cap7-fuerzas-internas

 Periodo 2018-0 Horario2

rodi Para diear  elemeo, e eeario conocer las fuerzas que acan denro del mismo. Eo ermiir eleioar la dimeioe del elemeo, a omo el maerial m aroiado ara oorar diha ferza.

Ejm: la dirii del aero de referzo e la viga garda relai direa o lo diagrama de ferza iera.

aulo.- FURZ NRN 7.1.- Ferza iera e elemeo 7.2.- Diagrama de ferza iera 7.3.- odo de la eaioe 7.4.- odo de la rea

Ferza iera e elemeo Coideremo la viga e voladizo morada e la figra.  fuerzas inernas aa e el o B?

1.- Reolvemo el eqilirio exero:


2.- Haemo  ore a-a y aalizamo el DCL de ada ori de la viga.





Ferza iera e elemeo E el lano, ara odo elemeo exie 03 ferza iera:  fuerza axial o ormal (N),  fuerza corane (V), y  momeno flecor ().

E el esacio, exie 06 ferza iera:  fuerza axial (N), 2 fuerzas coranes (V), 2 momenos flecores () y  momeno de orsin (T).

Ferza iera e elemeo onencin de signos - La fuerza normal (N) e osiia i crea ensin (raccin) e el elemeo.

- La fuerza corane () e osiia i oaioa qe el elemeo gire en senido horario.

Ferza iera e elemeo onencin de signos - l momeno flecor (M) e osiio i iede a doblar al elemeo de a forma cncaa hacia arriba. - La fira iferior e raioa y la fira erior e omrime.

Ejeriio 01 Deermie la ferza iera qe aa a 2. m a la dereha del aoyo , y a . m a la izqierda del aoyo B.

Ra

a) 𝑁 =0𝑁 𝑉 = −350 𝑁 𝑀 = 1125 𝑁 − 𝑚

b) 𝑁 =0𝑁 𝑉 = −950 𝑁 𝑀 = 475 𝑁 − 𝑚

Ejeriio 02 Deermie la ferza ormal, la ferza orae y el momeo fleor qe aa e el o D de la erra morada.

Ra 𝑁𝐵 = −1350 𝑁 𝑉𝐵 = −600 𝑁 𝑀𝐵 = −300 𝑁 ∙ 𝑚

Ejeriio 03 Deermie la ferza ormal, la ferza orae y el momeo fleor qe aa e lo o  y D.

Ra 𝑁𝐶 = 2.49 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = 2.49 𝑘𝑁 𝑀𝐶 = 4.97 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 𝑁𝐷 = 0 𝑘𝑁 𝑉𝐷 = −2.49 𝑘𝑁 𝑀𝐷 = 16.5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

Ejeriio 04 Deermie la ferza ormal, la ferza orae y el momeo fleor qe aa e lo o  y D.

Ra 𝑁𝐶 = −265 𝑙𝑏 𝑉𝐶 = −648.6 𝑙𝑏 𝑀𝐶 = −4231.4 𝑙𝑏 ∙ 𝑓𝑡 𝑁𝐷 = −265 𝑙𝑏 𝑉𝐷 = 637 𝑙𝑏 𝑀𝐷 = −3184.6𝑙𝑏 ∙ 𝑓𝑡

Ejeriio 05 El iema e ado ara oorar  loqe omo e mera e la figra. La re arra iee eo dereiale, la maa de la olea e  kg y la maa del loqe e  kg. Deermiar la ferza iera e la ei a-a de la arra B. Ra 𝑁𝑎 = −809.1 𝑁 𝑉𝑎 = −637.5 𝑁 𝑀𝑎 = 191.25 𝑁 ∙ 𝑚

Ejeriio 06 Saiedo qe la ferza orae e p e p= - N, deermie el valor de la arga Q. Lego, deermie la ferza iera a la miad del ramo D.

Ra 𝑄 = 300 𝑁 𝑉𝐶𝐷 = 375 𝑁 𝑀𝐶𝐷 = 75 𝑁 ∙ 𝑚

Ejeriio 07 Ua ferza de 𝑭 = −𝟑𝒊 + 𝟕𝒋 − 𝟒𝒌 𝒌𝑵 aa e a eqia de la viga qe e exiede a rav de la ared. Deermiar la ferza iera e .

Ra

𝐹𝐴 = 3, −7, 4 𝑘𝑁 𝑀𝐴 = −0.65, 1.55, 3.20 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

Ejeriio 08 Se iee la ferza 𝑭𝟏 = −𝟐𝟒𝒊 − 𝟏𝟎𝒌 𝒍𝒃 , 𝑭𝟐 = −𝟖𝟎𝒊 𝒍𝒃 y el momeo 𝑴 = −𝟑𝟎𝒌 𝒍𝒃 ∙ 𝒇𝒕 aado ore la erra morada. Deermiar la ferza iera e .

Ra 𝐹𝐶 = 104, 0, 10 𝑙𝑏 𝑀𝐶 = 20, 72, −178 𝑙𝑏 ∙ 𝑓𝑡

Diagrama de ferza iera Co fie de dieo, e eeario ooer la ariacin de las fuerzas inernas a lo largo del elemeo. Ea variai ede er rereeada grfiamee e lo diagramas de fuerzas inernas. Para ello, odemo ilizar do modo: 1.- odo de la eaioe 2.- odo de la rea

odo de la eaioe Se dee eioar al elemeo a a disancia arbiraria x dede  exremo ara de aliar la eaioe de equilibrio al segmeno de logid x. De ea maera, e oiee N, , M e funcin de x. La fioe de ferza iera son disconinuas deido a la aliai al de ferza y/o momeo de ar, o de arga diriida.

M(x) Rox Roy

N(x)

(x)

odo de la eaioe Se dee eioar al elemeo a a disancia arbiraria x dede  exremo ara de aliar la eaioe de equilibrio al segmeno de logid x. De ea maera, e oiee N, , M e funcin de x. La fioe de ferza iera son disconinuas deido a la aliai al de ferza y/o momeo de ar, o de arga diriida. Por lo ao, a dee oeere ara ada segmeno loalizado enre dos disconinuidades de carga.

M(x) Rox Roy

N(x)

(x)

1.-Viga imlemee aoyada o arga oerada

ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎

𝐹𝑥 = 0

𝑁(𝑥) = 0

𝐹𝑦 = 0

𝑏𝑃 𝐿 𝑏𝑃 𝑀(𝑥) = 𝐿 𝑥

𝑀=0

ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿

𝑉(𝑥) =

𝐹𝑥 = 0

𝑁(𝑥) = 0

𝐹𝑦 = 0

𝑏𝑃 − 𝐿 𝑏𝑃 𝑀(𝑥) = 𝐿 𝑥

𝑀=0

𝑉(𝑥) =

cte lineal

𝑃=

−𝑎𝑃 𝐿

cte

−𝑃 𝑥−𝑎 =

𝑎𝑃 𝐿

lineal

𝐿−𝑥


 orre e: 𝑥 = 𝑎?

E la fuerza corane, orre  salo de magniud P de del o B. El momeo fleor ermaee oae.


ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎

𝑁(𝑥) = 0 𝑏𝑃 cte 𝑉(𝑥) = 𝐿 𝑏𝑃 𝑀(𝑥) = 𝑥 lineal 𝐿 ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿

𝑁(𝑥) = 0 −𝑎𝑃 𝑉(𝑥) = 𝐿 𝑎𝑃 𝑀(𝑥) = 𝐿−𝑥 𝐿

cte lineal

2.-Viga imlemee aoyada o momeo de ar oerado

ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎

𝐹𝑥 = 0

𝑁(𝑥) = 0

𝐹𝑦 = 0

𝑀 𝐿 𝑀 𝑀(𝑥) = 𝐿 𝑥

𝑀=0

ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿

𝑉(𝑥) =

cte lineal

𝐹𝑥 = 0

𝑁(𝑥) = 0

𝐹𝑦 = 0

𝑉(𝑥) =

𝑀=0

𝑀(𝑥) = −𝑀 +

𝑀 𝐿

cte 𝑀 𝑥 𝐿

lineal

=

𝑀 𝐿

𝑥−𝐿


 orre e: 𝑥 = 𝑎?

E el momeno flecor, orre  salo de magniud M de del o B. La ferza orae ermaee oae.


ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎

𝑁(𝑥) = 0 𝑀 cte 𝑉(𝑥) = 𝐿 𝑀 𝑀(𝑥) = 𝑥 lineal 𝐿 ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿 𝑁(𝑥) = 0 𝑀 𝑉(𝑥) = 𝐿 𝑀 𝑀(𝑥) = 𝑥−𝐿 𝐿

cte lineal

3.-Viga imlemee aoyada o arga iformemee diriida

ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝐿

𝐹𝑥 = 0

𝑁

𝐹𝑦 = 0

𝑉𝑥 =

𝑀=0

𝑥

=0

𝑤𝐿 − 𝑤𝑥 2 𝑤𝐿 𝑤 𝑀(𝑥) = 2 𝑥 − 2 𝑥 2

lineal cuadrática

3.-Viga imlemee aoyada o arga iformemee diriida ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝐿 𝑤𝐿 𝑉𝑥 = − 𝑤𝑥 2 𝑤𝐿 𝑤 𝑀(𝑥) = 𝑥 − 𝑥2 2 2

lineal cuadrática

Si e deea allar el momeo fleor mximo, e deriva 𝑀(𝑥) y e igala a ero

𝑑𝑀(𝑥) 𝑤𝐿 = − 𝑤𝑥 = 0 𝑥 = 𝐿/2 𝑑𝑥 2 𝑤𝐿2 𝑉(𝐿/2) = 0 𝑀(𝐿/2) = 8 onclusiones - Al derivar la fi momeo e oiee la fi ferza orae. - El mximo momeo fleor orre ado la ferza orae e ero. - La fi orae e lieal y  ediee e igal al egaivo de la arga.

4.-Viga e voladizo o arga oerada

ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝑎

𝑁(𝑥) = 0 𝑉(𝑥) = 𝑃 𝑀(𝑥) = −𝑃 𝑎 − 𝑥

ramoB: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝐿 𝑁(𝑥) = 0 𝑉(𝑥) = 0 𝑀(𝑥) = 0

cte lineal

5.-Viga imlemee aoyada o arga diriida de variai lieal ramoB: 𝑥 ∈ 0, 𝐿

𝑞𝐿 𝑞𝑥 2 cuadrática 𝑉𝑥 = − 6 2𝐿 𝑞𝐿𝑥 𝑞𝑥 3 𝑀(𝑥) = − cúbica 6 6𝐿 Si e deea allar el momeo fleor mximo, e deriva 𝑀(𝑥) y e igala a ero

𝑑𝑀(𝑥) 𝑞𝐿 𝑞𝑥 2 = − =0 𝑑𝑥 6 2𝐿 𝑉(𝐿/

3)

=0

𝑀(𝐿/

3)

𝑥=

𝐿

= 0.577𝐿 3 𝑞𝐿2 = 9 3 = 0.0642𝑞𝐿2

onclusiones - Al derivar la fi momeo e oiee la fi ferza orae. - El mximo momeo fleor orre ado la ferza orae e ero. - La fi orae e lieal y  ediee e igal al egaivo de la arga.

odo de la eaioe Procedimieno de anlisis 1.- race el DL y calcule las reacciones en los aoyos. E il morar e el DCL la omoee e la direioe eredilar y aralela al elemeo qe e e aalizado. 2.- eccione o core la iga e ramo omredido ere ferza oerada, momeo de ar y arga diriida. 3.- lique las ecuaciones de equilibrio ara hallar la eaioe de ferza ormal N(x), ferza orae V(x) y momeo fleor (x), reeado la ovei de igo. 4.- Grafique los diagramas de ferza ormal (DFN), ferza orae (DFC), y momeo fleor (DF).

Ejeriio 09 Trae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada.

Ejeriio 09


Ejeriio 10

Ejeriio 11 El maro morado iee aliada a arga diriida de 4 N/m. Trae lo diagrama de ferza iera (DFN, DFC, DF) del elemeo B. 


Ejeriio 12

Ejeriio 13 El eje BD e aoya e do ojiee dode lo el ojiee  imide movimieo axial. Saiedo qe la ferza orae a . m de  e =+2. N, deermie el valor de la arga Q (e N). Lego, rae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada.

Ra 𝑄 = 600 𝑁

Ejeriio 14 E la viga imlemee aoyada morada e la figra: a) Halle la ieidad de la arga w (e N/m) i e ae qe el momeo fleor al ero del ramo  e +6 N.m ) Halle la exrei del momeo fleor ere B y , e fi de la oordeada x medida dede . Lego, oega el valor del momeo fleor mximo y  oii. 1.5w w

A

Ra 𝑤 = 400 𝑁/𝑚

0.5w

B

C

𝑀𝑚á𝑥 = 999 𝑁 ∙ 𝑚 a 2.76 m (desde a)

odo de la rea El razado de lo diagrama de ferza iera ilizado el modo de las ecuaciones e muy rabajoso i e alia mha arga. E oile imlifiar el razado de diagrama emleado la relaciones exisenes ere la carga, la fuerza corane y el momeno flecor. Aaliemo  eqeo egmeo CC de la viga AB qe oora a arga diriida w:

odo de la rea Co el DCL del elemeo CC, e laea la maoria de ferza veriale: 𝑉 − 𝑉 + ∆𝑉 = −𝜔∆𝑥 ∆𝑉 = −𝜔∆𝑥 Dividiedo amo lado de la eai ere ∆𝑥 y haiedo qe ∆𝑥 → 0, oeemo:

𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥 La pendiente de la curva de fuerza cortante es igual al negativo de la carga distribuida.

odo de la rea egrado la eai oeida, dede C haa D, oeemo: 𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = − 𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = −

𝑥𝐷

𝜔 𝑑𝑥

𝑥𝐶

á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐷 𝑦 𝐶

Ea relai NO es lida ado e alia cargas concenradas, ya qe a rode a dioiidad e el DFC.

odo de la rea Co el DCL del elemeo CC, e laea la maoria de momeo o reeo a C: ∆𝑥 𝑀 + ∆𝑀 − 𝑀 − 𝑉∆𝑥 + 𝜔∆𝑥 =0 2 ∆𝑥 ∆𝑀 = 𝑉∆𝑥 − 𝜔∆𝑥 2 Dividiedo amo lado de la eai ere ∆𝑥 y haiedo qe ∆𝑥 → 0, oeemo:

𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥 La pendiente de la curva de momento flector es igual a la fuerza cortante.

odo de la rea egrado la eai oeida, dede C haa D, oeemo: 𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 = 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 =

𝑥𝐷

𝑉 𝑑𝑥

𝑥𝐶

á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐷 𝑦 𝐶

Ea relai NO es lida ado e alia momenos unuales, ya qe o rode a dioiidad e el DF. Ea relai e vlida a ado e alia arga ale.

odo de la rea 𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥

𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥

Tipo de carga

DFC

DMF

Tramo donde 𝑤 = 0 (sin carga)

𝑑𝑉 =0 𝑑𝑥

𝑑𝑀 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑥

𝑉 = 𝑐𝑡𝑒

𝑀 = 𝑓(𝑥)

Recta horizontal

Recta inclinada

𝑑𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑥

𝑑𝑀 = 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑥

𝑉=𝑓 𝑥

𝑀 = 𝑓(𝑥 2 )

Recta inclinada

Curva parabólica

𝑑𝑉 = 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑥

𝑑𝑀 = 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑥

𝑉 = 𝑓 𝑥2

𝑀 = 𝑓(𝑥 3 )

Curva parabólica

Curva cúbica

Tramo donde 𝑤 = 𝑐𝑡𝑒. (carga uniformemente distribuida)

Tramo donde 𝑤 = 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 (carga linealmente variable)

odo de la rea 𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥

𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥

Tipo de carga

DFC

DMF

Tramo donde P = (carga puntual)

Cambio brusco = P

Punto anguloso Cambio de pendiente

Tramo donde M = (momento puntual)

No pasa nada

Cambio brusco = M

NOTA: Para el razado de DF, la aliai de  momeo e senido anihorario, oaioa  salo de magid − 𝑴

Ejeriio 15 Trae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada, ilizado el modo de la rea.

6 ft

𝑉𝐴 = 0 𝑉𝐴+ = 0 + 18 = 18 𝑉𝐵− = 18 + 0 = 18 𝑉𝐵+ = 18 − 20 = −2 𝑉𝐶 − = −2 + 0 = −2 𝑉𝐶 + = −2 − 12 = −14 𝑉𝐷− = −14 + 0 = −14 𝑉𝐷+ = −14 + 26 = 12 𝑉𝐸 − = 12 − 1.5 8 = 0

𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐵 = 0 + 𝐴1 = 108 𝑀𝐶 = 108 + 𝐴2 = 92 𝑀𝐷 = 92 + 𝐴3 = −48 𝑀𝐸 = −48 + 𝐴4 = 0

8 ft

10 ft

8 ft

𝐴1 = 18 6 = 108 𝐴2 = − 2 8 = −16 𝐴3 = − 14 10 = −140 12 8 𝐴4 = = 48 2

𝑑𝑉 = −𝜔 𝑑𝑥 𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥

odo de la rea mo dibujar el diagrama con cargas no uniformes? 5 kN/m

4m

La rea de la rva e meve haia la zoa de mayor arga diriida.

DF (kN)

DMF (kN-m) 1.69 m

2.31 m

La rea de la rva e meve haia la zoa de mayor ferza orae.

Ejeriio 16 Trae lo diagrama de ferza iera (DFC y DF) de la viga morada, ilizado el modo de la rea.

Ejeriio 16

Ejeriio 17 Trae lo diagrama de ferza iera (DFN, DFC y DF) de la viga BDF, ilizado el modo de la rea.

Ejeriio 17

Ejeriio 18 Trae lo diagrama de ferza iera (DFN, DFC y DF) de la viga morada, ilizado el modo de la rea.

Ejeriio 19 La viga omea e arilada e B, iee  aoyo moo delizae e F y aoyo imle e  y . Adem, e ae qe 𝐭𝐚𝐧 𝝓 = 𝟐. 𝟒 . Para lo ramo BDF, rae el diagrama de ferza ormale (DFN) y lo diagrama de ferza orae y momeo fleore (DFC, DF) deidamee aoado, or el modo de rea.

Ejeriio 20 La viga morada e arilada e  y F. Tiee aoyo imle e B y D y  emoramieo e G. a) Deermie la ieidad de la arga diriida w (/m) de modo qe la ferza orae a la miad del ramo CD ea -9 . ) Para oda la viga, rae lo diagrama de ferza iera (DF, DMF) deidamee aoado, or el modo de rea.

Ejeriio 21 Trae lo diagrama de ferza iera (DFN, DFC y DF) de la viga B, ilizado el modo de la rea.

Ejeriio 21

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