t 1 = 1 ∨ t 2 = −4 ⇒ log x = 1 ∨ log x = 3 ⇒ x 1 = 10 ∨ x 2 = 10 −4
5. Odre Odrediti diti x tako da je zbir trećeg i sedmog člana u razvoju binoma ( sin x + cos )8 jednak 7. Rješenje Prema zadatku je
8 T 3 + T 7 = 7 ⇔ 2
(
)(
sin x
6
2 6 8 + ( sin x ) ( cos x ) = 7 6
)
cos x
2
1
⇔ 28 sin 3 x cos x + 28 sin x cos 3 x = 7 ⇔ sin x cos x (sin 2 x + cos 2 x ) = ⇔ 28 sin 3 x cos x + 28 sin x cos 3 x = 7 ⇔ sin x cos x (sin 2 x + cos 2 x ) = ⇔ sin x cos x = ⇒ x =
π π
12
1 4
1
1
2
4
⇔ sin 2 x =
+ k π π ∨ x =
5π π 12
⇔ sin 2 x =
1 2
⇒ 2 x =
π π
6
4
1 4
⇔
⇔
+ 2k π π ∨ 2 x =
5π π 6
+ 2k π π
+ 2k π π
6. Odrediti član koji u razvijenom raz vijenom obliku stepena
1 + a 2 a
9
ne ne sadrži a.
Rješenje 9 − k
Znamo da je
k 9 9 k 9 2k 9 3 k 9 n 1 = a n− k b k ili T k n+1 = (a 2 ) = (a ) − (a ) = (a ) − a k k k k biti 3k − 9 = 0 ⇒ k = 3 .Dakle,četvrti član u razvoju datog binoma
T k n+ 1
Odavdje mora ne sadrži a.
n
7. Izračunati član razvoja binoma
3 5 4 x + x ,koji 2
sadrži
25
x
prva tri tri koeficijenta koeficijenta jednak 56. Rješenje n n n n(n − 1) + + = 56 ⇒ 1 + n + = 56 ⇒ 0 1 2 2 2 2 2 + 2n + n − n = 112 ⇒ n + n − 110 = 0 ⇒ n = 10
Prvo odredimo n.Kako je
3 5 4 x + x 2
10
1 10 20− 2 k x 5 = ∑ 2 k = 0 k 10
=
(
10− k
)
k
(
) (
10 10 10− k k 1 − k 3 ⋅ 2 x = ∑ 2 20− 3 k ( x ) 5 ⋅ ( x ) 3 = k = 0 k
10 20− 3 k 10− k + k ( x ) 5 3 . ∑ k 2 k = 0 10
k
10 10 3 x 10− k 10 − k 10 − 3 = ∑ 2 2 5 x x ⋅ 2 1 = ∑ 45 x k = 0 k = 0 k k 2 10
)
k
=
4
x
,ako je zbir
Kemal Halilović,profesor matematike Brčko
4 4
Sdruge strane je x
14
pa pa možemo pisati uvjet: 30 − 3k + 5k = 42 ⇒ k = 6 .Dakle sedmi član. 25
x = x ⋅ x = x 5 4
2
5
8. Odrediti redni broj onog člana razvoja binoma
10− k 5
+
3 3 2 2 x x + 3 4
k 3
=
14 5
⇔
12
,koji sadrži
x 7 .
Rješenje n
T k +1
n 12 3 = a n− k b k = 3 x 2 4 k k
= m ( x )
2 (12− k ) 3
12− k
k
( ) ( x )
2 3 x = m x 2 3
12− k
k
2 = m x 3
12− k
k
1 x 2 =
2 (12− k ) k
k
( x ) 2 = mx
3
+
2
Kako se traži onaj član koji sadrži x 7 to mora biti 2(123− k ) + k 2 = 7 odavdje je 7 4(12 − k ) + 3k = 42 ⇒ k = 6 .Dakle sedmi član razvoja binoma sadrži x . 9. Naći razvoju binoma 9. Naći za koje vrijednosti x u razvoju
x 2 + 1 2 x −1
n
zbir zbir trećeg i petog
člana iznosi 135,ako je zbit binomnih koeficijenata tri posljednja člana 22. Rješenje n n n + + = 22 a prema osobini n − 2 n − 1 n n n n n(n − 1) + + = 22 ⇔ + n + 1 = 22 ⇔ 2 2 1 0
Prema uvjetu u zadatku je koeficijenata koeficijenata to je isto što i
n
2 n + n − 42 = 0 ⇔ n = 6 Sada se može pisati
x − x −1 x 2 + 1 = 22 + 2 2 x − 1 2
binomnih
6
Pa prema drugom uvjetu je x 6 2 2 2
