1 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN Ejemplo.Se hará el análisis sísmico modal de un tanque elevado sobre una estructura reticular articulada, ubicada en la zona II del D.F., las dimensiones de la estructura y del tanque se dan en la figura No. 24. Esta construcción pertenece al grupo “B” con estructuración tipo I. Se omiten los cálculos de cargas, así como el dimensionamiento de la armadura que soporta al tanque.
Planta de la estructura metálica de soporte
Figura No. 24
Tanque para almacenamiento de agua. Base
2.00x2.00 m. Acotación en metros. Peso y masas: Peso de la
estructura
4500
4500 ton − seg 2 Masa = = 0.4587 981 m
Peso del tanque
6208 kgs.
Peso del líquido
6195 kgs.
ton − seg 2 m ton − seg 2 Masa = 0.6315 m Masa = 0.6328
kgs.
2 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN Al idealizar la estructura y el fluido en función de las masas equivalentes, se necesitan también las rigideces: Calculo de la rigidez de la estructura de soporte. Se calculara la rigidez de una armadura plana, forma aproximada, empleándose el método de la carga virtual unitaria para obtener el desplazamiento en la parte superior de la armadura debido a una fuerza P. d = ∑i =1 N i ni n
Li E i Ai
Donde: d : Desplazamiento en el extremo libre de la armadura. N i : Fuerzas axiales en las barras debido a la carga P. ni : Fuerzas axiales en las barras debido a la carga Virtual Unitaria. Li : Longitudes de las barras Ai : Áreas de las secciones transversales de las barras. E i : Modulo de elasticidad de los materiales. En la tabla I se anotan las áreas de los perfiles laminados y las longitudes de las barras, respetando la numeración asignada en la figura No. 24. Calculo de las reacciones verticales en los apoyos de la estructura debido a la fuerza P. M A = 17 P − 6 RVB = 0
RVB = RVA = 2.8333
Para analizar esta armadura y obtener las fuerzas axiales N i se pueden usar métodos gráficos, analíticos manuales o emplear algún programa de computadora. Los valores de las fuerzas axiales, para esta estructura isostatica, están anotadas en la cuarta columna de la tabla I, y en la quinta columna se encuentran los valores debidos a la carga unitaria (P=1). En la figura No. 25 se ilustran las fuerzas axiales de las barras (tensión o compresión) sobre el esquema de la estructura. Con líneas punteadas se muestran las fuerzas equivalentes empleadas para analizar la estructura. Se sugiere tomar algunos nodos (i, j, g, etc.) y comprobar el equilibrio. En la tabla I se efectúan las operaciones y al sumar los valores de la última columna se obtiene el valor del desplazamiento en función de P.
3 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN d = ∑i =1 N i ni 16
Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Li cm . 200 403 472 403 300 403 531 403 400 403 602 403 500 403 680 403
Li = 0.41021635 P Ei Ai
Ai cm ². 20.40 48.00 2.85 48.00 20.40 48.00 2.85 48.00 20.40 48.00 2.85 48.00 20.40 48.00 2.85 48.00
tons. 0.9375 -0.5039 -1.3754 1.6789 0.5837 -1.6789 -0.7763 2.267 0.4358 -2.267 -0.5269 2.6196 0.3491 -2.6196 -0.3963 2.855
tons. 0.9375 -0.5039 -1.3754 1.6789 0.5837 -1.6789 -0.7763 2.267 0.4358 -2.267 -0.5269 2.6196 0.3491 -2.6196 -0.3963 2.855
175.78125 102.3278296 892.8942755 1135.9382 102.211707 1135.9382 320.0027374 2071.133467 75.968656 2071.133467 167.1294132 2765.508576 60.935405 2765.508576 106.7965092 3284.863075
42840 100800 5985 100800 42840 100800 5985 100800 42840 100800 5985 100800 42840 100800 5985 100800 Sum a=
0.004103204 0.001015157 0.149188684 0.011269228 0.002385894 0.011269228 0.053467458 0.020546959 0.001773311 0.020546959 0.027924714 0.027435601 0.001422395 0.027435601 0.017844028 0.032587927 0.41021635
P P P P P P P P P P P P P P P P
4 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN
Por definición: P = k (rigidez )
Si d = 1
k1 = 2.8621ton
cm (Plana)
Rigidez de la armadura:
k = 5.7242 ton
cm
Valor correspondiente al primer resorte del modelo.
Calculo de masas equivalentes.
5 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN En escritos de diversos investigadores sobre el comportamiento dinámico de líquidos en vasos de almacenamientos, se han presentado resultados de diferentes estudios. Para nuestro problema, en el capitulo 6 del libro de N. M. Newmark y E. Rosenblueth (ver bibliografía), en la sección “vibración de los líquidos en tanques” se dan expresiones para calcular las masas equivalentes profundidades y rigidez del liquido. Se ha encontrado que en las presiones de los tanques tiene importancia el oleaje y se puede despreciar la compresibilidad del agua. Para un tanque rígido completamente lleno que esta cubierto con una tapa rígida, la masa total del liquido se mueve con el tanque como si se tratase de una masa rígida no obstante, cuando se tiene un espacio pequeño entre la superficie del liquido en las paredes y el fondo serán prácticamente iguales a las que se producirían con superficie libre. Se recomienda estudiar las condiciones del tanque, totalmente lleno y con superficie libre. Se demuestra que el liquido puede sustituirse por masas unidas al tanque mediante resortes lineales y elementos rígidos, para calcular las fuerzas horizontales que representan la acción resultante de los empujes hidrodinámicos. El reglamento de construcciones, en el art. 245 dice “ Para tanques rectangulares que miden 2 L en la dirección del movimiento, los parámetros que definen a la estructura equivalente se obtienen con las siguientes expresiones:
M0 =
M1 =
1.7 L H M 1.7 L H
Tanh
1.6 H L M 1.6 H L
0.83Tanh
M H 0 = 0.83H 1 + α − 1 M0 2 M L L H 1 = H 1 − 0.833 + 0.63β M1 H H
3 gM 12 H k= ML2
ML 0.28 M H 1
2 − 1
6 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN En donde:
M : Masa del líquido contenida en el tanque. M 0 : Masa del líquido considerada unida rígidamente al tanque. M 1 : Masa del líquido unida por medio de resortes. H : Profundidad de reposo del líquido contenido. H 0 : Elevación de la masa desde el fondo. H 1 : Elevación de la masa desde el fondo. k : Rigidez de los resortes para la masa. L : Dimensión de la base del tanque en la dirección del movimiento. g : Constante de gravedad. α = 1.33
β = 2.00
Si se considera en los cálculos momentos hidrodinámicos del fondo del tanque.
α = 0.00
β =1.00
Si solamente importan los efectos de presiones hidrodinámicas en las paredes del recipiente. Substituyendo valores: ton − seg Para α = 0.00 ; β =1.00 ; H = 2.00m. ; L = 1.00m. y M = 0.6315
2
m
M0 =
M1 =
1.7 L 2 2.0 M = 0.813M = 0.5134 ton − seg 1.7 L m 2.0
Tanh
1.6 x 2.0 2 1.0 M = 0.2585M = 0.1632 ton − seg 1.6 x 2.0 m 1.0
0.83Tanh
H 0 = 0.38 x 2.0 = 0.76m. 2 M 1.0 1.0 H 1 = 2.0 1 −0.33 + 0.63 x1.0 0.2585M 2.0 2.0
k =
3 x9.81(0.2585) 2 M 2 x 2 M (1.0) 2
2 M 0.28 −1 =1.499m. 0.2585Mx 2
= 3.93315M = 2.4837 ton
Masa considerada de la estructura: M = 0.229
m.
ton − seg 2 m
7 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN Calculo de los modos de Vibración. Se procederá a calcular los modos de Vibración, las frecuencias y los periodos. Usando el procedimiento que se expuso en el capitulo V. Idealización de la estructura para el análisis dinámico: m0'
m1
K
k
Matriz de rigideces: 5.74905 k = − 0.024837 0.013752 m = 0.0000 k −ω2 m =
− 0.024837 0.024837 0.0000 0.001632
5.74905 − 0.013752ω2 − 0.024837
− 0.024837 =0 0.024837 − 0.001632ω2
Efectuando operaciones.
(ω )
2 2
( )
− 433.27048 ω2 + 6334.73919 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática, encontramos las frecuencias de vibración:
ω12 = 15.1505
ω12 = 3.892 rad seg
ω 22 = 418.1199
ω 22 = 40.447 rad seg
Periodos de Vibración: T1 =
T2 =
2Π
ω1 2Π
ω2
= 1.614 seg.
= 0.307 seg.
8 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN
A continuación se empleara esta ultima expresión “ U ir ”, pero antes obtendremos las ordenadas del espectro de aceleraciones de diseño para la zona IIIa. Esto es: ZO NA
c
ao
Ta1
Tb1
r
IIIa
0.40
0.10
0.53
1.8
2.0
9 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN a = a 0 + (c − a 0 )
a = c; a = qc;
Primer modo
T ; Ta
si T < Ta si Ta ≤ T ≤ Tb si T > Tb
T1 = 0.671seg entonces utilizamos: a = c;
Sustituyendo valores, tenemos: a = 0.40
Este valor se puede obtener de la grafica de espectros de aceleraciones, pagina 4. Segundo modo
T2 = 0.245seg .
a =0.239
Tercer modo
T3 = 0.163seg.
a =0.192
Cuarto modo
T4 = 0.137 seg .
a =0.178
Calculo de los coeficientes de participación “ C r ”. c1 =
(0.408 x1.00) + (0.408 x 2.016) + (0.408 x 2.888) + (0.306 x3.29) = 0.3889 (0.408 x1.00 2 ) + (0.408 x 2.016 2 ) + (0.408 x 2.888 2 ) + (0.306 x3.29 2 )
(0.408 x1.00) + (0.408 x1.1219) + (0.408 x − 0.1022) + (0.306 x −1.2017) = 0.3321 (0.408 x1.00 2 ) + (0.408 x1.1219 2 ) + (0.408 x − 0.1022 2 ) + (0.306 x −1.2017 2 ) (0.408 x1.00) + (0.408 x − 0.1835) + (0.408 x −1.0753) + (0.306 x −1.0033) c3 = = 0.1674 (0.408 x1.00 2 ) + (0.408 x − 0.1835 2 ) + (0.408 x −1.07532 ) + (0.306 x −1.00332 ) (0.408 x1.00) + (0.408 x −1.159) + (0.408 x0.828) + (0.306 x − 0.427) c4 = = 0.1101 (0.408 x1.00 2 ) + (0.408 x −1.159 2 ) + (0.408 x0.828 2 ) + (0.306 x − 0.427 2 ) c2 =
Dividiendo cada coeficiente entre su frecuencia al cuadrado correspondiente y llamándole I r , obtenemos los siguientes valores:
10 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN I 1 = 0.004428 I 2 = 0.0005047 I 3 = 0.0001124
I 4 = 0.00005214
Ahora ya podemos substituir simplemente las cantidades anteriores: U 11 = (0.337)(981)(0.004428)(1.00) = 1.46201cm.
11 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN ω
Uir
ar
g
Ir=Cr/ω²r
vir
x max
9.37
U11
0.337
981
0.004427
1
1.46201
9.37
U21
0.337
981
0.004427
2.016106 2.94757
9.37
U31
0.337
981
0.004427
2.888769 4.22342
9.37
U41
0.337
981
0.004427
3.291188 4.81176
25.65
U12
0.186
981
0.0005071
25.65
U22
0.186
981
0.0005071 1.121932 0.10405
25.65
U32
0.186
981
0.0005071
-0.1022 -0.00948
25.65
U42
0.186
981
0.0005071
-1.2017 -0.11145
38.59
U13
0.157
981
0.0001122
38.59
U23
0.157
981
0.0001122
-0.18176 -0.00315
38.59
U33
0.157
981
0.0001122
-1.07668 -0.01866
38.59
U34
0.157
981
0.0001122 1.000321 0.01734
45.95
U14
0.148
981
0.00005335
45.95
U24
0.148
981
0.00005335 -1.15706 -0.00898
45.95
U34
0.148
981
0.00005335 0.821138 0.00637
45.95
U44
0.148
981
0.00005335 -0.41369 -0.00321
1
1
1
0.09275
0.01733
0.00776
Veamos la influencia que tienen los modos en su participación, indicándolo en porcentajes:
∑I
r
= I1 + I 2 + I 3 + I 4 = 10 −5 (442.7 + 50.71 +11.22 + 5.33) = 509.96 x10 −5
Para el primer modo: i1 =
442.70 x100 = 86.85% 509.96
Para los modos superiores: i2 = 9.9% i3 = 2.2% i 4 = 1.05%
Como puede observarse la influencia mayor es la del primer modo, por lo cual deberán tomar en cuenta los primeros modos, dependiendo del número de niveles del edificio.
12 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN
Calculo de las fuerzas cortantes sísmicas. Las fuerzas cortantes sísmicas en cada entrepiso, para cualquier modo, pueden obtenerse como el producto de la rigidez del entrepiso por el desplazamiento relativo de dicho entrepiso. r11 r21 r31 r41
= (
1.46201 +0.0000 )
300
= 438.604 ton
= (
2.94757 -1.4620
)
260
= 386.246 ton
= (
4.22342 -2.9476
)
220
= 280.686 ton
= (
4.81176 -4.2234
)
220
= 129.435 ton
r12 r22 r32 r42
= (
0.09275 +0.0000 )
300
= 27.824 ton
= (
0.10405 -0.0927
)
260
=
= ( -0.00948 -0.1041
)
220
= -24.977 ton
= ( -0.11145 +0.0095 )
220
= -22.434 ton
r13 r23 r33 r34
= (
)
300
=
5.200
ton
)
260
=
-5.326
ton
= ( -0.01866 +0.0032 )
220
=
-3.413
ton
= (
0.01734 +0.0187 )
220
=
7.921
ton
r14 r24 r34
= (
0.00776 0.0000
)
300
=
2.328
ton
)
260
=
-4.352
ton
0.00637 +0.0000 )
220
=
3.377
ton
r44
= ( -0.00321 -0.0064
220
=
-2.108
ton
0.01733 0.0000
= ( -0.00315 -0.0173
= ( -0.00898 -0.0078 = (
)
2.940
ton
Para evaluar las fuerzas sísmicas, es necesario considerar la reducción por ductilidad, que al respecto se ha establecido. Q ' =Q;
T Q' = 1 + T a
Si se desconoce T, o si T ≥ Ta ( Q −1);
Si T< Ta
Para este problema tomamos Q=3, que depende del tipo de estructura, de los materiales a usar y de algunos detalles de diseño y construcción. Como el periodo fundamental es menor que T1, tenemos: T1 = 0.671seg > Ta Q ' =3
13 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN Este factor, es el divisor de las ordenadas de los espectros de aceleraciones de diseño, lo consideramos hasta este punto porque en el reglamento se establece; que los desplazamientos no deben dividirse entre dicho factor. Desde luego, estas disposiciones se basan en investigaciones.
Las respuestas modales, se combinan de acuerdo a la expresión dada: Vi =
( )
1 2 ri Q'
1
2
Sustituyendo valores: 1 ( 438.604) 2 + ( 27.824) 2 + ( 5.20) 2 + ( 2.328) 2 = 174.15ton. 3 V2 = 153.02ton. V3 =111.70ton.
V1 =
V4 = 52.26ton.
Ya se ha mencionado la gran participación del modo fundamental, no obstante, en el reglamento se considera que deberán tomarse cuando menos tres modos de vibración. Se considera conveniente hacer las siguientes observaciones: la expresión anterior para combinar efectos modales es válida para casos en donde los periodos de vibración están claramente diferenciados unos de otros. En caso contrario deberá aplicarse otra expresión, presentada por el Dr. E. Rosenblueth en el trabajo “sobre la respuesta sísmica de estructuras de comportamiento lineal” (1968). También se hace la siguiente aclaración respecto a la superposición modal, en donde se pide que las respuestas modales (fuerzas cortantes, deformaciones, momentos de volteo, etc.) se combinen de acuerdo a la expresión ya mencionada; si se superponen directamente los desplazamientos relativos y a partir de los nuevos desplazamientos se obtienen las fuerzas cortantes sísmicas, estos valores difieren de los valores obtenidos como se hizo en este ejemplo por lo que se recomienda se haga en esta forma. El problema anterior se debe a que el criterio de combinación no es una transformación lineal entre las contribuciones modales.
14 TANQUE ELEVADO INTRODUCCIÓN Para edificios muy esbeltos con determinadas características, pueden tener en los niveles superiores considerable influencia alguno de los modos superiores.
