Decremento logarítmico Vibraciones mecánicas 25/03/2015 ITC Roberto Hernández Sánchez
Decremento logarítmico (DL) El amortiguamiento viscoso lineal no es un elemento físico real, en muchos sistemas físicos, sino un concepto matemático que se utiliza para explicar la disipación de energía. Por esta y otras razones, suele ser necesario determinar experimentalmente el valor de (razón de amortiguamiento). Esto se logra fácilmente midiendo el desplazamiento en dos "picos" sucesivos del movimiento, por ejemplo, si se tiene con (la intersección de las curvas no se dan en el mismo punto en sus valores máximos, al desvió se le considera insignificante):
Tomando logaritmos neperianos de uno y otro miembro y llamándole decremento logarítmico , que viene a ser la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema que, consiste en medir la razón de caída:
Dónde:
(Periodo de la vibración libre amortiguada) Cuando el amortiguamiento del sistema es pequeño, los desplazamientos
iguales
, con lo que
lo que
o sea
será muy pequeño, entonces
serán casi
, con
.
Nota.- Si los valores de X1 y X2 son tan próximos que es prácticamente imposible distinguirlos experimentalmente, las formulas anteriores pueden modificarse para utilizarse con dos amplitudes separadas n ciclos. Ejemplo ilustrativo.-
Una plataforma que pesa w = 20 kN esta soportada por cuatro columnas empotradas en los cimientos y en la plataforma. Se ha determinado, experimentalmente, que una fuerza estática horizontal, F = 5 kN, aplicada a la plataforma, produce un desplazamiento = 0.05 cm. También se ha estimado que el coeficiente de amortiguamiento es del orden del 5% del amortiguamiento crítico. Determine para esta estructura lo siguiente: a) la frecuencia natural sin amortiguamiento, b) el coeficiente de amortiguamiento, c) el decremento logarítmico, y d) el número de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud del movimiento se reduzca desde un valor inicial de 0.3 cm a 0.03 cm. Solución 1).- El modelo discretizado de la plataforma, es:
2).- D.C.L.:
3).- Calculo del coeficiente de rigidez equivalente.- El coeficiente de rigidez que viene a ser la fuerza por unidad de desplazamiento, se obtiene de la siguiente manera:
4).- Calculo de la frecuencia natural:
5).- Calculo del coeficiente de amortiguamiento:
Si: Luego, el coeficiente de amortiguamiento es:
6).- Calculo del decremento logarítmico.- Es aproximadamente (el coeficiente de amortiguamiento es pequeño con respecto al crítico) a:
Y la razón de dos amplitudes consecutivas máximas, es:
7).- Calculo del número de ciclos y el tiempo correspondiente: Si, la razón entre la primera amplitud X0 y la amplitud Xk, después de k ciclos, puede expresarse como:
Tomando logaritmos naturales:
La frecuencia con amortiguamiento, está dado por:
Y el periodo T', por:
Por lo tanto, el tiempo para 8 ciclos es:
