1
Binom nomni obraza azac
Za svaki prirodan broj n definiˇsemo semo ”faktorije ”fakt orijell broja bro ja n” sa n! = n (n
· − 1) · (n − 2) · ... · 3 · 2 · 1
tj. proizvod svih prirodnih brojeva do broja n. Po dogovoru uzimamo 0! = 1 i 1! = 1. Proizvod prvih n parnih brojeva bro jeva oznaˇcavamo cavamo sa s a (2n)!!. Analogno, Analogno, proizvod prvih n neparnih brojeva bro jeva oznaˇcavamo cavamo sa (2n 1)!!. 1)!!. Specijal Specijalno no 0!! = 1 i 1!! = 1.
−
n
Izraz oblika n k
k
=
naziva se binomni koeficijent i vrijedi
n! n (n = k ! (n k )!
· − 1) · (n − 2) · ... · (n − k + 1) .
· −
Po dogovoru uzimamo
k!
n
n
=
= 1. n 0 Za binomne koeficijente vrijedi zakon simetrije tj. n k
Za sve prirodne brojeve n i k, k n
(a + b) =
0
n
an +
1
n
−k
n vrijedi
n
n
=
an−1 b +
formula
n
.
an−2 b2 +
2
···+
n
n
−1
abn−1 +
n n
bn
koja se naziva binomna formula. Kra´ce ce zapisujemo n
n
(a + b) =
k=0
n k
an−k bk .
Op´ci ci ˇclan cl an razvo ra zvo ja bino bi noma ma (a + b)n dat je sa T k+1 = Primjer 1.1 Dokazati
n k
an−k bk ,
(0 k
n) .
(n + 1)! = n (n + 1) . (n 1)!
−
Rjeˇsenje:Na senje:Na osnovu definicije faktorijela broja bro ja n uoˇcimo cim o da vrijed vri jedii n! = (n 1)! n, pa tako imamo:
·
(n + 1)! (n = (n 1)!
−
− 1)! · n · (n + 1) = n (n + 1). (n − 1)!
−
Primjer 1.2 Dokazati jednakost (2n)!! = n !2n , (n = 0, 1, 2, ...).
Rjeˇsenje: Dokaz izvodimo matematiˇckom indukcijom: 1) Za n = 0 jednakost je oˇcigledna jer je 0!! = 1 i 0! = 1. 2) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neko n = k tj. (2k )!! = k !2k . 3) Dokaˇ zimo da tada tvrdnja vrijedi i za n = k +1, tj. da vrijedi (2(k +1))!! = (k + 1)!2(k+1). Dokaz: (2(k + 1))!! = (2k + 2)!! = (2k )!!(2k + 2) = k !2k (2k + 2) = = k !2k 2(k + 1) = (k + 1)!2(k+1). 4) Tvrdnja vrijedi za svako n = 0, 1, 2, . . . . Primjer 1.3 Zbir svih binomnih koeficijenata u razvoju binoma ( a + b)n jednak je 2n . Zaista, ako u binomnoj formuli odaberemo specijalno da je a = 1 i b = 1, dobijamo
n
0
+
n
1
+
·· ·
Primjer 1.4 Dokazati identitet
+
n k
n
= (1 + 1)n = 2n
n
+
n
n + 1
=
k + 1
k + 1
.
Rjeˇsenje: Na osnovu definicije binomnog koeficijenta, imamo:
n k
+
n
k + 1
=
n (n
· − 1) · . . . · (n − k + 1) + n · (n − 1) · . . . · (n − k) = 1 · 2 · ... · k 1 · 2 · . . . · (k + 1) n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = · n−k +1 =
k!
=
k + 1
n (n
· − 1) · . . . · (n − k + 1) · n + 1 = k!
k + 1
−
(n + 1) n . . . (n = (k + 1)!
· · · − k + 1) =
siti jednaˇ cinu Primjer 1.5 Rijeˇ brojeva.
n
3
+
n
2
8
n
1
n + 1 k + 1
.
= 0 u skupu prirodnih
Kako je
n
3
n
2
n
n(n
− 1)(n − 2) = n(n − 1)(n − 2) 1·2·3 6 n(n − 1) n(n − 1) = = 1·2 2 =
= n 1 jednaˇcina dobija oblik n(n
− 1)(n − 2) + n(n − 1) − 8n = 0 6
2
koja je ekvivalentna jednaˇcini n(n
− 1)(n − 2) + 3n(n − 1) − 48n = 0
odnosno n(n2
− 49) = 0
ˇcija su rjeˇsenja n1 = 0, n2 = 7 i n3 = 7. Budu´ci da za rjeˇsenje traˇzimo prirodan broj, jedino rjeˇsenje jednaˇcine je n = 7.
−
Primjer 1.6 Primjenon binomnog obrasca razviti (1 + 2x)3 .
Rjeˇsenje: Na osnovu binomne formule, imamo: 3
3
(1 + 2x) =
3
3
k=0
k
3−k
1
3
k
(2x) =
k=0
k
(2x)k =
3 3 3 3 = (2x)0 + (2x)1 + (2x)2 + (2x)3 0 1 2 3 pa na osnovu osobina binomnih koeficijenata, dobijamo (1 + 2x)3 = 1 + 6x + 12 x2 + 8x3 . Primjer 1.7 Na´ ci trinaesti ˇ clan u razvoju binoma
√ √ 2+
3
3
15
.
Rjeˇsenje: Budu´ci da traˇzimo trinaesti ˇclan u razvoju binoma, onda uzimamo da je k=12 i uvrˇstavaju´ci u formulu za op´ci ˇclan razvoja binoma, dobijamo: T 13 =
=
√ · √ √ · √ ·
15 12
15 12
2
2
15−12
3
3
3
1 3
12
3
=
12
=
√
15 2 2 34 = 73710 2. 12
Primjer 1.8 Odrediti koeficijent uz x8 u razvoju binoma (x + 3)
Rjeˇsenje: Op´ci ˇclan razvoja binoma (x + 3) 12 je T k+1 = jasno da mora biti 12 Traˇzeni koeficijent je
12 k
12
.
x12−k 3k pa je
·
8
− k = 8 jer traˇzimo koeficijent uz x , odakle je k = 4.
· 12 4
12 11 10 9 81 = 40095. 1 2 3 4
· · · · · · ·
34 =
Primjer 1.9 U razvoju binoma
2 x
15
+ 3x
odrediti koeficijent uz x7 .
Rjeˇsenje: Op´ci ˇclan razvoja binoma je 15−k
· · · · n
T k+1 =
k
a
15
=
k
15
=
k
n−k k
b =
2x−1
15
2
k
x
15−k
(3x)k =
15
3k xk =
k
215−k x−15+k 3k xk =
·
215−k 3k x−15+2k
Budu´ci da traˇzimo koeficijent uz x7 , onda mora biti je k = 11, pa je traˇzeni koeficijent uz x7
−1 5 + 2k = 7 odakle
15 k
215−k 3k =
·
15 15−11 11 15 4 11 2 3 = 2 3 . 11 4
·
·
7
clan koji sadrˇ zi x u razvoju binoma Primjer 1.10 Na´ci ˇ
Rjeˇsenje: Op´ci ˇclan razvoja binoma je T k+1 =
= =
3
−√ · √ · − · − · − · · − · n n−k k a b = k
12
2
k
12
12−k
1
x2
k
x2
48
24−2k k +2 3
−k
=
12−k
12
=
k
12 k
x
x
24−2k 3
k
x2
x
12
.
=
k
( 1)k x 2 =
( 1)k x
48−k 6
·
.
= 7 odakle je k = 6. Dakle, sedmi ˇclan 6 12 sadrˇzi x7 . x
√ − √ x2
3
k
( 1)k x
k
3
12
x3
Sada je jasno da mora biti razvoja binoma
√ − √
16
√ √ √ · √ · · 1
x +
Primjer 1.11 U razvoju binoma
3
na´ ci ˇ clan koji sadrˇzi x3 .
x
Rjeˇsenje: Op´ci ˇclan razvoja binoma je n
T k+1 =
16
pa je
√
48
x +
− 5k
6 1
√ 3
1
x2
k
16
=
b =
a
k
=
16
n−k k
k
x
16−k
16−k k −3 2
x
k
3
k
1
16
=
x
k
16
=
x− 3
k
x− 3 =
.
16
sadrˇzi x3.
clan razvoja binoma Primjer 1.12 Odrediti onaj ˇ sadrˇzi x.
Rjeˇsenje: Op´ci ˇclan razvoja binoma je 15 n n−k k 3 T k+1 = a b = x2
√ − 3
√ · − · − · − · − · k
=
16−k 2
=
= 3 odakle je k = 6. Dakle, sedmi ˇclan razvoja binoma
x
=
x
x
k
48−5k 6
k
1
16−k
15−k
k
15 k
15 k
2
x3
15−k
( 1)k x
15
( 1)k x−k =
30−2k −k 3
=
x
k
15
3
x2
x−1 x
koji ne
−k
=
.
30
− 5k = 0 odakle 3 ne sadrˇzi x.
√ − √ − √
Primjer 1.13 Odrediti onaj ˇclan razvoja binoma x.
k
· (−1) · x
30−5k 3
Budu´ci da traˇzimo ˇclan koji ne sadrˇzi x, onda mora biti je k = 6. Dakle, sedmi ˇclan razvoja binoma
x−1
=
30−2k 3
( 1)k x
k
k
x−1
15
x2
15
3
8
koji ne sadrˇ zi
x
Rjeˇsenje: Op´ci ˇclan razvoja binoma je T k+1 =
= =
k
√ · − √ · − · − · − · − · − n k
8
k
8
k
a
n−k k
b =
1
x2
8−k
( 3)k x
8
x
k
1
3x− 2
8−k k −2 2
=
3
8−k
=
x
k
8
k
=
8
k
x
8−k 2
( 3)k x
k
( 3)k x− 2 =
8−2k 2
=
8
k
( 3)k x4−k .
·
Budu´ci da traˇzimo ˇclan koji ne sadrˇzi x, onda mora biti 4 k = 0 odakle je 8 3 ne sadrˇzi x. k = 4. Dakle, peti ˇclan razvoja binoma x
√ − √ − − √ x
ci srednji ˇ clan u razvoju binoma Primjer 1.14 Na´
Rjeˇsenje: Razvoj binoma
2
16
x
x
.
16
− √ 2
ima 17 ˇclanova pa je srednji ˇclan
x
x
deveti ˇclan, pa ´cemo u formulu za op´ci ˇclan razvoja binoma uvrstiti k = 8. Tako dobijamo T k+1 =
16−8
· −√ · − · · − · · √ − √ n n−k k a b = k
16 8
2
x
x
8
=
8
= =
1 8 16 2 16 8 −8 = 2 x ( 1)8 x4 = x2 8 8 x 16 8 −4 2 x = 3294720x−4 . 8
3
Primjer 1.15 Odrediti peti ˇclan u razvoju binoma 2x x
x
8
.
Rjeˇsenje: Budu´ci da traˇzimo peti ˇclan u razvoju binoma, onda ´cemo u formulu za op´ci ˇclan razvoja binoma uvrstiti k = 4 i tako dobijamo T k+1 =
= =
√ · −√ · − · · − · − √ n k
an−k bk =
8 4
2x x
3 4 1 4 8 2x 2 = x3 4 22 8 4 6+ 4 2 x 3 = 1120x 3 . 4
8−4
3
x
4
4 8 4 6 2 x ( 1)4 x 3 = 4
ci trinaesti ˇ clan u razvoju binoma 9x Primjer 1.16 Na´ binomni koeficijent tre´ ceg ˇ clana jednak 105.
Rjeˇsenje: Binomni koeficijent tre´ceg ˇclana je
n
=
n
2
1 3x
n
ako je
pa iz uslova zadatka imamo
= 105 ˇsto je ekvivalentno jednaˇcini n 2 n 210 = 0. Rjeˇsenja posljednje
2 kvadratne jednaˇcine su n1 = 15, n2 =
− −
−14 pa uzimamo samo prvo rjeˇsenje a
15 1 drugo odbacujemo jer je negativno. Sada binom ima oblik 9x . 3x Budu´ci da traˇzimo trinaesti ˇclan razvoja binoma, u formulu za op´ci ˇclan razvoja binoma uvrˇstavamo k = 12, i tako dobijamo
T 13 =
= =
− √
12 15 1 15−12 (9x) = 12 3x 1 1 12 15 15 3 3 (9x)3 3− 2 x− 2 = 9 x ( 1)12 3−6x−6 = 12 12 15 6 3 −6 −6 15 −3 x = 455x−3 . 3x 3 x = 3 3
· − √ · − ·
·−
·
ci redni broj onog ˇ clana razvoja binoma Primjer 1.17 Na´
3
21
√ a + √ ba 3
b
koji sadrˇzi a i b na isti eksponent.
Rjeˇsenje: Op´ci ˇclan razvoja binoma je T k+1 =
= =
k
√ · √ · · · · n n−k k a b = k
21
1
k
21 k
1
a 3 b− 6
a
21−k k −6 3
21
3
k
k
b
3
b
21−k
b2−
21−k
a
1
k
1
b 2 a− 6
21−k 6
=
21
= a
k
21 k
42−3k 6
a
b
a
21−k 3
4k−21 6
= b−
21−k 6
k
·b ·a 2
− k6
=
.
Budu´ci da zahtijevamo da a i b budu na isti eksponent, tada mora biti 42 3k 4k 21 = odakle dobijamo da je k = 9. Dakle, deseti ˇclan razvoja 6 6 binoma sadrˇzi a i b na isti eksponent.
−
−
Primjer 1.18 Na´ci vrijednost x u izrazu
ˇ clan razvoja binoma jednak 200.
√ x
1 log x+1
+
√ x
12
6
ˇ ciji je ˇ cetvrti
Rjeˇsenje: Prvo, odredimo definiciono podruˇcje izraza. Jasno je da mora biti x > 0 i log x + 1 = 0, tj. x = 10−1 pa je
D =
∪ 0, 10
−1
∞
10 , + −1
.
Ako u formulu za op´ci ˇclan razvoja binoma uvrstimo k = 3, dobi´cemo da je ˇcetvrti ˇclan razvoja binoma je T 4 =
=
1 log x+1
3
√ · √ · · 6−3 1 6 6 3 12 x log +1 x = 3 3 1 6 2(log3 +1) 6 2(log3 +1) + 14 x x4 = x 3 3
x
x
x
1 2
1
x 12
3
=
x
pa po uslovu zadatka imamo
6 2(log3 +1) + 14 = 200 x 3 x
3
20x 2(log x
x+1)
+ 14
= 200 = 10.
3 +1 2(log x+1) 4
Logaritmiranjem ovog izraza, dobijamo 3
log x 2(log
x+1)
+ 14
= log 10
tj.
3
= 1
·
= 1
·
= 1
1 + log x 2(log x + 1) 4 6 + log x + 1 log x 4 (log x + 1) 7 + log x log x 4(log x + 1) (7 + log x)log x 7log x + log2 x log2 x + 3 log x 4
−
= 4 (log x + 1) = 4 log x + 4 = 0.
Uvode´ci smjenu log x = t, dobijamo kvadratnu jednaˇcinu t2 + 3t 4 = 0 ˇcija su rjeˇsenja t1 = 4 i t2 = 1. Za t = 4 dobijamo rjeˇsenje x = 0, 001 ,a za t = 1 dobijamo rjeˇsenje x = 10 .
−
−
− ∈ D
cunati ˇ clan razvoja binoma Primjer 1.19 Izraˇ 2
x
√ 5
√ 5
4 x +
√ x
x4 ako je zbir prva tri binomna koeficijenta jednak 56.
Rjeˇsenje: Iz uslova zadatka imamo lentno jednaˇcini n2 + n
−
n
+
n
+
n
3
2
∈ D
n
koji sadrˇ zi
= 56 ˇsto je ekviva0 1 2 110 = 0. Rjeˇsenja posljednje kvadratne jednaˇcine
su n1 = 10 i n2 =
−11 od kojih u obzir dolazi√ samo prvo rjeˇsenje jer je √ x . Op´ci ˇclan razvoja drugo negativno. Binom sada ima oblik 4 x +
binoma je T k+1 =
= = =
10
3
5
2
√ · √ · · · · · n k
10 k
10 k
10 k
10
n−k k
a
b =
4 x
k
1
410−k x 5 410−k x
5
10−k 5
10−k
k
1
2−1 x 3
10
k
30+2k 15
x
k
2
2−k x 3 =
410−k 2−k x
3
10−k
=
=
410−k 2−k x
k
·
10−k k +3 5
=
.
√
4 4 14 30 + 2k 5 Kako je x2 x4 = x 2 x 5 = x 2+ 5 = x 5 , onda je jasno da mora biti = 15 14 odakle je k = 6. Dakle, sedmi ˇclan razvoja binoma ima traˇzenu osobinu. 5
Primjer 1.20 Na´ci za koju vrijednost x u razvoju binoma
√
2 + x
1
√
2x−1
n
zbir tre´ ceg i petog ˇ clana iznosi 135, ako je zbir binomnih koeficijenata tri posljednja ˇ clana jednak 22.
Rjeˇsenje: Binomni koeficijenti tri posljednja ˇclana jednaki su binomnim koeficijentima prva tri ˇclana. Po uslovu zadatka imamo
n
n
−
T 3 =
= =
√
2
√ · √ · 6 2x 2 6 4 22 2 6 1+x 2 2 x
1
6−2
2x−1
2−
x−1
2
2
=
=
6 2x 1−x 2 2 = 2
·
+
n
= 22 0 1 2 ˇsto je ekvivalentno kvadratnoj jednaˇcini n2 + n 42 = 0. Rjeˇsenja posljednje kvadratne jednaˇcine su n1 = 6 i n2 = 7 od kojih u obzir dolazi samo prvo 6 1 rjeˇsenje jer je drugo negativno. Binom sada ima oblik 2x + . 2x−1 Tre´ci ˇclan (k = 2) razvoja binoma je
−
+
√
a peti ˇclan (k = 4) razvoja binoma je T 5 =
= =
4
√ · √ · 6 2x 4 6 2 22 4 6 2−x 2 . 4
1
6−4
=
2x−1
x
2−
4
x−1
2
6 x 2−2x 2 2 = 4
=
·
Sada je, po uslovu zadatka,
= 135
·
= 9
6 1+x 6 2−x 2 + 2 2 4 15 21+x + 15 22−x 21+x + 22−x 4 2 2x + x 2 x 2 x 2 (2 ) 9 2 4
·
·
·
− · −
= 135 = 9
= 0.
Uvedimo smjenu t = 2x , dobijamo kvadratnu jednaˇcinu 2t2
− 9t − 4 = 0
1 1 ˇcija su rjeˇsenja t1 = i t2 = 4. Za t = dobijamo x = 2 2 dobijamo x = 2.
− 1, a za t = 4
cetvrti ˇclan razvoja binoma Primjer 1.21 Odrediti za koju vrijednost x ˇ
√
je dvadeset pet puta ve´ ci od eksponenta binoma ako je binomni koeficijent ˇ cetvrtog ˇclana pet puta ve´ci od binomnog koeficijenta drugog ˇ clana.
Rjeˇsenje: Prema uslovu zadatka imamo
n
n
ˇsto je ekvivalentno 3 1 jednaˇcini n 2 3n 28 = 0. Rjeˇsenja posljednje kvadratne jednaˇcine su n 1 = 7 i n2 = 4 pa u obzir dolazi samo prvo rjeˇsenje a drugo odbacujemo jer je 1 7 ˇ −1 x . Cetvrti ˇ negativno. Binom sada ima oblik izgleda 2 + 3 clan 2x (k = 3) razvoja ovog binoma je
−
− −
√ √ √ √ 3
T 4
= 5
7−3 7 1 = 2x−1 = 3 x 3 2 = 35 22x−2 2−x = 35 2x−2
·
·
·
7 3
2
x−1
2
4
x
2− 3
3
=
Prema uslovu zadatka imamo 35 2 x−2 = 140, tj. 2x−2 = 4 odakle je x = 4.
·
n
√
1 2x−1 + 3 2x
ceg ˇ clana u razvoju binoma Primjer 1.22 Odnos koefcijenata petog i tre´
√ x x−1
je 14:3. Odrediti sedmi ˇ clan razvoja.
Rjeˇsenje: Op´ci ˇclan razvoja binoma je T k+1 =
= = = =
k
√ − √ − − − − − − − − − − − − − − n k
n
an−k bk =
n
xx
k
n
x
k
n
1 2
1
x2
k
n
− 12
x x−1
k
n−k
n−k
5
n−k
x 1
k
x− 2
n−k
2
− k2
k
− 52
cijent petog ˇclana (k = 4) je n
:
n
n k
x
k
n
=
x
k
n
n−k
n
2
5
x2
x
− 52
1 5
=
k
=
.
n
2
( 1)2 =
( 1)4 =
4
k
1
5
k
n−2k
n
( 1)k =
n−k
1 2
n−k
1 2
( 1)k =
k
=
( 1)k x− 2 =
2
( 1)k x
k
x
k
n
=
=
n
=
1
Koeficijent tre´ceg ˇclana (k = 2) je
datka imamo
k
1
5
1
5
x2 x
x2 x 2
( 1)k x
k
n−k
n
4
n
2
. Koefi-
. Po uslovu za-
= 14 : 3 ˇsto je ekvivalentno jednaˇcini n 2 5n 50 =
4 2 0. Rjeˇsenja posljednje kvadratne jednaˇcine su n1 = 5 i n2 = 10. U obzir dolazi samo pozitivno rjeˇsenje pa binom sada izgleda
−
√ x x−1
−
1
5
10
√
.
x2 x
Na osnovu pokazanog, op´ci ˇclan razvoja ovog binoma je
− −
T k+1 =
n k
( 1)k x
n−2k
2
pa ako u ovu formulu uvrstimo da je n = 10 i k = 6, dobi´cemo da je sedmi 10−12 10 10 −1 x . ˇclan razvoja ovog binoma T 7 = ( 1)6 x 2 = 6 6
√ √
Primjer 1.23 Koliko racionalnih ˇclanova sadrˇzi razvoj binoma ( 2+ 3)100 ? 4
−
5
1
√
x2 x
n
Rjeˇsenje: Opˇsti ˇclan razvoja binoma je T k+1 =
n
an−k bk =
k
100
=
k
2
100−k 2
√ 100 k
k
34 =
√
( 1)100−k ( 3)k =
100
4
k
k
250 2− 2 3 4 .
k
Odavdje vidimo da bi ˇclanovi razvoja ovog binoma bili racionalni brojevi, potrebno je i dovoljno da k bude djeljivo sa 4. Budu´ci da je 0 k 100, zakljuˇcujemo da su to brojevi 0, 4, 8, 12, ..., 100 a njih ukupno ima 26.
1.1
Zadaci za samostalan rad
Izraˇcunati: Zadatak 1.1 a) 3!, Zadatak 1.2 a)
b) 5!,
3! , 2!
b)
Zadatak 1.3 a) 5! + 2!, Zadatak 1.4 a) 6!
c) 6!,
5! , 3!
c)
d) 7!.
10! , 6!
d)
20! . 18!
b) 5!
− 3!, c) 2 · 6! − 3 · 2!. b) 2 · 5!+3!+4!, c) 2 · 5! − 3 · 3!+2!.
− 4!+2!,
Uprostiti izraze: Zadatak 1.5 a)
n! , n
Zadatak 1.6 a)
1 n!
U skupu
jednaˇcine:
siti N rijeˇ
b)
(n + 1)! , n (n + 1)
·
− (n +1 1)! ,
Zadatak 1.7 a)
(n + 2)! = 110, n!
Zadatak 1.8 a)
(n + 1)! = 42, (n 1)!
Zadatak 1.9 a)
b)
b)
− 1 n! − (n − 1)! = , (n + 1)!
c)
6
Primjenom binomne formule razviti:
b)
(n 2)! . (n + 1)!
−
(2n + 1)! , (2n 1)!
c)
−
n!
(n
− 5)!
=
2 n!
− (n +3 1)! .
20n! . (n 3)!
−
(n + 1)! = 30. (n 1)!
−
b)
(2n)! 40n! . = (2n 3)! (n 1)!
−
−
2
Zadatak 1.10 a) (a + b) ,
2
b) (2a
3
− b) , c) (a + 3b) . Zadatak 1.11 a) (x + 2 y ) , b) (2x − 1) , c) (2x + 3 y ) . √ √ √ Zadatak 1.12 a) 2 − 2 , b) 2 3 + 3 2 . √ √ √ √ Zadatak 1.13 a) 1 − 2 + 3 , b) 3 3 − 2 − 2 . √ 2 + √ 3 . ci trinaesti ˇ clan u razvoju binoma Zadatak 1.14 Na´ 2
2
2
2
3
3
ci deseti ˇ clan u razvoju binoma Zadatak 1.15 Na´
3
3
14
√ − √ √ √ 1
x
+ x
.
3
ci trinaesti ˇ clan u razvoju binoma x x2 Zadatak 1.16 Na´
Zadatak 1.17 Na´ ci sedmi ˇ clan u razvoju binoma
15
2x
3
x2
Zadatak 1.19 U razvoju binoma
Zadatak 1.20 U razvoju binoma
Zadatak 1.21 U razvoju binoma
2
x
2
x
+
x
.
2
x
15
odrediti koeficijent uz x13 .
15
odrediti koeficijent uz x8 .
Zadatak 1.22 Na´ci ˇ clan koji sadrˇzi x7 u razvoju binoma (x + 2) 7
Zadatak 1.23 Na´ci ˇ clan koji sadrˇzi x u razvoju binoma
Zadatak 1.25 U razvoju binoma
x +
√ 1
3
x
16
.
3
x2
3
x
x2
3
12
.
18
x
.
na´ci ˇ clan koji sadrˇ zi x3 .
clan razvoja binoma Zadatak 1.26 Odrediti onaj ˇ sadrˇzi x.
14
√ − √ √ − √
clan koji sadrˇzi x10 u razvoju binoma Zadatak 1.24 Na´ci ˇ
√
.
odrediti koeficijent uz x7 .
+ 3x 5
12
15
+ 3x
x
.
10
Zadatak 1.18 Odrediti koeficijent uz x8 u razvoju binoma (x + 3)
−
14
2 x
√ − 3
x2
x−1
15
koji ne
√ √ − √ √ √ − √ − − x
Zadatak 1.27 Odrediti onaj ˇ clan razvoja binoma
sadrˇzi x. clan u razvoju binoma Zadatak 1.28 Na´ci ˇ
3
x
50
ci srednji ˇ clan u razvoju binoma 1 + 2 2 Zadatak 1.29 Na´ 3
Zadatak 1.30 Na´ ci srednji ˇ clan u razvoju binoma 3 3
Zadatak 1.35 Na´ ci srednji ˇ clan u razvoju binoma
Zadatak 1.36 Na´ ci srednji ˇ clan u razvoju binoma
Zadatak 1.37 Na´ ci srednji ˇ clan u razvoju binoma
22
1 3x
.
16
. 16
− √ √ √ 2
x
x
.
1 x + x x
20
32
sin x
18
x
+
x
9x
ci redni broj onog ˇ clana razvoja binoma Zadatak 1.40 Na´
3
a
b
√ + √ a b
koji sadrˇzi a i b na isti eksponent.
3
21
.
cos x
√ − √ x)
Zadatak 1.39 Na´ci trinaesti ˇ clan u razvoju binoma
.
1 sin x + cos x
Zadatak 1.38 Odrediti peti ˇclan u razvoju binoma (2x x
binomni koeficijent tre´ ceg ˇclana jednak 105.
.
.
a
3x
40
12
ci srednji ˇ clan u razvoju binoma (x2 + xy ) Zadatak 1.33 Na´ ci srednji ˇ clan u razvoju binoma Zadatak 1.34 Na´
.
2 2
1
a
Zadatak 1.32 Na´ ci srednji ˇ clan u razvoju binoma
koji ne
koji ne sadrˇ zi x.
x
Zadatak 1.31 Na´ ci srednji ˇ clan u razvoju binoma
10
8
3
x
+ x
− 23
3
8
.
− √ 1 3x
.
n
ako je
√
Zadatak 1.41 Na´ci vrijednost x u izrazu ( x) ˇ clan razvoja binoma jednak 200.
1 log x+1
cunati ˇ clan razvoja binoma Zadatak 1.42 Izraˇ
√ 5
√ x
+
√
3
4 x + 5
6
√
12
x
2
ˇ ciji je ˇ cetvrti
n
koji sadrˇzi
x2 x4 ako je zbir prva tri binomna koeficijenta jednak 56.
Zadatak 1.43 Na´ci za koju vrijednost x u razvoju binoma
√
2 + x
1
√
2x−1
n
zbir tre´ ceg i petog ˇ clana iznosi 135, ako je zbir binomnih koeficijenata tri posljednja ˇ clana jednak 22. ci n u izrazu (a+b)n ako se binomni koeficijent jedanaestog Zadatak 1.44 Na´ ˇ clana odnosi prema binomnom koeficijentu devetog ˇ clana kao 7 : 15. ci koeficijent uz x4 u izrazu Zadatak 1.45 Na´
(1 + x)4 + (1 + x)5 +
15
.
100
.
·· · + (1 + x)
Zadatak 1.46 Na´ ci koeficijent uz x3 u izrazu
(1 + x)3 + (1 + x)4 +
·· · + (1 + x)
Zadatak 1.47 Dokazati da je za svaki prirodan broj n broj 2 +
ci zbir svih koeficijenata polinoma Zadatak 1.48 Na´ P (x) = 2x7
Izraˇcunati:
n
Zadatak 1.49 a)
k=0
n
n , k
n
Zadatak 1.50 a)
x3
17
− − ( 1)
k
b)
k
k=0
n k
k=0
−3
2
.
n k
n
,
b)
(2k + 1)
k=0
n k
.
Dokazati jednakosti: Zadatak 1.51
n k
+
n
k
−1
=
n + 1 k
; (n, k
∈ N, k n) .
√ 3
n
neparan.
Zadatak 1.52
− − −− − −− ··· ··· n k
p
Zadatak 1.53
k=0 p
Zadatak 1.54
n p
n k
k k
=
p k
n p
k k
= 2 p
( 1)k
k=0
Zadatak 1.55
Zadatak 1.56
n
1
n
0
p
Zadatak 1.57
k=0
+
+
n
3
n
2
n + k k
n k
+
+
=
n p
n
5
n
4
n ; (n, k p
∈ N, k n) .
n ; (n, k p
∈ N, k n) .
k k
= 0; (n, k
+
= 2n−1 .
+
= 2n−1 .
n + p + 1 p
.
∈ N, k n) .
