Bioingenieria Fundamentos biocineticos para el diseiio de procesos fermentativos
J. Galindez Mayer N. Ruiz Ordaz
Escuela Nacional de Ciencias Bio16gicas Instituto Politecnico Nacional
Mexico, octubre de 1994
~! DIRECTORIO
C.P. Oscar J. Joffre Velazquez
Director General del IPN Ing. Alfredo LOpez Hernandez Sectetsrio General Dr. Benjamfn Varela Orihuela
Dr. Jose Antonio Iran Dfaz Gongora
SecreW'io Tecnico
Secretsrio Academico
Ing. Marco Polo Bernal Yarahuan Secreuuio de Apoyo
COMITE EDITORIAL EDITOR: Q.P. Jorge Vargas Cbtvez
Ing. Marco Polo Bernal Yarahuen Dr. Anuro Nava Jaimes M. en C. Ru~n Mercado Escutia Dr. Antonio OrioJ Anguera M. en C. Imelda Manlnez Morales M. en C. Emesto Filio LOpez
Ing, Pernando Oviedo Tovar Lie. Prancisco Patino Urate Lie. Elisa Cassigoli P6rez C.P. Alberto Moreno Goozakz Lie. Salvador Ruiz SuMez Dr. Guillermo Chamber! del Castillo
Dr. Radu Racotta Poulief Dr. Onofre Rojo Asenjo M. en C. Jaime Garibay Aguilar Dr. Carlos de 10Vega Lezama M. en C. ]osefina Paredes GonUlez Dra. Estel. Mel6ndez Camargo Q.B.P. Glafira Angeles Ocampo Enf. Sara Alici. Ponce de Leon Lie. Max Krongold Pe1zennan I.B.Q. Adolfo Saldai1a Pedroza C.P. Alberto Moreno Gonzalez Dr. German Chamorro Ceballos
EDITOR FUNDADOR: Q.Z. Vicente Lauria Flores
t
-,
PRESENTACION
La educacion nacionai afronta el desaffo de preparar recursos humanos que Ie permitan a Mexico el desarrollo y estar aJ dfa en el avance internacionai contemporaneo, partici-
pando
en todas las areas de la actividad y del saber humano.
EI Politecnico, que siempre ha estado presente en el desarrollo del pals, requiere de una comunidad fonnada por el trinomio maestro-alumno-egresado cuyos integrantes tengan la capacidad requerida para a1ternar con los mejores profesionales del mundo. Esta posici6n necesita de un continuo intercambio de experiencias entre las comunidades dedicadas al desarrollo, tanto de la enseiianza, como de la ciencia y la tecnologfa, que retroalimente el proceso de creacion intelectual. Un organo importante para cumplir 10 anterior, es la publicacidn de INFORMES TECNICOS que favorece el intercambio del quehacer cientffico, tecnol6gico y humanfstico, realizado por los miembros de la comunidad politecnica, dando por resultado la promocion de proyectos de investigaci6n inter y multidisciplinaria, que sedalen nuevas rutas bacia el futuro. Finaimente, y considerando que se trata de un ejercicio academico, cabe seiialar que los textos reproducidos en esta publicacion manifiestan s610 las opiniones personales de sus respectivos autores.
EL EDITOR.
CONTENIDO 1. Introducci6n
1
1.1 Antecedentes
3
1.2 ModeJoe matem'tlcos y slmuJadores de pt'OCe5O!>
5
1~1 Modelo..
IlNl
visi6n ge.... a1
5
1~2 Deeaipci6n y aplicac:i6nde modeloe 1~2.1 Modeloe ~\108
,.
Ypredktivos
6 6
1.2.2.2Modelos estructurados y no estructurados
7
1.2.2.3Modelos dJstribuidos y tegregados
7
1.2.2.4Modelos detennlnlsticos y estodstlcos
7
1.2.2.5Modelos continuos y dis<:retos
8
1.2.3Prop6eitos de los modelos auotem'ticos en microbiologJa
8
1.2,4 El empleo de modeloe matem'ticos en Ia emeNmz.o de la ingenieria
9
1.2.5 Sollld6n • los modelos matem'tlcos
9
1.3 HerramimIaa auotem'tlcas o1tile8 en simulaci6n.
2. Bases de bioingenieJ1a para el diseflo de procesos. 2.1 Estequiometria de reacciones biol6gicaa 2.1.1 Estimad6n de rendimJent"" te6rkos
11 15 18 19
2.1.1.1Rendimiento celular (Yg)
19
2.1.1.2Rendimiento cal6rko (Ykg)
20
2.1.1.3Rendimiento de oxlgeno (Y~)
23
2.2 Modelos bi~ticoe
26
2.2.1 Mod.l.amiento m.tem6tico de procesoe biol6gicos
26
2.2.2 Concept"" cineticos fundamentales
26
2.2.3 Efecto de fadores ambientales aobre '"
29
2.2.3.1 Dependenda d. (}AIcon reepocto. [., 2.2.3.2 Mod.loe que deecn'ben Ie inhIbld6n del metabo"'D\o ceJuiar 32 2.2.3.2.1 lnhibici6n de (}AIy [qpl por producto
32
2.2.3.2.2 1nhib1d6n de [III y [qpl por .... tr.t<>
36
2.2.4 EJect<>del metabolWmo end~no
eobre Ie dMtica d. ",OICCi6n
40
2.2.5 ModeJoe deecriplivo. d.• Ie dnftica d•• lnIeeie de productoe
41
2.2.6 EJecta de 1e'[ormad6n de lubprodudOolltObre J.a clJW:tlca de reacci6n
~ U
2.3 SiIteJnu fmnentatlvo.
2.3.1 Sistem .. cerrsdoe
4.5
2.3.2 SistelNLSlennentatlvoe a1nertoo
52
2.3.2.1 Cullivo continuo de .imple eta""
52
2.3.2.2 Cullivo continuo d. mUltiple eta""
59
2.3.2.3 Cullivo continuo con retro.liJn"ntad6n
extt>ma de biomMa
2.3.3 Sistemas eetn.icerradOl
M 69
2.33.1 Fedbatch con swnlnistro conotantt> de nlltrientt>e
71
2.3.3.2 Fedbatch exponendal (cultivo extendido)
75
2.3.3.3 Fedbatch con alimentact6n en forma de gndientt>
80
2.4 Transferenda de oxigeno en "'actOn!S biol6gicoo homogmeo. 2.4.1 Generalidad .. sobre tratisfe",ncta de oxigeno 2.4.2 Torres de contacto g_liquido
88
89 92
2.4.2.1 CoIU1l\.l\&lbw-bujeadoras
92
2.4.2.2 Reacton!s Airlift
98
2.4.3 Reactores agitadOl meC4nicaJnentt> 2.4.3.1 EJecta de Ia aiNaci6n en el conellQ'lo de potend!I
2.4.3.2 Correla~
para lransferencia de maea
2.5 Transferencta de calor en biorreactores 2.5.1 Corre1ociones para lransferenda de calor
lOt lOS 106 109 111 ~
3. Bibliograffa
116
1
1
INTRODucaON Una poderosa herramienta para el analisis cin~tico de procesos, para el diseno de reactores biol6gicos y en general para el diseno y la evaluad6n de bioprocesos, 10 constituye la simulacion del comportamiento microbiano dentro de un sistema de reacd6n. La simulaci6n esta basada en el conocimiento cuantitativo de: Estequiometria de la~ rcaceiones biol6gicas Cinitica de reaccione« biol6gicas sustenUuta en modelos matenuSticos de crecimiento celular, de producci6n de metabolilos y de consumo de materiales Balances de maieriales y de 'energfa en aula uno de los diversos sislertUlS de reacci6n que finalmente se traducen en ecuaciones descriptiuas de los sistemas bio16giCDSde reaccion Correlaciones existentes entre las variables de operaci6n y las velocidades de transJerencia de masa, calor y momento, en reactores biol6gicos.
El uso de herramientas y metod os matematicos para el analisls y la evaluaci6n de bioprocesos no es una disciplina nueva, aunque ciertamente se ha observado un mayor interes en esta area en las ultimas dos decadas, coincidiendo con el arribo de equipo y programas de c6mputo que facilitan el desarrollo de simuladores al permitir una rapida visualizaci6n del efecto que diversas variables tienen sobre el comportamiento y la economta de procesos fermentativos. La predicci6n de eventos, basada en el uso de modelos matematicos, se esta convirtiendo en un componente esencial del metoda cientffico que permite analizar el comportamiento de un fen6meno bajo diversas perspectivas y condiciones experimentales. La simulaci6n de bioprocesos, basada en modelos matematicos, perrnite ahondar en la comprensi6n de fen6menos complejos poniendo a prueba las hip6tesis formuladas y visualizando las trayectorias
incluso experimentalmente impracticables con resultados a menudo sorprendentes, que dan mas luz acerca del propio fen6meno y pueden auxiliar en 101modificaci6n de las hip6tesis originales. descritas
matemliticamente
por el modelo bajo condiciones extremas,
0
Un desarrollo biotecnol6gico comprende varios pasos, y normalmente se inicia con 101busqueda y selecci6n de cepas seguida, usualmente, de la modificaci6n del genoma mlcrobiano para obtener finalmente, la tepa 0 la linea celular que posea la informaci6n genetica de interes para el preceso. Posteriormente, deben definirse las condiciones ambientales para que el microorganismo exprese a su maxima capacidad esta informaci6n genetica. Ello implica establecer las condiciones de operaci6n para el sistema fermentative elegido para el proceso de produccion, empleando como criterios de tales condiciones los valores de concentraci6n de producto, productividad y rendimiento del metabolito con relaci6n a los insumos empleados. Esta informaci6n constituira la base para el posterior diseno a escala del equipo principal involucrado y para la evaluaci6n econ6mica del bioproceso. La experimentaci6n en esta fase del desarrollo consume una gran cantidad de tiempo y de recursos mcteriales y humanos. En cambio, mediante la simulacion de bioprocesos, basada en modelos biocineticos, es factible reducir marcadamente la duracion y el costo de la investigaci6n para eI desarrollo de un proceso biologico. El logro de un simulador util para el disei\o y la evaluaci6n de bioprocesos requiere de modelos matematicos practices y suficientemente confiables en las Areas de la cinetica de reacciones biol6gicas (biocinetica) y de los fen6menos de transporte en biorreactores. Es posible abordar el campo del diseflo de bioprocesos apoyandose en la simulaci6n sustentada en modelos matematicos, sin disponer necesariamente de simuladores costosos y sofisticados. Este texto pretende introducir allector en una estrategia de diseno y evaluaci6n de procesos empleando modelos cineticos que describen la producci6n de metabolites como una funci6n del estado fisiol6gico microbiano, conjuntandolos con modelos de crecimiento, relaciones estequiometricas y las ecuaciones caracteristicas de diversos sistemas homogeneos de reaccion con el fin de obtener modelos descriptivos del comportamient6 de la producci6n de celulas, metabolitos y energta, as! como del consume de reactantes y oxigeno en diversos sistemas fermentativos.
2
1.1 ANTECEDENTES
En el campo de la bioingenieria, aun persiste una tendencia de trabajo que mantiene una separaci6n entre la disciplina microbiol6gica y la ingenieria. Como consecuencia, se tienen dificultades para la integraci6n de conocimientos en 10 que se denomina ingenieria de bioprocesos. Hasta el momento existe un retraso irnportante de esta area del conocimiento en comparaci6n con la ingenieria de procesos en la industria ql/illlica, particularmente en la metodologta de trabajo y espec:ialmente en 10 relativo al desarrollo de programas computacionales espectficos para la simulaci6n de sistemas de reacci6n, de biorreactores y de complejos industriales en el area biotecnol6gica. En el area qutmica, ha habido un gran avance en el desarrollo de programas de computaci6n que permiten vislumbrar futuras alternativas para la ingenieria de bioprocesos. Dentro de estos avances se tiene ya el desarrollo de sistemas expertos que pueden Ilevar a cabo tareas de diseno, evaluar todas las opciones de trabajo disponibles, con la capacidad para generar los diagramas de flujo 6ptimos, y seleccionar el equipo mas apropiado para el proceso. EI desarrollo de tales programas se ha realizado en varias universidades norteamerlcanas con el financiamiento de importantes consorcios industriales. Tal es el caso de los sistemas expertos IDEA (Initial Desigll and Ecollolllic Analysis), CAPS (Computer Aided Process Syllllzesis) y WISE (Wasle immobilizatioll Systems Expert). Existen tambien program as comerciales hechos tanto para PC's como para grandes sistemas de c6mputo, elaborados para el diseiio de procesos Y de plantas quimicas; entre otros estan: Flowtrd/J
DNigll 2000
MottSlllfW Co. cJrem-5han CArp.CA. HOldton
Concept
CAD Omtn.CAmbridgr U.K.
ProcNS PIp
SimulAthl"
APFS
Aspen T;'dl1lology. CiJmfrroidge.MRss.
"due"t lIacl,F,,,,, RateF,oc Hysim Fidap OlLmCad
St:iencn Inc., CiJ./if.
·•
leI/C,em·ShAn
CArp.Co
· "
Hyprofl!ch LIl1.. Cnlga1lj, Albt>rt.r FIMidDylUJmics IfttnMtio..al, rr>aItSWn III. COADI:' Chemstalions lnc., HOllSt""
3
Como resultado del trabajo intensive de equipos completes de programadores de compai\ias dedicadas al desarrollo de software (principalmente norteamericanas), actualmente existen paquetes de simulaci6n para las industrias qulmica y petroqulmica. Algunos de ellos, presuntamente, pueden aplicarse a bioprocesos por estar suplementados con diversas operaciones unitarias de separaci6n usuales en la bioindustria. Una de las compaiUas mas importantes en el desarrollo y venta de software para el disefto de procesos industriales, Aspen Technology, anunci6 en 1988 la venta de un simulador de bioprocesos basado en su simulador AFPS
(Aspen Flowsheet Process Simulator). Usualmente, este tipo de compaiuas venden servicios de asesoria a la ind ustria, haciendo las adaptaciones necesarias al software basico de acuerdo a los requerimientos especificos de la empresa contratante, de tal forma que el acceso a este tipo de simuladores es relativamente costoso dado el grado de complejidad y el numero de usuaries, relativamente pequeno, que 10 demanda. Fundamentalmente, es de utilidad para el desarrollo de nuevos procesos y el disefto de plantas quimicas, aunque tam bien puede utilizarse para el mejoramiento de la infraestructura existente en la industria quimica.
4
1.2 MODELOS MATE MATICOS Y SIMULADORES DE PROCESOS
1.2.1 Modelos, una vlsi6n general
En un reactor biol6gico se Ilevan a cabo una serle de procesos, los cuales en su interacci6n determinan eJ comportamiento de la fermentaci6n. Tales procesos pueden dividirse en dos c1ases: Procesos de transforencill (Trensporte) Procesos de transformaci6n (Conversion)
Ambos estan descritos mediante ecuaciones de velocidad, de transporte 0 de conversion, respectlvamente. Para definir los procesos de transferencia es necesario definir previamente, eJ sistema y sus limites. Dichos procesos definen la transferencia de masa 0 energia entre el medio ambiente y el sistema. En un proceso fermentativo se lleva a cabo la transferencia de nutrientes hacia el sistema, y de metabolitos y energla hacia el entorno. Los procesos de transporte se describen mediante ecuaciones que contienen terminos de concentraci6n (para transporte a traves de los IImites de un sistema homogeneo) 0 bien de gradientes de concentraci6n (para transporte en el interior de un sistema heterogeneo). Los procesos de conversi6n de nutrientes amasa celular, energia y otros productos de reaccion, se efectUan por eJ metabolismo microbiano y SOD descritos mediante ecuaciones cineticas que tienen la forma general:
Donde los terminos '}......'" representan las concentraciones de componentes en el sistema, reactantes 0 productos, que afectan a la velocidad de reacci6n (r). Generalmente, 105 procesos de transferencia y conversi6n se comblnan en las ecuaciones de balance de masa 0 de energla y tienen la forma general: Transjerencia + COliversion = ACllmlllaci611 La soluci6n de las ecuaciones de balance para cada componente, permite obtener
5
un conjunto de expresiones que describen la variaci6n de la concentraci6n de cada uno de los componentes del sistema, como una f unci6n de las variables de operaci6n que afectan al sistema de reacci6n. Dependiendo del tipo de sistema y de las condiciones de proceso, se obtienen soluciones para procesos transitorios (dcjdt,. 0) 0 en estado de equilibrio dtnamico (dcjdt = 0).
1.22 Descripcion y aplicacton de modelos Las diversas clases de modelos matematicos existentes pueden agruparse en pares contrastantes: Descriptive
Predictivo
Estrllcturado
No estructurado
rDelerministico
Estocastico
Continuo
Discrete
Distril1uido
Segregado
Un modelo puede pertenecer a mas de una clase. Por ejemplo eJ modelo logistico es matematico, descriptivo, no estructurado, determintstico y continuo.
1.2.21 Modelos descriptiuos y predictivos Un modelo descripiiuo de un sistema, solo da informaci6n del comportamiento de este dehtro de los limites experimentales bajo los cuales fue obtenido y no hay garantia de que el modelo sea valido en condiciones diferentes a las experimentales. Generalmente, el modelo procede de un ajuste de resultados experimentales a algun tipo de curva y permite la interpolacion, mas no la extrapolacion. Por otra parte, un modelo predictivo permite su utilizacion bajo condiciones distintas a las experimentales (extrapolacion), Usualmente, este tipo de modelo considera algunos mecanismos de funcionamiento del microorganismo y sus constantes poseen significado fisico 0 biol6gico (modelos de induccion-represion de Gad Yagil).
6
1.2.2.2 Modelos estructurados y
110
estructurados
Los modelos estructurados 0 compartamenttdizados toman en consideraci6n la estructura interna de la celula, en tanto que los no estructurados no 10 hacen. Dado que una poblaci6n celular cambia su composici6n macromolecular (RNA, DNA, proteinas, materiales de reserva, enzimas, etc.) como una respuesta a cam bios ambientales, es de esperarse que un modelo no esiruciurado presente fallas al tratar de describir un proceso fermentativo transitorio en el que las condiciones ambientales se modifican en el tiempo, y con ello la velocidad de sintesis y la concentraci6n de los diversos componentes que constituyen la biomasa. Dada la complejidad estructural de una celula, no es posible definirla sino superficialmente, por 10 que es cornun considerar en. el modelo 5610 un numero relativamente
pequeno de componentes clave.
1.2.2.3Modelos distribuidos y segregados En biologla, las celulas han de considerarse como unidades discretas. Sin embargo, en un gran numero de modelos tal naturaleza discreta no es tomada en consideraci6n y una poblaci6n celular en un cultivo es considerada como
homogenea. Un modelo segregado considera a) ruimero de celulas como una variable que describe a la cantidad de biomasa, en tanto que uno distribuido maneja terminos de concentraci6n celular como si estas celulas se encontrasen disueltas en el medio de
cultivo, 1.2.2.4Modelos detenninisticos y estocasticos La gran mayorfa de los modelos utilizados en microbiologia son deterministicos. Tales modelos son aplicables cuando se manejan poblaciones con un gran ntimero de individuos. 5i se trabaja con poblaciones pequenas, las diferencias entre organismos pueden tener tal influencia en el comportamiento general de la poblaci6n que se requiere recurrir a terminos probabilfsticos para describir su variaci6n. En este caso se estarfa manejando un modelo estoaistico.
7
1.2.2.5 Modelos continuos Y discretos
En los modelos continuos, las variables cambian continuamente. Aunque muchos sistemas biol6gicosson discretos, al manejarse una gran cantidad de indivlduos en una poblaci6n ocurre una dispersi6n de eventos en el tiempo, por ejemplo la multiplicaci6n celular, 10que permite considerar al fen6meno como si ocurriese de manera continua. 1.2.3 Prop6sitos de los modelos matemiticos en microbiologia
Un modelo puede definirse como una especificaci6n matematica de las lnterrelaciones entre las diferentes partes de un sistema. Tal especificaci6n toma generalmente la forma de un conjunto de ecuaciones que cumplen con los siguientes prop6sitos: EI desarrollo de un modelo permite, de una manera sistematica, estudiar el comportamiento de sistemas espedficos para los cuales exisie informacion teorica 0 experimental. £1 uso de modelos oblign al microbiclogo a ser mas riguroso en sus planieamientos y
definiciones. Terminos como rendimientos, velocidades de consumo, etc., deben expresarse matematicamente de lalforma que no exista nillguna amhigiiedad en su significado. Un modelo lHIlidJIdo es una gura util para tl diseno y la operaci6n de bioprocesos. Generalmente se busca una correlDci6nmalcm6tica mire las variables de operaci6n y el comportamienlo del proceso,para encontrar 514 oplimizaci6n. Los modelos son lIerramientas conceptuales allxiliares en la interpretaci6rl de mecanismos biol6gicos. Puedm utilizarse para ID prediccion de comporlamienlos en situaciones no experimentadas, 10 que define situaciones criticas llacia dmufe se della dirigir la investigaci6n.
8
La utilidad de un modelo clnetico depende de varios criterios: La precision del modelo en la descripcion de una lTayectoriJlcinnica. Lafacilidad de OblCllci6nde sus constantes, partie lido de la teorla que Ie su.slenla
0
de datos
experimentales. La fadlidad de manejo marem4lico del romplejo obtenida, al ser combinado el modelo cinnico con otto amjunJo de ecuacicnes que inJegran el modelo general de un proceso.
1.2.4 EI empleo de model os matematicos en la ensenanza de
101 ingenieria
La ensenanza del diseno y la evaluaci6n de procesos, mediante el uso de simuladores basados en modelos matematicos, presenta algunas ventajas. En disciplinas como la ingenierfa, es importante que el alumno sea capaz de observar la repercusi6n economica causada por la modificad6n del equipo, 0 de sus variables de operaci6n. Mediante la simulaci6n pueden predecirse tales efectos. EI simple conocimiento de los fundamentos te6ricos y de la metodologia de calculo, es a menudo insuficiente para que un estudiante de ingenieria, 0 un ingeniero con poca experiencia, pueda emitir juicios de valor para seleccionar las condiciones que mas favorezcan a la economla de un proceso. Un simulador permite evaluarlo despues de haberlo sometido a un exhaustivo analisis bajo las mas variadas condiciones. 1.2.5 Soluci6n
01 los
modelos miltematic08
Un modele matem<\ticopuede estar constituido por un complejo de ecuaciones de diversa indole. La soluci6n a este complejo consiste en convertirlo en correlaciones f'licilesde visuaJizar y manipular. La soluci6n puede ser de naturaleza analltica, 0 nurnerica, y debe relacionar explidtamente a las variables c/ependientes (respuesta del sistema) con las variables controlables (variables de diseno y de operaci6n). En el esquema siguiente se muestran las principales variables que intervienen en un modelo de biorreactor y que puede manejarse como un sistemafrrmentativo uniiario o descomponerse en sl~bsistemas,con el fin de simplificar la soluci6n del modele para realizar el analisis del proceso. .
9
V ARlABLES QUE INTERVII!NEN EN UN SISl1!MA Varlabus colltrolables VariAblesde dl$etIo TIpo de reactor Conffgurad6n geomelrica del eeeetee Tlpo d.
0 ... YRUmerode lUlbinas 51st..". d. enfrlamlen'. Area de transiereneia
de calor
nvo UNIT ARlO
FERMENT A
Variables depelldielltes
M Q
0 D
C)
Q
E
Q
Concentradon de inhibidores lI\~tab6UC'OS Ccncentrecien de materia) celular
Q
L
C)
Concentrad6n
Q
0
C) C)
Conccntrac16n de productoe Con«ntraci6n de reectantes
Q
de oxigeno disue1to
Q
D
Q
pI-!
Q
E
C)
TempetatufiL1 de operad6n
C)
TensSOn ,uper(Lc-la1
Q
Vi9cosidad
C)
Q
B I
Q
0
'Jeali
Q
Au;o de ague d~ wriamiento
Q
R R
Q
VariAblesambienblles ~ fr ~ VariAblesfl$iol6giCAS
fl\1jo de aire
Q
E
C)
Composici6n de la bicmesa
nulnentes
Q
C)
Ve10ddad de c:orwumo de odgeno
T... de t\'IfOOIlm""taci6n d. b_ Ternpe:ratuR del agu.a de mfriuniento
Q
A C
Q
VeJex:id.3d de COn:um1()de reactant",
T 0 R
Q
Veloddad de aedJniento
C)
veloddad
C)
Veloddad de gf'ne1aef6n de calor
VariAbles Ik operaciDtr CoaIposlcl6n del fluJo d. allm""tac!6n Aujo de ktdoo
Flujo
de aUmenlad6n
~
Q
Velocided d. agitaci6n
Q
VoIumm del reactor
Q
o
d. iounaci6n de preductos
Mas que por la carencia de inodelos, este analisis puede estar limitado por las herramientas matematicas disponibles para la soluci6n del complejo de ecuaciones tformalismc matemdiico y mitodos matemtiticos). Usualmente entre mas compleja es la descripci6n matematica de un proceso, mayores dificultades presenta su soluci6n. Por 10 tanto, el exito del analisis de procesosradica en la capacidad para definir un problema con .un grade de detalle sufidente que permita resolver el complejo matematico y describir el comportamiento del sistema 0 subsistema con una precisi6n aceptabJe, evitando que eJ exceso de detalles nos lIeve a un conjunto irresoluble de ecuaciones. D.M. Himmelblau y KB. Bischoffen su texto Process atU1.lysisand simulation justamente mencionan: "Tiene escasomerito el hallazgo de una soluaon analitica formal a lin problema, 110 obstante 10elegante que esta pudiera ser, si se dificulta la obtenciall de numero» por los problemas que presenia su traiamiento maiemdtico".
10
__.
1.3 HERRAMIENTAS
MATEMATICAS mILES
EN SIMULACl6N
Para simular un proceso real, es necesario expresarlo previamente en terminos matematicos. Usualmente se plantea como un conjunto de ecuaciones algebraicas 0 diferenciales. Para su soluci6n es necesario investigar, calcular 0, en Ultima instancia, determinar experimentalmente el valor de las constantes que intervienen en cada una de las ecuaciones del conjunto. Para estimar el valor de estas constantes, construir el modelo, analizar y evaluar las soluciones generadas por este (s;/llulacioll), habitualmente es necesario emplear equipo de c6mputo y una gran diversidad de herramientas matematicas (simb6licas y numericas) que van desde_ la teorta de las ecuaciones algebraicas a los metodos de solud6n de ecuaciones diferenciales, pasando por el calculo matricial, Los modelos matematicos mas comunes que se manejan en las areas de ingenieria y clencias, usualmente se plantean en forma de ecuaciones diferendales. La dinamica de los sistemas ftsicos que tienen una variable independiente puede modelarse mediante ecuaciones diferenciales ordinaries. Aquellos que tienen dos 0 mas variables independientes se expresan en forma de ecuaciones diforencia1es parciales. Varios tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y algunas parciales tienen solud6n analltica. Sin embargo, la gran mayorla de ellas, particularmente las no lineales y las que involucran sistemas de ecuaciones diferenciales interdependientes, requieren metod os numericos para su soluci6n. Un sistema de ecuaciones diferenciales puede transformarse en una ecuaci6n unitaria de orden mayor, aunque a menudo resulta extremadamente compleja su solud6n analftica . Los metodos numericos se basan en el concepto de diferencias finitas que permite dos vias de utilizaci6n. Por un lado, una ecuaci6n diferencial puede integrarse numericamente calculando los valores de la funci6n en valores discretos 0 bien, un conjunto finito de valores experimentales, puede ser numericamente diferenciado o integrado. Estos y otros metodos del arsenal matematico que se emplea en el diseno de bioprocesos por simulacion, se resumen en el siguiente listado.
11
ECUACIONES ALCEBRAICAS
Metodos mairiciales para la soluci6n de un sistema de ecuaciones lineales Solud6n por I. regia de Cramer Solud6n por eliminad6n gaussiana Solud6n por eliminati6n de Gauss-Jordan Solution mediante la matriz de Hilbert Soluti6n mediante el metodo iterative de Gauss-Seidel
Soluci6n de ecuaciones de una variable M~todo de bisecci6n Metodo de Newton-Raphson Metodos de solucion de ecuaciones cuadratices, cubicas y cuarticas, etc.
Soluci6n de polinomios M~todo de MiiIler Metoda de Homer
M€todos de interpolaci6n y aproximaci6n polin6mica Polinomios de Taylor Polinomio interpolante de lagrange
Ecuati6n de diferenda regresiva de Newton Ecuati6n de Stirling Interpolaci6n de Hermite DIFERENCtACI6N E lNTEGRAOON NUMERICAS
.Extrapolation de Richardson F6rmulas de Newton-Cotes M~todo d. Simpson Integrad6n d. Romberg Cuadratura geusstana SoLUCI6N NUMERICA DE ECUAQONES DIFERENCtALES ORDlNARIAS
Metodo de Euler Metodo de Taylor Metodo de Heun Mctodos de Runge-Kutta y Runge Kutta-Fehlberg M~todo de Adams-Bashforl
12
-
M~todo de Adems-Moulton M~todo de Milne
SoLUOON
DE ECUAOONES INTEGRAUS Y DlFERIlNCIAUS I'OR APROX1MACION
Metodos de solucion pur series Polinomios de Legendre Polinomios de Laguerre Polinomios d. Gcgenbauer Polinomios de Chebyshev. Polinomios de Jacobi
Soluciones que se expresan en terminos de FunciOn error gaUSl;iana Funci6n gamma de Euler. FunciOn beta de Euler Funci6n integral exponencial Funciones poligamma Funciones de Bessel Funciones Riemann·Siegel Funci6n zeta de Hurwitz Funciones de Ajry Funciones hipergeometrtcas
Merooos ESPECIAI.ES PARA LA SOLUClON ANAUnCA Transformadas
de Fourier
Transformadas
de Laplace
Transformadas
de Mellin
Transformadas
de Hankel
DE ECUAOONES DIFERENOALES
Para tener finalmente un simulador, es necesario que la soluci6n matematica sea traducida a un programa de calculo (software) capaz de generar los resultados graficos 0 numericos del modelo empleando micro 0 minicomputadoras (hardware). Para la escritura del programa, puede recurrirse a diversos lenguajes de programaci6n (Pascal, Basic, Fortran, C, etc.), hojas de calculo (Exrel, Lohl5, Quat/To, etc.) 0 bien, puede emplearse software matematico de alto ruvel que incorpora como subrutinas muchas de las funciones anteriormente mencionadas
13
Estos ultimos, simplifican enormemente la visualizaci6n del comportamiento de un modelo, ya que pueden utilizarse directamente los m6duJos matematicos que integran el paquete de calculo. (Maple
0 Matllematica).
14
BASES DE BIOINGENIERiA PARA EL DISENO DE PROCESOS Aun cuando el !ermino biotecnoiogia es de factura relativamente reciente, tanto los conceptos implfcitos en ~I, como las areas de incidenda e incluso parte de la metodologia que utiliza, hist6ricamente han quedado comprendidas dentro de disdplinas tales C011\.O la microbiologia industrial, la tecnologi« de enzimas y la leol%gia de fermen taciones. Para la biotecnologia existen infinJdad de definiclones, no asl para la bioinge1lierla. A esta Ultima a menudo se Ie restnnge al ambito btomedico,
[Biotecnologla es] /a aplicacioll de la bioqll(miea, la microbiotogia y la ingenieria quimica al media ambienle, nsf como a procesos y productos industriales (illcluldos los energeticos, las productas para el cuidado de III salud y para la agricultura}, 1981: iUPAC (Int""",Uonal Union of PUn>and Applied Chemi.try)
[Biotecnologta es] la aplicaeion de principios cientificos y de ingenieria para el procesamiento de materiales par agenles biol6gicoscon el fin. de producir bienes y seroicios 1981:EFB(EuropeM Pede.allan of Biotechnology)
Definida de una manera mas restrictiva, (la biotecno!ogia implica] el uso integrad; de la bioquimica, de la microblologia y la ingenieria para lograr fa aplieaci6n teenol6gica de las capacidadesmelab6licas de microorganismos, c:ilulasy
lejidos cultiuados, 0 de 5115 componenies. 1982:OBoe (Organlwtlon for EconomicCooperation and Development)
(13ioingenierfaes] el usa de la ingenieria y de los principias biologicos para la identificaci6n de lasfimciones de sistemas trivos y para el desarrollo de dispositivos terapeuna», espeoalmente paries y sistemas corporales,artificiales 1992: (Microsoft Books.helf)
15
Ni estas, ni otras definiciones son de aceptaci6n general. A menudo se confunde a la biotecnologia con la ingenieria genetic« identificandola con la manipulacion
genetica de microorganismos Y celulas, animales 0 vegetales, para producir razas nuevas. Aunque, estrictamente, esta ultima constituye s610 una de las disciplinas que intervienen en la biotecnologia. A la bioingenieria, frecuentemente se Ie identifica con el disei\o y escalamiento de bioprocesos. Con e) prop6sito de aclarar terminos Y 5610con fines dtdacticos pueden definirse ambos terminos de acuerdo a sus competencias. Para ella se agrupan las actividades necesarias "para lograr la aplicacion. tecnologica de las potencinlidades biologicas celulares" en dos conjuntos secuenciaJes, uno de la competencia de la bioiecnologia y otro de la bioingenieria.
DESARROLLO 8101eCNOL6Glco
Ma.nipu/aci6n geneliea para la oblenei6n de cepas 0 de l(neas celulares de alta produccion. Evaluaci6n y selecdon de cepas 0 de Uneas celuiares, lnvesligacion de condiciones de producdon y andlisis cinetico del proceso para una posterior definicion del sistema de reacdon. lnvestigadon de metodologia de recuperad6n y purificaciOn de bioproductos.
DESARROLLO DE BIOPROCESOS(BIOINCENI£RlA)
Diseiio del sistema de reaccion. Disello de biorreactores . Definicion de las operaciones previas a la fermentacion (upstream processing) y de las correspondientes a la recuperation y puriJicacion del produclo (downstream processing) que estan comprendidas dentro del bioproceso. Analisis econOmico.
De acuerdo a 10 anterior, la bioingenieria podria definirse como "el uso integmdo de con_ocimientosy herramientas meiodologicas de In bioquhnica, microbiologia, computacion e ingenieria quimica, para el diseiio y la evaluacioll de bioprocesos". EI grade de complejidad que esto encierra, hace necesario que el diseiio y la evaluaci6n se aborden con el auxilio de una de las herramientas mas poderosas que existen en el
16 -I I
.~!
area de las ciencias: In simulnci6n de bioprocesosbllSlldaen rnodelos matem6ticos. Para hacer uso de esta herramienta es necesario lener informaci6n suficiente sobre
esiequiometria de reacdones biologicas, biocilletica,sistemas de reaccion y transfrrencia de lIIasll, calor y momenta en reactoresbiol6glcos. Como se mencion6, en un proceso fermentativo existen diversos subprocesos que se agrupan en: Preparacisn tk malerias primas, formutaci6n
y esteriliz.aci6n de mostos (upstream
processing)
Fmnentadon Recuperacion y purijicaci6n
de productos (downstream processing)
El impacto econ6mico de cada uno de ellos dependera de la clase de producto que se pretenda obtener. En el caso de productos de bajo valor agregado, por ejemplo: proteina unicelular (SCP) 0 tratamiento de aguas residuales, la fermentaci6n representa la parte medular del costo total por el consumo de energla para la eliminaci6n de calor y para la transferencia de masa, si se trata de procesos aerobios. En cambio, en la produccion de etanol, el consumo de energia para la recuperaci6n del producto es el que rob seriamente afecta 1a economia del proceso, por 10que resulta conveniente recurrir al disefto de procesos tntegrados de producci6n y recuperaci6n simultanea. 5i se trata de producir roetabolitos de alta pureza (utilizando usualmente cepas recombinantes), su recuperacion, y purificaci6n son las que rob gravitan en el costo global del proceso. Cualquiera que sea el caso, es posible reducir el costo de recuperaci6n si aumenta la concentraci6n de prod ucto en la mezcla de reacci6n. Por ello, el objetivo del diseno de bioprocesos constste en encontrar las condiciones de producci6n en donde se obtenga: alta concentrecion de producto alta producHlJldad (oeloddad voIumitrica tk produccion)
alto rendimiento (cficicllcia de conversion de materias primos a productos}
Estos tres factores son criterios fundamentales para el disello y eualuacion de
procesos fermentatiuos.
17
2.1 ESTEQUlOMETRiA
DE REACCIONES BIOL6GlCAS
En un proceso fermentativo, los reactantes se convierten, por acdon microbiana, en una mezcla de productos de reacci6n. 5i la poblaci6n celuJar se mantiene estatica (sin crecimiento), funcionando 5610 como biocatallzador de la reacci6n; unicamentc se requiere formular la mezcla de reactantes considerando la estequiometrla de la bioconversi6n. En caso de existir crecimiento, debe considerarse la fracci6n de reactantes que se convierten en biomasa, asi como la parte de la fuente de energia utilizada para e) metabolismo celular end6geno. Cuando e) producto de reacci6n es la propia biomasa 0 bien, algun components intraceluJar 0 secretado que no represente una fracci6n masa importante (enzimas, vitaminas, peptidos, etc.), el medio de cultivo se formula a partir de la composici6n del propio material celular, considerando los rendimientos correspondientes para cada uno de los componentes. COMPOSIOON EI.EM£NTAl DE MICROQRCANISMOS
Elemmto (£1
Badmas
I%J
lCl£I
Levaduras y '.oll80S (%J IC/£J
Carbono ,. [Clmin.
,. [C1m;1x.
47.0 53.0
44.0 SO.O
NItr6gcno
,. [N]rnin. ,. [N]m;1x.
12.0 14.0
3.9
3.8
7.5 11.0
5.9 4.5 ._F
FOsforo ,. [Pjmin.
31.3 26..5
1.0
2.0 1.S 2.S
31.3 21.2
1.5
" [K)Q\dx.
,. [MgJrnin. " [Mglmax.
0.1 0.3
470.0
0.1
76.7
0.3
" [S)mln.
0.300 0.600
56.7 78.3
0.31 0.60
46.7
0.100
470 3133 9400 9400 47000 47000
O.lO
440.0
:r. [P)m;1x.
1.5
1.5
44.0 33_1
Polasio
" [K)rnin. Mugnesio
2.0
29.3 25.0 440.0 166.7
AlNfre
,. [S)max.
73.3
Oligoelementos
,. [Cal " [Fe)
" [Mn] ,. [Zn)
" [Co)
,. [Mo)
oms
0.005 0.005 0.001 0.001
18
En procesos fermentativos, en donde no hay desviacionen el metabolismo aerobic
y no se presenta acumulaci6n importante de subproductos, la fracci6n de carbono del sustrato que se incorpora a la masa celular es aproximadamente del 66%; el resto se convierte en C~. Considerando que el resto de los nutrientes se incorporan fntegramente a la biornasa, en el medic de cultivo debera haber un exceso de carbono comosustrato para que se mantenga balanceado,
2.1.1Estimad6n de rendimientos teoricos 2.1.1.1Rendimieuto celular (Yg)
Si se considera un proceso aerobic, donde no se tienen desviaciones del metabolismo celular y no hay acumulacton masiva de metabolites, se tendra una estequiometria simple de reaccion: 0.66 Cccl+ 0.34 CC02
Csuslrato
En este caso, el rendimiento celular, basado en el carbone de sustrato [Cs)que se incorpora a la biomasa como carbono celular CCI sera de 0.66 gCdgCs = Yc independientemente de IIIfuente de carbono que se utilice. Sobre esta base es factible calcular el rendimiento te6rico celular maximo que se esperaria para cualquier fuente de carbono biodegradable, conociendo las fraccionesde carbono en el material celular C/ x y en el sustrato C/ s. C/ x = 0.52 gC/ geel
Yg = YcfC/s)/[C/x);
....
RENDIMIENTOSCELULARESMAxIMOS.
Sustrato
..... ~
FOrnwia
Dodecano C12HU CH4 ~H60 Glucose C6H1206 Metanol CH40 Metano Etanol
Disacarido Cl2HnO
GUcerol C3Hs03 Hexane C6H]4 Lecteto C3Hs03
PM
170 16 46
180 32 342 92 86
89
ICls}
Valor te6rico
0.847 0.750 0.522 0.400 0.375 0.421 0.391 0.837 0.404
19
Valor experimental Bact. Lev.
IYgI
(Yg,
1.07 0.95 0.66 0.50 0.48 0.53 0.50 1.06 0.51
1.03 0.56-1.01 0.49 0.38.0.4 0.48 '.46 0.45 0.18
IYgI
0.68 0.51
21.1.2 Rendimieuto calorico (Ykg)
Durante una fermentaci6n, una parte del contenido energ~tico del sustrato se libera como calor y otra queda alma.cenada en los productos de reacci6n. Conocido el contenido energetico de la fuente de carbono y de los productos de la reacci6n, es pos!ble estimar la cantidad de energia que se Iibera durante la fermentaci6n por oxidaci6n biol6gica del sustrato. Sobre esta base pueden calcularse los valores del calor de combusti6n del sustrato Mis- celulas AHc y productos AHp.
1.
Existe una relaci6n estequiometnca entre la cantidad de O2 que se consume por combusti6n de una substancia y el grado de reducci6n de la misma. En general, se tiene establecido que por cada mol de O2 consumido en la reacci6n de oxidaci6n, se Iiberan aproximadamente 112 Kcal.
2.
Por otra parte, considerando el valor de 26.05 kcal por electr6n disponible, ave- , que es la carttidad de energia liberada por la transferencia de un electr6n equivalente del sustrato reducido al cxtgeno, y estimando el numero de electrones disponibles de los atomos de carbonof4], lridrogenofl], origello[-2j y nitrogcllo[-3j en el sustrato, etl re11lJas ell producios, se puede lambiell caJcular el calor de combusti6n respectivo. En este Ultimo caso, los valores son ligeramente menores a los obtenidos considerando el oxigeno consumido en la reacci6n de oxidaci6n del compuesto.
°
20
CALOR DE COMBUsnON DE SUSTRATO (erpresado en
kCQljmoi).
lJ.HSJ
Calculc besado en el ~ alIlSUDlidoen I. r.aa:HIn [112kaI/mol 0,1
l1H5,!
C61culo basedo en Latnergla de 1(I(t('_Ie<:tronas dlsponiblet [26.05,kc- .. I/(.v e·»)
Sustrato
Reacci6n d. oridaci6n
lJ.RSl
ftXpJ
lJ.HS2
fave")
Mctano
CH4+202
~
C~+~O
224
212.8
208.4
8
Etanol
C2H60+~
~
2C02+3H20
336
326.5
312.6
12
Clucosa
C6HI206+~
~
6C02'6H20
672
673
625.2
24
Metanol
2CH40+~
~
2C02+4H20
168
173.7
156.3
6
Maltosa
C12H22011+12~
~
12C~+llH20
13(4
1350
1250
48
Gltcercl
~Hs03+3.~
~
3C02+4~O
392
397.8
364.7
14
Heseno
2C6HI4+190z
~
12C~+l4H20
106l
989.9
38
Cidohesano
2~H12+18~
~
12C0z.+12H2O
1008
937.8
36
Ac.."ttatu
C2H.~+2~
~
2C02+2H20
224
208.6
20U
8
UClalQ
2~H50:l+5~
~
6C02+SH2O
308
326
286.S
11
Ptrvvato
~H.0:l'2.~
~
3C02+2H2O
280
280
260.5
10
Isopropanol
C3H80+4.~
~
3C02+4H20
SOt
468.9
18
fonru>.ldclUdo CHP+~
~
C~+~O
112
134.1
104.2
4
A<»taldehldo
CzH40+2.~
~
2CQ2+2~O
280
278.8
260.5
2
Tanarlco
C4H606+2.~
~
'C02+3H2O
280
275.1
260.5
10
Mal(,:jcO
C.H.O.+302
~
4C02+2H2O
336
320.1
312.6
12
Suctinico
C4H604+3.~
-4
4C02+3H20
392
30'7.1
364.7
14
~
FumArico
C41-(404'~
-4
4C02+2H20
336
320
312.6
12
-
xu....
C5HI00s+~
~
SC02+5H20
560
561.5
521
20
Calactosa
C~1206+~
~
6C02~H20
672
670.7
625.2
24
Ramnosa
C6HI20s+6·502
-4
~'6H20
728
718.3
677.3
26
'. '"
'-
'-
~ ~
21
CALOR DECOMSusnON
DEcELULAS
th la comltusti6n de cilulas
IJ.Hc(lo.Vg
PM
EsUquiolmtria
'1!J.7
[e] [H)I.66 [N)O.'1!J+ 1.280roh
-+
CO2 + O.looN2 + O.83HzO
6.37
22.5
[e] [Hll.i8 [NIO.U + 1.280[Oh
-+
COZ + O.l'1!JNZ + O.89H2O
5.86
23.7
[e] [H)I.74 [N)O.22 + 1.22O[Oh
-+
CO2 + O.110NZ + O.87HzO
5.30
24.0
[e] [H)l.82 [N]0.19 + 1.22O[Oh
-+
COZ + 0.095N2 + 0.91H2O
5.23
25.6
[e] [H)I.84 [NJO.20+ 1.l80[0]z
-+
CO2 + O.looNZ + 0.92HzO
-1.75
23.9
[e] [H]1.82 [N)O.19 + 1.225[Oh
-+
CO2 + 0.095N2 + 0.91H2O
3.28
25.5
[e] [H]1.84 [N)O.2O+ 1.183[Oh
-+
CO2 + O.looN2 + O.92HZO
4.79
226
[e] [H)l.40 [NJO.20+ 1.150[Oh
-+
CO2 + O.looNZ + O.70H2O
5.24
22.3
[e] [H)l.43 [N)O.14 + 1.140[Oh
-+
COz + O.070N2+ O.72H2O
5.27
22.8
[e] [H)l.60 [NIO.2O+ 1.2OO[Oh -+
COz + O.1OONZ + O.80HZO
5.42
[e] [H)l.77 [NIO.11 + 1.170[Oh
CO2 + O.05SNZ + O.89HzO
5.00
-
24.1
-+
Notas: Las formulas minima. pdr. biomosa se tomaron de Atkimon y col. (1983) Se constdera un contenido de cenizas de18.0 ,. ~
En un proceso de combusti6n biol6gica de la fuente de carbone, se tiene la siguiente estequiomebia de reacci6n.
Dividiendo entre AX:
Definiendo los t~rminos: AX/6S
s
liPlAX ~
Yxs~ [dx/dtj/[ds/dtj
Rendimiento celular
Yp. = [dp/ dtll [dx/ dt]
Rendimiento de producto
liXI liH( - Y.k
= [dx/dtJ/dq/dtl
Rendimiento calorico
YpxYxs= Yps se obtiene finalmente:
22
--
Determinado el rendimiento celular Yxs Y conocidos los valores del calor de combustion de reactantes y productos, es posible estimar el valor de Yxk- A partir de este valor, se puede determinar la velocidad de generaci6n de calor por fermentaci6n (dq/ dt) en cualquier estado fisiol6gico celular.
2.1.1.3Rendimieuto de oxigeno Yo~ Finalmente, el rendimiento de 021 Y028 puede estimarse estequiometricamente a partir de la liberacion de 112 kcal/mol O2 consumido en la combustion, Yko dado que:
23 <,
EsnMAa0N
DE RENDIM!ENTOSTE0RlCOS: CELULAR (Yg)' CAL0RlCO (Ykg) Y DE OXICENO (YO,g)
Yke = 3.5 kcal/ g02
dHc - 5.7 kcal/ gc
kcaVg tUi,
YoU
Organisttlo
Sustrato
Calc. 3.48 3.74 5.43 7.10 8.40 13.30 3.95 3.73 3.74 3.74 3.74 3.74 3.74 3.74 4.32 3.66
3.18 3.48 3.48 3.48 7.10 7.10 5.43 5.43 5.43 13.30 13.30 13.30 13.30
Bacteria Bacteria Bacteria Bacteria Bacteria Bacteria Aatrogtnes Aatrogtnes Aatrogtnes C. utilis P. chrysogenum Ps. f"'orescms Rh. spheroides S.cereuisiae A.atrogenes A.atrogenes Aatrogtnes A aerogtnes C. utilis Ps. Jluorescms C. utilis Ps. Jluoresct!1lS Klebsiella Methylomonas Pseudomonas Methylococcus Pseudomonas Pseudomonas Ps. methanica
Acetato Glucosa M,etanol Etanol lsoprcpanol Metano Maltosa Fructosa Glucosa Glucosa Glucosa Glucosa Glucosa Glucosa Glicerol Lactate
Piruvato Acetate
Acetato Acetate
Etanol Etanol Metanol Metanol Metanol Metano Metano Metana Metano
Real 0 Calc. 0.36 0.51 0.40 0.68 0.43 0.62 0.46 0.42 0.40 0.51 0.43 0.38 0.45 0.50 0.45 0.18 0.20 0.18 0.36 0.28 0.68 0.49 0.38 0.48 0.41 1.01 0.80 0.50 0.56
Y-,*
¥.k
Yo,
real (0)
Calc.
real (0) Calc.
0.40 0.39 0.30 0.35 0.36 0.23 0.39 0.26 0.26 0.10 0.13 0.08 0.19 0.12 0.16 0.11 0.15 0.14 0.12 0.08 0.05 0.05 0.05
0.25 0.61 0.13 0.21 0.07 0.06 0.35 0.31 '0.27 0.61 0.33 0.24 0.38 0.56 0.26 0.07 0.10 0.07 0.25 0.15 0.21 0.11 0.12 0.18 0.13 0.13 0.09 0.05 0.06
0.88 2.15 0.44 0.74 0.25 0.22 1.50 1.46 1.11 1.32 1.35 0.85 1.46 0.97 0.97 0.37 0.48 0.31 0.70 0.46 0.61 0.42 0.56 0.53 0.44 0.29
0.20 0.19 0.17
Yo,
1.21 1.10 0.96 2.15 1.17 0.85 1.34
l.'n 0.90 0.24 0.34 0.26 0.88 0.52 0.74 0.40 0.41 0.62 0.46 0.47 0.32 0.17 0.19
.~
~
~
~ (0) leo velcres de ..... co!llD\MS es""dt.dos
24
pee N.ga~S. (1979)
E)EMPLO DE FORMULACION
DE UN MEDIO
DE CULllVO
Considerando la produccion de biomasa a partir de un microorganismo con la siguiente composicion elemental:
Elemento [E) Compcsicion cclular
%C 50
Relad6n [C/E] en all. Relacion [C/E) en M.e.
-
%N 10
%P
%Mg
1.5
%K 2.0
CfN
C/P
5.0 7.5
33 50
'YoGi
0.3
%S 0.6
C/K
OMg
CIS
C/~
25
166
38
251
83 125
500 750'
0.1
• Considcrando paTa 01 mcdio de cultivo [M.e). un exceso del 50% en Ia fuenle de carbono para CO2 que es el Unico subproduclo de Ja reacd6n que 10 contiene,
Empleando las materias primas descritas en la tabla siguiente, el medio quedaria formuJado como se indica en la ultima columna, estimando la relaci6n de cada una de las materias primas [MP) con respecto a la fuente de carbona como: [MP/Lact)
Elemento
[EJ
[MP)
= [C/Lact}/{[C/Ej[E/MPll
Peso Molecular
C
Lactose
342
N p K
(NH4)~4 K2HPO. K1HPO.
132 174 174
Mg
MgS04·7(H2O)
246
5
(NH4)~4
132
R.Jad6n [F,IS) Wg)
[MPfLactJ Wg)
0.42 0.21 0.18 0.45 0.10 0.24
0.26t'6 "[N) Y (5) 0.0466 '[P) y [1<) 0.0245 0.0170 0.0140
Cuando se busca la acumulaci6n de algUn metabolito, se provoca el desbalanceo del medio de acuerdo con la estequiometria de la reaccicn: en estos cases, los medics se formulan con relaciones IC/E) mucho mayores que las mencionadas anteriormenle. '-
2S
2.2MODELOS BlooNtncos
2.2.1Modelamiento matematico de procesos biol6gicos En comparaci6n con los sistemas quimicos, los sistemas microbianos presentan una gran complejidad, dado que en ellos se lIevan a cabo infinidad de reacciones bioquimicas catalizadas por centenares de compuestos y de enzimas en el interior de millones de celulas microbianas. Una tarea fundamental es la transformaci6n de esa realidad compleja en un modele matematico de minima complejidad que sea uti! para describirla con un grado aceptable de aproximaci6n al comportamiento real del sistema microbiano. La aproximaci6n que se emplea con mas frecuencia en ingenieria, es la nproximadon macrosc6pica para la soluci6n de sistemas complejos. En I?rincipio podria modelarse la transformaci6n de rnaterias primas a productos llevada a cabo por un biocamlizador ell expansion planteando toda una red de reacciones de bioconversi6n. Sin embargo, esto conduciria a un modele inoperante que manejarla una gran cantidad de constantes cineticas para cada una de las reacciones. Asumiendo que existe una reaccion enzimatica limitante en la ruta metabolica, es posible manejar modelos simplificados que consideren la existencia de un compuesto que limite la velocidad global de la reaccion, que en Ultima instancia seria la velocidad de autocatalisis (expallsion de la masa celuiar biocatmit-ica). 2.2.2Conceptos cineticos fundamentales Con el fin de abordar la cinetica de reacciones bio16gicas es conveniente definir varios conceptos:
Veloddad uolumetrica de reaccion Se define como la rapidez de cambio en la concentraci6n de reactantes 0 de productos en el transcurso de una reacci6n. Las unidades usuales son: masa oolumenrl tiempo+. Cuando la velocidad es la de formad6n de biomasa 0 de producto, se Ie denomina tambien con el termino de productividad celular [Rxl de producto [RpJrespectivamente.
26
0
dx/dt=
Rx
gc r1h-l
dp/dt=
~
gp r1h-1
ds/dt
gs r1h-1
dCI/dt
g02 rlh-l
En el caso de la velocidad de generaci6n de calor, las unidades son: energia
volrmlen-l Hemp
1
dq/dt Velocidad espedfica de reaccion: Es la rapidez de cambro en la concentraci6n de productos 0 reactantes por unidad de masa celular. Las unidades usuales son: masn/(masn celular tiempo)
& &-1 h-1 = h-1
[dx/dt)[l/x)
-j,!
[ds/dt)[l/x]
= qs
s.s,-1 h-I
[dp/dt][l/x)
= qp
gp ~-1 h-1
[dCI/ dtlll/ x) = qC>.!
&C>.! ~-1 h-1
En el caso de la velocidad de generaci6n de calor, las unidades son: energia masa celularl Hempo-l [dq/dt][l/x]
= qk
A estas velocidades especificas se les conoce tambien como ClIotas metab6licas 0 pardmetros de estado jisio/Ogico. Por la interrelaci6n de estos parametres se definen los rendimientos. Rendimiento celular:
27
Rendimiento de producto: Puede expresarse en relad6n a alguno de los insumos utilizados para producirlo,
o en relaci6n a la masa celular que interviene en la sintesis del producto
Rendimiento de oxigeno:
Rendimiento calorico: gclkcal A traves de los valores de rendimiento, las variaciones de todos los parametres de estado fisiol6gico pueden expresarse como una funci6n de la velocidad especifica de crecimiento [v.]. Asf:
q. = f(v.) = v./Y xs q~ = f(v.) = v. /Yxo qk = f(v.) = v. /Yxk
qp = f(v.) = Ypxv. = Ypsqs = v.Yps/Yxs
Existe una gama de funcionalidades que correlacionan a la velocidad especifica de crecimiento tv.] con variables ambientales, usualmente v.(s), con la concentraci6n del reactante que limita a la reacci6n 0 bien con metabolites inhibitorios del crecimiento v.(s,i). Con ellas, puede expresarse matematicamente la conexi6n entre la variaci6n en las condiciones ambientales y la respuesta ftsiologtca ceJular medida a traves de los para metros de estado fisiol6gico.
28
2.2.3 Efeeto de factores ambientales
sobre J.1
2.2.3.1 Depeudencia de [Il] COli respecto a [s]
MOllod: Il-Ilmdx 5/(1<,;+5)
Expresi6n muy frecuente que representa el control de la reacci6n par adsorci6n en el sitio activo de la enzima.
Tessier: J.1
Q
limb (l-exp(-s/I<,;)]
Poco frecuente. Puede sec util para describir microelementos 0 por fosfatos.
reacdones
limitadas
por
Moser: modele de triple consiante. J.I - J.Imax/ (1+I<,;s-n)
Si n ~ 1 se llega a la ecuaci6n de Monod. Si n = 0, el valor de [Il] sera independiente de [5). Para cualesquier otro valor que adquiera n, se tendra Ja expresi6n: J.I .. J.Im6xsn/ (I<,;+511)
Equivalente a la ecuad6n r a k1sn/(k2+Sn),utilizada en cinetica enzimatica y que describe el control de una reacci6n por adsorci6n simultanea en mas de un sitio activo de una enzima. Esta expresi6n es util para modeJar la dinamtca de sistemas rnultienzimaticos.
Contois: J.I = ~lmaxs/(8x+s)
Contiene el term ina Bx equivalente al valor aparente de I<,;. Este valor es proporcional a la concentraci6n celular (x). EI modelo fue elaborado para procesos por late.
29
('Mod.los de crvcimiento') ).Im-
-(1>"2-4 A c)"O.5)/2A; ("Monod') ).II~)1tI\_/(Ks's); ('1....;.... )jl2-jlm{l.Exp( .. /Ks); ("Mc.er; n-1.S·) l'l-J.lm/(1.Ks s"·n~ ('Powell") ).I4--).Im./(Ks.Kd .. j; gMonod-PIoI(lll.(.,oo ••I}.Ax.. LobcJ.>r":).I'}.P1oILobcJ,>'Monod·.CridU"....>AutomaIk.PJOIRange->((O.sf}.(O. gTMSier-PIoI(ll2.(uo.aI}.Ax .. Lobcl.>r'·:J.I·}.P1oILabcl·>"Teooier'.CridLi.-.>AulomaIk.PlotRanS.>((0 ...1).(0. gMooer-PIoI(ll3.( •.so.sl!.Ax .. LobeJ·>r ... ·I'·).PIoILobol!->·Mooer·.CridLines->AutocnaIk.PlotRange->((O.sf).(O.1' gPowell-P.lot{ll4.(uo.s!).AxeeLobcl.>r.'. ·).I'}.PloILobeJ->·PowoJJ·.CridLi __ >Automatic.PJoIRangc->((O .. f}.(O. go..bes-PIoI(ll5.(S,50,sf).Ax .. LabeJ·>rs'.',,'}.PloILabeJ.>'DabcS'.CridLineo>->Automatic,PloIRange->((O.$f).(O.). Mull-5how[gMonod,gT"""ier.gM,x"".gPowell.gDabcS. PJoILabel.>'Comparad6n d. mod.los'); Show[C",phiaArray[((gMON>d.gMoeer}.(gT ... ier.gPowell}.(gDebcS.MuJI}}}}
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Pouell: Il = ~lmbs/[(Ks+Kd)+s) La constante empirica
lKdJ, pretende
tomar en cuenta factores difusionales.
Blackman: para s < 2Ks para s ~ 2Ks Dabes, FillIl Y Wi/ke, modele de triple amsfmlte:
La constante [A] equi,:ale a Ks/1Jm6xY [B]a Ks. Al expresar la ecuad6n en la forma clasica, 1.1 I(s), se obtiene una cuadratica cuya solud6n esta dada por: 2
~l =
{(B+s-Allmb)-{[B+s-Allmax)2 - 4A I.ImaxsjO.5}/2A
Algunos modelos describen en forma generalizada a la variaci6n de [Il) con respecto a [s]. Konak:
Si se introduce el terminc Ilrel· Il/Ilmax' la ecuaci6n puede escribirse como;
k = 1/l.ImllxK,.
Esta ecuaci6n se reduce a la de Moned para p. 2 y a la de Teissier para p = 1. Kargi y Shuler:
-
31
Los valores de las constantes K, III YP son:
Modelo
("«}
(m}
{pJ
Monod
l/Ks
0
2
Teissier
0
1
Moser
l/Ks n/[Ks(l/n~
l-l/n
l+l/n
Contois
l/(BxJ
0
2
Konak
kflmJIx
p
P
2.2.3.2Modelos que describen la inhibicitni del metabolismo celular. 2.2.3.2.1.-lnhibicion de [11]y [qp] par producto: Dagley y Hinsehoood: {acido ldctico] (correlacion lineal) 11= llo[l-kp I Donde: 110 = 1(5) = velocidad de crecimiento en ausencia de producto.
k = constante empirica = l/Pm (en el modele de Ghose y Tyagi). Si 110 esta representado por la funcionalidad de Monod, 110 = [llmaxs/(K,;+s)J(l-kpl Ghose y Tyagi: {etanol] (correlacum lineal) 11= Ilo[l-p/Pml = Ilmax[s/
32
Aiba, Shoda y Nagaillni: {elanol} (correllltiOn expollendal) J.l= J.lo[exp(-ktp)] = [J.lnulxs/(I<,,+s)]exp(-klP) qp = qpo[exp(-k2P») = [qpmaxs/(!
!
de (5) ala cual qp
= qpmax/2
Aiba y Shoda: (correllldoll hiperb6/ica) J.l= J.lo[l/ A) .. llo[l/(ltp/l
= J.lm""[s/A(I<,,+s»)
qp = qpo[l/ A') = qpo[l/(l+p/l
= qpm4x[S/ A(l
Donde: A = (l+p/Kp) A'= (l+p/Kp')
I<" = Concenlraci6n
de [s) a la cual u = J.lm",,/2
1<,,' = Concentraci6n de [s] a la cual qp = Qpmdx/2 Kp = Concentraci6n de [pI a la cual J.l= J.lm6x12 l
Leoenspiel: (correlacion parabolica)
Donde: Pm es la concentraci6n de etanol en donde cesa el crecimiento y (n) es una constante emptrica que indica la trayectoria que sigue el decaimiento de ~len fund6n de la concentraci6n del metabolito inhibitorio (p).
33
Jerusalimsky y Neronooa: I..L
= l..Lo[KJ(~+p)l = [l..Lmaxs/
Donde: ~ = constante de inhibici6n. Hoppe Y Hansford: Es una pequei\a variante de la descrita por Jerusalimsky y Neronova, y la aplican para procesos continuos. I..L =
I..LoKJ{~+[Yps(Srs)])
I..L =
[l..Lmaxs I
Holzberg:
Donde: kl Y k2 son constantes empiricas. Bazua y Wilke: I..L =
J.lo- [k1p/(k2-p)1
qp = qpo - (k3p/
En este modelo, a diferencia del de Aiba, cesa eJ crecimiento y la producci6n a concentraciones finitas del metabolito inhibidor. Luong: {etonol} (correlaci6n parabO/ica) I..L =
qp
l..Lo[1-(p/Pm)a] = [l..Lmaxs/(Ks+s)][l-(p/Pm)"]
= qpo[l-(p IP m')b] = (qpmaxs! (Ks'+s) ][l-(p IP m')"b]
Nuevamente, Pm Y Pm' representan los valores de concentraci6n de etanol en donde cesan, respectivamente, el crecimiento y la producci6n de etano!. Las
~, 34
(. Moc:Ielooq ... .t.crIben Ia InhibiciOn del me I ~ ....... col... Inhlbi~ do" par prod\ICID. p)')
,,-I(..
jAlI\=O.5:KsoQ.~aoo-"", oo/(~~I'm; ("CorTeIacI6n linMI:Chooo YTpp') I'm-ll¥ ""IIO(l.p/!'Ift); ("Corre1od6n uponendal: Aibo. Shoda Y N-plani") kl-o.ot;jl2-"" Exp(.k\ PI; ("CorreIad6n hipori>6lica: AJba YShoda') Kp-I'In/l.5;p3-,.o/(l.p/lCp); ("OlneIadrp'.·Il·I.l'Iotl..obel->'w-t·.Gric1U.->AulcmAlI<:.l'IotIWIpo>(~.pI).to... gI!xp-PIoI(I12.lp.po.pf}.A •• lAbel->rp'.'Il'I.PIoILobeI.>'''''f'Oi''ncW'. Gridu.-> Automoll<:.~>(O.pI),(O..,m)IJ; gHip- PlotflU.(p.po.plj.A_I..obeI.>('p' .'I").PIoILobeI->'h1porb01Jca'. GrldU __ >Automoll<:.PlotRonp->{(O.pI).(O.jAlI\lIJ; gParLev-I'IotlI>4.(p.po.pf},AxeoL.abeI->rp',',,').PIotLobeI->'l'aroblIlraLeY". GridLl.~> AutoO\lluc.PlotRange->((O.pI).(O._III; gParluong'"Plot[l'5.(p.po.pf},A_Lobel·>rp·,',,'I.PIotI..abeI->'P..-.b6lka1.oaona'. Grldu.->Automoll<:.~>((O.PII.(O"""IIJ; Mull-Show(gUn.gExp.gHlp.gPOlLev.gPwL~PIotI.obel->'CanJW&Cl6l' do 1nOdoIoo1; Show[GraphicoAlTlly(((gUn.gs.,t.(gPwI.ev,pluonll.(lHip.NIIIIIIIl
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35
p
constantes empfricas a y b, son indicativas del comportamiento que sigue el decaimiento de 1.1 y qp respectivamente, en funci6n de la concentraci6n del metabolito inhibitorio (p).
Ks '"' Concentraci6n de [s) a la cual u = I.Im"'/2 Ks' = Concentraci6n de [s) ala cual qp = qpn,,,,/2 5evely: {etanol} (correlaci6n parabo1ica) 1.1 = 1lo£Kp/(P+I),»)[l-p/Pm]
qp" al.l + 13 lin, Chiang y Wang: (etallol) (correlnci6n exponencial) 1.1 = llo[exp(-klP-k2s»)
qp = qp.mAxexp(-k3P-~S)[P/(I),+p)] Lee, POlllard y Cowman: (etnnol) (correlnci6nparab61icn) 1.1- llo[l-(p/P m>8)[1-(X/Xmlbl
qp = I.IYpx Dourado, Coma, AlblUjllerque y 5evely: {etanol} (correlaci611potencial} 1.1 = l.IuUl.x{s/[l
qp
a
qpmax{s/[l
m}R m,}R' ...,/
I
2.2.3.2.2 Inhibici6,1 de 1.1 Y qp por susirato: Haldane: Originalmente se elabor6 el modele para inhibici6n enzimatica no competitiva, validada posteriormente para inhibici6n del crecimiento y de actividades metab6licas microbianas. 1.1 = llmaxs/[(I<,.+s)(A»)-1lm.s.xs/[(Ks+s)(l+s/Kt)l
Donde Ks es la constante de saturaci6n y Kt es la de inhibici6n. (A) corresponde en general al termino (l+I/Kt), siendo I la concentraci6n del inhibidor (sustrato).
36
Andrews: (modificaci6n del modelo de Haldan« para inlzibiciOtIenzimdtica} II-llmbS/[I
qp = qpmaxs/[K,,'+s+(s2/K,,'w')] Donde:
:K" = Concentracion
de (s) en la cualll-llm6x/2
K,.' • Concentracion de (s) en la cual qp a qpmax/2 w - Grado de inhibici6n del crecimiento por sustrato w'
B
Grado de inhibition de la producci6n por sustrato
K"w y I<,.'w·son equivalentes a las constantes de inhibici6n I<;y 1<;' Las ecuaciones pueden expresarse aproximadamente a la manera de Haldane: Il· [1lm<1xs/(K,,+s)](l/(l+s/I<;)]
qp = [qpmaxs/(I<,.'+s»)[l(l+s/K,'») Edwards: (adaplaci6n del modelo de Ailm para inhibicion por producio}
=
Il [Ilmd)(s/(K,,+s»)exp(-s/Kj)
Webb: Il- Illmaxs(1+Bs/K;j/[K,.+s+(s2/I<;)]
De manera aproximada: II = [1lm4xs(113s/K;j/[(K,,+s)(1+s/I<;) J
En general, la constante B adquiere los valores: B~O.Si B = 1, la funcionalidad sera la de Monod. Si B > 1, se tendra un incremento en la velocidad de reacci6n. Cuando B = 0, este modelo se iguala con los de Haldane y Andrews.
37
Edwards: (Ecuaci6n del
tipo de Teissier)
1.1- Ilmlix(exp(-s/K;) - exp(-s/Ks)}
-,I
El modelo se ajusta a gran cantidad de resultados experimentales en donde se tiene inhibition del crecimiento por sustrato, Luong:
~I
Los modelos pueden combinarse para describir efectos inhibitorios mixtos. Por ejemplo:
=J
Andrews/Ghose- Tyagi '-'I
1.1 = llmax(1-p/Pm)s/£K,;+s+s2/Ksw] qp - qpmGx(1-P/ Pm)s/ [Ks'+s+s2/K,.'w']
Andrews/Aiba-Shoda-Nagatani 1.1 = llmax[s/(K,.+s+s2/Ksw)][exp(-klP)] Il = llmax(s/(AI<,.+s+s2/Ksw)] qp = qpm4x[S/(K,.'+s+s2/K,.'w')][exp(-klP)] qp - qpm4x[s/(AK,.'+s+s2/K,.'w')]
.
'-'
I
-;
38
:1 1
(. Modeloo
que d.crtben 101inhI>ici6n cW lMIIIboIiomo coIWat InIu"b;OOnde ~ par _b.., .• )
"",-o.5;K.O().2S_2OfCt; 8O"().1J(a;Kl-l00Ka; ot-Kl; ('Modelo de Haldane'lIlt ~ II «K. ... )(l.../Kl»; ('ModeIo de Andtewa')Ia."", 1/(K._A2/Kl~ ('ModeIo de Edw..... )II3·(I'ftI./~»Exp{ ../Kl); ('Modelo de Wtbb')Bo().25;!"""", 1(1+8I/Kl)/~+w"2/Kl); ('ModeIo de Luong")!Im·~.,,-o.65;~_ o(l-(I/Stn)"n)/(K.+o); gHald.Plot(JJl,[.""',aIj.Ax .. IAboI.>[·.·,·..·},PlotLobel.>·HaIdane·,Cridu.->AuIDmaIi<:.PIotRanp>I[O,ol),[O, gAnd-Plot(la.[I,80 ..0,A•• Lobel->r.·,·~·}.PIotL.bel·>·Andrewo',Cridu.-> AulOlNlIi<:.PlotRAonp>I(O,ol),[O. gEdwa=PIot{»3,{.""'..O,A_LAbeI->{'.. ,·I'·I,PlotIAbol->'Bdw..... ,Cridu.->AulDmalic.I'fodtMoeI·I[O,ol),[O, gWebb·Plot[i>f,la.eo,ol},A_lAbel·>I·.·.·~·,.PIotI..olMl.>·Webb·,CridU ..... >AulOlNlIi<:.PlotRao.p-"{IO..",[O,~ gL""ng-Plot(JJ5.(o.eo.oi\.A_IAboI->I"'.·I").f'!.otl.-.>·Luong'.Cridu.->A"-"~>(O.oi\,[o,1' Mult-showf&H-!d.gAnd,SEdwo,gWebb"L-.,.PlotLobel->·Compand6n de mocIeIoe"]; ShowICI'1IphiClAmoy[((stwd.sAn4I,lsBdwo"Webbl,(sL-.,.hI.a1I1I11 Medelo8que oIe&c:riben fa inhlbldin *I c:redmlento <:dular, ,... _alo
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•
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Luonq
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~
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5
39
2'
Co.parae16n d. modelo.
O. 4f!i!5.
o. 3
15
10
15
20
•
25
2,2,4 Efeeto del metabolismo
endogene sobre la cinetica de reaccion
De aeuerdo a J.S. Pirt (1965), el rendimiento observado [Yxsl esta dado por:
En donde Ax representa la cantidad de celulas producidas a expeosas del sustrato consumido para crecimiento (As)g Y para maotenimiento celular (As)m'
Expresado de otra manera, la velocidad especifica de consume de sustrato qs puede dividirse en dos vertientes: consumo para crecimiento celular (qs)g Y consumo para mantenimiento celular (qs)m,denominado usualmente como (m).
Siendo Yxs = J.lIq5' se tiene:
Por analogla, se tiene para los valores de rendimienlos cal6rico y de oxlgeno: Yxk = I-IYkg/(l-I+mkYkg) Yxo = I-IYog/(J.l+moYog)
La cantidad de sustrato consumido para mantenimiento celular (qs)m' representa al consumo mlnimo de sustrato cuando 1-1 2! 0; puede tambien expresarse como una fracci6n de la cantidad que se consume cuando j.1 = I-Imax' A este valor, se Ie denomina fraccion de mantenimiento celular [fOIl. Si se considera que cuaodo 1-1 ~ I-Imax,Yxs ~ YIVse tiene la expresion:
y por analogia:
40
~,
I
fm: mo/(qO:Vm4x = mo/[l-Imax/YogJ
fm : mk/('lk>max:
mk/[l-Imax/Ykgl
Por tanto, es factible estirnar mo j ffik si se conocen los valores de: m, Yg, Yog Y Ykg mYg = moYog = DlkYkg mo = Dl(Yg/Yoy,) mk = m(Yg/Yks) 2.2.5 Modelos descriptivos de la cinetica de sintesis de productos En general, son ecuaciones que buscan establecer la correlaci6n velocidades de formacion de producto y la de crecimiento celular.
entre
las
Coden: (correlacion ge"eral) qp = Ypxl-l = YpsCis = qpmaxs/(Ks+s) ,_
5iendo: Y px = 1(1-1) = YpslY xs
5i YpX es constanle, se tiene el caso -de un modelo en el que la producci6n asociada al crecimiento.
Coden: [equiualente al modelo combinado de Luedekillg!l Piret] qp = YpX~1+
kv
Luedeking y Piret: qp = (X1l+ ~
Rawley y Pir#: qp = qpmax • Y pxl-l
41
esta
Superficie de respuesta de Ypx ; f(I.1),
segUn el modele de producci6n de triple constante qp=alfa l.1"n+beta; Ypx=qp/u: alfa-l;beta--O.l; Plot3D[Y Px.(I',O.01 ,0.25),( n,O.5,1}, AxesLabel->(' 1.1 ',' n .: Ypx '}, PlotRange->(0,2.5},Mesh->False,PlotPOints->35)
2.5 2 Ypx
_, ~
..... ~ -../
0.250.!.
'-'I -'
~ ~ ~
~
42
Ryu y Humphrey: qp = qpmaxEIlreV II +(E-I)llrel} Donde: (~Irell= I-Ihlm6x' E = K1/K1'.
(E) es una constante empirica que representa una relaci6n entre las supuestas
constantes de saturaci6n Kl y K,' de dos pasos enzimaticos que respectivamente canalizan la conversion de sustrato a producto 0 biomasa. Por su definici6n, (E) 5610puede tomar valores mayores a cero.
Bnjpni y Reuss: qp = qpmaxs/fKp+s(l+s/K,..,p)} Donde K,..,pes una constante de represi6n de la slntesis de producto.
Kono y Asni: qp = 1),11-1+ 1),2(1-1.1) Siendo: 1),1 y ~2 ~ 0 Y 1.12: 0 2.2.6 Efecto de Ia formacion de subproductos sobre la emetic a de reaccicn EI rendimiento observado de producto, Yps puede expresarse como:
En donde Av representa la cantidad de producto generado a expensas del sustrato consumido para crecimiento (~)g' para mantenimiento celular (~)m y para la pro pia formaci6n de producto (As}p. Expresado de otra manera, la velocidad especifica de consume de sustrato qs puede dividirse en tres vertientes: consumo para crecimiento celular (qJg' consumo para mantenimiento celuJar (%}m' y consumo para la formad6n de
43 '-
prod ucto ('Is)p' qs = (qs)m + (qs)g + (qs)p = (m) + (Il/Yg) + (qp/Yp)
En donde el valor de Yp representa Ja maxima eficiencia de conversi6n de sustrato a producto, en caso de que el sustrato no fuese utilizado para crecimiento y para mantenimiento celular. Siendo Yps = qp/ 'Is y YXs = ~qs se tiene que:
Por tanto:
Dado que qp = 1(11), basta con sustituir la funcionalidadrespectiva, para un meta bolito parcialmente asociado a crecirniento, qp = ct).l + 13
44
Por ejemplo:
2.3 SISTEMAS FERMENTATIVOS Para prop6sitos de analisis del comportamiento de un proceso fermentativo, se puede definir como sistema fermentnttoo al volumen de reacci6n Iimitado por un
contenedor flsico (biorreactor) en donde se Ileva a cabo la bioconversi6n de reactantes a productos. Definidos los Ilmites del sistema, se denomina sistema cerrado a aquel en el que 110 flny interaunoio de mnteriales IIi de energin COli e! exterior. Un sistema abierto se define como aquel en donde se Ileva a cabo tal intercambio y finalmcnte, uno semicerrado puede ser uno en el que no haya salida de materiales perc sl entrada. Un ejemplo de sistema cerrado seria el cultioo por lote en el que el bioeatalizador (biomasa) y los reactantes principales se coloean en un reactor para que proeeda la fermentaci6n, y se cosecha hasta el memento en que esta ha finalizado. Un sistema abierto es un procesocontinuo en cualquiera de sus variantes, en el que pueden existir flujos de suministro de reactantes y de recirculaci6n de material celular, adem as del efluente. Los sistemas por lote nlimentados (Fedbatch} son un ejemplo de proceso semicerrado en donde se suministran nutrientes al sistema de reaccidn, sin que haya salida de productos hasta que la fermentaci6n concluye. 2.3.1 Sistemas cerrados Estrictamente hablando, un sistema fermentativo totalmente cerrado no existe en la practice ya que minimamente debe mantenerse un control de temperatura, 10 que implica que el sistema no puede estar aislado (illlercambio de ellerg{a). 5i el proeeso es aerobio requiere, ademas, un suministro continuo de oxigeno. Sin embargo, el balance de algunos de los materiales corresponde a este lipo de sistema. Balallce gloOOIde materinles ell
1111
sistema cerrado COli lIolllmen constante
Biomnsn ACllmlllacioll
= entrada - salida + gelleracwllllela
V(dxl dt)ac = 0 - 0 + V(dxl dt),",,"
[1J
(dx/dt)dc = (dxfdt}crec = J,lX
-
45
Susirato Acumulacion = entrada - salida - COIISUlUO
V(dsjdt)"c = 0 - 0 - V(ds/dt)cons (dsjdt)ac
Z -
(dsjdt)cons - - qsx = -l1xjYxs
[2]
donde YX5 = f(J..L)
Producio ACilmulaci611 = entrada - salida + siniesis neta
V(dpj dt)ac = 0 - 0 + V(dp/ dt)sinl (dp/ dt)ac = (dp/ dt)sint = qpx
[3]
,londe qp = f(J..L)
E: conjunto de ecuaciones diferenciales [1], [2J Y [3J representa el modele general de un sistema fermentativo por lote. Un modele espedfico del sistema que lleve a una soluci6n que describa la variaci6n de [xJ, [sJ y ~pJ en funci6n de la variable independiente (t) , se obtiene al sustituir los terminos 11,qs Yqp en el conjunto por sus respectiV05modelos caracteristicos. Como se vio anteriormente, estos terminos estan interrelacionados y cad a uno de ellos puede representarse como una funci6n de variables ambientales tales como la concentraci6n del sustrato limitante (5) y la de algun producto metab6lico inhibitorio (p). J..L = f(s,p)
Dependiendo de la complejidad de los modelos de crecimiento, de consume de sustrato y de formacion de producto, podra obtenerse una soluci6n analitica (exacta) al conjunto de ecuaciones 0 bien, la soluci6n debera ser numerica (aproxilllada). Idealmente, para un caso particular de produccion de biomasa en el que no se presente inhibici6n del crecimiento por sustrato ni por producto, podra resolverse analiticamente el conjunto si la velocidad especifica de crecirniento responde a un modelo simple, como el de Blackman. La soluci6n analitica sera valida exclusivamente para el intervalo en que s :1: 2K,.,donde 11(5)= J..Imax. Empleando el modelo de Blackman, se resuelven las ecuaciones entre los limites:
t" ...t,
46
-,-I 1
I
_J
(4J Si J.I(s)es constante e igual a J.lmax los ~rminos
constantes
to ....t
En el supuesto de que el modelo de producci6n estuviese representado, por ejemplo, por el model~ general qp = aJ.l"+~ (5J
Resolviendo entre los HmitesPo"'P correspondientes al intervalo de tiempo
to .....t
Las ecuaciones (4J, [5] Y [6] son soluciones utiles s610 en casos excepcionales. Usualmente debe recurrirse a modelos que consideren los efectos inhibitorios que frecuentemente se presentan en cultivos microbianos. Cuando se emplean modelos menos simples que el de Blackman, ocurre que el conjunto de ecuaciones (lJ, [2J Y [3] se tornan anallticamente inmanejables, y su soluci6n debera ser numerica. En el caso siguiente, se emplea como ejemplo un modelo combinado que considera los efectos de inhibici6n del crecimiento por sustrato y por producto. =fis,p) = [J.lmbs/
~L
Las ecuaciones diCerencialesparticulares para este caso seran:
47
[7]
(dx/dt)ac = I1X= {[lLmoixs/(K,.+s)J[l-p/PmJ[l-s/Smllx (ds/dl)ac = -
(ds/ dt)ac = -{m+{[l1mnxs/(Ks+s)][l-p/PmJ[l-s/Smll/Yl\ + {CL{[lLmaxS/ (K,.+s)][l-p/P m][l-s/Smlln+p}/Y p}X
(8)
(dp/ dt)ac = qpx = X[CLJ.ln+p] (dp/ dl)ac = X{CL{(ILm4xS/(K,.+s)][l-p/P ",][l-s/Smlln+p}
(9]
EI sistema de ecuaciones diferenciales [7], [8] Y [91se resuelve para las condiciones iniciales lu' x", So Y Po' Los metodos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden son generalizaciones de los metodos para una sola ecuaci6n. Por ejempJo: el metodo clasico de Runge-Kutta de orden cuatro, esta dado por. Wj+l= wj+(1/611K,+2K2+~+Ktl para cada i=0,1, ......, N-l donde K,=hftt;,Wj) K2=hftt;+h/2,wj+k,/2) K3=hftt;+h/2,wj+k2f2) K!=h ftt;+ 1,wj+k3) El termino (h) representa al intervalo de tiempo 61 (fammio de pIlSO), empleado para calcular de forma ilerativa el valor que temporal mente adquiere Wi' que en el caso especifico del sistema de ecuaciones [7 a 9) corresponde a las variables [XI' Sj,Y pjl. La soluci6n para este sistema de ecuaciones en particular es: Xi+l= xj+[1/6J[Kl+2K2+2K3+K..!1
para eada i=0,1, ......, N-l
Sj+l= sj+[1/6114+2L2+2L3+~)
para cada i=0,1,
r
Pt+t = pj+[1/6)[M,+2M2+2M3+M4)
para cada i=O,'I,
, N-l
N-l
EIcalculo de cada una de las 16 constantes (1<, L y M) para cada tiempo t; c li.1+h, se hace eonforme a las siguientes formulas particulares. En esle ejemplo se parte de los valores iniciales 10 XO'SO'Y po' 48
K1-h {{[~Lmax50/(Ks+so)) [1-po/P mIl1-5o/SoJJxo} Ll=h{ -{m+{[llmaxSo/ (I
+
»
{IX{[llmbSo/ (Ks+50 [l-PO/P m][I-So/Sm]}"+I3}/Y p}XO}
Ml=h{xo {CI.{[llmaxSo/ (I=O +K1/2) } M2=h{(xo +Kl/2){CI.{[lln~~x(so +Ll/2)/ (Ks+(so+1.,/2))] [I-(po +M1/2)/P ml[1(50+L,/2)/Smlf+!3}}
K3=h{{[~L1l1ax(So +L2/2)/(I
(Ks+(So+L2I2») [1-(po+M2/2)/P ml[1-
(CI.{[IlUl~X(so +~/2)/ (Ks+(50+ L2f2»] [I-(Pa +M2/2)/P m)[l(50+L2I2)/SmlJ"+I3}/Y p}(Xo+K2I2) } M3=h {(Xa+K1/2){CI.([lln,ax(S"+Lz/2)/ (K,+(50+L2/2»1[1-(po +M2/2)/P 0\1[1(50+ L2/2)/Smlln+l3}}
~=h {([llmilx(So+ LJ)/
rx,+(50+ LJ»)(l-(Pa
L4=h{ -{m+H~lm'x(So+LJ)/(Ks+(S.,+~)))
+M3)/ Pml[1-(5"+L3)/SmJ)(xo +K3)} [l-(p,,+Ml)/P ml(1-(so+~)/Smll/Y
(IX((llmdx(So + L3)/ (Ks+(so +LJ»)[l-(po +M3)/P m)[ 1-(so+~)/SoJln+I3}/Y
II+
p}(Xo+K3) }
M4=h {(xo+K3){Ct{[~lm'x(So +L3)/ (K,+(50+L3»1[l-(po +M3)/P m)[1-(so+Ll)/Smlln+I3}}
49
Una vez va]oradas estas constantes al tiempo tl a partir de los valores Xo- SoY Po se
calcula: Xl = xo+[l/6][1<1+2K2+21<3+~1 51 =
so+[1/6][Lt+2~+2L3+L41
PI - Po+[l/6](Ml+2M2+2M3+MJ
Estos valores (Xl'S, y PI) corresponden a una nueva condici6n inicial que sirve para comenzar otro ciclo de calculo. El procedimiento se repite (i) veces hasta obtener las trayectorias (x,s,p) = fit), correspondientes a la soluci6n del conjunto de ecuaciones diferenciales.
.....
50
o
(*Solucionde un sistema de ecuaciones diferenciales=] ("x'[t)= ~(x); s'[t)= -qslx]; p'[t)=qp(x)*) (*qS"m +~/Yg+qp/Yp; ~=(I1m s/(Ks+s))(I-p/Pm); qp=alfa(~)l\n+beta·) ("Valores de constantes empleando un modelo lineal de inhibicioo*) xo=2.S;so= 13S;~m=O.3;Yg=O.S6;Ks=O.2;m=O.O I; tf-IO;n-O.7;po-1 ;alfa-S;bela·O.I;Yp·O.SI;Pm-65; sol=NDSolve[""[tJ·=(~m s[tJ/(Ks+s[t[))(I-p[tJ/Pm) x[tJ, s'lt)== -(m +(~m s[t)/ (Ks+sIt Dl(l-p[t)1 Pm) IY g+(alfa (~m s[t)1 [Ks+s[~D(l-p[t)/ Pm))/\ n +beta) iYp) p'[t)==(alfa (lUll s[tJ/(Ks+s[t))(l-p[tJ/Pm))An+beta) x[t), x[OI--xo,sjO)--so,p(OI--po),(x,s,p},{t,O,tf} ,AccuracyGoal-> 12,PrecisionGoal-> 12,WorkingPrecision->20,MaxSteps-> 1000); rex-Plot[Evaluatelxlt)1 .soll,(t,O,tf},AxesLabel->f't (hr,"x (g/I)"},PlotLabel->"Siomasa"l; res= Plot(Evaluate(s(t)1 .soil ,{t,O,tf},AxesLabel->\t (h)", "s (gl 1)"};PlotLabel-> "Sustrato"]; rep= Plot] Evalu ate[p[t)1 .sol),(t,O,tf},AxesLabel->{"t [h]", "p (g/I)"},PlotLabel-> "Producto "); mult=Show[rex,res,rep,AxesLabel->{"t (h)","x,s,p (g/l)''},PlotLabel->"(xJ,(s),[PJ''J; ShowIGraphicsArray(((rex.resj.{rep,multlJll
~
, ~
x
s
(gil)
Ig/l)
I)iomasd
SU$tr.to
e
120 100
7
~
6
,
5
ao 60 '0 20
, 2
P
6
a
t Ih)
t (hJ
2 x,s.p
(Q/1)
Pcoduct.o
6
(gil)
Ix l ~ Is).
60
8
(p)
120
so
100
<0
80 60 .0
30 20 10
20 t Ih) 2
t;
6
'-
51
Ihl
2.3.2 Sistemas fermentativos
abiertos
En un cultivo por lote, la composici6n. del medio en el que se cultiva al microorganismo esta variando a 10 largo del tiempo. Estas variaciones son la causa de que la poblacion microbiana presente gran varied ad de estados fisiol6gicos en el transcurso
de la fermentaci6n. A rnenudo, el microorganismo presenta un
estado fisiol6gico de maxima productividad s610 de manera transitoria. En un sistema continuo pueden obtenerse estados estables, en los que se mantenga a la poblaci6n en un estado de maxima productividad. En principio, ~sto hace econ6micamente atractivos a los procesos continuos. En un sistema abierto hay intercambio de material con el exterior. Esto es, hay entrada y salida de reactantes y productos en el sistema: Una caracteristica de los sistemas abiertos es que pueden operar en regimen continuo en estado de equilibrio dinamico. 2.3.2.1 Cultivo continuo de simple etapa (CCSE) Ecunciones de balance global de materiales en
till
reactor
COli
oolumen constante.
Para obtener las ecuaciones descriptivas de un sistema continuo es necesario hacer varias precisiones: Se considera que el reactor es homogeneo. Esto i.mplica que cualquier elemento de fluido del reactor tiene iguales propiedades. (No exisien gradientes de concentrncion, temperatura, densidad, viscosidlld 0 pH ell el rene/or). Los componentes de los flujos de entrada instantAneamente en el interior del mismo.
at reactor se mezclan
Aunque las celulas son particulas discretas, debido a su gran cantidad ya su pequeno tamafio, se considera que la suspension se comporta como una soluci6n; esto es, la concentraci6n celular (x) sera una variable continua.
Blomasa Acumulacion = Ell trada - salida + crecimiento neto
V(dx/ dt)ac = 0 - Fx + V(dx/ dt)crec
52
Oividiendo
entre V, definiendo al tecmino F/V como la velocidad especifica de
diluci6n 0, y dado que (dx/ dt)c:n:.-c = ~IX,se obtiene
[10]
(dx/ dt)ac = x(j.l-O)
Se procede de manera similar para obtener las ecuaciones de balance de sustrato limitante (5) Y del producto (p) (ds/ dt}.c = O(Sr-s) - qsx = O(Sr-s) - Ilx/Yxs
[11]
(dp/dt}ac = qpx - Op
[12]
En estado de equilibrio dinamico, los valores de cada una de las velocidades de acumulaci6n se haceri cera y las funcionalidades (x.s.p) =/(O) que se obtengan dependeran de los modelos utilizados para describir a:
~I= j(x,s,p)
IIp
G
4l(x,s,p}
Si se emplea el modele de Monad para describir la funcionalidad 11 = /(5) y el modele de triple constante para describir el compartamiento de qp = Q[Il(s}], se obtienen las siguientes ecuaciones descriptivas de este sistema:
["3] Por tanto: s = OK,J (Ilm~x-O)
[14)
x = [YxsllSr-sJ
[15)
= (Yxs}(Sr-[OKsf(llmax-O)]J
[16]
p = qpx/O = [x][aDn+~J/O Considerando
-
el efecto de la energta de mantenimiento sobre [%J:
53
('Compottarniento de I. concentnlCiOn eelul .. permtsfble en un eeluvc continuo d. limple etapa. en condiciones de limilaci6n de oxigeno y de sustrato
r..
Valores de constantes') jIIIIo().S;Ks-O.2;alfao().1:betO().05;n·);mo().l;Ygo().56;YCf2g-1.35;cs-o.OO6;a:riI-O.OOl;kla-600;Yp-o.6. (·Ecuado.... del.i.temaCcrmunlalivo·)
.-~ Ks/~m·~);qp-alr. ~An+betqo-m+~/Yg.qp/YP;Y",,-p/qs;x-Yxs(Sr.s); Rx-I"CDlCf2-m Yg/YCf2g;qCf2-mCf2.~/YCf2g;.lim-kJa(C!HlCriI)/q02; gl-P!ol3D(x1im.(",O.oIIlffi.O.95jm>I.(Sr.l0.7S}.M""h·>False,PlotRanSe->(O,40}. A... Label.>('~·:S":. '),PlotLabel.>·x limit 02']: g2-Plot30[ .. {JI.O.01~m.O.95jlm}.!Sr.10.75).P1otPoints->18.PlotRange.>(OAO}. A_Label·>r~'.'Sr":. ·}.P!otLabel.>'x Urn '05I.. to1;
Show[CraphlaoAmoY[[Sl.g2111 g3oShow(g1.g2. Vi.wPoint.>(1.5~.1).PlotLabeJ->·lnle..ecd6n'l
" li.it
02
x
54
l1en.
suat.cato
Por 10 tanto:
Si ademas de [m] se considera el conSUD\Odebido ala formaci6n de producto:
Para este caso se tendril que:
Si se considera otro tipo de modelo para describir la funcionalidad Jl - f(x,s,p), la
obtenci6n de las ecuaciones descriptivas del sistema continuo puede hacerse mas compleja. Por ejemplo: considerando que exista irihibici6n de la velocidad de crecimiento por a~ulaci6n de producto (Inhibicion no competitiva • modele hiperb6Licode Aiba et al).
Donde: [A] m [l+p/KpJ. Tendremos que en estado de equilibrio la ecuaci6n [13] sera ahora: Jl E D = Ilmllxs/[A(Ks+s)]= IlmbS/[(l+p/Kr)(I
[17]
De las ecuaciones [15] y [16] tenemos que:
por 10tanto: [18]
55
Si el valor de [YpsI es constante y se sustituye la ecuaci6n [18] en [17), despues de desarrollar esta igualdad se obtendra la ecuaci6n cuadratica:
Si se utiliza funcionalidad
el modelo
potencial
de triple
constante
para
describir
a la
qp = 1(1l), se tendra que el rendimiento [YpsI variara en funci6n de
la velocidad de diluci6n [D], de acuerdo a la ecuaci6n:
Esta igualdad se sustituye en la ecuaci6n cuadratica para calcular la variaci6n de (s] en funci6n de la velocidad de dilucion [D]. Las soluciones para (s) seran: [s], ~ {-b + [b2-4ac]O.5}/2a
(19]
[sh = {-b- [b2-4ac]o.S}/2a
[20]
Conocida (5], pueden determinarse las trayectorias de [x] y [pI en funci6n de la velocidad de diluci6n [D). NOTA: !JI$OU;CION!<£IIL DE lsi SEOIll1FNI;CON '-' ECUAClON1191.
I
-'I
Si el modelo u=fts.p), empleado en combinacion con las ecuaciones de balance del cultivocontinuo es el de inhibicion lineal del crecimiento,
~I y se procede como en el anterior ejemplo, se obtiene la ecuaci6n cuadratica: 52 +
sIP m/Y ps - IlPm/
1l00~XYps
_SrI - ~lnl'XP m Ks/ ~maxYps = 0
Una vez hecha la correspondiente sustituci6n de Yps ~ (D), se obtiene la solucion para s= f(Il).
56
(OCultivocontinuo de simple etap •. Efecto de (Sr) en I. inhibici6n de la veloddad de cn!dmiento (II). por un producto metab6Uco Repercu.si6n en I.. variables I.. s. p Y Rp) - f(lI) M<'KIelode inhibid6n lineal 11-[11ms/(K.9+s))[l-p/Pm) CondJdones inidAie. y valores de las coJUtanlc. 0) 1!m-O.4S;Ks-o.2: Pm-14O; m-O.l; Vg-O.56; Vp-.51; a1fa-3.5; bet--O.2; Vp-O,51; ("feuadones del sistema") qp-alfa II+OOt;qa-m+II/Vg+qp/Vp; Vpo-qp/qs; VPX-qp/II; VX'-II/q.; .-1; b-(Pm/Vps)- II Pm/(lim Vps)-Sr; c--II Pm KS/(lim Vps); .-(-b+(b"24 c)"(1/2»j2; pVl<; gl-Plot30[s.III.O.075.0.95l1m).ISr,so.250).AxesLabel->I"DiJ': g2-Plot30["(I\.O.075,O.95 IIm).{Sr,so.250).AxesLabel->("Oil",' g3-Plot30[p'(1I.0.075.o.95l1m).{Sr.50.250J,AxC1IlAbel->("DiI",' 1r4-PIot3D[Rp.III-O.075.0.9SIIm),(Sr,so,2S0),Axeslabel->{'DiJ",' Sitow[GraphicsArTay[((g1,g2J,(g3,g4»1l
•
x
.p
57
Sr·.'s 'Il; Sr','x "Il; Sr",'p "Il; Sr"."Rp 'Il
("Comportamiento
de [s) en Cund6n de (It)
y [5,) en un sistema continuo simple
Se emplea un modelo combinado de inhibition PO' producto y sustrato cuando Yps es constante
La soluti6n de las ecuaciones de balance del
cess dan
como resultado una ccuaci6n cubic.")
Modele y valor de las constantes") I'm=O.28;Pms87;5m-367;Yg-0.56;Yp"().51;Ks=O.2;m=O.1;Yps=O.8('i'p); b-Pm/Yps-Sm-Sr; c-dil Pm Sm/(jlm Yps)+Sm S,- Pm Sm/Yps; d-dil Pm Sm K./(j.m Yps); sol=NSolve{{s"3+b s"2 + C 5 + d="()}'{sll; solbat=PlotfEvaluatc[Table[s/ ~1,(Sr.120.200,10}]1{dil.O.01.0.18}. PlotRange->{{O.Ol,O.18}.{O,lSO}I,GridLines->Automatic, AxesJ,.abel->(·,,( 1/h)", *oW 1)·}.PlotLabel-> 'Suslrato resid ual"l
'(9/1)
Sustrltu re31dual
u...de",.
/If"'"'
"en
$OI.ciont. m:/<$ de IA «uncidn tIlblOl 14fomil" de CUTV
58 - I
2.3.2.2 Cultiuo continuo de multiple etapa
Ecuaciones de balance En el esquema del proceso se muestra que en el punto donde confluyen las dos corrientes de entrada al reactor [FI (xI,51,PIl] procedente del reactor (1) y [F0 {Srll procedente del tanque de alimentacion, se obtiene un flujo de entrada [F2 (x',Sr',p'll:
F2 = Fl + Fo
F2[x']
= Fl[xd
+ Fo[O]
F2[Sr'] = Ft[St] + Fo[Sr] F2[p']
=
Fl[pt] + F0(0)
Par 10 tanto:
x' = xl[F1/F2] p' = Pl[F1/F2]
s,' = (Fo [Sr]+Fl [sl11/F2 Balance de biomasa en el reactor [2]
v 2(dx2/ dt).,
= F2[x']- F2[x2] + V2(dx2/ dt)crec
(dx2/dt)ac = D2[x']- D2[x2] + (~2x2) En estado de equilibrio dinarnico: = D2[x']/[D2-~2]
[21]
~2 = D2[x2-x']/[x2]
[22]
X2
En la ecuacion (22) se observa que ~2 S D2 a menos que x' = O.5i este fuese el caso, el reactor continuo opera ria como simple etapa.
59
Fo (S ..
I
F, (SMI
F,
(s,.x,.p,1
Sistema fermentativo continuo de doble etapa con doble alimentaci6n
60
Bnlnnce de producto ell el reactor [2J V2(dP2/dt)ac = F2[p')- F2[P2) + V2(dP2/dt)prod (dp21dt)ac =02[P')- 02[P21 + (~2x2)[YPX2) En estado de equilibrio dinamico: [23)
Balano: de sustrato
ell
el renctor [2J
V2(ds21dt).c = F2[Sr') - F2[52) - V2(ds21dt)CQ"s (d~/dt)ac
- 02[5;-52)- (~:zX2)/(Yxs21
En estado de equilibrio dinamico: X2 = [°21~2)[Y)<52][5r'-s2)
[24J
~12- [D21 x2J [Yxs2][5r'-s2)
[~5)
5i en [24) se substituye el valor de [~2J descrito por la ecuacion [22], se obtiene: [26J En estas condiciones no es posible evaluar [s2]' [x2J, ni [~); sin embargo, si se tgualan las ecuaciones [21) y [24] se obtiene:
[27J 5i en la ecuacion [27) se sustituye Y","2- f(~12) Y s2 - t(~21y se despeja [~2)' puede ya evaluarse todo 10 que dependa de csta variable. Si se considera que el rendirnlento celular esta afectado por la energfa de mantenimiento, pero que no hay una acumulaci6n importantc de otros productos a expensas del sustrato y ademas, se utiliza el modelo de Monod para describir a la funcionalidad t(52)' se obticne 13 ecuaci6n cuadrauca:
<;
61
~12=
Oonde: a = (Y g[5r'+ K,;) + x'} b = (x'[mY g - !!m.,,] - Y g[ilm",,5r'+ 02(5r'+K,;»))
c = (IlmaxYg[Oi)r' - mx')) Las soIuciones para [Il2] seran:
[11211 = {-b + [b2-4ac)o.S}/2a
[28)
[!l2h = (-b - [b2-4ac]O.S}!2a
[29]
Si el rendimiento celular [YxsJ esta afectado, tanto por (11) como por el consumo de sustrato para acumulaci6n de otro producto de reacci6n, adem as de la biomasa y
por otra parte, se considera que el rendimiento [Ypxl permanece constante, se obtiene otra cuadratica en donde los valores de [a), [b), y [e) son:
62
..
Cultivo continuo de dcble etapa (CCMC)
Efecto d.Sr en las variables (l'2. S2. x2 y Rx2) = ((Fo) Condiciones uuciales valorcs de las constantes
xl-10; FJ=SO;V2=230; 51=0.01; YS~O.56;Ks=O.2;m=O.1;~m=O.45; Ecuecicnes del sistema
x'=x'1 I'1/F2;Sr'=(FoSr + Fl sl)/F2; F2=Fo+I'1; D2=F2/V2; '=YS(S~+Ks)+l(';b=x'(m YS'~lm)-Ys{j.lmSr'+D2(Sr'+Ks»/a; c=nm Yg(D2 Sr"rn x')/.; ,12=(·1>-(1>'2-4 C)'(1/2»!2; 52=~ KS/(J1m'J12);Yxs2=~ !(1l2/Y g+m); x2=l('+Yxs2(Sr'.s2);Rx2=D2 x2; gl=PloI3D[Il2,IFo.F1/100.5 Fl}.(5r.sl,SO},AxosLaool.>{'Fo"; g2=Plot3D[.2.{Fo.Fl/1OO,5 Flj.tsr.sl.50j, AxesLabel.>("Fo"." g3=Plot3D[x2.(Fo,Fl/l00.5 Fl).(Sr,,;l.50). AxwLabcl·>{"Fo"." g4=Plot3D{Rx2.{Fo.Fl/l00.5 FlI,ISr,,;l.50). AxesLabel·>{'Fo·." Show[CraphksArr.y[l(gJ.g21.(g3.g411lJ
O. pl
o?
o.
5r';1l2 .)); Sr",...2 'Il; 5r";,,2 'lJ; 5r";Rx2 'lJ
O. Q.
z~o
x2
250
Rx2
250
250
63
2.3.2.3 Cultivo continuo
COli
retroalimentacum extema de biomasa (CeRE)
Ecuaciones de balance (oer esquema)
raJ
Fllljo:
F + wF = Fd
+ Fe + wF
Por tanto: [301
Balmzce de biolllllSfl ell el separador Se considera que en el separador el tiempo de pennanencia de los componentes es muy reducido, por 10 que no se altera la concentraci6n de reactantes 0 productos en las corrientes Fd Y FC' (F+wF)(x) = Fd(xd) + Fc(xJ + wF(xJ (F+wF)(x) = Fd(xd) + (x,)(Fc+wF) Dividiendo entre (x): 1311 EI valor de la relaci6n [xd/x] depende del valor de la eficiencia del separador:
Por tanto:
Substituyendo
este valor en la ecuaci6n 131] asl como el valor del flujo [F] dado
por la ecuaci6n [30J se obtiene: [32)
64
~I
Ejemplo de un sistema fermentativo continuo con retroalimentaci6n externa de biomasa (CeRE). Tratamiento biologico de efluentes empleando el proceso de lodos
activados.
-
65
Bnlnlla de biomasa en el renctor Vldx/dt}ac: wF[xd - F(l+w)[x] + l-I[x]V En equilibrio dinamico: 1-1: O(l+w) - wD[xcfx) = O{l+w-w[xc/x))
Substituyendo la ecuad6n (32): 1-1- O(l+w-w[l+EFd/(Fc+wF»)) (33)
1-1- 0(1- [wEFd/(Fc+wF)]} 1-1- DCB)
Oonde: 0 S B 5 1 Balano: de susirato en el reactor V{ds/dtlac: wFs + FSr - F(l+w)s -l-IxV/Yxs En equilibrio dinamico: (34) Balance de producio ell el reactor V{dp/dtlac:
wFp - F(l+w)p + qpxV
En estado de equilibrio dinamico:
[35] EI comportamiento especifico de las variables [x.s y p] dependera del modelo que rija a las velocidades especificas de crecimiento celular [I-I(s,p)],y de producci6n de
~I
metabolitos [qp(Il)]'
66
~J
'_-
Caso ell el que se presenta inhibicioll por producto de acuerdo al modelo de crecimienio p(s,p) = ~lmtixs/{A[K,;+s)} Donde: A = l+p/Kp
Rendimienio celular
Modelo de produccion qp = a(BD)n + 13 Despejando el valor de [p) a partir del modele de crecimiento I1(S,P): [36) Igualando las ecuaciones cuadratica:
[35) y [36), y despejando
67
[5) se obtiene la ecuacion
Cultlvo continuo con reclrculacl6n extema de blomasa (CCRE) EfedD del F1ujo F y de ]a fracci6n de recirculaci6n de biomaliA (w) en lot valores de S\lStrato residual (8) y de concentrad6n celularfx)
CONtante8 del sistema y del modelo de crecimiento Ef-O.9; FdF-O.9;Sr-4;I<5-O.2S;m-O.l;Yg-O.5; 1""-O.1;V-1000;Fi-lO;wmin-O.19;wlim-O.5;
xcx-(l +w-FdF (l-Ef)/ (1+w-Fd F);B-1 +w(l-xcx);DiI-F / V;Oc- 1=/B; ,,-00(8);. -" J<./C"m-,,);qs-m+,,/Yg;YXS-II/qs;x-Yxs(Sr-s); P1oI3D[.,{F,FI.20FiLlw,wmin.wllm1AxesLabel->{"F·." w"."s "II PIoI3D[x.{F.Fi.20Fi),{w,wmin,wlim},AxesLabel->{"F"," w','x 'J]
.0.
o. o.
r 200
68
..
2.3.3 Sislemils fermentativos
semicerrados
EI suministro gradual de nubientes a un cultivo por lote, es una practice que empiricamente se ha utilizado para el cultivo de microorganismos a 10 largo del
siglo. Es hasta la decada de los setenta que se describen matematicamente distintas variantes de esta clase de fermentad6n a la que genertcamente se denomina Fedbatch. En este sistema hay entrada, pero no salida de materiales al reactor, por 10 que tam bien se le denomina cultivo de volumen variable. Por la forma de suministro de nubientes al reactor, los sistemas fermentativos semicerrados pueden elasificarse en cultivos con alimentaci6n constante 0 uariable. EI conjunto de ecuaciones diferenciales del sistema, que describen a las velocidades globales 0 volumetricas de acumulaci6n de materiales en el reactor, son las mismas para cualquiera de los casas (ecuaciones generales de balallce), diversificandose las soluciones a estas ecuaciones generales en cuanto se considera la fundonalidad que tiene la velocidad de suministro del sustrato limitante (FSr) con respecto al tiempo.
Ecuaciones gertemks de balance de mRterlales errun sistema semicerrado Biolllasa
(d(Vx)/ dt}ec = {d(Vx)/dt}crec= j.1VX = j.1)(; Donde X = Vx
(37)
La derivada del producto de las variables (Vx)es:
(d(Vx)/dtlac - x(dV/dt) + V(dx/dt) La variaci6n en el volumen esta dada por: (dV / dt) = F - J(t)
Sustituyendo estas ecuaciones en (37), se obtiene 101ecuaci6n volumetrial de balance de biomasa: (dx/dt)ac = X(Il-F/V) a X(Il-D)
[38]
Haciendo balances similares para sustrato y para producto se obtiene:
69 '-
Sustrato (d(Vs)/dt}ac = FSr-{d(Vs)/dt}cons= FSr-qsVx= FSr-I!X/Yxs
[39)
(d(Vs)/ dt}ac = s(dV/ dt)+V(ds/ dt) Por 10tanto: (ds/ dt)ac = (F /V)(Sr-s)-l-Ix/Yxs= D(Sr-s)-l-Ix/Yxs
[40)
Producto (d(Vp)/ dt}ac = (d(Vp)/ dt}prod= I-IVxYpx
(41)
Dado que (d(Vp)/ dt}ac = p(dV/ dt)+V(dp/dt)ac Igualando esta ultima ecuacion con la (3) y despejando, se obtiene: (dp/dt)ac = I-IxYpx-(F/V)p= I-IxYpx - Dp
[42]
Las ecuaciones de balance volumetnco de materiales, obtenidas para el sistema semicerrado [38 a 42], son identicas a las de un sistema abierto de simple etapa, 10 que significa que en ciertas condiciones es factible operar el cultivo Fedbatclr en condiciones de equilibrio dinarnico. Para un culiiuo por late COli SlIlIIillistro constants de nutrientas (FBlin), Pirt (1975) plante6 la existencia de un virtual estado de equilibrio dinarnico (qss por las siglas de quasi steady slllte), cuando la demand a microbiana por el sustrato que Iimita al crecimiento (qsxV) alcanza a la velocidad de suministro (FSr). En tal estado, la concentracion celular no varia en el cultivo por 10 que la biomasa total (Vx) se incrementa en forma lineal. Edwards y col. (1970) presentaron un tratamiento matematico para un caso particular del cultiuo por lote COli alilllelllacion exponencial de nutrientes (FBcx),al que denominaron cultioo extendido, en el que la concentracion de sustrato Iimitante se
70
._
mantiene constante cuando la velocidad de suministro varta de acuerdo aJ cambio en Ja demanda de sustrato. EI culiioo extendido (FBe) puede mantenerse en condiciones en que (dsl dt)ac = 0, aunque transitori ...nente (dxl dt)ac .. 0 y j.l .. D. Eslo marea la di(erencia con un cultioo exponencialmente alimentado en complete eslado de equilibria
(FBL",.) en el que j.l = 0 y no se tiene acumulaci6n volumetrica de ninguno de los materiales. Este ejemplo es un caso particular deillamado
cultivo exlendido.
En los ultimos casos mencionados, (su aspeclo matematico se tratara mas adelante en forma individual), la variaci6n en la velocidad de suministro de nutrlentes (FSr) se consigue variando eJ flujo F mientras Sr se mantiene constanle. Sin embargo, es posible obtener una cedula de alimentaci6n diferente si la variaci6n en el sumirustro se consigue provocando un cambio en el valor de Sr= fit), por medio de un dispositivo que genere un gradiente de concentrad6n en el tanque de suministro de nutrientes al reactor. En este ultimo caso, se tendra un cultioo am alimentacion ell IOYl/In de gradiellle de concentraci6n (FBg). Este Ultimo tipo de sistema simplifica operativamente los cultivos por lote con alimentad6n variable.
2.3.3.1Pedlmtcn COil suministro constante de nutrientes. Dado que: (dV I dt) = F = fit) = Constante
IdV -IFdt Integrando entre los limites CY0 -+ V) Y V
(10 -+ I) se obtiene:
=v; + Ft
[43)
(dx/dt)ac = X(j.l- F/V) = X[j.l- FICYo+Ft»)
(44)
Donde: ~l-
f(t) = 4>(s,p).
Para ejemplificar, se emplean los modelos de Monod j.l = j.ll),bs/(Ks+s), de sfntesis de metabolitos qp = O:j.ln+1l y se define aJ consumo de sustrato como qs = m + j.l/Y g +
qp/Yp
71
Estas ecuaciones se sustituyen en las ecuaciones de balance:' (dx/dt)ac - x(~-D) = x[llmaxs/(I
[45]
(ds/dt)ac = (F/V)(Sr-S)-~x/Yxs= [F/(Vo+Ft)](S.-s)-~/Yxs
[46]
(ds/dt)ac = D(Sr-S)-IlX/Yxs= D(Sr-s) - (x)(m+llI'Yg+(all"+!3)/Yp) (ds/dt)ac = D(Sr-s)-x{m+(llmaxlYg)S/(I
[48]
(dp/ dt)ac = qpx-Dp = f(ll)x-Dp = f(x,s,p)
[49]
Las funciones [x.s.p] ~ f(t) que describen el comportamiento del sistema, se obtienen resolviendo el conjunto de ecuaciones diferenciales [45,47,49], mediante la utilizaci6n de algan metodo numerico, Dado que anahticamente son irresolubles, el mas usual es el de Runge-Kutta de cuarto orden. La. soluci6n para este sistema de ecuaciones en particular es:
(x)" = (x)n.l+(1/6)(Kl+2K2+2I<3+~
[50]
(s)n = (s)n_l+(1/6)(~+2~+2L3+L4)
[51]
(P)n = (P)n_l+(1/6)(M1+2M2+2M3+M4)
[52]
Las constantes [K] y [L], evaluadas al tiempo tl
= to + h son:
La variable [D] se evalua a tl = to + h ~=h{D(Sr-So) - xo{m+ (Ilmax/Yg)so/(I<,.+so) + (I/Yp)[a(llmaxso/ (Ks+so»n+!3])} K2=h(xo+Kl/2){llmax(so+~/2)/[Ks+(so+~/2)]-D} ~=h(D(Sr-(so+~/2» - (xo+Kl/2)(m + (llmaxlYg)(so+~/2)/(I<,.+(so+~/2» (l/Yp) [a(llmax(so+~/2)/ (Ks+(so+~/2»)n+!3])}
72
+
...... l
K3"'h(xo+K2/2)(llmax(So +L2I2)/ [K, +(so+L2I2)]-D) L3"'h{D(Sr-(so+L:!/2» - (xo+K2I2){m + (IlmaJYg)(so+L2/2)/(Ks+(so+L2I2»
(l/Yp) [a(llmax(So+~/2)/
(Ks+(so+L2I2)))n+f3)}}
K4"'h(xo+K3)(~lmax(So + ~)/ L4"'h{D(Sr-(so+4»
+
[Ks+(so+~)]-D)
- (Xo+K3)(m+ (llmax/Yg)(so+L3)/(Ks+(so+~»
+
(l/Y p)[a(llmax(So+ 4)/ (Ks +(so+4»t+f3)}}
Dado que (dp/ dt)ac '" f(x,s,p) '" qpx - Dp Y siendo qp '" f[ll(s)], es posible evaluar (qp)" a tn '" tn-1 + h utilizando el valor de (Il)n determinado para (s)n' mediante las ecuaciones [50) y [51], ya que tanto (dx/dt)ac como (ds/dt)ac no dependen de [pI sino que son funci6n de (x,s). En este caso, los valores de las constantes [M] para la ecuaci6n [10] seran:
M1 '" h{(xo)(qph - (D,)(p,,)) .~
•
M2'" h{(xo+Kl/2)(qph
- (D1)(Po+M1/2)}
M3'" h{(xo+ K2/2)(qp)1 - (D1)(Po+M2/2») M4'" h{(x(l+K3)(qp), - (D,)(Po+M3)}
Calculados los valores de (xI) Y de (sl) al tiempo t1 z to +h, pueden estimarse los valores de (qph
= {a(1l1)" + f3) y de
(J.ll) = [llmax)(sl)/[Ks+(sl)] para calcular los de
Ml a M,I. Cuando (dx/dt)aC' (ds/dt) y (dp/dt) = l(x,s,p), tal como ocurre cuando se presentan fen6men.os de inhibicion por producto que afectan tanto al valor de [u] como al de (qp], no es valida- esta ultima consideraci6n y habra que estimar la serie de constantes (MJ de la misma forma que se hace para (K] y [L).
73
I 1
-'1 -;»
(" F~dbatch con auministro constante de auatrato") ("x'[t)- jI(x)-(F1V)x; a'[t)-F(Sr-aI/V -qa(x);p'[tl-qp(x)-(FIv)p*) ("qrm+jl/Y,+qp/Yp; "-(,,m a/(K8+a))(I-p/Pm); qp-aJfajll)"n+betao) ("VaJoru de con.antea empleando un modelo lineal de inhibici6n de po) ,..,..3;ao-I.5;IIm-0.3;YrO.56;Ka-0.25;m-0.075;Sr -60; tf-4.5;n-I;po-O;aJra-1.0;beta-0.1O;Yp-0.51 ;Pmz75;F-0.2;vo=2.0; aol-NDSolve[tv'[t)--F, x'[t)--«I-p[t)/Pm)"m a[t)/(Ka+s~';1Il x[t)-F x[t)/(vo+F tl, .'[tl-- F(Sr-a[ID/v[t)-(m+«l-p[tJ/ Pml"m s[t)/ (K8+a[tDl/Y g+(alfa « l-p[tJ/ Pmjum a[1J/(K.+a[tDlJln+beta)/Yp)x[tJ. p'[t)--(alfa «l-p[t)/PmI"m a[t)/(K8+a[tDl"n+beta)x[t)- F p[tJ/(vo+F t). v[O)--vo,x[O)--xo.a[O)--ao.p[O)--po).Iv.x,a.p},(t.O.tI). Aec:uracyGoaJ->12.PrecioionGoaJ->12.WorlcingPrecision->22.MaxSteps->1000J;. rev-Plot[EvaJuate[(vo-+F1)/.aoll.(t.O.tf).AxeaLabel->rt(h)"."v(l)").PlotLabel->"volumen"J; red-PIot[EvaJuate[F l(vo+F t)/.!IOI).(t.O,tf),AxeaLabel->rt(h)","O.1/hl"l,PlotLabel->"Diluci6n re,,-Plot[EvaJuate[((I-p[t)/Pm)"m .[t)/[Ks+s[tDl/ .sol], (t,O.tf).AxeaLabel->rt(hr.-" (l/h)"l,PlotLabel->"II"); rex- Plot[EvaJuate[xltJ/.aol),{t.O,tf),AxeaLabeI->rt(h)".·x[&/1)1,PlotLabel->·biomass"); rep-Plol[EvaJuate(p[t)/ .aol).(t.O,tf),AxeaLabeI->rt(h)","p[&/ll1.PlotLabel->"producto"J; re.. Plot[EvaJuate[a[t)/.aol).(t,O,tl),AxeaLabeI->rt(h)..... [&/1)1,PlotLabel->"sustrato"); mud-Sh_[ujI,red,AxeaLabel->rt (h)",·11,[I /hl1,PlotLabel->"II.O _alit)"}; mull-Sh_[rex,re.,rep,AxuLabeI->rt (h)""x,a.p (g/ll1,PlotLabel->"x.s.P =f[t]"]; Show{OraphicaArraY({(rex.rea},{mult,mudllJ]
x .(q/l)
8
aue r r a t o
6
3
5.5
2.5
5
2
•.5
1.5
•
1
3.5
0.5
2 x,.tP
I
...
<9/11
b1om .....
.__,
3
-1-----------
•
2
(0/11
••
t {h)
3
.__, (
{1/h)
0.25 0.2 0.15
t-==r::::::==;:=3:==;::=~
t < h)
-,I
74
s-
23.3.2 Fedbatclz exponencial (culiiuo extendido).
En un cultivo extendido, se busca que el suministro de nutrientes se modifique de acuerdo a la variad6n en la demanda. Si el suministro y la demanda varian paralelarnente en el tiempo, la velocidad volumetrica de acumulaci6n de sustrato sera cero. Por tanto [5] y las variables dependientes de [s] seran constantes, a menos que [Il] este sujeta a inhibici6n por producto; de no ser este el caso, se tendra que los terminos Il(s), q", qP' YXS'Y Yps son constantes. En estas condiciones, las ecuaciones generales de balance tienen soluci6n analitica.
Resolviendo la ecuaci6n [37], para [Ill constante:
[53] Dado que [Il] es constante, el valor de s(ll) sera tam bien constante,
por tanto:
(ds/ dt).c = 0
Resolviendo la ecuaci6n [40] para F: F = ~lXoe(~t) / [yXS(ST-S)] = Ae(~t)
[54]
Donde:
Dado que: (dV/ dt) = F = f(t) = Afe(~t)} JdV =JFdt = fAhlIJe(~t) udt
Inlegrando entre limites:
[55]
75
A partir de la ecuaci6n [53] se obtiene eI valor de x(t) que estara dado por:
[56] EI valor de [s) sera constante y estii dado por la ecuaci6n [57], si se utiliza la funcionalidad de Monod.
(~I
[57)
5~
Donde: [Y pxl = /(11) ~ Cte, !dP-I1Y pxXoyJ{e{l1t)dt}P - Po + Ypx x 0V 0(e("l) - 1)
p = (poY0 + Ypxxo Yo [e(lll) - 1Il/V
(58J
Las ecuaciones [56,57 y 58) describen el comportamiento de [x.s.p] .. /(t) en el jedbafc/J exponencial. Estas se utilizan conjuntamente con la que describe la variaci6n temporal del volumen [55]. Del balance de materiales en un cllifivo extendido se obtiene la ecuaci6n (59) que describe la variacion temporal en el valor de la velocidad de diluci6n (D). [59J
EI perfil que adquiera D, dependera de las caracteristicas del microorganismo, de las condiciones iniciales del cultivo y, de manera primordial, del valor de Ia concentraci6n de sustrato limitante en el medio de suministro (Sr)' En el esquema se muestra que un cuJtivo extendido slempre tiende a alcanzar el estado de equiJibrio dinamico cuando D~(J.l) y que para cada conjunto de condiciones de cultivo, existe un valor de Sr con el que es posible operar en estado de equilibrio durante todo el cultivo. En la figura se representan diversas trayectorias de la concentraci6n celular (x) dependiendo del valor de S,que se emplee. EIvalor constante de x corresponde d
76
.'
Efecto de Sr en el c:omportamHmlo de 10diludon (D)
y la acumuladOn volLlm~trica de biomasa en un cultivo Fedbalch con .limenlad6n
exponendal
Condidone5 inldalcs y valor de las conslante.
)(~; Vo-2;Ks-O.2;lUIllb,-OS;m-O.l; Yg-O.59;Yp-O.51;a-O.O;b-O.O;n-l;s-O.5; Ecuacioncs del sistema fermentativo
II-11m'" s/(Ks+s); qp •• f.ll\n+b; qs-m+II/Yg+qP/Yp; YU-II/q'; Plol[Evaluote[Table
[II xo VO(Exp[1It»/(yu(Sr-s»/(Vo+xo Vo (Exp[1I t]-l)/(yxs(Sr-s»), (Sr,14})),(~O.()},10LFrilme->FaIse,AxesLabel->("Tiempo(h)','O (l/h)'11 PloI{l!v.luate[Table
[)(OVo Exp[III]/ (Vo+lI )(0Vo (Exp[1I tJ-1)/ (Yxs(Sr-'))), {Sr,141l1{t,O.OI, IO},Frame->F.l .. ,AxesLabel->{"Tiempo (h)',"x (g/ 1)'11
0 (lIh)
'-
o. o. o.
o. Z
4
2
•
•
?1ett'pO 8
(h)
10
x (1/h)
•
77
Tlempo 8
10
(hi
o
EfectQ del valor inic:ial de in6cuJo (xo) en cl componacuento de un culUvo .allinenJado exponendalmeue Condiciones iniciales y valcres de las constantes um-O.45,Ks-D.25;a-2.6;b-D.2;n-I.25;Yp-O.51; Yg-0.56;m-D.15;o:-I's Ks;Vo-2$,-IOO;po-l;
EnulI:ionut d(ll thtCtna (c.rmcntativo ,,(.oVo(ExPlu ')-I))/(y" (5r-s»; .:-(xo Vo ExPlu"ll/V; p:-(po Vo+Ypx xo Vo (Exp[u .)-Ill/V; F:-(u'0 Vo Exp[u 'D/(yxs(S''')l; OiI-F/V: gl- PIoI3D[x, (I)),15L('0,0.5,1 OJ,
AxesLabeJ->rt"," )(0·,".'1( ·),PloILabel·>"Biomasa"t g2-PIoI3D(p,(ofi, 15j,(xo,0.5, 10), AxesLabeJ->r''',' ,;o·,·p ·lJP~Label.>·Pn>d\lclo·l; g3-PIoI3DIF,(.,O,15),(xo.(l.5,lOj, A"e.sLabel->rt·,· xo',"F ·1,Pk>tLabel.>'adula de alime:ntaci6n·); g4-PIoI3D(ou.[,,0,15),(xo.(l.5,IO},
Prccuct c
Biomasa
p
x
IS
1
Diluc:i6n
o
o
r
is
IS
78
(. Fedbatch con suminiatro ex.ponencial de auatratol"l (·Siatema de ecuacionea diferencialea considerando el efecto inhibitorio de (PM ('x'II)" ~(x).(FIV)><; a'(tl-F(Sr·a) -qs(x)-O; p'(tl-qp(x)-(F lV)p;v'III-F-qS(x)/(Sr-ec)"l (·qs-m+~/Yg+qp/Yp; ~-(~m s/(K.+s)J(I,p/Pm); qp-aIfa{~)~n+bela·) ('VNores de constanles empl.eando un modelo lineal de inhibici6n de ".) "0-5;,,m-0.5;Yg-0,56;Ks=0, l2;m-0, I;Sr -120;ec-0,5; tr"S;n-l;po"1 ;alfa-l ,S;beta-0,06;Yp-0,5l;Pm-75;vo-5; sol-NDSolyel{y'(I)-=F=-(m+(l/Yg)(l·plt)1 Pm) I'm ec/(K.+ec)+ (alfa (llm(l·pIIJlPm) sc/(Ka+lIC»"n+bela)/Yp) "II) vlll/(Sr-..,). x'llj--"ltl (l'pll)/Pm)l'm ec/(Ks+sc) -"It I F/yll). p·ltl-·x(t)(alfa ("m(l-pltI/Pm) ac/(Ks+ec»)~n+bela) • p(11F/vltl. vIOI--vo.>«OI-- xo .pIOI-- po}.f\I.x,p),(1,O.tl}I; rev- PlotlEvN uatelvlt II· soll.{t.O.tl},AxeaLabeI'>f'1 (h)".0y {1J1.PlotLabel- >"volumen °1; rex-PlollEvaluatelxltll ,soll,(t,O.tl}.AxeaLabel·>it (h)"."x III/I)"}.PlotLabel->"biomua"l; rep= Plet] Evalu ate (Pltll ,soll,{t.O.tl}.AxesLabel·>it (h)"."p 1A/1)"),PlotLabel->'producto"l; ref- Plot(Evalu atelv'lt II ,sol 1.lt.0.tl},AxeaLabel· >it (h)".·F PI h)I.Plot Label- >°f1ujo°1; red= Plot(Evalu atelv'ltl/v(ll/.soll.ft,O,tl}.AxesLabel->il (h)".' 0 {l/hn, PlotLabel·> "0iI"1; , rc,,-Plot(Evaluatel (l'p(t)/Pm)"m ac/(Ks+sc)/,soll, II,O,tf),AxesLabel->Ft (h)',"" (l/hn,PlotLabel'>'~ - fll)"l; mult-Show(re",rep,AxesUi.be!->il (h)","",p (Af1J1,PlotLabel->'",p - Ilt)"); mud-Show(red.re".AxesLabel.>("1 (h)"."I',D Il/hJ1,PlotLabel->·~.D - 1l1)"1; Show(GraphicsArray({{rev.ref),{mull,mud)}))
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6
8
la condici6n en donde J.I y 0 son iguales y Sr - So+x/Y xs En 1977, Lim y col. hicieron un analisis matematico de los cultivos, extel/dido y fedbatdl exponencial, describiendo las condiciones particulares en donde puede mantenerse un estado de equilibrio dinamico, analogo al obtenido en un sistema continuo en el que se mmpleque (ds/dt)ac =0, (dx/dt)ac = 0 y J.I = D. Cuando se trabaja con cultivos en los que no se presenta el fen6meno de inhibicion por producto, se puede pensar que es suficiente cumplir con la primera condicicn (ds/ dt = 0) ;>araque el estado fislolegico celular se mantenga constante, ya que J.I j{s) Ytodos los demas parametres de estado fisiol6gico depend en a su vez de (u). En estas condiciones, teoricamente no debieran presentarse diferencias en el comportamiento celular de un cultioo extendido y de un cuJtivo fedbn1ch en esmdo de equilibrio dintimico. Sin embargo, normaimente hay variacion en los niveles de sintesis de algunos componentes celulares (enzimas) 10 que puede ser indicative de diferencias en la fistologta celular. 23.3.3 Fedbatcll
COlI
alimentacitm en forma de gradiente
Un cultivo por lote con flujo de IIIimerltllci6n conslllnie es mas facil de lIevar a la practice que un cultivo con f/lljo variable de nutrientes. En el segundo case, es necesario el empleo de equipo mas complejo, por ejemplo: si se trata de un sistema automatizado se requieren sensores especificos para detectar el nivel de sustrato limitante, asi como servomecanismos de control para la dosificaci6n de nutrientes. Auque se lIegase a prescindir de instrumentation complicada para el proceso, serfa necesaria, al menos, una bomba de alimentaci6n regulada por un programa previamente establecido. Un sistema fermentativo semicerrado que conjunta la ventaja de la facilidad operativa del EBlin con la mayor productividad que presenta el cultivo FB~, es el sistema FBg' en el que el f1ujopermanece constante y la S, varia en un dispositivo que genera un gradiente de concentracion y que se presenta en el esquema de la pagina siguiente. EI gradiente se obtiene al transferir gradualmente el medio concentrado (St) del tanque R a un medio diluido (5&)en el tanque G. La variacion de la concentracion de sustrato en el f1ujode alimentacion (Fg), dependeni de los valores relativos de los diametros Dr YOg de los tanques del sistema generador de gradiente. 5i ambos diametros son iguales, 5g variara linealmente. 5i Dr > Og la curva sera concava hacia arriba. 5i Dr < 0g' se obtendra un perfil invertido, 80
'-"I
Cultivo alimentado con una velecidad de flu;o constante y .uministro variable de sustrato (Sg), mediante un dispositivo fcrmador de un gradiente de concentr.ci6n.
81
("Sistema generadoc de grediente de concentraoon Condiciones inic.laJes y valores de lAs constantes") S....324;Sgo-15;k-O.000378;Rhow.l;Vo-5;Dr-O.lS;Og=O.;hro-O.5; (0Alturas y diAmetros en 1II;Concentraciones en giL vol. en litros .) ("Ecu.ciones genet.les del generador") Rhogo-Rhow+kSgo; Rhor=Rbow+k Sr; ("g/cm3°) Vor-l000hro(3.1416 DrA2/4); Vog-l000hgo (3.1416 OgA2)/4;(*Vohlmenes en Iitros") Mro-Rhor Vor; (OMasaen Kg") Rr-Mro/ (Mro+Mgo); Rg-I-Rr;hgo-hro Rhor /Rhogo; Mgo-Rhogo Vog;f-l.5; Mr- Mro-F Rhor Rr tSigr-Sr/Rhor;SigoaSgo/Rhogo; Sigmag-Sigr-(Sigr-Sigo)«(Mro-F Rhor Rr 1)/Mro)A(DrA2/(O.033330g)"2); Sg-Sigrnag Rhow/(l-k Sigmag); PIoIIEvalwolcrr.ble(Sigr-(Sigr-Sigo){(Mro-F Rhor Rr I)/MI'Q)
-
-
A(Dr"2/ (0.033330g) "2»,{Og.12}111~0.551, Frame->Falile,A •.,LAbel->{Oliempa (h)',"Sig (g/Kg)'))
S1g (g/Kg)
oJ
Eftcto de ,. ,..lAd6ro o./Dg.n tll'""fiI tit ......cidn tit,. "'n""nlnldln de ••• _
en tI ....dio dt suministro.1 ""clor
82
I
Alllilisis teorico
(A) Ecuaciones descrtptiuos de lallllriacWlI ell III collcelliracion de sustrato (Sg) ell el medio de suministro al mnque de !ermelliacion La masa total del sistema es la sum a de la masa liquida en el tanque R, (Mr=prVr) Y en el tanque G, (Mg=PgV g)' Rr es la fraccion masa delliquido en el tanque (R) Y Rg es la fracci6n existente en el tanque (G).
por 10 tanto:
Rr=0 r2/(0 r2+0g2)
Y
Dado que los tanques estan interconectados, hidrostatica y se tendra la relacion de alturas:
en ambos habra la misma presi6n
EI volumen en cad a tanque es:
[60] (61)
Combinando
estas ecuaciones se tiene que:
dado que Vr = Mr/Pr
por tanto: (62)
83
Balance de materiales considerando losflujos mdsicos w, = Fp, Y Wg = Fpg Balance en el tunque (R)
por integraci6n se obtiene: [63] Balance en el ianque (G) -'I
(64] Sustraio en el tanque gradientador (G): Considerando los valores de concentraci6n
masica en el tanque de suministro Og = Sg/ PgYen el tanque formador de gradiente Oge Sg/Pg expresado en gramos de sustratoj'kg de soluci6n: (65)
Combinando las ecuaciones (64)Y(65): (66) Despejando dOg/dt de fa ecuaci6n (66):
:1
[67] Substituyendo los valores de Mg (62)YM, (63)se plantea fa diferencial como:
~I -'I
La soluci6n para Oges: (68)
EI valor de la concentracion volumetrica de sustrato en el tanque generador de 84
..
gradiente es: Sg'= OgPg. EI valor de la densidad Pg varia con la concentraci6n de sustrato Sg. La funcionalidad experimental empleada para un medio de cultivo semisintetico, con glucosa como sustrato limitante es: Pg = Pw+k(Sg)' donde k = 0:000378 y Pw es la densidad del agua a temperatura ambiente.
Por 10tanto: (69] (B) Ecuaciones descripiiuas de la oariacum en X,S y P en un cultillO Fedbatch FBg
Se obtuvieron a partir de las ecuaciones generales de balance en un sistema semicerrado. Balance global de biomasa (x)
[d(Vx)/dt]ac = V(dx/dt) + x(dV/dt) = J,iXV La variaci6n en el volumen V del reactor esta dada por el flujo F, que es constante, por 10que el volumen variara linealmente: V = V0 + Ft Si 1a velocidad especifica de crecimiento depende s610 de 1a concentraci6n de sustrato limitante (s) y 1afuncionalidad j.I= !(s) se expresa mediante la ecuaci6n de Monod: j.I = [I.lmaxs/(K,+s)], entonces 1aacumulaci6n volumetrica de biomasa estara dada por: [70] Balance global de sustraio
[d(Vs)/ dt]ac = V(ds/ dt) + s(dV/ dt) = FSg- qsxV Si en este caso se considera que el consumo de sustrato por el microorganismo esta representado por: qs = m + j.I/Yg' se obtiene: (ds/dt)ac = [F/(Vo+Ft»)[Sg-S]-x(m+J.l/Yg) [71]
85
Balance global de producto
[d(Vp)/dtJac = V(dp/dt) + p(dV/dt) = qpxV La funcionalidad que adquiera qp = /(Il), dependera del metabolito y del modelo de producci6n que describa su sintesis [72] Las ecuaciones 70, 71 Y 72 se resuelven numericarnente por el metoda de RungeKutta de cuarto orden, induyendo en [71] la soluci6n para Sf: = /(t) obtenida de las ecuaciones (68)y (69).
86
('Fed balch ron 8umini.tro
variable d. "uolr.to
FBC')
('Sol "dOn de un sisl.mu ck! cuatro tlCUlICio ..... diferendu.l.. cmpleondo eI modeio de Monod') F00.4('11h');dr-O.I01(' m');dg9l.1997(·m·);luo-l.l dr{"m');
vro-hto(3141.6dr"2/4)(·I'); 5r-35O('g/l');go-25(' gIKg"); vu- 2.0('1'):'0"5. 75(" gI1');$000.05("gs/l"~m 00.04(' gsI gc, h");Y&=0.56(" gs11lt'); rhoH20-0.997("Kgll');ko().000378;rhor=rhoH20+k5r('KgJI·~Rr'"12.PnxisionCoel·> 12.W""kingPrecision..>20,MwStepo.> 1500); reg-Plol[Evalualc[g[I] rhoH20 I (1-k gllJ)/.80I],(~lo,tI), A... I..abC!I->I'I(h)'."Sg(gll)·),PIoILabcl.>"Sgen tanque 01; ('SoluciOnanalitica a Sg • fll) ") gg-5r I rhor - (Sr/ rhor - go)«(Mro-F rhor Rr 1)1Mro)"(dr"21 dgA2); 'g-&& rhoH20/(1·k gg);. rev= Piol [C valuate] vII)1...,11,(~to, 111,Ax.. Lebel->['I(h)", 'V(I >11; rex - PlOI[Evalua te[x[I)1.1011, (~to.tI),Ax.. Label.>(·I(h)' ,•x(g/ I)'ll; .... - P1ol(Evalu..tc[.[II/.""II,(~to,lf). Ax.. Label->['I(h)" 'o(gJl)'), PloILabel·> '[a) on ct reector"]: red~PlotlE valua tc[FI vl III .sol],(~to.lf),Axesl.abel-> ("t(h). ,• 0(11 h)'), PlotRange.> IO,l1mll; "'11=PiolIEval ua te{(I1m.1111 (Ks+s] t)))/.001). I~ to.II).AxosLabel-> t{h)": 110I h)"l,P1o[O,~mll; m "II-Show (rex,res, A.""LAbel·> rl(h)', •x.s[&1 ij'),PlotLab·x,s - 1(1)1; m"d=Showlrod,'.~Ax esl..abel.>{"I(h)·:I1,D[l/h]·I,PloILabC!I·>·I1,D- 1(1)'); ShowIO,.phlcoArroy[[(t.g.","),{mul~mud)1Jl
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87
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2.4 TRANSFERENCIA DE OxiGENO HOMOGENEOS
EN REACTORES BIOLOGICOS
En el capitulo anterior se abord6 la metodologia para predecir el comportamiento de un proceso fermentativo en diversas condiciones de operacion del sistema de reaccum. A partir del conocimiento biocinenco y estequiometrico del proceso, pueden valorarse las velocidades de consumo de oxigeno (dqjdt =qo2X) Y de generaci6n de calor (dqjdt = CJkx)de un cultivo. Esto permite establecer las condiciones de operacion del biorreactor para transferir el oxigeno necesario que demande el cultivo y eliminar el calor de reaccion. Para que los procesos de transferencia de masa y energia se Ueven a cabo de manera efectiva es necesario que en el reactor se tenga una agitacion eficiente con objeto de favorecer: laformacion de corrientes de liquido que transfieran su cantidad de movimiento a elementos de jlufdo estaticos, proooenndo el mezclado y creando condiciones de homogeneidad en el reactor. Esto euita diferencias zonales en la velocidad de reacci6n debido a la formaci6n de gradientes de concentraci6n, por ejemplo, cuando se adicionan nutrienies al reactor. la transferencia de enlor por convecci6n /a dispersiOn de gas en /(quido para aumentar el area de cantacto gasfl(quido y
consecuentemente /a velocidad de transferencia de oxtgeno en el reactor
Para ellogro de estos prop6sitos, existen diversas c1asesde reactores homogeneos. Los de-usc mas generalizado en el campo de las fermentaciones son las "torres de contacto" y los "reactores agimdos meainicamente", En el primer caso la agitaci6n esta dada por las burbujas de gas que se inyectan a traves de un difusor, y en el segundo por turbinas que tienen la doble funci6n de mezclado y dispersi6n del gas en el medio llquido.
88
~j
2.4.1 Generalidades sobre transferencia de oxigeno Para que un microorganismo aerobic pueda consumir oxtgeno, se requiere que este se encuentre disuelto en la fase acuosa, donde las celulas se encuenlran suspendidas. Debido a su baja solubilidad y a su elevada demanda por una poblaci6n celular en expansi6n, es necesario que sea alta su velocidad de trans ferenda. La solubilidad maxima del ~ en agua, es proporcional it su presi6n parcial en el aire que 10 contiene (Po:zl y que usualmente se emplea para teniilar el medio; esto es, para transferir oxigeno y eliminar el C02 acumulado por el metabolismo microbiano. La solubilidad maxima esta dada por: c" - HPOT donde (CO) es la concentraci6n del gas hasta saturaci6n y H es el coeficiente de Henry para oxfgeno a una temperatura dada. Las unidades de (c") son mmol 0v'1 0 mg/L [p~] se expresa en atm6sferas 0 pascales (Pa) y el coeficiente de Henry en unidades consecuentes. Por ejemplo, H a 1.4 mmol OUI Pa. Existen algunos factores que influyen en la solubilidad del oxfgeno, la temperatura Y la presencia de solutos son dos de 105 que se han descrito en !erminos de funcionalidades empfricas. Por ejemplo, c· -AT) la represent6 Tuesdale en 1955 por el polinomio: c" = 14.16 - O.3943(T) + o.oom4(T)2
- O.OOO0646(T)l
La ecuaci6n describe la solubilidad de O2 en agua, empleando
atm6sfera de presi6n (P02-
aire a una 0.209 atm), c" se expresa en mg/I y (T) en ·C.
Existen algunas relaciones que describen el efeclo de algunos componentes en la solubilidad del oxigeno. Por ejernplo, una ecuaci6n empirica para soluciones de glucosa es: c"glue = c·H:p (1-0.00125), donde s es la concentraci6n de glucosa expresada en g/I Modelo de tmnsferencia de IIIlISa Existen diversas teorias que describen la transferencia de masa gas-liquido. Conforme a la teorfa de Whitman (1923), la resistencia a la transferencia en cada una de las fases esta localizada en las peliculas liquida y gaseosa pr6ximas a la interfase. Se supone que la transferencia de masa a traves de la pelicula inm6vil
89
ocurre s610 por difusi6n molecular y que existe un gradiente lineal de concentraci6n en ella. En este caso, el flujo masa de la especie molecular que difunde (j0]_) depende del gradiente de concentraci6n (Ac) en la pelicula y del espesor de la rnisma, de acuerdo a la prirnera ley de Fick: j0]_ = (
Durante la aireaci6n de un cultivo, la velocidad de transferencia de oxigeno de la fase gaseosa a la fase Ifquida esta Iimitada por la barrera que forma la pelicula liquida que rodea a la burbuja, ya que en ella la difusividad de las moleculas de oxigeno es mucho menor (en varios 6rdenes de magnitud .,10') que la que se tiene en la pelfcula gaseosa te6rica en 1'1interior de la burbuja. En estas condiciones, el coeficiente de pelicula KI' que es 1'1inverso de la resistencia de la pelicula Iiquida, rige la velocidad de transferencia. Por esto, a KI se Ie denomina coeficienie global de transferencia de oxigeno,» pesar de que solamente es un coeficiente de pelicula.
La oelocidad oolumetrica de transferencia de oxigeno (dcll dt) es el producto del fIliX (j02) multiplicado por el area volllllletrica. de transferencia de oxigeno. Dado que las concentraciones interfaciaJes estan en equilibrio, las igualdades anteriores pueden expresarse en terminos del gradiente global de concentraci6n con 10 que finalmente se llega a la expresi6n
En donde (a) representa el area oolumetrica de transferencia de oxigeno (cm2Icm3 = cm-l). Este!:ermino es un indicador del tamano y del numero de burbujas presentes en un elemento de fluido. La ecuaci6n indica que la velocidad de transferencia de oxigeno se favorece cuando se incrementa' el area de contacto gas/liquido (a), el coeficiente global (KI) 0 la diferencia de concentraciones (c·-<:I), que representa a la fuerza motriz para la transferencia.
90
~I
EI valor de (K,) depende de diversas caracteristicas del medic, tales como viscosidad (11),densidad (p), tensi6n superficial (0) y difusividad del gas en el
Hquido(ID),por 10 que la presencia de agentes tensoactivos, y de solutos 0 material particulado que alteren la viscosidad afectan directamente el valor de KI' El area de tmnsjerenoa (a) varia con el diametro de burbuja, que a su vez depende de las caracterlsticas fisicoqutmicas del medio, del tipo de difusor y del gasto de aire en el reactor. Esta ultima variable de proceso incide directamente en el numero de burbujas y en el denominado coeficiente de retenci6n del gas (Eg)' que tarnbien infIuyen en el valor de (a). Como ya se mencion6, el valor de (CO) depende de la temperatura y de la presi6n parcial de oxigeno en el gas que se inyecta al reactor. A su vez, p~ depende de la fracci6n de oxlgeno en el gas <1>02 y de la presi6n total Pt a la que este sometido ell el reactor.
donde la presion total medida en el difusor es PI
C
Ph + Patm +Pin
La uelocidad global de transferencia de ox(gello (OTR), se expresa como el producto
(dcJl dt)(Vup)'
91
24.2 Torres de contacto gas-liquido
24.2.1 Columnas buri1ujUldoms
Para mantener la homogeneidad en un reactor biol6gico es necesario crear una alta velocidad de recirculaci6n de fluido y una elevada transferencia de masa. La economfa del proceso mejora en tanto menor es el consumo de energia para ·mantener la homogeneidad del cultivo. Una altemativa mas econ6mica que los reactores agitados mecanicamente la constituyen las torres de contacto gas-llquido. De elias hay varias clases, fundamental mente: Columna burbujeadora simple (SCR) Columna burbuieadora multietapa (BCRM) Columna burbujeadora con mezcladores estaticos (BCRSM) Reactores "Airlift" de tubes concentricos (ALR) Reactores "Loop' (cern recirculacion) (LR) Los difusores con los
A una baja velocidad superficial del gas (wsg = Qg/area $ 5 COlis), el diametro de burbuja [db] es relativamente homogeneo y la velocidad de ascenso de las burbujas (Vb) es uniforme y practicamente no hay coalescencia. A este regimen se Ie denomina pseudohomogeneo. A valores mayores de wSe' el regimen es heterogeneo por 10que (db) y (Vb)pierden su uniformidad. La formaci6n de burbujas de gran tamano provoca una mayor circulaci6n de llquido en el interior de la columna. Debido a esto, a este regimen tambien se Ie denomina recirculanie. La transici6n de un regimen a otro se reconoce por el rapido incremento en la velocidad de ascenso de las burbujas:
92
A1.TC
o SeAL
ALL
Principaies configuraciones de reactores Airlift. ALTC (Airlift de tubes concentricos), ALL (Airlift loop)y SCAL (Split cylinder loop)
'-
93
En estas condiciones, la mayor parte del gas es transportado en la columna por esas grandes burbujas, abatiendose la velocidad de transferencia de masa. Esto provoca una disminucion relativa en la cantidad de oxlgeno transferido con respecto a la potencia de compresion utilizada, termino conocido como economic de
aireacion (Ea = OTR/ Pg) Indicadores Importantes del grado de turbulencia que se genera en una BCR, son la velocidad de circulaci6ri de Hquido (vic) y el tiempo de circulacion (1(;). Pueden estimarse empiricamente
mediante las ecuaciones:
Donde Dt es iii diarnetro del tanque Y Wsg es la velocidad superficial del gas
Siendo Hila altura del liquido en el reactor.
Caida de presion La caida de presi6n en columnas burbujeadoras esbi compuesta por L\ps (caida de presi6n en el difusor) y por api (presi6n hidrostatica del Iiquido).
La determinaci6n
de la presion hidrostatica a 10 largo de la columna utilizarse para la estimaci6n del valor de Eg, de acuerdo a las ecuaciones:
puede
P(z) = Plop [l+o:(l-z)] 0:
= [PlgHI(1-Eg)]/Ptop
Relaci6n entre la cabeza hidrostatica maxima y la presi6n en la parte superior del reactor PLOP[adim)
Donde: PlOP = Palm +Pin
Presion en la superficie delliquido
z= x/HI
Coordenada axial [adim]
HI
Altura delliquido
94
[atrn]
[m]
~I,
Constante gravitatoria [m/s2] Densidad delliquido
[kg/ mj]
Fracci6n de gas retenido en Ia mez.cla [adim]
COll51l1ll0
de energia
EI consume de palencia en una columna burbujeadora se emplea para correlacionar el coeficiente de transferencia de 111a5a con variables hidrodindmicas. Cuando se emplean difusores estaticos, la energia transferida al reactor es la energfa cinetica del flujo de gas y la energia de compresion necesaria para veneer la caida de presion, y puede caJcularse con la expresi6n siguiente:
Donde: Gasto volumetrico de aire [m3/s]
Pg
Densidad del gas [Kg/m3]
R = 8314 [Joule/KmoIOK]
Constante general de los gases (Pm aire = 29 Da) Temperatura absoluta [OK)
T
Velocidad del gas en los orificios del difusor [m/s]
En el caso de difusores dinamicos, fambien debe considerarse el consumo de energia proporcionado por el jet lfquido:
Donde: Diametro de la garganta del difusor [m) . Flujo de ltquido en el difusor [m3/s)
95
Correlaciones para transforencia de masa en columnas
Existe un buen namero de correlaciones para la estimacion de KI 0 de Kia en columnas burbujeadoras, que ocupan diversas variables de .diseilo y opecaci6n. Algunas de las mas conocidas fueron obtenidas por Calderbank, Schuger], y por Akita y Yoshida. A continuaci6n se citan algunas. Kia = {(O.6_a>/Otl) Se0.S BoO.62GaO.31}Eg 1.1
(Akita Y Yoshida)}
KI = (O.Sa>/db) Se°.S Bo 0.25 GaO.375
(Akita y Yoshida)2
KJ m 0.31 Se-O.66(gv c)O.33
Calderbankj
db<2·5mm
.KI" 0.42 Se-O.S(g~JO.33
Calderbankj
KI" 1.13(a>Vb)0.5
Bousinesq
SehUgerl y col. (1977) proponen la siguiente relaci6n empirica para columnas de configuraci6n extn!madamente alta (Ht/Dt '" 28)
Su intervale de validez es:
En los casas anteriores, el diametro de. burbuja (db) se estima estadisticamente como ditirnetro Sauter medio (ds)
Donde (n;) es el numero de burbujas con diametro (dbJ A partir de los datos presentados por estos autores, pueden obtenerse las siguientes ecuaciones emphicas para calcular el tamano de burbuja, Cada una de las correlaciones corresponde a un tipo de difusor, para Wsg ::; 5 cm/ s. EI diametro de 'burbuja que utiliza Sehiigerl es uno, determinado a una gran distancia del aspersor [dirimetro de Imrlmja en equilibria (de»).
%
'-
de = O.25wsgO ..22
Placa perforada
de = O.07wsgO.34
Placa porosa
de = O.06wsgO.75
Difusor dinamico
Para calcular el valor de Kja, empleando las correlaciones existentes para Kit es necesario conocer el valor del area volumetrica de contacto gas-lfquido (a). Una correlaci6n que se emplea con frecuencia es:
Finalmente, para calcular Ell' pueden ser titiles las correlaciones Schugerl y col., para columrias burbujeadoras,
dadas
por
Ocasionalrnente pueden utilizarse -otras correlaciones directamente obtenidas del ajuste de datos experimenfales a alguna ecuaci6n empirica. Por ejemplo, para un regimen de burbujeo heterogeneo puede emplearse l~ relaci6n: Eg 7 O.035wsgO.6
'-
'-
En eJ conjunto de ecuaciones empleadas para el· calculo de coeficientes transferencia de masa, aparecen los !erminos siguientes:
de
Difusividad (cm2/ s) Diametro del reactor (em)
g
Constante gravitacional (cm/52)
~l
Viscosidad dinamica (g!cm s) Viscosidad cinernatica = WPI; (c~2/s)
PI
Densidad del liquido (g/cm3)
Sc
Numero de Schmidt = vel q), (adimensional] Tensi6n superficial (g/52)
Los numeros adimensionales de Bond (Bo) y Galileo (Ga), varian con la expresi6n en que se utilice. En la ecuacion de (Akita y Yoshidajj, se emplean: Bo=gpID//'t
97
En tanto que en ia ecuaci6n de (Akita y Yoshida)2, se emplea (db) como diametro caracteristico de estos mismos numeros.
Bo = gPJdb2/t Ga=gdb3/vc2 2.4.2.2Beactores Airlift En esta clase de reactores, la circulaci6n de liquido se debe a la diferencia en las densidades de dos regiones separadas fisicamente. La primera, con una menor densidad de Ja mezcla gas-liquido, corresponde a la columna aireada (riser) y la segunda, de densidad mas proxima a la del llquido, es la correspondiente al ducto de retorno del fluido (dowllcolller). Cuanto mayor sea la diferencia en densidad (0 en el contenido de gas) de las fases y mayor la altura de la columna, mayor sera la velocidad de circulaci6n vic AI favorecerse esta, mejora el tiempo de mezciado. AI aumentar la turbulencia aumenta el coeficiente de transferencia de calor, aunque no necesanamente la velocidad de transferencia de masa. Esta clase de reactores generalmente operan a valores de Wsg superiores a los normales para eJ trabajo en una columna burbujeadora. Algunas correlaciones utiles para el calculo de la velocidad de circulacion y del coeficiente de transferencia de masa en reactores Airlifl son las siguientes: VeIocidad de circulacion ell el ducto aireado
(vir)
Airlift (Bello y col., 1984). vir = (j) (Ad/ Ar)VWsg1/3
Airlift Loop
CD
= 1.55;
v
Airlift de IIiOOscolleen/rices
(j)
= 0.66;
v = 0.78;
=
0.74;
Vir
Y wSIl en (m/ s)
vir Y Wsg en (m/s)
Ar Y Ad! son las areas seccionales del riser y dowllcolller, respectivamente y los terminos (j) y v son constantes.
98
La velocidad de circulaci6n en el ducto de retorno (vld) puede estimarse como:
Una medida de los tiempos de circulaci6n en cada regi6n del reactor se obtlene con las relaciones:
y EI tiempo necesarlo para Iograr un grado de homogeneidad aceptabJe (> 95%) es del orden de 3 a 5 veces el tiempo de circulaci6n. Hay infinidad de correlaciones en la literatura para la estimaci6n de coeficientes de transferencia de masa en reactores Airlift. Chisti (1989) hace un analisis exhaustive de elias. Entre las mas difundidas estan las de Bello y col. (1985).
Kia ;O.76(1+A((1 Arf2wsr,°.8
KIa en 5.1;
Wsg
KIa =0.00055(1 +Adl Arfl.2(p g/V)°·8
KIa en s·l;
PS/V en (watts/m3)
99
en (m/s)
o EJeclo de III relaciOn Ad/ Ar en I. velocidad de drculad6n delilquido (VIr -m/s) y en el valor de Jc.le(l/sj en reaclores AltUft de tubes conc~ntricClll.8
--I
I
wl-O.66;vt-O.18; vlrl_1(Adr)~vl w"8~(1/3); 1da-O.76(1+Adr)~(-2) wsg"O.8; gt-PloI3D(vlrl.{weg.O.o.o.2).{Adr,o.l.o.75). AxHlAbel->{-w.g"." Ad"."vIr ",.P1otlAbel->"Vlr en AirUft intemo"); g2-P1o13D(Ida.{wsg.O.O.0.2).{Adr.o.l,o.75), AxesLabel->{"wsg"." Adr". "kIar ",.PIoILebel->"kIar·};
Vir en AirLift 1nte~no
vir
O.
O.
0.2 1t1.,
0.2
100
2.4.3 Reactores agitados mecanicamente
En reactores agitados mecanicamente, la agitacton la proporcionan turbinas de muy diferentes clases y la patencia suministrada por el agitador depende de las dimensiones relativas de la turbina y del reactor. El consumo de potencia en reactores no aireados, tradicionalmente se expresa mediante relaciones adimensionales: Np = f[(R,,),(Fr)1
Factores de conftguracion geometnca.
'-
, '-
"
Donde: Np = p/(pN3DiS)
Numero de potencia
Re = NDi2p/~
Numero de Reynold
Fr= DiN2/g
Numero de Froude
-,
Para f1uidos no newtonianos, caracterizados reol6gicamente de acuerdo a la ley de potencia [K(dv/ dx)"], mediante los indices de consistencia [K] y de comportamiento del f1uido [nJ,el valor del [ReIse estima:
.Donde [plY [llapJ representan los. valores de la densidad y de la viscosidad aparente del fluido, respectivamente. '"
Las principales ecuaciones para calcular el valor del [ReIson: Metzller y Otto:
-.
Calderbank y Moo- YOllllg:
'..
101
Efecto de I~ velocldad d. rotacl6n (N) i del indice d. consistencia (n) sob", la viscosidad aparente (jlap) de flufdcs no newtonianos en reactores agitados mecanicamente Comparaci6n de dos correlaciones : Metz~r/Otto y Calderbank/Moo-Young
K-O.5; 8-11 para turbinas; jl8p 1- K/ (8(N)A(1-n)(n] (6n+2)) An);
""p2-K/«B N)A(1-n)(4n/(3n+l»An); gl-Plot..>D[Ilapt,IN,O.Ot,1},In.O.25,}.75}, PlotRange->IO,1.85},AxesLabel->I"N":n","jl8p "I, PlotLabel->"Melzncr y Otlo',Mcsh->True,PlotPoinls->28}; g2=Pk>l>D[Ilap2,IN,Om, 1},In.O.25.1.75). PlotRange->IO,l.85},AxesLabel->I"N", ·n·...uap "J. PlotLa~I.>"C~ldllrbank y Muo-Young".Mesh->True.PlotPoints->28}; Show[Gr"phicsArray[lgl,g2}JJ
Metzner
y Otto
\.lap
~
~I
,
~I ,
102
, ~
~I
~I
~l ,
Donde: (nJ es el indice de comportamiento
del fluido [adim].
(KJ es el indice de consistencia del fluido [g/ em s(2-n»). (B) = 1'1.0 para turbinas, [Ilap] queda definida como: Ilap = K/{[8N(1-n)J[n/(6n+2»)n}
(Metzner y Otto)
Ilup = K/{(BN)(1-n)][4n/(3n+l)]n)
[Calderbank y Moo-Young]
Cuando (n = 1) se tiene el caso particular de un fluido newtoniano. En esta situacion: ._ -
Ilap
= K = ~l
Calculada [Ilap] con la correlaci6n de Metzner se obtienen valores superiores a los obtenidos con la correlaci6n de Calder bank y Moo-Young, cuando se manejan f1uidos pseudoplasticos (0.2 S n S 1). Estos valores del indice de comportamiento son norm ales en fluidos biol6gicos . Cuando se tiene una configuraci6n estandarizada, los factores de geometria no influyen en la correlaci6n y se puede expresar como:
NP = Co"e8Frb
._
Esta correlaci6n se expresa a menudo como p = Np/Frb = f'(R,,) y se describe graficamente mediante las denominadas curvas de potencia. De estas curvas se tiene una gran variedad y son independientes de escala aunque dependen del tipo de turbina, Cuando no hay formaci6n de vortex en el reactor debido a la presencia de bafles, se tiene un caso particular en donde las fuerzas inerciales y gravitatorias se igualan, por 10que el valor del (F, = 1). En este caso: N p = f (R,,) Cuando se trabaja en regimen lurbulento (R., > 104), el valor de [Np] tiende a un
103
valor constante caracterfstico para cada tipo de turbina. Los valores de [Np] para las turbinas mas conocidas son los siguientes: Tipo de jmpulsor
/Npl (Re >104)
(WjIDj)
Rushton (turbin. de 6 paletes recta. estandar)
6.0
Bates (turbina angosta de 6 paletas rectas)
5.1
Propela de 6 paletas rectes
4.1l
Propela angoste de 6 paletas mew
2.6
1/5 1/8 1/5 1/8
Propel. angosta de 6 palctas curves
2.8
1/8
Propela engoste de 4 paletas eectas
2.0
1/8
Propels marina
0.4
Relaciones geolllitricas para un reactor esuindar (DtIDj)
3
(LjIDj)
(WjIDi)
1/4
1/5
(HiIDi)
1
Definido el [Np] para determinada turbina, se calcula la potencia directamente de la relaci6n:
-
En caso de que el reactor tenga una configuraci6n diferente a la estandar se hacen las correcciones pertinentes mediante el factor:
De esta forma se obtiene el valor de la po.tenciacorregida por {adores geometric os: .~
'En caso de ·tener mas de un impulsor en el reactor, la potencia se corrige nuevamente, multiplicando por el nurnero de irnpulsores [Nil: p-= PCcN·1.
j
,I
104
-,I _I
24.3.1.£/ecto de la aireacion ell el COIISUlIIO de potencia
Existan diferentes correlaciones que describen la variaci6n del consumo de potencia [Pgl en funcion del gasto volumetrico de gas [Q]. Esta disminucion en leirelacion (Pg/P) depende tanto del tipo de impulsor como del valor del gasto de aire.·Ohyama y Endo (1955) la estiman introduciendo un nUmero adimensional que denominan como numerc de aireacicn [NJ: [Na] = velocidad superficial del gasl velocidad tangencial del impulsor. Y la expresion final es:
A partir de este concepto, Ohyama y Endo generaron una serie de curvas de (Pg/P) en funcion de [Nal para distintos tipos de impulsores. Los valores de (Pg/P) pueden obtenerse directamente por interpolacion en la curva, aunque se tiene que recurir a la ~ni~a de ensayo y error ya que el valor de la velocidad de agitacion afecta tanto a [PI como a [Na]. Por otra parte, estas curvas tienen un valor limite de [Na] por 10que no se puede interpolar cuando Na > 0.012. En 1%2, Michell y Miller presentaron una correlaci6n emptrica para [Pg] .en funci6n de [Q], valida para fluidos newtonianos y no newtonianos cuando se . opera en rogimen turbulento. La correlaci6n es:
'-
Oonde: [C] es una constante, cuyo valor depende del comportamiento reologtco del cultivo y de las unidades de las variable [PI, [N], [Dj] Y [Q]. 5i se trabaja con las siguientes unidades: [Pgl Y [P]:[HP], [N]:[min-1], [Oil:[em] y [QI:[1/min], la constante liene un valor de 0.002390. Existe una correlacion muy completa dada por Shinji Nagata, solo que se obtienen valores relativamente bajos en comparaci6n con las correlaciones de Ohyama 0 las de Michell Miller, por 10que no es muy recomendable su uso.
y
.~ 105
2.4.3.2 Correlaciones para trausferencia de masa Existe una gran cantidad de correlaciones que describen el cornportamiento de [Kia hoI] 0 [KwlL denominada ocasionalmente como K, 010101 Oyl h atm) en funci6n de las variables de operaci6n (Pg/V) y [vs). Las mas utiles son:
Cooper, Fernstrom y Mm~, {1944}. Tllrbilln tlpo "vaned Disk", adapiada para lurbilln de disco
esttilldar (6 paletas rectos): Evaluada para fluidos newtonianos
Donde: [KlaH] - [Kv]:
Kgmol Oym3h atm
(Pg/V):
HP/m3
[Vsl:
m/h
£1 coeftciente b= 0.67 Yel valor de tal son dependientes de escala y se pueden fijar los sigulentes vaJores discretos:
Vpp < 0.5 m3
a" 0.95
0.5 < V op < 20.0 013
a" 0.66
20.0 < Vop < 100.0 m3
a - 0.50
Vop > 100.0 m3
a" 0.33
Fukuda, Sumlno y Kanzaki. {1968}. Turblnn de disco esltilldar: Valida para f1uidos newtoruanos, aunque se considera util en caso de operar con no ncwtonianos de baja viscosidad y evaluada ...n reactores con (Vor >- 42 m:»:
106
Donde: [KlaH) = [Kv}:
mmol Oj /Ihatm
(PIl/V):
HP/m3
[VS):
em/min
Taguchi y Miyamoto, {1966}. Turbina de disco esta"dnr: Obtenida para f1uidos no newtonianos [pseudoplasticos, especificamente eultivos de £1I'iomyce5 sp.), con indice de comportamiento 1.0 ~ n ~ 0.4 Y valores de indice de consistencia K s 35 dinas em-2s-n. Evaluada en reaetores con V op s50 m3: Kla H = KV' = 8 0 (pg/V,O.l3y ( s0..56 Donde: [KlaH) = [Kv):
mmol O2/1 h aim
(Pg/V):
HP/m3
[VsJ:
em/min
Esta correlacicn indica que la transferencia fluidos muy viscosos, sean 0 no newtonianos.
de ~
se dificulta al trabajar con
Hospodkn, Cnslavsky, Bern" y Stross, {1964}. TllTbina de disco esuindar: Reactor con tubo central (Drafl) que incrementa la velocidad de circulaci6n de la mezcla gas-Iiquido. La correlacien se obtuvo para reactores con (Vop ~ 20 m3), operando con f1uidos newtonianos (cultivos de Sacc1U1TolllYcescerevisiae). .
Donde:
[KI.HJ = [Kvl:
mmol 02/1 h atm
(Pr,/V):
HP/m3
[V.):
em/min
107
o
c.rm.aone.".,..
d oOculode idA .... , .. dom .gilodot ....
cd!Uor""",.
~ ... I.J102-O.20';T-28;H-(l4.I~.394ST+{).007TfA2'{).IXJOO64~A3V(32p02J; ""8"''"''''i '64'100;
2.BNiXPgv)"O.77 ""S"(2/3); F.... do 1(U2-II/H)$Pgv"(lI3)...,"O.56;Top'"l
I(U 1-(1.111)1.88(20
KlaJ-(lDOqIH)O.OJ18PS."O.33 "'lm"O.67;Coopr, KIa4- J1l.IPgp"O. 72 ""B'""O-1l;Ho'podh
gl-PIoIJD[l(Ul,(Pgv,O.a;,3I,~50,200~Au.Lobd->(' Pg/V " '''''S', '.11.0 '~PlotlAlJd.>'Fdudo' I; 12- ploIJD(1(Ia2,(Pgv,O.05,3/,(""8.so,2OOJ,At..u.bd·>(' Pg/V " '''''S', 'H. •l- PlDtlA"'I·>'T'8"(' Pg/V " '''''S', 'idA '/,PlotLobtl->'Cooper'I; g4-PIoIJD(KIa4.(Pgv,O.05,3L(""8.50,200}.AxrJLcbd.>(' Pg/V " '...,', 'klo '/,PlDtlAbtI·>'H.. podIcA'); Shor;{G~((gLg2L(g3,S4//J}
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~
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v
108. -:,
2.5 TRANSFER EN CIA DE CALOR EN BIORREACTORES~ A un reactor biologico, se Ie proporciona
0
se Ie elimina calor por las siguientes
razones: Para la esterilizacion del medic de cultivo (circulaci6n de vapor en la chaqueta serpentin,
° inyeccion de vapor vivo al seno del liquido).
° en el
Si la energia libe,ada por la conversion del sustrato es insuficiente pora el mantenimiento de la temperatura, se requiere adicionar calor (generalmente circulando agua por el sistema de enfriamiento (c1laqueta0 serpent(n». Este es el caso de los digestores anaerobios, en donde generalmente se requieren altas temperatures pora el proceso (SS.6(fC). Debido a La conversion del sustrato, se Liberaun exceso de energia que requiere eliminaTse mediante la circulacion de agua por el sistema de enfriamiento. Este es el caso mas general en procesos aerobios,
La ecuaci6n fundamental de transferencia de calor en estado de equilibrio relaciona la velocidad total de generaci6n con la velocidad de eliminaci6n de calor a traves de una superficie de transferencia: {dQ/dtlgen
= {dQ/dt}"um = UA (t.T)bl
(73)
Donde: (t.T)ln = Diferencia de temperatura media logaritmica entre el Hquido de proceso y
el de enfriamiento = [(Top·Tin)-(Top·T"ut»)/ln[(T"p.Tin)/(Top·TouvJ. A = Area de transferencia de calor. U = Coeficiente global de transferencia de.calor En reactores agitados, la velocidad total de generaci6n de calor {dQ/ dtlgelV es fundamentalmente la suma del calor generado por fermentaci6n y por agitacion del reactor: {dQ/ dt}f = Calor genera do por fermentaci6n = (ux/Y x.tJVop
(74)
(dQ/ dt}ag = Calor producido por agitaci6n = (Pg)
[75)
Donde el rendimiento calorico esta dado por:
109
La velocidad total de eliminaci6n de calor (dQ/ dt}elim'es fundamentalmente la suma de:
{dq/ dt}.en·=Perdidas de calor sensible en flujos de entrada y salida
[76]
(dq/ dtlev; Perdidas de calor por evaporaci6n
[77J
(dq/ dtlen( = Calor eliminado en el intercambiador
[78]
EI componente mas importante es el calor eliminado por el intercambiador, por 10 que la ecuaci6n (73)puede reducirse a: (dQ/ dt}r + {dQ/ dt}ag = {dq/ dt}cnf= UA(L1T»)n
[79J
Una vez estimados los componentes (dQ/dtlf y (dQ/dt}ag' cuyo valor es una funcion de las condiciones de operacion del proceso, es relativarnente simple el calculo del sistema de enfriamiento, ya que 10 que procede es evaluar para condiciones de operacion especificas, el valor de los coeficientes de pelicula del lado delliquido de proceso [hi) y dellado del !iquido de enfriamiento tho). La superficie total del intercambiador [A] se estima a partir de las dimensiones del
reactor, pudiendose seleccionar entre diversas alternativas: chaqueta de enfriamiento, serpentin (helicoldal 0 vertical)." aunque tambien es posible considerar la posibilidad de enviar el Iiquido de proceso a un intercambiador extemo, recirculandolo al reactor. Dependiendo de las temperatures de entrada del Iiquido de enfriamiento [Tin)' de la salida [ToutJ,de la de proceso [Top)Ypor supuesto de la cantidad total de calor .que se requiere eliminar, se estima un valor tentativo del gasto minimo de agua [wI requerida para transportar el calor genera do por el reactor y que debera ser transferido por el sistema de enfriamiento, ya que:
~I !
110
~. I
(dQ/ dtlgen = (dQ/ dtlenf = UA(.6.T)ln= wS,(Tout-Tin)
[80]
Por 10 que:
Este valor inicial de [wI sirve para la estimaci6n del coeficiente tho] dellado del agua de enfriamiento, el cual conjuntado con el (hJ permite estimar un valor inicial de [U]. Lo que precede ahora es evaluar SI se cumple con la condici6n:
[81] En caso positive, estara resuelto el calculo del sistema de enfriamiento. De 10 contra rio, se deberan probar nuevas temperaturas 0 aumentar en un margen suficiente el gasto de agua, par encima del minima calculado, hasta que se cumpla con la condici6n [81]. -
2.5.1 Correlaciones pam transferencia de calor
EI anal isis dimensional ha sido la base para el establecimiento de correlaciones utiles para la estimaci6n de coeficientes de transferencia de calor en funci6n de variables de operaci6n.
~
Correlacion genera! en rene/ores agitados yellfrindos COlichaque/a: [82] Donde:
Nu = hDtlk Re = ND?P/I!b
r, = Cp~'h/k Siendo: h = Coeficiente de pelicula caracterfstico [calls cm2oC] k = Conduetividad
termica del fluido [calls em °C]
Cp = Capacidad calorifica del fluido [call g DC) 111
Dt = Diametro del tanque [em]
D, = Diametro del impulsor [em) p
= Densidad
del fluido [g/ cm3)
N = Velocidad de agitaci6n [1/5] Ilb = viscosidad del fluido en el seno delliquido [g/ em s] Ilw = viscosictad del fluido en la pared [g/ em s)
lnfluencia del tipo de impulsor en el valor de K Y de los coeficienies de fa ecuacion gelleral (a,b,c): lltV~stigador
Tipo de rmpulsor
fK/
fal
(bi
fel
Cununings/West
2 Turbinas c/p/curvQs
0.60
2/3
1/3
-0.14
UhI
Turbina c/paletas/incJ.
0.53
2/3
1/3
-0.24
Brooks/Su
Turbma estandar
0.54
2/3
1/3
-0.14
Correlaciones para reaciores agitados yenfriados con serpeniin helicoidal. Oldshue y Grelton. Turbina esttilldar:
[83] Cummings y West..l 02 turbinas cjpaletas curuas: [84] Cummings y West. Tllrbina cjpaletas inclinadas: (85] Correlacion para rec.clores agirados y enfriado«
COli
serpentin oertical.
Dunlap y Rushton. Turbina estdndur:
(86] En las diferenteS correlactones, a menudo se utiliza como diametro caraeterlstico eJ diametro del tubo del serpentin (do];como es el caso de las ecuaciones (83] y [86],
112
• aunque usualmente se considera [Ot]en el Nusselt. Estas dos correlacionesconsideran algunas variaciones geometricas y se introduce en ambas el termino (O;/O!). En la ecuaci6n [83) se aiiade tarnbien el terrnino (dolO!) Y en la [86)se considera el efecto del numero de bafles [nbl (serpentines verticales que curnplen con esa funci6n). Las anteriores correlaciones son exclusivamente para la estimaci6n del coeficiente de pelicuJa en el lfquido de proceso [hJ, cuando el reactor esta agitado por turblnas. Existen una infinidad de correlaciones mas para otros tipos de impulsores. Entre las mas utilizadas se encuentran las de Shinji Nagata, ya que consideran fadores geornetricosno contemplados en otras. Correlacion para reactor agitndo
COli
turbina 'Il~la1t1lar(NJ variable. Enfriamiento
COIl
chaqueia Shillji Nagata: [87)
Oonde: fl ~ (Oi/I)!)· f2 = 0.2 Nj(O;/O!). f3 = (npcS )/(N 11 H)
=
(nplN)-O·37
f4 = (HI/O!) np = Numero de paletas en la turbina (4,6,8) EI te-rminoSc se defin~como:
113
-' -'
Correlacion para reactor agitado
COIl
turbine esidndar [N;] variable. Enfriamiento
COil
._,
serpentin '-"
~i
Silinji Nagata: h·D
"1 c
/k = 2 "'c 6811
-'
O.5&p0.33f gf hf it in...m r 1 2 3 4··y
,_,J
[88]
oJ
Donde:
1
-'
f1 = (Di/Dt) f3' = Sc/(N;Hl) = Nj·O.37
oJ
q
f2 = 0.2 Nj.(D;/Dt)
-;»
f4 = (Hi/Dt')
,_, .
Dc = Diametro del serpentln = (0'~1.9.t)
oJ'
oJ
Correlacion para COlll1l111115bllTblijeadOTIl5 enfriadas COli chaqueta.
~ oJ
Citada par Hammer (1985): hjDt/k = 0.14Ndo.33PrO.33(l-lb/l-lwrO.14
[89]
Donde:
Eg = a, = Fracci6n de gas retenida, expresada dimensionalmente [cm3 aire].;. \)\.. ~ \)0\
k\ t~.I". " \lG," \
Correlacum para columnas burbujeadoras
E... \lL.r
..) '"
ellfriadas
I
\)L":>
!_
"!-f~
COli serpentin,
...
.f
~
_ t'
\)6-
,
(\1 \
g = constante gravitatoria.
Cs
..)
l ~f.
J
)
(IJL. t=~{J. . ,vr
J~
-;:,
oJ
l !
Citada par Hammer (1985): h;do/k
= 0.OO2Ndo.33PrO.33(l-lb/I-lw)-O·14(Dtldo)O.33
(90)
-'
.
114
""
r
En la ecuaci6n general que se presenta abajo, se inciuyen la mayor parte de los terminos considerados en las diversas ecuaciones presentadas previamente.
'-
Nu
'-
• hiP,!'
I(
•
~
b
c
'
.
AGITADOS. S
h
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p
AutCK
lmpultor
Enfri.1llior
9
OrmJlrirlgs
C
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2TPI
C
0.33 ·0.14
11
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C
12
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Sf,
..
OI,,,mml'
1-2 TPC
Sh
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Sh
o.n
hjD,Ik
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0.11 0.67 0.37
hlIV'
1.01
0.62
0.33 ·0,1<1
h,D,/k
0.91
0.62
0.3.' -0.14
hid","
0.09
O.t>S n.n
h;I>,/k
0.51
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Sv: 5<'rprnt(rl vertierd
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C: Q"'qNt.tG
~
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SUMARIO DE CORREl..ACIONES PARA EL CAI.CUlO DE COEFICIEN1ES DE PEUCUlA (hi) EN REACTORES
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INVITACION
Se invita a la Comunidad Politecnica a participar en este foro de comunicaclcn, proponiendo rrabajos para su publicacion, Los interesados deberan dirigirse a:
COMITE EDITORIAL DE INFORMES TECNlCOS DlRECCION DE PUBLICACIONES DEL INSTITUTO POLITECNICO NAC[ONAL TRESGUERRAS No. 27 CENTRO C.P. 06040 TELEFONO: 709-10-76 Ext. 249 709-05-99 Ext. 249
Los originales deberan observar las siguientes normas b!!sicas: 1) Contener una introduccion, un desarrollo, conclusiones, y en su caso la bibhogratia correspondieate. Se acompaiiarin, igualmente, de un breve resumen. 2) EI lenguaje debera ser 10 mils clare posible, de manera que el contenido sea accesible aun para los no especialistas en fa materia de que se trata, 3) Los autores seran notificados por escrito, cuando sus trabajos sean aprobados por el Consejo Editorial para su publicacion,
SERlE INVESTIGACION Y DESARROLLO TECNOLOOICO I-I
ARREGuIN SANOlEZ. M.L.: "lmportancia cconOmica de Pterid6fitas".
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l..ARREA REYNoso. R.: "Sccadoras
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(AgOlado.)
de a1imentos con el calor del sol". (Agoucio.)
RAM1R.EzGRANADOS, R.: "Oiseilo de un m6dvlo para el tratamiento de aguas resi(Agotado.)
duaJes mediante sistemas naturales". 1-4
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Para obtener copias de estos documentcs, favor de dirigirse al Consejo Editorial de Informes Tecnicos en Il Direcci6n de Publicaciones dellnstituto Polirecnico Nacional. Tresguerras No. 27. C.P. 06040 Mexico, D.F. Tel.: 709-10-76 ext, 249.
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EI texto de esta publicacion pretendc introducir al lector en una esttatcgia de di~o y eva]uaci6nde p~oS"fennentativos, aprovechando programas computacionales especificos. La sunulacion de bioprocesos. basada en modelos matematicos, reduce marcadamente la duracion y el costa de cualquier investigacion sobrc el desarrolio de unproceso biologico de tipo fermentative. AyUda a selecciouar los microorganismos idbneos, definir las condiciones ambientales adecuadas y a establecer las condiciones de operacion, que senin 18 base para el posterior disefio 8 escala del equipo involucrado.
