Cálculo Aplicado Resumen Del Tema

Cálculo aplicado resumen del tema: funciones y modelos lineales

Herramientas: Evaluador y Graficador de Funciones | Graficador Excel | Utilidad regresión lineal

Tópicos: Funciones y dominios | Intervalos | Gráfica de una función | Modelos matemáticos | Modelos costo, ingreso y utilidad

| Modelos demanda y oferta | Funciones lineales | Rectas | Gráfica de una función lineal | Modelos lineales | Interpretación de la pendiente

Funciones y dominios

| Regresión lineal

Ejemplos

Una función real f de una variable es una Función especificado numéricamente Sea f la regla que asigna a cada número real x en un función especificada por la siguiente tabla: conjunto especificado de números reales llamado el dominio de f, un número real único x 0 1 2 3 f(x). La variable x se llama la variable independiente. Si y = f(x) llamamos a y la variable dependiente. Una función puede ser especificado:  

numéricamente: por medio de una tabla algebraicamente: por medio de una

formula 

gráficamente: por medio de una gráfica.

Nota acerca de los dominios El dominio de una función no es siempre explícitamente especificado; cuando no se especifica algún dominio para una función f, supondremos que el dominio está el conjunto más grande de los números x para los cuales tiene sentido f(x). Esta "dominio más grande posible" se le llama a veces el dominio natural. Pulse aquí para ir a una página que se deja evaluar y dibujar a las curvas de funciones.

f(x) 3.01

1.03

2.22 0.01

Entonces, f(0) = 3.01, f(1) = -1.03, y así sucesivamente. Función especificado algebraicamente: Sea f la función especificada por f(x) = 3x2 - 4x + 1. Entonces 2

f(2) = 3(2) - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5, 2

f(-1) = 3(-1) - 4(-1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8. Como f(x) se defina para toda x, el dominio de f es el conjunto de todos números reales.

Función especificado gráficamente: Sea f la función especificada por la siguiente gráfica.

Pulse aqui para descargar un a graficador Excel. Inicio de página

Entonces, f(0) = 1, f(1) = 0, y f(3) = 5. Inicio de página

Intervalos

Ejemplos

El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos números reales x tal que a ≤ x ≤ b. El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < b. El intervalo (a, ∞) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < +∞, y (-∞, b) es el conjunto de todos números reales x tal que -∞ < x < b.

Intervalo

Dibujo

Descripción

[-1, 6)

-1 ≤ x < 6

(2, 4)

2
(-∞, 0+

-∞ < x ≤ 0 Inicio de página

Tenemos tembién intervalos medios abiertos de la forma [a, b) y (a, b]. Inicio de página

Gráfica de una función

Ejemplo

La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano-xy, plano-x y, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f.

Para obtener la gráfica de 2

f(x) = 3x - 4x + 1 Forma de función con dominio restringido a *0,  ∞), sustituimos f(x)

La siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:

por y, y obtenemos la ecuación 2

y = 3x - 4x + 1. Forma de ecuación Entonces obtenemos la gráfica por trazando puntos, donde restringimos a x al estar en *0,  ∞), y

obtenemos el siguiente dibujo:

Prueba de la recta vertical Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto.

No hay nada a la izquierda del eje-y, pues hemos restringido a x al estar ≥ 0. Inicio de página

Inicio de página

Modelos matemáticos

Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación. Ejemplos 1 y 2 de enfrente son modelos analíticos, obtenidos por analizar la situación que está siendo modelada, mientras que Ejemplo 3 es un modelo ajuste de curva, obtenido por hallar una formula matemática que aproxima los datos observados. Inicio de página

Ejemplos

Situación

Modelo

1. Hay presentemente

N (t ) = 50 + 2t

50 películas en tu disco

t = tiempo en

duro, y este número

semanas, N = número

está creciendo por 2 películas por semana.

de películas

Modelar el tamaño de tu colección como una función de tiempo. 4. Invierto $1000 a una

A(t ) = 1000(1 +

tasa de interés del 5% compuesto trimestralmente. Hallar el valor de la inversión después de t

4t

0.0125)

Por la formula para interés compuesto (vea Parte B)

años. 3. Números de socios Facebook

n(t ) =

4t

if 0 ≤ t ≤ 3

50t −138 if 3 < t ≤ 5

millones de miembros

t = tiempo en años desde el principio de 2004, n = número de socios en millones Inicio de página

Modelos costo, ingreso y utilidad

Ejemplo

Una función costo especifica el costo C como Si el costo a fabricar x refrigeradoras es una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C ( x) es el costo de x artículos, C ( x) = 2 x2 + 150 x + 6000 dolares, y tiene la forma 2

entonces el costo variable es 2 x + 150 x y el costo Costo = Costo variable + Costo fijo en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C ( x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el cost fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

fijo es $6000.

Si se vende las refrigeradoras para $500 cada una, entonces el ingreso es

I ( x) = 500 x dolares, y la función utilidad es

U ( x) = I ( x) − C ( x) = 500 x − (2 x2 + 150 x + 6000)

Una función ingreso R especifica el ingreso R(x) que resulta de la venta de x artículos.

= −2 x2 + 350 x − 6000

Una función utilidad P especifica la utilidad Equilibrio ocurre cuando P ( x) = −2 x2 + 350 x − (ingreso neto) P(x) que resulta de la venta de x 6000 = 0. Despejar a x por la formula cuadrática se artículos. Las funciones costo, ingreso y da dos soluciones: x ≈ 19.26 y 155.74. Cuando x está utilidad se relacionan con la formula entre estos dos valores, U ( x) es positiva, que P(x) = R(x) - C(x).

Equilibrio se ocurre cuando P(x) = 0

significa una utilidad. Por lo tanto, se debe fabricar y vender al menos 20 refrigeradoras (pero no más que 155) para realizar una utilidad.

Vaya al tutorial para más ejemplos.

o, equivalentemente, cuando R(x) = C(x). Inicio de página

Inicio de página

Modelos demanda y oferta

Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Una función de oferta expresa la oferta q (el número de articulos un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube. La demanda son en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a p). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio equilibrio.

Example

Si la demanda para las Botas Wellington de Ludington es q = −4.5 p + 4000 pares vendidos por semana y la oferta es q = 50 p − 1995 pares por semana (vea la gráfica más abajo), entonces se obtiene el precio de equilibrio cuando la demanda = la oferta: −4.5 p+4000 = 50 p−1995 54.5 p = 5995

que se da p = 5995/54.5 = $110. Sigue que el precio equilibrio es $110 y la demanda de equilibrio es q = −4.5(110)  4000 = 3505 pares por semana. Lo que ocurre a precios distintos del precio de equilibrio se puede ver en la figura siguiente:



Inicio de página 

Cuando el precio es debajo del precio de equilibrio, es mayor la demanda que la oferta, y se resulta una escasez. Cuando el precio es igual al precio de equilibrio, no hay escasez ni excedente, y decimos que el mercado es liquido o está despejado.



Cuando el precio es arriba del precio de equilibrio, es mayor la oferta que la demanda, y se resulta una excedente. Inicio de página

Funciones lineales

Ejemplos

Una función lineal es una función de la forma La función f(x) = 5x - 1

f(x) = mx + b Notación de función y = mx + b

es una función lineal donde m = 5 y b = -1.

Notación de ecuación

Las siguientes ecuaciones se puede solucionar para y como funciones lineales de x.

donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales).

3x - y + 4 = 0 y = 3x  4

Papel de m: Si y = mx + b, entonces: (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad. (b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy = mΔx unidades en y. (c) Despejando a m, se obtiene

y=0

3x + 4y = 5

y = -(3/4)x + 5/4 Inicio de página

Cambio en y

Δy

m=

4y = 0

= Δx

Cambio en x

Papel de b: Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f(0) = b (forma de función) Inicio de página

Rectas

Ejemplos

La gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta que pasa por (2, -3) y El pendiente de la recta que pasa por (x1, y1) (1, 2) se expresa por y (x2, y2) es se expresa por la formula y2 - y1 y2 - y1

y

x2 - x1 2+3

x2 - x1 x

1 - 2

-5.

La gráfica de la función lineal f(x) = mx + b Forma de función

Para ver como dibujar la gráfica de una función lineal, vea el siguiente tópico.

o Inicio de página

y = mx + b

Forma de ecuación

es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b. Inicio de página

Dibujando la gráfica de una función lineal

Ejemplos

Hay dos métodos buenos para dibujar la gráfica de una función lineal.

Aquí son estas técnicas aplicadas a la recta con ecuación 2x - 3y = -6.

(a) Escriba la función en la forma y = mx+b, y (a) Despejando a y, obtenemos y = 2x/3 + 2. después dibuje la recta con intersección en y Entonces, el pendiente es 2/3 y la intersección igual a b y pendiente igual a m. en y es 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica. (b) Calcule las intersecciones en x y y, y después dibuje la recta que pasa por aquellos Paso 1 Paso 2 dos puntos. Para calcular la intersección en x Empiece con la Dibuje una recta con la de una recta, establezca y = 0 en su ecuación y pendiente que se da. despeje a x. Para calcular la intersección en y, intersección en y. establezca x = 0, y despeje a y. Este método sirva solo cuando la recta no pasa por el Pendiente = 2/3 Intersección-y =2 origen. En este caso, tendrá que trazar un punto adicional o usar el primero método.

(b) Para obtener la intersección en x, establezca y =

0. La ecuación se convierte a 2x - 3(0) = -6 y obtenemos x = -3. Esta es la intersección en x. Para obtener la intersección en y, establezca x = 0, y obtenemos 2(0) - 3y = -6, entonces y = 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la

gráfica. Paso 1

Paso 2

Empiece con las intersecciones en x y

Dibuje la recta que pasa por las dos

en y.

intersecciones.

Intersección-x = -3 Intersección-y = 2

Inicio de página

Ajustando una ecuación lineal a datos: Como

Ejemplos

hacer un modelo lineal

Formula punto-pendiente:

Una ecuación de la recta que pasa por (1, 2) con pendiente -5 es

Una ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m es

y = -5x + b, donde

y = mx + b b = y1 - mx1 = 2 - (-5)(1) = 7 donde entonces b = y1 - mx1 y = -5x + 7.

Cuando aplicar la formula punto-pendiente 



Aplique la formula punto-pendiente para Una ecuación de la recta horizontal que pasa por determinar la ecuación de una recta (3, -4) es siempre que tiene información acerca un punto y la pendiente de la recta. La y = -4. formula no se aplica si la pendiente es indefinida. Si ya sabe la pendiente m y la intersección b en y, entonces puede sencillamente Una ecuación de la recta vertical que pasa por escribir la función lineal como

y = mx + b. Esta formula se llama la formula pendiente-intersección.

(3, -4) es x = 3. Inicio de página

Rectas verticales y horizontales

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por (x1, y1) es y = y1.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por (x1, y1) es x = x1. Inicio de página

Interpretación de la pendiente en aplicaciones

Ejemplo

La pendiente de la recta y = mx + b es la razón El número de páginas web en este sitio se puede de cambio de y para cada cambio de x en una expresar por la ecuación unidad. Las unidades de medida de la n = 1.2t + 200, pendiente son unidades de y por unidad de x Si y es desplazamiento y x es tiempo, entonces la pendiente representa la velocidad. Sus unidades son unidades de medida de desplazamiento por unidad de tiempo (por ejemplo, metros por segundo).

donde t es tiempo en semanas desde 1 de junio, 1997. La pendiente es m = 1.2 páginas web por semana. Entonces, el número de páginas está creciendo a una tasa de 1.2 páginas por semana. Inicio de página

Si y es costo y x es el número de artículos, entonces la pendiente representa costo marginal. Sus unidades son unidades de costo por artículo (por ejemplo, euros por artículo). Inicio de página

Regresión lineal

Ejemplos

Valores observados y pronosticados


Supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos (x1, y1), ..., (xn, yn). Las n cantidades y1, y2, ..., yn se llaman los valores

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6), los valores observados de y son y1 = 2, y2 = 5, y y3 = 6. Si modelamos estos datos con la

observados y. Si se modela estos datos con una ecuación lineal mx + y =b

ecuación

representa y "estimada" o

y = 2x + 1.5

y "pronosticada". entonces los valores pronosticados se obtiene por

entonces los valores de y que se obtiene por

sustituir x en la ecuación de la recta por los valores

sustituir x en la ecuación por los valores dados de

dados de x:

x se llaman los valores y pronosticados:

y1

y2

=

=

mx1 + b

mx2 + b

Sustituya x por x1

y1

Sustituya x por x2

y2

... y3 yn

=

= 2x1 + 1.5 = 2(0) + 1.5 = 1.5

= 2x2 + 1.5 =

= 2x3 + 1.5 =

Sustituya x por xn

mxn + b

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE) Residuos y error suma de cuadrados, (SSE) Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6) y el modelo lineal 2x + 1.5 que se muestra Si modelamos un conjunto de datos (x1, y1), ... más arriba, los residuos son: , (xn, yn) con una ecuación lineal como más arriba, entonces los residuos son los n cantidades (Valor actual - valor y1 - y1 = 2 - 1.5 = 0.5 pronosticado): y2 - y2 =

(y1 - y1), (y2 - y2), . . . , (yn - yn)

y2 - y2 =

El error suma de cuadrados (SSE) es la suma de cuadrados de los residuos: .. SSE =

2

2

(y1 - y1) + (y2 - y2) +

Recta de regresión

. +

2

(yn - yn) +

El error suma de cuadrados se obtiene por cuadrar y sumar las respuestas: 2

2

2

SSE = (0.5) + (-0.5) + (-3.5) = 12.75 Inicio de página

La recta de regreión (recta de mínimos cuadrados, recta de mejor ajuste) relacionada con los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn, yn) es la recta que se minimiza el valor de SSE. La recta de regresión se representa por y = mx + b

donde n(Σxy) - (Σx)(Σy)

m= 2

2

n(Σx ) - (Σx) Σy - m(Σx)

b = n n = número de puntos de datos

Pruebe la utilidad en-línea de regresión si quiere ver la recta de regresión de unos puntos de datos. Inicio de página

Ultima actualización: diciembre 2009 Derechos de autor © Stefan Waner Inicio de Página Página Principal

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Cálculo aplicado resumen del tema: funciones y

modelos lineales

Herramientas: Evaluador y Graficador de Funciones | Graficador Excel | Utilidad regesión lineal

Tópicos: Funciones y dominios | Intervalos | Gráfica de una función | Funciones lineales | Rectas | Gráfica de una función lineal | Modelos lineales

| Interpretación de la pendiente | Costo, ingreso y utilidad | Demanda y ingreso | Regresión lineal

Funciones y dominios

Ejemplos

Una función real f de una variable es una regla que asigna a cada número real x en un conjunto especificado de números reales llamado el dominio de f , un número real único f ( x).

Función especificado numéricamente Sea f la función especificada por la siguiente tabla:

La variable x se llama la variable independiente. Si y = f ( x) llamamos a y la variable dependiente. Una función puede ser especificado:   

numéricamente: por medio de una tabla algebraicamente: por medio de una formula gráficamente: por medio de una gráfica.

Nota acerca de los dominios El dominio de una función no es siempre explícitamente especificado; cuando no se especifica algún dominio para una función f , supondremos que el dominio está el conjunto más grande de los números x para los cuales tiene sentido f ( x). Esta "dominio más grande posible" se le llama a veces el dominio natural. Pulse aquí para ir a una página que se deja evaluar y dibujar a las curvas de funciones. Pulse aqui para descargar una graficador Excel.

x

0

1

f (x )

3.01

1.03

2

3

2.22 0.01

Entonces, f (0) = 3.01, f (1) = -1.03, y así sucesivamente. Función especificado algebraicamente: Sea f la función especificada por f ( x) = 3 x2 - 4 x + 1. Entonces f (2) = 3(2) 2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1

= 5, f (-1) = 3(-1)2 - 4(-1) + 1 = 3 + 4

+ 1 = 8. Como f ( x ) se defina para toda x , el

Cabeza de la página

dominio de f es el conjunto de todos

números reales.

Función especificado gráficamente: Sea f la función especificada por la siguiente gráfica.

Entonces, f (0) = 1, f (1) = 0, y f (3) = 5. Cabeza de la página

Intervalos

Ejemplos

El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos números reales x tal que a ≤ x ≤ b.

Interva lo

El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < b.

[-1, 6)

-1 ≤ x < 6

(2, 4)

2 < x < 4

(-∞, 0+

-∞ < x ≤ 0

El intervalo (a, ∞) es el conjunto de todos números reales x tal que a < x < +∞, y (-∞, b) es el conjunto de todos números reales x tal que -∞ < x < b. Tenemos tembién intervalos medios abiertos de la forma [a, b) y (a, b].

Dibujo

Descripci ón



Gráfica de una función

Ejemplo

La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos ( x, f ( x)) en el plano- xy, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f .

Para obtener la gráfica de f ( x ) = 3 x 2 - 4 x + 1 Forma de

función

La siguiente diagrama muestra la gráfica de una función: con dominio restringido a *0,  ∞),

sustituimos f ( x ) por y , y obtenemos la

ecuación y = 3 x 2 - 4 x + 1. Forma de

ecuación Entonces obtenemos la gráfica por trazando puntos, donde restringimos a x al estar en *0,  ∞), y obtenemos el

Prueba de la recta vertical Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto.

siguiente dibujo:


No hay nada a la izquierda del eje- y, pues hemos restringido a x al estar ≥ 0. Cabeza de la página

Funciones lineales

Ejemplos

Una función lineal es una función de la forma

La función f ( x ) = 5 x - 1

f ( x ) = mx + b Notación de función y = mx + b

Notación de ecuación

es una función lineal donde m = 5 y b = 1.

donde m y b son números fijos (los nombres ' m' y 'b' son tradicionales). Papel de m : Si y = mx + b, entonces: (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad. (b ) Un cambio de Δ x unidades en x resulta en un cambio de Δ y = mΔ x unidades en y. (c) Despejando a m, se obtiene Δy

Cambio en y

Las siguientes ecuaciones se puede solucionar para y como funciones lineales de x. 3 x - y + 4 = 0 y = 3 x  4 4y = 0

y = 0

3 x + 4y = 5

y = -(3/4) x + 5/4


Cambio en x

Δ x

Papel de b : Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f (0) = b (forma de función) Cabeza de la página

Rectas

Ejemplos

La gráfica de una ecuación lineal es una recta. El pendiente de la recta que pasa por ( x1, y1) y ( x2, y2) es se expresa por la formula

El pendiente de la recta que pasa por (2, -3) y (1, 2) se expresa por y 2 - y 1 Δ

y 2 - y 1

y

x 2 - x 1

x 2 - x 1

Δ

2+3

x

1 - 2

La gráfica de la función lineal

-5.

f ( x ) = mx + b Forma de función

Para ver como dibujar la gráfica de una función lineal, vea el siguiente tópico.

o y = mx + b

Forma de ecuación Cabeza de la página

es una recta con pendiente m y intersección en y igual a b. Cabeza de la página

Dibujando la gráfica de una función lineal

Ejemplos

Hay dos métodos buenos para dibujar la gráfica de una función lineal.

Aquí son estas técnicas aplicadas a la recta con ecuación 2 x - 3 y = -6.

(a) Escriba la función en la forma y = mx+b, y después (a) Despejando a y, obtenemos y = dibuje la recta con intersección en y igual a b y pendiente 2 x/3 + 2. Entonces, el pendiente es 2/3 y la intersección en y es 2. La

igual a m. (b) Calcule las intersecciones en x y y, y después dibuje la recta que pasa por aquellos dos puntos. Para calcular la intersección en x de una recta, establezca y = 0 en su ecuación y despeje a x. Para calcular la intersección en y, establezca x = 0, y despeje a y. Este método sirva solo cuando la recta no pasa por el origen. En este caso, tendrá que trazar un punto adicional o usar el primero método.

siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica.

Paso 1

Empiece con la intersección en y .

Intersección-y =2

Paso 2

Dibuje una recta con la pendiente que se da. Pendiente = 2/3

(b) Para obtener la intersección en x ,

establezca y = 0. La ecuación se convierte a 2 x - 3(0) = -6 y obtenemos x = -3. Esta es la intersección en x . Para obtener la intersección en y , establezca x = 0, y obtenemos 2(0) - 3y = -6, entonces y = 2. La siguiente figura muestra dos pasos para dibujar la gráfica. Paso 1

Paso 2

Empiece con las intersecciones en

Dibuje la recta que pasa por las

x y en y .

dos

Intersección- x = 3 Intersección-y = 2

intersecciones.


Ajustando una ecuación lineal a datos: Como hacer un modelo lineal

Formula punto-pendiente:

Ejemplos

Una ecuación de la recta que pasa por (1, 2) con pendiente -5 es

Una ecuación de la recta que pasa por el punto ( x1, y1) con pendiente m es

y = -5 x + b,

donde y = mx + b b = y 1 - mx 1 = 2 - (-5)(1) = 7

donde entonces b = y 1 - mx 1

y = -5x + 7.

Cuando aplicar la formula punto-pendiente 



Aplique la formula punto-pendiente para determinar Una ecuación de la recta horizontal la ecuación de una recta siempre que tiene que pasa por (3, -4) es información acerca un punto y la pendiente de la recta. La formula no se aplica si la pendiente es y = -4. indefinida. Si ya sabe la pendiente m y la intersección b en y , entonces puede sencillamente escribir la función lineal como Una ecuación de la recta vertical que y = mx + b. pasa por (3, -4) es Esta formula se llama la formula pendienteintersección. x = 3.

Rectas verticales y horizontales Cabeza de la página

Una ecuación de la recta horizontal que pasa por ( x1, y1) es y = y 1.

Una ecuación de la recta vertical que pasa por ( x1, y1) es x = x 1. Cabeza de la página

Interpretación de la pendiente en aplicaciones

Ejemplo

La pendiente de la recta y = mx + b es la razón de cambio El número de páginas web en este de y para cada cambio de x en una unidad. Las unidades sitio se puede expresar por la de medida de la pendiente son unidades de y por unidad ecuación de x n = 1.2 t + 200,

Si y es desplazamiento y x es tiempo, entonces la pendiente representa la velocidad. Sus unidades son unidades de medida de desplazamiento por unidad de tiempo (por ejemplo, metros por segundo).

donde t es tiempo en semanas desde 1 de junio, 1997. La pendiente es m = 1.2 páginas web por semana. Entonces, el número de páginas está creciendo a una

Si y es costo y x es el número de artículos, entonces la pendiente representa costo marginal. Sus unidades son unidades de costo por artículo (por ejemplo, euros por artículo).

tasa de 1.2 páginas por semana. Cabeza de la página


Costo, ingreso y utilidad

Ejemplo

Una función (de) costo C especifica el costo C ( x) como una función del número de artículos x.. Una función costo lineal tiene la forma

Si el costo fijo es $400, y si el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60 cada uno, entonces

C ( x ) = mx + b, C ( x ) = 40 x + 400 R( x ) = 60 x donde m es el costo marginal, y b es el costo fijo. Una función ingreso R especifica el ingreso R( x) que resulta P( x ) = R( x ) - C ( x ) de la venta de x artículos. Una función utilidad P = 60 x - (40 x + 400) especifica la utilidad (ingreso neto) P ( x) que resulta de la = 20 x - 400. venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula Para equilibrio, P( x ) = R( x ) - C ( x ).

P( x ) = 0

20 x - 400 = 0,

Equilibrio se ocurre cuando entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que P( x ) = 0

vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.

o, equivalentemente, cuando Cabeza de la página

R( x ) = C ( x ).


Demanda y ingreso

Ejemplo

Una función lineal (de) demanda tiene la forma q = mp + b, donde q es la demanda (número de artículos vendidos) y p es el precio por artículo. Se puede construir una ecuación demanda lineal a saber la demanda a dos precios distintos. El ingreso que resulta es

Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 por semana cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es q = -50 p + 600 Ecuación de

R = pq (Precio por cantidad).

recta por (10, 100) y (8, 200)

Se puede especificar ingreso como una función de p solo Entonces, la función ingreso relacionada es si se usa la ecuación demanda para sustituye por q. R = pq = p(-50 p+600)

= -50 p2 + 600 p. Cabeza de la página

Regresión lineal

Ejemplos



Supongamos que tenemos un conjunto de puntos de datos ( x1, y1), ..., ( xn, yn). Las n cantidades y1, y2, ..., yn se llaman los valores observados y . Si se modela estos datos con una ecuación lineal

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6), los valores observados de y son y1 = 2, y2 = 5, y y3 = 6. Si modelamos estos datos con la ecuación

mx + y = b

representa y "estimada" o y "pronosticada". y = 2 x + 1.5

entonces los valores de y que se obtiene por sustituir x en la ecuación por los valores dados de x se llaman los valores y pronosticados:

entonces los valores pronosticados se obtiene por sustituir x en la ecuación de la recta por los valores dados de x :

y 1

=

mx 1 + b

Sustituya x por x 1 y 1

y 2

...

=

mx 2 + b

= 2 x 1 + 1.5 = 2(0) + 1.5 = 1.5

Sustituya x por x 2 y 2

= 2 x 2 + 1.5 =

y n

=

mx n + b

Sustituya x por x n

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE)

Si modelamos un conjunto de datos ( x1, y1), ... , ( xn, yn) con una ecuación lineal como más arriba, entonces los residuos son los n cantidades (Valor actual - valor pronosticado):

y 3

= 2 x 3 + 1.5 =

Residuos y error suma de cuadrados, (SSE)

Para los tres puntos de datos (0, 2), (2, 5), y (4, 6) y el modelo lineal 2 x + 1.5 que se muestra más arriba, los residuos son:

(y 1 - y 1), (y 2 - y 2), . . . , (y n - y n) y 1 - y 1 = 2 - 1.5 = 0.5

El error suma de cuadrados (SSE) es la suma de cuadrados de los residuos:

SSE = (y 1 - y 1)2 + (y 2 - y 2)2 + . . . + (y n - y n)2 +

Recta de regresión

La recta de regreión (recta de mínimos cuadrados, recta de mejor ajuste) relacionada con los puntos ( x1, y1), ( x2, y2), . . ., ( xn, yn) es la recta que se minimiza el valor de SSE. La recta de regresión se representa por y = mx + b

donde n(Σ xy ) - (Σ x )(Σy ) m= n(Σ x 2) - (Σ x )2 Σy - m(Σ x ) b = n

y 2 - y 2 =

y 2 - y 2 =

El error suma de cuadrados se obtiene por cuadrar y sumar las respuestas: SSE = (0.5)2 + (-0.5)2 + (-3.5)2 = 12.75 Cabeza de la página

n = número de puntos de datos

Pruebe la utilidad en-línea de regresión si quiere ver la recta de regresión de unos puntos de datos. Cabeza de la página Ultima actualización: julio 2007 Derechos de autor © Stefan Waner Cabeza de la Página

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm1.html

Cálculo Aplicado Resumen Del Tema

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