7. Derivabilitatea funcŃiei compuse Teoremă: Fie intervalele I,J ⊂ R, f : JI şi u:IJ două funcŃii astfel încât u este derivabilă în x0 ∈I, iar f este derivabilă în u(x0 ) ∈J. Atunci funcŃia compusă f o u : I R este derivabilă în x0 şi '
f (t ) − f (t0 ) , t ≠ t0 Considerăm funcŃia auxiliarăh : J → R, h(t ) = unde t0 = u(x0). t − t0 f ' (t ), t =t Deoarece f este derivabilă în t rezultă imediat căh este0 continuă în t .0
DemonstraŃ DemonstraŃie.
0
( f o u ) (x0 ) =
f ' (u ( x0 )) ⋅ u ' ( x0 )
0
(1). Pentru orice x ≠ x0, avem egalitatea: f (u ( x )) − f (u ( x0 )) = h(u ( x)) ⋅ u ( x) − u ( x0 ) x − x0 x − x0 Deoarece lim h(u ( x )) = h(u ( x0 )) = h(t 0 ) = f ' (t 0 ) = f ' (u ( x0 )) x → x0 ( f o u )( x ) − ( f o u )( x0 ) = f ' (u ( x0 )) ⋅ u ' ( x0 ) iar u este derivabilă în x0, trecând la limită în relaŃia (1) cu x x0, obŃinem xlim → x0 x − x0 ceea ce încheie demonstraŃia.
Cum x0 este arbitrar, deducem următorul rezultat: dacă I, J sunt intervale de numere reale şi f: JR, u : IJsunt derivabile pe J, respectiv pe I, atunci f o u este derivabilă pe I şi are loc următoarea regulă de derivare: '
( f o u ) (x ) =
f ' (u ( x)) ⋅ u ' ( x)
Compunerea a două funcŃii derivabile este o funcŃie derivabilă. Folosind formulele privind derivarea funcŃiilor elementare şi teorema de mai sus, vom alcătui un tabel pentru calculul derivatelor funcŃiilor compuse. Exemplu. Să considerăm funcŃia f:R->R, f(x) = xn (n natural). Avem f '(x) = nxn-1, de unde rezultă: (un(x)) ' = (fou)’(x) = f '(u(x))·u’(x) = nun-1(x) • u'(x). Am demonstrat deci formula: (un)' =nun-1·u'. Analog se justifică celelalte formule din tabelul de mai jos
Derivata lui f o u
FuncŃia compusă fo u un
(un)’=n·un-1·u’
ua
(ua)'=a·ua-1·u'
au eu
(au)’ =au·lna·u' (eu)’=eu·u'
1 ⋅ u' u ln a
log au (log log au)’ u)’= n
u
( u) = n
1
'
n
n u
n −1
⋅ u'
sin u
(sin u)' = cos u • u'
cos u
(cos u)' = - sin u ·u'
tg u
(tgu )' =
1 ⋅ u' cos 2 u
ctg u (ctgu )' = − arcsin u
1 ⋅ u' sin 2 u
(arcsin u )' =
arccos u (arccos u )' = −
1 1− u
2
1
1− u
2
⋅ u' ⋅ u'
1 ⋅ u' 1+ u2 1 arcctg u (arcctgu )' = − ⋅ u' 1+ u2 arctg u
(arctgu )' =
Exemple. 1. Pentru a calcula derivata funcŃiei f(x) = (x2+x)3 , notăm x2+x= u(x) şi avem f '(x) =(u(x)3)’ = 3 u2(x) • u '(x) = 3(x2 +x)2(2x+ 1). x2 2. Pentru a calcula derivata funcŃiei , notăm x2 = u (x).
f ( x) = e
x
u' = f '(x) = (eu) ' = eu2• xe
2
ObservaŃ ObservaŃie. Dacă funcŃia u este la rândul ei o funcŃie compusă, procedeul se aplică în mod repetat. 2 ' 2 2 ' Exemple. 1) 2sin x = 2sin x ⋅ ln 2 ⋅ sin x 2 = 2sin x ⋅ ln 2 ⋅ cos x 2 ⋅ 2 x
(
)
(
( (
))
'
2) ln sin 2 x + 3 =
)
(
)
' 1 1 2 ⋅ x + = ⋅ 2 sin x cos x sin 3 sin 2 x + 3 sin 2 x + 3
ObservaŃ ObservaŃie. v ' Se poate arăta că dacă u şi v sunt două funcŃii derivabile şi u este strict pozitivă, într-adevăr, cum
(u ) = v'⋅ ln u + v ⋅ u
(u ) = (e ) = e v '
v ln u '
v ln u
u' ⋅ (v ln u )' = u v v' ln u + v ⋅ = v'⋅u v ⋅ ln u + v ⋅ u v −1 ⋅ u ' u
v −1
⋅ u'
8. Derivabilitatea funcŃiei inverse Vom prezenta o teoremă care stabileşte condiŃiile ca funcŃia inversă a unei funcŃii date, să fie derivabilă, cât si o formulă de calcul a derivatei acesteia.
Teoremă: Fie I, J intervale si f: I J ,o funcŃie continuă si bijectivă. Dacă f este derivabilă în x0 şi f '(x0) ≠ 0, atunci funcŃia inversă f -1 : J I este derivabilă în punctul y0 =f(x0) şi
( f ) (y ) =
DemonstraŃ DemonstraŃie.
−1 '
-1
Fie y≠y0 oarecare; atunci ecuaŃia f(x) =y are soluŃie unică.(deoarece f este bijectivă) şi x = f (y). Avem x ≠x0 şi în plus 1 f −1 ( y ) − f −1 ( y0 ) x − x0 = = (*) y − y0 f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) x − x0 f −1 ( y ) = f −1 ( y0 ) = Cum funcŃia f -1 este continuă (vezi capitolul continuitate), avem ylim → y0 de unde obŃinem x x0 . Trecând la limită în (*) cu x x0 obŃinem concluzia cerută.
0
1 f ' ( x0 )
x0
ObservaŃ ObservaŃii. 1. Dacă f '(x0) = 0, tangenta în x0 la graficul lui f este orizontală. Rezultă că tangenta în y0 =f(x0) la graficul lui f -1 este verticală, deci f -1 are în y0 derivată infinită. 2. Cum x0 este arbitrar, obŃinem rezultatul: dacă I, J sunt intervale, f:I->J este bijectivă şi derivabilă pe I cu f ' ≠ 0 pe I , atunci f -1 : JI este derivabilă pe J şi Exemple. 1. FuncŃia f:RR, f(x) = x3 +x este bijectivă şi derivabilă cu f '≠ 0. Atunci f -1 este derivabilă şi ne propunem să calculăm (f -1)'(2). ' 1 1 = EcuaŃia f(x) = 2 are soluŃia unică x0 = 1. Avem f ‘(x) = 3x2 + 1, deci f ‘(1) = 4, de unde:( f −1 ) (2) = f ' (1)
4
(f ) = −1 '
1 f 'o f −1
