Contoh Makalah Ekonomi Manajerial

EKONOMII MANAJERIAL EKONOM Optimasi Ekonomi Tanpa Kendala

MODUL 2

Oleh : Ir. Sahibul Munir, SE., MSi.

FAKULTAS EKONOMI PROGRAM KELAS KARYAWAN

UNIVERSITASMERCU BUANA

2007/2008 Menggambarkan Hubungan Ekonomi Untuk menggambarkan hubungan ekonomi, dapat disajikan dalam bentuk persamaan tabel atau grafik. Jika bentuk hubungan ekonomi tersebut sederhana, maka tabel dan grafik sudah cukup untuk menggambarkan hubungan tersebut harus menggunakan persamaan matematis. Penggambaran hubungan ekonomis dengan persamaan matematis juga sangat berguna dalam menentukan solusi optimal dari suatu masalah. Sebagai contoh, misalnya hubungan antara hasil penjualan ( Total Revenue, TR) dengan jumlah output (Q) yang dijual dapat disajikan dalam bentuk persamaan

(fungsi) sebagai berikut : TR = 100Q – 10Q2 ..............................................................

(1)

Dengan mensubstitusikan berbagai nilai hipotetis dari jumlah output (Q) barang yang terjual ke persamaan (1) diatas, akan diperoleh skedul (daftar) hasil penjualan total (Total Revenue ) yang diterima oleh perusahaan sebagai berikut : Tabel 1. Skedul Penerimaan Total Perusahaan Q

100Q – 10Q2

Penerimaan Total (TR)

0

100 (0) – 10 (0)2

$0

1

100 (1) – 10 (1)2

$ 90

2

100 (2) – 10 (2)2

$ 160

3

100 (3) – 10 (3)2

$ 210

4

100 (4) – 10 (4) 2

$ 240

Hubungan Total, Rata-Rata, dan Marjinal Konsep hubungan antara ukuran total, rata-rata dan marjinal adalah penting dalam analisis optimasi. Hubungan ini pada dasarnya sama, baik itu menyangkut tentang penerimaan, produksi biaya maupun laba. Dalam menganalisis bagaimana cara suatu perusahaan memaksimalkan keuntungannya, kita perlu mempelajari hubungan antara

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ir. Sahibul Munir SE, M.Si EKONOMI MANAJERIAL

biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marjinal bersama-sama dengan konsep penerimaan (revenue ).

Biaya Total, Rata-Rata dan Marjinal Biaya Total (Total Cost, TC) : seluruh biaya yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan

dalam memproduksi sejumlah output. Biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan terdiri dari : Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost, TFC ) dan Biaya Variabel Total ( Total Variabel Cost, TVC ). TC = TFC + TVC TFC

: Biaya produksi yang jumlah tetap (tidak berubah) berapapun jumlah output yang diproduksi.

TVC

: Biaya produksi yang jumlahnya berubah-ubah sesuai / mengikuti perubahan jumlah output.

Biaya Rata-Rata (Average Cost) Biaya rata-rata ( Average Cost ) : adalah jumlah biaya yang dikeluarkan oleh

perusahaan untuk menghasilkan 1 (satu) unit output (Q). Average Cost (AC) =

TC Q

, sebagaimana biaya total, maka biaya rata-rata juga dapat

dibedakan menjadi biaya tetap rata-rata ( Average Fixed Cost ), dan biaya variabel rata-rata ( Average Variabel Cost ). Average Fixed Cost (AFC) : adalah biaya tetap yang dikeluarkan oleh perusahaan

untuk setiap unit output yang diproduksinya. AFC

TFC =

Q

Average Variable Cost (AVC) : adalah biaya variabel yang dikeluarkan oleh

perusahaan untuk setiap unit output yang diproduksinya.



C =TVQ

A V C

Karena TC

= TFC + TVC, maka :

AC = AFC + AVC

Biaya Marginal (Marginal Cost) Marginal Cost (MC) : adalah tambahan biaya dikeluarkan oleh perusahaan, akibat

adanya tambahan output yang diproduksi sebanyak 1 (satu) unit. MC =

∆TC ∆Q

Tabel Biaya Total, Rata-Rata, Marjinal suatu Perusahaan Kuantitas (Q)

Biaya Total (TC)

Biaya Rata-Rata (AC)

Biaya Marjinal (MC)

0

$ 20

-

-

1

140

$ 140

$ 120

2

160

80

20

3

180

60

20

4

240

60

60

5

480

96

240

Fungsi Dan Diferensiasi Fungsi

:

suatu

bentuk

hubungan

matematis

yang

menyatakan

hubungan

ketergantungan antara suatu variabel dengan satu atau beberapa variabel yang lain.



Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur, yaitu variabel, koefisien dan konstanta. Namun demikian sebuah fungsi tidak harus mengandung sebuah konstanta, jadi mungkin sekali mengandung konstanta dan mungkin juga tidak. Tetapi keadaan ini sama sekali tidaklah mengurangi arti dari sebuah fungsi. Variabel pembentuk sebuah fungsi dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel tidak bebas.

•

Variabel bebas (independent variable ) : adalah variabel yang nilainya tidak

tergantung (tidak ditentukan) oleh variabel lain.

•

Variabel tidak bebas (dependent variable ) : adalah variabel yang nilainya

tergantung (dipengaruhi) oleh variabel lain. Notasi sebuah fungsi secara umum dinyatakan sebagai : Y = ƒ(x) Contoh kongkritnya : (1) Fungsi linear dan univariat

: Y = 5 + 0.7 x

atau dapat pula dinyatakan

: ƒ(x) = 5 + 0.7 x : Y = 8 – 4x + x 2, atau

(2) Fungsi non linear dan univariat

ƒ(x) = 8 – 4x + x 2

Turunan Turunan adalah mengukur tingkat perubahan seketika dari suatu fungsi, yaitu bagaimana variabel tidak bebas berubah sehubungan dengan suatu perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas .

Terminologi untuk turunan adalah : dy dx

= lim it ∆ x → 0

∆ y ∆ x



dy dx

= turunan y berkenaan dengan x, nilainya sama dengan limit dari rasio ∆x / ∆y saat

∆x mendekati nol. Selain

dy dx

, notasi turunan umumnya dinyatakan dengan y’ dan ƒ’(x).

Aturan Diferensiasi (Rules of Differentiation ) Diferensiasi : adalah proses penentuan turunan dari suatu fungsi, yaitu mencari

perubah y berkenaan dengan suatu perubah x apabila perubahan x ( ∆x) mendekati nol. Berdasarkan pengertian diatas, kita dapat mendiferensialkan berbagai macam bentuk fungsi dengan aturan sebagai berikut :

1. Turunan dari fungsi y = C ; dimana C = konstanta dy dx

= y’ = 0 dy

y = 10, maka

dx

= y’ = 0

2. Turunan dari fungsi pangkat y = ax” dy dx

= y’ = n a x n-1

contoh : y = 4x3, maka y’ = 3(4)x 3-1 = 12x2 3. Turunan dari penjumlahan (pengurangan) Jika y = u ± v, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x, maka : y ' =

dy dx

=

du dx

±

dv dx

4. Turunan dari hasil kali suatu fungsi Jika y = u (x).v (x) maka : y ' =

dy dx

=

u

du dx

+

v

dv dx

Atau y’ = u v ’ + v u ’



y = 3x4 (2x – 5)

Contoh :

y’ =

dy dx

= 3x4(2) + (2x – 5).(12x3)

y’ = 6x4 + 24x4 – 60x3 = 30x4 – 60x3 5. Turunan dari hasil bagi suatu fungsi u

Jika y =

v

; dimana u = g(x) dan v = h(x) maka :

y '

=

v u'

−

v

Contoh :

y ' =

y

y

= =

y ' =

5 x 3 4 x + 3 dy dx

=

u v

v =

du dx

−

v

u

dv dx

2

u v'

2

, maka

(4 x + 3)(15 x 2 ) − 5 x 3 ( 4) (4 x + 3) 2

60 x 3 + 45 x 2 − 20 x 3 (4 x + 3) 2

=

40 x 3 + 45 x 3 (4 x + 3) 2

6. Turunan fungsi dari fungsi (fungsi berantai) Jika y = ƒ(u) dimana u = g(x) maka

y

Contoh : y’ =

dy dx

'

=

dy dx

=

dy du

+

v

du dx

y = (2x2 + 3)4 ; dimana u = 2x 2 + 3

= 4(2 x 2 + 3) 3 (4 x ) = 16 x (2 x 2 + 3) 3

Turunan Kedua



 d 2 y   dy  Turunan kedua  2  mengukur tingkat perubahan turunan pertama   atau  dx   dx  turunan kedua adalah turunan pertama dari turunan pertama. Notasi turunan kedua dapat dinyatakan dengan ƒ” (x) dan y” Contoh : dy dx

y = 2x4 + 5x3 + 3x2

= 8 x 3 + 15 x 2 + 6 x

d 2 y dx 2

= 24 x 2 + 30 x + 6

Maksimasi dan Minimisasi Suatu Fungsi • Suatu fungsi untuk mencari suatu maksimum atau minimum relatif maka fungsi tersebut harus berada pada suatu dataran (yaitu tidak menaik juga tidak menurun pada titik tersebut.

•

Jika suatu fungsi tidak menaik juga tidak menurun, maka turunan dari fungsi

tersebut pada titik tersebut sama dengan nol.

• Syarat pertama dan penting (necessary condition ) agar suatu fungsi mencapai maksimum atau minimum relatif adalah turunan pertama dari fungsi tersebut harus sama dengan nol. Sedangkan syarat kedua yang mencukupi ( sufficient condition ) adalah turunan kedua harus negatif untuk maksimum relatif dan turunan kedua harus positif untuk minimum relatif. Untuk suatu maksimum relatif

Untuk suatu minimum relatif

:

:

dy dx dy dx

= 0 dan = 0 dan

d 2 y dx 2 d 2 y dx

2

< 0 > 0

Sebuah masalah dapat timbul ketika derivatif dipergunakan untuk menentukan maksimum dan minimum. Derivatif pertama dari fungsi total memberikan ukuran



apakah fungsi tersebut menaik atau menurun di setiap titik. Untuk dimaksimumkan atau diminimumkan, fungsi tersebut harus tidak menaik dan tidak pula menurun ; yaitu, kemiringan seperti diukur oleh derivatif pertama harus nol. Tetapi, karena nilai marginal atau derivatif akan nol baik untuk nilai maksimum maupun nilai minimum dari sebuah fungsi, analisis lebih lanjut diperlukan untuk menetapkan apakah nilai maksimum atau minimum yang ditentukan. Jika laba total ditetapkan dengan persamaan π = a – bQ + cQ 2 = dQ3, maka derivatif pertama mendefinisikan fungsi laba marginal sebagai : d π dQ

= M π = −b + 2cQ = 3dQ 2

Menemukan Nilai Maksimum dan Minimum dari Sebuah Fungsi Derivatif kedua dari sebuah fungsi selalu negatif ketika mengevaluasi titik maksimum dan positif di titik minimum. Derivatif kedua dari fungsi laba total tersebut adalah derivatif dari fungsi laba marginal ini, Persamaan 2.7 : d 2 π dQ

2

dM π =

dQ

=

2c

−

6dQ

Sama seperti derivatif pertama mengukur kemiringan fungsi laba total, derivatif kedua mengukur kemiringan derivatif pertama atau, dalam kasus ini, kemiringan kurva laba marginal. Kita dapat menggunakan derivatif kedua untuk membedakan titik maksimal atau titik minimal, yaitu positif jika minimal dan negatif jika maksimal. Contoh lain dapat memperjelas konsep ini. Asumsikan bahwa fungsi laba total ditunjukan oleh persamaan berikut ini :

Laba Total = π = -$3.000 - $2.400Q + $350Q2 - $8.333Q3



Laba Marginal diketahui berdasarkan derivatif pertama dari fungsi laba total tersebut. d π

2 Laba Marginal dQ = −$2.400 + $700Q − $25Q = 0

Laba total dapat dimaksimumkan atau diminimumkan di titik dimana derivatif pertama (laba marginal) adalah nol yaitu, dimana d π dQ

= −$2.400 + $70Q − $5Q 2 = 0

Jumlah keluaran sebesar 4 dan 24 unit memenuhi Persamaan 2.10 dan karena itu merupakan laba maksimum atau minimum. Evaluasi derivatif kedua dari fungsi laba total tersebut di setiap tingkat keluaran ini akan menunjukkan apakah turunan kedua itu minimum atau maksimum. Derivatif kedua dari fungsi laba total ditentukan dengan mengambil derivatif dari fungsi laba marginal, Persamaan 2.9 : d 2 π dQ

2

=

dM π dQ

= $700 − $50Q

Misalnya, pada jumlah keluaran Q = 4 : d 2 π dQ 2

= $700 − $50(4) = $500

Karena derivatif kedua ini positif, yang menunjukkan bahwa laba marginal menaik, laba total diminimumkan pada Q = 4 unit. Dengan mengevaluasi derivatif kedua Q = 24 unit, kita memperoleh : d 2 π dQ 2

= $700 − $50(24) = $500

Karena derivatif kedua ini negatif pada Q = 24 unit, yang menunjukkan bahwa laba marginal menurun, fungsi laba total tersebut mencapai maksimum pada tingkat output Q=24.

Menggunakan Marginal untuk Memaksimumkan Selisih antara Dua Fungsi



Contoh lain dari pentingnya konsep marginal dalam ekonomi manajerial diberikan oleh kesimpulan mikroekonomi yang penting dan terkenal bahwa penerimaan marginal (MR) sama dengan biaya marginal (MC) di titik maksimisasi laba.

Sebuah contoh akan membantu menjelaskan penggunaan marginal ini. Pertimbangan fungsi pendapatan, biaya, dan laba berikut ini : Pendapatan Total

= TR = $41,5Q - $1,1Q2

Biaya Total

= TC = $150 + $10Q - $0,5Q2 + $0,02Q2

Laba Total

= π = TR – TC

Keluaran yang memaksimumkan laba dapat ditemukan dengan mensubstitusi fungsi pendapatan total dan fungsi biaya total ke dalam fungsi laba, lalu menganalisis derivatif pertama dan kedua dari persamaan itu :

π = TR - TC = $41,5Q - $1,1Q2 – ($150 + $10Q - $0,5Q 2 + $0,03) = $41,5Q - $1,1Q2 - $150 + $10Q - $0,5Q 2 + $0,02Q3 = - $150 + $31,5Q - $0,6Q 2 + $0,02Q3 Laba marginal, derivatif pertama dari fungsi laba tersebut, adalah :

M π =

d π dQ

= $31,5 − $1,2Q − $0,06Q 2

Dengan menetapkan laba marginal sama dengan nol dan menggunakan persamaan kuadrat untuk memecahkan kedua akar, kita memperoleh Q 1 = -35 dan Q 2 = +15. Karena jumlah keluaran negatif tidak mungkin, Q 1 merupakan tingkat keluaran yang tidak layak dan dapat ditolak. Evaluasi terhadap derivatif kedua dari fungsi laba tersebut di Q = 15 akan menunjukkan apakah ini merupakan titik maksimisasi laba atau minimisasi laba. Derivatif kedua tersebut diketahui : d 2 π dQ 2

=

dM π dQ

= −$1,2 − $0,12Q



Pendapatan Total, Biaya Total, dan Maksimisasi Laba Hubungan pendapatan marginal dan biaya marginal dengan maksimisasi laba dapat juga diperlihatkan dengan mempertimbangkan ekspresi laba umum

π = TR – TC. Laba

marginal, derivatif dari fungsi laba total, adalah : M π =

d π dQ

=

dTR dQ

−

dTC dQ

Dengan diketahui bahwa dTR/dQ berdasarkan definisi merupakan ekspresi dari pendapatan marginal MR , dan dTR/dQ mewakili biaya marginal MC, kita memiliki : M π = MR − MC Karena maksimisasi setiap fungsi mengharuskan bahwa derivatif pertama harus sama dengan nol, maksimisasi laba akan terjadi ketika : M π = MR − MC = 0 atau dimana MR = MC Dengan melanjutkan contoh menarik di atas, pendapatan marginal dan biaya marginal ditemukan dengan menghitung diferensial dari fungsi pendapatan total dan biaya total : MR =

dTR

MC =

dTC

dQ

dQ

= $41,5 − $2,2Q

= $10 − Q + $0,06Q 2

Ditingkat keluaran yang memaksimumkan laba, MR = MC ; jadi , MR = $41,5 − $2,2Q = $10 − Q + $0,06Q 2


= MC


Dengan menggabungkan bagian-bagian ini, kita memperoleh :

$31,5 − $1,2Q − $0,06Q 2 = 0 yang merupakan ekspresi yang sama dengan yang diperoleh ketika derivatif pertama dari fungsi laba ditetapkan di nol. Mencari akar dari persamaan ini (sekali lagi dengan menggunakan rumus kuadrat) menghasilkan Q1 = -35 dan Q2 = 15, nilai-nilai yang sama yang ditentukan sebelumnya. Hal ini mengkonfirmasikan bahwa pendapatan margin sama dengan biaya marginal di tingkat keluaran di mana laba dimaksimumkan. Contoh ini juga mengilustrasikan bahwa walaupun MR harus sama

dengan MC di tingkat

kegiatan

yang

memaksimumkan laba, sebaiknya tidak berlaku. Laba tidak pasti dimaksimumkan di setiap titik di mana MR = MC , seperti dalam contoh di Q = -35 dalam masalah ini. Untuk menyimpulkan contoh ini, Gambar 2.8 menyajikan grafik fungsi pendapatan, biaya dan laba. Bagian atas dari grafik ini memperlihatkan fungsi pendapatan dan fungsi biaya; pada 15 unit keluaran, kemiringan kedua kurva sama, dan MR = MC . Bagian bawah Gambar ini memperlihatkan fungsi laba, dan keluaran yang memaksimumkan laba diperlihatkan sebesar 15 unit, dimana keluaran d /dQ = 0 dan d2 /dQ2 < 0. Laba dimaksimumkan di Q = 15, dimana MR = MC = $8.50 dan M = 0.

Optimisasi Multivariat Karena banyak hubungan ekonomi melibatkan lebih dari dua variabel, berguna bagi kita untuk meneliti konsep optimisasi multivariat untuk persamaan-persamaan dengan tiga variabel atau lebih. Pertimbangan fungsi permintaan untuk sebuah produk dimana jumlah yang diminta, Q, ditentukan oleh harga yang dikenakan, P, dan tingkat pengeluaran periklanan, A. Fungsi seperti ini akan ditulis sebagai berikut. Q = f ( P , A) Ketika menganalisis hubungan multivariat, seperti dalam persamaan 2.11, kita harus mengetahui pengaruh marginal dari setiap variabel independen terhadap variabel dependen. Dengan kata lain, optimisasi dalam kasus ini memerlukan analisis tentang bagaimana perubahan dalam setiap variabel independen mempengaruhi variabel



dependen, sambil mempertahankan pengaruh semua variabel independen lainnya tetap konstan. Derivatif parsial adalah konsep yang dipergunakan untuk analisis marginal seperti ini. Dengan menggunakan fungsi permintaan dalam Persamaan 2.11, kita dapat meneliti dua derivatif parsial :

∂Q / ∂ P

1.

Parsial dari Q dalam kaitannya dengan harga

2.

Parsial dari Q dalam kaitannya dengan pengeluaran periklanan =

∂Q / ∂ A

Peraturan untuk menetapkan derivatif parsial pada dasarnya sama dengan peraturan untuk derivatif sederhana. Karena konsep derivatif parsial melibatkan asumsi bahwa semua variabel tidak berubah, kecuali variabel yang bersangkutan dimana derivatif tersebut diambil, variabel-variabel tersebut diperlakukan sebagai konstanta dalam proses perhitungan diferensial. Pertimbangan persamaan : Q = 3.200 − 50 P + 39 A + 0.25 PA − 0.1A 2

2.12

Dalam fungsi ini, terdapat dua variabel independen, P dan A, sehingga dua derivatif parsial dapat dievaluasi. Untuk menetapkan parsial dalam kaitannya dengan P, catat bahwa fungsi tersebut dapat ditulis ulang sebagai : Q = 3.200 − 50 P + 39 A + (0.25 A) P − 0.1A 2

2.12a

Karena A diperlakukan sebagai sebuah konstanta, derivatif parsial dari Q dalam kaitannya dengan P adalah :

∂Q = 0 − 50 + 0 + 0,25 A − 0 ∂ P = - 50 + 0,25A Dalam menetapkan turunan parsial dari Q dalam kaitannya dengan A, P diperlakukan sebagai sebuah konstanta, sehingga kita dapat menulis : Q = 3.200 − 50 P + 39 A + (0.25 A) P − 0.1A 2

2.12b

dan derivatif parsial dalam kaitannya dengan A adalah :

∂Q = 0 − 0 + 39 + 0,25 P − 0,2 A ∂ A



= 39 + 0,25P – 0,2A

∂Q ∂Q = 0 dan =0 ∂ P ∂ A ∂Q = −50 + 0,25 A = 0 ∂ P

(1)

∂Q = 39 + 0,25 P − 0,2 A = 0 ∂ A

(2)

0,25A = 50  A =

ke persamaan (2)



50 0,25 

= 200  substitusikan

39 + 0,25P – 0,2(200) = 0

39 + 0,25P – 40 = 0  0,25P = 1  P =

1 0,25

=4

untuk melihat maximum/minimum :

∂ 2Q =0 ∂ P 2 ∂ 2Q = −0,2 < 0 ∂ A 2

maksimum

Q maksimum = 3200 – 50(4) + 39(200) + 0,25(4) (200) – 0,1 (200)2 = 7000



Contoh Makalah Ekonomi Manajerial

Recommend Documents