Cálculo Estocástico

Cálculo estocástico Profesor: Juan Francisco Islas A.

Definición y clasificación

Proceso estocástico: el que sigue una variable cuyos cambios en el tiempo son inciertos. Clasificaciones yt = f (t ) Discretos: cambia en puntos fijos de tiempo. Continuos: cambia en cualquier momento de tiempo.

Clasificación

Clasificaciones

yt = f ( xt , t ) Discreto en variable: la variable subyacente cambia en puntos fijos de tiempo. Continuo en variable: la variable subyacente cambia en cualquier momento de tiempo.

Propiedad de Markov

Proceso de Markov: el valor presente de una variable es relevante para predecir el futuro. La información del pasado de la variable y la forma en que surge la información presente a partir del pasado es irrelevante.

Implicaciones de la propiedad de Markov

• La predicción del precio futuro de una acción es incierta y debe ser expresada en términos de distribuciones de probabilidad. • La distribución de probabilidad del precio en un momento futuro del tiempo es no dependiente de la trayectoria seguida por el precio en el pasado.

Proceso estocástico de tiempo continuo

xt = x 0 Asumiendo que durante un año

φ (0,1) donde φ (µ , σ ) es una d.d.p.

µ =0

σ =1 2

Proceso estocástico de tiempo continuo Para una variable markoviana, las distribuciones de probabilidad del cambio de una variable en el tiempo, son independientes.

La varianza de los cambios en sucesivos periodos de tiempo es aditiva. Las desviaciones estándar de cambios en sucesivos periodos de tiempo no es aditiva.

Lema de Ito

Si Ito

x sigue un proceso estocástico de

dx = a( x, t )dt + b( x, t )dz

donde dz es un proceso estocástico de Wiener y y funciones de y .

a b

x t

Lema de Ito

( )

Una función G x, t sigue el proceso 2 2 ∂G ∂G 1∂ G 1∂ G 2 2 (dx ) + (dt ) dG = dx + dt + 2 2 ∂x ∂t 2 ∂x 2 ∂t 2 ∂G ∂G 1 ∂ 2G 1 ∂ G 2 2 (adt + bdz ) + dt + ( ) ( ) dG = adt + bdz + dt ∂x ∂t 2 ∂x 2 2 ∂t 2

(

∂G ∂G ∂G 1 ∂ 2G 2 2 2 2 ( ) ( ) dG = + + adt + bdz + dt + a dt abdtdz b dz 2 ∂x ∂x ∂t 2 ∂x 2

∂G ∂G ∂G 1∂ G 2 dG = adt + dt + b dt + bdz 2 ∂x ∂t ∂x 2 ∂x 2

 ∂G ∂G 1 ∂ 2G 2  ∂G  dG =  a+ + b dt + bdz 2  ∂t 2 ∂x ∂x  ∂x 

)

Modelo de Black - Scholes

Fórmulas de valuación (Black-Scholes)

c = S o N (d1 ) − Ke p = Ke donde

− rT

− rT

N (d 2 )

N (− d 2 ) − S o N (− d1 )

1 2  So   ln  +  r + σ T K  2   d1 = σ T 1 2  So   ln  +  r − σ T K  2   d2 = = d1 − σ T σ T

Fórmulas de valuación (Black-Scholes)

N ( x ) es la función de distribución de probabilidad acumulada normal estándar en x .

c y p son los respectivos precios de la

opción de compra (call) y de venta (put) europeas.

S 0 es el precio de la acción en t = 0 .

Fórmulas de valuación (Black-Scholes)

K es el precio de ejercicio de la opción.

r

es la tasa de interés libre de riesgo en composición continua.

σ

es la tasa de volatilidad del precio de la acción.

T es el tiempo de maduración de la opción.