ANUALIDADES AL VENCIMIENTO ¿Qué es una anualidad? Es un compromiso fnanciero el cual hay que honrar “religiosamente” según lo convenido. Todas Todas las ormulas que se presentan al momento de defnir una anualidad enen su origen en el Interés Interés compuesto t
! "#$ % i & . Dos Ejemplos
$.' "réstamos "réstamos que se enen que pagar en iguales a(onos mensualmente ).' *n ahorro que hay que eectuar eectuar en igual candad cada fn de mes. E+emplos pr,ccos en los que se incurre en una anualidad al vencimiento.
"ago de igual letra del carro- mensual durante a/os.
"ago de igual letra de la casa- mensualmente durante $0 a/os.
horrar todos los fnes de mes durante 1 a/os 2$30.
Se llaman anualidades venidas o al venimien!o porque la transacci4n en el periodo se reali5a al fn de
mes si el compromiso es mensual o al fnal de la quincena si el compromiso es quincenal- o al fnal del semestre semestre si el compromiso es semestral semestral etc.
Valo" #u!u"o en una anualidad al venimien!o Son an$dades mone!a"ias espe"adas a #u!u"o a corto- mediano o largo pla5o al momento de reali5ar inversiones o ahorros peri4dicos en intervalos de empo iguales.
= (
+) −
=
=
=
ó =
La api!ali%ai&n' Es un elemento del cual depende todo el mane+o de las varia(les n y la tasa i. Es la or orma ma en en que que el el (anc (anco o o la la ins inst tuc uci4 i4n n
fnan fnanci cier era a paga paga los los Int Inter eres eses es en las cuen cuenta tass de ahor ahorro ro..
6eneralmente 6eneralmente se reali5a al fnal de cada mes.
Ejemplo ( 78u,nto en dinero acumular, al ca(o de 1 a/os si ahor ra todos los meses 9ps 300.00 y la tasa del (anco es de un $$: con capitali5aci4n mensual.
= (
=
+) −
=
= ⎩
ñ;
%
∗
;
=
=.
( +. =
(.
) −
=
21,211.30
=
)−
=
.
78uanto gan4 en Intereses;
=
− 3211.3∗0 = 21,211.30 − 500 ∗ 36 = 21,211.30 − 18,000.00 =
=
,.
.
3,211.30
Tratemos de entender como se asignan los Intereses en estos casos de anualidades al vencimiento.
Ejemplo ) >uponga que usted es un padre previsor al ahorrar desde ya 9ps 3-000 mensualmente para que su único hi+o vaya a la universidad. 78u,nto ha(r, ahorrado al fnal de $) a/os si el (anco le paga una tasa del $1.3: con capitali5aci4n mensual;
= (
=
+) −
=
=
(.
)
=
;
= .
=.
=
*+++,,(-+(()*. /01 (223(. +-+(()*
1,781,152.25
=
, , .
.
78uanto gan4 en Intereses;
=
.%
∗
⎩
= =
ñ;
− 1,061,∗ 152.2=51,781,152.5 − 5000 ∗ 144 = 1,781,152.25 − 720,000.00 =
1,061,152.25
Ejemplo 4 78u,nto hay que depositar mensualmente para que al ca(o de ? a/os y medio acumulemos 9ps @?-000.00 entre aportaciones e Intereses en una cuenta que nos paga 0.@A: mensual con capitali5aci4n mensual;
= ( )∗ (
+)
−
= (
)∗
,. .
=
=.
ó
= (
+
)
−
= ⎩
= (67,000) ∗ (0.0069) ÷ ((1 + 0. 0069) 539.55
− 1) = 462.3 ÷ 0.856823727 =539.55
=
Ejemplo 2 78u,nto ahorra Bario mensualmente durante $0 a/os si piensa comprar una casa valorada en
[email protected] al contado y le aplican una tasa del $.3: (imestral con capitali5aci4n mensual por sus ahorros;
⎧ = .
⎪
( )∗
=
,. =.
⎨=
(+)−
ó
⎩ == (16, $ 82.000) 68 ∗ (0.0075) ÷ ((1 + 0. 0075) ⎪
− 1) = 120 ÷ 1.451357078 = $ 82.68
=
Ejemplo * llan ahorra durante a/os ? meses 9ps $-000 mensuales en CC(anD que le pag4 una tasa .3: con capitali5aci4n mensual- luego- se da cuenta que FF(anD le paga A.$:anual con capitali5aci4n mensual y decide transerir todo lo ahorrado mas los Intereses en CC(anD y seguir ahorrando la misma candad con FF(anD durante $? meses m,s. 78u,nto acumula al fnal del periodo entre aportaciones he Intereses; ahorro en CC(anD durante a/os ? meses
Caso (
= (
=
+) −
ñ
;
∗ +=
.
=
=.
%
;
=.
⎩
= 1000 =
66,965.50
1 + 0.0070833)55 − 1
÷ 0.0070833
= 1000(1.0070833 55 − 1) ÷ 0.0070833
Caso )
Transfera a FF(anD los 9ps @@
[email protected] durante $? meses al A.$: anual
== (1+ ) =
66,965.50
=
9.$ 12
= (1 + ) = = 17
= 0.0075833
100
= 66965.50(1 + 0.0075833) ⎩
= 66965.50(1.0075833)
=
76,142.55
horra en FF(anD 9ps $000 durante $? meses
Caso 4
= (
=
+) −
; .
=
=.%
;
=.
⎩
= 1000 =
= 1000(1.0075833 17 − 1) ÷ 0.0075833
(1 + 0.0075833)17 −1) ÷ 0.0075833
18,071.49
"or los resultados o(tenidos veremos que el v acumulado se resume en la suma de tanto- el valor acumulado entre ahorros e Intereses es G 76,142.55 + 18,071.49 = =
94,214.04.
,
por
94,214.04
7"or qué no considerar el en la suma; 9a respuesta es simple- en el valor uturo ) ya se ha tomado en cuenta al aplicarle al v$ la tasa que aplica el FF(anD. 7Hé acuerdo;
Valo" p"esen!e en una anualidad al venimien!o Son omp"omisos 5nanie"os ad6ui"idos a o"!o7 mediano o la"8o pla%o- A6u9 nos o""esponde "eali%a" pagos o reci(ir dinero en intervalos de empo iguales.
= = M = ("#)()
−(
M"# ="o!= Mo!o &' '*o&o
="!&& &''*o&o "!&o
=
+)
=
=
ó
- = -!'*''
- = M − M = Mo!o
= o* *''!'
:a"a !ene" p"esen!e siemp"e Cuando omp"amos7 /a sea asa7 !e""eno7 ve;9ulo7 "eama"as7 e! 7 al "édi!o7 5"mamos on!"a!os de omp"a ven!a o le!"as de am
a;9 el nom<"e de valo" p"esen!e 7 al8o as9 omo' el
omp"omiso ad6ui"ido en es!e momen!oEn los casos de planes de rero en donde se reci(e una +u(ilaci4n mensual o en herencias cuyo (enefcio se reci(e en periodos iguales de empo- estos casos tam(ién enen que ver con valores presentes.
Ejemplo > 7"or cuanto frmamos el pagaré al comprar un veh=culo si pagamos 200.00 mensuales- durante meses y nos aplicaron una tasa del 1): con capitali5aci4n mensual;
−(
+)
⎧
=
⎪
=
⎨
=
=
=.
⎪
⎩
=
)
(. .
=
=(( − .
÷.
,32..
) = $ ,.
= $10,752.07 78u,l es el monto del veh=culo; B ! 00 !2 $A-)00 78u,nto pagaremos en Intereses; I ! B ' vpJ
I ! $A-)00 ' $0-?3).0?J I ! 2 -?.A1
Intereses ! 2 -?.A1 En es!e aso el vp viene siendo el valo" de on!ado del ve;9ulo-
Ejemplo @ planes de rero >i en este momento decidiera renunciar a mi tra(a+o y perci(ir una pensi4n mensual de 9ps $-000 durante los pr4Kimos )0 a/os con el (enefcio de una tasa del $.3: mensual y con capitali5aci4n mensual. 7 cu,nto de(e ascender en este momento mi ondo de pensi4n;
= =
−(
+)
,
=
ñ =. / =
;∗= =.
=
( . )
=
(( − .
,)2+.. ÷ .)
,,.
.
=
,
,
.
Esto implica que en mis cuentas de pensionamiento de(er=a ha(er acumulado la candad de 9ps $-$@@-1)1.$ para reci(ir una pensi4n mensual de 9ps $-000 durante )0 a/os Ejemplo l momento de redactar el testamento el padre esta(lece que el hi+o al momento de su muerte de(er, reci(ir una pensi4n mensual durante )3 a/os. >i la candad heredada es de 21-300-000 78u,nto de(er, reci(ir mensualmente si le pagan una tasa 0.: (imestral con capitali5aci4n mensual;
= 3,500,000 ( )∗
= 1
0.8
=
− (1 + )
2
= 0.004
100 = 25
⎩
ñ ; 25 ∗1 2= 300
(3,500,000) ∗ 0.004
14,000
=
= 1
− (1 +0.004)
El chico de(er, reci(ir mensualmente la modesta sumaG2
20,054.89
= 14000 ÷ (1 − 1.004 −300) = $20,054.89
1 − 1.004 (−300)
durante )3 a/os.
Ejemplo >uponga que frm4 un contrato de compra de una casa valorada en 9ps )-3?-)10.00 para pagar en $0 a/os a una tasa de $$.3: con capitali5aci4n mensual- li(re de seguros y otros grav,menes- 78u,nto pagar, mensualmente durante los $0 a/os;
= 2,578,230
= 1
11.5
() ∗
=
− (1 + )
=0.0095833
100 ⎩
= (2,578,230) ∗ 0.0095833 24707.95 ÷ (1 − 1.0095833 −120) = 36,248.67 1
12
= 10 ñ ; 10∗ 12 =120
24,707.95
=
1 − 1.0095833 (−120)
− (1 +0.0 095833 )
=
36,248.67
9a candad mensual a pagar durante )0 a/os es de 9ps 1@-).@ ?. 9e recomiendo que me+or construya su casaLLL >eguro que se ahorra mucha plata.LLL
Heterminaci4n de “n” en am(os pos de anualidades ∗ =
+1
(1 + )
∗
− 1− = )
(1 +
Ejemplo (+ 78u,ntos meses se requiere ahorrar 9ps ?3)0.00 para acumular una capital de 9ps )?-$)0.00 en una cuenta que paga A: con capitali5aci4n mensual; ∗
+ 1= 278,120.009
=
12
=
(1 +)
= 7520.00
⎩
278120 ∗ 0.0075
= 0.0075
100
+1
0.27738032 + 1
7520
=
=
1.27738032 =
(1 +0.0075)
(1.0075)
(1.0075)
1.27738032 ÷ (1.0075) = 32.76
32 + 0.76 ∗ 30 = 32
22
E+emplo $$ 78u,ntos pagos se requieren para saldar una deuda de 9ps ?3-000 si cada quincena a(onamos 9ps $-)?3 y le aplican una tasa quincenal de 0.3: con capitali5aci4n quincenal;
−
= 75000
∗
1−
= 1275
= )
(1 +
=
0.5
= 0.005
100
−
75000 ∗ 0.005
1−
1275
=
−
1−
1275
=
(1 + 0.005)
−
0.705882 ÷ (1.005)
375
− 0.705882 =
(1.005)
ó
(1.005)
70 =
ó 70
Beo"da!o"io Impo"!ansimo La #&"mula del valo" #u!u"o ,v#. la u$li%amos uando a;o""amos candades iguales en periodos igualesrecordemos tam(ién que esta 4rmula ene su origen en el interés compuesto
= (
+) −
=
=
=
ó =
La #o"mula del valo" p"esen!e ,vp. la u$li%amos uando pa8amos candades iguales #cuotas niveladas& en periodos iguales- recordemos tam(ién que esta ormula ene su origen en el interés compuesto
= =
−(
=
+)
=
ó =
EEBCICIOS $& En el momento de nacer su hi+a- un se/or deposit4 2$-300 en una cuenta que a(ona el :J dicha candad la consigna cada cumplea/os. l cumplir $) a/os- aumento sus consignaciones a 21-000. 8alcular la suma que tendr, a disposici4n de ella a los $ a/os. )& *na persona deposita 2$00 al fnal de cada mes en una cuenta que a(ona el @: de interéscapitali5a(le mensualmente. 8alcular su saldo en la cuenta- al ca(o de )0 a/os. 1& >i nos heredan 9ps )-000-000 y los consignan en una cuenta para que nos entreguen mensualmente 9ps )3-000.00 con una tasa del $$: anual con capitali5aci4n mensual. 78u,nto empo nos durar, la plata; & Memos comprado una maquinaria que tendremos que reponer dentro de a/os por asuntos de depreciaci4n a un costo de 2?3-000.00- 78u,nto de(emos ahorrar mensualmente si nos pagan una tasa del .3: (imestral con capitali5aci4n mensual; 3& 8ompramos un carro en 2)0-000.00 al crédito pagando un interés del )).3: con capitali5aci4n mensual a un pla5o de 3 y medio a/os. 7 cuanto asciende nuestra cuota mensual; @& Memos decidido renovar nuestro hogar al comprar reri- comedor y sala nuevas- al créditopagando una prima del )0: so(re el valor de contado que asciende a 9ps 3?-000.00 y nos aplican una tasa del ).): mensual con capitali5aci4n mensual durante ) meses. 78u,nto a(onamos mensualmente; ?& >i pagamos mensualmente 9ps $0-000.00 en a(onos por la compra de un tractor durante @ a/os en un contrato que nos aplica el $: en intereses con capitali5aci4n mensual. 78u,nto vale de contado el tractor si pagamos el $0: de prima; & 78u,nto dinero de(o ahorrar mensualmente para que dentro de 10 meses pueda acumular 9ps 0-000.00 y cumplir mis sue/os de visitar Hisneyland. >i el (anco donde ahorro mensualmente me pagar, una tasa de 1: trimestral con capitali5aci4n mensual; A& *na persona ahorra durante 1 a/os 1 meses 9ps $-300.00 en un plan de ahorro que paga el 0.3: mensual con capitali5aci4n mensual- luego- durante 3 a/os m,s- aumenta sus ahorros en 9ps ?00 a la misma tasa. 78u,nto es el monto de lo ahorrado al fnal del periodo; $0& 8alcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condicionesG 2)0-000 de contadoJ 2$-000 por mensualidades vencidas durante ) a/os y @ meses y un úlmo pago de 2)-300 un mes después de pagada la úlma mensualidad. "ara el c,lculo- uli5ar el A: con capitali5aci4n mensual.
$$& 78u,l es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente planG 2$-000 de cuota inicialJ 2$-@00 mensual durante ) a/os @ meses con un úlmo pago de 2)-300- si se carga el $): con capitali5aci4n mensual; $)& *na mina en eKplotaci4n ene una producci4n anual de 2-000-000 y se esma que se agotar, en $0 a/os. Mallar el valor presente de la producci4n- si el rendimiento del dinero es del :. $1&
Ingenier=a Beca tr4nica y ha esmado que necesita 3 a/os para ahorrar [email protected]. 78u,nto de(e depositar mensualmente en una cuenta que le paga el $0: con capitali5aci4n mensual para lograr su o(+evo; $3& 78u,ntos dep4sitos mensuales hay que reali5ar si ahorramos 9ps 300.00 y de(emos acumular 9ps$?1-000.00 en una cuenta que nos paga el $.3: mensual con capitali5aci4n mensual; $@& 8arlos deposita mensualmente durante ) a/os 9ps $000.00 en el (anco Nuturista que le paga una tasa de $$.3:. 9uego se da cuenta que el (anco Infnitum le me+ora la tasa al $1: y decide trasladar todos sus ahorros y seguir depositando los 9ps $-000 durante )1 meses m,s. 78u,nto es el valor uturo que reci(ir, 8arlos al completar su periodo de ahorro; $?& >i usted reali5a a(onos mensuales de 9ps ?-300.)$ por el pago de su casa que la adquiri4 al crédito a $) a/os pla5o con capitali5aci4n mensual y a una tasa del $$.3: con ondos del <". 7"or cu,nto frm4 el contrato de compra; $& Oyron compra un carro del a/o al crédito por un vp! 2)$-000 F da una prima correspondiente al )0: del valor de contado 78u,nto de(er, pagar mensualmente durante meses si le aplican una tasa del ): y adem,s- a cada a(ono le agregan 230.00 en seguros; $A& 78u,ntos dep4sitos quincenales de 9ps $-300.00 hay que reali5ar para acumular 9ps$00-000.00 en una cuenta que nos paga el $.3: mensual con capitali5aci4n quincenal; )0& 78u,ntos pagos mensuales de 9ps $130.00 hay que reali5ar para honrar una deuda de 9ps 3-000.00 si el fnanciamiento lo conseguimos al 11: amor5ado mensualmente de orma compuesta.
