DERIVADAS
DOCENTE: RAMIRO LIÑAN
ALUMNO: CARMELO JESUS CHARRIS ZABALETA ANDRY SNEIDER NEWBALL ACENDRA
ASIGNATURA: CALCULO
COLEGIO SANTA TERESITA UNDESIMO GRADO VALLEDUPAR 2013 1
CONTENIDO PAG INTRODUCCION 1. DERIVADAS 1.1 Derivada de una función 1.1.1 Propiedades y reglas de una derivada 1.1.2 Derivadas de funciones compuestas 1.1.3 Derivadas implícitas 1.1.4 Derivadas de orden superior 1.1.5 Aplicación de las derivadas 1.1.6 Valores máximos y mínimos de una función 1.1.7 Crecimiento y decrecimiento de una función derivada 1.1.8 Criterios de primera y segunda derivada 2. CONCLUCON 3. BIBLIOGRAFIA
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INTRODUCCION El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto. Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a efectuar diversas derivaciones sobre una misma función. El concepto de derivada segunda de una función - derivada de la derivada de una función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda. Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima distancia, etc.).
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1. DERIVADAS
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud. Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. 1.1 Derivada de una función
En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x), diremos que su derivada es la función y ' = f '(x). Es decir, la función derivada de f(x) puede ser calculada mediante el límite:
EJEMPLO: Hallar la derivada de la función y = sin x. Aplicamos la fórmula de arriba para f(x) = sin x.
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Límite que en principio tiene la forma indeterminada 0/0, pero cuyo numerador puede ser desarrollado según la fórmula de la diferencia de dos senos (ver relaciones trigonométricas):
Por lo tanto:
Donde hemos tenido en cuenta que:
En definitiva, la derivada de
y = sin x es y ' = cos x .
1.1.1 Propiedades y reglas de una derivada
Propiedades: Una constante, f: una función, g: otra función. Entonces se dan las siguientes propiedades:
Lo cual nos permite hallar derivadas de funciones compuestas de funciones elementales. Por ejemplo: EJEMPLO: Hallar la derivada de la función: y = sin x . cos x
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Respuesta: Conocemos las derivadas (sin x ) ' = cos x , (cos x ) ' = sin x , por lo tanto por la propiedad III tenemos: y ' = (sin x . cos x )' = cos x . Cos x + sin x . (- sin x ) = = cos² x - sin² x
EJEMPLO: Hallar la derivada de la función:
Respuesta: Conocemos las derivadas ( x ²)' = 2x, (sin x ) ' = cos x , por lo tanto, por la propiedad IV tenemos:
EJEMPLO: Hallar la derivada de la función:
Respuesta: Conocemos la derivada de (cos x ) ' = -sin x , entonces según la propiedad IV-b:
Reglas: Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica: -(f +g)´= f´(a) + g´(a) -(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a) Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica 6
Ejercicio 6. Calcula la derivada de: a) f(x) = e x(x2- 3x + 2); b)
c) h(x) = tan x; d) Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta: a) f(x)= Observación:
la
gráfica
de
esta
función
es: b) y =
c) g(x)= Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación. Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´) ´= f ´´, que se llama derivada segunda, Y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f.
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Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= e x; b) g(x) = ; h(x)= sen x. 1.1.2 Derivadas de funciones compuestas
En general nosotros nos encontraremos con funciones más complicadas que y = cos x , sin embargo cualquier función compleja que aparezca en nuestros cálculos estará compuesta de funciones elementales. El alumno podría repasar la noción de función compuesta antes de continuar con esta cuestión Sea una función compuesta: y = f o g ( x ), puede demostrarse que la derivada de esta función en un punto xo es: y '( xo) = f ' [ g (xo)] . g' (xo)
Es decir, es el producto de f ' por g ', pero ATENCIÓN: mientras que f ' se aplica en g (xo), en cambio g ' se aplica en xo. O sea que, la función derivada, en un punto genérico x de la función compuesta: y = f o g ( x )
Es:
y '(x) = f ' [g (x)]. g' (x).
Por ejemplo, sea la función y = cos ( x ² + 1), hallemos su derivada. Esta función compuesta está formada por las dos funciones simples: f(x) = cos x, g(x) = x ²+1
Cuyas derivadas son: f '(x) = - sin x , g ' ( x) = 2 x 8
c)
La derivada de esta función compuesta es: y '( x ) = f ' [ g ( x )] . g' ( x ) = - sin ( x ²+1) . 2 x
Observe cómo f ' la aplicamos en g(x) -es decir, en ( x ²+1)- mientras que la g ' es aplicada en x . Algunas personas, sobre todo los principiantes en el tema de derivadas (todos somos principiantes "al principio”) suelen realizar estas derivadas de funciones compuestas en dos pasos, mediante la introducción de una variable intermedia: Partiendo de la función: y = cos ( x ² + 1), a la función más interna la identifican con una variable intermedia, u, es decir, haciendo u = x ²+1, les queda: y = cos u Cuya derivada es: y = - sin u. u'
y como u' = 2 x , finalmente llegan al mismo resultado:
y '( x ) = - sin ( x ²+1) . 2 x
En definitiva se trataría de derivar una función: y = f [g(x)], introduciendo la variable intermedia u = g (x), con lo que nos queda la función: y = f (u), cuya derivada es: Y ' = f '(u). u'
Por este motivo, algunas tablas de derivadas son dadas así: Función y = sen u y = cos u
Derivada y ' = cos u. u' y ' = -sen u. u'
etcétera 9
Por supuesto, también podemos hablar de funciones compuestas de tres o más funciones elementales: y = f o g o h( x ), es decir, y = f [g [ h(x)]]
En este caso, hacemos t = h(x), con lo que tenemos: y = f [g(t) ], y su derivada no es diferente del caso anterior, si hacemos u = g (t): y ' = f '(u) . u'
claro, que u' ahora es: u ' = g'(t ) . t ' , y por tanto: y ' = f ' [ g [ h(x)]] . g' [ h(x)] . h'(x)
EJEMPLO: Vamos a hallar la derivada de la función:
Esta función compuesta la podemos expresar: y = sin u
siendo u =
, y siendo t = x ²+1. Su derivada es: y ' = cos u . u'
claro que aquí u' es la derivada de
, o sea, la derivada de
:
mientras que t ' es la derivada de x ²+1, o sea, t ' = 2 x . Por lo tanto la derivada es:
1.1.3 Derivadas implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. 10
Derivadas de funciones implícitas: Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y . Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1 . En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:
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1.1.4 Derivadas de orden superior
Dada una función y = f(x), podemos calcular su derivada:
A continuación, podemos calcular la derivada de f '( x ):
A esta derivada se la llama derivada segunda de f ( x ), y se expresa por f "( x ). Por ejemplo, para la función y = x ³, tenemos que su derivada primera es: y ' = 3 x ²
Y su derivada segunda es: y " = 6 x
También se habla de derivadas terceras (la derivada de la derivada segunda), derivadas cuartas (la derivada de la derivada tercera), etc. En estos casos se expresan mediante números romanos como superíndices de la función:
1.1.5 Aplicación de las derivadas
Consideremos la función espacio E= E (t). La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t0, t] es: vM(t)= , que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces: 12
La derivada del espacio la velocidad instantánea.
respecto
del
tiempo
es
Ejercicio. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5. Solución v(t)=E’(t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4 Interpretación geométrica de la derivada: La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h. Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto: La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a)) La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar y - f(a) = f ´(a)(x-a) . Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pend iente la derivada de f en a, f’(a) Ejemplo. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1) Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0 Ejercicio. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1. Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente 1.1.6 Valores máximos y mínimos de una función
Si f es una función dada, entonces
es un valor máximo relativo de f , si
existe un intervalo abierto tal que siendo x un valor del dominio de la función.
y
Si para toda x en el dominio de f , entonces máximo de f o máximo absoluto. 13
para
es el valor
,
Similarmente,
es un valor mínimo relativo de la función f , si existe un
intervalo abierto dominio de f .
tal que
y
para
, con x en el
Si para toda x en el dominio de f , entonces se dice que valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.
es el
Ejemplo:
Considere una función f definida en un intervalo gráfica es la siguiente:
, cuya representación
Note que , es un máximo relativo y es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.
Similarmente,
es un valor mínimo relativo y
de la función en
.
es el mínimo absoluto
1.1.7 crecimiento y decrecimiento de una función derivada
Crecimiento en un punto 14
Si f es derivable en a: f es estrictamente creciente en a si: f'(a) > 0 Decrecimiento en un punto Si f es derivable en a: f es estrictamente decreciente en a si: f'(a) < 0 Intervalos de crecimiento y decrecimiento Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos: 1. Derivar la función. 2. Obtener las ra íces de la der ivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0. 3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese) 4. Tomamos un val or de cada in tervalo, y hal lamos el signo que tiene en la derivada primera. 15
Si f'(x) > 0 es creciente. Si f'(x) < 0 es decreciente. 5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
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1.1.8 Criterios de primera y segunda derivada
Criterio de la primera derivada: La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:
1.- Cuando la derivada es positiva la función crece. 2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece. 3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.
Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a
1.- f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle) 17
2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c; 3.- f´(x) es positiva para todo x
c en el intervalo.
Entonces f tiene un máximo local en c.
Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.
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De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración. Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:
la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local. Criterio de la segunda derivada: Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo 19
en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.
En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:
Definición. Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)
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Definición. Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b
a) b)
f es una función continua en el intervalo abierto (b,c) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa. 21
Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.
Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.
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Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:
a).- Si f´(a)=0 y en a. b).- Si f´(a)=0
f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local
y f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.
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2. COMCLUCION Sería muy dificil poner todas las aplicaciones que tiene la derivada aquí, pero el sentido de esto que el cálculo infinitesimal(este incluye a la derivada,que es uno de sus conceptos) se dedica al estudio del cambio(en funciones) o sea a ver cuanto cambia una función a medida que cambia "X" y mientras se cumpla que Y=f(X) podrás aplicarlo a funciones sujetas a cambio. Por ejemplo la aceleración es la derivada de la velocidad ya que un cambio en la velocidad nos da la aceleración.
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3. WEDGRAFIA http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_segunda_derivada.htm http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_primera_derivada.htm http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node3.html http://www.ehu.es/juancarlos.gorostizaga/apoyo/derivadas.htm http://www.vitutor.com/fun/4/b_11.html http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
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