Capitulo5GE

CAP´ITULO 5

       c as       i       t POLIGONALES Y    a     em ´   POLIGONOS     a t    M     .  d  e     to     ´ 5.1. 5. 1. IN INTR TROD ODUC UCCI CION       ep       , D , . . . , A con n ≥ 3, con Definici´ on 32. Sean en el plano los puntos  A , A on a colineales.        u ison la condici´  on de que tres puntos consecutivos no  o q      La uni´  on de los segmentos  A A , A A  ,  .  .i . , A A , se llama POLIGONAL, (Figura 1.a).     n t      A ´    eERTICES Los puntos  A , A , . . . , A se llaman  V  DE LA POLIGONAL.       d Los segmentos  A A , A A , . . . , A   A se llaman LADOS DE LA POLI    d GONAL.         i d  a       e rspoligonal cerrada llamada POL´ IGONO, Si se une A con A se obtiene una (Figura 1.b,...,1.g).    iv     Los lados del pol pol´´ıgono constitu constituyen CONTORNO RNO O LA FRON FRONTERA TERA   yen   n EL CONTO ´     U DEL POLIGONO. 1

1

1

1

n

2

2

2

2

3

2

n−1

n

n

n

2

3

n−1

n

1

La suma de las medidas de los lados del pol p ol´´ıgono se llama PER ´  IMETRO  ´  DEL POLIGONO.

127

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

12 8 A3

A4

A3

A1

A2

A5

A1 A4

A4

A2

( b)

A1

A2

A5

A3

A1

( a)

A2 A2

A5

A6

A4

A7

A1

(c) A2

A6

A3

(d)

A3

       c as        ti   (e) (f ) (g)   a         t em Figura 1.   a    M   d  e     Definici´ o n 33 (Pol´ıgono on ıg ono si simpl mple). e). Un pol p ol´´ıgono se llama        to . SIMPLE si: i) Todos los v´ertices ertices son distintos. (la Figura 1.d       ep no lo es).   ertices. D (la Figura 1.c no lo  ii) Los lados se inte intersectan rsectan solamente solamente en los  v´ e , rtices. es).        u ia iii)) Nin iii Ning´  g´  un v´ertice ert ice est est´  a´  en el interior de un  lado.          t io q  (la Figura 1.b no lo es). p ol´´ıgonos sub conNota: en el conjunto de todos los pol     nsimples nos interesa un subcon junto, que le daremos el nombre de pol pol´´ıgonos      A C-simples.      d  e Definici´ on 34. on    aa  d C-simple si para i) Un pol pol´´ıgono simple se denomin denomina  para to todo do lado lado del  del         i d l que contiene al lado determina un  pol´´ıgono se cumple que la recta   pol         rs as v´ertice semiplano que contiene a los  dem´  ert icess del d el po poll´ıgo ıgono. no. (Fi (Figur guraa 2.a) 2 .a)..   v  esemiplanos (que es una figura convexa) La inte intersecci´  rsecci´  on de todos estos            n´iıgono C-simple. se le llama el interior del pol pol´ Un pun punto to perten perteneci ecient entee     al interi in terior or del pol pol´´ıgon ıgonoo C-s C-simp imple le se le lla lla-U ma punto interior del pol pol´´ıgono. Como el interior de los pol pol´´ıgonos CA1

A3

A1

A4

A3

A5

A4

A2

simples es conv simples convexo, exo, conv convendremos endremos en llamar llamar,, de aqu aqu´´ı en adelan adelante, te, a  estoss pol´ıgonos esto ıgono s C-simpl C-simples es como pol´ıgonos ıgono s CONVEXOS 

´ ii) Un pol p ol´´ıgono no C-simple, se llama  CONCAVO (Figura 2.b).

´ 5.1. INTRODUCCION

129

D

l

D C

Q C

Q

P

P

    as   A B        t ic   (a) Convexo o C-simple (b) Concavo    a         t em Figura 2.   a    M   d  e     iii) Un pol´ıgono convexo que tiene sus angulos ´  y lados  . congruentes se llama      o REGULAR (Figura 3.a).       e p t       , D        u ia          t i o q    n      A      d  e    a d   (a) Regular (b)  Irregular (c) Irregular         si d     er   Figura        n iv 3.       U Si no cumple alguna de estas condiciones es  IRREGULAR, (Figura  A

l

B

3.b y 3.c). iv) Un punto Q se denomina  PUNTO EXTERIOR de un pol´ıgono convexo, si no es punto frontera y si no es punto interior.

130

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

v) El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR del pol´ıgono. Ejercicio: demostrar que el interior de un pol´ıgono C-simple es un con junto no vac´ıo. Ejercicio: para todo P, Q en el interior de un pol´ıgono C-simple se cumple que P Q es subconjunto del interior del pol´ıgono.(Ver Figura 2. (a)) Ejercicio: para todo X, Y  pertenecientes al pol´ıgono C-simple se cumple que Int{XY  } intersectado con el pol´ıgono es el conjunto vac´ıo.

       c as       a  ti Definici´ on 35. i) Al segmento que une dos v´ertices no consecutivos de     emun pol´ıgono se    ´ llama  DIAGONAL DEL POLIGONO.     a t    M ii) El ´  angulo formado por dos lados consecutivos de    un pol´ıgono convexo  e       d ´ DEL POL´IGONO.  . se le llama  ANGULO       p  t o iii) Los ´  angulos que forman un par lineal con los ´  de un pol´ıgono      e angulos ´      , D DEL POL´IGONO. convexo se llaman ANGULOS EXTERIORES        u ia As´ı, en la Figura 4., AC  y BD son diagonales; FAE, IBA, HCB, GDC ,     q   etc. son a´ngulos exteriores del pol´ıgono.       io    n t   I B     A H       d  e C       d A         i d  a     s     r F         iv  e   n E    U D G   

Figura 4.

  

  

  

´ 5.1. INTRODUCCION

131

Nombres de algunos pol´ıgonos Nombre

N´ umero de lados

Tri´angulo Cuadril´atero Pent´ agono Hex´agono Hept´agono Oct´agono Non´agono Dec´agono Endodec´ agono Dodec´ agono

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 12 lados

       c as       a  ti         t em   a Teorema 57. El n´  umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados es:      M   d  e     n(n − 3)  . d=     o 2       e p t       , D de n v´ertices se pueden Demostraci´ on. Por cada v´ertice P  de un pol´ıgono trazar (n − 3) diagonales. Como hay n v´ertices  se  ia obtienen en total n(n − 3)       diagonales. Por el m´etodo de conteo que adoptamos,     q  u  cada diagonal se cuenta dos veces, por lo tanto se tiene: .       n   t io Luego: d =      A   d  e Ejemplos:     = 5, (ver Figura 5.). n=5 ⇒d=        d  a d i 5.). = 14, (ver       Figura n=7 ⇒d= s     er   Teorema 58.     v       i La suma de las medidas de los   angulos ´ n interiores de un pol´ıgono convexo, es igual a tantas veces dos rectos       U como lados tiene el pol´ıgono menos dos. n(n−3)

2

n(n−3)



2

5(5−3) 2 7(7−3) 2

Es decir, si  n es el n´  umero de lados del pol´ıgono, entonces: s = 180(n − 2)

132

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

       c as       a  ti P  P      em   P      a t       M P    d  e     P   .       p  t o   e      , D P  P         u ia Figura 6.    q        n   t io      A Demostraci´ on. (Ver Figura 6.).       d  e △P  P  P     a d △P  P  P    △P  P  P  N´umero de tri´ angulos de v´ertice P          i d  .. .       e rs  △P  P  P         n iv Total: (n − 2) tri´angulos.    U Figura 5.

2

1

3

0

4

n−1

n−2

0

0

0

1

2

0

2

3

0

3

4

n−2

n−1

Luego, suma de los ´angulos interiores del pol´ıgono: P 0 P 1 P 2 . . . Pn  −2 P n−1 = 180(n − 2)



angulo, entonces el valor de un angulo  ´  Corolario 23. Si un pol´ıgono es equi´ 

´ 5.2. CUADRILATEROS interior es:

133

1800 (n − 2) n

Corolario 24. En un pol´ıgono convexo, la suma de los angulos ´  exteriores  tomados en un mismo sentido es dos llanos. ´ DE TRIANGULOS ´ CLASIFICACION

       c as       a  ti         t em   a 2. Seg´ u n sus ´angulos: ´ a) EQUIANGULO: sus tres ´angulos son congruentes.       M   d  e ´ b) RECTANGULO: tiene un ´angulo recto.     ´ c) ACUTANGULO: tiene sus tres a´ngulos agudos.     o . ´ d) OBTUSANGULO: uno de sus ´angulos es obtuso.       e p t       , D    ia     ´ 5.2. CUADRILATEROS     u  o q      Definici´ on 36. .       n  ti      A con un par de lados paralelos a) TRAPECIO : es un cuadril´atero convexo (Figura 7.a).      d  e  d atero convexo con dos pares de b) PARALELOGRAMO : es un     cuadril´ a lados paralelos (Figura 7.b).         i d     rs     e convexo que tiene sus cuatro a´ngulos c) RECTANGULO : cuadril´a  tero     v congruentes (Figura 7.c).        ni    U d) ROMBO : cuadril´atero convexo que tiene sus lados congruentes (Figu1. Seg´ un sus lados: ´ a) ISOSCELES: tiene dos lados congruentes. ´ b) EQUILATERO : tiene tres lados congruentes. c) ESCALENO : no tiene lados congruentes.

ra 7.d). e) CUADRADO: cuadril´atero convexo que es equi´ angulo y equil´atero a la vez (Figura 7.e).

134

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

d a

b

e

       c as c        ti   a Figura 7.         t em   a    M   d  e El significado de la Figura 7. es el siguiente: las propiedades del cuadri    l´atero las hereda el trapecio; las propiedades del trapecio  . las hereda el pa    o ralelogramo y as´ı sucesivamente.       e p t       , D at r   s Cu d il´  ia       Trap i     u    q  s  P  ral l g r      io      t a g  l R    n b  R  t´      A Cuadrados      d  e        d  a d        si       v   er        ni       UFigura 8. a 

r

e o

ec os

a 

ec

n

e o

u o s

a mo 

om

os

El significado de la Figura 8. es el siguiente: el cuadrado tiene las propiedades del rect´ angulo y del rombo. El rombo y el rect´ angulo tienen las propiedades

´ 5.2. CUADRILATEROS

135

del paralelogramo y as´ı sucesivamente.

Teorema 59. Todo rect´  angulo y todo rombo es paralelogramo. A

    as   D B       a   t ic         t em   a C       M Figura 9.     .  d  e       p  t o que todo rombo es paDemostraci´ on. (Ver Figura 9.). Demostraremos     e ralelogramo. Se deja al lector la demostraci´ o n   de que todo rect´ angulo es   D paralelogramo.        ia ,       o  q  u  Sea ABCD un rombo, luego:       i       t on.    n AB ∼ = BC  ∼ = CD ∼ = DA por definici´      A Tracemos la diagonal DB , entonces:   d  e     ∼ △ADB = △CBD, (L − L − L)    a d        i d De donde: ADB ∼ = CBD (1)           e rs CDB ∼ = ABD (2)    iv     Seg´ u n (1), AD  BC  y seg´    unn (2), AB  DC , luego el rombo es un paralelogramo.    U   

  

  

  



Corolario 25. i) El rect´  angulo es un paralelogramo equi´  angulo. ii) El rombo es un paralelogramo equil´  atero. iii) El cuadrado es rect´  angulo y rombo a la vez.

136

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

Teorema 60 (Propiedades del paralelogramo). Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Un cuadril´  atero convexo es un paralelogramo. 2. Un par de lados opuestos del cuadril´  atero son paralelos y congruentes. 3. Los lados opuestos del cuadril´  atero son congruentes.

       c as 5. Los ´  angulos opuestos del cuadril´  atero son congruentes.        ti   a     empar de angulos  6. Un par de lados del cuadril´  atero son paralelos y un ´    opuestos son congruentes.     a t    M 7. Si para cada lado los angulos ´  adyacentes son suplementarios.     .  d  e NOTA: (ver Figura 10.). Identifique cada caso.     o       e p t       , D        u ia          t i o q    n      A Figura    10.  d  e        d  a d        sieste teorema consiste en probar la siguon de Demostraci´ on. La demostraci´     er   iente cadena de implicaciones, as´ ı:  v        ni 1 ⇒ 2    ⇒  U 3 ⇒ ... ⇒ 7 ⇒ 1 4. Las diagonales del cuadril´  atero se bisecan.

Haremos aqu´ı la prueba de la primera y la u´ltima implicaciones. i) 1 ⇒ 2. (Figura 11.). Sea ABCD un paralelogramo con AD  BC  y AB  CD. Se traza la diagonal AC  y se obtienen dos tri´ angulos congruentes △ABC  y

´ 5.2. CUADRILATEROS

137

A

B

D

C

       c as        ti   a (alternos △DCA por tener: CAD ∼ = ACB (alternos internos), DCA ∼ =   CAB     em internos), AC  (lado com´ un).      a t Luego AD ∼ otesis). = BC  y AD  BC  (por hip´   De la misma congruencia de tri´ angulos se concluye tambi´ en que:       M ∼ AB = CD y AB  CD (por hip´ otesis).     e       d ii) 7 ⇒ 1, (ver Figura 12.).  .     o X A B       e p t       , D        u ia          t i o q    n C D      A Y       d  e        d  a d12. Figura        si     r     e Supongamos que en el cuadril´ av tero convexo ABCD los ´angulos adya          i centes DAB y ADC  son suplementarios, es decir:   n    U (1) m(DAB ) + m(ADC ) = 2 rectos  Figura 11.

  

  

  

  

  

  

  

−→ Sea X  un punto en BA , con A entre X  y B , por tanto: m(DAX ) + m(DAB ) = 2 rectos    

  

(2)

  

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

138

De (1) y (2): m(DAB ) + m(ADC ) = m(DAX ) + m(DAB ) , de donde: ADC  ∼ = DAX  y por ser alternos internos se concluye que AB  DC . −−→ En la misma forma se toma Y  en la semirrecta BC , tal que C  est´a entre B y Y  y se llega a la conclusi´ on de que ADC  ∼ = Y CD y por la misma raz´on se  concluye que AD  BC , luego la figura es un paralelogramo.   

  

  

  

  

  

  

  

Teorema 61 (Teorema del baricentro). Las medianas en un tri´  angulo son concurrentes en un punto, que est´  a a un tercio de cada lado y a dos tercios del v´ertice sobre cada mediana. (A este   punto se le llama el baricentro).

       c as       a  ti         t em A   a    M R L     .  d  e     o       t N V’     ep    V      , D S  a        ui  o q      B C M       n  ti Figura 13.      A      d  e    a d   Demostraci´ on. (Ver Figura 13.). La estrategia de la demostraci´ on ser´ a:       d       i i) Mostrar que dos medianas se cortan en un punto V , el cual est´a a un tercio     s     r de la base y a dos tercios del v´ertice   v  e en cada mediana.     ii) Tomar la mediana que no se  tuvo       ni en cuenta en i) y una de las medianas que si se tomo en cuenta en i) y suponer que se cortan en V  , para finalmente    U concluir que V  ≡ V  . ′

′

−−→ Veamos i). Por el Teorema 7. y el corolario 1.: CN  ⊂ IntC , y por el −−→ Teorema de la barra transversal, existe {V } = AM  ∩ CN ; similarmente, por el Teorema 7., corolario 1., teorema de la barra transversal y Teorema 1.

 

´ 5.2. CUADRILATEROS

139

−−→ {V } = CN  ∩ AM  luego {V  } = AM  ∩ CN . Sea R el punto medio de AV  y S  el punto medio de CV  ; M  el punto medio de BC  y N  el punto medio de AB . Por el teorema de la paralela media en el △AV C : RS   AC . Por el teorema de la paralela media en el △ABC : N M   AC . Luego, RS   N M . Por el teorema de la paralela media en el △BV C : SM   BV  . Por el teorema de la paralela media en el △BV A: N R  BV  . Luego, SM   N R. De lo anterior se concluye que NRSM  es un paralelogramo y como en un paralelogramo las diagonales se bisecan, entonces V S  ∼ = V N  y V R ∼ = V M  y como R es punto medio de AV  , entonces AR ∼ = RV  ∼ = V M , por tanto:

       c as       a  ti         t em 1 1   a V M  = AM  = m 3 3    M     e 2 2       d V A = AM  = m ,  . 3 3     o    p t  CS  ∼= SV  ∼= V N  y Tambi´en, como S  es punto medio de V C , entonces     e por tanto 1 1    D V N  = CN  = m  ,  3 3   a    i 2 2   u V C  = CN  =  m  q  3 3    o       i       t AM  se intercepta con la nueva Veamos ii): Supongamos que la mediana     n mediana BL en V  . Como el resultado de      Ala parte i) es valedero para estas   d  e AV  = m y por la parte i) dos medianas que se cortan en V  , entonces     AV  = m , entonces AV  = AV  , o sea que AV  ∼ = AV  y como V  y V  est´an       d −−→ a en la semirrecta AM , entonces por el   Axioma de construcci´ on de segmento       d        si V  ≡ V  .       v   er        ni    U a

a

c

c

′

′

2 3

′

′

a

′

′

2 3

a

′



CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

140

Teorema 62 (Propiedades del rect´ angulo). Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Un cuadril´  atero convexo es un rect´  angulo. 2. Todos sus ´  angulos son rectos. 3. Las diagonales son congruentes y se bisecan.

    as   Demostraci´ on. Demostraremos que 1 ⇒ 2 y que 3 ⇒ 1.       ic i) 1 ⇒ 2, (ver Figura 14.).     a t D C         t em   a γ  δ     M β  α     .  d  e A B    o       e p t  Figura 14.      , D Por hip´otesis tenemos que α = β  = γ  = δ .       ia   u  Como α + β  + γ  + δ  = 360 , resulta entonces  que:   q α = β  = γ  = δ  = 90 .       n   t io ii) 3 ⇒ 1, (ver Figura 15.).      A      d  e        d  a d D C        si 2 2 1 1       er        n iv O    U 1 1 0

0

2

2

A

B Figura 15.

´ 5.2. CUADRILATEROS

141

Tenemos por hip´ otesis que: OA ∼ = OB ∼ = OC  ∼ = OD.

Si △AOB ∼ = △COD (L-A-L), resulta que A2 ∼ = C 2 y B2 ∼ = D2 .

                                 c as        ti             a         em      a t                      M Si △AOD ∼ = △COB (L-A-L), resulta que D1 ∼ = B 1 y A1 ∼ = C1  .

Sumando: m(A2 ) + m(A1) = m(C 2 ) + m(C1  ) y m(D1 ) + m(D2 ) = m(B1 ) + m(B2 ), resulta entonces que A ∼ = C  y D ∼ = B , pero como D9 ∼ = A1 y B2 ∼ = A2 , se ∼ ∼ concluye que A = C  y D = B . Pero como D1 ∼ = A1 y B2 ∼ = A2 , se concluye que A ∼ =B∼ = C  ∼ = D, pues D1 ∼ = A1 ∼ = B1 y B2 ∼ = A2 ∼ = D2 .  Se deja al lector la prueba de que 2 ⇒ 3.

    .  d  e Teorema 63 (Propiedades del rombo).     to     Los siguientes enunciados son equivalentes:       ep       , D 1. Un paralelogramo es un rombo. a angulos        u ilos 2. Las diagonales del paralelogramo bisecan ´  opuestos.  o q    3. Las diagonales del paralelogramo son     perpendiculares.      n ti 4. Dos lados adyacentes del paralelogramo son congruentes.      A   d  e     Demostraci´ on. Demostraremos que 1 ⇒ 2 y que 4 ⇒ 1.        d  a d i) 1 ⇒ 2, (ver Figura 16.).        si Por hip´otesis tenemos que ABCD       v   er es paralelogramo con AB ∼ =   BC        ni ∼= CD ∼= DA.   U y Como △DCB ∼ = △DBA por  (L-L-L)

△CDA ∼ = △CBA por (L-L-L), resulta: CDO ∼ = ODA, CB O ∼ = ABO, DCO ∼ = BCO, BAO ∼ = DAO . (Porque ?) ii) 4 ⇒ 1. Tenemos por hip´ otesis que ABCD es paralelogramo y que AD ∼ = AB .

  

  

  

  

  

  

  

  

142

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

C

D

O

B

    as   A Figura 16.       a   t ic     em      a t y AB ∼= DC , Entonces, por ser ABCD paralelogramo se tiene: AD ∼ =   BC  pero como AD ∼ = AB , resulta:    M     e ∼ ∼ ∼       d AB = BC  = CD = DA.  .     o Teorema 64 (Propiedades del trapecio).       e p t  i) La base media de un trapecio (segmento que une los puntos medios de       , D a las bases y su medida  los lados no paralelos de un trapecio), es paralela es la semisuma de las medidas de las bases.       ia   q  u    ii). El segmento que une los puntos medios    de  io las diagonales de un trapecio          t es paralelo a las bases, su medida es la semidiferencia de las medidas de las      n bases y esta contenido en la base media   (Demostrarlo).    A   d  e     iii) En un trapecio is´  osceles, el cual tiene los lados no paralelos congruentes, las diagonales son congruentes, los angulos ´        a d de la base mayor son congruentes,      i d los angulos ´  de la base menor son congruentes. El punto de intersecci´  on de las          s diagonales, los puntos medios de las       er bases y el punto de intersecci´ on de las  rectas que contienen los lados no  paralelos, estan alineados. Las mediatrices    v       i de las bases coinciden. (Demostrarlo).   n    U 

Demostraci´ on. (Ver Figura 17.). Por hip´ otesis, DC   AB, DK  ∼ = KA y ∼ CE  = EB . Demostremos que:

´ 5.2. CUADRILATEROS D

K

143

C

E

    as   A B F     c       i Figura 17.     a t         t em   a 1    M KE  = (DC  + AB ).   d  e 2     Si unimos D con E  y prolongamos hasta encontrar  . la prolongaci´on de     o ∼ a entre A y F , resulta que △DCE  AB , tal que B est´    p =t  △F BE  por (A-L-A),   entonces     .e DE  ∼ = EF  y  DC  ∼ = BF      , D En △DAF  se tiene KD ∼ = KA y DE  ∼ = EF ,  por       u ia lo tanto KE   AF  y  o +q  DC ). 1 1     KE  = (AF ) = (AB 2 2         ti   n ii) y iii) se dejan como ejercicio.      A      d  e        d  a d        si       v   er        ni    U 

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

144

5.3.

Ejercicios y Problemas de Pol´ıgonos

1. Dado el cuadrado ABCD, se construye en el interior del cuadrado el tri´angulo equil´atero △ABF  y en el exterior del cuadrado, el tri´ angulo equil´atero △ADE . Demostrar que C , F  y E  son colineales. 2. En un paralelogramo ABCD , se prolonga AB hasta E  tal que BE  ∼ = ∼ BC  y se prolonga AD hasta F  tal que DF  = DC . Demostrar que DCF  ∼ = BC E  y F , C  y E  son colineales. −−→ 3. Si ABCE  es un rect´ angulo y AF  ⊥ BE  con F  ∈ BE  y AD es bisectriz −−→ de CAF . Mostrar que AD es bisectriz de BAE , hallar m(ADE ). (Rta.: 45o )

       c as       a  ti         t em   a 4. Demostrar que el per´ımetro de un cuadril´ atero es mayor que la suma    M de las diagonales.   d  e     5. Sea ABCD un cuadrado tal que E  esta entre B  y. C , E  esta entre D y       p  DF  t o . F  , B esta entre A y F . Demostrar que AC <     e un cuadril´atero, son los 6. Probar que los puntos medios de los lados    de  , D   v´ertices de un paralelogramo.        u ia 7. Probar que los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadril´ atero     q      t son o los v´ertices de un paraleloy los puntos medios de las diagonales,     i     gramo.   n    lados  A de un rombo, son los v´ertices 8. Probar que los puntos medios de los      d  e de un rect´ angulo.    a d   9. Probar que los puntos medios    de los lados de un rect´angulo, son los   d       i v´ertices de un rombo.       e rs 10. Probar que las bisectrices de   los ´ interiores de un paralelogramo, v angulos       i al intersectarse forman un   rect´ n angulo.    U 11. Probar que las bisectrices de los a´ngulos interiores de un rect´ angulo, al   

  

  

  

  

intersectarse forman un cuadrado. 12. Demostrar que si por el punto de intersecci´ o n de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a los lados del rombo, entonces

5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS

145

los puntos de intersecci´ on de dichas perpendiculares con los lados del rombo son los v´ertices de un rect´ angulo. 13. Demostrar que las bisectrices de los a´ngulos que forman las diagonales de un rombo, intersectan los lados del rombo en cuatro puntos que son los v´ertices de un cuadrado. 14. Demostrar que la base media de un trapecio biseca las diagonales.

       c as       a  ti −−→ −→       emy −DM  16. Sea ABCD un paralelogramo. AN  bisectriz de BAD bisectriz de CDA . M  ∈ AB N  ∈ CD. Demostrar que ADNM      a t es un rombo.   M hipotenusas se 17. Si sobre los lados de un paralelogramo tomados   como   d  e rect´angulos son dibujan tri´angulos rect´ angulos is´osceles y los tri´a   ngulos  . v´ertices de los anguexteriores al paralelogramo. Probar que los cuatro ´     o los rectos forman un cuadrado.       e p t  18. Mostrar que en un paralelogramo, el segmento      , D que une los puntos medios de dos lados opuestos es partida   en parte congruentes por el a       i punto de intersecci´ on de las diagonales.     u  o q             ti los lados AD y DC  segmentos 19. En un cuadrado ABCD se toman sobre     n M  y A con N . Mostrar que congruentes AM  y DN ; se unen B   con      A AN  ⊥ BM    d  e     20. En un cuadril´ atero ABCD , AC  ∼ = BD y DAB ∼ = CBA y no rectos.       d Demostrar que ABCD es un trapecio         i d  a is´osceles.     rs tres lados de un tri´angulo equil´atero, 21. Demostrar que si se trisecan   los entonces estos puntos son los         iv  ev´ertices de un hex´agono regular.     nes un oct´agono regular. Demostrar que las 22. El pol´ıgono ABCDEFGH     U diagonales AD, HE , BG y CF  forman un cuadrado al intersectarse. 15. Demostrar que las diagonales de un pent´ agono regular son congruentes y al intersectarsen forman un pent´ agono regular. ∡

∡

∡

∡

23. En el cuadril´atero ABFE  la diagonal AF  es mediatriz de BE . Las prolongaciones de AB y EF  se cortan en C  y las prolongaciones de AE  y BF  se cortan en D . Demostrar que CD y BE  son paralelas.

146

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

24. Sea ABFH  un paralelogramo, D un punto exterior al paralelogramo, E  punto medio de DF , C  punto medio de DB , K  punto medio de AH . Si {O} = EK  ∩ CH , demostrar que O es punto medio de EK  y CH . 25. En un paralelogramo ABDE , mBD = 2mAB y C  es el punto medio de BD . Demostrar que el ´angulo ∡ACE  es recto. 26. Demuestre que cualquier segmento que pase por el punto de intersecci´ on de las diagonales de un paralelogramo queda bisecado por dicho punto.

       c as       a  ti     em corta a CD 28. Sea ABCD un paralelogramo, donde la bisectriz de   DAB    a t BC D corta a en Q y a la prolongaci´o n de BC  en N ; la bisectriz  de on de DA en M . Demuestre que AMCN  es AB en P  y a la prolongaci´       M un paralelogramo.     .  d  e 29. ABCD es un rect´ angulo. AX  y DX  son las bisectrices de A y D re    o    p Bt  y C  respectivamente. spectivamente. BY  y CY  son las bisectrices de     e Demuestre que ABY X  ∼ = CDXY .      , D 30. En un cuadril´ atero convexo ABCD , AC  ∩ as AO ∼ BD = {O}. Adem´ =     a       i ∼ OB y CO = OD . Demostrar que ABCD     q  u es un trapecio is´osceles.  io 31. Por el punto de intersecci´ o n de las    diagonales de un cuadrado, se         t trazan dos rectas perpendiculares que   intersectan dos a dos los lados del n cuadrado. Demostrar que estos puntos      A de intersecci´on son los v´ertices de un cuadrado.      d  e  d recta cualquiera que pasa por D 32. Sea ABCD un paralelogramo, l    una     a AN  ⊥ l, BM  ⊥ l y CP  ⊥ l y no cruza el interior del paralelogramo,      i d     en los puntos N , M  y P  respectivamente. Demostrar que       e rs mBM         n iv = mAN  + mCP. Analice el caso cuando la      recta U l cruza el interior del paralelogramo. 27. Sea ∆ABC  , D ∈ intAC , tal que AD ∼ = DB ; AB < AD . Demostrar que ∆ABC  es escaleno. ∡

∡

33. En un rombo ABCD se trazan BN  ⊥ AD, BM  ⊥ CD, DR ⊥ AB , DQ ⊥ BC . Estas perpendiculares se cortan en E  y F . Demostrar que BEDF  es un rombo y que sus ´ angulos son congruentes a los a´ngulos del rombo dado.

5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS

147

34. En un cuadrado ABCD se prolongan los lados en un mismo sentido y sobre dichas prolongaciones se toman BM  ∼ = AB , DN  ∼ = CD, CF  ∼ = BC  y AQ ∼ = AD. Demostrar que M N  ∼ = F Q y que M N  ⊥ P Q. 35. En un tri´ angulo ∆ABC , se trazan las medianas AM  y BN . Por N , se traza una paralela a BC  y por C , una paralela a BN . Estas dos rectas se cortan en P . Si D es el punto medio de P N , demostrar que CD  AB  M N .

       c as       a  ti         t em     alos a´ngulos exte37. Demostrar que en un pol´ıgono convexo, la suma de    M riores tomados en un mismo sentido es 360   d  e     38. Demostrar que la base media de un trapecio (segmento que une los   . puntos medios de los lados no paralelos de un  trapecio) es paralela a la      p  t o bases y su medida es la semisuma de las medidas     e de las bases.      , D medios de las diagonales 39. Demostrar que el segmento que une los puntos a de un trapecio es paralelo a las bases y su es la semidiferencia        u imedida de las medidas de las bases  o q            n  ti no paralelos congruentes), las 40. En un trapecio is´ osceles (tiene los lados diagonales son congruentes, los a´ngulos de la base mayor son congru     son A congruentes. El punto de inentes, los a´ngulos de la base menor      d  e medios de las bases y el punto tersecc´on de las diagonales, los puntos  a d de intersecci´ on de las rectas que  contienen los lados no paralelos, est´an     alineados. Las mediatrices de las          si d bases coinciden.     er de un cuadrado, se toma sobre cada 41. A partir de dos v´ertices opuestos      iv formada uniendo estos cuatro puntos lado una longitud dada. La   figura     n de per´ımetro constante. de dos en dos es un rect´ angulo    U

36. Por los v´ertices de un cuadrado se trazan paralelas a las diagonales. Demostrar que los puntos de intersecci´ on de estas rectas son los v´ertices de un cuadrado cuyas diagonales se cortan en el punto de intersecci´ on de las diagonales del cuadrado dado. 0

42. Se da un tri´angulo ABC  is´osceles, de base BC . Sobre la prolongaci´ on de BC  se toma D de forma que AC  ∼ = CD. Se traza la recta AD y se ←→

←→

prolonga AB hasta E  de forma que BE  =

BC 

2

. Si E , F , H   son puntos

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

148

colineales tales que H  es el punto medio BC  y F  pertenece a AD. Demostrar: i) ADB = 1 ABC , ii) EA ∼ = HD , iii) F A ∼ = FD ∼ = F H ,   

2

  

iv) Si m(BAC ) = 580 calcular a´ngulo AF H  y ADB .   

  

  

43. Mostrar que: a) Dos paralelogramos son congruentes si tienen dos lados contiguos respectivamente congruentes e igual el a´ngulo que ellos forman. b) Dos rect´ angulos son congruentes si tienen dos lados contiguos respectivamente congruentes.

       c as       a  ti   ,mcorta a DC  en 44. En un paralelogramo ABCD, la bisectriz del a´ngulo A   angulo C , corta a AB en N .        te M  y la bisectriz del ´   a a) Mostrar que el cuadril´atero AMCN  es un paralelogramo.    M b)Mostrar que DB pasa por el punto medio O de M N .   e c) Concluir que BMDN  es un paralelogramo.      d  .     o 45. Por el punto O donde se cortan las diagonales de    p t  un cuadrado, trazamos   dos segmentos de recta EF  y HG perpendiculares entre ellos y limita    e dos por los lados del cuadrado. Demostrar  que    , D EHGF  es un cuadrado.    ia B con los puntos medios 46. En un paralelogramo ABCD se une el v´ e rtice   q  u  queda dividida en tres segde AD y DC . Probar que la diagonal AC    mentos congruentes.       n   t io 47. En un paralelogramo ABCD, M  es el punto medio AB y N  es el punto      A medio de CD. Demostrar que DM     ye BN  trisecan la diagonal AC .      d 48. El △ABC  esta inscrito en la circunferencia de centro O , AD es la       d     a altura correspondiente al lado BC  y H  es el ortocentro. N , Q y P  son          syi d AC  respectivamente. Demostrar que los puntos medios de AH , AB OPNQ es un paralelogramo.      er     v       i BM  ⊥ AD y DN  ⊥ BC . Demostrar 49. Sea un rombo ABCD . Se  trazan   n que el cuadril´atero BMDN        U es un rect´angulo. 50. Sea un trapecio ABCD . Se prolongan los lados no paralelos AD y BC  hasta cortarse en el punto E . Sean M , N , P , Q puntos medios de AE,BE,AC  y BD respectivamente. Demostrar que MNQP  es un trapecio.

5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS ←→

←→ ′

←→

←→ ′

149

−→

−→

51. Sea HH  || RR , A ∈HH  , B ∈RR , si AD es bisectriz de HAB , AC  ′

′

  

−→

−→

es bisectriz de H  AB , BD es bisectriz de RBA y BC  es bisectriz de angulo. R BA . Demostrar que ACBD es un rect´ ′   

  

′   

52. En un trapecio cualquiera la diferencia de la base mayor menos la menor es menor que la suma de los otros dos lados del trapecio. 53. Demostrar que si un tri´ angulo tiene dos medianas congruentes, entonces el tri´angulo es is´osceles.

       c as       a  tiH  se trazan 54. Sea ∆ABC , rect´angulo en A y sea AH  altura. Desde HE ⊥AB y HD ⊥AC , demostrar que a)DE  ∼ = AH , b) AM ⊥DE , donde M  es el punto medio         t em de BC .     a 55. En el △ABC , N  es punto medio de BC  y M  ∈ AB    tal que AM  = AB ,   M si {O } ∈ AN  ∩ CM  y OM  = 5x, ON  = 2x − 1,  OA   e = 3x − 11. Hallar       d CM . (Rta.: CM  = 200)        to . Construcciones con Regla y Comp´ as.       ep        D 56. Construir un cuadrado dada la suma de su  ,diagonal y el lado.        ia   q  u  un angulo 57. Construir un trapecio conociendo las diagonales, ´ del trapecio   y uno de los lados no paralelos adyacente         t io al ´angulo.   n tri´angulo ∆ABC , que corte a 58. Trazar una paralela a la base BC  de  un      A los lados AC  y AB en D y E  respectivamente, de manera que se tenga:     e DE  = CD + EB .      d        d  a d conociendo los puntos medios M  y 59. Construir una tri´ angulo rect´ angulo     si en que la recta que une estos puntos, M  de los catetos y el punto  H    encuentra la altura relativa a   lar hipotenusa.   v  e            ni 60. Construir un rect´ angulo conociendo un lado y el a´ngulo entre las diagonales, opuesto al lado.      U 1 3

′

61. En el tri´angulo ∆ABC , ha es la altura desde el v´ertice A, ma es la mediana desde el v´ertice A y va es la bisectriz desde el v´ertice A, a es la medida del lado BC , b es la medida del lado AC , c es la medida del lado AB , α es la medida del a´ngulo en el v´ertice A, β  es la medida

150

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS del a´ngulo en el v´ertice B , γ  es la medida Construir un tri´angulo ∆ABC , dados: (a) a, hb , vc . (b) a, hb , mc . (d) ma , b , c. (e) ma , b , α. (g) a, b, b + c. (h) a, b, b − c. (j) a + b, c, γ . (k)β , γ , p = a + b + c. (m) a, α, b + c. (n) a, β, c − b

del ´angulo en el v´ertice C . (c)a, α, hb . (f) ha , ma, β . (i)a + b, b − c, c. (l) a, α, c − b.

       c as       a  ti         t em   a    M     .  d  e       p  t o   e      , D        u ia          t i o q    n      A      d  e        d  a d        si       v   er        ni    U