 P 10 0.90 0.10

b b2 b3 b4 b5

0.40 0.60 0.85 0.15 =

=

=

=

b6 = b7 = b8 = b9 = b 10 =

0.6

0.4

0.825

0.175

0.7

0.3

0.813

0.188

0.75 0.806

0.25 0.194

0.775

0.225

0.803 0.197 0.788 0.213 0.802 0.198 0.794 0.206 0.801 0.199 0.797 0.203 0.8 0.2 0.798 0.202 0.8 0.2 0.799 0.201

a . b 10 = 0.8 0.2 10 ⎡0.90 0.10⎤ 10 0 10 x = P P = [0.65 0.35] ⎢ ⎥ = [0.8 , 0.2] 0 . 40 0 . 60 ⎣ ⎦ Dentro de 10 años el 80 % de las personas tendrán tarjeta de crédito y el 20 % de las personas carecerán de ellas.

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b)

⎡0.90 0.10⎤

[x 1 x 2 ]⎢ ⎥ = [x 1 x 2 ] 0 . 40 0 . 60 ⎣ ⎦ ⎧ 0.90x 1 + 0.40x 2 = x 1 ⎨0.10 x 0.60x 1 + 2 = x2 ⎩ ⎧− 0.10x 1 + 0.40x 2 = 0 ⎨ ⎩ 0.10x 1 − 0.40x 2 = 0 x1 + x 2 = 1 x 2 = 1 − x1 − 0.10x 1 + 0.40(1 − x 1 ) = 0 − 0.10x 1 + 0.40 − 0.40x 1 = 0

− 0.50x 1 = −0.40 0.40 0.50 x 1 = 0.8 x 2 = 1 − x 1 = 1 − 0.8 x 2 = 0.2 A largo plazo se espera que el 80 % tenga la tarjeta de crédito y por ende el 20 % no la tenga. x1 =

7. Las uvas del valle de Sonoma, se clasifican como superiores, regulares o malas. Después de una cosecha superior, las probabilidades de tener durante el siguiente año, una cosecha superior, regular y mala son de 0, 0.8 y 0.2 respectivamente. Después de una cosecha regular, las probabilidades de que la siguiente cosecha sea superior, regular y mala son: 0.2, 0.6 0.2. después de una mala cosecha, las probabilidades de una cosecha superior, regular y mala son de 0.1, 0.8 y 0.1. Determínese las probabilidades de una cosecha superior para cada uno de los siguientes años, si la cosecha más reciente fue regular. SOLUCIÓN S1 : Cosecha Superior. S2 : Cosecha Regular. S2 : Cosecha Mala. Para la cosecha más reciente regular tenemos la probabilidad 1 inicialmente. x 0 = [x 1 x 2 x 3 ] x 0 = [0 S1 S1 ⎡0.0 S2 ⎢⎢0.2 S3 ⎢⎣ 0.1

1 0] S2 S3 0.8 0.2⎤ 0.6 0.2⎥⎥ 0.8 0.1⎥⎦

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Para n = 5 años x5 = P0P5 a ( 0.2 0.6 0.2 )

0.0 0.8 0.2 b

0.2 0.6 0.2 0.1 0.8 0.1

a . b = 0.14 0.68 0.18 0.18 0.64 0.18 b 2 = 0.14 0.68 0.18 0.17 0.64 0.19 a . b 2 = 0.154 0.664 0.182 0.146 0.672 0.182 b 3 = 0.154 0.664 0.182 0.147 0.672 0.181 a . b 3 = 0.151 0.667 0.182

b

4

a b4 .

b

5

a b5 .

=

=

=

=

0.153 0.151 0.153

0.666 0.667 0.666

0.182 0.182 0.182

0.152

0.667

0.182

0.151 0.152 0.151

0.667 0.667 0.667

0.182 0.182 0.182

0.151

0.667

0.182

Para el primer año la cosecha superior será de 0.14 = 14 % Para el segundo año la cosecha superior será de 0.154 = 15.4 % Para el tercer año la cosecha superior será de 0.151 = 15.1 %

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Ejercicios_ inventarios1

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