Ejemplo Dinafacil

DINAFACIL Ejemplo de análisis estático, método matricial, paso a paso.

Hoja 1 de 35

Introducción Para mostrar lo que realiza el programa DINAFACIL a continuación se desarrolla el siguiente ejemplo paso a paso:

18 Ton.

T/ m 8 8 . 2

0 0 . 4

2

3 0 0 . 4

3

3.5 Ton. 4

2

4 0 0 . 6

1

0 0 . 4

5 0 0 . 2

1

10.00

6.00

Acotaciones en metros Modulo de elasticidad E = 20,407,340 T/m2 Modulo de Poisson v = 0.32 Propiedades de las vigas 1 y 4 Área = 0.011419 m2 Área de cortante = 0.002742 m2 Inercia = 0.00014318 m4 Propiedades de las vigas 2 y 3 Área = 0.017871 m2 Área de cortante = 0.008083 m2 Inercia = 0.00111966 m4

Consultas y comentarios: [email protected]


Hoja 2 de 35

El análisis estático de una estructura se resuelve de acuerdo a las siguientes ecuaciones: { F } = [ MR ] { D } { D } = [ MR ]-1 { F } Donde: { F } : Vector de fuerzas aplicadas a la estructura. [ MR ] : Matriz de rigidez de la estructura. { D } : Vector de desplazamientos de la estructura. El análisis consiste en determinar el vector de desplazamientos { D } ante las cargas externas definidas por el vector de fuerzas { F }; Una vez obtenido el vector de desplazamiento { D } se pueden obtener los elementos mecánicos para cada elemento de la estructura. El procedimiento es el siguiente: 1.- Se determina la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales. 2.- Se transforma la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales a coordenadas globales. 3.- Se forma la matriz de rigidez global a partir de la sumatoria de las matrices de rigidez de cada viga en coordenadas globales. 4.- De la matriz de rigidez global se extraen los grados de libertad rígidos para obtener la matriz global reducida. 5.- Se invierte la matriz global reducida. 6.- Las cargas aplicadas en cada viga en coordenadas locales se transforman a coordenadas globales para formar el vector de fuerza global. 7.- Se obtiene el vector de desplazamientos en coordenadas globales multiplicando la matriz global reducida invertida por el vector de fuerza global. 8.- El vector de desplazamientos en coordenadas globales se transforma a coordenadas locales para cada viga. Los elementos mecánicos de cada viga (fuerza axial, cortante y momento) se obtienen a partir de la multiplicación de la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales por el vector de desplazamientos en coordenadas locales.



Hoja 2 de 35

El análisis estático de una estructura se resuelve de acuerdo a las siguientes ecuaciones: { F } = [ MR ] { D } { D } = [ MR ]-1 { F } Donde: { F } : Vector de fuerzas aplicadas a la estructura. [ MR ] : Matriz de rigidez de la estructura. { D } : Vector de desplazamientos de la estructura. El análisis consiste en determinar el vector de desplazamientos { D } ante las cargas externas definidas por el vector de fuerzas { F }; Una vez obtenido el vector de desplazamiento { D } se pueden obtener los elementos mecánicos para cada elemento de la estructura. El procedimiento es el siguiente: 1.- Se determina la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales. 2.- Se transforma la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales a coordenadas globales. 3.- Se forma la matriz de rigidez global a partir de la sumatoria de las matrices de rigidez de cada viga en coordenadas globales. 4.- De la matriz de rigidez global se extraen los grados de libertad rígidos para obtener la matriz global reducida. 5.- Se invierte la matriz global reducida. 6.- Las cargas aplicadas en cada viga en coordenadas locales se transforman a coordenadas globales para formar el vector de fuerza global. 7.- Se obtiene el vector de desplazamientos en coordenadas globales multiplicando la matriz global reducida invertida por el vector de fuerza global. 8.- El vector de desplazamientos en coordenadas globales se transforma a coordenadas locales para cada viga. Los elementos mecánicos de cada viga (fuerza axial, cortante y momento) se obtienen a partir de la multiplicación de la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales por el vector de desplazamientos en coordenadas locales.



Hoja 3 de 35

Paso 1

Determinación de la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales. Matriz de rigidez de una viga en coordenadas locales: -EA L

EA L 12 E I L3(1+Fi) 6EI L2(1+Fi)

6EI L2(1+Fi) (4+Fi) E I L (1+Fi)

-EA L

-12 E I L3(1+Fi) -6 E I L2(1+Fi)

6EI L2(1+Fi) (2-Fi) E I L (1+Fi)

12 E I L3(1+Fi) -6 E I L2(1+Fi)

-6 E I L2(1+Fi) (4+Fi) E I L (1+Fi)

EA L -12 E I L3(1+Fi) 6EI 2 L (1+Fi)

-6 E I L2(1+Fi) (2-Fi) E I L (1+Fi)

Note que la matriz es simétrica. E = Módulo de Elasticidad. A = Área de la viga. L = Longitud de la viga. I = Momento de Inercia de la viga. Fi = ( 12 E I ) / ( EG Av L 2 ) EG = Módulo de Cortante = E / ( 2 ( 1 + V )) V = Módulo de Poisson. Av = Área de cortante de la viga.



Hoja 4 de 35

Datos para determinar la matriz de rigidez de la viga 1 en coordenadas locales: E 2.04073400000000E+0007 A 1.14190000000000E-0002 L 6.00000000000000E+0000 I 1.43180000000000E-0004 v 3.20000000000000E-0001 Av 2.74200000000000E-0003 Matriz de rigidez de la viga 1: 38838.57

-38838.57

155.20

465.59

-155.20

465.59

465.59

1883.76

-465.59

909.79

-38838.57

38838.57 -155.20

-465.59

155.20

-465.59

465.59

909.79

-465.59

1883.76


-33861.51

211.47

1138.78

-211.47

1138.78

1138.78

8254.02

-1138.78

4011.01

-33861.51

33861.51 -211.47

-1138.78

211.47

-1138.78

1138.78

4011.01

-1138.78

8254.02



Hoja 5 de 35


-50574.73

674.32

2431.28

-674.32

2431.28

2431.28

11934.72

-2431.28

5597.47

-50574.73

50574.73 -674.32

-2431.28

674.32

-2431.28

2431.28

5597.47

-2431.28

11934.72


-58257.85

496.52

993.05

-496.52

993.05

993.05

2716.58

-993.05

1255.62

-58257.85

58257.85 -496.52

-993.05

496.52

-993.05

993.05

1255.62

-993.05

2716.58



Hoja 6 de 35

Paso 2

Se transforma la matriz de rigidez de cada viga de coordenadas locales a coordenadas globales. Para esto se determina la matriz de giro de cada viga: YG G : Global L : Local

YL

XL "B"

θ XG

"A" "C" "D"

Sistema de Coordenadas

LOX = coseno del ángulo “A” entre XL y XG MOX = coseno del ángulo “B” entre XL y YG LOY = coseno del ángulo “C” entre YL y XG MOY = coseno del ángulo “D” entre YL y YG



equivale a coseno de θ



equivale a seno de θ



equivale a menos seno de θ



equivale a coseno de θ

Matriz de Giro de una viga LOX MOX LOY

MOY 1.0 LOX

MOX

LOY

MOY 1.0



Hoja 7 de 35

Matriz de giro de la viga 1 YG

XL

YL XG

LOX = ángulo entre XL y XG = 270°  coseno de 270° = 0.0 MOX = ángulo entre XL y YG = 360°  coseno de 360° = 1.0 LOY = ángulo entre YL y XG = 180°  coseno de 180° = -1.0 MOY = ángulo entre YL y YG = 270°  coseno de 270° = 0.0 1.0 -1.0 1.0 1.0 -1.0 1.0 Matriz de giro de la viga 2 YG

YL XL

XG

LOX = ángulo entre XL y XG = 338.19859°  coseno de 338.19859° = 0.9285 MOX = ángulo entre XL y YG = 68.19859°  coseno de 68.19859° = 0.3714 LOY = ángulo entre YL y XG = 248.19859°  coseno de 248.19859° = -0.3714 MOY = ángulo entre YL y YG = 338.19859°  coseno de 338.19859° = 0.9285


DINAFACIL Ejemplo de análisis estático, método matricial, paso a paso. 0.9285

0.3714

-0.3714

0.9285

Hoja 8 de 35

1.0 0.9285

0.3714

-0.3714

0.9285 1.0


YL

XG XL

LOX = ángulo entre XL y XG = 33.69°  coseno de 33.69° = 0.8321 MOX = ángulo entre XL y YG = 123.69°  coseno de 123.69° = -0.5547 LOY = ángulo entre YL y XG = 303.69°  coseno de 303.69° = 0.5547 MOY = ángulo entre YL y YG = 33.69°  coseno de 33.69° = 0.8321 0.8321

-0.5547

0.5547

0.8321 1.0 0.8321

-0.5547

0.5547

0.8321 1.0



Hoja 9 de 35


YL XG

XL

LOX = ángulo entre XL y XG = 90°  coseno de 90° = 0.0 MOX = ángulo entre XL y YG = 180°  coseno de 180° = -1.0 LOY = ángulo entre YL y XG = 0°  coseno de 0° = 1.0 MOY = ángulo entre YL y YG = 90°  coseno de 90° = 0.0

-1.0 1.0 1.0 -1.0 1.0 1.0



Hoja 10 de 35

Ahora con la matriz de giro de cada viga se determina la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas globales de la siguiente forma:

[VG] = [G]T X [VL] X [G] [VG] = Matriz de rigidez de una viga en coordenadas globales. [G]T = Matriz de giro Traspuesta de una viga. [G] = Matriz de giro de una viga. [VL] = Matriz de rigidez de una viga en coordenadas locales.

Matriz de rigidez de la viga 1 en coordenadas globales 155.20

-465.59

-155.20

38838.57

-465.59 -38838.57

-465.59

1883.76

465.59

909.79

-155.20

465.59

155.20

465.59

-38838.57 -465.59

38838.57 909.79

465.59

1883.76


11603.46

-422.93

-29220.12 -11603.46

-422.93

11603.46

4852.85

1057.33

-11603.46

-4852.85

1057.33

-422.93

1057.33

8254.02

422.93

-1057.33

4011.01

-29220.12 -11603.46

422.93

29220.12

11603.46

422.93

-11603.46

-4852.85

-1057.33

11603.46

4852.85

-1057.33

-422.93

1057.33

4011.01

422.93

-1057.33

8254.02



Hoja 11 de 35

Matriz de rigidez de la viga 3 en coordenadas globales 35220.76 -23030.96

1348.63

-35220.76 23030.96

1348.63

-23030.96

16028.29

2022.95

23030.96

-16028.29

2022.95

1348.63

2022.95

11934.72

-1348.63

-2022.95

5597.47

-35220.76 23030.96

-1348.63

35220.76 -23030.96

-1348.63

23030.96

-16028.29

-2022.95

-23030.96

16028.29

-2022.95

1348.63

2022.95

5597.47

-1348.63

-2022.95

11934.72


993.05

-496.52

58257.85

993.05 -58257.85

993.05

2716.58

-993.05

1255.62

-496.52

-993.05

496.52

-993.05

-58257.85 993.05

58257.85 1255.62

-993.05


2716.58


Hoja 12 de 35

Paso 3

Se forma la matriz de rigidez global a partir de la sumatoria de las matrices de rigidez de cada viga en coordenadas globales. Las casillas de izquierda a derecha y de arriba abajo están definidas por los nodos de la estructura, y los grados de libertad que para el caso de una estructura plana son: desplazamiento en “X”, desplazamiento en “Y” y giro en “Z”. Matriz de la viga 1 en coordenadas globales sobre la matriz global NODO 1

2

3 4 5

dx dx dy gz dx dy gz dx dy gz dx dy gz dx dy gz

NODO 1 dy

155.20

gz

dx

-465.59

-155.20

38838.57

NODO 2 dy

NODO 3 gz -465.59

-38838.57

-465.59

1883.76

465.59

909.79

-155.20

465.59

155.20

465.59

-38838.57 -465.59

38838.57 909.79

465.59

1883.76


dx

dy

gz

NODO 4 dx

dy

gz

NODO 5 dx

dy

gz


Hoja 13 de 35

Matriz de la viga 2 en coordenadas globales sobre la matriz global NODO 1 dx

NODO 1 2 3 4 5

dx dy gz dx dy gz dx dy gz dx dy gz dx dy gz

dy

gz

dx

NODO 2 dy

gx

dx

NODO 3 dy

NODO 4 gz

29220.12

11603.46

-422.93

-29220.12

-11603.46

-422.93

11603.46

4852.85

1057.33

-11603.46

-4852.85

1057.33

-422.93

1057.33

8254.02

422.93

-1057.33

4011.01

-29220.12

-11603.46

422.93

29220.12

11603.46

422.93

-11603.46

-4852.85

-1057.33

11603.46

4852.85

-1057.33

-422.93

1057.33

4011.01

422.93

-1057.33

8254.02


dx

dy

gz

NODO 5 dx

dy

gz


Hoja 14 de 35


NODO

1 2 3 4 5


dy

gz

NODO 2 dx

dy

gz

dx

NODO 3 dy

dx

NODO 4 dy

gz

35220.76

-23030.96

-23030.96

gz

1348.63

-35220.76

23030.96

1348.63

16028.29

2022.95

23030.96

-16028.29

2022.95

1348.63

2022.95

11934.72

-1348.63

-2022.95

5597.47

-35220.76

23030.96

-1348.63

35220.76

-23030.96

-1348.63

23030.96

-16028.29

-2022.95

-23030.96

16028.29

-2022.95

1348.63

2022.95

5597.47

-1348.63

-2022.95

11934.72


NODO 5 dx

dy

gz


Hoja 15 de 35


NODO

1 2 3 4

5


dy

gz

NODO 2 dx

dy

dx

NODO 3 dy

gz

dx

NODO 4 dy

dx

496.52

NODO 5 dy

gz

993.05

-496.52

58257.85

dx

dy

993.05 -58257.85

993.05

2716.58

-993.05

1255.62

-496.52

-993.05

496.52

-993.05

-58257.85 993.05


58257.85 1255.62

-993.05

2716.58


Hoja 16 de 35

La matriz de cada viga se suma algebraicamente para formar la matriz de rigidez global la cual queda como sigue: Matriz de Rigidez Global: NODO 1 dx

NODO dx dy gz dx dy gz dx dy gz dx dy gz dx dy gz

1 2 3 4 5

dy

155.20

NODO 2 gz

dx

dy

-465.59

-155.20

1883.76

465.59

465.59

29375.32

11603.46

11603.46 42.66 -29220.12 -11603.46 -422.93

43691.42

dy

-29220.12 -11603.46 422.93

-11603.46 -4852.85 -1057.33 -11427.50

NODO 4 gz

dx

NODO 5

dy

gz

dx

dy

gz

-38838.57

-38838.57 -465.59

dx

-465.59

38838.57

-465.59 -155.20

NODO 3 gz

909.79

1057.33 -11603.46 -4852.85 1057.33

909.79 42.66 1057.33 10137.78

422.93 -1057.33 4011.01

64440.88

-11427.50 1771.56 -35220.76 23030.96 1348.63

20881.14

965.62 23030.96 -16028.29 2022.95

-422.93 1057.33 4011.01 1771.56 965.62

-35220.76 23030.96 -1348.63

20188.74

-1348.63 -2022.95 5597.47

35717.28

-23030.96 -355.58 -496.52

23030.96 -16028.29 -2022.95 -23030.96 74286.14

1348.63 2022.95 5597.47 -355.58 -2022.95

-2022.95

-496.52

14651.30

-993.05

-993.05

496.52

1255.62

-993.05

-58257.85 993.05

993.05 -58257.85 1255.62 -993.05 58257.85 2716.58

Note que la matriz es simétrica. Paso 4

De la matriz de rigidez global se extraen los grados de libertad rígidos para obtener la matriz global reducida. Como los nodos 1 y 5 son soportes rígidos se eliminan de la matriz global para obtener la matriz global reducida. Matriz Global Reducida.

N O D O

2 3 4

dx dx dy gz dx dy gz dx dy gz

NODO 2 dy

29375.32

11603.46

11603.46 42.66 -29220.12 -11603.46 -422.93

43691.42

1057.33 -11603.46 -4852.85 1057.33

gz

dx

42.66 1057.33

-29220.12 -11603.46 422.93

10137.78

422.93 -1057.33 4011.01

64440.88

NODO 3 dy -11603.46 -4852.85 -1057.33 -11427.50

-11427.50 1771.56 -35220.76 23030.96

965.62 23030.96 -16028.29

1348.63

2022.95

20881.14

Note que la matriz es simétrica. Consultas y comentarios: [email protected]

gz -422.93 1057.33 4011.01 1771.56 965.62

dx

gz

-1348.63 -2022.95

35717.28

23030.96 -16028.29 -2022.95 -23030.96

-23030.96

74286.14

1348.63 2022.95 5597.47 -355.58 -2022.95

5597.47

-355.58

-2022.95

14651.30

20188.74

-35220.76 23030.96 -1348.63

NODO 4 dy


Hoja 17 de 35

Paso 5

Se invierte la matriz global reducida. Se usara el método de Choleski el cual consiste de los siguientes pasos: Primero se determina la matriz triangular inferior y la matriz triangular superior que equivalgan a la matriz por invertir: [ A ] = [ TI ] X [ TS ] El proceso para formar esas matrices triangulares es:

−

1

  − �  =



 ≥

=1

− ∑  −       1 =1

=



  <

= 1.0

La matriz triangular inferior “TI” de la matriz por invertir se muestra a continuación: 29375.32 11603.46 42.66 -29220.12 -11603.46 -422.93

39107.97 1040.48 -61.30 -269.40 1224.39

10110.04 467.00 -1033.31 3979.05

35353.47 -22922.35 1168.99 -35220.76 23030.96 1348.63

1327.92 1971.62 194.66 -1095.56 2897.37


15612.26 -473.05 -1157.85 1251.03

585.87 39.06 601.17

58290.32 -458.42

7557.40


Hoja 18 de 35

La matriz triangular superior “TS” de la matriz por invertir se muestra a continuación: 1.0000000000

0.3950071897

0.0014522630

-0.9947167371

-0.3950071897

-0.0143975257

1.0000000000

0.0266052799

-0.0015675613

-0.0068886173

0.0313079638

1.0000000000

0.0461915484

-0.1022064631

0.3935741580

1.0000000000

-0.6483762698

0.0330656601

-0.9962461925

0.6514484459

0.0381470474

1.0000000000

1.4847456771

0.1465893133

-0.8250230976

2.1818906663

1.0000000000

-0.0302999424

-0.0741628961

0.0801311056

1.0000000000

0.0666717562

1.0261179881

1.0000000000

-0.0078643670 1.0000000000

Ahora se invierte la matriz triangular inferior TI de acuerdo al siguiente procedimiento: [TI] X [TI]-1 = [ I ] = [TI] [M] Por lo tanto [M] será la matriz invertida de [TI]. 1

  =

1

−

1

 −  �   

 

=

>

=



=0

 


<


Hoja 19 de 35

La matriz “M” que es la inversa de la matriz triangular inferior “TI” se muestra a continuación: 0.0000340422 -0.0000101004

0.0000255702

0.0000008958

-0.0000026316

0.0000989116

0.0000281070

0.0000000791

-0.0000013066

0.0000282858

0.0007812923

0.0000045052

0.0000544138

0.0004882664

0.0007530602

-0.0000992851

-0.0000019095

-0.0000319832

-0.0000637793

-0.0000951012

0.0000640522

0.0013499572

0.0000017166

-0.0001224506

0.0014867337

-0.0003269967

0.0000517180

0.0017068679

0.0000007023

0.0000000143

0.0000009857

-0.0000042622

0.0000124838

0.0000012376

-0.0000011438

0.0000171555

-0.0003954560

-0.0000015609

-0.0000055333

-0.0003002061

-0.0002461975

-0.0000146420

-0.0001358460

0.0000010406

0.0001323207

La inversa de la matriz triangular superior “TS” se obtiene en forma similar a la inversa de la matriz “TI” mediante el siguiente procedimiento: [N] matriz inversa de [TS] donde:



=1

−

1

 − � 

 

=

<

  =



=0

  >

La matriz “N” que es la inversa de la matriz triangular superior “TS” se muestra a continuación: 1.0000000000

-0.3950071897

0.0090570138

0.9936791816

1.0374898229

-1.5500653978

0.7908972883

0.0409344587

-2.9886188444

1.0000000000

-0.0266052799

0.0027965004

0.0059825702

-0.0298118766

0.0010057239

0.0008359943

-0.0117965505

1.0000000000

-0.0461915484

0.0722569593

-0.4993300119

-0.0717399229

0.0574563397

-0.0418173648

1.0000000000

0.6483762698

-0.9957395239

0.8710303101

-0.2484430946

-2.2687771869

1.0000000000

-1.4847456771

-0.1915770218

0.7276828348

-1.8606129606

1.0000000000

0.0302999424

0.0721427457

-0.1106550645

1.0000000000

-0.0666717562

-1.0266423192

1.0000000000

0.0078643670 1.0000000000



Hoja 20 de 35

Ahora se multiplica la matriz “M” por la matriz “N” y se obtiene la inversa de la matriz global reducida: 0.0032800242 0.0000036116 0.0000253588 0.0027064213 0.0014063863 -0.0000145716 0.0017559023 -0.0000024078 -0.0003954560

0.0000036116 0.0000257445 -0.0000014133 0.0000099346 0.0000099262 -0.0000016837 0.0000033182 0.0000000021 -0.0000015609

0.0000253588 -0.0000014133 0.0001279465 -0.0000285282 0.0001363721 -0.0000350100 -0.0001168356 0.0000009422 -0.0000055333

0.0027064213 0.0000099346 -0.0000285282 0.0023855235 0.0008536043 0.0000141805 0.0017952222 -0.0000066231 -0.0003002061

0.0014063863 0.0000099262 0.0001363721 0.0008536043 0.0014240690 -0.0000768656 -0.0000750722 0.0000105476 -0.0002461975

-0.0000145716 -0.0000016837 -0.0000350100 0.0000141805 -0.0000768656 0.0000673288 0.0000666675 0.0000011225 -0.0000146420

0.0017559023 0.0000033182 -0.0001168356 0.0017952222 -0.0000750722 0.0000666675 0.0018464094 -0.0000022121 -0.0001358460

-0.0000024078 0.0000000021 0.0000009422 -0.0000066231 0.0000105476 0.0000011225 -0.0000022121 0.0000171637 0.0000010406

-0.0003954560 -0.0000015609 -0.0000055333 -0.0003002061 -0.0002461975 -0.0000146420 -0.0001358460 0.0000010406 0.0001323207

Note que la matriz es simétrica. Paso 6

Las cargas aplicadas en cada viga en coordenadas locales se transforman a coordenadas globales para formar el vector de fuerza global. La carga de 3.5 Ton. en el nodo 2 en dirección X corresponde a la siguiente localización del vector de fuerzas en coordenadas globales: Nodo Fuerza Fx 2 Fy Mz Fx 3 Fy Mz Fx 4 Fy Mz

3.5



Hoja 21 de 35

La carga de -18.0 Ton. en el nodo 3 en dirección Y corresponde a la siguiente localización del vector de fuerzas en coordenadas globales: Nodo Fuerza Fx 2 Fy Mz Fx 3 Fy Mz Fx 4 Fy Mz

-18.00

La carga de la viga 2 se determina como sigue: W : -2.8 T/M L : 10.77 M V1 = V2 = -2.8 X 10.77 / 2 = -15.078 T M1 = M2 = -2.8 X 10.772 / 12 = -27.065 T-M para M2 se invierte el signo. Se tiene que transformar el vector fuerza a coordenadas globales. Se multiplica la matriz de giro transpuesta de la viga 2 por el vector de fuerza en la viga 2. { Fcg } = [ G ]T X { F } 0.9285

-0.3714

0.3714

0.9285

-15.078 1.0

-27.065 0.9285

-0.3714

0.3714

0.9285 1.0

-15.078 27.065


5.6 -14.0 -27.065 5.6 -14.0 27.065


Hoja 22 de 35

Ahora se suman los tres vectores de fuerza. El vector de fuerza de la viga 2 corresponde a los nodos 2 y 3. El vector de fuerza global queda como sigue: Nodo Fuerza Fx 2 Fy Mz Fx 3 Fy Mz Fx 4 Fy Mz

9.1 -14.0 -27.065 5.6 -32.0 27.065

Paso 7

Se obtiene el vector de desplazamientos en coordenadas globales multiplicando la matriz global reducida invertida por el vector de fuerza global.

{ D } = [ MR ] -1 { F } El vector de desplazamiento resultante en coordenadas globales se muestra a continuación: Nodo Desplazamiento dx 2 dy Giro z dx 3 dy Giro z dx 4 dy Giro z

-0.0011315 -0.0005969 -0.0086838 0.0116889 -0.0339025 0.0052001 0.0333546 -0.0003917 0.0023738



Hoja 23 de 35

Paso 8

El vector de desplazamientos en coordenadas globales se transforma a coordenadas locales para cada viga y se obtienen los elementos mecánicos correspondientes. Viga 1 Los desplazamientos del nodo 1 valen 0, por lo tanto el vector de desplazamiento en coordenadas globales se muestra a continuación: 0.0 0.0 0.0 -0.0011315 -0.0005969 -0.0086838 Para transformar los desplazamientos a coordenadas locales se debe multiplicar la matriz de giro por los desplazamientos globales como se muestra a continuación: { D local } = [ G ] X { D global } 0.0 0.0

1.0 -1.0 1.0 1.0 -1.0 1.0


0.0 -0.0011315 -0.0005969 -0.0086838


Hoja 24 de 35

Los desplazamientos en coordenadas locales de la viga 1 son: 0.0 0.0 0.0 -0.0005969 0.0011315 -0.0086838 Ahora se multiplica la matriz de rigidez de la viga 1 por los desplazamientos en coordenadas locales para obtener los elementos mecánicos. 38838.57

-38838.57 155.20

465.59

-155.20

465.59

465.59

1883.76

-465.59

909.79

-38838.57

38838.57 -155.20

-465.59

155.20

-465.59

465.59

909.79

-465.59

1883.76

Elementos mecánicos obtenidos: Fuerza axial (Ton.) en nodo 1 Cortante (Ton.) en nodo 1 Momento (T-M) en nodo 1 Fuerza axial (Ton.) en nodo 2 Cortante (Ton.) en nodo 2 Momento (T-M) en nodo 2

23.182 -4.219 -8.427 -23.182 4.219 -16.885


0.0 0.0 0.0 -0.0005969 0.0011315 -0.0086838


Hoja 25 de 35

Viga 2 Los desplazamientos del nodo 2 y 3 en coordenadas globales se muestran a continuación: -0.0011315 -0.0005969 -0.0086838 0.0116889 -0.0339025 0.0052001 Para transformar los desplazamientos a coordenadas locales se debe multiplicar la matriz de giro de la viga 2 por los desplazamientos globales como se muestra a continuación: { D local } = [ MG ] X { D global } Consultas y comentarios: [email protected]


0.9285

0.3714

Hoja 26 de 35

-0.0011315 -0.0005969

-0.3714 0.9285 1.0 0.9285

-0.0086838 0.0116889 -0.0339025 0.0052001

0.3714

-0.3714 0.9285 1.0

Los desplazamientos en coordenadas locales de la viga 2 son: -0.0012723 -0.0001340 -0.0086838 -0.0017382 -0.0358188 0.0052001

Ahora se multiplica la matriz de rigidez de la viga 2 por los desplazamientos en coordenadas locales para obtener los elementos mecánicos. 33861.51

-33861.51 211.47

1138.78

-211.47

1138.78

1138.78

8254.02

-1138.78

4011.01

211.47

-1138.78

-33861.51

33861.51 -211.47

-1138.78

1138.78

4011.01

-1138.78 8254.02


-0.0012723 -0.0001340 -0.0086838 -0.0017382 -0.0358188 0.0052001

DINAFACIL Ejemplo de análisis estático, método matricial, paso a paso. Elementos mecánicos obtenidos: Fuerza axial (Ton.) en nodo 2 Cortante (Ton.) en nodo 2 Momento (T-M) en nodo 2 Fuerza axial (Ton.) en nodo 3 Cortante (Ton.) en nodo 3 Momento (T-M) en nodo 3

15.776 18.657 16.885 -15.776 11.500 21.661


Hoja 27 de 35


Hoja 28 de 35

Viga 3 Los desplazamientos del nodo 3 y 4 en coordenadas globales se muestran a continuación: 0.0116889 -0.0339025 0.0052001 0.0333546 -0.0003917 0.0023738 Para transformar los desplazamientos a coordenadas locales se debe multiplicar la matriz de giro de la viga 3 por los desplazamientos globales como se muestra a continuación: { D local } = [ MG ] X { D global }

0.8321

-0.5547

0.5547

0.8321

0.0116889 -0.0339025 1.0 0.8321

-0.5547

0.5547

0.8321 1.0

0.0052001 0.0333546 -0.0003917 0.0023738

Los desplazamientos en coordenadas locales de la viga 3 son: 0.0284315 -0.0217247 0.0052001 0.0279700 0.0181759 0.0023738 Ahora se multiplica la matriz de rigidez de la viga 3 por los desplazamientos en coordenadas locales para obtener los elementos mecánicos. Consultas y comentarios: [email protected]


50574.73

Hoja 29 de 35

-50574.73 674.32

2431.28

-674.32

2431.28 11934.72 -50574.73

2431.28

-2431.28 5597.47 50574.73

-674.32 -2431.28 2431.28

5597.47

674.32

-2431.28 11934.72


-2431.28

28.398 -8.491 -21.661 -28.398 8.491 -39.571


0.0284315 -0.0217247 0.0052001 0.0279700 0.0181759 0.0023738



Hoja 30 de 35


Hoja 31 de 35

Viga 4 Los desplazamientos del nodo 4 y 5 en coordenadas globales se muestran a continuación: 0.0333546 -0.0003917 0.0023738 0.0 0.0 0.0 Para transformar los desplazamientos a coordenadas locales se debe multiplicar la matriz de giro de la viga 4 por los desplazamientos globales como se muestra a continuación: { D local } = [ MG ] X { D global }

0.0333546 -0.0003917

-1.0 1.0 1.0 -1.0 1.0 1.0 Los desplazamientos en coordenadas locales de la viga 4 son: 0.0003917 0.0333546 0.0023738 0.0 0.0 0.0


0.0023738 0.0 0.0 0.0


Hoja 32 de 35

Ahora se multiplica la matriz de rigidez de la viga 4 por los desplazamientos en coordenadas locales para obtener los elementos mecánicos. 58257.85

-58257.85 496.52

993.05

-496.52

993.05

993.05

2716.58

-993.05

1255.62

-58257.85

58257.85 -496.52

-993.05

496.52

-993.05

993.05

1255.62

-993.05

2716.58


22.818 18.919 39.571 -22.818 -18.919 36.103


0.0003917 0.0333546 0.0023738 0.0 0.0 0.0



Hoja 33 de 35


Hoja 34 de 35

El listado de la corrida de computadora con el programa DINAFACIL se muestra a continuación: DDD I D D I D D I D D I D D I DDD I

N N NN N N N N N N N N NN N N

AA A A A A AAAAAA A A A A

FFFFF F FFFF F F F

AA A A A A AAAAAA A A A A

CCC C C C C C C CCC

I I I I I I

L L L L L LLLLL

******************************************************* * * * ANALI SI S ESTATI CO * * * * VERSI ON 3. 7 ( 4 de Abr i l de 2004) * ******************************************************* * Consul t as a: demet r i o_cur i el @hot mai l . com * ******************************************************* 14/ 02/ 2011 11: 06: 57 AM DATOS DE ENTRADA NUMERO DE MATERI AL 1

MODULO DE ELASTI CI DAD 2. 04073E+0007

MODULO DE POI SSON 0. 320

NODO

X

Y

1 2 3 4 5

0. 00 0. 00 10. 00 16. 00 16. 00

0. 00 6. 00 10. 00 6. 00 2. 00

VI GA

I NI CI O

FI N

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 5

# PROPI EDAD 1 2

AREA 0. 0114 0. 0179

RESTRI CCI ONES X Y Z 1 0 0 0 1

PROPI EDAD 1 2 2 1

AREA CORTANTE 0. 0027 0. 0081


1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

MATERI AL 1 1 1 1

I NERCI A 0. 0001 0. 0011

Ejemplo Dinafacil

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