111
Cinemática
TEST
1.-
− − − −
Siempre que qu e la acelerac aceleración ión t iene el mismo mi smo senti senti-do de la l a veloci velocidad dad el movimient movi mient o es acelerado. acelerado. Despl Desplaz azamiento amiento o traye t rayector ctoria ia es lo mismo. m ismo. Siempre que el desplazamiento y la aceleración tienen la mis mi sma dirección, el movimiento movimi ento esacelerado. acelerado. Cuando el móvil tiene velocidad inicial y final igual igu al a cero,se puede asegurar asegurar que t uvo primero pr imero M.R.U.V M.R .U.V. aceler acelerado ado y después d espués M.R.U.V M.R.U.V. retard ret ardado. ado.
a) VFVF b) VV VVVV c) VFFV 2.-
b) c) d) e)
Es proporc proporciona ionall al tiempo. tiempo. Es inversame inversamente nte proporcional proporcional al cuadra cuadrado do del tiempo. c) Es proporciona proporcionall al al cua cuadra drado do del del tiempo. d) Es independien independiente te de la velocida velocidad d inicial. inicial. e) Es independiente independiente de la ace acelera leración. ción. 7.-
El movimiento es desac desacelera elerado do cuando cuando la ace aceleleración y la velocidad tienen sentidos contrarios. El movimiento esacele acelerado rado cua cuando ndo la ace acelera leración ción y velocidad tiene ti ene el el mismo sentido. sentido. Siempre que que la ace acelera leración ción es es cero cero el el móvil está está detenido. Cuando la velocidad velocidad es cero cero no neces necesaria ariamente mente la aceleración es cero. N.A.
Está siempre siempre acele acelera rado. do. Está s siem iempre pre frena frenando ndo.. Tiene ienen n el mismo mismo se sentido. ntido. Son de igual igual valor valor numé numéric rico. o. Se ma mantiene ntienen n cons constantes tantes.
c) d) e) 8.-
9.-
− −
a)
−
a) b) c) d) e)
Lleva movimiento desac desacelera elerado do y luego será será aceacelerado. La v veloc elocidad idad en en un instante instante será será cero. cero. Se muev mueve e hac hacia ia la derec derecha ha.. Se mueve mueve ha hacia la izquierda izquierda.. Cuando la velocidad velocidad se se hace hace cero cero la ace acelerac leración ión se mantiene.
Velocida locidad d – cons constante tante Aceler celera ación ción – cons constante tante Velocida locidad d – en direcc dirección ión Aceler celera ación ción – la veloc velocida idad d Aceler celera ación ción – varia variando ndo
Durante el desaceleramiento en el M.R.U.V. señalar verdadero o fals f also. o.
Respect especto o al M.R.U. M.R.U.V V. para una part par t ícula ícul a como mostramo stramos en la figura y que tiene la velocidad inicial señalada, que podemos po demos afirmar:
Respecto al M.R.U.V. de una partícula como se muestra no se puede afirmar.
Es proporcional proporcional al cuadra cuadrado do del tiempo ti empo.. Es proporciona proporcionall al tiempo y depende depende de la velovelocidad inicial. No depende depende de la velocida velocidad d inicial y si si de la ace ace-leración. Es función del del cuadra cuadrado do del espac espacio io recorrido. recorrido. No depende depende del espac espacio io recor recorrido. rido.
En el M.R.U.V. la.................. se mantiene ........... y es acelerado cuando cuando t iene el mismo senti sentido do que qu e la velocidad. a) b) c) d) e)
La velocidad velocid ad y acelerac aceleración ión t ienen sent sent idos ido s concontrarios. El espacio espacio en el tiempo t iempo “t ” viene dado por: 1 2 a t 2 Cuando se detiene, la aceleración siempre desaparece. e=
Tendrá endrá 9 m/s de ve velocida locidad da los 8 s. b) Tendrá 9 m/s a los los 2 s s.. c) Habrá Habrá recor recorrido rido 20 20 m en 2 s s.. d) Tarda arda 8 s en rec recorre orrerr 20 m. d) El movimiento movimiento es desa desacelera celerado. do. 5.-
Respect espect o a la l a velocidad veloci dad en el M.R.U. M.R.U.V V. podemos afirmar: afi rmar: a) b)
Respecto a la velocidad y aceleración de un móvil en M.R.U.V M.R.U.V. como se muestra mu estra podemo po demos s decir que q ue es correcto: a) b) c) d) e)
4.-
FFVV N.A
Respect especto o al espacio espacio recorrid recorr ido o en el M.R.U. M.R.U.V V. podemos podemo s afirmar: a) b)
En el M.R.U.V. no se cumple que: a)
3.-
d) e)
6.-
a) b) c) 10.-
VF VFF VVV VVF
d) e)
VFV FFF
Si un una a partícula part ícula es acelerada acelerada desde el reposo con una un a aceleraci aceleración ón “a ”, ”, el espacio recorrido en el 4to segundo viene dada por: a) b) c)
3 a 2 5 a 2 7 a 2
d)
9 a 2
e)
1 a 2
112
Jorge Mendoza Dueñas
PROBLEMAS RESUEL TOS TO S RESUELTO
A problemas de aplicación 1.-
Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/s acelerando uniformemente a razón de 5 m/s2. ¿Qué distancia logró aumentar en dicha operación? Solución:
4.-
vF2 = v 2o ± 2a d
Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia su velocidad a razón de 8 m/s2, logrando log rando des d espegar pegar luelu ego de recorrer 1 600 m. ¿Con qué velocidad en m/s despega? Solución:
Notamos que el mov movimi imiento ento es acelerado. acelerado. vF2 = v2o + 2a d
b20g2 = b10g2 + 2b5gd d = 30m 2.-
Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego frena,de tal modo mod o que se se logra detener por completo comp leto en 6 s. ¿Cuál es su aceleración aceleraci ón? ?
vF2 = v 2o ± 2a e Notamos que el movi movimient mient o es acelera acelerado. do.
Solución:
vF2 = v2o + 2a d
b gb
g
vF2 = 0 + 2 8 160 1600 vF = 160 m / s 5.-
v o = 108 km / h = 60 m / s a=
vF − v o t
a = −
3.-
⇒
a =
Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelera uniformeme unifor memente nte a razón razón de 2 m/ s2 durante 5 segunto dos. ¿Qué distancia recorrió en el 5 segundo de su movimiento? Solución:
0 − 60 6
10 m / s2 Movimiento retarda r etardado do
Una part ícula recorre r ecorre 30 m en 5 s con un u n M.R.U. M.R.U.V V. si si al partir tenía una velocidad de 4 m/s. ¿Que velocidad tuvo al término del recorrido?
Distancia recorrida recorrid a hast hast a los 5 segundos segundos
Solución:
d=
F G vo + vF I J t H 2 K
vF = 8 m / s
⇒
30 =
F G 4 + vFI J 5 H 2 K Distancia recorrida hasta los 4 segund segundos os
113
Cinemática La distancia dist ancia recorrida recorrid a en el 5to segundo será: x = d5 − d4
d = v ot + d= 0+
1 2 a t 2
1 4 8 2
b gb g2
d = 128 128 m
L b g + 1 b5g2 O − Lv b 4g + 1 b 4g2 O MN PQ MN o 2 PQ 2
x = vo 5
a
2.-
a
L b g + 1 × 2× b25gO − L20b 4g + 1 × 2× b16gO MN PQ MN PQ 2 2
x = 20 5
Solución:
x = 29m
B 1.-
Un tren que qu e lleva una velocid velocidad ad de 216 216 km/h, km/ h, aplica apli ca los frenos y produce un retardamiento de 4 m/s en cada segundo, hasta detenerse. Determinar el espacio que recorrió recorrió en el último últi mo segundo segundo de su movimiento. movimient o.
216 km / h = 60 m / s
problemas complementarios
Un móvil que parte del reposo, recorre en el décimo segundo de de s su u movimient movi mient o 20 metros más que lo rer ecorrido en el quinto segundo; determinar el espacio recorrido recorrido desde desde que inicio el movimiento movimi ento hasta hasta el fif inal del octavo segundo de su movimiento. t Calculando el t iempo que q ue demora en detenerse . Solución:
vF = vo ± a t
t Espacio recorrido en el quinto segundo.
x = d5 − d4
0 8
d = v ot +
Reposo:
d=
0 = 60 − 4t
t = 15 s
1 2 a t 2
1 2 a t 2
x=
1 2 1 a 5 − a 4 2 2
x=
25 a − 8a ..................... (1) 2
bg
b g2 t El espacio que recorrió en el último segundo.
t Espacio spacio recorrido recorri do en el décimo segundo.
x = d15 − d14
x + 20 = d10 − d9 x + 20 =
⇒
L b g − 1 b15g2 O − Lv b14g − 1 b14g2O MN PQ MN o PQ 2 2 1 1 L 2O L 2O x = M60b15g − × 4 × b15g P − M60b14g − × 4 × b14g P 2 2 N Q N Q
1 2 1 a 10 − a 9 2 2
b g
x + 20 = 50a − t De (1) y (2):
b g2
x = v o 15
81 a ............ (2) 2 a =
4 m / s2
a
a
x=2m
pid en el espacio espacio recorrido recorrid o desde el el inicio i nicio del t Nos piden movimiento hasta hasta el final f inal del octavo segundo. segundo. 3.-
Dos móviles que parten del reposo se dirigen al encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan 10 s en cruzarse. cruzarse. Los Los espacios espacios recorrid recorr idos os por esto estos s móviles vil es est est án en la relación rel ación de d e 4 a 5.Calcular alcul ar las aceleraaceleraciones de dichos móviles móvi les..
114
Jorge Mendoza Dueñas Solución:
5.-
Un automóvil automóvi l está esperando esperando en reposo que la luz l uz del semáforo cambie. En el instante que la luz cambia a verde, el automóvil aumenta su velocidad uniformemente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 segundos, después de los cuales se mueve con velocidad uniforme. En el instante que el automóvil empezó a moverse después del cambio de luz, un camión lo sobrepasa sobrepasa en la misma dirección, con con el movimi m ovimienento unifor uni forme me a razón razón de d e 10 m/s.¿Cuánto t iempo y cuán lejos del semáforo el automóvil y el camión volverán a estar estar junt os?
t Distancia Distancia tot al: Solución:
180 = 5x + 4 x x = 20 t Con el móvil m óvil (1):
b g + 21 1b10g2
d = v o 10
a
b5gb20g = 0 + 21 1b100g a
⇒
a 1 =
2 m / s2
m óvil (2): t Con el móvil
b g + 21 2b10g2
d = v o 10
a
b4gb20g = 0 + 21 2b100g a
4.-
⇒
a 2
= 1,6
m / s2
Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2 seencuentra encuent ra a 20 m detrás det rásde un ómnib óm nibus us que marcha con velocidad vel ocidad constante de 8 m/ m / s. ¿Después Después de cuanto t iempo iemp o el auto sacará acará al ómnibus ómni bus una ventaja de 64 m? Solución:
camión: n: t Con el camió e = x + y = 10T .......................... (1) t Con el automóvil: aut omóvil:
Ent re A y B : vF = v o + a t
bg
vB = 0 + 2 6
vB = 12 m / s
Entre A y C : y
x
67 4 4 8
x+ y= t Con el auto (vo = 0) 0)
d = v ot +
6 4 74 8
1 2 6 2
b gb g2 + vBb T− 6g b
g
x + y = 36 + 12 T− 6 .............. (2)
1 2 a t 2
20 + x + 64 = 0 +
1 2 t2 2
bg
84 + x = t 2 ...... (1) m/ s = cte) ct e) t Con el camión (v = 8 m/s
t (1) = (2)
b
g
10T = 36 + 12 T− 6
10T = 36 + 12T− 72 T = 18 s
x = vt
Finalmente:
x = 8t .............. (2)
e = x + y = 10T= 10 18
t De (1) y (2):
t = 14 s
b g
e = 180 180 m
115
Cinemática 6.-
t Ent re B y C :
Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en víasparalelas en sent sentid idos os opuestos y cuando seencuentran, sus velocidades son 12 y 18 m/s y sus aceleraciones constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempo que demoran los trenes en cruzarse completamente.
vF2 = v2o − 2a eBC (mov. retardado)
b g2 − 2 b 44g
0 = 20
a
88a = 400
Solución:
t Cuando los trenes están a punto de cruzarse
8.-
⇒
a =
4, 55 m / s2
Dos moviles A y B se encuentran inicialmente separados una dist d istancia ancia “d” (B detrás detr ás de A). Si ambos amb os se se mueven en el mismo sent sentido ido “B” con con velocidad veloci dad constante de 10 m/s y “A” partiendo del reposo con a = 2 m/s2. Des Después de que tiempo t iempo de iniciado i niciado el movimi ento la la distancia de separación es mínima. (Ambos móviles no se encuentran). Solución:
t Momento Moment o en que “A” “A” cruza a“B” completamente. complet amente.
eA = 600 600 = v ot + 600 = 30t +
7.-
1 2 a t 2
1 6 t2 2
bg
b
g
eB = d + eA − x .............. (1)
t 2 + 10t − 200 = 0
De donde:
t = 10 s
t
Un conductor viaja por una autopista recta con una velocidad inicial de 20 m/s. Un venado sale a la pista 50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la aceleración mínima que puede asegurar la parada del vehículo justamente j ustamente antes de golpear al venado venado si el chofer demora 0,30 s en reaccionar?
eA = v ot +
1 2 a t 2
1 2 ⋅ 2⋅ t 2
eA = 0t +
eA = t 2 .............. (2) t
eB = vBt
eB = 10t .............. (3)
Solución:
t (2) y (3) en (1):
e
j
10t = d + t2 − x 10t = t 2 − x + d x = t 2 − 10t + d
b
t Antes que el conductor reaccione su velocidad sigue siendo constante
b
g2 + d − 25
x= t −5
Para que x sea mínimo: míni mo: t − 5 = 0
g = 20b0,30g
eAB = v 0,30
t = 5s
eAB = 6 m
Cuando el conductor conduct or rea r eacciona, cciona, éste éste presiona los frefr enos y el movimiento pasa a ser M.R.U.V. cuya velocidad final fi nal es cero cero (para no atropellar atrop ellar al venado). eBC = 50 − 6 = 44 m
9.-
Un pasajero pasajero des d esea ea subi subirr a un microbús mi crobús que se encuentra detenido detenid o y corre trasél con una velocidad velocidad uniforme unif orme de 5 m/s m/ s y cuando cuando est est aba a 6 m del microbús, mi crobús, éste éste parp ar2 te con aceleración constante de 2 m/s . Hallar el tiempo que q ue demora demor a el pasajero pasajero en alcanzar alcanzar al microbú mi crobús. s.(Si (Si lo alcanza).
116
Jorge Mendoza Dueñas Solución:
10.-
q ue lo alcanza alcanza:: Para ell ello o en el instante instant e t Suponi endo que de alcance alcance la velocidad velocid ad del microbús microb ús no deberá ser ser mayor que la del pasajero pasajero (5 m/ s). s).
Sale un tren tr en hacia hacia el nort nor t e c con on velocidad de 30 km/h, luego de 10 minutos minut os sale otro también t ambién hacia hacia el norte nort e y con la misma velocidad. ¿Con qué velocidad en km/h constante constant e venía un tren tr en desde el el nort n ort e,si se se cruzó con el primer tren en cierto instante y luego de 4 minutos con el segundo segundo tren? t ren? Solución:
eH − eM = 6 1 2I F G H 2 t J K = 6 F 1 I 5t − G 0t + ⋅ 2t 2 J = 6 H 2 K 5t − v ot +
a
5t − t 2 = 6
⇒
t 2 − 5t + 6 = 0 De donde:
d el t iempo de encuentro entre entr e “B” y “C” t Cálculo del
t = 2s ó t = 3s
t=
t Analizando:
Si: t = 2 s
⇒
t De la figura:
vM = v o + a t
b gb g
F G H
vM = 0 + 2 2
x = 30t − 30 t −
vM = 4 m / s < 5 m / s Si: t = 3 s
⇒
10 60
I J K
x = 5 km
bg
vM = 0 + 2 3
t (2) en (1):
vM = 6 m / s > 5 m / s (no cumple) t Finalmente:
4 x ............ (1) = 60 v + 30
t = 2s
4 5 = 60 v + 30
v = 45 km / h
PROBLEMAS PROPUESTOS
A problemas de aplicación 1.-
Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza 50 m en 5 s. ¿Cuál es su su aceleración aceleraci ón en m/ m / s2? Rpta.
2.-
4 m/s2
Una gacela pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/s y 7 m/ s y M.R.U.V.Si dich d ichos os punt pun tos est est án separados 50 m. ¿Qué tiempo empleó en el recorrido? recorri do? Rpta.
3.-
10 s
Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una aceleración de 6m/s m/ s2. ¿Qué veloci velocidad dad en m/s m/ s tendrá tendrá luego de de 5 s? s? Rpta.
4.-
40 m/s m/ s
Un móvil que se desplaza a razón de 10 m/s ve incrementada ment ada su velocidad velocid ad por una aceleración aceleración de 5 m/s m/ s2. ¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los 2 primeros pri meros segundos segundos de est est e movimiento movimi ento variado? Rpta.
30 m
117
Cinemática 5.-
Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m demoró 8 s s.. Si por p or el pri p rimer mer punt pun t o pasa con una velocidad de 20 m/s m/ s.Determin Determ inar ar con qué velocidad veloci dad pasapor el segundo punto (en m/s). Rpta.
6.-
7.-
Rpta. 8.-
1.-
– 4 m/s m/ s2
Lo atrapa a 1 m del agujero
Un auto que que se se mueve describiend describ iendo o un M.R M .R.U.V .U.V.en cierto instant i nstante, e,pasó pasó con una rapidez de 15m/s m/ spor un u n punpun to “A” sit sit uado ent re dos mont mon t añascomo se muestra. Si en este instante toca el claxón, con que aceleración deberá moverse a partir part ir de ese instante, instant e,para escuchar escuchar los ecos simult im ult áneament áneamente e (vsonido = 320 m/s).
Rpta. 8.-
Durante Durante que segundo segundo de d e movimiento, un móvil que parte part e del reposo r eposo y tiene t iene M.R.U M.R.U.V .V. recorrerá recorrerá el t riple ri ple del espacio recorrido en el quinto segundo.
9.-
8 m/s
Dos móviles que part parten en del reposo en la mis mi sma dirección y sentido, están separados 200 m, si se observa que el alcance se produce 10 s después de iniciado los movimientos. Determinar sus aceleraciones si estas están en la relación de 3 a 1. Rpta.
2 2 2 = 2 m/s ; a 1 = 6 m/s
a
6 m/s
Dos móviles móvi les se se encuentran en una recta, rect a,inicialment ini cialmente e en reposo, separados por una distancia de 400 m. Si parten al mismo instante acercándose mutuamente con aceleracio aceleraciones nes de 3 m/ s2 y 5 m/s2.Calcular alcul ar después de qué t iempo vuelven a est est ar separa separados dos por segunda vez una distancia de 200 m. Rpta.
10.-
2
10 m/s m/ s
Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuentra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m de la liebre, ésta acelera a 2 m/s2. Calcular la velocidad mínima mínim a c constante onstante de la zorra de t al modo que qu e pueda atrapar a la liebre ¿y comérsela? Rpta.
avo segundo N = 14avo
Un auto corre una pista horizontal con una aceleración de 2 m/s2, después de 5 sde pasar pasar por po r el punt p unt o A, posee una veloci velocidad dad de 72 km/h. km/ h. ¿Qué velocidad t enía el auto cuando le l e faltaba falt aba 9 m para llegar ll egar a A? A? Rpta.
3.-
Un ratón de regreso a su agujero, a la velocidad const ante de 1 m/ s, pasa pasa al al lado l ado de un gato, despert despert ándo2 lo, si el gato acelera a razón de 0,5 m/s y el agujero est est á a 5 m. ¿Atrapa At rapa el gato gat o al ratón?. rat ón?.Si lo atrapa, atr apa,¿a qué distancia del agujero aguj ero lo hace? Rpta.
7.-
18 s ; 180 m
6s
problemas complementarios
Rpta. 2.-
10 m
2
Durante el 6to segundo de su desplazamiento una pelota logró avanzar 6 m, si su velocidad al inicio era de 28 m/s. ¿Con qué aceleración retardó uniformemente su su movimiento? movimi ento? Rpta.
B
x = 96 m
Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s, desacelerand desacelerando o constant const antement emente. e.Si luego l uego de d e 3 s su velocidad locid ad se ha reducido a 30 m/ s. ¿Cuánto t iempo más debe transcurrir para lograr detenerse? Rpta.
10.-
6.-
602,08 m
Un bot bote e inicialment inici almente e en reposo reposo acelera acelera a razón razón de 2 m/s m/ s durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidad const constante.En el instante i nstante que el bote bot e parte, una lancha lancha que se mueve en en la l a misma dirección y sent sentido ido con velocidad constante de 10 m/s lo pasa. ¿Después de qué tiempo y a qué distancia di stancia se se encontrará encontr arán n nueva nuevamente? mente? Rpta.
Una partícula parte del reposo con M.R.U.V., y en 5 s recorre 50 m. Calcular el espacio que recorre en el tercer segundo de su movimiento. Rpta.
9.-
5.-
e = 3 600 m
Un móvil parte part e del reposo con una acelerac aceleración ión constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que recorre en los 4 s siguientes.
Un tren va frenando frenando y lleva l leva un movimiento uni formemente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego 30 s en recorrer suces sucesivamente un cuarto de kilómekil ómetro. Hallar el espacio que recorrerá antes de pararse. Rpta.
25 m/s m/ s
Un móvil parte part e del reposo con una acelerac aceleración ión const ante. Si su velocidad velo cidad aument a a razón razón de d e 10 m/ s cada cada 5 s. s. Calcular el espacio espacio que habrá recorrido recorri do en 1 minumin uto (en metro). Rpta.
4.-
13,10 s
Unapartícula part ícula parte del orig or igen en hacia hacia la derecha derecha con una velocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s2 hacia la izqui i zquierda. erda. ¿Cuáles son son l os instantes inst antes en que qu e su su distancia desde el el origen or igen es 1 m? Rpta.
t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s
