UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO ´ FACULT ACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEM MATEMATICAS ´ ESCUELA ESCUELA PROFESION PROFESIONAL AL DE MATEM MATEMATICAS
MATEMATICA IV
presentad presentadoo por:
Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado
LAMBAYEQUE – PERU 2015
Dedicatoria Para mis padres, p adres, Martha y El´ıas; ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´as as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.
Prefacio Visi´ on on general Una de las situaciones m´as as dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en matem´ atica es la de tratar de explicar su labor profesional. atica La respuesta a ´esta esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han h an sido de la m´ as as variable ´ındole: hay quienes plantean que cultivan cultivan esta ciencia por satisfacci´on on personal, sin buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matem´atica atica lenguaje universal, ´esta esta debe cultivarse como contribuci´on on al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos pueblos comprender comprender su propia y particular particular realidad. realidad. Tambi´ ambi´en en se estima estima necesario necesario que todos los pa´ pa´ıses, especialmente esp ecialmente aquellos en desarrollo, desarr ollo, cultiven las disciplinas b´asicas asicas para as´ as´ı poder po der lograr independizar indep endizarse se cient´ cient´ıfica, tecnol´ogica ogica y econ´omicamente. omicamente. Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matem´atica a tica la m´as as com´ un de las ciencias, en el sentido de que est´a presente un y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensi´on, on, disgusto e incluso miedo a la matem´ atica. atica. A´ un considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el un muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formaci´on on integral de cada ciudadano; de manera privilegiada, la matem´atica atica aporta a esta formaci´ formacion o´n capacitando a las personas para tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por p or ejemplo a trav´es es de desarrollar la capacidad de abstracci´ on, on, de ense˜ nar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuici´on; nar o n; en fin, la matem´ atica atica ayuda a desarrollar una mentalidad cr´ıtica ıtica y creativa. creativa. Es entonces muy preocupante que sea la m´as as desconocida de las ciencias ciencias para el ciudadano medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matem´atico, atico, o, m´as as generalmente, el analfabet analf abetismo ismo cient´ cient´ıfico. El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introducci´on, on, a nivel elemental y b´asico, asico, de una parte de las matem´aticas aticas sumamente util u ´ til y aplicable a casi todas las ramas del saber: Las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales constituyen la c´uspide uspide de las matem´aticas aticas elementales y el i
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inicio inicio de las matem´ matem´aticas aticas aplicadas, aplicadas, pues p ermite ermite el an´ alisis alisis objetivo objetivo de los problemas problemas en ciencias F´ısica, ısic a, Qu´ımica, ımic a, Biolog Biol og´´ıa, Econom´ Eco nom´ıa ıa e Ingen I ngenier´ ier´ıa. ıa. Numero Num erosos sos proble pro blemas mas que surgen sur gen en las Ciencias Experimentales pueden resolverse por medio de ecuaciones diferenciales: problemas relativos a la desintegraci´on on radioactiv radioactiva, a, al crecimiento crecimiento de poblaciones poblaciones animales o vegetale vegetales, s, a reacciones qu´ qu´ımicas, a la fuerza gravitatoria, a circuitos el´ ectricos, ectricos, etc. se pueden formular en t´ erminos erminos de ecuaciones diferenciales, de ´esta esta manera las ecuaciones diferenciales constituyen as´ as´ı una un a parte par te imp ortante de las matem´aticas, aticas, por consiguiente es una herramienta fundamental para la investigaci´on on cient cie nt´´ıfica ıfi ca.. De la experiencia de dictar cursos y ponencias sobre ecuaciones diferenciales es que surgieron apuntes apuntes de clase que, despu´ despu´es es de sucesiv sucesivas as revisiones revisiones y ampliacione ampliaciones, s, fueron transform´andose andose hasta optar la forma que ahora presentamos, con la intenci´on on de que sirva como texto gu´ gu´ıa que inicie al alumno en esta fascinante fascinante rama de las matem´ aticas, aticas, cuyo origen se remonta al siglo XVII con Newton y Leibniz.
Objetivo El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma f orma que los motive a preguntar porqu´e y transmitirles el entusiasmo y gusto por el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, dando la informaci´on o n b´ asica asica para la resoluci´on on de ´estas, estas, as´ as´ı como reforzar refor zar la comprensi´ compre nsi´on on de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes aplicaciones en el mundo real. El texto se ha dise˜nado para brindarle una comprensi´on on s´olida olida e intuitiva de los conceptos b´asicos, asicos, sin sacrificar sacrificar la precisi´ on on matem´ atica. atica.
Aplicaciones Una de mis metas fue conve convence ncerr a lo estudia estudiant ntes es de la importan importancia cia de las ecuacione ecuacioness diferencial diferenciales es en sus campos de estudio. estudio. As´ As´ı, este libro pretende pretende implement implementar ar el estudio estudio de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias a la Geometr´ Geometr´ıa, F´ısica, Qu´ Qu´ımica, Biolog´ Bio log´ıa, ıa , Econo Eco nom m´ıa, ıa , etc. et c.
Cara Ca ract cter´ er´ısti ıs tica cass Contenido El contenido del presente manuscrito se desarrolla de la siguiente manera: Cap´ıtulo I, se realiza un an´alisis alisis general de las Ecuaciones Diferenciales, su clasi En el Cap´ ficaci´ on, orden, grado, tipo, e interpretaci´on on, o n gr´ afica de las soluciones de las ecuaciones afica diferenciales. Cap´ıtulo I I, se estudian estudian las Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias Ordinarias de primer orden En el Cap´ y de d e primer grado y sus m´etodos etodos de soluci´on. on.
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ıtulo III, I II, se estudia las aplicaciones ap licaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Or dinarias En el Cap´ıtulo de primer orden y de primer grado a las distintas ´areas areas del saber.
Caracter´ Cara cter´ ısticas ısti cas pedag´ pe dag´ ogicas ogicas En base a nuestra nuestra experiencia experiencia docen do cente te y en consejos consejos de muchos muchos colegas, colegas, hemos inclu´ inclu´ıdo varios aspectos pedag´ogicos ogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca acerca de las Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales. Diferenciales.
Problemas resueltos y propuestos Un problema en matem´atica atica puede definirse como una situaci´on, on, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere soluci´on, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente aparente y obvio que conduzca a la misma. La resoluci´on on de problemas debe apreciarse como la raz´on on de ser del contenido matem´atiatico, un medio poderoso de desarrollar conocimiento matem´atico atico y un logro indispensable de una buena educaci´on on matem´ atica. El elemento crucial asociado con el desempe˜no atica. no eficaz en matem´ atica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver atica problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad. La elaboraci´ on de estrategias personales de resoluci´on on on de problemas crea en los alumnos confianza en sus posibilidades de hacer matem´atica, atica, estimula su autonom autono m´ıa, as´ as´ı como expresa el grado de comprensi´on on de los conocimientos conocimientos y le facilita mecanismos mecanismos de transferencia transferencia a otras situaciones. Concebimos entonces que la resoluci´on on de problemas es el proceso m´as as importante que posibilitar´a a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matem´atica. atica. Implicarlos en esa labor les permitir´a indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. apr endido. De ah´ ah´ı que una responsabilidad importante de los docentes del ´area area de matem´atica atica sea elaborar, seleccionar, proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes y con otros colegas. Aprender matem´atica atica significa entender y usar la matem´atica atica a trav´ es es de la resoluci´on on de problemas, problemas, aprender matem´atica a tica no s´olo olo es memorizar f´ormulas ormulas t´ecnicas ecnicas para resolver ejercicios propuestos. Hay que hacer que los alumnos trabajen din´amicamente amicamente en actividades que permitan la construcci´ on on del saber matem´atico atico por etapas, a partir de fen´omenos omenos y de situaciones cotidianas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente y de inmediato su uso. Todo usuario de la Matem´atica atica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construcci´on on del lenguaje matem´atico atico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicaci´on: alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con
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facilidad el lenguaje matem´ atico es muy importante para comprender la matem´ atica y por eso las formas de comunicaci´on matem´ atica deben ser cada vez m´as formales y simb´olicas. El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud. En los ejemplos resueltos ense˜namos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a resolverlos.
Res´ umenes Al final de cada cap´ıtulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del mismo, esto permitir´a una clara comprensi´on del texto.
Uso de Software La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un “facilitador del aprendizaje” m´ as que un “presentador de hechos” ha producido una expansi´ on en la esfera de los paquetes de inform´atica especializados como los software matem´aticos preparados para ayudar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo pr´actico, permitiendo as´ı ampliar la presentaci´ on de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal grado de complejidad en la ense˜ nanza de la Ciencia que han recibido el nombre de “Tecnolog´ıa Educativa”. Entre los software matem´aticos m´as importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive, Mathematica, Cabri Geometry, etc. El software matem´ atico Maple que se ha utilizado para la preparaci´on de este libro, se caracteriza por realizar c´alculos con s´ımbolos que representan ob jetos matem´ aticos. Se trata de un sistema de c´alculo cient´ıfico (simb´olico, num´erico y gr´afico) interactivo, con una sintaxis pr´ oxima a la notaci´on matem´ atica, disponible para una amplia gama de sistemas operativos. Algunas de sus capacidades son: Operaciones
num´ericas en aritm´etica racional exacta o decimal de precisi´on arbitraria.
Manipulaci´ on Operaciones
algebraica de variables y s´ımbolos.
con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matem´aticas elementales.
C´alculo de l´ımites, derivadas y primitivas.
on Resoluci´
de ecuaciones y sistemas.
Operaciones
con vectores y matrices.
Capacidades
gr´aficas en 2 y 3 dimensiones.
Lenguaje
de programaci´on de alto nivel.
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La historia de la matem´ atica La historia de la matem´atica est´a llena de an´ecdotas, de problemas interesantes que pueden motivar a los j´ovenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de t´ opicos de historia de la matem´atica, de biograf´ıas de matem´aticos, de acertijos y problemas cl´ asicos permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes comprenden que la matem´atica es simplemente una actividad creada p or seres humanos iguales a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustraci´ on y desenga˜ no, ya sea al no poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginaci´on de las comunidades cient´ıficas de la ´epoca, como ocurri´o en el caso de las mujeres matem´aticas. Es sumamente u ´ til explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar una situaci´on nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni cr´ıtica.
Requisitos El requisito para leer ´este libro es conocer el c´alculo diferencial e integral. Adem´as, para el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias exactas y reducibles a exactas se requiere el conocimiento del c´alculo diferencial de varias variables. Para aprovechar al m´aximo este texto los alumnos deben contar con medios num´ ericos de resoluci´on (software matem´ aticos) que no exigen que el usuario sea experto en computaci´on, pero de igual modo pueden aprender bien incluso sin ning´ un medio de ´estos.
El autor
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´ ESTRUCTURA LOGICA DE LOS CAP´ ITULOS
Ecuaciones diferenciales en general
Ecuaciones
Aplicaciones de las
diferenciales de
ecuaciones diferenciales
primer orden y
de primer orden y
de primer grado
de primer grado
Ecuaciones
Aplicaciones de las
diferenciales de
ecuaciones diferenciales
orden superior
de orden superior
Introducci´ on Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la finalidad de mejorar su situaci´on. Empez´o por observaciones, como hacemos hoy en d´ıa, y sigui´o por la reuni´on de informaci´on y su aplicaci´on a la vida cotidiana. La ciencia es hoy d´ıa algo m´as compleja. Nuestra capacidad de observaci´on ha aumentado enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten ver diminutas part´ıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten ver estrellas distantes en los l´ımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros procesos de acopio de datos tambi´en se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de medios muy r´apidos para registrar informaci´ on sino que, mediante el uso de calculadoras y software, podemos recuperar la informaci´on en una fracci´on de segundo. Sin embargo, muchos de nosotros no tenemos todav´ıa la posibilidad de usar los u ´ ltimos inventos de la ciencia moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los cambios r´apidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambi´ en cambien a su comp´as los conocimientos necesarios de matem´atica Entre todas las disciplinas matem´ aticas, la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales es la m´as importante. Proporciona la explicaci´ on de todas esas manifestaciones elementales de la naturaleza que involucran al tiempo. Esta obra es un intento para lograr que la ense˜nanza y el aprendizaje de la ciencia sean los m´as eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ense˜nar la Ciencia, ´esta publicaci´on no pretende ser el non plus ultra de la ense˜nanza de la Matem´atica. Los profesores deben buscar constantemente los mejores m´ etodos para ellos mismos y para sus alumnos, as´ı como leer con la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de documento b´asico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ense˜nanza de ´esta Ciencia. Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educaci´on se centre en crear las situaciones de aprendizaje m´as eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este texto est´a destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenier´ıa como a docentes en ejercicio as´ı como tambi´ en a los futuros docentes de varios niveles acad´ emicos para que lo utilicen en las situaciones m´as diversas. Su finalidad es mejorar la ense˜nanza cotidiana de la ciencia vii
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examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante. ´ Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formaci´on integral de los estudiantes del presente siglo. Se tiene siempre la esperanza de que una publicaci´on sea tan buena que haya demanda de una segunda edici´on. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones, as´ı como a˜ nadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecer´a a los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.
El c´alculo son las matem´aticas del cambio y las ecuaciones diferenciales son el motor del c´alculo. J. M. A. DANBY
´Indice general Prefacio
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Introducci´ on
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1. HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1. Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ 2. DEFINICIONES BASICAS
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2.1. Definici´ on de Ecuaci´on Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2. Clasificaci´on de las Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2.1. Clasificaci´ on seg´ un el tipo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2.2. Clasificaci´ on seg´ u n la linealidad o no linealidad: . . . . . . . . . . . . . .
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2.3. Orden de una Ecuaci´ on Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4. Grado de una Ecuaci´ on Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.5. Soluci´ on de una Ecuaci´on Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.6. Teorema de Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.7. Grafica de Curvas Integrales (M´etodo de las isoclinas) . . . . . . . . . . . . . .
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3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO 51 3.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable . . . . . . . . . . . . .
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3.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a variable separable . . . . . .
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3.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.4. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a homog´eneas . . . . . . . . . . .
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3.5. Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.6. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a exactas . . . . . . . . . . . . . .
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3.7. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.8. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.9. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Riccaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE GRADO SUPERIOR 111 4.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Clairouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO 129 5.1. Aplicaciones a la Geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.1. Problemas geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.1.3. Problemas de campo de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.2. Aplicaciones a la F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.2.1. Problemas de cambio de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.2.2. Problemas de Din´ amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 52 5.2.3. Problemas de circuitos el´e ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.3. Aplicaciones a la Qu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.1. Problemas de desintegraci´ o n de un elemento radiactivo . . . . . . . . . . 168 5.3.2. Problemas de disoluci´ on o mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3.3. Problemas de contaminaci´ on de una galer´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.4. Aplicaciones a la Biolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.4.1. Problemas del crecimiento de un cultivo bacteriano . . . . . . . . . . . . 173 5.4.2. Problemas de conservaci´ on de alimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.5. Aplicaciones a la Econom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.5.1. Problemas de oferta y demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.6. Aplicaciones a la Medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.6.1. Problemas de epidemias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR REDUCIBLES A PRIMER ORDEN 199 6.1. Soluci´ on de una ecuaci´o n diferencial ordinaria de orden n . . . . . . . . . . . . 200 6.1.1. Tipos de soluciones de una ecuaci´o n diferencial ordinaria . . . . . . . . 200 6.1.2. Formas en las que pueden aparecer las soluciones de una ecuaci´on diferencial ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.2. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2.1. Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de un problema de Cauchy201 6.3. Reducci´ on del orden de una ecuaci´o n diferencial ordinaria . . . . . . . . . . . . 202 7. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN n 211 7.1. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.2. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
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7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.4. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homog´ eneas . . . . . . . . . . . . 220 7.4.1. M´etodo de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.4.2. M´etodo de los operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.4.3. M´ etodo de variaci´ on de par´ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.4.4. M´ etodo de reducci´on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.5. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes variables reducibles a coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.5.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.5.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Euler (Legendre) . . . . . . . . . 233
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HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1.
Preliminares.
En adelante, intentaremos hacer un esbozo hist´orico enfocado, no a brindar una cronolog´ıa de los resultados obtenidos, sino a los m´etodos, problemas, dificultades y obst´aculos que han enfrentado los matem´ aticos en este campo de investigaci´ o n, en base a la presencia de los m´ etodos algebraicos, geom´ etricos y num´ ericos. Es decir, estamos interesados en mostrar la trascendencia hist´orica de las ecuaciones diferenciales ordinarias vinculadas con su ense˜nanza. La Mec´a nica es la m´as antigua de las ciencias f´ısicas. Los escritos m´as antiguos que se registran acerca de esta materia, son los de Arqu´ımedes (287 - 212 a.c.) referentes al principio de la palanca y al principio del empuje. A la formulaci´on de las leyes de la composici´on vectorial de fuerzas dada por Stevin (1548 - 1620), aguardaba un proceso sustancial y el mismo autor enunci´ o la mayor´ıa de los principios de la Est´atica. El primer estudio de un problema din´amico se debe a Galileo (1564 - 1642) y se refiere a los experimentos sobre la ca´ıda de los cuerpos, aunque debemos considerar un precursor importante: Cop´ ernico (1473 - 1543), quien con su sistema helioc´ entrico, sent´o las bases de una nueva ciencia: La Mec´anica Celeste. Hist´ oricamente, la integraci´on antecedi´o a la diferenciaci´o n por, pr´acticamente, dos mil a˜ nos. El antiguo m´ etodo griego de exhauci´ on y las medidas infinitesimales de Arqu´ımedes, representan ejemplos antiguos de procesos l´ımites de sumas integrales, pero no fue hasta el siglo XVII que Fermat, encontr´o las tangentes y los puntos cr´ıticos por m´etodos equivalentes a la evaluaci´on de cocientes incrementales. El descubri´o la naturaleza inversa de ´estos dos procesos, junto con la consecuente explicaci´on de la antiderivaci´on en la determinaci´on l´ımite de sumas. La diferenciaci´on, tanto inversa como directa, convirti´o el algoritmo b´ asico en una nueva y poderosa parte de la Matem´atica. La integraci´ on fue tomada como “la memoria de la derivaci´o n” y no fue hasta 150 a˜ nos mas tarde, que la atenci´on se dirigi´o directamente al concepto de sumaci´on en el c´alculo. El C´alculo apareci´ o impreso, por primera vez, en una memoria de seis p´aginas de Leibniz 1
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(1646 - 1716) en el Acta Eruditorium de 1684, que conten´ıa una definici´ on de la diferencial y donde dio peque˜ nas reglas para su c´alculo en sumas, productos, cocientes, p otencias y ra´ıces. El incluyo tambi´en peque˜nas aplicaciones a problemas de tangentes y puntos cr´ıticos. Ante los creadores del Calculus, el problema de la integraci´on de la Ecuaciones Diferenciales, en su inicio, se presentaba como parte de un problema m´as general: el problema inverso del an´alisis infinitesimal. Naturalmente, al inicio, la atenci´on se concentraba en las diferentes ecuaciones de primer orden. Su soluci´on se buscaba en forma de funciones algebraicas o trascendentes elementales, con ayuda de m´etodos m´as o menos exitosamente elegidos. Para reducir este problema a la operaci´on de b´ usqueda de funciones primitivas, los creadores del an´alisis y sus disc´ıpulos, tend´ıan en cada ecuaci´on diferencial a separar las variables. Este m´ etodo, con el que actualmente comienzan los textos sistem´aticos de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales, result´o, al parecer hist´oricamente el primero. En primer lugar, se˜ nalaremos que el t´ermino aequatio differentialis, fue primeramente utilizado por Leibniz (en un sentido bastante restringido) en 1676 para denotar una relaci´on entre las diferenciales dx y dy y dos variables x e y, concepci´on que se conserva hasta los tiempos de Euler (en los a˜nos 1768 , 1770). Asimismo, es importante destacar que las ecuaciones diferenciales ordinarias surgen pr´acticamente con la aparici´on del Calculus, en la c´ elebre pol´emica Newton - Leibniz se tiene un gran momento cuando Newton comunica (p or medio de Oldenburg) a Leibniz el anagrama “ Data aequetione quotcunque fluentes quantitaes involvente fluxiones invenire et viceversa ”. Este fue, como dice Arnold, el descubrimiento fundamental de Newton que consider´o necesario mantener en secreto, y el cual en el lenguaje contempor´aneo significa: “Es u ´ til resolver ecuaciones diferenciales”. Curiosamente Ince afirma que la fecha de aparici´on de estas es el 11 de Noviembre de 1675 cuando Leibniz escribe la ecuaci´on y2 ydy = “por lo tanto no resolvi´o una ecuaci´on diferencial, la cual por si mismo es un 2 asunto trivial, sino que fue un acto de un gran momento, fraguando una herramienta poderosa, el signo de integral”. La primera clasificaci´on de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden (en lenguaje de la ´epoca ecuaciones fluxionales) la dio Newton. El primer tipo estaba compuesto de aquellas ecuaciones en las cuales dos fluxiones x ′ , y ′ , y un fluente x o y est´an relacionados, x′ dy dy como por ejemplo ′ = f (x) o, o bien como escrib´ıamos en la actualidad = f (x), = y dx dx f (y); el segundo tipo abarc´o aquellas ecuaciones que involucran dos flexiones y dos fluentes x′ dy = f (x, y), = f (x, y). Y finamente, el tercer tipo abarc´ o a ecuaciones que involucran m´as y′ dx de dos flexiones, las cuales en la actualidad conducen a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Por u ´ltimo, es conveniente resaltar algunas de las caracter´ısticas m´as importantes con que abandonamos el momento hist´ orico de Newton - Leibniz:
1. En esta ´epoca los problemas todav´ıa eran abordados con la visi´on geom´etrico - euclidiana. Tanto Leibniz como Newton, elaboran sus conceptualizaciones matem´aticas en t´erminos de entes geom´etricos en los que se representan las propiedades y conceptos. Esto era
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una consecuencia de lo restringido que se encontraba el concepto de funci´on en el siglo XVII. La noci´on de funci´on permanec´ıa a´un ligada a la idea de curva geom´etrica. En este sentido, obviamente el concepto de tangente era el euclidiano. En Leibniz hay un elemento diferente aunque ambiguo, de concebir la recta tangente como aquella que une los dos puntos infinitamente pr´oximos. De todas maneras la noci´on que se manejaba de recta tangente era netamente intuitiva. 2. El c´alculo tanto de Newton como el de Leibniz trataba de cantidades variables. En Leibniz una sucesi´on de valores infinitamente pr´oximos; en Newton cantidades que variaban con el tiempo. El primero concibe el continuo geom´ etrico formado por segmentos infinitesimales. El segundo tiene una idea intuitiva de movimiento continuo cercana al concepto de l´ımite. Newton prefer´ıa referirse a lo indefinidamente peque˜no en t´erminos de u ´ ltimas razones. En la u ´ ltima d´ecada del siglo XVII, los hermanos Bernoulli (James y Johan) introducen t´ erminos como el de “integrar” una ecuaci´ on diferencial, as´ı como el proceso de “separaci´on de variables” (separatio indeterminatarum ) de una ecuaci´on diferencial. Alrededor de 1692, Johan Bernoulli I (1667 - 1748) encontr´o otro m´ etodo, utilizado en una serie de problemas, la “multiplicaci´on por un factor integrante” (sobre todo para resolver ecuaciones en los cuales el m´ etodo anterior no se pod´ıa aplicar, digamos la ecuaci´ on αxdy ydx = 0), ya que aunque era posible separar las variables no se pod´ıa integrar, ya que en la dx ´epoca no se conoc´ıa que = ln x), m´ etodo tambi´ en usado por su sobrino Daniel (1700 x 1782) a partir de 1720.
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Sin embargo, los m´ etodos eran incompletos y la teor´ıa general de las ecuaciones diferenciales, a comienzos del siglo XVII no pod´ıa ser propuesta. Resultados de car´acter general comienzan a advertirse a mediados de los a˜n os 20 del siglo XVII. En 1724, el matem´atico italiano J. F. Riccati (1676 - 1754) estudi´o la ecuaci´on dy + ay 2 = bx α , (α, a, b constantes) determinado la integrabilidad en funciones elementales dx de esta, de aqu´ı que (y a propuesta de D’Alembert en 1769) lleve su nombre, denominaci´ on extendida a todas las ecuaciones del tipo, (P , Q y R funciones continuas). La investigaci´on de esta ecuaci´on fue ocupaci´on de muchos matem´aticos: Leibniz, Ch. Goldbach (1690 - 1764), Johan I, Nicol´as I (1687 - 1759) y Daniel Bernoulli entre otros. Daniel estableci´o que esta se integra mediante funciones elementales s´ı α = 2 o α = 2k4x −1 k entero.
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Es a Euler a quien le corresponde la primera sistematizaci´on de los trabajos, donde encontramos lo que se puede llamar la primera teor´ıa de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Esta obra contiene una buena parte (y mucho m´as) del material que encontrar´ıamos en un libros de texto actual, como el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden (y su correspondiente clasificaci´on en “separables”, “homog´ eneas”, “lineales”, “exactas”), las de segundo orden (lineales, y las susceptibles de reducir el orden), y su generalizaci´on a las de orden superior. Asimismo, encontramos el m´ etodo de series de potencias para resolver ecuaciones
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como y ′′ axn y = 0. Lo que desde nuestra perspectiva, vale destacar de este trabajo, es su forma de conceptualizar las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, la expresi´on dy/dx significa para Euler un cociente entre diferenciales y no nuestra derivada actual, en una ecuaci´o n de segundo orden aparecen los diferenciales ddy, dx2 en lugar de la segunda derivada y”. Por otra parte, consideramos que este traba jo marca el fin de la etapa algebraica-algor´ıtmica en la historia de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, y comienza la segunda etapa (hasta fines del siglo XIX), que hemos llamado Fundamentos, en atenci´on a que en ´esta, las principales cuestiones de fundamentaci´on, recibir´ an tratamiento y soluci´on. D’Alembert (en 1766) encontr´ o que la soluci´on general de una ecuaci´o n lineal no homog´enea, es igual a la suma de una cierta soluci´ on particular y la soluci´o n general de la correspondiente ecuaci´on homog´enea. Muchos matem´aticos (en particular Clairaut y Euler) siguieron elaborando el m´ etodo de factor integrante. As´ı, en los a˜ nos 1768-1769, Euler investig´o las clases de ecuaciones diferenciales que tienen factor integrante de un tipo dado e intent´o extender estas investigaciones a ecuaciones de orden superior. Finalmente, cerraremos esta etapa, mencionando las contribuciones de Lagrange (1736-1813), las cuales, al igual que Euler, fueron hacia el ´ultimo cuarto del siglo XVIII. Lagrange demostr´o que la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden n con coeficientes constantes, es de la forma y = c 1 y1 + c2 y2 + ... + c0 y0 , donde y 1 , y2 , , yn son un conjunto de soluciones linealmente independientes y c 1 , c2 , , cn son constantes arbitrarias (“Principio de Superposici´ en descubri´o en su on ”); asimismo, tambi´ forma general el “m´etodo de variaci´on de par´ametros (o constantes)”, hacia 1774. La citada Ecuaci´ on de Riccati, “rompe” con la tradici´on algebraica: una ecuaci´on relativamente sencilla que en la mayor´ıa de los casos no puede integrarse en cuadraturas. En segundo lugar, este rompimiento es m´as fuerte si puntualizamos que una de las razones por las cuales es m´a s f´acil resolver una ecuaci´on diferencial lineal que una no lineal (aparte de la propia naturaleza de esta u ´ ltima que puede impedir tal prop´osito) es la existencia del Principio de Superposici´ on ya mencionado. Este principio, es la forma usual de expresar la soluci´on general como una funci´o n de un n´ umero finito de soluciones particulares. En el a˜ no 1743, surgieron los conceptos de integral particular y general, encontradas por Euler ya en 1739. Ellos fueron publicados en la memoria donde se trata de un ´unico algoritmo de resoluci´ on de ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes. La teor´ıa general de la que tanto se hab´ıa hablado, aparece expuesta por vez primera, como ya dijimos, en el famoso “lnstitutiones. . .” de Euler, obra que consta de tres tomos que vieron la luz sucesivamente en los a˜nos 1768, 1769 y 1770 y con un suplemento en 1794, culminando la serie de libros de Euler dedicados a la exposici´on sistem´atica del an´alisis contempor´aneo. En este contexto, veamos el protocolo de rigor que imperaba a finales del siglo XVIII:
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···
···
Cada concepto matem´ atico deb´ıa ser expl´ıcitamente definido en t´erminos de otros conceptos cuya naturaleza era suficientemente conocida. Las pruebas de los teoremas deb´ıan ser completamente justificadas en cada una de sus
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etapas, o bien por un teorema anteriormente probado, por una definici´o n, o por un axioma expl´ıcitamente establecido. Las definiciones y axiomas escogidos deb´ıan ser lo suficientemente amplios para que pudiesen cubrir los resultados ya existentes. La intuici´on (geom´etrica o f´ısica) no era un criterio v´ alido para desarrollar una prueba matem´ atica. Las dos primeras caracterizaciones han permanecido m´as o menos estables desde la ´epoca de Euclides. Los dos ´ultimos, son un pronunciamiento en contra de concepciones matem´aticas muy comunes hasta el siglo XVIII. En esta ´epoca, casi todos los problemas del c´alculo, surg´ıan de la necesidad de matematizar alg´un fen´omeno de ´ındole f´ısico. Por este hecho, los resultados matem´ aticos cobraban importancia en la medida en que reflejaran una realidad tangible. La relaci´on entre matem´aticas y naturaleza era muy cercana. Lo que hac´ıa el c´alculo era traducir al lenguaje de las funciones la explicaci´on o las relaciones causales de los fen´omenos naturales. Afortunadamente, estas funciones (de car´acter regular en el sentido euleriano) ten´ıan comportamiento adecuado al nivel del saber matem´atico entonces dominante, es decir, no problematizaban ni hac´ıan entrar en crisis sus resultados. La contradicci´on entre los algoritmos del c´alculo diferencial y su correspondencia con las representaciones existentes entonces con el rigor matem´atico heredado de los griegos, fue evidente para la mayor´ıa de los matem´ aticos del siglo XVIII. Por otra parte, este c´alculo encontraba cada d´ıa nuevas aplicaciones en la mec´ anica y la astronom´ıa, convirti´endose, poco a poco, en la parte central y m´as productiva del conocimiento matem´atico. El problema de la fundamentaci´ on del c´alculo diferencial se hizo cada vez m´as actual, convirti´endose en uno de los problemas del siglo. Est´a claro que una teor´ıa puede ser l´ ogicamente fundamentada s´ olo cuando llega a determinado nivel de madurez. Una teor´ıa que todav´ıa se encuentra en el estadio de b´ usqueda de leyes fundamentales de desarrollo y de definici´on precisa de sus conceptos principales no puede ser fundamentada l´ogicamente. Adem´as, para poder hablar de una fundamentaci´ on filos´ofica los conceptos fundamentales deben ser suficientemente generales y a la vez bien determinados. La fundamentaci´on l´ogica y filos´ofica del c´alculo diferencial e integral era objetivamente imposible sobre la base de los conceptos sobre los cuales aparecieron y por eso los esfuerzos de Newton, Leibniz, Lagrange y otros, hasta los mismos comienzos del siglo XIX, terminaron en el fracaso. Se˜nalemos las principales insuficiencias: 1. Incorrecta comprensi´ on del concepto de diferencial: En Leibniz, L’Hospital, Euler y otros matem´aticos del siglo XVIII el concepto de diferencial se confund´ıa en el incremento. Una aproximaci´ on suficientemente correcta del concepto de diferencial fue dada s´olo por Lagrange (1765). 2. Insuficiente comprensi´ on del concepto de funci´ on: De hecho hasta fines del siglo XIX los matem´aticos partiendo de la intuici´on mec´anica y geom´etrica, entendieron por
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fundamentaci´ on s´olo las funciones anal´ıticas representadas por una determinada f´ ormula (en algunos casos infinita como es el caso de las consideraciones de Fourier ligadas con su teor´ıa del calor). S´olo con la aparici´on de las funciones discontinuas en problemas pr´acticos, los matem´ aticos prestaron atenci´ o n a la formaci´ o n l´ogica del concepto de funci´on. 3. Ausencia de un concepto claro de l´ımite: Los seguidores de Newton: Maclaurin, Taylor, WaIlis y otros, mantuvieron una larga discusi´ o n sobre el hecho de que si la variable alcanza o no el l´ımite. Este problema no era f´acil, precisamente, porque no hab´ıa una definici´on precisa de l´ımite y s´olo se determinaba por razonamientos mec´anicos y geom´etricos. Esta insuficiencia permaneci´o hasta Cauchy (1823). 4. El concepto de continuidad funcional era intuitivo: Esto se explica porque los matem´ aticos del siglo XVIII consideraban todas las funciones continuas y por eso no ten´ıan la necesidad de precisar este concepto. S´olo a principios del siglo XIX se comenz´o a pensar en este problema (otros detalles los puede encontrar en la ´ultima secci´on de esta conferencia). 5. Concepto difuso de integral definida: Relacionado ante todo con la ausencia de un teorema de existencia. Se consideraba por ejemplo, que la f´ormula de Newton- Leibniz ten´ıa un significado universal, es decir, que era v´alida para todas las funciones y en todas las condiciones. Los esfuerzos en la precisi´on del concepto hechos por Lacroix, Poisson y Cauchy pusieron en primer plano el concepto de l´ımite y de continuidad. Pero el problema de la integral definida s´olo hall´ o una respuesta completa hasta fines del siglo XIX en los trabajos de Lebesgue. 6. Se necesitaba tener una clara comprensi´on de lo que era un sistema num´ erico: En particular, la estructura del sistema de los n´umeros reales, lo que no suceder´a sino con las investigaciones de Dedekind y Cantor, entre otros; otra de las concepciones b´asicas relacionadas con este t´opico, era el concepto mismo de n´umero (aqu´ı, nuevamente debemos mencionar a los matem´aticos del siglo XIX y a Frege en especial, para seguir con Russel, etc.). As´ı, el movimiento del an´alisis matem´atico en el siglo XVIII hacia su fundamentaci´on, puede describirse completamente en el sistema “teor´ıa-pr´actica”, esto es, como interrelaci´on dial´ ectica entre estos momentos. La necesidad del c´alculo de ´areas y vol´ umenes y del hallazgo de m´aximos y m´ınimos entre otros problemas concretos, conllev´ o a la creaci´on del algoritmo del c´alculo diferencial e integral. La aplicaci´on de estos algoritmos a nuevos problemas inevitablemente conllev´o a la generalizaci´on y precisi´o n de los algoritmos. En ´ultima instancia, el an´alisis se formaliz´o como l´ogicamente no-contradictorio, como un sistema relativamente cerrado y completo. Existe una etapa intermedia entre esta ´epoca y los trabajos de Poincar´ e y Liapunov, caracterizada fundamentalmente, por un lado, por los m´ etodos en series para la b´ usqueda de
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soluciones, los cuales produjeron las llamadas funciones especiales y por otro, por la investigaci´ on sobre los teoremas de existencia y unicidad de las soluciones de una ecuaci´on diferencial, los cuales sirvieron, como afirma Ince “para determinar en forma rigurosa, la pregunta de la existencia de soluciones de aquellas ecuaciones que no fueron integrables por m´ etodos elementales”. Ilustremos el desarrollo de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, tomando como base, el p´endulo matem´ atico libre. El estudio de tal p´ endulo constituye, hace un buen n´umero de a˜ nos, un cap´ıtulo cl´asico de todo libro de texto de mec´anica anal´ıtica. Mgr. Lemaitre, lo “adelant´ o” en sus conferencias en la Universidad de Louvain (B´elgica). Sus notas de conferencia son tituladas: “Lecciones de Mec´anica. El P´ endulo”, y podemos leer en su introducci´ on: “Una actitud intermedia que nosotros seguiremos, consiste en retener de la historia de la ciencia, la preeminencia dada a un problema particular, el movimiento del p´ endulo, y por tanto presentar los conceptos fundamentales en el marco de este problema particular... Este problema del p´endulo es uno de aquellos donde la ciencia de la mec´anica fue surtida de una de sus mayores contribuciones a la edificaci´on de las matem´aticas modernas, porque ´el puede ser ampliamente identificado, con el estudio de las funciones el´ıpticas alrededor de las cuales, fue construida la teor´ıa de funciones de una variable compleja. . .”. Mucho m´as reciente, en la “Encyclopediae Universalis ” francesa, en un art´ıculo titulado “Systemes dynamiques differentiables ”, A. Chenchiner usa de nuevo el p´endulo como un tema central, para iniciar al lector a la teor´ıa moderna de sistemas din´ amicos: el primer cap´ıtulo describe en detalle ejemplos conectados al p´endulo e introduce m´a s y m´as comportamientos asint´oticos complejos cuyos an´alisis van a requerir los conceptos m´as abstractos de la u ´ ltima parte, en el cap´ıtulo nueve de este art´ıculo, encontramos: el p´endulo sin fricci´on; un sistema Hamiltoniano, el p´endulo con fricci´ on lineal: un sistema estructura/mente estable, perturbaciones peri´ odicas de un p´ endulo friccionado y difeomorfismo que preservan el ´area en el plano. A pesar de sus precursores, Galileo es el primer cient´ıfico asociado al estudio experimental y te´orico del p´endulo. Es conocida la historia verdadera o falsa de su descubrimiento en 1583 o 1584, del isocronismo de las oscilaciones del p´endulo, observando una l´ampara suspendida en la Catedral de Pisa. El primer documento escrito de Galileo sobre el isocronismo del p´endulo es una carta de 1602 a Guidobaldo del Monte: “Ud. debe perdonar mi insistencia en mi deseo de convencerlo de la verdad de la proposici´on que los movimientos en el mismo cuadrante de un c´ırculo son hechos a igual tiempo”. En su famoso “Di´alogo”, ´el escribi´ o: “El mismo p´endulo hace sus oscilaciones con la misma frecuencia, o con poca diferencia, casi imperceptible, cuando estas son hechas por una circunferencia mayor o sobre una muy peque˜na”. Esto es, por supuesto, un planteamiento err´oneo o, en un camino positivo, podemos considerar que es una manifestaci´ on muy primitiva de lo que es, posiblemente, la primera herramienta b´asica en la ciencia no-lineal: la linealizaci´on. Conocemos que el isocronismo no es una propiedad de las soluciones de la ecuaci´on diferencial del p´endulo con longitud 1:
g u′′ + senu = 0, l
(1.1)
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pero de su forma linealizada si
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g u′′ + u = 0, l
(1.2)
La expresi´on precisa T = 2(g/l)1/2 para el per´ıodo de las soluciones de (1.2), ser´a lo primero dado por Newton en su “ Principia ”, en 1687. Note que algunas aplicaciones del p´endulo fueron ya presentidas por Galileo, en particular a la medici´o n de un “ Pulsilogium ” para chequear el pulso de un paciente, a la navegaci´on en la determinaci´on de la longitud y a la horolog´ıa con la regulaci´ on de los relojes mec´anicos. Si Guidobaldo del Monte expres´o en 1602 un buen grado de escepticismo al llamado Isocronismo de Galileo, fue un astr´onomo belga, Wendelin, quien primero mostr´o experimentalmente que el periodo de las oscilaciones crece con las amplitudes de las oscilaciones y dio tablas justas en su “Luminacarni Eclipses Lunares ” de 1644. Este hecho fue entonces deducido matem´aticamente por Huggens en su famoso “Horologium ” de 1673, y el mismo Huyggens tambi´en observ´o los fen´omenos no-lineales de “Sincronizaci´ endulos fijados sobre una misma cuerda on ” en dos p´ delgada. Doscientos quince a˜ nos despu´ es, Van der Pool y Appleton descubrieron un fen´omeno an´ alogo en circuitos el´ectricos y la teor´ıa iniciada por Galileo. La relaci´on matem´ atica entre el per´ıodo T y la amplitud A es expresada por Euler en 1736 en su “Mechanica ” por la serie:
· ··· − · ···
l T = 2π g
1/2
1+
∞
k=1
1 3 (2k 1) A sen 2 4 (2k) 2
,
y Poisson en su “ Traite de Mecanique ” de 1811, analiz´o la ecuaci´on del per´ıodo, usando un m´ etodo de desarrollo en “series de potencia de un par´ on anterior ametro peque˜ no ”. La relaci´ fue formulada por Legendre en 1825 (“Traite des fonctions elliptiques ”) y por Jacobi en 1829 (“Fundamenta nova theoriae functionem ellipticarum ”) para integrales y funciones el´ıpticas. La teor´ıa cuantitativa del p´endulo libre fue completada por la expresi´on de las soluciones de la ecuaci´ on (1.1) en t´erminos de funciones el´ıpticas. Debemos a Poincar´e en 1881 el estudio cualitativo de las soluciones de ecuaciones diferenciales nolineales, particularmente, en el caso de la ecuaci´ on (1.1), la descripci´on topol´ ogica de las ´orbitas (u(t), u′ (t)) de las soluciones de (1.1), en el plano de fases (u, u′ ). El retrato correspondiente, con el equilibrio estable (2kπ, 0), centros, el equilibrio inestable ((2k + 1)π, 0), puntos de sillas, las soluciones peri´odicas no constantes (´ orbitas cerradas) sobre las que Poincar´e apunt´ o: “Lo que hace que estas soluciones peri´ odicas sean tan apreciadas es que son, por as´ı decirlo, la unica ´ brecha por donde podemos intentar penetrar en un lugar considerado hasta aqu´ı inabordable ”, las soluciones rotatorias y las sepa-
ratrices conectadas con el equilibrio inestable (´orbitas heterocl´ınicas u o´rbitas homocl´ınicas, si identificamos, m´odulo 2 , el equilibrio inestable, i.e., si trabajamos sobre la variedad natural cil´ındrica de fases). Como tantas veces, la historia tom´o el camino opuesto con respecto a la metodolog´ıa de Poincar´e en el “ataque ” de las ecuaciones diferenciales no-lineales: el estudio cuantitativo del p´endulo libre hab´ıa precedido al cualitativo. Por otra parte, en el estudio de ciertos sistemas f´ısicos, resulta interesante, y casi siempre necesario, conocer propiedades (de las soluciones de la ecuaci´on o sistema que modela
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tal sistema) tales como acotamiento, estabilidad, periodicidad, etc., sin tener que recurrir a la ardua y laboriosa tarea, que en muchos casos es impracticable, de encontrar expresiones anal´ıticas para las soluciones. De este modo, surgi´o el problema de investigar las propiedades de las soluciones de una ecuaci´on diferencial a partir de “ su propia expresi´ on ”, dando lugar a la Teor´ıa Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales, teor´ıa que surge en la segunda mitad del siglo XIX y que fue abordada inicialmente por Jules Henri Poincar´ e (1854-1912) y Alexander Mijailovich Liapunov (1857-1918) aunque por motivos diferentes, el primero, debido al estudio de figuras de equilibrio y de la estabilidad del movimiento y el otro, debido a sus investigaciones en Mec´anica Celeste y que marca el inicio de la tercera etapa en el desarrollo de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, la etapa Cualitativa, que transcurre hasta nuestros d´ıas, aunque en los ´ultimos a˜ nos, se han ido modificando estos estudios. As´ı, 1892 es un annus mirabalis en la formalizaci´on de m´etodos generales para la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales no lineales y la mec´anica no lineal. Liapunov y Poincar´e, convirtieron la no linealidad en su objeto de estudio y aportaron m´etodos y conceptos fundamentales en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. M´as a´ un, cuando sus resultados son combinados con las nuevas t´ ecnicas matem´aticas desarrolladas durante esta centuria. M´as estricto, algunos aspectos de estos trabajos han mostrado su conexi´on con la Teor´ıa del Caos, el nuevo paradigma de las Matem´aticas y la F´ısica, por ejemplo, los resultados de Poincar´e sobre movimientos cercanos a ´orbitas homocl´ınicas y heterocl´ınicas y el concepto de Liapunov de n´ umeros caracter´ısticos, hoy llamados exponentes de Liapunov. Despu´ es de una centuria de totalitarismo, se ha descubierto que las Matem´aticas pueden ser en ocasiones el estudio de estructuras y que la F´ısica puede ser la F´ısica Cu´antica. Y el com´un denominador de esta liberalizaci´on es la nolinealidad. En los ´ultimos 15 ´o 20 a˜ nos, se modific´o fuertemente el aspecto de la Teor´ıa Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Uno de los progresos m´as importantes, consisti´o en el descubrimiento de regiones l´ımites de nuevo tipo, que recibieron el nombre de atractores. Result´o que, paralelamente a los reg´ımenes limites estacionarios y peri´ odicos, son tambi´en posibles reg´ımenes l´ımites de una naturaleza completamente distinta, en las cuales cada trayectoria por separada es inestable, mientras que el mismo fen´omeno de la salida al r´egimen l´ımite en cuesti´on es estructuralmente estable. El descubrimiento y el estudio detallado de tales reg´ımenes (atractores) para los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, requiri´ o de la participaci´on de los recursos de la geometr´ıa diferencial y la topolog´ıa, del an´alisis funcional y la teor´ıa de las probabilidades. En la actualidad tiene lugar una penetraci´on intensiva de estos conceptos matem´aticos en las aplicaciones. As´ı, por ejemplo, los fen´omenos que tienen lugar durante el paso de una corriente laminar a una turbulenta, con el aumento de los n´umeros de Reynolds, se describen mediante un atractor. Durante la utilizaci´on de cualquier modelo matem´atico surge el problema de la validez de la aplicaci´ on de los resultados matem´aticos a la realidad objetiva. Si el resultado es fuertemente sensible a una peque˜na modificaci´on del modelo, entonces, variaciones tan peque˜nas como se quiera del mismo, conducir´an a un modelo con propiedades distintas. No se pueden extender tales resultados al proceso real investigado, debido a que en la construcci´on del modelo se
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realiza siempre una cierta idealizaci´o n y los par´ametros se determinan solamente de manera aproximada. Esto llev´o a Andronov y Pontriaguin (en 1937) al concepto de sistemas gruesos o de estabilidad estructural. Este concepto result´o muy fruct´ıfero, en el caso de los espacios de fases de dimensiones peque˜n as (1 ´o 2) y en este caso, los problemas de la estabilidad estructural, fueron detalladamente estudiados. De esta manera, la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales en el presente, constituye una rama de la matem´atica, excepcionalmente rica por su contenido, que se desarrolla r´apidamente, en estrecha relaci´on con otros dominios de la matem´atica y sus aplicaciones. Sin embargo, en el desarrollo de la Matem´atica figuran varios desenga˜ nos sucesivos, cuyo desenlace puede citarse en la p´erdida de la certidumbre como reza el t´ıtulo del libro de Kline. Parafrase´ andolo, las Matem´ aticas han pasado desde mediados del siglo XIX por estos trances (entre otros): 1. La p´ erdida de arraigadas evidencias y certezas f´ısico-matem´ aticas, sobre todo a partir del desarrollo de las geometr´ıas no-euclidianas. Con ello se fue diluyendo la fe del pensamiento moderno de los siglos XVII-XVII en una suerte de armon´ıa preestablecida entre la geometr´ıa euclidiana y bien la configuraci´ on real del espacio f´ısico, o bien la confirmaci´ on mental de nuestra percepci´on del espacio, tan es as´ı, que la asimilaci´o n de los conjuntos fractales a´ un hoy en d´ıa, no es ni siquiera satisfactoria. 2. La quiebra de las aspiraciones a cimentar la solidez l´ogico y/o te´ orico del edificio deductivo de la matem´atica cl´asica. Se pens´o, por ejemplo, que las investigaciones en el campo de la existencia y la unicidad de las soluciones, para ecuaciones diferenciales definidas sobre espacios infinito-dimensionales, po d´ıan seguir el mismo esquema que en el caso de espacios de dimensi´on finita. Uno de los primeros resultados en tal sentido es debido a F. E. Browder (en 1964) y W. J. Knight demostr´o que estaba incorrecto. La teor´ıa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias “permite estudiar los m´ as diversos procesos de evoluci´on que pueden determinarse, tener dimensi´on finita y ser diferenciables”. Estas tres propiedades forman la base de la mec´anica de los sistemas discretos. Un proceso se llama determinado, si su estado pasado y futuro puede obtenerse a partir de su estado presente. El conjunto de todos los estados del proceso, se llama Espacio de Fases. El proceso se denomina de dimensi´on finita si su espacio de fases lo es, es decir, si el n´umero de par´ ametros necesarios para describir completamente su estado, es finito. El proceso se llama diferenciable, si su estado de fases tiene estructura de variedad diferencial. A prop´ osito de lo anterior, la expresi´on exacta de la idea de la determinaci´on, son los teoremas de existencia y unicidad. Para una ecuaci´on escalar de primer orden y ′ = f (x, y), esta preocupaci´on comienza con Euler en su “Institutiones...” con su m´ etodo de las quebradas, el cual se usa en la actualidad como un m´ etodo num´ erico, lo contin´ ua Cauchy (1789-1857), demostrando semejante teorema por primera vez en sus conferencias dictadas en 1820-1830 bajo el t´ıtulo “Exposition d’une M´ethode a´ l’aide de laquelle on peut int´egrer par approximation un
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Matem´ atica IV
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on, grand nombre d’Equations diff´ erentielles au premier ordre ” y lo presentamos a continuaci´ por su indudable valor hist´orico y metodol´ ogico.
Teorema 1.1.1. (Teorema de Cauchy.) Si el segundo miembro de la ecuaci´on diferencial y′ = f (x, y)
(1.3)
es anal´ıtica en ambas variables, x e y, en una vecindad del punto (x0 , y0 ), entonces la ecuaci´on (1.3) posee una u ´ nica soluci´on y(x) que satisface la condici´on inicial y(x0 ) = y 0 ,
(1.4)
y esta soluci´on es anal´ıtica en una vecindad de x 0 . Es f´acil entender que el requerimiento de que f sea anal´ıtica es artificial, por otra parte, esta restricci´on falla en muchos problemas de aplicaciones, as´ı, como teor´ıa general, es muy exigente. El problema del rigor en el Calculus, se pudo establecer en el siglo XIX, b´asicamente por las tres circunstancias siguientes: exist´ıa un ´algebra de desigualdades bien desarrollada, el rigor se empezaba a considerar importante, y los conceptos relacionados con la convergencia (l´ımites, series, derivadas, integrales definidas, etc.) eran describibles en el lenguaje de las desigualdades. Si tomamos en cuenta la demostraci´on del Teorema de Cauchy (construcci´on de las Quebradas de Euler y demostraci´on de su convergencia usando una serie num´ erica mayorante) veremos que necesitaba de los requerimientos antes se˜nalados. Este m´etodo de Cauchy-Lipschitz tiene sobre el de Picard-Lindeloff (aproximaciones sucesivas), la ventaja que permite construir la soluci´on en todo intervalo finito donde ´esta es continua. En general, los teoremas que son utilizados en los cursos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias no son constructivos, es decir, no brindan f´ ormulas o algoritmos para determinar las soluciones. Pese a ello, su tratamiento se ha mantenido pues permite una formulaci´on matem´ atica razonable, a´ un en el ambiente algebraico en que est´a inmerso. As´ı, la ecuaci´on y ′ = y 2 + t2 , y(0) = 1, no se puede resolver en cuadraturas sin embargo, admite una u ´nica soluci´on y las quebradas convergen uniformemente hacia dicha soluci´ on. Por otra parte, la necesidad de escribir libros de textos para las nuevas instituciones surgidas de la Revoluci´on Francesa y el Imperio Napole´onico (Cauchy en Par´ıs, Weierstrass en Berl´ın) oblig´o a repensar y estructurar el C´alculo. El establecimiento de la Ecole Polytechnique en 1795, cre´o una forma de explicar la Matem´atica, que se convertir´ıa en el modelo de la educaci´on universitaria. Aparte de la obra de Lacroix ya citada, no existen textos de referencia, por lo que Cauchy comenzar´ıa la escritura sistem´ atica de sus notas de clase. Sin
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embargo, el objetivo u ´ltimo no ser´ıa el entrenamiento de sus principiantes sino la investigaci´on cient´ıfica, de ah´ı que su obra escrita resalte el pensamiento conceptual y la eliminaci´o n del pensamiento algor´ıtmico presente hasta el momento. Sin embargo, hay un detalle sobre el que queremos volver y es el del “famoso” teorema de existencia de Peano. A fines del siglo pasado, G. Peano (1858-1932) publica dos art´ıculos, en los cuales formula dos teoremas de existencia diferentes, considerando que x y f pertenecen al d espacio euclidiano Rd y t es real. Sea K un n´umero positivo, J = [0, 1], f continua en JxRd y 1 f (t, x) K para (t, x) Jx Rd .
−
≤
∈
Teorema 1.1.2. (1886) Sea d = 1. El problema inicial x′ (t) f (t, x(t)) para t
∈ J, x(0) = 0,
(1.5)
posee soluciones X m´ın , X ma´x tal que para toda soluci´on X m´ın (t) para t
≤ x(t) ≤ X ma´x(t)
∈ J.
Teorema 1.1.3. (1890) Sea d
≥ 1. El problema inicial (1.5) posee al menos una soluci´on.
Observemos que en el caso d = 1, el Teorema (1.1.3) es una consecuencia trivial del Teorema (1.1.2). Esto significa que toda prueba del Teorema (1.1.2) es tambi´ en una prueba del Teorema (1.1.3), por otra parte, las demostraciones del Teorema (1.1.3) son m´as simples que las del Teorema (1.1.2). Todos los autores que mencionan el nombre de Peano, llaman en todo momento al Teorema (1.1.3) el Teorema de Peano, cuando hemos visto que en realidad, no es un ´unico teorema. Una prueba elemental del Teorema de Peano es aquella en la cual se evita la equicontinuidad y en lugar del Lema de Arzel´a-Ascoli se utilizan propiedades especiales de R (´o Rd ) sin entrar a valorar la noci´on de constructividad enfatizada por numerosos autores. Muchas pruebas elementales del teorema (1.1.2) existen, sin embargo las del Teorema (1.1.3) son escasas, una demostraci´ on de este tipo es de inter´ es did´actico al menos, puesto que el caso d = 1 del Teorema (1.1.3), es tratado separadamente en muchos textos, por otra parte la existencia de X m´ın , X ma´x puede justificarse como el ´ınfimo, supremo del conjunto de todas las soluciones de (1.5) probando que ´este es no vac´ıo (exactamente el planteamiento del Teorema (1.1.3)). Este bosquejo hist´orico nos permite hacer las siguientes observaciones respecto al programa actual: 1. El concepto de Ecuaci´ on Diferencial nace (a fines del siglo XVII) coma una ecuaci´on que relaciona diferenciales, este concepto se mantiene estable hasta que Cauchy (hacia 1821) agrega la derivada. Como veremos en el an´alisis de los libros de texto, esta ´ultima definici´ on es la que se conserva en la actualidad “desapareciendo” las diferenciales, aunque cuando se exponen los m´ etodos de resoluci´on de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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de primer orden se usa la primera concepci´on sin explicitarla (es decir, la derivada ya no es la derivada, sino un cociente entre diferenciales), renaciendo el manejo algebraico del que tanto hemos hablado, pues hace de este m´etodo de soluci´on, una herramienta “apetecible” desde el punto de vista did´actico, sin olvidar el Principio de Superposici´on ya mencionado. 2. La forma de introducir las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden en la obra de Euler y Cauchy, es tomando la expresi´on diferencial pdx+qdy, como la diferencial de una cierta funci´on u = u(x, y), y de aqu´ı a du = 0 y finalmente a la soluci´on general u(x, y) = c. En el caso en que no se pueda encontrar la funci´on u(x, y), construyen un factor de integraci´on que convierte en exacta la ecuaci´on diferencial. Despu´ es pasan a estudiar los otros tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden (v.g., las lineales, de Bernoulli, las homog´ eneas, etc.), teniendo siempre en mente que necesitan construir un factor de integraci´ on. Esta situaci´on, en general, no se conserva en el curriculum actual. Los principales hechos que propiciaron esto son la aparici´on y demostraci´on del ´ Teorema Fundamental del Algebra (la primera demostraci´on cierta, la ofreci´o Gauss a los 22 a˜ nos en su tesis doctoral) que, en su formulaci´on actual, afirma que todo p olinomio de grado n en C, tiene exactamente n ceros complejos (iguales o distintos) por lo que C es un dominio num´ erico que proporciona soluci´ on a cualquier ecuaci´on algebraica, y el desarrollo de la Teor´ıa de Funciones de Variable Compleja, que permitieron presentar una teor´ıa de “solubilidad” completa para las ecuaciones lineales de orden n, brindando de esta forma, una formidable herramienta docente para modelar m´ultiples fen´omenos pr´acticos. 3. Los acercamientos que existen para la b´usqueda de las soluciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, se han dado fundamentalmente en tres escenarios: el algebraico, el num´erico, el geom´etrico, cada uno con procedimientos distintos y representaciones diferentes para la soluci´on, a saber: una f´ormula o una serie infinita, un conjunto (obtenidos por un proceso iterativo) y una familia de curvas. De estos tres, el algebraico siempre se ha trasladado a los libros de texto, mientras que el num´erico es m´as escaso y aparece com´ unmente en textos de An´alisis Num´ericos, en el caso del geom´etrico, a pesar de contar con m´ as de 100 a˜ nos de antig¨ uedad, est´a pr´ acticamente confinado al tratamiento de las isoclinas y el campo de pendientes, sin embargo la soluci´on de sistemas lineales con coeficientes constantes en el plano, es decir, sistemas del tipo x ′ = ax + by, y ′ = cx + dy (ad = bc), en el cual el tratamiento de sus ra´ıces caracter´ısticas es puramente algebraico, se olvida que en esa naturaleza algebraica est´a toda la informaci´ on necesaria para determinar la configuraci´ on geom´etrica de los puntos de reposo, pues existe solo un n´umero limitado de casos posibles.
4. Una cuesti´ on crucial de la concepci´on actual del curso de ecuaciones diferenciales es su car´ acter algor´ıtmico-algebraico, la cual esta determinada, p or la relaci´ on tan cercana que
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existe entre el desarrollo del ´algebra (como b´ usqueda de las ra´ıces de un polinomio en t´erminos de radicales) y de las ecuaciones diferenciales lineales (en cuanto a su integraci´on por cuadraturas). Incluso, a´ un en la concepci´on “moderna” de operadores lineales, esta herencia est´a presente. 5. Respecto del programa de estudio actual, existe una clara permanencia del escenario algebraico sobre los otros dos escenarios, el cual se debe, adem´as de la contundencia de la componente hist´orica y a lo se˜ nalado antes, a otros factores, de los cuales se˜nalaremos los siguientes: a) Los procedimientos algor´ıtmico-algebraicos son m´ as sencillos de desarrollar en los estudiantes como los demuestran los estudios de Artigue entre otros. Muy vinculado con las tendencias cognitivas y conductistas de la Educaci´on Matem´ atica que, poco a poco, y en mayor medida gracias al rechazo de las “Matem´aticas Modernas”, ha ido desapareciendo y dando lugar al “Problem Solving ”, con una concepci´on did´actica y epist´emica, totalmente diferente. b) Instrumentar los escenarios geom´ etrico y num´ erico en el aula, requiere necesariamente de la microcomputadora, ya que de otra forma es dif´ıcil visualizar, v.g., los campos de pendientes y las curvas isoclinas, por un lado, y las soluciones aproximadas por el otro. c) Con la incorporaci´ on de la trasformada de Laplace, hacia la segunda mitad de ´este siglo, los procedimientos algebraicos vuelven a cobrar un nuevo impulso en la ense˜ nanza.
2
´ DEFINICIONES BASICAS Objetivos: Proporcionar
al estudiante los conocimientos, aptitudes y habilidades necesarias que le
permitan tener un criterio anal´ıtico y pr´actico de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Reconocer Conocer
el tipo de ecuaci´on diferencial ordinaria o parcial.
el grado, orden y linealidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Interpretar geom´etricamente las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias me diante el m´etodo de las isoclinas.
2.1.
Definici´ on de Ecuaci´ on Diferencial.
Una ecuaci´on diferencial es aquella ecuaci´on que contiene derivadas o diferenciales de una funci´on inc´ognita; dichas inc´ognitas son funciones y al resolver una ecuaci´on diferencial buscamos una o un conjunto de funciones.
Observaci´ on 2.1.1. Excluiremos de las ecuaciones diferenciales aquellas ecuaciones que sean identidades, ejemplo: d dy (xy) = x + y dx dx
o
d (tan x) = sec2 x dx
Ejemplo 2.1.1. Veamos los siguientes ejemplos de ecuaciones diferenciales: 1.
dy = 5x2 + 3x dx
−1
2. y ′′′ + 2y′′ 3.
− 5y′ + 3y = 0 dy x − y cos x =
dx
4. L
y + senx
d2 i di 1 dE + R + i = dt2 dt c dt 15
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5. m 6. 7.
d2 y = mg dt2
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dy − k dx
∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w + + = 0 donde w = f (x,y,z) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 dx = kx, es la ecuaci´on de la desintegraci´on radioactiva, donde k es la constante de dt desintegraci´ on; x es la cantidad de sustancia no desintegrada en el momento de tiempo dx es proporcional a la cantidad de sustancia que se t; la velocidad de desintegraci´on dt desintegra.
−
2.2.
Clasificaci´ on de las Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo y linealidad.
2.2.1.
Clasificaci´ on seg´ un el tipo:
a. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Son aquellas ecuaciones diferenciales donde la funci´on inc´ognita depende de una sola variable independiente, en la cual s´olo aparecen derivadas ordinarias.
Ejemplo 2.2.1. (1
−
d2 y 2 x ) 2 dx
d2 y 2 x dx2
+x
dy − 2x dx + p( p + 1)y = 0
dy + (x2 dx
(Ec. Dif. de Legendre)
− p2)y = 0
(Ecuaci´on diferencial de Bessel)
A las ecuaciones diferenciales ordinarias se les representa simb´olicamente como: F (x,y,y ′ , y ′′ ,
··· , y(n) ) = 0
donde F indica la relaci´on que existe entre las variables x, y, adem´as de sus derivadas y ′ , y ′′ ,
··· , y(n).
b. Ecuaciones Diferenciales Parciales. Son aquellas ecuaciones diferenciales donde la funci´on inc´ognita depende de varias variables independientes y las derivadas son derivadas parciales.
Ejemplo 2.2.2. ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u a) + + 2 = 0, donde u = f (x,y,z) ∂x 2 ∂y 2 ∂z b)
a2
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u + + = , ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t
(Ec. Dif. de Laplace) (Ecuaci´on diferencial del Calor)
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c) a2
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∂ 2 u ∂ 2 u d) + 2 = f (x, y), ∂x 2 ∂y
2.2.2.
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u + + = , ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t 2
17
(Ecuaci´on diferencial de la Onda)
(Ecuaci´on diferencial de Poisson)
Clasificaci´ on seg´ un la linealidad o no linealidad:
Una ecuaci´on diferencial de la forma y (n) = f (x,y,y ′ , una funci´on lineal de y, y ′ ,
··· , y(n−1).
··· , y(n−1)) es lineal cuando f es
Esto significa que una ecuaci´on es lineal si se puede escribir en la forma dn y dn−1 y an (x) n + an−1 (x) n−1 + dx dx
dy ··· + a1(x) dx + a0 (x)y = g(x)
Cuyas caracter´ısticas son: i. La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia
de todo t´ermino donde aparece y es 1. ii. Cada coeficiente s´olo depende de x, que es la variable independiente. ′
Las funciones de y como seny o las funciones de las derivadas de y, como ey no puede aparecer en la ecuaci´on lineal. Cuando una ecuaci´on diferencial no es lineal, se dice que es no
lineal. Las ecuaciones (x + 5)dx + 2xdy = 0 y′′ + 5y ′ y = 0 3 du 2d u t + 7u = e2t 3 dt dt
− −
son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Por otro lado, son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales:
el coeficiente depende de y (2 + y)y ′ + 3y = e x
Funci´ on no lineal de y
Potencia distinta de 1
d3 y + seny = 0 dx3
d4 y + y2 = 0 dx4
Cuadro 2.1: Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales
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2.3.
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Orden de una Ecuaci´ on Diferencial
El orden de una ecuaci´ on diferencial est´a determinado por el orden de la derivada de mayor orden.
Ejemplo 2.3.1. a) y ′′ + y = e x , es una ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden. b)
d4 y dt4
c) y iv
2
5
d2 y +2 dt2
+
dy = 0, es una ecuaci´on diferencial ordinaria de 4to orden. dt
− xy′′ = x2, es una ecuaci´on diferencial ordinaria de 9no orden.
∂φ ∂ 2 φ ∂ 4 φ ∂ 3 φ ∂ 2 φ ∂φ d) + + + 3 + 2 + = 0, es una ecuaci´on diferencial parcial de 4to orden. ∂w ∂a 2 ∂l 4 ∂t ∂e ∂r
2.4.
Grado de una Ecuaci´ on Diferencial
El grado de una ecuaci´on diferencial est´a determinado por el exponente entero positivo que afecta a la derivada de mayor orden. Si en una ecuaci´on diferencial, la derivada de mayor orden tiene exponente fraccionario, se debe proceder a racionalizarla de tal manera que se obtenga exponentes enteros positivos y el exponente de la derivada de mayor orden ser´a el grado de la ecuaci´on diferencial. No todas las ecuaciones diferenciales poseen grado.
Ejemplo 2.4.1. a)
dy + P (x)y = Q(x), es una EDO de 1er orden y de 1er grado. dx
b)
d3 y dx3
2
+
d2 y dx2
4
= y 2 + y
− 3x, es una EDO de 3er orden y de 2do grado.
c) (y ′′ )2/3 = 1 + y′ , se puede racionalizar, pues elevando al cubo se tiene: (y ′′ )2 = (1 + y ′ )3 , luego la ecuaci´on es una EDO de 2do orden y de 2do grado. d) y ′′′ =
√ x + y, es una EDO de 3er orden y de 1er grado.
e) y ′′ + (y ′ )2 = ln y′′ , es una EDO de 2do orden, cuyo grado no est´a definido.
Ejercicios Resueltos 1. y ′ = 2x + x2 + 5y, es una EDO de primer orden y de primer grado. 2. y ′′ + 2y ′
− 3y = ex, es una EDO de segundo orden y de primer grado.
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3.
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2 ∂ 2 u 2 ∂ u , es una EDP de 2do orden y de 1er grado. (Ecuaci´ = a on de la Onda) ∂t 2 ∂x 2
∂u ∂ 2 u 2 4. = a , es una EDP de 2do orden y de 1er grado. (Ecuaci´on del Calor) ∂t ∂x 2 5. 6. 7.
∂ 2 u ∂ 2 u + 2 , es una EDP de 2do orden y de 1er grado. (Ecuaci´on de Laplace) ∂x 2 ∂y
− d2 y dt2
3
d3 y dt3
2
d3 y dt3
2
dy 4 dt
4
+
= t 2
− 3t + 5y, es una EDO de tercer orden y de segundo grado.
+ ty = 8, es una EDO de tercer orden y de segundo grado.
8. y ′′ + 3x2 y = seny ′′ + 2x, es ordinaria de segundo orden dos y de grado no definido. 9.
∂ 2 u ∂u 3 = 3 , es una EDP de segundo orden y de primer grado. ∂x 2 ∂y
d2 y 10. = dx2
4
y +
dy dx
2
, es una EDO de segundo orden y de primer grado.
Algunas Aplicaciones a. Cien gramos de az´u car de ca˜ n a que est´a n en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que a´u n no se ha convertido. H´allese la ecuaci´ on diferencial que exprese la velocidad de conversi´on despu´es de t minutos.
Soluci´ on: Sea q el n´ umero de gramos convertidos en t minutos. El n´ umero de gramos a´ un no convertidos ser´a 100
− q.
Luego por dato del problema, la velocidad de conversi´on estar´ a expresada por dq = k(100 q ), donde k es la constante de proporcionalidad. dt
−
b. Expresar mediante ecuaciones diferenciales el siguiente principio qu´ımico: Para cierta sustancia, la velocidad de cambio de presi´o n de vapor (P ) respecto a la temperatura (T ) es proporcional a la presi´on de vapor e inversamente proporcional al cuadrado de la temperatura.
Soluci´ on. La velocidad de cambio de presi´on de vapor (P ) respecto a la temperatura (T ) est´a exdP presada por , luego por dato del problema se tiene: dT dP kP = 2 . dT T
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c. Seg´ un la Ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfr´ıa una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Obtener la ecuaci´on diferencial respectiva.
Soluci´ on. Sea T s =temperatura de la sustancia en el instante t. T a =temperatura del aire. Luego la velocidad a la que se enfr´ıa una sustancia es
dT s . dt
Por condici´ on del problema se tiene: dT s = dt
−k(T s − T a),
k > 0
donde k es la constante de proporcionalidad. El signo negativo se debe a la que la temperatura de la sustancia disminuye al transcurrir el tiempo.
2.5.
Soluci´ on de una Ecuaci´ on Diferencial.
Cuando una funci´on φ, definida en alg´un intervalo I , se sustituye en una ecuaci´on diferencial y transforma esa ecuaci´on en una identidad, se dice que es una soluci´on de la ecuaci´on en el intervalo, en otras palabras el problema en las ecuaciones diferenciales consiste esencialmente en encontrar la primitiva que dio origen a la ecuaci´on diferencial, esto quiere decir: dy Si y = F (x) es una funci´on y f es la antiderivada de F, es decir = F ′ (x) = f (x), de dx donde dy = f (x) (2.1) dx es una ecuaci´on diferencial ordinaria, luego, la soluci´on (2.1) consiste en encontrar una funci´on y = G(x) tal que se verifique (2.1). Como F es la antiderivada de f , entonces G(x) = F (x) + C, donde C es una constante es decir: d(G(x)) = d(F (x) + C ) = F ′ (x)dx = f (x)dx luego y = G(x) = F (x) + C se llama soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial (2.1).
Ejemplo 2.5.1. La funci´on y = senx +cos x es soluci´on de la ecuaci´on diferencial y ′′ + y = 0, puesto que si derivamos la funci´on tenemos y′ = cos x y ′′ =
− senx −senx − cos x
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luego sumando y ′′ + y =
21
−senx − cos x + senx + cos x = 0.
La gr´ afica de una soluci´on de la ecuaci´on diferencial se denomina curva integral de la ecuaci´ on. Se llama soluci´ on particular de la ecuaci´on diferencial (α) a la que se obtiene de la soluci´ on general asignando cualquier valor determinado a la constante arbitraria C. A una soluci´on que no puede obtenerse a partir de la soluci´on general, es decir no proviene de asignar valores a las constantes arbitrarias de una soluci´on general, se le denomina soluci´ on
singular de la Ecuaci´on Diferencial Ordinaria. Ejemplo 2.5.2. Verificar que la funci´on y = cx y = xy ′
− c2 es una soluci´on general de la ecuaci´on
− y′2. Adem´as verificar que la funci´on y = x2/4 es tambi´en soluci´on.
Soluci´ on:
− c2 entonces y′ = c reemplazando en la ecuaci´on diferencial se tiene: cx − c2 = cx − c2 , donde se verifica la identidad; por lo tanto: y = cx − c2 es una soluci´on general. 2 Si y = cx
x x , derivando se tiene y ′ = y reemplazando en la ecuaci´on diferencial 4 2 2 2 x x x x y = xy ′ y′2 tenemos: = x( ) ( )2 = con lo cual se verifica la identidad. 4 2 2 4 x2 Como la soluci´on y = no se puede obtener de la soluci´on general y = cx c2 para 4 x2 ning´ un valor de la constante C, entonces decimos que y = es una soluci´on singular. 4 Ahora, para y =
−
−
−
2.6.
Teorema de Existencia y Unicidad
Sea dada la ecuaci´on diferencial y ′ = f (x, y), donde la funci´on f (x, y) est´a definida en una regi´ on D del punto XOY que contiene al punto (x0 , y0 ). Si la funci´on f (x, y) satisface las siguientes condiciones: a) f (x, y) es una funci´on continua en la regi´on D. b) f (x, y) admite la derivada parcial
∂f continua con respecto a x e y en la regi´on D. ∂y
Entonces existe una, y solo una, soluci´on y = φ(x) de la ecuaci´on dada que satisface a la condici´ on y
La condici´ on y
= y 0 . x=x0
= y 0 se llama condici´on inicial. x=x
0 El problema de la b´usqueda de la soluci´on de la ecuaci´on y ′ = f (x, y) que satisface a la
condici´ on inicial y
x=x0
= y 0 ; lleva el nombre de Cauchy.
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Y
y0
0
M 0 (x0 , y0 )
x0
X
Figura 2.1: Teorema de Existencia y Unicidad (a)
Problema con valor inicial: ecuaci´on diferencial + condiciones iniciales. Geom´ etricamente, esto significa que se busca la curva integral que pasa por el punto dado M 0 (x0 , y0 ) del plano XOY.
Ejemplo 2.6.1. Aplicar el teorema de existencia y unicidad a la ecuaci´on y ′ = 3y 2/3 , con y(0) = 0.
Soluci´ on: La ecuaci´o n es de la forma y ′ = f (x, y), donde f (x, y) = 3y2/3 . Adem´as f (x, y) = 3y 2/3 , est´ a definida en todo el plano X Y, por lo tanto la regi´ on D es todo el plano X Y y contiene a la condici´ on inicial (0, 0). As´ı:
Condici´ on de Existencia: La funci´on es continua para todo x y para todo y, y por lo tanto es continua en todo el plano X Y. Esto nos asegura que existe por lo menos una soluci´on.
Condici´ on de Unicidad: Derivando parcialmente la funci´on f con respecto a y se tiene: ∂f (x, y) ∂ (3y2/3 ) = = 2y −1/3 ∂y ∂y entonces
∂f (x, y) 2 = 1/3 . ∂y y
∂f (x, y) no es continua para y = 0, y por lo tanto no es continua en el plano ∂y XY . Esto indica que la ecuaci´on diferencial puede tener m´as de una soluci´on en el plano X Y, Se ve que
como por ejemplo y(x) = x3 e y(x) = 0, son tambi´ en soluciones que satisfacen la condici´on inicial y(0) = 0.
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Matem´ atica IV
23
Ejemplo 2.6.2. Establecer la regi´on del plano X Y donde se puede garantizar la existencia y unicidad de la soluci´on de la soluci´on de la ecuaci´on diferencial y ′ =
− 1
x2
Condici´ on de Existencia: La funci´on f (x, y) debe ser continua.
− − − − −
− y2.
y 2 ser´a continua si 1 x2 y2 0 entonces x2 + y2 1. ∂f (x, y) debe ser continua. Condici´ on de Unicidad: La derivada parcial ∂y ∂f (x, y) y ∂f Como = , entonces la derivada ser´a continua si 1 x2 y2 > 0 ∂y ∂y 1 x2 y2 ∂f entonces x2 + y2 < 1. An´alogamente sucede con ∂x Por lo tanto, la regi´on est´a dada por: (x, y) R/ x 2 + y 2 < 1 . Luego f (x, y) =
1
x2
− − ≥
≤
− −
{
∈
}
Y
1
−1
1
X
−1
Figura 2.2: Teorema de Existencia y Unicidad (a)
2.7.
Grafica de Curvas Integrales (M´ etodo de las isoclinas)
El problema de la construcci´on de las curvas integrales se resuelve introduciendo las isoetrico1 de puntos en los que las tangentes a las curvas clinas. Se llama isoclina al lugar geom´ integrales consideradas tienen una misma direcci´ on o cuyas pendientes son constantes. La familia de las isoclinas de la ecuaci´on diferencial y′ = f (x, y)
(2.2)
se determina por la ecuaci´on f (x, y) = k, donde k es un par´ametro. D´ andole al par´ ametro k valores pr´oximos dibujamos una red bastante compacta de isoclinas, por donde se pueden 1
Un lugar geom´etrico es un conjunto de puntos que satisfacen una propiedad y solo estos puntos satisfacen
dicha propiedad.
24
Matem´ atica IV
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trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuaci´ on diferencial.
Construcci´ on de las curvas integrales: Para construir las curvas integrales de una ecuaci´on diferencial seguiremos los siguientes pasos:
a. Cuando k = 0, la isoclina nula f (x, y) = 0, (y′ = 0 ), nos proporciona las l´ıneas en las que pueden estar situados los puntos de m´aximo y m´ınimo de las curvas integrales. Cuando k = 1, la isoclina nula f (x, y) = 1, (y ′ = 1), nos indica que las tangentes a las curvas integrales forman ´angulos de 45º con respecto al eje X. Cuando k =
−1, los ´angulos formados con respecto al eje X son de 135.
b. Despu´es del primer paso, hay que aplicar el criterio de la primera derivada para encontrar las regiones de crecimiento y decrecimiento de las curvas soluci´on.
c. Luego pasamos a aplicar el criterio de la segunda derivada para hallar el lugar geom´etrico de los puntos de inflexi´on2 , si ´estos existen; as´ı como para determinar las zonas de concavidad hacia arriba y hacia abajo. Adem´as se comprueba si la curva dada donde y ′′ = 0 (la segunda derivada se anula), es una curva integral, para lo cual se reemplaza en la ecuaci´on diferencial y ′ = f (x, y). Al trazar las curvas integrales, para mayor exactitud, hallan tambi´ en el lugar geom´ etrico de los puntos de inflexi´on. Para esto se halla y ′′ de la ecuaci´on (2.2): ∂f ∂ f ′ ∂f ∂f + y = + f (x, y) ∂x ∂y ∂x ∂y y se iguala a cero. La l´ınea determinada por la ecuaci´on ∂f ∂f + f (x, y) =0 ∂x ∂y es, precisamente, el lugar geom´ etrico de los puntos de inflexi´on, si ´estos existen. y ′′ =
Ejemplo 2.7.1. Usando el m´etodo de las isoclinas, trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuaci´on diferencial y ′ = 2x
Soluci´ on.
− y.
Para obtener las ecuaciones de las isoclinas, hacemos y ′ = k (k =constante). Se tiene: 2x
− y = k, o bien, y = 2x − k.
Las isoclinas son rectas paralelas.
Para k = 0 se obtiene la isoclina y = 2x. Esta recta divide el plano XOY en dos partes, en cada una de las cuales la derivada y ′ tiene un mismo signo (Vea la figura 2.3) 2
Un punto de inflexi´ on es un punto donde los valores de x de una funci´ on continua pasa de un tipo de
concavidad a otro. La curva “atraviesa” la tangente. Matem´ aticamente la segunda derivada de la funci´ on f en el punto de inflexi´ on es cero, o no existe. En el c´ alculo de varias variables a estos puntos de inflexi´on se les conoce como puntos de ensilladura.
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Matema´tica IV
25
Figura 2.3: Curvas integrales de la ecuaci´on on diferencial y diferencial y ′ = 2x
−y
La Curvas integrales cort´ andose andose con la recta y = 2x, pasan x, pasan de la regi´on on de decrecimiento de la funci´on y on y a la regi´on on de crecimiento de la misma y viceversa. Por lo tanto, en esta recta se encuentran los puntos extremos de las curvas integrales, los puntos de m´ınimo. Consideremos Consideremos otras dos isoclinas: isoclinas: k = 1,
y = 2x + 1
k = 1,
y = 2x
−1
Las tangentes, trazadas a las curvas integrales en los puntos de intersecci´on on con las isoclinas k = 1 y k = 1 forman con el eje 0X 0 X ´angulos angulos de 135 y 45, 45, respectivamente. Hallemos ahora la segunda derivada: y ′ = 2 La recta y = 2x
− y′ = 2 − 2x + y.
− 2, en la que y′′ = 0, es la isoclina que se obtiene para k = 2, y a la
vez es una curva integral, de lo que puede uno convencerse sustituyendo en la ecuaci´on. Como el segundo miembro de la ecuaci´on on considerada f ( f (x, y ) = 2x
− y, satisface a las condiciones
del teorema de existencia y unicidad en todo el plano X 0 X 0Y, las dem´as as curvas integrales no se cortan con esta isoclina. La isoclina y = 2x, x, en la que se encuentran los puntos m´ m´ınimos de las curvas integrales, est´ a situada situada sobre la isoclina isoclina y = y = 2x 2, por lo cual, las curvas curvas integrales integrales que pasan por debajo de la isoclina y isoclina y = 2x
−
− 2 no tienen puntos extremales. La recta y = 2x − 2 divide el plano X OY en OY en dos partes, en una de las cuales (la que
est´ a situada sobre la recta) y recta) y ′′ > 0 > 0,, y por lo tanto, las curvas integrales tienen dirigidas hacia arriba sus concavidades, y en la otra, y ′′ < 0, 0 , y por consiguiente, las curvas integrales tienen
26
Matema´tica IV
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sus concavidades dirigidas hacia abajo. Como las curvas integrales no se cortan con la recta y = 2x
− 2, ´esta esta no es el lugar geom´etrico etrico de los puntos de inflexi´ inflexi ´on. on. Las curvas integrales de
la ecuaci´ ecuaci´ on dada no tienen puntos de inflexi´on. on on.
Trazar aproximadame aproximadamente nte,, las curvas curvas integrales integrales de la ecuaci´ ecuaci´ on on diferencial diferencial Ejemplo Ejemplo 2.7.2. 2.7.2. Trazar y ′ = sen(x sen(x + y ), empleando el m´ etodo etodo de isoclinas.
Soluci´ on: on: Haciendo y ′ = k, k , donde k donde k = const. const. se obtiene la ecuaci´on on de las isoclinas sen(x sen( x + y + y)) = k, k , siendo
−1 ≤ k ≤ 1. Para k = 0, se tiene sen(x sen( x + y ) = 0, de donde: y =
−x + πn
(n = 0, 1, 2,
± ± ···)
(2.3)
Las tangentes a las curvas integrales en sus puntos de intersecci´on con estas isoclinas son horizontales. Determinemos si las curvas integrales tienen extremos relativos en las isoclinas y =
−x + πn, y cu´ales ales son m´aximos aximos o m´ınimos. Para esto, hallamos la segunda derivada: y ′′ = (1 + y′ )cos(x )cos(x + y) = [1 + sen(x sen( x + y )]cos(x )]cos(x + y ).
Para y Para y =
−x + πn, o sea, si x + y = π = πn, n, se se tiene y ′′ = (1 + senπn senπn)cos )cos πn = πn = ( 1)n .
−
Si n es par, resulta, y ′′ > 0, y por consiguien consiguiente, te, las curvas curvas integrale integraless tienen tienen m´ınimos relativos en los puntos de intersecci´on on con las isoclinas y isoclinas y = =
−x + πn, donde πn, donde n n = = 0, ±2, ±4, · · · ;
si n es impar, resulta, y ′′ < 0, 0 , y las curvas integrales tienen m´aximos relativos en los puntos de intersecci´on on con las isoclinas y isoclinas y = Hallemos ahora las isoclinas:
−x + πn, donde πn, donde n n = = ±1, ±3, · · · .
−x − π2 + 2πn 2πn (2.4) π k = 1, sen(x sen(x + y) = 1 y = −x + + 2πn 2πn (2.5) 2 (n = 0, ±1, ±2, · · · ) Las isoclinas son rectas paralelas con el coeficiente coeficiente angular igual a −1, o sea, que se cortan k =
−1, sen(x sen(x + y ) = −1
y =
con el eje O eje OX X forman f ormando do con ´este este un angulo ´angulo de 135. 135. F´acilmente acilmente se comprueba que las isoclinas (n = 0, 1, 2,
± ± · · · ), son curvas curvas integrales integrales de la ecuaci´ ecuaci´on on diferencial diferencial considerada considerada (para esto, es
suficiente poner la funci´on on en la ecuaci´on on (2.3)).
El segundo miembro de la ecuaci´on on dada, o sea, la funci´on on f ( f (x, y ) = sen(x sen(x + y ), satisface a las condiciones del teorema de existencia y unicidad en todos los puntos del plano XOY, por esto, las curvas integrales no se cortan y por ende, no se cortan con las isoclinas y =
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27
−x − π2 + 2πn. πn . Por otra parte, la derivada y ′′ se anula si 1 + sen(x sen( x + y + y)) = 0, o sea, en las
isoclinas (2.4), y si cos(x cos( x + y + y)) = 0, o sea, en las isoclinas (2.4) y (2.5) al pasar de izquierda
a derecha por las isoclinas (2.5), y ′′ cambia el signo de m´as a s a menos. Por ejemplo, si se considera la “franja¸comprendida comprendida entre las isoclinas y = x e y = x + π, + π, resulta que en la π isoclina y = x + tiene y ′′ = 0; bajo la isoclina, y ′′ > 0, 0 , o sea, la concavidad de la curvas 2 integrales est´a dirigida hacia arriba, sobre la isoclina, y ′′ < 0, o sea, la concavidad de las
−
−
−
curvas integrales est´a dirigida hacia abajo. Por lo tanto, las isoclinas (2.5) representan el lugar geom´ etrico etrico de los puntos de inflexi´on on de las curvas integrales. Los datos obtenidos permiten trazar aproximadamente la familia de las curvas integrales de la ecuaci´on dada. Para mayor exactitud, se deben trazar tambi´ tambi´en en unas cuantas isoclinas (Vea (Vea la figura figur a 2.4)
Figura 2.4: Curvas integrales de la ecuaci´on on diferencial y diferencial y ′ = sen(x sen(x + y)
etodo de las isoclinas, trazar las curvas integrales de la ecuaEjemplo 2.7.3. Aplicando el m´etodo ci´ on on diferencial y ′ = y = y
Soluci´ on: on:
− x2 + 2x 2x − 2
Hacemos y ′ = k (k =constante). La ecuaci´on on de las isoclinas es: y
− x2 + 2x 2x − 2 = k,
o bien y = x = x 2
− 2x + 3 + k.
Las isoclinas son par´abolas abolas con el eje vertical de d e simetr´ simetr´ıa x = 1. Entre las isoclinas no hay curvas integrables. En efecto, poniendo en la ecuaci´on on dada y = x = x 2 + 2 + k,
y ′ = 2x
−2
28
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se tiene, 2x o bien 2x 2x
− 2 = x2 + 2x 2x + k − x2 + 2x 2x − 2,
− 2 = k. k .
Pero, cualquiera que sea el valor de k, esta igualdad no puede verificarse id´enticamente enticamente con respecto a x. Sea k Sea k = = 0. En este caso, las curvas integrales tienen tangentes horizontales en los puntos de intersecci´ on on con la isoclina y isoclina y = = x x 2 2x + 2. La Isoclina k Isoclina k = = 0, o sea, la par´abola y abola y = = x x 2 2x + 2,
−
−
divide el plano X plano X OY en OY en dos partes: en una de ellas y ′ < 0 < 0 (las soluciones soluciones decrecen), decrecen), mientras mientras que en la otra y otra y ′ > 0 > 0 (las soluciones crecen). Como esta isoclina no es una curva integral, en ella est´an an situados los puntos de extremo relativo de las curvas integrales: integrales: los puntos de m´ınimo se encuentran en la parte de la par´ par ´abola abola y = x = x 2 x > 1. 1 .
− 2x + 2,2, en que x que x < 1, 1, y los puntos de m´aximo, aximo, en la otra parte de la misma, en que
La curva integral que pasa por el punto (1, (1, 1), 1), o sea, p or el v´ ertice, ertice, de la par´abola abola y = x2
− 2x + 2,2, no tiene extremo relativo en este punto.
Los coeficien coeficientes tes angula angulares res de las tangen tangentes tes a las curv curvas integ integral rales es en los puntos puntos de las
isoclinas k isoclinas k = = 1, y = x = x 2 2x +3 y k = k =
−
−1, y = +1,, son iguales a 1 y −1, respectivamente. respectivamente. y = x x 2 − 2x +1
Para averiguar las direcciones de las concavidades de las curvas integrales, hallemos la derivada derivada segunda. segunda. Se tiene
y′′ = y ′ = y′′ =
− 2x + 2 y − x2 + 2x 2x − 2 − 2x + 2 y − x2 .
Esta se anula solamente en los puntos situados en la par´abola y abola y = = x x 2 . Las curvas integrales tienen sus concavidades dirigidas hacia abajo ((yy ′′ < 0) en los puntos del plano X OY OY cuyas coordenadas satisfacen a la condici´on y on y < x2 , y sus concavidades dirigidas hacia arriba (y ( y ′′ > 0) > 0) en los puntos, donde y donde y > x2 . Los puntos de intersecci´on on de las curvas integrales con la par´abola abola y = x = x 2 , son los puntos de inflexi´on on de ´estas. esta s. As´ As´ı, pues, pue s, la par´ par ´abola abola y = x = x 2 es el lugar geom´ etrico etrico de los puntos de inflexi´on on de las curvas integrales. El segundo miembro de la ecuaci´on on inicial f inicial f ((x, y ) = y x2 2x 2 satisface a las condiciones
− − −
del teorema de existencia y unicidad en todos los puntos del plano XOY, por XOY, por lo cual, por cada punto del plano pasa una sola curva integral de la ecuaci´on. on. Aplicando los resultados obtenidos, trazamos aproximadamente la familia de las curvas integrales de la ecuaci´on on dada
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Figura 2.5: Curvas integrales de la ecuaci´on on diferencial diferencial y ′ = y = y
29
− x2 + 2x 2x − 2
o n de dos o m´as as isoclinas pueden ser puntos Observaci´ on on 2.7.1. 2.7.1. Los puntos de intersecci´on singulares de la ecuaci´on on diferencial (2.1) (o sea, puntos en los que el segundo miembro de la ecuaci´ on on (2.1) no est´a definido).
y Examinemos la ecuaci´on on y ′ = . La familia de las isoclinas se determina por la ecuaci´on on x y = k. Esta representa una familia de rectas que pasan por el origen de coordenadas, de x modo que en este punto se cortan las isoclinas que corresponden a diversas pendientes de las tangentes a las curvas integrales. F´acilmente acilmente se observa que la soluci´on on general de la ecuaci´on on
dada es de la forma y forma y = = C C x y que el punto (0, (0 , 0) es un punto singular de 1a ecuaci´on on diferencial. En este caso, las isoclinas son curvas integrales de la ecuaci´on (Vea la figura 2.6)
Figura 2.6: Curvas integrales de la ecuaci´on on diferencial diferencial y y ′ =
y x
etodo de las isoclinas, trazar las curvas integrales de la ecuaEjemplo 2.7.4. Aplicando el m´etodo
30
Matem´ atica IV
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dy y x = dx y + x So1uci´ on:
−
ci´ on
Haciendo y ′ = k (k =constante), obtenemos la ecuaci´on de la familia de las isoclinas y x = k. y + x
−
Por lo tanto, las isoclinas son rectas que pasan por el origen de coordenadas O(0, 0). Para k =
−1, obtenemos la isoclina y = 0 (el eje OX ); para k = 0, la isoclina y = x; para
k = 1, la isoclina x = 0 (el eje OY ).
Examinando la ecuaci´ on “invertida” dx y + x = dy y x hallamos la isoclina y = tangentes verticales.
−
−x, en todos los puntos de la cual, las curvas integrales tienen
Todas las isoclina de la ecuaci´on considerada se cortan en el punto (0, 0) (punto singular de la ecuaci´on). Sirviendo de las isoclinas obtenidas trazamos las curvas integrales (Vea figura 2.6)
Ejemplo 2.7.5. Usando el m´etodo de las isoclinas, trazar las curvas integrales de la ecuaci´on diferencial: y ′ = (y
Soluci´ on
− 1)x
Se tiene que la ecuaci´on diferencial es y ′ = f (x, y) = (y
− 1)x, luego realizaremos los
siguientes pasos:
a. Para obtener las isoclinas hacemos f (x, y) = k, es decir: y ′ = f (x, y) = (y (familia de isoclinas). Si k = 0 entonces y ′ = (y
− 1)x = k
− 1)x = 0
lo que implica que y = 1 ´o x = 0. Como y ′ = 0, entonces quiere decir que sobre las curvas y = 1 ´o x = 0 trazamos segmentos de recta con pendiente cero (horizontales). Si k = 1 entonces y ′ = (y
− 1)x = 1
lo que implica que y = 1 +
1 . x
1 Como y ′ = 1, entonces sobre la curva y = 1 + (hip´erbola) trazamos segmentos de x recta con pendiente 1 (´angulos de 45 con respecto al eje X ) . Si k = 1 entonces y ′ = 1 (y 1)x = 1 lo que implica que y = 1 . Como y ′ = 1, entonces sobre la curva x 1 y=1 (hip´erbola) trazamos segmentos de recta con pendiente 1 (´ angulos de 135 x con respecto al eje X ).
−
−
−
−
−
−
−
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31
Y
k=1
k= 1
y=1
X
Figura 2.7: Gr´ afica de la funci´on y = 1
− x1
b. Aplicando el criterio de la primera derivada: La curva integral es decreciente si: y′ = (y
− 1)x < 0
entonces existen dos posibilidades:
− 1 < 0, x > 0 entonces y < 1, x > 0. Si y − 1 > 0, x < 0 entonces y > 1, x < 0.
Si y
Y
y = 1 X 0 = x
Figura 2.8: Regi´on en donde las curvas integrales son decrecientes
La parte rayada de la figura 2.8 nos muestra la regi´on en donde las curvas integrales son decrecientes (no incluye los puntos sobre las rectas y = 1, x = 0) An´ alogamente, la curva integral es creciente si: y′ = (y
− 1)x > 0
32
Matem´ atica IV
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entonces existen dos posibilidades:
− 1 > 0, x > 0 entonces y > 1, x > 0. Si y − 1 < 0, x < 0 entonces y < 1, x < 0.
Si y
Y
y = 1 X 0 = x
Figura 2.9: Regi´ on en donde las curvas integrales son crecientes
La parte rayada de la figura 2.10 nos muestra la regi´on en donde las curvas integrales son crecientes. No incluye los puntos sobre las rectas y = 1, x = 0, donde y ′ = 0. Sobre estas rectas pueden existir m´aximos o m´ınimos.
c. Aplicando el criterio de la segunda derivada: Si y ′ = (y
− 1)x entonces y′′ = y − 1 + xy′.
Reemplazando el valor de y ′ resulta: y ′′ = y
− 1 + ⌊(y − 1)x⌋x
entonces y′′ = (y
− 1)(1 + x2)
La concavidad ser´a hacia arriba si y ′′ > 0. Esto se cumple si y > 1. La concavidad ser´a hacia arriba si y ′′ < 0. Esto se cumple si y < 1. As´ı tenemos que, por encima de la recta y = 1 la curva integral tiene concavidad hacia arriba y por debajo de la recta y = 1 la concavidad ser´a hacia abajo. Los puntos de inflexi´on, si es que existen, ocurrir´an cuando y ′′ = 0. Esto se cumple si y = 1. As´ı se tiene que en ´esta recta cambiar´a el sentido de la concavidad de las curvas integrales. Comprobemos ahora si y = 1 (curva donde la segunda derivada se anula), es curva integral de la ecuaci´on y ′ = (y
− 1)x.
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dy = 0. Reemplazando ambos valores en la ecuaci´on y ′ = (y 1)x, dx vemos que si satisface, luego la recta y = 1 es una curva integral de la ecuaci´on diferencial Si y = 1, entonces y ′ = y′ = (y
−
− 1)x.
Como f (x, y) = (y
− 1)x cumple con las condiciones del teorema de existencia y unicidad
en todo el plano XY, entonces las dem´as curvas integrales no cortan a la curva y = 1, que es una soluci´on. Esto nos indica que las otras curvas estar´an o bien totalmente por encima de y = 1 ´o bien totalmente por debajo de dicha recta.
Figura 2.10: Familia de curvas integrales de y ′ = (y
− 1)x
Finalmente trazamos aproximadamente las curvas soluci´on de modo que al cruzar por las isoclinas las rectas tangentes tengan la pendiente asociada a dicha isoclina, dibuj´andola creciente o decreciente seg´un pase por las regiones de crecimiento o decrecimiento, as´ı como, que tenga la concavidad correspondiente. La figura 2.10 muestra una familia de curvas integrales que satisfaga todas las conclusiones halladas. N´otese que los valores m´aximos y m´ınimos ocurren en la recta x = 0 (donde y ′ = 0).
34
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EJERCICIOS RESUELTOS
✍
on 1. Verificar que la funci´
1.
y = ke −x es soluci´on de la ecuaci´on diferencial: y ′′
−y =0
(2.6)
Soluci´ on: y = ke −x
y ′ =
⇒
−ke−x ⇒
y ′ =
−ke−x
y ′′
Sustituyendo en la ecuaci´on diferencial 2.6 se tiene: ∴
on 2. Verificar que la funci´
y ′′
− y = ke−x − ke−x = 0
− y = 0
y = c 1 senx + c2 cos x es soluci´on de la ecuaci´on diferencial: y ′′ + y = 0
(2.7)
Soluci´ on: y = c 1 senx + c2 cos x
⇒
y = c 1 senx + c2 cos x
⇒
y ′′ =
luego sustituyendo en la ecuaci´on diferencial 2.7 se tiene: y′′ + y =
−c1senx − c2 cos x
−c1 senx − c2 cos x + c1senx + c2 cos x = 0 ∴
y ′′ + y = 0
on u = e −t senbx es soluci´on de la ecuaci´on diferencial: 3. Verificar que la funci´ ∂ 2 u b = ∂t ∂x 2 2 ∂u
Soluci´ on: u = e −t senbx
(2.8)
∂u = ∂t
−e−tsenbx ∂u ∂ 2 u adem´ as = be−t cos bx ⇒ = −b2 e−t senbx 2 ∂x ∂x ∂u ∂ 2 u luego b2 = b 2 (−e−t senbx) = −b2 e−t senbx = ∂t ∂x 2 ⇒
∴
b2
∂u ∂ 2 u = ∂t ∂x 2
∂ 2 u ∂ ∂u = 2 ∂x ∂x ∂x
x
on 4. Verificar que la funci´
y = x
0
sent , satisface a la ecuaci´on diferencial: t x
dy = y + xsenx dx
(2.9)
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Matem´ atica IV
35
Soluci´ on: dy d x sent x sent x sent y = x 0 = x dt + 0 dt 0 t dx dx t t dy senx x sent x sent entonces = x + 0 dt = senx + 0 dt dx x t t ecuaci´ on diferencial 2.9 se tiene:
⇒
dy x = x senx + dx
x
0
sent dt = xsenx + x t
x
0
sent dt = xsenx + y t
dy = y + xsenx dx
x
∴
luego sustituyendo en la
on y = e arcsencx satisface a la ecuaci´on diferencial: 5. Verificar que la funci´ xy ′ = y tan ln y
Soluci´ on: y = e arcsencx de donde
⇒
y ′ =
y ′ = (arcsencx)′ earcsencx cy 1 (cx)2
−
Por otro lado, como
y ′ =
⇒
(2.10)
cearcsencx
−
1 (cx)2 multiplicando por x se tiene: xy ′ =
cxy
− 1
(cx)2
y = e arcsencx , entonces
ln y = arcsencx
(2.11)
de donde
sen(ln y) = cx, obteni´endose el tri´angulo de la figura (2.11)
1
cx
− 1
ln y (cx)2
Figura 2.11: Teorema de Pitagoras
Luego de (2.11) se tiene que:
xy ′ = ∴
on 6. Verificar que la funci´
y = e x
x
cx y = y tan(ln y) 1 (cx)2
−
xy ′ = y tan ln y
2
et dt + cex , satisface a la ecuaci´ on diferencial:
0
dy dx
2
− y = ex+x
(2.12)
36
Matem´ atica IV
Soluci´ on y = e x
x
t2
x
e dt + ce
⇒
0
luego
dy 2 = e x .ex + ex dx
x
dy d = e x dx dx
x
2
d x x t2 e dt + e e dt + cex , dx 0 0 dy 2 de donde = e x .ex + y, dx
et dt + cex ,
0
t2
dy dx
− y = ex .ex
∴
Walter Arriaga Delgado
2
on y = e mx ser´a una soluci´on de la ecuaci´on 7. Para que valores de la constante m, la funci´ diferencial: 2y′′′ + y′′
− 5y′ + 2y = 0
(2.13)
Soluci´ on Como y = e mx
y ′ = me mx
⇒
y ′′ = m 2 emx
⇒
⇒
y ′′′ = m 3 emx
luego sustituyendo en la ecuaci´on diferencial 2.13 se tiene 2m3 emx + m2 emx
− 5memx + 2emx = 0
(2m3 + m2
− 5m + 2)emx = 0 2m3 + m2 − 5m + 2 = 0 (m − 1)(m + 2)(2m − 1) = 0 1 m = 1, m = −2, m = 2
luego por Ruffini se tiene que ∴
a v = e y+mx una soluci´on de la siguiente ecuaci´on 8. Para qu´e valores de la constante m, ser´ diferencial:
∂ 2 v ∂ 2 v =4 2 ∂x 2 ∂y
(2.14)
Soluci´ on
∂v ∂ 2 v y+mx = me = m 2 ey+mx 2 ∂x ∂x 2v ∂v ∂ por otro lado = e y+mx = e y+mx 2 ∂y ∂y entonces sustituyendo en la ecuaci´on diferencial 2.14 se tiene: Como v = e y+mx
⇒
⇒
⇒
m2 ey+mx = 4ey+mx
luego
m2 = 4 ∴
9. Verifique que
Soluci´ on
x = t2 + et y
=
2 3 3t
+ (t
−
1)et
m =
±2
satisface la ecuaci´on diferencial:
y ′2 + ey = x ′
dy dy dy dt 2t2 + tet = = dt = = t y ′ = . dx dx dt dx 2t + et dt
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
37
′
luego y ′ + ey = t 2 + et = x ∴
10. Verifique que
x = ln t + sen t y
Soluci´ on
′
y ′2 + ey = x
satisface la ecuaci´ on diferencial:
= t(1 + sen t) + cos t x = ln y′ + sen y ′
dy dy dy dt t cos t + 1 (t cos t + 1)t y ′ = = . = dt = 1 = = t dx dx dt dx 1 + t cos t + cos t t dt
luego ln y ′ + sen y′ = ln t + sen t = x ∴
ln y′ + sen y ′ = x
on diferencial de la relaci´on y = Ae 3x + Be −2x + Ce2x 11. Hallar la ecuaci´
donde A, B, C
son constantes arbitrarias.
Soluci´ on Como: y = Ae 3x + Be −2x + Ce2x y ′ = 3Ae3x
− 2Be −2x + 2Ce2x
(2.15) (2.16)
multiplicando por 2 a 2.15 y sumando a 2.16 se tiene: 2y + y ′ = 5Ae3x + 4Ce2x
(2.17)
2y ′ + y ′′ = 15Ae3x + 8Ce2x
(2.18)
derivando nuevamente
multiplicando por -3 a 2.17 y sumando a 2.18 se tiene: 6y + y ′
− y′′ = 4Ce2x
(2.19)
6y ′ + y′′
− y′′′ = 8Ce2x
(2.20)
que derivando tendr´ıamos:
multiplicado por 2 a 2.19 y restado a 2.20 tenemos: y ′′′
− 3y′′ − 4y′ + 12y = 0
on de la ecuaci´on diferencial 12. Hallar el valor de m; de modo que y = x m sea soluci´ x2 y ′′ + 3xy ′ + y = 0
(2.21)
38
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Soluci´ on Si
y = x m
⇒
y ′ = mx m−1
y ′′ = m(m
⇒
luego reemplazando en la ecuaci´on 2.21 tenemos m(m
− 1)xm−2
− 1)xm + 3mxm + xm = 0
de donde m 2 + 2m + 1 = 0, luego (m + 1) 2 = 0 ∴
m =
−1
on diferencial cuya soluci´on general es la familia de circunferencias: 13. Encontrar la ecuaci´ (x
− a)2 + (y − b)2 = r 2
en el plano X Y , siendo a, b y r constantes arbitrarias.
Soluci´ on
Derivando la familia de circunferencias (x
− a)2 + (y − b)2 = r 2
2(x
− a) + 2(x − b)y′ = 0
(x
− a) + (x − b)y′ = 0
se tiene
de donde:
derivando nuevamente se tiene: 1 + (y de donde (y
− b)y′′ = −1 − (y′)2
− b)y′′ + (y′ )2 = 0
(2.22)
luego y
− b = − 1 +y′′y
′2
(2.23)
derivamos ahora (2.22) (y remplazando en (2.23)
− b)y′′′ + y′′y′ + 2y′y′′ = 0
− 1 +y′′y ∴
′2
y ′′′ + y ′′ y ′ + 2y′ y ′′ = 0 (1 + y ′2 )y ′′′ = 3y ′ y ′′2
on diferencial correspondiente a las rectas con pendientes y la intersecci´on 14. Hallar la ecuaci´ con el eje X iguales.
Soluci´ on La ecuaci´on general de la recta con pendiente m es de la forma y = mx + b, haciendo b y = 0 se tiene x = que es el intersecci´on con el eje X ; como la pendiente y ′ = m m b y la intersecci´on con el eje X deben ser iguales entonces = m, de donde b = m2 m luego y = mx m2 .
−
−
−
−
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
39
on diferencial de la familia de rectas cuya suma algebraica de las inter15. Hallar la ecuaci´ cepciones con los ejes coordenados es igual a k .
Soluci´ on Sea y = ax + b la ecuaci´on general de la recta.
⇒ x = − ab x = 0 ⇒ y = b
on ◮ Intercepci´
con el eje X : Se hace y = 0
on ◮ Intercepci´
con el eje Y : Se hace
− ab + b = k ⇒
Como
b =
ak a
− 1 , luego la recta es y = ax +
derivando la ecuaci´ on (a
ak a
−1
(2.24)
y = ax + b tenemos y ′ = a , adem´as en (2.24) tenemos
− 1)y = a(a − 1)x + ak de donde a(a − 1)x − (a − 1)y + ak = 0, tenemos (ax − y)(a − 1) + ka = 0 ∴ (xy ′ − y)(y ′ − 1) + ky ′ = 0
que factorizando
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
41
1) y ′ = x + 1
11) y ′ = 1
− xy
2) y ′ = x + y
12) y ′ = x 2 + y
3) y ′ = y
13) y ′ = (1
− y)(1 − x) 14) y ′ = sen(y − 2x)
−x 1 4) y ′ = (x − 2y + 3) 2 5) y ′ = (y − 1)2 6) y ′ = x 2 − y 2 7) y ′ = y − x2 + 2x − 2 8) y ′ = cos(x − y) 9) y ′ = y − x2 10) y ′ = x 2 + 2x − y
15) y ′ = 1 + y2
− x2 + 2x y−x 17) y ′ = 16) y ′ = y
y + x y + 1 18) y ′ = x 1 x 1 19) y ′ = y y 20) y ′ = x
− −
−
III. Hallar la ecuai´on diferencial cuya soluci´on general es dada: 1) y = Asenx + B cos x 2) y = C 1 e−x + C 2 e−2x 3) y = Ae x + Be −x + Ce2x 4) y = x + Ae−2x + Be 3x 5) y = x 2 + Ae−x + Be 2x 6) y = e x (C 1 cos x + C 2 senx) + C 3 +
√
x 4
7) y = C 1 1 + x2 + C 2 x 1 1 − x 8) y = C e x + C e 1
√
2
√
2/3
9) y = Ax 2
10) y = e x
ex dx + Bx x2
C 1 + C 2
2
e−x dx
IV. Verificar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas. 1) y =
tan x x
xy ′ + y = x sec2 x
42
Matem´ atica IV
√
Walter Arriaga Delgado (1 + x2 )y ′
2) y = 2 + k 1 + x2
− xy + 2x = 0 y ln y dx + (x − ln y) dy = 0
3) 2x ln y = ln2 y + c 2
4) y = 2 + ce−x
y ′ + 2xy = 4x y − xy ′ = y + 2xe x
5) ey/x = ln kx 2 6)
ex+y
x
+
0
e2t dt = k t
√ 7) ln x2 + 1 + 8)
9)
10)
y
0
(ex + xey )dx + xey dy = 0
2
et dt = k t
2
(x2 + 1)ey dy = 0
x = t ln t
y ′ ′ y ln = 4x 4
y = t 2 (2ln t + 1) x = e arctan t
y + xy ′ = 0
y = e − arctan t x = t + arcsent t2 y = 1 t2 2
x = y ′ + arcseny ′
− √ −
V. Resolver los siguientes problemas: 1) Hallar una ecuaci´ on diferencial ordinaria de tercer orden cuya soluci´ o n sea, y = axsenx + bx cos x, donde a y b son constantes arbitrarias.
√ − √ − 1
cos at dt, 1 t2
2) Probar que la funci´on f (a) =
−1
1 diferencial f ′′ (a) + f ′ (a) + f (a) = 0. a 1 senat 3) Probar que la funci´on g(a) = dt, −1 1 t2 1 diferencial g ′′ (a) + g′ (a) + g(a) = 0. a x
4) Demostrar que la funci´ on x = y
con a = 0, satisface a la ecuaci´on
con a = 0, satisface a la ecuaci´on
sent2 dt, satisface a la ecuaci´ on diferencial y =
0
xy ′ + y2 senx2 .
x2 +1
5) Verificar que la funci´on y = x 2x2
sen(x2 + 1) x2 + 1
0
sent dt satisface a la ecuaci´on diferencial xy ′ y = t
−
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
∞
43
2
6) Probar que la funci´on h(a) = e−x cos(ax)dt, para todo t 0 a ′ ecuaci´ on diferencial h (a) + h(a) = 0. 2
x
7) Sea h(x) =
1
∈ ▽ satisface a la
ez dz , x > 0, hallar los valores de “a” tal que la funci´ on f definida z
eah(x) por f (x) = satisface a la ecuaci´on diferencial ordinaria x2 y ′′ + (3x x 2x (1 x 3e )y = 0.
− −
1 8) Probar que la funci´ on y = k ′′ 2 y k y = R(x).
−
x
R(t)senhk(x t)dt, satisface a la ecuaci´ on diferencial
−
0
e
9) Dada la funci´ on y = C 1 x ln x + C 2 ln x cial x 2 ln2 xy ′′
− x2)y′ +
x
dt , x > 1, satisface a la ecuaci´ on diferenln t
− x ln xy′ + (ln x + 1)y = 0.
x
10) Dada la funci´ on y ln y = x +
0
2 y ′2 = 2xye x
2
et dt, satisface a la ecuaci´on diferencial y(1+ln y)y ′′ +
1
11) Probar que la funci´ on x(t) definida por: x(t) = diferencial tx ′ (t) + 3x(t) +
0
1 = 0. (1 + t2 )2
dx , satisface a la ecuaci´on (x2 + t2 )2
π/2 y 12) Probar que = cos(mxn senθ)cos1/n θdθ, satisface a la ecuaci´on diferencial x 0 ′′ 2 2 2n − 2 y + m n x y = 0
13) Demuestre que la funci´ on
y =
∞
0
xy ′′ − 2ny ′ + xy = 1. 14) Si
− − − ∞
H (t) =
e−xz satisface a la ecuaci´ on diferencial (1 + z 2 )n+1
2 e x cos(tx)dx, para todo t
0
15) Si G(t) =
∞
2 e x
0
∈ R, probar que
t H ′ (t) + H (t) = 0. 2
(t/x)2 dx, t > 0, probar que G′ (t) + 2G(t) = 0.
16) Verificar si la funci´ on y = C 1 ebarcsenx +C 2 e barcsenx es la soluci´on de la ecuaci´on
−
diferencial (1
− x2)y′′ − xy′ − b2y = 0.
17) Demostrar que: y = y ′′
− 2xy′ − 2y = 0
2 ex (C 1 + C 2
2
e−x dx) es la soluci´on de la ecuaci´on diferencial
44
Matem´ atica IV
√ x
18) Comprobar que y = 2
Walter Arriaga Delgado
dy e−x − s2 e ds + c es soluci´on de = √ dx
0
x
19) Demuestre que y = A cos x + Bsenx + senx 2 una soluci´on general de y ′′ + y = e −x .
0
x
2 e−t cos tdt − cos x
x
2
e−t sentdt es
0
20) Demostrar que Y (x, t) = 6sen(2x 3t) + 8sen(2x + 3t) es una soluci´on de la ecuaci´on ∂ 2 Y ∂ 2 Y diferencial 9 2 = 4 2 , que satisface la condici´ on Y (π, 0) = 0. ∂x ∂t
−
x2
21) Demostrar que y = e
x
1
condici´ on y (1) = 0.
2 e−x dx es una soluci´o n de y ′ = 1 + 2xy que cumple la
y 22) Dada la ecuaci´ on diferencial y ′ = + ϕ(x/y). ¿Cu´al deber´ıa ser la funci´on ϕ(x/y) x x para que y = sea la soluci´on general de la ecuaci´on dada?. ln cx t (t s)n−1 23) Demostrar que y(t) = f (s)ds es soluci´on de y (n) (t) = f (t), con y(0) = (n 1)! 0 y′ (0) = = y (n−1) (0) = 0, donde f es continua sobre un intervalo I que contiene al
| |
···
− −
cero. 24) Demostrar que si y = f (x) e y = g(x) son dos soluciones diferentes de la ecuaci´on diferencial y ′′ + Ay ′ + By = 0 entonces y = C 1 f (x) + C 2 g(x) tambi´en es soluci´on de dicha ecuaci´on, siendo C 1 y C 2 constantes arbitrarias. 25) Si y = f (x) e y = g(x) son soluciones de y ′′ + y 2 = 0 entonces ¿tambi´en ser´a soluci´on y = f (x) + g(x)? ¿por qu´e? 26) Verificar si la funci´ on
2 F (t) = π
F ′ (t) ′′ cial F (t) + + F (t) = 0 t ∞
27) Dada la funci´ on W (x) =
π/2
cos(t sen θ)dθ, satisface a la ecuaci´ on diferen-
0
e−x cosh θ dθ, x > 0, verificar que W satisface a la
0
ecuaci´ on deferencial xW ′′ (x) + W ′ (x) − xW (x) = 0 VI. Aplicando el teorema de existencia y unicidad se˜ nalar en los siguientes ejercicios las regiones en los que las ecuaciones dadas admiten soluci´on u ´nica: 1) y ′ = x 2 + y 2
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
45
− x + xy
2) y ′ = x 3 + x2 3) y ′ =
x + y + 1 x y
6) y ′ =
−
− 2x − 3y 4) y ′ = 2 x − y2 √ 5) y ′ = x − y
7) y ′ =
x2
y2
−1
ey y(1 + ex )
VII. Resolver los siguientes problemas: 1) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el origen. 2) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de circunferencias que tienen su centro sobre el eje X . 3) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de rectas que pasan por el origen. 4) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de tangentes a la par´abola y 2 = 2x + 2y + 1. 5) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de par´abolas con el eje focal paralelo al eje de las X . 6) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las circunferencias que pasan por los puntos (2,3) y (-1,1). 7) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las circunferencias que pasan por los puntos (2,2) y (-2,2). 8) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las circunferencias tangentes a la recta y = x. 9) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las circunferencias, (en el primer cuadrante) tangentes a las rectas x = 0 e y = 2x. 10) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las circunferencias de radio 1, con centros en la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
46
Matem´ atica IV
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11) Encontrar la ecuaci´ on diferencial de la familia de par´abolas que tienen sus v´ertices en el origen y sus focos sobre el eje Y . 12) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las par´abolas con eje paralelo al eje Y, y tangente a la recta y = x. 13) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las tangentes a la par´abola x 2 = 2y + 1. 14) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las normales a la par´abola y 2 = x. 15) Hallar la ecuaci´ on diferencial de las rectas tangentes a la gr´afica de la funci´ on tangente π sobre 0, 2
16) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las rectas tangentes a la gr´afica de la funci´on y = senx. 17) Hallar la ecuaci´ on diferencial de todas las rectas cuyos productos de las intersecciones con los ejes coordenados sean iguales a “c”. 18) Hallar la ecuaci´ on diferencial de las curvas equipotenciales cuyas l´ıneas de flujo son los arcos de los c´ırculos que conectan los puntos (1, 0) y ( 1, 0).
−
19) Hallar la ecuaci´ on diferencial perteneciente a las cardioides r = a(1
− senθ).
20) Por un punto P (x, y) de una curva que pasa por el origen se trazan dos rectas paralelas a los ejes coordenados, las que determinan un rect´angulo con dichos ejes. Hallar la ecuaci´ on diferencial de la curva, de modo que ´esta divida al rect´angulo formado en dos regiones, donde el ´area de la parte derecha sea el triple del ´area de la parte izquierda. 21) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas que satisfacen la siguiente propiedad: “El ´area de la regi´on encerrada por la curva, los ejes coordenados X e Y , y la ordenada del punto P (x, y) de la curva, es igual a (x2 + y 2 )”. 22) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas que satisface la condici´on siguiente: “Si por el punto P (x, y) de una curva, en el primer cuadrante, se trazan las rectas tangente y normal a ella, siendo T el punto de intersecci´on de la tangente con el eje OX y N el punto de intersecci´on de la normal con el eje OY, entonces el ´area xy del tri´angulo T ON es igual a , donde O es el origen de coordenadas. 2
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Matem´ atica IV
47
23) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas que cumplen con la siguiente propiedad: “Si por el punto cualquiera de una curva de la familia se trazan las rectas tangente y normal a ella, el ´area del tri´angulo formado por dichas rectas es igual a x2 y0 , donde y 0 es la ordenada del punto en que la tangente corta al eje de las Y ”. 2 24) Hallar la ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas que satisface la condici´on siguiente: “Si por el punto cualquiera P (x, y) de una curva de la familia se trazan las rectas tangente y normal a la curva, y si adem´as A es el punto de intersecci´on de la recta normal con la recta y = x y B es la intersecci´on de la recta tangente con la recta y = x, entonces el segmento AB tiene longitud 25) Dada la ecuaci´ on diferencial y ′ = 2x
√ 2.
− 3xy. Determinar:
a) El lugar geom´ etrico de los puntos de las curvas integrales que tienen ordenada m´axima y ordenada m´ınima. b) El lugar geom´ etrico de los puntos de las curvas integrales que son puntos de inflexi´ on. 26) Determinar la ecuaci´ on diferencial de todas las curvas planas y = f (x) tal que la luz que indica en ellas, partiendo de una fuente puntual fija, es reflejada hacia un segundo punto fijo. Suponer que los puntos fijos son (a, 0) y ( a, 0).
−
27) Una lancha que pesa 500 Kg. se desliza por un plano inclinado a 5. Si la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es 20 Kg. y la resistencia del aire expresado en kilogramos equivale a 0.05 veces la velocidad en cent´ımetros por segundo, hallar la ecuaci´ on diferencial del movimiento. 28) Una part´ıcula de masa m se mueve a lo largo de una l´ınea recta (el eje x) estando sujeta a: a) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo O en su trayectoria y dirigida hacia O. b) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad. Expresar la fuerza total como una ecuaci´on diferencial.
48
Matem´ atica IV
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29) Formular una ecuaci´ on diferencial que describa el siguiente enunciado: La diferencia de potencial E a trav´es de un elemento de inductancia L es igual al producto de L por la velocidad de cambio de la corriente i en la inductancia. 30) Determinar una ecuaci´ on diferencial que describa la poblaci´on, P (t), de un pa´ıs, cuando se permite una inmigraci´on de tasa constante r. 31) La capacidad l´ımite del h´abitat de un reba˜ no en vida salvaje es L. El ritmo de credN cimiento del reba˜ no es proporcional a las oportunidades de crecimiento todav´ıa dt dN sin utilizar, de acuerdo con la ecuaci´on diferencial = k(L N ). dt La soluci´on de ´esta ecuaci´on diferencial es N = L Ce−kt . Supongamos que se sueltan
−
−
100 ejemplares en una porci´on de terreno que admite un m´aximo de 750. Tras dos a˜ nos, el reba˜ no ha crecido hasta 160 animales. a) Hallar la funci´ on de poblaci´on en t´erminos del tiempo t (en a˜nos) b) Comprobar que dicha funci´ on es soluci´on de la ecuaci´on diferencial dada. c) Dibujar la gr´ afica de esa funci´on de poblaci´on. 32) El ritmo de crecimiento de una inversi´ on es proporcional al montante de la inversi´on, dA en todo instante t. En otras palabras = kA. dt a) Probar que A = C ekt es soluci´on de ´esta ecuaci´on diferencial. b) Hallar la soluci´on particular de ´esta ecuaci´on diferencial si la inversi´on inicial es de $1000, y 10 a˜ nos despu´es el montante asciende a $3320,12. 33) Una medicina se inyecta en el torrente sangu´ıneo de un paciente a un flujo constante de r g/s. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con una raz´on proporcional a la cantidad x(t) presente en cualquier momento t. Formule una ecuaci´on diferencial que describa la cantidad x(t). 34) En el momento t = 0, se introduce una innovaci´on tecnol´ogica en una comunidad de n personas, cantidad fija. Proponga una ecuaci´on diferencial que describa la cantidad de individuos, x(t), que haya adoptado la innovaci´on en cualquier momento t.
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
49
35) Cual es la ecuaci´on diferencial de la velocidad v de un cuerpo de masa m que cae verticalmente a trav´es de un medio que opone una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instant´anea?. 36) Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor. Establezca una ecuaci´ on diferencial que exprese la carga Q(t) en el capacitor, si la resistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicado es E (t).
R E C
Figura 2.12: Circuito en serie
50
Matem´ atica IV
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Resumen Definiciones Ecuaci´ on diferencial: La que contiene derivadas o diferenciales. Orden: el de la derivada m´as alta. Grado: el exponente de la derivada m´as alta. Soluci´ on: funci´on sin derivadas que satisface a la ecuaci´on. Soluci´ on general: con constantes arbitrarias. Soluci´ on particular: cuando las constantes toman un valor determinado. Problema con valor inicial: ecuaci´on diferencial + condiciones iniciales. Isoclinas: curvas que satisfacen: y ′ = f (x, y) = k. Clasificaci´ on Tipo
Ordinaria : una sola variable independiente Parciales
Orden 1º, 2º,
······ , n, ······
Lineales
Grado
: dos o m´ as variables independientes
a) y, y ′ ,
··· , y(n), son de primer grado
b) cada coeficiente s´olo depende dex
No lineales No cumplen lo anterior Ordinaria Tipo Parcial Clasificaci´ on de las
Lineal Seg´ un
Grado No lineal
ecuaciones diferenciales
1° orden Orden 2° orden Particulares
Cualitativa
Objeto de las Soluciones
Teor´ıa
Cuantitativa
ecuaciones diferenciales Generales
Num´erica
3
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO Objetivos: Identificar
y resolver una ecuaci´on diferencial ordinaria de variable separable, reducible
a variable separable, homog´ enea, reducible a homog´ enea, exactas, reducible a exacta, lineal, Bernoulli, Riccaty, Clairout, Lagrange. Tener
la habilidad de resolver ecuaciones diferenciales con respecto a la primera deri
vada. Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado son aquellas ecuaciones cuya representaci´on simb´olica es: F (x,y,y ′ ) = 0
(3.1)
donde F indica la relaci´on que existe entre la variable independiente x, la variable dependiente dy y y su derivada y ′ = . dx La ecuaci´ on diferencial ordinaria (3.1) podemos expresarla, si fuera posible, en forma expl´ıcita como: y′ = f (x, y) Si f (x, y) =
y) − M (x, , N (x, y)
y ′ =
dy = dx
(3.2)
con N (x, y) = 0, entonces la ecuaci´on puede escribirse as´ı:
y) − M (x, N (x, y)
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
⇔
(3.3)
En ´este texto estudiaremos los m´ etodos de soluci´on de algunas ecuaciones t´ıpicas de la forma (3.3). 51
52
Matem´ atica IV
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Ahora, al resolver una ecuaci´on diferencial ordinaria por m´etodos distintos, puede suceder que las soluciones aparentemente sean diferentes, pero en el fondo son iguales. Por ejemplo, la ecuaci´on diferencial xy ′ = 2x exacta, su soluci´on es x2
− y si lo consideramos como ecuaci´on diferencial ordinaria
− xy = A; y si lo consideramos como ecuaci´on diferencial ordinaria
lineal de primer orden, su soluci´on es xy = x 2 + B. Esto significa que de una soluci´on podemos llegar a la otra soluci´on mediante operaciones algebraicas. Los m´etodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado, est´ an clasificados de la siguiente manera:
3.1.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable
El objetivo de esta secci´on es describir un m´ etodo elemental de resoluci´ on de algunas ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, concretamente las que denominaremos de variables separables, y su t´ ecnica de resoluci´on se reduce en esencia al c´alculo de primitivas.
Definici´ on 3.1.1. Una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden y primer grado y ′ = f (x, y) o de la forma (3.3) se dice que es de variable separable si podemos expresarla mediante operaciones algebraicas como:
M (x)dx + N (y)dy = 0
(3.4)
donde M es funci´on s´olo de x y N es funci´on s´olo de y, cuya soluci´on se obtiene integrando directamente, es decir;
M (x)dx +
donde C es una constante de integraci´on.
3.2.
N (y)dy = C
Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a variable separable
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma dy = f (ax + by + c) dx
(3.5)
donde a, b y c son constantes; no son de variable separable. Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, debemos transformarlas a ecuaciones dy diferenciales de variable separable, mediante la sustituci´on z = ax + by + c, de donde = dx 1 dz 1 dz dz a que reemplazando en (3.5) se tiene a = f (z) luego = a+bf (z), b dx b dx dx
−
−
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Matem´ atica IV
separando variables se tiene:
53
dz = dx, que es una ecuaci´ on diferencial ordinaria de a + bf (z)
variable separable.
3.3.
Ecuaciones diferenciales ordinarias homog´ eneas
Definici´ on 3.3.1. Una funci´on f (x, y) es homog´enea de grado k , si y s´olo si: f (tx,ty) = t k f (x, y)
Ejemplo 3.3.1. 1) f (x, y) = x 3 y + 3x2 y2
es homog´ enea de grado 4, puesto que: f (tx, ty) = (tx)3 (ty) + 3(tx)2 (ty)2 = t4 x3 y + 3t4 x2 y2 = t4 (x3 y + 3x2 y 2 ) = t4 f (x, y)
de donde f (tx,ty) = t 4 f (x, y) 2) f (x, y) = x 3
− x2y + xy2 − x3
3) f (x, y) = xe y/x + yex/y 4) f (x, y) =
x2 + y 2 x+y
5) f (x, y) =
5
es homog´enea de grado 3
es homog´enea de grado 1
es homog´enea de grado 1
x5 + y5
es homog´enea de grado 1
6) f (x, y) = x 2 + senx cos y
no es homog´ enea puesto que no cumple con (3.6)
Ejercicios: Determinar si las siguientes funciones son homog´ eneas o no: 1) f (x, y) = ax 2 + by 2 2) f (x, y) =
xy x2 + y 2
3) f (x, y) = x sen y + y sen x ax2 y + bxy 2 4) f (x, y) = x+y 5) f (x, y) = ln
− x3 y 3 x3 + y 3
− arccos xy
(3.6)
54
Matem´ atica IV
1 6) f (x, y) = sen x+y 7) f (x, y) = ln x
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− x y x+y
− ln y
Definici´ on 3.3.2. Una ecuaci´on diferencial ordinaria de la forma: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 Se dice que es homog´enea si M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´ eneas del mismo grado. Una definici´ on equivalente:
Una ecuaci´on diferencial ordinaria de la forma: F (x, y) sea homog´enea de grado cero.
dy = F (x, y) es homog´enea, siempre y cuando dx
Ejemplo 3.3.2. 1. y 2 dx
− x2dy 2. y(x2 + xy − 2y 2 )dx + x(3y 2 − xy − x2 )dy = 0 3. x3 + y 2 x2 + y2 dx − xy x2 + y 2 dy = 0 4. x + (x − y)ey/x dx + xey/x dy = 0
5. xy ′ ln
y y = x + y ln x x
Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial homog´ enea Consideremos una ecuaci´on diferencial ordinaria homog´enea: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(3.7)
entonces M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´ eneas del mismo grado, luego: M (tx,ty) = t k M (x, y)
(3.8)
N (tx,ty) = t k N (x, y)
(3.9)
1 y 1 haciendo la sustituci´on t = en la ecuaci´on (3.8) se tiene, M 1, = k M (x, y) luego x x x y y k k M (x, y) = x M 1, , haciendo u = tenemos M (x, y) = x M (1, u), as´ı: x x
M (x, y) = x k φ(u)
(3.10)
1 y 1 por otro lado; con la sustituci´on t = en (3.9) se tiene, N 1, = k N (x, y) luego x x x y y k k N (x, y) = x N 1, , haciendo u = tenemos N (x, y) = x N (1, u), as´ı: x x
N (x, y) = x k ϕ(u)
(3.11)
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Matem´ atica IV
55
Adem´as como y = ux entonces dy = udx + xdu
(3.12)
reemplazando (3.10), (3.11), (3.12) en (3.7) se tiene: xk φ(u)dx + xk ϕ(u)(udx + xdu) = 0
⇒
φ(u)dx + ϕ(u)(udx + xdu) = 0
separando variables tenemos: dx ϕ(u) + du = 0 x φ(u) + uϕ(u) y el resultado lo obtenemos por integraci´on directa. 1 y An´alogamente se hace para t = con u = y x
3.4.
Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a homog´ eneas
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma siguiente:
dy a1 x + b1 y + c1 = f dx a2 x + b2 y + c2
(3.13)
no son homog´ eneas, porque tanto en el numerador como en el denominador de la ecuaci´ on (3.13) aparecen las constantes c 1 y c2 , ´estas constantes se pueden eliminar mediante una traslaci´ on de coordenadas, transformando la ecuaci´on (3.13) en una ecuaci´ on diferencial homog´enea, para ello consideremos las ecuaciones de las rectas: L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 L2 : a2 x + b2 y + c2 = 0
(3.14)
donde el punto de intersecci´on es P(h, k) . Traslademos el origen de coordenadas al punto P(h, k) . Como P(h, k) es punto de intersecci´on entonces en (3.14) se tiene: a1 h + b1 k + c1 = 0 a2 h + b2 k + c2 = 0
(3.15)
luego hacemos uso del siguiente teorema:
Teorema 3.4.1. Si (x, y) representa un punto P con respecto a un conjunto dado de ejes, y (z, w) es una representaci´ on de P despu´es de que los ejes se han trasladado a un nuevo origen que tiene coordenadas (h, k) con respecto a los ejes dados, entonces: x =
z + h
y = w + k
(3.16)
56
Matem´ atica IV L2
Y
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Z
L1
(h, k)
W
0 X
Figura 3.1: Traslaci´ on de ejes
A ´estas ecuaciones se les denomina ecuaciones de traslaci´on de los ejes. adem´ as dx = dz
;
dy = dw
(3.17)
reemplazando (3.16) en (3.14) se tiene: a1 (z + h) + b1 (w + k) + c1 = 0
⇒
a1 z + a1 h + b1 w + b1 k + c1 = 0
por (3.15) se tiene a1 z + b1 w = 0
(3.18)
por otro lado a2 (z + h) + b2 (w + k) + c2 = 0
⇒
a2 z + a2 h + b2 w + b2 k + c2 = 0
por (3.15) se tiene: a2 z + b2 w = 0
(3.19)
reemplazando (3.19) , (3.18) y (3.17) en (3.13) se tiene:
a1 + b1
dw a1 z + b1 w = f = f dz a2 z + b2 w a2 + b2
w z w z
= F
w z
(3.20)
que es una ecuaci´on diferencial ordinaria homog´enea cuyo desarrollo ya se conoce por la secci´ on anterior.
Observaci´ on 3.4.1. Este m´etodo no es aplicable cuando las rectas L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 L2 : a2 x + b2 y + c2 = 0
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Matem´ atica IV
57
son paralelas, para ´este caso hacemos: a2 b2 = = t, a1 b1 de donde se tiene:
dy a1 x + b1 y + c1 = f = F (a1 x + b1 y) dx t(a1 x + b1 y) + c2
que es una ecuaci´on de variable separable.
Observaci´ on 3.4.2. En otros casos, la ecuaci´on diferencial ordinaria se puede reducir a homog´enea mediante la sustituci´on y = z α, donde dy = αz α−1 dz. Se le atribuye el grado 1 a dy la variable x, el grado α a la variable y, y el grado (α 1) a la derivada . dx
−
3.5.
Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas
Definici´ on 3.5.1. Sea f : A i
⊂ R2 −→ R una funci´on definida en el conjunto abierto A.
) La derivada parcial de f con respecto a x, es la funci´on denotada por: ∂f (x, y) f (x + h, y) = D 1 f (x, y) = l´ım h→0 ∂x h
ii
− f (x, y)
) An´alogamente, la derivada parcial de f con respecto a y , es la funci´on denotada por: ∂f (x, y) f (x, y + h) = D 2 f (x, y) = l´ım h→0 ∂y h
Definici´ on 3.5.2. Sea f : R2
−→
R una
− f (x, y)
funci´on diferenciable en (x, y)
definimos la diferencial total de f como df , donde: df (x, y) =
∈ R2, entonces
∂f (x, y) ∂ f (x, y) dx + dy ∂x ∂y
Definici´ on 3.5.3. Una expresi´on de la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy se denomina diferencial exacta si existe una funci´on f : A
⊂ R2 −→ R tal que:
df (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy Es decir, toda expresi´on que es la diferencial total de alguna funci´on de x e y se llama diferencial exacta.
Definici´ on 3.5.4. Consideremos a la ecuaci´on diferencial M (x, y)dx+N (x, y)dy = 0, si existe una funci´on z = f (x, y) tal que: ∂f (x, y) = M (x, y) ∂x
y
∂f (x, y) = N (x, y) ∂y
entonces diremos que es una ecuaci´on diferencial exacta.
58
Matem´ atica IV
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Teorema 3.5.1. Sean las funciones M (x, y) y N (x, y), con derivadas parciales continuas en una regi´ on rectangular
∇ definida por a < x < b y c < y < d la condici´on necesaria y suficiente
para que una ecuaci´on diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 sea exacta, es que: ∂M (x, y) ∂N (x, y) = ∂y ∂x
Ejemplo 3.5.1. 1) (2xy 2)
− 3)dx + (x2 + 4y)dy = 0
ye 2x
−
3xe2y
dx +
e2x 2
3x2 e2y
−
−
ey
dy = 0
3) (x3 + ex sen y + y3 )dx + (3xy 2 + ex cos y + y3 )dy = 0
Soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial ordinaria exacta Sea la ecuaci´on diferencial exacta M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(3.21)
entonces existe una funci´on z = f (x, y) tal que: ∂f (x, y) = M (x, y) ∂x
y
∂f (x, y) = N (x, y) ∂y
(3.22)
reemplazando (3.22) en (3.21) se tiene: ∂f (x, y) ∂ f (x, y) dx + dy = 0 ∂x ∂y
(3.23)
por otro lado, si z = f (x, y) entonces su diferencial total es: dz = entonces por (3.23) dz = 0
⇒
∂f (x, y) ∂ f (x, y) dx + dy ∂x ∂y
(3.24)
z = c; es decir, f (x, y) = c que es la soluci´on de la ecuaci´on
diferencial. ∂f (x, y) Como = M (x, y) integrando con respecto a x se tiene que ∂x f (x, y) =
M (x, y)dx + g(y)
(3.25)
donde g(y) es la constante de integraci´on, que es una funci´on que depende s´olo de la variable y, puesto que la integraci´on es con respecto a x, derivando la ecuaci´on (3.25) con respecto a y ∂f (x, y) ∂ = ∂y ∂y
M (x, y)dx + g(y)
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pero como
Matem´ atica IV
59
∂f (x, y) = N (x, y) entonces se tiene ∂y
∂ N (x, y) = ∂y
∂ de donde: g′ (y) = N (x, y) −
M (x, y)dx, integrando se tiene:
∂y
g(y) =
M (x, y)dx + g ′ (y)
N (x, y)
−
∂ ∂y
M (x, y)dx dy + k
(3.26)
reemplazando la ecuaci´on (3.26) en la ecuaci´on (3.25) y siendo f (x, y) = c se tiene que la soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial (3.21) est´a dada por:
M (x, y) +
N (x, y)
−
∂ ∂y
M (x, y)dx dy = c
En forma an´ aloga se hace para el otro caso cuando se toma: ∂f (x, y) = N (x, y) ∂y
Una manera pr´ actica Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias exactas podemos utilizar un mecanismo m´as pr´actico que consiste en integrar directamente, esto es, si la ecuaci´on diferencial es de la forma: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 Entonces mediante integraciones de funciones de varias variables, se tiene:
M (x, y)dx +
N (x, y)dy = 0
luego, si los resultados tanto de la primera integral como de la segunda coinciden, es decir:
M (x, y)dx =
N (x, y)dy = H (x, y)
entonces la soluci´on general est´a dada por: H (x, y) = c pero si los resultados de la primera y segunda integral no coinciden, entonces la soluci´on general estar´ a dada por el resultado de la primera integral m´as los t´ erminos de la segunda integral que no pertenecen a la primera integral. M´as claramente se tiene el siguiente esquema: (Vea la tabla 5.1) Tambi´ en podemos resolver ecuaciones diferenciales ordinarias exactas usando la f´ormula:
x
x0
y
M (x, y)dx +
y0
N (x, y)dy = c
60
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Condici´ on
Si
M (x, y)dx =
Si y
Soluci´ on General
H (x, y) = c
N (x, y)dy = H (x, y)
M (x, y)dx = H (x, y) + φ1 (x, y) H (x, y) + φ1 (x, y) + φ2 (x, y) = c
N (x, y)dy = H (x, y) + φ2 (x, y)
Cuadro 3.1: Una manera pr´ actica
3.6.
Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a exactas
Sea la ecuaci´on diferencial ordinaria M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(3.27)
si la ecuaci´on diferencial (3.27) no es exacta, podemos transformarla a exacta, escogiendo una funci´on u que puede depender tanto de x como de y, tal que al multiplicar por la ecuaci´on (3.27) se tenga: u(x, y)M (x, y)dx + u(x, y)N (x, y)dy = 0
(3.28)
y as´ı de esta manera, la ecuaci´ on (3.28) se torne exacta. La funci´on u(x, y) recibe el nombre de FACTOR INTEGRANTE o factor de integraci´ on, como la ecuaci´on (3.28) es exacta, entonces se cumple que ∂ [u(x, y)M (x, y)] ∂ [u(x, y)N (x, y)] = ∂y ∂x de donde:
∂u(x, y) ∂ M (x, y) ∂u(x, y) ∂ N (x, y) M (x, y) + u(x, y) = N (x, y) + u(x, y) ∂y ∂y ∂x ∂x
∂u(x, y) M (x, y) ∂y
y) ∂N (x, y) ∂ M (x, y) − ∂ u(x, N (x, y) = u(x, y) − u(x, y) ∂x ∂x ∂y
Para determinar el factor integrante consideraremos los siguientes casos:
Caso I: Si u es funci´on s´olo de x, entonces
−
∂u(x, y) N (x, y) = ∂x
∂u(x, y) = 0, luego en (3.29) ∂y
∂N (x, y) ∂x
∂u(x, y) 1 ∂M (x, y) = ∂x N (x, y) ∂y
−
∂ M (x, y) u(x, y) ∂y
y) − ∂ N (x, ∂x
u(x, y)
(3.29)
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Matem´ atica IV
61
d u(x) 1 ∂M (x, y) = dx N (x, y) ∂y
−
∂ N (x, y) u(x) ∂x
Separando variables e integrando se tiene:
− d u(x) = u(x)
1 ∂M (x, y) N (x, y) ∂y
∂ N (x, y) dx ∂x
f (x)
de donde ln u(x) =
f (x)dx; luego u(x) = e
∂N (x, y) ∂x
d u(y) 1 ∂M (x, y) = dy M (x, y) ∂y
−
f (x)dx
es un factor de integraci´on.
∂u(x, y) = 0, luego en (3.29) ∂x
Caso II: Si u es funci´on solo de y, entonces ∂u(x, y) M (x, y) = ∂y
−
∂ M (x, y) u(x, y) ∂y
y) − ∂ N (x, ∂x
u(y)
Separando variables e integrando se tiene:
d u(y) = u(y)
− − 1 ∂M (x, y) M (x, y) ∂y
∂ N (x, y) dy ∂x
g(y)
de donde ln u(y) =
−
g(y)dy; luego u(y) = e −
g (y)dy
es un factor de integraci´on.
Por tanto, podemos encontrar un factor integrante que dependa de lo que se nos ocurra, daremos ahora un m´etodo general y particularizaremos para los factores integrantes m´as comunes (dependiente de x, de y, de x + y, de x
− y, de ax + by, de xy, de x2 + y 2, de xmyn,
. . .). Aunque encontrar factores integrantes para una determinada ecuaci´on diferencial no es tarea f´ acil, siempre es bastante agradable resolver la citada ecuaci´on una vez que hayamos determinado alguno.
Casos Particulares: A continuaci´on se detallan los casos particulares para encontrar factores integrantes. Vea la tabla 3.2
Propiedad 3.6.1. Si para una ecuaci´on diferencial del tipo M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, existen dos factores integrantes u1 (x, y) y u2 (x, y) “esencialmente” soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial la podemos escribir como: u1 (x, y) = k u2 (x, y)
distintos, entonces la
64
Matem´ atica IV
3.7.
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Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Si la ecuaci´on diferencial ordinaria de la forma: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 se puede expresar mediante manipulaciones algebraicas como: dy + P (x)y = Q(x) dx
(3.30)
entonces diremos que la ecuaci´on diferencial ordinaria es lineal en y. donde P (x) y Q(x) son funciones s´olo de x. ◮
Si Q(x) = 0, la ecuaci´on (3.30) es de la forma: dy + P (x)y = 0 dx que es una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea y tambi´en es de variable separable, de donde: dy = P (x)y dx de donde:
−
− dy = y
⇒
P (x)dx y = ke −
◮
ln y =
⇒
||
−
P (x)dx + c
P (x)dx
Si Q(x) = 0, la ecuaci´on (3.30) es lineal no homog´enea.
Como Q(x) = 0, la ecuaci´ on (3.30) no es exacta, entonces hallaremos el factor integrante,
para ello expresaremos la ecuaci´on (3.30) en la forma: dy + [P (x)y
− Q(x)]dx = 0
sea entonces I (x) un factor integrante entonces: [I (x)P (x)y
− I (x)Q(x)]dx + I (x)dy = 0 ∂ [I (x)P (x)y − I (x)Q(x)] ∂I (x) = entonces
es exacta, luego:
∂y
∂x
d[I (x)] d[I (x)] I (x)P (x) = P (x)dx = dx I (x) P (x)dx de donde, I (x) = ke
⇒
es decir, ln I (x) =
(3.31)
P (x)dx + c
reemplazando en (3.31) se tiene:
ke
P (x)dx
e
P (x)y
P (x)dx
− ke
P (x)dx
P (x)ydx + e
Q(x) dx + ke
P (x)dx
dy = e
P (x)dx
P (x)dx
dy = 0
Q(x)dx
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Matem´ atica IV
d ye
P (x)dx
= e
65
P (x)dx
Q(x)dx
integrando se tiene: ye
P (x)dx
y = e −
=
P (x)dx
e
P (x)dx
Q(x)dx + c
e
P (x)dx
Q(x)dx + c
o
dy + P (x)y = Q(x) y denotamos Proposici´ on 3.7.1. Si y0 es una soluci´on particular de dx dy por y h la soluci´on general de + P (x)y = 0, entonces y = y 0 + yh es la soluci´on general dx dy de + P (x)y = Q(x). dx
Observaci´ on 3.7.1. Puede ocurrir que la ecuaci´on diferencial ordinaria sea lineal respecto a x, considerada ´esta variable como funci´on de y . La forma de tal ecuaci´on diferencial es: dx + P (y)x = Q(y) dy
3.8.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de Bernoulli
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de Bernoulli1 son de la forma: dy + P (x)y = Q(x)yn dx
(3.32)
donde P (x) y Q(x) son funciones s´olo de x, adem´as n = 0; 1, puesto que para n = 0 y n = 1 ´esta ecuaci´on diferencial es lineal.
La ecuaci´on (3.32) no es una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal, puesto que en el segundo miembro de la ecuaci´on se observa a la expresi´on Q(x)yn . Para resolver (3.32) debemos transformarla en una ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal, ello implica eliminar el y n del segundo miembro. El procedimiento es el siguiente: 1
Daniel Bernoulli (8 de febrero de 1700 al 17 de marzo de 1782) fue un matem´atico holand´es/suizo. Destac´ o no
s´ olo en matem´ aticas puras, sino tambi´ en en las aplicadas. Hizo importantes contribuciones en hidrodin´ amica y elasticidad. En 1738 public´ o su obra Hidrodin´amica, en la que expone lo que m´ as tarde ser´ıa conocido como el Principio de Bernoulli. Daniel tambi´ en hizo contribuciones importantes a la teor´ıa de probabilidades. Muri´ o de un paro cardiorrespiratorio.
66
Matem´ atica IV
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1. Multiplicaremos a la ecuaci´ on (3.32) por y −n , es decir: y −n
dy + P (x)y 1−n = Q(x) dx
2. A la ecuaci´on del primer paso se multiplica por (1
− n), es decir: dy (1 − n)y−n + (1 − n)P (x)y 1−n = (1 − n)Q(x) dx
3. Haciendo el cambio de variable: z = y 1−n entonces
dz = (1 dx
dy − n)y−n dx
4. Reemplazando en el segundo paso se tiene: dz + (1 dx
− n)P (x)z = (1 − n)Q(x)
dz + P 0 (x)z = Q 0 (x) dx que es una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal en z . donde: P 0 (x) = (1
− n)P (x) Q0 (x) = (1 − n)Q(x) 3.9.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de Riccaty
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de Riccaty2 son de la forma: dy + P (x)y = Q(x)y2 + R(x) dx
(3.33)
donde P (x), Q(x) y R(x) son funciones s´olo de x. Para hallar la soluci´ on de ´este tipo de ecuaciones diferenciales, debemos suponer que y = ψ(x) sea una soluci´on particular entonces se puede hallar la soluci´o n de la ecuaci´on diferencial, haciendo y = ψ(x) + z, donde z es una funci´on inc´ognita, que podemos determinar mediante la ecuaci´on diferencial. Es decir: y = ψ(x) + z (3.33) se tiene: ψ ′ (x) +
⇒
dy dz = ψ ′ (x) + , reemplazando en la ecuaci´ on diferencial dx dx
dz = P (x)(ψ(x) + z) + Q(x)(ψ(x) + z)2 + R(x) dx
(3.34)
Agrupando los t´erminos de la ecuaci´on (3.34) dz dx
− (P (x) + 2Q(x)ψ(x)) z − Q(x)z2 + (ψ′ (x) + P (x)ψ(x) − Q(x)ψ2 (x) − R(x)) = 0
2
(3.35)
El conde Jacopo Francesco Riccati (Venecia, 28 de mayo de 1676 al 15 de abril de 1754) fue un matem´atico
veneciano, que estudi´ o detalladamente la hidrodin´ amica sobre la base de la mec´anica newtoniana, a cuya introducci´ on en Italia colabor´ o.
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
67
Como y = ψ(x) es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial de “RICCATI” entonces se tiene: ψ′ (x) + P (x)ψ(x)
− Q(x)ψ2 (x) − R(x) = 0
(3.36)
de las ecuaciones (3.36) y (3.35) se tiene: dz dx
− [P (x) + 2Q(x)ψ(x)]z = Q(x)z2
Luego, en la ecuaci´on (3.37) consideremos P 0 (x) =
−[P (x) + 2Q(x)ψ(x)]
Q0 (x) = Q(x)
entonces se obtiena la ecuaci´on diferencial ordinaria de Bernoulli: dz + P 0 (x)z = Q 0 (x)z 2 dx
(3.37)
68
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS RESUELTOS
✍
2.
I. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable 1. Resolver (1 + y 2 )dx + (1 + x2 )dy = 0
Soluci´ on Separando variables tenemos:
dx dy + = 0 e integrando se tiene 2 1+x 1 + y2
dx + 1 + x2
dy = c 0 1 + y2
puesto que la integral de cero es una constante, luego arctanx + c1 + arctany + c2 = c 0 pero las constantes de integraci´on c0 , c1 y c2 , que en los problemas pr´acticos se suelen llamar condiciones iniciales o de borde, seg´un el tipo de aplicaci´on, pueden tener tambi´en otra denominaci´on parecida; sin embargo, todas se engloban en una u ´nica constante k , as´ı: c 0
− c1 − c2 = k, luego: arctanx + arctany = k
aplicando tangente a ambos miembros se tiene tan(arctanx + arctany) = tank tan(arctanx) + tan(arctany) = k 1 tan(arctanx)tan(arctany) de donde
x+y = k 1 xy
−
−
∴
x + y = k(1
dy + 2ty = 0 dt Soluci´ on
− xy)
2. Resolver
dy Separando variables tenemos: = 2ty, luego integrando directamente se tiene dt dy 2 = 2tdt entonces ln y = t2 + c de donde y = ce−t . y 2 ∴ y = ce −t
− −
−
3. Resolver 2x(1 + y 2 )dx
Soluci´ on
− y(1 + 2x2 )dy = 0 2xdx 1 + 2x2 2xdx 1 + 2x2
Separando variables se obtiene: luego integrando se tiene
− 1ydy =0 + y2
−
ydy =0 1 + y2
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
69
1 1 de donde ln(1 + 2x2 ) ln(1 + y 2 ) = c, que mediante propiedades de logaritmos 2 2 1 + 2x2 se tiene ln = ln c 1 + y2 ∴ (1 + 2x2 ) = c(1 + y 2 )
−
4. Resolver
Soluci´ on
dy ax + b = dx cx + d
Separando variables ax + b dy = dx e integrando cx + d
− − −
ax b dx + dx cx + d cx + d a cx + d d dx dx + b c cx + d cx + d ax ad dx dx + b c c cx + d cx + d ax ad dx + b c c cx + d
y = = = =
∴
y =
ax bc ad + ln cx + d + k c c2
−
|
− − −
5. Resolver (1 +
Soluci´ on
ax + b dx luego cx + d
dy =
y2 )dx =
1 + y2
y
1 + x2
|
3/2
dy
Separando variables y 1 + y2 dx = dy 1 + y2 (1 + x2 )3/2 integrando haciendo
1 + y2
y
dx
(1 + x2 )3/2
√ 1 + x2
=
1 + y2
x = tanα
⇒
dx = sec 2 αdα
y = tanβ
⇒
dy = sec 2 βdβ
x
α
dy
1 + y2
1
β 1
y
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
71
dy sen x + e2y sen x π = , para y = 0 dx 3ey + ey cos x 2 Soluci´ on
7. Resolver
Al factorizar el numerador y denominador se tiene: dy (e2y + 1)senx = y , separando variables dx e (3 + cosx) ey dy senxdx = e integrando directamente e2y + 1 3 + cosx ey dy senxdx = se obtiene 2y e +1 3 + cosx arctaney = ln 3 + cos x + k π π luego evaluando las condiciones iniciales y = 0 tenemos: = ln 3 + k por lo 2 4 tanto la soluci´on ser´a: π ∴ arctaney + ln 3 + cos x = + ln 3 4 2F (x) on tal que F (x) = , si x = 0 y F (0) = 1. Hallar F (2). 8. Sea F una funci´ x Soluci´ on 2y ′ 2dy Sea y = F (x) entonces y = 2y′ = yx = yx x dx 2dy luego separando variables: = xdx obtenemos que: y x2 dy x2 2 = xdx 2 ln y = + k de donde: y = e 4 +k , es decir: 2 y
− |
|
|
|
⇒
F (x) = e
x2 +k 4
−
⇒
⇒
pero F (0) = 1
⇒ ∴
k = 0 luego se tiene que: F (x) = e F (2) = e
x2 4
II. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a variable separable y ′ = cos2 (x
1. Resolver
Soluci´ on
− y + 1)
Haciendo z = x y + 1 dz luego 1 = cos2 z dx
−
−
integrando directamente
csc 2 zdz = x + k
2. Resolver
dz dy =1 dx dx dz = dx 1 cos2 z dz = dx de donde: 1 cos2 z 1 cot z = x + k x+ = k tan z 1 = k ∴ x+ tan(x y + 1)
⇒ ⇒
⇒ −
−
− −
dy 1 = dx ln(2x + y + 3) + 1
Soluci´ on Haciendo z = 2x + y + 3 dz 1 luego 2= dx ln z + 1
−
⇒
−
− 2
dz dy ⇒ dx = 2+ dx − 2 ⇒ (ln z + 1)dz = dx
72
Matem´ atica IV
integrando directamente
Soluci´ on
Haciendo z = xy
⇒
⇒ z ln |z| − z + z = x + k ∴ (2x + y + 3) ln |2x + y + 3 | = x + k (1 + x2 y 2 )y + (xy − 1)2 xy ′ = 0
3. Resolver
z′ − y ′ y = x
(ln z + 1)dz =
Walter Arriaga Delgado dx
dz dy = x + y o dx ′ dxz xz y ′ = luego x2
⇒ ⇒
z ′ = xy ′ + y
−
z (1 + z2 ) + (z x
− 1)2 x
−
xz ′ z = 0 x2
z (z 1)2 (xz ′ (1 + z ) + x x (1 + z2 )z + (z 1)2 xz ′ (z
−
2
− z) = 0
− − 1)2 z = 0 z + z 3 + (z − 1)2 xz ′ − z 3 − 2z 2 − z = 0 (z − 1)2 dz dx − (z − 1)2 xz ′ = −2z 2 ⇒ = 2 z2 x −
Integrando directamente se tiene z
− 2 ln z − 1z = −2 ln x + c ⇒
xy
− xy1 = ln y2 + c ⇒ ∴ 2
Soluci´ on
x Haciendo z = 2 y ye
= 2xe
x/y2
2y 2 z 2 ez = 2xze z
−
y2
y′
⇒
ye z
=
1
cy 2 = e xy− xy
− xy1
− 2xex/y dy = 0 z − xz ′ ′ ⇒ 2yy = z2 ⇒
− 2 ln xy − xy1 = −2 ln x + c
− xy1 = ln cy2 ⇒
y 2 = ce xy 2
ye x/y dx + y 2
4. Resolver
x/y2
xy
xy
z − xz ′ ′ y = , 2yz 2
2xez
−
luego
−
xz ′ 2yz 2 x y2 = z
y2
z
− 2x2ez z′ − zy 2 + y2xz′ pero: x 2 ′ ′ z z 2 z 2xze = 2xze − 2x e z − x + z z 2 x 2x2 ez z ′ = −x + z ′ ⇒ 2zx 2 ez z ′ = −xz + x2 z ′ z 2zxe z z′ = −z + xz ′ ⇒ x(2ze z − 1)z ′ = −z (2ze z − 1)dz dx =− integrando directamente tenemos: z x dz dx 2ez dz − =− z x x z 2e − ln z = − ln x + c reemplazando se tiene 2ex/y − ln 2 = − ln x + c y x/y 2 2e − ln x + ln y = − ln x + c
2
2
∴
2
ln y + ex/y = c
Walter Arriaga Delgado 5. Resolver
Matem´ atica IV
ey y′ = k(x + ey )
Soluci´ on
73
−1
Haciendo la sustituci´ on: z = x + ey
⇒
z ′ = 1 + ey y′
z′
⇒
− 1 = ey y′
reemplazando en la ecuaci´on diferencial tenemos: z′
− 1 = kz − 1
de donde z ′ = kz
y al separar variables obtenemos
integrando en forma directa se tiene: ln z = kx + c ekx+c = x + ey
⇒
ln(x + ey ) = kx + c
luego
ey = ekx+c ∴
6. Resolver (x6
Soluci´ on
dz = kdx z
entonces se tiene que:
−x
y = ln(cekx
− x)
− 2x5 − 2x4 − y3 + 4x2 y)dx + (xy2 − 4x3)dy = 0
Expresamos la ecuaci´ on diferencial como: x6
− 2x5 − 2x4 − y3 + 4x2y + (xy2 − 4x3 )y′ = 0 y haciendo la sustituci´on y = xz ⇒ y ′ = xz ′ + z, luego: x6 − 2x5 − 2x4 − x3 z 3 + 4x3 z + (x3 z 2 − 4x3 )(xz ′ + z) = 0 x6 − 2x5 − 2x4 − x3 z 3 + 4x3 z + x4 z 2 z ′ + x3 z 3 − 4x4 z ′ − 4x3 z = 0 x4 (x2 − 2x + 2) + x4 (z 2 − 4)z ′ = 0 (x2 − 2x + 2) + (z 2 − 4)z ′ = 0 x3 z 3 − x2 + 2x + − 4z = c 3 3 x3 3
7. Resolver
Soluci´ on
3
− x2 + 2x + 3xy 3 − 4 xy = c ∴ x6 − 3x5 + 6x4 + y 3 − 12yx 2 = cx 3 dy 3x2 + 2xy − 4x − 2y + 1 = dx 3y2 − x2 + 6y + 2x + 2
Factorizando tanto el numerador como el denominador se obtiene: dy 3(x 1)2 + 2(x 1)(y + 1) = dx 3(y + 1) 2 (x 1)2
−
haciendo
n = x
−1 ⇒ m = y − 1 ⇒
y reemplazando se tiene:
−
− −
dn = dx dm = dy dm 3n2 + 2nm = dn 3m2 n2
−
74
Matem´ atica IV Sea (3m2
Walter Arriaga Delgado
n = um dn = udm + mdu n2 )dm = (3n2 + 2nm)dn
− (3m2 − u2 m2 )dm = (3u2 m2 + 2um2 )(udm + mdu) (3 − u2 )dm = (3u2 + 2u)(udm + mdu) (3 − u2 )dm = (3u3 + 2u2 )dm + m(3u2 + 2u)du (3 − u2 − 3u3 − 2u2 )dm = m(3u2 + 2u)du dm 3u2 + 2u + 3 dm = c 3u + 3u2 − 3 m dm 3u2 + 2u integrando + dm = c m 3u3 + 3u2 − 3 1 ln m + ln(3u3 + 3u2 − 3) = c 3 3 ln m (3u3 + 3u2 − 3) = c m3 (3u3 + 3u2 − 3) = c 3n3 3n2 m3 + 2 − 3 = c m3 m 3 2 3n + 3mn − 3m3 = c n3 + mn2 − m3 = c
∴
(x
− 1)3 + (y + 1)(x − 1)2 − (y + 1)3 = c
III. Ecuaciones diferenciales ordinarias homog´ eneas 1. Resolver
Soluci´ on
x + (x
Sea y = ux
⇒
− y)ey/x
dx + xey/x dy = 0
dy = udx + xdu y reemplazando se tiene: (x + (x
− ux)eu ) dx + xeu(udx + xdu) = 0
− u)eu)dx + xeu(udx + xdu) = 0 (1 + eu − ueu )dx + ueu dx + xeu du = 0 dx eu du u u ⇒ (1 + e )dx + xe du = 0 + =0 x 1 + eu x(1 + (1
integrando: ln x + ln 1 + eu = c
||
|
|
∴
2. Resolver
Soluci´ on
⇒
ln x(1 + eu ) = c
|
|
x(1 + ey/x ) = k
− x cos
y y + y sen x x
ydx + x cos
y x
y sen
y x
xdy = 0
Walter Arriaga Delgado Sea y = ux
Matem´ atica IV
75
dy = udx + xdu y reemplazando:
⇒
(x cos u + ux sen u)uxdx + (x cos u
− ux sen u)x(udx + xdu) = 0
x(cos u + u sen u)udx + x(cos u
− u sen u)(udx + xdu) = 0 (u cos u + u2 sen u + u cos u − u2 sen u)dx + (cos u − u sen u)xdu = 0 2u cos udx + (cos u − u sen u)xdu = 0 dx (cos u − u sen u) + du = 0 x
2u cos u
1 ln x + ln u 2
− 12 ln | sec u| = C √ √ √ √ ln x + ln u + ln cos u = c ⇒ ln x u cos u = c √ y y √ √ ⇒ ⇒ x u cos u = c x √ cos = c x x ∴
3. Resolver
x2 y ′
Soluci´ on
y xy cos( ) = c x
− y2 + xy = x2
x2 y ′ = x 2
− xy + y2 ⇒ x2dy = (x2 − xy + y2)dx Haciendo y = ux ⇒ dy = udx + xdu x2 (udx + xdu) = (x2 − x2 u + u2 x2 )dx ⇒ −(1 − 2u + u2 )dx + xdu = 0 ⇒ −(1 − u)2dx + xdu = 0, luego − dxx + (1 −duu)2 = 0 y reemplazando se tiene: − ln x + 1 y = c ⇒ − ln x + x −x y = c ⇒ c − ln x = − x −x y 1− x
∴
4. Resolver
Soluci´ on
dy = dx
y +
y = ux
x
⇒ ⇒
xdy = y + x cos2 sea
x cos2
y x ,
y =
x + x c ln x π 4
y(1) =
y dx x dy = udx + xdu
⇒
x(udx + xdu) = (ux + x cos2 u)dx
udx + xdu = (u + cos2 u)dx xdu = cos2 udx, luego du dx = sec2 udu = ln x + c tan u = ln x + c 2 cos u x π π como y(1) = tan = c c = 1 4 4 y ∴ 1 + ln x = tan x
⇒
⇒
⇒
⇒
−
⇒ tan
⇒
y = ln x + c x
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
77
reemplazando se tiene: (z homog´enea. Sea
− 2w)dz + (2z − w)dw = 0, que es una ecuaci´on diferencial w = uz ⇒ dw = udz + zdu
reemplazando y simplificando se tiene: dz (2 u)du 1 u2 dz + (2 u)zdu = 0 + = 0, integrando z 1 u2 du udu u + 1 1 ln z + 2 = c ln z + ln + ln 1 u2 = c 2 2 1 u 1 u u 1 2 u+1 u+1 ln z + ln + ln 1 u2 = c z 1 u2 = c u 1 u 1 w + z w 2 w + z z 2 w2 z z w z 1 = c z = c z2 w z z z w + z z w z + w = c (w + z)3/2 (z w)−1/2 = c w z x 3 = k(x + y 1)3 ∴ y
− − ⇒ −− − | − ⇒ − − − √ − √ − ⇒ ⇒ − − √ − ⇒ − − ⇒ − ⇒
√ − √
−
2. Resolver
Soluci´ on
dy = dx
⇒ − −
|
−
−
+ 3y + 15 − 4x2x + y + 7
(2x + y + 7)dy + (4x + 3y + 15)dx = 0 Sea: L1 :
2x + y + 7 = 0
L2 : 4x + 3y + 15 = 0
luego
2x + y + 7 = 0
4x + 3y + 15 = 0 entonces, x = 3, y = 1, luego el punto de intersecci´ on es consideremos x = z + h, y = w + k de donde
−
−
x = z
− 3,
dx = dz, reemplazando se tiene:
y = w
P ( 3, 1)
− −
−1
dy = dw
(2z + w)dw + (4z + 3w)dz = 0, que es una ecuaci´ on diferencial homog´enea sea
w = uz
⇒
dw = udz + zdu
reemplazando y simplificando se tiene:
dz (2 + u)du u2 + 5u + 3 dz + (2 + u)zdu = 0 + 2 = 0, z u + 5u + 4 2 1 ln z + ln u + 4 + ln u + 1 = c 3 3 z(u + 4)2/3 (u + 1) 1/3 = c z 3 (u + 4)2 (u + 1) = c
|
⇒
|
|
∴
3. Resolver
y 3 dx + 2(x2
Soluci´ on Sea
y = z α
⇒
⇒
integrando
|
(y + x + 4)(y + 4x + 13)2 = k
− xy2)dy = 0
dy = αz α−1 dz
78
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
z 3α dx + 2(x2
− xz2α)αzα−1 dz = 0 z 3α dx + 2α(x2 zα−1 − xz 3α−1 )dz = 0
reemplazando
para que la ecuaci´on sea homog´enea debe cumplir que
3α = α + 1
luego reemplazando en la ecuaci´on se tiene: z 3/2 dx + (x2 z −1/2
− xz1/2)dz = 0 ⇒
z 2 dx + (x2
que una ecuaci´on diferencial ordinaria homog´enea sea
z = ux
u2 x2 dx + (x2
⇒
α = 1/2
− xz)dz = 0
dz = udx + xdu
⇒
− x2u)(udx + xdu) = 0 ⇒ u2dx + (1 − u)(udx + xdu) = 0 ⇒ udx + (1 − u)xdu = 0 ⇒ dxx + (1 −uu)du = 0 ⇒ ln x + ln u − u = c ⇒ ln z − xz = c y 2 = x ln cy 2
∴
dy = dx
4. Resolver
Soluci´ on
2
2
3x y + y − 2x ; 3 + 3xy
y(1) =
−2
(2x3 + 3xy)dy + (3x2 y + y 2 )dx = 0 y = z α
Sea
dy = αz α−1 dz,
⇒
reemplazando
(2x3 + 3xz α−1 )αz α−1 dz + (3x2 z α + z 2α )dx = 0 α(2x3 z α−1 + 3xz 2α−1 )dz + (3x2 z α + z2α )dx = 0 para que la ecuaci´on sea homog´enea, debe cumplirse: 2α = α + 2 luego reemplazando en la ecuaci´on
⇒
α = 2
2(2x3 z + 3xz 3 )dz + (3x2 z 2 + z 4 )dx = 0 que es una ecuaci´on diferencial homog´enea. Sea
z = ux
⇒
dz = udx + xdu
2(2x4 u + 3x4 u3 )(udx + xdu) + (3x4 u2 + u4 x4 )dx = 0 (7u2 + 7u4 )dx + (4u + 6u3 )xdu = 0 dx (4u + 6u3 )du 2 (2u + 3u3 ) 4 + = 0 ln x + du = c ln x + ln u + x 7u2 + 7u4 7 u2 (1 + u2 ) 7 1 ln 1 + u2 = c xu4/7 (1 + u2 )1/7 = c x7 u4 (1 + u2 ) = c 7 xz 4 (x2 + z 2 ) = c xz 2 (x2 + y) = c x3 y 2 + xy 3 = c
⇒
⇒
|
luego como
|
⇒
⇒ y(1) = −2 ⇒
c = ∴
−4
x3 y 2 + xy 3 =
⇒
⇒ ⇒
−4
on general de la ecuaci´on diferencial: 5. Hallar la soluci´ ax2 + 2bxy + cy 2 + y′ (bx2 + 2cxy + my 2 ) = 0
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
79
Soluci´ on Despejando y ′ tenemos que: 2
y ′ = sea
y = ux
2
2bxy + cy − bxax2 ++2cxy + my 2
(3.39)
y ′ = u + xu′
⇒
reemplazando en la ecuaci´on (3.39) u + xu′ =
−
ax2 + 2bx2 u + cx2 u2 = bx2 + 2cx2 u + mx2 u2
−
a + 2bu + cu2 b + 2cu + mu2
2
2
2
xu′ =
2bu + cu a + 2bu + cu + bu + 2cu − ba++2cu + − − u = mu2 b + 2cu + mu2
xu′ =
+ 3cu + 3bu + a − mu mu ⇒ 2 + 2cu + b
3
2
+ mu3
mu2 + 2cu + b du = mu3 + 3cu2 + 3bu + a
− dxx
1 ln(mu3 + 3cu2 + 3bu + a) = ln x + c1 3 ln(mu3 + 3cu2 + 3bu + a) = 3 ln x + c2
−
−
ln(mu3 + 3cu2 + 3bu + a) + ln x3 = c 2 = ln c (mu3 + 3cu2 + 3bu + a)x3 = c Como
u =
y , x
(3.40)
entonces en la ecuaci´on (3.40) se tiene: ∴
my 3 + 3cxy 2 + 3bx2 y + ax3 = c
V. Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas 1. Resolver
1 + y2 dx + 2xydy = 0 x
Soluci´ on 1 M (x, y) = + y 2 x
N (x, y) = 2xy ∂M ∂N Como = ∂y ∂x
∂M (x, y) = 2y ∂y ∂N (x, y) = 2y ∂x entonces la ecuaci´ on diferencial ordinaria es exacta
⇒ ⇒
luego existe una funci´on f (x, y) tal que
∂f (x, y) = M (x, y) ∂x
∂f (x, y) 1 = + y 2 , integrando ambos miembros con respecto a x ∂x x 1 f (x, y) = + y 2 f (x, y) = ln x + xy 2 + g(y) x
⇒
derivando ambos miembros con respecto a y ∂f (x, y) = 2xy + g′ (y) N (x, y) = 2xy + g′ (y) ∂y luego g ′ (y) = 0 de donde g(y) = c adem´as f (x, y) = k
⇒
∴
ln x + xy 2 = k
⇒
2xy = 2xy + g′ (y)
80
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Usando la forma pr´ actica se tiene: 1 M (x, y) dx = + y 2 dx = ln x + xy 2 x
N (x, y) dy =
2xydy = xy 2
2. Resolver (y sen x
Soluci´ on M (x, y) = y sen x
ln x + xy 2 = k
∴
− sen y)dx − (x cos y + cos x)dy = 0 ∂M (x, y) = sen x ∂y
− sen y ⇒
− cos y
∂N (x, y) N (x, y) = x cos y cos x = sen x cos y ∂x ∂M ∂N Como = entonces la ecuaci´ on diferencial ordinaria es exacta ∂y ∂x ∂f (x, y) luego existe una funci´on f (x, y) tal que = M (x, y) ∂x ∂f (x, y) = y sen x sen y, integrando ambos miembros con respecto a x ∂x
−
f (x, y) =
−
⇒
−
− (y sen x − sen y) ⇒
f (x, y) =
−y cos x − x sen y + g(y)
derivando ambos miembros con respecto a y ∂f (x, y) = cos x ∂y cos x x cos y =
−
−
−
− x cos y + g′ (y) ⇒ N (x, y) = − cos x − x cos y + g′ (y) ⇒ − cos x − x cos y + g′(y)
luego g′ (y) = 0 de donde g(y) = c adem´as f (x, y) = k ∴
x sen y + y cos x = k
forma pr´ actica:
−
(y sen x
− sen y)dx = −y cos x − x sen y ( x cos y − cos x)dy = −x sen y − y cos x luego se tiene: −y cos x − x sen y = k ∴
3. Resolver
x sen y + y cos x = k
yx y−1 dx + xy ln xdy = 0
Soluci´ on
∂M = yxy−1 ln x + xy−1 ∂y ∂N N = x y ln x = yxy−1 ln x + xy−1 ∂x luego la ecuaci´on es exacta, entonces: M = yxy−1
⇒
⇒
∂f (x, y) ∂f (x, y) = M = yx y−1 ∂x ∂x yx y y −1 f (x, y) = yx dx f (x, y) = + g(y) y
⇒
⇒
Walter Arriaga Delgado
Matema´tica IV
f ( f (x, y) = x y + g(y)
⇒
81
∂f ( ∂f (x, y ) = xy ln x + g ′ (y) ∂y
xy ln x = x = x y ln x + g ′ (y ). luego
g ′ (y ) = 0
de donde
g (y ) = c ; ∴
como
f ( f (x, y ) = x y + c
k = x = x y
Forma pr´ actica: actica: Para resolver
yx y−1 dx + xy ln xdy = 0, consid considere eremos mos::
yx y−1 dx = dx = x xy xy ln xdy = xdy = x x y ∴
4. Resolver
Soluci´ on on
ln(x ln(x
−
k = x = x y
x + y y) + dx + ln(x ln(x x y
−
x + x + y dy = dy = 0 x y
− y) − −
∂M 1 2x x + y = + = 2 ∂y x y (x y) (x y )2 x+y ∂N 1 2y x+y N = = ln(x ln(x y ) = = x y ∂x x y (x y)2 (x y)2 luego la ecuaci´on on diferencial es exacta, entonces: ∂f ( ∂f (x, y ) x + y = M = M = ln(x ln(x y ) + ∂x x y x + x + y ln(x ln(x y) + ln(x y )dx + f ( f (x, y) = dx f ( f (x, y ) = ln(x dx + x y xdx x+y f ( f (x, y) = x ln(x ln(x y ) + dx x y x y ydx f ( f (x, y) = x ln(x ln(x y ) + + g(y ) x y f ( f (x, y) = x ln(x ln(x y ) + y ln(x ln(x y ) + g(y) M = = ln(x ln(x
− y) + xx +− yy ⇒
− − −
− −
− − − − −
⇒
−
−
− − −
−
−
−
⇒
− − − −
−
− −
f ( f (x, y) = (x + y )ln(x )ln(x y) + g(y) (x + y ) ∂f ( ∂f (x, y ) = + ln(x ln(x y ) + g′ (y ) ∂y x y x + y x+y ln(x ln(x y ) = + ln(x ln(x y ) + g ′ (y ) x y x y luego g ′ (y ) = 0 de dond dondee g (y) = c
−
− − − − − − − −
−
∴
Forma pr´ actica: actica: Para resolver Consideremos:
ln(x ln(x
−
ln(x ln(x
x + y y) + x y
−
k = (x + y )ln(x )ln(x
−
x + y y) + dx + ln(x ln(x x y
dx = dx = (x + y )ln(x )ln(x
−
− y)
− y) − −
− y) + g(y)
x+y dy = dy = 0 x y
x+y dx x y
−
82
Matema´tica IV
ln(x ln(x
Walter Arriaga Delgado
x + y dy = (x + y )ln(x )ln(x y) + g(x) x y )ln(x y ) ∴ k = (x + y )ln(x
− y) − −
Res esol olv ver (ye xy cos2x os2 x 5. R
Soluci´ on on
−
−
− 2exy sen2x sen2x + 2x 2x)dx + dx + (xe (xexy cos2x os2 x − 3)dy 3)dy = = 0
M = ye y exy cos2x cos2x 2exy sen2x sen2x + 2x 2x ∂M = xye xy exy cos2x cos2x + exy cos2x cos2x 2xexy sen2x sen2x ∂y N = xe xy cos2x cos2x 3 ∂N = xye xy exy cos2x os2 x + exy cos2x cos2x 2xexy sen2x sen2x ∂x Luego la ecuaci´on on es exacta, entonces: ∂f ( ∂f (x, y ) = M = ye xy cos2x cos2x 2exy sen2x sen2x + 2x 2x ∂x
−
⇒
−
−
⇒
−
f ( f (x, y) = f ( f (x, y) =
Sea I =
−
(ye xy cos2x cos2x
− 2exy sen2x sen2x + 2x 2x)dx (ye xy cos2x cos2x)dx − 2 (exy sen2x sen2x)dx +x2 + g(y)
I
(exy sen2x sen2x)dx, dx, integrando integrando por partes partes
u = e = e xy
dv = dv = sen2xdx sen2xdx cos2x cos2x du = du = ye ye xy v = 2 cos2x cos2x 1 I = exy + (yexy cos2x cos2x)dx luego: 2 2
−
−
f ( f (x, y) =
(ye
xy
cos2x cos2x)dx + dx + e
xy
cos2x cos2x
f ( f (x, y) = e xy cos2x cos2x + x2 + g(y) ∂f ( ∂f (x, y ) = xe xy cos2x cos2x + g ′ (y) ∂y xexy cos2x cos2x 3 = xe xy cos2x cos2x + g ′ (y)
−
(ye xy cos2x cos2x)dx + dx + x2 + g(y )
−
entonces:
g′ (y ) = 3
de donde ∴
g (y ) =
−3y
k = e = e xy cos2x cos2x + x2
− 3y
VI. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a exactas Resolv lver er (5x (5x3 + 3xy 3xy + + 2y 2 y 2 )dx + dx + (x ( x2 + 2xy 2xy))dy = dy = 0 1. Reso
Soluci´ on on ∂M = 3x + 4y 4y ∂y ∂N N = x 2 + 2xy 2xy = 2x + 2y 2y ∂x luego la ecuaci´on on no es exacta, entonces: M = 5x3 + 3xy 3xy + + 2y 2y2
⇒ ⇒
Walter Arriaga Delgado ∂M ∂y
− ∂∂xN N
entonces
=
Matema´tica IV
3x + 4y 4 y 2x x2 + 2xy 2xy
− − 2y =
u = e = e
f ( f (x)dx
= e
83
x + 2y 2y 1 = = f ( f (x) x(x + 2y 2 y) x
1 dx x = x es el el F.I. F.I.
ahora multiplicando a la ecuaci´on on diferencial por el F.I. se tiene: (5x (5x4 + 3x 3x2 y + 2xy 2 xy 2 )dx + dx + (x ( x3 + 2x 2x2 y )dy = dy = 0 ∂M M = 5x4 + 3x 3x2 y + 2xy 2 xy 2 = 3x2 + 4xy 4xy ∂y ∂N 2x2 y = 3x2 + 4xy 4xy N = x 3 + 2x ∂x de donde la ecuaci´on on es exacta, entonces: ∂f ( ∂f (x, y ) = M = 5x4 + 3x 3x2 y + 2xy 2 xy 2 ∂x
⇒ ⇒
(5x (5x4 + 3x 3x2 y + 2xy 2 xy 2 )dx
f ( f (x, y) =
f ( f (x, y) = x 5 + x3 y + x2 y2 + g(y ) ∂f ( ∂f (x, y ) = x 3 + 2x 2x2 y + g ′ (y ) ∂y x3 + 2x 2x2 y = x = x 3 + 2x 2x2 y + g ′ (y) entonces: g′ (y ) = 0
⇒
g (y ) = c
f ( f (x, y) = x 5 + x3 y + x2 y2 + c
de donde
∴
2. Resolver
Soluci´ on on y M = x
y dx + dx + (y (y 3 x
k = x = x 5 + x3 y + x2 y 2
− ln x)dy = dy = 0
∂M 1 = ∂y x ∂N 1 N = y 3 ln x = ∂x x luego la ecuaci´on on no es exacta, entonces: ∂M ∂ N 1 1 2dy − 2 ∂y ∂x y = 1 es el F.I. = x y x = = g( g (y), enton entonces ces:: u = e = e M y y2 x ahora multiplicando a la ecuaci´on on diferencial por el F.I. se tiene: dx ln x + y dy = dy = 0 xy y2 1 ∂M 1 M = = xy ∂y xy 2 ln x ∂N 1 N = y = y2 ∂x xy 2 de donde la ecuaci´on on es exacta, entonces: ∂f ( ∂f (x, y ) 1 = M = ∂x xy
⇒ ⇒
−
−
− −
−
− −
⇒ ⇒
− −
84
Matema´tica IV
Walter Arriaga Delgado
dx xy ln x f ( f (x, y) = + g(y ) y ∂f ( ∂f (x, y ) ln x = + g ′ (y) ∂y y2 f ( f (x, y) =
−
entonces: g ′ (y ) = y luego
f ( f (x, y ) =
y2 +c 2
g (y ) =
⇒
ln x y 2 + +c y 2 ∴
Res esol olv ver (x4 + y4 )dx 3. R
Soluci´ on on
k =
y 2 ln x + 2 y
− xy3dy = dy = 0
∂M = 4y 3 ∂y ∂N N = xy 3 = y3 ∂x luego la ecuaci´on o n no es exacta, pero como la ecuaci´on on diferencial es homog´enea enea M = x 4 + y 4
−
⇒ ⇒
−
entonces: 1 1 1 = 5 = , es el F. F.I. M x + N y x + xy 4 + ( xy 4 ) x5
−
ahora multiplicando a la ecuaci´on on diferencial por el F.I. se tiene: x4 + y4 xy 3 dx dy = dy = 0 x5 x5 1 y4 y3 + dx dy = 0 x x5 x4 1 y4 ∂M 4y 3 M = + 5 = 5 x x ∂y x 3 y ∂N 4y 3 N = = 5 x4 ∂x x luego la ecuaci´on on es exacta, entonces:
−
−
⇒
−
⇒
∂f ( ∂f (x, y ) 1 y4 = M = + 5 ∂x x x 1 y4 f ( f (x, y) = + dx x x5 y4 f ( f (x, y) = ln x + g(y) 4x4 ∂f ( ∂f (x, y ) y3 y3 ′ = + g (y ) = ∂y x4 x4 entonces g ′ (y ) = 0 g (y ) = c y4 de donde f donde f ((x, y ) = ln x +c 4x4
−
−
⇒ −
−
y3 + g ′ (y) 4 x
⇒ −
∴
k = ln x
4
− 4yx4
Walter Arriaga Delgado
Matema´tica IV
85
Tambi´en en se puede usar el caso I. Nota: Tambi´ y (x2 y2 + 2)dx 2)dx + + x(2
4. Resolver
Soluci´ on on
− 2x2 y2)dy = dy = 0
∂M = 3x 2 y 2 + 2 ∂y ∂N N = 2x 2x3 y 2 = 2 6x2 y 2 ∂x luego la ecuaci´on on no es exacta, pero tiene la forma: yf ( yf (x, y)dx + xg( xg(x, y )dy = dy = 0 1 1 1 luego, = 3 3 = es el F.I. Mx Ny x y + 2xy 2xy 2xy + xy + 2x 2 x3 y 3 3x3 y 3 ahora multiplicando a la ecuaci´on on diferencial por el F.I. se tiene: 2 2 2 2 y (x y + 2) x(2 x (2 2x y ) dx + dx + dy = dy = 0 3 3 3x y 3x3 y 3 x2 y 2 + 2 2 2x2 y 2 dx + dy = dy = 0 3x3 y 2 3x2 y 3 M = x 2 y3 + 2y 2y
⇒ ⇒
−
−
−
−
−
−
1 2 2 + 3 2 dx + 3x 3x y 3x2 y 3
−
2 dy = dy = 0 3y
1 2 ∂M 4 + 3 2 = 3 3 3x 3x y ∂y 3x y 2 2 ∂N 4 N = 2 3 = 3 3 3x y 3y ∂x 3x y luego la ecuaci´on on diferencial es exacta, entonces: ∂f ( ∂f (x, y ) 1 2 = M = + 3 2 ∂x 3x 3x y 1 2 f ( f (x, y) = + 3 2 dx 3x 3x y ln x 1 f ( f (x, y) = + g(y ) 3 3x2 y 2 ∂f ( ∂f (x, y ) 2 2 2 2 = 2 3 + g′ (y ) = 2 3 + g′ (y ) 2 3 ∂y 3x y 3x y 3y 3x y 2 2 luego g ′ (y ) = g (y ) = ln y + c 3y 3 ln x 1 2 de donde f ( f (x, y ) = ln y + c 3 3x2 y2 3 1 x 1 ∴ k = ln 3 y2 3x2 y 2 M =
−
⇒
−
⇒
−
−
⇒
−
−
⇒
−
−
−
−
VII. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales 1. Resolver
Soluci´ on on
dy + y = sen x dx
La ecuaci´on on diferencial es lineal en y , luego uego:: P ( P (x) = 1 entonces
y = e = e −
P ( P (x)dx
e
P ( P (x)dx
Q(x)dx + dx + c
∧
Q(x) = sen x
86
Matem´ atica IV
y = e −
y = e −x y = e −x
dx
e
dx
sen x dx + c
x
Walter Arriaga Delgado
e sen x dx + c
ex (sen x 2
− cos x) + c
1 (sen x 2 xdy = 0 y =
∴
2. Resolver (x5 + 3y)dx
Soluci´ on
−
− cos x) + ce−x
(x5 + 3y)dx xdy = 0 xdx (x5 + 3y)dx = 0 dy x 5 + 3y dy 3 =0 y = x 4 dx x dx x y la ecuaci´on diferencial es lineal en y , luego: P (x) =
−
⇒
−
⇒
entonces
y = e
P (x)dx
y = e −
−
−
e
P (x)dx
−
e
3 dx x x4 dx + c
e−3 ln x x4 dx + c
y = e 3 ln x
∴
3. Resolver
y ′ =
y 2y ln y + y
y = x 3 ( xdx + c)
y =
∧
entonces
x = e
x = e −
x = e − ln y 1 x = y
e
Soluci´ on
y = x 3
x2 +c 2
⇒
P (y)dy
e
P (y)dy
Q(y)dy + c
dy y (2ln y + 1) dy + c
eln y (2ln y + 1) dy + c
(2y ln y + y) dy + c
∴
4. Resolver
⇒
−x
− ⇒ dy y
Q(x) = x 4
x5 + cx3 2
Soluci´ on dy y = dx 2y ln y + y x dx 2y ln y + y x dx x = + = 2 ln y + 1 dy y dy y y la ecuaci´on diferencial es lineal en x, luego: 1 P (y) = Q(y) = 2 ln y + 1 y
− −
− x3 ∧
Q(x)dx + c
⇒ 3 dx x
1 2 x = y ln y y c x = y ln y + y
x tan2 ydy + xdy = (2x2 + tan y)dx
−
y 2 y 2 + +c 2 2
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
87
x(tan2 y + 1)dy = (2x2 + tan y)dx x sec2 ydy = (2x2 + tan y)dx sea,
z = tan y
⇒
dz = sec 2 ydy
luego, xdz = (2x2 + z)dx dz z dz z = 2x + = 2x dx x dx x y la ecuaci´on diferencial es lineal en z 1 donde P (x) = Q(x) = 2x x
⇒
−
− ∧
z = e −
entonces
z = e
P (x)dx
e
P (x)dx
Q(x)dx + c
− ⇒ dx x
dx x 2x dx + c
e
e− ln x 2x dx + c
z = e ln x z = x
z = 2x2 + cx
2 dx + c
∴
tan y = 2x2 + cx
VIII. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Bernoulli 1. Resolver
dy y + = dx x + 1
− 12 (x + 1)3 y2
Soluci´ on dy y 1 + = (x + 1)3 y2 multiplicando por y −2 dx x + 1 2 dy y −1 1 y −2 + = (x + 1)3 , dx x + 1 2 sea z = y −1 dz = y −2 dy dy y −1 1 − 2 y = (x + 1)3 dx x + 1 2 dz z 1 = (x + 1)3 , y la ecuaci´ on es lineal en z . dx x + 1 2 1 1 luego, P (x) = Q(x) = (x + 1)3 x+1 2
−
− ⇒
−
−
−
−
−
∧ − ⇒ ⇒
entonces
z = e
z = e −
dx x + 1
P (x)dx
1 e 2
e
P (x)dx
Q(x)dx + c
dx x + 1 (x + 1)3 dx + c
1 − ln(x+1) 1 z = e ln(x+1) e (x + 1)3 dx + c z = (x + 1) 2 2 3 4 1 (x + 1) (x + 1) z = (x + 1) +c z = + (x + 1)c 2 3 6 1 (x + 1)4 ∴ = + (x + 1)c y 6 dy 3x2 = 3 2. Resolver dx x + y + 1
(x + 1)2 dx + c
88
Matem´ atica IV
Soluci´ on dy 3x2 = 3 dx x + y + 1 dx x y + 1 = + dy 3 3x2
Walter Arriaga Delgado
dx x3 + y + 1 = dy 3x2 dx x y + 1 = dy 3 3x2 dx x3 y + 1 2 2 multiplicando por x se tiene x + , dy 3 3 sea z = x 3 dz = 3x2 dx dx dz 3x2 x3 = y + 1 z = y + 1 dy dy la ecuaci´ on es lineal en z .
⇒ ⇒
−
−
⇒
−
luego,
P (y) =
z = e
z = e y z = e y
− 1 ∧
− dy
e−
−
Q(y) = y + 1
⇒ −
P (y)dy
z = e −
entonces
⇒
dy
e
P (y)dy
3. Resolver cos x
Q(y)dy + c
(y + 1)dy + c
e−y (y + 1)dy + c ye −y
− e−y
e−y + c ∴
dy dx
z = e y
e−y ydy
e−y dy + c
⇒ z = −y − 2 + c ey x3 = −y − 2 + c ey
− y sen x + y2 = 0 − y2 Multiplicando por
Soluci´ on dy (tan x)y = y −2 dx cos x dy 1 y −2 (tan x)y −1 = , dx cos x sea z = y −1 dz = y −2 dy dy 1 dz 1 y−2 + (tan x)y−1 = + (tan x)z = , y la ecuaci´on es lineal dx cos x dx cos x en z. 1 luego, P (x) = tan x Q(x) = cos x
−
−
⇒
−
z = e −
∧
e
e
sec2 x dx + c
y ′ =
Soluci´ on yϕ ′ (x) y2 ′ y = ϕ(x) ′ dy ϕ (x) y2 y = dx ϕ(x) ϕ(x)
−
−
⇒
−
Q(x)dx + c
z = e − ln(sec x)
e
ln(sec x)
sec x dx + c
z = cos x(tan x + c)
yϕ ′ (x) y2 ϕ(x)
−
P (x)dx
1 dx + c cos x
∴
4. Resolver
⇒
P (x)dx
tan xdx
tan xdx
z = cos x
−
⇒ ⇒ z = e −
entonces
−
1 = sen x + c cos x y
donde ϕ(x) es una funci´on dada
yϕ ′ (x) ′ y = ϕ(x)
−
y2 ϕ(x)
multiplicando por y −2
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
89
dy ϕ ′ (x) −1 1 y = , dx ϕ(x) ϕ(x) sea z = y −1 dz = y −2 dy dy ϕ ′ (x) −1 1 y−2 + y = dx ϕ(x) ϕ(x) ′ dz ϕ (x) 1 + z = , y la ecuaci´on es lineal en z . dx ϕ(x) ϕ(x) ϕ′ (x) 1 luego, P (x) = Q(x) = ϕ(x) ϕ(x) y −2
−
−
⇒
−
−
−
entonces
z = e
z = e −
1 (x + c) ϕ(x)
e
P (x)dx
ϕ′ (x) dx ϕ(x)
z = e − ln ϕ(x) z =
∧
e
⇒
Q(x)dx + c
ϕ′ (x) dx 1 ϕ(x) dx + c ϕ(x)
e
ln ϕ(x)
P (x)dx
1 1 dx + c z = ϕ(x) ϕ(x) 1 x c = + y ϕ(x) ϕ(x) ϕ(x) ∴ y = x+c
⇒
dx + c
IX. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Riccaty 1. Resolver
Soluci´ on
dy = 3y + y 2 dx
−4
Sea y = ϕ(x)+z = 1+z
,
una soluci´on es ϕ(x) = 1 dy dz = , reemplazando en la ecuaci´ on diferencial dx dx
⇒
se tiene: dz dz = 3(1 + z) + (1 + z)2 4 , desarrollando se tiene = z 2 + 5z que es una dx dx EDO de variable separable. dz 1 1 Luego: 2 = dx integrando obtenemos ln z ln(z + 5) = x + c de z + 5z 5 5 donde: z z z ln = 5x + 5c = e 5x+5c = ce 5x z = c(z + 5)e5x z + 5 z + 5 z + 5 despejando z y remplazando z por y 1, se tiene: c + 4e5x ∴ y = c e5x
−
−
⇒
−
⇒
⇒
−
2. Resolver x3 y ′ = x 2 y + y 2
Soluci´ on
− x2
una soluci´ on es
ψ(x) = x
Sea y = ψ(x)+ z = x +z, la soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria, entonces dy dz = 1+ y reemplazando se tiene: dx dx 3
x
1+
dz = x 2 (x + z) + (x + z)2 dx
− x2
90
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
dz z 2 z2 = + 2 z + 3 , luego: dx x x x
dz ⇒ x 3 dx = x2 z + 2xz + z2 , de donde
−
1 2 z2 + z = 3 x x2 x
dz dx
es una ecuaci´on diferencial ordinaria de Bernoulli. Transformemos ´esta ecuaci´on a una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal, para ello dz 1 2 1 multipliquemos por z −2 a ambos miembros z −2 + 2 z −1 = 3 dx x x x − 1 − 2 haciendo w = z dw = z dz, luego dw + dx
⇒ −1 w =
P (x) =
1 2 + 2 x x
1 2 + 2 x x
−
es una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal, de donde
x3
y
Q(x) =
−1 x3
− − − − w = e −
w = e
−
−
P (x)
e
1 2 + 2 x x
2
2
z =
2x x 2x 1 + 2ce2/x
−
1 dx + c x3
1 dx + c x3
e−2/x dx + c x2
1 2/x e x
−1 + c e2/x z −1 =
Q(x)dx + c
eln x− x
1 2/x e x
w =
P (x)
1 2 + 2 x x
e
w = e − ln x+ x w =
1 −2/x e +c 2
2/x
⇒
−1 + 2ce z −1 = 2x
⇒ y = −1 +2x2ce2/x + x 2x − x + 2cxe2/x y = 2ce2/x − 1
∴
y =
2cxe2/x + x 2ce2/x 1
−
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Matem´ atica IV
91
EJERCICIOS PROPUESTOS
✍
2.
I. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable
− 1)y′ = 2xy 2. x ln x dy − ydx = 0 √ 3. y 2 1 − x2 dy = arcsen x dx 4. ex tan ydx + (1 − ex )sen2 ydy = 0 1. (x
Rpta. y = K e2x (x2
− 2x + 1)
Rpta. y = K ln x Rpta. 2y3 = 3arcsen2 x + K Rpta. 4 ln ex
| − 1| + cos(2y) = K
5. xdy + ydx + xy cos xdx = 0
Rpta. xy = K e− sen x
6. y 2 ex dx + (ye x + eln y )dy = 0
Rpta. (ex + 1)y = K
− √ 1 − x4 dy = x2√ 1 − x4 dy x2 + y 2 − x ′ 8. y = ; sug. usar coordenadas polares 7. xdx
9. 10. 11. 12. 13. 14.
y x2 (xdx + ydy) + y(xdy ydx) = 0 arcsen x y ′ + =0 arcsen y (1 y2 )dx x(1 y 1 y2 )dy = 0 2 1 + ln x 2y−1 (1 + x2 )dy x−1 (1 + 2y 2 )dx = 0 x x = sen y ′ 1 x2 arcsen(ey )dy + e−y sen2 xdx = 0
−
15. y ln ydx =
√
−
−
−
− −− − √ −
√ e−2x − 1dy
− y sen xdx = y ln(yecos x)dx 1 17. xdy − 2ydx = x8 y −2 3(yx −2 )2 + 2yx −2 3 18. (y2 + 1)dx = yx 2 (x2 − 1)dy 19. (x2 − 1)y ′ = y 2 − 1 20. (x ln x)y′ = y(y − 1) cos x 21. y ′ tan y = √ 1 + cos x 16. dy
dy senx cos2 y + 1 22. = dx seny 23.
y′ = sec x + tan x 1 + y2
24. xy ′
− y = y 3
25. ex−y dx + ey−x dy = 0
92
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
26. (x
− 1)y′ = 2xy 27. x ln xdy − ydx = 0 28. (xy 2 + x)dx + (y − x2 y)dy = 0 29. x2 (y + 1)dx + y 2 (x − 1)dy = 0 2
30. ex+y senxdx + (2y + 1)e−y dy = 0 31. 3ex tan ydx + (1
− ex)sec2 ydy = 0 1 32. y ′ = a x+y , a > 0, a = 33. y − xy ′ = a(1 + x2 y ′ ) 34. (1 + x2 + y 2 + x2 y2 )dy = y 2 dx dy xy + 2y x 2 35. = dx xy 3y + x 3 dy xy + 3x y 3 36. = dx xy 2x + 4y 8 y 2 x + 2yx 2y 2 4y 3x + 6 ′ 37. y = yx 2 + 2yx 2x2 4x 3y + 6 (2x+y + 2x ) 38. y ′ = x+y 4 + 4x 4y + 1 dx y + 1 2 39. y ln x = dy x
− − − − − − − − − − − − − − − −
Rpta. y
40. yy ′ = senxex+2y 1 + cos x 41. sen2 y 42. 43. 44. 45. 46. 47.
−
√ −
(8 3x)6 dx = 8 2y dy dQ = k(Q 70) dt dN + N = N tet+2 dt dy ysen xdx = y ln(ye cos x )dx 1 xdy 2ydx = x8 y−2 3(yx −2 )2 + 2yx −2 dx 3 2 [2(x + y)sec x + tan x]dx + tan xdy = 0 5
−
− −
48. (1 xy + x2 y 2 )dx + (x3 y x2 )dy = 0 cos x 3 49. dx sen2 x sen2y cos3 ydy = 0 sen 2y (1 + x2 )dy 50. = arctan2 xdx 3 2 arcsen y 1 y dy 51. (ex + e−x ) = y 2 dx 1 y ′ 1+x 52. y = 1+y 1 x2
−
−
√
−
−
√ −
−
− x + 2 ln(y − 1) + 5ln(x − 3) = K
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
93
53. (x2 y 4 + 2y 4
− 9x2y2 − 18y2)dx + (x4y2 − 5x4 + 4x2 y2 − 20x2)dy = 0 54. (2xy 2 − 3xy − 4y2 + 6y + x − 2)dx = (3x2 − 4xy2 + 28xy − 21x − 48y + 36)dy 55. (2x2 y 2 − 8x2 + y 2 − 4)dx + (x3 y 4 − x3 + 9xy 4 − 9x + x2 y 4 − x2 + 9y4 − 9)dy = 0 1−x 4 ′ x 56. y = − 3x y−2 e (y + 2)
57. (1
−
y)ey y ′ +
y2 =0 x ln x
58. y 3 ex+y y ′ = x 2 x 2 2 59. x2 ey dy + dx + ey dy = 0 y ex ln x dx dy 60. + =0 ln(y + 1 + y 2 ) 1 + ln x 2
2
2
2
61. x3 e2x +2y dx y3 e−x −2y dy = 0 y 2 62. dx + ln(ln y)ln y dy = 0 x 63. (xex−y + xex+y )dx + (1 + x)2 dy = 0
−
√ − 1 dy + (ex+y − ex )dx = 0 √ √ √ 65. xdy = e y+ x 1 − e−2y dx senx √ dx − √ 2 − sen4x sec xdy = 0 66. 64. 6(e4y + e4y+x ) ex
arctan y + 1 x+y x y 67. y ′ + sen = sen 2 2 68. (4senx cos x + 5senx cos x cos y 2 )dx =
−
− √ − √ √ − (y + x2 y)5 y 21 x12 + y 8 x12
69. y ′ =
70. y ′ = 71.
√ 2 − sen4x dy
4
2
1 sen4 y sen3 x cos5 x dx
(1 + x2 ) ln x +
72. y ′ =
dy
1 + x2
eln(2y)
ln y +
ln y +
······ + ∞ − y
=0
2sen3 y cos5 y 4cos2 x + sen2x cos x
73. (eay x3 sen by + x3 ye y cos y)dy +
x2
4x + e1/x dx = 0
Hallar la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial, mediante las condiciones dadas: 1. (y2 + x2 )y ′ + x2 2. xyy ′ = 1 + y 2 , dy y2 1 3. = 2 , dx x 1
− −
− yx2 = 0, y(1) = 3 y(2) = 2
y(0) = 0
94
Matem´ atica IV 4. y ′ senx = y ln y,
−
5. x 1
y
√ −
y2 dx + y 1
π = e 2 x2 dy = 0,
Walter Arriaga Delgado
y(0) = 1
6. (e−y + 1)senxdx = (1 + cos x)dy, y(0) = 0 1 7 7. 2ydx + x2 dy = dx, y = ln 2 2 x ′ y 8. (1 + e )yy = e , y(0) = 0
−
2
9. yey y′ = x 1, y(2) = 0 1 cos2x π 10. + y ′ = 0, y = 0 1 + seny 4
−
−
II. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a variable separable 1. y ′ = 3x + 4y + 5
Rpta. y =
2. (x + y + 1) 2 y ′ = 9
Rpta. y = 3arctan
3. y ′ = sen 2 (2x + 3y + 1)
− 3x4 − 23 + Ke4x 16
x y 1 + + 3 3 3
4. (ln x + y 3 )dx
− 3xy2 dy = 0 5. 2x + 2y − 1 + (x + y − 2)y′ = 0 dy = cos(x + y + 1) dx 7. y ′ = sen 2 (x y) 6.
−
8. xy 2 (xy ′ + y) = a 2 dy x + y + 1 9. = dx x + y + 2 10. y ′ = (x + y + 2) 2 11. y ′ = (2x + 3y
− 1)2
12. (2x + 2y
− 1)dx + (3x + 3y − 2)dy = 0 13. (x6 − 2x5 + 2x4 − y 3 + 4x2 y)dx + (xy 2 − 4x3 )dy = 0 y y y 14. x2 sen 2 − 2y cos 2 dx + x cos 2 dy = 0 x x x
15. y ′ = ax + by + c 16. (1 17. 18. 19. 20.
− xy cos xy)dx − x2 cos xydy = 0
dy 1 + xy 3 = sug: x + y = u, xy = v dx 1 + x3 y dy ey = dx 2y xey dy = tan(x + y) dx (2(x + y)sec2 x + tan x)dx + tan xdy = 0
−
sug: xy = z
+ K
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Matem´ atica IV
95
− xy + x2y2)dx + (x3 y − x2)dy = 0 22. (sen x − tan(x − 2y))dx + [2 tan(x − 2y)]dy = 0 23. y 2 (x2 + 2)dx + (x3 + y3 )(ydx − xdy) = 0 21. (1
1 24. y ′ = tan 2 (x + 2y) 2 ′ 25. y + sen 2 (x + y) = 0 26. y ′ =
√ y + senx − cos x
27. 2(x2 y +
sug: z =
√ y + senx
1 + x4 y 2 )dx + x3 dy = 0
28. xy(xdy + ydx) = 6y3 dy,
y(2) = 1
sug:
29. x2 (xdx + ydy) = (x2 + y 2 )dx, y(1) = 2 dy 30. = 2 + e2x−y+1 dx dy 31. (x2 y 4 ) = xy sug: x = uy dx dy x + y + 1 32. = dx x + y + 5 y x+2 33. y ′ = y x+4 1 34. y ′ = 3 ln(3x + y + 7) + 6 35. ey y ′ = k(ex + ey ) ex 1 36. esen y cos yy ′ = cos(ln x + esen y ) x 37. ey y ′ = e x 1 + cos(ex ey + 3)
z = xy sug:
−
−
− −
−
−
−
− − √ 7 − 2x − 2y √ − 2 38. 2y′ = arcsen 2x + 2y − 6 √ y +xy+x ′ − 39. (2y + x)y = e − y − 2x 40. [sec2 (xy)]y′ = sec[ln(tan(x + y))] − sec2 (x + y) 41. 3y′ = sen5 (2x + 3y − 2) − 2 42. 5y′ = csc 2 (ln(5y − 2x + 10)) + 2 43. (x − y + 3)dx + (2x − 2y + 7)dy = 0 4
2
2
44. cos(x + y)dx = x sen(x + y)dx + x sen(x + y)dy 45. [1
− cos(ln(x + y + 1))]dy = cos(ln(x + y + 1))dx 46. (x + y − 2)sec2 (x + y − 2)(1 + y ′ ) = 1 47. (x2 + y)2 ln(x2 + y)(2x + y ′ ) = 1 1 3(x+y) 48. arcsen[2e−3(x+y) ](1 + y ′ ) = e 3 49. arctan2 (ex−y )(1 y′ ) = e 2y−2x
−
−
z = x 2 + y2
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Matem´ atica IV
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50. y ′ = e −2x−2y sec(ex+y ) 1 1 51. e 2x + y + 1 (2 + y ′ ) = (2x + y + 1) 3
−
52.
− sen x + cos y y′ = (cos x + sen y)[(cos x + sen y)7 + 1]2
III. Ecuaciones diferenciales ordinarias homog´ eneas 1. (2y 4 + x4 )dx xy 3 dy = 0 y + x 2. y ′ = y x dy x3 + xy 2 3. = dx x2 y 4. (3y 2 2x2 )y′ = 4xy dy 2xy 5. = 2 , y(1) = 1 dx 3y x2 6. xyy ′ = y 2 + xy x2
−
Rpta. y 4 + x4 + Kx8 = 0
−
−
−
−
7. x(2x2 + y 2 ) + y(x2 + 2y 2 )y ′ = 0 y2 y ′ 8. y = 2 + 1 x x y y 9. x y cos dx + x cos dy = 0 x x
Rpta. x 4 + x2 y 2 + y 4 = K
−
− − −
dy y 1 x2 y 2 10. = + dx x 2 x2 11. x2 y ′ = x 2 + xy + y2 y 12. xdy = y 1 + dx x2 + y 2 13. x2 y ′ = y 14. xy ′ =
y2
x2 + xy
x2 + y 2 + y
15. xy ′ = y + xe−y/x ,
y(1) = 0
dy 2y 2 + 4xy x2 = dx 2x2 + xy 17. xyy ′ = 2y 2 x2 , y(1) = 1
−
16.
−
18. (x2 2xy)y ′ = 2y 2 3xy dy xy 19. = 2 dx x + y2 20. x2 y ′ = (x + y)2 , y(1) = 0 dy y y 21. sen = dx x x ′ 2 2 22. (x + 3y )y = x(3x 2y) dy y y 23. = tan + dx x x
−
−
−
−
Rpta. sen(y/x) + ln x = K
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Matem´ atica IV
24. (2y x)y ′ = 4x + y dy y y 25. = + 2 cos2 dx x x y 2 x dy y 26. = dx x 2 y x dy y y 27. = 1 + sen + dx x x 2 y 28. y ′ = 2 2 x 29. xdy ydx = ydy x+y 30. y ′ = x y 31. (2y4 + x4 )dx xy 3 dy = 0 2xy 32. y ′ = 2 x y2 y y 33. x ycos dx + xcos dy = 0 x x x y 34. y ′ = + y x
−
√ √ − √ √ − −
−
−
−
− − −
35. xy ′
y =
x2 + y 2
36. y 2 + x2 y′ = xyy ′ y 37. y ′ = e y/x + x y 38. xy ′ = y ln x 2 39. (3y + 3xy + x2 )dx = (x2 + 2xy)dy y ϕ y x 40. y ′ = + x ϕ′ y x 2 3 41. xy dy x + y3 dx = 0
− − − − − −− − −
42.
(x + y)2 e−y/x + y 2 dx
43. y 44. 45. 46. 47. 48. 49.
x2 + y 2 dx
x x+
xydy = 0
x2 + y 2 dy = 0
dy y y = + arctan dx x x 3 2 xdy 2x x y y3 + =0 ydx 2y3 xy 2 x3 y y x + y sen dx x sen dy = 0 x x y dy y xsen = ysen +x x dx x y y y ln + 1 dx x ln dy = 0 x x y y xy ′ ln = x + y ln x x
97
98
Matem´ atica IV
50.
dy y 2 2xy = 2 dx y + 2xy
−
− x2 , − x2
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y(1) = 1
2 dy 2xye (x/y) 51. = 2 2 dx y 2 + y 2 e(x/y) + 2x2 e(x/y)
IV. Ecuaciones diferenciales ordinarias reducibles a homog´ eneas 1. (x + y
Rpta. y 2
− 4)dx + (x − y − 2)dy = 0
+ 3y + 15 − 4x2x + y + 7 3. (y − x + 5)dy = (y − x + 1)dx 3x − 4y + 1 4. y ′ = −3x + 4y − 2 5. (x − 2y + 3)dx + (2x − 4y + 5)dy = 0 6. (8x + y + 25)dx + (7x − 16y + 140)dy = 0 2. y ′ =
7. (2x + 3y + 1)dx + (3x + 4y + 1)dy = 0 8. (6x + 4y
− 8)dx + (x + y − 1)dy = 0
9. (3x + 5y + 6)dx = (x + 7y + 2)dy 10. (x
− y + 4)dy + (x + y − 2)dx = 0 11. (x − 4y − 9)dx + (4x + y − 2)dy = 0 12. (2x − 3y + 5)dx + (x + y + 2)dy = 0 13. (x + y − 4)dx − (3x − y − 4)dy = 0 , 14. (x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = 0 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
dy 2x + 3y + 1 = dx 3x 2y 5 dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx
= = = = = = =
− −
x + 4y 2 4x 4 x+y 1 x y 1 2y x 2x y 2x + y x+y 1 y 4x + 3 2y x 1 4x y 3 x 2y + 1 2x y 2 x + 2y 1
− − − − − − −
− − − − − − − − −
y(4) = 1
− 2xy + x2 + 8x + 4y = K
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Matema´tica IV
99
dy 6x2 y 2 + 2y 2y 1 = 2 dx 3y + 2xy 2xy 6y 2x + 3 π 24. arctan( arctan(y ′ ) + arctan(x arctan(x + y ) = 4 25. (x (x 3y + 2)dx 2) dx + + 3(x 3( x + 3y 3 y 4)dy 4)dy = = 0
−
23.
− −
−
−
−
26. (x (x + y 3 )dx + dx + (3y (3 y5 27.
− 3y2 x)dy = dy = 0
y + y
x2 y4 + 1 dx + dx + 2xdy 2xdy = = 0
dy − x2y) dx + 2xy 2 = 0 dy 29. x2 (1 − xy) xy ) + (1 + xy − x2 y 2 ) = 0 dx
28. (1
30. (x (x + y 3 )dx + dx + 6xy 6 xy 2 dy = dy = 0 dy y2 x = dx 2xy 2dy y + 4 x 32. = dx x 2y x dy 3x2 y + y2 33. = , y (1) = 2 dx 2x3 + 3xy 3xy 34. (1 xy 2 )dx 2x2 ydy = ydy = 0
−
31.
√ − − √ − − − 35. x2 (1 − xy) xy )dy + dy + (1 + xy − x2 y2 )dx = dx = 0 36. 2y 2y2 − 3x + 2xyy 2xyy ′ = 0 37. y 2 − 3x2 y + x3 y ′ = 0 38. 1 − x2 y + 2xy 2 xy 2 y ′ = 0 39. y (3 − xy) xy )dx + dx + x(2 − xy) xy )dy = dy = 0 40. (x (x + 2x 2x2 y)dy + dy + (2y (2 y + 3xy 3 xy 2 )dx = dx = 0 41. (x (x2 y + x)dy + dy + (xy ( xy 2 42. (x (x2
− y)dx = dx = 0
− 2y3)dx + dx + 3xy 3 xy 2 dy = dy = 0
43. x + y 3 + 6xy 6xy 2 y ′ = 0 dy x + y + x 44. = dx x+y x
√ √
√ − y − √ − y
dy 3x2 y + x5 45. = dx y x3 46. (3x (3x5 + 3x 3x2 y 2 )dx + dx + (2y (2 y3
−
− 2x3y)dy = dy = 0 47. (2x (2x3 + 3y 3y 2 x − 7x)dx − (3x (3x2 y + 2y 2 y 3 − 8y )dy = dy = 0 48. (y (y2 − ln x)dx + dx + xy 3 dy = dy = 0 49. (tan (tan x − cot y + 3) sec sec 2 xdx − (3tan x + cot y + 1) csc csc2 ydy = ydy = 0 x+y−2 50. Hallar Hallar la curva curva integral integral de la ecuaci´ on on , que que pas pasa a por el pun punto to y−x−4
M (1 M (1,, 1).
100
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dy a0 x + a1 yn 51. Demostrar Demostrar que la ecuaci´ ecuaci´ on on diferencial diferencial ordinaria = n−1 , dx y (a2 x + a3 y n ) (con a0 , a1 , a2 y a3 constantes), se puede transformar en una ecuaci´on on diferencial, haciendo el cambio de variable u = y = y n . dy xn−1 (a0 y + a1 xn) 52. Demostrar Demostrar que la ecuaci´ ecuaci´ on on diferencial diferencial ordinaria = , dx a2 y + a3 xn (con a0 , a1 , a2 y a3 constantes), se puede transformar en una ecuaci´on on diferencial, haciendo el cambio de variable u = x = x n . V. Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas 1. (ye x + ey )dx + dx + (e (ex + xey )dy = 0
Rpta. xe x ey + ye x = K
2. (2y (2y cot(xy cot(xy)) + esen x+sen y cos x)dx + dx + (2x (2x cot(xy cot(xy)) + esen x+sen y cos y )dy = dy = 0 Rpta. Rpta. 2 ln(sen( ln(sen(xy xy)) )) + esen x+sen y = K 1 3. + y 2 dx + 2xydy 2xydy = 0 x 1 1 4. + y 2 + 1 dx + + 2xy 2xy dy = 0 2x 2y 5. 6. 7. 8. 9. 10.
− − − − − √ − − √ − − √ − √ − −
13. 14.
Rpta. 2xy 2 + ln(xy ln(xy)) + 2x 2 x = K = K
sen2x sen2x sen 2 x + x + 1 dx + dx + y dy = dy = 0 y y2 2x 1 2y 1 y dx + dx + x dy = dy = 0 x2 + y 2 x x2 + y 2 y (x + sen y)dx + dx + (x (x cos y + sen y )dy = dy = 0 1 x + ln y + y 2 dx + dx + + 2xy 2xy dy = 0, para y (0) = 1 y 1 x2 (x + ex sen y)dx + dx + (y ( y + ex cos y )dy = dy = 0 1 1 1 1 + dx + dx + + dy = dy = 0 2 x + y2 x x + y 2 y
11. (xy (xy + + sen y )dx + 12.
Rpta. xy 2 + ln x = K = K
1
1 2 x + x cos y dy = dy = 0 2
1 y2 + + y dx + dx + 2 + x 2 x+y
x 2 + y 2 x2 + y 2 dx = dx = dy x2 y xy 2 1 1 2x + + + 1 dx + 1 2 x y x+y
xy
1
1 + dy = dy = 0 y2 2 x + y
√
2x +
15. (x (x2 + y 2 + y )dx + dx + (2xy (2xy + + x + ey )dy = dy = 0 x 2 2 16. 2xye x + ln y dx + dx + ex + dy = dy = 0 y x2 17. (y (y + x ln y)dx + dx + + x + 1 dy = dy = 0 2y 18. yex dx + (y (y + ex )dy = dy = 0
1 2 x
1 + dy = 0, y x + y
para y (1) = 0
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Matema´tica IV
8. y (1 + 2xy 2xy + + y 2 )dx + dx + x(y 2
103
− 1)dy 1)dy = = 0
9. y (sen x + cos2 x)dx + dx + cos x(1 + x cos x)dy = dy = 0 10. (x (x2
− y − x cos x + sen x)dx + dx + xdy = xdy = 0 11. xydx + (y (y4 − x2 )dy = dy = 0 12. y (1 + xy) ( y − x)dy = 0 para y (1) = 1 xy )dx + dx + (y 13. y (1 + y 5 )dx + dx + x(3y (3y 5 + 2y 2y 3 − 2)dy 2)dy = 0 para y (1) = 1 14. (2xy (2xy 2 − 3y3 )dx + (7 − 3xy 2 )dy = dy = 0 15. x2 y2 dx + dx + (x (x3 y + y + 3)dy 3) dy = = 0 16. ex (x + 1)dx 1)dx + + (e ( ey y
− xex)dy = dy = 0
17. (5x (5x3 y 2 + 2y 2y )dx + dx + (3x (3x4 y + 2x 2 x)dy = dy = 0 18. (e (ex + xey )dx + dx + xey dy = dy = 0 19. (3x (3x2
− y2)dy − 2xydx = xydx = 0
20. (3xy (3xy + + y2 )dx + dx + (x (x2 + xy) xy )dy = dy = 0 21. (2y (2y2 + 3xy 3xy
− 2y + 6x 6 x)dx + dx + x(x + 2y 2y − 1)dy 1)dy = = 0
22. 3(x 3(x2 + y 2 )dx + dx + x(x2 + 3y 3y2 + 6y 6y)dy = dy = 0 23. y (2xy (2xy + + 1)dx 1) dx + + (x (x + 2x 2 x2 y 24. dx + (x (x tan y
− x4y3)dy = dy = 0
− 2sec y)dy = dy = 0
25. (2x (2x2 y + 2y 2 y + 5)dx 5) dx + + (2x (2x3 + 2x 2x)dy = dy = 0 26. (x (x + sen x + sen y)dx + dx + cos y dy = dy = 0 dy sen y π 27. = ; y (0) = dx x cos y sen2 y 2 1 28. (1 + xy) xy )dx + x + x dy = dy = 0 y
−
− −
29. sen x(2 + 3y 3y sen2 x)dx + dx + sec x dy = dy = 0 30. y sen xydy
cos xy y
x sen xy dy = dy = 0
y dx + (y (y 3 ln x)dy = dy = 0 x 32. (x (x cos y y sen y )dy + dy + (x ( x sen y + y cos y)dx = dx = 0 31.
−
−
33. Hal Hallar lar la forma m´ as as general de la funci´on on N ( N (x, y) para para que que la ecu ecuac aci´ i´ on on diferencial (y sen x + x2 y
− x sec y)dx + dx + N ( N (x, y )dy = dy = 0, 0, sea exac exacta ta y obtener obtener su soluc soluci´ i´on. on. ∂M ∂N k − 34. Probar que si = N entonces xk es un factor integrante de M ( M (x, y)dx+ dx+ ∂y ∂x x N ( N (x, y)dy = dy = 0
104
Matem´ atica IV
VII. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales 1. (x2 + 1)y ′ (1 x)2 y = xe −x dy 1 2. = y dx e x ′ 3. y + y tan x = sec x + 1
− −
−
4. (1 x)y ′ = x 2 y dy y 2x 5. + = dx x2 1 x + x2 1 dy y 6. cos + 1 = 1 dx 1 x2 dy y 7. + = 1 dx x 8. y ′ + (csc x)y = cot(x/2) + tan(x/2) dy y 9. x + = x(2x + 1) dx ln x 10. xy ′ + (x + 1)y = x(x + 2) , para y = 0 cuando x = 1 dy 11. + (sec x)y = sec x + csc x dx dy 2x + 1 12. + y cot x = y(0) = 1 sen x dx dy xy 1 13. + 2 = dx x + 1 1 x4 dy y 1 + ln x 14. + = dx x2 + 1 x + x2 + 1 y 15. ln y ′ + 1 = 0 1 x2 16. (x tan y + cos y)y ′ = 1
−
−
√ − √ − √ − −
√ −
√
√
−
√ −
17. x + y + x(1 + y ′ ) = 0 18. tan(y′ + y tan x x + π/4) = 1 dy y 19. + = 2ex y(0) = 0 dx x 1 20. xy ′ + 2y = 2x y(1) = 1 x dy cot y cos y 21. + x = dx ln(sec y) ln(sen y)
−
−
−
22. y ′ + y cot x = tan x + cot x x 23. y ′ = y tan + e2x 2 sec x 24. y ′ + y cot x = sen x x 25. (csc2 y)y ′ cot(y) + x = 0 x2 + 1
−
y(1) =
π 2
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Matem´ atica IV
x−2 1 + y(1) = 1 1 x2 x 27. y ′ cos x + (1 + sen x)y = csc x dy y 28. sec x + = tan x dx 1 sen x dy y x 29. x + = + tan x + sec x dx 2 x x2 + 1 26. xy ′ + y =
−
− √ √
√
dy 2xy 30. + 2 = dx x + 1
x2 + 1 x 1
2
−
31. 2xy = (1 + sen 2x) + (1 + x2 )y′ 32. x ln x + y + x(1 + y ′ ) = 0 33. x2 ln x
− 3y = 3xy′ 34. (x3 + xy − x)dx + (1 − x2 )dy = 0 35. 2yy ′ + y 2 = 1 + x2
y(0) = 2
36. 2xyy ′ = a 2 + y 2 x2 2x + 1 37. y ′ y tan x = cos x 2 38. (1 + y )dx + [(1 + sen y) 2xy]dy = 0 dy 39. sen x cos y + cos x sen y = 1 + sen x y(0) = 0 dx ′ 40. y + y sec x = (sec x tan x)(3x2 + 2x + 1)
−
−
−
−
y sec2 x = x x dy y ln y 42. = 2 dx y(ln y) x + y ln y 43. (cos y sec y x tan y)y′ = 1 41. y ′ +
− −
−
44. y ′ + y sec x = sec x + tan x dy e2x 1 45. z + y ln y = y 2x cosh z , donde x = g(z) dx e +1 dx 46. y 2 + xy = 2y 2 + 1 dy 1 47. y ′ = x 3y
−
−
2
48. y ′ + 2xy = xe −x
49. I ′ + 3I = e −2t ; I (0) = 5 1 2x 50. y ′ + y = 1 x2 51. (1 + x2 )y ′ 2xy = (1 + x2 )2 dy 2y + (2x 1)ex 52. = dx 2x + 1 2 53. 2ydx + (y 6x)dy = 0
−
−
−
−
105
106
Matem´ atica IV 54. y ′ =
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1 2x
− y2
2
55. y ′ y = 2xex+x dy 56. (x cos y + a sen2y) = 1 dx dy 1 1 1 57. ex y = 2 sen ex cos dx x x x 58. x(y′ y) = (1 + x2 )ex n 59. y ′ y = ex (x + 1)n x+1 ′ 60. y + yφ ′ (x) φ(x)φ′ (x) = 0, donde φ(x) es una funci´on dada. dx 61. f 2(y) + 3f (y)f ′ (y)x = f ′ (y) dy 62. x2 dy + (2xy cos(ln x))dx = 0
−
− − −
−
−
−
sec4 x 63. dy = y tan x + dx sen2x 64. xdy = (xe1/x + 5y)dx
√
dy x + y(x9 + 1)3 65. = dx x(x9 + 1)3 66. xy ′ = y + x2 sen x 67. (x7 + x)dy = (x6 y + y + x2 )dx 68. y ′ + sen y + x cos y + x = 0 y x(x + ln x) 69. xy ′ + = ln x y2 ln x y 70. y ′ = 2y ln y + y x 71. x(x + 1)2 cos ydy (2(x + 1) 2 sen y + x5 ex + x3 ex )dx = 0 72.
− −
ny + (x + 1) n+1ex
dx
− (x + 1)dy = 0
73. [x2 + 2x + sen(x2 + y 2 ) + 2x cos(x2 + y 2 )]dx + 2y cos(x2 + y2 )dy = 0 1 74. y ′ = cos x y y2 tan x sec x, sug. usar y = cos x + u x2 4x + xy 75. y ′ = x2 76. x4 y ′ + x3 y = e 1/x + x4 ex cos x
− − √ −
77. Hallar todas las funciones f , continuas para todo x > 0, tales que: 1 f (x) = 1 + x
x
f (t)dt
1
VIII. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Bernoulli 1. yy ′ + xy 2
− x = 0
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Matem´ atica IV
107
2. (y2 sen x y cos2 x)dx (sen x cos x)dy = 0 dy y 3. + = y −1 ex dx 2x dy y 1 4. = 1 y3 dx x 2x2
−
−
5. xy ′ + y =
−
−
−2x3y2
, para
y = 1 , cuando x = 1
6. ln(sen y)dx = [x cot y + x2 cos y]dy 7. (ln x + y3 )dx
− 3xy2 dy = 0
dy 8. + dx
cot x tan x + cot x y = 2 y
9. (x2 + 1)y ′ = xy + x2 y 2 10.
dy xy + dx 2(x2 + 1)
11. dy
−
12. 2xy 2
cos x = 0 y x2 + 1 y sen xdx = y ln(ye cos x )dx
− √
− y = 3xy′
13. xy ′ + y = 2x2 y 2 14. 2y′ + y cos x = y 3 (x
− cos x)esen x
15. 2xy ′ y + y 2 = 2x 16. xy ′ = [1 + y(x + 1)]y 17. (y5
− 2x)y′ = y dy y y 2 ln x − √ x2 + 1 = x + √ x2 + 1 18. dx 19. y[1 − 2(x + 1)y2 ] = 2xy′ 20. (2x ln x)y ′ = y + x(1 − x)y3 21. 2(x2 + 1)y ′ = 2xy + y 3 (x2 + 2)e−x 22. 23. 24. 25.
dy y 3x2 y −1 + = dx 2 1 + x2 x + 1 + x2 dy xy + 2 = (x 1)y2 dx x + 1 dy 2 = y csc x y3 cos(x/2) dx y ′ = y tan x + y3 ex 2 y dy 2xy = , para dx x2 + 1 1 x4
√
√
−
−
√ √ − − 26. dy y3 − 8(x + 1) = 0 27. 3y2 + dx x + 1 dy 28. = dx
−
y3 e2x + y2
y = 1 , cuando
, y(0) = 0
x = 0
108
Matem´ atica IV dy 3 + y = 2x4 y 4 dx x dy 30. (x 1) 2y = (x2 dx dy 31. 2xy y2 + x = 0 dx 2 32. xy y ′ + y3 = x cos x 29. 3
−
−
−
−
1)y
dy y(2x + 3y 2 ) 33. 2 = dx x2 x2 + a 2 x(3x2 a2 ) 1 ′ 34. 3y + y = x(x2 a2 ) x2 a2 y 2
−
− −
dy y 2 sen x y cos2 x 35. = dx sen x cos x dy 4x3 y 36. = 4 dx x + y2 37. ydx + (xy 2 + x y)dy = 0
−
−
38. 39. 40. 41. 42. 43.
dy y3 = dx 1 2xy 2 2x 4 y′ y = arctan x y 1/2 2 2 1+x 1+x dy x = 2 dx x y + y 3 dy y tan x + y 2 cos x = 0 dx 2xyy ′ + (1 + x)y2 = e x y x 2y ′ =0 x y 2 sen3 x cos5 x
−
√
−
−
− −
dy 44. x dx
− y − y ln
y = x 3 y ln x
45. 2sen x y ′ + y cos x = y 3 (x cos x 46. yy ′ = cot x(sen x 47. (x4 ln x
y x
2
− sen x)
− y2)
− 2xy3)dx + 3x2y2dy = 0
x x2 y + y3 49. y ′ + xy = x 3 y 3 48. y ′ =
sen x 50. y ′ + y = 1 cos x
−
cos a
4y
− cos x
IX. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Riccaty 1. xy ′ 2x + y = x(xy x2 )3 dy 2. = e 2x ye x + e−x y 2 una soluci´ on dx
−
−
−
ψ(x) = e x
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Matem´ atica IV
dy = y2 + xy + 1 una soluci´on es ψ(x) = x dx 2dy 4. = xy 2 2x2 y + x3 una soluci´ on es ψ(x) = x dx dy y 2 x2 x 5. = una soluci´on es ψ(x) = x dx 2xy 2x2 3.
−
−
− − −
109
110
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
4
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE GRADO SUPERIOR Hasta el momento hemos estudiado ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma F (x,y,y ′ ) = 0 Si hacemos y ′ =
dy = p, obtenemos dx F (x,y,p) = 0
(4.1)
generalizando con respecto al grado de p tenemos ecuaciones de la forma: F (x,y,p,p2 , . . . , pn ) = 0
(4.2)
pn + f 1 (x, y) pn−1 + f 2 (x, y) pn−2 + . . . . . . + f n−1 (x, y) p + f n (x, y) = 0
(4.3)
o en forma equivalente:
´ Estas ecuaciones son de primer orden y de grado n y pueden ser de tres formas: a. Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a p. b. Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a y . c. Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a x. 111
112
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
a) Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a p Para ´este caso, consideraremos la ecuaci´ on diferencial (4.3) como un polinomio en p de grado n. Para resolver ´esta ecuaci´on diferencial, debemos expresarla en k factores lineales reales (k
≤ n)
de la forma: ( p
− r1)( p − r2)( p − r3) . . . . . . ( p − rk )
(4.4)
donde ri = r i (x, y); i = 1, 2, . . . , k De la ecuaci´on (4.4), cada factor se iguala a cero. Entonces: p = r 1 (x, y), p = r 2 (x, y), p = r 3 (x, y), . . . . . . , p = r n (x, y)
(4.5)
se procede luego a resolver cada ecuaci´on diferencial de (4.5). Si
p = r 1 (x, y)
=
dy = p = r 1 (x, y) dx
luego la soluci´on es:
g1 (x,y,c) = 0
Si
p = r 2 (x, y)
=
dy = p = r 2 (x, y) dx
luego la soluci´on es:
g2 (x,y,c) = 0
Si .. .
p = r3 (x, y)
⇒ ⇒
= .. .
⇒
dy = p = r3 (x, y) dx .. .
luego la soluci´on es: .. .
. g3 (x,y,c) = 0 ..
dy = p = r k (x, y) luego la soluci´on es: gk (x,y,c) = 0 dx La soluci´on general de la ecuaci´on diferencial (4.3) est´a dada por el producto de las soluciones Si
p = r k (x, y)
=
⇒
obtenidas de cada factor. As´ı la soluci´ on general es: g1 (x,y,c). g2 (x,y,c). g3 (x,y,c) . . . . . . gk (x,y,c) = 0
b) Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a y Supongamos ahora, que la ecuaci´on diferencial ordinaria sea de la forma (4.1) donde sea m´as f´acil despejar y. As´ı la ecuaci´on diferencial (4.1) queda expresada en la forma: y = f (x, p)
(4.6)
Para resolver la ecuaci´on (4.6) debemos derivar con respecto x, teniendo en cuenta que dy dy ∂f ∂f dp y ′ = = p. As´ı: = + entonces dx dx ∂x ∂p dx
p = F x,p,
dp dx
(4.7)
que es una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado, cuya soluci´on se obtiene por cualquiera de los m´etodos ya estudiados. Luego la soluci´on es: φ(x,p,c)
(4.8)
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
113
para hallar la soluci´on general eliminaremos p usando (4.8) y (4.6), siempre que sea posible. Si no fuese posible eliminar p, la soluci´on general se expresar´a en forma param´etrica, usando (4.8) y (4.6) para expresar x e y separadamente, en funci´on del par´ametro p.
c) Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a x Supongamos ahora, que la ecuaci´on diferencial ordinaria sea de la forma (4.1) donde sea m´as f´acil despejar x. As´ı la ecuaci´on diferencial (4.1) queda expresada en la forma: x = f (y, p)
(4.9)
Para resolver la ecuaci´on (4.9) debemos derivar con respecto y, teniendo en cuenta que dx 1 dx ∂f ∂f dp = . As´ı: = + entonces dy p dy ∂y ∂p dy
1 dp = F y,p, p dy
(4.10)
que es una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado. Resolviendo la ecuaci´on (4.10), encontramos como soluci´ on: φ(y,p,c)
(4.11)
Para encontrar la soluci´on general, hay que eliminar p usando (4.9) y (4.11), siempre que sea posible. si no fuese posible eliminar p, la soluci´on general se expresar´a en forma param´etrica, usando (4.9) y (4.11) para expresar x e y separadamente, en funci´on del par´ametro p.
4.1.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de Lagrange
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de Lagrange1 son de la forma: y = xf (y ′ ) + g(y ′ )
(4.12)
Para resolver la ecuaci´on diferencial ordinaria de Lagrange, se transforma dicha ecuaci´on dy en otra ecuaci´on diferencial lineal en x como funci´on de p, para ello hacemos y ′ = = p de dx donde: dy = p dx 1
(4.13)
Joseph Louis Lagrange (bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia) (25 de enero de 1736 al 10 de
abril de 1813) fue un matem´ atico, f´ısico y astr´onomo italiano que despu´es vivi´ o en Prusia y Francia. Lagrange trabaj´ o para Federico II de Prusia, en Berl´ın, durante veinte a˜ nos. Lagrange demostr´ o el teorema del valor medio, desarroll´ o la mec´ anica Lagrangiana y tuvo una importante contribuci´ on en astronom´ıa.
114
Matem´ atica IV
Luego se sustituye
Walter Arriaga Delgado
dy = p en la ecuaci´ on (4.12), obteni´endose: dx y = xf ( p) + g( p)
(4.14)
Aplicando la diferencial a ambos miembros de la ecuaci´on (4.14) se tiene: dy = xf ′ ( p)dp + f ( p)dx + g′ ( p)dp
(4.15)
reemplazando (4.13) en (4.14) tenemos pdx = xf ′ ( p)dp + f ( p)dx + g ′ ( p)dp, que tambi´en se puede expresar como: dx f ′ ( p) + x = dp f ( p) p
−
′
− f (g p)( p)− p
(4.16)
considerando: f ′ ( p) P 0 ( p) = f ( p) p g′ ( p) Q0 ( p) = f ( p) p obtenemos la ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal en x:
−
−
−
dx + P 0 ( p)x = Q 0 ( p) dp
(4.17)
Luego de resolver la ecuaci´on diferencial (4.17) obtenemos la soluci´on general de la ecuaci´on (4.12) que estar´a dada en forma param´etrica, es decir:
x = φ( p, c) y = φ( p, c)f ( p) + g( p)
donde p es un par´ametro. Adem´as, la soluci´on singular, si existe se obtiene si p
− f ( p) = 0. Los valores de p que la
satisfacen, se reemplaza en: y = xf ( p) + g( p), la cual ser´ a la soluci´on singular.
4.2.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de Clairouts
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de Clairouts son un caso particular de las ecuaciones diferenciales ordinarias de Lagrange y son de la forma: y = xy ′ + g(y′ )
(4.18)
donde g es una funci´on de y ′
M´ etodo de soluci´ on Para resolver ´este tipo de ecuaciones diferenciales se sigue el mismo procedimiento del caso de las ecuaciones diferenciales de Lagrange. hacemos y ′ = p y reemplazamos en (4.18), luego se tiene y = xp + g( p). Derivando con respecto a x
Walter Arriaga Delgado y ′ = p + xp′ + g ′ ( p) p′ p′ = 0
´o
⇒
Matem´ atica IV p = p + xp′ + g ′ ( p) p′
x + g′ ( p) = 0. Tenemos dos casos:
Si
p′ = 0
Si
p′ = 0
⇒
115 0 = (x + g ′ ( p)) p′ , entonces se tiene
(conduce a la soluci´ on general)
⇒
p = c. Luego y = cx + g(c)
es la soluci´on general que geometricamente es una familia de rectas. Si
x + g ′ ( p) = 0
(conduce a la soluci´ on singular)
Para obtener la soluci´on singular, eliminamos p usando las ecuaciones:
y = xp + g( p) x + g′ ( p) = 0
geom´ etricamente es la envolvente de la familia de rectas.
116
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS RESUELTOS
✍
3.
I. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de grado superior a) Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a p on general de la ecuaci´on diferencial xyy ′2 1. Hallar la soluci´
Soluci´ on Haciendo y ′ = p tenemos xyp 2
⇒
xyp 2 + (y 2
− x2) p − xy = 0
− x2y′ + y2y′ − xy = 0
− x2 p + y2 p − xy = 0
(polinomio en p de grado 2)
resolviendo se tiene: p = entonces p =
x2 x y
− y2 ± o
−
(y 2 x2 )2 + 4x2 y2 x2 = 2xy
p =
es decir los factores son:
− y2 ± (y2 + x2) 2xy
− xy
− p
x y
p +
y = 0 e igualamos a cero cada factor x
tenemos x x p =0 y ′ = ydy = xdx y 2 = x 2 + c (y2 x2 + c) = 0 y y x y dy dx p + = 0 y ′ = = xy = c (xy + c) = 0 y x y x La soluci´on general estar´a dada por el producto de las soluciones obtenidas de
−
⇒ ⇒
⇒
⇒
− ⇒
−
⇒ ⇒
⇒
−
cada factor. ∴
2. Resolver 2(y ′ )4
Soluci´ on
(y 2
− x2 + c)(xy + c) = 0
− (x + 4y + 4)(y′ )3 + 2(x + 4y + xy)(y′)2 − 4xyy ′ = 0
Haciendo y ′ = p tenemos 2 p4
− (x + 4y + 4) p3 + 2(x + 4y + xy) p2 − 4xyp = 0 (polinomio en p de grado 4) factorizando se tiene: p( p − 2)(2 p − x)( p − 2y) = 0, luego: Si p = 0 =⇒ y ′ = 0 =⇒ y = c =⇒ (y + c) = 0 Si p − 2 = 0 =⇒ y ′ = 2 =⇒ y = 2x + c =⇒ (y − 2x + c) = 0 x2 x 2 Si 2 p − x = 0 =⇒ 2y′ = x =⇒ y = + c =⇒ y− + c = 0 4 4 Si p − 2y = 0 =⇒ y ′ = 2y =⇒ y = ce 2x =⇒ (y − ce2x ) = 0
La soluci´on general estar´a dada por el producto de las soluciones obtenidas de cada factor.
−
x 2 ∴ y + c (y ce2x ) = 0 4 b) Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a y (y + c)(y − 2x + c)
−
Walter Arriaga Delgado 1. Resolver
Matem´ atica IV
y ′ = e y/y
117
′
Soluci´ on Haciendo
y′ = p
p = ey/p
se tiene
y despejando y tenemos
y = p ln p,
derivando con respecto a x p′ ln p + 1 y′ = p ′ ln p + p p = p ′ ln p + p′ dp = dx e integrando: p p 1 2 ln p + ln p = x + c. Ahora como no es posible eliminar p, expresaremos la 2 soluci´ on general en forma param´etrica para x e y
⇒
⇒
y = p ln p donde p = par´ ametro 1 2 x = ln p + ln p + c 2 2y on general de y ′2 = y ′ 9 2. Hallar la soluci´ x Soluci´ on 2y ( p2 + 9)x ′ 2 Haciendo y = p se tiene p = p 9 y despejando y tenemos y = , x 2 p derivando con respecto a x ∴
−
−
y ′ = y ′ =
2 p(2 pp′ x + p2 + 9) 4 p2
− 2( p2 + 9)xp′
2 p( p2 + 9) + (4 p2 x 2 p2 x 4 p2
−
− 18x) p′
p2 + 9 (2 p2 x 18x) ′ + p 2 p 4 p2
−
p =
( p2 x 9x) ′ p 2 + 9 p + 2 p2 2 p
−
( p2
− p = 0
− 9)x p′ − p 2 − 9 = 0
2 p2
2 p
−
( p2 9) x ′ p 2 p p
−
p2 9 =0 2 p
−
´o
1 = 0
xp′ p
−1 =0
Se pesentan dos casos: Para encontrar la soluci´ on general, nos interesa el factor que contiene a la derixp′ vada, es decir nos interesa: 1=0 p dp dx resolviendo: = e integrando se tiene p = cx p x Para encontrar la soluci´ on general, eliminamos el par´ametro p. 2 2 (c x + 9)x cx2 9 As´ı: y = y = + 2cx 2 2c Utilidad del otro factor : p2 9 Si = 0 (´ esto nos debe conducir a otra soluci´ on). 2 p
−
⇒
−
118
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
luego: p2 = 9 p = 3 adem´ as y ′ = p y reemplazando se tiene: 2y 6y y ( 3)2 = ( 3) 9 18 = =3 y = 3x. x x x Como satisfacen la ecuaci´on diferencial original, entonces se llaman soluciones
⇒ ± ± − ⇒
±
±
⇒ ±
⇒
±
singulares (no pueden se extra´ıdos de la soluci´on general). ´ ltimo proceso es muy importante, ya que nos permite Observaci´ on 4.2.1. Este u calcular soluciones singulares, si existen. Adem´as, observe que encontramos p = a la ecuaci´on diferencial original.
±3
y luego con este valor nos remitimos
c) Ecuaciones diferenciales que pueden resolverse con respecto a x 1. Resolver: y ′ + sen y ′
Soluci´ on:
− x = 0
Despejando x, luego, x = y ′ + sen y ′ dy Sea y ′ = = p, entonces tenemos: x = p + sen p dx Derivamos con respecto a y: dx dp dp = + cos p dy dy dy
dp ⇒ p1 = (1 + cos p) dy
p 2 Resolviendo: dy = ( p + p cos p) y = p sen p + cos p + +c 2 Para encontrar la soluci´on general, hay que eliminar p, la cual no es posible.
⇒
Entonces la soluci´ on general la expresamos en forma param´etrica para x e y.
x = p + sen p
donde p = par´ametro p 2 y = p sen p + cos p + +c 2 y 16y2 (y′ )3 2. Hallar todas las soluciones de x = 2(y ′ ) Soluci´ on: dy y 16y 2 p3 ′ Haciendo y = = p, tenemos: x = dx 2 p Derivando con respecto a y: ∴
−
−
dx 2 p[1 = dy 1 p = p
− 32yp3 − 48y2 p2(dp/dy)] − 2[y − 16y2 p3](dp/dy) 4 p2
− 32yp4 − 48y2 p3(dp/dy) − [y − 16y2 p3](dp/dy) 2 p2
1 1 = p 2 p
2
− 16yp −
[48y 2 p3 + y 16y 2 p3 ] dp 2 p2 dy
−
2 3
0= 0=
dp − 21 p − 16yp2 − [32y 2 p p2 + y] dy
−
(1 + 32yp 3 ) 2 p
−
y(1 + 32yp 3 ) dp 2 p2 dy
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
0=
1 + 32yp 3 2 p
1 + 32yp 3 =0 2 p
119
´o
y dp 1+ p dy
1+
y dp =0 p dy
Se presentan dos casos: y dp Si 1 + = 0. Este proceso nos conducir´ a a la soluci´on general, ya que p dy es el que contiene a la derivada de p respecto de y. resolviendo:
dp p = dy y
dp p
− ⇒
− dyy ⇒
eliminamos el par´ametro p, entonces: p = y luego
x =
−
c3 y3
16y2
resolviendo:
c y
x =
y2
− 16c3
2c
(este proceso nos conduce a la soluci´on singular) 1 + 32yp 3 = 0
reemplazando con
⇒
p3 =
=
3y 2 1 3 4y
1 − 32y ⇒
p =
− (32y)1 1/3
y ′ = p
y + 16y 2 entonces:
c y
2c y ∴
1 + 32yp 3 3. Si 2 p
p =
x =
−
1 − 32y
2
− √
(32y)1/3
x =
∴
−
√
3 3 4 y 4/3 2
II. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Lagrange
−
1. Hallar las soluciones de y ′ = ln y
Soluci´ on
3 ′ xy 2
3 ′ ′ De acuerdo a la definici´on del logaritmo natural ey = y xy entonces 2 3 ′ y = xy ′ + ey , la cual tiene la forma de y = xf (y′ ) + g(y ′ ) (ecuaci´ on diferencial 2 3 ′ de Lagrange), donde f (y′ ) = y ′ y g(y ′ ) = e y , haciendo y ′ = p se tiene 2
−
y =
3 xp + e p 2
y derivando con respecto a x: 3 y′ = [ p + xp′ ] + e p p′ 2
⇒
3 3 p = p + x + e p p′ 2 2
⇒−
1 3x + 2e p dp p = 2 2 dx
Walter Arriaga Delgado
con P ( p) =
luego x = e
p2 1 p
−
y
121
−2 p2 p2 − 1 p (−2 p2 )dp + c
Q( p) =
− −
−
p2 − +ln p x = e 2 x =
Matem´ atica IV
p2 1 p
e
p2 − ln p e2 ( 2 p2 )dp + c , de donde:
2
−2 p + cp e− p /2
La soluci´on general en forma param´etrica estar´ a dada por: ∴
2
−2 p + cp e− p /2 y = (−2 + c)e− p /2 ( p2 + 1) + p2 x =
2
donde p = par´ ametro
La soluci´on singular, si existe, se obtiene resolviendo p f ( p) = 0 1 1 1 luego vemos que: f ( p) = p + entonces: p p =0 = 0. p p p vemos que no existe soluci´on y por lo tanto no hay soluci´on singular.
− −
−
⇒ −
III. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Clairouts 1. Hallar y graficar todas las soluciones de y = xy ′ +
Soluci´ on
a 2y ′
(a = constante)
Haciendo y ′ = p de donde dy = pdx, y reemplazando se tiene: y = xp +
a 2 p
(4.19)
diferenciando ´esta u ´ltima ecuaci´on y sustituyendo, obtenemos pdx = pdx + xdp de donde:
− 2 pa2 dp
−
dp x
a = 0 2 p2
Igualando a cero el primer factor, tenemos: dp = 0 de donde p = c luego la soluci´on general de la ecuaci´on inicial es y = cx +
a 2c
´ Este es un haz monoparam´etrico de rectas. Igualando a cero el segundo factor tenemos: x =
a 2 p2
Eliminando p entre las ecuaciones 4.19 y 4.20, resulta y 2 = 2ax
(4.20)
122
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Esta tambi´en es una soluci´on de la ecuaci´on considerada (soluci´ on singular). Desde el punto de vista geom´ etrico la curva y 2 = 2ax es la envolvente del haz de rectas determinado por la soluci´on general. 4 y
–4
–2
2
0
2
x
4
–2 –4
Figura 4.1: Curvas integrales de y = xy ′ +
a 2 p
o n singular de (y ′ )3 2. Hallar todas las soluciones y graficar la soluci´
Soluci´ on Despejando y se tiene:
y = xy ′
− 13 (y′)3 ,
la cual tiene la forma de
y = xy ′ + g(y ′ ) (ecuaci´ on diferencial de Clairaut) haciendo y ′ = p y reemplazando se tiene derivando con respecto a x: y ′ = p + xp′
− p2 p′ ⇒
p = p + xp′ p′ = 0
y = xp
− 13 p3
− p2 p′ ⇒ 0 = (x − p2) p′ ´o x − p2 = 0
Si p′ = 0 (proceso que conduce a la soluci´ on general) entonces p = c ∴
Si x
− p2 = 0
entonces
y = cx
− 13 c3
(soluci´ on general)
(proceso que conduce a la soluci´on singular)
x = p 2
Para obtener la soluci´on singular eliminamos el par´ametro p. Primer m´ etodo :
−
1 2 p p 3
2 2 1 4 2 y = x = xp + p p 3 9 4 luego, como x = p 2 , queda: y 2 = x3 (soluci´ on singular) 9 Segundo m´etodo :
⇒
y2
x2
−
− 3xy′ + 3y = 0
entonces
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
123
15
C
L1
10 L3
y 5
–4
0
–2
2
4
6
x
8
10
–5 L4 –10 L5
–15
Figura 4.2: Curvas integrales de (y′ )3
− 3xy′ + 3y = 0
±√ ±√ − ± ⇒ − ⇒ ±
1 3 p = x, reemplazando en y = xp p 3 1 1 se tiene y = x( x) ( x3/2 ) y = x3/2 ( x3/2 ) 3 3 1 2 3/2 3/2 y = x (1 ) y = x 3 3 4 y 2 = x3 (soluci´ on singular) 9 3. Hallar todas las soluciones de: y = xy ′ + 1 + y ′2 Si
x = p 2
⇒
±
entonces
Soluci´ on
−
±
− ±
La ecuaci´on diferencial tiene la forma: y = xy ′ + g(y ′ ) haciendo
y ′ = p, se tiene:
y = xp +
derivando con respecto a x: 1 y ′ = p + xp′ + (1 + p2 )−1/2 2 pp′ 2 p 0 = x+ p′ entonces 2 1 + p
⇒
p′ = 0
Si
p
´o
x +
1 + p2
p
1 + p2
p′
=0
p′ = 0 (proceso que conduce a la soluci´on general).
Entonces:
p = c.
y reemplazando en la ecuaci´ on diferencial ∴
Si
p = p + x +
⇒
1 + p2
y = cx +
p′ = 0
1 + c2
(soluci´ on general)
(proceso que conduce a la soluci´ on singular). p entonces: x = 1 + p2 Para obtener soluci´ on singular, eliminamos el par´ametro p.
−
En la ecuaci´on diferencial
y = xp +
1 + p2
se tiene
124
Matem´ atica IV y2 = x 2 p2 + 1 + p2 + 2 p
1 + p2 x
y como x =
entonces y 2 = x 2 p2 + 1 + p2 + 2 p( p)
⇒
y 2 = p 2 (x2
por otro lado
⇒ y2
p2 =
x2 = (x2 2 1 x
−
x2 =
x2 1 x2
−
−
− 1) + 1 2
p 1 + p2
⇒
Walter Arriaga Delgado
⇒
−
p
1 + p2 y 2 = x2 p2 + 1
x2 + x2 p2 = p 2
⇒
reemplazando se tiene:
− 1) + 1 ⇒
y2 = 1
y2 =
− x2
−x2 + 1
entonces
(soluci´ on singular).
− p2
x2 = p 2 (1
− x2 )
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Matem´ atica IV
EJERCICIOS PROPUESTOS
✍
I. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de grado superior 1) y ′2
− 2yy ′ = y 2(ex − 1)
2) x2 y′2 + 3xyy ′ + 2y 2 = 0 3) xy ′2
− 2yy ′ + x = 0 4) y ′2 − 2xy ′ − 8x2 5) y ′3 + (x + 2)ey = 0 6) y ′3
− yy ′2 − x2y′ + x2y = 0 7) y ′4 − (x + 2y + 1)y′3 + (x + 2y + 2xy)y ′2 − 2xyy ′ = 0 8) xyy ′2 + (x2 + xy + y2 )y′ + x2 + xy = 0 9) (x2 + x)y′2 + (x2 + x
− 2xy − y)y′ + y2 − xy = 0
10) x2 y′2 + xyy ′
− 6y2 = 0 11) xy ′2 + (y − 1 − x2 )y ′ − x(y − 1) = 0 12) yy ′2 + (x − y)y ′ − x = 0 13) xy ′2 − 2yy ′ + 4x = 0 14) y ′4 − (x + 2y + 1)y′3 + (x + 2y + 2xy)y ′2 − 2xyy ′ = 0 15) xyy ′2 + (x2 + xy + y2 )y′ + x2 + xy = 0 16) (x2 + x)y′2 + (x2 + x
− 2xy − y)y′ + y2 − xy = 0
17) x2 y′2 + xyy ′
− 6y2 = 0 18) xy ′2 + (y − x2 − 1)y ′ − x(y − 1) = 0 19) xy ′2 − 2yy ′ + 4x = 0 20) 3x4 y′2 − xy ′ − y = 0
dy 21) y = a dx 22) y = y ′ ln y′
2
dy +b dx
3
, a, b constantes.
23) y = y ′ (1 + y ′ cos y′ ) 24) y = (y ′
− 1)ey
25) y = arcsen y ′ + ln(1 + y ′2 ) 26) y ′ = e y /y ′
27) y ′2 + ey = 2
125
3.
126
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
28) y 2/3 + y ′2/3 = 1 29) x = y ′2
− 2y′2 + 2
30) x(1 + y′2 ) = 1 31) y ′2 x = e 1/y
′
32) x(1 + y′2 )3/2 = a 33) x = y ′ + sen y′ 34) x
1 + y′2 = y ′
35) x = y ′3
− y′
II. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Lagrange y Clairouts
3 1) y ′ = ln y − xy ′ 2) y ′ = 3) (y ′ )3
2
−
1 y ′ + ′ x + (y′ )2 y 3xy ′ + 3y = 0
4) y = xy ′ +
1 + y ′2
5) 2y = xy ′ + y ′ ln y ′ 6) y = 2xy ′ + sen y ′ a 7) y = xy ′ + ′2 y 8) y = xy ′ + y ′2 9) y = 2xy ′ + ln y ′ 10) y = x(1 + y ′ ) + y′2
−xy′2 + y′2 + 1 12) y = 2xy ′ − 2y ′ + 1 11) y =
13) y = 2xy ′2 + y ′ 3 ′ 14) y = xy′ + ey 2 1 15) y = xy ′2 y′ 16) y = (x + 1)y ′2
−
17) y = x sen y ′ + cos y′ 18) y = 2xy ′
− 2y′ + 1 19) yy ′2 + (2x − 1)y ′ = y 20) y = −xy ′2 + y′2 + 1
Walter Arriaga Delgado 21) y = (y ′
Matem´ atica IV
− 1)x + ay′ + b
22) y = mxy ′ + ay ′ + b 23) y + xy ′ = y ′2 24) y ′3
− xy′ + 2y = 0 25) 2y ′2 + xy ′ − 2y = 0 26) 2y ′3 + xy ′ − 2y = 0 27) y = xy ′ + y ′2 28) y = xy ′
− 3y′3
1 29) y = xy ′ + ′ y 30) y = xy ′ +
ay ′
1 + y ′2
31) y = xy ′ + a 1 + y′2 a 32) y = xy ′ + ′2 y ′ 33) y = xy + sen y′ 34) y = ln(xy ′ 35) y = xy ′
− y)
− y′2
36) y = xy ′ +
− 1
y ′2
− ey ′ 1 38) y = xy ′ + √ ′ y −1 39) y = xy ′ − 1 − y ′2 − arccos y′ 37) y = xy ′
−
40) y + y′2 = y ′ x
41) y = xy ′ + a 3 1 42) xy ′
y ′3
− y = ln y′ 43) y = xy ′ − 3y ′3
44) y = (x + 1)y′ + y ′2
− y′2 46) y = (x + 1)y′ − 1 √ 47) y = xy ′ + 1 + y′ 45) y = xy ′ + y ′
48) (y
−
1 + y ′2 )dx
− xdy = 0
127
128
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
5
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO Objetivos: Conocer
la utilidad e importancia de las ecuaciones diferenciales ordinarias en las diver
sas aplicaciones a las distintas ´areas como la F´ısica, Qu´ımica, Econom´ıa, Biolog´ıa, etc. Formular
problemas pr´acticos en forma matem´atica y resolverlos con los m´ etodos desa
rrollados en los cap´ıtulos anteriores. Modelar
mediante una ecuaci´on diferencial ordinaria la ley que rige un fen´omeno de
cantidades variables en el tiempo.
Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por la derivada, y usarla para describir c´omo se modifica una cantidad es de lo que tratan las ecuaciones diferenciales En nuestro medio suceden sistemas o fen´omenos f´ısicos, qu´ımicos, sociol´ogicos, econ´omicos etc. que podemos describir su comportamiento en t´erminos matem´aticos. La descripci´on o formulaci´on matem´ atica de un sistema o fen´omeno se llama modelo matem´ atico, que es una ecuaci´on o sistema de ecuaciones diferenciales, en otras palabras, convertir las reglas que gobiernan la evoluci´on de una cantidad en una ecuaci´on diferencial se llama modelaci´on, y en ´este cap´ıtulo estudiaremos muchos modelos. Las ecuaciones diferenciales son una poderosa herramienta en la construcci´o n de modelos matem´aticos para el mundo f´ısico. Su aplicaci´ on en la industria y la ingenier´ıa es muy 129
130
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
extensa y cumplen tan bien su cometido que se han convertido en uno de los instrumentos de modelaci´on m´as fruct´ıferos. A ello debe agregarse que la actual es una ´epoca sumamente propicia para estudiarlas porque los medios computarizados de resoluci´on interactiva pueden generar con rapidez y sin problemas representaciones gr´aficas sorprendentes muy provechosas para entender las propiedades de los sistemas din´amicos. Mediante un modelo matem´atico podemos: a. Comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales. b. Fechar f´osiles analizando la desintegraci´on de una sustancia radiactiva. c. Determinar el tiempo en que se enfr´ıa o calienta un cuerpo de acuerdo a la temperatura del medio que lo rodea. La matem´ atica es una abstracci´on de la realidad. Es poner en s´ımbolos lo que nos rodea. Es una herramienta poderosa que nos conduce a trav´es de la aplicaci´ on rigurosa de sus leyes y de la l´ogica a soluciones precisas. Ante una situaci´on real: ajuste de especificaciones en las ´areas de ingenier´ıas, sistemas computacionales, econom´ıa, etc. El camino a seguir es: Establecer la ecuaci´on diferencial que traduce fielmente al lenguaje simb´olico el fen´omeno a estudiar. Catalogar y resolver dicha ecuaci´on. Analizar la soluci´on. Nuestra meta es emplear la ecuaci´on diferencial para predecir el valor futuro de la cantidad que se est´a modelando. Existen tres tipos b´asicos de t´ ecnicas para efectuar esas predicciones Las t´ecnicas anal´ıticas implican encontrar f´ormulas para los valores futuros de la cantidad. Los m´etodos cualitativos se apoyan en un esbozo burdo de la gr´afica de la cantidad como funci´on del tiempo, y en la descripci´on de su comportamiento a largo plazo. Las t´ecnicas num´ericas requieren que efectuemos c´alculos aritm´eticos (o bien que los haga una computadora) que den aproximaciones de los valores futuros de la cantidad. En ´este texto presentaremos y usaremos estos tres procedimientos.
Veamos algunos ejemplos de Modelos Matem´ aticos:
Walter Arriaga Delgado
5.1. 5.1.1.
Matem´ atica IV
131
Aplicaciones a la Geometr´ıa Problemas geom´ etricos
Introducci´ on En esta secci´on determinaremos las funciones que est´an caracterizadas por alguna propiedad que involucra o bien a la recta tangente en cada punto de la gr´afica de la funci´on, o bien al ´area de la regi´on limitada por la gr´ afica de la funci´on y el eje de abscisas, o bien la longitud de la gr´afica entre los puntos t 0 y t 1 , o bien el volumen de los s´olidos generados por revoluci´on de la gr´aficas respecto del eje de abscisas o respecto del eje de ordenadas. Para resolver problemas geom´etricos con ecuaciones diferenciales recordaremos la definici´on de la recta tangente LT y la recta normal LN a una curva en coordenadas rectangulares y coordenadas polares.
En coordenadas rectangulares: Sea la curva C descrita por: C : F (x, y) = 0 y sea el punto P 0 (x0 , y0 ) que pertenece a la curva C . Vea la figura 5.1 Y
LT
LN
C N
• P (x0, y0) ℓt
ℓn α
θ 0
A
ℓst
H (x0 , 0)
ℓsn
B
X
M
Figura 5.1: La recta tangente LT y la recta normal L N
Para la recta tangente LT :
dy Consideremos m t la pendiente de la recta L T , donde mt = y 0′ = dx
P0
132
Matem´ atica IV
Entonces (y
Walter Arriaga Delgado
− y0) = m(x − x0). Ecuaci´on de la recta Punto - pendiente. Entonces: − y0 = y0′ (x − x0)
LT : y
(5.1)
Para la recta normal LN : Consideremos m n la pendiente de la recta L N . Puesto que mt mn = Luego: LN : y
−1
− y0 = −y′1 (x − x0)
entonces m n =
− 1y′ . 0
(5.2)
0
Calculemos el punto de intersecci´on de la recta tangente con el eje X . Sea A
∈ (LT ∧ eje X ), haciendo y = 0 en la ecuaci´on de la recta tangente (5.1) se tiene: −y0 = y0′ (x − x0) ⇒ x = x0 − yy0′ de donde: 0
A x0
−
y 0 , 0 y0′
Calculemos el punto de intersecci´on de la recta normal con el eje X . Sea B
∈ (LN ∧ eje X ), haciendo y = 0 en la ecuaci´on de la recta normal (5.2) se tiene: −y0 = − 1y′ (x − x0 ) ⇒ x = x0 + y0y0′ de donde: 0
B(x0 + y0 y0′ , 0) Calculemos el punto de intersecci´on de la recta tangente con el eje Y . Sea M
∈ (LT ∧ eje Y ), haciendo x = 0 en la ecuaci´on de la recta tangente (5.1) se tiene: y − y0 = y 0′ (−x0 ) ⇒ y = y 0 − x0 y0′ de donde: M (0 , y0
− x0 y0′ )
Calculemos el punto de intersecci´on de la recta normal con el eje Y . Sea N
∈ (LN ∧ eje Y ), haciendo x = 0 en la ecuaci´on de la recta normal (5.2) se tiene: 1 x 0 y − y0 = − ′ (−x0 ) ⇒ y = y 0 + ′ de donde: y y 0
0
x 0 N (0 , y0 + ′ ) y0 La longitud del segmento de la tangente AP 0 es: ℓt = d(A, P 0 ) =
− − x0
ℓt =
y0 y0′
x0
y 0 y0′
1 + y0′ 2
2
+ (y0
− 0)2
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
133
La longitud del segmento de la normal BP 0 es: ℓn = d(B, P 0 ) =
− (x0
(x0 + y0 y0′ ))2 + (y0
− 0)2
| |
1 + y0′ 2
ℓn = y0
La Sub tangente es la proyecci´on ortogonal del segmento tangente AP 0 sobre el eje X cuya longitud es: ℓst = d(A, H ) =
− − − x0
x0
y 0 y0′
2
+0
y0 y0′
ℓst =
La Sub normal es la proyecci´on ortogonal del segmento normal BP 0 sobre el eje X cuya longitud es:
ℓsn = d(H, B) =
(x0 + y0 y0′
ℓsn = y0 y0′
|
x0 )2 + 0
|
Generalizando los puntos A, B, M , N y H se tiene: (vea la tabla 5.1)
−
y , 0 y′ B(x + yy ′ , 0)
A x
M (0 , y
− xy′)
x N (0 , y + ′ ) y H (x , 0)
Cuadro 5.1: Puntos importantes de intersecci´ on Generalizando las longitudes en cualquier punto P (x, y) de la curva C : F (x, y) = 0 se tiene: (vea la tabla 5.2) ℓt
=
ℓn
=
ℓst
=
ℓsn
=
| |
y 1 + y′ 2 y′ y 1 + y′ 2 y y′ yy ′
| |
=
longitud de la tangente
=
longitud de la normal
=
longitud de la sub tangente
=
longitud de la sub normal
Cuadro 5.2: Longitudes importantes
Nota: En la figura 5.1 se observan segmentos importantes como:
134
Matem´ atica IV
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OA y OM segmentos interceptados por la recta tangente en los ejes X y Y respectivamente. OB y ON segmentos interceptados por la recta normal en los ejes X y Y respectivamente.
En coordenadas polares: Sea la curva C descrita por
C : r = f (θ) y P (r, θ)
∈ C . Vea la figura 5.2
C
(r , )
r
sn
st
0 L
L T
N
Figura 5.2: La recta tangente y la recta normal en coordenadas polares
Para la recta tangente LT : La ecuaci´ on de la recta tangente es: r
dθ = tan Ψ dr
Para la recta normal LN : La ecuaci´ on de la recta tangente es: r
dθ = dr
1 − tanΨ
Longitud de la sub tangente ℓst : La longitud de la sub tangente polar est´a dada por: ℓst : r tan Ψ = r 2
dθ dr
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Matem´ atica IV
135
Longitud de la sub normal ℓsn : La longitud de la sub normal polar est´a dada por: ℓsn : r cot Ψ =
dθ dr
EJERCICIOS RESUELTOS
✍
4.
Problema 5.1.1. La normal en el punto P (x, y) de una curva corta al eje de las X en M y al eje de las Y en N . Hallar la ecuaci´on de las curvas para las cuales P es el punto medio de M N .
Soluci´ on: L
Y
C
N
L N
T
P(x,y)
y
0 x
M
x
X
Figura 5.3:
1º forma De acuerdo a la figura (5.3) se tiene que mt .mn = 1 tan θ. tan α = y y adem´ a s tan(180 α) = tan α = x x 1 y luego = y como y ′ = tan θ entonces: tan θ x 1 y ′ = x , separando variables e integrando ambos miembros: = y y′ x y ydy = xdx y 2 = x 2 + c
−
− ⇒
⇒ −
−1
⇒
⇒
∴
y2
− x2 = c
136
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
2º forma
x Como P (x, y) es punto medio de M (x + yy ′ , 0) y N (0, y + ′ ), entonces: y ′ x + yy x = de donde: x = yy ′ 2
Problema 5.1.2. El eje de las X , la recta tangente y la ordenada en cada punto de una curva forman un tri´angulo de ´area constante k. Hallar la ecuaci´on de la curva, obteniendo los valores correspondientes de k y de la constante de integraci´on, suponiendo que pasa por los puntos (0, 4) y (1, 2).
Soluci´ on: Y
C L
L
N
T
P(x,y)
y
0 a
x
X
y y’
Figura 5.4:
Por dato del problema y por la figura (5.4) se tiene: A∆ = k (a + x)y 2k entonces = k de donde a + x = adem´as: 2 y y y2 y2 dy dx ′ tan θ = tan θ = y = = e integrando: a+x 2k 2k y2 2k
⇒
⇒
⇒
− y1 = 2kx + c
para P (0, 4) se tiene x = 0 ; y = 4 1 0 entonces = +c c = 1/4 y reemplazando en (5.3) se tiene: 4 2k
−
⇒
−
− y1 = 2kx − 14
(5.3)
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Matem´ atica IV
137
para P (1, 2) se tiene x = 1 ; y = 2 1 1 1 entonces = k = 2 y reemplazando en (5.3) se tiene: 2 2k 4 1 x 1 = 4 = y(x + 1) y 2k 4 ∴ y + xy 4=0
−
−
− −
− ⇒
−
⇒
−
Nota:
y , luego y′
Otra manera es considerar a + x como la subtangente cuya longitud es y y ′ = 2k y
bh esto se debe, puesto que el ´area del tri´angulo est´ a dada por A = luego 2
y2 ′ y =
2k
Problema 5.1.3. Hallar la ecuaci´on de la curva que pasa por el punto (1,2) y tal que la tangente en un punto cualquiera P y la recta que une este punto con el origen determina el ´angulo complementario con el eje de las x.
Soluci´ on: Y
C L
L
N
T
P(x,y) γ y
0
β x
X
Figura 5.5:
Como se muestra en la figura 5.5 β + γ = 90. Adem´as por dato del problema, β es complementario a θ entonces: β + θ = 90, de donde
θ = γ , luego
tan θ = tan γ =
x y
138
⇒
Matem´ atica IV x y
y ′ =
luego y 2
−
Walter Arriaga Delgado
y2 x2 = +k 2 2 x2 = k y como pasa por el punto (1,2), entonces
⇒
ydy =
xdx
⇒
∴
y2
k = 3
− x2 = 3
Problema 5.1.4. La parte de la normal comprendida entre el punto
P (x, y) de una curva y el eje de las x
tiene una longitud constante k. Hallar la ecuaci´ on de la curva.
Soluci´ on: Y
C L
L
N
T
P(x,y) β k
y
0 a
X
Figura 5.6:
1º forma
−
k2 = y 2 + a2 a = k 2 y 2 a adem´ as: tan β = , pero α + θ = 90 α + β = 90 y a θ = β , de donde: tan θ = , luego y Se tiene que:
⇒
∧
⇒
dy = dx
−
k2 y 2 y
2º forma a es la longitud de la subnormal, es decir: a = yy ′ adem´as
3º forma
k 2 = y 2 + (yy ′ )2
de donde:
y ′ =
−
k2 y 2 y
(5.4)
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Matem´ atica IV
139
usando directamente la propiedad de la longitud de la normal k2 y 2 entonces y 1 + y 2 = k , de donde y ′ = y
− ⇒
ℓn = y
Ahora, resolviendo la ecuaci´on diferencial ordinaria 5.4, se tiene: ydy ydy ydy = k2 y 2 dx = dx k2 y 2 k2 y 2 k 2 y 2 x = c k2 y2 + x = c x + c = k2
−
−
−
−
⇒ − ⇒ −
⇒
∴
−
1 + y ′2
−
−
−
dx = c
y2
y 2 + (x + c)2 = k 2
Problema 5.1.5. Las normales en todo punto de una curva pasan por un punto fijo. Hallar la ecuaci´o n de la curva.
Soluci´ on: Y
L
C
N P(x,y)
y−k (h,k)
h−x
0 X
Figura 5.7:
Sea el punto fijo P (h, k), luego la ecuaci´on de la recta normal es: y
− y0 = −y′ 1 (x − x0 ) y0
− k = − dx (x − h) dy (y − k)dy = −(x − h)dx (y − k)dy = − (x − h)dx y
140
Matem´ atica IV (y
− k)2 = − (x − h)2 + c 2
(y ∴
5.1.2.
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2
− k)2 + (x − h)2 = 2c (x − h)2 + (y − k)2 = R
Trayectorias
La curva de una familia que corta a las curvas de otra familia, formando un ´angulo determinado, se denomina trayectoria. Las soluciones de una ecuaci´on diferencial forman un haz de curvas. A menudo nos interesa hallar la familia de curvas que las cortan perpendicularmente, que llamaremos trayectorias ortogonales.
Definici´ on 5.1.1. Se llaman trayectorias ortogonales a aquellas curvas cuyas rectas tangentes se intersectan formando un a´ngulo recto.
Definici´ on 5.1.2. Se llaman trayectorias isogonales a aquellas curvas cuyas rectas tangentes se intersectan formando un ´angulo constante.
Formulaci´ on matem´ atica Si la ecuaci´on diferencial de una familia de curvas tiene la forma: φ(x,y,y′ ) = 0 entonces la ecuaci´on diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de curvas de la forma: ψ(x,y,
− y1′ ) = 0
Para obtener las trayectorias ortogonales de una familia de curvas F (x,y,k) = 0
(5.5)
debemos hacer lo siguiente: Construir la ecuaci´ on diferencial para la familia 5.5, esto implica derivar la familia 5.5 y eliminar la constante k para luego despejar y ′ . Considerar m1 =
dy = f (x, y) como la pendiente de la recta tangente a la familia 5.5 dx
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Matem´ atica IV
141
Considerar m 2 como la pendiente de la recta tangente de las trayectorias ortogonales a 1 1 la familia 5.5, y como m1 m2 = 1, es decir m2 = , entonces: m2 = . m1 f (x, y)
−
−
−
dy 1 = es la ecuaci´ on diferencial de la familia de trayectodx f (x, y) rias ortogonales de la familia 5.5, y al resolver ´esta ecuaci´ on diferencial obtenemos las por lo tanto
−
trayectorias ortogonales de familia 5.5.
Y
L1 L2
X
Figura 5.8: Trayectorias ortogonales
En coordenadas polares: Consideremos una curva cuya ecuaci´on est´a expresada en coordenadas polares (r, θ). Se demuestra en el c´alculo , que el ´angulo φ medido desde el radio vector a la recta tangente a una curva C en el punto P (r, θ) est´a dado por: tan φ = r
dθ dr
(5.6)
Si dos curvas C 1 y C 2 son ortogonales, como se observa en la figura 5.10, entonces: φ2 = φ 1 +
π 2
⇒
tg φ2 =
− ctg φ1 = − tgφ1 1
Esto es, si dos curvas son ortogonales, en el punto de intersecci´on se tendr´a que el valor del dθ producto r para una de las curvas es el rec´ıproco negativo para la otra curva. dr Luego si la ecuaci´on diferencial de una familia de curvas en coordenadas polares ( r, θ) esta dada por: P dr + Q dθ = 0 (´o si se desea
dr = P (r, θ)) dθ
142
Matem´ atica IV
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C r
φ Lt
θ
Figura 5.9: Trayectorias ortogonales en coordenadas polares C1
P(r ,θ) C2
φ2 φ1
r
θ
Figura 5.10:
Entonces por 5.6:
dθ Pr = , dr Q y la familia de trayectorias ortogonales a ellas son las soluciones de la ecuaci´on: tgφ = r
r
dθ Q = dr Pr
dθ r = , y la familia de trayectorias ortogodr P (r, θ) dθ P (r, θ) dr r2 nales a ella son las soluciones de la ecuaci´on: r = = ) dr r dθ P (r, θ) (o si se desea:
dr = P (r, θ) dθ
−
⇒
tgφ = r
−
⇒
−
Nota: Entre las aplicaciones m´as importantes de las trayectorias ortogonales podemos apreciar que:
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Matem´ atica IV
143
En Electrost´ atica, las l´ıneas de fuerza son ortogonales a las curvas equipotenciales. En Termodin´ es de una superficie plana es ortogonal a las amica, el flujo de calor a trav´ curvas isotermas. En Hidrodin´ amica, las l´ıneas de flujo (o de corriente) son trayectorias ortogonales a las curvas potenciales de velocidades.
EJERCICIOS RESUELTOS
✍
5.
Problema 5.1.6. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las par´ abolas con v´ertice en el origen y foco sobre el eje Y .
Soluci´ on: La ecuaci´on general de la familia de par´abolas con v´ ertice en el origen y foco sobre el eje Y es de la forma: y = 4 p x2
,
p=0
(5.7)
derivando ambos miembros se tiene y ′ = 8 px y pero despejando p en 5.7 tenemos p = 2 , luego: 4x
como m1 m2 =
y ′ =
2y x
m2 =
−x
⇒
m1 =
2y x
y ′ =
−x
−1, entonces: 2y
⇒
2y
resolviendo ´esta u ´ ltima la ecuaci´on diferencial se tiene: 2ydy = x2 integrando y 2 = +c 2
−
∴
Las trayectorias ortogonales son y 2 +
−xdx x 2 = c 2
Problema 5.1.7. Encontrar las trayectorias ortogonales de las circunferencias que pasan por el origen con centro en el eje X .
Soluci´ on: La ecuaci´ on general de la familia de circunferencias es: (x
− h)2 + (y − k)2 = r 2
(5.8)
como pasan por el origen y su centro est´a en el eje X , entonces k = 0 y r = h, luego en 5.8 se tiene (x h)2 + y2 = h 2 , de donde x2
−
− 2xh + h2 + y2 = h2. Luego la familia de circunferencias
144
Matem´ atica IV
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10 8 6
y
4 2
–10 –8 –6 –4 –2 0 –2
2
4
x
6
8 10
–4 –6 –8 –10
Figura 5.11: Trayectorias ortogonales de y = 4 p x2
que pasan por el origen con centro en el eje X est´a dado por: x2 + y 2 = cx
(5.9)
la ecuaci´on diferencial se obtiene derivando ambos miembros de la ecuaci´on 5.9, eliminando la constante c y despejando y ′ , luego y ′ = como m 1 m2 =
y 2 x2 2xy
−
y 2 x2 2xy
−
m1 =
⇒
−1, entonces: m2 =
2xy y2
x2
−
resolviendo ´esta ecuaci´on diferencial se tiene
2xy y2
y ′ =
⇒
x2
dx x2 y 2 = dy 2xy
−
− ⇒
dx dy
− 2yx = − 2xy
es una ecuaci´on diferencial de Bernoulli dx x2 y multiplicando por x se tiene x = , haciendo z = x 2 con dz = 2xdx dy 2y 2 dz z reemplazando = y es una ecuaci´on diferencial lineal en z , dy y
−
−
donde P (y) =
⇒
z = e ln y
−
−
−
1 y Q(y) = y
−y, luego z = e−
e− ln y ( y)dy + k
−
∴
⇒
P (y)
e
z = y( y + k)
−
⇒
P (y)dy
x2 =
Q(y)dy + k
−y2 + ky
Las trayectorias ortogonales son x2 + y 2 = ky
Problema 5.1.8. Encontrar las trayectorias ortogonales para la familia x2 + y 2
Soluci´ on:
− 1 = ky
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Matem´ atica IV
145
4 y
–4
2
0
–2
2
4
x
–2 –4
Figura 5.12: Trayectorias ortogonales de y 2 + x2 = cx
x2 + y 2
Dada la familia
− 1 = ky
despejamos k obteni´endose
x2 + y 2 1 k = y derivando ambos miembros se tiene y y(2x + 2yy ′ ) (x2 + y 2 1)y ′ 0= 2xy + 2y 2 y ′ (x2 + y 2 2 y (y2 x2 + 1)y ′ = 2xy luego
−
−
⇒
−
−
−
como m1 m2 =
−1
−2xy y 2 − x2 + 1
y 1 − x2 ′ y − = 2x
−
− x2 + 1
con
P (x)dx
e
P (x)dx
1 e− ln x
z = e ln x
1
x2
x2
x2
x
dx + c ∴
Problema 5.1.9.
−2xy y2 − x2 + 1
y 2 − x2 + 1 ′ y =
⇒
2xy
dy 2y dx
−
2xy
y 2 1 x2 = x x
−
−1 P (x) = x
,
Q(x) =
1
− − ⇒ − −
z = e −
z = x
m1 =
⇒
dz = 2ydy
⇒
z 1 x2 = , x x
y2
⇒
2xy
haciendo z = y 2
−
− 1)y′ = 0
entonces m2 =
dz dx
−
⇒
y ′ =
luego
⇒
− x2 x
Q(x)dx + c dx + c
z = x
1 x
x+c
⇒
y2 =
−1 − x2 + cx
Las trayectorias ortogonales son y 2 + x2 + 1 + cx = 0
146
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Encontrar las trayectorias ortogonales para la familia 3x2 + y 2 = kx
Soluci´ on:
3x2 + y2 Dada la familia + = kx , despejando k se tiene k = x x(6x + 2yy ′ ) (3x2 + y2 ) y derivando ambos miembros tenemos 0 = x2 2 ′ 2 2 6x + 2xyy 3x y = 0 luego 3x2
y2
−
⇒
−
−
y 2 − 3x2 ′ y =
como m1 m2 =
−1
− 3x2
2xy
entonces 2xy ⇒ y ′ = − 3x2 − y 2 3x − y ⇒ dx − = multiplicando por dy 2y 2x
m2 = dx 3x2 y 2 = dy 2xy
−
entonces
m1 =
⇒
2xy
y2
2xy 3x2 y 2
2x
dx 3x2 2x = y , haciendo z = x 2 dz = 2xdx dy y dz 3z 3 = y , con P (y) = , Q(y) = y dy y y
−
−
−
−
−
z = e −
P (y)dy
z = e 3 ln y z = y 3
⇒
e
P (y)dy
1 +c y
Q(y)dy + c
e−3 ln y (− y)dy + c
−
z = y 3
⇒
− dy +c y2
x2 = y 2 + cy 3
⇒
Las trayectorias ortogonales son x2 = y 2 + cy 3
∴
Problema 5.1.10. Encontrar las trayectorias ortogonales a la familia de cardioides: r = c(1 + cos θ)
Soluci´ on: De
⇒
r = c 1 + cos θ (1 + cos θ)dr + r sen θ dθ = 0 r = c(1 + cos θ)
⇒
⇒
− ·−
dθ r sen θ = dr (1 + cos θ) r dr 1 + cos θ sen θ dr r(1 + cos θ)dθ = 0 dθ = 0 r sen θ r ln r ln(csc θ cot θ) ln(sen θ) = k 1 = ln k ln = ln k (csc θ cot θ)(sen θ) r = k (csc θ cot θ)(sen θ)
La ecuaci´ on diferencial de los ortogonales es:
⇒ ⇒ ⇒
(1 + cos θ)dr/dθ r ( sen θ) =0 (1 + cos θ)2
−
−
⇒
−
−
r
·
−
⇒
−
−
∴
Las trayectorias ortogonales son r = k(1
− cos θ)
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
147
Observaci´ on 5.1.1. Esta familia encontrada es la misma que la inicialmente dada, es decir: La familia de cardioides es ortogonal asi misma.
5.1.3.
Problemas de campo de fuerzas
Problema 5.1.11. Dibujar el campo de fuerzas dado por F (x, y) =
2y
x2 + y 2
i
−
y2
−
x
x2 + y2
j
hallando y dibujando la familia de curvas tangentes a F .
Soluci´ on: En el punto (x, y) del plano, el vector F (x, y) tiene pendiente dy = dx que en forma diferencial es soluci´ on es:
−(y2 − x)/ 2y/
2ydy =
x2 + y 2
x2 + y2
−(y2 − x)dx y 2 = x
− (y2 − x) = 2y
es decir
(y2
− x)dx + 2ydy = 0, cuya
− 1 + ce−x 4
y
–4
2
0
–2
2
x
4
–2 –4
Figura 5.13: Campos de fuerzas
La figura 5.13 nos muestra varias curvas representativas de esta familia. N´otese que el vector fuerza en (x, y) es tangente a la curva que pasa por ( x, y).
5.2.
Aplicaciones a la F´ısica
Las ecuaciones diferenciales es uno de los campos de la matem´atica donde se siente con m´as fuerza la influencia mutua con la F´ısica. Muchas de las leyes f´ısicas adoptan en su enunciado
148
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
matem´ atico la forma de una ecuaci´on diferencial. Los grandes desarrollos en el mundo de las ecuaciones diferenciales son motivados en su mayor parte por la necesidad de estudiar el significado de esas leyes para poder predecir comportamientos de los sitemas f´ısicos.
5.2.1.
Problemas de cambio de temperatura
Introducci´ on El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. En su juventud estudi´o el movimiento y estableci´o las leyes de la din´amica (las Leyes de Newton), estableci´o la ley de la gravitaci´on universal (mostrando que lo que vale en la tierra tambi´en vale en el cielo), explic´o la descomposici´on en colores de la luz blanca cuando pasa por un prisma, desarroll´o lo que hoy conocemos en matem´atica como c´ alculo, entre otras cosas. Ya mayor, a los 60 a˜ nos de edad, acept´o un puesto como funcionario nacional y se desempe˜ no´ como responsable de la Casa de la Moneda de su pa´ıs. All´ı ten´ıa como misi´ on controlar la acu˜ naci´ on de monedas. Probablemente se interes´o por la temperatura, el calor y el punto de fusi´on de los metales (temperatura a la que un metal se transforma en l´ıquido) motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acu˜ naci´ on. Tampoco esa vez Newton perdi´o la oportunidad de hacer uso de los materiales m´as simples de los que dispon´ıa para llevar a cabo mediciones de gran significado. Construy´ o sus propios term´ ometros, utilizando aceite de linaza como material termom´ etrico, y defini´o su propia escala de temperatura. En su escala, 0 era la temperatura del aire en invierno a la cual se congela el agua, y defini´o como 12 a la temperatura m´ as alta que un term´ometro registra cuando est´a en contacto con el cuerpo humano. En su escala, el metal con que se hac´ıan las monedas se fund´ıa a 192. Anecd´ oticamente, Newton estableci´o que la temperatura m´as alta de un ba˜no que uno puede soportar era igual a 17. Utilizando un horno a carb´o n de una peque˜ na cocina, realiz´o el siguiente experimento. Calent´o al rojo un bloque de hierro. Al retirarlo del fuego lo coloc´o en un lugar fr´ıo y observ´ o c´ omo se enfriaba el bloque de metal. Sus resultados dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton. Los comentarios previos acent´uan la genialidad de Newton, interesado por estos problemas de termodin´amica mucho tiempo antes de que el concepto de calor fuera entendido. Destacamos que Sadi Carnot public´o sus estudios fundamentales sobre el “poder motor del fuego” (La puissance motrice du feu) cien a˜nos despu´es de la muerte de Newton.
La ley de enfriamiento de Newton La ley de enfriamiento de Newton establece que: “La rapidez de cambio de temperatuta de un cuerpo en cuaquier tiempo t, es proporcional a
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
149
la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio circundante”. OJO con las escalas de grados (unidades del problema).
Formulaci´ on matem´ atica Supongamos que: T = temperatura del cuerpo t
=
tiempo
T m dT dt k
=
temperatura del medio circundante
=
rapidez de cambio de temperatuta
=
constante de proporci´ on
T 0
=
temperatura inicial
Luego el problema se traduce como: dT = k(T dt
− T m)
(5.10)
Veamos dos formas distintas de encontrar la soluci´on a la ecuaci´on diferencial 5.10
Primera forma La ecuaci´ on 5.10 es una ecuaci´on diferencial ordinaria de variable separable, luego dT = kdt ln T T m = kt + c T T m = e kt+c de donde: T T m
⇒
−
| − |
⇒
−
T = T m + c ekt
Ahora, cuando t = 0 entonces T = T 0 , es decir T (0) = T 0 , en consecuencia c = T 0 lo tanto la soluci´on para la ecuaci´on diferencial 5.10 est´a dada por: T = T m + (T 0
− T m)ekt
(5.11)
Segunda forma La ecuaci´on 5.10 es una ecuaci´ on diferencial lineal en T , puesto que P (t) = −k y Q(t) = −kT m . Luego T = e −
⇒
T = ekdt
e−kdt ( kT m )dt + c
−
iniciales se obtiene la ecuaci´on 5.11.
⇒
− T m. Por
P (t)dt
e
P (t)dt
T = T m + c ekt ,
dT kT = dt
−
Q(t)dt + c
−
kT m donde
luego usando las condiciones
La ecuaci´ on (5.11) expresa que la rapidez del enfriamiento es m´as alta cuanto mayor es la diferencia de temperaturas entre la del cuerpo y la del medio donde se encuentra. Podemos rescatar este hecho de la experiencia cotidiana observando que una taza de caf´ e se enfr´ıa m´as r´apidamente cuando est´a caliente reci´en servida, que cuando ya est´a tibia. Nuestra pregunta ahora es qu´ e tan buena aproximaci´ on a la realidad es la ley de enfriamiento de Newton. Es decir, nos preguntamos si esta ley da cuenta del enfriamiento de un cuerpo. Estudiaremos entonces el enfriamiento de un cuerpo en funci´on del tiempo.
150
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Si el cuerpo se enfr´ıa a partir de la temperatura T 0 hasta una temperatura T m y la ley de enfriamiento de Newton es v´alida para explicar su enfriamiento, la ecuaci´on (5.11) deber´ıa representar satisfactoriamente la evoluci´on de la temperatura, dado que esta ecuaci´on es soluci´ on de la ecuaci´on diferencial (5.10). Esta es otra manera de establecer nuestra hip´otesis y esta hip´otesis ser´a puesta a prueba en los siguientes experimentos.
Actividad Se propone usar un term´ometro y observar c´omo se enfr´ıa una vez que se lo saca de un recipiente con agua hirviendo (T 100 º C). El term´ometro se enfriar´ a hasta alcanzar, despu´es de un cierto tiempo, la temperatura del ambiente. Para esta actividad puede usar un term´ ometro de mercurio en vidrio o un sensor de temperatura conectado a una PC. En cualquier caso, para no da˜ narlo, aseg´ urese de que el term´ometro pueda medir hasta 100 ºC o m´as. Sumerja el term´ometro en agua hirviendo hasta que la lectura sea la m´axima posible. Registre este valor T 0 , la temperatura m´axima inicial de term´ometro, inicie la medici´on, adquiriendo simult´aneamente los datos de tiempo y temperatura, mientras el term´ometro est´ e aun en el recipiente de agua caliente. Ret´ırelo del agua para que se enfr´ıe hasta alcance la temperatura del medio circundante T m (la temperatura de la habitaci´on donde esta realizando el experimento). Cuando retire el term´ometro del agua caliente, trate de no moverlo para que no agite el aire circundante. Lea el term´ometro cada dos o tres segundos inicialmente y luego del primer minuto aproximadamente cada 10 o 30 segundos, hasta que la temperatura alcance un valor final estable, T m .
Representaci´ on lineal: Represente los datos de temperatura, T , en funci´on del tiempo, t, en un gr´afico con escalas lineales.
Representaci´ on semilogar´ıtmica: Observe que si se toma logartimo natural a ambos miembros de la ecuaci´on (5.11) se obtiene: ln(T (t)
− T m) = ln(T 0 − T m) − τ 1 t
(5.12)
La ecuaci´on (5.12) indica que un gr´afico semilogar´ıtmico de (T T m ) en funci´o n del 1 1 tiempo es una recta, cuya pendiente es (τ = ). Un gr´afico semilogar´ıtmico se τ k obtiene tomando el eje de temperaturas en escala logar´ıtmica (note que no es necesario
−
−
tomar el logaritmo de los valores, s´olo hay que utilizar una escala logar´ıtmica en el eje vertical) y manteniendo el eje de tiempos en escala lineal. Usando los valores medidos T 0 y T m , represente en un gr´afico semilogar´ıtmico de (T T m )
−
en funci´on del tiempo t y observe si obtiene una relaci´on lineal. En caso de ser as´ı,
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Matem´ atica IV
151
determine la mejor recta y obtenga de la pendiente el valor del tiemp o caracter´ıstico τ . Verifique si la ordenada al origen corresponde a ln(T 0
− T m); ver Ec. (5.12).
Tras su an´alisis, ¿puede concluir si la ley de enfriamiento de Newton es una buena representaci´ on del enfriamiento estudiado? Analice distintos procesos que hacen que un cuerpo se enfr´ıe.
Ejercicio de aplicaci´ on Una aplicaci´on interesante de esta ley consiste en determinar el instante de fallecimiento de una persona, despu´es de algunas horas de muerta. Esta informaci´on es de crucial importancia en criminolog´ıa y en estudios forenses. El escenario de un crimen puede variar de manera muy importante seg´ u n que un crimen haya ocurrido a una hora u otra. La idea se basa en que los mam´ıferos, cuando estamos vivos, tenemos una temperatura muy estable e igual a T 0 = 37ºC. Al morir, la temperatura corporal comienza a descender hasta alcanzar la temperatura ambiente T m . En base a lo estudiado, dise˜n e un protocolo que le permita saber el momento del fallecimiento de una v´ıctima a partir de la medici´ on de su temperatura. Suponiendo que el term´ ometro es la v´ıctima y el instante de fallecimiento corresponde al instante en que se retira el term´ometro del agua caliente. Ensaye su protocolo en un caso pr´actico. Por ejemplo, uno de sus compa˜ neros retira en alg´ un instante que Ud. desconoce el term´ometro del agua caliente y un instante despu´ es se lo alcanza. Midiendo la temperatura Ud. debe determinar el tiempo que el term´ometro estuvo fuera del agua. Compare sus predicciones con los datos que su compa˜nero conoce. ¿Qu´e puede concluir sobre este protocolo?.
Problema 5.2.1. Supongamos que encontramos el cad´aver de un felino. En dicho momento, se toma la temperatura del mismo y resulta ser de 35ºC. Una hora despu´es, se vuelve a tomar la temperatura y ´esta es de 34.5 ºC. Suponiendo constante la temperatura ambiental e igual a 27ºC se pide calcular a qu´ e hora se produjo la muerte del animal. (Suponemos que la temperatura del animal en vida es de 36.5ºC).
Soluci´ on: Llamamos T (t) a la temperatura del cad´aver en el instante t. En el momento de la muerte del felino, empezamos a tener en cuenta el tiempo, porque estando en vida su temperatura era conocida y adem´as, el problema nos pide el tiempo que lleva
152
Matem´ atica IV
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muerto. Veamos los datos que nos dan con las temperaturas: t = 0 t = t 1 t = t 1 + 1
T (0) = 36,5C
−→ −→ −→
T (t1 ) = 35C T (t1 + 1) = 34,5C
Planteamos la ecuaci´ on y la resolvemos, posteriormente, utilizaremos estos datos para determinar las constantes que obtengamos. dT (t) = k(T (t) dt
− T m)
de donde T ′ (t) = k(T (t)
− 27) y resolvi´endola como una ecuaci´on diferencial de variables
separables, se tiene que T (t) = 27 + cek , luego, cuando t = 0 t = t 1
⇒ ⇒
t = t 1 + 1
T (0) = 36,5
− 27 = 9,5 35 − 27 8 T (t1 ) = 35 35 = 27 + 9,5ekt ⇒ = e kt ⇒ kt 1 = ln 9,5 9,5 ⇒ T (t1 + 1) = 34,5 ⇒ 34,5 = 27 + 9,5ek(t +1) ⇒ 34,59,5− 27 = ek(t +1) ⇒ ⇒ ⇒
c = 36,5
1
1
1
1
7,5 , luego se tiene que 9,5 8 ln kt1 7,5 8 8 9,5 = t1 ln = t 1 ln + ln 7,5 k(t1 + 1) 9,5 9,5 9,5 ln 9,5 8 ln 9,5 despejando t 1 se tiene, t1 = t1 = 2,66 horas 7,5 8 ln ln 9,5 9,5 k(t1 + 1) = ln
⇒
−
∴
⇒
el felino, muri´ o hace t1 + 1 = 3,66 horas
Tambi´en se puede calcular el valor de k , puesto que ya conocemos el valor t 1 .
5.2.2.
Problemas de Din´ amica
Introducci´ on El tema de la f´ısica trata de la investigaci´ on de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo f´ısico. Por universo f´ısico entendemos la totalidad de objetos alrededor nuestro, no s´olo las cosas que observamos, sino las que no observamos, tales como los ´atomos y mol´eculas. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mec´anica llamada din´ amica . Las leyes del movimiento de Newton, forman la base fundamental para su estudio. Resulta, sin embargo, que para los objetos que se mueven muy r´apido (por ejemplo, cerca a la velocidad de la luz, 186.000 millas por segundo) no podemos usar las leyes de Newton. En vez debemos usar una versi´on revisada de ´estas leyes, desarrolladas por Einstein y
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153
conocidas como mec´anica relativista, o mec´anica de la relatividad. Para objetos de dimensiones at´omicas, las leyes de Newton tampoco son v´alidas. De hecho, para obtener descripciones precisas del movimiento de objetos de dimensiones at´omicas, necesitamos establecer un con junto de leyes estudiadas en un tema avanzado conocido como mec´anica cu´antica. Mec´anica cu´antica y relativista son muy complicadas para ser investigadas en ´esta obra, puesto que el estudiante necesitar´ıa conocimientos previos m´as extensos en matem´aticas y f´ısicas para empezar a estudiar ´estos temas. Afortunadamente, para estudiar el movimiento de los ob jetos que encontramos en nuestra vida diaria, objetos que ni alcanzan velocidades cercanas a la de la luz ni objetos con dimensiones at´omicas, no necesitamos mec´anica cu´antica o relativista. Las leyes de Newton son lo suficientemente precisas en estos casos y por tanto emprenderemos una discuci´on de estas leyes y sus aplicaciones.
Leyes del movimiento de Newton Las tres leyes del movimiento desarrolladas por Newton son: 1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una l´ınea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas act´ uen sobre ´el. 2. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que act´ ua sobre el cuerpo y tiene la misma direcci´on de la fuerza. 3. A cada acci´on existe una reacci´on igual y opuesta. La segunda ley nos proporciona una relaci´on importante conocida como la ley de Newton. El momentum de un objeto se define como su masa m multiplicada por su velocidad v. d Sea (mv) la tasa de cambio del momentum en el tiempo, y sea F la fuerza neta que act´ua dt sobre el cuerpo, entonces la segunda ley dice: d (mv) dt donde el s´ımbolo k, obtenemos:
∝ denota proporcionalidad. Introduciendo la constante de proporcionalidad
si m es constante As´ı vemos que
∝ F
d (mv) = kF dt
⇒
m
dv = kF dt
⇒
ma = kF ,
donde
a =
(5.13) dv dt
es la aceleraci´ on.
md (5.14) k El valor de k depende de las unidades que deseemos usar. Hasta el momento se usan dos F =
sistemas principales.
154
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a. El sistema CGS o sistema Cent´ımetro, Gramo, Segundo. En este sistema la longitud se mide en cent´ımetros (cm), la masa en gramos (g), y el tiempo en segundos (seg). El valor m´as simple para k es k = 1, de modo que la ley (5.14) es F = ma
(5.15)
Si una cierta fuerza produce una aceleraci´on de un cent´ımetro por segundo por segundo (1cm/seg2 ) en una masa de 1 kg, entonces de (5.15) F = 1 g. 1 cm/seg2 = 1g cm/seg2 Llamamos tal fuerza una dina. El sistema cgs tambi´en se llama sistema m´etrico. b. El sistema PLS, o sistema Pie, Libra, Segundo. En este sistema tambi´en podemos usar k = 1, de modo que la ley es F = ma. Si una cierta fuerza produce una aceleraci´on de un pie por segundo por segundo (1pie/seg2 ) en una masa de una libra (lb), llamamos esta fuerza un poundal . As´ı, de F = ma tenemos 1 poundal= 1 lb pies/seg2 . Otra manera de expresar la ley de Newton es usar el peso en vez de la masa del objeto. Mientras que la masa de un objeto es la misma en toda parte de la tierra (o realmente en cualquier parte del universo) el peso cambia de lugar a lugar. Se observar´a que para que un cuerpo act´ ue s´olo por su peso W, la aceleraci´on correspondiente es aquella debida a la gravedad g . La fuerza es W, y la ley de Newton es W = mg
(5.16)
Dividiendo la ecuaci´ on (5.14) por la ecuaci´on (5.16), tenemos F a = W g
o
F =
Wa g
(5.17)
Podemos usar la ecuaci´on (5.17) ya sea con unidades cgs o pls. En tal caso es claro que F y W tienen las mismas unidades si a y g las tienen. a en gramos peso, a y g en cm/seg2 , entonces F est´a en Con unidades CGS: Si W est´ gramos peso. Si W est´a en dinas, a y g en cm/seg2 , entonces F est´a en dinas. En la superficie de la Tierra g = 980cm/seg2 , aproximadamente. a en libras peso, a y g en pie/seg2 , entonces F est´a en Con unidades PLS: Si W est´ libras peso. En la superficie de la Tierra g = 32pie/seg2 , aproximadamente. En ciertos campos es costumbre usar el sistema cgs junto con la ley F = ma, y usar el sistema pls junto con la ley F = Wa/g. Algunas veces se hace uso de la masa en t´erminos de slugs .
Nota: En este libro usaremos:
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155
1. F = ma, donde F est´a en dinas, m en gramos, a en cm/seg2 . 2. F = W a/g, donde F y W est´an en libras, a y g en pie/seg2 . Cuando se desean otras unidades, se pueden hacer los cambios apropiados. Si en un problema las unidades no se especifican, cualquier sistema se puede usar siempre y cuando se mantenga la consistencia. En la simbolog´ıa del c´alculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes al notar que la aceleraci´ on puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v (esto es, dv/dt) ´o como la segunda derivada de un desplazamiento s (esto es, d 2 s/dt2 ). As´ı dv d2 s F = m = m 2 dt dt F =
W dv W d2 s = g dt g dt2
(cgs)
(pls)
Consideremos ahora las formulaciones matem´ aticas de varios problemas en mec´anica que involucran los conceptos anteriores, y la soluci´on e interpretaci´on de tales problemas.
Ca´ıda libre Supongamos que un cuerpo de masa m > 0 cae verticalmente hacia la Tierra. Si para cada t, v(t) denota la velocidad del cuerpo, las Leyes del Movimiento de Newton establecen que el producto de la masa por la aceleraci´on es igual a la fuerza externa F ejercida sobre el cuerpo. Esta fuerza incluye el efecto de la gravedad sobre el cuerpo, peso del cuerpo, y el de la resistencia ofrecida por el aire. Si suponemos que la altura a la que cae el cuerpo es peque˜na en comparaci´ on con el radio de la Tierra, entonces el efecto de la gravedad est´a dado por mg, donde g es la aceleraci´on debida a la gravedad. Por otra parte, es razonable suponer que el amortiguamiento R depende exclusivamente de la velocidad y est´a descrito por una funci´on continua R :
−→ [0;+∞ tal que R(0) = 0 y creciente en el intervalo [0; +∞, de manera
R
que la ecuaci´on que determina la velocidad de ca´ıda de un cuerpo est´a dada por mv′ (t) = mg
− R(v(t))
(5.18)
Naturalmente s´ olo ser´an de inter´ es f´ısico las soluciones no negativas de la anterior EDO. El amortiguamiento R se denomina viscoso cuando es una funci´on lineal y newtoniano cuando es cuadr´atica. En el primer caso R(v) = kv y en el segundo R(v) = kv 2 , donde k
≥ 0 se
denomina coeficiente de amortiguamiento. En particular, si el coeficiente de amortiguamiento es nulo, entonces no existe rozamiento y el movimiento se denomina de ca´ıda libre.
Problema 5.2.2.
156
Matem´ atica IV
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Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad partiendo del reposo. Asumiendo deprecialble la resistencia del aire establezca la ecuaci´on diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento. A x P
P
t mg
Tierra
(a) Posici´ on de la masa m
(b) Diagrama de fuerza
Figura 5.14: Ca´ıda libre
Formulaci´ on Matem´ atica Para formular matematicamente los problemas de f´ısica es u ´til dibujar diagramas siempre y cuando sea posible. Estos ayudan a fijar ideas y consecuentemente ayudan a traducir las ideas de f´ısica en ecuaciones matem´aticas. Sea A Figura 5.14(a) la posici´on de la masa m en el tiempo t = 0, y sea P la posici´on de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de f´ısica que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleraci´on, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de direcci´on, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignaci´ on de direcciones positivas y negativas. Sea A el origen de nuestro sistema de coordenadas, la velocidad instant´ anea en P es v = dx/dt. La aceleraci´on instant´ anea en P es a = dv/dt ´o a = d 2 x/dt2 . La fuerza neta act´ ua verticalmente hacia abajo (considerada como positiva como se muestra en el diagrama de fuerzas de la Figura 5.14(b)). Su magnitud es mg. Por la ley de Newton tenemos m
dv = mg dt
´o
dv = g dt
Puesto que la masa cae desde el reposo vemos que v = 0 cuando t = 0, ´o en otras palabras v(0) = 0. Nuestra formulaci´on matem´ atica es el problema de valor inicial dv = g. dt
v(0) = 0
Aqu´ı tenemos una ecuaci´on de primer orden y su condici´on requerida.
(5.19)
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Matem´ atica IV
157
Otra manera de formular el problema es escribir m
d2 x = mg dt2
d2 x = g dt2
´o
En tal caso tenemos una ecuaci´on de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 ´o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en A). La formulaci´on matem´ atica es d2 x = g. dt2
x = 0
dx = 0 en t = 0 dt
y
(5.20)
El procedimiento ser´a t´ıpico en las formulaciones matem´aticas de problemas. Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir alg´ un fen´omeno o ley, siempre las acompa˜ naremos de suficientes condiciones necesarias para la determinaci´on de las constantes arbitrarias en la soluci´ on general.
Soluci´ on Empezando con dv/dt = g, obtenemos por integraci´on v = gt + c1 . Puesto que v = 0 cuando dx t = 0 , c 1 = 0 ´o v = gt, esto es, = gt. dt Otra integraci´ on produce x = 21 gt 2 + c 2 . Puesto que x = 0 en t = 0, c2 = 0. Por tanto x = 21 gt 2 . Podr´ıamos haber llegado al mismo resultado al empezar con 5.20. Como una aplicaci´on, sup´ongase que deseamos conocer como est´a el objeto despu´es de 2 seg. Entonces, por el sistema cgs x = 21 (980cm/seg2 )(2seg)2 = 1960cm. Por el sistema pls, x = 21 (32pies/seg2 )(2seg)2 = 64pies. Para enontrar la velocidad despu´es de 2 seg escribamos (en el sistema pls) dx = gt = (32pies/seg2 ) dt
× 2seg = +64pies/seg
El signo m´as indica que el objeto se est´a miviendo en direcci´on positiva, esto es, hacia abajo. Se deber´ıa notar que si hubi´ eramos tomado la direcci´ on positiva hacia arriba la ecuaci´ on diferencial hubiera sido m(dv/dt) =
− mg, esto es,
dv/dt =
−g
´o
d2 x = dt2
−g
Esto conducir´ıa, por supuesto, a resultados equivalentes a los obtenidos.
Problema 5.2.3. Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad de 128 pies/seg. ¿Cu´al es su velocidad despu´es de 2,4 y 6 seg? ¿Cu´ando regresar´ a a su posici´on de partida? ¿Cu´a l es la m´axima altura que alcanza antes de regresar?
Formulaci´ on Matem´ atica
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Matem´ atica IV
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Aqu´ı tomaremos el eje x como la vertical, con su origen en la tierra en A de modo que x = 0 cuando t = 0. Figura 5.15(a). Consideremos “arriba” como positivo. La fuerza que act´ ua sobre la bola 5.15(b) es su peso y debemos considerar por tanto que es significa abajo).
−mg (el signo menos
P
P
t mg
x
A
Tierra
(a) Posici´ on de la masa m
(b) Diagrama de fuerza
Figura 5.15: Ca´ıda libre La ecuaci´on diferencial para el movimiento es d2 x m 2 = dt
−mg
d2 x = dt2
´o
−g
Se necesitan dos condiciones para determinar x. Una se obtiene del hecho que x = 0 en t = 0. La otra se obtiene del hecho de que la velocidad inicial es 128 pies/seg. esta velocidad est´a en la direcci´on hacia arriba y por tanto es positiva. As´ı v =
dx = +128 en t = 0 dt
La formulaci´ on matem´ atica completa es d2 x = dt2
− g,
x = 0
dx = 128 en t = 0 dt
y
Soluci´ on
(5.21)
dx La integraci´ on de la integraci´on diferencial en 5.21 produce = gt + c 1 y puesto que dt dx dx/dt = 128 donde t = 0, c 1 = 128, de modo que = gt + 128 dt Otra integraci´ on produce Otra integraci´ on produce x = 21 gt 2 + 128t + c2 y puesto que x = 0
−
−
donde t = 0, c2 = 0. De donde x =
− 12 gt 2 + 128t
o
x = 128t
− 16t2.
Velocidad despu´es de 2,4, 6 seg. Tenemos para la velocidad en tiempo t v =
dx = 128 dt
− 32t
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Haciendo t = 2, encontramos v = 64, lo que significa que la bola se est´a elevando a la tasa de 64 pies/seg. haciendo t = 4, encontramos v = 0, lo que significa que la bola se ha detenido. Haciendo t = 6, encontramos V = tasa de 64 pies/seg.
− 64, lo que significa que la bola se ha devuelto y baja a la
a en la posici´on A, el punto de partida, cuando x = 0. Tiempo para el retorno. La bola est´ Esto ocurre cuando
− 16t2 + 128t = 0 ´o − 16(t − 8) = 0, esto es, t = 0 ´o t = 8. El valor t = 0
es trivial, puesto que ya sabemos que x = 0 en t = 0. El otro valor t = 8 indica que la bola regresa despu´es de 8 seg.
aximo de x puede hallarse haciendo dx/dt = 0, M´ axima altura de la elevaci´ on . El valor m´ lo cual equivale hallarlo cuando v = 0. Tenemos v =
dx = 128 dt
− 32t = 0
donde t = 4
Puesto que d2 x/dt2 es negativa, x es realmente un m´aximo para t = 4. el valor de x para t = 4 es 256. De donde, la altura m´axima que alcanza la bola es 256 pies.
5.2.3.
Problemas de circuitos el´ ectricos
Introducci´ on As´ı como la mec´anica tiene como base fundamental las leyes de Newton, el tema de la electricidad tambi´en tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos el´ ectricos conocida como la ley de Kirchhoff . La teor´ıa de la electricidad esta gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teor´ıa electromagn´ etica como las ecuaciones de Maxwell. As´ı como no podemos entrar en una discusi´on de la mec´anica relativista o cu´antica debido a la insuficiencia de conocimientos previos de los estudiantes tampoco podemos entrar en la discusi´on de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, as´ı como las leyes de newton son suficientes para el movimiento de los objetos, la ley de Kirchhoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos el´ ectricos.
Elementos de un circuito El circuito el´ectrico mas simple es un circuito en serie en el cual se pueden observar los siguientes elementos:
a. Fuerza electromotriz (fem), la cual act´ua como una fuente de energ´ıa tal como una bater´ıa o generador. Hace fluir una carga el´ ectrica Q y produce una corriente I . La corriente se define como la rapidez de flujo de la carga Q y se expresa como: I =
dQ dt
(5.22)
160
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b. Resistor. Cuando la corriente fluye por un segmento de circuito se pierde energ´ıa electrica, de modo que el potencial en un extremo del segmento es menor que el potencial en el otro extremo. Un segmento de circuito los puntos a y b donde se pierde mucha energ´ıa se llama resistor. Los elementos de calentamiento y los filamentos de las bombillas el´ectricas, as´ı como un tostador, u otro electrodom´estico, son buenos resistores y convierten la energ´ıa el´ectrica en calor y luz. En f´ısica elemental encontramos que la fem esta relacionada con el flujo de la corriente en el circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente instant´anea I (en un circuito que contiene solo una fem E y una resistencia ) es directamente proporcional a la fem. En s´ımbolos, I ∝ E o E ∝ I , de donde, E = I R
(5.23)
Donde R es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia ´o, simplemente, resistencia. Las unidades, generalmente conocidas como “unidades practicas” son tales que E esta en voltios, I esta en amperios y R en ohmios. La ecuaci´on 5.23 es familiar al estudiante de f´ısica elemental ba jo el nombre de Ley de Ohm . Circuitos mas complicados, pero para muchos casos mas pr´acticos, son circuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elementos importantes son inductores y condensadores .
c. Inductor. Una corriente el´ectrica cambiante I (t) que pasa por un segmento de circuito crea un campo magn´etico cambiante que induce una ca´ıda de voltaje entre los extremos del segmento. Este efecto puede ser muy grande en segmentos de circuito dispuestos de cierta forma (como las bobinas). A estos dispositivos se les denomina inductores. Un inductor se opone a los cambios de corriente. Tiene un efecto de inercia en la electricidad de la misma manera que una masa tiene un efecto de inercia en la mec´anica.
d. Capacitor o condensador. Un capacitor consta de dos placas separadas por un aislante como es el aire. Si las terminales a y b del capacitor se conectan a una fuente de voltaje, se empezar´an a acumular cargas de signo opuesto en las dos placas. Se habla de la carga total q (t) en el capacitor. En f´ısica hablamos de una ca´ıda de voltaje a trav´es de un elemento. En la pr´actica podemos determinar ´esta ca´ıda de voltaje, o como se llama comunmente, ca´ıda de potencial o diferencia de potencial, por medio de un instrumento llamado volt´ımetro . Experimentalmente se cumplen las siguientes leyes: 1. La ca´ıda de voltaje a trav´es de una resistencia es proporcional a la corriente que pasa a trav´es de la resistencia. Si E R es la ca´ıda de voltaje a trav´es de una resistencia e I es la
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Cantidad
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S´ımbolo
Voltaje, fem o potencial
Unidad
E ´o V Voltio
Resistencia
R
Ohmio
Inductancia
L
Henrio
Capacitancia
C
Faradio
Corriente
I
Amperio
Carga
Q
Coulombio
Cuadro 5.3: Elementos de un circuito el´ ectrico corriente, entonces E R
∝ I
o
E R = RI
(5.24)
donde R es la constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o simplemente resistencia. 2. La ca´ıda de voltaje a trav´es de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instant´anea de cambio de la corriente. Si E L es la ca´ıda de voltaje a trav´es de un inductor, entonces
∝ dI dt
dI (5.25) dt donde L es la constante de proporcionalidad llamada coeficiente de inductancia o simE L
o
E L = L
plemente inductancia. 3. La ca´ıda de voltaje a trav´es de un condensador es proporcional a la carga el´ ectrica instant´ anea en el condensador. Si E C es la ca´ıda de voltaje a trav´es de un condensador y Q la carga instant´anea, entonces Q (5.26) C donde 1/C es la constante de proporcionalidad, C se conoce como coeficiente de capaciE C
∝ Q
o
E C =
tancia o simplemente capacitancia.
Unidades En electricidad, como en mec´anica, existe m´as de un sistema de unidades. La tabla 5.3 muestra las cantidades el´ectricas importantes con sus s´ımbolos y unidades. Como en mec´anica, el tiempo est´a en segundos. La unidad de corriente, amperio o ampere, corresponde a 6.2420 1018 portadores de carga
×
que pasan por un punto dado en un segundo. La unidad de carga es el Coulomb, cantidad de carga que fluye por una secci´on transversal de alambre en un segundo cuando fluye una corriente de un ampere, as´ı que un ampere es igual a un coulomb por segundo. La resistencia se mide en Ohms y se denota con la letra griega may´uscula omega Ω.
162
Matem´ atica IV
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La ley de Kirchhoff “La suma algebraica de todas las ca´ıdas de voltaje alrededor de un circuito el´ectrico cerrado es cero”. Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de las ca´ıdas de voltaje. En la figura 5.16 se observan los elementos de un circuito el´ectrico simple Generador o Batería (Fuerza electromotriz) Resistor Inductor
Condensador
Llave o Interruptor
Figura 5.16: Elementos de un circuito el´ ectrico
Formulaci´ on matem´ atica Consideremos los siguientes circuitos el´ ectricos simples: Circuito RL. Compuesto de un resistor R y un inductor I Circuito RC . Compuesto de un resistor R y un capacitor C . Supongamos que cada uno de estos circuitos se encuentren conectados en serie con una fuente de fuerza electromotriz fem E , como muestra la figura 5.17. Luego, aplicando la ley de Kirchhoff para el circuito RL de la figura 5.17(a) se tiene: E R + E L
− E = 0
(5.27)
reemplazando (5.24), (5.25) en (5.27) se tiene: dI R E + I = dt L L
(5.28)
que es una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal en I . Ahora, aplicando la ley de Kirchhoff para el circuito RC de la figura 5.17(b) se tiene: E R + E C
− E = 0
(5.29)
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
163 i
i R
R
E
E
L
C
(a) Circuito RL
(b) Circuito RC
Figura 5.17: Circuitos electricos simples reemplazando (5.24), (5.26) y (5.22) en (5.29) se tiene: dQ 1 E + Q = dt RC R
(5.30)
que es una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal en Q.
Hallando la soluci´ on para el circuito RL Para hallar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial 5.28 dI R E + I = dt L L analizaremos los siguientes casos: a. Cuando la fuerza electromotriz E (t) = E es constante. entonces I (t) = e
I (t) = e
−Rt/L
−
(R/L) dt
(E/L)
Rt/L
e
e
(R/L) dt
dt + k
(E/L) dt + k I (t) = e
⇒
I (t) =
de donde
−Rt/L
Rt/L
(E/R) e
dt + k luego
E −Rt/L + ke R
ahora cuando t = 0 entonces I (0) = I 0 , luego
I 0 =
E +k R
(5.31) de donde
k =
RI 0 E R
−
y remplazando en la ecuaci´on 5.31 se tiene: E I (t) = + R
RI 0 E −Rt/L e R
b. Cuando la fuerza electromotriz E (t) = Eeαt
−
(5.32)
164
Matem´ atica IV
entonces I (t) = e
I (t) = e
−
(R/L) dt
−Rt/L
(E/L)
e
(R/L) dt
e
( R +α)t L
dt + k
I (t) =
(Ee αt /L) dt + k
de donde
obteni´endose:
E R + αL
eαt + ke−(R/L)t
ahora cuando t = 0 entonces I (0) = I 0 , luego
I 0 =
RI 0 + αLI 0 Ee αt R + αL y remplazando en la ecuaci´on 5.33 se tiene: de donde
Walter Arriaga Delgado
(5.33)
E R + αL
eαt + k
−
k =
I (t) =
E R + αL
eαt +
RI 0 + αLI 0 Ee αt R + αL
−
e−Rt/L
(5.34)
c. Cuando la fuerza electromotriz E (t) es peri´odica (corriente alterna). por ejemplo E (t) = E sen wt entonces
I (t) = e
− −
I (t) = e
−Rt/L
E L
−
(R/L) dt
Rt/L
e
e
(R/L) dt
sen wtdt +k
E sen wt dt + k L
de donde
y desarrollando la integral A por partes
A
se tiene: I (t) = e
Le
A =
−Rt/L
Rt/L
E Le L
(R sen wt wL cos wt) R2 + w 2 L 2
Rt/L
luego reemplazando tenemos:
(R sen wt wL cos wt) +k R2 + w2 L2
de donde se obtiene:
E (R sen wt wL cos wt) −Rt/L + ke R2 + w2 L2
−
I (t) =
ahora cuando t = 0 entonces I (0) = I 0 , luego
I 0 =
−wEL
R2
+ w 2 L2
(5.35) +k
R2 I 0 + w2 L2 I 0 + wEL R2 + w2 L2 y remplazando en la ecuaci´on 5.35 se tiene: de donde
k =
E (R sen wt wL cos wt) I (t) = + R2 + w2 L2
−
por ejemplo E (t) = E cos wt entonces
I (t) = e
−
(R/L) dt
e
(R/L) dt
R2 I 0 + w2 L2 I 0 + wEL R2 + w2 L2
E cos wt dt + k L
−Rt/L
e
de donde
(5.36)
Walter Arriaga Delgado
I (t) = e
−Rt/L
Matem´ atica IV
E L
Rt/L
e
cos wtdt +k
165
y desarrollando la integral B por partes
B
se tiene: I (t) = e
B =
−Rt/L
Le
Rt/L
E Le L
(R cos wt + wL sen wt) R2 + w2 L2
Rt/L
luego reemplazando tenemos:
(R cos wt + wL sen wt) +k R2 + w2 L2
I (t) =
de donde se obtiene:
−Rt/L E (R cos wt + wL sen wt) + ke R 2 + w 2 L2
ahora cuando t = 0 entonces I (0) = I 0 , luego
I 0 =
(5.37)
ER +k R 2 + w 2 L2
R2 I 0 + w2 L2 I 0 ER de donde k = R2 + w2 L2 y remplazando en la ecuaci´on 5.37 se tiene:
−
E (R cos wt + wL sen wt) I (t) = + R 2 + w 2 L2
R2 I 0 + w2 L2 I 0 ER R2 + w2 L2
−
Observaci´ on 5.2.1. Cuando el tiempo t es muy grande entonces la ecuaci´ on 5.32 quedar´ıa expresada como: I (t) =
−Rt/L
e
Rt/L
l´ım e
t→∞
(5.38)
=0,
luego
E R
E Debido a este hecho el t´ermino recibe el nombre de corriente estacionaria, mientra que R RI 0 E −Rt/L el t´ermino e es conocido como corriente transitoria. R
−
Hallando la soluci´ on para el circuito RC Para hallar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial 5.30 dQ 1 E + Q = dt RC R analizaremos los siguientes casos: a. Cuando la la fuerza electromotriz E (t) = E es constante. entonces Q(t) = e
Q(t) = e −t/(RC )
−
dt
RC
(E/R)
dt
e
t/(RC )
e
RC
(E/R) dt + k
dt + k
de donde
luego
Q(t) = EC + ke
−t/(RC )
(5.39)
166
Matem´ atica IV
ahora cuando t = 0 entonces Q(0) = Q 0 , luego
Walter Arriaga Delgado
Q0 = EC + k
de donde
k = Q 0
− EC
y remplazando en la ecuaci´on 5.39 se tiene: Q(t) = EC + (Q0 b. Cuando la fuerza electromotriz E (t) = Eeαt entonces
Q(t) = e
Q(t) = e
−t/(RC )
Q(t) = e
−t/(RC )
−
dt
RC
e
dt
1 +α)t ( RC
(E/R)
E eαt dt + k R
RC
e
dt + k
(5.40)
de donde
obteni´endose:
EC eαt + ke−t/(RC ) 1 + αRC
ahora cuando t = 0 entonces Q(0) = Q 0 , luego
Q0 =
Q0 + αRCQ0 EC eαt 1 + αRC y remplazando en la ecuaci´on 5.41 se tiene: de donde
t/(RC )
entonces
( 1 +α)t E RC e RC +k R 1 + αRC
Q(t) =
− EC )e−
(5.41)
EC eαt + k 1 + αRC
−
k =
Q(t) =
EC eαt + 1 + αRC
Q0 + αRCQ0 EC eαt 1 + αRC
−
e−t/(RC )
(5.42)
c. Cuando la fuerza electromotriz E (t) es peri´odica (corriente alterna). por ejemplo E (t) = E sen wt entonces
Q(t) = e
Q(t) = e
−t/(RC )
−
1
RC
e
1 RC
− − E R
t/(RC )
e
E sen wt dt + k R
sen wtdt +k
de donde
y desarrollando la integral A por partes
A
se tiene:
A =
RCe
t/(RC )
(sen wt wRC cos wt) 1 + w2 RC 2
t/(RC )
Q(t) = e
−t/(RC )
E RCe R
Q(t) =
luego reemplazando tenemos:
(sen wt wRC cos wt) +k 1 + w2 RC 2
de donde se obtiene:
EC (sen wt wRC cos wt) −t/(RC ) + ke 1 + w2 RC 2
−
ahora cuando t = 0 entonces Q(0) = Q 0 , luego
Q0 =
−wERC 2
1 + w2 RC 2
(5.43) +k
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Matem´ atica IV
167
Q0 + w2 RC 2 Q0 + wERC 2 1 + w2 RC 2 y remplazando en la ecuaci´on 5.43 se tiene: de donde
k =
EC (sen wt wRC cos wt) Q(t) = + 1 + w2 RC 2
−
Q0 + w2 RC 2 Q0 + wERC 2 1 + w2 RC 2
por ejemplo E (t) = E cos wt entonces
Q(t) = e
Q(t) = e
−t/(RC )
−
1
RC
e
1 RC
E cos wt dt + k R
E R
t/(RC )
e
cos wtdt +k
e
−t/(RC )
(5.44)
de donde
y desarrollando la integral B por partes
B
t/(RC )
se tiene: Q(t) = e
B = −t/(RC )
RCe
E RCe R
(cos wt + wRC sen wt) 1 + w2 RC 2
t/(RC )
Q(t) =
luego reemplazando tenemos:
(cos wt + wRC sen wt) +k 1 + w2 RC 2
de donde se obtiene:
EC (cos wt + wRC sen wt) −t/(RC ) + ke 1 + w2 RC 2
ahora cuando t = 0 entonces Q(0) = Q 0 , luego
Q0 =
(5.45)
EC +k 1 + w2 RC 2
Q0 + w2 RC 2 Q0 EC 1 + w2 RC 2 y remplazando en la ecuaci´on 5.45 se tiene: de donde
k =
−
EC (cos wt + wRC sen wt) Q(t) = + 1 + w2 RC 2
Q0 + w2 RC 2 Q0 EC −t/(RC ) e 1 + w2 RC 2
−
(5.46)
Problema 5.2.4. 1 ohms y una capacitancia de 5 10−6 faradios, se conecta 5+t en serie con una fem de 100 voltios. ¿Cual es la carga del condensador despu´ es de un minuto Una resistencia variable R =
×
si Q(0) = 0?.
Soluci´ on: 1 R = ohms 5+t C = 5 10−6 faradios
×
E = 100 voltios Dada la ecuaci´on diferencial dQ Q E + = dt RC R
168
Matem´ atica IV
se tiene
Walter Arriaga Delgado
dQ (5 + t)106 + = 100(5 + t) dt 5
resolviendo observamos que −
Q = e
× 2
5
10 (5 + t)dt
× 2
5
10 (5 + t)dt
e
de donde
2
Q(t) = e
−2×105 (5t+ t2
)
100(5 + t)dt + k
2
2×105 (5t+ t2 ) 100 e +k 2 105
×
luego se tiene
2
−2×105 (5t+ t2 ) 1 + ke Q(t) = 2 103 1 1 como Q(0) = 0, entonces 0 = + k k = luego 2 103 2 103
×
⇒
×
1 Q(t) = 2 103
− ×
2
−2×105 (5t+ t2 ) 1 e 2 103
× − ×
ahora para 1 minuto = 60 segundos, se tiene: ∴
5.3. 5.3.1.
Q(60) = 5
× 10−4 coulombs
Aplicaciones a la Qu´ımica Problemas de desintegraci´ on de un elemento radiactivo
La ley que gobierna la desintegraci´on radiactiva establece que el n´u mero de ´atomos de una sustancia radiactiva que se desintegra por unidad de tiempo, la tasa de desintegraci´on, depende exclusivamente del n´umero de ´atomos existentes en ese momento, y que adem´a s la cantidad de ´atomos decrece con el tiempo. Por tanto, si x(t) es la masa de la sustancia, que es directamente proporcional al n´ umero de ´atomos y T (x) es la tasa de desintegraci´on, entonces la variaci´ on de la masa debe satisfacer la ecuaci´on diferencial: x′ (t) =
−T (x(t))
Es razonable suponer que la tasa de desintegraci´on es una funci´on continua T : R adem´ as satisface que T (0) = 0 y que T (x) > 0, si x = 0.
−→ R que
Es claro que los diferentes modelos de desintegraci´on estar´ an determinados por la correspondiente tasa de desintegraci´o n. El m´as usual es el denominado lineal, en el que la tasa de desintegraci´ on es proporcional al n´u mero de ´atomos existentes, es decir T (x) = kx, donde
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Matem´ atica IV
169
k > 0. La constante k recibe el nombre de constante de desintegraci´on radiactiva y es un par´ametro propio de cada sustancia. As´ı pues en el modelo de desintegraci´on lineal, la ecuaci´ on diferencial que determina la variaci´on de la masa de una sustancia radiactiva est´a dada por: x′ (t) =
−kx(t);
k > 0
Un par´ ametro importante asociado a cada elemento radiactivo lineal es su semivida o vida media o tiempo de semidesintegraci´on, τ , que es el tiempo necesario para que la masa de la sustancia se reduzca a la mitad. La relaci´on entre la semivida y la constante de desintegraci´on k est´a dada por la identidad kτ = ln 2, permite calcular uno de los dos par´ ametros conocido el otro. Normalmente, la semivida de una sustancia se determina en un laboratorio mediante medidas experimentales. OJO con las unidades. En resumen, la velocidad con la que se desintegra la radiaci´on de un elemento es proporcional a la cantidad que haya de dicho elemento, y se expresa de la siguiente manera:
x′ (t) =
−kx(t)
(5.47)
x(0) = x 0
que se trata de una ecuaci´on diferencial de variables separable con condiciones iniciales. dx(t) dx(t) luego = kx(t) = kdt integrando se tiene dt x(t) ln(x(t)) ln c = kt x(t) = ce−kt . Adem´as usando las condiciones iniciales x(0) = x 0 se
−
− −
⇒
−
⇒
tiene que c = x 0 . Por lo tanto: x(t) = x 0 e−kt
(5.48)
Problema 5.3.1. Es sabido que una sustancia radiactiva presente en ciertos f´osiles, tal como el C 14, se desintegra en cada momento, a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La “vida media” del C 14 (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de una cantidad inicial) es de 5750 a˜nos. Averiguar la edad del f´osil sabiendo que contiene el 77.7 % de su C 14 inicial.
Soluci´ on: Llamamos x(t), a la cantidad de C 14 en el momento t, con t expresado en a˜nos. Sea x(0) = x0 , la cantidad inicial del elemento radiactivo. Sabemos que en el momento actual t1 , la cantidad de C 14 es x(t1 ) = Planteamos nuestro problema de valores iniciales:
x′ (t) =
−kx(t)
x(t1 ) = 0,777x0
Resolviendo la ecuaci´on diferencial planteada, se tiene x(t) = ce−kt
77,7 x0 = 0,777x0 . 100
170
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Ahora debemos calcular c y k , para ello utilizamos el dato de la semivida, T = 5750 1 x0 x(5750) = x(0) x(5750) = , ahora bien, al sustituir en la soluci´ on de la ecuaci´on 2 2 x0 diferencial, obtenemos una ecuaci´on: = ce−5750k . Sacamos la otra ecuaci´on, sustituyendo 2 en x(t), el valor t = 0, obteni´endose las ecuaciones
⇒
x0 = ce−5750k 2 x0 = ce−k,0
1 1 1 y dividiendo ambas ecuaciones se tiene = e −5750k de donde k = ln . 2 5750 2 ln 2 Utilizando las propiedades del logaritmo, podemos expresar k = ≈ 1,20 10−4 . 5750
−
×
Observaci´ on 5.3.1. En el planteamiento de la ecuaci´on diferencial, hemos puesto
−k. Bueno,
se puede plantear con signo positivo, es igual, pero afecta al signo del k que obtenemos al final. Dicho n´ umero al sustituirse en la ecuaci´on debe quedar como un exponente negativo. Para el c´alculo de c, basta utilizar con saber que en el momento inicial, t = 0, la cantidad del elemento radiactivo es x 0 . Sustituyendo en la funci´on: c = x 0 .
ln 2 t As´ı tenemos que la soluci´on al problema de valores iniciales es: x(t) = x 0 e 5750
−
Pero lo que nos pide el problema no es esto. Para averiguar la edad del f´osil, debemos calcular el valor de t1 , cuando x(t1 ) = 0,777x0 . Sustituimos de nuevo en la funci´on y despejamos el valor de t 1 .
ln 2 t 1 0,777x0 = x 0 e 5750
−
ln 2 ln(0,777) ⇒ ln(0,777) = − 5750 t 1 ⇒ t 1 = −5750 a˜nos ln 2 ∴
5.3.2.
t1
≈
2093,08 a˜ nos
Problemas de disoluci´ on o mezclas
En una disoluci´on cuyo contenido se renueva y donde se supone que en cada instante la distribuci´on del soluto en la mezcla es uniforme, la concentraci´on de la mezcla est´a controlada por los flujos de entrada y salida. Si en cada instante t, x(t) denota la cantidad de soluto presente en la disoluci´ on, su variaci´on, x ′ (t), est´a determinada por la diferencia entre la cantidad de soluto que entra en el recipiente, xe (t), y la que sale del mismo, x s (t), es decir: x′ (t) = x e (t)
− xs(t)
(5.49)
En cada instante t son conocidos el volumen de la disoluci´on, V (t), la concentraci´on del soluto en la disoluci´on entrante, C e (t), la cantidad de disoluci´on que entra en el recipiente, f e(t), y tambi´en la cantidad de disoluci´on que sale del recipiente, f s (t).
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
171
La cantidad de soluto entrante en el recipiente es el producto de su concentraci´on en la disoluci´on entrante con la cantidad de disoluci´on de entrada, es decir xe (t) = C e (t)f e (t). An´ alogamente, la cantidad de soluto que sale del recipiente se obtiene multiplicando la concentraci´ on de soluto en la disoluci´on por la cantidad de disoluci´on que sale del recipiente. Como la concentraci´on de soluto es la cantidad del mismo por unidad de volumen, es decir x(t) , resulta que la cantidad de soluto que sale de la disoluci´on est´a dada por la expresi´on V (t) x(t) V s (t) = f s (t). En definitiva, la cantidad de soluto en la disoluci´on est´a determinada por V (t) la ecuaci´ on diferencial f s (t) x′ (t) = C e (t)f e(t) x(t) V (t)
−
Obs´ervese que los datos f e , f s y V no son independientes entre s´ı ya que la variaci´o n de volumen es justamente la diferencia entre las cantidades de entrada y salida de la disoluci´on, es decir V ′ (t) = f e (t)
− f s(t).
Problema 5.3.2. Un dep´osito contiene inicialmente 20 Kg de sal disuelta en 500 l de agua. Supongamos que se comienza a introducir en el dep´osito 12 l/min de salmuera (disoluci´on que contiene 0.25 Kg de sal por litro), y que, simult´aneamente, se sacan del dep´osito 8 l/min en la mezcla resultante. ¿Qu´e cantidad de sal habr´a en el dep´osito al cabo de una hora?
Soluci´ on: Llamemos S (t) a la cantidad de sal en el momento t. La variaci´on de la concentraci´on de sal viene dada por la siguiente ley: S ′ (t) = V e C e
− V eC s
teniendo en cuenta que: V e
≡ volumen que entra en el dep´osito; C e ≡ concentraci´on entrante; V s ≡ volumen que sale del dep´osito; S (t) C s ≡ concentraci´on saliente , siendo V total = V 0 + (V e − V s )t V total
El por qu´ e de esta ley, viene explicado con riguroso detalle en los apuntes de teor´ıa. Lo necesario para llegar a esta f´ormula es al cabo de un tiempo, la concentraci´on de soluto en una disoluci´on tiende a estabilizarse con el paso del tiempo. Observar que V e C e
≡ tasa de soluto que entra por unidad de tiempo. 1 8S (t) S (t) ⇒ S ′ (t) = 1 2 − 8 S ′ (t) = 3 − entonces simplificando se tiene 4 500 + (12 − 8)t 500 + 4t 2S (t) S ′ (t) = 3 − . Ahora resolveremos ´esta ecuaci´on diferencial lineal, para ello hacemos 125 + t S ′ (t) +
2 S (t) = 3 luego multiplicando a la ecuaci´on diferencial por el factor integrante 125 + t
172
Matem´ atica IV
2 dt 125 + t
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2 S (t) = 3(125 + t)2 , 125 + t observamos que el primer miembro se corresponde a la derivada de un producto (como siempre e
= (125+ t)2 obteni´endose (125 + t)2 S ′ (t)+(125+ t)2
que se resuelve este tipo de ecuaci´on diferencial mediante factores integrantes). d((125 + t)2 S (t)) = 3(125 + t)2 d((125 + t)2 S (t)) = 3(125 + t)2 dt e integrando se tiene dt (125 + t)2 S (t) = (125 + t)3 + k, luego despejando S (t) se obtiene
⇒
S (t) = (125 + t) +
k (125 + t)2
k de donde k = 1640625 El 1252 problema pide la cantidad de sal que se halla en la disoluci´on al cabo de una hora, t = 60 1640625 minutos entonces S (60) = (125 + 60) (125 + 60)2 La condici´on inicial es que: S (0) = 20 entonces 20 = 125 +
−
−
∴
5.3.3.
S (60) = 137,06 Kg de sal
Problemas de contaminaci´ on de una galer´ıa
Se trata de un problema an´alogo al problema de disoluciones, lo que ocurre es que aqu´ı se plantea un problema con gases en lugar de trabajar con disoluciones acuosas. La ley que usamos es similar a la del problema anterior. Una vez m´as, recordar que hay que tener mucho cuidado con las unidades... se aconseja, expresar todos los datos en las mismas unidades y a partir de ah´ı, plantear y resolver el problema.
Problema 5.3.3. En un t´ unel subterr´aneo de dimensiones 20 5 4 m3 , existe una concentraci´on de gas carb´oni-
××
co (CO2 ) del 0.16 %, mientras que en el aire exterior la concentraci´ o n de gas es del 0.04 %. Se insufla aire del exterior en el t´unel con unos ventiladores a raz´o n de 50 m3 /min. Hallar la concentraci´o n de gas carb´o nico en el t´ unel media hora despu´es de iniciado el proceso de renovaci´ on de aire.
Soluci´ on: Llamamos y (t) a la cantidad de (CO 2 ) que hay en el t´unel. y(t) y(t) m3 CO2 La concentraci´on de gas carb´onico ser´a: = V tu´nel 20,5,4 m3 aire m 3 aire 0,04 m3 CO2 m 3 CO2 = 0,02 min 100 m3 aire min m 3 aire y(t) m3 CO2 y(t) m3 CO2 La cantidad de (CO 2 ) que sale por unidad de tiempo ser´a: 50 = min 400 m3 aire 8 min Tomamos t, unidad de tiempo, expresado en minutos. Luego la tasa de variaci´on de la cantidad La cantidad de (CO 2 ) que entra por unidad de tiempo ser´a: 50
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Matem´ atica IV
173
de gas carb´onico ser´a la diferencia de lo que entra menos lo que sale, por unidad de tiempo. Es decir: y′ (t) = (0,02
− 0,125 y(t))
trat´ andose de una ecuaci´on diferencial de variable separable. Al resolverla, se tiene que: dy ln(0,02 0,125y) = dt, luego, = t + c 0,02 0,125y = e −(t+c)/8 de donde 0,02 0,125y 0,125
−
−
−
⇒
y(t) = 8
0,02 − ce−t/8
−
Para calcular c, utilizamos la condici´on que nos dan al explicarnos la situaci´on inicial, t = 0, que dice que la concentraci´on de gas carb´onico es del 0.16 %. y(0) = V tu´ nel 0,126 = 64m3
⇔ 64 = 8(0,02 − c) de donde −c = 63,84.
Por tanto, y(t) = 8 0,02 + 63,84e−t/8 ; sin embargo, el problema pide la cantidad de gas carb´onico al cabo de una hora, como el tiempo lo hemos expresado en minutos, debemos
calcular el valor de la funci´on para t = 60, obteniendo as´ı: y(60) = 8 0,02 + 63,84e−60/8
entonces y(60) = 0,44m3 de (CO2 ) que para expresarlo en %, basta con dividir por el volumen 0,44 del t´ unel, y(60) = = 1,1 10−3 % 400 ∴ y(60) = 0,0011%
×
5.4.
Aplicaciones a la Biolog´ıa
Uno de los campos m´as facinantes del conocimiento al cual los m´ etodos matem´ aticos han sido aplicados es el de la Biolog´ıa.
5.4.1.
Problemas del crecimiento de un cultivo bacteriano
Un cultivo de bacterias sigue una ley de crecimiento, tal que en cada momento la velocidad relativa de crecimiento es constante. Por lo general, se dice que la tasa de crecimiento de un cultivo es proporcional a la cantidad de bacterias que hay en cada instante. Si llamamos y (t) a la cantidad de bacterias existentes en el momento t, se tiene que:
y ′ (t) = ky (t)
(5.50)
y(0) = y 0
que se trata de una ecuaci´on diferencial de variables separable con condiciones iniciales. dy(t) dy(t) luego = ky (t) = kdt integrando se tiene dt y(t) ln(y(t)) ln c = kt y(t) = cekt . Adem´as usando las condiciones iniciales y(0) = y0 se
−
⇒ ⇒
tiene que c = y 0 . Por lo tanto: y(t) = y 0 ekt
(5.51)
174
Matem´ atica IV
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Problema 5.4.1. En un cierto cultivo de bacterias se sabe que la velocidad de crecimiento de la poblaci´on es, en cada momento, directamente proporcional al n´ umero de bacterias existentes en dicho momento. Se sabe tambi´ en que el tama˜ n o de la poblaci´o n al cabo de 4 horas, es el triple del tama˜ n o de la poblaci´on inicial. Hallar el n´umero de bacterias que habr´a en el cultivo transcurridas 10 horas.
Soluci´ on: Llamamos y (t) al n´ umero de bacterias en el momento t. La velocidad de crecimiento viene dado por y ′ (t), luego se tiene la ecuaci´on diferencial y ′ (t) = ky(t) cuya soluci´on est´a dada por y(t) = cekt Ahora debemos calcular las constantes c y k, para ello usamos las condiciones iniciales (que debe ser un dato del problema): “...el tama˜no de la poblaci´on al cabo de 4 horas es el triple que la poblaci´on inicial...” Esto lo expresaremos as´ı:
y ′ (t) = ky (t)
donde y 0 representa la poblaci´on inicial.
y(0) = y 0
La condici´on que nos dan es que y(4) = 3y(0), sustituyendo se tiene que ce4k = 3ce0k 1 e4k = 3 de donde k = ln(3) ≈ 0,27465 4 Por otro lado no es dif´ıcil ver que c = y 0 , basta con sustituir el valor t = 0, en y(t) = ce kt , e
⇒
igualarlo a y 0 . Por lo que la funci´on que vamos buscando es ( 10 ln3)t 4
poblaci´on ser´a de: y(10) = y 0 e
∴
5.4.2.
=
√ 10 4
1
y(t) = y0 e( 4 ln3)t
y al cabo de 10 horas, la
3 y0 .
y(10) ≈ 15,5884y0
Problemas de conservaci´ on de alimentos
Problema 5.4.2. En la conservaci´on de alimentos, el az´ucar de ca˜ na sufre un proceso de inversi´on y se transforma en glucosa y fructuosa. En soluciones dilu´ıdas, el ritmo de inversi´ o n es proporcional a la concentraci´ on y(t) del az´ ucar inalterada. Si la concentraci´o n es 1/50 cuando t = 0 y 1/200 tras 3 horas, hallar la concentraci´on del az´ ucar inalterada despu´ es de 6 horas.
Soluci´ on: Por ser el ritmo de inversi´on proporcional a y(t), se ha de cumplir la ecuaci´on diferencial dy = ky dt separando variables e integrando vemos que
1 dy = y
y = cekt
kdt de donde
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de las condiciones dadas se desprende que: 1 1 y(0) = c = 50 50 1 1 1 ln 4 y(3) = = e3k k = 200 200 50 3 por tanto, la concentraci´on del az´ ucar inalterada viene dada por 1 −(ln4)t/3 1 −t/3 1 y(t) = e = 4 ahora cuando t = 6 se tiene y(6) = 4−2 50 50 50 1 ∴ y(6) = 800
⇒ ⇒
⇒
175
−
5.5.
Aplicaciones a la Econom´ıa
5.5.1.
Problemas de oferta y demanda
Supongamos que tenemos un bien tal como trigo o petr´oleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada (por ejemplo bushel de trigo o barril de petr´oleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una funci´on de t. El n´ umero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no s´olo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino tambi´en de la direcci´ on en la cual los consumidores creen que tomar´an los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p ′ (t). D = f ( p(t), p′ (t))
(5.52)
Llamamos f la funci´on de demanda. Similarmente, el n´umero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por ϑ(t), o brevemente ϑ. Como en el caso de la demanda, ϑ tambi´en depende de p(t) y p′ (t). ϑ = g( p(t), p′ (t))
(5.53)
Llamamos g la funci´on de oferta.
5.6. 5.6.1.
Aplicaciones a la Medicina Problemas de epidemias
Este tipo de problema es similar al del estudio de cultivos bacteriol´ogicos. La velocidad de propagaci´ on de una epidemia es proporcional al n´umero de personas infectadas por el n´ umero de personas no infectadas.
Problema 5.6.1.
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Una epidemia se desarrolla en una poblaci´o n de una forma tal que, en cada momento del tiempo, la velocidad de desarrollo de la infecci´on es directamente proporcional al n´umero de personas enfermas por el n´umero de personas sanas. Si la poblaci´on tiene 10000 habitantes, y se sabe que el n´umero de personas infectadas inicialmente era de 50 junto con que al cabo de 3 d´ıas hab´ıa 250 enfermos. Averiguar el n´ umero de enfermos que habr´a al cabo de doce d´ıas.
Soluci´ on: Llamamos P (t) al n´ umero de personas enfermas en el momento t, que lo expresaremos en d´ıas (a la vista de los datos). La ley que nos dice en el enunciado, se expresa as´ı: P ′ (t) = k[P (t)(10000
− P (t))]
(5.54)
Se trata de una ecuaci´on diferencial de variable separable que se puede expresar como: dP = kdt, y que para integrarlo necesitar´ıamos descomponer el primer t´ ermino en P (104 P ) 1 A B 1 1 fracciones simples. As´ı = + de donde A = y B = P (104 P ) P 104 P 104 104 1 P (t) e integrando la ecuaci´on diferencial se tiene que: ln = kt + c 104 104 P (t) P (t) 4 4 Despejando P (t) en: 4 = ce10 kt de donde P (t) = c(104 P (t))e10 kt obteni´endose 10 P (t)
−
−
−
−
−
−
4
104 + ce10 kt P (t) = 4 1 + ce10 kt
(5.55)
Para calcular las constantes debemos plantear un peque˜ no sistema, con los datos que nos dan, P (0) = 50
∧ P (3) = 250, luego calcularemos lo que nos pide el problema que es P (12). 4 10 c 1 P (0) = 50 ⇔ 50 = ⇔ c = ≈ 1,005 × 10−4 1+c 9950 4 10 (3) 10 ce P (3) = 250 ⇔ 250 = de donde k ≈ 1,85 × 10−4 10 (3) 1 + ce k
k
4
∴
104 e12×10 k P (12) = 4 9950 + e12×10 k
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EJERCICIOS PROPUESTOS
✍
177
4.
I. Aplicaciones a la Geometr´ıa
Problemas geom´ etricos 1. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto. 2. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la ordenada del punto de contacto. 3. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional al rec´ıproco de la abscisa del punto de contacto. 4. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional al rec´ıproco de la ordenada del punto de contacto. 5. Determinar las funciones tales que la pendiente de cada punto de su gr´afica es igual a la suma de las coordenadas de dicho punto. 6. Determinar todas las funciones x tales que para cada t la recta tangente en t corta al eje de abscisas en el punto (t
− 1).
7. Determinar las funciones tales que en todo punto de su gr´afica la pendiente de su tangente es doble que la de la recta que une dicho punto con el origen de coordenadas. 8. Determinar las funciones tales que en todo punto de su gr´ afica el segmento formado con el punto de corte de la tangente con el eje de ordenadas es cortado por el eje de abscisas en su punto medio. 9. Determinar las funciones tales que en todo punto de su gr´afica la tangente y la recta que pasa por dicho punto y el origen de coordenadas forman con el eje de abscisas un tri´ angulo is´ osceles. 10. Determinar las funciones tales que en todo punto de su gr´afica el tri´angulo formado por la tangente, el eje de abscisas y la perpendicular al eje de abscisas desde el punto de tangencia tiene ´area constantemente igual a A > 0. 11. Determinar las funciones tales que fijado t0 , para cualquier t el ´area del recinto limitado por la gr´afica y el eje de abscisas entre t 0 y t es proporcional a la diferencia entre las ordenadas de dichos puntos con constante de proporcionalidad igual a k > 0. 12. Determinar las funciones tales que fijado t 0 , para cualquier t el cociente entre el ´area del recinto limitado por la gr´afica y el eje de abscisas entre t0 y t y la longitud de la gr´afica entre t0 y t es constantemente igual a k > 0.
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13. Determinar las funciones cuya gr´ afica pasa por el origen de coordenadas y tales que para cualquier t el volumen del s´olido generado por revoluci´on, respecto del eje de abscisas, de la gr´afica comprendida entre los puntos t0 y t1 coincide con el volumen del s´olido generado p or revoluci´ on, respecto del eje de ordenadas, del recinto limitado por el propio eje de ordenadas y la gr´afica comprendida entre los puntos t 0 y t 1 . 14. Hallar una curva que pase por el punto (0, 6), de tal forma que la pendiente de la
−
tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto m´as 7 unidades. 15. Hallar una curva que pase por el punto (0, 2), de modo que la pendiente de la
−
tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en 3 unidades. 16. Hallar una curva que pase por el punto (0, 2) de modo que el coeficiente angular
−
de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces. 17. Hallar una curva para la cual el a´rea Q, limitada por la curva, el eje OX y las ordenadas y x = 0, x = x, sea una funci´ on dada de y: Q = a 2 ln a 18. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante, es una circunferencia. 19. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une ese punto con el origen de coordenadas. 20. Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes de coordenadas se divide por la mitad en el punto de contacto. 21. Hallar una curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. 22. Hallar la curva para la cual la raz´ on del segmento interceptado por la tangente en el eje OY al radio vector es una cantidad constante. 23. Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelos a una direcci´on dada. 24. Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de coordenadas por la norma a cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. 25. Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un tri´ angulo de ´area constante S = 2a2 .
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26. Hallar la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a. 27. Por un punto P (x, y) de una curva que pasa por el origen se trazan dos rectas paralelas a los ejes coordenados, las que determinan un rect´angulo con dichos ejes. Hallar la curva, de modo que ´esta divida al rect´angulo formado en dos regiones, donde el ´area de la parte derecha sea el triple del ´area de la parte izquierda. 28. Hallar la ecuaci´ on de la familia de curvas en el plano XY que satisface la siguiente propiedad: “La longitud de la subtangente es igual a la suma de coordenadas del punto de tangencia”. 29. Encontrar la ecuaci´ on de la familia de curvas cuyos puntos gozan la siguiente propiedad: “La longitud de la normal trazada por un punto cualquiera de una de sus curvas es proporcional al cuadrado de la ordenada de dicho punto”. 30. Hallar la ecuaci´ on de la curva que pasa por el punto (3,5) que tiene la siguiente propiedad: “La normal en cualquiera de sus puntos y la recta que une el punto considerado con el origen de coordenadas forman un tri´angulo is´ osceles con base en el eje de las abscisas”. 31. Sea una curva C en que la tangente y la normal de la curva C en un punto P (x, y) cortan al eje X en A y A 1 y al eje Y en B y B 1 respectivamente. Adem´as considere el punto E = (x, 0) y θ el ´angulo que forma AP con el eje X . Considere a los segmentos como distancias dirigidas. Determine la ecuaci´o n de la curva si el ´area del tri´angulo P EA 1 es igual a una constante k. 32. Hallar la ecuaci´ on de la curva que pase por el punto (0, 10) y que goza de la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de ella se traza la tangente geom´etrica y por el pie de la ordenada del punto de tangencia una perpendicular a la tangente geom´ etrica, hasta encontrar dicha tangente, tal perpendicular mide siempre 10 unidades de longitud”. 33. Hallar la curva cuya propiedad consiste en que el producto del cuadrado de la distancia entre cualquiera de sus puntos y el origen de coordenadas por el segmento separado en el eje de las abscisas por la normal el punto mencionado es igual al cubo de la abscisa de ese punto. 34. Hallar la ecuaci´ on de la curva y = f (x) tal que, pasando por el punto (1,1), tiene la propiedad de que el volumen engendrado por el trapezoide limitado por la curva entre 0 y x el girar alrededor del eje x, es igual al del cilindro engendrado por el rect´angulo de base 0x y la altura f (x)/2. 35. Encontrar la ecuaci´ on de la curva que pasa por el punto (2,4) y es tal que: “La abscisa del centro de gravedad de la figura plana limitada por los ejes coordenados, la curva
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y por la ordenada de cualquiera de sus puntos, sea igual a 3/4 de la abscisa de este punto”. 36. Hallar la ecuaci´ on de la familia de curvas, tal que cada curva C de esta familia tenga la siguiente propiedad en el primer cuadrante: “Tiene un extremo en (0,0) y si P (x, y) pertenece a C , el interior del rect´angulo R limitado por los ejes coordenados y las rectas trazadas por P (x, y) paralelas a dichos ejes, es dividido en dos por C . Cuando la parte adyacente al eje X se hace girar alrededor de este eje, y la parte adyacente al eje Y se hace girar alrededor de este eje, entonces se generan dos s´olidos de igual volumen”. 37. El tri´ angulo formado por la tangente a una curva en un punto cualquiera P de ella, el eje Y y OP (donde O = origen de coordenadas) es is´osceles y tiene una base en el eje Y . Hallar la ecuaci´on de la curva que pasa por (1, 1). 38. Encontrar la ecuaci´ o n de la curva tal que si se traza una normal en un punto M cualquiera de ella encuentra el eje X en el punto P , y la l´ınea que une los puntos medios de M P describe una par´abola de ecuaci´on y 2 = ax. 39. Un hombre nada con velocidad constante V , a trav´es de un r´ıo de ancho “Q”, dirigi´endose siempre a la otra orilla. Si la velocidad de las aguas del r´ıo var´ıa directamente con el producto de las distancias del nadador, a ambas orillas (k es de constante de proporcionalidad). Determinar la ecuaci´ on de la trayectoria seguida por el nadador y la distancia, aguas abajo, desde el punto de partida al punto de llegada. 40. Hallar la curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. 41. Encontrar la ecuaci´ on de la curva que pasa por el punto (-2,4)y es tal que: “Si por un punto P (x, y) de la curva en el 2 º cuadrante se trazan las rectas tangente y normal a ella, el ´area de tri´ angulo que forman los ejes coordenados y el segmento que une el punto de intersecci´o n de la recta tangente y el eje de las Y con el punto de la xyy ′2 intersecci´ on de la recta normal y el eje de las X es igual a ”. 2 42. Hallar la curva para la cual la raz´ on del segmento interceptado por la tangente en el eje OY al radio-vector es una cantidad constante. 43. Determinar la ecuaci´ on de la curva que pasa por el punto (3,4) cuya familia se caracteriza por la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de una de sus curvas se traza una tangente, la longitud de la subtangente correspondiente siempre es igual a la distancia entre el punto de tangencia y el origen de coordenadas”. 44. Demostrar que la curva tal que la pendiente de la recta tangente en cada punto es proporcional a la abscisa del punto de tangencia, es una par´abola.
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45. Hallar una curva tal que la pendiente de la recta tangente en cada punto sea n veces mayor que la pendiente de la recta que une el punto con el origen de coordenadas. 46. Los puntos de los segmentos de la tangente a una curva comprendida entre los puntos de contacto y el eje X describen la par´abola y 2 = 2x. Hallar la ecuaci´on de la curva sabiendo que pasa por el punto (1, 2).
1 si para cualquier segmento 2 [1, x] se cumple que el ´area del trapecio curvil´ıneo determinado por el arco correspon-
47. Hallar la ecuaci´ on de la curva que pasa por el punto 1,
diente es igual a la raz´on entre la abscisa x del punto extremo y la ordenada. 48. Sea A un punto fijo situado sobre el eje X . Encuentre una curva tal que el ´angulo ABP sea recto, donde P es el punto de tangencia y B es el punto de intersecci´on de la recta tangente y el eje Y . 49. Determinar la forma de un espejo curvo tal que la luz de un fuente en el origen se refleja en un haz de rayos paralelos al eje X . 50. Encuentre la familia de curvas cuya subtangente polar es de longitud constante. 51. Hallar la ecuaci´ on de la curva para la cual la subnormal polar, es el doble del seno del ´angulo vectorial. 52. Hallar la ecuaci´ on de la curva para la cual, la proporci´on de la recta tangente entre el punto de contacto y el pie de la perpendicular trazada por el polo a la tangente, es un tercio del radio vector del punto de contacto. 53. Determinar la ecuaci´ on de las curvas que satisfacen la siguiente propiedad: El ´area del sector formado por un arco de una curva y los radios vectores de sus puntos extremos, es igual a la mitad de la longitud del arco. 54. Cuatro insectos se posan en las esquinas de una mesa cuadrada de lado a. Al mismo tiempo, comienzan a caminar con la misma velocidad de tal modo que cada uno de ellos se desplaza constantemente hacia el insecto situado a su derecha. Si se traza en la mesa un sistema de coordenadas polares, con el origen en el centro y el eje polar a lo largo de una diagonal, encuentre la trayectoria del insecto que parte del eje polar y la distancia total que recorre antes de que todos los insectos se re´unan en el centro. 55. Un destructor trata de cazar un submarino en medio de la densa niebla. La niebla se levanta un instante, y revela que el submarino se encuentra en la superficie a 3 millas de distancia, y vuelve a cerrarse. La velocidad del destructor es el doble del submarino y se sabe que ´este ´ultimo se sumergir´a inmediatamente y avanzar´a a toda velocidad en l´ınea recta, en direcci´on desconocida. ¿Qu´e trayectoria deber´a seguir el destructor para estar seguro de pasar sobre el submarino?. Sug trace un sistema de coordenadas polares con el origen en el punto en que vio al submarino.
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Trayectorias 1. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dadas: y 2 = 2kx
ey
y 3 = kx 2
cos y = ae −x
xy 3 = k
y =
− y = k(x + y)3 x2 + y 2 − 1 = ky
− e−x = k √ 2x + k
k 1 + x2 2 3x + y2 = kx
− x2 − sen2x +k 4 y 2 − x2 = kx 3 y 2 = 2(k − sen x)
2x2
y = x tan
x
y =
y =
+ 3y2
y + k 2 r = k(sen θ cos θ)
= k 2
x3 = 2k x n x + y n = a n x c y = 1 + , c y2
−
−
c=0
r = k cos2 θ k r = 1 cos θ
−
2. Hallar las trayectorias ortogonales que pasan por el punto especificado, de cada una de las siguientes familias de curvas: y 2 + = k 2 ; 2 y 2 2 x = k 2 ; 3 x2 + ky 2 = 1; x2
−
x2
y 2 = kx;
(0, e) π y = k tan2x + 1; ,0 8 (x 1)2 + y 2 + kx = 0; (2, 2)
(1, 1) (2, 1)
− xy + y2 = k;
x2 = ky + y 2 ;
y 2 = 2x + 1 + ke2x ;
(1, 2)
(2, 1)
−
(3, 1)
−
y = ke 2x + 3x; y 2 = kx3 ;
−
(1, 2)
−
(1, 4)
−
(0, 3)
(5, 2)
ex + e−y = k;
( 2, 3)
y 2 = x 2 + ky;
− x2 − y2 = ky 3 ;
y 2 = k(1 + x2 );
( ln 2, ln4)
− (−2, 5)
3. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que pasan por los puntos ( a, 0) y (a, 0).
−
4. Hallar las trayectorias ortogonales de todas las circunferencias que pasan por el origen y cuyos centros est´an sobre la recta y = x. 5. Hallar las trayectorias ortogonales de todas las circunferencias cuyos centros est´ an en el eje X y pasan por el origen. 6. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisfacen la siguiente propiedad: La parte de cada tangente, comprendida entre el eje Y y el punto de tangencia, queda dividido en dos partes iguales por el eje de las X .
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7. Hallar Hallar las trayecto trayectorias rias ortogonales de la familia familia de curvas curvas que satisfacen satisfacen la siguiente siguiente propiedad: La parte de cada tangente, comprendida entre el eje X X y el punto de tangencia, queda dividido en dos partes iguales por el eje de las Y . Y . 8. Hallar Hallar las trayecto trayectorias rias ortogonales de la familia familia de curvas curvas que satisfacen satisfacen la siguiente siguiente propiedad: La normal en el punto P ( P (x, y ) de una curva corta al eje de las x en M y al eje de las y en N en N y P es P es el punto medio de M N . N . 9. Hallar Hallar las trayecto trayectorias rias ortogonales de la familia familia de curvas curvas que satisfacen satisfacen la siguiente siguiente propiedad: La normal en el punto P ( P (x, y ) de una curva corta al eje de las x en M y al eje de las y en N en N y N es N es el punto medio de P M . M . 10. Hallar Hallar las trayector trayectorias ias ortogonales de la familia familia de curvas curvas cuya tangente tangente forma con los ejes coordenados un tri´angulo angulo de ´area area constante W constante W = 2a2 . 11. Hallar Hallar las trayecto trayectorias rias ortogonales de la familia familia de curvas curvas que satisfacen satisfacen la siguiente siguiente propiedad: La parte de cada normal comprendida entre el punto P ( P (x, y) de una curva y el eje de las x tiene una longitud constante k . 12. Hallar Hallar la trayectoria trayectoria ortogonales ortogonales de la familia de curvas curvas cuya ecuaci´ ecuacion o´n diferencial es: (x3 y3 + 3x 3x4 y 2 + 3x 3x3 y 2 Sugerencia: Hacer u = x + x + y y,,
− 2)dx 2)dx + + (2 − x3 y 3 − 3x2 y4 − 3x2 y 3 )dy = dy = 0 v = xy en la ecuaci´on on diferencial de las trayectorias
ortogonales. 13. Cuatro moscas moscas estan paradas en las esquinas de una mesa cuadrada, cuadrada, dirigidas hacia adentro del tablero. Empiezan a caminar simultaneamente a la misma velocidad, dirigiendo cada una de ellas su movimiento hacia la mosca que se encuentra hacia la derecha. Hallar las trayectorias ortogonales a las trayectorias de cada una de ellas. Sug: Trazar un sistema de coordenadas polares con el origen en el centro de la mesa, siendo el lado de la mesa de longitud L. II. Aplicaci Apl icaciones ones a la F´ısica
Problemas de cambio de temperatura 1. Si la temperatu temperatura ra del aire es de 20ºC y el cuerpo se enfria en 20 minutos desde 100 ºC hasta 60ºC, ¿Dentro de cu´anto anto tiempo su temperatura descender´a hasta 30ºC? 2. Supongamos que una habitaci´ habitaci´ on se mantiene a una temperatura constante de 70º y on que un objeto se enfr´ıa ıa de 350º a 150º en 45 minutos. ¿qu´e tiempo se necesitar´a para enfriar dicho objeto hasta una temperatura de 80 º. 3. Un objeto que tiene tiene una temperat temperatura ura de 80 ºC se coloc´o dentro de un recipiente de agua de hielo agitada a 0ºC y, al cabo de 10 minutos, las dos temperaturas fueron
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respectivamente 60ºC y 20ºC. Entonces se llevo dicho objeto a otro recipiente de agua helada. En ambos casos, los unicos u ´ nicos cambios de calor fueron entre el objeto y el agua. Encontrar la temperatura del objeto al cabo de otro intervalo de 10 minutos. 4. Un cuerpo a una temperatura de 0ºF se coloca en un cuarto cuya temperatura se mantiene a 100ºF. Si despu´es es de 10 minutos minutos la temperatura temperatura del cuerpo es de 25ºF. Hallar: a. El tiempo requeri requerido do por el cuerpo para llegar llegar a la temperatura temperatura de 50ºF. b. La temperatura temp eratura del cuerpo despu´ es es de 20 minutos.
Problemas de Din´ amica amica 1. Se deja deja caer un objeto de masa M masa M desde desde un helicoptero. Hallar su velocidad en funci´on del tiempo t tiempo t,, suponiendo que la resistencia debida al aire es proporcional a la velocidad del objeto. 2. Una gota de aceite aceite cuya masa es de 0.2 gr. cae en el aire partiendo del reposo. Cuando Cuando su velocidad es 40 cm/seg, la fuerza debida a la resistencia del aire es 160 dinas. Suponiendo que dicha fuerzaes proporcional a la velocidad instant´anea. anea. Calcular: La velocidad y la altura de ca´ ca´ıda en cualquier instante. La velocidad y la distancia recorrida despu´es es de 0.5 segundos. La velocida velo cidad d l´ımite. ımit e. 3. Si s Si s representa la posici´on on de un ob jeto que se mueve en l´ınea ınea recta, la velocidad y la ds dv ds dv dv aceleraci´ on on est´an an dadas por v , a = = = v . dt dt dt ds ds Sup´ongase ongase que un bote de 640 libras de peso tiene un motor que ejerce una fuerza de 60 libras. Si la resistencia (en libras) al movimiento del bote es tres veces la velocidad (en pies por segundo) y si el bote se empieza a mover desde el reposo, hallar su velocidad m´ axima. axima.
dv w dv = v . ds 32 ds 4. La fuerza de resistenci resistenciaa que el agua ejerce sobre un bote es proporcional a su velocidad velocidad Utilizar la ecuaci´on: o n:
Fuerz uerzaa = F = ma = ma = mv mv
instant´ anea, y es tal que a 6 m/seg la resistencia del agua es 18 kg. Si el bote pesa 160 anea, kg, su unico u ´ nico tripulante pesa 85 kg, y el motor es capaz de ejercer una fuerza constante de 24 kg en la direcci´on on y sentido del movimiento. Calcular: La velocidad y la distancia recorrida en cualquier instante. La velocidad m´axima. axima. La distancia recorrida al cabo de 30 seg, si el bote parte del reposo. 5. Una barca con carga pesa 98.1 kg, si la fuerza que ejerce el motor sobre la barca en la direcci´on on del movimiento es equivalente a una fuerza constante de 15 kg y que
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la resistencia (en kilogramos) al movimiento es numericamente igual al doble de la velocidad (en metro por segundo) y si la barca parte del reposo. Determinar: La velocidad en cualquier instante. La velocidad velocida d despu´es es de 10 seg. La velocid velo cidad ad l´ımite. ımi te. 6. Un veh´ veh´ıculo de 50 kilos de peso es empujado en l´ınea ınea recta con una fuerza de 50 kilos. Suponiendo que la fricci´on on es despreciable pero que existe resistencia del aire, cuya magnitud magnitud es igual al doble de la velocidad del veh´ veh´ıculo en metros por segundo. segundo. Si el deslizador parte del reposo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida al final del primer segundo. 7. Un cuerpo que cae en un l´ıquido, ıquido, partiendo partiendo del reposo, alcanza alcanza una velocidad cuyo l´ımite es de 3 m/seg. m/seg. Suponiendo que la resistencia resistencia del medio es proporcional proporcional a la velocidad velocidad y que la densidad densidad del cuerpo es de tres veces la del l´ l´ıquido. ıquido. Determinar Determinar la velocidad y la distacia al final del primer segundo. 8. Un cuerpo cuerpo de masa masa M M ,, cae dentro de un l´ıquido ıquido por p or efectos de su peso y experimenta una resistencia proporcional al cubo de la velocidad. Hallar la ecuaci´on on del movimiento. Mostrar que la velocidad tiene un valor constante. 9. Demostrar Demostrar que las soluciones soluciones de equilibrio no negativas negativas de la ecuaci´ ecuaci´on on (5.18) corresponden a velocidades de ca´ ca´ıda constantes y por tanto a movimientos movimientos uniformes. 10. Supongam Supongamos os que en la ecuaci ecuaci´´on on (5.18), el amortiguamiento R es estrictamente crecient cientee en [0; +
∞ y satisface satisface que l´ım R(v) = +∞. Demostrar que existe un ´unico unico v→+∞
movimiento uniforme posible, cuyo valor se denotar´a por v por v ∗ . Determinar la expresi´on on de v de v ∗ , tanto para el caso viscoso como para el newtoniano. 11. Determinar Determinar el tiempo que tarda en llegar llegar al suelo un objeto en ca´ ca´ıda libre, situado a una altura h altura h 0 > 0 y que tiene una velocidad inicial igual a v0
≥ 0.
12. Un paracaid paracaidist istaa de masa M se on y abre el paraca´ paraca´ıdas a una altura M se lanza de un avi´on h0 del suelo cuando ha adquirido adquirido en ca´ ca´ıda libre una velocidad velocidad v0 . Si al lanzarse, el paracaidista ten´ ten´ıa velocidad nula, ¿a qu´ e altura estaba el avi´ on on en el momento del lanzamiento? Determinar la expresi´on on de la velocidad adquirida por el paracaidista si se supone que el amortiguamie amortiguamiento nto es viscoso, viscoso, y tambi´ tambi´ en en si se supone que el amortiguamie amortiguamiento nto es newtoniano. En este caso la constante de amortiguamiento depende de la forma y tama˜ no no del paraca´ par aca´ıdas. ıda s.
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Demostrar que en ambos casos l´ım v (t) = v ∗ , donde v donde v ∗ es la velocidad velocidad de equilibrio, equilibrio, t→+∞
y determin d eterminar ar tambi´en en la expresi´ expresi ´on on del espacio recorrido por el paracaidista. 13. Un paracaidista paracaidista que pesa 100 kg junto con su parac´ parac´ıdas se lanza de un avi´ on, o n, en el instante en que se abre el paraca´ paraca´ıdas est´a descendiendo verticalmente a 12.25 m/seg. Si la resistencia del aire var´ var´ıa proporcionalmente a la velocidad instant´anea a nea y es de 40 kg cuando la velocidad es de 6.12 m/seg. Calcular: La velocidad en cualquier instante. La posici´on on en cualquier instante. La velocidad y posici´on on al cabo de 4.5 seg. La velocidad velo cidad l´ımite que alcanzar a lcanzar´´a. a. 14. Supongam Supongamos os que en la ecuaci ecuaci´´on on (5.18) que determina determina la velocidad velocidad de ca´ ca´ıda de un cuerpo, el amortiguamiento satisface que R que R
∈ C 1(R).
Demostrar que cada problema de valores iniciales tiene una ´unica unica soluci´on on maximal. Si adem´as R as R ′ (v) > 0 > 0 para v para v
≥ 0 y R no R no es acotada, demostrar que existe un ´unico unico movimien mov imiento to uniforme uniforme posible, cuya velocidad velocidad es v ∗ > 0. Demostrar que si 0 ≤ v0 la soluci´on on maximal del problema de valores iniciales mv ′ (t) = mg − R(v(t)), v (0) = v0 es estrictamente creciente si 0 ≤ v0 < v ∗ y estrictamente decreciente si v0 > v ∗ . Concluir que la soluci´on on maximal del anterior problema de valores
iniciales est´a definida definida en [0; +
∞ y que adem´asas t→l´ım+∞ v(t) = v ∗.
15. Un m´ovil o vil de 490 kg de peso desciende con una velocidad inicial de 36 km/h desliz´andose andose por un plano inclinado que forma un ´angulo angulo de 20º con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el m´ovil ovil y el plano es de 0.3, la resistencia del viento es 0.5 veces la velocidad del m´ovil ovil en metros por segundo. Establecer la ecuaci´on on diferencial que permite el c´alculo alculo de la velocidad en cualquier instante. Establecer la ecuaci´on on que permite el c´alculo alculo de la velocidad en cualquier instante. Determinar la velocidad al transcurrir 20 segundos. Determinar Determi nar la velocidad velocid ad l´ımite.
Problemas de circuitos el´ ectricos ectricos 1. Una fuerza electromotriz electromotriz de 20 voltios se aplica en t = 0 segundos a un circuito formado por un inductor de 2 henrios conectados en serie con un resistor de 40 ohmios. Si la intensidad de la corriente es nula para t para t = 0. Calcular: El valor de la intensidad de corriente.
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El valor l´ l´ımite de la intensidad de corriente. 2. Un condensador condensador de de 5
× 10−3 faradios est´a en serie con un resistor de 25 ohmios y una
fem de 50 voltios. Se cierra el interruptor cuando t cuando t = = 0. Suponiendo que para t = t = 0 la carga del condensador y la intensidad de corriente son nulas, determinar: La carga y la intensidad en cualquier instante. La carga m´axima axima que puede alcanzar el condensador. 3. Un circuit circuitoo est´ est´a constitu constitu´´ıdo por un resistor resistor de 10 ohmios y un condensador condensador de 0.01 faradio conectado en serie. La carga del condensador es 0.05 coulombs. H´allese la carga y la intensidad de corriente en un tiempo t despu´es es de haber cerrado el interruptor. III. Aplicaci Apl icaciones ones a la Qu´ Qu´ımica 1. El ritmo ritmo de desin desinteg tegrac raci´ i´ on del radio es proporcional a la cantidad presente en un on instante dado. Hallar el porcentaje de una muestra actual que quedar´a al cabo cabo de 25 a˜ nos, si la semivida del radio es de 1600 a˜nos. nos, nos. 2. En una reacci´ reacci´ on on qu´ qu´ımica, ımica, un cierto cierto compuesto compuesto se transforma transforma en otra sustancia sustancia a un ritmo proporcional proporcional a la cantidad cantidad no transformada. transformada. Si hab´ hab´ıa inicialmen inicialmente te 20 g de la sustancia original y 16 g tras 1 hora, ¿en qu´ e momento se habr´a transformado el 75 por ciento de dicho compuesto?. 3. El fondo fondo de un dep´ osito de 300 litros de capacidad, est´a cubierto de sal. Suponiendo osito que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentraci´ on en el instante dado y la concentraci´on de la disoluci´on on on saturada (1 kg de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada disuelve 1/ 1 /3 de kg de sal por minuto, hallar la cantidad de sal que contendr´a la disoluci´on on al cabo de una hora. 4. Cierta cantidad cantidad de una sustancia sustancia indisoluble indisoluble contiene contiene en sus p oros 10 kg de sal. Actuando con 90 litros de agua se observ´o que durante una hora se disolvi´o la mitad de sal contenida. ¿Cu´anta anta sal se disolver´a durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua?. La velocidad de de disoluci´on on es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y tambi´ tambi´en en es prop orcional a la diferencia entre la concentraci´ on on en el instante dado y la concentraci´on on de la disoluci´on on saturada (1 kg para 3 litros) 5. Cierta Cierta cantida cantidad d de una substa substanci nciaa indisol indisolubl ublee que contie contiene ne en sus poros 2 kg de sal se somete a la acci´on on de 30 litros de agua. Despu´ Despu´es es de 5 minutos minutos se disuelve disuelve 1 kg de sal. ¿Dentro de cu´anto anto tiempo se disolver´a el 99 % de la cantida cantidad d inicia iniciall de sal? 6. Un dep´osito osito contiene 50 litros de una soluci´on o n compuesta por 90% de agua y 10% de alcohol. Se vierte en el dep´osito osito por la parte superior a raz´on on de 4 litros/min una
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segunda soluci´o n que contiene 50 % de agua y 50 % de alcohol. Al mismo tiempo, se vac´ıa el dep´osito por la parte inferior a raz´on de 5 litros/min. Suponiendo que la soluci´ on del dep´osito se agita constantemente, ¿cu´anto alcohol queda en el dep´osito despu´es de 10 minutos?. 7. En un tanque que contiene 1000 l de agua, comienza a introducirse una soluci´on de salmuera a una velocidad constante de 6 l/min. Dentro del tanque la soluci´o n se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del mismo a una velocidad de 6 l/min. Si la concentraci´o n de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1 kg/ l, determinar cuando la concentraci´on de sal en el tanque ser´a de 0.5kg/l. Determinar la concentraci´on de sal en el tanque si ahora suponemos que la salmuera sale de ´el a una velocidad constante de 5 l/min. 8. Una alberca cuyo volumen es de 45m3 contiene agua con cloro en una proporci´on de 0.01 %. Se bombea dentro de la alberca, agua que contiene el 0.001 % de cloro a raz´ on de 22 l/min y el agua de la alberca fluye hacia el exterior a la misma velocidad. ¿Cu´al es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de una hora? ¿Cu´ando tendr´ a el agua de la alberca un 0.002 % de cloro? 9. La corriente sangu´ınea lleva un medicamento hacia el interior de un ´organo a raz´ on de 3cm3 /seg y sale de ´el a la misma velocidad. El ´organo en cuesti´on tiene un volumen de l´ıquido de 125cm 3 . Si la concentraci´on del medicamento en la sangre que entra en el ´organo es de 0.2g/cm3 , ¿cu´al es la concentraci´on del medicamento en el ´organo en el instante t si inicialmente no hab´ıa vestigio alguno del medicamento? ¿Cu´ando la concentraci´ on del medicamento en el ´organo ser´ a del 0.1g/cm3 ? 10. La proliferaci´ on de granjas dedicadas a la explotaci´on porcina gener´ o una contaminaci´ on por purinas en la cuenca del r´ıo Ter, cuya concentraci´ on, medida en las aguas del pantano de Sau, alcanz´o niveles alarmantes. Esta situaci´on gener´ o una actividad legislativa que produjo normativas reguladoras del tama˜ no de las explotaciones y estableci´ o la obligatoriedad del tratamiento de las purinas. Como consecuencia de la aplicaci´ on de las disposiciones establecidas, las aguas que entran en el pantano de jaron de estar contaminadas a partir de cierto momento, que denotaremos por t0 . Supondremos para simplificar que tanto el volumen de agua en el pantano como su flujo de entrada son constantes y mediremos el volumen en metros c´ubicos y la concentraci´ on de purinas en gramos por metro c´ ubico. Encontrar la ecuaci´on diferencial que satisface la concentraci´on de purinas a partir del instante t 0 . Determinar el tiempo que ha de transcurrir para que el nivel de contaminaci´on se reduzca un 5 %. ¿Cu´ anto tiempo ha de pasar para que se reduzca a la mitad? ¿Quedar´a limpio el pantano en un tiempo finito?
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IV. Aplicaciones a la Biolog´ıa 1. La tasa de crecimiento de una poblaci´on de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional al tama˜ no de la poblaci´on en dicho momento. Si hay 180 moscas despu´es del segundo d´ıa del experimento y 300 moscas despu´es del cuarto d´ıa, ¿cu´antas moscas hab´ıa originalmente?. 2. En sus predicciones sobre crecimientos de poblaci´on, los expertos en demograf´ıa tienen en cuenta no s´olo los ritmos de nacimiento y defunciones, sino tambi´en la diferencia entre emigraci´on e inmigraci´on. Sea P la poblaci´on en el instante t y N el crecimiento neto por unidad de tiempo debido a la diferencia entre emigraci´on e inmigraci´on. El ritmo de crecimiento de la poblaci´on viene dado por dP = kP + N dt con N constante, resuelva esta ecuaci´on diferencial para hallar P en funci´on del tiempo, sabiendo que en el instante t = 0 el tama˜ no de la poblaci´on era P 0 . V. Aplicaciones a la Econom´ıa 1. La cuant´ıa A de una inversi´on P se incrementa a un ritmo proporcional al valor de A en el instante t. Obtener la ecuaci´on de A como funci´on de t. Si la inversi´on inicial es de 1000,00 $ y el inter´ es del 11 por ciento, calcular el capital al cabo de 10 a˜nos. Si el inter´es es del 11 por ciento, calcular el tiempo necesario para doblar la inversi´on. 2. Si y = C (x) representa el costo de producci´o n de x unidades de un producto manufacturado, la elasticidad del costo se define como E (x) =
costo marginal C ′ (x) x dy = = costo medio C (x)/x y dx
Hallar la funci´on de costo si la funci´on de elasticidad es E = donde C (100) = 500 y 100
≤ x.
20x y 2y 10x
−
−
3. Una gran compa˜ n´ıa comienza en el instante t = 0 a invertir parte de sus ingresos, a raz´ on de P d´olares por a˜ no, en la creaci´on de un fondo de previsi´on. Supongamos que el fondo recibe un inter´es del r por ciento compuesto de forma continua. Por tanto, el ritmo de crecimientodel capital del fondo viene dado por dA = rA + P dt
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donde A = 0 y t = 0. Resuelva la ecuaci´on diferencial para hallar A en funci´on de t. Hallar A si P = 100000$, r = 12%, y t = 5 a˜ nos. Hallar t si la compa˜n´ıa necesita 800000$ y puede invertir 75000$ cada a˜ no a una tasa de inter´ es del 13 % compuestode forma continua. VI. Aplicaciones a la Medicina 1. Se inyecta glucosa, por v´ıa intravenosa, a raz´ on de q unidades por minuto. El cuerpo elimina del flujo sangu´ıneo la glucosa a un ritmo proporcional a la cantidad presente. Sea Q(t) la cantidad de glucosa presente en la sangre en el instante t. Determine la ecuaci´on diferencial que describe el ritmo de cambio de la glucosa de sangre, en funci´on del tiempo. Resuelva dicha la ecuaci´on diferencial, haciendo Q = Q 0 cuando t = 0. Halle el l´ımite de Q(t) cuando t
→ ∞.
VII. Ejercicios diversos 1. Una soluci´on de salmuera fluye a raz´on de 8 L/min hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene 100 L de soluci´on de salmuera en la cual estaban disueltos 5 kg de sal. La soluci´on en el interior del tanque se mantiene bien agitada y fluye al exterior con la misma rapidez. Si la concentraci´on de sal en la salmuera que entra al tanque es de 0.5 kg/L, determine la cantidad de sal presente en el tanque al cabo de t minutos. ¿Cu´ando alcanzar´ a la concentraci´on de sal en el tanque el valor de 0.2 kg/L?. 2. Una soluci´on de sal fluye a raz´on constante de 5 L/min hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene 50 L de soluci´on de salmuera en la cual se disolvieron 5 kg de sal. La soluci´on contenida en el tanque se mantiene bien agitada y fluye al exterior con la misma rapidez. Si la concentraci´on de sal en la salmuera que entra al tanque es de 0.5 kg/L, determine la cantidad de sal presente en el tanque al cabo de ¿ minutos. ¿Cu´ando alcanzar´ a la concentraci´on de sal en el tanque el valor de 0.3 kg/L?. 3. Una soluci´ o n de ´acido n´ıtrico fluye a raz´on constante de 6 L/min hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene 200 L de una soluci´o n de ´acido n´ıtrico al 0.5 % La soluci´ on contenida en el tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del mismo a raz´on de 8 L/min. Si la soluci´on que entra en el tanque es de 20 % de a´cido n´ıtrico, determine la cantidad de ´acido n´ıtrico presente en el tanque al
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cabo de t minutos. ¿En qu´ e momento el porcentaje de ´acido n´ıtrico contenido en el tanque ser´a del 10 %? 4. Una soluci´on de salmuera fluye a raz´on constante de 4 L/min hacia el interior de un gran tanque que inicialmente contiene 100 L de agua. La soluci´on contenida en el tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia al exterior a raz´o n de 3 L/min. Si la concentraci´ on de sal en la salmuera que entra al tanque es de 0.2 kg/L, determine la cantidad de sal contenida en el tanque al cabo de t minutos. ¿En qu´e momento la concentraci´ on de sal contenida en el tanque ser´a de 0.1 kg/L?. 5. Una alberca, cuyo volumen es de 10.000 galones(gal), contiene agua con el 0.01 % de cloro. Empezando en t = 0, desde la ciudad se bombea agua que contiene 0.001 % de cloro, hacia el interior de la alberca a raz´on de 5 gal/min, y el agua de la alberca fluye al exterior a la misma velocidad. ¿Cu´al es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de 1 hr? ¿Cu´ando tendr´ a el agua de la alberca 0.002 % de cloro?. 6. El aire del interior de un peque˜n o cuarto con dimensiones de 12 por 8 por 8 pies contiene 3 % de mon´oxido de carbono. Empezando en t = 0, se sopla aire fresco que no contiene mon´oxido de carbono, hacia el interior del cuarto a raz´on de 100 pies3 /min. Si el aire del cuarto sale al exterior a trav´es de una abertura a la misma velocidad. ¿cu´ando tendr´ a el aire del interior del cuarto 0.01 % de mon´ oxido de carbono?. 7. La corriente sangu´ınea lleva un medicamento hacia el interior de un ´organo a raz´ on de 3cm3 /seg, y sale de ´el, a la misma velocidad. El ´organo tiene un volumen l´ıquido de 125 cm3 . Si la concentraci´on del medicamento en la sangre que entra en el ´organo es de 0.2 g/cm3 ¿cu´al es la concentraci´on del medicamento en el ´organo en el instante t, si inicialmente no hab´ıa vestigio alguno del medicamento? ¿Cu´ando la concentraci´ on del medicamento en el ´ogano ser´ a de 0.1 g/cm3 . 8. El agua del r´ıo Aguadulce fluye al lago Magdalena a raz´ on de 300 gal/min. El lago Magdalena contiene aproximadamente 100 millones de galones de agua. La fumigaci´on de los naranjales cercanos ha ocasionado que la concentraci´on de plaguicidas en el lago llegue a ser de 0.000035, ´o 35 partes por mill´on. Si se suspende la aplicaci´on de plaguicida, ¿cu´anto tiempo transcurrir´ a antes de que la concentraci´on de los mismos en el lago, est´ e por debajo de 10 partes por mill´ on? (Suponga que el r´ıo Aguadulce no contiene plaguicida y que el volumen del lago permanece constante). 9. En 1970, el Departamento de Recursos Naturales arroj´ o en un lago 1000 ejemplares de una especie de pez h´ıbrido. En 1977 se calcul´o que la poblaci´on de esta especie en el lago era de 3000. Usando una ley malthusiana 1 para el crecimiento de la po1
La ley de Malthus del crecimiento afirma que alimentos y poblaci´ on se encuentran en una relaci´ on inversa
por una diferente progresi´ on de crecimiento. La poblaci´ on crece en progresi´ on geom´ etrica, mientras que los
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blaci´ on, calcule la poblaci´on de estos peces en el lago en 1980. ¿Cu´al ser´ıa el c´alculo correspondiente a 1991 usando la ley malthusiana?. 10. En 1970 se estim´o que la poblaci´on de iguanas en el zool´ogico de Barranquilla era exactamente de 3000 ejemplares. Usando una ley malthusiana para el crecimiento de la poblaci´ on, calcule la poblaci´on de iguanas en el zool´ogico para el a˜ no 2000. 11. Una bola de nieve se derrite de tal manera que la raz´on de cambio de su volumen es proporcional al a´rea de su superficie. Si el di´ametro de la bola de nieve era inicialmente de 4 pulgadas y al cabo de 30 minutos su di´ametro es de 3 pulgadas, ¿cu´ando ser´ a su di´ametro de 2 pulgadas?. En t´ erminos matem´ aticos, ¿cu´ando desaparecer´ a la bola de nieve?. 12. Suponga que la bola de nieve del problema (VII11) se derrite de tal manera que la raz´ on de cambio de su di´ametro es proporcional al ´area de su superficie. Con los mismos datos proporcionados, ¿cu´ando ser´ a su di´ametro de una pulgada? En t´erminos matem´ aticos, ¿cu´ ando desaparecer´ a la bola de nieve?. 13. En la ma˜ nana de un s´abado caluroso, mientras las personas se encuentran trabajando, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior del edificio a 75ºF. A mediod´ıa se apaga el acondicionador y la gente regresa a casa. La temperatura exterior permanece constante a 95 ºF durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es 4 hr, ¿cu´al ser´a la temperatura interior del edificio a las 2:00 p.m.? ¿En qu´ e momento la temperatura interior del edificio ser´ a de 80ºF?. 14. En una ma˜ nana templada de s´abado, mientras las personas trabajan, el calefactor mantiene la temperatura interior de un edificio a 21 ºC. A mediod´ıa se apaga el calefactor y la gente regresa a casa. La temperatura exterior permanece constante a 12 ºC durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es de 3 hr, ¿en qu´ e momento la temperatura interior del edificio ser´ a de 16ºC?. Si algunas ventanas se dejan abiertas y la constante de tiempo se reduce a 2 hr, ¿en qu´e momento la temperatura interior ser´ a de 16ºC?. 15. Un taller mec´ anico sin calefacci´on ni aire acondicionado tiene una constante de tiempo de 2 hr. Si la temperatura exterior var´ıa en forma de onda senoidal con un m´ınimo de 50ºF a las 2:00 a.m. y un m´aximo de 80ºF a las 2:00 p.m., determine las horas a las que el edificio alcanzar´a sus temperaturas m´ınima y m´axima, suponiendo que el t´ ermino exponencial ha desaparecido. 16. Durante el verano, la temperatura interior de una camioneta llega a ser de 130ºF, mientras la temperatura exterior es de 95ºF constante. Cuando el conductor entra en alimentos lo hacen en progresi´ on aritm´etica.
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el veh´ıculo, enciende el equipo de aire acondicionado con el termostato fijado a 60ºF. 1 Si la constante de tiempo de la camioneta es de = 2 hr y el de la camioneta con k 1 1 su sistema de aire acondicionado es de = hr, ¿en qu´ e momento la temperatura k1 3 interior del veh´ıculo ser´a de 80ºF?. 17. Un lunes en la ma˜ nana la temperatura de una sala ha descendido a 40 ºF, al igual que la temperatura exterior. A las 7:00 a.m. el portero enciende el equipo de calefacci´on 1 con el termostato a 70ºF. La constante de tiempo del edificio es de = 2 hr y la k 1 1 del edificio, junto con sus sistemas de calefacci´on, es = hr. Suponiendo que la k1 2 temperatura exterior permanece constante, ¿cu´al ser´a la temperatura del interior de la sala a las 8:00 a.m? ¿En que momento la temperatura del interior de la sala ser´a de 65ºF?. 18. Un calefactor solar de agua consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque se encuentra bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 hr. El panel solar genera 2000 btu/hr durante el d´ıa y el tanque tiene una capacidad cal´ orica de 2ºF por btu2 . Si el agua del tanque se encuentra inicialmente a 110 ºF y la temperatura ambiente del exterior del tanque es de 80 ºF, ¿cu´al ser´a la temperatura en el interior del tanque al cabo de 12 horas de luz solar?. 19. Si en el problema (VII18) se emplea ahora un tanque m´as grande con una capacidad calor´ıfica de 1ºF por mil btu y una constante de tiempo de 72 hr (con todos los dem´as factores iguales), ¿cu´al ser´ıa la temperatura en el interior del tanque al cabo de 12 hr?. 20. Una taza de caf´e caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC se enfr´ıa y llega a 80 ºC en 5 minutos, mientras permanece servida en un cuarto con temperatura de 21 ºC. Usando solamente la ley de Newton del enfriamiento, determine en qu´ e momento alcanzar´ a el caf´ e una temperatura ideal de 50ºC. 21. La ley de Stefan de la radiaci´ on establece que la raz´on de cambio de la temperatura de un cuerpo que se encuentra a T grados Kelvin es un medio M grados Kelvin, es proporcional a M 4
− T 4. Esto es, dT = k(M 4 dt
− T 4)
donde k es una constante positiva. Resuelva esta ecuaci´on usando separaci´on de variables. Explique por qu´e las leyes de Newton y de Stefan son aproximadamente iguales, cuando T se acerca a M y M es constante. Sugerencia: Factorice M 4 2
btu indica unidades t´ermicas brit´ anicas.
− T 4.
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22. Dos amigos se sientan a conversar y a disfrutar una taza de caf´e. Cuando se sirve el caf´e, el amigo impaciente en seguida le agrega una cucharadita de crema. El amigo tranquilo espera 5 minutos antes de a˜ nadir la crema (la cual se ha mantenido a temperatura constante). Los dos empiezan ahora a beber su caf´e. ¿Qui´en tiene el caf´e m´as caliente?. Suponga que la crema est´ a m´as fr´ıa que el aire y use la ley de Newton del enfriamiento. 23. Demuestre que C 1 cos ωt + C 2 sen ωt se puede expresar como A cos(ωt A =
− α), donde
C 12 + C 22 y tan α = C 1 /C 2 . Sugerencia: Utilice una identidad trigonom´etrica
conocida como C 1 = A cos α, C 2 = A sen α. Use este hecho para verificar la representaci´ on alternativa de la funci´on F (t) =
cos ωt + (ω/k)sen ωt = [1 + (ω/k)2 ]−1/2 cos(ωt 2 1 + (ω/k)
− α)
24. La temperatura de una cerveza fr´ıa que inicialmente se encuentra a 35ºF, se eleva a 40ºF en 3 minutos al encontrarse en un cuarto con temperatura de 70 ºF. ¿Cu´al ser´a la temperatura de la cerveza si se deja por un espacio de 20 minutos?. 25. Un vino blanco a temperatura ambiente de 70ºF se refrigera en hielo (32ºF). Si transcurren 15 minutos para que el vino se enfrie a 60 ºF, ¿cu´anto tiempo transcurrir´ a para que el vino alcance la temperatura de 56 ºF?. 26. Un vino rojo se saca de la bodega, que es un lugar fr´ıo a 10ºC, y se deja reposar en un cuarto con temperatura de 23ºC. ¿En qu´e momento la temperatura del vino llegar´ aa ser de 10ºC, si transcurren 10 minutos para alcanzar los 15 ºC?. 27. Un objeto con masa de 5 kg se suelta a partir del reposo, a 1000 metros arriba del suelo, y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad k = 50 kg/seg, determine la ecuaci´on del movimiento del objeto. ¿En qu´e momento se producir´ a el impacto del objeto contra el suelo?. 28. Un objeto de 400 libras se suelta a partir del reposo a 500 pies arriba del suelo, y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza en libras debida a la resistencia del aire es
−10v, donde v es la velocidad del objeto en pies/seg,
determine la ecuaci´on del movimiento del objeto. ¿En qu´ e momento se producir´ a el impacto del objeto contra el suelo?. 29. Si el objeto del problema (VII27) tiene una masa de 500 kg en vez de 5 kg, ¿en qu´ e momento golpea el suelo?. Sugerencia: En este caso, el t´ ermino exponencial es demasiado grande para ser ignorado. Use el m´ etodo de Newton para aproximar el tiempo ¿ en el que el objeto golpea el suelo. 30. Si el objeto del problema (VII28) se suelta del reposo a 30 pies arriba del suelo en vez
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de 500 pies, ¿en qu´e momento se producira el impacto contra la superficie?. Sugerencia: Utilice el m´ etodo de Newton para despejar t. 31. A un objeto con masa de 5 kg se le aplica una velocidad inicial hacia abajo de 50 m/seg, y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons (N ) debida a la resistencia del aire es
−10v, donde v es la velocidad
del objeto en m/seg. Determine la ecuaci´on del movimiento del objeto. Si el objeto
se encuentra inicialmente a 500 metros arriba del suelo, determine en qu´ e momento golpear´a contra la superficie. 32. A un objeto con masa 8 kg se le aplica una velocidad inicial hacia arriba de 20 m/seg, y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons debida a la resistencia del aire es
−16v, donde v es la velocidad del objeto
en m/seg. Determine la ecuaci´on del movimiento del objeto. Si el objeto se encuentra inicialmente a 100 metros arriba del suelo, determine en qu´e momento golpear´a contra la superficie. 33. Un paracaidista cuyo peso (masa) es de 75 kg se deja caer desde un helic´optero que se encuentra a 2000 metros arriba de la superficie, y cae hacia el suelo bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista, con la constante de proporcionalidad k1 = 30 kg/seg cuando el paraca´ıdas esta cerrado, y k 2 = 90 kg/seg cuando est´a abierto. Si el paraca´ıdas no se abre sino hasta que la velocidad del paracaidista llega a ser de 20 m/seg, ¿al cabo de cu´antos segundos llegar´ a a la superficie?. 34. Un paracaidista cuyo peso (masa) es de 100 kg se deja caer desde un helic´optero suspendido a 3000 metros de la superficie, y cae bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la constante de proporcionalidad k3 = 20 kg/seg cuando el paraca´ıdas est´ a cerrado, y k 4 = 100 kg/seg cuando est´a abierto. Si el paraca´ıdas no se abre sino hasta 30 segundos despu´es de que el paracaidista abandona el helic´optero, ¿al cabo de cu´antos segundos llegar´ a a la superficie?. Si el paraca´ıdas no se abre sino hasta 1 minuto despu´ es de abandonar el helic´ optero ¿al cabo de cu´antos segundos llegar´a al paracaidista a la superficie?. 35. Un objeto con masa de 100 kg inicialmente en reposo, se deja caer al agua desde un barco, y se sumerge. Mientras que la gravedad atrae al objeto hacia abajo, una fuerza de boyanza igual a 1/40 del peso del objeto lo empuja hacia arriba (peso=mg). Si se supone que la resistencia del agua ejerce una fuerza sobre el objeto que es proporcional a la velocidad del propio objeto, con constante de proporcionalidad igual a 10 kg/seg, encuentre la ecuaci´on del movimiento del objeto. ¿Cu´antos segundos transcurrir´an para que la velocidad del objeto sea de 70 m/seg?.
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Matem´ atica IV
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36. Un objeto con masa de 2 kg se suelta partiendo del reposo, desde una plataforma a 30 metros sobre el agua y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Despu´ es de que el objeto golpea la superficie del agua, empieza a sumergirse con la gravedad atray´endolo hacia abajo y la fuerza de boyanza empuj´ andolo hacia arriba. Suponiendo que la fuerza de la gravedad es constante, que la fuerza de boyanza es 1/2 del peso (peso=mg), y que la fuerza debido a la resistencia del aire o a la resistencia del agua es proporcional a la velocidad, con constante de proporcionalidad k1 = 10 kg/seg en el aire y k 2 = 100 kg/seg en el agua, encuentra la ecuaci´on del movimiento del objeto. ¿Cu´al ser´a la velocidad del objeto, 1 minuto despu´es de haberse soltado?. 37. En el ejemplo de la caida libre de un objeto se encontr´ o la velocidad del objeto como funci´on del tiempo
v(t) =
mg t
− mg t
+ v0
e−kt/m . En ciertos casos es ´util tener
una expresi´ on, independiente de t, que relacione v y x. Encuentre esta relaci´on para el movimiento considerado en el ejemplo en consideraci´on. Sugerencia: Sea v(t) = V (x(t)), entonces
dv dt
= ( dV dx V ).
38. Cuando la velocidad v de un objeto es muy grande, la magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a v2 , y la fuerza act´ua en direcci´on opuesta al movimiento del objeto. Si un proyectil de masa 7 se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v 0 a partir de una altura inicial x 0 , y la magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es kv 2 , k > 0, demuestre entonces que v(t) y x(t) est´an dadas por aeat b v(t) = , c + deat
−
x(t) =
a b ln c + deat + ln d + ce−at + x0 ad ac
|
|
|
|
+ bd − acacd ln |c + d|
donde 39. Un proyectil con masa de 2 kg es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 200 m/seg, la magnitud de la fuerza ejercida sobre el proyectil por la resistencia del aire es
|v|/20. ¿En qu´e momento alcanzar´a el proyectil su m´axima altura sobre el suelo?¿Cu´al es la altura m´axima?.
40. Un objeto de masa m se suelta del reposo y cae bajo la influencia de la gravedad. Si la magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es kv n donde k y n son constantes positivas, encuentre la velocidad limitante del objeto (suponiendo que este l´ımite existe). Sugerencia: Demuestre que la existencia de una velocidad limitada (finita) implica que
dv dt
→ 0 cuando t → ∞.
41. Un volante giratorio se p one en movimiento por medio de un motor que ejerce un par (fuerza giratoria) constante T . Un par de atraso debido a la fricci´on es proporcional a la velocidad angular es ω . Si el momento de inercia del volante es I y su velocidad
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angular inicial es ω0 , encuentre la ecuaci´on de la velocidad angular ω en funci´on del tiempo. Sugerencia: Use la segunda ley de Newton del movimiento rotacional, es decir, momento de inercia por aceleraci´on angular=par. 42. Encuentre la ecuaci´ on de la velocidad angular ω del problema (VII41), suponiendo que el par de atraso es proporcional a
√ ω.
43. En el problema (VII42) est´ an I = 50 kg
− m2, y el par de atraso igual a 5√ ωN − m.
Si el motor se apaga cuando su velocidad angular es de 255 rad/seg, determine cu´anto tiempo transcurrir´ a antes de que el volante quede en reposo. 44. Un velero va navegando (en trayectorias rectil´ıneas) bajo la acci´on de un viento ligero de 1 m/seg. Repentinamente, el viento arrecia y sopla a una intensidad suficiente para
aplicar una fuerza constante de 600 N al velero. La otra ´unica fuerza que act´ ua sobre la embarcaci´ on es la resistencia del agua, que es proporcional a la velocidad del velero. Si la constante de proporcionalidad de la resistencia del agua es k = 100 kg/seg, y la masa del velero es 50 kg, encuentre la ecuaci´on del movimiento del velero. ¿Cu´al es la velocidad m´axima del velero bajo la acci´on de este viento?. 45. En el problema (VII44) se observa que cuando la velocidad del velero alcanza el valor de 5 m/seg, el bote empieza a levantarse del agua y ”planea”. Cuando esto sucede, la constante de proporcionalidad de la resistencia del agua disminuye a k 0 = 60 kg/seg. Encuentre ahora la ecuaci´on del movimiento del velero. ¿Cu´al es la velocidad m´axima del velero bajo la acci´on de este viento cuando se encuentra planeando?. 46. Vuelo de un cohete: Un cohete con masa inicial m0 kg se lanza verticalmente desde la superficie de la tierra. El cohete expele gas a raz´on constante de α kg/seg y a una velocidad constante de β m/seg relativa al cohete. Suponga que el campo gravitacional es igual a una constante g kg/seg2 . Puesto que la masa no es constante, la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza es igual a la raz´on de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, da lugar a la ecuaci´on (m0 donde v =
dx dt es
la tierra, y m 0
− αt) dv − αβ = −g(m0 − αt) dt
la velocidad del cohete, x es su altura con respecto a la superficie de
− αt es la masa del cohete a los t segundos despu´es del lanzamiento. Si
la velocidad inicial es cero, resuelva la ecuaci´on anterior para determinar la velocidad del cohete y su altura con respecto a la superficie para 0
≤ t ≤ m0/α
47. Hallar la velocidad inicial m´ınima de un cuerpo que se dispara en direcci´on radial desde la tierra y se escapa de ella. 48. Un objeto que pesa 5 libras, se abandona a partir del reposo desde la parte superior de un plano inclinado 45 º con respecto al horizontal. La resistencia del aire es num´eri-
198
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camente igual a 2v, y el coeficiente de rozamiento es 2. Encontrar una expresi´on para la velocidad en funci´on del tiempo. 49. Un cable de densidad ω cuelga suspendido de sus extremos. Hallar la ecuaci´on de la curva que adopta el cable sometido a la acci´on de su peso. 50. Se calienta una bala de cobre hasta una temperatura de 70º. En el instante t = 0 se sumerge en agua que se mantiene a una temperatura constante de 20 º si a los 5 minutos la temperatura de la bala se reduce a 60 º. Hallar T (t), la temperatura en funci´on del tiempo. 51. Un term´ ometro que est´a en el interior de una habitaci´on se lleva al exterior, donde la temperatura ambiente es de 10º. Despu´ es de un minuto el term´ometro marca 25º, y despu´es de 5 minutos marca 48º ¿Cu´al es la temperatura de la habitaci´on?. 52. Un cuerpo se calienta de 20º a 30º en 10 minutos, si se sumerge en un l´ıquido cuya temperatura constante es de 80º. ¿Cu´anto tiempo tardar´ a en calentarse de 40º a 70º?. 53. Un cultivo tiene inicialmente 60 bacterias. Si se encuentran 85 a los 3 minutos, ¿cu´ antas bacterias hay a los 5 minutos?. 54. En 20 a˜ nos se pierde el 30 % de la cantidad inicial de una sustancia radioactiva. Hallar la vida media. 55. Si la desintegraci´ on de una sustancia, nos dice que la cantidad presente en 100 a˜nos es 170 gramos y en 200 a˜ nos es 100 gramos, calcular su vida media. 56. Cierta cantidad de substancia, que conten´ıa 3 kg de humedad, se coloc´o en una habitaci´ on de 100 m3 de volumen, donde el aire ten´ıa al principio el 25 % de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg de humedad por 1 m 3 . Si durante el d´ıa la substancia perdi´o la mitad de su humedad, ¿Qu´e cantidad de humedad quedar´a al finalizar el segundo d´ıa? Nota : La humedad contenida en una substancia porosa se evapora al espacio que la
rodea con una velocidad que es proporcional a la cantidad de humedad que hay en la substancia y es tambi´en proporcional a la diferencia entre la humedad del aire que lo rodea y la humedad del aire saturado.
6
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR REDUCIBLES A PRIMER ORDEN Objetivos: Determinar Identificar
la soluci´on general de una ecuac´ıon diferencial ordinaria de orden superior.
los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
Es frecuente, en numerosos problemas de mec´anica o teor´ıa de circuitos el´ectricos, que las ecuaciones que rigen los procesos sean de orden mayor que uno. Por lo tanto, ser´a necesario trabajar con ecuaciones diferenciales de orden superior. Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n es una ecuaci´on que liga la variable independiente x, una funci´on inc´ognita y = y(x) y sus derivadas sucesivas y ′ , y′′ , . . . , y (n) , es decir, es una expresi´on, bien de la forma:
F x,y,y′ , y ′′ , . . . , y(n) = 0
(forma impl´ıcita)
(6.1)
o bien, si se puede despejar la derivada de mayor orden,
y(n) = f x,y,y′ , y ′′ , . . . , y(n−1) 199
(forma expl´ıcita)
(6.2)
200
Matem´ atica IV
6.1.
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Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial ordinaria de orden n
Definici´ on 6.1.1. Dada la ecuaci´on diferencial (6.2), con f :
D ⊂ Rn+1 −→ R, se dice que
z = z(x), z : I
⊂ R −→ R, es soluci´on de la ecuaci´on diferencial, si satisface:
z es n veces derivable en I .
∈ D ∀ ∈ ∀ ∈
x, z(x), z ′ (x), . . . , z(n−1) (x)
, x
I .
z (n) (x) = f x, z(x), z ′ (x), . . . , z(n−1) (x) , x
I .
Es decir, soluci´on de una ecuaci´on diferencial ordinaria (EDO) es toda funci´on que sustitu´ıda juntamente con sus derivadas en la ecuaci´ on conduce a una identidad.
6.1.1.
Tipos de soluciones de una ecuaci´ on diferencial ordinaria
Las soluciones de una EDO pueden ser de tres tipos: 1. Soluci´ on general: Soluci´on de la ecuaci´on diferencial en la que aparecen tantas constantes arbitrarias como orden de la ecuaci´o n. En nuestro caso, al ser de orden n, la soluci´ on general ser´a una familia de curvas de la forma: φ(x,y,c1 , c2 , . . . , cn ) = 0, siendo c1 , c2 , . . . , cn constantes arbitrarias. 2. Soluci´ on particular: Es una soluci´on que se obtiene al fijar los valores de las constantes arbitrarias de la soluci´ on general. 3. Soluci´ on general; es decir, on singular: Es una soluci´on que no est´a incluida en la soluci´ no se puede obtener a partir de ella asignando valores convenientes a las constantes arbitrarias.
6.1.2.
Formas en las que pueden aparecer las soluciones de una ecuaci´ on diferencial ordinaria
La soluci´ on de una EDO puede venir dada de tres formas distintas: 1. En forma expl´ıcita si la inc´ognita y viene despejada en funci´on de la variable independiente x. 2. En forma impl´ıcita si la soluci´on viene expresada por una ecuaci´on que liga la inc´ognita y y la variable independiente x. 3. En forma param´ etrica si la soluci´on viene dada en funci´on de un par´ametro.
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Matem´ atica IV
201
Nota: A las gr´aficas de las soluciones se les llaman curvas integrales 1 .
6.2.
Problema de Cauchy
Un problema de Cauchy2 , o problema de valores iniciales, asociado a una E.D.O. es un problema (PC) de la forma
≡
y (n) = f x,y,y′ , y′′ , . . . , y(n−1) y(x0 ) = y 0
PC
y ′ (x0 ) = y 0′ .. . (n−1)
y (n−1) (x0 ) = y 0
6.2.1.
Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de un problema de Cauchy
Teorema 6.2.1. Sea (PC) un problema de Cauchy. Para el caso de E.D.O. de orden superior, el teorema de existencia y unicidad establece que:
(n−1)
Existencia: Si f es continua en un entorno del punto x0 , y0 , y0′ , y0′′ , . . . , y0 (PC) posee soluci´on.
entonces
∂f ∂f ∂f , ′ , . . . , (n−1) , existen y son con∂y ∂y ∂y (n−1) ′ ′′ tinuas en un entorno del punto x0 , y0 , y0 , y0 , . . . , y0 entonces (PC) posee soluci´on
Unicidad: Si adem´as, las derivadas parciales
u ´ nica. 1
Una curva integral de un campo vectorial es el an´alogo abstracto de la l´ınea de corriente en el flujo de un
fluido. En f´ısica cuando el campo en cuesti´ on representa un campo de fuerzas las curvas integrales corresponden a las l´ıneas de fuerza. 2 Augustin Louis Cauchy (Par´ıs, 21 de agosto 1789- Sceaux, 23 de mayo 1857) matem´ atico franc´es. Cauchy fue pionero en el an´ alisis y la teor´ıa de p ermutaci´on de grup os. Tambi´en investig´ o la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y f´ısica matem´ atica. Cauchy empez´ oa educarse tempranamente con su padre Louis Fran¸ cois Cauchy (1760-1848) quien ocup´ o varios puestos p´ ublicos menores y era amigo de Lagrange y Laplace. En 1814 el public´ o la memoria de la integral definida que lleg´o a ser la base de la teor´ıa de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el an´ alisis infinitesimal adquiere bases s´olidas. Cauchy precisa los conceptos de funci´ on, de l´ımite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de l´ımite como punto de partida del an´ alisis y eliminando de la idea de funci´on toda referencia a una expresi´ on formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noci´on de correspondencia. Los conceptos aritm´eticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del an´ alisis, hasta entonces apoyados en una intuici´ on geom´etrica que quedar´ a eliminada, en especial cuando m´ as tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente.
202
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Es interesante hacer un estudio te´orico previo de un problema antes de intentar calcular la soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial. Por ejemplo, el problema:
PC
≡
y(xii) = y + xy (xi) y(0) = 0 y′ (0) = 0 .. . y(xi) (0) = 0
tiene soluci´on unica por cumplir las hip´otesis del teorema. Por sustituci´on directa, se puede comprobar que y = 0 es soluci´on de (PC), y p or tanto ser´a la soluci´on del problema, evit´andose as´ı la resoluci´on de la ecuaci´on diferencial y el de un sistema de 12 ecuaciones con 12 inc´ognitas (para determinar la soluci´on particular).
6.3.
Reducci´ on del orden de una ecuaci´ on diferencial ordinaria
En los cap´ıtulos anteriores se desarroll´o como resolver diversos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por lo tanto, ser´ıa deseable que las ecuaciones diferenciales de orden superior, pudieran resolverse mediante ´estas, o bien se reduzcan a una ecuaci´on diferencial de orden menor que la de partida. Veamos a continuaci´on una serie de casos que permiten reducir el orden de la ecuaci´on diferencial:
1º Caso: Ecuaciones diferenciales de la forma: dn y = f (x) dxn
(6.3)
donde f es una funci´on solo de x. En este caso bastar´a con integrar n veces para obtener la soluci´on general. Es importante recordar que cada vez que se realice una integral, se deber´ a incluir una constante arbitraria para que, al t´ermino de las n integrales, se obtenga la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial en funci´on de n constantes arbitrarias. dn−1 y dxn−1 dn−2 y dxn−2
= = .. .
y =
··· ··· f (x)dx + c1
f (x)dx + c1 dx + c2
f (x)dx + c1 dx + c2
dx + cn
2º Caso: Ecuaciones diferenciales de la forma:
d2 y = g(y) dx2
(6.4)
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Matem´ atica IV
203
donde g es una funci´on solo de y. Para obtener la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial (6.4) debemos tener en cuenta que: d2 y d dy dy ′ dy ′ dy dy′ ′′ ′ y = = = = = y , luego dx2 dx dx dx dy dx dy
y′′ = y ′
dy ′ dy
d2 y dy′ ′ pero como = g(y) entonces y = g(y), de donde y ′ dy′ = g(y)dy, aplicandole dx2 dy y ′2 ′ ′ integrales a ambos miembros y dy = g(y)dy se tiene: = g(y)dy + c 1 , lue2 go y ′ = 2( g(y)dy + c1 ), separando variables dy = 2( g(y)dy + c1 )dx, de donde dy = dx, integrando nuevamente se tiene: 2( g(y)dy + c1 )
dy
= x + c2
2( g(y)dy + c1 )
En forma similar si la ecuaci´on diferencial es de la forma: d3 y = g(y) dx3 se deduce que: ′ d3 y d d2 y d ′ dy = d y′′′ = = = y dx3 dx dx2 dx dy dy 2 3 2 ′ ′ d y ′ y′ d y + dy y′′′ = = y , luego dx3 dy 2 dy
(6.5)
y′
dy′ dy d = y ′ dy dx dy
d2 y′ dy ′ ′′′ ′ ′ y = y y + 2 dy
y′
dy ′ entonces dy
2
dy
3º Caso: Ecuaciones diferenciales de la forma: F (x, y(k) , y (k+1) , . . . , y(n) ) = 0
(6.6)
Son ecuaciones diferenciales en las que no aparece en forma expl´ıcita ni la inc´ognita y ni sus
k
− 1
primeras derivadas. En este caso, haciendo el cambio de variable
p(x) = y (k) (x), la ecuaci´on quedar´a: F (x,p,p′ , . . . , p(n−k) ) = 0 reduci´endose as´ı, a una ecuaci´on diferencial de orden n
− k.
204
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4º Caso: Ecuaciones diferenciales homog´eneas. Si F (x,y,y′ , . . . , y (n) ) = 0 es homog´enea respecto a y, y ′ , . . . , y(n) , es decir,
F x,λy,λy ′ , . . . , λ y(n) = λ m F x,y,y′ , . . . , y (n)
realizando el cambio de variable: y = e
zdx
, (equivalentemente, y ′ = yz (x)), se obtiene
una ecuaci´ on diferencial de orden una unidad inferior.
5º Caso: Ecuaciones diferenciales de la forma: F (y, y ′ , . . . , y(n) ) = 0
(6.7)
Son ecuaciones diferenciales en las que no aparece en forma expl´ıcita la variable independiente x. En este caso, haciendo el cambio de variable y ′ = p(y), se obtiene una ecuaci´on diferencial de orden una unidad menor.
6º Caso: Ecuaciones diferenciales de la forma: ∂ Φ(x,y,y ′ , . . . , y(n−1) ) ∂x
0 = F (x,y,y′ , . . . , y(n) ) =
(6.8)
En este caso Φ(x,y,y′ , . . . , y(n−1) ) = c1 es una ecuaci´on diferencial equivalente a la anterior de orden una unidad inferior.
EJERCICIOS RESUELTOS
✍
1. Resolver
d3 y = x sen x , dx3
y(0) = 3 ,
y ′ (0) = 0 ,
6.
y ′′ (0) = 2
Soluci´ on: d3 y d2 y = x sen x = x sen xdx = x cos x + sen x + C 1 dx3 dx2 d2 y dy = x cos x + sen x + C 1 = ( x cos x + sen x + C 1 )dx = x sen x 2 dx dx 2cos x + C 1 x + C 2 dy = x sen x 2cos x + C 1 x y = ( x sen x 2cos x + C 1 x + C 2 )dx = x cos x dx C 1 x2 3sen x + + C 2 x + C 3 2 C 1 x2 luego y = x cos x 3sen x + + C 2 x + C 3 2 pero y(0) = 3 C 3 = 3
⇒
−
−
−
adem´ as y ′ (0) = 0 pero y ′ =
−
⇒
⇒
−
−
− ⇒
−x sen x − 2cos x + C 1x + C 2 , entonces: 0 = −2 + C 2 ⇒ C 2 = 2
−
−
− −
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205
tambi´en y ′′ (0) = 2 pero y ′′ =
−x cos x + sen x + C 1 entonces C 1 = 2 ∴ y = x cos x − 3sen x + x2 + 2x + 3
d2 y = sec2 y tan y 2 dx
2. Resolver
Soluci´ on: ′ ′ d2 y ′ dy , entonces y ′ dy = sec2 y tan y luego: y ′ dy′ = sec2 y tan y dy Como = y dx2 dy dy integrando se tiene: y ′2 tan2 y ′ ′ 2 y dy = sec y tan y dy de donde = + C 1 entonces y ′2 = tan2 y + C 1 2 2
tan2 y + C 1 de esta manera se tiene que:
luego y ′ =
dy
tan2 y + C 1
1 + tan2 y
= dx
(6.9)
tan y
√ C
1
√ C tan θ, entonces 1 √ C sec 2 θdθ
haciendo tan y =
√
y = arctan( C 1 tan θ)
1
de donde dy =
1 + C 1 tan2 θ integrando ambos miembros la ecuaci´on (6.9)
√ dy
tan2 y + C 1
=
dx
C 1 sec2 θdθ = x + C 2 (1 + C 1 tan2 θ) C 1 sec θ
entonces
√
haciendo: u =
√ C − 1sen θ ⇒ 1
1 C 1
√ − luego
du =
du = x + C 2 1 + u2 1 1 arctan( C 1 C 1 1
√ −
arctan
1
arctan C 1
√
C 1 −1tan y 1+tan2 y
1tan y
1 + tan2 y
cos θdθ = x + C 2 1 + (C 1 1)sen2 θ
√ C − 1cos θdθ entonces: 1
⇒ √ C 1 − 1 arctan u = x + C 2 1 √ − 1sen θ) = x + C entonces: 2
√ √ − √ − 1 C 1
⇒
= x + C 2 de donde:
√ − 1
= (x + C 2 ) C 1
−
206
Matem´ atica IV
∴
√ C − 1tan y 1
1 + tan2 y
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√ − 1]
= tan[(x + C 2 ) C 1
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Matem´ atica IV
207
EJERCICIOS PROPUESTOS
✍
5.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: d2 y 1. = x 2 ; dx2
y(1) = 1,
y ′ (1) = 1
d2 y 2. = 4xe−2x ; dx2
y(0) = 5,
y ′ (0) = 2
d2 y 3. = x 3 ln x; dx2
y(1) = 1,
y ′ (1) = 1
d3 y 4. = arcsen(2x); dx3 5.
d2 y = arcsen2 x; dx2
6.
d4 y = cos2 x; dx4
7. y ′′′ = x 2 sen x; 8. y ′′′ = 4ex sen x; d2 y 9. = tan6 x; dx2
y(0) = 1, y(0) = 1,
y(0) = 1, y(0) = 1,
y ′ (0) = 0,
y ′ (0) = 2,
11.
d2 y + 4y = 0; dx2
y(0) = 2,
12.
d2 y dx2
y(0) =
13.
d2 y 5 = dx2 y3
14. y ′′ (2y + 3)
y(0) = 1,
y ′ (0) = 6 y ′ (0) = 16
− 2y′2 = 0
15. 1 + y ′2 = yy ′′
− y′2 = 0; y(0) = 1, y′(0) = 2 17. yy ′′ − y ′2 = y 2 ln y 18. y(1 − ln y)y ′′ + (1 + ln y)y′2 = 0 16. yy ′′
19. y ′′ (1 + y) = y ′2 + y ′
y ′′′ (0) = 0
y ′′ (0) = 2
y ′ (0) = 1
d4 y = sen(x)sen(2x)sen(3x); dx4
−2,
y ′′ (0) = 1/8,
y ′′ (0) = 4
y ′ (0) = 1,
10.
− 4y = 0;
y ′′ (0) = 1
y ′ (0) = 1
y(0) = 1/32, y(0) = 1,
y ′ (0) = 1,
y ′ (0) =
7147 , 6912
y ′′ (0) = 4,
y ′′′ (0) =
857 48
208
Matem´ atica IV
20. y ′′ =
y √ y
′
y′ ′′ 21. y x
22. (1
Walter Arriaga Delgado
= x(x
−1
− 1);
y(2) = 1,
y ′ (2) =
−1
− x2)y′′ − xy′ = 2
23. (1 + x2 )y ′′ + 1 + y ′ 2 = 0 24. y ′′′ (x
− 1) − y′′ = 0;
y(2) = 2,
y ′ (2) = 1,
y ′′ (2) = 1
25. y 2 cos x(cos x + 2yy ′ ) = 2y sen x(cos x + 2yy ′ )y ′ sug: y 2 = z, 26. y ′′
sen x =
− y′ 2 + yy ′ 3 = 0;
∞ y(0) = 1,
− 4yy ′ cos x
y ′ (0) = 1
27. Hallar la ecuaci´ on de una curva que satisface a la ecuaci´on diferencial: yy ′ = 2(y ′ )2 + y 2 y tenga pendiente
√ 3 en el punto (0, 1)
28. (y ′′ + y ′ )ex + (cos x + x2 )y′ + (2x sen x)y =
− 3y′ 2 = 4y2 30. xy ′ (yy ′′ − y ′ 2 ) − yy ′ 2 = x 4 y 3 29. 2yy ′′
31. y 2 y ′′′
3
− 3yy ′ y′′ + 2y′ 3 + xy (yy ′′ − y′ 2 ) = xy 2
32.
d3 y = x + sen x dx3
33.
d2 y a + bx = 2 dx x2
d2 y 34. x 2 = 1 + x2 dx 35. y ′′′ = x ln x;
y(1) = y ′ (1) = y ′′ (1) = 0
36. y ′′′ = x + cos x 37. y ′′′ =
x ; (x + 2)5
y(1) = y ′ (1) = y ′′ (1) = 0
38. y ′′ = ae y d2 y a 39. = dx2 y3 40. y 3 y ′′ =
−1;
41. y ′′ = e 2y ;
y(1) = 1, y(0) = 0,
y ′ (1) = 0 y ′ (0) = 1
− sen x + 2x
Walter Arriaga Delgado
42.
d2 y 3 2 = y ; dx2 2
d2 y 43. 2 2 = e y ; dx
Matem´ atica IV
y ′ (1) = y(1) = 1 y ′ (0) =
−1,
y(0) = 0
209
210
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
7
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN n Objetivos: Determinar
las soluciones particulares de una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden su-
perior a partir de condiciones de valor inicial. Aplicar
la independencia lineal para determinar si un conjunto de soluciones de una ecua
c´ıon diferencial ordinaria de orden superior corresponde al conjunto fundamental.
Pr´acticamente, las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales se originan en una variedad de aplicaciones de la ciencia e ingenier´ıa. Afortunadamente, muchas de las ecuaciones diferenciales lineales que as´ı ocurren son lineales con coeficientes constantes, para las que existen m´etodos de soluci´on conocidos. El prop´osito de este cap´ıtulo es estudiar algunos de estos m´etodos.
Definici´ on 7.0.1. Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n son de la forma siguiente: an (x)
dn y dn−1 y + (x) + a n−1 dxn dxn−1
dy ······ + a1 (x) dx + a0 (x)y = f (x)
(7.1)
donde a0 , a1 , a2 , . . . , an y f son funciones continuas s´olo de x en un intervalo I o son constantes con an = 0; y se puede escribir como:
F (x,y,y′ , y′′ , . . . . . . , y(n) ) = 0 211
(7.2)
212
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Si f (x) = 0 entonces a la ecuaci´ on (7.1) se le denomina ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal homog´ enea y se expresa como:
an (x)
dn y dn−1 y + a (x) + n−1 dxn dxn−1
dy ······ + a1(x) dx + a0 (x)y = 0
(7.3)
Si f (x) = 0 entonces a la ecuaci´on (7.1) se le denomina ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal
no homog´enea .
La ecuaci´ on diferencial (7.1) es equivalente a:
dn dn−1 an (x) n + an−1 (x) n−1 + dx dx
······
(7.4)
y = f (x)
(7.5)
d + a1 (x) + a0 (x) y = f (x) dx
O tambi´en es equivalente a:
n
an (x)D + an−1 (x)D
n−1
+
······ + a1(x)D + a0(x)
A la expresi´on L = a n (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 +
······ + a1(x)D + a0(x)
se le llama operador
on (7.5) puede escribirse diferencial lineal de orden n sobre un intervalo I . Entonces la expresi´ como: Ly = f (x)
(7.6)
Que L sea operador diferencial lineal de orden n significa que cumple con la siguiente propiedad: L(c1 y1 + c2 y2 ) = c 1 Ly1 + c2 Ly2 Una funci´on y = y(x) es una soluci´on de la ecuaci´on (7.1) o cualquiera de sus equivalentes si y solo si y(x) es n veces diferenciable y continua sobre I y adem´as satisface dicha ecuaci´on en I.
Proposici´ on 7.0.1. (Principio de la superposici´on o linealidad) Si y1 , y2 son soluciones de la ecuaci´on diferencial ordinaria (7.3) entonces y = c1 y1 + c 2 y2 es tambi´en una soluci´on para la ecuaci´on diferencial (7.3), donde c 1 y c 2 son constantes arbitrarias. Demostraci´ on. En efecto:
Como y 1 , y2 son soluciones de la ecuaci´on diferencial (7.3) entonces: (n)
(n−1)
+
······ + a1(x)y1′ + a0 (x)y1 = 0
(n)
(n−1)
+
······ + a1(x)y2′ + a0 (x)y2 = 0
an (x)y1 + an−1 (x)y1 an (x)y2 + an−1 (x)y2 sumando y agrupando se tiene: (n)
(n)
(n−1)
an (x)(c1 y1 + c2 y2 ) + an−1 (x)(c1 y1
(n−1)
+ c2 y2
) + a0 (x)(c1 y1 + c2 y2 ) = 0
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
213
an (x)(c1 y1 + c2 y2 )(n) + an−1 (x)(c1 y1 + c2 y2 )(n−1) + a0 (x)(c1 y1 + c2 y2 ) = 0 entonces c1 y1 + c2 y2 es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria (7.3) En general si, yi con i = 1, 2, . . . , n son soluciones de la ecuaci´on diferencial (7.3) y si, c i con i = 1, 2, . . . , n son constantes, entonces y = c 1 y1 + c2 y2 + de la ecuaci´on diferencial ordinaria (7.3).
······ + cnyn
es una soluci´ on
n
En general y =
ci yi es tambi´en una soluci´on para la ecuaci´on (7.3).
i=1
Observaci´ on 7.0.1. Esta proposici´on no se aplica si la ecuaci´on diferencial no es homog´enea o no es ineal. La soluci´on general de la ecuaci´on diferencial ordinaria lineal no homog´enea Ly = f (x), se encuentra de la siguiente manera: Se obtiene la soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria lineal homog´ enea asociada Ly = 0 y la denominaremos y h . Se obtiene la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial ordinaria lineal no homog´enea Ly = f (x) y la denominaremos y p . La soluci´on general de Ly = f (x) estar´ a dada por: y = y h + y p .
7.1.
Dependencia e independencia lineal
Definici´ on 7.1.1. Dependencia lineal . Dos funciones y 1 (x), y 2 (x) son linealmente dependientes (LD) en un intervalo abierto, donde ambas funciones est´an definidas, si son proporcionales en dicho intervalo, esto es, si y 1 = k1 y2 o y 2 = k 2 y1 , k1 y k 2 son constantes no nulos.
Definici´ on 7.1.2. Independencia lineal . Si y 1 (x) y y 2 (x) no son proporcionales en el intervalo abierto, son linealmente independientes (LI) en el mismo.
Observaci´ on 7.1.1. Como consecuencia de las definiciones anteriores se tiene que las funciones
y1 (x) y
y2 (x)
son linealmente dependientes en un intervalos si y solo si el cociente
y1 /y2 es una constante en el intervalo. Si y 1 /y2 depende de x en el intervalo entonces y1 (x) y y2 (x) son linealmente independientes en ´el.
Definici´ on 7.1.3. Las funciones y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . . . . , yn (x); son linealmente dependientes en el intervalo (a, b) si al menos una de ellas puede expresarse como combinaci´on lineal de las otras. En caso contrario, las funciones son linealmente independientes
214
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Definici´ on 7.1.4. Sean y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . . . . , yn (x); n funciones definidas en un intervalo (a, b) se dicen que son linealmente independientes si existen los escalares α 1 , α2 , . . . . . . , αn tales que:
n
αi yi (x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) +
i=1
entonces α1 = α2 =
······ + αnyn(x) = 0
······ = αn = 0. Si alguno de los α1, α2 , . . . . . . , αn es diferente de cero
entonces y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . . . . , yn (x) son funciones linealmente dependientes.
Ejemplo 7.1.1. Determinar si las funciones y1 (x) = x, y2 (x) = 2x y y3 (x) = 3x2
son
linealmente dependientes (LD) o linealmente independientes (LI).
Soluci´ on Primera forma: Sea α 1 y1 (x) + α2 y2 (x) + α3 y3 (x) = 0, reemplazando las funciones se tiene: α1 (x) + α2 (2x) + α3 (3x2 ) = 0, luego α1 x + 2α2 x + 3α3 x2 = 0, derivando obtenemos α1 + 2α2 + 6α3 x = 0 derivando nuevamente se tiene 6α3 = 0 de donde α 3 = 0, adem´as α1 =
−2α2. Por lo tanto las funciones y 1(x) = x, y 2(x) = 2x y y 3(x) = 3x2 son LD.
Segunda forma: usando la observaci´on se tiene: y1 2x 2 = = = constante y2 3x 3 entonces las funciones son LD.
Ejemplo 7.1.2. Determinar si las funciones y1 (x) = e x , y2 (x) = e 2x y y3 (x) = e 5x son linealmente dependientes (LD) o linealmente independientes (LI).
Soluci´ on Primera forma: Sea α 1 y1 (x) + α2 y2 (x) + α3 y3 (x) = 0, reemplazando las funciones se tiene: α1 (x) + α2 (2x) + α3 (3x2 ) = 0, luego α1 x + 2α2 x + 3α3 x2 = 0, derivando obtenemos α1 + 2α2 + 6α3 x = 0 derivando nuevamente se tiene 6α3 = 0 de donde α 3 = 0, adem´as α1 =
−2α2. Por lo tanto las funciones y 1(x) = x, y 2(x) = 2x y y 3(x) = 3x2 son LD.
Segunda forma: usando la observaci´on se tiene: y1 2x 2 = = = constante y2 3x 3 entonces las funciones son LD.
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
215
Significaci´ on geom´etrica Geometricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma direcci´on (con sentidos id´enticos u opuestos). Esta definici´on supone que el vector nulo tiene todas las direcciones. Tres vectores son indep endientes si y s´olo si no est´an contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinaci´on lineal de los otros dos (en cuyo caso estar´ıa en el plano generado por estos vectores). El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado p or dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta f´acil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusi´on) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensi´on n (dimensi´on en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano . . . )
7.2.
Wronskiano
El Wronskiano es una funci´on llamada as´ı por el matem´atico Polaco Josef Hoene-Wronski1 , especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.
Definici´ on 7.2.1. Dado un conjunto de n funciones, y1 , y2 . . . , yn , que admiten derivadas de orden n
− 1, continuas en el intervalo [a, b], el Wronskiano denotado por W (y1, y2 . . . , yn)
est´ a dado por el determinante:
W (y1 , y2 . . . , yn ) =
y1 (x)
y2 (x)
y1′ (x) .. .
y2′ (x) .. .
(n−1)
y1
(n−1)
(x) y2
(x)
··· ··· ..
.
···
yn (x) yn′ (x) .. . (n−1)
yn
(x)
(7.7)
El Wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer rengl´ on o fila, la primera derivada de cada funci´on en el segundo rengl´on, y as´ı hasta la derivada n
− 1, formando as´ıuna matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.
En una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden, el Wronskiano puede ser calculado por computadora m´ as f´acilmente por la identidad de Abel. 1
J´ ozef Maria Hoene-Wronski (23 de agosto 1778 al 8 de agosto 1853) Fue un destacado matem´ atico y filosofo
mesianista Polaco quien trabajo en muchos campos del conocimiento, no solo como matem´ atico sino tambi´en como filosofo, f´ısico, inventor, jurista y economista.
216
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
El Wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones diferenciales es linealmente independiente en un intervalo dado: Si el Wronskiano es distinto de cero en alg´un punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo. Esto es u ´ til en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuaci´on diferencial de segundo orden son independientes, quiz´as podamos usar el Wronskiano. Note que si el Wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente independientes. Una malinterpretaci´on com´ un (desafortunadamente promulgada en muchos textos) es que si W = 0 en cualquier lugar, implica una dependencia lineal, este no es el caso, como se puede ver claramente en el tercer ejemplo m´as adelante. Si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, entonces el Wronskiano correspondiente es uniformemente cero en el intervalo.
Ejemplo 7.2.1. Considere las funciones x 2 , x y 1, definidas para un n´umero real x. Obtenga el Wronskiano:
x2
x 1
W = 2x 1 0 = 2
0 0
−2
Vemos que W no es cero uniforme, as´ı que estas funciones deben ser linealmente independientes.
Ejemplo 7.2.2. Considere las funciones 2x2 + 3, x2 y 1. Estas funciones son claramente dependientes, ya que 2x2 + 3 = 2(x2 ) + 3(1). As´ı, el Wronskiano debe ser cero, siguiendo un peque˜ no c´alculo:
W =
2x2
+3
x2
1
4x
2x 0 = 0
4
2
0
Ejemplo 7.2.3. Como se mencionaba anteriormente, si el Wronskiano es cero, esto no significa en general que las funciones involucradas son linealmente dependientes. Considerando las funciones x 3 y x3 ; esto es, el valor absoluto de x 3 . La segunda funci´on puede ser escrita as´ı:
| |
3
|x | =
−
x3
x3
si x < 0 si x
≥0
Uno puede revisar que estas dos funciones son linealmente independientes sobre el conjunto
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
217
de n´ umero reales, sin embargo, su Wronskiano parece ser cero:
W =
x3
3x2 x3
3x2
En conclusi´ on se tiene que:
− − x3
=0
si x < 0
3x2
x3
=0
si x
3x2
≥0
Las funciones f 1 , f 2 , . . . , fn son linealmente independientes, siempre que su Wronskiano no sea identicamente nulo. El rec´ıproco es falso. Que el Wronskiano sea nulo no implica necesariamente que las funciones f 1 , f 2 , . . . , fn sean linealmente dependientes.
7.3.
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´ eneas con coeficientes constantes
Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas de coeficientes constantes son de la forma:
dn y dn−1 an n + an−1 n−1 + dx dx donde a0 , a1 , . . . , an son constantes.
dy ······ + a1 dx + a0 y = 0
(7.8)
Para resolver estas ecuaciones diferenciales, primero consideremos el polinomio caracter´ıstico de la forma siguiente: P (r) = a n r n + an−1 r n−1 +
······ + a1r + a0
(7.9)
Como la ecuaci´on caracter´ıstica P (r) = 0 es de grado n entonces se puede obtener las siguientes ra´ıces r1 , r2 , r3 , . . . , rn los cuales pueden ser, reales distintos, reales de multiplicidad o n´umeros complejos. Luego para dar la soluci´on de la ecuaci´on diferencial (7.8) consideremos los siguientes casos:
1º Caso: Cuando las ra´ıces de la ecuaci´on polin´omica P (r) = 0 son reales y distintas: r1 < r2 <, . . . , < r n , entonces el sistema fundamental de soluciones SFS (dada por
D’Alambert )
2
de la ecuaci´on diferencial (7.8) es un conjunto de soluciones que tiene
la forma siguiente: SFS = er1 x , er2 x , . . . , ern x , y la soluci´on general de la ecuaci´on
{
2
}
Jean le Rond d’Alembert (Par´ıs, 16 de noviembre 1717 - ´ıdem, 24 de octubre 1783) matem´ atico y fil´ osofo
franc´es. Uno de los m´ aximos exponentes del movimiento ilustrado, concibe las Ciencias como un todo integrado y herramienta para el progreso de la Humanidad.
218
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
diferencial ordinaria lineal homog´ enea (7.8) es la combinaci´ on lineal de todas ´estas soluciones, as´ı: yg = c 1 er1 x + c2 er2 x +
··· + cn er x
(7.10)
n
2º Caso: Cuando las ra´ıces de la ecuaci´on polin´omica P (r) = 0 algunas de las ra´ıces reales son de multiplicidad, consideremos: r1 = r2 = multiplicidad k, y n
··· = rk = r,
donde r es la ra´ız de
− k son las dem´as ra´ıces reales y distintas, entonces el sistema
fundamental de soluciones SFS est´a dado por: SFS = ser´ıa:
{erx , xerx , x2 erx , . . . , xk−1erx , er
k+1 x
yg = c 1 erx + c2 xerx + c3 x2 erx +
, erk+2 x , . . . , ern x , y cuya soluci´on general
}
··· + ck xk−1erx + ck+1er
k+1 x
+ ck+2erk+2 x +
··· + cner x n
(7.11)
3º Caso: Cuando las ra´ıces de la ecuaci´on polin´omica P (r) = 0 algunas de las ra´ıces son complejas, supongamos que las ra´ıces r 1 , r2 , r3 y r4 son complejas, es decir, r 1 = α 1 +iβ 1 , r2 = α 1 iβ 1 , r3 = α 2 +iβ 2 , r4 = α2 iβ 2 , y las dem´as ra´ıces que sean reales y diferentes,
−
−
entonces el sistema fundamental de soluciones SFS est´a dado por: SFS = eα1 x cos(β 1 x), eα1 x sen(β 1 x), eα2 x cos(β 2 x), eα2 x sen(β 2 x), er5 x , . . . , ern x , y cuya
{
}
soluci´ on general ser´ıa: yg = c 1 eα1 x cos β 1 x+c2 eα1 x sen β 1 x+c3 eα2 x cos β 2 x+c4 eα2 x sen β 2 x+c5 er5 x +
··· +cner x n
(7.12)
EJERCICIOS RESUELTOS
✍
1. Resolver:
d2 y dx2
7.
dy − 5 dx + 6y = 0
Soluci´ on Formamos la ecuaci´on caracter´ıstica: P (r) = r 2
− 5r + 6 = 0
cuyas ra´ıces son:
r1 = 2,
(r
⇒
r2 = 3
− 2)(r − 3) = 0
luego la soluci´on general es: ∴
2. Resolver:
d3 y dx3
yg = c 1 e2x + c2 e3x
2
d y dy − 6 dx − 6y = 0 + 11 2 dx
Soluci´ on Formamos la ecuaci´on caracter´ıstica:
Walter Arriaga Delgado P (r) = r 3
Matem´ atica IV
− 6r2 + 11r − 6 = 0
cuyas ra´ıces son:
r1 = 1,
⇒
r2 = 2,
(r
219
− 1)(r − 2)(r − 3) = 0
r3 = 3
luego la soluci´on general es: yg = c 1 ex + c2 e2x + c3 e3x
∴
3. Resolver:
y ′′
− 6y′ + 9y = 0
Soluci´ on Formamos la ecuaci´on caracter´ıstica: P (r) = r 2
− 6r + 9 = 0
cuyas ra´ıces son:
(r
⇒
r1 = 3,
− 3)2 = 0
con multiplicidad 2
luego la soluci´on general es: ∴
4. Resolver:
y v + 4y iv + 4y′′′
yg = c 1 e3x + c2 xe3x
− 2y′′ − 5y′ − 2y = 0
Soluci´ on Formamos la ecuaci´on caracter´ıstica: P (r) = r 5 + 4r 4 + 4r 3
− 2r2 − 5r − 2 = 0 ⇒ r1 = 1, r2 = −2, ( r 3 = −1,
cuyas ra´ıces son:
(r
− 1)(r + 2)(r + 1)3 = 0
con multiplicidad 3)
luego la soluci´on general es: ∴
5. Resolver:
yg = c 1 ex + c2 e−2x + c3 e−x + c4 xe−x + c5 x2 e−x
y ′′ + y = 0
Soluci´ on Formamos la ecuaci´on caracter´ıstica: P (r) = r 2 + 1 = 0 cuyas ra´ıces son:
r1 = i,
r2 =
luego la soluci´on general es: ∴
6. Resolver:
y iv + 2y ′′′ + y ′′
−i yg = c 1 sen x + c2 cos x
− y = 0
Soluci´ on Formamos la ecuaci´on caracter´ıstica: P (r) = r 4 + 2r 3 + r 2
− 1)(r2 + r + 1) = 0 usando la f´ormula cuadr´ atica se obtiene que las ra´ıces son: √ √ 5 √ 3 i √ 3 i − − − − 1 5 1 1 1 r1 = + , r2 = − 2 , r3 = 2 + 2 , r4 = 2 − 2 2 2 2 −1=0
⇒
(r 2 + r
220
Matem´ atica IV luego la soluci´on general es: ∴
yg = c 1 e( y iv
7. Resolver:
−1 +
√
2
5 )x 2
+ c2 e(
−1 − 2
√
5 )x 2
+ c3 e
−x 2
sen
Walter Arriaga Delgado
√ 3x 2
+ c4 e
−x 2
cos
√ 3x 2
− 2y′′′ + 3y′′ − 2y′ + y = 0
Soluci´ on Formamos la ecuaci´on caracter´ıstica: P (r) = r 4
− 2r3 + 3r2 − 2r + 1 = 0 ⇒ (r2 − r + 1)2 = 0 usando la f´ormula cuadr´ atica se obtiene que las ra´ıces son: √ √ 3 i 1 3i 1 r1 = + , r2 = − , con multiplicidad 2 2 2 2 2 luego la soluci´on general es: x
yg = c 1 e 2 sen
7.4.
√ 3x 2
x
+ c2 e 2 cos
√ 3x 2
x
+ c3 xe 2 sen
√ 3x 2
x
+ c4 xe 2 cos
√ 3x 2
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homog´ eneas
Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homog´ eneas de coeficientes constantes son de la forma:
dn y dn−1 an n + an−1 n−1 + dx dx donde a0 , a1 , . . . , an son constantes.
dy ··· + a1 dx + a0 y = f (x)
(7.13)
La soluci´on general de la ecuaci´on diferencial ordinaria dada en (7.13) es y = y h + y p, donde yh es la soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria homog´enea asociada a (7.13), es decir f (x) = 0, y y p es la soluci´on particular asociada a (7.13). Como ya conocemos el c´alculo de la soluci´on y h , por la secci´on anterior, nuestro problema se reduce a encontrar la soluci´on y p, para lo cual consideraremos los siguientes m´etodos:
7.4.1.
M´ etodo de los coeficientes indeterminados
Es un m´ etodo limitado que depende de la forma que tenga el segundo miembro de la ecuaci´ on diferencial (7.13); en este caso f (x) = e αx [P n (x)cos(βx) + Qm (x)sen(βx)]. Donde: P n (x) y Q m (x) son polinomios de grado n y m respectivamente.
Consideremos Pn (x) y Qm (x), polinomios de coeficientes indeterminados de grado n y m respectivamente.
Entonces se presentan los siguientes casos:
Caso I: Si f (x) = Pn (x), entonces: Si r = 0 no es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P (r) = 0 entonces y p = Pn (x).
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Matem´ atica IV
221
Si r = 0 es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P (r) = 0 entonces y p = xs Pn (x).
Donde s es la multiplicidad de r = 0.
Caso II: Si f (x) = e αx Pn (x), entonces: Si r = α no es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P (r) = 0 entonces y p = e αx Pn (x).
Si r = α es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P (r) = 0 entonces y p = x s eαx Pn (x). Donde s es la multiplicidad de r = α.
Caso III: Si f (x) = Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx, entonces: Si r =
±iβ no es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica
P (r) = 0 entonces
y p = Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx. Si r =
±iβ es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica
P (r) = 0 entonces
y p = x s [Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx]. Donde s es la multiplicidad de r =
±iβ , y adem´as k = max{n, m}.
Caso IV: Si f (x) = e αx [Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx], entonces: Si r = α
± iβ no es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica
P (r) = 0 entonces
y p = e αx [Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx] Si r = α
± iβ
es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P (r) = 0 entonces
y p = x s eαx [Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx] Donde s es la multiplicidad de r = α CASOS
´ CONDICION
caso
si r = 0 no es raiz de P (r) = 0
I
si r = 0 es raiz de P (r) = 0
caso
si r = α no es raiz de P (r) = 0
II
si r = α es raiz de P (r) = 0
caso III caso VI
si r =
±iβ no es raiz de P (r) = 0 si r = ±iβ es raiz de P (r) = 0 si r = α ± iβ no es raiz de P (r) = 0 si r = α ± iβ es raiz de P (r) = 0
± iβ , y adem´as k = max{n, m}. ´ PARTICULAR y p SOLUCION
y p = Pn (x)
y p = x sPn (x)
y p = e αx Pn (x)
y p = x s eαx Pn (x)
y p = Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx y p = x s [Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx] y p = e αx [Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx] y p = x s eαx [Pk (x)cos βx + Qk (x)sen βx]
Cuadro 7.1: La soluc´on particular y p
✍
EJERCICIOS RESUELTOS
8.
222
Matem´ atica IV
1. Resolver:
d2 y dx2
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dy − dx = x 2
Soluci´ on C´alculo de: y h Para ello formamos la ecuaci´on caracter´ıstica: P (r) = r 2
− r = 0
cuyas ra´ıces son:
r(r
⇒
r1 = 0,
− 1) = 0
r2 = 1
luego la soluci´on general de la EDOH es: yh = c 1 + c2 ex C´alculo de: y p
Como f (x) = x2 , entonces Pn (x) es un polinomio de segundo grado, corresponde al caso I, y como r = 0 es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P (r) = 0 entonces
y p = x P2 (x), es decir:
y p = x(Ax2 + Bx + C )
luego como y = Ax 3 + Bx 2 + Cx
⇒
y ′ = 3Ax2 + 2Bx + C
reemplazando en la ecuaci´on diferencial se tiene:
⇒
y ′′ = 6Ax + 2B,
− (3Ax2 + 2Bx + C ) = x2 −3Ax2 + (6A − 2B)x + (2B − C ) = x2 + 0x + 0 luego A = −1/3, B = −1, C = −2. Entonces: 6Ax + 2B
3
y p =
− x3 − x2 − 2x
Luego la soluci´on general est´a dada por: y g = y h + y p. ∴
2. Resolver:
y ′′
yg = c 1 + c2 ex
3
− x3 − x2 − 2x
− 7y′ + 12y = −e4x
Soluci´ on C´alculo de: y h Para ello formamos la ecuaci´on caracter´ıstica: P (r) = r 2
− 7r + 12 = 0
cuyas ra´ıces son:
r1 = 3,
⇒
(r
r2 = 4
− 3)(r − 4) = 0
luego la soluci´on general de la EDOH es: yh = c 1 e3x + c2 e4x
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Matem´ atica IV
223
C´alculo de: y p Como f (x) =
− e4x, corresponde al caso II, en este caso Pn (x) es un polinomio
de grado 0, y como r = 4 es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica P (r) = 0 entonces y p = xe 4x A, es decir: y p = Axe 4x luego como
y = Axe4x
⇒
y ′ = Ae4x + 4Axe4x
reemplazando en la ecuaci´on diferencial se tiene: 8Ae4x + 16Axe4x
y ′′ = 8Ae4x + 16Axe4x ,
− 7(Ae4x + 4Axe4x ) + 12(Axe4x ) = −e4x Ae4x =
luego A =
⇒
−1. Entonces:
y p =
−e4x
−xe4x
Luego la soluci´on general est´a dada por: y g = y h + y p . ∴
7.4.2.
yg = c 1 e3x + c2 e4x
− xe4x
M´ etodo de los operadores diferenciales
Definici´ on 7.4.1. Un operador diferencial es un operador lineal definido como una funci´on del operador de diferenciaci´on. En c´alculo, la diferenciaci´on suele indicarse con la D may´ uscula; esto es, dy/dx = Dy. El s´ımbolo D se llama operador diferencial porque transforma una funci´on diferenciable en otra funci´on; por ejemplo: D(cos 4x) =
−4sen4x D(5x3 − 6x2 ) = 15x2 − 12x.
El uso m´as com´ un del operador diferencial es la acci´on de tomar la derivada en s´ı misma.
Las notaciones comunes de ´este operador incluyen: d , dx
Dx ,
D
Las dos primeras se usan fundamentalmente cuando se quiere hacer expl´ıcitca la variable respecto a la cual se toman las derivadas ordinarias, la ´ultima forma s´ olo se usa cuando por el contexto est´a claro cual es la variable respecto a la que se deriva (sin necesidad de explicitarla). Las derivadas de orden superior se pueden expresar en t´erminos de D en forma natural: dy = Dy dx
224
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
d2 y d = dx2 dx
dy = D(Dy) = D 2 y dx
d3 y d d2 y = = D(D2 y) = D 3 y 3 2 dx dx dx Ahora para las derivadas de orden superior las notaciones son: dn , Dxn , D n n dx El uso y la creaci´on de la notaci´on D se debe a Oliver Heaviside, quien consideraba los operadores diferenciales lineales ordinarios de la forma: n
L =
ak (x)Dk
(7.14)
k=0
en su estudio de las ecuaciones diferenciales. La ecuaci´on (7.14) es equivalente a:
L = a n (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 +
··· + a1(x)D + a0(x)
(7.15)
A la expresi´on L (´o tambi´en L(D)) se le conoce como Operador Diferencial de orden n, y al aplicarse a cualquier funci´on “y” produce el siguiente resultado: L[y] = a n (x)Dn y + an−1 (x)Dn−1 y +
··· + a1(x)Dy + a0(x)y
Propiedad 7.4.1. (Propiedades de linealidad) 1. L[cy] = cL[y], con c En efecto:
∈R
L[cy] = an (x)Dn (cy) + an−1 (x)Dn−1 (cy) + = an (x)cD n y + an−1 (x)cD n−1 y +
= c
··· + a1(x)D(cy) + a0(x)(cy)
··· + a1(x)cDy + a0(x)cy an (x)Dn y + an−1 (x)Dn−1 y + ··· + a1 (x)Dy + a0 (x)y
= cL[y]
2. L[y1 + y2 ] = L[y1 ] + L[y2 ] En efecto: L[y1 + y2 ] = an (x)Dn (y1 + y2 ) + = =
··· + a1(x)D(y1 + y2) + a0 (x)(y1 + y2) an (x)(Dn y1 + Dn y2 ) + ··· + a1 (x)(Dy 1 + Dy 2) + a0 (x)(y1 + y2 ) an (x)Dn y1 + an−1 (x)Dn−1 y1 + ··· + a1 (x)Dy 1 + a0 (x)y1 + an (x)Dn y2 + an−1 (x)Dn−1 y2 + ··· + a1 (x)Dy 2 + a0 (x)y2 +
= L[y1 ] + L[y2 ]
k
3. En consecuencia: L
k
ci yi =
i=1
i=1
ci L[yi ]
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Matem´ atica IV
225
Leyes fundamentales 1. L1 + L2 = L 2 + L1 2. (L1 + L2 ) + L3 = L 1 + (L2 + L3 ) 3. (L1 .L2 ).L3 = L 1 .(L2 .L3 ) 4. L1 .(L2 + L3 ) = L 1 .L2 + L1 .L3 5. L1 = L 2
⇐⇒
L1 [y] = L 2 [y]
6. (L1 .L2 )[y] = L 1 [L2 [y]] 7. Si los operadores L 1 y L 2 tienen coeficientes constantes entonces: L1 .L2 = L 2 .L1 8. Dm+n = D m .Dn con m, n
∈ Z+
Propiedad 7.4.2. Sean m,n,r,k constantes reales, r, k
∈ Z+, entonces se cumple que:
1. Dk (erk ) = r k erk En efecto: D(erk ) = rerk ; D 2 (erk ) = r 2 erk ; D 3 (erk ) = r 3 erk , luego: D k (erk ) = r k erk 2. L(D)[emx ] = e mx L(m) En efecto, usando la ecuaci´on (7.15) se tiene: L(D)[emx ] = (an (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 +
··· + a1(x)D + a0(x))[emx ] an (x)Dn emx + an−1 (x)Dn−1 emx + ··· + a1 (x)Demx + a0 (x)emx an (x)mn emx + an−1 (x)mn−1 emx + ··· + a1 (x)memx + a0 (x)emx emx (an (x)mn + an−1 (x)mn−1 + ··· + a1 (x)m + a0 (x))
= = =
mx
= e
L(m)
L(m)
Por lo tanto se tiene: L(D)[emx ] = e mx L(m)
Observaci´ on 7.4.1. Si m es ra´ız de L(m) = 0, entonces L(D)[emx ] = 0 3. (D
− m)k (xk emx) = k!emx
En efecto:
− m)(xk emx ) = kx k−1emx + mxk emx − mxk emx = kxk−1emx = emxDxk (D − m)2 (xk emx) = k(k − 1)xk−2 emx = e mx D2 xk (D − m)3 (xk emx) = k(k − 1)(k − 2)xk−3 emx = e mx D3 xk (D
.. .
(D
− m)k (xk emx) = k!emx = emxDkxk
226
Matem´ atica IV
Observaci´ on 7.4.2. Si n > k 4. (D 5. Si
⇒
− m)n(emx u) = emxDnu L(D) = (D−r)k ϕ(D) entonces
(D
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− m)n(xk emx ) = 0
L(D)[xk erx ] = (D r)k ϕ(D)(xk erx ) = k!(erx )ϕ(D) =
−
k!ϕ(r)erx entonces
1 xk erx [erx ] = L(D) k!ϕ(r) Por ejemplo: D(D
− 2)3(D + 1)y = e2x
6. Si L es un polinomio entonces Por ejemplo: (D
L(D)[erx u] = e rx L(D + r)[u]
− 3)2 (D + 1)3 (y) = x2e2x
M´ etodos Abreviados
7.4.3.
M´ etodo de variaci´ on de par´ ametros
´ Este m´ etodo nos permite encontrar una soluci´ on particular de una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal no homog´ enea con coeficientes constantes o variables, siempre que se conozca o calcule la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial homog´ enea asociada a ella. ´ Este m´etodo tiene m´as generalidad que los m´ etodos anteriores y consiste en que los par´amen
tros (constantes) ci de la soluci´on yh =
ci (x)yi var´ıen con respecto a x.
i=1
Consideremos primero una ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal no homog´ enea de segundo orden: y′′ + a1 (x)y′ + a2 (x)y = f (x)
(7.16)
donde a 1 , a2 , f son funciones solo de x o constantes. Para resolver la ecuaci´on diferencial (7.16) seguiremos los siguientes pasos: Construir la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial ordinaria homog´enea para (7.16). yh = c 1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) Sustituir c 1 (x), c2 (x) por las funciones incognitas u1 (x), u2 (x). y p = u 1 (x)y1 (x) + u2 (x)y2 (x) Formar el sistema de ecuaciones:
u′1 (x)y1 (x) + u′2 (x)y2 (x) = 0 u′1 (x)y1′ (x) + u′2 (x)y2′ (x) = f (x)
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
227
Resolviendo el sistema y haciendo uso del c´alculo integral se obtienen los u 1 (x), u2 (x)
u1 (x) =
0
y2 (x)
f (x) y2′ (x)
y1 (x) y2 (x)
⇒
u1 (x) =
−
u2 (x) =
−
f (x)y2 (x) dx w[y1 , y2 ]
y1′ (x) y2′ (x)
u1 (x) =
y1
0
y1′ (x) f (x)
y1 (x) y2 (x)
⇒
f (x)y1 (x) dx w[y1 , y2 ]
y1′ (x) y2′ (x)
obteni´endose as´ı la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial (7.16). Consideremos ahora de manera general una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal no homog´enea de orden n: y (n) + a1 (x)y(n−1) +
······ + an−2(x)y′ + an−1(x)y = f (x)
(7.17)
donde los ai=1,(n−1) y f son funciones solo de x o constantes.
Para resolver la ecuaci´on diferencial (7.17) seguiremos los siguientes pasos: Construir la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial ordinaria homog´enea para (7.17). n
yh =
ci (x)yi (x)
i=1
Sustituir los c i (x) por las funciones incognitas ui (x). n
y p =
ui (x)yi (x)
i=1
Formar el sistema de ecuaciones:
n
u′i (x)yi (x) = u ′1 (x)y1 (x) + u′2 (x)y2 (x) +
··· + u′n(x)yn(x)
=0
u′i (x)yi′ (x) = u ′1 (x)y1′ (x) + u′2 (x)y2′ (x) +
··· + u′n(x)yn′ (x)
=0
i=1 n i=1 n i=1 n
i=1
u′i (x)yi′′ (x) = u ′1 (x)y1′′ (x) + u′2 (x)y2′′ (x) + .. .
.. . (n)
.. . (n)
··· + u′n(x)yn′′ (x) ..
(n)
.
u′i (x)yi (x) = u ′1 (x)y1 (x) + u′2 (x)y2 (x) +
=0
.. .
··· + u′n(x)yn(n)(x)
= f (x)
228
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
Resolviendo el sistema y haciendo uso del c´alculo integral se obtienen los ui (x) ui (x) =
−
f (x)V i (x) dx w[y1 , . . . , y 2 ]
donde V i (x) representa el determinante obtenido de w[y1 , . . . , y2 ] reemplazando la columna i por la columna:
0 0 .. . 1
obteni´endose as´ı la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial (7.17).
7.4.4.
M´ etodo de reducci´ on de orden
La t´ ecnica que se emplea a continuaci´ on tambi´en corresponde al m´ etodo de variaci´ on de par´ ametro, pero con una salvedad: No se conoce la soluci´on completa yh de la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada. Dada la ecuaci´on diferencial: y (n) + an−1 (x)y(n−1) + . . . + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = f (x)
(7.18)
Si conocemos una o k soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on homog´enea asociada a (7.18), entonces se puede rebajar el orden de la ecuaci´ on (7.18) en una unidad o k unidades y adem´ as calcular la soluci´on particular (´o general).
✍
EJERCICIOS RESUEL
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. Hallar la soluci´ on general de: x(x
− 1)y′′ − (2x − 1)y′ + 2y = x2(2x − 3)
sabiendo que y 1 = x 2 es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada.
Soluci´ on: Sea la soluci´on general: y = c(x)y1 (x) Luego y = c(x) x2 y′ = y′′ =
· c′ (x) · x2 + 2c(x)x c′′ (x) · x2 + 4c′ (x) · x + 2c(x)
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
229
Reemplazando en la ecuaci´on dada: (x2
− x)[c′′ (x) · x2 + 4c′ (x) · x +2c(x)] − (2x − 1)[c′ (x) · x2 +2c(x)x]+ 2c(x) · x2 = x2(2x − 3)
Simplificando: (x4
− x3)c′′(x) + (2x3 − 3x2)c′ = x2(2x − 3)
entonces
− 3) c′ = x2(2x − 3) − x) x2(x2 − x) 2x − 3 ′ 2x − 3 c′′ (x) + 2 c = 2 x −x x −x Haciendo el cambio: c′ (x) = u ⇒ c′′ (x) = u ′ , reemplazando: 2x − 3 2x − 3 u′ + 2 u = 2 x −x x −x c′′ (x) +
x 2 (2x x2 (x2
que es una ecuaci´on lineal, resolviendo: u =
x
− 1 + x − 1 +
Pero u = c ′ (x) entonces c ′ (x) = c(x) = luego
1 (x 1) + c 1 x3 x3
−
x
x2
x
− 1 + x − 1 + x2
x
1 (x 1) + c1 de donde 3 x x3
−
− − − 1
1 dx + x
1 x
c(x) = x +
1 dx + x2
1 x
− −
1 dx + c1 x3
1 + c1 2x2
1 2x2
1 x
1 x2
1 dx + c2 x3
c2
Como la soluci´on general es: y = c(x)y1 es decir y = c(x) x2 , entonces: 3
y = x + x
∴
7.5.
−
1 + c1 2
y = x 3 + c3 (2x
− 1 2
·
x + c2 x2
− 1) + c2 x2
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes variables reducibles a coeficientes constantes
Las ecuaciones diferenciales que estudiaremos a continuaci´ on son unas de las pocas ecuaciones con coeficientes variables que pueden resolverse en t´ erminos de funciones elementales. Estas ecuaciones diferenciales son:
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Matem´ atica IV x3
d3 y = D(D dx3
231
− 1)(D − 2)y
Generalizando se tiene: xn
dn y = D(D dxn
− 1)(D − 2)...(D − (n − 1))y
A ´esta u ´ ltima ecuaci´on se le conoce como “ley de formaci´on”. De ´esta manera la ecuaci´on diferencial ordinaria (7.19) n−1 y dn y dy n−1 d + a x + ... + a x + a0 y = f (x) n − 1 1 dxn dxn−1 dx
an xn Quedar´ıa como: an D(D
− 1)...(D(n − 1))y + an−1D(D − 1)...(D(n − 2))y + ...a1Dy + a0 y = f (et)
La cual es una ecuaci´on diferencial ordinaria no homog´ enea de coeficientes constantes y cuya soluci´on puede encontrarse con los m´ etodos estudiados anteriormente.
EJERCICIOS RESUELTOS
✍
10.
x2 y ′′ + xy ′ + y = 0 Soluci´ on: dx dy dy d2 y d2 y dy t t 2 Sea x = e t = ln x con = e , adem´as x = x = 2 dt dx dt dx2 dt dt Reemplazando en la ecuaci´on diferencial se tiene: d2 y dy dy d2 y + + y = 0, de donde + y = 0, EDO homog´ enea de coeficientes dt2 dt dt dt2 constantes.
1. Resolver
⇒
∧
−
−
P (r) = r 2 + 1 = 0
Luego hacemos
y = c 1 cos t + c2 sen t,
pero ∴
2. Resolver
x2 y ′′ + 2xy ′
t = ln x
r =
⇒
±i,
de donde:
y = c 1 cos(ln x) + c2 sen(ln x)
− 2y = 0 Soluci´on:
dx dy dy = e t , adem´as x = dt dx dt Reemplazando en la ecuaci´on diferencial se tiene: x = e t
Sea
⇒
t = ln x con
d2 y dy dy d2 y dy + 2 2y = 0, de donde dt2 dt dt dt2 dx constantes. Luego hacemos P (r) = r 2 + r
−
−
donde:
∧
x2
d2 y d2 y = dx2 dt2
− dydt
− 2y = 0, EDO homog´enea de coeficientes − 2 = 0 ⇒ r1 = −2 ∧ r = 1, de
y = c 1 e−2t + c2 et = ln x ∴
y =
c1 + c2 x x2
232
Matem´ atica IV
3. Resolver
x3 y ′′′ + 6x2 y′′ + 7xy ′ + y = 0
Soluci´ on: x = et
Sea
Walter Arriaga Delgado
t = ln x con
⇒
dx = et , reemplazando (7.20), (7.21) y (7.22) en la dt
ecuaci´ on diferencial se tiene: d3 y d2 y dy d2 y dy dy d3 y d2 y dy 3 + 2 + 6 6 + 7 + y = 0 + 3 + 3 + y = 0 dt3 dt2 dt dt2 dt dt dt3 dt2 dt EDO homog´enea de coeficientes constantes. Luego hacemos P (r) = r 3 + 3r 2 + 3r + 1 = 0
−
−
⇒
De donde r = 1 con multiplicidad 3, luego: y = c 1 et + c2 tet + c3 t2 et , pero t = ln x ∴
4. Resolver
y = c 1 x + c2 x ln x + c3 x ln2 x
x2 y ′′ + xy ′ + 9y = sen(ln x3 )
Soluci´ on: x = e t
Sea
t = ln x con
⇒
dx = e t , reemplazando (7.20) y (7.21) en la ecuaci´ on dt
diferencial se tiene: d2 y dy dy + + 9y = sen(3t), de donde: dt2 dt dt d2 y + 9y = sen(3t) dt2 EDO no homog´ enea de coeficientes constantes.
−
Luego la soluci´on general estar´ a dada por y = y h + y p Donde: y h es la soluci´on general para la EDO homog´ enea de coeficientes constantes y y p es la soluci´on particular para la EDO no homog´enea de coeficientes constantes. Hallemos primero y h Para ello consideremos
P (r) = r 2 + 9 = 0
yh = c 1 cos 3t + c2 sen 3t.
Luego
⇒
r =
±3i ,
de donde
yh = c 1 cos(ln x3 ) + c2 sen(ln x3 ) Ahora calculemos y p Como r =
±3i , es ra´ız de
P (r) = 0, entonces usaremos el caso III, es decir:
y p = t(A cos3t + B sen3t), derivando tenemos y ′ = A cos3t
− 3At sen3t + B sen3t + 3Bt cos 3t y ′′ = −6A sen3t − 9At cos3t + 6B cos3t − 9Bt sen3t Luego reemplazando se tiene y ′′ + 9y = −6A sen3t + 6B cos 3t = sen 3t, A = −1/6 ∧ B = 0 1 Con lo que y p = − t cos3t y como t = ln x entonces 6 y p =
− 16 (ln x)cos(3ln x)
de donde
234
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS PROPUESTOS
✍
6.
I. Dependencia e independencia lineal. Wronskiano 1. Determinar si las funciones dadas a continuaci´ on son linealmente independientes (LI) o linealmente dependientes (LD) en su dominio. 1, x, 2x
1, x , ex
7, x2
emx , enx , m = n, m, n
x
− 3, x + 3 6, x − 3, x + 3
ln x2 , ln x3
1, 4, x , x2
sen2x, cos2x
1, x , x2 , . . . , xn−1 para n > 1
sen x cos x, sen2x
1, x−1 , x−2
1, sen2 x, cos2 x
ex , e−x
sen2 x, cos2 x
ex , e2x , e3x
ex sen x, ex cos x
e−x , xe−x , x2 e−x
e−3x sen2x, e−3x cos2x
∈Z
ln x, x ln x, x2 ln x
2. En cada conjunto de funciones dadas en la lista anterior obtenga el Wronskiano, y determine si son LI. 3. Demostrar que las funciones dadas son linealmente independientes y su Wronskiano es cero. Graficar f 1 (x) =
f 1 (x) =
0
si 0 < x < 2
(x
− 2)2
x3
si
0
si 0 < x < 1
f 1 (x) = x 2
,
,
si 2 < x < 4
− 2 < x < 0
,
f 2 (x) =
f 2 (x) =
f 2 (x) = x x ,
| | −1 < x < 1
(x
− 2)2
0
si 0 < x < 2 si 2 < x < 4
0
si
− 2 < x < 0
x2
si 0 < x < 1
4. Demostrar que las funciones e2x , xe2x , e 2x sen x, e 2x cos x son LI. 5. Demostrar que el Wronskiano de las funciones: e k1 x , ek2 x , . . . , ekn x es:
e(k1 +k2 +···+kn )x
1
1
k1
k2
k12 .. .
k22 .. .
k1n−1 k2n−1
··· ··· ··· ..
.
···
1 kn kn2 .. . knn−1
Walter Arriaga Delgado
Matem´ atica IV
235
6. Demostrar que el Wronskiano de las funciones: xα , xβ , xγ es:
xα+β+γ −3
1
1
1
α
β
γ
α(α
− 1)
β (β
− 1)
γ (γ
− 1)
II. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´ eneas con coeficientes cons-
tantes: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. y ′′
− 3y′ + 2y = 0 2. y ′′ − 2y′ − y = 0 3. y ′′ − y′ − 2y = 0 4. y ′′ − 3y′ − 5y = 0 5. y ′′ − 4y′ + y = 0 6. y ′′ − 4y′ + 4y = 0 7. 9y′′ − 6y ′ + y = 0 8. y ′′ − 2y′ + 3y = 0 9. y ′′′ − 4y ′′ + y′ + 6y = 0 10. y ′′′ − 4y ′′ + 8y = 0 11. 6y′′′ − 41y′′ + 59y ′ − 20y = 0 12. 50y′′′ − 5y′′ − 8y ′ − y = 0 13. 8y′′′ + 12y′′ + 6y ′ + y = 0 14. y ′′′
− 5y′′ + 10y′ − 6y = 0 15. 2y′′′ − y′′ − y′ − 3y = 0 16. y iv − 11y ′′′ + 41y ′′ − 61y ′ + 30y = 0 17. 27yiv + 18y ′′′ − 39y ′′ − 14y′ + 15y = 0 18. 10yiv − 19y ′′′ − 85y ′′ − 2y′ + 24y = 0 19. 3yiv + y′′′ − 11y ′′ + y ′ + 6y = 0 20. 3yiv − 37y ′′′ + 126y ′′ − 146y′ + 36y = 0 21. y iv − 6y′′′ + 8y ′′ + 2y ′ − y = 0 22. y iv − 4y′′′ + 2y ′′ + 4y ′ + y = 0 23. y iv + 6y′′′ − 13y ′′ − 66y ′ + 112y = 0 24. y iv + 6y′′′ + 11y ′′ + 6y ′ + y = 0
236
Matem´ atica IV
Walter Arriaga Delgado
25. y iv + 8y ′′′ + 24y ′′ + 32y′ + 16y = 0 26. 27y iv
− 27y′′′ − 18y′′ + 28y′ − 8y = 0 27. 4y iv − 20y ′′′ + 21y ′′ + 38y ′ + 11y = 0 28. y iv + 2y ′′′ − 4y ′′ + 8y ′ − 32y = 0 29. y iv − 4y ′′′ + 12y ′′ − 16y′ + 16y = 0 30. y iv − 4y ′′′ + 11y ′′ − 14y′ + 12y = 0 31. y iv − 6y ′′′ + 14y ′′ − 10y′ − 7y = 0 32. 2y iv − 6y ′′′ + 7y ′′ − 5y′ + y = 0 33. y v + 3yiv − 27y ′′′ − 67y ′′ + 162y ′ + 360y = 0 34. 2y v − 49y iv + 442y′′′ − 1773y ′′ + 2898y′ − 1058y = 0 35. y v − 9yiv + 26y ′′′ − 26y ′′ + 9y′ − y = 0 36. 27y v − 27y iv − 18y′′′ + 10y′′ + 7y ′ + y = 0 37. y v − 3yiv + 5y ′′′ − 5y ′′ + 3y′ − y = 0 38. y vi − 4y v − 4y iv + 32y′′′ − 16y ′′ − 64y ′ + 64y = 0 39. y vi − 18y v + 123y iv − 404y ′′′ + 675y ′′ − 546y ′ + 169y = 0 40. y vi − 12y v + 54y iv − 112y ′′′ + 108y ′′ − 48y′ + 8y = 0 41. y vi − 6y v + 21y iv − 44y′′′ + 63y ′′ − 54y ′ + 27y = 0 42. y vi − 8y v + 26y iv − 44y′′′ + 37y ′′ − 4y ′ − 12y = 0 43. 64y viii − 512yvii + 1568yvi − 2272y v + 1492yiv − 216y ′′′ − 168y′′ + 36y ′ + 9y = 0 III. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homog´ eneas
M´ etodo de los coeficientes indeterminados i ) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
− y′ − 6y = 6x2 − 4x + 3 2. y ′′ − y ′ = 3x2 + 4x − 5 3. y ′′ − 7y ′ + 12y = 24x3 + x − 15 4. y ′′ − 4y ′ + y = x 2 − 1 5. y ′′ + 3y ′ = 9x2 − 2 6. y ′′′ − 5y′′ = 25x3 − x + 3 7. y ′′′ − 2y′′ − 8y ′ = 7x2 − 5 1. y ′′
ii ) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y ′′ + 2y ′ + y = 12x2 e−x