TEORI BILANGAN PERSAMAAN DIOPHANTINE
OLEH : Kelompok 6 NI PUTU CANDRA CAHYANI
NIM.
1413011069 NI MADE PURNAMA ARY MEGANTARI
NIM.
1313011011 KADEK CANDRA CAHYADI
NIM.
1313011041 MIA AGUSTINA DEVY
NIM.
1313011123
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU IL MU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGARAJA 20!
"#!Pe$%&m&&' D(op)&'*('e Definisi 4.
Persamaan linier
dengan
dan
bilangan
bulat disebut persamaan Diophantine. Penyelesaian persamaan Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian dari suatu persamaan Diophantine, salah satunya adalah melalui perkongruenan. Persamaan Diophantine dapat dituliskan dalam bentuk modulo sebagai berikut. berarti
atau .
Karena itu untuk menyelesaikan persamaan Diophantine
dapat
dilakukan dengan menyelesaikan salah satu perkongruenan atau
. Selanjutnya solusi dari salah satu pengkongruenan
itu disubstitusikan pada persamaan semula.
ontoh !."# Selesaikan Penyelesaian$ berarti atau Akan diselesaikan dengan memilih perkongruenan
' y y
≡
≡
&#( mod % )
#( mod % )
→
y
=
# + %k
Kemudian subtitusikan nilai y = # + %k ke persamaan aal menghasilkan
% x + *( # + %k ) = &# % x + + + !!k = &# % x = −!# − !!k
-adi, penyelesaian dari
adalah untuk k bilangan bulat.
ntuk k/, maka x/0# dan y/#. -adi
adalah suatu solusi dari
. Dapat dikatakan jika (
) adalah suatu solusi dari
maka solusi yang lain adalah
untuk
setiap bilangan bulat k. Apakah setiap persamaan
Diophantus mempunyai solusi1 2ngat
berarti
atau
Kedua perkonggruenan ini dapat diselesaikan apabila
. .
ontoh !."* tidak mempunyai solusi sebab 3eorema
berikut memberikan syarat perlu persamaan Diophantine mempunyai
penyelesaian serta penyelesaiannya. Teo$em& "#+ a) Ditentukan
, maka
tidak mempunyai
penyelesaian. B,k*(:
4isalkan x dan y adalah bilangan0bilangan bulat yang memenuhi
-adi, kontradiksi dengan ketentuan mula0mula, jadi$ tidak mempunyai solusi. b) Ditentukan
, maka persamaan
mempunyai
penyelesaian bulat yang tak hingga banyaknya, yaitu pasangan dengan$
dan
dimana
dan (
) adalah suatu penyelesaian bulat.
B,k*(:
4isalkan
memenuhi
Karena
dan
, maka tentu ada
3ernyata dengan mengambil
sehingga
dan
memenuhi persamaan, sehingga (
, maka (
) merupakan satu penyelesaian.
ntuk menunjukkan terdapat tak hingga banyaknya penyelesaian, ambil$ dan
dengan
-ika nilai0nilai x dan y disubstitusikan ke dalam persamaan, maka diperoleh$
Karena
(
=
ax
+
ab
=
ax
+
by
d +
n + by
(
ab
d
−
(
d
(
d
ba
n−b a
n n
, maka terdapat tak hingga banyaknya
dengan$
)
dan dan memenuhi persamaan Sekarang akan ditunjukkan baha setiap penyelesaian dari
dalam
bentuk$ dan 4isalkan Karena
dan dan
, maka$
atatan$ Keadaan khusus dimana a dan b relati5 prima maka persamaan Diophantine selalu mempunyai penyelesaian yang diberikan oleh dengan
dan
penyelesaian khususnya.
6erikut diberikan algoritma untuk menentukan penyelesaian persamaan Diophantine berdasarkan teorema !.+ . 7itung
dengan cara langsung atau menggunakan algoritma
8uclides. ". 6ila 6ila
maka persamaan Diophantine tidak mempunyai penyelesaian, stop. tulis c / kd.
&. 3emukan bilangan bulat 9 dan sehingga Kedua ruas dikalikan k Diperoleh $ Diambil
dan
sebagai penyelesaian khususnya.
!. :unakan 5ormula pada teorema !.+.b
untuk membangun himpunan semua
penyelesaian.
ontoh !."' Selesaikan persamaan berikiut
.
jaab$ persamaan mempunyai penyelesaian Sesuai dengan teorema Algoritma 8uclides, karena (!, #) / ,
maka tentu ada
x, y
; sehingga !x < #y /
∈
Karena maka x / 0 (!)(0) < (#) () /
atau dan y /
,
-adi$ x / 0 dan y / Penyelesaian persamaannya adalah$
ontoh !."+ Selesaikan persamaan berikut
.
-aab$
persamaan mempunyai penyelesaian. Sesuai dengan teorema Algoritma Euclides, karena ada
sehingga
, maka tentu
% x
+
"" y
=
&
-adi x / ! dan y / 0*! Penyelesaian persamaan adalah
Me*o-e Re-,k%( E,.l(4etode lain untuk menyelesaikan persamaan Diophantine, yaitu metode =eduksi 8uclid. 4etode reduksi dalam menyelesaikan persamaan Diophantine linear adalah mereduksi koe5isien (bukan mereduksi 9ariabel) melalui pembagian berulang (serupa dengan pembagian Algoritma 8uclid), sehingga diperoleh bentuk tanpa pecahan. Selanjutnya dengan bekerja mundur, nilai0 nilai penyelesaian akan diperoleh dan 9ariabel lain yang digunakan dan tidak tercantum dalam persamaan semula, antara lain$ r, s, t dan u, meskipun tanpa keterangan semuanya diambil bulat.
ontoh !."%
-aab$
Ambil t , sehingga$ "− y
t/
!
atau " > y / !t atau y / " > !t sehingga diperoleh$
Penyelesaian persamaan adalah$
ontoh !.& Seorang nenek meminta cucunya membeli dua macam buah, yaitu mangga dan jeruk. Sang nenek memberikan uang =p. . kepada sang cucu untuk mendapatkan sebanyak mungkin buah tetapi jeruk lebih banyak dari mangga. 6ila harga mangga =p. ' per biji dan jeruk =p. .& per biji, tentukan banyak buah yang harus dibeli oleh sang cucu. Penyelesaian$ 4isalkan x menyatakan banyak mangga dan y banyak jeruk yang harus dibeli maka permasalahan di atas dapat di5ormulasikan sebagai$
Setelah
disederhanakan
kita
mempunyai
persamaan
Diophantine
. Karena gcd ('? &) / maka dipastikan persamaan ini mempunyai penyelesaian. Secara kasat mata kita langsung dapat membentuk identitas 6e@out berikut. = '." + &( −) $
-ika
kedua
ruas
dikalikan
dengan
diperoleh
,,, = '(",,,) + &( −,,,)
sehingga diperoleh penyelesaian khususnya x / " dan y / 0. Penyelesaian umum persamaan ini diberikan oleh
y / 0 > 'n? n ∈ ;. Karena disyaratkan
maka diperoleh
",,,
" < &n
n 0 &
≈
0 #&,+!
n / B0#&, 0#", 0#, C.
Syarat menghasilkan batasan n berikut.
Syarat
memberikan hasil berikut.
Eilai n yang memenuhi ketiga syarat ini adalah
Penyelesaian yang bersesuaian dengan n ini akan bernilai positi5, tetapi kita perlu memilih n yang membuat nilai n
x
y
x
0#&
'
+"
0#"
"!
*!
++
0#
&'
#'
%!
terbesar. Perhatikan tabel berikut.
-adi sang cucu harus membeli &' biji mangga dan #' biji jeruk.
pada
SFAG GA327AE $ . Selesaikanlah persamaan Diophantine dari
' x + # y = # dengan x dan y menyatakan
bilang bulat positi5. "
". 3entukan himpunan penyelesaian dari " x + y = " . &. 3entukan solusi dari Persamaan Diophantine #x < "y < &@ / "! !. 3entukan penyelesaian dari persamaan Diophantine 172 x + 20 y =1000. #. Selesaikan persamaan Diophantine 6 x + 5 y =171 ; x , y > 0
P8EH8G8SA2AE $ ' x + # y
. Selesaikanlah persamaan Diophantine dari
=
# dengan x dan y menyatakan
bilang bulat positi5. Penyelesaian $ ' x + # y = # berarti # y ≡ #( mod ' ) # y ≡ '( mod ' ) # y ≡ ,( mod ' ) y ≡ "( mod ' )
y = " + 't dengan t bilangan cacah. Substitusikan nilai y pada persamaan semula ' x + #( " + 't ) = # ' x + #t = " x = & − #t
Karena x bilangan bulat positi5 dan t bilangan cacah, maka x = & , yaitu untuk t = , sehingga y = " . -adi x dan y yag memenuhi ' x + # y = # berturut > turut adalah & dan ". " " x ". 3entukan himpunan penyelesaian dari Penyelesaian $ " 4isalkan x = a , ",a + y = ", Kita cari (",) $ ", = . + %
+
y = " .
= .% + " % = !." + " = ". (",) / Persamaan Diophatine $ = % − !x "
= % − !( − .%) = #.% − !. = #( " − .) − !. = #." − %. Dengan mengalikan masing > masing ruas dengan " diperoleh$ ", = #(",).", − %(",). ", = ,,##.", − +,%%. Sehingga diperoleh nilai a / ## dan y / +%%
Kemudian jika sudah menemukan nilai a nya pada aturan Diophatine, maka tinggal mengakarkan nilai a. x " = a
x "
=
##
x = ## -adi himpunan penyelesaiannya adalah
B x, yD = B ## ,−+%%D
&. 3entukan solusi dari Persamaan Diophantine #x < "y < &@ / "! Penyelesaian $ Kita akan menyatakan Persamaan Diophantine ini menjadi persamaan dalam dua 9ariabel. ntuk itu kita misalkan "y < &@ / *. Persamaan Diophantine ini memiliki solusi untuk setiap bilangan bulat , sebab 5pb(", &) I *. Dengan demikian, Persamaan Diophantine semula akan menjadi #x < * / "!. Karena 5pb(#, *) / & dan & I "!, maka Persamaan Diophantine ini memiliki solusi. 4udah ditentukan baha x / " dan / > merupakan salah satu solusi dari persamaan itu. Dengan demikian, solusi secara umum dari Persamaan Diophantine #x < * / "! adalah x / " < (*J&)t / " < "t dan / > > (#J&)t / > > #t. Kemudian, substitusikan nilai ini ke persamaan "y < &@ / *, diperoleh "y < &@ / *(> > #t). Dengan menerapkan Algoritma 8uclid, kita memperoleh baha * / 5pb(", &) / "(>") < &(). Kalikan kedua ruas kesamaan itu dengan (> > #t), dan diperoleh "(" < t) < &(> > #t) / >* > &t. Fleh karena itu, solusi partikulir dari persamaan "y < &@ / >* > &t adalah y / " < t dan @ / > > #t, dan solusi umum Persamaan Diophantine itu adalah y / " < t < #s dan @ / > > #t > "s. Dengan demikian, solusi dari Persamaan Diophantine #x < "y < &@ / "! adalah x / " < "t, y / " < t < #s dan @ / > > #t > "s
!. 3entukan penyelesaian dari persamaan Diophantine 172 x + 20 y =1000. Penyelesaian$ ntuk memastikan baha persamaan tersebut memiliki penyelesaian maka harus dipastikan terlebih dahulu baha
( 172,20 )∨1000
'"
/ (+) " < "
"
/ () " < +
"
/ () + < !
+
/ (") ! <
4aka ('", ") / ! ! I maka persamaan
172 x + 20 y =1000 memiliki penyelesaian.
Dengan menggunakan jalan mundur pada langkah di atas diperoleh !
/ " > () +
!
/ " > () " > () "L
!
/ (") " > () "
!
/ (") '" > (+) "L > () "
!
/ (") '" > (*) " > () "
!
/ (") '" > (') "
Kalikan kedua ruas dengan "# maka ! . "# / (". "#) '" > (' . "#) "
/ (#) '" > (!"#) "
/ (#) '" < (0!"#) "
Sehingga diperoleh penyelesaian khususnya adalah x =500 dan y =−4250 Penyelesaian umumnya adalah
( )
x =500 +
20 4
n
x =500 + 5 n
( )
y =−4250 −
172 4
n
y =−4250 − 43 n
ntuk n bilangan bulat
#. Selesaikan persamaan Diophantine 6 x + 5 y =171 ; x , y > 0 Penyelesaian$ (*, #) / sehingga I' akibatnya persamaan 6 x + 5 y =171 memiliki penyelesaian. 6 x + 5 y =171 6 x =171−5 y
171−5 y
x =
6 168+ 3−5 y
x =
6 3−5 y
x =28 +
6 3 −5 y
4isalkan
t =
maka x =28 + t
6
5 y =171−6 x 171−6 x
y =
y =
y = y = y =
5 171−6 ( 28 + t ) 5 171−168 − 6 t
5 3− 6 t 5 3−5 t −t 5 3 −t
y =−t + 4isalkan
5
s=
3− t 5
maka
y =−t + s
s=
3− t 5
5 s =3 −t t =3−5 s
Sehingga x =28 + t x =28 +( 3 −5 s ) x =31−5 s Syarat x > 0
y =−t + s y =−( 3−5 s )+ s y =−3 + 6 s
31−5 s > 0 −5 s >−31 31 s< 5 s < 6,5 Syarat y > 0 −3 + 6 s > 0 6 s >3 s > 0,5
4aka nilai s yang memenuhi adalah s = {1,2,3,4,5,6 }
