Segunda Edición
CAPÍTULO
9
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Geometría Descriptiva Autor: Víctor Vidal Barrena
Universidad Nacional de Ingeniería
Intersección Plano Poliedro
E S d e g i c u i ó n n d a
GEOMETR GEOM ETR A DESCR DESCRIPTI IPTIV VA
Víctor Vidal Barrena
9.0 INTERSECCIÓN DE PLANO CON POLIEDRO.
INTERSECCION DE PLANO CON POLIEDRO
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GEOMETR GEOM ETR A DESCR DESCRIPTI IPTIV VA
Víctor Vidal Barrena
9.1 INTERSECCIÒN DE PLANO CON POLIEDRO.
La intersección de un plano y de un poliedro es el lugar geométrico de los puntos de intersección (puntos perforantes) de las aristas del poliedro con el plano. Los principios que intervienen en las intersecciones de Planos y Poliedros, tienen su aplicación en el corte de aberturas en las superficies de los techos, en chimeneas, ventiladores, en las superficies de los muros, tubos, rampas, en la construcción de estructuras de metal laminado como las calderas y los tanques para depósito de líquidos.
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GEOMETR GEOM ETR A DESCR DESCRIPTI IPTIV VA
9.1 9.1INTRODUCCIÓN.INTERSECCIÒN INTERSECCI ÒN
Víctor Vidal Barrena
DE PLANO CON POLIEDRO.
Fig. 9.1 Intersección de Plano con Poliedro. a) Intersección de Plano con Pirámide.
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GEOMETR A DESCRIPTIVA
9.1 9.1INTRODUCCIÓN.INTERSECCIÒN
Víctor Vidal Barrena
DE PLANO CON POLIEDRO.
Fig. 9.2 Intersección de Plano con Poliedro. b) Intersección de Plano con Prisma.
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9.2 POLIEDROS: SU REPRESENTACIÓN. SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DE ESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NO COPLANARES. D VERTICE
A
DIAGONAL
C CARA
B H E
G F
ARISTA
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9.3 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO.
a).- LAS CARAS: formadas por polígonos que limitan el poliedro. b).- LAS ARISTAS: que son los lados del polígono. c).- LOS VÉRTICES: que son los extremos de las aristas. d).- LAS DIAGONALES: aristas que unen dos vértices opuestos. e).- LOS DIEDROS: formados por dos caras consecutivas. f).- ANGULOS POLIEDRICOS: formados por aristas que concurren en un vértice.
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9.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS. 1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus caras y ángulos iguales. Ejemplo: F D
D A
C
C D
B
B
H B
A
E
C
G A F TETRAEDRO
HEXAEDRO
OCTAEDRO
E
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2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polígono cualquiera y las demás caras son paralelogramos (prismas) o triángulos (pirámides) entre los principales tenemos los prismas y las pirámides. Ejemplo:
J
I J
H K
I
K
H L
I
M
H
K
L
M
C
A
C
D
C
E
D
B
B
B
D
E
A F
F
E
A
F PRISMA
PRISMA
PRISMA
HEXAGONAL
HEXAGONAL
TRIANGULAR
RECTO
OBLICUO
TRUNCADO
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9.5 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
1) PRISMAS: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que se desliza paralela por una línea poligonal o directriz J
A
I
K
H L
C
B
D
G A C B D
H
C
E
E
B
F
A PRISMA HEXAGONAL
F D
G E
PRISMA TRIANGULAR
F PRISMA CUADRADO
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9.5 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.
2) PIRAMIDE: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que esta unida a un punto fijo llamado vértice, a la vez que se desliza por una línea poligonal o directriz. V
V
B
D
A
C
E
B D PIRAMIDE DE BASE CUADRADA
A
C PIRAMIDE TRIANGULAR
C B
F
A PIRAMIDE HEXAGONAL
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9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.
PROBLEMA: En la figura 9.3 se dan las proyecciones principales del Plano RST y de la Pirámide oblicua VABCD, cuya base cuadrangular es normal; se desea determinar la intersección y mostrar la visibilidad que produce en la pirámide el plano dado.
R(1,3,9), S(2,7,16), T(8,4,11) V(5,1,12.5), A(1,6,12), B(6,?,15.5), C(9,8,13), D(4,?,9.5).
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9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.
Fig. 9.3 Intersección de Plano con Pirámide .
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9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.
Método del Plano Cortante
Fig. 9.4 Intersección de Plano con Pirámide .
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9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.
TABLA DE VISIBILIDAD RECTA
VISIB
ST
H +
F +
AV
-
DV ST
PLANO
VISIB
AVB
H -
F -
+
RST
+
-
+
RST
+
+
CVD
INT
VISIB
1
H -
F -
+
2
-
+
+
+
3
-
+
-
+
4
-
+
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9,6 INTERSECCION DE UN PLANO CON UNA PIRAMIDE.
Método de la Vista de Canto
Fig. 9.5 Intersección de Plano con Pirámide.
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9,7 INTERSECCION DE UN PLANO CON PRISMA.
PROBLEMA: En la figura 9.7 se dan las proyecciones principales del plano RST y del Prisma oblicuo ABC-DEF cuyas bases triangulares son normales; se desea determinar la intersección y mostrar la visibilidad que produce en el prisma el plano dado. R(10,3,13), S(6,1.5,8), T(1.5,5.5,13); A(4,1,8.5), B(1,3.5,10), C(2.5, - ,11.5), D(9,4,10.5), E(6,6.5,12), F(7.5, - ,13.5)
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9,7 INTERSECCION DE UN PLANO CON PRISMA.
Fig. 9.7 Intersección de Plano con Prisma.
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9,7 INTERSECCION DE UN PLANO CON PRISMA.
Método del Plano Cortante
Fig. 12.8 Intersección de Plano con Pirámide .
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9,7 INTERSECCION DE PLANO CON PRISMA.
TABLA DE VISIBILIDAD VIS RECTA
VIS PLANO
H
F
CF
+
-
TS
+
TS AD
VIS INT
H
F
H
F
RST
+
+
1
+
-
+
BCFE
+
-
2
+
-
+
+
ABED
+
+
3
+
+
+
+
RST
+
+
4
+
+
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PROBLEMAS FRESUELTOS
PROBLEMAS RESUELTOS
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PROBLEMA Nº 9.1:
V es el vértice de una pirámide de base ABCD. Hallar la intersección del plano RST con la pirámide dada. Mostrar la visibilidad de la intersección. V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15), R(1, 9, 15.5), S(12.5, 4, 11), H(8, 2, 17).
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SOLUCION:
A H 18
TH
17
RH 15.5 15
DH
BH
ubicamos los puntos
VH 13 12
CH
11
9
SH RF
DF CF
7
5 4.5
A F VF
4
SF
3
BF
2
TF 1
5
6.5
8
9.5
11
12.5
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SOLUCION:
A H 18
solucion final
TH
17
4
RH
1
15.5 15
DH
BH
5
2
VH 13 6
12
CH
11
9
SH RF
DF 2
3
CF
7
5 4.5
6
A F 1
VF
4
4
SF
5
3
BF
2
TF 1
5
6.5
8
9.5
11
12.5
RECTA
H
F
H
F
INT H
F
RT VD RS
+ + +
+ + +
+ + +
+ +
1
RST DVC
2 3
+ + +
+ +
RT VB
+ -
+ +
AVB RST
+
+
4 5
-
+
RS
+
+
BVC
-
+
6
-
+
PLANO AVD
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PROBLEMA Nº 9.2:
V es el vértice de una pirámide oblicua cuya base es ABCD. Determine la intersección y mostrar la visibilidad del plano RST con la pirámide dada. Hacer la tabla de visibilidad. Resolver sin vistas auxiliares.
V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) B(11, 3, 15) C(9.5, 7, 12) D(5, 9, 15); R(1, 9, 15) S(9, 9, 11) T(9, 2, 18)
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SOLUCION: A H
18
15
TH
DH
RH
BH
GRAFICO DE LAS COORDENADAS
VH 13 12
CH
11
SH RF
DF
SF
9
CF 7
A F
5 4.5
VF
3
BF
2
TF 1
5
6.5
9
9.5
11
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SOLUCION: A H
18
1
15
TH
6 5
DH
RH
P C
BH
4
2
VH
3
13 12
CH
11
SH RF
DF
UH
SF
9
UF
2
CF
3 7
4.5
A F
1
5
4
6
VF
5
3
BF
2
TF 1
5
6.5
9
9.5
11
TABLA DE VISIBILIDAD RECTA
H
RT VD DC ST ST RT
+ + + + + +
F PLANO AVD + + RST RST + ABCD + + AVB AVB +
H
F
INT H
F
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ -
-
+ -
-
-
-
1 2 3 4 5 6
-
-
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GEOMETR A DESCRIPTIVA A H 1
A H
TH
6
1 5
DH
RH
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BH
4
TH
6 5
DH
RH
2
BH
4
2
VH
VH
3
3
CH
CH
SH RF
DF
SH RF
SF
2
A F
1
CF
CF
3
A F
1
4
6 F
SF
2 3
V
DF
V
5
4
6 F
5
BF TF
BF TF
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PROBLEMA Nº 9.3:
ABCD y EFGH, son las bases de un prisma de base cuadrada determinar la intersección y mostrar la visibilidad del plano RST. con el prisma dado Hallar la tabla de visibilidad. resolver sin vistas auxiliares.
A(10, 9, 17), B(13, 7, 16), C(12, 5, 19), D(9, 7, 20), E(3, 5, 12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14), H(2, 3, 15) R(4, 8, 19), S(13, 4, 14), T(9,1, 11).
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SOLUCION:
DH
20
RH
19
CH AH
17 16 15
B
HH
H
GH
14 13
E
12
GRAFICO DE LOS PUNTOS
SH
H
11
FH
TH AF
9
RF
8
DF
7
B E 5 4 3
CF
F
HF
SF FF
1
GF 2
3
4
TF 5
6
8
9
10
12
13
F
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SOLUCION FINAL: P C - 2
20
DH CH
19
RH 1
17 16 15
Z
H
AH
PH
5
4
H
B
2 H
8
GH
QH 6
14
E
12
SOLUCION
3
S 13
H
WH H
H
P C - 1
7
TABLA DE VISIBILIDAD RECTA
11
FH
TH AF
9
RF
8
2
DF
7
PF
8
E 5 4 3
B
ZF
F
3
1
5
QF
HF
CF S
7
F
W
FF
F
4
6 1
GF 2
3
4
TF 5
6
8
9
10
12
13
F
H
F
PLANO
H
F
INT
H
F
RS
+
+
AEDH
+
-
P
+
-
RT
+
+
AEDH
+
-
Z
+
-
RS
+
+
BFCG
-
+
P
-
+
RT
+
+
BFCG
-
+
Z
-
+
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PROBLEMA Nº 9.4:
V es el vértice de una pirámide de base ABCD. Hallar la intersección y visibilidad del plano RST con la pirámide dada. V(1, 4.5, 13), A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15), R(1, 9, 15.5), S(12.5, 4, 11), H(8, 2, 17).
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SOLUCION A H 18
TH
17
RH 15.5 15
DH
BH
ubicamos los puntos
VH 13 12
CH
11
9
SH RF
DF CF
7
5 4.5
A F VF
4
SF
3
BF
2
TF 1
5
6.5
8
9.5
11
12.5
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SOLUCION A H 18
solucion final
TH
17
4
RH
1
15.5 15
DH
BH
5
2
VH 13 6
12
CH
11
9
SH RF
DF 2
3
CF
7
5 4.5
6
A F 1
VF
4
4
SF
5
3
BF
2
TF 1
5
6.5
8
9.5
11
12.5
RECTA
H
F
RT
+ +
+ +
VD RS
PLANO AVD RST DVC
H
F
INT
+ +
+
1
+
+
2 3
+
4 5
+
6
+
+
RT VB
+ -
+ +
AVB RST
+
RS
+
+
BVC
-
H
F
+ +
+
+
+
-
+
-
+
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GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION
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GEOMETR A DESCRIPTIVA
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PROBLEMA Nº 9.5:
Se dan las proyecciones principales del plano RST y del prisma oblicuo ABC-DEF cuyas bases son normales ; se desea determinar la intersección y mostrar la visibilidad que produce en el prisma el plano dado.
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GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Nº 5: PROBLEMA
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GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Nº 5: PROBLEMA
Primeramente hallamos los puntos 1y 2 por el método del plano cortante que contiene a la recta TS , la recta TS se intercepta con el plano ABED en 1 , y con el plano BCFE en 2.
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GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Nº 5: PROBLEMA Luego hallemos los punto 3 y 4 por el método cortante siendo la recta 3 para FC y 4 para la recta AD ; unimos los puntos de intersección 1-2-3-4; y luego se halla la tabla de visibilidad
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GEOMETR A DESCRIPTIVA
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PROBLEMA Nº 9.6:
ABCD – EFGH son las bases de un prisma que tiene a AE como arista lateral. Determinar la intersección del plano PQR con el poliedro dado. Mostrar la visibilidad de la intersección. A(1,7,17) B(5,11,19) C(10,9,15) D(6,5,13) E(3,3,21) P(1,4,19.5) Q(11,11,22) R(8,3,13)
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GEOMETR A DESCRIPTIVA SOLUCION: Nº 5: PROBLEMA
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