ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA
I.
INTRODUCCION
Las informaciones de los diferentes eventos hidrológicos no dependen de leyes físicas, químicas conocidas, sino está regida por las probabilidades, que es importante en la planeación y diseño diseño de proyectos proyectos que tienes relación relación con el agua. agua. En el caso del caudal de un rio tiene variaciones diarias, anuales y no pueden predecirse exactamente cuál será su valor en un tiempo cualquiera. or e!emplo, si se quiere diseñar un puente, el estudio hidrológico determinara la creciente del rio con una probabilidad critica "la cual busca determinar el caso más crítico#, la cual representa un riego para dicha construcción. Esto datos solo pueden determ determina inarse rse a trav$s trav$s del anális análisis is de probab probabilid ilidad ad y estad estadíst ístico ico basado basado en regist registros ros hidrológicos pasados del rio. %abe resaltar que los sistemas hidrológicos "ríos, "r íos, lagunas, nevados, etc.# son afectados en ocasio ocasiones nes por evento eventoss extrem extremos, os, tales tales como como torment tormentas, as, precip precipita itacio ciones nes,, crecid crecidas as y sequias. La magnitud del evento esta inversamente relacionada con su frecuencia de ocur ocurre renc ncia ia,, es deci decirr que que los los even evento toss extr extrem emos os ocur ocurre renn con con meno menoss frec frecue uenc ncia ia en comparación con los eventos moderados. El análisis de frecuencia de la información hidrológica busca relacionar la magnitud de los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia, mediante el uso de funciones de distribución de probabilidad.
II. II.
MARCO ARCO TEO EORI RICO CO
&'(L)*)* +E -E%E'%)& El análisis de frecuencia es una herramienta utili/ada para, predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de inter$s, a partir de la información histórica de caudales. Es un m$todo basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del caudal asociado a un periodo de retorno. *u confiablidad depende de la calidad de la serie histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. seleccionada. %uando se pretende usar extrapolaciones, extrapolaciones, el periodo de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error relativo asociado a la dist distri ribu buci ción ón de prob probab abil ilid idad ades es util utili/ i/ad adaa es más más impo import rtan ante te,, mien mientr tras as que que en interpolaciones la incertidumbre está asociada principalmente a la calidad de datos a modelar0 en ambos casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datos (Ashkarr, et al. 1994). 1994). La extrap dispon disponible ibless (Ashka extrapola olació ciónn de frecue frecuenci nciaa extrem extremas as en una distribución empírica de crecientes es extremadamente riesgosa (Garcon, 1994). ara ara dete determ rmin inar ar la magn magnit itud ud de even evento toss extr extrem emos os cuan cuando do la dist distri ribu buci ción ón de probabilidades no es una función fácilmente invertible invertible se requiere conocer conocer la variación de la variable respecto a la media. %ho1 en 2342 propuso propuso determinar esta variación variación a partir de un factor de frecuencia 5 6 que puede ser expresado7
y se puede estimar a partir de los datos
ara una distribución dada, puede determinarse una relación entre 5 y el período de retorno 6r. Esta relación puede expresarse en t$rminos matemáticos o por medio del uso de una tabla. El análisis de frecuencia consiste en determinar los parámetros de las distribuciones de probabilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un período de retorno dado. & continuación, se describen las principales distribuciones de probabilidad utili/adas en hidrología, la forma de estimar sus parámetros, el factor de frecuencia y los límites de confian/a. Estos 8ltimos son indicadores de que tanta incertidumbre se tiene con las extrapolaciones, puesto que determinar el rango de valores donde realmente estaría las variables, si el rango es muy grande la incertidumbre es muy alta y si es pequeño, por el contrario, habrá mucha confian/a en el valor estimado. +)*6-)9%):'E* +E -:9&9)L)+&+ &-& ;&-)&9LE* %:'6)'&* 2. +)*6-)9%):' ':-<&L La distribución normal es una distribución sim$trica en forma de campana, tambi$n conocida como %ampana de =auss. &unque muchas veces no se a!usta a los datos hidrológicos tiene amplia aplicación por e!emplo a los datos transformados que siguen la distribución normal. •
unción de densidad7 La función de densidad está dada por7
Los dos parámetros de la distribución son la media m y desviación estándar s para los cuales "media# y s "desviación estándar# son derivados de los datos. •
Estimación de parámetros7
•
actor de frecuencia7 *i se traba!a con los > sin transformar el 5 se calcula como7
este factor es el mismo de la variable normal estándar •
Límites de confian/a7
donde a es el nivel de probabilidad es el cuantil de la distribución normal estandari/ada para una probabilidad acumulada de 2?a y *e es el error estándar @. +)*6-)9%)A' L:=':-<&L +E +:* &-( se distribuyen normalmente se dice que > se distribuye normalmente. Esta distribución es muy usada para el cálculo de valores extremos por e!emplo C max, C mínimos, max, mínima "excelentes resultados en &ntioquia#. 6iene la venta!a que >D y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría positiva ya que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporción los datos mayores que los menores. Limitaciones7 tiene solamente dos parámetros, y requiere que los logaritmos de las variables est$n centrados en la media •
unción de densidad7
y F ln x donde7 my 7 media de los logaritmos de la población "parámetro escalar#, estimado y. sy 7 +esviación estándar de los logaritmos de la población, estimado sy. •
Estimación de parámetros7
actor de frecuencia7 uede traba!arse en el campo original y en el campo transformado. •
%ampo transformado7 *i se traba!a en el campo transformado se traba!a con la media y la desviación estándar de los logaritmos, así7 Ln">6r# F x6rG5*y dónde7
>6r F eln "x6r#
con 5 con variable normal estandari/ada para el 6r dado, >y media de los logaritmos y *y es la desviación estándar de los logaritmos. %ampo original7 *i se traba!a con los > sin transformar el 5 se calcula como
5 es la variable normal estandari/ada para el 6r dado. •
Límites de confian/a7
En el campo transformado.
en donde, n n8mero de datos, *e error estándar, 56 variable normal estandari/ada. H. +)*6-)9%):' =<9EL : E>6-E<& 6): ) na familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utili/ada para representar el comportamiento de crecientes y sequías "máximos y mínimos#. •
unción de densidad7
En donde a y b son los parámetros de la distribución.
•
Estimación de parámetros
+ónde7 x y s son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra. •
actor de frecuencia7
+onde 6r es el periodo de retorno. ara la distribución =umbel se tiene que el caudal para un período de retorno de @.HH años es igual a la media de los caudales máximos. •
Límites de confian/a7
56 es el factor de frecuencia y t"2?a# es la variable normal estandari/ada para una probabilidad de no excedencia de 2?a. I. +)*6-)9%):' =&<<& +E 6-E* &-(
unción de densidad7
donde, x J x K a para a D a K x J x para a K a y b son los parámetros de escala y forma, respectivamente, y x es el parámetro de locali/ación
•
Estimación de parámetros7
%s es el coeficiente de asimetría, x y s son la media y la desviación estándar de muestra respectivamente.
la •
actor de frecuencia7
donde / es la variable normal estandari/ada Este valor de 5 se encuentra tabulado de acuerdo al valor de %s calculado con la muestra. •
)ntervalos de confian/a7 >t t"2?a# *e +onde * es la desviación estándar de la muestra, n es el n8mero de datos y d se encuentra tabulado en función de %s y 6r.
4. +)*6-)9%)A' L:= =&<<& : L:=E&-*:' +E H &-( se a!ustan a una distribución earson tipo ))), se dice que la variable aleatoria > se a!usta a una distribución Log earson 6ipo ))). Esta distribución es ampliamente usada en el mundo para el análisis de frecuencia de %audales máximos. Esta se traba!a igual que para la earson 6ipo ))) pero con >y y *y como la media y desviación estándar de los logaritmos de la variable original >. •
unción de densidad7
donde, y J y K a para a D a J y J y para a K a y b son los parámetros de escala y forma, respectivamente , y y es el parámetro de locali/ación.
•
Estimación de parámetros7
%s es el coeficiente de asimetría, >y y *y son la media y la desviación estándar de los logaritmos de la muestra respectivamente. •
actor de frecuencia7
donde / es la variable normal estandari/ada Este valor de 5 se encuentra tabulado de acuerdo al valor de %s calculado con la muestra. •
)ntervalos de confian/a7 >t t"2?a# *e +onde *y es la desviación estándar de los logaritmos de la muestra, n es el n8mero de datos y d se encuentra tabulado en función de %s y 6r.
-E9&* +E &M*6E ara determinar qu$ tan adecuado es el a!uste de los datos a una distribución de probabilidades se han propuesto una serie de pruebas estadísticas que determinan si es adecuado el a!uste. Estos son análisis estadísticos y como tal se deben entender, es decir, no se puede ignorar el significado físico de los a!ustes. a# rueba *mirnov 5olmogorov El estadístico *mirnov 5olmogorov + considera la desviación de la función de distribución de probabilidades de la muestra "x# de la función de probabilidades teórica, escogida o"x# tal que7
La prueba requiere que el valor +n calculado con la expresión anterior sea menor que el valor tabulado +n para un nivel de probabilidad requerido. Esta prueba es fácil de reali/ar y comprende las siguientes etapas7
•
• • •
El estadístico +n es la máxima diferencia entre la función de distribución acumulada de la muestra y la función de distribución acumulada teórica escogida. *e fi!a el nivel de probabilidad a, valores de .4 y .2 son los más usuales. El valor crítico +a de la prueba debe ser obtenido de tablas en función de a y n. *i el valor calculado +n es mayor que el +a, la distribución escogida se debe recha/ar.
b# rueba %hi %uadrado na medida de las discrepancias entre las frecuencias observadas "fo# y las frecuencias calculadas "fc# por medio de una distribución teórica está dada por el estadístico NO en donde7
si el estadístico NOF significa que las distribuciones teórica y empírica a!ustan exactamente, mientras que si el estadístico NOD, ellas difieren. La distribución del estadístico NO se puede asimilar a una distribución %hi?cuadrado con "P?n?2# grados de libertad, donde P es el n8mero de intervalos y n es el n8mero de los parámetros de la distribución teórica. La función NO se encuentra tabulada. *upóngase que una hipótesis Qo es aceptar que una distribución empírica se a!usta a una distribución 'ormal. *i el valor calculado de NO por la ecuación anterior es mayor que alg8n valor crítico de NO, con niveles de significancia a de .4 y .2 "el nivel de confian/a es 2?a# se puede decir que las frecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas "o calculadas# y entonces la hipótesis Qo se recha/a, si ocurre lo contrario entonces se acepta.
III.
BIBLIOGRAFIA
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