Memoria de cálculo para una losa postensada Datos de diseño. Carga variable (viva):
carga viva =
ll
kN
2. 5 2
m
Carga permanente (muerta):
adicional =
al 2.68
kN m
rango de fuego:
tf
dimensión de columnas:
c1 55 cm
altura entre pisos:
h1
2.7m
recubrimiento:
r1
2.0 cm
r2
r1
2
2 hr
c2
55 cm
Materiales: Concreto de densidad normal:
f´c
Acero de refuerzo:
fy
Pretensado:
fpu
Diámetro de vaina plástica engrasada:
28 MPa
Ecs 57000 psi
420 MPa
v
psi
25044.6MP
Ecc Ecs
cable (trenzado) no adherido de baja relajación
0.6 in
f´c
270 ksi
3 4
in 2
Ap 0.215in
Coeficientes de ponderación según el ACI 318 (2008):
para carga permanente:
d
para sobrecargas:
l 1.7
1.4
Paso 1. Estimación del espesor de losa L1
7 m
eje x
Novano Novanox x
L2
7 m
eje y
Novanoy Novanoy 3
L1n L1 c1 6.45 m
5
Luces libres
L2n L1 c2 6.5 m hmin
L1
45
hmin 15.6 cm
TABLA 11-1
Relación Relación Luz/altur a (L/h) sugeridos para losas post-tensadas post-tensadas losa en una dirección 48 losa en dos direcciones 45 losa en dos direcciones con paneles descolgados (pane anel de descolga lgado míni mínim mo por lo lo meno menoss L/6 c/ lad lado) 50 losa en en do dos direc reccione ioness con vig vigaas en do dos dire ireccione ioness 55 entramado (5x5 malla) 35 vigas b =h / 3 20 vigas b = 3h 30 voladizo 20-24 TABLA 11-2
Espesor Espesor de losa requerida r equerida en (mm) para resiste r esistencia ncia contra el fuego Tipo de agregado 1 hr 1 1/2 hr 2 hr 3 hr 4 hr Siliceo 89 108 127 159 178 Carbonato 83 105 117 146 168 Aligerado 67 830 95 117 133
Asumiendo un concreto con siliceo como como agregado, mínimo mínimo de espesor o altura altura para 2 horas, 127 [mm] Tabla 11-2 Se escoge
Paso 2.
h0 20.0 cm
<==========================
Verificación preliminar por punzonamiento de corte
a) Columna interior. Verificando la columna interior B2, verificando la capacidad de corte directo incremento de Vn cerca del 20% para considerar el incremento en el área de contribución y en el momento transferido. c 24
kN m
- Peso propio de losa:
3
ol0 h0 c 4. 8
kN m
2
wu0 d ( ol ol0 al ) l ( ll) 14.7
kN m
Vu0
- Asumiendo:
altura útil
1.2 L1 L2 wu0 865.7 kN
d0 h0 r1 18 cm bo0
4 ( c1
d0)
2.9 m
- Asumiendo un pre-tensado promedio de : fpc1 1.73 MPa 250.9 psi
y omitiendo Vp la ecuación (11-13) nos da:
Vp 0
2
valores de
s
column columnas as interior interior borde borde esquina esquina psi 40 30 20 Mpa 3.33 2. 2.5 1.67
si
==>
p0 min 3. 5 si
bo0 bo0
p10 min 0.29 si1 p10
si1
1. 5
d0
d0
0.13
bo0 bo0
sb
4
sb1
3.33
se
3
20
se1
2.5
p0 3.5
para psi
p10 0.3
para MPa
1.67
1era. condicionante: fp c
fp c 1 if fp c 1 0.86MP a fpc1 3.45MP a
1.7 MP
"Eq11-14" otherwise
var1 125 psi 0.9 MPa var2 500 psi 3.4 MPa
Se utiliza la siguiente fórmula si fpc < 0.86 MPa Vc2
2
Vc0
c 4
f1c bo d
f´c
0.85 p0 psi
psi
0.3fpc bo0d0 Vp 918.9k
Vu0 865.7 kN
2da condicionante: Espesor
"Necesita s er incre in crement mentado" ado"
if Vc 0 Vu0
"VERIFICA"
"VERIFICA" otherwise
b) Columna exterior. Verificando la columna exterior B1 , Vu se incrementa cerca del 50% para tomar en cuenta el incremento en el esfuerzo de corte debido al momento transferido y disminuido en el área de contribución 1. 5 L1 VuE 1.5
boE boE
c1
L1
2
d0
wu0
2 c1
541 kN
2
d0
2m
de la ecuación (11-14), para este cuadrado de columna en borde 3ra condicionante:
Vc1 0.85 0.854 psi
f´c psi
boEd0 540.5k
d0 f´c VC sb 2 psi boEd0 745 k psi boE VcE
Vc1
if Vc1 VC
540.5k
"No cumple" otherwise
Por lo tanto
VcE 540.5 kN
VuE 541 kN
Espesor1
if VcE VuE
"Necesit "Necesita a s er incrementado"
"Necesita ser incrementado"
"VERIFICA" otherwise
c) Revisión del espesor de losa:
h 20 cm
- Peso propio de losa:
ol h c 4. 8
<=========================== kN 2
m
wu
d ( ol
al )
l ( ll)
14.7
kN m
Carga de servicio:
wu1
ol
al
ll
10
2
kN 2
m
Para la columna exterior B1
Vu d
1. 5 L1
h
r1
L1 2
wu 541 kN
18 cm
bo c1 d 2 c1
0.85 0.854 psi Vc
w1
1. 4 ( ol
al )
f´c psi
d 2
2m
bod 540.5k
10.5
kN m
2
Hay un 99% de que la fuerza requerida es la la obtenida, se usará usará una losa con espesor de: h
bo
20 cm
4 ( c1 d)
2.9 m
Paso 3. Determinación de la carga a ser balanceada La experiencia del diseño práctico ha mostrado que si las cargas de servicio sobrepuestas son menores que la carga de peso propio de la losa, entonces un diseño económico que satisface la serviciabilidad y los requerimientos últimos serán alcanzados si la carga balanceada por el pretensado , después de que todas las pérdidas han ocurrido, este entre 80 y 100% del peso propio de la losa. Para escoger esta losa el pretensado tal que un 90% del peso propio es balanceado. (ol x 90% )
Paso 4. Criterio para escoger los perfiles de los tendónes La fuerza hacia arriba prevista por el pretensado es una función de la fuerza del tendón, el tendón deformado, y la longitud de la luz (Eq 11-1 y 11-2). La filosofía de la carga equilibrada cuando es aplicada a esta estructura ofrece dos distintas posibilidades para escoger el perfil y la fuerza de pretensado. Para alcanzar un efecto de carga balanceada uniforme debemos o bien usar menos que la deformación máxima posible en el interior interior de las luces o usar tendones extras en las luces exteriores. (fig 11-28) Nosotros usaremos el esquema esquema de la máxi ma excentr i cidad con terminación extra de luz de con ci dad tendones, con longitud de 10.1 [m] (33 [ft]), [ ft]), en la dirección Este-oeste para reducir la cantidad total de Paso 5. Determinación deemos las excentricidades e xcentricidades máximas pretensado requerido. Usaremos Usar el esquema "fuerza de pretensado constante" constante" con la variación de excentricidades en la dirección Norte-sur. En la región de las columnas se colocará los tendones en la dirección corta de la estructura (dirección N-S) debajo de estos en la dirección dirección larga. La cubierta clara mínima para 2 horas horas de exposición al fuego : 2 [mm] (3/4 [in]) de la tabla 11-3. Asumir que una estera máxima de barra de #4 (diamétro 13 [mm]) será usado para satisfacer el recubrimiento requerido del refuerzo. Como se puede puede ver en la fig. 11-29, la máxima excentricidad, las máximas excentricidades que se pueden obtener en la columna son:
altura de losa (espesor)
h 20 cm
recubrimiento superior
r2 2 cm
recubrimiento inferior
r1
diámetro de la barra Acero no Pretensado diámetro de la vaina
m m b 12. mm
2 cm
i n 12.7 mm 0.5 in
v 19 mm eEO
eNS
h 2
h 2
r2
b v
r2 b
v 2
v 2
39.4 mm
58.5 mm
Cables Distribuidos Cables Uniformes
A media luz es posible usar la misma máxima excentricidad en las dos direcciones (fig. 11-29), así tenemos: eM
h 2
r1
v 2
70.5 mm
Paso 6. Determinación de los perfiles del tendón y la fuerza pretensora a) Dirección E - O . Escogeremos la ubicación del punto de inflexión para que coincida con la sección crítica para punzonamiento decorte. decorte. (fig. 11-21). Esto es: c1
55 cm
c1 d 1 0.0521 2 2 L1
L1
365 mm
Para una luz interior típica la deflexión, f, del perfil equivalente del tendón, es L m
0. 5 L 2
h21 h21 f1
m
eM
para cables en losas intermedias intermedias
( eM e EO ) 11.5 mm eEO
h21
121.4 mm
(fig 11-30a) y por lo tanto la fuerza en el tendón requiere equilibrar 90% del peso propio de la losa que es: P = w * L1^2 / ( 8 * e ) Peso propio:
ol
kN
4. 8
m
wo
2
90% ol 4. 3
kN m
2
P1
wo L1
kN
8 f1
2
218
m
Para el final de las luces el punto bajo del perfil será fijado a 0.45*L del borde. La deflexión, f, del perfil equivalente del tendón (fig. 11-31b) es f2. Por lo tanto la fuerza del tendón en el final de luz equilibrará 90% del peso propio que es: para cables en losas externas e 1 0 .4 5 0.55
h22 h22
( eM e EO ) e
10.4 mm
x
L1
( 1 e ) L1
2
35 cm 2
x 1 mm y1 ( eM eEO h22 h22 ) e L1 L1 f2
eM
( eEO
h22 )
2
y1
94.4 mm L1
L1 2
(1
L1
ft e ) L1 10.3 ft 2
wo L1
P2
8 f2
280.3
7m
L1
L1 e
0.4 m
3.87m
3.85 m
kN m
b) Dirección N-S. Se quiere usar la misma fuerza tensora para todas las luces en la dirección N-S. Usando la excentricidad máxima en el final de la luz, determinaremos la fuerza pretensora requerida para equilibrar la carga muerta en esta luz. Para esta luz la deflexión del perfil equivalente de tendón es f3, (fig 11-31a). Por lo tanto la fuerza requerida del tendón para equilibrar 90% del peso propio de la losa es: h23 h23
( eM e NS ) e
12.2 mm
x 0.35 m 2
y2
( eM
f3
eM
eNS
( eNS
x 0.1177cm h23 h23 ) e L1 L1
h23 )
2
P3
wo L2 8 f3
2
252.8
y2
104.6 mm
kN m
Ya que la fuerza del tendón permanecerá constante enla dirección N-S, la deflexión del tendón en la luz interior entre los ejes B y C es f3. Con el punto de inflexión localizado en β L, desde el centro del apoyo, tenemos de la ecuación: h2 = β (e1 + e2) / λ 10.5 cm f3
L1
L1
2
e1
1m
h24
1 m
0.05214
Given
( e1
e1
eNS
Find( e1 h24) e1
h24
eNS )
h24 h24
h24 h24
f3
36.3 m 9.9
<=================================
36.3mm
9.9mm
2
L1
R
2 ( e1 e2 )
El radio de curvatura, R, de los tendones no debería ser menos que aprox. 2.4[m] (8[ft]). En las r egiones sobre los soportes el radio de curvatura está dada por: Ra
( L1)
2
2 h21
El menor radio de curvatura en los perfiles elegidos anteriormente ocurre sobre los apoyos en el interior de la luz en la dirección E-W y es: Ra 5.8 m
Por lo tanto los perfiles elegidos son satisfactorios. c) Resumen de alturas en losa postensada: Dirección E - O (UNIFORMES): Tramo Exterior:
L1
7m
L1 2
L1
3.87m
L1 e 3.85 m L1
36.5 cm
( 1 e ) L1 3.2 m
h 2
10 cm
h 2
eM
2.95 cm
eEO
eEO
h
h22
2
13.9 cm
h
2
15 cm
L1
Tramo Interior: m L1 L1
eEO
eEO
2
h
2
7m
m L1
3.5 m
3.5 m
36.5 cm
L1
h h
2
13.9 cm
h21 h21
eM
36.5 cm
3 cm
15.1 cm
Dirección N - S (BANDAS): Tramo Exterior:
L2
L1
7m
2
3.87m L1
L1 e 3.85 m L1
36.5 cm
( 1 e ) L1 3.2 m
h 2
h
10 cm
2
eM
3 cm
eNS
eNS L2
Tramo Interior:
eNS eNS
2
36.5 cm
h 2
h24 h24 16.8 cm
h
L2
15.8 cm
2 2
15.8 cm
17.1 cm
m L2 3.5 m
h
h
h23
7m
m L2 3.5 m
L2
h
2
e1
6.37 cm
36.5 cm
Paso 7. Cálculo de las pérdidas de postesado. a) Pérdidas por fricción y anclaje. Para tendones no adheridos en losas de piso, es suficientemente preciso usar una pérdida por fricción aproximada de 7.5% de la fuerza pretensora por 30.5 [m] (100[ft]) longitud de tendón. Todos los tendones serán pretensados sólo de un lado con el e l otro lado siendo anclaje (punto muerto). Sin embargo, para hacer más uniformes las pérdidas por fricción, cada segundo tendón será pretensado a una terminación terminación de la estructura mientras los tendones que faltan serán serán pretensados por la terminación opuesta. Los cables son tensados a 0.75 fpu f pu y entonces anclados. El sistema de anclaje es asumido a ser 1/4[in] (6.35 [mm]). La pérdida de el esfuerzo de pretensado por metro lineal debido a la fricción es: 7.5% 1 1 relación de 3: pérdida por metro lineal 0.0025 rel1 30.48m
m
fp rel1 75% fpu fpu 3.44
MPa m
pérdida del esfuerzo por tesado tesado
Por lo tanto de la ecuación 2-7 la longitud afectada por el anclaje es: set et ApsEp s
Lset
p
Donde: Ep = Módulo de Young del cable Aps = Área transversal del cable por el sistema de anclaje Δ set = Longitud afectada por p = Pérdida por fricción, expresada como como un cambio de fuerza por unidad de longitud longitud Lset = Longitud del tendón tendón afectada por el anclaje Entonces: set 6.35mm 0.25 i
Ep 200000 MPa
set Ep
Lset
fp
29007547.5 psi
19.2m
Fls Flset Lset fp 66.1 MPa
Módulo de elasticidad del cable
<==============
Longitud afectada por el anclaje Pérdida del esfuerzo por anclaje
En vista de la variación pequeña en tensado a lo largo de los tendones (fig11-32), el tensado promedio en cada tendón se usará en el cálculo. Cables continuos E - O: N1a N1a fpu 1396.2 MPa 0.75 fp
No4 No4
N2a
N3a N3a
N1a
N1a N1a
Flset
N2a
prm1 prm1
n1
set prm1 prm1 a
2
1330.1 MPa
197.7 ksi
9. 6 ksi
a
Flset
L1Novano ovanox x
N1a
1275.9 MPa
No4
prm1 prm1 Lset Lset Ep
Lset
5. 2 i
N1b N1b N2a n1 183.3 ksi
120.2 MPa
N1a N1a
1396.2 MPa
N2a N2a 1330.1 MPa
N3a N3a
1275.9 MPa
N1b 1264 MPa
L1 Novanox
f1prom
N1b N2a Lset 100% N1b 2 Novanox L1 Novanox
35 m
N3a N2a ( L1 Novanox Novanox Lset ) 100% 2
L1 Novanox Novanox
1299.8MPa
Cables continuos N - S: N1 N1 L2 Novano ovanoy y
( N1a N1a N2a )
N23 N1a N1
Lset
N1a N1a 1396.2 MPa
N2a N2a 1330.1 MPa
N23 N23 1324 MPa
N1b N1b 1264 MPa
L2 Novanoy Novanoy
f2prom
N1b N2a Lset 100% N1b 2 Novanoy L2 Novanoy
21 m
N23 N2a ( L2 Novanoy Novanoy Lset ) 100% 2
L2 Novanoy Novanoy
1299.6MPa
Cables adicionales E - O, en luces finales: L3
L1
L1
<==================================
8. 8m
4
N2
fp L3
prm2 prm2 n2
N1a N1a
N2b N2b N1a N2 1366.1 MPa
30.1 MPa
N2b
2
set prm2 prm2 b
1381.2 MPa
b
145.1 MPa
1396.2 MPa N1a N1a
f3prom
1366.1 MPa N2b N2c N2c 1251 MPa
N1c N1c
N2c 2
Ep
60.4 mm
N1c N2b n2 1221 MPa
N2c N2c N1a n2 1251 MPa
N1c 1221 MPa
prm2 prm2 L3
1236 MPa
b) Pérdida por acortamiento elástico. La fuerza de pretensado mayor está en la dirección N-S, es de: var11
max ( P3 P3 P2 P2 P1) 280.3
kN
dirección N-S
m
P3 0.3 m MPa
Esto corresponde a un tensado de compresión en el concreto de 1.70[MPa], asumiendo que la losa es postensada cuando el concreto tiene 4 días de fraguado y tiene una fuerza f uerza compresiva de: la deformación elástica en el concreto será: <================ fcompr 20.7 MPa DefElas
para un esfuerzo de 1.7 [MPa]
0.0000
Si todos los tendones fueran post-tensados simultaneamente, el tensado en los tendones no sería afectado por el acortamiento elástico del concreto. Sin embargo, en nuestro caso los tendones serán tensados uno a la vez. El último tendón a ser tensado, no será influenciado por el acortamiento elástico, mientras el primer tendón tensado sufrirá una pérdida debido a el tensado de los tendones subsecuentes de cerca a : perd1 perd1 Ep DefElas Elas
perd1 perd1 16 MPa
Por lo tanto, la pérdida promedio entre el primer y último tendón a tesar, será: (perdida primero + perdida último) / 2 = 8 Mpa c) Pérdida debido a las restricciones. La rigidez flexora de las columnas restringe la reducción axial de losas de piso un poco. Si las columnas son rígidas y la losa tiene una gran número de luces, la pérdida resultante de la compresión axial enlas losas de piso puede ser significante, particularmente para el segundo nivel de losa piso. Por lo tanto la losa tenderá a moverse hacia el centro por las cantidades mostradas en la fig 2
A lo lo s sa a L2h
Long
L1
Ecs Ecs 25044.6 MPa
1.4m
Nova Novano nox x 2
17.5m
*ver paso 8, Pt1 & Pt2
2040 kN Pi1
<====================
Pi2 2632 kN
1
Pi1Long
Ecs Ecs Alosa
1.02 mm
2
L1 1
L1
3
L1 2 0. 2mm 1
2
Long
Dirección E-O, deformación axial compresiva en la losa debido al pretensado:
0.61 mm
Long
def2 0.0000
en el término de las luces
def3 0.0000
en las luces interiores
Acortamiento por restricciones axiales de losa en columnas del 1er piso. Si el borde de la columna fuera totalmente restringido a rotación arriba y abajo, la fuerza requerida para moverlo 1.2[mm] sería: H
12E I
h1
3
Donde: H = fuerza restrictiva horizontal h1= Altura de columna EI= Rigidez flexora de la columna c olumna Por lo tanto si el borde de la columna permanece no fisurada, la fuerza restrictiva sería: f´co
f´c
1
Ecol 57000 psi
I
c1 c2
resistencia característica de la columna de concreto
28 MPa
f´co
psi
3
12
762552.1cm
25044.6MP
<=======
f´c/0.6 fórmula para concreto de peso normal según el ACI, Ec = tangente de rigidez cuando la deformación ε cf es cero, fc/ε c
4 I 18320.4in
Inércia de columna
1.2 m m
H
Ecol I 12Ecol 3
139.7 kN
h1
La fuerza restrictiva actual será mucho menor porque la columna se fisurará en flexión, reduciendo su rigidez, y también el extremo de la columna no es fijado para resistir rotación. Estos dos efectos reducirán la fuerza restrictiva cerca de 1/4 de el valor dado. Esto significa que la fuerza restrictiva para este nivel de losa será cerca de 0.7% de la fuerza pretensora y no puede ser obviada.
d) Pérdidas a largo plazo. De la siguiente ecuación se obtiene la pérdida por relajación en 30 años para un tensado inicial:
tensión inicial:
fpi
tiempo estimado:
t
tensión última del cable:
1861.6 MPa fpu
valores típicos de fpy según Collins-Mitchell Pg. 89
fpy 0.9 fpu fpu 1675.4 MPa
70% fpu 1303.1 MPa
fpi
189 ksi
30 yr 262974.4 hr
t fp i hr fpi 1267.4MP 0.55 45 fpy
log
fp fp i 1
fp
rel2
rel3
fpi
perd2 perd2
(tensión de fluencia del cable)
0.973
1 rel2
0.027
rel3 rel3 fpi 35.7 MPa
Módulo de elasticidad del cable:
Ep 200000 MPa
Módulo efectivo a largo plazo:
ModE odEfec
Ep rel2
194513.2 MPa
De esta ecuación la pérdida por relajación después de 30 años para un tensado inicial de 189 ksi (1303 MPa) es cerca del 2.7%, el cual corresponde a una pérdida de 35 MPa y a un módulo efectivo a largo plazo de ModEfec 194513.2 MPa
volumen sobre área total de la superficie (fig 3-18, Collins-Mitchell Pg.76)
rel5
h 1 m 1m
2
1m
100 mm
2
(valor para ks)
1m
Humedad relativa promedio Altiplano 49 Porcentaje 2006 SENAMHI Valles 56 Porcentaje 2006 SENAMHI Llanos 72 Porcentaje 2006 SENAMHI
ks 0.74 kh
Para La Paz 1.29 otros 1
para una humedad de 50%
1.2
t 10957.3 day day
day
sh ks kh
t
35
t
0.0005
sh
0.00049
day day
De esta ecuación la retracción por la deformación después de 30 años, si la humedad es de 50% puede ser estimada como ε sh, el cual corresponde a una fluencia lenta en la deformación de: perd3 perd3
ModEf ModEfe ec
sh 95 MPa
El coeficiente de fluencia lenta después de 30 años para la primera carga de la losa a una edad de 4 días puede se r estimada con la siguiente ecuación: <==== VOL/SUP = rel5 kc 0.76 f´c 28 MPa
resistencia característica del Hº a los 28 días
1
kf 0.67 t
0.89
f´c MPa
ojo ver el dia de de apicación de tensión
62
y r 30 yr
aplicación de tensión (carga inicial), días después de que el concreto ha sido vaciado
ti 30 day
t ti 10927.3 day Hu
humedad en porcentaje
80%
0.6
tti
t ti 0.118 Hu ti day day day day 3. 5 kc kf 1.58 3.5 120 day 0.6 day t ti 10 day day day day
DefElas 0.00008 tti
2.42
El cual corresponde a una fluencia lenta de deformación de 2.2x0.08x10^-3. deflu tti DefElas Elas
Por lo tanto la pérdida en el tendón debido a la fluencia lenta será cerca de: ec 37.7 MPa perd4 perd4 def deflu ModEf ModEfe
La pérdida a largo plazo total es: Per PerdT
per perd2
per perd 3
perd4
168.5 MPa
e) Tensión resultante en los tendones. La tabla siguiente resume las tensiones resultantes en los tendones inmediatamente después del anclaje cuando solo la fricción y la pérdida pér dida por acortamiento elástico han ocurrido y las tensiones finales, fse, después de todas que todas las pérdidas pérdidas han ocurrido. Notese Notese que es una una práctica común asumir que fse para tales estructuras es 0.6*fpu = 0.6 x 270 = 162 ksi (1117 MPa). En la tabla también se muestra la fuerza del tendón basado en una área de tendón de 0.215 in^2 (140 mm^2) TABL
Tendón
Tensión después del anclaje
Tensión después de todas las pérdidas, fse
Fuerza del tendón después de todas las pérdidas
Continuo E-O
f1prom 1300 MPa
fse1
1131 MPa
fs1
fse1 Ap
157 kN
Extra E-O
1236 MPa f3prom
fse2 f3prom prom Per PerdT 1068 MPa
fs2
fse2 Ap
148 kN
Continuo N-S
f2prom 1300 MPa
fse3 f2prom prom Per PerdT 1131 MPa
fs3
fse3 Ap
157 kN
f1prom prom
Per PerdT
a) Tipos comunes del PCI libro de diseño Tipo Tipo de ten tendon don Gra Grado fpu fpu Gra Grado fpu fpu Diam. Diam. Are Area Are Area Peso ksi MPa in in^2 mm mm^2 plf 250 1724 1/4 0.036 23.2 0. 0.12 270 1862 3/8 0.085 54.8 0. 0.29 Cable trenzado 250 1724 3/8 0.08 51.6 0.27 de 7 alambres 270 1862 1/2 0.153 98.7 0. 0.53 250 1724 1/2 0.144 92.9 0. 0.49 270 1862 0.6 0.215 138.7 0.74 250 1724 0.6 0.216 139.4 0.74 250 1724 0.196 0.0302 19.4 0.1 Enrolla llados de 240 1655 0.25 0.0491 31.6 0.17 pretensado pretensado 235 1620 0.276 0.276 0.0598 0.0598 38.7 0.2 157 1082 5/8 0.28 180.6 0. 0.98 Barras pretensadas 150 1034 1 0.85 548.4 3. 3.01 deformadas 150 1034 1 1/4 1.25 806.5 4.39 150 1034 1 3/8 1.58 1019.4 5.56
b) Tipos comunes comunes del CPCI CPCI manual manual de diseño diseño métrico Tipo Tipo de ten tendon don Gra Grado fpu fpu Gra Grado fpu fpu Des Designa ignacción ión Mpa ksi de tamaño 1860 270 9 1860 270 11 Cable trenzado 1860 270 13 de 7 alambres 1860 270 15 1760 255 16 1550 225 5 Enrollados de 1720 249 5 pretensado pretensado 1620 235 7 1760 255 7 1080 157 15 Barras pretensadas 1030 149 26 deformadas 1100 160 26 1030 149 32 1100 160 32 1030 149 36
Dia Diam. Are Area Mas Masa mm mm^2 kg/m 9.53 55 0.432 11.13 74 0.582 12.7 99 0.775 15.24 140 1.109 15.47 148 1.173 5 19.6 0.154 5 19.6 0.154 7 38.5 0.302 0.302 7 38.5 0.302 15 177 1.44 26.5 551 4.48 26.5 55 5 51 4.48 32 804 6.53 32 804 6.53 36 1018 8.27
Paso 8: Cálculo del número y distribución de tendones. La siguiente tabla resume la elección del número y distribución de los tendones. En la distribución de los tendones E - O, fue decidido concentrar cerca del 70 a 75% de los tendones en la faja de las columnas. Todos los tendones N - S están concentrados en la faja de las columnas. Notese que la tensión resultante de compresión promedio en la losa varia de 173 psi (1.19 MPa) a 260 psi ( 1.79 MPa). Típicamente los niveles de rango en pre tensado son aproximadamente de 125 psi (0.86 MPa) a 500 psi (3.4 MPa) El área del concreto será la longitud de su luz, multipicada por la altura de la losa: 2
Ac L1h 14000 cm
Fuerza total Requerida [kN]
Tramo
Interior E-O
L1 P1
F de columnas Fnja media Total (No. de cables) (No. cables) cables dentro fuera col col
6
1526 kN
4
T1
3
13
Ptotal
P/A
Pt1 T 1 fs1
PA1 PA1
Pt1
1.5 MPa
1.9 MPa
1.7 MPa
Ac
Pt1 2040 kN
Final E-O L1 P2
6
1962 kN
4+2
T 2 T 1
3+2
T3
4
Pt2
T 3 fs2
T2 fs1
Pt2 2632.3 kN
PA2 PA2
Pt2
Ac
N-S
9
L1 P3 1770 kN
6
0
T4 15
Pt3 T 4 fs3
PA3 PA3
Pt3
Ac
Pt3 2353.5 kN
Paso 9: Cálculo de las propiedades del pórtico equivalente. El análisis se llevará acabo usando el método del pórtico equivalente descrito anteriormente.
a) Rigidez equivalente en columna Kec, El método de pórtico equivalente idealiza las columnas como miembros flexionados con una rigidez flectora uniforme sobre la altura clara de la columna y con la rigidez infinita asumida sobre el espesor de la losa. Esto resulta en un miembro no prismático. Un método aproximado sugerido por Rice y Hoffman nos da la rigidez de la columna, Kc, Kc
Ec I 4 Ec
h1
2 h
donde: Ec = modulo de elasticidad para una columna de concreto I = momento de inercia de la columna h1 = altura entre pisos (centro a centro de losas) h = espesor de losa La columna equivalente ( rigidez = Kec) se asume que consiste en las columnas reales de arriba y abajo de la losa más un miembro transversal torsor sujeto a la dirección en la cual los momentos están siendo determinados y limitado por las lineas centrales de los paneles. El cálculo de estas rigideces de columnas efectivas, están resumidas a continuación. Ks
4 Ecs I
L1
113592.7m kN
c1
2
Datos:
h1 2.7 m 4
I 762552.1cm
X h Y
Ec1 Ec1
Ecs1
X y Y son iguales a h y c1 para el e l caso de una losa sin vigas
c1
1 psi
1 2
donde:
Inercia de la columna
1 psi
módulo de elasticidad para la columna de concreto módulo de elasticidad elasticidad para la losa losa de concreto se asumen dos columnas (arriba y abajo)
Kc es la rigidez de la columna en la junta Kt es la rigidez torsional
* Asumiendo Ec & Ecs =1psi para cálculos
I [in^4]
Kc
c1*c2^3/12
4
Kc
2 h
Kc
* Ec
91.4
N m
Kt
1 9 Ecs1 Cc in
L2 1
L2
c2
1
1 Kc
3
1
25.6
Kec Kec
Ec
Kec1
N m
1
Kec1
Kt
Cc 2716.4 in
Kec 3
3
h1
Kt
X X Y Cc 1 0. 63 3 Y 3 in
4 Ec1 Ec1 I
I 0.008m
C
Kec
N m
22.5
* Ec
b) Rigidez en la losa, Ks. El método del pórtico equivalente idealiza las LOSAS COMO VIGAS, teniendo una rigidez uniforme flexora a lo largo del claro del tramo y teniendo un incremento en la rigidez flectora desde la cara de cada columna al centro de esa columna. Referencias sugieren un cálculo simplificado aproximado para estimar Ks como: 3
Is
L2h
Ks
4 Ecs1 Is
12
L1
19.1 N m
Ks1
4 Ecs1 Is
c1
L1
2
2
39.9 N m
c1 2
donde Ecs = Módulo de elasticidad de la losa de concreto Is = Mommento de inercia inercia de la losa losa limitada limitada por las lineas centrales de los paneles L1 = Luz de centro a centro entre las columnas en la dirección en en la cual los los momentos son determinados. c1 = Dimensión Dimensión de de la columna en la dirección en la cual los momentos son determinados Para una franja ancha interior tipica L1. Ks
Ks1
19.1
Ecs
N m
39.9
Ecs
N m
c) factores de distribución. El factor de distribución para los momentos distribuidos en cada junta es: Ks Ks Kec
Los factores de distribución todos son tomados como 0.5
Paso 10. Cálculo de los momentos equivalentes debidos al pretensado. Los cálculos de los momentos equivalentes debidos a el pretensado para los tramos E - O, son resumidos en la Fig 11-34. Los cálculos de los momentos equivalentes debidos al pretensado para los tramos N - S son resumidos en la fig 11-35. Momentos finales finales debido al pretensado pretensado en tramos E - O a) Tramo interno:
F1
2 3
h2 1) f1 ( e EO h2
Pt1 F1 61.2 kN m
b) Tramo final:
F2
2 3
f2 2.478i
1.182i
Kt
Pt2 F2
2
F7
165.6 kN m
h2 1) 0.474i f2 ( e EO h2
3
No se toma en cuenta
Pt2 F7 31.7 kN m
Momentos finales finales debido debido al pretensado en tramos tramos N - S a) Tramo final:
2
F4
Pt3F4
2
F6
2
F5
2.2 kN m
f3 ( e NS h 24 24) 1 mm m m
3
Pt3 F5
164.2 kN m
23) 1mm f3 ( e NS h 23
3
Pt3 F6
b) Tramo interno:
f3 2.747 i
3
3.3 kN m
Paso 11. Análisis del pórtico equivalente. Para demostrar los procedimientos de análisis analizaremos el pórtico central equivalente en la linea de columna B y la linea de la columna 2. Calcularemos los momentos en la losa debido a la restricción de las deformaciones de pretensado, debido a la carga muerta y debido a la carga viva. Si bien la carga viva que actúa sobre la losa es menor que 75%de la carga muerta, el patrón de carga viva no necesita ser tomado en cuenta La distribución de momentos para estos dos pórticos equivalentes son mostrados a continuación. k1
Ks
Ks
Kec Pt2 F2
Ks
k2
0.46 165.6 kN m
2 Ks
Pt2 F7
Kec
31.7 kN m
0.315 Pt1 F1
61.2 kN m
2
1
3
-6 7
-5 9 .8
0.039
0.217
0.435
0
-1.38
-0.168
-0.34
0
1.069
5.999
12
0
-38.1
-4.646
-9.29
0
-32 0.315 0.46 165.6
0.315 61.2
-76.18
-9.29
-4.646
0
2.1373
12
5.9989
0
-2.759
-0.34
-0.168
0
0.0774
0.435
0.2173
0
9 0 .2 8
64
-61.2
0
m11 90.28kN m
m13 m13 64kN m
m12 67kN m
m14
59.8kN m
Momentos de empotramiento: wu1
kN
ww1
10
wu1 L2
kN
wu 14.7
69.9
m
2
m
m
2
ww2
ww2 L1
285.3 kN m
12
420.8 kN m
2
1
0.46
-285
275
0 -0.75 2.377 0 0 -20.7 65.62 0
-0.374 0 0 0 -10.33 0 0 0 0.315
0.315
285.3
0 0 -20.7 0 0 0 -0.75 0
-1 6 0
-3 0 7
2
3
48 9
40 5
0
-0.552
-1.1
0
3.506
0
0
0
0
-15.24
-30.5
0
96.78
0
0
0
421 0.315 0.46 -421
0
-285
131.24 0 0 -10.33 4.7541 0 0 -0.374
1
3
332
285
0.315 -421
193.57
0
0
0
0
-30.5
-15.24
0
7.012
0
0
0
0
-1.1
-0.552
0
-2 3 6
-4 5 2
wu L2
kN
103.1
m
2
2
ww1 L1 12
kN
420.8
0
Momentos de losa, debido a la carga muerta y a la carga viva: m21 m21
160kN m
m22
m23 m23
332kN m
307kN m
m24
275kN m
405kN m
Momentos de losa, debido a la carga muerta y a la carga viva, ponderadas 1.4D +1.7L: m31 m31
236kN m
m32
m33 m33
489kN m
452kN m
m34
Momentos en losas del análisis del pórtico equivalente para un ancho igual a L2, en la franja de diseño E-O E -O sobre la linea de columna B. k3
Ks
Ks1 353.2 lbf in
k4 2 k3 0.374
0.187
2Ks1 Kec
Pt3 F5 3.3 m kN
Pt3 F6 2.2 m kN
Pt3 F4 164.2m kN
24.4
B
A
-0.01 -0.61 1.62 0.09 -0.24 -14.1 37.8 2.06
0.374 -2.2 -3.3 0.187
OJO ***
m41
-164 0.46
1.029
75.532
0
1.0285
-7.06
-0.473
0
-7.062
0.044
3.2486
0
0.0442
-0.3
-0.02
0
-0.304
-9 .5 9
-9 2 .2
9.59kN m
m42 24.4kN m
B
m43
-328
92.2kN m
A
1.06 -2.82 0 0 24.5 -65.6 0 0.374 -285 285
0.187
285.3
0 0 12.27 0 0 0 0.528 0
-131.2 0 0 12.271 -5.645 0 0 0.5278
29 8
161
0.46
B
-484
A
0 1.56 -4.16 0 0 36.2 -96.8 0
0.374 -421 42 1 0.187
420.8 0.46
0
-193.6
0
0
18.1
0
0
18.099
0
-8.325
0
0
0.778
0
0
0.7784
440
238
Momentos de losa, debido a la carga muerta y a la carga viva: m51 m51 298kN m
m52
m53
328kN m
161kN m
Momentos de losa, debido a la carga muerta y a la carga viva, ponderadas 1.4D +1.7L: m61 m61 440kN m
m62 m62
m63
484kN m
238kN m
Paso 12: Cálculo de los momentos bajo b ajo cargas en servicio y bajo cargas mayoradas. Por la combinación de los resultados del análisis de pórtico resumidos en la fig 11-36 y 11-37, los momentos en las secciones críticas de la losa bajo cargas especificas y bajo cargas factoradas f actoradas o de diseño son obtenidas Superposición de momentos Dirección, E-W Superposición de momentos Dirección, N-S Momentos por pretensado + cargas, no Momentos por pretensado + cargas, no ponderadas y ponderadas (en ese orden) orden) ponderadas y ponderadas (en ese orden) orden) M31 m41 m51 2552.6 inkip M11 m11 m21 617.1 in kip M12 m12 m22 2345.4 in kip M13 m13 m23 2150.7inkip M14 m14 m24 1904.7 in kip
M32 m42 m52 2687.1 in kip M33 m43 m53 608.9 inkip
M21 M22 M23 M24
M41 M42 M43
m11 m12 m13 m14
m31 m32 m33 m34
1289.7
in kip
3735 inkip 3434.1 in kip 3055.3 inkip
m41 m42 m43
m61 m62 m63
3809.4 inkip
in kip 1290.4 inkip
4067.8
Para los momentos medios se utiliza la aiguiente ecuación, no es el valor real pero se aproximación es muy confiable al real 2
M1
( wu1 L2) L1 8
2
M2
( wu1 L2) L1 8
( M11 M12) 2
( M13 M14) 2
260.5kNm
198.8kNm
Momentos bajo cargas de servicio:
M12 265 m kN M11
M13
243 m kN
69.7 kN m
M14 215.2 kN m
M2 198.8 kN m M1 260.5 kN m
2
M3
( wu1 L2) L1
8
2 2
M4
( M32 M33)
( wu1 L2) L1
( M32 M31)
8
2
M32 303.6m kN
241.7kN m
131.9kN m
M31 288.4m kN
M33 68.8 m kN
M4 131.9 kN m
M3 241.7 kN m
Momentos bajo cargas ponderadas: 2
M5
( wu L2) L1
8
2 2
M6
( wu L2) L1 8
( M21 M22)
( M23 M24) 2
M22
347.3kNm
264.6kNm
422 m kN
M23 388 m kN M24 345.2m kN
M21
145.7m kN
M6 264.6 kN m M5 347.3 kN m
2
M7
( wu L2) L1
( M4 3 M4 2)
8
2 2
M8
( wu L2) L1
( M4 1 M4 1)
8
2
M42 459.6m kN
328.5kN m
200.8kN m
M41 430.4m kN
145.8m kN M43
M8 200.8m kN M7 328.5 kN m
Paso 13: Verificación del tensado bajo cargas de servicio. El cálculo de la tensión esta resumido a continuación. Cuando se calcula la tensión en la cara de una columna, la exentricidad del tendón en esta posición necesita ser determinada. Esta excentricidad es la excentricidad en el centro de la columna menos h2(0.5c/L)^2 Se puede notar que ninguna de las tensiones excede al límite esfuerzo tensor Código ACI de 6(500) ^ 0.5 = 424 psi (2.93 MPa). ybg ybg
Se
h
10 cm
2
Is
ybg ybg
46666.7 cm
3
eM 70.475 mm
2
1) Dirección E-O :
ee1
eEO
0. 5c1 h21 3.29 cm L1
eEO
0. 5c1 h22 3.35 cm L1
2
ee2
Pt1 2040 kN
Pt2 2632.3 kN
p1
p2
mm1 mm 1
Pt2 ee2 Se Pt1 ee1 Se
1890203.1Pa
p3
1. 4 MPa
p4
M12 0.78 Se
4.4 4. 4 MPa
Pt2 eM Se Pt1 eM Se
4 MPa
3.1 3. 1 MPa
mm2 mm2
mm3 mm 3
mm4 mm 4
M14 0.78 Se M1 Se M2
3.6 MPa
5.6 5. 6 MPa
4.3 4. 3 MPa
Se
ff1
PA2
p1
mm1 mm1
0.7 MPa
ff2
PA1
p2
mm2 mm2
0.7 MPa
ff3
PA2
p3
mm3
0.3 MPa
ff4
PA1
p4
mm4
0.3 MPa 2
2) Dirección N-S :
ee3
eNS
0. 5c1 h23 5.15 cm L1
e1 3.63 cm
Pt3 2353.5 kN
p5
p6
Pt3 ee3 Se Pt3 eM
2. 6 MPa
3. 6 MPa
Se
mm5 mm 5
mm6 mm6
M32 0.75
Se M3
p7
Pt3 e1 Se
1. 8 MPa
4.9 4. 9 MPa
5.2 MPa
2.8 2. 8 MPa
Se
mm7 mm 7
M4
Se
ff5
PA3
p5
mm5 mm5
ff6
ff7
0.6 MPa
PA3
p6
mm6
0.1
MPa
PA3
p7
mm7
0.7
MPa
f´c
psi
M/S
0.88MP
PA2 1.9 MPa MP a
p1 1.9 MPa
mm1 4.4 MPa
ff1 0.66 MPa
2*
Cara sup B3
PA1 1.5 MPa
p2 1.4 MPa
mm2 3.6 MPa
ff2
1*
Cara inf tramo1-2
PA2 1.9 MPa
p3 4 MPa
mm3 5.6 MPa
ff3
Cara inf tramo2-3
PA1 1.5 MPa MP a
p4 3.1 MPa
mm4 4.3 MPa
ff4
Cara sup B2
PA3 1.7 MPa MP a
p5 2.6 MPa
mm5 4.9 MPa
ff5
Cara inf tramoA-B
PA3 1.7 MPa MP a
p6 3.6 MPa
mm6 5.2 MPa
ff6
Cara inf tramoB-C
PA3 1.7 MPa MP a
p7 1.8 MPa
mm7 2.8 MPa
ff7
N - S
-Pe/S
Max 2 p si
Franja de Ubicación diseño Cara sup B2 E-O
-P/A
f < 2*(f`c)^0.5
f
0.7 MPa
0.27 MPa
2*
0.28 MPa
1*
0.6 MPa
3*
0.06 MPa
3*
0.69 MPa
3*
Paso 14: Provisión del refuerzo para control de fisura. Como ninguno de los esfuerzos tensores calculados sobre la cara inferior de la losa excede 2 ( 500) ^0.5 = 141 psi (0.98 MPa), el refuerzo de borde no es requerido requerido en las áreas de momento positivo. positivo. 2 psi 5000 1 MPa
En las áreas de momento negativo cerca a las columnas, el área de refuerzo limite requerido en cada dirección es: 2
Ass1 0.00075h L1 10.5cm
se asume
Ass
5 ( 16mm) 2
4
10.05 cm
2
ARMADURA SUPERIOR
<======
Por lo tanto se usará 6 barras #5 ( = 16 mm) localizadas localizadas sobre un ancho ancho de c1 + 3*h. 3*h. Se proveerá refuerzo inferior con barras perpendiculares a todos los borde libres como se muestra a continuación. En la dirección E - O la relación de armadura, s , requerida de la ecuación: ec uación: 2
Aps ( T 2 T 3) Ap 23.58 cm
ver paso 8
dp d b L1 p
Aps b dp
s1
condicionante:
s
0.002
0.001 0.0015 5 0.5 0.5 p 0.0006
s1 if s1 0.0005
pero no menor que 0.0005 0.00056
0.0005 otherwise
Por lo tanto el área mínima de refuerzo inferior, teniendo una altura efectiva d igual a 7 in (178 mm) es dn h r1 18 cm
altura útil del Aº no pretensado
dn1 dn 1.3 cm 2
Asinf s b dn 7.11 cm
Asi 7
( 12mm) 4
2
7.92cm
2
ARMADURA INFERIOR
<=====
Según Collins & Mitchell, se propone una disposición de barras inferiores de un mismo largo y en e n los paneles exteriores. Debido a que la Armadura en fomra de pez representa una mejor opción se tomará esta disposicón de armadura. (ver detalle de planos) Paso 15: Verificación de los requerimientos de resistencia a la flexión. En orden de satisfacer los requerimientos de resistencia a la flexión del código ACI el diseño de resistencia a la flexión Mn debe ser mayor o igual al momento momento ponderado (momento (momento de diseño) Mu, cuando se calcula Mn se tomará en cuenta la presencia de acero de refuerzo. Los cálculos de resistencia a la flexión están resumidos a continuación. Una ilustración detallada de los cálculos implicados estan dados en el paso 7 del anexo 6. De la tabla 11 - 9 se puede ver que la resistencia a la flexión de la losa es adecuada para todos los lugares. Dirección E - O: A1 ( T 2 T 3) Ap 23.6cm
2
2
A2 T 1 Ap Ap 18 cm
2
A3 T 4 Ap Ap 20.8cm dp1
dp2
eM 7 cm
dp3
e1 3.63 cm
ee1
ee2
3.3 cm
3.4 cm
ee3 5.154 cm
fps1
T2 T2
T3
ee1
ee2
eM
dp4
e1
dp5
fse1
h 2
h 2
h 2
h 2
ee3
2
T3 T2
T3
0.001 0.0015 5 0.5 0.5
s3
0.001 0.0015 5 0.5 0.5
s4
0.001 0.0015 5 0.5 0.5
b dp A2
b dp A3
b dp
0.0006
As1 As1 s2 b dn 7.1cm
0.0008
As2 As2 s3 b dn 9.9cm
0.0007
As3 As3 s4 b dn 8.5cm
13.3 cm 13.4 cm
17 cm
15.2 cm
fse2
10 ksi
f´c
300 300 A1
1222.2 MPa
1232.5 MPa
dp2 b
fps2
fse1
10 ksi
f´c
300 300 A2
1248.4 MPa
dp1 b
fps3
T2 T2
T3
fse1
T3 T2
T3
fse2
10 ksi
f´c
300 300 A1 dp3 b
fps4
fse1
10 ksi
f´c
300 300 A2 dp3 b
1262 MPa
2
13.6 cm
h
A1
s2
2
2
fps5
fse3
10 ksi
f´c
300 300 A3
1247.7 MPa
1253.6 MPa
1242.9 MPa
dp5 b
fps6
fse3
10 ksi
f´c
300 300 A3
dp3 b
fps7
fse3
10 ksi
f´c
300 300 A3
dp4 b
1
0.85 if f´c 4000 psi 0.85
A1 fps1 dp2 f´c b dp2
dn1 dn1
2
A2 fps2 dp1 f´c b dp1
dn1 dn1
3
A1 fps3 dp3 f´c b dp3
dn1 dn1
4
A2 fps4 dp3 f´c b dp3
5
A3 fps5 dp5 f´c b dp5
6
A3 fps6 dp3 f´c b dp3
7
A3 fps7 dp4 f´c b dp4
a2
a3
A1fps1 Ass fy 0.85 f´c b
A2 fps2
Ass fy
dp2 dp2
dp1 dp1
dp3 dp3
a4 a5
dn dp5 dp5 dn dp3 dp3
Asi fy
0.85 f´c b
Ass
Ass
Asi
dn1 b dn1
dn1 b dn1
0.85 f´c b
fy f´c fy f´c fy f´c
no mayor a
0.1263
0.36 1
0.3049
0.1026 0.0969
Ass fy b dn f´c
Asi fy 0.088 b dn f´c
0.1016
0.0968
dp2 dp2
a1
1.6 1. 6 cm
dp1 Mn2 0.9 0. 9 A2 fps2 dp1
a2
1.9 cm
dp3 Mn3 0. 9 A1 fps3 dp3
a3
1.4cm
A3fps5 Ass fy
dn1 b dn1
2 cm
0.85 f´c b
A2fps4
pero no menor a 0.65
0.0681
0.85 f´c b
A1fps3
0. 8
f´c 4000 0.00005 otherwise psi
1
a1
1.8cm
Mn1
0.9 0. 9 A1 fps1
2
2
dp3 dp 3
a4
dp5 dp5
a5
Mn4
0. 9 A2 fps4
Mn5
0. 9 A3 fps5
2
2
2
Ass fy dn1 dn1
a1
Ass fy dn1 dn1
a2
dn1 Asi fy dn1
a3
2
2
2
380.3m kN
313.5m kN
467.5m kN
335.2m kN
Ass fy dn
a5 2
397.8m kN
a6
a7
A3fps6 Asi fy
1.8cm
0.85 f´c b
A3fps7
0.85 f´c b
dp3 Mn6 0. 9 A3 fps6 dp3
a6
dp 4 Mn7 0. 9 A3 fps7 dp4
a7
1.6 1. 6 cm
2
2
Asi fy dn
a6 2
430.7m kN
299.2m kN
TABLA DE RESISTENCIA A LA FLEXIÓN Franja Ubicación de Diseño
E-O
Aps
M- cara col. B2
A1 23.6cm
M- cara col. B3
A2
Max M+ tramo1-2
A1 23.6 cm
Max M+ tramo2-3
A2
M- cara col. B3
A3 20.8cm
Max M+
2
18 cm
2
2
18 cm
2
Ass 10 cm
2
2
Ass
dp
As
10 c m
7.9 cm
0
2
2
N - S tramo1-2
A3 20.8cm
Max M+ tramo2-3
A3 20.8cm
2
2
Ass
10 c m
2
Asi Asi 7.9cm
dn1
fps1 1222.2 MPa
dp1 13.3 cm
dn1
fps2 1248.4 MPa
dp3 17 cm
dn1
fps3 1232.5 MPa
dp3 17 cm
0
1262 MPa fps4
0.0969 3
4 0.0681
0.1016
dp3
dn
fps6 1253.6 MPa
6
0.088
0
fps7 1242.9 MPa
7
0.0968
17 cm
Mn
Mu
380.3 kN m
0.8 M22
337.6 kN m
M- cara col. B3
Mn2 313.5 kN m
0.8 M24
276.2 kN m
Max M+ tramo1-2
Mn3 467.5 kN m
1.2M5 416.8 kN m
Max M+ tramo2-3
Mn4
1.2M6 317.5 kN m
M- cara col. B3
Mn5 397.8 kN m
Mn6
1.2M7 394.2 kN m
Max M+ tramo2-3
2 0.1026
Mn1
Max M+
0.1263 1
5
M- cara col. B2
N - S tramo1-2
d p
1247.7 MPa fps5
Mn mayor a >>> Mu
E-O
d
dn
Φ
Franja Ubicación de Diseño
dp5 15.2 cm
dp4 13.6 cm
0
dp2 13.4 cm
2
Asi
p
fps
d
335.2 kN m
430.7 kN m
Mn7 299.2 kN m
0.8 M42
367.7 kN m
1.2M8 241 kN m
Paso 16: Verificación del corte y los requerimientos de resistencia a la transferencia de momentos. a) Columna interior crítica . la columna B2 tiene la más grande corte directo, vu, y un momento importante a ser transferido. La área de aporte para corte en esta columna puede ser estimada desde el punto del máximo momento mostrados en la fig. Esta área de aporte es: L11 L12
L1 2
L1 2
L21
L22
L2 2
Aumiendo corte cero en lineas central de paneles
L2 2
Aco in ( L11 L12) ( L21 L22)
2
49m
Está área de aporte es 13% mayor que el área de aporte asumiendo corte cero a lo largo de las lineas centrales del panel. Se usará un altura efectiva, d 18 cm
para el cálculo de la resistencia resistencia a corte, por lo tanto la fuerza de corte de diseño diseño actuante sobre el corte crítico crítico periférico es: Vu1 [ 1.4 ( ol al ) 1.7( ll) ] [ Acoin ( c1 d) ( c2 d) ] 713.5 kN
El componente vertical de pretensado se puede hallar al asumir las contribucioines de los tendones que pasana a travez de la sección crítica crítica en las dos direcciones. Hay 5 tendones pasando a travez travez de 30.4 in (772 mm) sección ancha crítica en la dirección E - O y 10 tendones en la dirección N - S. Por lo tanto de la ecuación. h22 h22 1.042 cm
h23 1.223 cm
156.9 kN fs1
fs3 156.9 kN
Vp1
h22 2 ( 5fs1 ) h22 ( L1)
2
( c1 d)
h23 2 ( 10fs3 ) h23 ( c2 ( L1)
2
d)
299.8 kN
Los momentos no balanceados en cada lado de la columna, causan un pandeo biaxial en la columna y la transferencia de los momentos en 2 direcciones como son mostrados en la figura. Mm1 M22 M23 34 m kN
29.2 m kN Mm2 M42 M41
Los términos requeridos para calcular las tensiones de corte factorados, fac torados, son: Acol 2 d ( c1 c1 E1
( c1
d)
c2 2 d)
0.4 0. 4m
2
E2 E1
3
j1
( c1
d)
d
2
5256cm
3 d
( c1 d) d ( c 2 d)
6
6
1
v1 1 2 1
3
d) 2 2
j1
4
j2
0m
j1
v2 v1
0.4
c1 d
( c1
c2 d
De la ecuación la tensión máxima de corte debido a Vu, Mu1, y Mu2 es: vu
Vu1 Acol
v1 Mm1 E1
j1
v2 Mm2 E2
j2
1. 6 MPa 1.6
La tensión permisible de corte puede ser hallada de la ecuación 11-13 y 11-17. De la Tabla 11-6, el fpc promedio en dos direcciones es: fpcp
( PA2 PA2
PA3 PA3)
1.8 1. 8 MPa
2
por lo tanto la tensión permisible permisible de corte es: f´c
fpc
28 MPa
si
1.7 MPa
d
1. 5 4
bo
1 0.85
p2 min 3. 5 si
vc 1 p2 psi
d bo
1. 5 1.5
f´c psi
para psi
3. 5
0.3fpc
Vp1 bod
2.2MP
Se tiene que el esfuerzo de corte permitido vc es mayor que el esfuerzo de corte factorado, entonces los requerimientos para la resistencia al corte están cumplidos. La porción del momento no balanceado transferido por flexión es 0.60 veces los momentos no balanceados. De aqui que en la dirección dirección E - O el momento resistente resistente factorado requerido es 0.60 x 418 418 = 251 in-kips (28 kN-m). Este momento debe ser resistido en una losa de ancho 24 + 3 x 8 = 48 in (1219 mm). En este ancho hay 5 tendones pasando a través de la columna más un tendón en cada lado de la columna. en adición hay 10 barras #4 ( =13 mm) en este ancho. Como se determinó previamente el esfuerzo en el pretensado, fps, último último es 184.7 ksi (1274 MPa). La altura del bloque bloque tensor rectangular equivalente equivalente es: bAs bAs c2 3 h 115 cm
a11
7 Ap A p fps1 ( Ass ) fy
bAs 0.85 f´c bAs
5.9cm
El diseño de resistencia a la flexión de esta parte de la losa es:
fps1 dp2 dp2 Mn 0 .9 .9 7 Ap
a11 2
dn1 ( Ass ) fy dn1
a11 2
163.5 kN m
Por lo tanto no hay dificultad en transferir el momento no balanceado por la flexión b) Columnas críticas exteriores. exteriores. La columna B1 tiene un área de aporte de cerca de: de: Acoex ( 27ft
2
L11) L1 33.1m
Por lo tanto la fuerza de corte factorada actuante sobre el corte periférico crítico es. Vu2
[ 1.4 1. 4 ( ol al ) 1.7 1. 7( ll) ] Acoex c1
d
2
( c2
d)
480.5 kN
No se tomará en cuenta la componente componente vertical del pretensado. pretensado. El momento a ser transferido en la dirección E - W es M21 145.7m kN
Los términos requeridos para calcular la tensión de corte c orte factorado, son: A4 d( 2c1
E3
c2 2 d)
c1 d 2
E4
c2
d
c2 2 d
2
2
3618cm
2
2 c1
20.4 cm
36.5 cm
3 2 d 3 d d c1 c1 d c1 d 2 2 2 d 2 4 j3 ( c2 d) d ( E3) 2 c1 d E3 0.01705 m 6 2 2
v3
1
1
1
v4
2
3
1
1 1
2 3
c1
c2
d
2
c2 d
c1
0.384
d
0.416
d 2
El valor del momento, Mu en el centroide de la sección crítica puede ser hallado desde Mu en la linea central de la columna menos el numero de veces de corte la distancia desde la linea central de la columna a el centroide de la sección crítica = 6.48 in (165 mm). De aqui que: dd
c1 2
E3
d
2
16.12 cm
Mu M21 Vu2 dd 68.3 kN m
De la ecuación 11-16 la tensión máxima de corte debido a Vu y Mu es:
vu1 vu1
Vu2 A4
v3 Mu E3 j3
1.6 1. 6 MPa
El pequeñó momento adicional actuante en la dirección N - S no ha sido considerado en los cálculos anteriores. Para este lado de la columna el código ACI requiere que los efectos benéficos de pretensado sean omitidos y por lo tanto, de las ecuaciones ecuaciones 11-14 y 11-17, la tensión tensión de corte permisible, vc, es: 1
c
0.85
c1
relación de lados de columna, larga entre corta
c2
vc 1 2
psi c
f´c
4
psi
2.6MP
201 cm
vc1 2.2 MPa 1 vc1
bo1 bo1
c1 d 2 c2
d
2
vc1 debe ser menor o igual a : vcc vc c 1
sb d
bo1
vc b 1 4psi
Por lo tanto:
2 psi
f´c psi
f´c psi
1.8MP
1.5MP
min( vc1 vc1 vcc vcc vcb vcb ) 1.5 MPa
y la resistencia al corte es satisfactoria.
La porción del momento no balanceado o no equilibrado transferido por el momento en la losa es (1 - 0.387) x 1157 in-kips = 709 in - kips (80 kN-m). Como se calculó previamente, el diseño de resistencia a flexión de las losa sobre un ancho de 24 + 3 x 8 )= 48 in /(1219 mm) es 1875 in-kips (212 kN-m). Por lo tanto, los requerimientos del momento transferido son cumplidos. c) Columnas en esquinas. esquinas. Como se ve ve en la figura, las provisiones de corte corte en una viga viga en una dirección pueden ser utilizadas para para determinar la resistencia al corte en la esquina de la losa. La geometría geometría de la sección crítica es mostrada a continuación:
La fuerza de corte factorada actuante en la sección crítica es: Solo para columnas cuadradas c1 = c2: c1
aa
2
c2 2
c1
2
h 2
87.8 cm
c2
2
bb
2
2 h
c1
2
c2
2
c1
2
2
c2
77.8 cm
2
124.1 cm 2
h
Vu3 [ 1. 4 ( ol al ) 1. 7( ll) ] [ ( L1 25cm ) L11] [ ( L2 25cm ) L21]
El diseño de resistencia al corte es: e s: c1
c2
d
bw
aa
aa
248.3 cm
aa aa 2
195.7 kN
Longitud de la sección crítica
128 cm
Vc11 1 2psi
f´c psi
bw d 333.8k
por lo tanto, se provee una una resistencia adecuada al corte Paso 17: Análisis de requerimientos integrales estructurales. El código ACI, requiere que una losa en dos direcciones sin vigas contenga por lo menos dos barras inferiores en cada dirección las cuales pueden ser continuas, empalmadas (longitud de empalme igual a 1.3 Ld) o ancladas en los soportes. Estas barras deben pasar a través de la columna y deberian ser colocadas dentro del núcleo de la columna. Estas barras inferiores tratan de proveer un nivel mínimo de "integridad estructural" permitiendo que la losa se cuelgue de los soportes después de que una falla incial ocurra. debido a la falla tensional de punzonamiento, la barras superiores superiores tienden a desprenderse desprenderse de la superficie superior superior de la losa y por lo tanto son consideradas inefectivas. Mitchell y Cook recomiendan que el acero pretensado deformado, pasando a través de las columnas o soportes, sean considerados como efectivos evaluando los requerimientos para una estructura integra. Debido a que por lo menos 2 tendones deformados pasen a través de las columnas en cada dirección, los requerimientos para una estrucutra integral puede considerarse cumplida. Paso 18: Cálculo de deflexiones. En el cálculo de las deflexiones a largo plazo solo se necesita considerar aquella carga sostenida (30% sobrecarga) en exceso de aquella balanceada por el postesado. La máxima deflexión de la losa de piso ocurrirá en una de las esquinas de los paneles. Las deflexiones instantáneas de carga viva para un panel de esquina debido a un patrón de cargas vivas puede ser aproximado por: Resistencia característica de la columna Hº f´c 28 MPa Fórmula para concreto de peso normal según el ACI, Ec = tangente de rigidez cuando la deformación ε cf es cero, fc/ε c. Sobrecarga sin ponderación
Ecs Ecs 25044.6 MPa
ll
kN
2. 5
2
m
W1 W2
llL2 llL1
17.5 17.5
kN m kN m
Cargas totales por metro lineal, debidas a la sobrecarga, para deflexión instantánea.
4
4
3.80 W1 L1
d1
3.80 W2 L2
384 Ecs Ecs Is
defMin
L1
360
Verif
DEF. por sobrecarga.
7. 1 mm
384 Ecs Ecs Is
Deformación admisible
19 mm
fMin) "VERIFICA" if ( d1 defMi
"VERIFICA"
"NO VERIFICA" otherwise
El total de la carga muerta es ol y y el pretensado ha sido elegido para balancear 90% ol = 0.9*ol . Asumiremos que el 30% de la carga viva es sostenida (0.3 x ll). Por lo tanto una carga uniforme W3 causará causará una deflexión en la esquina del panel igual a: kN
ol
90% ol
4. 8
4. 3
2
m
m
kN
ll
30% ll
2. 5
0. 8
2
al
90% del peso propio de la losa, balanceado por el postesado.
2
kN m
m dl
kN
40% del peso total de la sobrecarga (sostenida)
2
kN
ol
suma carga adicional y peso propio
7. 5 2
m
3. 9 W3 dl 90% ol ol 30% ll 3.9
kN m
4
d2
2.60 ( W3 L2 ) L1
Carga total para la deflexión a largo plazo.
2
4
384 Ecs Ecs Is
2.60 ( W3 L1 ) L2
384 Ecs Ecs Is
DEF. a largo plazo.
7. 6 mm
La deflexión de fluencia lenta debido a la carga sostenida puede ser aproximada asumiendo un factor de fluencia lenta igual a λ =2. =2. Asi tenemos que, la deflexión por fluencia lenta se espera que sea igual a: Deflexión a largo plazo. 2 d2 15.2 mm La suma de deflexión por fluencia lenta y la deflexión debida a la carga viva no sostenida (con un factor de 70% de la sobrecarga es: d3
defMi
varDe
d3
cm 2.02 cm 2 d2 0.7 d1
L1
480
1.46 cm
if d3 def Mi Mi
d3
"No verifica" cm
defMi
5.6 mm m m
"No verifica" otherwise
8. Analisis de las flechas instantáneas y a largo plazo de un panel de esquina Losa diseñada con el Método de Diseño Directo. 10. M omentos omentos bajo cargas de ser vici o y momento de fi sur ación: wd
( ol
al al )
7.5 7. 5
kN
CARG CARGAS AS SIN POND PONDER ERACI ACI N
2
m
cargas sin ponderación 2
Mod
( 0 .1 .1o l a l) L2L1n 8
k N m 115 kN
ol
m
Modl
( 0 .1 .1o l a l ll) L2L1n 8
k Nm 206 kN
Mosos
8
al
2
7. 5
al
kN m
2
( a l 0 .1 .1o l 0.4ll) L2L1n
ol
151.4kNm
2. 5
2
peso propio
4. 8
2
kN
m
kN
ll
2
kN
2. 7
2
peso propio + carga adicional adicional muerta
m
wd
ll
10
kN m
2
peso propio + carga adicional adicional + sobre
Los momentos se distribuyen a los extremos y a los centros de la columna y a las franjas de columna e intermedia de acuerdo con los coeficientes dados en las tablas de las Secciones 13.6.3.3, 13.6.4.1, 13.6.4.2 y 13.6.4.4. En este caso, la relación de luces, ℓ 2 /ℓ 1, es igual a 1,0. En la siguiente tabla se indican los multiplicadores del momento del panel, Mo, que se utilizan para hacer la distribución en un tramo extremo o final: Para momentos debidos al peso propio Mod =
116.8 kN-m Ext. xt. Nega Negativo ivo Posi Positi tivo vo
Int. Int. Neg Negativo ivo
Total del panel
30.37
60.74
81.76
Franja de col umna
30.37
36.44
61.32
Franja i ntermedi a
0.00
24.29
19.86
<===
Para mom debidos al peso propio y carga carga adicional muerta Modl =
207.8 kN-m Ext. xt. Nega Negativo ivo Posi Positi tivo vo
Int. Int. Neg Negativo ivo
Total del panel
54.03
108.06
145.46
Franja de col umna
54.03
64.83
109.10
Franja i ntermedi a
0.00
43.22
35.33
<===
Ma2 Ma2
1.1 1.1 109.1 kN m
<===
Ma3 Ma3
1.1 80.4 kN m 88.4
120
Para mom debidos a peso pe so propio, carga ad ad y 40% 40% sobrecarga Mosos =
153.2 kN-m Ext. xt. Nega Negativo ivo Posi Positi tivo vo
Int. Int. Neg Negativo ivo
Total del panel
39.83
79.66
107.24
Franja de col umna
39.83
47.80
80.43
Franja i ntermedi a
0.00
31.87
26.04
El momento de inercia de la sección bruta de un panel, denominado momento de inercia del pórtico equivalente, es: I = (L1*h^3) / 12 Pero se trabaja con paneles de losa alivianada, lo que indica que no se puede trabajar como si la losa sea una viga ancha; en todo caso y la forma más adecuada de tratar la losa alivianada será una gran viga T (o viga con alas), la inércia de la ancha viga T con respecto al centro de gravedad, se la obtiene con la fórmula dada en las Tablas del ACI, y comprobándolas co mprobándolas con los cálculos realizados mediante el Autocad. Notesé que se estará sub-estimando sub-estimando dicha losa, debido a que se la asume como si la figura geométrica geométrica de un solo lado se repitiera en toda toda la longitud del panel (valga decir como como una losa armada armada en una dirección). Esto es cierto, pero además de repetirse hay intervalos de sección llena, o sea una viga ancha de 30 cm de altura cada 40 cm, y de un ancho de 10 cm, que representa los nervios de la losa en la dirección perpendicular a la estudiada. Lo que influirá en cierto modo a aumentar la resistencia contra la deformación. Esto también se repite en la otra dirección prependicular. También es muy importante señalar que, en la zona de los momentos negativos, la losa estudiada no se comportará como una gran viga con alas, sino como una simple viga llena pero restando el ancho de los alivianados (plastoform), las alas de las vigas T. 11. M ódul o de r otur a, módul módul o de elasti elasti cidad, re r el ación ación de módul módul os: os:
fr 7.5 psi
f´c
psi
Ec 9-10
3.3MP
1.5
c 33psi Ecs0 lbf
f´c
psi
27381 MPa
Elast. para la losa
27381 MPa
Elast. para las columnas
ft 3 Ecs Ecs
25044.6 MPa
1.5
c 33psi
Ecc0
lbf
f´c
psi
ft 3 Ecc Ecc
n
25044.6 MPa
Ecs
relación módulo de elasticidad del Aº sobre la el módulo de elasticidad de la losa
1
Ecs
12. Inercia alrededor del eje x, Ix para momentos negativos y positivos: h yt = distancia desde el eje centroidal de la sección bruta a la fibra extrema en 10 cm yt tracción, sin tomar en consideración el refuerzo. 2 4
Ipor Is 466666.7cm
Inercia del pórtico en estudio.
Ipor = Momento de inercía Ix, de todo la franja de diseño (viga T),
L1
7m
Para momentos positivos: Análisis de vigas para los momentos positivos
Para momentos negativos:
Para este caso, el momento de inercia de una franja de columna o de una franja intermedia es igual a la mitad del momento de inercia de la totalidad del pórtico equivalente: Ipor
Ig
233333.3 cm
2
4
El momento de fisuración ya sea de una franja de columna o de una franja intermedia se obtiene a partir de las fórmulas habituales usadas para flexión, en base a la sección no fisurada, de la siguiente manera: fr Ig
Mcr Mc r
76.9 kN m
yt
13. M omentos omentos ef ef ectivos de i nerci a:
Comparando los momentos aplicados de las tablas con el momento de fisuración se puede ver que el momento asignado en todas las ubicaciones, excepto en el apoyo interior de las franjas de columna para los casos de carga permanente y carga sostenida, es menor que el momento de fisuración bajo las cargas impuestas. Por lo tanto, el momento de inercia de la sección fisurada sólo se requiere para las franjas de columna en las zonas de momento negativo. Las fórmulas para calcular el momento de inercia de la sección fisurada se obtienen de la Tabla 10-2: AS1
8 ( 10mm)
2
6.3 6. 3 cm
4
2
En caso de tratarse como una viga T, tenemos las siguientes fórmulas: L1
L1
B
2
5570.4
n AS1
1
Ig1
m
2
h
3
12
233333.3 cm
4
4
Ig 233333.3cm
Sin Aº de compresión: kd1
( 2 d B)
B
1
1
0.8cm
3
Icr
b kd1
3
2
1.2m
n AS1 ( d kd k d1)
2
1975.2cm
2
12.9 ft
4
4
Ig 233333.3cm
Para obtener un momento de inercia i nercia equivalente para la ubicación fisurada, se debe aplicar la modificación de Branson a los momentos de inercia para secciones fisuradas y no fisuradas. El momento de inercia aproximado en las secciones fisuradas está dado por la fórmula general de la Ecuación (9-8) de ACI 318. A partir de las tablas desarrolladas en la Sección 4 anterior, las relaciones entre el momento debido a la carga permanente más la sobrecarga, y el momento debido a la carga sostenida, y el momento de fisuración se determinan de la siguiente manera:
76.9 m kN Mcr Mcr
a) Para peso propio + carga adicional: 3
Mcr Mcr Ma2 Ma2
Mcr
0.641
Ma2
0.263
<1
0.657
<1
b) Para peso propio + adicional adicional + sobrecarga: 3
Mcr Mcr Ma3 Ma3
Mcr
0.869
Ma3
Ahora el momento de inercia equivalente e quivalente para los tres casos se calcula ahora usando la Ecuación (9-8) de ACI 318): Para la carga por peso propio + carga adicional: Ie1 Ie1
3 3 Mcr Mcr Mcr Mcr Ig 1 Icr Icr Ma2 Ma2 Ma2 Ma2
62825.4 cm
4
Para peso propio + carga adicional + sobrecarga: Ie2 Ie2
3 3 Mcr Mcr Mcr Mcr 4 Icr 154018.8 cm Ig 1 Icr Ma3 Ma3 Ma3 Ma3
Finalmente, el momento de inercia equivalente para las secciones no fisuradas es simplemente el momento de inercia de la sección bruta, Ig. Luego, para obtener un momento de inercia promedio para calcular las flechas, los valores correspondientes a los "extremos" y al "centro de la luz" se combinan de acuerdo con la Ecuación (1). Para peso propio + carga adicional: Iepr1 0.85Ig 0.15Ie1
207757.1cm
Para peso propio + carga adicional + sobrecarga: Iepr2 0.85Ig 0.15Ie2
221436.2cm
Para obtener el momento de inercia equivalente para el "pórtico equivalente," el cual está formado por una franja de columna y una franja intermedia, se deben sumar los momentos de inercia promedio de las respectivas franjas. Para las franjas intermedias, el momento de inercia es el correspondiente a la sección bruta, Ig, y para las franjas de columna se utilizan los valores promedio calculados: Para carga permanente solamente: Iepo1 Ig
4
Ig 466666.7cm
Para carga permanente adicional: Iepo 2 Ig
Iepr 1
441090cm
Para carga permanente más sobrecarga: Iepo 3 Ig
Iepr 2 454769cm
Nota: En este caso, en el cual estamos estamos considerando un panel de esquina, esquina, sólo hay la mitad de una franja franja de columna a lo largo de los dos bordes exteriores. Sin embargo, las propiedades de la sección para la mitad de una franja son iguales a la mitad de aquellas para una franja entera; además, los momentos aplicados a una franja de borde son la mitad de los aplicados a una franja interior. En consecuencia, las flechas calculadas para la mitad de una franja son iguales iguales a las calculadas para una franja franja entera. Estrictamente, estas relaciones relaciones sólo son aplicables porque todos los paneles tiene las mismas dimensiones en ambas direcciones. Si los paneles no fueran cuadrados, cuadrados, o si algunos paneles adyacentes adyacentes tuvieran diferentes diferentes dimensiones, sería necesario efectuar cálculos adicionales. 14. Ri Ri gidez f lexi onal (Kec) ( Kec) de un a colu colu mna exter exter i or equivale equival ente.
(no hay vigas)
Kb 0
La rigidez de la columna exterior equivalente se determina combinando la rigidez de las columnas superior e inferior en el borde exterior del entrepiso con la rigidez torsional de una franja de la losa de entrepiso, e ntrepiso, paralela al borde normal a la dirección dirección del pórtico equivalente equivalente y que se extiende en toda toda la longitud del panel entre las columnas. En el caso de una columna de esquina, obviamente la longitud es solamente la mitad de la longitud del panel. El ancho de la franja es igual a la dimensión de la columna normal a la dirección del pórtico equivalente equivalente (ACI 318, R13.7.5). La rigidez de la columna se calcula en base a la rotación resultante de la aplicación de un momento al extremo 4 un voladizo apuntalado, M = 4EI/L. En este caso el resultado simplemente apoyado de re sultado es: I 762552.1 cm
Kc = 4*Ic*Ecc/hpiso
Kc 4
I h1
11297.1 cm
3
*Ecc
Debido a que las columnas por encima y por debajo de la losa tienen las mismas dimensiones, la rigidez r igidez total de las columnas es el doble de la rigidez de una sola columna: 2
Kc
3
*Ecc 22594.1cm
La rigidez torsional de la franja de losa se calcula de acuerdo con la metodología indicada en R13.7.5 de ACI 318, Kt =Σ 9Ecs / L2 (1 − c2/L2)^3 . La constante torsional de la sección transversal, C, se define en la Sección 13.0 de ACI 318. Collins-Mitchell Pg. 538 x h y c1 3 x x y C 1 0 . 63 y 3
9 C Ecc Kt=
L1 1
3
113066.7 cm
Kt
4
L2 c2
Para un Pórtico Exterior,
9 C
L2 1
Kt1
Kt
L2 c2
3716.4 cm
3
3 *Ecc
1858.2 cm
2
3
*Ecc
Ecc
Ecc1
Ecs
1
*Ecs
La rigidez de la columna equivalente e quivalente se obtiene tratando la rigidez de la columna y la rigidez de los elementos torsionales como si fueran resortes en serie: Kec =
1 1 Kc
Ecs Ecs
Kec 1
1
1
Kc Ecc1
Kt
Ecs Ecs
Kec1
m rad rad
Kt
Para un Pórtico Exterior,
79929 kN
43001 kN
1
1
rad rad
Kc Ecc1
m
Kt1
15. Fl F l echas echas usando las ecuaci ecuaci ones (7) a (14). (14) . 4
Δ pórtico, extremos fijos, d
pEd
( 0.1o .1ol al ) L2 L1 Ec s Ipor 384 Ecs
0.12 cm
Δ pórtico, extremos fijos, d + l
pEdl pEdl
Δ pórtico, extremos fijos, d +0.4l
Δ
( 0.1o .1ol
al
4
ll) L2 L1
0.21 cm
Ec s Ipor 384 Ecs
( 0.1o .1ol
pEsos
4
al 0.4ll) L2 L1
Ec s Ipor 384 Ecs
0.16 cm
c,m (extremos fijos) = (LDF)c,m (Δ pórtico extremos fijos) (I pórtico/Ic,m) 4
ol L2 L1
pEd0 pEd0
0.18 cm
Ec s Ipor 384 Ecs 4
pEdl0 pEdl0
( al ) L2 L1
0.1 0. 1 cm
Ec s Ipor 384 Ecs 4
L1 480
1. 5 cm
( ll) L 2 L1
pEsos0 pEsos0
( LT
3 pEd0 pEd0 3 pEdl0 pEdl0 pEsos0 pEsos0
0.09 cm
384 Ecs Ec s Ipor
0.9 cm )
Estas flechas se distribuyen a las franjas de columna e intermedias en función a la relación entre el momento total aplicado y la rigidez (M/EI) de las respectivas franjas y la del pórtico completo. Como se puede ver en el Paso 4 anterior, la fracción de momento flector asignada a las franjas de columna o intermedias varía entre los extremos y el centro del tramo. Por lo tanto, al aproximar las flechas mediante este método, se utiliza la fracción de distribución de momentos promedio (Factor de Distribución Lateral - LDF). Además, debido a que el momento de inercia equivalente varía cada c ada vez que se supera el momento de fisuración, se utiliza un momento de inercia promedio. Este momento de inercia promedio se calcula en base a la Ecuación (9-8) de ACI 318 y la Ecuación (1) de este capítulo. Finalmente, como el módulo de elasticidad es constante en toda la losa, el término E aparece tanto en el numerador como en el denominador y por lo tanto se cancela. Los factores de distribución lateral se calculan de la siguiente manera: Para la franja de columna: Mint 0.7 Mext LDFc
1
M
0.6
( Mint Mext ext) M 0.7 2 2 1 1
Para la franja intermedia: LDFm
1 LDFc
0.3
Flecha en en la franja de columna: columna:
Iepo1
Δ c, extremos fijos, d
ced LDFc pEd
Δ c, extremos fijos, d + l
cedl
Δ c, extremos fijos, l
cel cedl
Δ c, extremos fijos, sos d +0.4l
pEsos ces LDFc pEsos
LDFc pEdl pEdl
Ig
Iepo2
0.17 cm
Iepr1
0.33 cm
ced 0.16 cm
Iepo3
Iepr2
0.24 cm
Flecha en en la franja intermedia: intermedia:
Iepo1
med LDFm pEd
Ig
pEdl medl LDFm pEdl mel mel
medl
Iepo2
Iepr1
med med
0.06 cm
0.12 cm
0.06 cm
pEsos mes LDFm pEsos
Iepo3
Iepr2
0.08 cm
Además de los desplazamientos de los extremos fijos hallados, es necesario sumar un incremento o flecha adicional a cada uno debido a la rotación real que ocurre en los apoyos. La magnitud del incremento es igual a qL/8. Las rotaciones, q, se determinan como los momentos netos en las ubicaciones de las columnas divididos por las rigideces efectivas de las columnas. En este caso, el momento de la franja de columna en la columna de la esquina del entrepiso es igual a la mitad del 100% de 0,26 × Mo (ACI 318, Secciones13.6.3.3 y 13.6.4.2). Debido a que la franja de columna en el borde del entrepiso tiene sólo la mitad del ancho de las franjas de columna interiores, sólo actúa la mitad del momento asignado. Los momentos netos en las otras columnas son muy pequeños o nulos, y por lo tanto se desprecian. Los momentos netos en una columna de esquina para los tres casos de carga son: 1
Mnd
0.26 1 Mod
15 k Nm
2
M neto
1
Mndl
2
Mnsos
0.261 Modl 1 2
26.8 kN m
0.261 Mosos
19.7 kNm
Tanto para la franja de columna como para la franja intermedia de
θ
extremo =
dle
Mnd Mndl
= θ extremo (L/8)(Ig/Ie)pórtico
rad 0.000623 rad
Kec1
sose Δθ
rad d 0.000348 ra
Kec1
Mnsos Kec1
d de
rad 0.000458 rad
L1 Ig
0.03 cm
8 Ig
dl dle l dl
L1
Ig
0.06 cm
8 Iepr1 d
sos sose
L1
0.03 cm
Ig
8 Iepr2
0.04 cm
Estas flechas debidas a las rotaciones que hemos calculado c alculado corresponden a las franjas de columna. Las flechas debidas a las rotaciones de los extremos para las franjas intermedias se supondrán iguales a las de las franjas de columna. Por lo tanto, las flechas de las franjas se calculan mediante la relación general: Δ c,m = Δ c,m (extremos fijos) + ( Δ θ ) cd ced d 0.2 cm md med d 0.09 cm cl cel l 0.19 cm
ml mel mel cs
l
ces
sos
mes ms mes
Δ c,m = Δ cx + Δ my = flecha en el centro de un
0.09 cm 0.28 cm
sos
0.13 cm
panel de esquina
id cd md 0.3 cm il cl
ml
is cs
ms
0.27 cm
0.4 cm
La flecha a largo plazo se puede calcular usando la Ecuación (9-11) de ACI 318 (Nota: ρ ' = 0): Sólo para carga permanente:
para 5 años:
2
´
Δ (cp+sh) d = 2* Δ id
AS1 L1 d
0.0005
1
50 ´
2
d 2 id 0.6 cm
Para carga sostenida (carga permanente + 40% de la sobrecarga): Δ (cp+sh) sos = 2* Δ isos
s 2 is 0.81 cm
La flecha a largo plazo debida a la carga sostenida más la sobrecarga se calcula como: Δ (cp+sh) sos + Δ il
sos s il 1.08 cm
Estas flechas calculadas se comparan con las flechas admisibles de la Tabla 9.5(b) del código de la siguiente manera: Cubiertas planas que no soportan, ni están unidas a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas: L1n 180
3. 6 cm
Δ il < Ln o L/180 ( L1n)
il 0.3 cm V1
"Verifica"
if
L1n
il
"Verifica"
180
6.5 m
"No verifica" otherwise
Entrepisos que no soportan, ni están unidos a, elementos no estructurales e structurales susceptibles susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas: L1n 360
1. 8 cm
Δ il < Ln o L/360
il
V2
0.3 cm
"Verifica"
if
L1n
il
"Verifica"
360 "No verifica" otherwise
Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas: L1n
480
1.34 cm
Δ cp+sh + Δ il < Ln/480
sos
sos 1.08 cm V3
"Verifica"
if
L1n
sos
L1n 480
2. 6 mm
"Verifica"
480 "No verifica" otherwise
Cubiertas o entrepisos que soportan, o están unidos a, elementos no estructurales que no son susceptibles de sufrir daños por efecto de las flechas: f lechas: L1n 240
2. 7 cm
Δ cp+sh + Δ il < Ln/240
sos
V4
1.08 cm
"Verifica"
if
L1n
sos
"Verifica"
240 "No verifica" otherwise
La flecha para losas que soportan o están sujetas a elementos no estructurales susceptibles de sufir daños. No verifica, pero la losa en estudio es una losa destinada para oficinas, donde no habra tales elementos. Por lo tanto la losa cumple la condición de deflexión
