Balance por nodos.docx

Ing. Ramiro SIUCE BONIFACIO

UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION

Programa académico de ingeniería Metalúrgica. BALANCE DE MATERIAS EN CIRCLITOS DE FLOTACION COMPLEJOS

(por -R. Siuce)

Para calcular un balance de materia en un circuito complejo de flotación, se requiere un método analítico de generación de "n" ecuaciones lineales con "n" incógnitas. Cualquier flowsheet de planta, puede convertirse a una serie de nodos, donde las corrientes del proceso se juntan o separan. Los nodos simples tienen: o bien una corriente ingresante y dos salientes (separador), o dos corrientes ingresantes y una saliente (unión). Se ha demostrado como veremos mas adelante, que con solo conocer el peso de una corriente de referencia (generalmente el alimento), el número mínimo de corrientes que debe muestrearse, para que se pueda obtener un balance completo del circuito es: N = 2 (F + S) - 1 Donde F = número de corrientes de alimentación S = numero de separadores simples Ejemplo.- Un mineral de cabeza de 5% en Plomo se alimenta a un banco de flotación en donde se produce un concentrado que analiza 45%Pb. El relave que ensaya 0.7% y que alimenta a otro banco de celdas, produce un concentrado pobre de 7%Pb. El relave final ensaya 0.2%Pb. (Ver fig. 1.).

Fig.1.- Flowsheet de nodos simples.

El número de corrientes a muestrarse es: 2 (1 + 2) – 1 1 = 5, es decir, todas las corrientes del circuito deben ser m uestreadas para obtener su balance.

Los separadores que producen más de dos productos, o uniones que se alimenten con mas de dos corrientes, pueden transformarse en nodos simples conectándolos con corrientes que físicamente no existan. Por ejemplo, el banco de flotación mostrado en la fig.2., puede reducirse a la forma de nodos y luego convertirse en nodos simples.


El número mínimo de corrientes que debería muestrearse en este circuito es: 2( 1 + 3 ) – 1 = 7 Y ya que solo podrían muestrearse 5 corrientes, entonces se requerirían dos pesos adicionales para complementar al peso de referencia, que es el alimento. Se puede observar que un nodo que produce cuatro productos, puede transformarse a tres nodos separadores simples; y en general, si un separador produce n productos, podría convertirse a n-1 nodos simples_ Este método involucra el use de una matriz de conexi6n C, donde cada elemento de la matriz es:

Cij

+1 para la corriente j ingresante al nodo i. - 1 para la corriente j saliente del nodo i. 0 para la corriente j que no aparezca en el nodo i.

Al final de este resumen, se adjunta un programa (CON MAT) para formar y analizar la matriz conexión, y los siguientes ejemplos ilustran el uso de este método. Considerar el flowsheet de la figura 3.

Fig.3.


Hay 11 corrientes y 4 nodos. La matriz conexión por lo tanto tiene 11 columnas y 4 filas:

Los contenidos de cada columna representan las corrientes individuales, y al sumárseles deben dar +1, -1 ó 0; cualquier otro resultado indicaría error en los datos de ingreso.

Es decir: Suma de columna =

+1 El flujo es un alimento -1 El flujo es un producto 0 El flujo es una corriente interna

Por lo tanto, la suma de columnas indica que la corriente 1 es un alimento, las corrientes 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11 son productos, y las corrientes 3, 4 y 5 son corrientes internas. Los elementos de cada fila representan los nodos individuales, y si se cuentan la cantidad de "+1" (n p ) y luego la de "-1" (n n ), entonces n p y nn se pueden usar para estimar el numero de nodos simples. Numero de uniones simples Numero de separadores simples

(J) = n p - 1 (S) = nn - 1

Los nodos ahora se pueden clasificar de la siguiente manera:

Hay por lo tanto, sets separadores simples, y ninguna unión; y el mínimo número de corrientes que debe ser muestreado es: 2 ( 1 + 6 ) - 1= 13 Ya que solamente hay 11 flujos disponibles, se requieren dos (flujos de) pesos adicionales para complementar a la corriente de referencia. y calcular el balance. Es importante que cuando se necesiten estos pesos adicionales, ningún subconjunto de medidas de flujo incluya todas las corrientes en un nodo o grupo de nodos. Por eje mplo, las mediciones del peso de las corrientes 6 y 7, darían la información completa para el nodo 2 y por lo tanto no se produciría un balance único. Considerar el circuito de la fig.4, y su circuito reducido a la forma de nodos. Notar que el molino de bolas ha sido ignorado, porque es un nodo anormal, donde no ocurre


separación, y por lo tanto, no hay cambio en los ensayes ni flujo; mas bien considerar que si hay cambios en la distribución por tamaños.

Hay 11 corrientes y seis nodos, los cuales pueden representarse por la siguiente matriz conexión.

La suma de columnas identifica las corrientes 1 y 4 como alimentos, corrientes 9 y 10 como productos, y las otras corrientes como flujos internos.


La clasificación de los nodos es:

De esta manera, el sistema consiste de 3 uniones y 3 separadores simples, y N= 2(2+3)-1 = 9. Por lo tanto, aunque hay once corrientes disponibles, solamente se necesitan muestrear nueve para obtener el balance. Al escoger las nueve corrientes, se deben elegir todos los alimentos y productos, y se debe también hacer uso de la matriz conexión para seleccionar las corrientes remanentes. Si en este ejemplo, la corriente 1 es la corriente de referencia, entonces las corrientes 2 a 11 son de peso desconocido. Por lo tanto, se requieren diez ecuaciones lineales independientes para determinar los pesos de cada corriente, referida a la corriente N° 1. Se puede ejecutar un balance de material en cada nodo, dando seis ecuaciones; y se puede obtener una ecuación adicional del balance general de componentes de los alimentos y productos. Por tanto, se requerirían tres balances de componentes de los nodos del circuito. Es evidente que si las corrientes 3 y 7 no fueran muestreadas, entonces no será posible un balance de componentes en aquellos nodos que incluyen cualquiera de estas corrientes; es decir, nodos 2, 3, 5 y 6. Solamente estarían disponibles dos nodos para el balance de componentes, por lo que habría insuficiencia de ecuaciones independientes . Sin embargo, si no se muestrearan las corrientes 3 y 5 entonces sería posible un balance de componentes en los nodos 1, 5 y 6, y si se produciría un conjunto suficiente de ecuaciones . También es evidente que si se omite solo el muestreo de la corriente 3, entonces se puede producir diez ecuaciones lineales a partir de los seis nodos separados, y el balance general de componentes del alimento y producto estaría demás. Si la data experimental estuviera libre de error, entonces la elección, si existiera, de las nueve corrientes requeridas no tuviera alguna incidencia, porque cada conjunto completo conduciría a un balance idéntico. Ya que el error experimental siempre existe , la selección de las corrientes de flujo requeridas para producir el balance es importante, porque ciertas corrientes pueden incrementar la sensibilidad al error. Por ejemplo, un balance en una unión donde solo ocurre una. pequeñísima separación de componentes, esta propenso a error. El procedimiento indica también que donde sea posible, se debe efectuar mediciones de flujo de masa, ya que esto reduce la sensibilidad al error experimental. Cada medida adicional de flujo de masa, reduce N en uno, condicionado a que como se menciono antes, la localización del punto en donde se mida el flujo, no se escoja de manera , tal que todos los flujos en cualquier nodo sean conocidos. Es decir, los flujos de masa no deberían producir data, que puedan ser calculados a partir de las mediciones de componentes disponibles. A este respecto, una concentradora puede reducirse a un nodo de separación simple, tal que si se conociese el flujo másico del alimento, la medida del flujo de concentrado pace viable el cálculo directo del peso de colas.


Seguidamente se puede definir una matriz de materiales, donde cada elemento en la matriz es

Donde B j representa el flujo de sólidos en peso en la corriente j. Si usamos la matriz conexión del circuito de flotación mostrado como un ejemplo, cada fila en la matriz genera una ecuación lineal que representa un balance de materiales. Por ejemplo, la fila. 2 es:

y la matriz de materiales M 2j en el nodo 2 es:

También se puede definir una matriz de componentes, donde cada elemento de la matriz es:

a j representa el valor del componente (ensaye, % en fracción de tamaño, radio de dilución, etc) en la corriente j, el cual da para el nodo 2:

En cualquier nodo particular, es importante que se use el mismo componente para estimar cada corriente, y se debe escoger el componente de modo que produzca una ecuación con mínima sensibilidad a error. El componente puede seleccionarse por análisis de sensibilidad y con tal que se use el mismo componente en cualquier nodo particular, se podrán usar otros componentes para balancear otros nodos en el circuito. Esto significa que en un balance de un circuito complejo, se puede utilizar el contenido metálico, radios de dilución y análisis de malla, en varias partes del circuito. Combinando M ij y A ij en una matriz produce

Donde s = numero de corrientes, y n = numero de nodos. Si la corriente s es la corriente de referencia (preferiblemente un alimento), y B s =1 entonces B j representa la fracción de la corriente de referencia que reporta a la corriente j. Ya que B s = 1, M 1s = C 1s , y A 1s = C1s a s


Por consiguiente, en forma matricial, el conjunto de ecuaciones lineales lineales debe resolverse es:

Una ecuación adicional puede incluirse en el conjunto. La planta puede representarse como un nodo simple, tal que el peso del componente contenido en el alimento es igual al peso de componente en los productos. Esta ecuación debería usarse en lo posible, porque usualmente hay una muy buena separación de componentes en este nodo. El balance de materiales en este nodo no puede sin embargo ser incluido en al conjunto, porque no es independiente del conjunto de las ecuaciones de balance de materiales en los nodos internos. Ejemplo: El circuito mostrado a continuación, después de su muestreo, dio los siguientes resultados: Corriente 1 2 3 4 5 6 7 8

9

Ensaye, % metal No muestreada 0.51 0.12 16.1 4.2 25.0 No muestreada 2.1

1.5


Confirmar, mediante el uso de la matriz conexión, que se ha obtenido suficiente información para calcular todos los flujos de peso. Y usar la matriz conexión para calcular los flujos. Solución La matriz conexión es:

La matriz confirma la corriente 9 como un alimento, las corrientes 3 y 6 como productos y los remanentes como corrientes internas. El número de separadores simples es igual a tres, de manera que el mínimo número de corrientes a muestrearse es: 2 ( 3 + 1 ) – 1 = 7 Asumiendo la corriente B 9 = 1, la matriz de materiales (a partir de la matriz c onexión) es:

Ya que las corrientes 1 y 7 no fueron muestreadas, los balances de componentes en los nodos que contienen estas corrientes no pueden ser ejecutados. La matriz de componentes (de los nodos 3 y 4) es por lo tanto:

Con el objeto de producir una matriz cuadrada, se requiere una ecuación adicional. Si todo el circuito se le considera como un nodo simple, entonces un balance de componente daría.

De este modo las corrientes muestreadas proveen suficiente información y la matriz que debe resolverse es:


Esta matriz puede resolverse por el método de Gauss para dar: B1 = B2 = B3 = B4 = B5 = B6 = B7 = B8 =

1.14 1.04 0.94 0.09 0.10 0.06 0.14 0.04

El ejemplo ilustra claramente la ventaja de usar la matriz conexión, para obtener el conjunto necesario de ecuaciones lineales para evaluar el circuito. Las siete corrientes muestreadas produjeron la información suficiente para la evaluación. Sin embargo, si las corrientes 2 y 8 no hubieran sido muestreadas, entonces los balances de componentes sobre los nodos 2, 3, 4 y 5 no hubieran sido posibles, porque no se dispondría de suficientes ecuaciones lineales. La matriz conexión es la base para los paquetes computarizados de balance de material que se han producido últimamente.

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