Calculo de Varias Variables

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables

Cálculo de varias variables 4° cuatrimestre Clave:

50920414

Octubre de 2011

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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INDICE INFORMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA .... 3 FICHA DE IDENTIFICACIÓN ....................................................... 3 DESCRIPCIÓN ......................................................................... 3 PROPÓSITOS .......................................................................... 4 COMPETENCIA GENERAL......................................................... 4 TEMARIO ................................................................................ 4 METODOLOGÍA DE TRABAJO .................................................... 5 EVALUACIÓN........................................................................... 6 FUENTES DE CONSULTA BÁSICA ............................................... 7

UNIDAD 1. CONCEPTOS GENERALES .................... 8 UNIDAD 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES . 24 UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES .......... 69


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Información general de la asignatura

Ficha de identificación Área

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Nombre del curso o asignatura

Cálculo de varias variables

Clave de asignatura

50920414

Seriación

Cálculo diferencial, cálculo integral, álgebra

Cuatrimestre

Cuarto

Horas contempladas

72

Descripción La asignatura de Cálculo de varias variables perteneciente al cuarto cuatrimestre de la carrera de Licenciatura en matemáticas, busca reforzar los conocimientos adquiridos en Cálculo diferencial e Integral, lo cual le permitirá al estudiante desarrollar las capacidades requeridas para resolver problemas enfocados a la localización de áreas, volúmenes y longitudes de superficies, emular situaciones reales mediante la construcción de modelos matemáticos y emplear las Tics´ para solucionar problemas de análisis y modelos matemáticas. En el campo laboral, esta asignatura le brindará las herramientas necesarias para el cálculo de superficies y volúmenes aplicado al ámbito de la ingeniería. Los contenidos se encuentran organizados de la siguiente manera:


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unidad 1

• Se mencionan los conceptos generales por medio de los cuales el estudiante resolverá problemas de Cálculo Diferencial e Integral.

unidad 2

• Se abordan las funciones como un producto de varias variables, tomando como base el producto escalar de un vector, así como la distancia Euclidiana, y como herramientas los límites y la continuidad.

unidad 3

• Se presenta un enfoque relativo a las ecuaciones diferenciales, el estudiante conocerá sus métodos de integración con una o varias variables separadas, así como su factores integrantes.

Propósitos Los propósitos de esta asignatura son   

Comprender la forma de derivación e integración a través de la revisión y discusión de la teoría, para extender el estudio del cálculo de una a más variables. Analizar espacios vectoriales y ecuaciones diferenciales a través de la resolución de ejercicios para calcular distancias, áreas y volúmenes. Utilizar el cálculo integral a través de la resolución de problemas para determinar valores de superficies y volúmenes de figuras tridimensionales.

Competencia General Emplear herramientas de Cálculo Diferencial e Integral, para emular situaciones reales mediante la construcción de modelos matemáticos de vectores de una o varias variables.

Temario 1. Conceptos generales 1.1. La recta real y el plano complejo 1.1.1. Sucesiones, continuidad de funciones de variable real 1.1.2. Derivadas de funciones de variable real


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1.2 Series 1.2.1 Series numéricas 1.2.2 Series de potencias 1.2.3 Formula de Taylor 1.2.4 Series de potencias de las funciones elementales 1.3 Integración área e integral 1.3.1 Calculo de primitivas 1.3.2 Aplicaciones áreas, longitudes de curvas, volumen y superficies 2

Funciones de varias variables 2.1 Plano y espacios Euclideos 2.1.1 Producto escalar 2.1.2 Distancia Euclidiana 2.1.3 Límites y continuidad 2.2 Campos escalares y vectoriales 2.2.1 Derivadas parciales y direccionales 2.2.2 Vector gradiente y matriz jacobiana 2.2.3 Derivadas de orden superior 2.2.4 Derivación implícita e inversa 2.3 Introducción al análisis vectorial 2.3.1 Curvas y superficies 2.3.2 Integral curvilínea y de superficies 2.3.3 Aplicaciones

3

Ecuaciones diferenciales 3.1 Métodos elementales de integración 3.1.1 Ecuaciones con variables separadas 3.1.2 Ecuaciones exactas 3.1.3 Factores integrantes

Metodología de trabajo En esta asignatura es fundamental la dedicación en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos. Es posible que no logres los resultados al primer intento, sin embargo no desesperes, ya que esto es parte de tu formación. Cabe mencionar que es indispensable que tengas una filosofía emprendedora proactiva hacia el aprendizaje.


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables La metodología empleada en el curso es la de aprendizaje basado en ejercicios y problemas matemáticos. Por ello se te presentarán situaciones diversas con el propósito de que apliques en ellas diversas fórmulas y procedimientos, y pongas en práctica tus conocimientos previos, resolviendo tus dudas y aplicando un aprendizaje significativo. El proceso de aprendizaje se basa en el análisis y utilización de los conceptos aprendidos en Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, por lo que será necesario que verifiques tus procedimientos. Por otro lado,es indispensable que trabajes de manera colaborativa con otros de tus compañeros a través de foros y wikis. A través de los foros se debatirán de forma conjunta los diferentes tópicos del curso. El wiki propuesto permitirá construir conocimientos a través de la investigación individual y la participación colectiva. El Facilitador(a) te guiará a lo largo del curso. Evaluará y retroalimentará cada una de tus tareas. La retroalimentación tiene la finalidad de que perfecciones tu escritura, método, simbología, orden y procedimiento, así como la coherencia con los contenidos estudiados.

Evaluación En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo. Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participación responsable y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales. En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias así como la participación en foros y demás actividades programadas en cada una de las unidades, y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes realizarla.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación. ESQUEMA DE EVALUACIÓN


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Evaluación continua

E-portafolio. 50%

Interacciones individuales y colaborativas

10%

Tareas

30%

Evidencias

40%

Autorreflexiones

10%

Examen

10%

CALIFICACIÓN FINAL

100%

Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la ESAD.

Fuentes de consulta básica Spiegel, Murray R. (1991). Cálculo superior. Serie Schaum’s, México: McGraw Hill Ayres, F. (2008). Cálculo diferencial e integral. McGraw-Hill. Serie Schaum’s, México: McGraw-Hill Bruzual, Ramón, Domínguez Marisela (2005); Cálculo diferencial en varias variables; Universidad Central de Venezuela, Escuela de Matemática; vínculo en la Web: http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/an2/caldifvv.pdf


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UNIDAD 1. Conceptos Generales

Presentación de la unidad En esta unidad adquirirás los fundamentos para identificar y comprender las sucesiones como una herramienta para calcular grandes valores. Podrás analizar en qué consiste una Variable real como parte de una función y posteriormente, considerar funciones de más de una variable. A través de los ejercicios abordaremos las funciones elementales que permiten desarrollar una función de Variable real para representarla dentro de un plano y poder aproximar resultados de sucesiones mediante el uso de series numéricas. Por último, lograrás habilidades para obtener la derivada de una función de variable real mediante la utilización de fórmulas de derivación y aprenderás a utilizar la fórmula de Taylor para determinar series de potencias tomando como herramienta las sucesiones numéricas.

Propósito de la unidad Mediante el estudio de esta Unidad podrás:   

Manejar series numéricas Identificar la relación entre las funciones de Variable real y las series de Potencias Representar funciones mediante Series y Polinomios de Taylor

Competencia específica Utilizar la recta y el plano complejo para crear sucesiones mediante la derivada de funciones de variable real.

1.1.

La recta real y el plano complejo

En este tema estudiarás el concepto de sucesión y su relación con las funciones matemáticas, así como la forma de representar una función en términos de sucesiones y su comportamiento convergente o divergente. También se analizará el concepto de derivada de orden superior, donde se muestra cómo una función derivada puede tomarse para calcular su derivada.


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1.1.1. Sucesiones. Continuidad de funciones de variable real Una sucesión es una lista de números a1,a2, a3, …,an ,… donde cada letra un número.

representa

Cada número es un elemento de la sucesión. Por ejemplo: 3,6,9,12,…,3n Los términos pueden ser obtenidos por el término general del final de la expresión anterior, donde n a su vez es una sucesión de uno en uno 1,2,3…,n. Entonces, los términos a1, a2, a3, …,an se obtienen de 1(3), 23, 33,…,n3 También se puede ver una sucesión como una función, por ejemplo, en la expresión anterior, existe una relación de los valores 1 con 3, 2 con 6, y en general n(3) para cada valor de n. En otras palabras: an=3(n)

Una sucesión infinita de números es una función donde el dominio es el conjunto de los enteros positivos.

Las sucesiones pueden ser escritas por reglas, de la siguiente forma:

√


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Analizando la última expresión, cuando n tiene un valor de 1, la

=1, en general

para valores de n: 1,2,3,4,…,n los valores de la función sobre n son 1,3,6,10,…,

respectivamente.

En ocasiones las sucesiones se aproximan a un valor específico cuando el valor de n se incrementa, por ejemplo

. Aquí el valor al que se aproxima la función

cuando n se incrementa, es 0.

{ , , , ,…, } 3 4

𝑛

Se dice entonces que la sucesión converge a 0. Se utilizan llaves para referirnos a los términos de la sucesión.

{ , , , ,…, } 3 4

𝑛

En otras ocasiones, el valor al que se aproxima una sucesión se hace más grande conforme el valor de n crece, o bien, fluctúa entre dos números, como por ejemplo:

{1,

-1, 1, -1, 1,…,(-1)n+1}

En este caso, los valores son 1 y -1 siempre aunque el valor de n se incremente. A este comportamiento se le llama divergencia, es decir, los valores n se aproximan a un valor único. La sucesión {an} converge a un número L si a todo número positivo  le corresponde un entero N tal que, para toda n: n > N  | an – L| <  Si no existe tal número L entonces se dice que {an} diverge.


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Si {an} converge a L, escribimos =L o simplemente {an}L, Donde L es el límite de la sucesión

1.1.2. Derivadas de funciones de variable real Si una función es diferenciable, entonces podemos considerar su derivada para x en el dominio M de f. Si las funciones son derivables, es posible obtener la primera, segunda, tercer, etc. derivadas. Esto se conoce como derivadas de orden superior. Si una función en diferenciable entonces podemos considerar su derivada como | para x en el dominio M de f. Si existe el

para algunos valores de x  M, entonces existe la

segunda derivada de la función f que se denota por segunda derivada de la función f.

o

, que es la

Ejemplo: Obtengamos la segunda derivada de la función que aparece a continuación:

3

Primera derivada:

Segunda derivada:

Ahora obtengamos la segunda derivada de la función siguiente:


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√

3

3

5 3

4

7 4 5 5

En general: 37

3

para

1.2 Series El uso de las series en muchos problemas matemáticos, permite hacer un tratamiento sencillo y simplificado de los problemas complejos. Una serie infinita es la suma de una secuencia infinita de números:

Una serie finita solamente tiene n términos:

Al hacer crecer el valor de n la suma tenderá a ser una suma infinita de términos llegando a ser una serie infinita la cual nos da un valor más exacto que una serie con menor cantidad de términos. Normalmente tenemos una expresión matemática que representa al n-ésimo elemento de una serie. Por ejemplo para saber cuál es el n-ésimo término de la serie:


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La expresión

nos da ese término.

La suma de los primeros k elementos se representa como:

∑ Entonces tenemos las siguientes sumas parciales:

3

1.2.1 Series Numéricas Tal y como vimos anteriormente, una serie numérica es aquella que sólo tiene valores numéricos como elementos de la sumatoria (suma de todos los elementos). Ahora, podemos preguntarnos ¿cómo saber cuál es el valor de la suma total o sumatoria de una serie? Algunas series pueden acercarse a un valor finito al ir aumentando la cantidad de términos de la suma. A esto se le llama convergencia de la serie o que la serie converge. Cuando el número de términos de la serie aumenta pero no se llega a ningún valor definido o la sumatoria se va haciendo más y más grande, entonces decimos que la serie no converge. Cuando una serie es convergente, es posible obtener mediante una fórmula el valor de la sumatoria. Así por ejemplo, supongamos que tenemos la serie:

Entonces, la suma parcial de los primeros k términos de la serie está dada por la expresión:


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Si observas de manera adecuada te darás cuenta que conforme aumenta el número de términos de la serie, el valor de la sumatoria tiende a 2, pues el segundo término tiende a 0. Entonces escribimos la serie anterior y su valor exacto, al considerar todos los términos posibles (cuando k tiende a infinito) como: ∑

Una serie en la cual los términos van alternando de signo (positivo y negativo), se llama serie alternante. Veamos los siguientes ejemplos de series alternantes:

Actividad 1. ¿Qué relación hay entre la sucesión y las series numéricas? A través de esta actividad podrás: Identificar las sucesiones, las series y su relación Expresar en una serie lo observado en un ejemplo concreto Discutir con argumentos los resultados obtenidos por su demás compañeros. Para ello: 1. Observa la animación de la pelota de basquetbol que se encuentra en la pestaña de la unidad 1 2. Identifica la sucesión con una serie, la cual, proporciona la distancia de todos los rebotes. 3. Redacta tus conclusiones en el Foro y expresa la distancia total de los rebotes como una serie. 4. Comenta la respuesta de tres de compañeros argumentando la postura de tu respuesta. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.


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1.2.2 Series de potencias Cuando los términos de una serie numérica tienen exponentes que se van modificando, decimos que es una serie de potencias. Es un ejemplo de una serie de potencias. Observa la siguiente serie, que es un polinomio en la variable x. ∑

Actividad 2. Representación de Funciones de Variable real mediante el uso de series Al finalizar el ejercicio podrás:   

Identificar las series como una forma de representar las funciones Analizar el comportamiento de las series propuestas Expresar una función en términos de una serie

1. Resuelve el ejercicio que a continuación se te presenta.

2. Expresa como una serie cada una de las funciones de los incisos del ejercicio. a. b. c. 3. Indica y fundamenta si las series son convergentes o divergentes. 4. Envía el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

1.2.3. Fórmula de Taylor En este tema se representará una función, que sea derivable n-veces, mediante una serie de potencias, en donde suponemos que la función y todas sus derivadas existen en un intervalo determinado. El poder representar a una función en términos de una aproximación de tipo polinomial (serie de potencias) llega a ser una herramienta muy útil para resolver problemas de funciones. Sabemos que las series numéricas pueden converger hacia un valor si cumplen con determinadas condiciones. Una de ellas es que los valores de los términos se encuentren dentro de un rango o intervalo.


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Si existen las derivadas de todos los órdenes de una función de variable real dentro de un intervalo, ¿se podrá expresar a dicha función como una serie de potencias dentro de ese intervalo? y entonces ¿cuáles serían los coeficientes de los términos de la serie? Supongamos que podemos representar a f(x) como una serie de potencias de la siguiente forma: ∑

Y supongamos también que la serie converge dentro de un intervalo y obtenemos las diferentes derivadas de todos los órdenes: 3

3

3

4

4

5

La n-ésima derivada tiene la siguiente expresión: !

una suma de términos con

como factor

Ya que todas estas expresiones se cumplen para cuando

, entonces tenemos que:

3

Y en general tenemos:

𝑓

𝑛

𝑥

𝑛! 𝑎𝑛

Si observa el desarrollo anterior podemos distinguir un patrón en los coeficientes de la serie original de . Si existe la convergencia de esta serie dentro del intervalo en donde está a, entonces cada uno de los coeficientes de la serie están dados por la siguiente expresión:

! Y entonces la función

quedaría expresada, por medio de su serie:


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!

!

Podemos ver entonces que si una función es derivable n veces dentro de un intervalo centrado en y que su serie de potencias es convergente para ese valor de a, entonces la función se puede representar por medio de la serie mostrada en la ecuación anterior. Esta serie es llamada Serie de Taylor de la función 𝑓 𝑥 en 𝑥

En el caso muy particular en el que

𝑎.

, tenemos que la Serie de Taylor toma la forma:

!

!

∑

!

A esta forma particular de la serie de Taylor se le llama Serie de Maclaurin.

1.2.4. Series de potencias de las funciones elementales Este subtema verás cómo aplicar las series de Taylor para representar en forma de un polinomio de Taylor (serie de potencias) algunas funciones que aparecen frecuentemente en los problemas matemáticos. Esto nos permite tener un manejo más eficaz de dichas funciones para su uso y análisis dentro de los problemas en donde aparecen dichas funciones. Consideremos en primer lugar la función exponencial y vamos a ver cuál es su representación polinomial o en una serie de potencias en el punto . Esta función tiene sus k derivadas, dadas por: , Tenemos que en , Por lo tanto, la Serie de Taylor generada en

está dada por:

!

! !

!


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables ∑

!

En particular esta representación es la Serie de Maclaurin para Ahora, para un número finito de términos N de la Serie de Taylor, tenemos que el Polinomio de Taylor para la función en es: !

!

En la gráfica siguiente notarás que se muestran varios Polinomios de Taylor para la función y la propia función. Nota como al ir aumentando el valor de N, las curvas se van pareciendo más a la función original.

Gráfica de la función

y sus Polinomios de Taylor

( ⁄ !) ( ⁄ !)

3

( ⁄ !)

Actividad 3. Derivadas de una función y su representación por medio de la Serie de Taylor Al finalizar este ejercicio podrás:   

Identificar las variables de una función Analizar y aplicar las fórmulas de las derivadas Expresar la función en Series y Polinomios de Taylor. Para ello:


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables 1. Resuelve los dos problemas que a continuación se plantean a. Considera la función cos(x) y desarrolla su representación en Series y Polinomio de Taylor alrededor del punto x=0. b. Obtén la representación en términos de los Polinomios de Taylor, para la función log(x) alrededor del punto x=1 usando la metodología vista en esta lección. 2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

1.3. Integración área e integral Durante este tema verás la relación que existe entre una función y la derivada de otra, es decir del cálculo de primitivas. Cuando existe esta relación, las funciones que con primitivas de otra tienen algo en común, la diferencia es una constante. También se verá cómo realizar el cálculo de longitudes de curvas, volúmenes y superficies a través de ejercicios de integración.

1.3.1. Cálculo de primitivas Se dice que una función F(x) es una primitiva de otra función si para todo x de (a, b) se tiene que . Como ejemplo considera la función ya que .

sobre un intervalo (a,b)

es una primitiva de

en todo

A continuación se presenta un teorema que es consecuencia del teorema del valor medio de LaGrange.

Teorema: Sean F1(x) y F2(x) dos primitivas de la función f(x) en (a, b). Entonces, para todo x de (a, b), En otras palabras, dada una función , sus primitivas difieren en una constante. El conjunto de todas las primitivas de una función Integral Indefinida de y se denota por ∫ de forma tal que si es una primitiva de , Entonces ∫ Donde C es una constante.

definida en (a,b) se denomina


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Por ejemplo, si tomamos la función derivada de , es

y la representamos con

, la

Como vimos anteriormente, si dos funciones son primitivas de otra función, entonces deberá suceder que la diferencia entre ambas es una constante, es decir, si F y G son primitivas de f, entonces:

Así comprobamos que La derivada de la función f es

y

son primitivas de

.

.

Como la derivada de la primera función es y la derivada de la segunda es podemos ver que la diferencia entre estas dos derivadas es la constante 5. Por lo tanto, podemos concluir que las funciones F y G son primitivas de f.

1.3.2. Aplicaciones áreas, longitudes de curvas, volumen y superficies El cálculo diferencial e integral con una variable, nos permitió resolver una amplia gama de problemas matemáticos sobre distintas áreas del conocimiento humano. Ahora, cuando consideramos más de una variable podremos tratar y analizar un espectro muchísimo más amplio de problemas de todo tipo, en particular, podremos considerar problemas tridimensionales, tales como: trayectorias, superficies y volúmenes en tres dimensiones. En las siguientes figuras se muestran ejemplos:

Trayectorias

Superficies


Volúmenes

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Autoevaluación Felicidades, Haz llegado al final de la Unidad. Para terminar resuelve la actividad de autoevaluación que corresponde a un conjunto de reactivos en forma de relación de columnas.

Instrucciones: anota en paréntesis de la pregunta, la opción que corresponda

a la respuesta

de la pregunta planteada. 1.- ( ) Cual es la condición para que una F(x) sea una primitiva de f(x) a. b. c. d. 2.- ( ) Se le denomina al conjunto de todas las primitivas de una función f(x) en un intervalo (a,b) a. Derivada de una función b. Función primitiva c. Primitiva d. Integral indefinida de la función 3.- ( ) Es el resultado de obtener la primitiva de la función f(x)=6x a. b. c. +4 3 d. 4.- ( ) Representa la función para la siguiente serie 1+2+…..+n a. 2n b. c. 2n+1 d. 5.- ( ) Es una característica de dos funciones que son primitivas de f(x) en un intervalo (a,b). a. Su suma es igual a b. La diferencia entre las los funciones es una constante c. La diferencia entre las dos funciones es cero d. La suma de las dos funciones es una constante Retroalimentación 1-3 Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad 4-5 Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.

Evidencia de aprendizaje. Representaciones de funciones por medio de Series de Taylor Al finalizar serás capaz de: 

Comprender que una función que tiene todas sus derivadas dentro de un intervalo, se puede representar como una serie de potencias llamada Polinomios de Taylor.


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables  

Analizar el comportamiento de las funciones expresado por medio de series. Resolver problemas complejos donde las funciones matemáticas se pueden representar por medio de Polinomios, reduciéndolos a una forma más simple de manejar. Para ello:

1. Calcula los cinco primeros polinomios de Taylor de la función

en el punto x=0

2. Grafica cada uno de los Polinomios anteriores en el mismo sistema de coordenadas. 3. Observa la forma que van teniendo los Polinomios 4. ¿Qué conclusión puedes obtener cuando el grado de los Polinomios va aumentando? 5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U3_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

6. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

7.

Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad. En esta unidad revisamos como una serie numérica nos permite calcular números en posiciones exactas, nos adentramos al cálculo de la derivada y la integral por medio de las diferentes técnicas que se nos presento en la siguiente unidad. Se determino la diferencia entre una sucesión y una serie numérica, la relación que existen entre ellas y como identificarlas para determinar un resultado especifico. En adelante te invito a que sigas con la segunda unidad donde todos los conocimientos obtenidos hasta ahora serán aplicados para reforzar los conocimientos que hasta ahora has obtenido, veremos como obtener resolver ejercicios de integrales con varias variables, su representación grafica y su cambio respecto al cambio de variables. Así pues te invito a que continúes esforzándote con la ayuda de tu facilitador que es un medio importante para poder obtener un conocimiento integral.


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Para saber más Ver el video “Sucesiones y progresiones” en la dirección: http://www.youtube.com/watch?v=cMDIXK9W7zo

Referencias Bibliograficas Bosch, C. (2006). Cálculo diferencial e integral. México: Publicaciones cultural S.A. Picón, P. E. (2006). Análisis conjunto. México: Porrúa. Thomas (2006). Cálculo de varias variables. México: Pearson.


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UNIDAD 2. Funciones de varias variables

Presentación de la unidad En esta unidad aprenderás a utilizar algunas herramientas de integración para representar áreas, volúmenes y superficies mediante el uso de integración de primitivas. Se abordarán los conceptos de producto escalar y vector(es) para determinar el producto escalar y realizar operaciones de proyección de distancias. Ejecutarás procedimientos en donde utilices las reglas y fórmulas de integración para determinar primitivas, límites y continuidad, así como las fórmulas para obtener las derivadas de orden parcial y superior de funciones implícitas e inversas. También analizaremos los espacios euclidianos y su relación con el cálculo de varias variables. Abordaremos las propiedades principales de los espacios euclídeos, notación vectorial y su representación en al ámbito de varias variables. Trataremos los puntos referentes a las funciones derivadas y su relación con los campos vectoriales.

Propósito de la unidad Mediante el estudio de esta Unidad podrás: Identificar las funciones como producto de varias variables, tomando como base el producto escalar de un vector. Emplear la distancia Euclidiana tomando como herramienta los límites y la continuidad.

Competencia específica Utilizar las herramientas de integración para representar áreas, volumen y superficies mediante el uso de integración de primitivas.

2.1. Plano y espacios Euclideos El desarrollo de la geometría Euclidiana tiene su principal momento en los siglos XIX y XX, tras la aparición del cálculo vectorial. El nombre lo recibe en honor del matemático Euclides quien vivió en los años 300 A.C., y que estudió los principios básicos de la geometría plana, o en dos dimensiones.


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Los espacios vectoriales se pueden combinar con nociones de geometría como lo es la ortogonalidad, distancias, ángulos, etc. Estos conceptos se pueden introducir en los espacios vectoriales a través del producto escalar. Se le denomina función real de 𝒏 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 a toda relación que contenga valores reales y su dominio sea un conjunto 𝑫 en el espacio euclidiano de dimensión 𝒏, 𝒏.

En otras palabras se trata de una función que relaciona a cada o vector de componentes reales , con número real , escribiéndose como se muestra a continuación:

Para la notación vectorial es:

Hay que precisar que a los elementos del vector independientes y al número real , variable dependiente.

se les llama variables

2.1.1. Producto escalar Para comenzar a comprender el concepto de geometría Euclidiana en relación con el cálculo vectorial, consideremos el siguiente producto de dos vectores: 𝒙𝟏 𝒙𝟐

𝒚𝟏 𝒚𝟐

𝒙𝟏 𝒚𝟏

𝒙𝟐 𝒚𝟐

El resultado de esta operación es un escalar, por eso a éste se le denomina producto escalar y permite conocer algunas de las propiedades de los vectores, por ejemplo aquellos que tienen ángulo recto (también llamados ortogonales), los cuales tienen producto escalar igual a cero, como se muestra a continuación:

Las propiedades del producto escalar en cualquier espacio son las siguientes:


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables ⃗.

De esta manera:

Un espacio Euclidiano es un espacio vectorial con un producto escalar. Denotamos al producto escalar con 𝒙 𝒚 pero también lo podemos utilizar como: <𝒙 𝒚>

Al producto escalar también lo conocemos como producto interno y como se mostrará a continuación, Consiste en una operación sobre dos vectores. Así tenemos que para en donde ,

, se define:

〈 | 〉

∑

En donde: =2: =3:

=〈

〉

| =〈

〉

|

Ahora consideraremos las propiedades del producto escalar y, aunque existen algunas otras propiedades, principalmente se mencionan dos: Cuando el producto escalar es simétrico o conmutativo:

Cuando el producto escalar es lineal respecto a la primera variable: 〈

| 〉

〈 | 〉

〈 | 〉

Ejemplos: El producto escalar, en , puede considerarse como una multiplicación de dos matrices, la primera con un renglón y la segunda con una columna únicamente.

(

)


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables La multiplicación de matrices en el espacio no es un producto escalar. En el espacio para matrices de en podemos definir el producto escalar como sigue: | Sea el espacio de todos los polinomios de grado , entonces podemos definir el producto escalar.

(

) (

*

2.1.2. Distancia Euclidiana En la interpretación geométrica del espacio euclídeo, se encuentran dos elementos de estudio: Puntos Generación de los números reales en diferentes representaciones del espacio. Análogamente que representado geométricamente en una recta, tenemos que: Número

Elementos

Representación Plano en el que corresponde a las abcisas e a las ordenadas en un sistema de coordenadas cartesianas Espacio tridimensional en el que una -upla es un punto en el espacio también de dimensiones

Vectores La regla del paralelogramo responde a la suma de vectores, en donde cada n-upla son el vector, o también llamado segmento orientado, que une el punto de coordenadas con el origen . También habrá que considerar a los vectores de la base estándar , se ubican en las direcciones de los ejes de las coordenadas; luego entonces, los elementos del vector según dichos ejes son:

Puede resultar útil tomar en cuenta los segmentos orientados con origen arbitrario, sin embargo, habrá que identificar a los dos segmentos que se obtengan recíprocamente aplicando exactamente la misma traslación a su extremo y a su origen. Así tenemos que


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PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables el extremo en = y el segmento con origen en un punto corresponde el siguiente vector:

=

le

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ De manera recíproca = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , es decir, cada uno de los vectores de = pueden ser representados por un segmento con origen en cualquier punto = . Con lo que se concluye que la interpretación gráfica de la suma de vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, cualesquiera que sean los punto es:

La norma euclidea es una norma asociada al producto escalar 𝑥, en donde para: 𝒙

𝑥 𝑥

𝑛

𝑥𝑛

Se define: /

𝑛

‖𝑥‖

〈𝑥|𝑥〉

/

∑ 𝑥𝑘 + 𝑘

Con lo que tenemos que: ‖𝑥‖

𝑦 𝑞𝑢𝑒 ‖𝑥‖

⟺𝑥

Con referencia a la desigualdad de Cauchy-Schwartz, para |〈 | 〉|

se tiene que:

‖ ‖‖ ‖

Dándose la igualdad si y sólo si 𝑦

𝑥 con

⬚

o𝑥

.

Ahora bien, en cuanto a la desigualdad triangular, para ‖

‖

‖ ‖

se tiene que:

‖ ‖

Dándose la igualdad si y sólo si 𝑦

𝑥 con

o𝑥

.


28

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables El significado geométrico es un espacio métrico es un par es una función tal que:

donde

es un conjunto y

De la definición anterior podemos desprender las siguientes propiedades:

Con lo que se concluye que dado que ‖ ‖ es la distancia que hay del origen al punto , ‖ ‖ es la distancia entre los puntos e . Nota: La función puntos.

se llama métrica o distancia y los elementos de

se denominan

2.1.3. Límites y continuidad En el cálculo de variables tomaremos funciones definidas en un conjunto y que adquieren valores en , donde Al conjunto se le denomina dominio de la función y lo representaremos mediante . Sea

y una función que va de a) Si , la función se denomina función real de una variable real. b) Si > , a la función se le llama función vectorial de una variable real. c) Si > , se conoce como una función real de una variable vectorial o campo escalar. d) Si > > , es una función vectorial de una variable vectorial o campo vectorial.

Ejemplos:

y está definida por El volumen de un cubo de medidas Sea

para todo es la función

dada por la función

una función,

tal que: ⃗⃗ Donde son funciones escalares. Estas funciones se llaman funciones escalares de . Es común utilizar la notación abreviada


29

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables . Si consideras la función son:

, las funciones escalares de

Ejemplo: Considera la función √ El dominio de es el conjunto Si tomamos el valor para √

 entonces para

tenemos que:

y

La noción de límite y continuidad la podemos ampliar a funciones entre dos espacios métricos. Conocemos que con la métrica euclidiana es un espacio métrico en el que ⃗ ⃗ || ⃗ ⃗ || o en otros términos: ((

√

)

)

Consideramos la norma euclidiana || || en

y la denotaremos simplemente como || ||.

Por lo expresado hasta aquí, podemos considerar también los conceptos de límite y continuidad en las funciones . Ejemplo: 𝑳

El límite de

𝐥𝐢𝐦

𝒙𝒚

𝟏𝟐

𝟐𝒙

para este caso es igual a 2 y el de

𝟓𝒚

es igual a 10.

Probaremos esto considerando que: Dado un > existe un / y además existe un Ahora tomemos a tenemos que: <√

> tal que si | > tal que si | ya

|< |< tal que

< ||

entonces se cumple que | |< / entonces | || <

< ||

||

||

|<

entonces

|| <

y además:


30


<√

||

< ||

|| <

||

y finalmente, de esto se desprende: |

|

|

|

|

|

|

|

|

|<

2.2. Campos escalares y vectoriales El concepto de Campo, proviene originalmente del estudio de fenómenos físicos. Por ejemplo, si pensamos en una de las habitaciones de nuestra casa, que tiene una puerta que da al pasillo u otra habitación contigua o al baño y una ventana por donde entra la luz del sol en la mañana. Si tomamos la temperatura en distintos puntos de la habitación, en la ventana, en la puerta, cerca de la lámpara de la habitación, etc., tendremos diversas lecturas en el termómetro. Ahora consideremos otro ejemplo, una cisterna profunda, o una fosa de clavados o una alberca, un tinaco de agua, etc. Si medimos la presión del agua a distintas alturas de los envases anteriores, obtendremos también diferentes valores de la presión hidráulica. En el primer ejemplo tendríamos un conjunto de valores de temperatura de la habitación, el cual conforma un campo de valores de temperatura y en el segundo ejemplo tendríamos un campo de valores de presión. En ambos casos, los diferentes valores solamente dependen de la posición espacial en donde se tomaron las mediciones y nada más. Cuando tenemos un campo de valores, que solamente tienen una magnitud o valor de medida, entonces decimos que se trata de un Campo Escalar. En cambio si ahora medimos la velocidad de algún vehículo en movimiento o si dejamos caer una pelota desde la azotea de un edificio y medimos la posición, la velocidad de la pelota, en ambos casos, tenemos que decir cuál es el valor de la velocidad, pero también tenemos que decir en qué dirección se mueve el objeto y hacia qué lado. En el primer caso, el automóvil se mueve hacia la derecha con una velocidad de 20 km/hr. En el segundo caso, decimos que la pelota cae con una velocidad de 5 m/s. Si tuviéramos que levantar un objeto pesado que se encuentra en el piso, utilizando una polea y una cuerda para ello. Tendríamos que aplicar una cantidad de fuerza determinada sobre la cuerda para levantar el objeto del piso a una altura dada, tal y como se muestra en la figura


31

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables En todos estos ejemplos, las cantidades que medimos no solamente tienen un valor numérico, como en los campos escalares, sino que ahora tenemos una dirección sobre la cual está tomando la medición. Así, al mediar la velocidad de alguno de los objetos, tenemos que decir cuál es la dirección y el sentido en el cual se está moviendo el objeto. En el caso del levantamiento del objeto, además de decir el valor de la cantidad de fuerza que se debe aplicar, también está involucrada la dirección y el sentido en los cuales debe aplicarse la fuerza. Así pues, cuando tenemos entidades que tienen una magnitud, pero además tienen asociada una dirección y un sentido, decimos que se trata de un vector y al conjunto de vectores considerados dentro de un problema o escenario determinado lo llamamos Campo Vectorial. En los ejemplos dados, tendríamos un campo de velocidades y un campo de fuerzas, ambos son ejemplos de campo vectoriales.

2.2.1. Derivadas Parciales y direccionales Hemos aprendido hasta aquí que el Cálculo de varias variables, es similar al cálculo de una variable, simplemente aplicando varias variables. Derivadas parciales con funciones de dos variables.

Considere como un punto en el dominio de una función , el plano vertical , que corta la superficie en la curva , como se indica en la figura siguiente. En este plano, es la coordenada horizontal y es la vertical, mientras que es una constante.

Fig. Intersección en el plano

en la superficie

.

Definición. Derivada parcial con respecto a .

La derivada parcial de 𝑓 𝑥 𝑦 con respecto a 𝑥 en el punto 𝑥 𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑥

𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0

ℎ𝑦

es la siguiente:

𝑓 𝑥 𝑦 ℎ


32

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Ejemplo 1 Calcule la derivada parcial,

Solución: Para resolver este problema, consideramos a y derivamos con respecto a . Por lo tanto:

como una constante

encontrando los valores y

en el punto (4,-5) en la

función Para el punto (4,-5), el valor de Ahora, para encontrar

es

tomamos a

. como una constante y

derivamos con respecto a . (

Evaluando Ejemplo 2 Encontrar y tenemos que:

Solución: Tomaremos a si

(

Tomamos a (

en el punto (4,-5), quedaría así: 3(4)+1=13.

como un cociente y a

como una constante:

*

como una constante, tenemos que: *

Ejemplo 3 Para este ejemplo debemos encontrar

en la ecuación

tiene a como una función con dos variables independientes parcial.

. Esta ecuación y existe la derivada

Solución: Debemos derivar ambos lados de la ecuación con respecto a . Tomaremos a como una constante y como una función derivable de .


33


(

*

Ejemplo 4 Considere el plano toca al paraboloide pendiente de la tangente a la parábola en la dirección figura:

en una parábola. Determinar la (1,2,5) como se muestra en la

Fig. Tangente a la curva de intersección en la superficie punto (1, 2,5).

del plano

, en el

|

Ejemplo: Considere ahora una función de tres variables independientes: Encontrar

.

Solución: [

]


34

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Ejemplo: Considera la siguiente función: { Determine el límite de

como

en el punto (0,0) alrededor de la línea

. Probar

que es discontinua en el punto (0,0) y muestre que existen las derivadas parciales

y

en el punto (0,0). Solución: Como tiene un valor de 0 a lo largo de la línea tenemos que:

Por otra parte, como el límite de entonces se demuestra que la función Por último, si queremos encontrar valor de

, como se puede ver en el punto anterior, no es continua en el punto (0,0).

en el punto (0,0) y tomamos a

para todo . Podemos ver la grafica de ,

que la pendiente de forma

(excepto en el origen),

en cualquier , es

es la pendiente de

en la figura. Podemos ver

, en particular en el punto (0,0). De igual

en la figura y podemos ver que

Fig. Gráfica de la función

, entonces el

en el punto (0,0).

{


35

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Derivadas parciales de segundo orden A continuación se presentan la noción de funciones de dos variables con derivadas de segundo orden. Denotamos a la derivada de segundo orden para una función de dos variables 1.-

3.-

2.-

4.-

como:

Utilizando esta notación las ecuaciones quedarían así: ( Note que se deriva primer con respecto a

*

(

*

y luego con respecto a .

( ) .

O bien, esto mismo podríamos representarlo como:

Ejemplo: Encontrar las derivadas parciales de segundo orden para la función

Solución:

Entonces:

Entonces: (

( )

* (

*

( )

Teorema de las derivadas mixtas Las derivadas parciales de segundo orden mixtas del ejemplo anterior son iguales, lo cual no es una coincidencia, ya que deben ser iguales siempre que .


36


Teorema. Si 𝑓 𝑥 𝑦 y sus derivadas parciales 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑥 se definen en una región que contiene un punto 𝑝 𝑞 y son todas continuas en el punto 𝑝 𝑞 , entonces tenemos que: 𝑓𝑥𝑦 𝑝 𝑞

𝑓𝑦𝑥 𝑝 𝑞

Este teorema es conocido como el teorema de Clairaut en honor al matemático francés Alexis Clairaut quien lo descubrió. Este teorema muestra que para calcular una derivada de segundo orden mixto podemos derivar en cada uno de los órdenes verificando que se cumplan las condiciones de continuidad. Ejemplo: Determinar

/

Solución: Podemos ver que la expresión / nos indica que primero debemos derivar con respecto a y después con respecto a . Sin embargo podemos hacer más rápido el procedimiento si derivamos primero con respecto a , como veremos a continuación:

considerando que

Por supuesto, si derivamos primero con respecto a obtenemos el mismo resultado.

Derivadas parciales de mayor orden En ocasiones podemos encontrarnos con problemas que requieran derivadas parciales de un orden mayor a dos. Para estos casos no debe existir limitación sobre el número de veces que podemos derivar una función.

Las derivadas de orden mayor a dos, podemos representarlas como: 𝜕3𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕4𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Ejemplo: Calcular las derivadas parciales de cuarto orden para la función

𝑓𝑦𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦𝑥𝑥

Solución: El orden en que derivaremos la función es: y por último .


37

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables =-

=-4

Diferenciabilidad Recordemos que para funciones de una sola variable si es derivable en entonces el cambio en el valor de se obtiene del resultado de del cambio de a y se expresa con la ecuación siguiente: Donde Este concepto se puede extender para funciones de más de una variable. Teorema. Incremento para funciones de dos variables: Consideremos que la primera derivada de una función a lo largo de una región conteniendo el punto ( y también que y son continuas en dicho punto.

Por lo tanto, el incremento

en R, satisface la ecuación siguiente:

en el valor de la función resulta del movimiento desde a otro punto )

Llamaremos a una función diferenciable si es diferenciable en todo punto de su dominio. Una función es diferenciable en si y existen y satisface la ecuación de la forma siguiente:

Donde

y


38

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Definición. Función diferenciable. Una función es diferenciable en satisface la ecuación de la forma siguiente:

Donde Llamaremos a

si

y

existen y

y una función diferenciable si es diferenciable en todo punto de su dominio.

Corolario del teorema de del incremento para funciones de dos variables. Si existe continuidad en las derivadas parciales y en una función una región , entonces es diferenciable en cualquier punto de .

a través de

Regla de la cadena para funciones de varias variables La regla de la cadena para funciones de una sola variable establece que cuando es una función derivada de y además es una función derivada de , entonces se es una función diferenciable de y

Para funciones de varias variables la regla de la cadena presenta varias formas y cada una de ellas depende de cuantas variables están consideradas. Funciones de dos variables Para una función donde y donde ambas son funciones diferenciables de , la fórmula para la regla de la cadena está expresada en por el teorema siguiente. TEOREMA. Regla de la cadena para funciones de dos variables independientes. Si tiene derivadas parciales continuas y y además si son funciones diferenciables de , entonces la composición de funciones ( ) es una función diferenciable de y podemos expresar que: (

)

(

)

o bien,


39


Prueba. La prueba del teorema anterior consiste en mostrar que si y diferenciables en cuando es diferenciable en y además (

*

( 0

donde

* (

*

(

0

0

* (

son funciones

* 0

0

y los subíndices indican que las derivadas han sido evaluadas.

Consideremos ahora lo siguiente, sea y ,y incrementos derivados del cambio de por . Sabemos que es diferenciable, por lo que (

)

( 0

Donde

) 0

y

y también

.

Dividiremos esta ecuación por (

para encontrar *

(

*

0

Haciendo que (

, con lo cual obtenemos:

0

, tenemos que: *

( 0

* ( 0

*

( 0

* ( 0

*

( 0

* 0

Ejemplo: Encontrar la derivada de con respecto a , utilizando la regla de la cadena, donde y . Calcular el valor de la derivada en . Para encontrar

/

aplicamos la regla de la cadena de la forma siguiente:


40


(

)

/

( )

Funciones de tres variables Lo visto anteriormente se puede extender para el cálculo con tres variables. A continuación se muestra un teorema que hace referencia a esto. Teorema. Regla de la cadena para funciones de tres variables independientes. Consideremos como una función diferenciable y son a su vez, funciones diferenciables de u, por lo tanto es una función diferenciable en . Ejemplo: Calcular

/

si

.

Calcule la derivada para

(

)

( )

.

2.2.2. Vector gradiente y matriz jacobiana A continuación se aborda el concepto de matriz jacobiana y vector gradiente en el cálculo de varias variables. Matriz jacobiana Definición. Sea una función tal que diferenciable en a. Cuando se fijan , la matriz que corresponde a la aplicación lineal se le denomina matriz jacobiana de en . Esta matriz jacobiana se denota por:


41


(

Considere la función existe el límite

,

. Esta función es diferenciable en

si y solo si

Para este caso, se denota , donde el apostrofe representa a la derivada de la función. es el vector tangente a la curva en . Ejemplo: Consideremos el valor de y representa, para una partícula móvil, el vector de posición en el espacio. Entonces es el vector velocidad y su módulo || || es la velocidad. Vector gradiente Definición. El vector gradiente de parciales, se define como

, cuando existen las .

derivadas

De acuerdo a lo anterior podemos sacar las siguientes conclusiones: <

>

Por lo tanto una función escalar diferenciable tiene una dirección máxima de variación dada por su vector gradiente. Por otra parte, el vector gradiente no nulo, es ortogonal a los llamados conjuntos de nivel. Como ejemplo considere y obtenemos las ecuaciones de la recta tangente y del plano tangente de la forma siguiente: Recta tangente a la curva <

en el punto >

En cuanto al plano tangente a la superficie <

.

en el punto

, tenemos que

>


42

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Hay que hacer notar que si la superficie viene dada de manera explícita por donde como hemos visto es una función diferenciable en , entonces el plano tangente es:

Ya que

si y solo si

,

.

2.2.3. Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior de funciones de varias variables, están relacionadas con las derivadas parciales de dichas funciones. Por ejemplo, suponga que tenemos la función , de dos variables, sabemos que las derivadas parciales de dicha función son:

A estas derivadas se les llama las derivadas parciales de primer orden. Si ahora volvemos a obtener las derivadas parciales de las funciones que representan las derivadas parciales de primer orden, obtendremos las derivadas parciales de segundo orden de la función Estas derivadas se representan como: (

*

(

*

(

(

*

*

Algunas propiedades de las derivadas parciales Si las derivadas parciales son funciones continuas, entonces las derivadas cruzadas son idénticas

Si las derivadas parciales son funciones continuas entonces no importa el orden en el que se realicen las derivadas, sino del número de veces que se derive con respecto a cada una de las variables. Esto es muy importante tomarlo en cuenta ya que aunque el


43

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables resultado final sea el mismo, el proceso de cálculo puede ser más tedioso y difícil si se lleva a cabo en un orden que en otro. Para calcular las derivadas parciales de tercer orden o superiores, se procede de la misma manera que se hizo anteriormente. Ejemplo 1. Obtener la derivada parcial de segundo orden de la función

.

Para empezar, calculamos las primeras derivadas parciales de la función

:

Ahora volvemos a derivar las primeras derivadas parciales para obtener las derivadas parciales de segundo orden: 3

3

4

Observe que las derivadas parciales cruzadas son idénticas, ya que las funciones de las derivadas parciales de primer orden son continuas. Si seguimos derivando una vez más el resultado anterior (la derivada parcial de segundo orden), Obtendremos la derivada parcial de tercer orden de la función sucesivamente, las de orden superior. Las derivadas parciales de tercer y cuarto orden de la función

y así

se escriben como:

3

4

Ejemplo 2. Calcular la derivada parcial de cuarto orden

de la función


44


Para calcular esta derivada de cuarto orden, primero tenemos que derivar a con respecto a la variable luego con respecto a luego con respecto a y finalmente con repecto a

2.2.4. Derivación implícita e inversa En esta sección veremos el concepto de funciones implícitas y cómo calcular sus derivadas parciales. También estudiaremos la forma para obtener las derivadas parciales de una función inversa. Derivadas implícitas Una función implícita es aquella en la que las variables de la función están relacionadas de tal manera que no es posible despejar a todas y cada una de las variables en términos de las otras. Por ejemplo, si tuviéramos la función podemos despejar, ya sea a en términos de o viceversa como se muestra a continuación: √

√ Pero si la función fuera:

3

¿cómo despejaría a

oa ?

¿Por qué nos interesaría despejar una variable en términos de las otras? Pues para obtener la derivada de una de las variables con respeto a las otras. Regla de la cadena Del cálculo de una variable, tenemos la Regla de Cadena, que nos dice que si tenemos una función de igualada a y es una función de entonces la derivada de con respecto de se calcula de la siguiente manera:


45

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Para el caso de dos ó más variables la regla de la cadena tiene varias formas dependiendo del número de variables involucradas. Por ejemplo si tenemos que , y tanto como dependen de la variable entonces la derivada de con respecto a la variable viene dada por:

Ejemplo 3. Vamos a usar la regla de la cadena para calcular la derivada de con respecto a suponiendo que y que Calcule el valor de la derivada en / Sabemos por la regla de la cadena que la derivada de

Evaluando la derivada en el punto

está dada por la expresión:

tenemos que ( )

⁄

(

)

En términos generales podemos decir que una función implícita la podemos representar, en el caso de dos variables como:

En la parte izquierda de la ecuación aparecen todos los términos en diferentes expresiones matemáticas. Por ejemplo:

y

mezclados en

√ En el caso de 3 variables lo escribimos así:

Un ejemplo sería:


46

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Si queremos calcular la derivada parcial de segundo orden de alguna de las funciones anteriores, por ejemplo Sea

√

, procedemos de la siguiente manera: entonces tenemos que:

(

)+

√

√

√ Derivadas parciales de funciones inversas Caso de una variable Para el caso de funciones de una sola variable, de la forma que la derivada de primer orden de la función inversa de expresión:

es fácil demostrar , viene dada por la

Suponiendo que Ejemplo 4. Calcular la derivada de primer orden de la función inversa

de la siguiente

ecuación:

Calculemos la derivada

. Para ello derivamos implícitamente la ecuación dada. (

*


47


6

Por lo tanto, la derivada de la función inversa

es:

Las derivadas de órdenes superiores de funciones inversas, se obtienen de la misma manera, llegando a las siguientes expresiones: 3

(

*

3

5

3 3

[

3

](

*

Caso de varias variables Cuando tenemos más de una variable y una función de dos ó más variables como por ejemplo y tenemos una transformación dada por es decir que existe una función inversa, tal que:

Tal que podemos representar a podemos derivar con respecto a

( para obtener:

) usando la regla de la cadena

Que también podemos escribir como:


48


Dado que sabemos que

entonces podemos calcular las

siguientes derivadas parciales: las funciones inversas:

y y

. Las otras derivadas parciales pertenecen a

, las cuales podemos obtener derivando

implícitamente: Primero, derivemos las expresiones

Este es un sistema de ecuaciones simultáneas, que podemos resolver fácilmente para y

:

Ahora derivamos la misma serie de pasos anteriores:

pero con respecto a

para obtener, después de

Como se puede ver, los denominadores de las expresiones anteriores, son el Jacobiano de la transformación de , dada por , que es precisamente el determinante: |

|

De la misma manera tenemos que:


49

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables |

|

Usando las expresiones calculadas anteriormente y substituyendo en este último Jacobiano tenemos: |

|

|

|

Que es la generalización en varias variables del caso la derivada de una función inversa de una variable.

2.3. Introducción al análisis vectorial Considera que un objeto, trátese de un punto, una pelota, un insecto, un helicóptero, etc., se mueve en un espacio tridimensional y te interesa saber cuáles son los ejes de ese objeto en un sistema de coordenadas, ya sea cartesiano, esférico o cilíndrico. Si consideras un sistema cartesiano, entonces las coordenadas de dicho objeto estarían representadas como una triada de valores .

Figura representativa de las coordenadas cartesianas

Si quisieras utilizar un sistema esférico, entonces necesitarías un sistema coordenado con valores .


50


Figura representativa de las coordenadas esféricas

Si decides emplear un sistema cilíndrico, entonces usaríamos un sistema coordenado con valores ℎ .

Figura representativa de las coordenadas cilíndricas

Ahora bien, dado que los objetos considerados cambian de posición constantemente, es decir, se mueven, de tal manera que las coordenadas en cualquiera de los sistemas van a estar también cambiando. Así pues, si se piensa en un sistema cartesiano, cada una de las tres coordenadas estarían cambiando con el tiempo, es decir, serían funciones dependientes del tiempo, más que valores constantes. La representación matemática de las tres coordenadas cartesianas de un punto en movimiento en el espacio, estaría dada por la expresión ℎ , en donde representa al tiempo siendo una variable independiente, quedando representada de la siguiente manera:

𝒙

𝒇 𝒕

𝒚

𝒈 𝒕 𝒛 𝒉 𝒕

Entonces para un punto , moviéndose en el espacio, su posición estaría descrita por la expresión:

𝑷 𝒕

𝒇 𝒕 𝒈 𝒕 𝒉 𝒕


51

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables La posición de un punto en el espacio, se puede representar por medio de un vector ⃗ . Por lo tanto el vector que representa la posición del punto se denota como: ⃗ 𝒕 𝒓

𝒇 𝒕 𝒈 𝒕 𝒉 𝒕

También lo podemos representar utilizando los vectores los unitarios siguiente manera:

⃗ 𝒕 𝒓

Gráficamente el vector de posición

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑷

̂ ̂ ̂ de la

𝒇 𝒕 𝒊̂ 𝒈 𝒕 𝒋̂ 𝒉 𝒕 𝒌

se muestra en la siguiente figura:

Figura que representa un vector Si el objeto se moviera exclusivamente en el plano x-y, la componente en idénticamente cero, es decir, ℎ , para todo valor de .

sería

2.3.1. Curvas y superficies Sabemos que el vector de posición genera una línea curva cuando la variable independiente toma valores reales. Ahora sabemos que el vector de posición puede representarse por medio de la triada: ℎ ) ( En donde y ℎ son funciones cualesquiera de . A manera de ejemplo vamos a asignar algunas definiciones a estas funciones y luego ver sus representaciones gráficas.


52

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Sean las funciones

Si graficamos la curva generada por ⃗ al darle valores a , tendríamos que el vector de posición generaría la siguiente figura: Entonces la gráfica generada por se vería como se muestra en la siguiente figura:

Ejemplo 1

Sean las funciones Ejemplo 2

ℎ

Sean las funciones ( ) Ejemplo 3

(

Entonces la gráfica generada por se vería como se muestra en la siguiente figura:

)

ℎ

Mediante el uso de vectores también se puede representar una superficie en tres dimensiones. Esto se logra si se considera nuevamente un punto sobre la superficie, el cual está descrito por un vector de dos variables, que en realidad son funciones de dos variables , como se muestra en la siguiente expresión:

⃗ 𝒖𝒗 𝒓

𝒇 𝒖 𝒗 𝒊̂

𝒈 𝒖 𝒗 𝒋̂ 𝒉 𝒖𝒗 𝒌

Supongamos además que esta función vectorial es continua en el plano y que es una función uno a uno dentro de una región de dicho plano. Esta región es el rango o dominio de la función vectorial que representa la superficie .


53


Región R

Superficie S

De la misma manera que podemos representar las curvas en diversos sistemas coordenados, también las superficies las podemos representar ahí. Vamos a suponer que la región está delimitada de la siguiente manera: | Sea La suposición de que es una función vectorial uno a uno dentro de la región , garantiza que la superficie no se cruza con ella misma. Observa que para la función vectorial , las coordenadas cartesianas representadas por las tres funciones paramétricas siguientes:

𝑥

𝑓 𝑢𝑣

𝑦

𝑔 𝑢𝑣

𝑧

están

ℎ 𝑢𝑣

Consideremos que las variables están relacionadas mediante la siguiente expresión: Ejemplo 1.

√ Podemos identificar que dicha expresión representa a una superficie cónica, como se muestra en la siguiente figura.

Si consideramos un sistema de coordenadas cilíndrico, apoyados en la figura anterior podemos ver que las coordenadas están dadas por las siguientes expresiones: √


54

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables En donde y . Si hacemos el siguiente cambio de variables: tendremos que la representación vectorial de la superficie está dada por: ̂

,

̂ ̂

Consideremos ahora la ecuación de una esfera de radio la cual está representada por la expresión Ejemplo 2. La gráfica se muestra en la siguiente figura.

Un punto sobre la superficie de la esfera se puede representar en coordenadas esféricas de la siguiente manera:

Con . Si hacemos el siguiente cambio de variables: entonces obtenemos la representación vectorial de la superficie esférica: ̂

Ejemplo 3.

̂

,

̂

Vamos a encontrar la representación vectorial de una superficie cilíndrica, cuya ecuación en coordenadas cartesianas está dada por la ecuación: con Su grafica se muestra en la siguiente figura.


55

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Un punto con coordenadas cartesianas se puede representar en coordenadas cilíndricas, considerando los siguientes cambios: . Por lo tanto los puntos sobre la superficie cilíndrica, tendrían su representación vectorial como:

Esto es

,

con

Un punto sobre la superficie del cilindro tiene las siguientes representaciones en cada una de sus coordenadas:

Si hacemos el cambio de variables: de la superficie cilíndrica: ̂

y

̂

se obtiene la representación vectorial

̂

Actividad 1. Curvas de nivel A través de esta actividad podrás, identificar que es una curva de nivel de una función, como se obtienen, representan y como se usan. Instrucciones: 1. Desarrolla en colaboración con tus compañeros el concepto de curva de nivel, el contenido debe tener las siguientes condiciones: a. b. c. d. e.

Concepto de curvas de nivel Como se obtienen las curvas de nivel Como se representa una curva de nivel En qué áreas del ámbito profesional y social se pueden aplicar Ejemplifica graficas de curvas de nivel.

2. Recuerda que el contenido deber ser verídico y correspondiente a lo solicitado


56

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables 3. Utiliza herramientas y recursos que permitan que la información mostrada en el wiki sea útil para tus compañeros.

2.3.2. Integral curvilínea y de superficies Ahora veremos cómo realizar integrales de funciones vectoriales. Esto lo usan los ingenieros, los físicos y matemáticos para analizar fluidos, diseñar cables submarinos, fenómenos de trasferencia de calor, campos eléctricos con diversas geometrías, entre otras muchas más aplicaciones. En particular, las integrales curvilíneas se usan para calcular el trabajo hecho por un campo de fuerzas sobre una partícula para moverla de un punto a otro a lo largo de una trayectoria dentro del campo. Por otra parte, las integrales de superficie te ayudan a medir la cantidad de flujo que pasa a través de una determinada superficie. Los flujos pueden ser eléctricos, magnéticos, de radiaciones en general, fluidos como líquidos, gases, plasma, partículas, etc.

La integral definida de una función dentro de un intervalo cerrado [ , que se representa como ∫

], en el eje de las

, te puede ayudar a resolver una gran cantidad de

problemas matemáticos y de la vida real, por ejemplo, puedes calcular la masa de una varilla recta o el trabajo hecho por un campo de fuerza alineado a lo largo del eje-x. Ahora bien, con la integral curvilínea o también llamada integral de línea, puedes calcular la masa de una varilla o cables que tengan un forma caprichosa en dos o en tres dimensiones. También es posible que calcules el trabajo hecho por un campo de fuerza (eléctrico, magnético, gravitacional, etc.) sobre una partícula a lo largo de una trayectoria curva en dos ó tres dimensiones.


57

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Ahora, tendremos que considerar en lugar del eje-x, una curva general (en dos ó en tres dimensiones) que designaremos con la letra Si se tiene la función y queremos integrarla, no a lo largo del eje-x, del eje-y o del eje-z, sino a lo largo de una curva tridimensional, descrita por el vector de posición ̂ con ̂ ℎ ̂ dentro del dominio de la función , entonces los valores que toma la función a lo largo de la curva vienen dados por ℎ ( ) Para encontrar la integral de la función a lo largo de recordaremos el concepto de sumas de Riemann y para ello se parte la curva en pequeños arcos, desde el punto hasta el punto y luego hacemos la suma de los valores de la función evaluada en cada uno de esos pequeños arcos y multiplicada por la longitud del pequeño arco, como se indica en la siguiente expresión: 𝒏

𝑺𝒏

∑ 𝒇 𝒙𝒌 𝒚𝒌 𝒛𝒌

𝑺𝒌

𝒌 𝟏

Suponiendo que las funciones ℎ tienen, cada una de ellas, su primera derivada ] cuando continua a lo largo de la curva y dentro del intervalo [ la sumatoria tiende al límite que llamaremos integral de línea o curvilínea de la función a lo largo de en el intervalo de a Esto lo denotamos con la expresión: ∫ Que se lee como “La integral de

sobre ”.

Pasos para calcular la integral de línea de una función Determine la forma vectorial de la curva ̂ ̂ ℎ ̂

Calcule la integral como: ⬚

∫

∫

ℎ

en donde ℎ


58


Revisa los siguientes ejemplos de la integral de línea para diferentes curvas C. Ejemplo 1. Sea la función f(x, y, z) = 1 es una función constante

Ejemplo 2 2 Sea f(x, y, z) = 3x 2y+z

La integral de la función f es ∫

∫

Primer paso: Calculamos la integral sobre la curva C representada por la línea recta que va del origen al punto (1, 1, 1) como se muestra en la grafica

Segundo paso. El vector de posición que representa al segmento de la curva viene dado por ̂ ̂ ̂ Por lo tanto, la longitud de este vector es | | |̂ ̂ ̂| √ √

Tercer paso. Calculando la integral de f sobre la curva c es: ∫

∫

√

∫

√ ∫

√

√ *

3

+

√ (

*

√

Una propiedad importante y útil que se utiliza en las integrales curvilíneas es llamada aditividad que se define de la siguiente manera


59


Si una curva 𝑪 se puede descomponer en un conjunto finito de sub-segmentos de curva, 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝒏 de tal manera que al unirlos todos, se forma la curva original 𝑪 entonces la integral curvilínea de una función 𝒇 es la suma de las integrales curvilíneas sobre cada uno de los sub-segmentos: ⬚

⬚

∫ 𝑓𝑑𝑠

⬚

∫ 𝑓𝑑𝑠

𝐶

𝐶

⬚

∫ 𝑓𝑑𝑠

∫ 𝑓𝑑𝑠

𝐶

𝐶𝑛

Ejemplo 1 1. Calcular la integral de línea de la función sobre la curva formada por los dos sub-segmentos de curva, tal y como se muestran la siguiente figura.

2. Sean los dos sub-segmentos las líneas dadas por: ̂

| |

̂

̂ √ ̂ ̂

√ | |

√

3. la integral de

es: ∫

∫

∫

∫

√

√

∫

∫

∫

Cuando se desea calcular la integral de una función sobre una superficie curva en tres dimensiones, como la que se muestra en la siguiente figura


60


La integral sobre la superficie curva es una integral doble evaluada sobre la superficie representada por la proyección (o sombre) de la superficie curva sobre el plano (X, Y). Estos se usan para calcular los flujos de líquidos , electrónicos, magnéticos etc.. Área de una superficie ¿Cómo se puede calcular el área de la superficie S si conocemos la función (x, y, z)? Para contestar esta pregunta se debe hacer la siguiente suposición. La función f(x, y, z) es una función suave, es decir que no cuenta con picos ni quiebres, esto se representa como continua la cual no se desvanece sobre la superficie S. De esta manera se puede calcular como la integral doble sobre la sombra R. para llevar a cabo esto, debemos suponer que la proyección de la superficie sobre su sombra es uno a uno, esto es, cada punto de corresponde con uno y solo un punto de . Para ejemplificar esta situación se muestra algunos ejemplos donde se demuestra el cálculo de áreas de superficies. Vamos a considerar una superficie general para modelar la forma en la cual calcular el área de la superficie

En la figura se muestra una superficie general con las condiciones indicadas anteriormente. Tomemos un pequeño cuadrado sobre la superficie que llamaremos , que representa un área infinitesimal. Ésta pequeña área la vamos a aproximar por el valor que es el pedazo de plano tangencial a la curva en ese punto. La proyección del cuadrado sobre la región , es un pequeño rectángulo . En la siguiente figura tenemos una vista ampliada de la figura anterior, para poder visualizar los distintos elementos involucrados en el análisis del cálculo de la integral de superficie.


61


En esta figura observamos el vector ⃗ que es normal a la superficie . El punto es la proyección sobre R del punto sobre la superficie , en donde se está evaluando la función . El rectángulo formado por los vectores es el plano tangente a la superficie en el punto . El vector perpendicular a este plano es el vector formado por el producto cruz de los vectores que se denota por . La pequeña área infinitesimal está dada por la expresión ⃗|

| El área del cuadrado De esto tenemos que

es precisamente |

|

|

|.

suponiendo que

Esto sucede si

no es paralelo

⃗ al plano del piso y si Así pues, al hacerse más pequeños los rectángulos tienden a ser casi igual a los rectángulos y si hacemos la suma de estos elementos, en el límite tenderá al valor real de la superficie ∑ ∑

∑

|

|

∬

|

| |

|

Por lo tanto, el área de la superficie es el valor de la integral anterior, siempre y cuando ésta exista. Haciendo las observaciones siguientes, tenemos que para una función y | | ⃗| | || ⃗ || | así que tenemos que sabemos que | . |

|

|

⃗|

Substituyendo esta última expresión en la ecuación de la superficie, tenemos que el área de la superficie está dada por la expresión

∬

|

| ⃗|

|

En donde ⃗ es el vector normal a la superficie

y

⃗


62

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Así pues, finalmente tenemos que el área de la superficie es la integral doble sobre la proyección o sombra de la magnitud de dividida entre la magnitud de la componente escalar de que es normal a Ejemplo 1 Encontrar el área de la superficie del paraboloide representado por la función implícita a partir del plano hasta el plano tal como se muestra en la siguiente figura

Solución El corte que hace el plano al paraboloide, proyecta una sombra sobre el plano x-y representada por la expresión , que es un círculo de radio igual a 2, tal y como se ve en la figura. Podemos tomar como vector perpendicular al círculo al vector unitario en la dirección ̂ ̂ Cualquier punto función

sobre la superficie del paraboloide está representado por la ,

Por lo tanto ̂

̂

̂

|

|

√ |

√ ⃗|

̂|

|

|

|

En el plano x-y, en la región se tiene que un área infinitesimal es tenemos que el área total de la superficie es

∬

| |

, entonces

| ⃗|

∬ √ 4

∫

∫ √


63

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables ∫

∫

(

*

⁄

4

3⁄

)

+

(

√

)

Ejemplo 2. Calcular el área del casquete esférico que se halla en el polo norte de la superficie semiesférica con , cortada por el cilindro Tal y como se representa en la figura siguiente.

Solución El casquete polar es parte de la esfera centrada en el origen de un sistema cartesiano, cuya función está dada por

La imagen proyecta una sombra sobre el plano x-y en forma de círculo, cuyo radio es 1 y que está representado por la expresión Podemos tomar como vector normal a la superficie ̂ ̂

al vector unitario en la dirección de

Así, cualquier punto sobre la superficie de la semi-esfera está dado por la función En donde tenemos que: ̂ |

| ⃗|

|

̂ ̂

√ |

√ ̂|

|

|

Por lo tanto, el área del casquete polar es:

∬

| |

| ⃗|

∬

√

√ ∬


64


∬ 4

√ ∫

∫

√ ∫ [

√

√ ∫

√

√

⁄

(

]

√ )

2.3.3. Aplicaciones Con la integral de línea ahora se pueden tratar los problemas de mecánica considerando la masa de los resortes, cables y alambres en un espacio tridimensional, en una forma más real, pues anteriormente, la consideración que se hacía al respecto era despreciar ese aspecto, por no poderlo manejar con precisión o en última instancia se hacían aproximaciones haciendo consideraciones muy burdas o rudas. Ahora podemos considerar distribuciones de masa mediante la densidad de los materiales involucrados, tales como el cobre, el oro, el fierro, etc. Con ello, podemos calcular el centro de masa o los momentos de inercia de materiales con distribuciones caprichosas o con geometrías y formas no regulares o triviales. Mediante el análisis vectorial podemos describir y resolver una gran cantidad de problemas físicos y matemáticos, así como de ingeniería. Todos los fenómenos y problemas que se originan dentro de los campos vectoriales se pueden manejar con cierta facilidad con la ayuda del cálculo vectorial o de varias variables. Podemos calcular flujos a través de cualquier superficie caprichosa. Llevar a cabo análisis del comportamiento de las alas de los aviones cuando se someten a flujos de aire dentro de túneles de viento y así modelar la mejor forma. El mejor diseño de tuberías de gaseoductos o de cualquier fluido ya sea líquido o gaseoso. También mejorar diseño de antenas para microondas, celulares y satelitales y de todos aquellos dispositivos que funcionen con ondas electromagnéticas. También estas herramientas nos sirven para los estudios de fenómenos meteorológicos y del clima, tanto atmosféricos como marítimos.

Actividad 2 Calculo vectorial A través de esta actividad podrás calcular la posición de un objeto en un espacio tridimensional


65

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables de acuerdo a dos observadores. Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado “Calculo vectorial” ubicado en la pestaña de la unidad 2 de la plataforma de Moodle. 2. Resuelve el problema que ahí se te presenta siguiendo las instrucciones que se te indican. 3.

Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.

Actividad 3 Integrales múltiples En esta unidad podrás calcular volúmenes y superficies utilizando las integrales múltiples 1. Descarga el documento llamado “Integrales multiples” ubicado en la pestaña de la unidad 2 dentro de la plataforma Moodle. 2. Resuelve los ejercicios que ahí se muestran siguiendo las instrucciones que se te indican. 3.



Autoevaluación Para terminar resuelve la actividad de autoevaluación que corresponde a una relación de columnas.

Instrucciones: anota en corresponda a la respuesta de

paréntesis de la pregunta, la opción que la pregunta planteada.

Considere el sólido que se determine la ecuación que lo responder las siguientes superior está en y la

muestra en la siguiente figura y describe o genera, para que pueda preguntas. Considere que la tapa inferior en


66


1. La ecuación que representa a dicho sólido es: a) b) c) d) 2. ¿Cuál es el valor del volumen del sólido representado en la figura? a) b) c) d) ⁄ 3. ¿Cuál es el valor del área de la superficie lateral del sólido de la figura? a) ⁄ b) . c) d) 4. ¿Cuál es el valor de la tangente a la superficie del sólido en los puntos en donde a) 2. b) 4. c) . d) 0. 5. ¿Cuál es el valor de la derivada parcial a) b) . c) . d) .

?

en los puntos de la superficie en donde

?

Retroalimentación. 1 - 2 Debes revisar minuciosamente los contenidos nuevamente, ya que ha adquirido poco conocimiento. 3 - 4 Tienes un conocimiento general de los temas vistos en la unidad 2 5 Ha adquirido un buen nivel de conocimiento en los temas vistos en la unidad 2

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de distancia a través de vectores y cálculo de área a través de integración Al finalizar serás capaz de comprender y determinar el comportamiento del área bajo la curva de una función, además de calcular distancias a través de vectores.

8. Descarga el archivo llamado “Áreas y distancia por medio de vectores” ubicado en la pestaña de la unidad 2.

9. Resuelve cada uno de los planteamientos que ahí se presenta. 10. Describe el proceso de solución respetando el marco procedimental que requiere el


67

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables planteamiento.

11. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U2_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

12. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

13. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo. Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.


Cierre de la unidad. En esta unidad revisamos como podemos resolver ejercicios de integrales con varias variables, analizamos su representación gráfica y su cambio respecto a las variables. En la unidad 3 se mostrara como poder resolver ecuaciones con variables separadas, ecuaciones exactas y factores integrantes, el cual nos permitirá reforzar los conocimientos que hasta ahora hemos obtenido. Así pues te invito a que continúes esforzándote con la ayuda de tu facilitador que es un medio importante para poder obtener un conocimiento integral.

Referencias bibliográficas Bosch, C. (2006). Cálculo diferencial e integral. México: Publicaciones cultural S.A. Picón, P. E. (2006). Análisis conjunto. México: Porrúa. Thomas (2006). Cálculo de varias variables. México: Pearson.


68


UNIDAD 3. Ecuaciones diferenciales

Presentaciones de la unidad En esta unidad aprenderás a identificar los tipos de ecuaciones diferenciales, los métodos para resolverlos, aplicando las diferenciales. Este tipo de ecuaciones te permite representar diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, así como su representación en diferentes contextos sociales y profesionales. Ejecutaras procedimientos en donde utilices las reglas y procedimientos de diferenciación, así como su representación por medio de ecuaciones exactas, separables y de factor integrante. Estos temas que se presentan en esta unidad te brinda una introducción a la asignatura de ecuaciones diferenciales, donde todos los procedimientos aquí plasmados, se ejecutaran en la siguiente asignatura.

Propósito de la unidad Mediante el estudio de esta unidad podrás:  

Identificar los tipos de ecuaciones diferenciales, mediante la posición de sus variables. Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden (exacta, separable y factor integrante)

Competencia especifica Utilizar los métodos de derivación para determinar variables separadas, exactas, tomando como base los factores integrantes

Actividad 1. Proceso de solución de ecuaciones diferenciales A través de esta actividad podrás identificar los tipos de ecuaciones diferenciales Y clasificarlas de acuerdo a su tipo.

5.

Investiga todo lo referente a las ecuaciones diferenciales(Exactas, separables y factor integrante)


69


6. Analiza y responde las siguientes preguntas   

¿Qué es una ecuación diferencial? ¿Qué ayudan a representar las ecuaciones diferenciales? ¿Cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales?

7. Ingresa al foro, comparte tus respuestas con tres de tus compañeros sosteniendo la postura de tus respuestas. 8. Comenta la respuesta de tres de compañeros argumentando la postura de tu respuesta. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.1 Métodos elementales de integración Cuando se utilizan las ecuaciones diferenciales, podemos compararlo en su aplicación dentro de las ingenierías o las ciencias, y en nuestra mente llegan destellos de ideas donde son difíciles de resolver, pero al revisarlas y comprender el sentido de cada una de ellas y la importancia que tienen para la solución en diferentes campos del ámbito profesional. Las ecuaciones diferenciales cumplen un papel muy importante dentro de las ecuaciones de varias variables, ya que son una herramienta muy valiosa e insustituible para comprender el mundo que nos rodea.

3.1.1. Ecuaciones con variables separadas Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma:

Donde es una función, con dos variables, definida en un intervalo en el plano . Esta ecuación es llamada de primer orden porque solo involucra a la primera derivada de la función.


70

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Otra forma de expresar la ecuación anterior es:

o bien

La solución para la ecuación (1) es una función diferenciable. Esta función está definida en un intervalo de valores , de tal forma que se cumple en el intervalo que:

En otras palabras, cuando sustituimos en la ecuación 1 a y su derivada , el resultado de la ecuación es válido para todo en el intervalo . Es conveniente mencionar que la solución general para una ecuación diferencial de primer orden es una solución que contiene todas las posibles soluciones. La solución general puede contener una constante arbitraria pero sin que ésta sea considerada como una solución general. Ejercicio 1. Considere la función siguiente:

Muestre que, en el intervalo donde es una constante, todos los miembros de la familia de esta función representan una solución de la ecuación diferencial de primer orden

Solución: Diferenciando

, tenemos que: ( *

A continuación necesitamos comprobar que para todo que:

en el intervalo


, se cumple

71

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables (

(

Como podemos ver, la función

*

(

*

*

es una solución para todo valor de , para la

ecuación diferencial. Es común que en lugar de querer obtener una solución general, a lo largo de todo el intervalo considerado para un problema de ecuaciones diferenciales, requiramos tener una solución particular que satisfaga una condición inicial donde es la solución para , donde por supuesto el valor es cuando . Un problema de primer orden para valores iniciales es una ecuación diferencial donde debe existir una solución que satisfaga la condición inicial

.

Ejemplo: Demostrar que la función:

representa una solución al problema de valor inicial de primer orden

Solución: La ecuación

es una ecuación diferencial de primer orden con

.

Desarrollando la primera parte de la ecuación tenemos que: (

3

)

3

Desarrollando el lado derecho de la ecuación, tenemos lo siguiente:

Y como podemos ver, la ecuación satisface la condición inicial:


72

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables [

]

3.1.2 Ecuaciones exactas Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver por separación de variables. Tal es el caso de la ecuación diferencial: entonces ¿cómo podemos resolverla? Antes de contestar esta pregunta, vamos a considerar que tenemos una función de dos variables de la forma: la cual tiene sus derivadas parciales de primer orden, continuas en una región del plano , entonces su diferencial total viene dada por:

Cuando

siendo

una constante, tenemos que

Por lo tanto, decimos que si tenemos una ecuación diferencial de la forma entonces su solución está dada implícitamente por Definición: Se dice que una ecuación diferencial de la forma:

es exacta si se puede escribir como

es decir

O también podemos decir que la ecuación diferencial si existe una función tal que

es exacta

Observe que, la solución de una ecuación diferencial exacta está dada implícitamente por la ecuación en donde es una constante.


73

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables A la función

que cumple con las condiciones de que

se le

llama también función potencial (en la Física) y a la función vectorial ̂

̂

Se le llama campo vectorial conservativo. Por lo tanto, desde el punto de vista físico, el resolver una ecuación diferencial exacta, es lo mismo que encontrar la función potencial del campo vectorial conservativo respectivo. Ejemplos de ello, los tenemos en los campos eléctrico, magnético y gravitacional. Podemos llegar al siguiente teorema que nos proporciona un criterio sencillo para determinar si una ecuación diferencial es exacta: Teorema: Sean las funciones entonces la ecuación rectangular si y sólo si

Para todo punto

continuas en una región rectangular del plano se dice que es exacta en la región

dentro de la región

Veamos un ejemplo de aplicación, encontrando la solución de una ecuación diferencial exacta. Ejemplo 1. Resolver la ecuación diferencial

Solución. Vamos a verificar primero, que la ecuación diferencial planteada es exacta. Para ello tenemos que:

Derivando parcialmente, tenemos que

Ya que son iguales las derivadas parciales respectivas, entonces decimos que la ecuación diferencial propuesta es exacta. Por lo tanto existe una función tal que la ecuación diferencial propuesta se puede escribir como esto es, que


74


Para encontrar a

integramos la primera ecuación anterior con respecto a

dando

∫ En donde

es una función de

ya que integramos con respecto de

Ahora derivamos parcialmente esta solución para

dando

Y dado que queremos que también se satisfaga la expresión

Igualando, tenemos que:

Luego

Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a

tenemos que

3

En donde

es una constante arbitraria.

Ahora sustituimos esta solución de

en la ecuación

dando

3


75

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables 3

Finalmente igualamos originalmente planteada:

para obtener la solución de la ecuación diferencial

3

3

Renombrando la constante ecuación diferencial:

llegamos a la expresión final para la solución de la

3

Que también podemos escribir (multiplicando por 3) como: 3

3.1.3 Factores integrantes Podemos preguntarnos: ¿Qué hacemos si la ecuación diferencial no es exacta? Bueno, lo que podemos hacer es preguntar si existe una función tal que si multiplicamos la ecuación diferencial por esta última función, la ecuación que resulta

Es exacta, entonces decimos que la función ecuación diferencial

es un factor integrante de la

Observe que la solución de la ecuación diferencial es la solución de y que en general no es sencillo encontrar un factor integrante para la ecuación no exacta. Sin embargo, es posible determinar ciertas condiciones que deberán cumplir las funciones para encontrar los factores integrantes. Vamos a considerar varios casos. Caso 1. El factor integrante es sólo función de

Suponga que


76


es una función que llamaremos y que sólo depende de integrante para la ecuación diferencial dada viene dado por

Entonces un factor

∫

Caso 2. El factor integrante es sólo función de

es una función de , que denotaremos como ℎ

Entonces se tiene que

entonces

∫

El cual es un factor integrante de la ecuación diferencial Caso 3. Los factores de integración son de la forma

Si existen

y

tales que

Entonces la función

es un factor integrante de la ecuación diferencial Caso 4. En este caso si existen dos funciones ecuación:

y

tales que satisfagan la

Entonces un factor integrante para la ecuación diferencial ∫

es

∫

El caso 4 incluye a los tres casos anteriores, si se consideran que , respectivamente.


y

77

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables Veamos ahora unos ejemplos de aplicación del uso de los factores integrantes para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales no exactas. Ejemplo 1. Encontrar la solución de la siguiente ecuación diferencial 4

Solución. Los valores para

3

y

y sus derivadas parciales son: 4

3

3

Vemos que como

3

entonces no es una ecuación diferencial exacta. Por lo que se

necesita encontrar un factor integrante para la ecuación diferencial y para ello necesitamos investigar si y cumplen con las condiciones del caso 1. 3

3 3

3 3

Esta expresión no es una función exclusiva de que cumplen con las condiciones del caso 2.

Veamos si ahora

3

son funciones

3 4

3 3

Como esta expresión si es una función únicamente de de la forma:

entonces el factor integrante es

∫

Por lo tanto es un factor integrante que debe multiplicar a la ecuación diferencial original dando lo siguiente:


78

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables 4

3

3

6

5

Ahora identificamos las diferentes partes: 3

6

5

5

5

Estas últimas expresiones al ser iguales implican que la ecuación diferencial 3

6

es exacta y su solución está dada por:

5 3

6

Ejemplo 2. Encontrar la solución de la ecuación diferencial Solución. Identificamos a y de la siguiente manera:

Esto nos dice que la ecuación diferencial no es exacta, por lo que vamos a investigar si existe un factor integrante que la transforme en una ecuación exacta. Primero veamos si se cumplen las condiciones del caso 1.

Esto no es una función exclusiva de o de Consideremos que la función sólo depende de es decir, Ahora multiplicamos la ecuación por

Se puede demostrar que ésta es una ecuación diferencial exacta, cuya solución es


79


Actividad 2 Resolución de ecuaciones diferenciales A través de esta actividad podrás calcular ecuaciones diferenciales de primer orden (exactas, separables y factor integrante) Instrucciones: 5. Descarga el documento llamado “Resolución de ecuaciones diferenciales” localizado en la pestaña de la unidad 3. 6. Resuelve ejercicios que ahí se presentan. 7.



Autoevaluacion Para terminar resuelve la actividad de autoevaluación que corresponde a una relación de columnas. Instrucciones: anota en paréntesis de la pregunta, la opción que corresponda a la respuesta de la pregunta planteada. 1. ( ) se identifica cuando observas factores independientes de cada una de las variables presentes o expresiones factorizables. a. Ecuaciones Exactas b. Ecuaciones Separables c. Ecuaciones homogéneas d. Factor integrante 2. ( ) Se identifica cuando se cumplen las derivadas parciales cruzadas sean iguales, en otras palabras la expresión que acompaña a dy se deriva x, y la expresión que acompaña a dx deriva a y.

3. (

a. Ecuaciones Exactas b. Ecuaciones Separables c. Ecuaciones homogéneas d. Factor integrante )Representa a una ecuación exacta a. b.


80


4. (

c. 3 d. ) Representa a una ecuación separable.

a. b. c. 3 d. 5. Representa a una ecuación con factor integrante 3

a. b. c.

3 3

d. Retroalimentación. 1 - 2 Debes revisar minuciosamente los contenidos nuevamente, ya que ha adquirido poco conocimiento. 3 - 4 Tienes un conocimiento general de los temas vistos en la unidad 2 5 Ha adquirido un buen nivel de conocimiento en los temas vistos en la unidad 2

Evidencia de aprendizaje. Problema de flujo en el tiempo a través de ecuaciones diferenciales Al finalizar serás capaz de identificar y resolver ecuaciones de primer orden, a través de su aplicación dentro de su contexto profesional. 14. Descarga el archivo llamado “Problema de flujo en el tiempo a través de ecuaciones diferenciales” ubicado en la pestaña de la unidad 3. 15. Resuelve el planteamiento que ahí se presenta. 16. Describe el proceso de solución respetando el marco procedimental que requiere el planteamiento. 17. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U2_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 18. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. 19. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.


81


Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final


Cierre de la unidad Durante esta unidad lograste identificar los tipos de ecuaciones diferenciales, en su caso los más básicos, aprendiste a resolverlos y clasificarlos, además se representaron situaciones donde se ocupan estos tipos de ecuaciones mediante las derivadas de ecuaciones de primer orden. Esta unidad sirve como introducción a la siguiente asignatura del quinto cuatrimestre Ecuaciones diferenciales, donde se plasmaran los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, así como sus aplicaciones dentro del contexto profesional. Te invitamos a que sigas aplicando tus conocimientos adquiridos hasta el momento, ya que los que acabas de obtener te servirá como un instrumento que utilizaras dentro del quinto cuatrimestre.

Para saber más Para poder reforzar los conocimientos adquiridos en esta unidad te recomendamos este artículo en la web donde podrás obtener diferentes ejemplos de ecuaciones exactas. http://www.mat.upm.es/~pzz/docencia/grado/fm4/EDO14.pdf Para poder visualizar ejemplos y teorías de Ecuaciones separables te recomendamos esta página donde muestran ejemplos claros y sencillos para que inicies con la práctica de solución de este tipo de ecuaciones. http://usuarios.multimania.es/equatdiff/id48.htm


82

PROGRAMA DESARROLLADO Cálculo de Varias Variables En esta página podrás revisar ejemplos de ecuaciones diferenciales con factor integrante, por lo te recomiendo revisarlos. http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/l841-06.pdf

Referencias bibliográficas Bosch, C. (2006). Cálculo diferencial e integral. México: Publicaciones cultural S.A. Picón, P. E. (2006). Análisis conjunto. México: Porrúa. Thomas (2006). Cálculo de varias variables. México: Pearson. Abellanas, L. y Galindo, A.(1990): Métodos de Cálculo. México. Mc Graw-Hill, serie Schaum. Weisstein, E.W: CRC (1999) Concise Encyclopedia of Mathematics. E.E.U.U:Chapman & Hall.


83

Calculo de Varias Variables

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