Ejemplos de Diseño Sismico para Sistemas de Piso de Edificios de Concreto Reforzado

Camino Fuentes Brotantes No.72 T (01 55) 40991258 Santa Ursula Xitla, Tlalpan CP 01420, México, DF E [email protected]

EJEMPLOS DE DISEÑO SÍSMICO PARA SISTEMAS DE PISO DE EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO Mario E. Rodriguez Miguel A. Torres Matos

México D.F., Febrero 2014

PREFACIO La intención de la sección 8.4, “Apéndices”, de las actuales Normas Técnicas Complementarias por Sismo (NTCS) es el resolver el problema de la evaluación y empleo de las aceleraciones absolutas horizontales de pisos en edificios para el diseño sísmico de sus diafragmas, así como el empleo de estas aceleraciones en elementos “apéndices” en los pisos. Sin embargo, el contenido de esta sección se debe mejorar tanto en su redacción como en el procedimiento de diseño de pisos propuesto. La sección 8.4 no menciona en forma clara que todos los sistemas de piso de edificios en zonas sísmicas se deben revisar y diseñar para resistir fuerzas sísmicas horizontales. Así mismo, es recomendable que el procedimiento de evaluación de estas fuerzas deben ser revisadas con base en resultados de investigaciones recientes. Además, las Normas Técnicas Complementarias para Estructuras de Concreto Reforzado no dan criterios específicos de diseño sísmico de sistemas de piso. En la práctica profesional de la ingeniería estructural del país, no se lleva a cabo el diseño sísmico de las losas para fuerzas de inercia en su plano. En particular, es preocupante los casos de sistemas de piso de edificios construidos con firmes de concreto colados en sitio en estructuras prefabricadas o sistemas de piso novedosos, en los cuales en general no se hace la revisión por sismo de sistemas de piso para resistir fuerzas inerciales horizontales. En estudios de ensayes ante cargas laterales y en mesa vibradora de edificios prefabricados llevados a cabo en el Instituto de Ingenieria de la UNAM, se ha observado la fractura de la malla de refuerzo de los firmes de los sistemas de piso de estos edificios. En esos casos las mallas de refuerzo se diseñaron siguiendo la práctica en Mexico de diseñar la malla, considerando sólo cambios volumétricos (contracción y temperatura). En ensayes en mesa vibradora de la Universidad de California, San Diego, de un edificio de concreto prefabricado de tres niveles, se observó la necesidad de un firme en el sistema de piso prefabricado, ya que para la solución de un sistema de piso sin firme, con conectores metálicos, en ese caso en las alas de vigas prefabricadas tipo “T”, se observó fractura de estos conectores, de manera frágil. Esto sugiere la necesidad de diseñar por sismo los sistemas de piso de edificios en estructuras prefabricadas; sin embargo, en sistemas de piso convencionales, colados en sitio, es posible que también sea necesario este tipo de diseño, particularmente en los casos de sistemas de piso con aberturas, como es el caso cuando se dejan aberturas por ejemplo para escaleras o elevadores no integrados a la estructura. En la actualidad hay interés de quienes elaboran las normativas de diseño por sismo en el país de llevar a cabo cambios en las normativas vigente relacionado con el estudio de diafragmas de piso. Patrocinada por la ANIVIP, en esta publicación se presentan ejemplos de diseño sísmico detallados, con base en estos cambios, que servirán como herramientas útiles para llevar a cabo el Diseño de Sistemas de Piso en edificios de concreto, tanto prefabricados, como colados en sitio. México D.F., febrero 2014

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Ing. Rafael Betancourt (PREMEX, ANIVIP) Dr. Mario E. Rodríguez (MR Ingenieros Consultores en Estructuras) Dr. Miguel A. Torres Matos (MR Ingenieros Consultores en Estructuras)

AGRADECIMIENTOS La Asociación Nacional de Industriales de la Vigueta Pretensada, ANIVIP, agradece la colaboración en la elaboración y revisión del presente documento al comité de diafragmas de la ANIVIP integrado por: Dr. Amador Terán (UAM Azcapotzalco)

Ing. Rafael Betancourt (Presidente ANIVP)

Dr. Mario Rodríguez (Instituto de Ingeniería UNAM)

Ing. Andrés Bladinieres (Empresa Prefabricadora)

Dr. Oscar López Batiz (CENAPRED)

Ing. Fabián Muñoz (Empresa Prefabricadora)

M. Ing. Raúl Jean (Ex-presidente SMIE)

M.Ing. Daniel Padilla (ANIVIP)

Ing. Oscar de la Torre (Ex-presidente SMIE)

Ing. Arturo Gándara (Despacho Ingeniería Estructural)

M. Ing. Alvaro Pérez (Vice-presidente SMIE)

Ing. Armando Gallegos (Despacho Ingeniería Estructural)

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Índice EJEMPLOS DE DISEÑO SISMICO DE SISTEMAS DE PISO DE EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO...................................................................................................... 8 1.

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 8

2. PROPUESTA PARA LAS NTCS-2014 REFERENTE AL DISEÑO SÍSMICO DE DIAFRAGMAS........................................................................................................................... 9 2.1 Diseño ................................................................................................................................ 9 2.2 Fuerzas sísmicas de diseño para diafragmas incluyendo cuerdas y colectores ............ 9 2.3 Diafragmas de transferencia ........................................................................................... 12 2.4 Factor de reducción de fuerzas en el diafragma, Rs ...................................................... 12 3. EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO QUE SE ESTUDIAN .............................. 12 4. EJEMPLO 1 .......................................................................................................................... 13 ANÁLISIS Y DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA ESTUCTURAL SISMORRESISTENTE DE UN EDIFICIO DE 20 NIVLES DE ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). SISTEMA DE PISO PREFABRICADO .................................................................................................................... 13 4.1.1 Datos Generales del edificio ....................................................................................... 13 4.1.2 Análisis de cargas ........................................................................................................ 15 4.1.3 Modelo de edificio de 20 niveles ................................................................................ 16 4.1.4 Análisis sísmico del edificio de 20 niveles ................................................................ 16 4.1.4.1 Resultados del análisis sísmico ........................................................................... 17 4.1.4.2 Distorsiones de entrepiso ..................................................................................... 17 4.1.4.3 Cortantes de entrepiso .......................................................................................... 19 4.1.4.4 Revisión del cortante basal .................................................................................. 20 4.2 OBTENCIÓN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEÑO DE LOS DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO............................................................................................. 21 4.2.1 Espectros inelásticos de acuerdo con la NTCSismo 2004. ....................................... 21 4.2.2........................................................................................................................................ 22 Fuerzas inerciales en el diafragma del edificio de nivel azotea obtenidas con el procedimiento propuesto ...................................................................................................... 22 4.2.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las NTC-S (2004), Sección 8.4 . 24 4.3 EJEMPLO DE DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA DE PISO DEL EDIFICIO EN ESTUDIO .................................................................................................................................. 26 4.4 EVALUACION DE ELEMENTOS MECÁNICOS CRÍTICOS EN UN DIAFRAGMA TÍPICO DEL EDIFICIO EMPLEANDO EL METODO DEL PANEL Y BARRA (PANELSTRINGER) PARA EL CASO DE SISMO EN Y .................................................................. 27 4.4.1 Fuerzas y equilibrio en el panel y barras del elemento panel-barra ......................... 29 4.4.2 Cálculo de las fuerzas cortantes actuantes en los paneles del diafragma ................. 30 4.4.3 Cálculo de las fuerzas normales en las barras de los paneles del diafragma. .......... 34 4.5.1 Diseño del diafragma empleando acero de refuerzo grado 4200. ............................ 36

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4.5.2 Diseño del diafragma nivel azotea del edificio con sistema de piso prefabricado. Empleo de malla electrosoldada........................................................................................... 37 4.6 REVISIÓN POR FLEXO-TRACCIÓN DE LAS TRABES EN EL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA ...................................................................................................................... 38 4.6.1 Tracción máxima que de acuerdo con el procedimiento aproximado se puede ignorar en trabes en flexo-tracción....................................................................................... 39 4.7 DISEÑO DE LA UNIÓN FIRME-MURO ESTRUCTURAL ........................................ 40 4.8 EMPLEO DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL DISEÑO DE DIAFRAGMA DEBIDO A LA ACCION DE FUERZAS INERCIALES ........................... 43 4.9 EMPLEO DEL METODO DEL PUNTAL Y TIRANTE PARA LA EVALUACIÓN DE FUERZAS INTERNAS EN EL DIAFRAGMA DEBIDO A LA ACCION DE FUERZAS INERCIALES ........................................................................................................ 44 4.10 CÁLCULO DE ELEMENTOS MECÁNICOS (CORTANTES Y FUERZAS NORMALES) EMPLEANDO EL MÉTODO DEL PANEL Y BARRA EN LA ZONA DE DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA CON ABERTURAS DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON SISTEMA DE PISO PREFABRICADO ....................................................................... 49 4.11 REVISIÓN POR FLEXOTRACCIÓN DE TRABES .................................................... 59 4.11.1 Caso en el que se emplea firme con refuerzo convencional ................................... 59 4.11.2 Caso en el que se emplea firme con refuerzo de malla electrosoldada .................. 65 4.12 ANÁLISIS EN LA DIRECCIÓN X ................................................................................ 70 4.12.1 Elemento mecánicos en zona del diafragma con aberturas debido a fuerzas en la dirección X. ........................................................................................................................... 74 4.12.2 Revisión de paneles para el caso de refuerzo del firme con acero grado 4200 ..... 75 4.12.3 Revisión del diseño de por flexo-tracción en la zona de aberturas del diafragma 77 4.12.4 Caso con refuerzo convencional en el firme ............................................................ 79 4.12.5 Caso con refuerzo de malla electrosoldada en el firme ........................................... 80 4.13 CÁLCULO DE FUERZAS SISMICAS EN EL PLANO DEL DIAFRAGMA EMPLEANDO UN PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO .................................................. 83 4.13.1 Comentarios ............................................................................................................... 85 5. EJEMPLO 2 .......................................................................................................................... 86 ANÁLISIS Y DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL SISMORRESISTENTE DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES DE ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). CASO DEL EDIFICIO CON LOSA MACIZA COLADA EN SITIO ...................................................... 86 5.1 ANÁLISIS DE CARGAS .................................................................................................. 86 5.2 ANÁLISIS SÍSMICO DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA ....... 87 5.2.1 Resultados del análisis sísmico del edificio con losa maciza ................................... 87 5.2.1.1Distorsiones de entrepiso ...................................................................................... 87 5.2.2 Cortantes de entrepiso ................................................................................................. 89 5.2.3 Revisión del cortante basal.......................................................................................... 90 5.3 OBTENCIÓN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEÑO DE LOS DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA ....................... 91 5.3.1 Espectros inelásticos de acuerdo con el Apéndice de la NTCSismo 2004. ............. 91 5.3.2 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con el procedimiento propuesto ....... 92 5.3.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las NTC-S (2004), Sección 8.4 . 92 5

5.4 DISEÑO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA. FUERZAS SISMICAS EN LA DIRECCIÓN Y. EMPLEANDO REFUERZO CONVENCIONAL ............................................................................................ 94 5.5 DISEÑO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA .................................................. 94 5.5.1 Diseño de paneles ........................................................................................................ 94 5.6 DISEÑO DE LA UNIÓN FIRME-MURO ESTRUCTURAL ........................................ 95 5.7 REVISIÓN DEL REFUERZO REQUERIDO EN LA LOSA DEBIDO A CARGAS DE GRAVEDAD ............................................................................................................................. 96 5.9 REVISIÓN POR FLEXO-TRACCIÓN DE TRABES .................................................... 97 5.11 COMPARATIVA DE VOLUMENES DE CONCRETO (m3) Y ACERO DE REFUERZO (kg) REQUERIDOS PARA LOS SISTEMAS DE PISO PROPUESTOS ... 105 6. EJEMPLO 3 ........................................................................................................................ 107 ANÁLISIS Y DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL SISMORRESISTENTE DE UN EDIFICIO DE 8 NIVELES DE ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). CASO LOSA PREFABRICADA LOSA TUBULAR .................................................................................. 107 6.1 ANÁLISIS DE CARGAS ................................................................................................ 107 6.2 ANÁLISIS SÍSMICO DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES CON LOSA TUBULAR .... 108 6.2.1 Resultados del análisis sísmico ................................................................................. 109 6.2.2 Distorsiones de entrepiso .......................................................................................... 109 6.2.3 Cortantes de entrepiso ............................................................................................... 110 6.2.4 Revisión del cortante basal........................................................................................ 111 6.3 OBTENCIÓN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEÑO DE LOS DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES .............................................................. 111 6.3.1 Espectros inelásticos de acuerdo con la ntc sismo 2004. ........................................ 111 6.3.2 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con el procedimiento propuesto ..... 112 6.3.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las ntc-s (2004), sección 8.4 .... 112 6.4 DISEÑO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO CON LOSA TUBULAR .............................................................................................................................. 114 6.5 DISEÑO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA ................................................ 114 6.5.1 Diseño de paneles ...................................................................................................... 114 6.6 Diseño de la unión firme-muro estructural ................................................................. 115 6.7 VERIFICACIÓN POR CORTANTE EN la unión firme-muro, DEBIDO AL SISMO EN LA DIRECCIÓN CRÍTICA (DIRECCIÓN Y) .......................................................... 116 6.8 REVISIÓN POR FLEXOTENSIÓN DE TRABES ................................................... 118 6.9 Análisis en la dirección X ............................................................................................ 121 7. EJEMPLO 4 ........................................................................................................................ 125 ANÁLISIS Y DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL SISMORRESISTENTE DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES DE ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). EDIFICIO CON LOSA MACIZA COLADA EN SITIO ................................................................................. 125 7.1 Análisis de cargas ......................................................................................................... 125 7.2 Análisis sísmico del edificio de 8 niveles con losa maciza ........................................ 126 6

7.2.1 Resultados del análisis sísmico del edificio de 8 niveles con losa maciza ............ 126 7.2.2 Distorsiones de entrepiso .......................................................................................... 126 7.2.3 Cortantes de entrepiso ............................................................................................... 127 7.2.4 Revisión del cortante basal........................................................................................ 128 7.3.2 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con el método propuesto ................. 129 7.3.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las ntc-s (2004), sección 8.4 .... 130 7.4 DISEÑO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES CON LOSA MACIZA ........................................................................................................ 131 7.5 DISEÑO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA ............................................ 132 7.5.1 Diseño de paneles ...................................................................................................... 132 7.6 Diseño de la unión firme-muro estructural ................................................................. 133 7.7 VERIFICACIÓN POR CORTANTE EN la unión firme-muro, DEBIDO AL SISMO EN LA DIRECCIÓN CRÍTICA (DIRECCIÓN Y) .......................................................... 133 7.8 REVISIÓN DEL REFUERZO REQUERIDO EN LA LOSA DEBIDO A CARGAS DE GRAVEDAD ................................................................................................................ 134 7.9 REVISIÓN POR FLEXOTENSIÓN DE TRABES ................................................... 134 7.10 Análisis en la dirección X .......................................................................................... 137 REFERENCIAS ...................................................................................................................... 139

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EJEMPLOS DE DISEÑO SISMICO DE SISTEMAS DE PISO DE EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO 1. INTRODUCCIÓN En la práctica del diseño sísmico de edificios en México es usual que no se revise por sismo la seguridad estructural de sistemas de piso, tanto en edificios convencionales colados en sitio, como en edificios en los que se emplea elementos prefabricados de concreto. Algunos eventos sísmicos ocurridos de diferentes lugares del mundo, así como resultados experimentales recientes sugieren que esta práctica debe de cambiar. El ignorar el diseño por sismo de sistemas de piso en edificios, en buena parte se debe a vacíos importantes existentes en la normativa actual para la construcción de edificios, como por ejemplo en la existente para el Distrito Federal, la cual se emplea no sólo en este lugar, sino también en diversos estados de la República, dado que no existe una normativa de construcción a nivel nacional. Ante esta situación, ANIVIP encargó a MR Ingenieros Consultores en Estructuras la elaboración de una propuesta de diseño de sistemas de piso en edificios para resistir fuerzas inerciales. Esta propuesta fue elaborada considerando el avance del estado del arte sobre el problema, esto es investigaciones sobre el tema a nivel internacional, y fue revisada por un grupo de profesionales convocados por ANIVIP, antes de ser entregado en 2012 a los comités respectivos encargados de la actualización de las Normas Técnicas para el Distrito Federal, en particular los referentes a Sismo y Estructuras de Concreto. Como continuación de este esfuerzo, ANIVIP encargó a MR Ingenieros la elaboración de ejemplos específicos de diseño de sistemas de piso para resistir fuerzas inerciales, empleando como referencia la propuesta de 2012 anteriormente mencionada, estos ejemplos se terminaron en 2012. Sin embargo, estos ejemplos fueron modificados por MR Ingenieros en 2014 para tomar en cuenta la propuesta de cambio en la normativa de diseño sísmico diafragmas de edificios en Estados Unidos, elaborada a fines de 2013 por un comité especializado por encargo de la Building Seismic Safety Committee (BSSC), y recientemente aprobada para ser incluida en las recomendaciones de diseño sísmico 2014 de la BSSC. Miembros de este Comité para la BSCC fueron, entre otros, los Drs José Restrepo de UCSD, S.K. Ghosh de S.K. Ghosh Asociados y Mario E. Rodríguez de MR Ingenieros e Instituto de Ingeniería, UNAM. Especial mención se debe hacer al trabajo voluntario y productivo de este comité por alrededor de dos años, presidido por el Dr S.K. Ghosh. En este trabajo se desarrollan ejemplos de diseño de sistemas de piso en edificios para resistir fuerzas inerciales en su plano. Se estudian los casos de edificios de concreto reforzado de 8 y 20 niveles, con sistema estructural del tipo dual, y ubicados en la zona del lago del DF. El objetivo de los ejemplos que aquí se desarrollan es mostrar de manera amigable el empleo de herramientas necesarias para llevar a cabo este diseño. Se hace énfasis en este trabajo que el procedimiento propuesto es aplicable tanto a edificios de concreto reforzado colados en sitio, como a edificios con elementos prefabricados de concreto, por lo que los ejemplos que aquí se desarrollan resuelven ambos tipos de casos.

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2. PROPUESTA PARA LAS NTCS-2014 REFERENTE AL DISEÑO SÍSMICO DE DIAFRAGMAS

Esta propuesta fue elaborada tomando en cuenta la propuesta de cambio en la normativa de diseño sísmico diafragmas de edificios en Estados Unidos, la cual fue elaborada a fines de 2013 por un comité especializado por encargo de la Building Seismic Safety Committee (BSCC). 2.1 DISEÑO Los diafragmas de un edificio incluyendo cuerdas, colectores y sus conexiones con los elementos verticales se deben diseñar para resistir fuerzas sísmicas en el plano calculadas con los requisitos de la sección 2.2. Los colectores deben transferir las fuerzas sísmicas que se originan en otras partes de la estructura a los elementos del sistema sismo-resistente del edificio. El diseño de diafragmas y su detallado debe tener la capacidad de transferir las fuerzas en las discontinuidades del diafragma tales como aberturas para escaleras o elevadores y esquinas en entrantes. Las expresiones para el diseño sísmico de diafragmas que aquí se presentan emplean el formato del Apéndice A de las Normas Técnicas Complementarias por Sismo para el DF (NTCS, 2004). En las próximas NTCS para el DF el actual cuerpo principal de las NTCS 2004 desaparecerá, y el cuerpo principal de estas nuevas normas tomarán el formato del Apéndice A de las NTCS 20004. 2.2 FUERZAS SÍSMICAS DE DISEÑO PARA DIAFRAGMAS INCLUYENDO CUERDAS Y COLECTORES Los diafragmas, cuerdas, colectores, se deben diseñar para resistir fuerzas sísmicas en el plano, Fpx, dada por: Fpx =

C px Rs

w px

(2.1)

Donde Cpx es coeficiente de aceleración de diseño del nivel x, wpx es el peso tributario al diafragma del nivel x, Rs es el factor de reducción de fuerzas elásticas en el diafragma, el cual toma en cuenta la sobrerresistencia y capacidad de comportamiento inelástico del diafragma. El parámetro Cpx se calcula empleando los parámetros Cp0 y Cpn, los que se describen más adelante, y su significado se ilustra en la Fig. 2.1, donde n es el número de niveles del edificio. La relación hx/hn representa la altura relativa. En el presente trabajo se sugiere que las conexiones entre los elementos verticales en cada nivel y el diafragma, se deben diseñar para resistir la fuerza Rs Fpx. Esta recomendación se basa en el concepto de que para el sismo de diseño es deseable el comportamiento 9

inelástico de los diferentes elementos estructurales, mientras que para las referidas conexiones en diafragmas es deseable que no tengan comportamiento inelástico.

hx /hn

hx /hn 1.0

1.0

0.8

hx /hn > 0.8

hx /hn > 0.8

n≤2

0

n≥3 Cpx

0

Cpo Cpn

0

Cpx 0

Cpo

Cpn

Figura 2.1. Envolvente de coeficientes de aceleraciones de piso para el cálculo de los coeficientes de aceleraciones Cp0 y Cpn , (a) Edificios con n≤2, (b) Edificios con n≥3.

La fuerza sísmica Fpx no debe ser menor que

Fpx = 0.5 ao wpx

(2.2)

Los coeficientes de aceleración de diseño Cp0 y Cpn se deben calcular con: (2.3)

C p0 = a0 2

a 2  C pn =  Γm1 ,  +  Γm2 Cs2  Q  

(2.4)

El coeficiente Cs2 se debe calcular con el menor valor dado por las ecs (2.5) a (2.7) Cs2 = ao  0.025

Cs2 = c

n ( c  ao ) Ta

(2.5)

(2.6)

10

 Tb  Cs2 = c p    0.025 n 

Cs2 = 0

2

(2.7a)

(2.7b)

Para n= 1

Rigurosamente Cs2 se debe calcular empleando el espectro elástico de diseño con el periodo correspondiente al segundo modo; sin embargo, es posible que el segundo modo calculado con el programa de análisis que se emplee corresponda en realidad no aun modo puramente de translación, sino a un modo rotacional o combinado con un modo de translación, lo que podría pasar inadvertido para el ingeniero que ejecuta este análisis. Para evitar que esto ocurra, en la derivación de las ecs 2.5 a 2.7 se consideró de manera simplista que el periodo del segundo modo era del orden de la cuarta parte del valor del periodo del modo fundamental. Los factores de contribución modal Γm1 y Γm2 en la ecs (2.4) se deben calcular con las ecs (2.8) y (2.9) Γ m1 = 1+

zs  1  1-  2  n

(2.8)

y  1 Γ m2 = 0.9 zs 1-   n 

2

(2.9)

Donde el parámetro del sistema zs es igual a: 0.3 para edificios diseñados con sistemas de marcos de acero con elementos restringidos para el pandeo. 0.7 para edificios con sistemas de marcos. 0.85 para edificios con sistemas duales con marcos que deban resistir al menos el 25% de las fuerzas sísmicas de diseño ó 1.0 para edificios diseñados con otros sistemas sismo-resistentes no incluidos en la clasificación que aquí se considera.

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2.3 DIAFRAGMAS DE TRANSFERENCIA Los diafragmas de transferencia incluyendo cuerdas y colectores de éstos, se deben diseñar para las fuerzas obtenidas del análisis sísmico del sistema sismo-resistente empleando el coeficiente sísmico a / Q, , y se deben sumar con las fuerzas obtenidas siguiendo las secciones 2.1 y 2.2 para el nivel del diafragma de transferencia.

2.4 FACTOR DE REDUCCIÓN DE FUERZAS EN EL DIAFRAGMA, RS El factor de reducción de fuerzas en el diafragma, Rs, se debe tomar igual a 1 para sistemas de piso donde se emplee malla electrosoldada, e igual a 2 cuando el refuerzo en el diafragma sea de acero tipos ASTM 615 o ASTM 706, correspondientes a las normas Mexicanas NMX-B-506-CANACERO-2011 y NMX-B-457-CANACERO-2013, respectivamente. Esto se debe a que por su fragilidad, las mallas de refuerzo no pueden tener un comportamiento inelástico deseable, como el que tiene las barras de refuerzo convencionales, motivo por el cual se deben diseñar para un comportamiento elástico para las fuerzas sísmicas de piso. En diafragmas que tengan un área de aberturas y/o áreas libres originadas por entrantes que sea 25% mayor que el área de la planta del edificio en lugar del factor de 2 mencionado para Rs se deberá usar el factor 1.0. Los diafragmas en edificios de concreto prefabricado no deberán tener un área de aberturas y/o áreas libres originadas por entrantes que sea 25% mayor que el área de la planta del edificio.

3. EDIFICIOS DE CONCRETO REFORZADO QUE SE ESTUDIAN En los ejemplos que se desarrollan a continuación se muestra el procedimiento de diseño de sistemas de piso para resistir fuerzas inerciales en su plano en edificios de concreto reforzado de 8 y 20 niveles ubicados en la zona de suelo blando de la ciudad de México. Se resuelven tanto los casos de sistemas de piso en edificios colados en sitio, por ejemplo losas que se apoyan en las trabes del edificio, así como de sistemas de piso en estructuras de concreto prefabricado. Para este último caso se consideró el sistema de viga tubular y bovedilla.

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4. EJEMPLO 1 ANÁLISIS Y DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA ESTUCTURAL SISMORRESISTENTE DE UN EDIFICIO DE 20 NIVLES DE ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). SISTEMA DE PISO PREFABRICADO 4.1.1 DATOS GENERALES DEL EDIFICIO La Fig 4.1 muestra la planta típica del edificio estudiado de 20 niveles. La Fig 4.2 muestra la elevación de este edificio. Como se aprecia en la Fig. 4.1 en el piso típico y azotea existen zonas de aberturas para elevadores y escaleras, las que como posteriormente se muestra, deben diseñarse para resistir las fuerzas inerciales en el plano del diafragma. El edificio emplea el sistema estructural sismorresistente del tipo dual, es decir combinación de marcos y muros estructurales de concreto reforzado.

A

B

8.5

8.5

C

D

8.5

8.5

E

8.5

F

8.5

5

3.5

2.5

Elevador

2.5

Elevador

8.5

4 6.0

Escaleras

y 4.0

x

8.5

3

8.5

2

1 PLANTA

Figura 4.1. Planta típica del edificio de 20 niveles 13

19 @ 4.2m 8.4m

4 @ 8.5m

Figura 4.2. Elevación eje C del edificio de 20 niveles En la Fig. 4.3, se muestra un detalle de la viga tubular de 30 cm, bovedilla, y firme de 6 cm. En este caso la separación entre vigas tubulares es de 100 cm. P.p. Losa + firme 6cm = 270 kg/m2 6

30

100

Viga tubular

100

Bovedilla de poliestireno

Figura 4.3. Detalle de viga tubular de 30 cm, bovedilla, y firme de 6 cm 14

4.1.2 ANÁLISIS DE CARGAS Piso típico Peso propio losa (Tubular, Manual PREMEX 2007) Peso muerto por reglamento Acabados parapetos y muros divisorios (Carga Muerta Wm (carga viva máxima) Wa (carga viva accidental)

kg/m2 2 kg/m 2 kg/m 2 kg/m 2 kg/m ) 2 kg/m kg/m2

270 40 120 160 320 170 90

Azotea Peso propio losa (Tubular, Manual PREMEX 2007) Peso muerto por reglamento Acabados, mortero, rellenos e impermeabilizantes (Carga Muerta Wm (carga viva máxima) Wa (carga viva accidental)

2

270 40 110 150 100 70

kg/m 2 kg/m kg/m2 kg/m2) kg/m2 kg/m2

Tabla 4.1 MATERIALES Concreto (Clase I) f'c = 400 Ec = 280000 Acero de refuerzo principal fy = 4200 Es = 2000000

kg/cm2 kg/cm2

kg/cm2 kg/cm2

Tabla 4.2 ELEMENTO ESTRUCTURAL TRABES COLUMNAS LOSA TUBULAR (viga tubular 30 cm,firme 6 cm) MUROS

DIMENSIONES 50 x 80 cm 120 x 120 cm h = 36 cm

h = 40 cm

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4.1.3 MODELO DE EDIFICIO DE 20 NIVELES La Fig 4.4 muestra una vista del modelo empleado con el programa ETABS (CSI, 2009) para el análisis sísmico del edificio de 20 niveles.

Figura 4.4. Vista en elevación del modelo en ETABS 4.1.4 ANÁLISIS SÍSMICO DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES El edificio analizado se considera ubicado en la zona del lago del DF con un periodo dominante T s=1.3 s. La Tabla 4.3 muestra los parámetros que definen el espectro sísmico de diseño de acuerdo con el Apéndice de las NTC Sismo, 2004, para la zona IIIa de la zonificación estipulada en las Normas Técnicas Complementarias por Sismo (NTC Sismo, 2004). Tabla 4.3 Parámetros que definen el espectro de diseño para un suelo con T s=1.3s Ts(s)

a0

C

Ta (s)

Tb (s)

1.3

0.22

1.0

0.72

1.6

16

El espectro de diseño elástico especificado por el Apéndice de las NTC Sismo 2004 para los casos de Ts=1s y Ts=1.3s se muestra en la Fig 4.5. En este espectro también se muestran los periodos fundamentales en las direcciones X y Y del edificio. Para comparación, esta figura también muestra el espectro elástico para la zona IIIa según el cuerpo principal de las NTC Sismo 2004, considerando una amplificación de estas ordenadas con los valores R=2 y R=2.5, según la zona de periodos. Se aprecia que en la zona descendente del espectro en los casos de la zona con Ts=1.3s y la zona IIIa, las ordenadas espectrales de ambos casos son prácticamente iguales. Se empleará un factor de comportamiento sísmico, Q, igual a 3. Sin embargo, la estructura es irregular, no satisface los incisos 6.1.1 y 6.1.2 de las NTCSismo-2004, por consiguiente el factor por irregularidad empleado es igual a 0.8, por lo que el factor de reducción, Q’, se consideró igual a 0.8x3= 2.4. La Fig. 4.5 también muestra los valores de los periodos fundamentales calculados para cada dirección del edificio. 1.2 1.0

a (g)

0.8

Zona IIIa

0.6

Ts =1s

Ts=1.3s

0.4

Ty=2.24s

0.2

Tx=2.45

0.0 0

1

2

3

4

T (s)

Figura 4.5. Espectro elástico de diseño para la zona del lago con Ts=1s, 1.3s, Apéndice, y para la zona IIIa, del cuerpo principal de NTCSismo-2004 (con R=2 ó 2.5) 4.1.4.1 Resultados del análisis sísmico Regla de combinación modal empleada: CQC Combinación direccional: 100% (Sx|Sy)+30%(Sy|Sx) 4.1.4.2 Distorsiones de entrepiso La Tabla 4.4 muestra las distorsiones de entrepiso calculadas para el edificio en cada dirección. Estas distorsiones se grafican en la Fig 4.6.

17

Tabla 4.4 Distorsiones calculadas de entrepiso Nivel 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 MAX

Distorsión X 0.003663 0.004095 0.004683 0.00531 0.005934 0.006534 0.007101 0.007626 0.008157 0.008652 0.009096 0.009483 0.009801 0.010026 0.010131 0.010071 0.00978 0.009159 0.008058 0.00471 0 0.0101

Distorsión Y 0.004701 0.005247 0.005871 0.006528 0.007179 0.007809 0.008397 0.008943 0.009435 0.009873 0.010245 0.010542 0.010749 0.010839 0.010836 0.010707 0.010347 0.009669 0.008496 0.004911 0 0.0108

20 18

16 14 UX

Nivel

12

UY

10 8 6 4

2 0 0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Distorsión (m/m)

Figura 4.6. Distorsiones calculadas para el edificio de concreto prefabricado de 20 niveles

18

4.1.4.3 Cortantes de entrepiso La Tabla 4.5 muestra los valores de los cortantes calculados para el edificio, y la Fig 4.7 muestra de manera gráfica estos cortantes. Tabla 4.5. Cortantes calculados para el edificio Nivel

Vx (t)

Vy (t)

20

180.13

201.42

19 18 17 16 15 14 13 12

391.96 578.21 744.24 893.38 1028.12 1150.72 1263.01 1366.66

442.69 658.97 854.87 1033.12 1195.8 1344.89 1482.03 1608.74

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

1463.15 1553.59 1638.75 1719.01 1794.23 1863.83 1926.81 1981.76 2026.98 2060.78

1726.36 1835.88 1937.97 2032.87 2120.41 2199.95 2270.51 2330.8 2379.32 2414.70

1 0 MAX

2084.74 2084.70 2084.7

2438.91 2438.90 2438.90

19

20 18 16 14 Vx

Nivel

12

Vy

10 8 6 4 2 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Cortante de entrepiso (t)

Figura 4.7. Cortantes máximos calculados para el edificio 4.1.4.4 Revisión del cortante basal La Tabla 4.6 muestra algunos parámetros necesarios para el cálculo de los cortantes basales máximos del edificio. Los valores de cortante basales calculados con el método dinámico modal espectral cumplen con el requisito de ser mayor que el 80% del cortante calculado por el método estático.

Tabla 4.6. Parámetros para el cálculo de cortantes basales máximos. Dirección X

Dirección Y

Periodo (s) C (g)

2.45 0.090

2.24 0.107

Peso (t) V ESTATICO = CW (t) V DINAMICO (t) V DINAMICO/V ESTATICO

26729 2406 2084.7 0.87

26729 2860 2438.9 0.85

20

4.2 OBTENCIÓN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEÑO DE LOS DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO 4.2.1 ESPECTROS INELÁSTICOS DE ACUERDO CON LA NTCSISMO 2004. La Fig 4.8 muestra los espectros elásticos e inelásticos de diseño para el edificio de 20 niveles de acuerdo con el Apéndice A, se indica además en la gráfica el valor del periodo mostrado en la Tabla 4.7. Para comparación, también se muestra los espectros elástico e inelástico este último calculado con el factor Q’ que se indica en la Tabla 4.8. 1.2 1.0

a (g)

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T (s) Zona IIIa

Reducido(QR)

Apendice_Ts=1.3s

Ty=2.24s

Tx=2.45

IIIa_Reducido(Q)

Figura 4.8. Espectros elásticos y reducidos de diseño de acuerdo con el Apéndice (Ts=1.3s), y con el cuerpo principal del RCDF-2004 para la zona IIIa

Tabla 4.7. Periodo fundamental en la dirección Y del edificio Sentido Y

Periodo (s)

1

2.24

Para la evaluación del espectro de aceleraciones de acuerdo con el cuerpo principal del RCDF en su NTC-Sismo (2004) se empleó la ecuación (3.1) de estas Normas, lo que llevó a los valores de la Tabla 4.8.. Tabla 4.8. Parámetros del espectro de diseño Cuerpo Principal.

ao

a

Q'

R

a / Q'

0.1

0.258

2.4

2.5 (implícito)

0.108

21

4.2.2 FUERZAS INERCIALES EN EL DIAFRAGMA DEL EDIFICIO DE NIVEL AZOTEA OBTENIDAS CON EL PROCEDIMIENTO PROPUESTO El procedimiento que aquí se sigue para la valuación de las fuerzas inerciales de los diafragmas del edificio en estudio es el descrito en el Capítulo 2 de este trabajo. Los parámetros necesarios para la evaluación de estas fuerzas en el edificio en estudio de 20 niveles (n=20) son los siguientes: Parámetro Cpo : De la ec A.2 de las NTC Sismo 2004 se tiene a0 = 0.1+0.15(Ts - 0.5) si 0.5  Ts  1.5 s

Reeplazando en la ec anterior Ts=1.3 s se tiene ao=0.22 en la ec 2.3 Cpo =ao = 0.22 Parámetros Γm1 y Γm2: de las ecs 2.8 y 2.9: Γ m1 = 1+

zs  1  0.85  1  1-   1  1-  1.4 2  n 2  20  2

2

 1  1  Γ m2 = 0.9 zs 1-   0.9 * 0.85 * 1  0.69  n   20 

Coeficiente Cs2 El coeficiente Cs2 se debe calcular con el menor valor dado por las ecs (2.5) a (2.7). De la ec 2.5 y empleando los valores de la Tabla 4.3: Cs2 = ao  0.025

n 20 ( c  ao )  0.22  0.025 * * ( 1.0  0.22 )  0.76 Ta 0.72

de la ec 2.6: Cs2 = c  1

La ec 2.7a, mostrada anteriormente, es la siguiente:  Tb  Cs2 = c p    0.025 n 

2

(2.7a)

El valor de k requerido para el cómputo de p según la ec A.6 del Apéndice A es: k = 2  Ts

si 0.5  Ts  1.6s

k= 2-1.3=0.7 El valor de p según la sección A.3 del Apéndice A y las Tablas 4.3 y 4.7 es 2

2

T   1.6  p = k  ( 1  k ) b   0.7  ( 1  0.7 )    0.85 T    2.24 

22

Reemplazando valores en la ec 2.7a, 2

 Tb  1.6   Cs2 = c p    1.0 * 0.85 *    8.7 0 . 025 n 0 . 025 * 20     2

Empleando el menor valor para Cs2 se obtiene Cs2= 0.76 Coeficiente Cpn La ec 2.4 del Capítulo 2 es: 2

a 2  C pn =  Γm1 ,  +  Γm2 Cs2  Q  

(2.4)

En la ec 2.4 se requiere el valor de a , definido por la ec A.1 del Apéndice A: 2

2

T   1.6  a =  c p  b   1* 1.0 * 0.85 *    0.43 T   2.24 

De acuerdo con la ec A.9 del apéndice A, el valor de Q’ es: Q' = 1  Q  1

p

Q' = 1  3  1

1x 085 .  3.2 0.7

k

si T  Tb

Considerando las condiciones de irregularidad en el edificio: Q’= 0.8 x 3.2 = 2.6 Reemplazando valores en la ec 2.4 se tiene 2

2

a 0.43  2 2   C pn =  Γm1 ,  +  Γm2 Cs2    1.4* .  0.277  056 .    0.69* 0.76   0036 Q 2.6   

La fuerza inercial mínima en el diafragma está dada por la ec. 2.2

Fpx = 0.5 ao wpx de donde Fpx/ wpx = 0.5 ao Fpx/ wpx = 0.5x0.22 = 0.11 La Tabla 4.9 muestra resultados obtenidos con el procedimiento propuesto para el cálculo de las fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la dirección Y.

23

Tabla 4.9. Fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la dirección Y obtenidos con el procedimiento de cálculo propuesto Nivel

hi (m)

hi / H

NIVEL 20 NIVEL 19 NIVEL 18 NIVEL 17 NIVEL 16 NIVEL 15 NIVEL 14 NIVEL 13 NIVEL 12 NIVEL 11 NIVEL 10 NIVEL 9 NIVEL 8 NIVEL 7 NIVEL 6 NIVEL 5 NIVEL 4 NIVEL 3 NIVEL 2 NIVEL 1 BASE

88.2 84 79.8 75.6 71.4 67.2 63 58.8 54.6 50.4 46.2 42 37.8 33.6 29.4 25.2 21 16.8 12.6 8.4 0

1.00 0.95 0.90 0.86 0.81 0.76 0.71 0.67 0.62 0.57 0.52 0.48 0.43 0.38 0.33 0.29 0.24 0.19 0.14 0.10 0

Masa

Peso

2

(t.s /m)

(t)

111.18 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 136.85 150.19

1090.7 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1342.5 1473.36

2724.67

26729.06

w (t/m )

Cpx

Fpx/W px (Rs=1)

Fpx/W px (Rs=2)

0.94 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.16 1.27

0.56 0.48 0.40 0.32 0.24 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22

0.56 0.48 0.40 0.32 0.24 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22

0.28 0.24 0.20 0.16 0.12 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11

2

4.2.3 FUERZAS INERCIALES EN DIAFRAGMAS DE ACUERDO CON LAS NTCS (2004), SECCIÓN 8.4 La Tabla 4.10 muestra resultados de las fuerzas inerciales en diafragmas calculadas en la dirección Y del edificio de acuerdo con la sección 8.4 de las NTCSismo 2004. La última columna de la Tabla muestra los valores calculados de las fuerzas inerciales por unidad de masa, las que están dadas por ao+c’, donde c’ “es el factor por el que se multiplican los pesos a la altura de desplante del elemento cuando se valúan las fuerzas laterales sobre la construcción”. La Fig 4.9 muestra resultados del cálculo de fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas obtenidos con el procedimiento propuesto y con las NTCSismo 2004. Estos resultados muestran que la NTCSismo 2004 llevaría a resultados conservadores comparados con los que se obtendrían con el caso de diseño de sistemas de piso que emplean en los diafragmas acero de refuerzo convencional; sin embargo, estarían del lado de la inseguridad comparado con el caso de diseño de sistemas de piso donde en los diafragmas se empleen malla electrosoldada. 24

Tabla 4.10. Fuerzas inerciales en diafragmas (Fi) de acuerdo con las NTC-S (2004), Sección 8.4 a= 0.26

Q' = 2.4

Nivel

Wi (t)

hi (m)

Wi hi (t-m)

Fi (t)

c' = Fi / Wi

ao + c'

NIVEL 20 NIVEL 19 NIVEL 18 NIVEL 17 NIVEL 16 NIVEL 15 NIVEL 14 NIVEL 13 NIVEL 12 NIVEL 11 NIVEL 10 NIVEL 9 NIVEL 8 NIVEL 7 NIVEL 6 NIVEL 5 NIVEL 4 NIVEL 3 NIVEL 2 NIVEL 1 BASE

1090.698 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1342.499 1473.364 BASE

88.2 84 79.8 75.6 71.4 67.2 63 58.8 54.6 50.4 46.2 42 37.8 33.6 29.4 25.2 21 16.8 12.6 8.4 0

96200 112770 107131 101493 95854 90216 84577 78939 73300 67662 62023 56385 50746 45108 39469 33831 28192 22554 16915 12376

217 254 242 229 216 203 191 178 165 153 140 127 114 102 89 76 64 51 38 28

0.199 0.189 0.180 0.170 0.161 0.152 0.142 0.133 0.123 0.114 0.104 0.095 0.085 0.076 0.066 0.057 0.047 0.038 0.028 0.019

0.299 0.289 0.280 0.270 0.261 0.252 0.242 0.233 0.223 0.214 0.204 0.195 0.185 0.176 0.166 0.157 0.147 0.138 0.128 0.119 0.100

Figura 4.9. Fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas del edificio con piso prefabricado de 20 niveles 25

4.3 EJEMPLO DE DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA DE PISO DEL EDIFICIO EN ESTUDIO

En lo que sigue se muestra el procedimiento de diseño por sismo del sistema de piso de los edificios en estudio. Como la geometría de la planta de los edificios seleccionados de 8 y 20 niveles es la misma, se resuelve el problema de manera general, en función de la fuerza inercial horizontal Fi que debe resistir el diafragma del nivel i del edificio en estudio. El valor de esta fuerza se supone igual a F en el desarrollo de los ejemplos siguientes, y posteriormente se emplea el valor correspondiente de F para el diseño de las secciones críticas del diafragma. La planta típica en estudio se muestra en la Fig 4.10. El diseño del sistema de piso se lleva a cabo con el método del puntal y tirante, así como el método del panel y barra (panel stringer, Blaaunwendraad y Hoogenboom, 1996). Además, con el propósito de mostrar las tendencias de flujos de fuerzas en el diafragma para resistir las fuerzas inerciales horizontales, se analizó el diafragma con el método de elementos finitos.

A

B 8.5m

C 8.5m

D 8.5m

E 8.5m

F 8.5m

3.5m

8.5m

5

8.5m

3

4m

8.5m

5m

4

6m

8.5m

2 1 Fig 4.10. Planta típica de los edificios en estudio

26

4.4 EVALUACION DE ELEMENTOS MECÁNICOS CRÍTICOS EN UN DIAFRAGMA TÍPICO DEL EDIFICIO EMPLEANDO EL METODO DEL PANEL Y BARRA (PANEL-STRINGER) PARA EL CASO DE SISMO EN Y Con fines didácticos, al claro de 8.5 m de la planta mostrada en la Fig 4.10 se le da el valor generalizado de a. Con el propósito de aplicar el método del panel y barra, para la planta de la Fig 4.10 se consideran paneles cuadrados de dimensiones a x a. Se debe observar que en el ejemplo que aquí se desarrolla, las dimensiones de los paneles y su número se seleccionaron para que coincidan con las de los tableros del edificio. La Fig 4.11 muestra los paneles en que se ha dividido la planta del edificio en estudio, en este caso 16 paneles, cuadrados. Se considera que la fuerza inercial actuante en cada panel es igual al producto de la masa de éste por la aceleración absoluta horizontal máxima del piso. Esto lleva a que la fracción de la fuerza horizontal inercial F en el diafragma que actúa en cada panel es proporcional al área de éste. Esto se basa tanto en la segunda ley de Newton, es decir que la fuerza inercial es igual al producto de la masa respectiva por su aceleración, como en la hipótesis de que la aceleración absoluta horizontal máxima en el diafragma es constante en cualquier punto de éste. Aceptando estas hipótesis, y si denominamos Fj a las fuerzas inerciales actuantes en cada panel de la planta del edificio mostrado en la Fig 4.11, y considerando 16 paneles con fuerzas Fj, se obtiene la siguiente expresión:

16Fj  F

(4.1)

F . Por tanto la fuerza inercial actuantes en cada uno de los paneles de la 16 F planta de la Fig 4.10 es igual a . 16 de donde F j 

Se debe observar que en la derivación anterior, por simplicidad, se está considerando de manera conservadora que la masa en los paneles con aberturas es igual a la de los paneles sin aberturas, y que no existen cargas concentradas.

27

E

F

a

a

a

a

a

a

D

6

4

10

14

16

a

C

5

3

9

13

15

a

B

2

8

12

a

A

1

7

11

5 4 3 2 1 Figura 4.11. Paneles en la planta típica para la aplicación del método del panel y cuerda El paso siguiente es la obtención de las fuerzas actuantes en los nudos de los paneles del modelo propuesto en la Fig 4.11. Como se muestra posteriormente, con estas fuerzas se definen las fuerzas actuantes en las barras, así como el cortante en los paneles. La Fig 4.12 muestra paneles donde los círculos encierran el valor de la fuerza inercial actuante en el panel. La Fig 4.12 muestra que la fuerza inercial Fj actuante en el panel j se puede considerar que resulta de la aplicación, en cada nudo del panel, de la cuarta parte de esta fuerza. Con base en esta hipótesis, y considerando las fuerzas inerciales actuantes, F anteriormente calculadas para los paneles iguales a , la Fig 4.12b muestra las fuerzas 16 actuantes en los nudos de los paneles de la planta del edificio.

1 4 Fj

a

Fj 1 4 Fj

F 64

1 4 Fj

1 4 Fj

a) Panel j

F 64 F 16

F F 64 64 b) Panel empleado

Figura 4.12. Distribución de las fuerzas inerciales en los nudos de paneles

28

Empleando los valores de las fuerzas actuantes en los nudos de los paneles mostrados en la Fig 4.12b, se obtiene la distribución y valores de fuerzas actuantes en los nudos de los paneles del diafragma en estudio que se muestra en la Fig 4.13. Esta figura también muestra que se está considerando que estas fuerzas actuantes están en equilibrio, con reacciones en F los cuatro muros estructurales en la dirección Y, con un valor igual a en cada muro. 4 F 64

F 32

F 4

F 32

F 16

F 16

F 16

3F 64

F 64 F 32

F 4

F 32

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 64

F 32

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 32

F 16

F 16

F 16

3F 64

F 16

F 16

F 32

F 4

F 64

F 16

F 32

F 4

F 16

F 32

F 64

F 32

F 64

Figura 4.13. Distribución de las fuerzas inerciales en los nudos de paneles del diafragma en estudio para el caso de sismo en Y 4.4.1 FUERZAS Y EQUILIBRIO EN EL PANEL Y BARRAS DEL ELEMENTO PANEL-BARRA Los elementos panel y barra que se emplean en el método que se desarrolla en este ejemplo se caracterizan por que el panel está rodeado por elementos barras en las que actúan fuerzas en tensión o compresión, sin momento flexionante. Además, se admite la hipótesis que en el panel actúa un cortante por unidad de longitud constante, v, en todos los bordes del panel. Esta fuerza cortante actúa además en la interface entre el panel y las barras. La Fig. 4.14 ilustra lo anterior, muestra las fuerzas actuantes tanto en las barras como en el panel en un elemento panel-barra típico. Por ejemplo, en la barra 1-2, de longitud a, parte inferior de la Fig 4.14, actúan las fuerzas N1x y N 2x , y el cortante por unidad de longitud, v. El equilibrio en esta barra lleva a N2x  N1x  va (4.2) 29

De manera semejante para las otras barras que se muestran en la Fig 4.14 se obtiene:

N4x  N3x  va

(4.3)

N  N  va

(4.4)

N  N  va

(4.5)

y 3

y 1

y 4

y 2

Las expresiones anteriores indican que las fuerzas normales en la barra varían en la longitud de ésta, debido a que se debe equilibrar el cortante v. y

y

N3

N4

N4

x

N3

x

N4

v

v x

x

N1

N2

y

y

y

y

N2

N2

N1 y

N3

N4

x

N4

v

x

N1

v

x

N2

Figura 4 x

N2 4.14. Fuerzas en barras y cortante en panel del elemento panel-barra (Blaaunwendraad y y y Hoogenboom, 1996) 4.4.2 CÁLCULO DE LAS FUERZAS CORTANTES ACTUANTES EN LOS PANELES DEL DIAFRAGMA La Fig. 4.15 muestra la distribución del flujo de cortante vi en los diferentes paneles del diafragma en estudio. Se debe observar que la simetría en geometría del diafragma y en fuerzas actuantes en los nudos de los paneles a un lado del eje de simetría de la planta del edificio, lleva a que el flujo de cortante en estos paneles, vi ,, tenga signo diferente al flujo de cortante al otro lado de este eje. Así mismo, en los paneles cuyos centros caen en el eje de simetría de la planta del edificio, la condición de simetría implica que las fuerzas normales en las cuerdas de los paneles entre los ejes C y D tengan el mismo signo y valor, por lo que para lograr esta condición es necesario que se cumpla:

v3  v6  v8  v10  0

30

A

B

F 64

F 32

C

E

D

F 32

F 32

F

F 32

F 64

5

v

v

1

F 32

F 4

v

F 64

F 16

F 32

F 4

F 16

3F 64

v

9

F 32

-v

10

F 32

F 64

7

F 16

v

F 64

4

-v

8

F 4

-v

5

v

7

F 32

F 16

F 16

v

1

-v

6

3F 64

3

-v

2

F 16

5

4

1

F 16

v

v

-v

3

F 16

4

2

v

2

9

F 32

F 4 F 64

Figura 4.15. Distribución del flujo de cortante en los paneles del diafragma. Para valuar las fuerzas cortantes actuantes por unidad de longitud, vi, en los paneles se plantean ecuaciones de equilibrio en dos ejes del diafragma. La Fig. 4.16 muestra el diagrama de cuerpo libre del eje A, de donde se obtiene:

 641 F  v1a  v4a  14 F  321 F  641 F  0 (4.6) (v1  v4 ) a   163 F

F 4

v

a

F 32

v

a

F 64

1

4

F 64

Figura 4.16. Fuerzas actuantes en el eje A.

31

La Fig. 4.17 muestra el diagrama de cuerpo libre del eje B, de donde se obtiene:

v9 a  v7 a  (v5  v4 ) a  (v2  v1 ) a  321 F  161 F  643 F  ( 14 F  321 F )  641 F  0 1 (4.7) (v2  v5  v7  v9 ) a  (v1  v4 ) a  F  0 16

v

v

1

2

a

F 32

v

v

4

5

a

F 16

F 4

v

a

F 32

v

a

3F 64

7

9

F 64

Figura 4.17. Fuerzas actuantes en el eje B. Las Eqs (4.6) y (4.7) representan un sistema de ecuaciones indeterminado, por lo que es conveniente recurrir al empleo del teorema del límite inferior, es decir cumplir con el equilibrio y que en ninguna sección la demanda de resistencia exceda a la capacidad. Con base en esta hipótesis se supone:

v1  v4 y v2  v5  v7  v9

(4.8) (4.9)

Las expresiones (4.8) y (4.9) se obtuvieron empleando el criterio simplista de igualar cortantes en tableros con geometrías semejantes. De las Eqs (4.6) y (4.8) se obtiene:

v1  v4   323 F / a

(4.10) 32

De las Eqs (4.7) y (4.9) se obtiene:

v2  v5  v7  v9   161 F / a

(4.11)

Es de interés demostrar que otra ecuación de equilibrio sería una del tipo redundante. Por ejemplo, la Fig. 4.18 muestra el diagrama de cuerpo libre del eje C, de donde se obtiene:

 321 F  161 F  161 F  161 F  321 F  (v2  v5  v7  v9 ) a  0 (4.12) (v2  v5  v7  v9 ) a   14 F Se observa que la Eq (4.12) es una combinación de las Eqs (4.6) y (4.7), es decir es redundante.

v

-v

2

3

a

F 32

v

5

-v 6

a

F 16

7

-v

a

v

-v

a

F 16

8

F 16

v

9

10

F 32

Figura 4.18. Fuerzas actuantes en el eje C.

Con los valores de los cortantes vi dados por las Eqs (4.10) y (4.11), y con la distribución de cortantes que se muestra en la Fig. 4.15, se obtienen los cortantes en los paneles del diafragma que se muestran en la Fig. 4.19.

33

A

B

C

E

D

F

5 3F 32a

F 16a

0

F 16a

3F 32a

3F 32a

F 16a

0

F 16a

3F 32a

F 16a

0

F 16a

F 16a

0

F 16a

4

3

2

1 Figura 4.19. Distribución y valores de cortantes en los paneles del diafragma 4.4.3 CÁLCULO DE LAS FUERZAS NORMALES EN LAS BARRAS DE LOS PANELES DEL DIAFRAGMA. Con la información de cortantes mostrada en la Fig. 4.19, y considerando el equilibrio de fuerzas en una barra, ver por ejemplo la Eq. (4.2) (para la barra mostrada en la Fig. 4.14), es posible obtener los valores de las fuerzas normales actuantes en las diversas barras que definen los paneles en que se ha dividido la planta del diafragma en estudio. Como se ha mencionado estas fuerzas normales en la barra en general son variables en la longitud de ésta, debido a que deben equilibrar la fuerza cortante por unidad de longitud en la barra. Con este procedimiento se obtuvieron los valores de las fuerzas normales en las barras de los paneles del diafragma que se muestran en la Fig. 4.20. El signo positivo en estas fuerzas indica tracción, y el negativo indica compresión. Para ilustrar el procedimiento empleado para llegar a los resultados mostrados en la Fig. 4.20, se calcularán las fuerzas normales en la barra vertical de longitud a del extremo inferior del eje B, entre ejes 4 y 5, ver Figs. 4.13 y 4.19. En el extremo superior de esta F barra actúa la fuerza  , ver Fig. 4.13, y en las caras laterales de esta barra actúan los 32

34

3F F y , ver Fig. 4.19, por lo que el valor de la 32 a 16 a fuerza normal en el extremo inferior de esta barra, Nj, considerándola en tensión, se puede obtener de la siguiente ecuación de equilibrio: cortantes por unidad de longitud

F 3F F  (a )  (a )  0 32 32 a 16 a de donde se obtiene Nj 0 N j 

El valor anterior es el graficado en la Fig. 4.20 para la barra en estudio Con los resultados obtenidos es posible diseñar tanto los paneles y barras críticas del diafragma en estudio. Sin embargo, para las zonas del diafragma con aberturas es necesario un diseño y detallado especial, que se desarrolla posteriormente

A

B

C - 5F 32

- 5F 32

- 3F 32 -F 64

5

4

3

-F 32

-F 32

F 32

- 7F 64

7F -F 64 16

F 64

-F 32

-F 32 -5F 64

F 32

-F 32

3F 32

2

1

F 32

-9F 64

5F -F 64 32

F 32

F 64

F 16

Figura 4.20. Fuerza normales en las barras de los paneles del diafragma. Compresión (-), tensión (+)

35

4.5 DISEÑO DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO CON SISTEMA DE PISO PREFABRICADO. De la Tabla 4.9 se obtiene el valor de la fuerza inercial en la azotea, Fn , empleando el procedimiento de cálculo de fuerzas inerciales horizontales de la propuesta de diseño sísmico de diafragmas en edificios. 4.5.1 DISEÑO DEL DIAFRAGMA EMPLEANDO ACERO DE REFUERZO GRADO 4200. En aa Tabla 4.9 con el empleo de acero de refuerzo grado 4200 y el valor Rs=2, se obtiene Fn  0.28 , donde es Wn el peso del nivel azotea. Considerando el factor de carga de 1.1 Wn para la condición de diseño por sismo, se obtiene la fuerza inercial horizontal de diseño, F, igual a: F  1.1 Fn  1.1 (0.28) Wn  1.1 (0.28) (1090.7t )  336t Los paneles entre los ejes E y F tienen una fuerza cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F , ver Fig 4.19. Este valor es igual a: 32 a

3F 3 336000 kg kg   3,706 32 a 32 8.5 m m De acuerdo con las NTCC los diafragmas se diseñarán con “los criterios para vigas comunes o vigas diafragmas, según su relación claro peralte” (sección 6.6.4). El ACI 31811 especifica que los diafragmas se diseñarán con los criterios de vigas comunes (sección 21.11.9.1), por lo que se empleará este último criterio por ser más conservador. Se empleará las expresiones de las NTCC para vigas comunes, se considera que en 1 m de longitud del firme actúa Vu=3,706 kg. La expresión de diseño por cortante considera la suma de la contribución al cortante del concreto, VcR, y del acero, VsR, es decir: Vu  VcR  VsR donde VcR, se calcula con: q

VcR  0.5 FR b d f c* VcR = 0.5 (0.8)(100 cm) (6 cm)√(0.8x400) = 4,290 kg y la resistencia al cortante del acero requerida es: VsR = Vu - VcR = 3,706g – 4,290 kg = -584 kg El resultado obtenido indica que se debe emplear el refuerzo mínimo para resistencia cortante, por ejemplo, si se emplea varilla de refuerzo 3/8” con fy=4200 kg/cm2 con separación máxima de 35 cm (sección 6.6.5 de las NTCC) y un firme de 6 cm de espesor, la cuantía correspondiente es 0.00254. Este valor es aproximadamente igual al mínimo requerido para resistencia por cortante, 0.0025, mínimo especificado en las secciones 10.4 y 6.6.5 de las NTCC, por lo que por resistencia se acepta este refuerzo 3/8” a 35 cm. Los otros paneles del diafragma, con cortantes menores, también se diseñarán por resistencia con el mismo refuerzo de este caso.

36

Si se consideran las recomendaciones propuestas de cuantía mínima por cambios volumétricos en elementos expuestos a la intemperie, como es el caso del nivel azotea, se requeriría el valor 21/fy, es decir 0.005, que para el caso en estudio corresponde a 3.0 cm2/m, es decir varilla 3/8” una separación de 23.7 cm, por lo que se sugiere emplear en todo el diafragma refuerzo de diámetro 3/8” y una separación de 25 cm. La Fig 4.21a muestra de manera gráfica el acero de refuerzo distribuido en el firme requerido para la condición de sismo en Y y por cambios volumétricos en esta dirección, para los casos de acero de refuerzo fy= 4,200 kg/cm2. . 4.5.2 DISEÑO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO CON SISTEMA DE PISO PREFABRICADO. EMPLEO DE MALLA ELECTROSOLDADA De la Tabla 4.9 se obtiene el valor de la fuerza inercial en la azotea, Fn , empleando el procedimiento de cálculo de fuerzas inerciales horizontales de la propuesta de diseño sísmico de diafragmas en edificios y considerando el caso de empleo de malla F electrosoldada (Rs=2). En esta Tabla se obtiene n  0.56 , donde es Wn el peso del nivel Wn azotea. Considerando el factor de carga de 1.1 para la condición de diseño por sismo, se obtiene la fuerza inercial horizontal de diseño, F, igual a:

F  1.1 Fn  1.1(0.56) Wn  1.1(0.56) (1090.7t )  672 t Este valor es el doble del caso correspondiente a refuerzo del firme con acero de refuerzo , lo que se debe al diferente valor de Rs requerido para el diseño dependiendo del tipo de refuerzo en el firme. Los paneles entre los ejes E y F tienen una fuerza cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F , ver Fig 4.19. Este valor es igual a 32 a

q

3F 3 672000 kg kg   7, 412 32 a 32 8.5 m m

Para VcR en una longitud de firme de 1 m se calculó el valor 4,290 kg: y la resistencia al cortante del acero requerida en esta longitud de firme es: VsR = Vu - VcR = 7,412 kg – 4,290 kg = 3,122 kg Si se emplea malla electrosoldada de fy = 5000 kg/cm2 , el área requerida en una longitud de 1 m es:

V d 3,122 kg  sR   0.78 cm2 2 s FR f y 0.8(5000kg / cm ) Esta area corresponde a una cuantía de Av

37

p

Av 0.78 cm2   0.0013 100cm * t 100cm *6cm

Tomando en cuenta la recomendación de cuantía mínima por cambios volumétricos en elementos restringidos a la contracción, se requeriría el valor 21/5000= 0.0042, que para el caso en estudio corresponde a 2.52 cm2 /m. Se empleará una malla electrosoldada  8.74 mm a 25 cm, que corresponde a 2.40 cm2/m. Esta malla, como otras que se emplean en estos ejemplos son ofrecidas por un conocido proveedor de mallas de ingeniería en México. Se debe observar que se está empleando una separación de malla de 25 cm., valor igual al máximo especificado en la sección 6.6.5 de las NTCC correspondiente a diafragmas. Se debe mencionar que esta sección está equivocada, ya que especifica una separación máxima de la malla de 25 cm. El ACI 318-11, en su sección 21.11.7.1, especifica (desde la versión del ACI 318-99) que esta separación debe ser mayor que 25 cm. Esto debe ser tomado en cuenta en diseños de mallas electrosoldadas en México, ya que seguramente el error mencionado de las NTCC deberá ser corregido en un futuro. La Fig 4.21b muestra de manera gráfica la malla electrosoldada distribuida en el firme requerido para la condición de sismo en Y. 4.6 REVISIÓN POR FLEXO-TRACCIÓN DE LAS TRABES EN EL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA El considerar que actúan elementos mecánicos en el diafragma, como es el caso del método del panel y barra, implica que el diafragma se deforma, lo que lleva a que en las trabes existan fuerzas adicionales en tracción, que actúan en la periferia de los paneles en los cuales se emplea el método, como se ha mostrado en el desarrollo del diseño del diafragma que aquí se muestra. Por este motivo, cuando la estructura responde a acciones sísmicas, en este caso de deformación del diafragma, las trabes además de momentos flexionantes estarán sometidas a fuerzas de tracción, es decir las trabes se deben revisar para el caso de flexo-tracción. Esta condición de diseño no es usual en el proceso convencional de diseño sísmico de edificios de concreto reforzado, por lo que en los ejemplos de este trabajo se dan expresiones aproximadas para su solución o se especifican los casos en que es necesario emplear diagramas de interacción momento-carga axial en tracción. Con el propósito de simplificar el diseño para esta condición de elementos mecánicos en las trabes, en lo que sigue se considera un diagrama de interacción lineal entre el momento flexionante resistente en la trabe para carga axial cero y el caso de tensión pura. Además, se acepta la hipótesis de que se debe diseñar por capacidad, es decir se considera para el refuerzo el valor 1.25 fy, y un factor de reducción de resistencia igual a 1. Las consideraciones anteriores llevan a que es posible ignorar el efecto de la tracción en las trabes si se cumple la siguiente condición Tu ≤ 0.25Ag fy st

(4.13) 38

En el caso que no se cumpla con la relación anterior, se debe revisar si no se requiere refuerzo longitudinal adicional, para lo cual se debe verificar la siguiente condición aproximada de interacción momento flexionante y carga axial en tracción: Tu ≤ 1.25Ag fy st (1-Mu /M pr)

(4.14)

donde st : cuantía de refuerzo longitudinal total, igual a la cuantía considerando todo el refuerzo en la sección en estudio. Tu: tracción actuante Mu: momento actuante Mpr: resistencia probable a flexión de la trabe. Ag: área bruta de la sección transversal del elemento. La resistencia probable a flexión de la trabe (Mpr) se calcula de forma similar que la resistencia convencional de trabes, con la diferencia que se emplea la hipótesis de que se debe diseñar por capacidad, es decir, se debe emplear un factor de reducción de resistencia (FR) igual a 1, y la resistencia de fluencia, fy , del acero de refuerzo, se debe considerar amplificada por el factor 1.25. Cuando no se cumplan las condiciones anteriores, se calcula de manera aproximada la cuantía requerida por flexo-tracción con la siguiente expresión:

st = Tu/[1.25Ag fy (1-(Mu/Mpr)) ]

(4.15)

Se sugiere limitar la cuantía st a una cuantía máxima de 4%. Se debe mencionar que en las expresiones anteriores, por simplicidad en los cálculos iniciales se está empleando la cuantía inicial de refuerzo propuesta sólo por flexión. Es necesario controlar el incremento del momento resistente por flexo-tracción de la trabe, con el fin de que con el concepto de diseño por capacidad, la trabe no quede subdiseñada por cortante. Para ello se recomienda limitar la cuantía adicional de refuerzo por flexo-tensión a un máximo de 30% de la cuantía inicial de refuerzo longitudinal de la sección, es decir Δρ ≤ 30% st. El criterio de diseño que se recomienda es que para verificar la capacidad de la sección por flexo-tracción, si la cuantía adicional excede el límite indicado, es necesario emplear el diagrama de interacción correspondiente 4.6.1 TRACCIÓN MÁXIMA QUE DE ACUERDO CON EL PROCEDIMIENTO APROXIMADO SE PUEDE IGNORAR EN TRABES EN FLEXO-TRACCIÓN Para el edificio analizado, la cuantía del refuerzo longitudinal total de las trabes de 50x80, con refuerzo mínimo de 31” en ambos lechos, es igual a:

st = 2*3*5.07/(50*80) st = 0.0076 39

La tracción en la trabes de 50x80, de cualquier nivel, se ignora si el valor es menor que el siguiente valor (ec 4.13): 0.25(50 cmx80 cmx4200 kg/cm2 x0.0076) x10-3 t/kg = 32 t Este valor se emplea para verificar posteriormente en algunas trabes del nivel de azotea si la resistencia por flexo-tensión es adecuada. 4.7 DISEÑO DE LA UNIÓN FIRME-MURO ESTRUCTURAL Como se aprecia en las Figs. 4.15 y 4.19, en la interface muro estructural y firme en el tablero crítico en estudio, existe un cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F/32 a. Como se ha comentado, para tomar en cuenta el concepto de diseño por capacidad, para el diseño de esta zona se debe emplear la fuerza Rs(3F/32a) ó 7,412 kg/m. Se acepta la hipótesis de que esta fuerza cortante es resistida a cara del muro por el mecanismo de resistencia a fuerza cortante por fricción. Esta resistencia, VR, se calcula como (sección 2.5.10.2 de las NTCC):

VR  FR  Avf f y

(4.16)

donde: FR = factor de reducción de resistencia  = coeficiente de fricción Avf = área de refuerzo por cortante por fricción fy = esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo En la expresión anterior se está suponiendo que no existe fuerza de compresión normal al plano crítico por cortante, Nu. En este ejemplo se supone que el firme es colado después de que se ha colado el muro de concreto. Con esta hipótesis se emplea el valor de  igual a 1.0 correspondiente al caso de concreto colado contra concreto endurecido. Con el valor calculado de q y la ec 4.16 se obtiene el refuerzo necesario, Avf; en un ancho de losa de 1 m ó 100 cm:

7,412 kg  0.8 (1.0) Avf 4200

kg cm2

Avf = 2.2 cm2 Si se emplea refuerzo 3/8”, la separación requerida, s, del refuerzo será 100 cm (0.71cm2 ) s  32.3 cm 2.2cm2

40

Sin embargo, este refuerzo mínimo por cambios volumétricos requiere un espaciamiento mínimo de 25cm, por lo tanto el cortante resistente será: VR = (100cm*0.71cm2/25cm)*0.8*1.0*4200kg/cm2 = 9,452 kg > 7,412 kg, OK Además, se debe verificar que la fuerza cortante resistente no debe exceder alguno de los valores que resultan de aplicar las dos siguientes expresiones (sección 2.5.10.2 de las NTCC), donde A es el área de la sección definida por el plano crítico, en este caso A= 100cmx6cm=600 cm2: a) VR = 0.25 FR f*c A = 0.25 (0.8)(0.8x400kg/cm2)(600cm2)=38,400 kg b) VR  FR 14 A  0.8( Avf f y )   0.8 14 x800cm2  0.8(2.78cm2 x4,200kg / cm2 )   16,430kg Se acepta la resistencia a fuerza cortante por fricción de 9,452kg, por ser menor que los dos últimos valores de VR.

41

A

B

C

D

E

F

5 Ø3/8"@25cm

4

En todo Ø3/8"@25cm

3 Ø3/8"@25cm

2

1 a) Acero de refuerzo fy=4,200 kg/cm2 A

B

C

D

E

F

5 Ø3/8"@25cm

4

En todo malla Ø8.74mm@25cm

3 Ø3/8"@25cm

2

1

b) Malla electrosoldada (fy=5000 kg/cm2) Figura 4.21. Refuerzo en la interface muro-firme y en el firme de nivel azotea requerido por análisis en la dirección Y

42

4.8 EMPLEO DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL DISEÑO DE DIAFRAGMA DEBIDO A LA ACCION DE FUERZAS INERCIALES El método de elementos finitos se empleó para la evaluación de esfuerzos en el diafragma debido a la acción de fuerzas inerciales. La Fig. 4.22 muestra la distribución de fuerzas inerciales actuantes en el diafragma para el caso de análisis con elementos finitos con el programa SAP (CSI, 2005). Como se aprecia en la Fig. 4.22, la distribución de fuerzas es la misma que la empleada para el análisis del diafragma con el método del panel-barra mostrado anteriormente. El elemento finito empleado para representar al firme fue el elemento shell del programa SAP. La Fig. 4.23 muestra resultados de valores y direcciones de esfuerzos principales necesarios para resistir las acciones mostradas en la Fig. 4.22. Esta información se empleó también para definir el refuerzo necesario en el diafragma empleando el método del puntal y tirante, que se desarrolla a continuación.

F 16 F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

F 16

y x Figura 4.22. Elementos finitos empleados para el análisis del diafragma y distribución de fuerzas actuantes

43

x

Figura 4.23. Resultante obtenido con el método de los elementos finitos Los resultados de los programas que usualmente se emplean con el método de elementos finitos en el caso de esfuerzos se dan en términos de esfuerzos principales, lo que dificulta el diseño del refuerzo para resistir estos esfuerzos ya que el acero de refuerzo sigue las direcciones X y Y , en general diferentes a las direcciones principales. Por esta razón, en este ejemplo se prefirió no llevar a cabo el cómputo del acero de refuerzo empleando el método de los elementos finitos, y sus resultados se empelaron sólo para definir las direcciones de los puntales y tirantes en la aplicación de este método. 4.9 EMPLEO DEL METODO DEL PUNTAL Y TIRANTE PARA LA EVALUACIÓN DE FUERZAS INTERNAS EN EL DIAFRAGMA DEBIDO A LA ACCION DE FUERZAS INERCIALES La Fig 4.24 muestra resultados de aplicar el método del puntal y tirante para encontrar las fuerzas en tracción o compresión que deben resistir a la fuerza inercial en el diafragma, F, en la dirección Y de éste. Se aprecia en esta Figura que la fuerza en tracción máxima se ubica entre los ejes 3 y 4, y es igual a 0.313 F. Si se considera que esta fuerza en tracción se desarrolla en un ancho de 8.5 m (medido en la dirección perpendicular a la fuerza), esta fuerza por unidad de ancho, Tu, es igual a:

Tu 

0.313F 0.313(336000kg )   12,373 kg / m L 8.5m 44

Si se emplea acero de refuerzo con fy= 4200 kg/cm2, 3/8” (As =0.71cm2 ), la separación requerida es:

s

100cm (1.27cm2 ) (4200kg / cm2 )  24.1cm 12,373kg

La cuantía que corresponde a este refuerzo es 0.0047, se va tomar una separación de 25cm. Esta cuantía es mayor que la mínima requerida por cortante, 0.0025, y aproximadamente igual que el valor recomendado como mínimo por cambios volumétricos, 0.005. Entre los ejes 4 y 5 la fuerza máxima en tracción es 0.25F, valor que se considera cercano al valor anterior calculado para el caso entre los ejes 3 y 4, por lo que entre los ejes 4 y 5 se propone emplear el mismo armado calculado para el caso entre los ejes 3 y 4. Entre los ejes 1 y 2 actúa la fuerza en tracción máxima igual a 0.188F, ver Fig. 4.24, siguiendo el procedimiento anterior se obtiene que el refuerzo necesario entre los ejes 1 y 2 es 3/8”a 40 cm, usar separación a 25 cm, que corresponde a una cuantía de 0.0047. Entre los ejes 2 y 3 la tensión máxima es 0.125F, Fig. 4.24. Con el procedimiento anterior se obtiene que el área de acero de refuerzo en la dirección horizontal entre los ejes 2 y 3 es 3/8”a 24 cm, usar separación a 25 cm. Este refuerzo corresponde a una cuantía de 0.0047, valor que es mayor que los mínimos requeridos por cortante y cercano al requerido por cambios volumétricos, 0.005. Si se emplea malla electrosoldada, con fy = 5000 kg/cm2, para el caso entre los ejes 3 y 4, el area de malla por metro de ancho, Am, que se requiere para resistir la fuerza en tracción de 12,373 kg es

24,745 kg  4.95 cm2 5000 kg / cm2 En el mercado nacional actualmente no existe malla que cumpla con el valor requerido de 4.95cm2/m y con separación mayor de 25 cm por lo que con los resultados del método del puntal y tirante no sería posible emplear malla electrosoldada. La Fig. 4.25 muestra el armado requerido con acero de refuerzo fy = 4200 kg/cm2 que resulta de aplicar el método del puntal y tirante en el diafragma nivel azotea para el caso de sismo en la dirección Y. Am 

45

A

B

C

D

E

F

5 0.25 F

0.188 F 16 7 17 0.

8 08 0.

F

F

F

7.00

16

16 0.188 F

F

F

16

F

16

0.125 F

7 17 0. F

8 08 0.

F

0. 04 4

F

F

F

F

7.00

16

F

F

16

F

4

F

16

0. 17 7

F

4

16

0.313 F 4 04 0.

4 04 0.

F

16

F

0.313 F

3

F

0. 04 4

16

F

0. 04 4

16

F

0. 17 7

F

F

4

F

2

F

16

F

F

4

F

16 4 04 0.

4

F

0.25 F

F

F

16

0. 08 8

F

16

0.188 F

1 Figura 4.24. Aplicación del método del puntal y tirante sin considerar aberturas en el diafragma

46

A

B

C

D

E

F

5 Ø3/8"@25cm

4

3

2

Ø3/8"@25cm

Ø3/8"@25cm

1

Figura 4.25. Refuerzo en el firme de nivel azotea requerido al aplicar el método del puntal y tirante para el caso de sismo en la dirección Y.

La Fig. 4.26 muestra resultados de aplicar el método del puntal y tirante considerando el caso del diafragma con aberturas. Como se aprecia en los resultados mostrados en Fig. 4.26, la diferencia entre estos resultados y los que dan el método del puntal y tirante para el diafragma sin aberturas, Fig. 4.26, se observa sólo en la zona del diafragma con aberturas. La Fig. 4.26 muestra que la tracción máxima en la zona del diafragma con aberturas es 0.279F, es decir:

0.279F  0.279*336,000kg  93,744kg El área de acero requerida, As, para resistir esta tracción es:

As 

93,744 kg  22.3 cm2 2 4200 kg / cm

Esta área corresponde a un refuerzo igual a 83/4” (22.8 cm2). Esta cantidad de varillas es difícil de acomodar en un ancho razonable y en un espesor de firme de 8 cm, por lo que se recomienda emplear como alternativa de solución el método del panel-barra que se desarrolla en detalle en la siguiente sección.

47

0. 08

7F

8F

17

0.

F

5.00

F

16

0.313 F

0.188 F

04

4F

0.

04

4F

0.313 F 0.

4.00

F

16

0.

16

4F

4F

04

0 .2 5 8

F

F

16

17

F

3.50

7F

4

04

16 79 F

0.

F

0.

0 .2

26.6°

8F

7.00

08

7

F

0.188 F 16

14.0°

4F

4

0 .2

0.25 F 16

04

F

9F

F

F

16

0.

0 .2 5 8

F

16

F

0.25 F

0.

F

16

6.00

F

16

F

F

16

16

0.125 F

0.

F

0.

8F

17

7F

08

7F

17

0.

7.00

F

16

16

0.

16

F

7F

4

F

17

F

4

0.188 F

Figura 4.26. Modificación del método del puntal y tirante para considerar el efecto de las aberturas

48

4.10 CÁLCULO DE ELEMENTOS MECÁNICOS (CORTANTES Y FUERZAS NORMALES) EMPLEANDO EL MÉTODO DEL PANEL Y BARRA EN LA ZONA DE DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA CON ABERTURAS DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON SISTEMA DE PISO PREFABRICADO Los tableros del diafragma que se encuentran entre los ejes A y B, y 3 y 5, Figs. 4.27 y 4.34, tienen aberturas. El ejemplo que aquí se desarrolla muestra el diseño de estos tableros.

F 64

A´

B´

0

0

B F 32

5

v

v

v

v

v

v

v

F 16a

1,3

1,2

1,1

3F 32

0.7a

A

0.3a

5´

4´

1,4

0 F 16

1,5

v

4,2

4,1

0.3a

7F 32

0.2a

4

4,3

3´ F 16a

0

0.5a

v

4,4

3F 32

3 F 64

0.3a

0.3a

0

0.4a

F 32

Figura 4.27. Distribución del flujo de cortante en los paneles adyacentes a las aberturas del diafragma La Figura 4.27 muestra la distribución de flujo de cortante y fuerzas, que se proponen en esta zona del diafragma con aberturas, ver Fig. 4.13. Como se aprecia en la Fig. 4.27 se 49

proponen nueve paneles con sus cortantes correspondientes. Considerando la solución anterior de paneles sin aberturas, en éstos actuaban los cortantes v1 y v4, Fig. 4.15. En la notación que se está empleando en la Fig. 4.27, el primer subíndice de los cortantes indica que es la misma zona donde actúa el cortante v1 o v4 en la solución de paneles sin aberturas anteriormente desarrollado. Se necesita conocer nueve cortantes. Se necesitarían nueve ecuaciones de equilibrio; sin embargo, para resolver el problema se harán algunas simplificaciones. El primer cortante que se calcula, por su simplicidad, es v4,4, el cual resulta del equilibrio en el eje 3, de la Fig. 4.28: 3F v4,4 (0.3 a )  0 (4.17) 32 5F v4,4   16 a

A

B

v

3F 32

4,4

3

0.3a

0.3a

0.4a

Figura 4.28. Fuerzas actuantes en el eje 3 A continuación se emplean cinco ecuaciones, que resultan del equilibrio en cinco ejes de esta zona del diafragma, ejes 5, A, B, B’ y A’, como se muestra a continuación: Del equilibrio en el eje 5, Figura 4.29, se obtiene:

v1,1 (0.3 a )  v1,2 (0.3 a )  v1,3 (0.4 a ) 

3F 0 32

(4.18)

A

B 3F 32

5

v

v

0.3a

0.3a

1,1

1,2

v

1,3

0.4a

Figura 4.29. Fuerzas actuantes en el eje 5

50

Del equilibrio en el eje A, Figura 4.30, se obtiene:

7F F F   0 32 64 64 3F (4.19) v1,1 (0.7 a )  v1,4 (0.6 a )  v4,1 (0.2 a )  v4,4 (0.5 a )  0 16 v1,1 (0.7 a )  v1,4 (0.6 a )  v4,1 (0.2 a )  v4,4 (0.5 a ) 

A F 64

v

v

1,4

v

0.2a

7F 32

v

0.5a

4

4,1

4,4

3 F 64

0.3a

0.3a

1,1

0.7a

5

0.3a

Figura 4.30. Fuerzas actuantes en el eje A

Del equilibrio en el eje B, Figura 4.31, se obtiene:

F F F F    (2a)  0 32 16 32 16a 3F v1,3 (0.7 a )  v4,3 (0.2 a )  0 (4.20) 16 v1,3 (0.7 a )  v4,3 (0.2 a ) 

51

B F 32

F 16a

v

0.3a

1,3

0.7a

5

0.2a

F 16

0.3a

0

4

v

4,3

0.5a

F 16a

3F 32

3

F 32

Figura 4.31. Fuerzas actuantes en el eje B Del equilibrio en el eje B’, Figura 4.32, se obtiene:

(v1,2  v1,3 )(0.7 a)  v1,5 (0.6 a)  (v4,2  v4,3 )(0.2 a)  0

(4.21)

52

B´

v

0.7a

v

v

0.2a

5

1,3

0.3a

1,2

v

1,5

0.3a

4

v

4,2

4,3

3´

Figura 4.32. Fuerzas actuantes en el eje B’ Del equilibrio en el eje A’, Figura 4.33, se obtiene:

(v1,1  v1,2 )(0.7 a)  (v1,4  v1,5 )(0.6 a)  (v4,1  v4,2 )(0.2 a)  v4,4 (0.5 a)  0

(4.22)

A´ 0

v

v

v

v

v

v

1,2

0.3a

1,1

0.7a

5

1,5

1,4

4,1

4,2

0.5a

v

0.2a

0.3a

4

4,4

3 0

Figura 4.33. Fuerzas actuantes en el eje A’ 53

Para simplificar el problema se admite las siguientes igualdades:

v1,1  v1,4  v4,1

(4.23)

v1,3  v4,3

(4.24)

Las expresiones anteriores se basan en el criterio simplista de igualar cortantes en tableros con condiciones de borde comparables. Reemplazando la Ec 4.23 y el valor ya conocido de v4,4 en la ec 4.19 se obtiene: 5F 3F v1,1 (1.5a )  ( )(0.5a )  0 16a 16 F v1,1   48a Reemplazando la ec 4.24 en la ec 4.20: 3F v1,3 (0.7a )  v1,3 (0.2a )  0 16 5 F v1,3   24 a De la ec 4.18: 1 F 5 F 3F ( )(0.3 a )  v1,2 (0.3 a )  (  )(0.4a)  0 48 a 24 a 32 De la ec 4.21: 5 F  5 F   1 F  (  72 a )  (  24 a )  (0.7 a )  v1,5 (0.6 a )  v4,2  (  24 a )  (0.2 a )  0 8F v1,5 (0.6a )  v4,2 (0.2a )  0 45 Se admite la siguiente hipótesis que lleva a una nueva ecuación:

v1,5  v4,2

(4.25)

Reemplazando la ec 4.25 en la anterior se tiene: 2F v1,5   9a Reemplazando valores de vi,j en la ec 4.22 se puede demostrar que ésta es redundante, ya que es la misma que la ec 4.21.

54

La Fig. 4.34 muestra la distribución y valores de las fuerzas cortantes actuantes en los nueve paneles en que se ha dividido la zona de diafragma con aberturas en el nivel azotea. La Fig. 4.35 muestra los valores de fuerzas normales actuantes en las barras verticales y horizontales de los paneles en esta zona.

A

A´

B

B´

5

F 48a

F 72a

5F 24a

5´

4

F 48a

2F 9a

F 48a

2F 9a

4´ 5F 24a

3´ 5F 16a

3 Figura 4.34. Distribución y valores de cortantes actuantes en los nueve paneles en que se ha dividido la zona de diafragma con aberturas en el nivel azotea.

55

A 5

A´

- 3F 32

-F 96

-F 160

-F 64

B

B´

-F 32

-F 16

5´

4 4´ 3´

- 7F 192

F 48 -F 96

35F 192

169F -16F 960 1440

5F 96 -F 12

- 2F 45 -7F 240

11F -5F 64 32

F 160

3

17F 240

7F -5F 1440 32

F 64

5F 32

7F 96 -F 32

3F 32

3F 32

Figura 4.35. Fuerzas normales en las barras de los paneles en que se ha dividido la zona de diafragma con aberturas en el nivel azotea.

56

4.11 DISEÑO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA CON ABERTURAS EN EL NIVEL AZOTEA EMPLEANDO RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA 4.11.1 Diseño de paneles con acero de refuerzo grado 4200 De los nueve paneles que se muestran en la Fig. 4.34 se seleccionaron tres paneles representativos, con el propósito de disminuir la variedad de armados en los nueve paneles. a) Panel entre ejes 3 y 3’ En este panel actúa el cortante 5F/16a, Fig. 4.34, por lo que el cortante por unidad de longitud, q, es:

q

5 F 5 336000kg   12,353kg / m 16 a 16 8.5m

Para un ancho de 100 cm, en el firme de 6 cm, anteriormente se calculó VcR= 4,290 kg, por tanto, como se ha visto anteriormente la contribución al cortante requerida del acero de refuerzo se calcula como:

VsR  Vu  VcR  12,353kg  4,290kg  8,063kg Si el refuerzo es  3/8”, la separación requerida es

s

0.8 (0.71 cm2 ) (4200kg / cm2 ) (100cm)  29.6 cm 8,063 kg

Usar  3/8” a 25 cm en esta zona. b) Panel entre ejes A’ y B’ con cortante

q

2F , Fig 4.34. 9a

2 F 2 336000kg   8,784kg / m 9 a 9 8.5m

VsR  Vu  VcR  8,784kg  4,290kg  4,494kg s

0.8 (0.71 cm2 ) (4200kg / cm2 ) (100cm)  53.1cm 4, 494 kg 57

Usar  3/8” a 25 cm en esta zona, así como en los paneles entre los ejes B y B’, por tener cortantes actuantes semejantes. A esta área de acero le corresponde una cuantía igual a 0.005, valor igual que el mínimo por cambios volumétricos, por lo que se acepta este refuerzo. c) Paneles restantes Los cortantes en estos paneles varían de

1 F 1 F a , Fig. 4.34, el cortante q de diseño 72 a 48 a

es:

q

1 F 1 336000kg   824 kg / m 48 a 48 8.5m

Este cortante es menor que VcR por lo que no se requiere refuerzo por cortante, se empleará la cuantía mínima 0.005. Usar  3/8” a 25 cm en los paneles entre ejes 4’ y 5, y A y A’, así como en el panel entre los ejes 5´y 5, y A’ y B, por tener cortantes actuantes semejantes, Fig 4.34. La Fig. 4.36 muestra el armado requerido en el firme de nivel azotea en la zona con aberturas al aplicar el método del panel-barra para el caso de sismo en la dirección Y.

A

A´

B´

B

5

Ø3/8"@25

5´

3/8"@25

4 4´ 3´ 3/8"@25

3 Figura 4.36. Acero de refuerzo requerido en el firme de nivel azotea en la zona del diafragma de azotea con aberturas, al aplicar el método del panel-barra para el caso de sismo en la dirección Y 58

4.11 REVISIÓN POR FLEXOTRACCIÓN DE TRABES 4.11.1 CASO EN EL QUE SE EMPLEA FIRME CON REFUERZO CONVENCIONAL La Figura 4.37 muestra, como resultado del diseño convencional de los elementos verticales en la estructura, el refuerzo convencional requerido por flexión en trabes del nivel de azotea. Con esta información se realiza la verificación por flexotracción en estos elementos, para el caso de refuerzo del firme con acero grado 4200.

59

Eje 5 A

B

8.50 2.00

1.00

3Ø1"

2.00

2Ø1"

2Ø1"

C

8.50

D

8.50

E

8.50

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

2.00

1.00

2.00

3Ø1"

2Ø1"

2Ø1"

2Ø1"

3Ø1"

F

8.50

2Ø1" 3Ø1"

Eje B

1

2

8.50

2.00

3Ø1"

1Ø1" 3Ø1"

3

8.50

3Ø1"

1Ø1"

2.00

2.00

3.00

2.00

1Ø1"

4

8.50

3Ø1"

2.00

3Ø1"

2.00

3Ø1"

1.00 1Ø1"

2Ø1"

2Ø1"

5

8.50

2Ø1"

1Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

Eje 3, zona con aberturas A

B

8.50

3.70

3Ø1"

1.00

8.50

2.00

2Ø1"

2Ø1" 3Ø1"

3Ø1"

C

D

8.50

3Ø1"

1.00

2.00

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

1.00

F

8.50

1.00

3.00

3Ø1" 2Ø1"

2Ø1"

2Ø1"

3.50

E

8.50

3.00

2Ø1" 3Ø1"

Figura 4.37. Refuerzo convencional requerido por flexión en trabes

61

a) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 5 (entre los A y B) En las trabes de 50x80 del tramo en estudio, el refuerzo longitudinal en el lecho superior, tanto izquierdo como derecho es de 51” (ver Fig. 4.37). En el lecho inferior tanto izquierdo como derecho el refuerzo longitudinal es de 31”, por lo tanto la cuantía total, st, es: st = (5+3)*5.07/(50*80) st = 0.010 El valor anteriormente calculado, para ignorar en esta trabe el efecto flexo-tracción, es 32 t. La tracción máxima actuante es 30 t (Fig. 4.38), valor menor que 32 t, por lo que se puede ignorar los efectos de la tracción en esta trabe. A

B

8.50 -45 t-m -25 t-m

5 10 t-m 31 t-m

(30 t)

3F/32 (31.5 t)

(2.4 t)

Figura 4.38. Eje 5, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

b) Diseño por flexo-tracción de la trabe que se encuentra en el eje 5 (entre los C y D) La cuantía de las trabes de 50x80 del tramo en estudio, con refuerzo mínimo de 31” tanto en el lecho superior como inferior (ver Fig. 4.39) es:

st = 2*3*5.07/(50*80) st = 0.0076 La tracción máxima actuante es 31.2 t (Fig 4.39), valor menor que 32 t, por lo que se pude despreciar los efectos de la fuerza de tracción en esta trabe.

62

C

D

8.50 -26 t-m

-27 t

5 13 t-m

(31.5 t)

12 t-m

(31.5 t)

5F/32 (31.5 t)

5F/32 (31.5 t)

Figura 4.39. Eje 5, trabe entre ejes C y D, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

c) Diseño por flexo-tracción de la trabe en el eje B, entre los ejes 2 y 3. A continuación se muestra la revisión de los cuatro casos que se presentan en la trabe. El refuerzo por flexión de las trabes de 50x80 en estudio, en el lecho inferior izquierdo es de 41”, mientras que en el lecho superior izquierdo el refuerzo es de 31” (ver Fig 4.37). La cuantía total de acero de refuerzo es: st = (4+3)*5.07/(50*80) st = 0.0089 Se revisa si la trabe requiere acero adicional por flexo-tracción: Lecho superior – izquierdo: Considerando Mpr = 55.70 t-m, el valor del momento actuante máximo, Mu, de 34 t-m (Fig. 4.40), y la ec (4.15):

st = 39/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-34/55.70)] st =0.0048 Podemos apreciar que la trabe no requiere cuantía adicional, st =0.0048 < 0.0089

Lecho inferior – izquierdo: El valor del momento resistente probable a flexión es Mpr = 73.40 t-m. El valor del momento positivo actuante en esta sección máximo, Mu, es 40 t-m (Fig 4.40), por lo que empleando la ec 4.15: 63

st = 39/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-40/73.40)] st =0.004 < 0.0089 El resultado obtenido quiere decir que no requiere cuantía de refuerzo adicional, el existente por flexión es suficiente. Lado derecho: A continuación se revisa el lado derecho de la trabe de 50x80. El refuerzo por flexión de esta trabe en el lecho inferior derecho es 31”, mientras que en el lecho superior derecho el refuerzo por flexión es 51”. La cuantía total de acero de refuerzo es:

st = (3+5)*5.07/(50*80) st = 0.010 En el extremo derecho se desprecia los efectos de la fuerza de tracción, debido a que presenta una tracción máxima, 28 t, menor que 32t.

2

3

8.50 3.50

5.00 -49 t-m

MURO

-34 t-m

B 40 t-m 9F/64 (47 t)

34 t-m

(39 t) (28 t) 5F/64 (26 t)

Figura 4.40. Eje B, trabe entre ejes 2 y 3, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

d) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 3, entre los A y B El refuerzo por flexión de las trabes de 50x80 en el lecho superior, tanto izquierdo como derecho es 51”, en el lecho inferior izquierdo el refuerzo de la trabe por flexión es 31” y en el lecho inferior derecho este refuerzo es 51” (ver Fig. 4.37). 64

La Figura 4.43 muestra la envolvente de demanda por flexión y tensión en la trabe del eje 3, tramo A-B, este tramo se encuentra en la zona de aberturas.

A

B

8.50 -63 t-m

-39 t-m

3 20 t-m

60 t-m

(2 t) (30 t)

3F/32 (32 t)

Figura 4.41. Eje 3, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial Se consideró el caso más crítico para la trabe, que corresponde lecho inferior – derecho. La cuantía total de acero de refuerzo es: st = (5+5)*5.07/(50*80) st = 0.0127 Sin embargo, las fuerzas de tracción en la trabe es menor que 32t, por lo tanto se desprecia su efecto. 4.11.2 CASO EN EL QUE SE EMPLEA FIRME CON REFUERZO DE MALLA ELECTROSOLDADA De acuerdo con lo comentado anteriormente se realiza la revisión de las trabes por flexotracción, se consideran los efectos de las aberturas en las trabes independientemente del tipo de refuerzo a emplear, en este caso el de malla electrosoldada. a) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 5 (entre los A y B) En este caso la fuerza de tracción en la trabe es mayor que 32t, por lo que hay que revisar el problema de diseño por flexo-tensión en esta trabe. Se revisa si la trabe requiere acero 65

adicional por flexo-tensión, para el caso más crítico, el cual se presentó en el lecho inferior derecho: Empleando la definición anteriormente dada para la resistencia probable a flexión Mpr, se obtiene: Mpr = 55.70 t-m El valor del momento actuante máximo, Mu, es 31 t-m (Fig. 4.42), por lo que empleando la ec 4.15: st = 60/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-31/55.70)] st =0.0064 Este valor de st es menor que la cuantía existente, 0.01, por lo que podemos concluir que la trabe no requiere acero de refuerzo longitudinal adicional.

A

B

8.50 -45 t-m -25 t-m

5 10 t-m 31 t-m

(60 t)

3F/32 (64 t)

(5 t)

Figura 4.42. Eje 5, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

b) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 5 (entre los C y D) La tensión máxima actuante es 64 t (Fig 4.43), valor mayor que 32 t, por lo que hay que revisar el problema de diseño por flexo tensión en esta trabe. Se revisa si la trabe requiere acero adicional por flexo-tensión:

66

C

D

8.50 -27 t

-26 t-m

5 13 t-m

12 t-m

(64 t) 5F/32 (64 t)

(64 t) 5F/32 (64 t)

Figura 4.43. Eje 5, trabe entre ejes C y D, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial La condición más crítica que se presentó en ésta trabe es la del lecho superior - derecho. Considerando Mpr = 55.70 t-m, el valor del momento actuante máximo, Mu , de 27 t-m (Fig. 4.43), y la ec 4.15:

st = 132/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-27/55.70)] st = 0.006 Este valor de st es menor que la cuantía existente, 0.0076, por lo que podemos concluir que la trabe no requiere acero de refuerzo longitudinal adicional. c) Diseño por flexo-tracción de la trabe en el eje B, entre los ejes 2 y 3. Se revisa si la trabe requiere acero adicional por flexo-tensión: Lecho superior – izquierdo: Considerando Mpr = 55.70 t-m, el valor del momento actuante máximo, Mu, de 34 t-m (Fig. 4.44), y la ec 4.15:

st = 78/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-34/55.70)] st =0.0096 Podemos apreciar que la trabe requiere cuantía adicional, adic =0.0096 – 0.0089 = 0.0007 adic = 0.0007*50*80 = 2.8 cm2, por lo que es necesario agregar pro flexotracción 4”, ver Figura 4.45. Lecho inferior – izquierdo: El valor del momento resistente probable a flexión es Mpr = 73.40 t-m. 67

El valor del momento positivo actuante en esta sección máximo, Mu, es 40 t-m (Fig 4.44), por lo que empleando la ec 4.15: st = 78/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-40/73.40)] st =0.0080 Este valor de st es menor que la cuantía existente, 0.0089, por lo que se concluye que el caso anterior es más crítico. Lecho superior – derecho: Con el valor Mpr = 89.16 t-m, el valor del momento actuante máximo, Mu, de 49.0 t-m (Fig. 4.44), y la ec 4.15 se obtiene: st = 56/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-49.0/89.16)] st =0.006 Podemos concluir que la trabe para este caso no requiere cuantía adicional, esto se debe a que la cuantía total que tiene la trabe (0.010) es suficiente. Lecho inferior – derecho: Con el valor Mpr = 55.7 t-m, el valor del momento actuante máximo, Mu , de 34 t-m (Fig. 4.44), y la ec 4.15 se obtiene:

st = 56/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-34 / 55.70)] st =0.007 Podemos apreciar que la trabe para este caso no requiere cuantía adicional, esto se debe a que la cuantía que tiene la trabe (0.010) es suficiente.

2

3

8.50 3.50

5.00 -49 t-m

MURO

-34 t-m

B 40 t-m 9F/64 (94 t)

34 t-m

(78 t) (56 t) 5F/64 (52 t)

Figura 4.44. Eje B, trabe entre ejes 2 y 3, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial 68

2

3

8.50 3Ø1"

B

2Ø1"

1Ø1"

2.00

4Ø3/8"

2.00

B

4Ø3/8" 3Ø1"

B-B (V50x80)

Figura 4.45. Eje B, refuerzo adicional de 4” en centro de la sección de la trabe entre ejes 2 y 3 Como podemos apreciar el caso más crítico corresponde al lecho superior – izquierdo, por lo que es necesario agregar por flexotracción 4”, Fig 1.42. d) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 3, entre los A y B Se consideró el caso más crítico para la trabe, que corresponde lecho inferior – derecho. Considerando Mpr = 89.16 t-m, el valor del momento actuante máximo, Mu , de 60 t-m (Fig. 4.46), y la ec (4.15):  st = 60/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-60/89.16)] = 0.009

A

B

8.50 -63 t-m

-39 t-m

3 20 t-m

60 t-m

(4t) (60 t)

3F/32 (64 t)

Figura 4.46. Eje 3, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial 69

Podemos concluir que la trabe no requiere refuerzo adicional, esto se debe a que la cuantía que tiene la trabe por flexión (0.0127) es suficiente. 4.12 ANÁLISIS EN LA DIRECCIÓN X Para el análisis del diafragma para acciones sísmicas en la dirección X se procede de forma similar que la efectuada en la dirección Y. La Figura 4.47 muestra las fuerzas actuantes en el diafragma considerando la dirección X. Se emplea la hipótesis simplista de que las fuerzas de reacción en los dos muros orientados en la dirección X, y ubicados en los ejes 2 y 4, son proporcionales a las áreas tributarias que le corresponden a estos muros. Esto lleva a que a los muros en los ejes 2 y 4, les corresponden las fuerzas de reacción 3F/8 y 5F/8, respectivamente. Las fuerzas que le corresponde a los nodos de cada panel se indican también en la Figura 4.47. La Figura 4.48 muestra el flujo de las fuerzas cortantes en los paneles y las fuerzas axiales en las barras del diafragma que se propone, para acciones de fuerzas sísmicas en la dirección X. Para valuar estas fuerzas, se llevó a cabo el mismo procedimiento anteriormente descrito para acciones de fuerzas sísmicas en la dirección Y, por lo que sólo se muestra los resultados de valuar el equilibrio en los paneles y barras. Con propósitos de comparación, la Fig. 4.49 muestra valores de flujo de cortante en los paneles del diafragma para ambos casos de fuerzas sísmicas en las direcciones X y Y. En la dirección Y los valores del flujo cortante en los paneles son mayores que los obtenidos para la acción de fuerzas en la dirección X, ver Figura 4.49, excepto para la zona de aberturas, como se mostrará posteriormente. También con fines de comparación, la Figura 4.50 muestra los valores de las fuerzas axiales en las barras para ambos casos de fuerzas sísmicas en las direcciones X y Y. Las mayores fuerzas axiales en las barras ocurren para acciones de fuerzas en la dirección X; sin embargo, para acciones en la dirección Y estas fuerzas se distribuyen en más barras y pueden ser las predominantes para el diseño por flexo-tracción.

70

5

A

B

C

D

E

F

F 64

F 32

F 32

F 32

F 32

F 64

F 16

F 16

F 32

4

F 16

F 16

F 16

F 16

1

F 64

3F 64

F 16 F 32

F 16

F 16

F 64

F 16

F 16

F 16

F 16

F 32

F 16

F 16

F 16

F 32

F 16

F 16

F 16

F 16

2

F 16

5F 8

F 16

3F 64

F 64

3

F 16

3F 8

F 16

F 32

F 32

F 64

Figura 4.47. Fuerzas actuantes en la dirección X

5

A

B

C

D

F 64

F 32

F 32

F 32

v

v

1

4

F 32

F 16

v

6

F 64

v 2

F 32

1

F 64

F 32

3F F 8 16

v

15

F 32

F 64

13

v

14

10

v

12

v

F 32

v 3F 64

F 16

F 16

5

9

v

11

v

v

8

F 64

F 16

5F F 8 16

F 16

3F 64

F 32

4

v

7

F

v

3

F 16

v 3

v

2

E

16

F 32

F 64

Figura 4.48. Distribución del flujo de cortante en los paneles del diafragma para fuerzas actuantes en la dirección X 71

A

B

C

E

D

F

5 F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

F 32a

4

3

2

1 (a)

A

B

C

E

D

F

5 3F 32a

F 16a

0

F 16a

3F 32a

3F 32a

F 16a

0

F 16a

3F 32a

F 16a

0

F 16a

F 16a

0

F 16a

4

3

2

1 (b) Figura 4.49. Distribución y valores del cortante en los paneles del diafragma. (a) Caso de fuerzas en la dirección X. (b) Caso de fuerzas en la dirección Y 72

A

-F 64

5

4

C

B

F 64

D

-F 64 F 64

-F 64 F -9F 64 32 -7F 32

F 64

E

F

-F 64

-F 64

-5F 32

F 64 -3F 32

-F 32 F 32

3

3F 32 5F 32 -F 64

F 64

7F 32 9F - F 32 32

F 32

-F 32

-F 32

F 32 F 32

1

-F 64

-F 32

-F 32

2

F 32

F 64

F 32 -5F 32 -3F 32

F 32

-F 32

3F 32 5F 32 -F 64

F 64

-F 64

F 64

-F 64

F 64

(a) A

B

C - 5F 32

- 5F 32

- 3F 32 -F 64

5

4

3

-F 32

-F 32

F 32

- 7F 64

7F -F 64 16

F 64

-F 32

-F 32 -5F 64

F 32

-F 32

3F 32

2

1

F 32

-9F 64

5F -F 64 32

F 32

F 64

F 16

(b) Figura 4.50. Distribución y valores de fuerzas axiales en barras del diafragma. (a) Caso de fuerzas en la dirección X. (b) Caso de fuerzas en la dirección Y 73

Dado que el flujo de cortante en los paneles obtenido para el caso de acción de las fuerzas en Y es mayor, en todos los paneles, que el obtenido por acción de fuerzas en la dirección X, se puede concluir que el diseño por cortante en los paneles está regido por la acción de las fuerzas en la dirección Y, por consiguiente para la losa del diafragma se empleará el armado que se muestra en la Figura 4.21, excepto en zona de aberturas, donde se debe realizar la correspondiente verificación. 4.12.1 ELEMENTO MECÁNICOS EN ZONA DEL DIAFRAGMA CON ABERTURAS DEBIDO A FUERZAS EN LA DIRECCIÓN X. La Figura 4.51 muestra la distribución propuesta del cortante en los paneles en la zona de aberturas para acciones de fuerzas en la dirección X. El valor de estos cortantes se obtuvieron de manera análoga al procedimiento mostrado en detalle para la dirección Y. Los resultados obtenidos se muestran en la Fig. 4.52 (a). Para propósito de comparación con estos resultados, la Fig. 4.52 (b) muestra también los cortantes obtenidos anteriormente en esta zona para la acción del sismo en Y.

A

B

B´

F 64

F 64

v

v

v

v

1,1

v

0.7a

5

A´

1,3

1,2

1,4

1,5

3F 64

v

v

v

v

4,1

4´

4,3

0

0.3a

4 4,2

v

4,4

4,5

3´

0.2a

F 32

0.3a

5´

0

0.5a

v

4,6

3

F 64

F 64 0.3a

0.3a

0.4a

Figura 4.51. Distribución del flujo de cortante en los paneles de la zona de aberturas para fuerzas actuantes en la dirección X 74

A

B

B´

F 64

F 32a

F 32a

A

A´

F 32a

F 48a

F 32a

5F 96a

5F 96a

5F 96a

5F 96a

29F 192a

7F 64a

3F 32

0.3a

4 4´ 7F 64a

3´

0.2a

F 32

0.3a

5´

5F 48a

3

F 64

F 72a

5F 24a

5´

4

F 48a

2F 9a

F 48a

2F 9a

4´ 5F 24a

3´

0.5a

F 32a

B

B´

5

0.7a

5

A´

F 64

5F 16a

F 64 0.3a

0.3a

0.4a

3

(a)

(b)

Figura 4.52. Valores del cortante distribuido en los paneles en que se ha dividido la zona de diafragma con aberturas en el nivel azotea. (a) Caso de fuerzas en la dirección X. (b) Caso de fuerzas en la dirección Y 4.12.2 REVISIÓN DE PANELES PARA EL CASO DE REFUERZO DEL FIRME CON ACERO GRADO 4200 Se revisan los paneles donde el cortante calculado para acciones en la dirección X es mayor que los obtenidos en la dirección Y. Este es el caso del panel entre ejes 5 y 5´, donde actúa el cortante igual a F/32a, Figura 4.52 (a), el cortante por unidad de longitud, q, es: q = F/32a = 336000kg/32 (8.5m) = 1,235 kg/m < 4,290 kg/m El panel entre los ejes 3' y 4' de la Figura 4.52(a) donde actúa el cortante 29F/192a se obtiene un valor para el cortante por unidad, q, igual a: q = 29F/192a = 29*336000kg/192 (8.5m) = 5,971 kg/m VsR  Vu  VcR  5,971kg  4, 290kg  1,681kg

75

0.8 (0.71 cm2 ) (4200kg / cm2 ) (100cm) s  142cm 1, 681kg Para un ancho de 100 cm, en el firme de 6 cm, anteriormente se calculó VcR = 4,290 kg, por tanto, como se ha visto anteriormente el refuerzo requerido será el mínimo,  3/8”, con separación a 25 cm, en conclusión rige el diseño para acciones de fuerzas en la dirección Y. Para el tablero entre los ejes 4 y 5’, el cortante por unidad de longitud, q, es, Fig 4.52: q = 5F/96a = 5 (336000kg)/96 (8.5m) = 2,059 kg/m <4,290 kg/m Como se ha visto anteriormente el refuerzo requerido será el mínimo,  3/8”, con separación a 25 cm, en conclusión rige el diseño para acciones de fuerzas en la dirección Y. De acuerdo con requerimientos por cambios volumétricos la cuantía mínima recomendada, para losas de 6 cm de espesor es igual a 0.005, la cuantía empleada es la siguiente: 0.71cm2/ (25 cm x 6 cm) = 0.0047 La cuantía obtenida de refuerzo es mayor a la mínima requerida y garantiza anchos de grieta menores que 0.3mm. La Figura 4.53 muestra el armado final resultante para el diafragma en la zona de aberturas, considerando acciones sísmicas en cada dirección.

A

A´

B´

B

5

Ø3/8"@25

5´

3/8"@25

4 4´ 3´ 3/8"@25

3 (a) Figura 4.53. Armado requerido en el firme de nivel azotea en la zona con aberturas al aplicar el método del panel-barra. 76

4.12.3 REVISIÓN DEL DISEÑO DE POR FLEXO-TRACCIÓN EN TRABES EN LA ZONA DE ABERTURAS DEL DIAFRAGMA Referente a las fuerzas axiales en las barras en la zona de aberturas del diafragma, con el propósito de comparar resultados de los casos de fuerzas sísmicas en las direcciones X y Y, la Figura 4.54 muestra resultados para estos casos. Posteriormente se realiza la revisión de las trabes considerando la condición de flexo-tracción en las mismas.

A

A´

A

B

B´

-F 64

5

5

A´

- 3F 32

-F 96

-F 160

-F 64

B

B´

-F 32

F 64

-F 16

-F 80

- F 160

5´

4 4´ 3´

5´

-7F 320

F 64

-F 64 F 32

49F 640

- 7F 192

169F -16F 960 1440

-7F 240

11F -5F 64 32

(a)

5F 32

7F 96

F 64

-F 32

3F 32

F

5F 96 -F 12

- 2F 45

F 160

3

F 48 -F 96

35F 192

7F 160

-F 64

3

4´ 3´

-F 64

5F 96

- 5F 96

3F 32

3F 32 -7F 160

-39F 640

-7F 320

4

-9F 320

17F 240

7F -5F 1440 32

3F 32

(b)

Figura 4.54. Fuerzas axiales en las barras de los paneles en que se ha dividido la zona de diafragma con aberturas en el nivel azotea. (a) Fuerzas sísmicas en la dirección X. (b) Fuerzas sísmicas en la dirección Y La Figura 4.55 muestra el refuerzo por flexión requerido por sismo en trabes del eje 4 del nivel de azotea. En lo que sigue, se lleva a cabo la verificación por flexo-tensión en estas trabes.

77

A

B

8.50

1.00

3Ø1"

4

2Ø1" 3Ø1"

C

8.50

2.00

3Ø1"

8.50

D

E

8.50

3Ø1"

2.00

2Ø1"

2Ø1" 3Ø1"

3Ø1"

F

8.50

1.00

3Ø1"

2.00

2Ø1" 3Ø1"

Figura 4.55. Refuerzo convencional por flexión en trabes del eje 4, nivel azotea

78

4.12.4 CASO CON REFUERZO CONVENCIONAL EN EL FIRME a) Diseño por flexo-tensión de la trabe del tramo A-B del eje 4 La Figura 4.56 muestra la envolvente de demanda por flexión y carga axial en la trabe del eje 4, tramo A-B, tramo que se considera crítico por estar en la zona de aberturas. Esta demanda de carga axial se obtuvo de los resultados mostrados en la Fig. 4.54 (a).

A

B

8.50

-21 t -10 t

4 3t 21 t

F/32 (13 t)

(15 t) (30 t)

3F/32 (32 t)

Figura 4.56. Eje 4, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección en X y demanda de carga axial

La cuantía total (lecho superior e inferior) en esta sección de la trabe es: st = (5+3)*5.07/(50*80) st = 0.010 La fuerza de tracción en esta trabe es menor que 32t, por lo que se desprecia sus efectos. b) Diseño por flexo-tensión de la trabe en el tramo B-C del eje 4 El refuerzo longitudinal de las trabes de 50x80, lado izquierdo, es de 51” en el lecho superior y 31”en el lecho inferior (Fig. 4.55). En el lado derecho de la trabe, el refuerzo por flexión en cada lecho es 31” (Fig. 4.55). Se considera que el caso más crítico para la trabe corresponde al lecho superior – izquierdo, por lo que en lo que sigue se revisa este caso. 79

La cuantía total (lecho superior e inferior) en esta sección de la trabe es: st = (5+3)*5.07/(50*80) st = 0.010 La tensión máxima actuante en la sección en estudio (lado izquierdo de la trabe) es 55 t (Fig. 4.57), valor mayor que 32 t, por lo que hay que revisar el problema de diseño por flexo-tensión en esta trabe. Esta demanda de carga axial se obtuvo de los resultados mostrados en la Fig. 4.50 (a). Se revisa si la trabe en la sección en estudio requiere acero de refuerzo adicional por flexo-tracción:

B

8.50

C

-60 t-m

-17 t-m

4 4 t-m

28 t-m

5F/32 (53 t)

7F/32 (74 t) (55 t)

Figura 4.57. Eje 4, trabe entre ejes B y C, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección en X y demanda de carga axial Considerando Mpr = 89.16 t-m y la ec 4.15:

st = 55/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-60/89.16)] st =0.008 < 0.01 Podemos apreciar que la trabe no requiere cuantía adicional, dado que ya tiene una cuantía de 0.01. 4.12.5 CASO CON REFUERZO DE MALLA ELECTROSOLDADA EN EL FIRME a) Diseño por flexo-tracción de la trabe del tramo A-B del eje 4 Se considera que el caso más crítico para la trabe corresponde al lecho inferior – derecho, por lo que en lo que sigue se revisa este caso. Considerando Mpr = 55.7 t-m y la ec 4.15: 80

st = 60/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-21/55.7)] st =0.0046 Podemos concluir que la trabe no requiere refuerzo longitudinal adicional, esto se debe a que la cuantía total que tiene la trabe (0.010) es suficiente.

A

B

8.50

-21 t -10 t

4 3t 21 t

F/32 (26 t)

(30 t) 3F/32 (64 t)

(60 t)

Figura 4.58. Eje 4, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección en X y demanda de carga axial b) Diseño por flexo-tensión de la trabe en el tramo B-C del eje 4 Se considera que el caso más crítico para la trabe corresponde al lecho superior – izquierdo, por lo que en lo que sigue se revisa este caso.

B

8.50

C

-60 t-m

-17 t-m

4 4 t-m

28 t-m

5F/32 (106 t)

7F/32 (148 t) (110 t)

Figura 4.58. Eje 4, trabe entre ejes B y C, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección en X y demanda de carga axial

Considerando Mpr = 89.16 t-m y la ec 4.15: 81

st = 110/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-60/89.16)] st =0.016 Podemos apreciar que la trabe requiere la cuantía adicional, adic =0.016 – 0.010 = 0.006, que corresponde a un área adicional requerida de acero de refuerzo, Aadic, igual a: adic = 0.006*50*80 = 24 cm2 El refuerzo longitudinal adicional que se requiere es 51”. Sin embargo, se va usar 61” para efectos de simetría del armado de la sección, además se va a verifica de forma ilustrativa mediante el diagrama de interacción P-M de la sección con el armado de 61” de refuerzo adicional para la condición requerida de flexotracción. De acuerdo con los resultados de la Fig. 4.59, este refuerzo es adecuado para resistir el momento de 60 t-m y la tracción de 110 t.

C

B

8.50

C

2Ø1"

6Ø1"

6Ø1"

3Ø1"

4 C

3Ø1"

C-C (V50x80)

(a)

(b) Figura 4.59. Eje 4. (a) Refuerzo longitudinal en el tramo B-C de la trabe. (b) diagrama de interacción de la sección de trabe con el refuerzo propuesto

82

4.13 CÁLCULO DE FUERZAS SISMICAS EN EL PLANO DEL DIAFRAGMA EMPLEANDO UN PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO En esta parte del trabajo se emplea la hipótesis simplista de que el diafragma tiene un comportamiento de viga. Se considera las acciones de fuerzas sísmicas en la dirección Y, y que éstas se reparten de manera uniforme en el eje 1 del edificio, además se acepta que el diafragma está en la condición de simplemente apoyada en los ejes de borde A y F, Fig. 4.60. Con estas hipótesis el diagrama de momentos flexionantes en el diafragma se muestra en la Fig. 4.61, con un momento máximo igual a M = 3F a/4. La Fig. 4.62 muestra los elementos mecánicos actuantes en la sección central del diafragma.

A

B

C

a

D

a

E

a

F

a

a

a

5

a

4

a

3

a

2 y

1 F 4

x

F 4

F 4

F 4

Figura 4.60. Acciones en la dirección Y

A

B a

C a

D a

E a

F a

Fa/2

Fa/2 3Fa/4

3Fa/4

Figura 4.61. Momento flexionante para acciones de en la dirección Y

83

T

jd

M

C F 4

F 4

Figura 4.62. Fuerzas internas en la sección central del diafragma para acciones en la dirección Y Del equilibrio en la sección central mencionada para el momento igual a 3Fa/4, se obtiene el valor de T igual a T= 3Fa / 4(jd) Empleando la siguiente aproximación para jd: jd = 0.9 (4a) se calculan los siguientes valores para F y jd F = 336000 kg jd = 0.9 (4)(8.5m) = 30.6 m por lo que el valor de T es: T = 3 (336000 kg) (8.5m)/4(30.6 m) = 7,000 kg

De acuerdo con los resultados mostrados en la Fig 4.20 (b), el valor de T con el modelo de panel-barra es 5F/32, es decir: 5F/32 = 52,500 kg En los resultados mostrados en la Fig 4.24, el valor de T con el modelo de puntal tirante es 0.25F, es decir 0.25F = 84,000 kg

84

4.13.1 COMENTARIOS De acuerdo con los resultados de la Fig 4.20, la fuerza axial en tensión en el eje 5, entre ejes C y D, obtenida con el método del panel y barra es igual a 52.5 t. Esto indica que el procedimiento simplificado lleva a una fuerza axial en tensión en este eje bastante mayor que el encontrado con el procedimiento de panel y barra. Sin embargo, se debe mencionar que en realidad el modelo de viga para el diafragma que aquí se emplea no puede llevar a resultados confiables, esto se debe a que este modelo no permite representar los elementos mecánicos que se presentan en el diafragma. El modelo de viga concentra el refuerzo en los bordes del diafragma, ignorando los elementos mecánicos, cortantes y fuerzas normales en el plano del diafragma, que por ejemplo resultan de aplicar el método del panel-barra.

85

5. EJEMPLO 2

ANÁLISIS Y DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL SISMORRESISTENTE DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES DE ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). CASO DEL EDIFICIO CON LOSA MACIZA COLADA EN SITIO 5.1 ANÁLISIS DE CARGAS Piso típico Peso propio losa maciza (h=17cm) Peso muerto por reglamento Acabados parapetos y muros divisorios (Carga Muerta Wm (carga viva máxima) Wa (carga viva accidental)

kg/m2 kg/m2 kg/m2 kg/m2 kg/m2) kg/m2 kg/m2

408 40 120 160 320 170 90

Azotea Peso propio losa maciza (h=17 cm) Peso muerto por reglamento Acabados,mortero, rellenos e impermeabilizantes (Carga Muerta Wm (carga viva máxima) Wa (carga viva accidental)

kg/m2 kg/m2 kg/m2 kg/m2) kg/m2 kg/m2

408 40 110 150 100 70

Tabla 5.1 MATERIALES Concreto (Clase I) f'c = 400 Ec = 280000 Acero de refuerzo principal fy = 4200 Es = 2000000

kg/cm2 kg/cm2

kg/cm2 kg/cm2

Tabla 5.2 ELEMENTO ESTRUCTURAL TRABES COLUMNAS LOSA MACIZA MUROS

DIMENSIONES 50 x 80 cm 120 x 120 cm h = 17 cm h = 40 cm

86

5.2 ANÁLISIS SÍSMICO DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA En la Fig. 5.1 se muestra espectros de diseño elástico y reducido especificado por el apéndice A del RCDF 2004, así como los valores de los periodos fundamentales calculados para cada dirección del edificio con losa maciza.

Figura 5.1. Espectros de diseño del apéndice A del RCDF-2004

5.2.1 RESULTADOS DEL ANÁLISIS SÍSMICO DEL EDIFICIO CON LOSA MACIZA Regla de combinación modal empleada: CQC Combinación direccional: 100% (Sx|Sy)+30%(Sy|Sx) 5.2.1.1Distorsiones de entrepiso La Tabla 5.3 muestra las distorsiones de entrepiso calculadas para el edificio en cada dirección. Estas distorsiones se grafican en la Fig 5.2.

87

Tabla 5.3 Distorsiones calculadas de entrepiso Nivel 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 BASE MAX

Distorsión X 0.00522 0.00560 0.00615 0.00668 0.00719 0.00767 0.00812 0.00857 0.00899 0.00937 0.00971 0.01000 0.01023 0.01036 0.01034 0.01013 0.00966 0.00887 0.00757 0.00409 0 0.0104

Distorsión Y 0.00572 0.00627 0.00689 0.00754 0.00818 0.00878 0.00935 0.00987 0.01034 0.01077 0.01113 0.01142 0.01161 0.01167 0.01165 0.01144 0.01094 0.01005 0.00861 0.00466 0 0.0117

20 18 16 14 UX

Nivel

12

UY

10 8

6 4 2 0 0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Distorsión (m/m)

Figura 5.2. Distorsiones calculadas del edificio de 20 niveles con losa maciza 88

5.2.2 CORTANTES DE ENTREPISO La Tabla 5.4 muestra los valores de los cortantes calculados para el edificio con losa maciza, y la Fig. 5.3 muestra de manera gráfica, estos cortantes. Tabla 5.4. Cortantes calculados para el edificio Nivel

Vx (t)

Vy (t)

20 19 18 17 16 15 14 13 12

192.00 371.65 510.79 619.26 703.66 769.29 820.93 862.76 898.96

206.82 409.75 577.06 717.05 834.97 935.02 1021.15 1096.8 1165.33

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

933.35 969.19 1008.91 1053.89 1104.14 1158.5 1214.57 1269.05 1318.02 1357.32

1229.71 1292.33 1354.92 1418.21 1482.13 1545.51 1606.51 1662.56 1710.65 1747.74

1 0 MAX

1386.47 1386.50 1386.50

1774.04 1774.00 1774.00

89

20 18 16 14 Vx

Nivel

12

Vy

10 8 6 4 2 0 0

500

1000

1500

2000

Cortante de entrepiso (t) Figura 5.3. Cortantes máximos calculados para el edificio de 20 niveles con losa maciza 5.2.3 REVISIÓN DEL CORTANTE BASAL La Tabla 5.5 muestra algunos parámetros necesarios para el cálculo de los cortantes basales máximos del edificio. Los valores de cortante basales calculados con el método dinámico modal espectral cumplen con el requisito de ser mayor que el 80% del cortante calculado por el método estático. Tabla 5.5. Parámetros para el cálculo de cortantes basales máximos. Dirección X

Dirección Y

Periodo (s) C (g)

3.37 0.048

2.88 0.0651

Peso (t) V ESTÁTICO = CW (t) V DINÁMICO (t) V DINÁMICO/V ESTÁTICO

29797 1424 1386.5 0.97

29797 1940 1774.0 0.91

90

5.3 OBTENCIÓN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEÑO DE LOS DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA

5.3.1 ESPECTROS INELÁSTICOS DE ACUERDO CON EL APÉNDICE DE LA NTCSISMO 2004. La Fig 5.4 muestra los espectros inelásticos de diseño para el edificio de 20 niveles con losa maciza, calculados con el factor Q’ correspondiente al apéndice A, así como el periodo en Y que se indica en la Tabla ESPECTRO DE5.6. RESPUESTA INELASTICO DE ACELERACIONES ZONA III a NTC Sismo 2004 0.3

0.25 Cuerpo Principal Apéndice A

Sa (g)

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 T (s)

3

3.5

4

4.5

5

Figura 5.4. Espectros reducidos de diseño

Tabla 5.6. Periodo fundamental en la dirección Y del edificio Sentido Y

Periodo (s)

1

2.88

91

5.3.2 FUERZAS INERCIALES EN DIAFRAGMAS DE ACUERDO CON EL PROCEDIMIENTO PROPUESTO La Tabla 5.7 muestra resultados obtenidos con el procedimiento propuesto para el cálculo de las fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la dirección Y. Tabla 5.7. Fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la dirección Y obtenidos con el procedimiento propuesto Nivel

hi (m)

hi / H

NIVEL 20 NIVEL 19 NIVEL 18 NIVEL 17 NIVEL 16 NIVEL 15 NIVEL 14 NIVEL 13 NIVEL 12 NIVEL 11 NIVEL 10 NIVEL 9 NIVEL 8 NIVEL 7 NIVEL 6 NIVEL 5 NIVEL 4 NIVEL 3 NIVEL 2 NIVEL 1 BASE

88.2 84 79.8 75.6 71.4 67.2 63 58.8 54.6 50.4 46.2 42 37.8 33.6 29.4 25.2 21 16.8 12.6 8.4 0

1.00 0.95 0.90 0.86 0.81 0.76 0.71 0.67 0.62 0.57 0.52 0.48 0.43 0.38 0.33 0.29 0.24 0.19 0.14 0.10 0

Masa

Peso

2

(t)

(t.s /m)

125.9 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 152.5 165.9

1234.93 1496.37 1496.37 1496.07 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1627.2

w (t/m 2)

Cpx

Fpx/Wx (Rs=1)

Fpx/Wx (Rs=2)

1.07 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.29 1.41

0.54 0.46 0.39 0.31 0.24 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22

0.54 0.46 0.39 0.31 0.24 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22 0.22

0.27

0.23 0.19 0.16 0.12 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11

3037.4 29796.5

5.3.3 FUERZAS INERCIALES EN DIAFRAGMAS DE ACUERDO CON LAS NTCS (2004), SECCIÓN 8.4 La Tabla 5.8 muestra resultados de las fuerzas inerciales en diafragmas calculadas para acciones en la dirección Y del edificio, de acuerdo con la sección 8.4 de las NTCSismo 2004. La Fig. 5.5 permite comparar resultado de fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas obtenidos con el procedimiento propuesto y con las NTCSismo 2004.

92

Tabla 5.8. Fuerzas inerciales en diafragmas (Fi) de acuerdo con las NTC-S (2004), Sección 8.4 a = 0.16

Q' = 2.4

Nivel

Wi (t)

hi (m)

Wi hi (t-m)

Fi (t)

c' = Fi / Wi

ao + c'

NIVEL 20 NIVEL 19 NIVEL 18 NIVEL 17 NIVEL 16 NIVEL 15 NIVEL 14 NIVEL 13 NIVEL 12 NIVEL 11 NIVEL 10 NIVEL 9 NIVEL 8 NIVEL 7 NIVEL 6 NIVEL 5 NIVEL 4 NIVEL 3 NIVEL 2 NIVEL 1 BASE

1234.93 1496.37 1496.37 1496.07 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1496.37 1627.20

88.2 84 79.8 75.6 71.4 67.2 63 58.8 54.6 50.4 46.2 42 37.8 33.6 29.4 25.2 21 16.8 12.6 8.4 0

108921 125695 119411 113103 106841 100556 94272 87987 81702 75417 69132 62848 56563 50278 43993 37709 31424 25139 18854 13668

148 171 163 154 146 137 128 120 111 103 94 86 77 69 60 51 43 34 26 19

0.120 0.114 0.109 0.103 0.097 0.092 0.086 0.080 0.074 0.069 0.063 0.057 0.052 0.046 0.040 0.034 0.029 0.023 0.017 0.011

0.220 0.214 0.209 0.203 0.197 0.192 0.186 0.180 0.174 0.169 0.163 0.157 0.152 0.146 0.140 0.134 0.129 0.123 0.117 0.111 0.100

Figura 5.5. Fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas del edificio de 20 niveles con losa maciza 93

5.4 DISEÑO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA. FUERZAS SISMICAS EN LA DIRECCIÓN Y. EMPLEANDO REFUERZO CONVENCIONAL De la Tabla 5.7 se obtiene el valor de la fuerza inercial en la azotea, Fn , empleando el procedimiento de cálculo de fuerzas inerciales horizontales de la propuesta de diseño sísmico de diafragmas en edificios, con refuerzo convencional (Rs=2). En esta Tabla se obtiene Fn/Wn = 0.27, donde es Wn el peso del nivel azotea. Considerando el factor de carga de 1.1 para la condición de diseño por sismo, se obtiene la fuerza inercial horizontal de diseño, F, igual a: F=1.1 Fn=1.1 (0.27) Wn =1.1(0.27)(1234.93t) = 367 t

5.5 DISEÑO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA

5.5.1 DISEÑO DE PANELES Los paneles entre los ejes E y F tienen una fuerza cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F , ver Fig. 4.19. Este valor es igual a 32 a q = 3F/32a q = (3x367000) / (32x8.5) = 4,048 kg/m De acuerdo con las NTCC los diafragmas se diseñarán con “los criterios para vigas comunes o vigas diafragmas, según su relación claro peralte” (sección 6.6.4). El ACI 31811 especifica que los diafragmas se diseñarán con los criterios de vigas comunes (sección 21.11.9.1), por lo que se empleará este último criterio por ser más conservador. Se empleará las expresiones de las NTCC para vigas comunes, se considera que en 1 m de longitud del firme actúa Vu=4,048 kg. La expresión de diseño por cortante considera la suma de la contribución al cortante del concreto, VcR, y del acero, VsR, es decir:

Vu  VcR  VsR Donde VcR, se calcula con:

VcR  0.5 FR b d f c* VcR = 0.5 (0.8)(100 cm) (17 cm)√(0.8x400) = 12164 kg VcR = 12164 kg La resistencia VcR es mayor que el cortante Vu, por lo que se requiere cuantía mínima. 94

La cuantía mínima es 0.0025, especificado en las secciones 10.4 y 6.6.5 de las NTCC, por lo que por resistencia se acepta este refuerzo 3/8” a 35 cm. Dado que se está empleando la separación máxima permitida del refuerzo, los otros paneles del diafragma, con cortantes menores que para el caso aquí analizado, también se diseñarán por resistencia con el mismo refuerzo de este caso. Sin embargo, es necesario considerar la recomendación de cuantía mínima por cambios volumétricos en elementos restringidos a la contracción, para lo cual esta cuantía debe ser igual a 0.005. Para el caso en estudio esta cuantía corresponde a 8.5 cm2/m, considerando que se colocará doble malla de acero de refuerzo 1/2”, la separación en el lecho superior como inferior será 1/2” a 30 cm. La Fig. 5.6 muestra de manera gráfica el acero de refuerzo con fy=4,200 kg/cm2 distribuido en el firme, requerido para la condición de sismo en Y y por cambios volumétricos en esta dirección. 5.6 DISEÑO DE LA UNIÓN FIRME-MURO ESTRUCTURAL Como se aprecia en las Figs. 4.15 y 4.19, en la interface muro estructural y firme existe un cortante por unidad de longitud, q, igual a Rs (3F/32a) ó 8,096 kg/m. Se acepta la hipótesis de que esta fuerza cortante es resistida a cara del muro por el mecanismo de resistencia a fuerza cortante por fricción. Esta resistencia, VR como se explicó anteriormente está dada por:

VR  FR  Avf f y Se supone que el firme es colado monolíticamente con el muro de concreto. Con esta hipótesis se emplea el valor de  igual a 1.4 correspondiente al caso de concreto colado monolíticamente. Con el valor calculado de q y la ecuación anterior se obtiene el refuerzo necesario, Avf; en un ancho de losa de 1 m: 8,096 kg = 0.8 (1.4) Avf 4200 kg/cm2 Avf = 1.72 cm2 Si se emplea refuerzo 1/2”, la separación requerida, s, del refuerzo será S = 100cm (1.27cm2 )/ (1.72 cm2) = 74 cm Se va usar 1/2” a 30cm, este refuerzo da una resistencia de 17,068 kg. Además se debe verificar que la fuerza cortante resistente no debe exceder alguno de los valores que resultan de aplicar las dos siguientes expresiones, donde A es el área de la sección definida por el plano crítico, en este caso A= 100cmx17cm=1700 cm2: VR = 0.25 FR f’ c A= 0.25(0.8)(0.8x300kg/cm2 )(1700cm2) = 81,600kg ó VR = FR [14A+0.8(AvF fy)] = 0.8[14x1700cm2+0.8(2x4,200kg/cm2)] = 24,416kg 95

Se acepta la resistencia a fuerza cortante por fricción de 17,068 kg por ser menor que los dos últimos valores de VR. 5.7 REVISIÓN DEL REFUERZO REQUERIDO EN LA LOSA DEBIDO A CARGAS DE GRAVEDAD Se revisa el refuerzo requerido de la losa por cargas de gravedad. El momento último negativo, Mu, por cargas de gravedad es 4.50 t-m, por lo que el área de acero de refuerzo requerida es: As = Mu/fy (d-a/2) As = 8.5 cm2/m Se adicionarán bastones de 1.20m de 1/2” a cada 30 cm, en el lecho superior de la losa, al refuerzo requerido por cambios volumétricos dado por la malla 1/2” a 30 cm, en ambos lechos, ver Fig. 5.6. Además en la unión muro firme se considerará el mismo refuerzo 1/2” a cada 30 cm en el lecho superior, esto se debe a que es la condición más crítica. El refuerzo por cortante necesario en la interface firme-muro se indica de manera gráfica en la Fig. 5.6.

96

Figura 5.6. Refuerzo en la interface muro-firme y en el firme de nivel azotea requerido por análisis en la dirección Y, acero de refuerzo fy=4,200 kg/cm2 5.9 REVISIÓN POR FLEXO-TRACCIÓN DE TRABES a) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 5, entre los ejes A y B El refuerzo por flexión de las trabes de 50x80 en el lecho superior, tanto izquierdo como derecho es de 51”, (ver Fig. 5.7). En el lecho inferior tanto izquierdo como derecho la refuerzo por flexión de las trabes es de 31”.

st = (5+3)*5.07/(50*80) st = 0.010

97

A

B

8.50 2.00

1.00

3Ø1" 2Ø1"

2Ø1" 3Ø1"

8.50 2.00

C

8.50

D

E

8.50

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

2.00 2Ø1"

2Ø1"

F

8.50 1.00

2.00

3Ø1"

2Ø1"

2Ø1" 3Ø1"

Figura 5.7. Refuerzo convencional por flexión en trabes del eje 5, nivel azotea

98

La tracción máxima actuante es 32 t (Fig. 5.8), valor igual que 32 t, por lo tanto se ignora los efectos de la fuerza de tracción en esta trabe. A

B

8.50

-62.5 t-m -43 t-m

5 17 t-m 34 t-m

(32 t)

3F/32 (34 t)

(3 t)

Figura 5.8 Eje 5, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

b) Diseño por flexo-tracción de la trabe que se encuentra en el eje 5, entre los ejes C y D El refuerzo por flexión de las trabes de 50x80 es 31”, tanto en el lecho superior como inferior (ver Fig. 5.7). La cuantía total es:  st = (3+3)*5.07/(50*80) st = 0.0076 La tracción máxima actuante es 57 t (Fig. 5.9), valor mayor que 32 t, por lo que hay que revisar el problema de diseño por flexo-tracción en esta trabe. Se revisa si la trabe requiere acero adicional por flexo-tracción:

99

C

D

8.50

-46 t-m

-47 t-m

5 19 t-m

(57 t) 5F/32 (57 t)

18 t-m

(57 t) 5F/32 (57 t)

Figura 5.9. Eje 5, trabe entre ejes C y D, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial La condición más crítica que se presentó en ésta trabe es la del lecho superior - derecho. Considerando Mpr = 55.7 t-m y la ec (4.15): st = 57/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-47/55.70)] st =0.017 La cuantía adicional requerida es adic =0.017 – 0.0076 = 0.0094  adic = 0.0094*50*80 =37.6 cm2. Como se ha mencionado, este caso de excesivo refuerzo requerido por flexotracción, indica que por ser la ec 4.15 conservadora, es necesario emplear el diagrama de interacción P-M, y revisar por flexotracción con una cantidad menor de acero de refuerzo adicional, en este caso se prueba con 41”, es decir se revisará el refuerzo indicado en la Fig 5.10 (a). El diagrama de interacción para este caso se muestra en la Fig 5.10 (b), la cual indica que el refuerzo propuesto es adecuado por flexo-tracción.

100

C

D

8.50

3Ø1"

4Ø1"

A

4Ø1"

5 A

3Ø1"

A-A (V50x80)

(a)

(b) Figura 5.10. Eje 5. (a) Refuerzo propuesto para la trabe entre ejes C y D. (b) diagrama de interacción de la sección típica

5.10 DISEÑO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO DE 20 NIVELES CON LOSA MACIZA. FUERZAS SISMICAS EN LA DIRECCIÓN X a) Diseño por flexo-tracción de la trabe que se encuentra en el eje 4, entre los ejes B y C El refuerzo de las trabes de 50x80 en este tramo, lado izquierdo, en el lecho superior es de 61”, y en el lecho inferior es de 31”. En el lado derecho, el refuerzo en el lecho superior es de 51”, mientras en el lecho inferior es de 31” (ver Fig. 5.11).

101

A

B

8.50

4

1.00

3Ø1" 3Ø1" 3Ø1"

C

8.50

2.00

3Ø1"

2.00

2Ø1"

3Ø1" 3Ø1"

8.50

D

E

8.50

2.00

3Ø1"

2Ø1"

2.00

3Ø1"

3Ø1"

F

8.50

1.00

3Ø1"

2.00

3Ø1" 3Ø1"

Figura 5.11. Refuerzo convencional por flexión en trabes del eje 4

102

Se consideró el caso más crítico para la trabe, que corresponde lecho superior – izquierdo.

st = (6+3)*5.07/(50*80) st = 0.0114 La tensión máxima actuante es 59 t (Fig. 5.12), valor mayor que 32 t, por lo que hay que revisar el problema de diseño por flexo tensión en esta trabe. Se revisa si la trabe requiere acero adicional por flexo-tensión:

C

B

8.50

-93 t-m

-40 t-m

4 4 t-m

39 t-m

5F/32 (57.3 t)

7F/32 (80.3 t) (59 t)

Figura 5.12. Eje 4, trabe entre ejes B y C, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección en X y demanda de carga axial La condición más crítica que se presentó en ésta trabe es la del lecho superior - izquierdo. Considerando Mpr = 112 t-m y la ec (4.15):

st = 59/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-93/112)] st =0.017 Podemos apreciar que la trabe requiere cuantía adicional, adic =0.017 – 0.0114 = 0.006 adic = 0.006*50*80 = 24 cm2, esta cantidad de refuerzo requerido indica que la ec 4.15es conservadora, por lo que se recomienda emplear el diagrama de interacción P-M, y revisar por flexo-tracción con una cantidad menor de acero de refuerzo adicional, en este caso se prueba con 8”, es decir se revisará el refuerzo indicado en la Fig 5.13 (a). El diagrama de interacción para este caso se muestra en la Fig 5.13 (b), la cual indica que el refuerzo propuesto es adecuado por flexo-tracción.

103

B

C

8.50

8Ø3/4"

C

3Ø1" 3Ø1"

8Ø3/4"

2Ø1"

4 C

3Ø1" C-C (V50x80)

(a)

(b) Figura 5.13. Eje 4. (a) Refuerzo adicional en centro de la sección de la trabe entre ejes B y C (b) diagrama de interacción de la sección crítica

104

5.10 COMPARATIVA DE VOLUMENES DE CONCRETO (m3) Y ACERO DE REFUERZO (kg) REQUERIDOS PARA LOS SISTEMAS DE PISO PROPUESTOS Se resume en la tabla 5.9 la cantidad de volumen de concreto (m3 ), cantidad de alambre de presfuerzo (kg) y cantidad de acero de refuerzo grado 4200 (kg) requeridos para el sistema de piso con losa tubular. Es necesario mencionar que las cantidades que se muestran son para un solo nivel y se tomó como ejemplo el nivel de azotea del edificio de 20 niveles. Tabla 5.9. Volumen de concreto requerido para el sistema de piso con losa tubular (altura h = 30cm + 6 cm de firme). Alternativa 1: Sistema de piso con losa tubular (Altura h= 30 cm + 6 cm de firme) Área de la planta del edificio (m2)

1156

Volumen de concreto requerido por piso (m3)*

104

Alambre requerido por piso (kg) Acero requerido por piso (kg)

2083 4985

Volumen de concreto requerido (m3/m2)

0.09

2

Alambre requerido por m (kg/m2) 2

1.80

2

Acero requerido por m (kg/m )

4.47

* incluye el concreto del firme

En la tabla 5.10 se muestra la cantidad de volumen de concreto (m3) y cantidad de acero de refuerzo grado 4200 (kg) requeridos para el sistema de piso con losa maciza. Es necesario mencionar que las cantidades que se muestran son para un solo nivel y se tomó como ejemplo el nivel de azotea del edificio de 20 niveles. Tabla 5.10. Volumen de concreto requerido para el sistema de piso con losa maciza (peralte h = 17 cm). Alternativa 2: Sistema de piso con losa maciza (peralte h= 17 cm) Área de la planta del edificio (m2)

1156 3

Volumen de concreto requerido por piso (m )

150.4

Acero requerido por piso (kg)

11700

Volumen de concreto requerido por m2 (m3/m2)

0.13

Acero requerido por m2 (kg/m2)

10.5

105

Además en la tabla 5.11 se muestra un comparación entre estas dos alternativas de sistema de piso (Alternativa 2 / Alternativa 1), en la cual se puede apreciar que la alternativa 1 (sistema de piso con losa tubular), representa una mejor opción para reducir la cantidad de volumen de concreto. Tabla 5.11. Volumen de concreto requerido Relación volumen de concreto (m3) Alternativa 2 / Alternativa 1 = 1.45

En el caso de sistema de piso prefabricado, alternativa 1, si de manera simplista sumamos los pesos por m2 de alambre y acero de refuerzo grado 4200, se obtiene 6.27 kg/m2, ver Tabla 5.9. De acuerdo con la Tabla 5.10, el empleo de losa maciza requiere 10.5 kg/m2, es decir 68% más acero que para el caso de sistema de piso prefabricado. Lo anterior muestra que el empleo de un sistema de piso prefabricado lleva a un ahorro considerable tanto en concreto como en acero de refuerzo, cuando se compara con el costo empleando losa maciza colada en sitio.

106

6. EJEMPLO 3 ANÁLISIS Y DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL SISMORRESISTENTE DE UN EDIFICIO DE 8 NIVELES DE ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). CASO LOSA PREFABRICADA LOSA TUBULAR

6.1 ANÁLISIS DE CARGAS Piso típico Peso propio losa (Tubular, Manual PREMEX 2007) Peso muerto por reglamento Acabados parapetos y muros divisorios (Carga Muerta Wm (carga viva máxima) Wa (carga viva accidental)

kg/m2 kg/m2 kg/m2 2 kg/m kg/m2) kg/m2 kg/m2

270 40 120 160 320 170 90

Azotea Peso propio losa (Tubular, Manual PREMEX 2007) Peso muerto por reglamento Acabados,mortero, rellenos e impermeabilizantes (Carga Muerta Wm (carga viva máxima) Wa (carga viva accidental)

kg/m2 2 kg/m kg/m2 kg/m2) kg/m2 2 kg/m

270 40 110 150 100 70

Tabla 6.1 MATERIALES Concreto (Clase I) f'c = 400 Ec = 280000 Acero de refuerzo principal fy = 4200 Es = 2000000

2

kg/cm 2 kg/cm

kg/cm2 2 kg/cm

Tabla 6.2 ELEMENTO ESTRUCTURAL TRABES COLUMNAS LOSA TUBULAR (viga tubular 30 cm,firme 6 cm) MUROS

DIMENSIONES 50 x 80 cm 80 x 80 cm h = 36 cm

h = 20 cm

107

Figura 6.1. Vista en elevación del modelo en ETABS 6.2 ANÁLISIS SÍSMICO DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES CON LOSA TUBULAR En la Fig 6.2 se muestra los valores de los periodos fundamentales calculados para cada dirección del edificio. 1.4

1.2

Sa (g)

1

0.8 Elastico

Tx

Inelastico (Q=3)

0.6

Ty 0.4 0.2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

T (s)

Figura 6.2. Espectros de diseño apéndice A del RCDF-2004 108

6.2.1 Resultados del análisis sísmico Regla de combinación modal empleada: CQC Combinación direccional: 100% (Sx|Sy)+30%(Sy|Sx) 6.2.2 Distorsiones de entrepiso La Tabla 6.3 muestra las distorsiones de entrepiso calculadas para el edificio en cada dirección. Estas distorsiones se grafican en la Fig. 6.3. Tabla 6.3 Distorsiones calculadas de entrepiso Nivel 8 7 6 5 4 3 2 1 BASE MAX

Distorsión X 0.0039 0.0047 0.0055 0.0062 0.0068 0.0072 0.0070 0.0050 0 0.0072

Distorsión Y 0.0035 0.0042 0.0050 0.0057 0.0061 0.0062 0.0060 0.0040 0 0.0062

8 7

6 UX UY

Nivel

5 4

3 2 1 0

0

0.001

0.002

0.003 0.004 0.005 Distorsión (m/m)

0.006

0.007

0.008

Figura 6.3. Distorsiones calculadas del edificio de 8 niveles con losa tubular

109

6.2.3 Cortantes de entrepiso La Tabla 6.4 muestra los valores de los cortantes calculados para el edificio con losa tubular, y la Fig. 6.4 muestra de manera gráfica los cortantes. Tabla 6.4. Cortantes calculados para el edificio Nivel 8

Vx (t) 251.24

Vy (t) 252.37

7 6 5 4

511.85 739.23 935.14 1099.37

513.17 740.06 934.66 1097.08

3 2 1 0

1230.56 1326.94 1392.02 1392.0

1226.33 1320.46 1382.47 1382.5

MAX

1392.0

1382.5

8 7 6

Nivel

5

4 Vx

3

Vy

2 1 0 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Cortante de entrepiso (t)

Figura 6.4. Cortantes máximos calculados para el edificio de 8 niveles con losa tubular

110

6.2.4 Revisión del cortante basal La Tabla 6.5 muestra algunos parámetros necesarios para el cálculo de los cortantes basales máximos del edificio de 8 niveles con losa tubular. Los valores de cortante basales calculados con el método dinámico modal espectral cumplen con el requisito de ser mayor que el 80% del cortante calculado por el método estático. Tabla 6.5. Parámetros para el cálculo de cortantes basales máximos.

Periodo (s) C (g) Peso (t) V ESTATICO = CW (t) V DINAMICO (t) V DINAMICO/V ESTATICO

Dirección X 1.0489 0.167 9444 1574 1392.0 0.88

Dirección Y 0.9147 0.1667 9444 1575 1382.5 0.88

6.3 OBTENCIÓN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEÑO DE LOS DIAFRAGMAS DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES 6.3.1 Espectros inelásticos de acuerdo con la ntc sismo 2004. La Fig 6.5 muestra los espectros inelásticos de diseño para el edificio de 8 niveles con losa tubular, calculados con el factor Q’ que se indica en la Tabla 1.8. ESPECTRO DE RESPUESTA INELASTICO DE ACELERACIONES ZONA III a NTC Sismo 2004 0.3

0.25

Sa (g)

0.2

Cuerpo Principal Apéndice A

0.15

0.1

0.05

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 T (s)

3

3.5

4

4.5

5

Figura 6.5. Espectros reducidos de diseño 111

Tabla 6.6. Periodo fundamental en la dirección Y del edificio Sentido Y

Periodo (s)

1

0.915

6.3.2 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con el procedimiento propuesto La Tabla 6.7 muestra resultados obtenidos con el procedimiento propuesto para el cálculo de las fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la dirección Y.

Tabla 6.7. Fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la dirección Y obtenidos con el procedimiento de cálculo propuesto

Masa

Peso

2

(t.s /m)

(t)

1.00 0.88 0.75 0.63

103.15 121.68 121.68 121.68

16.8 12.6 8.4

0.50 0.38 0.25

4.2

0.13

0

0

Nivel

hi (m)

hi / H

NIVEL 8 NIVEL 7 NIVEL 6 NIVEL 5

33.6 29.4 25.2 21

NIVEL 4 NIVEL 3 NIVEL 2 NIVEL 1 BASE

w (t/m 2)

Cpx

Fpx/Wx (Rs=1)

Fpx/Wx (Rs=2)

1011.86 1193.73 1193.73 1193.73

0.88 1.03 1.03 1.03

0.43 0.30 0.22 0.22

0.43 0.30 0.22 0.22

121.68 121.68 121.68

1193.73 1193.73 1193.73

1.03 1.03 1.03

0.22 0.22 0.22

0.22 0.22 0.22

129.41

1269.54

1.10

0.22

0.22

0.22

0.22

0.21 0.15 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11

962.64

9443.78

6.3.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las ntc-s (2004), sección 8.4 La Tabla 3.8 muestra resultados de las fuerzas inerciales en diafragmas calculadas en la dirección Y del edificio de acuerdo con la sección 8.4 de las NTCSismo 2004. La Fig. 3.6 muestra resultados del cálculo de fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas obtenidos con el procedimiento propuesto y con las NTCSismo 2004.

112

Tabla 6.8. Fuerzas inerciales en diafragmas (Fi) de acuerdo con las NTC-S (2004), Sección 8.4

Nivel 8 Nivel 7 Nivel 6 Nivel 5 Nivel 4 Nivel 3 Nivel 2 Nivel 1 BASE

a = 0.40

Q' = 2.4

Wi (t)

hi (m)

Wi hi (t-m)

Fi

c' = Fi / Wi

ao + c'

1011.86 1193.73 1193.73 1193.73 1193.73 1193.73 1193.73 1269.54

33.6 29.4 25.2 21 16.8 12.6 8.4 4.2 0

33998 35096 30082 25068 20055 15041 10027 5332

306 316 271 226 181 136 90 48

0.303 0.265 0.227 0.189 0.151 0.114 0.076 0.038

0.403 0.365 0.327 0.289 0.251 0.214 0.176 0.138 0.100

Figura 6.6. Fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas del edificio de 8 niveles con losa tubular

113

6.4 DISEÑO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO CON LOSA TUBULAR De la Tabla 3.7 se obtiene el valor de la fuerza inercial en la azotea, Fn , empleando el procedimiento de cálculo de fuerzas inerciales horizontales de la propuesta de diseño sísmico de diafragmas en edificios. En esta Tabla se obtiene Fn/Wn = 0.21, donde es Wn el peso del nivel azotea. Considerando el factor de carga de 1.1 para la condición de diseño por sismo, se obtiene la fuerza inercial horizontal de diseño, F, igual a: F=1.1Fn=1.1(0.21) Wn =1.1(0.21)( 1011.86) = 234t 6.5 DISEÑO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA

6.5.1 Diseño de paneles Los paneles entre los ejes E y F tienen una fuerza cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F , ver Fig. 4.19. Este valor es igual a 32 a q = 3F/32a q = (3x234000) / (32x8.5) = 2,581 kg/m De acuerdo con las NTCC los diafragmas se diseñarán con “los criterios para vigas comunes o vigas diafragmas, según su relación claro peralte” (sección 6.6.4). El ACI 31811 especifica que los diafragmas se diseñarán con los criterios de vigas comunes (sección 21.11.9.1), por lo que se empleará este último criterio por ser más conservador. Se empleará las expresiones de las NTCC para vigas comunes, se considera que en 1 m de longitud del firme actúa Vu=2,581kg. La expresión de diseño por cortante considera la suma de la contribución al cortante del concreto, VcR, y del acero, VsR, es decir:

Vu  VcR  VsR Donde VcR, se calcula con:

VcR  0.5 FR b d

f c*

VcR  0.5 (0.8) (100cm) (6 cm) 0.8 (400kg / cm2 )  4, 290 kg La resistencia del concreto es suficiente, sin embargo es necesario emplear un refuerzo mínimo por resistencia cortante. La separación máxima permitida es 35 cm (sección 6.6.5 de las NTCC), considerando esta separación y 3/8”, y un firme de 6 cm de espesor, la cuantía correspondiente es 0.00254. 114

Este valor es aproximadamente igual al mínimo requerido para resistencia por cortante, 0.0025, mínimo especificado en las secciones 10.4 y 6.6.5 de las NTCC, por lo que por resistencia se acepta este refuerzo 3/8” a 35 cm. Dado que se está empleando la separación máxima permitida del refuerzo, los otros paneles del diafragma, con cortantes menores que para el caso aquí analizado, también se diseñarán por resistencia con el mismo refuerzo de este caso. Si se considera la recomendación de cuantía mínima por cambios volumétricos en elementos restringidos a la contracción con refuerzo de fy=4,200 kg/cm2, se requeriría el valor 0.005, que para el caso en estudio corresponde a 3.0 cm2/m, es decir 3/8”una separación de 23.7 cm, por lo que se sugiere emplear en todo el diafragma 3/8”una separación de 25 cm. Si se emplea malla electrosoldada de fy = 5000 kg/cm2 , el área requerida en una longitud de 1 m, empleando el procedimiento arriba descrito es: Av*(d/s) = VsR/(FRfy) = 5,800 kg/ 0.8*(5000kg/cm2) = 1.45cm2 La malla de  7.14mm a la separación de 25 cm tiene un área igual a 1.6 cm2 /m, valor cercano al requerido (1.45 cm2/m). Esta área en el firme de 6 cm corresponde a una cuantía de 0.0027, valor cercano a la cuantía mínima requerida por cortante. Para esta cuantía en 1 m de losa se requiere 0.0025 (6cmx100cm)= 1.5 cm2 /m, por lo que, por resistencia se requiere una malla 7.14 mm a 25 cm (área= 1.6 cm2/m). Tomando en cuenta la recomendación de cuantía mínima por cambios volumétricos en elementos restringidos a la contracción, se requeriría el valor 0.0042, que para el caso en estudio corresponde a 2.5 cm2/m. Se empleará una malla electrosoldada  8.74 mm a 25 cm, que corresponde a 2.4 cm2/m. La Fig. 3.7 muestra de manera gráfica el acero de refuerzo distribuido en el firme requerido para la condición de sismo en Y y por cambios volumétricos en esta dirección, para lo s casos de acero de refuerzo fy=4,200 kg/cm2, y para el caso de malla de fy= 5,000 kg/cm2. 6.6 DISEÑO DE LA UNIÓN FIRME-MURO ESTRUCTURAL Como se aprecia en las Figs. 4.15 y 4.19, en la interface muro estructural y firme existe un cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F/32a , que se deberá factorar por Rs =2 ó 5,162 kg/m. Se acepta la hipótesis de que esta fuerza cortante es resistida a cara del muro por el mecanismo de resistencia a fuerza cortante por fricción. Esta resistencia, VR como se explicó anteriormente está dada por:

VR  FR  Avf f y

115

Se supone que el firme es colado después de que se ha colado el muro de concreto. Con esta hipótesis se emplea el valor de  igual a 1.0 correspondiente al caso de concreto colado contra concreto endurecido. Con el valor calculado de q y la ecuación anterior se obtiene el refuerzo necesario, Avf; en un ancho de losa de 1 m: 5,162 kg = 0.8 (1.0)Avf 4200 kg/cm2 Avf = 1.54 cm2 La separación requerida es 46cm, pero se empleará refuerzo 3/8”, la separación requerida, s, del refuerzo será 25cm, por requisitos de cuantía volumétrica. Además se debe verificar que la fuerza cortante resistente no debe exceder alguno de los valores que resultan de aplicar las dos siguientes expresiones, donde A es el área de la sección definida por el plano crítico, en este caso A= 100cmx 6cm=600 cm2: a) VR = 0.25 FR f’ c A= 0.25(0.8)(0.8x400kg/cm2 )(600cm2 ) = 38,400kg b) VR = FR [14A+0.8(AvF fy)] = 0.8[14x600cm2+0.8(3.00x4,200kg/cm2)] = 14,784kg Se acepta la resistencia a fuerza cortante por fricción de 9,542kg por ser menor a los dos últimos valores de VR. 6.7 VERIFICACIÓN POR CORTANTE EN LA UNIÓN FIRME-MURO, DEBIDO AL SISMO EN LA DIRECCIÓN CRÍTICA (DIRECCIÓN Y) Se realiza la verificación por cortante debido al sismo en la dirección Y. En esta dirección se asume que la fuerza cortante debido al sismo es resistida por los cuatro muros orientados en la dirección Y: La fuerza de piso calculada es de 2*234 t / 4 = 117 t La cantidad de aceros de 3/8” con una separación de 25cm, en toda la longitud del muro es de 30, entonces la fuerza resistente por estos aceros es: 0.8*30 x 0.71cm2 x 4200 kg/cm2= 0.8*89460 kg = 0.8*89.5 t Asc = (117 t – 0.8*89.5 t) / (0.8 x 1.0 x 4.2t/cm2) = 13.5 cm2, esta área de acero es en toda la longitud del muro y debe ser resistida por acero adicional. La longitud del muro es de 7m, luego considerando el área de acero que se requiere por cada metro de muro se tiene 13.5cm2 / 7m = 1.93 cm2 / m, por lo que se adicionará acero de /2” a una separación de 25 cm en toda la longitud del muro. El refuerzo por cortante necesario en la interface firme-muro se indica de manera gráfica en la Fig. 3.7.

116

A

B

C

D

E

F

5 Ø3/8"@25cm

4

En todo Ø3/8"@25cm

3 Ø3/8"@25cm

2

1 a) Acero de refuerzo fy=4,200 kg/cm2 A

B

C

D

E

F

5 Ø3/8"@25cm

4

En todo malla Ø8.74mm@25cm

3 Ø3/8"@25cm

2

1

b) Malla electrosoldada (fy=5000 kg/cm2) Figura 6.7. Refuerzo en la interface muro-firme y en el firme de nivel azotea requerido por análisis en la dirección Y 117

6.8 REVISIÓN POR FLEXOTRACCIÓN DE TRABES a) Diseño por flexo-tracción de la trabe que se encuentra en el eje 5 (entre los A y B) El refuerzo por flexión de las trabes de 50x80, en el lecho superior, tanto izquierdo como derecho es de 31” (ver Fig 6.8), en el lecho inferior tanto izquierdo como derecho el refuerzo por flexión de las trabes es de 31”. La cuantía total en la trabe es:

st = (3+3)*5.07/(50*80) st = 0.0076

118

A

8.50

B

C

8.50

8.50

D

8.50

E

8.50

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

F

5 Figura 6.8. Refuerzo convencional por flexión en trabes del eje 5, nivel azotea

119

La tensión máxima actuante es menor que 32 t(Fig. 6.9), por lo que no se considera los efectos de la carga axial en esta trabe. A

B

8.50

-41 t-m -30 t-m

5 11 t-m 16 t-m

(82 t)

3F/32 (86 t)

(4 t)

Figura 6.9. Eje 5, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

b) Diseño por flexo-tracción de la trabe que se encuentra en el eje 5 (entre los C y D) La cuantía total de las trabes de 50x80, con refuerzo mínimo de 31” tanto en el lecho superior como inferior es (ver Fig. 6.8):

st = (3+3)*5.07/(50*80) st = 0.0076 La tensión máxima actuante es 37 t (Fig. 6.10), valor mayor que 32 t, por lo que hay que revisar el problema de diseño por flexo tensión en esta trabe. Se revisa si la trabe requiere acero adicional por flexo-tracción.

120

C

D

8.50 -27 t-m

-28 t-m

5 8 t-m

(143 t)

8 t-m

(143 t)

5F/32 (143 t)

5F/32 (143 t)

Figura 6.10. Eje 5, trabe entre ejes C y D, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

La condición más crítica que se presentó en esta trabe es la del lecho superior - derecho. La resistencia probable a flexión de la trabe, Mpr, es igual a 55.70 t-m, con este valor y la ec 4.15 se obtiene la cuantía total requerida por flexo-tracción:  st = 37/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-28/55.70)] st =0.004<0.0076 No es necesario incrementar la cuantía de refuerzo en esta trabe. 6.9 ANÁLISIS EN LA DIRECCIÓN X a) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 4 (entre los B y C) La cuantía de las trabes de 50x80, con refuerzo en el lecho superior izquierdo es de 41”, mientras que el lecho inferior izquierdo es de 31”, además en el lecho tanto superior como inferior derecho la cuantía que requiere la trabe es de 31” (ver Fig. 6.11). Se consideró el caso que corresponde lecho superior – izquierdo. La cuantía total de las trabes de 50x80, con refuerzo mínimo de 41” en el lecho superior y 31” en el lecho inferior es (ver Fig. 6.11):

st = (4+3)*5.07/(50*80) st = 0.0089

121

Eje 4

A

B

8.50

4

1.00

3Ø1" 1Ø1" 3Ø1"

C

8.50

2.00

8.50

D

E

8.50

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

3Ø1"

2.00

1Ø1"

1Ø1"

8.50

1.00

F

3Ø1"

1Ø1" 3Ø1"

Figura 6.11. Refuerzo convencional por flexión en trabes

122

La tensión máxima actuante es 51 t (Fig. 6.12), valor mayor que 32 t, por lo que hay que revisar el problema de diseño por flexo tensión en esta trabe. Se revisa si la trabe requiere acero adicional por flexo-tracción:

C

B

8.50

-57 t-m

-23 t-m

4 6 t-m

16 t-m

5F/32 (143 t)

7F/32 (200 t) (146 t)

Figura 6.12. Eje 4, trabe entre ejes B y C, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección en X y demanda de carga axial La condición más crítica que se presentó en ésta trabe es la del lecho superior - izquierdo. La resistencia probable a flexión de la trabe, Mpr, es igual a 73.40 t-m, con este valor y la ec 4.15 se obtiene la cuantía total requerida por flexo-tracción:  st = 51/[1.25*50*80*(4200/1000)*(1-57/73.4)] st =0.011 Podemos apreciar que la trabe requiere cuantía adicional, adic =0.011 – 0.0089 = 0.0021 adic = 0.0021*50*80 = 8.4 cm2, dada la cantidad de refuerzo requerido se va a distribuir el armado en la sección luego se calculará el diagrama de interacción P-M y se revisará por flexo-tensión con 61/2”, ver Figura 6.13.

123

C

B

8.50

B

1Ø1"

6Ø1"

3Ø1"

6Ø1"

4 B

3Ø1"

B-B (V50x80)

(a) 1600 1400 1200

6Ø1"

1000

P (t)

800 600

B-B (V50x80)

400 200 0

-50

-200

(57, -146) 0

50

100

150

200

250

-400 -600

M (t-m)

(b) Figura 6.13. Eje 4. (a) Refuerzo adicional en centro de la sección de la trabe entre ejes B y C (b) diagrama de interacción de la sección crítica

124

7. EJEMPLO 4

ANÁLISIS Y DISEÑO POR SISMO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL SISMORRESISTENTE DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES DE ACUERDO CON EL REGLAMENTO DE CONSTRUCCIONES DEL DF (RCDF, 2004). EDIFICIO CON LOSA MACIZA COLADA EN SITIO 7.1 ANÁLISIS DE CARGAS Piso típico Peso propio losa maciza (h=17cm) Peso muerto por reglamento Acabados parapetos y muros divisorios (Carga Muerta Wm (carga viva máxima) Wa (carga viva accidental)

2

408 40 120 160 320 170 90

Azotea Peso propio losa maciza (h=17 cm) Peso muerto por reglamento Acabados,mortero, rellenos e impermeabilizantes (Carga Muerta Wm (carga viva máxima) Wa (carga viva accidental)

kg/m kg/m2 kg/m2 kg/m2 kg/m2) kg/m2 kg/m2

kg/m2 kg/m2 kg/m2 kg/m2) kg/m2 kg/m2

408 40 110 150 100 70

Tabla 7.1 MATERIALES Concreto (Clase I) f'c = 400 Ec = 280000 Acero de refuerzo principal fy = 4200 Es = 2000000

kg/cm2 2 kg/cm

2

kg/cm kg/cm2

Tabla 7.2 ELEMENTO ESTRUCTURAL TRABES COLUMNAS LOSA MACIZA MUROS

DIMENSIONES 50 x 80 cm 80 x 80 cm h = 17 cm h = 20 cm

125

7.2 ANÁLISIS SÍSMICO DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES CON LOSA MACIZA En la Fig. 7.1 se muestra los valores de los periodos fundamentales calculados para cada dirección del edificio, con losa maciza. 1.4

1.2

Sa (g)

1 0.8 Elastico

Tx

Inelastico (Q=3)

0.6

Ty 0.4 0.2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

T (s)

Figura 7.1. Espectros de diseño apéndice A del RCDF-2004 7.2.1 Resultados del análisis sísmico del edificio de 8 niveles con losa maciza Regla de combinación modal empleada: CQC Combinación direccional: 100% (Sx|Sy)+30%(Sy|Sx) 7.2.2 Distorsiones de entrepiso La Tabla 7.3 muestra las distorsiones de entrepiso calculadas para el edificio en cada dirección. Estas distorsiones se grafican en la Fig. 7.2. Tabla 7.3 Distorsiones calculadas de entrepiso Nivel 8 7 6 5 4 3 2 1 BASE

Distorsión X 0.0078 0.0087 0.0097 0.0105 0.0111 0.0113 0.0105 0.0067 0.0000

Distorsión Y 0.0057 0.0067 0.0077 0.0085 0.0090 0.0090 0.0085 0.0052 0.0000

126

MAX

0.0113

0.0090

8 7

6 UX UY

Nivel

5 4

3 2 1 0

0

0.002

0.004

0.006 0.008 Distorsión (m/m)

0.01

0.012

Figura 7.2. Distorsiones calculadas del edificio de 8 niveles con losa maciza 7.2.3 Cortantes de entrepiso La Tabla 7.4 muestra los valores de los cortantes calculados para el edificio de 8 niveles con losa maciza, y la Fig. 7.3 muestra de manera gráfica, estos cortantes.

Tabla 7.4. Cortantes calculados para el edificio Nivel

Vx (t)

Vy (t)

8 7 6 5 4 3 2

298.52 592.18 841.5 1051.96 1225.42 1361.75 1460.08

294.58 587.38 838.5 1051.61 1227.83 1366.65 1466.35

1 BASE MAX

1524.24 1524.2 1524.2

1530.16 1530.2 1530.2

127

8 7 6

Nivel

5 4 Vx

3

Vy

2 1 0 0

500

1000

1500

2000

Cortante de entrepiso (t)

Figura 7.3. Cortantes máximos calculados para el edificio de 8 niveles con losa maciza 7.2.4 Revisión del cortante basal La Tabla 7.5 muestra algunos parámetros necesarios para el cálculo de los cortantes basales máximos del edificio. Los valores de cortante basales calculados con el método dinámico modal espectral cumplen con el requisito de ser mayor que el 80% del cortante calculado por el método estático.

Tabla 7.5. Parámetros para el cálculo de cortantes basales máximos.

Periodo (s) C (g) Peso (t) V ESTATICO = CW (t) V DINAMICO (t) V DINAMICO/V ESTATICO

Dirección X 1.3342 0.167 10675 1779 1524.2 0.86

Dirección Y 1.0971 0.1667 10675 1780 1530.2 0.86

128

7.3 OBTENCIÓN DE FUERZAS INERCIALES PARA EL DISEÑO DE LOS DIAFRAGMAS DE LOS EDIFICIOS 7.3.1 Espectros inelásticos de acuerdo con la NTCSismo 2004. La Fig. 7.4 muestra los espectros inelásticos de diseño para el edificio de 8 niveles con losa maciza, calculados con elDE factor Q’ que seINELASTICO indica en la 1.8. ESPECTRO RESPUESTA DETabla ACELERACIONES ZONA III a NTC Sismo 2004 0.3

0.25

Sa (g)

0.2

Cuerpo Principal Apéndice A

0.15

0.1

0.05

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5 T (s)

3

3.5

4

4.5

5

Figura 7.4. Espectros reducidos de diseño

Tabla 7.6. Periodo fundamental en la dirección Y del edificio Sentido y

Periodo (s)

1

1.097

7.3.2 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con el método propuesto La Tabla 7.7 muestra resultados obtenidos con el procedimiento propuesto para el cálculo de las fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en el sentido Y.

129

Tabla 7.7. Fuerzas inerciales en los diafragma del edificio en la dirección Y obtenidos con el procedimiento de cálculo propuesto Nivel

hi (m)

hi / H

NIVEL 8

33.6

1.00

NIVEL 7 NIVEL 6 NIVEL 5

29.4 25.2 21

NIVEL 4 NIVEL 3 NIVEL 2 NIVEL 1

Masa

Peso

2

(t)

w (t/m 2)

Cpx

Fpx/Wx (Rs=1)

Fpx/Wx (Rs=2)

118.83 1165.73

1.01

0.45

0.45

0.88 0.75 0.63

137.37 137.37 137.37

1347.6 1347.6 1347.6

1.17 1.17 1.17

0.30 0.22 0.22

0.30 0.22 0.22

16.8

0.50

0.22

0.22

0.38 0.25 0.13

1347.6 1347.6

1.17

12.6 8.4 4.2

137.37 137.37

1.17 1.17 1.23

0.22 0.22 0.22

0.22 0.22 0.22

0

0

0.22

0.22

0.22 0.15 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11

BASE

(t.s /m)

137.37 1347.6 145.09 1423.41 1088.1 10674.7

7.3.3 Fuerzas inerciales en diafragmas de acuerdo con las ntc-s (2004), sección 8.4 La Tabla 7.8 muestra resultados de las fuerzas inerciales en diafragmas calculadas en la dirección Y del edificio de acuerdo con la sección 8.4 de las NTCSismo 2004. La Fig. 7.5 muestra resultados del cálculo de fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas obtenidos con el procedimiento propuesto y con las NTCSismo 2004.

Tabla 7.8. Fuerzas inerciales en diafragmas (Fi) de acuerdo con las NTC-S (2004), Sección 8.4

a=0.40

Q' =2.4

Nivel

Wi (t)

hi (m)

Wi hi (t-m)

Fi (t)

c' = Fi / Wi

ao + c'

Nivel 8 Nivel 7 Nivel 6 Nivel 5 Nivel 4 Nivel 3 Nivel 2 Nivel 1 BASE

1165.732 1347.601 1347.601 1347.601 1347.601 1347.601 1347.601 1423.41

33.6 29.4 25.2 21 16.8 12.6 8.4 4.2 0

39169 39619 33960 28300 22640 16980 11320 5978

352 356 305 254 203 153 102 54

0.302 0.264 0.226 0.189 0.151 0.113 0.075 0.038

0.402 0.364 0.326 0.289 0.251 0.213 0.175 0.138 0.100

130

Figura 7.5. Fuerzas inerciales por unidad de masa en diafragmas del edificio de 8 niveles con losa maciza 7.4 DISEÑO DEL DIAFRAGMA NIVEL AZOTEA DEL EDIFICIO DE 8 NIVELES CON LOSA MACIZA De la Tabla 7.7 se obtiene el valor de la fuerza inercial en la azotea, Fn , empleando el procedimiento de cálculo de fuerzas inerciales horizontales de la propuesta de diseño sísmico de diafragmas en edificios. En esta Tabla se obtiene Fn/Wn = 0.22, donde es Wn el peso del nivel azotea. Considerando el factor de carga de 1.1 para la condición de diseño por sismo, se obtiene la fuerza inercial horizontal de diseño, F, igual a: F=1.1Fn=1.1(0.22) Wn =1.1(0.22)(1165.73 t) = 282 t

131

7.5 DISEÑO DE ZONAS DEL DIAFRAGMA SIN ABERTURAS EMPLEANDO RESULTADOS DEL METODO DEL PANEL Y BARRA 7.5.1 Diseño de paneles Los paneles entre los ejes E y F tienen una fuerza cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F , ver Fig. 4.19. Este valor es igual a 32 a q = 3F/32a q = (3x282000) / (32x8.5) = 3,110 kg/m De acuerdo con las NTCC los diafragmas se diseñarán con “los criterios para vigas comunes o vigas diafragmas, según su relación claro peralte” (sección 6.6.4). El ACI 31811 especifica que los diafragmas se diseñarán con los criterios de vigas comunes (sección 21.11.9.1), por lo que se empleará este último criterio por ser más conservador. Se empleará las expresiones de las NTCC para vigas comunes, se considera que en 1 m de longitud del firme actúa Vu=3,110 kg. La expresión de diseño por cortante considera la suma de la contribución al cortante del concreto, VcR, y del acero, VsR, es decir:

Vu  VcR  VsR Donde VcR, se calcula con:

VcR  0.5 FR b d VcR = 12,164 kg

f c*

La resistencia VcR es mayor que el cortante Vu, por lo que se requiere cuantía mínima. La cuantía mínima es de 0.0025, mínimo especificado en las secciones 10.4 y 6.6.5 de las NTCC, por lo que por resistencia se acepta este refuerzo 3/8” a 35 cm. Dado que se está empleando la separación máxima permitida del refuerzo, los otros paneles del diafragma, con cortantes menores que para el caso aquí analizado, también se diseñarán por resistencia con el mismo refuerzo de este caso. Si se considera la recomendación de cuantía mínima por cambios volumétricos en elementos restringidos a tensión se requeriría el valor 0.005, que para el caso en estudio corresponde a 8.5 cm2 /m, considerando que se colocará doble malla de 1/2”, la separación en el lecho superior como inferior será 1/2” a 30 cm. La Fig 7.6 muestra de manera gráfica el acero de refuerzo distribuido en el firme requerido para la condición de sismo en Y y por cambios volumétricos en esta dirección, para el caso de acero de refuerzo fy= 4,200 kg/cm2 .

132

7.6 DISEÑO DE LA UNIÓN FIRME-MURO ESTRUCTURAL Como se aprecia en las Figs. 4.15 y 4.19, en la interface muro estructural y firme existe un cortante por unidad de longitud, q, igual a 3F/32ª, multiplicado por Rs =2 ó 6,221 kg/m. Esta fuerza cortante es resistida a cara del muro por el mecanismo de resistencia a fuerza cortante por fricción. Esta resistencia, VR como se explicó anteriormente está dada por:

VR  FR  Avf f y Se supone que el firme es colado monolíticamente con el muro de concreto. Con esta hipótesis se emplea el valor de  igual a 1.4. Con el refuerzo de 1/2” a 30 cm, se calcula la resistencia cortante en un ancho de losa de 1 m: VR = 0.8 (1.4)(1.27 cm2 *100/30) 4200 kg/cm2 VR = 19,914 kg > 6,221 kg En la unión muro firme se considerará el refuerzo 1/2” a cada 30 cm en el lecho superior. La fuerza cortante resistente no debe exceder de los valores que resultan de aplicar las dos siguientes expresiones, donde A es el área de la sección definida por el plano crítico, en este caso A= 100cmx17cm=1700 cm2: VR = 0.25 FR f’ c A= 0.25(0.8)(0.8x300kg/cm2)(1700cm2) = 81,600kg ó VR = FR [14A+0.8(AvF fy)] = 0.8[14x1700cm2+0.8(2x4200 kg/cm2)] = 24,416kg Se acepta la resistencia a fuerza cortante por fricción de 19,914 kg por ser menor a los dos últimos valores de VR. 7.7 VERIFICACIÓN POR CORTANTE EN LA UNIÓN FIRME-MURO, DEBIDO AL SISMO EN LA DIRECCIÓN CRÍTICA (DIRECCIÓN Y) Se realiza la verificación por cortante debido al sismo en la dirección Y. En esta dirección se asume que la fuerza cortante debido al sismo es resistida por los cuatro muros orientados en la dirección Y: La fuerza de piso calculada es de 2*282 t / 4 = 141 t La resistencia de aceros de ” con una separación de 30cm, en toda la longitud del muro:139 t, no es necesario agregar refuerzo adicional

133

7.8 REVISIÓN DEL REFUERZO REQUERIDO EN LA LOSA DEBIDO A CARGAS DE GRAVEDAD Se revisa si es suficiente el refuerzo de la losa refuerzo requerido, por cargas de gravedad, el momento último negativo es igual a: Mu = 3.30 t As = Mu/fy (d-a/2) As = 6.24 cm2/m Se adicionarán bastones de 1.20m de 3/8” a cada 30 cm, en el lecho superior de la losa, al refuerzo requerido por cambios volumétricos dado por la malla 1/2” a 30 cm, en ambos lechos, ver Fig. 7.6. A

B

C

D

E

F

5 Lecho superior Ø3/8"@30cm

4

Lecho superior Ø1/2"@30cm

Doble malla de Ø1/2"@30cm

3 Lecho superior Ø3/8"@30cm

Lecho superior Ø1/2"@30cm

2

1

Figura 7.6. Refuerzo en la interface muro-firme y en el firme de nivel azotea requerido por análisis en la dirección Y, acero de refuerzo fy=4,200 kg/cm2 7.9 REVISIÓN POR FLEXOTENSIÓN DE TRABES a) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 5 (entre los A y B) La cuantía de las trabes de 50x80, con refuerzo adicional en el lecho superior, tanto izquierdo como derecho es de 51”, (ver Fig. 7.7) en el lecho inferior tanto izquierdo como derecho la cuantía que requiere la trabe por flexión es de 31”.

st = (5+3)*5.07/(50*80) st = 0.010 134

Eje 5 A 2.00

5

B

8.50 3Ø1"

2.00 2Ø1"

2Ø1" 3Ø1"

C

8.50 2.00

3Ø1"

2.00 1Ø1"

2Ø1" 3Ø1"

D

8.50 2.00

3Ø1"

2.00 1Ø1"

1Ø1"

E

8.50 2.00

2Ø1"

1Ø1"

3Ø1"

2.00

3Ø1"

3Ø1"

F

8.50 2.00

2.00

3Ø1" 2Ø1"

2Ø1" 3Ø1"

Figura 7.7. Refuerzo convencional por flexión en trabes

135

La tensión máxima actuante es 13 t (Fig. 7.8), valor menor que 32 t, por lo que se desprecia el efecto de la fuerza axial. A

B

8.50

-65 t-m -57 t-m

5 28 t-m 30 t-m

(94 t)

3F/32 (99 t)

(5 t)

Figura 7.8. Eje 5, trabe entre ejes A y B, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

b) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 5 (entre los C y D) La cuantía de las trabes de 50x80, con refuerzo adicional en el lecho superior, tanto izquierdo como derecho es de 41”, (ver Fig. 7.7) en el lecho inferior tanto izquierdo como derecho la cuantía que requiere la trabe por flexión es de 31”.

st = (4+3)*5.07/(50*80) st = 0.0089 La tracción máxima actuante es 22 t (Fig. 7.9), valor menor que 32 t, por lo que se desprecia el efecto de la fuerza axial.

136

C

D

8.50

-54 t-m

-55 t-m

5 22 t-m

(165 t) 5F/32 (165 t)

21 t-m

(165 t) 5F/32 (165 t)

Figura 7.9. Eje 5, trabe entre ejes C y D, envolvente de flexión con cargas de gravedad y sismo en la dirección Y, y demanda de carga axial

7.10 ANÁLISIS EN LA DIRECCIÓN X a) Diseño por flexo-tensión de la trabe que se encuentra en el eje 4 (entre los B y C) La cuantía de las trabes de 50x80, con refuerzo en el lecho superior izquierdo la cuantía que requiere la trabe por flexión es de 61” y en el lecho inferior izquierdo la cuantía que requiere la trabe es de 31”, además en el lecho superior derecho la cuantía que requiere la trabe es de 51”, mientras en el lecho inferior derecho, es de 31” (ver Fig. 7.10). Se consideró el caso más crítico para la trabe, que corresponde lecho superior – izquierdo.

st = (6+3)*5.07/(50*80) st = 0.0114 La tensión máxima actuante es 31 t, valor menor que 32 t, por lo que se desprecia el efecto de la fuerza axial.

137

Eje 4

A

B

8.50

4

1.00

3Ø1" 3Ø1" 3Ø1"

C

8.50

2.00

3Ø1"

2.00

2Ø1"

3Ø1" 3Ø1"

8.50

D

E

8.50

2.00

3Ø1"

2Ø1" 3Ø1"

2.00

3Ø1"

F

8.50

1.00

3Ø1"

2.00

3Ø1" 3Ø1"

Figura 7.10. Refuerzo convencional por flexión en trabes

138

REFERENCIAS 

ACI 318-11 (2011), “Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary”, American Concrete Institute Committee 318, Farmington Hills, Michigan, EUA.

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ANIVIP (2012), “Propuesta para Diseño de Sistemas de Piso”, elaborado por el Comité de Diafragmas del ANIVIP, entregado el 2012 al Comité de las NTC-Concreto.

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Blaaunwendraad J. y Hoogenboom P.C.J, (1996), “Stringer Panel Model for Structural Concrete Design”, ACI Journal Structural, V. 93, N° 3, May.-Jun. pp. 1-11.

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CSI (2005). “SAP2000 - linear and nonlinear static and dynamic analysis and design of three-dimensional structures: Basic Analysis Reference Manual”. Computers and Structures, Inc.Berkeley, California.



CSI (2009). “ETABS – User Manual, Extended 3D Analysis of Building Systems”. Computers and Structures, Inc.Berkeley, California.

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Gilbert, R., (1992), “Shrinkage cracking in fully restrained concrete members ”, ACI Journal Structural, V. 89, N° 2, Mar.-Apr., pp. 141-149.



NTC-2004 (2004), “Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal”, Gaceta Oficial del Departamento del Distrito Federal, México DF.

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NTC-Sismo (2004), “Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal ”, Gaceta Oficial del Departamento del Distrito Federal, México DF.

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Rodriguez M. y Restrepo J. (2012), “Práctica y Diseño Sísmico de Edificios en México – Cambios Necesarios”, Revista de Ingeniería Sísmica No. 86, pp. 89-118.

139