CAP´ITULO 5
c as i t POLIGONALES Y a em ´ POLIGONOS a t M . d e to ´ 5.1. 5. 1. IN INTR TROD ODUC UCCI CION ep , D , . . . , A con n ≥ 3, con Definici´ on 32. Sean en el plano los puntos A , A on a colineales. u ison la condici´ on de que tres puntos consecutivos no o q La uni´ on de los segmentos A A , A A , . .i . , A A , se llama POLIGONAL, (Figura 1.a). n t A ´ eERTICES Los puntos A , A , . . . , A se llaman V DE LA POLIGONAL. d Los segmentos A A , A A , . . . , A A se llaman LADOS DE LA POLI d GONAL. i d a e rspoligonal cerrada llamada POL´ IGONO, Si se une A con A se obtiene una (Figura 1.b,...,1.g). iv Los lados del pol pol´´ıgono constitu constituyen CONTORNO RNO O LA FRON FRONTERA TERA yen n EL CONTO ´ U DEL POLIGONO. 1
1
1
1
n
2
2
2
2
3
2
n−1
n
n
n
2
3
n−1
n
1
La suma de las medidas de los lados del pol p ol´´ıgono se llama PER ´ IMETRO ´ DEL POLIGONO.
127
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
12 8 A3
A4
A3
A1
A2
A5
A1 A4
A4
A2
( b)
A1
A2
A5
A3
A1
( a)
A2 A2
A5
A6
A4
A7
A1
(c) A2
A6
A3
(d)
A3
c as ti (e) (f ) (g) a t em Figura 1. a M d e Definici´ o n 33 (Pol´ıgono on ıg ono si simpl mple). e). Un pol p ol´´ıgono se llama to . SIMPLE si: i) Todos los v´ertices ertices son distintos. (la Figura 1.d ep no lo es). ertices. D (la Figura 1.c no lo ii) Los lados se inte intersectan rsectan solamente solamente en los v´ e , rtices. es). u ia iii)) Nin iii Ning´ g´ un v´ertice ert ice est est´ a´ en el interior de un lado. t io q (la Figura 1.b no lo es). p ol´´ıgonos sub conNota: en el conjunto de todos los pol nsimples nos interesa un subcon junto, que le daremos el nombre de pol pol´´ıgonos A C-simples. d e Definici´ on 34. on aa d C-simple si para i) Un pol pol´´ıgono simple se denomin denomina para to todo do lado lado del del i d l que contiene al lado determina un pol´´ıgono se cumple que la recta pol rs as v´ertice semiplano que contiene a los dem´ ert icess del d el po poll´ıgo ıgono. no. (Fi (Figur guraa 2.a) 2 .a).. v esemiplanos (que es una figura convexa) La inte intersecci´ rsecci´ on de todos estos n´iıgono C-simple. se le llama el interior del pol pol´ Un pun punto to perten perteneci ecient entee al interi in terior or del pol pol´´ıgon ıgonoo C-s C-simp imple le se le lla lla-U ma punto interior del pol pol´´ıgono. Como el interior de los pol pol´´ıgonos CA1
A3
A1
A4
A3
A5
A4
A2
simples es conv simples convexo, exo, conv convendremos endremos en llamar llamar,, de aqu aqu´´ı en adelan adelante, te, a estoss pol´ıgonos esto ıgono s C-simpl C-simples es como pol´ıgonos ıgono s CONVEXOS
´ ii) Un pol p ol´´ıgono no C-simple, se llama CONCAVO (Figura 2.b).
´ 5.1. INTRODUCCION
129
D
l
D C
Q C
Q
P
P
as A B t ic (a) Convexo o C-simple (b) Concavo a t em Figura 2. a M d e iii) Un pol´ıgono convexo que tiene sus angulos ´ y lados . congruentes se llama o REGULAR (Figura 3.a). e p t , D u ia t i o q n A d e a d (a) Regular (b) Irregular (c) Irregular si d er Figura n iv 3. U Si no cumple alguna de estas condiciones es IRREGULAR, (Figura A
l
B
3.b y 3.c). iv) Un punto Q se denomina PUNTO EXTERIOR de un pol´ıgono convexo, si no es punto frontera y si no es punto interior.
130
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
v) El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR del pol´ıgono. Ejercicio: demostrar que el interior de un pol´ıgono C-simple es un con junto no vac´ıo. Ejercicio: para todo P, Q en el interior de un pol´ıgono C-simple se cumple que P Q es subconjunto del interior del pol´ıgono.(Ver Figura 2. (a)) Ejercicio: para todo X, Y pertenecientes al pol´ıgono C-simple se cumple que Int{XY } intersectado con el pol´ıgono es el conjunto vac´ıo.
c as a ti Definici´ on 35. i) Al segmento que une dos v´ertices no consecutivos de emun pol´ıgono se ´ llama DIAGONAL DEL POLIGONO. a t M ii) El ´ angulo formado por dos lados consecutivos de un pol´ıgono convexo e d ´ DEL POL´IGONO. . se le llama ANGULO p t o iii) Los ´ angulos que forman un par lineal con los ´ de un pol´ıgono e angulos ´ , D DEL POL´IGONO. convexo se llaman ANGULOS EXTERIORES u ia As´ı, en la Figura 4., AC y BD son diagonales; FAE, IBA, HCB, GDC , q etc. son a´ngulos exteriores del pol´ıgono. io n t I B A H d e C d A i d a s r F iv e n E U D G
Figura 4.
´ 5.1. INTRODUCCION
131
Nombres de algunos pol´ıgonos Nombre
N´ umero de lados
Tri´angulo Cuadril´atero Pent´ agono Hex´agono Hept´agono Oct´agono Non´agono Dec´agono Endodec´ agono Dodec´ agono
3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 12 lados
c as a ti t em a Teorema 57. El n´ umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados es: M d e n(n − 3) . d= o 2 e p t , D de n v´ertices se pueden Demostraci´ on. Por cada v´ertice P de un pol´ıgono trazar (n − 3) diagonales. Como hay n v´ertices se ia obtienen en total n(n − 3) diagonales. Por el m´etodo de conteo que adoptamos, q u cada diagonal se cuenta dos veces, por lo tanto se tiene: . n t io Luego: d = A d e Ejemplos: = 5, (ver Figura 5.). n=5 ⇒d= d a d i 5.). = 14, (ver Figura n=7 ⇒d= s er Teorema 58. v i La suma de las medidas de los angulos ´ n interiores de un pol´ıgono convexo, es igual a tantas veces dos rectos U como lados tiene el pol´ıgono menos dos. n(n−3)
2
n(n−3)
2
5(5−3) 2 7(7−3) 2
Es decir, si n es el n´ umero de lados del pol´ıgono, entonces: s = 180(n − 2)
132
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
c as a ti P P em P a t M P d e P . p t o e , D P P u ia Figura 6. q n t io A Demostraci´ on. (Ver Figura 6.). d e △P P P a d △P P P △P P P N´umero de tri´ angulos de v´ertice P i d .. . e rs △P P P n iv Total: (n − 2) tri´angulos. U Figura 5.
2
1
3
0
4
n−1
n−2
0
0
0
1
2
0
2
3
0
3
4
n−2
n−1
Luego, suma de los ´angulos interiores del pol´ıgono: P 0 P 1 P 2 . . . Pn −2 P n−1 = 180(n − 2)
angulo, entonces el valor de un angulo ´ Corolario 23. Si un pol´ıgono es equi´
´ 5.2. CUADRILATEROS interior es:
133
1800 (n − 2) n
Corolario 24. En un pol´ıgono convexo, la suma de los angulos ´ exteriores tomados en un mismo sentido es dos llanos. ´ DE TRIANGULOS ´ CLASIFICACION
c as a ti t em a 2. Seg´ u n sus ´angulos: ´ a) EQUIANGULO: sus tres ´angulos son congruentes. M d e ´ b) RECTANGULO: tiene un ´angulo recto. ´ c) ACUTANGULO: tiene sus tres a´ngulos agudos. o . ´ d) OBTUSANGULO: uno de sus ´angulos es obtuso. e p t , D ia ´ 5.2. CUADRILATEROS u o q Definici´ on 36. . n ti A con un par de lados paralelos a) TRAPECIO : es un cuadril´atero convexo (Figura 7.a). d e d atero convexo con dos pares de b) PARALELOGRAMO : es un cuadril´ a lados paralelos (Figura 7.b). i d rs e convexo que tiene sus cuatro a´ngulos c) RECTANGULO : cuadril´a tero v congruentes (Figura 7.c). ni U d) ROMBO : cuadril´atero convexo que tiene sus lados congruentes (Figu1. Seg´ un sus lados: ´ a) ISOSCELES: tiene dos lados congruentes. ´ b) EQUILATERO : tiene tres lados congruentes. c) ESCALENO : no tiene lados congruentes.
ra 7.d). e) CUADRADO: cuadril´atero convexo que es equi´ angulo y equil´atero a la vez (Figura 7.e).
134
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
d a
b
e
c as c ti a Figura 7. t em a M d e El significado de la Figura 7. es el siguiente: las propiedades del cuadri l´atero las hereda el trapecio; las propiedades del trapecio . las hereda el pa o ralelogramo y as´ı sucesivamente. e p t , D at r s Cu d il´ ia Trap i u q s P ral l g r io t a g l R n b R t´ A Cuadrados d e d a d si v er ni UFigura 8. a
r
e o
ec os
a
ec
n
e o
u o s
a mo
om
os
El significado de la Figura 8. es el siguiente: el cuadrado tiene las propiedades del rect´ angulo y del rombo. El rombo y el rect´ angulo tienen las propiedades
´ 5.2. CUADRILATEROS
135
del paralelogramo y as´ı sucesivamente.
Teorema 59. Todo rect´ angulo y todo rombo es paralelogramo. A
as D B a t ic t em a C M Figura 9. . d e p t o que todo rombo es paDemostraci´ on. (Ver Figura 9.). Demostraremos e ralelogramo. Se deja al lector la demostraci´ o n de que todo rect´ angulo es D paralelogramo. ia , o q u Sea ABCD un rombo, luego: i t on. n AB ∼ = BC ∼ = CD ∼ = DA por definici´ A Tracemos la diagonal DB , entonces: d e ∼ △ADB = △CBD, (L − L − L) a d i d De donde: ADB ∼ = CBD (1) e rs CDB ∼ = ABD (2) iv Seg´ u n (1), AD BC y seg´ unn (2), AB DC , luego el rombo es un paralelogramo. U
Corolario 25. i) El rect´ angulo es un paralelogramo equi´ angulo. ii) El rombo es un paralelogramo equil´ atero. iii) El cuadrado es rect´ angulo y rombo a la vez.
136
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
Teorema 60 (Propiedades del paralelogramo). Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Un cuadril´ atero convexo es un paralelogramo. 2. Un par de lados opuestos del cuadril´ atero son paralelos y congruentes. 3. Los lados opuestos del cuadril´ atero son congruentes.
c as 5. Los ´ angulos opuestos del cuadril´ atero son congruentes. ti a empar de angulos 6. Un par de lados del cuadril´ atero son paralelos y un ´ opuestos son congruentes. a t M 7. Si para cada lado los angulos ´ adyacentes son suplementarios. . d e NOTA: (ver Figura 10.). Identifique cada caso. o e p t , D u ia t i o q n A Figura 10. d e d a d sieste teorema consiste en probar la siguon de Demostraci´ on. La demostraci´ er iente cadena de implicaciones, as´ ı: v ni 1 ⇒ 2 ⇒ U 3 ⇒ ... ⇒ 7 ⇒ 1 4. Las diagonales del cuadril´ atero se bisecan.
Haremos aqu´ı la prueba de la primera y la u´ltima implicaciones. i) 1 ⇒ 2. (Figura 11.). Sea ABCD un paralelogramo con AD BC y AB CD. Se traza la diagonal AC y se obtienen dos tri´ angulos congruentes △ABC y
´ 5.2. CUADRILATEROS
137
A
B
D
C
c as ti a (alternos △DCA por tener: CAD ∼ = ACB (alternos internos), DCA ∼ = CAB em internos), AC (lado com´ un). a t Luego AD ∼ otesis). = BC y AD BC (por hip´ De la misma congruencia de tri´ angulos se concluye tambi´ en que: M ∼ AB = CD y AB CD (por hip´ otesis). e d ii) 7 ⇒ 1, (ver Figura 12.). . o X A B e p t , D u ia t i o q n C D A Y d e d a d12. Figura si r e Supongamos que en el cuadril´ av tero convexo ABCD los ´angulos adya i centes DAB y ADC son suplementarios, es decir: n U (1) m(DAB ) + m(ADC ) = 2 rectos Figura 11.
−→ Sea X un punto en BA , con A entre X y B , por tanto: m(DAX ) + m(DAB ) = 2 rectos
(2)
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
138
De (1) y (2): m(DAB ) + m(ADC ) = m(DAX ) + m(DAB ) , de donde: ADC ∼ = DAX y por ser alternos internos se concluye que AB DC . −−→ En la misma forma se toma Y en la semirrecta BC , tal que C est´a entre B y Y y se llega a la conclusi´ on de que ADC ∼ = Y CD y por la misma raz´on se concluye que AD BC , luego la figura es un paralelogramo.
Teorema 61 (Teorema del baricentro). Las medianas en un tri´ angulo son concurrentes en un punto, que est´ a a un tercio de cada lado y a dos tercios del v´ertice sobre cada mediana. (A este punto se le llama el baricentro).
c as a ti t em A a M R L . d e o t N V’ ep V , D S a ui o q B C M n ti Figura 13. A d e a d Demostraci´ on. (Ver Figura 13.). La estrategia de la demostraci´ on ser´ a: d i i) Mostrar que dos medianas se cortan en un punto V , el cual est´a a un tercio s r de la base y a dos tercios del v´ertice v e en cada mediana. ii) Tomar la mediana que no se tuvo ni en cuenta en i) y una de las medianas que si se tomo en cuenta en i) y suponer que se cortan en V , para finalmente U concluir que V ≡ V . ′
′
−−→ Veamos i). Por el Teorema 7. y el corolario 1.: CN ⊂ IntC , y por el −−→ Teorema de la barra transversal, existe {V } = AM ∩ CN ; similarmente, por el Teorema 7., corolario 1., teorema de la barra transversal y Teorema 1.
´ 5.2. CUADRILATEROS
139
−−→ {V } = CN ∩ AM luego {V } = AM ∩ CN . Sea R el punto medio de AV y S el punto medio de CV ; M el punto medio de BC y N el punto medio de AB . Por el teorema de la paralela media en el △AV C : RS AC . Por el teorema de la paralela media en el △ABC : N M AC . Luego, RS N M . Por el teorema de la paralela media en el △BV C : SM BV . Por el teorema de la paralela media en el △BV A: N R BV . Luego, SM N R. De lo anterior se concluye que NRSM es un paralelogramo y como en un paralelogramo las diagonales se bisecan, entonces V S ∼ = V N y V R ∼ = V M y como R es punto medio de AV , entonces AR ∼ = RV ∼ = V M , por tanto:
c as a ti t em 1 1 a V M = AM = m 3 3 M e 2 2 d V A = AM = m , . 3 3 o p t CS ∼= SV ∼= V N y Tambi´en, como S es punto medio de V C , entonces e por tanto 1 1 D V N = CN = m , 3 3 a i 2 2 u V C = CN = m q 3 3 o i t AM se intercepta con la nueva Veamos ii): Supongamos que la mediana n mediana BL en V . Como el resultado de Ala parte i) es valedero para estas d e AV = m y por la parte i) dos medianas que se cortan en V , entonces AV = m , entonces AV = AV , o sea que AV ∼ = AV y como V y V est´an d −−→ a en la semirrecta AM , entonces por el Axioma de construcci´ on de segmento d si V ≡ V . v er ni U a
a
c
c
′
′
2 3
′
′
a
′
′
2 3
a
′
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
140
Teorema 62 (Propiedades del rect´ angulo). Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Un cuadril´ atero convexo es un rect´ angulo. 2. Todos sus ´ angulos son rectos. 3. Las diagonales son congruentes y se bisecan.
as Demostraci´ on. Demostraremos que 1 ⇒ 2 y que 3 ⇒ 1. ic i) 1 ⇒ 2, (ver Figura 14.). a t D C t em a γ δ M β α . d e A B o e p t Figura 14. , D Por hip´otesis tenemos que α = β = γ = δ . ia u Como α + β + γ + δ = 360 , resulta entonces que: q α = β = γ = δ = 90 . n t io ii) 3 ⇒ 1, (ver Figura 15.). A d e d a d D C si 2 2 1 1 er n iv O U 1 1 0
0
2
2
A
B Figura 15.
´ 5.2. CUADRILATEROS
141
Tenemos por hip´ otesis que: OA ∼ = OB ∼ = OC ∼ = OD.
Si △AOB ∼ = △COD (L-A-L), resulta que A2 ∼ = C 2 y B2 ∼ = D2 .
c as ti a em a t M Si △AOD ∼ = △COB (L-A-L), resulta que D1 ∼ = B 1 y A1 ∼ = C1 .
Sumando: m(A2 ) + m(A1) = m(C 2 ) + m(C1 ) y m(D1 ) + m(D2 ) = m(B1 ) + m(B2 ), resulta entonces que A ∼ = C y D ∼ = B , pero como D9 ∼ = A1 y B2 ∼ = A2 , se ∼ ∼ concluye que A = C y D = B . Pero como D1 ∼ = A1 y B2 ∼ = A2 , se concluye que A ∼ =B∼ = C ∼ = D, pues D1 ∼ = A1 ∼ = B1 y B2 ∼ = A2 ∼ = D2 . Se deja al lector la prueba de que 2 ⇒ 3.
. d e Teorema 63 (Propiedades del rombo). to Los siguientes enunciados son equivalentes: ep , D 1. Un paralelogramo es un rombo. a angulos u ilos 2. Las diagonales del paralelogramo bisecan ´ opuestos. o q 3. Las diagonales del paralelogramo son perpendiculares. n ti 4. Dos lados adyacentes del paralelogramo son congruentes. A d e Demostraci´ on. Demostraremos que 1 ⇒ 2 y que 4 ⇒ 1. d a d i) 1 ⇒ 2, (ver Figura 16.). si Por hip´otesis tenemos que ABCD v er es paralelogramo con AB ∼ = BC ni ∼= CD ∼= DA. U y Como △DCB ∼ = △DBA por (L-L-L)
△CDA ∼ = △CBA por (L-L-L), resulta: CDO ∼ = ODA, CB O ∼ = ABO, DCO ∼ = BCO, BAO ∼ = DAO . (Porque ?) ii) 4 ⇒ 1. Tenemos por hip´ otesis que ABCD es paralelogramo y que AD ∼ = AB .
142
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
C
D
O
B
as A Figura 16. a t ic em a t y AB ∼= DC , Entonces, por ser ABCD paralelogramo se tiene: AD ∼ = BC pero como AD ∼ = AB , resulta: M e ∼ ∼ ∼ d AB = BC = CD = DA. . o Teorema 64 (Propiedades del trapecio). e p t i) La base media de un trapecio (segmento que une los puntos medios de , D a las bases y su medida los lados no paralelos de un trapecio), es paralela es la semisuma de las medidas de las bases. ia q u ii). El segmento que une los puntos medios de io las diagonales de un trapecio t es paralelo a las bases, su medida es la semidiferencia de las medidas de las n bases y esta contenido en la base media (Demostrarlo). A d e iii) En un trapecio is´ osceles, el cual tiene los lados no paralelos congruentes, las diagonales son congruentes, los angulos ´ a d de la base mayor son congruentes, i d los angulos ´ de la base menor son congruentes. El punto de intersecci´ on de las s diagonales, los puntos medios de las er bases y el punto de intersecci´ on de las rectas que contienen los lados no paralelos, estan alineados. Las mediatrices v i de las bases coinciden. (Demostrarlo). n U
Demostraci´ on. (Ver Figura 17.). Por hip´ otesis, DC AB, DK ∼ = KA y ∼ CE = EB . Demostremos que:
´ 5.2. CUADRILATEROS D
K
143
C
E
as A B F c i Figura 17. a t t em a 1 M KE = (DC + AB ). d e 2 Si unimos D con E y prolongamos hasta encontrar . la prolongaci´on de o ∼ a entre A y F , resulta que △DCE AB , tal que B est´ p =t △F BE por (A-L-A), entonces .e DE ∼ = EF y DC ∼ = BF , D En △DAF se tiene KD ∼ = KA y DE ∼ = EF , por u ia lo tanto KE AF y o +q DC ). 1 1 KE = (AF ) = (AB 2 2 ti n ii) y iii) se dejan como ejercicio. A d e d a d si v er ni U
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
144
5.3.
Ejercicios y Problemas de Pol´ıgonos
1. Dado el cuadrado ABCD, se construye en el interior del cuadrado el tri´angulo equil´atero △ABF y en el exterior del cuadrado, el tri´ angulo equil´atero △ADE . Demostrar que C , F y E son colineales. 2. En un paralelogramo ABCD , se prolonga AB hasta E tal que BE ∼ = ∼ BC y se prolonga AD hasta F tal que DF = DC . Demostrar que DCF ∼ = BC E y F , C y E son colineales. −−→ 3. Si ABCE es un rect´ angulo y AF ⊥ BE con F ∈ BE y AD es bisectriz −−→ de CAF . Mostrar que AD es bisectriz de BAE , hallar m(ADE ). (Rta.: 45o )
c as a ti t em a 4. Demostrar que el per´ımetro de un cuadril´ atero es mayor que la suma M de las diagonales. d e 5. Sea ABCD un cuadrado tal que E esta entre B y. C , E esta entre D y p DF t o . F , B esta entre A y F . Demostrar que AC < e un cuadril´atero, son los 6. Probar que los puntos medios de los lados de , D v´ertices de un paralelogramo. u ia 7. Probar que los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadril´ atero q t son o los v´ertices de un paraleloy los puntos medios de las diagonales, i gramo. n lados A de un rombo, son los v´ertices 8. Probar que los puntos medios de los d e de un rect´ angulo. a d 9. Probar que los puntos medios de los lados de un rect´angulo, son los d i v´ertices de un rombo. e rs 10. Probar que las bisectrices de los ´ interiores de un paralelogramo, v angulos i al intersectarse forman un rect´ n angulo. U 11. Probar que las bisectrices de los a´ngulos interiores de un rect´ angulo, al
intersectarse forman un cuadrado. 12. Demostrar que si por el punto de intersecci´ o n de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a los lados del rombo, entonces
5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS
145
los puntos de intersecci´ on de dichas perpendiculares con los lados del rombo son los v´ertices de un rect´ angulo. 13. Demostrar que las bisectrices de los a´ngulos que forman las diagonales de un rombo, intersectan los lados del rombo en cuatro puntos que son los v´ertices de un cuadrado. 14. Demostrar que la base media de un trapecio biseca las diagonales.
c as a ti −−→ −→ emy −DM 16. Sea ABCD un paralelogramo. AN bisectriz de BAD bisectriz de CDA . M ∈ AB N ∈ CD. Demostrar que ADNM a t es un rombo. M hipotenusas se 17. Si sobre los lados de un paralelogramo tomados como d e rect´angulos son dibujan tri´angulos rect´ angulos is´osceles y los tri´a ngulos . v´ertices de los anguexteriores al paralelogramo. Probar que los cuatro ´ o los rectos forman un cuadrado. e p t 18. Mostrar que en un paralelogramo, el segmento , D que une los puntos medios de dos lados opuestos es partida en parte congruentes por el a i punto de intersecci´ on de las diagonales. u o q ti los lados AD y DC segmentos 19. En un cuadrado ABCD se toman sobre n M y A con N . Mostrar que congruentes AM y DN ; se unen B con A AN ⊥ BM d e 20. En un cuadril´ atero ABCD , AC ∼ = BD y DAB ∼ = CBA y no rectos. d Demostrar que ABCD es un trapecio i d a is´osceles. rs tres lados de un tri´angulo equil´atero, 21. Demostrar que si se trisecan los entonces estos puntos son los iv ev´ertices de un hex´agono regular. nes un oct´agono regular. Demostrar que las 22. El pol´ıgono ABCDEFGH U diagonales AD, HE , BG y CF forman un cuadrado al intersectarse. 15. Demostrar que las diagonales de un pent´ agono regular son congruentes y al intersectarsen forman un pent´ agono regular. ∡
∡
∡
∡
23. En el cuadril´atero ABFE la diagonal AF es mediatriz de BE . Las prolongaciones de AB y EF se cortan en C y las prolongaciones de AE y BF se cortan en D . Demostrar que CD y BE son paralelas.
146
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
24. Sea ABFH un paralelogramo, D un punto exterior al paralelogramo, E punto medio de DF , C punto medio de DB , K punto medio de AH . Si {O} = EK ∩ CH , demostrar que O es punto medio de EK y CH . 25. En un paralelogramo ABDE , mBD = 2mAB y C es el punto medio de BD . Demostrar que el ´angulo ∡ACE es recto. 26. Demuestre que cualquier segmento que pase por el punto de intersecci´ on de las diagonales de un paralelogramo queda bisecado por dicho punto.
c as a ti em corta a CD 28. Sea ABCD un paralelogramo, donde la bisectriz de DAB a t BC D corta a en Q y a la prolongaci´o n de BC en N ; la bisectriz de on de DA en M . Demuestre que AMCN es AB en P y a la prolongaci´ M un paralelogramo. . d e 29. ABCD es un rect´ angulo. AX y DX son las bisectrices de A y D re o p Bt y C respectivamente. spectivamente. BY y CY son las bisectrices de e Demuestre que ABY X ∼ = CDXY . , D 30. En un cuadril´ atero convexo ABCD , AC ∩ as AO ∼ BD = {O}. Adem´ = a i ∼ OB y CO = OD . Demostrar que ABCD q u es un trapecio is´osceles. io 31. Por el punto de intersecci´ o n de las diagonales de un cuadrado, se t trazan dos rectas perpendiculares que intersectan dos a dos los lados del n cuadrado. Demostrar que estos puntos A de intersecci´on son los v´ertices de un cuadrado. d e d recta cualquiera que pasa por D 32. Sea ABCD un paralelogramo, l una a AN ⊥ l, BM ⊥ l y CP ⊥ l y no cruza el interior del paralelogramo, i d en los puntos N , M y P respectivamente. Demostrar que e rs mBM n iv = mAN + mCP. Analice el caso cuando la recta U l cruza el interior del paralelogramo. 27. Sea ∆ABC , D ∈ intAC , tal que AD ∼ = DB ; AB < AD . Demostrar que ∆ABC es escaleno. ∡
∡
33. En un rombo ABCD se trazan BN ⊥ AD, BM ⊥ CD, DR ⊥ AB , DQ ⊥ BC . Estas perpendiculares se cortan en E y F . Demostrar que BEDF es un rombo y que sus ´ angulos son congruentes a los a´ngulos del rombo dado.
5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS
147
34. En un cuadrado ABCD se prolongan los lados en un mismo sentido y sobre dichas prolongaciones se toman BM ∼ = AB , DN ∼ = CD, CF ∼ = BC y AQ ∼ = AD. Demostrar que M N ∼ = F Q y que M N ⊥ P Q. 35. En un tri´ angulo ∆ABC , se trazan las medianas AM y BN . Por N , se traza una paralela a BC y por C , una paralela a BN . Estas dos rectas se cortan en P . Si D es el punto medio de P N , demostrar que CD AB M N .
c as a ti t em alos a´ngulos exte37. Demostrar que en un pol´ıgono convexo, la suma de M riores tomados en un mismo sentido es 360 d e 38. Demostrar que la base media de un trapecio (segmento que une los . puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio) es paralela a la p t o bases y su medida es la semisuma de las medidas e de las bases. , D medios de las diagonales 39. Demostrar que el segmento que une los puntos a de un trapecio es paralelo a las bases y su es la semidiferencia u imedida de las medidas de las bases o q n ti no paralelos congruentes), las 40. En un trapecio is´ osceles (tiene los lados diagonales son congruentes, los a´ngulos de la base mayor son congru son A congruentes. El punto de inentes, los a´ngulos de la base menor d e medios de las bases y el punto tersecc´on de las diagonales, los puntos a d de intersecci´ on de las rectas que contienen los lados no paralelos, est´an alineados. Las mediatrices de las si d bases coinciden. er de un cuadrado, se toma sobre cada 41. A partir de dos v´ertices opuestos iv formada uniendo estos cuatro puntos lado una longitud dada. La figura n de per´ımetro constante. de dos en dos es un rect´ angulo U
36. Por los v´ertices de un cuadrado se trazan paralelas a las diagonales. Demostrar que los puntos de intersecci´ on de estas rectas son los v´ertices de un cuadrado cuyas diagonales se cortan en el punto de intersecci´ on de las diagonales del cuadrado dado. 0
42. Se da un tri´angulo ABC is´osceles, de base BC . Sobre la prolongaci´ on de BC se toma D de forma que AC ∼ = CD. Se traza la recta AD y se ←→
←→
prolonga AB hasta E de forma que BE =
BC
2
. Si E , F , H son puntos
CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS
148
colineales tales que H es el punto medio BC y F pertenece a AD. Demostrar: i) ADB = 1 ABC , ii) EA ∼ = HD , iii) F A ∼ = FD ∼ = F H ,
2
iv) Si m(BAC ) = 580 calcular a´ngulo AF H y ADB .
43. Mostrar que: a) Dos paralelogramos son congruentes si tienen dos lados contiguos respectivamente congruentes e igual el a´ngulo que ellos forman. b) Dos rect´ angulos son congruentes si tienen dos lados contiguos respectivamente congruentes.
c as a ti ,mcorta a DC en 44. En un paralelogramo ABCD, la bisectriz del a´ngulo A angulo C , corta a AB en N . te M y la bisectriz del ´ a a) Mostrar que el cuadril´atero AMCN es un paralelogramo. M b)Mostrar que DB pasa por el punto medio O de M N . e c) Concluir que BMDN es un paralelogramo. d . o 45. Por el punto O donde se cortan las diagonales de p t un cuadrado, trazamos dos segmentos de recta EF y HG perpendiculares entre ellos y limita e dos por los lados del cuadrado. Demostrar que , D EHGF es un cuadrado. ia B con los puntos medios 46. En un paralelogramo ABCD se une el v´ e rtice q u queda dividida en tres segde AD y DC . Probar que la diagonal AC mentos congruentes. n t io 47. En un paralelogramo ABCD, M es el punto medio AB y N es el punto A medio de CD. Demostrar que DM ye BN trisecan la diagonal AC . d 48. El △ABC esta inscrito en la circunferencia de centro O , AD es la d a altura correspondiente al lado BC y H es el ortocentro. N , Q y P son syi d AC respectivamente. Demostrar que los puntos medios de AH , AB OPNQ es un paralelogramo. er v i BM ⊥ AD y DN ⊥ BC . Demostrar 49. Sea un rombo ABCD . Se trazan n que el cuadril´atero BMDN U es un rect´angulo. 50. Sea un trapecio ABCD . Se prolongan los lados no paralelos AD y BC hasta cortarse en el punto E . Sean M , N , P , Q puntos medios de AE,BE,AC y BD respectivamente. Demostrar que MNQP es un trapecio.
5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS ←→
←→ ′
←→
←→ ′
149
−→
−→
51. Sea HH || RR , A ∈HH , B ∈RR , si AD es bisectriz de HAB , AC ′
′
−→
−→
es bisectriz de H AB , BD es bisectriz de RBA y BC es bisectriz de angulo. R BA . Demostrar que ACBD es un rect´ ′
′
52. En un trapecio cualquiera la diferencia de la base mayor menos la menor es menor que la suma de los otros dos lados del trapecio. 53. Demostrar que si un tri´ angulo tiene dos medianas congruentes, entonces el tri´angulo es is´osceles.
c as a tiH se trazan 54. Sea ∆ABC , rect´angulo en A y sea AH altura. Desde HE ⊥AB y HD ⊥AC , demostrar que a)DE ∼ = AH , b) AM ⊥DE , donde M es el punto medio t em de BC . a 55. En el △ABC , N es punto medio de BC y M ∈ AB tal que AM = AB , M si {O } ∈ AN ∩ CM y OM = 5x, ON = 2x − 1, OA e = 3x − 11. Hallar d CM . (Rta.: CM = 200) to . Construcciones con Regla y Comp´ as. ep D 56. Construir un cuadrado dada la suma de su ,diagonal y el lado. ia q u un angulo 57. Construir un trapecio conociendo las diagonales, ´ del trapecio y uno de los lados no paralelos adyacente t io al ´angulo. n tri´angulo ∆ABC , que corte a 58. Trazar una paralela a la base BC de un A los lados AC y AB en D y E respectivamente, de manera que se tenga: e DE = CD + EB . d d a d conociendo los puntos medios M y 59. Construir una tri´ angulo rect´ angulo si en que la recta que une estos puntos, M de los catetos y el punto H encuentra la altura relativa a lar hipotenusa. v e ni 60. Construir un rect´ angulo conociendo un lado y el a´ngulo entre las diagonales, opuesto al lado. U 1 3
′
61. En el tri´angulo ∆ABC , ha es la altura desde el v´ertice A, ma es la mediana desde el v´ertice A y va es la bisectriz desde el v´ertice A, a es la medida del lado BC , b es la medida del lado AC , c es la medida del lado AB , α es la medida del a´ngulo en el v´ertice A, β es la medida
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CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS del a´ngulo en el v´ertice B , γ es la medida Construir un tri´angulo ∆ABC , dados: (a) a, hb , vc . (b) a, hb , mc . (d) ma , b , c. (e) ma , b , α. (g) a, b, b + c. (h) a, b, b − c. (j) a + b, c, γ . (k)β , γ , p = a + b + c. (m) a, α, b + c. (n) a, β, c − b
del ´angulo en el v´ertice C . (c)a, α, hb . (f) ha , ma, β . (i)a + b, b − c, c. (l) a, α, c − b.
c as a ti t em a M . d e p t o e , D u ia t i o q n A d e d a d si v er ni U