Binomni poucak

BINOMNI POUČAK ZNATI

-

Faktorijela n! = 1 ⋅ 2 ⋅ .. ... ⋅ n, n ∈ N0

-

Binomni koeficijenti

( k n)

n!

=

-

k !( n − k )! Svojstva binomnih koeficijenata

-

Pascalov trokut

-

n Binomni teorem: ( a + b )

, n, k ∈ N0 , k ≤ n

n

=

∑ ( k n ) a

n −k

k 

b , a, b ∈ R , n ∈ N

k = 0

ZADACI ZA VJEŽBU:

1. Pojednostavnite izraz do kraja: a) b) c)

5!⋅ 6!

b)

c)

=

10!− 9! ( n + 2 )! = ( n − 1 )!

2n! ( n − 3 )!

=

( n + 1 )!

( k n 2) 2( k n 1) ( nk ) ( n k 2) ,  2

+

+

−

+

=

+

+

−

+

=

4. Odredite racionalne članove u razvoju binoma:

(

10

5 − 2) . 5

( n − 1)!

binoma:

(

15

 x  + 2 ) .

6. Odredite 6. član u razvoju binoma:

 y  2  −  xy   a)   2 x  

(n2n1) 5(2nn 1) −

=

9

11

1   3 x  b)  3 − . 3  x   3  

3. Dokažite identitete:

7

a)

(1n) 6 ( 2n) 6 (n3) +

b) 1 + 7

+

7. Koji član po redu ne sadrži a u razvoju =n

3

( 1n) 12( 2n) 6( n3) +

≤k ≤n

5. Odredite koeficijent uz  x  u razvoju

=

−

d)

+

(Napomena: u d) koristite rezultat od c.)

( n4 ) ( 2n) 3

( kn) ( k n 1) ( nk  11)

=

7!⋅ 4! 10!− 8!

2. Odredite prirodan broj n tako da vrijede  jednakosti:

a)

c)

+

33 2 a binoma:  4 3

= ( n + 1)

12

 + a . 3  2

8. Odredite srednji član razvoja binoma: 16

a  a)  −  x     x    

b)  3 a a

+

2

15

10. Odredite slobodan član u razvoju binoma: 17

+

x  

n



−

3

5

 x  .

 .

a

3  binoma:  −  x   .   x  

4

3

x 5 y   razlika trećeg i prvog binomnog koeficijenta za 34 veća od drugog, odredit član koji

sadrži

6

9. Odredite onaj član koji ne sadrži x u razvoju

 1 3 2  a

  x 3 x 13. Ako je u razvoju binoma  5  y

 a  .  3

11. Zbroj koeficijenata prvog, drugog i trećeg n

 2 1 člana u razvoju binoma  x  +  jednak je   x   46. Odredite onaj član raspisa binoma koji ne sadrži x.

12. Zbroj svih binomnih koeficijenata u razvoju n

1   binoma  x  + 4  iznosi 1024. Odredite   x   onaj član koji ne sadrži x.

  x 14. U razvoju binoma  5 3   x 

3

3

x  

n

 odredite 2  x   n ako je koeficijent uz treći član za 51 veći od koeficijenta drugog člana. +