Diseño de Estructuras en Concreto Realizado por: Andrés E. Villamarín Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad Tecnológica – Tecnología en Construcciones civiles Noviembre de 2010
El diseño de cimentaciones supone el análisis de cargas transmitidas por la estructura al suelo, y el diseño de los elementos apropiados para resistir las cargas y permitir al mismo tiempo, una consolidación segura de la totalidad de la estructura tanto a corto, como a mediano y a largo plazo, teniendo en cuenta los parámetros propuestos por el suelo encargado de tolerar la carga estructural.
ZAPATAS
LOSAS DE CIMENTACION
Las zapatas son elementos encargados de resistir y de transmitir las cargas generadas por elementos puntuales, tal y como son las columnas y los muros (de cualquier material). Se emplean generalmente en suelos altamente estables debido principalmente a su costo reducido y a que su configuración estructural facilita la transmisión de las cargas al suelo. Se pueden clasificar en diversas clases, sin embargo las más empleadas son las tipo corrida y las aisladas, cuyos fenómenos se estudiarán a continuación.
El pre dimensionamiento toma en cuenta la resistencia que ofrece el suelo (que se asume rígida, aunque en la vida practica esta es una suposición errónea debido al comportamiento del suelo de cimentación). El pre dimensionamiento desde luego depende de la carga aplicada sobre el área, en este caso una carga de servicio Ps, que se calcula retirando los factores de mayoración en la carga obtenida por el análisis. Esto se puede observar en la sección C.15.2.2: “El área base de la zapata o el número y distribución de pilotes debe determinarse a partir de las fuerzas y momentos no mayorados transmitidos al suelo o a los pilotes a través de la zapata, y debe determinarse mediante principios de mecánica de suelos la resistencia admisible del suelo o la capacidad admisible de los pilotes.”
De acuerdo a lo expuesto anteriormente, se sabe que la carga actuante ó de servicio (Ps) será entonces:
Donde:
Ps = Pu / FG
Ps = Carga de servicio para el diseño de la zapata, en kN Pu = Carga aplicada sobre la zapata, en kN. FG = Factor de seguridad para el diseño de la zapata.
El área de diseño entonces se calcula mediante la siguiente ecuación:
Donde:
Ad = Ps /qu
Ad = Área de diseño de la zapata, en m². Ps = Carga de servicio, en kN. qu = Resistencia del suelo, en kN/m².
Para el caso de zapatas corridas, el área se divide entre un metro lineal (1 m). En el caso de la zapata aislada, el ancho se obtiene sacando la raíz cuadrada al área de diseño (Ad).
La altura de las zapatas sobre el refuerzo no debe ser menor a 150 mm para zapatas apoyadas sobre el suelo, ni menor a 300 mm en el caso de zapatas apoyadas sobre pilotes. (NSR10, sección C.15.7). El recubrimiento mínimo que debe tener el fondo de la zapata será el siguiente (de acuerdo a la NSR-10, sección C.7.7.1): “Para concreto construido en sitio (tanto pre esforzado cómo no pre esforzado): Condición Concreto colocado sobre el suelo y expuesto permanentemente a él
Recubrimiento Mínimo 75 mm
La zapata debe pre dimensionarse con las cargas sin mayorar, es decir con una combinación de cargas vivas y muertas. El diseño sin embargo debe hacerse de acuerdo a unas cargas mayoradas, cuya combinación será: Pu= 1,2D+1,6L Si se desea incrementar el efecto por sismo, la envolvente de mayoración de carga será:
Al equilibrarse la carga transmitida por la columna con la carga resistente del suelo, se genera unas fuerzas de corte ó cizallamiento que actúan en sectores cercanos al contorno de la columna, más exactamente a una distancia d de las caras de la columna
Al mismo tiempo, los esfuerzos de compresión concentrados que provienen de la columna se distribuyen en la zapata de modo que el elemento queda sometido a una compresión vertical ó ligeramente inclinada, adicional al cortante
d
En consecuencia la combinación de esfuerzos genera una carga inclinada que termina generando un cortante en ambos sentidos de la zapata, la cual muestra una falla de tipo piramidal como muestra el video. Carga aplicada
Área crítica de punzonamiento
Fuerza cortante ejercida por la reacción Carga de compresión aplicada en la zapata
Plano de falla
Carga de punzonamiento resultante
El esfuerzo cortante bidireccional aplicado sobre la zapata concéntrica se calcula mediante la ecuación:
Ʋubd = Pu (B²-(b1+d)(b2+d)) B² 2(b1+d+b2+d)d
El esfuerzo cortante generado, no puede ser mayor al menor de estos tres resultados según NSR-10 sección C.11.11.2.1:
En donde: Vc = Esfuerzo cortante máximo del concreto en MPa. β= Relación del lado largo al lado corto de la columna, la carga concentrada, ó el área de la reacción. = Coeficiente de modificación por ubicación de la columna, la cual será 40 para columnas interiores, 30 para columnas de borde y 20 para columnas de esquina. λ= Coeficiente de composición de material. Este valor será de 1 cuando se emplea concreto normal, 0.75 para concreto liviano en todos sus componentes. Para otros casos, este coeficiente debe ser determinado con base a las dosificaciones volumétricas de los agregados de peso normal y liviano como se especifica en la sección C.8.6.1, pero no debe ser mayor a 0,85.
El esfuerzo cortante directo es resultado de la aplicación de la carga a través de la columna, que al equilibrarse con la resistencia proporcionada por el suelo de cimentación genera un corte sobre la zapata (ver video). Carga aplicada Reacción del suelo Fuerza cortante Plano de falla
La fuerza cortante se calcula, al igual que en las vigas a una distancia equivalente a la altura efectiva de la zapata (d) medida desde la cara de la columna ó del muro en el caso de zapatas corridas.
Como se mencionó anteriormente, el diseño por cortante se toma a una distancia d de la cara de la columna, luego la fuerza cortante generada es calculada mediante la ecuación:
d
d En donde: Vu = Cortante generado, en kN. B = Ancho de la zapata, en m. Pu = Carga aplicada en la zapata ,en kN. d= Altura efectiva de la zapata, en kN. a= Ancho de la columna, en m.
a/2
B
La carga aplicada, calculada anteriormente no debe ser mayor a la carga resistente, que se calcula mediante la ecuación C.11-3 (sección C.11.2.1.1 de la NSR-10):
En donde: λ = Coeficiente de composición del concreto, en el cual será 1 para concreto normal y 0,75 para concreto aligerado. f‘c = Resistencia al esfuerzo de compresión del concreto, en Mpa. bw = Ancho del elemento, en m. d = Altura efectiva del elemento, en m.
El diseño por flexión consiste en realizar el diseño de acuerdo al momento crítico que presente el elemento, según lo cual el momento se calcularía en el centro del ancho de la zapata. Esta suposición es incorrecta, debido a que la rigidez del elemento que sostiene la zapata obliga a que ésta se falle en un plano vertical a través de la zapata, más exactamente en un de los lados de la columna (ver video):
De acuerdo a lo visto anteriormente, el diseño de la zapata se debe realizar a una distancia a/2 del centro de la zapata, siendo a el ancho de la columna, por lo que el momento de diseño de la zapata por flexión es:
En donde: Mu = Momento de diseño de la zapata, en kN.m. Pu = Carga de diseño de la zapata, en kN. B = Ancho de la zapata, en m. a= Ancho de la columna, en m. Desde luego el momento de diseño debe ser igual al momento actuante, con lo cual
El acero de refuerzo, puede calcularse mediante la ecuación siguiente.
En donde: Mu = Momento de diseño, en kN.m AS = Acero de refuerzo, en m². d= Altura efectiva de la zapata, en m. Fy = Esfuerzo de fluencia del acero, en Mpa. β= Coeficiente de Whitney, cuyo valor será 0,85 para f’c iguales ó menores a 28Mpa, y que disminuirá en 0,05 con aumentos de resistencia en 7MPa, pero nunca inferior a 0,65. f’c = Esfuerzo resistente del concreto, en Mpa. b= Ancho del elementos estructural (zapata), en m.
Los elementos diseñados por flexión deben ser revisados por longitud de desarrollo para comprobar los esfuerzos de adherencia que debe tener el elemento.
Para refuerzo #6 ó menores, la longitud de desarrollo será:
Y para #7 ó mayores, será:
En donde: = Coeficiente de recubrimiento del refuerzo, el cual será e 1.3 para recubrimiento mayor a 300mm y de 1.0 para otras situaciones. = Coeficiente de recubrimientos epóxicos del refuerzo, el cual tendrá los siguientes valores: 1.5 para barras ó alambres con recubrimiento epóxico con menos de 3db de recubrimiento, ó separación libre menor a 6db. 1.2 para todas las otras barras ó alambres con recubrimiento epóxico. 1.0 para refuerzo sin recubrimiento y refuerzo recubierto con Zinc galvanizado. Fy= Resistencia de acero (420MPa) f‘c = Resistencia del concreto ,en Mpa. λ = Coeficiente de composición del concreto, el cual es 1.0 para concreto normal y 0.75 para concretos aligerados, según disposición de la sección C.8 de la NSR-10.
Toda zapata debe revisarse por aplastamiento, por lo cual se aplica la revisión del elemento de acuerdo a lo establecido por la NSR-10: “La resistencia de diseño al aplastamiento del concreto no debe exceder 0.85(f’c)(A1) excepto cuando la superficie de soporte sea más ancha en todos los lados que el área cargada, en cuyo caso, se permite que la resistencia de diseño al aplastamiento en el área cargada sea multiplicada por (A2 A1)^(1/2) , pero no más que 2.” La gráfica muestra las áreas evaluadas para el cálculo de la fuerza resistente de aplastamiento de la zapata.
Son casos en los cuales las columnas transmiten a carga axial con cierta excentricidad con valor e, de tal manera que el momento generado queda expresado así
En donde: Pu = Carga de servicio, expresada en kN. e= Excentricidad de la columna, en m.
Por lo cual para equilibrar la carga que presenta cierto grado de excentricidad, se hace una distribución uniforme de presiones en la dirección L de la zapata. Generalmente se presentan dos casos de análisis, los cuales se explicarán a continuación:
Caso e ≤ L/6: Cuando la excentricidad es menor a una sexta parte del ancho de la zapata, se presenta una compresión uniforme a todo lo largo de toda el área de la zapata, tal y como muestra la gráfica:
Luego la hipótesis anterior muestra que las presiones en la zapata son
La presión máxima está dada por la ecuación:
En donde: qMÁX = Presión máxima del suelo, en kN/m². Pu = Carga de Servicio en kN. B = ancho de la zapata, en m. L = Largo de la zapata, en m. e= Excentricidad de la carga, en m.
La presión mínima está dada por la ecuación:
En donde: qMÁX = Presión máxima del suelo, en kN/m². Pu = Carga de Servicio en kN. B = ancho de la zapata, en m. L = Largo de la zapata, en m. e= Excentricidad de la carga, en m.
Caso e > L/6 Cuando la excentricidad supera a una sexta parte de la longitud de la zapata, una parte de ésta queda exenta de presiones y para garantizar su estabilidad, se debe cumplir con la condición que se establece en la figura siguiente, de la cual se deduce por equilibrio estático que:
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO: Se pre dimensiona la zapata, de tal manera que el valor de L sea mucho mayor a 6e. Luego se asume B, con base al razonamiento L/B = 1,5 y se comprueban las presiones máximas y mínimas del suelo. Se revisa la zapata por Punzonamiento, teniendo en cuenta que la resistencia empleada es la resistencia promedio del suelo bajo la zapata. Se calcula el cortante unidireccional por cada sentido de la zapata. Se calcula el acero de refuerzo en el lado del momento de la zapata (lado longitudinal ó principal de la zapata). Se calcula el acero en el lado transversal ó corto de la zapata tomando como base la cuantía de acero mínima, como si fuera una zapata en una sola dirección. La zapata se revisa por longitud de desarrollo para de terminar si cumple con los requisitos de adherencia.
Cálculo de las presiones máximas y mínimas del suelo (Predimensionamiento) Para calcular las presiones máximas y mínimas del suelo, se aplica la siguiente ecuación:
En donde: B = Ancho de la zapata, en m. Ps = Carga de servicio, en kN.
qa = Resistencia del suelo, en kN/m². e= Excentricidad de la columna, en m.
De acuerdo al parámetro expuesto anteriormente, la resistencia máxima y mínima del suelo en la zapata, debe cumplir con los siguientes parámetros:
Donde: qMÁX = Resistencia máxima del suelo, en kN/m². qMÍN = Resistencia mínima del suelo, en kN/m². B = Ancho de la zapata, en m. L = Largo de la zapata, en m. e= Excentricidad de la columna, en m. PS = Carga de servicio, en kN.
Punzonamiento: La fuerza de Punzonamiento trabaja con una resistencia del suelo promedio, la cual se puede calcular aplicando la siguiente ecuación:
En donde: Vup = Carga de Punzonamiento, en kN. Pu = Carga de servicio, en kN. qumáx = Resistencia máxima del suelo, en kN/m². qumín = Resistencia mínima del suelo, en kN/m². lc = Longitud de la cara larga de la columna, en m. bc = Longitud de la cara larga de la columna, en m. d = Altura efectiva de la zapata, en m.
El esfuerzo de Punzonamiento generado en la zapata, es entonces el siguiente:
En donde: Vup = Esfuerzo de Punzonamiento, en kN/m². bo = Perímetro crítico de punzonamiento, en m, la cual se calcula mediante la siguiente ecuación: Donde: lc = Longitud de la cara larga de la columna, en m. bc = Longitud de la cara larga de la columna, en m. d = Altura efectiva de la zapata, en m.
Revisión por cortante directo: La zapata debe ser revisada por cortante directo en ambas direcciones, por lo que se aplican diferentes ecuaciones para cada lado, siendo en el lado más largo:
Luego el esfuerzo cortante está dado por la ecuación:
para el lado más corto de la zapata, se calcula un esfuerzo variable a una distancia d de la cara de la columna, el cual está dado por la ecuación:
Luego se calcula la fuerza cortante en la sección transversal, la cual será:
El esfuerzo cortante será entonces:
Diseño por flexión: Lado largo. Se procede entonces a diseñar la zapata por flexión en el lado más largo, para ello el momento de diseño (Mu), está dado por la ecuación:
Luego:
Y
Luego el acero de diseño se calcula empleando la ecuación de cálculo del acero de refuerzo por flexión, ó aplicando cuantía mínima. El momento de diseño para el lado corto ó transversal de la zapata, se aplica la siguiente ecuación:
El valor de Lv varía para este caso, siendo expresado mediante la ecuación:
El acero de refuerzo se calcula de la misma manera que en el lado largo de la zapata. Para el refuerzo en la dirección corta, una porción del refuerzo total) debe distribuirse uniformemente sobre un ancho de banda centrada sobre el eje de la columna o pedestal, igual a la longitud del lado corto de la zapata. El resto del refuerzo que se requiere en la dirección corta, debe distribuirse uniformemente por fuera del ancho de la banda central de la zapata. El acero que debe estar entonces sobre el ancho de banda del eje de la columna ó pedestal, está dado por la ecuación:
Siendo β la relación L/B de la zapata.
Revisión por aplastamiento: Luego de ser revisada por Punzonamiento, cortante y flexión se procede a revisar el elemento por aplastamiento de acuerdo a lo visto anteriormente, es decir, la resistencia de diseño de concreto a los esfuerzos de contacto ó (aplastamiento) no debe ser mayor de
En donde: A1 = Área de la columna cargada, en m. f‘c = Resistencia a la compresión proporcionada por el concreto, en Mpa Phi = Factor de seguridad para el diseño por aplastamiento, en este caso es de 0,70.
cuando la superficie de apoyo sea más ancha en todos los lados que el área cargada, la resistencia de diseño al aplastamiento sobre el área cargada puede multiplicarse por de acuerdo a lo visto anteriormente.
Esta situación se presenta cuando la viga de amarre no toma momentos. La zapata entonces trabaja a carga axial y a momentos con respecto a leje de las “x” y al eje de las “y”. Tal como lo muestra la figura:
Predimensionamiento: En principio, las excentricidades se calculan con base a lo mostrado en la sección de zapatas uniaxiales, por lo que las excentricidades para cada eje serán:
Si se asume entonces que ex ≤ L/6 y ey ≤ B/6 entonces la distribución la superficie bako la zapata estará sometida a compresión con una distribución de presiones en forma de prisma rectangular truncado por un plano inclinado, dificultando el proceso de diseño de la zapata, tal y como se observa en la siguiente figura:
La presión del suelo está dada por la ecuación:
Donde qa es la presión admisible del suelo, en kN/m².
Debido a que existe infinita cantidad de L y B que cumplen con estas condiciones, se asume que q = qa y que B≥ 6ey para así despejar L², que presentará dos raíces, de las cuales se escogerá la correcta.
Pre dimensionamiento:
en el evento de que ey = 2ex la longitud en la dirección Y debe ser igual a la longitud en la dirección X. Sin embargo y para evitar errores en la colocación del refuerzo durante la construcción de la zapata, se recomienda considerar B=L. Las presiones en los 4 puntos de la zapata serán entonces:
Punto 1:
Punto 2:
Punto 3:
Punto 4:
Punzonamiento La carga de Punzonamiento se calcula tomando la presión máxima del suelo (Presión en el punto 3 de la zapata) y la presión en el punto 4, para aplicar la ecuación que se muestra a continuación:
El esfuerzo de Punzonamiento es dado entonces por:
Luego:
Revisión por cortante directo a una distancia d: Debido a que existe una variación de presiones sobre la superficie de la zapata, se hace necesario calcular la carga actuante sobre la superficie del elemento sometido a cortante, por lo cual se aplican las siguientes ecuaciones para determinar la carga y con ello la fuerza y el esfuerzo con base a la siguiente gráfica:
La carga variable qud está dada por la ecuación:
La fuerza cortante actuante sobre la zapata estará dada por la ecuación:
Y el esfuerzo cortante será entonces:
Diseño por flexión: Debido al hecho de que la zapata biaxial se dimensiona de tal modo que B= L, se hace el diseño por flexión como en una zapata cuadrada, sólo que para este caso se toma como elemento para diseño el voladizo más crítico (el que tiene mayor nivel de carga). La ecuación para calcular el momento de diseño, será:
Donde:
Y:
El refuerzo debe distribuirse uniformemente en ambas direcciones
Las zapatas también deben revisarse finalmente por aplastamiento siguiendo los parámetros mencionados anteriormente:
Ejercicio de aplicación.
Son zapatas que se encargan de soportar columnas dispuestas de tal manera que una de sus caras coincida con el borde de la zapata. Sui necesidad de uso es muy frecuente debido a los límites de colindancia con edificaciones adyacentes.
Modelo de zapata
Hipótesis para el análisis y el diseño
HIPÓTESIS PARA EL PREDIMENSIONAMIENTO: Para el diseño, se fijan las dimensiones de la zapata (B, L y h) y con el valor del coeficiente de Balasto (K), el cual debe conocerse previamente, se resuelve el sistema de ecuaciones en los cuales se calcula qmáx, qmín y T, iniciando entonces por la expresión de Meyerhoff:
La cual se puede simplificar a :
En donde: B = ancho de la zapata, en m. qa = Esfuerzo admisible del suelo, en kN/m². PS = Carga de servicio, en kN. e= Excentricidad de la columna, en m.
La excentricidad durante el proceso de pre dimensionamiento también debe cumplir que sea menor a la sexta parte del ancho de la zapata. La tensión se calcula mediante la ecuación:
En donde: Ts = Tensión actuante sobre la columna, en kN. Ps = Carga de servicio,en kN. B = Ancho de la zapata, en mm. b2 = Ancho de la columna, en mm Ms = Momento de servicio, en kN.mm. c = Distancia de la parte superior de la zapata a la viga aérea, en mm (se recomienda tomar 1m, es decir, 1000mm). h = Altura de la zapata, en mm. k = coeficiente de balasto. λ = Coeficiente de apoyo viga columna, el cual tiene valor de 1 para apoyo articulado y 0,75 para apoyo empotrado (generalmente se toma como empotrado). E = Módulo de elasticidad del material de la columna, como se manejan dos materiales, (concreto y acero) se toma el menor, Ec = 4700(f’c)^0,5, en kN/mm² Ic = Inercia de la columna, en mm4. L = Largo de la zapata, en m.
K es el coeficiente de balasto como se mencionó anteriormente, este valor está dado por la ecuación:
Luego:
Y
Es es el módulo de elasticidad del suelo, que es el inverso del módulo de compresibilidad del suelo, obtenido mediante el ensayo de consolidación y μ es la relación de Poisson del suelo, la cual es de 0,25 para suelos arenosos y 0,35 para suelos arcillosos.
La presión máxima está dada por la siguiente ecuación:
Que maneja las mismas variables que en la ecuación anterior, al igual que en la ecuación de presión mínima, dada por:
Revisión por Punzonamiento: Para calcular la carga de Punzonamiento, es necesario calcular primero la distribución de la presión del suelo a d/2 de la cara de la columna, por lo que se emplea para eso la siguiente ecuación:
Luego la carga de Punzonamiento está dada por la ecuación:
Luego el esfuerzo por punzonamiento es
con
Revisión por cortante directo: La zapata pasa ahora a revisarse por cortante directo, y debe evaluarse tanto en el lado corto como en el lado largo, tal y como muestra la gráfica, la cual describe el cortante en la sección longitudinal:
La carga distribuida para cortante directo se calcula utilizando las siguientes ecuaciones:
La fuerza cortante se calcula entonces aplicando la ecuación:
Y el esfuerzo viene dado por la ecuación:
La hipótesis para el cálculo de la fuerza cortante está dada por la siguiente gráfica:
Para este caso, se hace la revisión aplicando la fuerza cortante sobre la sección transversal, dada por la ecuación:
El esfuerzo entonces está dado por la ecuación:
Diseño por flexión:
El diseño por flexión debe hacerse en ambas direcciones, por lo cual el momento de diseño varía en ambos casos, siendo el momento de diseño para el lado más largo:
Con:
Para el sentido transversal, se toma una porción de la carga distribuida sobre la zapata, por lo que se debe calcular esta porción mediante la ecuación:
Luego el momento de diseño se calcula con la ecuación:
Con Lv igual a :
Al igual que en las zapatas uniaxiales, el acero en la sección transversal debe distribuirse de tal manera que una parte importante de el quede debajo de la banda del eje central de la columna que se apoya en ella. Se recuerda que este refuerzo debe ir distribuido en una longitud igual al lado corto de la zapata. El área del acero que se debe distribuir en esta sección está dado por la ecuación:
Siendo β la relación L/B.
Revisión de la columna por cortante: La columna al someterse a una tensión lateral T sufre un esfuerzo cortante el cual debe revisarse aplicando la ecuación:
Siendo Vu la tensión T a la que se somete la columna. El esfuerzo no debe sobrepasar al resistido por el concreto. Sin embargo, si esto ocurre, se plantan dos soluciones posibles que entre sí también se pueden combinar: 1) Incluir un pedestal en la columna para así incrementar la sección transversal y con ello la resistencia de la columna 2) ó añadir refuerzo transversal, ó bien a la columna, ó al pedestal diseñado como se verá en el ejemplo adjunto.
En concepto las zapatas esquineras presentan un comportamiento muy similar al de las zapatas medianeras, por lo cual los parámetros de diseño son muy similares. Sin embargo, como se puede observar en la gráfica la zapata se encuentra sometido a dos tensiones, una por cada dirección de la misma.
Para hacer desde luego un estudio más sencillo de este elemento, Calavera ideó un método con el cual se podía trabajar la zapata de tal manera que el diseño fuese uniforme. Para ello hizo un plano justo por la diagonal de la zapata, mostrando así la hipótesis para el diseño, tal y como lo muestra la siguiente figura:
Para las zapatas medianeras, la hipótesis se hace de acuerdo con el corte de B-B de la gráfica anterior, por lo que su hipótesis de carga sería:
De esta gráfica se decuce que el procedimiento de diseño es igual, ó por lo menos muy similar al que presenta una zapata medianera, luego el pre dimensionamiento se logra mediante las siguientes ecuaciones:
Pre dimensionamiento: El pre dimensionamiento de la zapata se logra pre dimensionando asignando un valor de L, B y de K calculado de igual manera que en las zapatas medianeras., para así obtener un valor de qmáx, qmín, y de T. las ecuaciones para la obtención de estos 3 valores son:
El recomienda que por cuestiones prácticas durante el proceso de cálculo se haga de tal manera que la forma de la misma sea cuadrada.
Punzonamiento: El esfuerzo de Punzonamiento se logra calcular mediante una carga de reacción promedio que se calcula mediante la siguiente ecuación:
Luego, se calcula otra carga para la revisión por Punzonamiento, la cual está dada mediante la expresión:
La fuerza cortante por Punzonamiento está dada por la ecuación:
El esfuerzo de Punzonamiento será entonces:
Con:
Revisión por cortante unidireccional: Resulta complicado de acuerdo a la distribución de presiones calculada para este caso determinar una fuerza cortante de diseño, por lo cual se puede aplicar esta ecuación que no obstante es sencilla, es también conservadora:
El esfuerzo cortante está dado por la ecuación:
Diseño por flexión: la hipótesis supone que la placa (zapata) se encuentra apoyada sobre dos vigas virtuales en voladizo. El caso ha sido objeto de estudio por otros autores y se ha encontrado que la placa esta sometida a dos momentos máximos uno en dirección de la diagonal que pasa por la columna (produce tracciones en la cara inferior de la zapata) y otro en dirección ortogonal a la anterior(produce tracciones en la cara superior). La magnitud de estos momentos es prácticamente la misma, obteniéndose por unidad de ancho. Esto entonces muestra que el momento para el diseño del acero de refuerzo para la zapata se divide en dos partes: la primera que consiste en hacer un diseño del acero para la zapata en general y el diseño del refuerzo para las vigas virtuales en la misma, por lo que:
El momento para las vigas virtuales está dado por:
Luego el diseño se hace por flexión normalmente, y se revisa finalmente la longitud de desarrollo y la cuantía de acero, que debe ser superior ó igual a la mínima.
