ALGEBRAS

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De los números al álgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora es producto de un estudio experimental

realizado en diversas aulas del país como parte del proyecto Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat), desarrollado por la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal, de la Secretaría de Educación Pública, y por el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa. Coordinación de autores Sonia Ursini Legovich Mónica Orendain Tremear Autores Tenoch E. Cedillo Ávalos (UPN) Teresa Rojano Ceballos Sonia Ursini Legovich Diseño de actividades Tenoch E. Cedillo Ávalos Asesoría académica en el diseño de actividades Carolyn Kieran (Universidad de Quebec, Montreal, Canadá) Coordinación editorial Elena Ortiz Hernán Pupareli Cuidado editorial Alfredo Giles-Díaz Héctor Veyna Rodríguez Supervisión técnica-editorial Alejandro Portilla de Buen Diseño y formación Leticia Dávila Acosta La evaluación del proyecto Emat fue financiada por el Conacyt, en el marco del proyecto de grupo Incorporación de Nuevas Tecnologías a la Cultura Escolar (G526338S), bajo la dirección de investigadores del Cinvestav.

D.R. ©

SEP-ILCE, 2002

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología

Dirección general Elisa Bonilla Rius (SEP) David de la Garza Leal (ILCE) Coordinación general de Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología Teresa Rojano Ceballos (Cinvestav) Vinculación, infraestructura y soporte técnico Marcela Santillán Nieto (ILCE) Coordinación Sonia Ursini Legovich (Cinvestav) Mónica Orendain Tremear (asistente) Evaluación Teresa Rojano Ceballos Luis Moreno Armella (Cinvestav) Elvia Perrusquía Máximo (asistente) Asistentes de cómputo Iván Cedillo Miranda Arturo Torres Instructores Ramiro Ávila (Hermosillo, Son.) César Corral (Chihuahua, Chih.) Fortino Fregoso (Guadalajara, Jal.) Gerardo Haase (Aguascalientes, Ags.) José Ramón Jiménez (Hermosillo, Son.) Felícitas Licea (Colima, Col.) Alejandro Ocaña (Xalapa, Ver.) Leticia Pérez (Tlaxcala, Tlax.) Rubén Sanzón (León, Gto.)

Secretaría de Educación Pública Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa Calle del Puente 45, colonia Ejidos de Huipulco, Tlalpan 14380, México, D.F.

ISBN 970-18-6273-2 Impreso en México DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

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Índice Profesor: ¡Bienvenido a Emat!

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El laboratorio Emat

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De los números al álgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora

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Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat!

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Primer grado Números naturales y sus operaciones

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Lectura y escritura de números Virus y antivirus Operaciones y cálculo mental ¡Se descompuso la tecla para sumar! Construcción de números sólo con “cuatro cuatros” Al cero en cinco pasos ¡Se descompuso la tecla para multiplicar!

24 25 26 27 28 29 30

Números decimales y sus operaciones

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Fracciones y decimales Suma y estimación Resta y estimación Multiplicación y estimación Lectura y escritura de números decimales Lectura y escritura de medidas de longitud Lectura y escritura de medidas de peso Transformaciones en un solo paso ¡Se descompuso la tecla del punto decimal!

31 32 33 34 35 37 38 39 40

Fracciones comunes y sus operaciones l

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

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Aproximación y cálculo con números redondeados ¡Se descompuso la tecla de la raíz cuadrada! ¿Cómo me aproximo…, por abajo o por arriba? Noción de fracción Fracciones y razones Fracciones equivalentes ¿Qué fracción es mayor? Fracciones y particiones ¿Qué fracciones faltan? ¿Cómo encuentro esas fracciones? Un poco de fracciones y restas

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41 42 43 44 45 47 48 49 50 51 52

Números con signo

28. 29. 30. 31.

¿Cómo sumamos números con signo? Sumas y números con signo ¿Cómo restamos números con signo? ¿Sirven para algo los números con signo?

53 55 56 57

Segundo grado Divisibilidad

32. ¿Qué números dividen a otros? 33. ¿Números que se dividen entre 7 y 11? 34. ¿Esos “numerotes” son divisibles entre todo eso?

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Fracciones comunes y sus operaciones II

35. ¿Qué fracciones dan la suma mayor? 36. Multiplicaciones y fracciones

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Preálgebra

37. Programación de una expresión I 38. Programación de una expresión II 39. Programación de una expresión III 40. Comprobación de programas 41. Programas diferentes para una expresión 42. Corrección de programas 43. Descripción de programas 44. Construcción de programas I 45. Construcción de programas II 46. Construcción de programas III 47. Construcción de programas IV 48. Construcción de programas V 49. Construcción de programas VI 50. Construcción de programas VII 51. Construcción de programas VIII 52. Construcción de programas IX 53. Construcción de programas X 54. Construcción de programas XI 55. Construcción de programas XII 56. Programas equivalentes 57. Incógnitas y ecuaciones 58. Números perdidos 59. Ecuaciones con más de una solución I 60. Ecuaciones con más de una solución II 61. Ecuaciones equivalentes

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62. Resolución de ecuaciones por tanteo y refinamiento 63. Reducción a ecuaciones más simples 64. “Deshacer” operaciones 65. Las ecuaciones no son tan difíciles

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Tercer grado Puntos de la recta

66. Un punto importante en una recta 67. Cambio de escala 68. Más sobre escalas y gráficas 69. El rango en el editor de gráficas

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Funcionalidad

70. Rectas que “crecen” 71. ¿Qué gráficas “crecen” más rápido? 72. ¿Qué ecuaciones producen esas rectas? 73. Gráficas que “decrecen” 74. Más sobre gráficas que “decrecen” 75. Rectas y ecuaciones 76. Cuadriláteros 77. Gráficas que no “crecen” ni “decrecen” 78. Rectas horizontales 79. Puntos, rectas y ecuaciones 80. Nubes de puntos y rectas 81. Nubes de puntos y predicciones 82. ¿Grados Fahrenheit o centígrados? 83. ¿No podría ir más rápido? 84. ¿Mi peso es distinto en otro planeta? 85. ¿Cuánto peso si estoy en Saturno? 86. ¿Una ecuación para desalojar la escuela?

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Leyes de los exponentes

87. Leyes de los exponentes I 88. Leyes de los exponentes II 89. Leyes de los exponentes III 90. Leyes de los exponentes IV

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Revisión de álgebra

91. Suma con polinomios

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Anexo

Calculadoras. Primer grado Calculadoras. Segundo grado Calculadoras. Tercer grado

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Profesor: ¡Bienvenido a Emat!

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ste libro forma parte de la serie de publicaciones derivada de los materiales diseñados y puestos a prueba dentro del proyecto Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). A principios de 1997, por iniciativa de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal y el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa, se puso en marcha la fase piloto de este proyecto de innovación educativa en 15 escuelas secundarias públicas de ocho estados de la república. Los propósitos generales del proyecto Emat se enmarcan en los del Programa de Modernización Educativa y son los siguientes: Elevar la calidad de la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Impulsar la formación de profesores de matemáticas de este nivel escolar. Promover el uso de las nuevas tecnologías en la educación. Generar y actualizar métodos y contenidos educativos de la matemática escolar. Más específicamente, con el proyecto Emat se busca mostrar que es factible aprovechar las nuevas tecnologías —apoyadas en un modelo pedagógico que permita construir ambientes de aprendizaje apropiados— para enriquecer y mejorar la enseñanza actual de las matemáticas en la escuela secundaria. Entre las características principales del modelo que propone el proyecto Emat se encuentran: 1. La utilización de piezas de software y herramientas que hacen posible dar un tratamiento fenomenológico a los conceptos matemáticos; es decir, con dichas piezas y herramientas se puede concretar la idea de que los conceptos son organizadores de fenómenos. Así, la contextualización de las actividades matemáticas no es una mera ambientación, sino que las situaciones planteadas por la actividad corresponden a comportamientos de fenómenos que —en cierto modo— forman parte de la esencia del concepto que se busca enseñar. 2. La utilización de piezas de software y herramientas que impliquen representaciones ejecutables, es decir, que contemplen la manipulación directa de objetos o de representaciones de objetos (matemáticos).

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3. La utilización de piezas de software y herramientas cuyo uso está relacionado con un área específica de la matemática escolar (aritmética, álgebra, geometría, probabilidad, modelación, matemática del cambio). 4. La especialización de los usuarios de la tecnología (alumnos y maestros) en una o más piezas de software o herramientas, de tal forma que logren dominarla y, al mismo tiempo, la empleen en la enseñanza y aprendizaje de temas curriculares específicos, antes de pasar al uso de otra herramienta en el aula. 5. La puesta en práctica de un modelo de cooperación para el aprendizaje: los estudiantes trabajarán en parejas frente a la computadora en una misma actividad, lo que promoverá la discusión y el intercambio de ideas. 6. La práctica de un modelo pedagógico en el que el profesor promueve el intercambio de ideas y la discusión en grupo, y al mismo tiempo actúa como mediador entre el estudiante y la herramienta —es decir, el ambiente computacional—, asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las actividades de clase y compartiendo con ellos el mismo medio de expresión.

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El laboratorio Emat

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studios realizados en los últimos años han demostrado que el uso de nuevas tecnologías abre perspectivas interesantes para la enseñanza de las matemáticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencionar los siguientes: Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y lo convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje. Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante para construir significados. Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la conceptualización y la resolución de problemas. Da un soporte basado en la retroalimentación. Reduce el miedo del estudiante a expresar algo erróneo y, por lo tanto, se aventura más a explorar sus ideas.

La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumentos de apoyo, como el pizarrón y el gis, aunque sus características sean esencialmente diferentes. El objetivo principal del empleo de la tecnología en el aula no se reduce a practicar algoritmos, sino que ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos y técnicas mediante el ejercicio de la reflexión. Así, la matemática pasa a ser mucho más que una simple mecanización de procedimientos. Una característica importante de los paquetes de cómputo que se han elegido para el proyecto Emat es que son abiertos. Es decir, el usuario decide qué hacer con ellos, en vez de que el programa computacional dirija todo el trabajo —como ocurre en los programas tutoriales—. Estos paquetes abiertos pueden usarse con objetivos didácticos muy diversos, muchos de los cuales están definidos por las actividades que se proponen en este libro. Un laboratorio Emat está integrado básicamente por el siguiente equipo: Computadoras para los alumnos Computadora para el maestro Impresora Módem (opcional)

Reguladores de corriente Calculadoras Mesas y sillas adecuadas

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Para instalar un laboratorio Emat en una escuela es necesario contar con un aula de buen tamaño (por ejemplo de 8 × 12 m) que tenga corriente eléctrica de 110 voltios y que cuente con contactos trifásicos. Si se desea que alguna computadora tenga acceso a internet debe contarse, además, con una línea telefónica. Dado que el equipo que integra el laboratorio es muy costoso, resulta indispensable instalar en el aula varias protecciones; por ejemplo: puerta con llave, enrejado en las ventanas, mueble para guardar las calculadoras. Es importante también que las computadoras estén conectadas a reguladores de corriente. Para el buen funcionamiento del trabajo en un laboratorio Emat, recomendamos que, en la medida de lo posible, las computadoras se acomoden en forma de herradura, como se muestra en el esquema.

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Al instalar las computadoras hay que procurar que entre ellas quede espacio suficiente para que puedan sentarse cómodamente dos o tres niños por máquina. La disposición en herradura tiene múltiples ventajas. Por un lado, facilita al maestro pasar de un equipo de alumnos a otro y observar el trabajo que están realizando. Por el otro, con sólo girar las sillas, dando la espalda a la computadora, los alumnos pueden acomodarse para participar en una discusión colectiva o atender las explicaciones que el maestro dirija a todo el grupo. Es necesario también que en el centro del aula haya mesas de trabajo. Los alumnos las utilizarán, sobre todo, cuando trabajen con las calculadoras, pero también cuando sus actividades requieran desarrollar alguna tarea con lápiz y papel. Para enseñar matemáticas en un laboratorio Emat se hace uso de distintos paquetes computacionales (Cabri-Géomètre, Excel, SimCalc MathWorlds, Stella).

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Algunos de éstos son de acceso libre y pueden obtenerse en internet; otros son comerciales y necesitan adquirirse con los proveedores junto con los permisos para usarse en grupo. Para más información al respecto puede consultar la página de Emat en internet, cuya dirección es: http://emat-efit.ilce.edu.mx/emat-efit/emat

Metodología de trabajo Enseñar matemáticas utilizando computadoras o calculadoras implica muchos cambios en la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente en el papel que desempeña el maestro en este contexto, en la organización del trabajo de los alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento. El papel del maestro

Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento a la enseñanza, por lo que el desempeño del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemáticas se desarrolla con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinación, tecnología y hojas de trabajo, el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendizaje de sus alumnos de tres formas distintas: Mediante las hojas de trabajo que les proporciona. Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolución de las hojas de trabajo en el salón de clase. Los 45 o 50 minutos de la clase son los más valiosos en el aprendizaje de los alumnos. En ese tiempo se tiene la oportunidad de interactuar con ellos y de observar sus avances y dificultades, lo que permitirá darles sugerencias cuando las requieran. En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en el centro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien de ella. Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los demás y el profesor sólo debe coordinar esta actividad. En el aula Emat el maestro asume el papel de organizador del trabajo, de guía y de asesor. Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investigación; en otras palabras, los invita a: Explorar. Formular hipótesis. Probar la validez de las hipótesis.

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Expresar y debatir sus ideas. Aprender a partir del análisis de sus propios errores. En este contexto, el maestro ya no agota el tiempo de clase repasando o explicando temas nuevos, sino que la mayor parte la dedica a que los alumnos trabajen para resolver las actividades planteadas en las hojas de trabajo previamente elaboradas. En el aula Emat, el maestro no resuelve las actividades, sus intervenciones tienen como finalidad que los alumnos reflexionen y encuentren por sí mismos una solución aceptable. Esta función se ve reforzada por la organización de los alumnos en equipos de trabajo, pues así el maestro puede pasar de un equipo a otro observando el trabajo que realizan y auxiliándolos, cuando sea necesario, para que puedan llevar a cabo la actividad propuesta. Cuando este tipo de intervención no es suficiente, conviene que el maestro muestre un camino de solución posible y los invite a adoptarlo y continuar por sí mismos. En estos casos no se debe proporcionar demasiada información, pues lo importante es que los equipos sigan trabajando de manera autónoma. El propósito siempre debe ser ayudar a los alumnos a que se involucren en la actividad, pongan en juego su saber matemático anterior y lleguen a desarrollar correctamente ideas matemáticas nuevas a partir de sus propias experiencias. Si la mayoría de los alumnos se enfrenta con el mismo tipo de dificultades al abordar una actividad determinada, es conveniente organizar una discusión para tratar de resolver el problema colectivamente. Discusiones de este tipo son buenas oportunidades para resumir y sistematizar los avances y resultados sobre los que existe consenso, así como para introducir información nueva que permita a los alumnos avanzar en su trabajo. La organización del trabajo de los alumnos

El uso de la calculadora no implica necesariamente un aprendizaje individualizado. Es aconsejable que los alumnos trabajen en equipos (de preferencia de dos integrantes). Esto fomenta la discusión y produce un aprendizaje más completo y sólido. Para que el trabajo en equipo sea en verdad efectivo, habrá que evitar que los estudiantes desempeñen siempre las mismas funciones (por ejemplo, que sólo uno lea y el otro trabaje con la computadora o la calculadora), pues si esto ocurre, solamente adquirirán unas habilidades específicas pero no otras. Los estudiantes pueden formar sus equipos como deseen, pero es recomendable que intercambien las tareas para que desarrollen todas las habilidades requeridas: manejo del software, planteamiento del problema, lectura y comprensión de las actividades, etcétera.

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La organización de los alumnos en equipos de trabajo presenta muchas ventajas; sin embargo, no siempre los alumnos tienen experiencia en la actividad compartida. Es, por lo tanto, necesario que el maestro les ayude a adoptarla. El trabajo en equipo propicia el intercambio y la confrontación de ideas entre los alumnos. Al trabajar de este modo se espera que cada individuo exponga su punto de vista, lo discuta y confronte con los demás integrantes. Este intercambio ayuda al alumno a organizar sus propias ideas y a comunicarlas, a reflexionar sobre ellas, a defenderlas y a modificarlas cuando sea necesario, a escuchar y debatir los argumentos de los demás e ir reafirmando sus conocimientos matemáticos y adquiriendo otros nuevos. Las hojas de trabajo

Las hojas de trabajo son una herramienta fundamental para realizar las actividades que se plantean en el aula Emat. En ellas se presenta un problema de manera sucinta y se formulan preguntas que pueden llevar alguna sugerencia implícita para que los alumnos empiecen a explorar el problema propuesto. Si bien las actividades planteadas tienen que desarrollarse usando la tecnología, es necesario que los alumnos contesten por escrito las preguntas que se formulan en las hojas de trabajo. Esto tiene un doble propósito. Por un lado, obliga a los alumnos a reflexionar sobre el procedimiento y el resultado que obtuvieron empleando la máquina y a sintetizar su experiencia para comunicarla; por otro lado, proporciona información al maestro acerca de la comprensión que los alumnos han alcanzado de los conceptos matemáticos involucrados en la tarea. Esta información es fundamental para que el maestro decida qué acciones pondrá en práctica en las clases sucesivas, y para que conozca y evalúe el progreso de sus alumnos. La mayoría de las actividades están pensadas para que todo un grupo de estudiantes las lleve a cabo durante las horas normales de clase. Al comenzar la sesión de trabajo el maestro cuidará que todos los equipos cuenten con las hojas de trabajo necesarias para esa sesión y les pedirá que las lean. Es importante que el maestro se cerciore de que los alumnos han entendido en qué consiste la actividad y qué se espera que hagan. Si hay dudas al respecto, conviene leer la hoja de trabajo frente a todo el grupo y llegar a un consenso acerca de lo que en ella se plantea.

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De los números al álgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora Las hojas de trabajo que se proponen para trabajar con temas de aritmética y álgebra usando la calculadora TI-92, se diseñaron para que los alumnos puedan contestar en promedio dos hojas por cada sesión de clase. Esto permite que el profesor organice, una vez que la mayoría de los alumnos ha completado cuatro o cinco hojas de trabajo, una discusión en la que se revise el trabajo realizado por los distintos equipos y se puedan hacer los comentarios y correcciones pertinentes en cada caso. Por lo regular, hay alumnos o equipos que terminan el trabajo mucho antes que los demás; en estos casos se recomienda entregarles otra hoja de trabajo, o agregar preguntas que los lleven a un nivel de reflexión más complejo, mientras el resto de sus compañeros termina el trabajo inicialmente asignado. En el diseño de las hojas de trabajo para el uso de la calculadora se ha hecho un esfuerzo por plantear situaciones que admitan múltiples respuestas. Esto permite al profesor pedir a los alumnos más aventajados que busquen otras soluciones, una vez que han dado respuesta al problema planteado. Asimismo, las actividades que se proponen no requieren que el alumno recuerde métodos y reglas prestablecidos, lo cual puede resultar favorable para desarrollar estrategias poco convencionales y producto de las formas particulares de razonar de cada estudiante. Se espera que el diseño de las actividades antes mencionado permita que los estudiantes desarrollen una fuerte autoestima que les impulsará a no abandonar sus esfuerzos ante situaciones problemáticas de gran complejidad.

¿Cómo se evalúa el trabajo de los alumnos? El modelo pedagógico que caracteriza a Emat es diferente a los sistemas convencionales y esto se refleja en la manera de evaluar a los alumnos. En Emat se da gran importancia a la actividad que realiza el alumno, por lo cual resulta fundamental su evaluación. Para ello es importante que el profesor revise las respuestas que los estudiantes registran en las hojas de trabajo, así como las gráficas que realizan en pantalla. Dado el gran número de alumnos que por lo general integran los grupos, resulta muy difícil que un profesor pueda revisar en su totalidad las hojas de trabajo que los alumnos entregan. Una manera de proceder

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es pedir a los alumnos que entreguen sólo una hoja por equipo. Esto implica que el equipo tendrá que cuidar que todos sus integrantes colaboren en la actividad y estén de acuerdo con las respuestas registradas. El modelo Emat considera la participación del alumno en el equipo y en las discusiones de grupo. Éste es otro aspecto que el profesor tendrá que tomar en cuenta para la evaluación. El aprovechamiento también es muy importante y su evaluación podrá realizarse bimestralmente mediante un examen individual (véase Anexo “Calculadoras”). En el modelo Emat cada uno de los aspectos mencionados debe tener su peso en la evaluación final. Una sugerencia es asignar a cada aspecto un porcentaje de, por ejemplo, un 25 por ciento.

Propósitos generales El propósito de este libro es proporcionar al profesor un material que propicie un acercamiento a la enseñanza en el que se intenta explotar óptimamente las facilidades de cálculo aritmético y algebraico que ofrece la calculadora TI-92. El enfoque didáctico que se presenta en este material se basa en una alternativa de enseñanza que permite abordar las matemáticas como una ciencia experimental, en la que la exploración, el planteamiento de conjeturas y su verificación desempeñan un papel central. Estos propósitos son congruentes con los que orientan el uso de las piezas de software que se emplean en el proyecto Emat, lo cual se espera que haga factible una enseñanza de las matemáticas apoyada en el uso de herramientas tecnológicas complemetarias. La calculadora TI-92 cuenta con recursos que automatizan el cálculo aritmético y la construcción de tablas y gráficas de funciones; otra de sus características sobresalientes es que permite realizar cualquier operación algebraica con polinomios. Los recursos que ofrece la TI-92 hacen posible que cualquier expresión matemática, ya sea numérica o algebraica, sea una “expresión activa”, ya que la máquina no sólo proporciona un medio para editar expresiones aritméticas y algebraicas, sino que también proporciona retroalimentación inmediata a cualquier acción del usuario. Estas cualidades de la calculadora TI-92 marcan una diferencia notable con el trabajo desarrollado mediante el lápiz y el papel, en el que la retroalimentación es esencialmente responsabilidad del profesor. La calculadora TI-92 permite que, mediante la guía provista por las actividades y las intervenciones del profesor, el estudiante explore y ponga a prueba sus propias conjeturas y que se concentre en los procesos de solución más que en los procedimientos de cálculo, ya que éstos los realiza la máquina.

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Tomando en cuenta los recursos que ofrece la calculadora, los temas de aritmética del programa oficial de la SEP se abordan mediante actividades en las que las operaciones aritméticas se emplean como un medio, no como un fin; se ha hecho un esfuerzo para que en esas actividades las operaciones aritméticas sean un recurso para propiciar la introducción y recreación de conceptos centrales de la aritmética, como los de divisibilidad y aproximación. Asimismo, con la finalidad de que el estudiante genere significados, y le dé sentido al uso de las operaciones, se incluye un buen número de actividades en las que se hace énfasis en el uso de las operaciones aritméticas como herramientas para resolver problemas. En cuanto al álgebra, el enfoque didáctico se centra en la enseñanza del lenguaje algebraico a través de su uso, es decir, sin partir de reglas, definiciones y ejemplos. Este acercamiento es posible debido a que el ambiente de trabajo de la calculadora permite establecer un estrecho vínculo entre el código algebraico y la experiencia que han adquirido los estudiantes en el trabajo con números. De esta manera se abordan temas que corresponden a dos partes esenciales del álgebra de la escuela secundaria: como un medio para expresar y justificar generalizaciones, y como un código que admite ciertas operaciones para producir transformaciones en las expresiones algebraicas (operaciones con polinomios). El hilo conductor de las actividades propuestas para los tres grados de la escuela secundaria tiene como objeto propiciar el desarrollo de habilidades de estimación, aproximación y reconocimiento de patrones numéricos. En el primer grado de secundaria, las actividades se ubican en el contexto del trabajo numérico como preparación para la entrada al álgebra. En el segundo, se extiende esta experiencia, se emplean los números como referente para la generación de los significados y aplicaciones del código algebraico como un medio para expresar y justificar generalizaciones. En el tercer grado se abordan actividades que introducen a los estudiantes al trabajo con tablas de valores y a las gráficas de las funciones lineales. Esto permite construir modelos sencillos para resolver problemas de física y de ciencias sociales, así como fortalecer la manipulación algebraica. Las actividades que aquí se proponen son sólo modelos. Se espera que sean una ayuda para que, con tiempo, el profesor desarrolle por sí mismo actividades de enseñanza que respondan de mejor manera a las circunstancias específicas en las que realiza su práctica docente.

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Temas que se exploran

En el siguiente cuadro se presentan las actividades por grado escolar según el currículum oficial. Si bien las actividades están numeradas, esto no implica que deban realizarse en este orden. El profesor puede organizarlas como mejor convenga al plan de trabajo que quiera desarrollar con sus alumnos.

Contenidos curriculares Primer grado Números naturales y sus operaciones 1 Lectura y escritura de números naturales. 2 y 3 Práctica de cálculo mental y estimación de resultados con números 4 5

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naturales. Revisión de algoritmos. Práctica de cálculo mental y estimación de resultados con números naturales. Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis. Múltiplos y divisores de números naturales . Revisión de algoritmos para operar con números naturales. Números decimales y sus operaciones

8 a 11 Revisión de la noción de número decimal.

Cálculos con números truncados. Introducción de la noción de raíz cuadrada. 12 Lectura y escritura de números decimales. 13 y 14 Uso de los números decimales en la medición y otros contextos familiares. 15 y 16 Práctica de cálculo mental y estimación de resultados. Fracciones comunes y sus operaciones I 17 y 18 Cálculos con números truncados. 19 a 21 Revisión de la noción de fracción. 22 y 23 Equivalencia y orden en las fracciones. 24 Situaciones asociadas al producto de fracciones. 25 a 27 Suma y resta de dos fracciones. Números con signo 28 a 31 Suma y resta de números con signo.

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Segundo grado Divisibilidad 32 a 34 Números primos y compuestos. Fracciones comunes y sus operaciones II 35 Equivalencia y orden en las fracciones. 36 Situaciones asociadas a la multiplicación de fracciones. Preálgebra 37 a 46 Introducción del código algebraico mediante funciones dadas por

fórmulas, tablas y gráficas. 47 a 50 Ejemplos para introducir y practicar el uso de paréntesis en el álgebra. 51 a 56 Primeras reglas para simplificar la escritura y operar con expresiones algebraicas. 57 a 65 Métodos de solución de ecuaciones de las formas a + x = b, ax = b, ax + b = c y de otras ecuaciones que pueden llevarse a esa forma.

Tercer grado Puntos de la recta 66 a 69 Graficación de funciones; estudio en casos sencillos del comporta-

miento local de una función. Funcionalidad 70 a 86 Estudio de las familias de gráficas de la forma y = mx + b. Leyes de los exponentes 87 a 90 Leyes de los exponentes y su verificación en casos particulares. Revisión de álgebra 91 Revisión de suma, resta y multiplicación de polinomios.

Ejemplo de distribución de actividades a lo largo del año escolar Lo más conveniente es que el profesor determine la frecuencia del trabajo en el laboratorio Emat, en función del tema que esté tratando. Puede ser que durante un bimestre considere conveniente que los alumnos asistan al laboratorio tres o cuatro veces por semana, mientras que en otro bimestre bastará con que asistan una o dos veces a la semana. Estas decisiones las tomará el profesor dependiendo de su plan de trabajo. Sin embargo es recomendable que durante el tiempo en que se trabaje con la calculadora se acuda al aula Emat al menos dos veces por semana para que los estudiantes logren dominar esta herramienta.

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El profesor notará que hay una relación cercana entre los temas que se abordan con las hojas de trabajo diseñadas para el uso de la calculadora y algunas de las diseñadas para el trabajo con la hoja electrónica de cálculo. Estos materiales se complementan y pueden permitirle cubrir de manera adecuada los temas de aritmética y preálgebra en el primer grado de secundaria. Lo mismo ocurre con el segundo y tercer grado de secundaria, en los que estos materiales pueden emplearse como complementarios al tratamiento de varios temas. En los tres grados puede ser conveniente iniciar el tratamiento de los temas de aritmética, preálgebra y álgebra usando los materiales propuestos para la calculadora, dado que se sustentan en un acercamiento intuitivo al álgebra, particularmente en lo que se refiere a las expresiones algebraicas y a las funciones y tablas generadas por funciones lineales. Dada la naturaleza de las actividades aquí propuestas, el profesor puede volver a tomar la misma actividad en distintos momentos del curso. Observará entonces que las respuestas de los alumnos son distintas y que las obtienen aplicando estrategias más complejas. Esta característica de las hojas de trabajo le permitirá hacer énfasis o profundizar en distintos aspectos de un tema, aplicando la misma hoja de trabajo en más de una ocasión durante el curso.

Hojas de trabajo En las páginas siguientes se incluyen las hojas de trabajo que el maestro puede usar con sus alumnos para trabajar problemas con la calculadora TI-92. Antes de empezar en el laboratorio Emat, es conveniente que el maestro lea a todo el grupo el texto “¡Bienvenidos a Emat!” Su propósito es introducir a los alumnos al laboratorio Emat contestando algunas de las preguntas que suelen inquietarlos al empezar esta nueva manera de trabajar. Las hojas de trabajo están organizadas por grado escolar. Para ampliar la información sobre uso y materiales de la calculadora TI-92 consulte la página de internet: htpp://www.ti.com/calc/docs/92.htm

9 20 001-022

20

11/25/02, 9:45 AM

Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat!

B

ienvenidos a Emat (Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología). A partir de hoy muchas de las clases de Matemáticas se desarrollarán en este laboratorio. Como podrán observar, en el laboratorio Emat hay varias computadoras y calculadoras. Trabajarán con unas u otras dependiendo del tema de estudio.

¿Cómo se trabaja en un laboratorio Emat? En el laboratorio Emat el modo de trabajo es algo distinto al acostumbrado. Esto se notará más todavía cuando se requiera el uso de las computadoras. Se formarán equipos de dos o tres compañeros para que juntos resuelvan, con ayuda de la computadora, las actividades que se propongan. A cada equipo se le entregará una hoja de trabajo en la que vendrá detallada la actividad en cuestión. Será necesario entonces que cada equipo lea con cuidado la hoja de trabajo y la discuta hasta entender bien qué se espera de todos. Una vez entendida la actividad, los equipos decidirán la estrategia que seguirán para resolverla. Es muy importante que cada uno de los miembros del equipo participe y tenga en algún momento acceso al teclado y al manejo del ratón.

¿Quién me puede ayudar? Cuando necesiten ayuda para entender bien de qué trata la actividad o para saber cómo se maneja la computadora o la calculadora, pueden recurrir a otros compañeros o al maestro. Lo importante al trabajar en el laboratorio Emat es comprender la actividad y realizarla. Es irrelevante si tu equipo trabaja más rápido o más lento que los demás. No se trata de competir ni de ganar, se trata de aprender.

¿Cómo trabajaré en el laboratorio? Para que los alumnos trabajen de manera provechosa en el laboratorio Emat, un equipo de expertos ha diseñado una serie de actividades matemáticas que podrán desarrollar usando la computadora o la calculadora y poniendo en juego sus conocimientos matemáticos anteriores; así aprenderán conceptos matemáticos nue-

21 9

001-022

21

11/25/02, 9:45 AM


••••••••••••••••••••••••••••

vos. Las actividades se presentan en hojas de trabajo. Tendrán que leer las hojas de trabajo con cuidado, discutirlas en equipo y contestar las preguntas que allí se formulan. Discutan con el maestro y los demás compañeros los resultados que obtengan en el equipo. Si resulta que al trabajar la misma actividad, otros compañeros llegan a resultados distintos, traten de entender por qué; quizá se trate de resultados equivalentes o tal vez alguien cometió un error. Si esto último ocurre, no hay que avergonzarse, pues de los errores podemos aprender mucho. Lo que se debe hacer es analizar de nuevo el problema, entender dónde se cometió el error y corregirlo.

¿Cuál es el papel del maestro? En el laboratorio Emat no cambia sólo la manera de trabajar de los alumnos, cambia también el papel del maestro. La función del maestro ya no será la de “dar la clase”, sino la de coordinar el trabajo del grupo y dar seguimiento al trabajo de cada equipo auxiliándolo cuando lo necesite. El maestro se vuelve entonces un compañero experto que ayuda a los alumnos en su proceso de aprendizaje.

¿Cómo se evaluará el trabajo? En el laboratorio Emat el maestro tomará en cuenta varios elementos. Considerará la participación de cada quien en el equipo de trabajo, así como las discusiones de grupo. También valorará la constancia y el empeño que pongan en realizar las actividades. De vez en cuando aplicará algún examen individual para ver qué tanto han aprendido.

¿Cómo cuidar el equipo? Finalmente queremos llamar la atención sobre el cuidado que hay que tener al manejar el equipo del laboratorio Emat. Se trata de un equipo muy costoso que va a ser usado por muchos compañeros. Al mismo laboratorio acudirán alumnos de distintos grados y todos deben usarlo con provecho y cuidarlo. No hay que maltratar el teclado ni la pantalla de las computadoras y se debe manejar el ratón con cuidado, evitando que caiga al suelo.

9 22 001-022

22

11/25/02, 9:45 AM

Primer grado

023-040

23

11/26/02, 11:33 AM

ACTIVIDAD

1

Lectura y escritura de números

••••••••••••••

Escribe en la calculadora cada una de las cantidades que están descritas con palabras. Cuando vayas marcando los números, ve haciendo las sumas que se indican con la calculadora. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad, obtendrás el total que se indica. Si el total es diferente, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos, escríbelos en la columna de la derecha.

CANTIDADES EN PALABRAS

CANTIDADES CON NÚMEROS

Siete millones setecientos ochenta mil cuatro, más ciento veinticinco mil cinco,

+

más doce mil uno,

+

más trescientos cuarenta y cinco mil ochenta y siete.

+

TOTAL:

TOTAL: 8 262 097

Trece mil noventa y nueve más veinticinco millones ciento cinco,

+

más ciento veintiocho millones ochenta y seis,

+

más trescientos cinco mil uno.

+

TOTAL:

TOTAL: 153 318 291

Cuatrocientos treinta y seis mil cien, más un millón dos mil,

+

más quinientos mil veinte,

+

más trescientos mil treinta.

+

TOTAL:

TOTAL: 2 238150

Diez millones uno, más dos millones cien,

+

más treinta y siete mil uno,

+

más quinientos cuarenta mil diez.

+

TOTAL:

9

023-040

TOTAL: 12 577112

24

números naturales y sus operaciones

24

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

2

Virus y antivirus

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

6 73 1 425 Escribe en la calculadora el número 89 896 731 425. Supongamos que los nueve dígitos que forman ese número son “virus sumamente peligrosos”. El antivirus consiste en “eliminar” cada dígito, convirtiéndolo en cero mediante una sola operación. Por ejemplo, 1 425 y otro eliminar el “1” quiere decir que hagas una operación con el número 896731 0 425. Después de número que tú propongas de manera que el resultado sea 896730 que elimines al 1, debes seguir con el 2, luego el 3, y así sucesivamente. 1. Completa la siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste cada “virus”. DÍGITO

OPERACIÓN QUE HICISTE EN LA CALCULADORA

RESULTADO

1

896730 0 425

2

05 896730 0 40

3

05 89670 00 40

4

89670 005 00 00

5

89670 00 000

6

00 000 890 0 70

7

0 000 890 000 0 00

8

0 00 0 000 90 000

9

0

2. Ahora elimina uno a uno todos los dígitos del número 4983.26715. Completa la siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste a cada “invasor”. DÍGITO

OPERACIÓN QUE HICISTE EN LA CALCULADORA

1

4 983..26705

2

4 983..06705

3

4 980..06705

4

980..06705

5

980..0670

6

980..0070

7

980

8

900

9

0

25 9

primer grado

023-040

RESULTADO

25

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

3

Operaciones y cálculo mental

••••••••••••••••

1. En cada recuadro construye una representación distinta del número quinientos nueve. No puedes usar las teclas del 5 ni el 9. Intenta realizar en cada una de tus respuestas hasta cuatro operaciones distintas. Usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.

2. En cada recuadro construye el número trescientos doce. Realiza hasta cuatro operaciones distintas sin usar las teclas del 3 ni el 1 1. Encuentra tantas formas distintas como te sea posible y escríbelas en los siguientes espacios.

3. Construye en la calculadora el número mil doscientos veintidós. Debes realizar cuatro operaciones distintas sin usar las teclas del 1 ni el 2 2. En cada recuadro escribe al menos dos representaciones distintas de ese número.

4. En cada recuadro construye al menos una representación distinta del número cuatrocientos uno, sin usar las teclas del 4 ni el 1 1.

9

023-040

26


26

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

4

¡Se descompuso la tecla para sumar!

• • • • • • • • • •

Esta actividad propone un problema difícil: “sumar sin sumar”. Sin embargo, es posible hacerlo; para lograrlo tendrás que hacer uso de tu ingenio y creatividad. 1. ¿Puedes hacer la operación 526 + 837 sin usar la tecla para sumar y sin sumar mentalmente o con lápiz y papel? Describe cómo lo hiciste.

2. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró un método distinto al tuyo?

¿En qué consiste?

¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros? ¿Por qué?

3. Atahualpa, un alumno de otra escuela, encontró el siguiente método para sumar sin usar la tecla que indica esta operación. Supongamos que los números que quieres sumar son A y B respectivamente, y que A es mayor que B. Al número multiplícalo por 2 y anota el resultado. Después, a A réstale B y anota el resultado. Finalmente, al doble de A le restas lo que obtuviste de A — B. Este último resultado es la suma de A y B. Suma 735 y 429 usando el método que propone Atahualpa. ¿El resultado que obtuviste con ese método es igual a 735 + 429? Intenta con otros números y encuentra una explicación que justifique por qué el método de Atahualpa funciona.

27 9

primer grado

023-040

27

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

5

Construcción de números sólo con “cuatro cuatros”

•••••••••••••••••••••

Hay muchos números que pueden construirse usando sólo cuatro cuatros y las operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia y sacar raíz cuadrada. Dos cuatros nunca pueden ir juntos, un cuatro debe estar relacionado con otro cuatro mediante una operación. Por ejemplo, el cinco puede construirse en la calculadora de la siguiente manera: (4 × 4 + 4) ÷ 4 El 10 puede construirse como sigue: 4 + 4 + 4 — √ 4 . El tres puede obtenerse como (4 + 4 + 4 ) ÷ 4. Forma un equipo con otros tres compañeros. El desafío que plantea esta actividad consiste en que cada equipo encuentre al menos tres maneras diferentes para construir el número que se indica utilizando sólo cuatro cuatros. Su profesor les dirá a qué equipo le corresponde construir cada uno de los siguientes números. Números por construir:

a)

0

b)

6

c)

8

d) 12 e) 15 f) 16 g) 20 h) 24 i) 30 j) 32 k) 36 l) 40

9

023-040

28


28

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

6

Al cero en cinco pasos

•••••••••••••••••••••••••••••••

El juego matemático que se presenta aquí consiste en lo siguiente: Se trata de reducir a cero un número entero que esté entre cero y mil en sólo cinco pasos y mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una operación las veces que quieras. Las operaciones deben hacerse con el número que se indica y otro número entero que elijas. El número elegido debe estar entre los siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9. Cada operación que hagas se cuenta como un paso y su resultado debe ser un número entero. Ganas el juego si, a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los siguientes números. Ejemplo: reduzcamos a cero el número 869. Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

869 864 96 12 2

— 5 = 864 ÷ 9 = 96 ÷ 8 = 12 ÷6=2 —2=0

Usa la calculadora para encontrar distintas maneras de reducir a cero los siguientes números:

a) 789

b) 629

c) 823

Paso 1:

Paso 1:

Paso 1:

Paso 2:

Paso 2:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 3:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 4:

Paso 4:

Paso 5:

Paso 5:

Paso 5:

d) 952

e) 997

f) 857

Paso 1:

Paso 1:

Paso 1:

Paso 2:

Paso 2:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 3:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 4:

Paso 4:

Paso 5:

Paso 5:

Paso 5:

29 9

primer grado

023-040

29

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

7

¡Se descompuso la tecla para multiplicar!

••••••••••••••••••••••••

Esta actividad consiste en que encuentres una forma para multiplicar con la calculadora sin usar la tecla para multiplicar ni hacer de ninguna manera una multiplicación. 1. ¿Puedes hacer la siguiente multiplicación sin usar la tecla para esta operación y sin multiplicar mentalmente o con lápiz y papel?: 96 × 47 2. Explica qué método encontraste de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

3. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró un método distinto del tuyo?

¿En qué consiste?

¿Cuál es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros? ¿Por qué?

¿Puedes hacer la operación 93 × 37 sin usar la tecla correspondiente y sin hacer la multiplicación mentalmente o con lápiz y papel?

Explica cómo lo hiciste de

manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

9

023-040

30


30

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

8

Fracciones y decimales

•••••••••••••••••••••••••••••••••

1. La siguiente figura muestra una tira de papel que ha sido dividida en varias partes. En cada una escribe el número decimal que la represente. Suma los números que escribiste en cada parte. Si tus respuestas son correctas la suma debe darte uno. ¿La suma que hiciste te dio uno? Si no fue así, encuentra los errores que cometiste e inténtalo de nuevo.

0.25

2. ¿Qué fracciones decimales corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la unidad en la siguiente figura?

1 = 0.125 8

Si tus respuestas

Suma los números que escribiste

son correctas, la suma debe darte uno. ¿La suma que hiciste te dio uno? Si no fue así, encuentra los errores que cometiste e inténtalo de nuevo. 3. ¿Qué fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la unidad en la siguiente figura? Escribe en cada parte la fracción común y la fracción decimal que la represente. 1 1 1 3 + + + = 0.50 12 12 12 12

4. ¿Puedes asegurar que tus respuestas son correctas? ¿Por qué?

31 9

primer grado

023-040

31

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

9

Suma y estimación

•••••••••••••••••••••••••••••••

1. En cada inciso escribe dos números tales que al sumarlos den el resultado que se indica. 0.321

0.457

1.305

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

0.4056

1.00506

3.040578

j)

m)

o)

k)

n)

p)

l)

ñ)

q)

2. ¿Qué hiciste para obtener los números que se piden en el inciso 1? Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres hazlo con un ejemplo.

3. En cada inciso escribe dos números tales que al sumarlos den por resultado un número que esté entre los dos números que se indican. Los números que uses en cada inciso deben ser distintos y ninguno de los sumandos debe ser cero. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas. 0.7101 y 0.7105

9

023-040

0.2003 y 0.2007

0.3015 y 0.3016

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

32

números decimales y sus operaciones

32

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

10

Resta y estimación

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

1. En cada inciso escribe dos números tales que, al restar uno del otro, den por resultado el número que se indica. 0.425

0.307

2.0056

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

0.509

3.05608

19.50807

j)

m)

o)

k)

n)

p)

l)

ñ)

q)

2. ¿Qué procedimiento seguiste para encontrar los números que se piden en el inciso 1? Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres hazlo con un ejemplo.

3. En cada inciso escribe dos números tales que al restar uno del otro den por resultado un número que esté entre los dos que se indican. Los números que uses en cada inciso deben ser distintos y ninguno de ellos debe ser cero. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas, pues no debes tener ningún error. 0.55 y 0.58

0.27 y 0.3

0.3 y 0.31

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

33 9

primer grado

023-040

33

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

11

Multiplicación y estimación

••••••••••••••••••

1. En cada inciso escribe dos números que multiplicados den por resultado el número que se indica. Los números que utilices en cada inciso deben ser distintos de uno. 0.001

0.206

0.765

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

0.784

3.519

19.873

j)

m)

o)

k)

n)

p)

l)

ñ)

q)

2. ¿Qué hiciste para encontrar los números que se piden en el ejercicio 1? Describe el procedimiento de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres hazlo con un ejemplo

3. En cada inciso escribe dos números tales que, al multiplicarlos, den por resultado un número que esté entre los números que se dan en cada inciso. 0.1003 y 0.1007

9

023-040

5.10207 y 5.10209

7.30 y 7.31

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

34


34

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

12

Lectura y escritura de números decimales

••••••••••••••••••••

1. Escribe en la calculadora los números que se describen en la columna de la izquierda. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad, obtendrás el total que se indica; si el total es diferente, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos, escríbelos en la columna de la derecha. CANTIDADES EN PALABRAS


Un entero cuatro centésimos, más tres milésimos,

+

más dos enteros setenta milésimos,

+

más veinticinco milésimos.

+

TOTAL:

TOTAL: 3.138

Mil un enteros un centésimo, más dos mil noventa y nueve enteros diez centésimos, + más cuarenta mil siete enteros un diezmilésimo,

+

más veintitrés mil diez enteros diez milésimos.

+

TOTAL:

TOTAL: 66117.1201

Treinta y ocho mil veinte enteros veinte milésimos, más treinta mil tres enteros treinta y siete diezmilésimos, + más cuarenta y dos mil treinta y un enteros treinta milésimos, más un entero dos milésimos.

+ +

TOTAL:

TOTAL: 110 055.0557

Diez millones uno, más dos millones cien,

+

más treinta y siete mil uno,

+

más quinientos cuarenta mil diez.

+

TOTAL:

TOTAL: 12 577112

35 9

primer grado

023-040

35

11/25/02, 9:47 AM

Lectura y escritura de números decimales

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

2. Inventa una suma como las anteriores, con cuatro sumandos. Usa números tan complicados como te sea posible. Verifica que el total que obtienes sea el mismo ya indicado. CANTIDADES EN PALABRAS

más

+

más

+

más

+

TOTAL:

9

023-040


TOTAL: 38 001.036

36


36

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

13

Lectura y escritura de medidas de longitud

• • • • • • • • • • • • • • • •

1. Usa números decimales para escribir en la calculadora las medidas que están descritas en la columna de la izquierda. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad, obtendrás el total que se indica; si es diferente, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos escríbelos en la columna de la derecha. MEDIDAS EXPRESADAS CON PALABRAS

MEDIDAS EXPRESADAS CON NÚMEROS

Un metro dos centímetros, más tres milímetros,

+

más dos centímetros,

+

más tres centímetros dos milímetros.

+

TOTAL:

TOTAL: 1.075 metros

Treinta metros cuarenta centímetros, más dos kilómetros veinticinco metros cuatro centímetros, + más tres metros cuatro milímetros,

+

más cuatro metros treinta y dos centímetros un milímetro. + TOTAL:

TOTAL: 2 062.765 metros

Seis kilómetros ocho metros, más dos hectómetros cinco metros tres centímetros,

+

más dos decámetros cuarenta y ocho milímetros,

+

más veintiséis metros treinta y siete milímetros.

+

TOTAL:


Cien kilómetros diez metros cuarenta y ocho centímetros, más cincuenta kilómetros dos metros nueve milímetros,

+

más cuarenta y nueve kilómetros y medio,

+

más dos kilómetros y medio, treinta y seis milímetros.

+

TOTAL:


37 9

primer grado

023-040

37

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

14

Lectura y escritura de medidas de peso

•••••••••••••••

1. Usa números decimales para escribir en la calculadora las medidas que están descritas en la columna de la izquierda. Al mismo tiempo, ve haciendo con la calculadora las sumas que se piden. Si el total que obtuviste es diferente del que se indica, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos, escríbelos en la columna de la derecha. MEDIDAS EXPRESADAS CON PALABRAS


Medio kilo, más cuarenta y siete gramos,

+

más dos kilos ocho gramos,

+

más cuarenta kilos veinticinco gramos.

+

TOTAL:

TOTAL: 42.58 kilos

Dos toneladas doce kilos cuarenta gramos, más cien toneladas dieciséis kilos y medio,

+

más dos mil treinta y siete gramos,

+

más seis toneladas y media doscientos gramos.

+

TOTAL:

TOTAL: 108 530.777 kilos

Dos kilos tres cuartos, más cuatro mil doscientos cincuenta gramos,

+

más un kilo y cuarto,

+

más diez kilos cien gramos.

+

TOTAL:

TOTAL: 18.35 kilos 2. Usa números decimales para expresar las siguientes cantidades en kilos. Emplea la calculadora para sumar. Si tus respuestas son correctas, la suma te deberá dar la cantidad que se indica. Si no te da ese resultado revisa tus respuestas y corrige los errores que hayas cometido.

MEDIDAS EXPRESADAS CON PALABRAS


Tres toneladas tres cuartos, más cuatrocientos cincuenta gramos,

+

más tres cuartos de kilo,

+

más cuatro mil ochocientos gramos,

+

más cuarenta toneladas cincuenta kilos veinte gramos.

+ TOTAL: 43 806.02 kilos

9

023-040

38


38

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

15

Transformaciones en un solo paso

••••••••••••••

En cada uno de los siguientes casos encuentra al menos dos formas para obtener, a partir del número de arriba, los números que se indican abajo. 1.

19 19.01 × 0.01 19 ÷ 100

1 900

0.19

2.

0.0019

19.19

0.0235

2.350

30 000

0.0303

2.35

2 350

235 0.3

3.

3

0.0003

4. Una alumna dice que 1.5 es igual a 1.5000. ¿Tiene razón?

39 9

primer grado

023-040

39

¿Por qué?

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

16

¡Se descompuso la tecla del punto decimal!

•••••••••••••••••••••••••

Supongamos que la tecla que indica el punto decimal se descompuso. Encuentra al menos dos maneras distintas de producir con la calculadora cada uno de los siguientes números sin usar la tecla del punto decimal decimal. En cada inciso escribe lo que hiciste en la calculadora para obtener lo que se indica.

9

023-040

a) 0.5

b) 1.5

c) 0.3

d) 23.4

e) 10.1

f) 1342.58

g) 19 876.035

h) 10 003.002

i) 0.00034

j) 3 333.333

k) 0.02

l) 3.25

40


40

11/25/02, 9:47 AM

ACTIVIDAD

17

Aproximación y cálculo con números redondeados

•••••••••••••••••••••••••••

1. Una alumna de otra escuela dice que entre 4.378 y 4.379 no hay ningún número decimal. ¿Lo que dice esa alumna es cierto? • Si estás de acuerdo con ella explica por qué.

• Si no estás de acuerdo da un ejemplo que justifique tu respuesta.

2. Un alumno de otro grupo dice que 42 = 8 y 43 = 12. ¿Es cierto lo que dice ese alumno? ¿Por qué? 3. ¿Hay alguna potencia a la que se pueda elevar el 4 de manera que el resultado sea Explora posibilidades con tu calculadora y encuen-

aproximadamente 29? tra cuál es esa potencia.

Compara tu respuesta

con las de tus compañeros, gana el que haya logrado una mejor aproximación. 4. ¿Cuál es la mejor aproximación con cuatro cifras decimales para el valor de x, de ¿Por qué puedes manera que 4x se aproxime a 29? asegurar que la aproximación que encontraste es la mejor?

5. ¿Cuál es el valor con seis cifras decimales para k, de manera que el valor de 6k sea la mejor aproximación para 5000?

¿Por qué puedes asegurar que

la aproximación que encontraste es la mejor?

6. ¿Cuál es el valor con ocho cifras decimales para x, de manera que 5x sea la mejor aproximación para 32? 7. En cada uno de los siguientes casos encuentra la mejor aproximación con tres cifras decimales para el valor de x. (El símbolo “≈” significa: “es aproximadamente …”.)

a) 7x ≈ 135 x=

b) 9x ≈ 100 x=

c) 10x ≈ 100 x=

x=

41 9

primer grado

041-058

41

d) 10x ≈ 78

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

18

¡Se descompuso la tecla de la raíz cuadrada!

••••••••••••••••••••••••••

1. Supongamos que la tecla que indica esta operación se descompuso. ¿Qué podrías hacer, sin usar la raíz cuadrada cuadrada, para contestar las siguientes preguntas?

a) ¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 25? b) ¿Cómo puedes encontrar la raíz cuadrada de 81? c) ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a √ 53 ? d) ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a √ 75 ? e) ¿Puedes encontrar una aproximación para la raíz cuadrada de 133 con un número entero y una cifra decimal? ¿Cuál es?

f) ¿Puedes encontrar una mejor aproximación para la raíz cuadrada de 133 con un número entero y tres cifras decimales? ¿Cuál es?

g) ¿Puedes encontrar una mejor aproximación que las que obtuviste para la raíz cuadrada de 133 con cuatro cifras decimales? ¿Cuál es? 2. Podemos tener una aproximación a un número “por abajo” o “por arriba”.. Por ejemplo, 6.7 es una aproximación “por abajo” para el número 7, y 7.1 es una aproximación “por arriba”. Observa que 7.1 es una mejor aproximación que 6.7, porque 7.1 — 7 = 0.1, mientras que 7 — 6.7 = 0.3, es decir, 7.1 está “más cerca” del 7 que 6.7. ¿Puedes encontrar una mejor aproximación “por arriba”? ¿Cuál es? 3. Sin usar la tecla de la raíz cuadrada encuentra la mejor aproximación “por abajo”, con un número entero y una cifra decimal decimal, para la raíz cuadrada del 72. ¿Cuál es esa aproximación?

Explica qué es lo que te permi-

te afirmar que la aproximación que encontraste es la mejor “por abajo” con una cifra decimal para la raíz cuadrada de 72.

9 42 041-058

fracciones comunes y sus operaciones l

42

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

19

¿Cómo me aproximo…, por abajo o por arriba?

•••••••••••••••••••••••••••••••••

1. Encuentra la mejor aproximación “por abajo” para cada una de las siguientes raíces cuadradas. Tu aproximación debe tener dos cifras decimales. Recuerda que no debes usar la tecla que indica esta operación.

a) √ 37

b) √ 97

c) √ 108

d) √ 90

e) √ 134

f) √ 130

g) √ 452

h) √ 725

i) √ 927

2. Encuentra la mejor aproximación “por arriba” para cada una de las siguientes raíces cuadradas. Tu aproximación debe tener tres cifras decimales, y no debes usar la tecla de la raíz cuadrada.

a) √ 48

b) √ 227

c) √ 326

d) √ 405

e) √ 618

f) √ 853

g) √ 958

h) √ 1104

i) √ 1005

3. Encuentra la mejor aproximación “por arriba” y la mejor aproximación “por abajo”, con tres cifras decimales, para el número √ 2

<√2 <

43 9

primer grado

041-058

43

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

20

Noción de fracción

••••••••••••••••••••••••••••••••

1. La figura de abajo representa una tira de papel que fue dividida en varias partes. La tira completa representa una unidad. En cada parte del rectángulo escribe la fracción correspondiente.

1 8

Suma las fracciones que escribiste. Si tus respuestas son correctas la suma debe darte 1. ¿La suma que hiciste te dio 1? Si no fue así, trata de encontrar los errores que cometiste e inténtalo de nuevo. 2. ¿Qué fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la tira de papel que se muestra en la siguiente figura? Escribe en cada parte la fracción correspondiente.

1 9

Suma las fracciones que escribiste. Si tus respuestas son correctas la suma debe darte 1. ¿La suma que hiciste te dio 1? Si no fue así, trata de encontrar el error que cometiste e inténtalo de nuevo. 3. ¿Qué fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la tira de papel que se muestra en la siguiente figura? Escribe en cada espacio la fracción que corresponda. 1 6

4. ¿Cómo puedes usar la calculadora para verificar que tus respuestas son correctas?

9 44 041-058


44

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

21

Fracciones y razones

•••••••••••••••••••••••••••••••

1. Observa la figura de abajo para contestar lo que se indica en cada inciso.

a) ¿Qué fracción corresponde a la cantidad de puntos que están totalmente insertos en el triángulo respecto al total de puntos que aparecen en la figura?

b) ¿Qué fracción representa la cantidad de puntos que están adentro del rectángulo respecto al total de puntos que hay en la figura?

c) Hay unos puntos que están en la parte en que se empalman el rectángulo y el triángulo. ¿Qué fracción representa esa cantidad de puntos respecto del total de puntos que hay en la figura? d) ¿Qué fracción corresponde a los puntos que están afuera del triángulo, pero dentro del rectángulo, respecto del total de puntos?

2. Una alumna dice que las siguientes fracciones son equivalentes. Usa la calculadora para revisar sus respuestas y corrige las que no sean correctas. Escribe en cada cuadro las operaciones que usaste para contestar.

a)

60 55 = 72 67

b) 27 = 45

3 5

c)

d)

0 = 0 68

12 e) 84 = 91 13

f)

90 = 120

630 530 = 2 520 2 420

45 9

primer grado

041-058

45

3 4

11/25/02, 9:48 AM

Fracciones y razones

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

3. Los profesores González y Pérez aplicaron el mismo examen a sus alumnos. En el grupo del maestro González, 20 de 25 estudiantes aprobaron el examen, mientras que, en el grupo del profesor Pérez, lo aprobaron 24 de 30 estudiantes. Un alumno se enteró de los resultados y afirma que los grupos salieron iguales. ¿Lo que dice ese estudiante es correcto? Fundamenta tu respuesta.

9 46 041-058


46

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

22

Fracciones equivalentes

•••••••••••••••••••••••••••••

1. Usa la calculadora para realizar las siguientes operaciones.

a) 1 2

+

1 = 3

b) 4 8

+

1 = 3

1 c) 5 = + 10 3

1 d) 4 = + 6 3

a) 8 + 16

1 = 3

b) 2 4

+

1 = 3

c) 7 + 1 = 14 3

d) 16 + 32

1 = 3

¿Qué observas? ¿Por qué crees que esté pasando eso?

2. Ahora inventa otras cinco operaciones que den el mismo resultado que

a)

b)

c)

1 2

+

d)

1 3

.

e)

3. En cada inciso, construye tres fracciones equivalentes a la que se indica.

a)

2 3

b)

3 4

c)

2 9

d)

4 20

e)

3 15

4. Encuentra fracciones equivalentes a las que se muestran en cada inciso. Esas fracciones 1

1

deben cumplir la condición de tener el mismo denominador denominador. Por ejemplo, 4 y 5 se pueden expresar con el mismo denominador como sigue: 1 = 5 y 1 = 4 4 20 5 20

a) 2 y 3 8 3

b) 2 y 3 5 7

c) 3 y 2 4 3

d) 5 y 2 6

47 9

primer grado

041-058

47

e) 5 y 1 3

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

23

¿Qué fracción es mayor?

••••••••••••••••••••••••

1. En cada inciso encierra en un círculo el número que creas que es el mayor.

a)

2 3 y 3 4

b)

3 4 y 8 9

c)

3 2 y 5 4

d)

2 3 y 7 8

e)

4 2 y 5 3

f)

3 y 5

g)

11 7 y 12 8

h)

1 1 y 3 2

i)

5 y 8

j)

7 y 14

4 6

5 9

1 3

2. ¿Cómo podrías usar la calculadora para verificar si tus respuestas al primer ejercicio son correctas? Describe el método que encontraste.

3. Una alumna de otra escuela dice que para saber cuál es el número mayor resta uno de los números del otro, pero que a veces le da un número negativo y se confunde. Por ejemplo, 2 — 3 = – 1 . ¿Cuál es el número mayor en este caso? 3

4

12

¿Por qué? 4. Otro alumno dice que no usó la calculadora. Él encontró fracciones equivalentes. Por ejemplo, para comparar 2 + a = 1 , las transformó en 24 y 25 , respectiva5 30 30 mente. ¿Puedes explicar qué hizo después para decidir cuál es la fracción mayor?

5. Ordena de mayor a menor los números que se muestran en cada inciso.

a)

2 1 5 , , 5 3 8

b)

2 3 4 , , 3 8 5

c)

7 3 8 , , 8 4 10

d)

11 12 13 13 18 , , , , 5 6 8 6 9

6. ¿Qué método empleaste para responder el tercer ejercicio?

7. En cada caso encuentra una fracción que esté entre las dos fracciones que se dan.

a)

1 1 y 2 3

b)

1 1 y 4 5

c)

2 3 y 3 4

d)

3 4 y 4 5

f)

3 y 5

g)

6 7 y 8 8

h)

7 8 y 9 9

i)

11 12 y 24 24

4 5

9 48 041-058


48

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

24

Fracciones y particiones

•••••••••••••••••••••••••••••

1. Una alumna dice que para obtener la mitad de 1784 le da lo mismo hacer la opera1

ción 1784 ÷ 2, que 1784 × 2 . ¿Estás de acuerdo con ella? Si tu respuesta es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muéstralo con un ejemplo.

2. Un alumno dice que para obtener la tercera parte de 891 le da lo mismo dividir entre 3 que multiplicar por 1 . ¿Estás de acuerdo con él?

Si tu respuesta

3

es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muestra con un ejemplo por qué.

3. Otro alumno dice que para sacar dos quintas partes de 340 puede hacer cualquiera de estas dos operaciones: 340 × 2 o 340 × 2 . ¿Estás de acuerdo con él? 5

5

Si tu respuesta es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muestra con un ejemplo por qué.

4. Usa fracciones para encontrar lo que se pide en cada caso. Escribe las operaciones que hiciste en los espacios correspondientes.

a) La onceava parte de 6 457

b) La quinceava parte de 11040

c) Un quinto de 195

d) Dos décimos de 7 830

e) Tres veintavos de 11740

f) Cuatro quintas partes de 350

g) Ocho séptimos de 4109

h) Siete novenos de 3708

49 9

primer grado

041-058

49

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

25

¿Qué fracciones faltan?

••••••••••••••••••••••••••

1. Usa la calculadora para encontrar las fracciones que faltan.

a) 2 + a = 1 5 La fracción que falta es: c)

1 1 + +f=1 7 4

f= e) 1

b) 1 + 1 + c = 1 3 5 La fracción que falta es: d)

2 1 1 + + + h=2 3 4 5

h= 2 1 1 +2 +3 + p = 10 3 4 6

f) 1

2 3 1 1 + 2 + m + 3 = 11 5 4 6 2

m=

p=

2. ¿Qué hiciste para contestar las preguntas anteriores?

3. Usa la calculadora para encontrar las fracciones que faltan.

a) 2 — x = 1 3 5 La fracción que falta es: c) 3 — m =

3 7

b) 3 — y = 3 4 8 La fracción que falta es: d)

1 5 —a= 5 8

La fracción que falta es:


e) 27 — q = 6 4

f)



1 1 —b—c= 3 4

4. ¿Encontraste un método para contestar las preguntas anteriores? ¿Cuál?

9 50 041-058


50

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

26

¿Cómo encuentro esas fracciones?

••••••••••••••

1. En cada inciso encuentra dos fracciones cuya suma dé como resultado

a)

b)

c)

b)

4

.

d)

2. En cada inciso encuentra tres fracciones cuya suma dé como resultado

a)

3

c)

e)

3 8

.

d)

3. En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado

a)

b)

c)

25 3

.

d)

4. En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado 3 45 .

a)

b)

c)

d)

5. En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado

a)

b)

c)

51

.

d)

51 9

primer grado

041-058

1 12

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

27

Un poco de fracciones y restas

••••••••••••••

1. En cada inciso encuentra dos fracciones de manera que al restar una de la otra obtengas 25 .

a)

b)

c)

d)

e)

2. En cada inciso encuentra dos fracciones de manera que al restar una de la otra obtengas 2 . 7

a)

b)

c)

d)

3. En cada inciso escribe dos fracciones de manera que al restar una de la otra dé como resultado 3 13 .

a)

b)

c)

d)

c) 27 — d — x = 1 8 f y 3

d) 5 — p — a = 1 8 q b 12

4. Encuentra las fracciones que faltan.

a) 4 — a — c = 1 b) 3 — m — p = 1 5 b 7 d 10 n q 24

5. Un pasajero comenzó su jornada y justo a la mitad de su viaje se quedó dormido. Al despertar, se dio cuenta de que todavía tenía que recorrer la mitad de la distancia que había viajado mientras dormía. ¿Qué parte de toda la jornada permaneció dormido? Escribe las operaciones que hiciste para obtener el resultado.

9 52 041-058


52

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

28

¿Cómo sumamos números con signo?

••••••••••

En las siguientes hojas de trabajo, aprenderás cosas importantes sobre los números negativos. Los números con signo pueden ser positivos o negativos y el cero no es positivo ni negativo negativo. Los números positivos los conoces bastante bien. Los números negativos se pueden usar en ciertas situaciones. Por ejemplo, la temperatura “siete grados bajo cero” se puede representar mediante la expresión –7 grados grados. También se usan para referirse a deudas, por ejemplo, si una persona debe $1000.00, puede representarse mediante la expresión –1 000 pesos (se lee “menos mil pesos”).. ¿Puedes dar otro ejemplo de una situación en que se usen los números negativos?

1. Utiliza la calculadora para realizar las siguientes actividades. Nota que en la calculadora hay dos signos que representan “menos” “menos”. Uno de esos signos sirve para efectuar la operación de restar; el otro (–) es el que debes usar para escribir un número negativo en la calculadora.

a) –7 + 9 =

b) –5 + –7 =

c) 8 + –7 =

d) –15 + –17 =

e) –30 + –50 =

f) 0.5 + –2 =

g) –19 + –30 =

h) –72 + 30 =

2. ¿Qué operaciones hizo la calculadora para sumar un número negativo con un número positivo?

3. ¿Qué operaciones hizo la calculadora para sumar un número negativo con otro número negativo?

4. ¿Qué operaciones hace la calculadora para poner el signo al resultado?

53 9

primer grado

041-058

53

11/25/02, 9:48 AM

¿Cómo sumamos números con signo?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

5. En cada inciso encuentra tres parejas de números que al sumarlos den el resultado que se indica. Verifica tus respuestas mediante la calculadora.

a) Resultado: –32

b) Resultado: –45

c) Resultado: –27

d) Resultado: –40

e) Resultado: –55

f) Resultado: –78

g) Resultado: 0

h) Resultado: –1

9 54 041-058

números con signo

54

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

29

Sumas y números con signo

•••••••••••••••••••••••

1. Obtén tres números que al sumarlos den por resultado cero.

2. ¿Puedes encontrar cuatro números que al sumarlos den por resultado –1? ¿Cuáles son? 3. Encuentra cinco números que al sumarlos den por resultado –27.

4. Construye una suma con tres sumandos de manera que el resultado sea –0.25.

5. Construye una suma con cuatro sumandos, dos positivos y dos negativos, de manera que el resultado sea –0.763. 6. Construye una suma con cinco sumandos, dos negativos y tres positivos, de manera que el resultado sea 38.5. 7. Construye una suma con cinco sumandos, cuatro negativos y uno positivo, de manera que la suma sea –7.328. 8. Encuentra los números que faltan. Verifica tus respuestas con la calculadora, no debes tener ningún error.

a) –15 + 13 + m = 0 m=

b) 17 + –20 + n = –75 n=

d) –2.5 + q + –12 = 7.8 q=

e) 3 + r + – 9 = –2 r=

1 3 f) – 5 + s + 8 = 0 s=

g) –1.3 + t + –2.4 = –10 t=

h) 7.45 + –12.8 + u = 15 u=

3 1 i) –v + 4 + 6 = 0 v=

1

c) p + 18 + –35 = –100 p=

1

55 9

primer grado

041-058

55

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

30

¿Cómo restamos números con signo?

•••••••••••••••••••••••

También podemos hacer restas con números negativos. Por ejemplo, haz en tu calculadora la siguiente operación 9 — –8. Nota que el primer signo “menos” (—) es el que se usa para restar, y que el segundo signo (–) es el que se utiliza para escribir números negativos en la calculadora. 1. ¿Qué resultado da la calculadora cuando haces la operación 9 — –8? ¿Por qué crees que se obtiene ese resultado?

2. Teclea en la calculadora la expresión 10 — –6 y luego presiona la tecla ENTER o EXE según corresponda. ¿Qué resultado da la calculadora? ¿Qué crees que hace la calculadora cuando tecleas, uno enseguida del otro, los dos signos para la expresión “menos”? 3. Realiza las siguientes operaciones usando la calculadora.

a) 9 — –10 =

b) 14 — –14 =

1 1 c) 2 —– 2 =

d) 13 — – 13 =

e) –18 — –14 =

f ) –100 — –48 =

4. Explica qué operaciones realiza la calculadora para restar un número negativo.

5. Encuentra el número que falta. Usa la calculadora para verificar tus respuestas.

a) 4 — a = 10 a=

b) – 12 — b = 34 b=

c) – 13 — c = 12 c=

d) –18 — d = 20 d=

e) –40 — e = 50 e=

f ) 16 — f = 40 f=

g) –17.5 — g = –19.4 g=

h) 38.7 — h = 62.4 h=

i) –17.9 — k = 100 k=

6. En el laboratorio de química un alumno observó que cada 60 segundos la temperatura de una sustancia disminuía la misma cantidad de grados. Al iniciar el experimento la temperatura de esa sustancia era 36 °C y seis minutos después era 24 °C. En otro experimento el alumno observó que otra sustancia tenía una temperatura de –30 °C y que disminuía 4 °C cada minuto. Si él inició los dos experimentos al mismo tiempo, ¿después de cuántos minutos las dos sustancias tendrán la misma temperatura? ¿Cuál es esa temperatura?

9 56 041-058

números con signo

56

11/25/02, 9:48 AM

ACTIVIDAD

31

¿Sirven para algo los números con signo?

••••••••••••••••••••

1. Escribe una suma de números con signo que corresponda a cada una de las siguientes situaciones.

a) En una ciudad la temperatura a las 10 de la noche era 16°C. A partir de esa hora la temperatura disminuyó 1°C cada diez minutos. ¿Cuál era la temperatura a las 5:00 AM del día siguiente?

b) Un equipo de futbol americano perdió 2 yardas en la primera oportunidad, en la segunda oportunidad ganó 7 yardas, en la tercera logró cero yardas, y en la última perdió 9 yardas. ¿Cuál fue el resultado de sus intentos en las cuatro oportunidades?

c) Colón descubrió América en 1492. Roma fue fundada 2 275 años antes. ¿En qué año tuvo lugar la fundación de Roma?

d) Completa el siguiente cuadrado escribiendo en cada espacio uno de los siguientes números: –13, –10, –7, –4, 2, 5, 8 y 11. La condición que debe cumplir tu cuadrado mágico es que cualesquiera tres números colocados en línea recta deben sumar lo mismo.

–1

57 9

primer grado

041-058

57

11/25/02, 9:48 AM

041-058

58

11/25/02, 9:48 AM

Actividades segundo grado

059-073

59

11/26/02, 11:33 AM

ACTIVIDAD

32

¿Qué números dividen a otros?

••••••••••••••

1. Un alumno dice que cualquier número entero, excepto el cero, puede dividirse entre sí mismo y el 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que dice ese compañero? ¿Por qué?

2. Haz en tu calculadora la operación 5 ÷ 0 y observa qué pasa. Comenta este resultado con tu profesor y tus compañeros y anota tus conclusiones.

3. ¿Puedes encontrar un número entero que esté entre 50 y 60 y que sólo pueda dividirse entre sí mismo y el 1 sin dejar residuo? ¿Cuál es ese número? 4. Una compañera dice que encontró 10 números enteros que están entre 80 y 120 que sólo pueden dividirse entre sí mismos y el 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que dice? ¿Cuáles son esos números? 5. Otro alumno dice que entre el 120 y el 130 no hay números que sólo puedan dividirse entre sí mismos y entre el 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que él dice? ¿Por qué? 6. ¿Puedes encontrar cinco números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otro número?

¿Qué números con esas caracterís-

ticas encontraste? 7. ¿Puedes pensar un método para encontrar números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1 y otro número? Describe tu método.

9 60 059-073

divisibilidad

60

11/25/02, 10:01 AM

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Qué números dividen a otros?

8. Busca cinco números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otros dos números más. ¿Qué números encontraste? 9. ¿Puedes pensar en un método para encontrar números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otros dos números? Describe tu método.

10. ¿Puedes encontrar un método para construir números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otros tres números? Haz una lista de 10 números con esas características.

61 9

segundo grado

059-073

61

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

33

¿Números que se dividen entre 7 y 11?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Lee con atención lo siguiente: 10 es divisible entre 5 y entre 2 porque 5 × 2 = 10 56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 7 × 8 = 56 1. Da otros tres ejemplos de números que sean divisibles entre 7

2. Construye tres números enteros que estén entre 100 y 300, y que sean divisibles entre 7. Escribe a continuación los números que construiste.

3. Construye tres números enteros que estén entre 1000 y 1300, y que sean divisibles entre 7. Escribe a continuación los números que construiste. 4. Describe con un ejemplo cómo construiste números divisibles entre 7. Hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda.

5. Construye tres números mayores que 200 y menores que 300 que sean divisibles entre 11. Escribe a continuación los números que construiste.

6. ¿Encontraste algún método para construir números divisibles entre 11? Describe tu método con un ejemplo. Hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda.

7. Encuentra un método para construir números divisibles entre 11 y entre 13. Describe a continuación tu método usando dos ejemplos. Hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender.

9 62 059-073

divisibilidad

62

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

34

¿Esos “numerotes” son divisibles entre todo eso?

•••••••••••••••

Éste es un juego matemático. Ganas el juego si puedes explicar por qué pasa lo que enseguida observarás. 1. Escribe un número entero de tres cifras, el que tú prefieras. 2. Repite ese número a continuación del que ya tienes. Tendrás entonces un número de seis cifras, en el que las tres primeras cifras son idénticas a las tres últimas. Por ejemplo, 324 324. Escribe el número que construiste a continuación. 3. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 7? Comprueba tu respuesta y di qué observas.

4. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 11? Comprueba tu respuesta y di qué observas.

5. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 13? Comprueba tu respuesta y di qué observas.

6. Discute lo que observaste con tus compañeros. ¿Ellos encontraron lo mismo que tú? ¿Cuáles son tus conclusiones?

7. Construye otros números de seis cifras de manera que las tres primeras cifras sean iguales a las tres últimas. ¿Esos números son divisibles entre 7, 11 y 13? ¿Qué hiciste para comprobar tu respuesta?

8. Ésta es la clave del juego juego; si puedes dar una respuesta correcta a la siguiente pregunta habrás ganado. ¿Por qué cualquier número de seis cifras que construyas de esa manera es siempre divisible entre 7, 11 y 13? Da tu respuesta de manera que cualquiera de tus compañeros la pueda entender. Tu profesor decidirá quién o quiénes son los ganadores en este juego.

63 9

segundo grado

059-073

63

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

35

¿Qué fracciones dan la suma mayor? 1. Hay 11 fracciones distintas a

3 4

y

5 6

••••••••

que pueden construirse con los números

3, 4, 5 y 6. ¿Cuáles son esas fracciones?

(Observa que 33 = 44 = 55 = 66 = 1.)

a) ¿Cuál de las parejas de fracciones que construiste produce una suma menor? b) ¿Cuál es la pareja cuya suma es mayor? 2. ¿Cuáles son las fracciones distintas que pueden construirse con los números 2, 3, 6 y 8?

a) Sin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma menor. b) Sin hacer las sumas indica cuál es la pareja que crees que dará la suma mayor.

3. Forma las trece fracciones distintas que pueden construirse con los números 2, 3, 6, 8. Escríbelas en el espacio de abajo.


4. Ahora elige cuatro números enteros y forma las fracciones que se pueden construir con ellos. Escribe esas fracciones en el espacio de abajo.

9 64 059-073

fracciones comunes y sus operaciones ll

64

11/25/02, 10:01 AM

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Qué fracciones dan la suma mayor?


5. De los números 9, 10, 13, 14, 15 y 26, elige cuatro, de manera que con ellos se formen dos fracciones cuya suma sea la menor posible. ¿Cuáles son esas dos fracciones?

6. ¿Encontraste un método para saber cuál pareja o terna de fracciones dará la suma mayor y cuál dará la suma menor? Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda.

65 9

segundo grado

059-073

65

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

36

Multiplicaciones y fracciones

••••••••••••••••

1. Realiza las siguientes operaciones usando la calculadora. 2 a) 3 × 15 =

3 7 b) 4 × 8 =

c) 37 × 15 =

d) 29 × 4 = 11

Observa los resultados que obtuviste. ¿Qué operaciones crees que hizo la calculadora con esos números para realizar las operaciones anteriores?

2. Encuentra las fracciones que faltan. 2 a) 3 × ab = 1

b) 34 × c d

=1

7 c) 8 × df = 1

d) 7 × qp = 1

e) 2 × r = 1 5 s

f) 9 × m = 1 n 10

g) 5 × x = 1 7 y

h) 12 × y = 1 z

4 3 3. Una alumna de otra escuela dice que la operación 5 × 3 le permite construir una fracción equivalente a 45 . ¿Lo que dice es cierto? ¿Si multiplicara 4 5

6

por 6 , también obtendría una fracción equivalente? respuesta.

Justifica tu

8

4. De las siguientes fracciones encierra en un círculo las que sean equivalentes a 24 . 4

1

16

8 a) 12

b) 12

c) 3

d) 24

e) 40

f ) 48

g) 46

h) 60

120

72

32

5. Describe detalladamente el método que utilizaste para responder la pregunta anterior.

9 66 059-073

fracciones comunes y sus operaciones ll

66

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

37

Programación de una expresión l

••••••••••••••

1. Un alumno construyó la tabla que se muestra a continuación. Para hacerlo realizó unas operaciones con los números de entrada y así obtuvo los números de salida. Número de entrada

1

3

5

7

9

11

Número de salida

0

8

24

48

80

120

¿Puedes adivinar qué operaciones hizo ese alumno? 2. ¿Qué resultado obtendrá si el “número de entrada” es 6? ¿Si es 10?

¿Si el número de entrada es 0?

¿Ya sabes qué operaciones hizo? En efecto, a cada número de entrada lo multiplicó por sí mismo y luego restó 1, así obtuvo los números de salida. 3. Ahora aprenderás a programar la calculadora para que reproduzca la tabla que hizo ese alumno. Para esto sigue las instrucciones que se dan a continuación. A. Observa el teclado de la calculadora y elige tu letra favorita. Nosotros usaremos la letra a, tú usa la que quieras. 1, tú usa tu letra favorita. La figura 1 muestra esto. B. Teclea la expresión a × a —1 C. Presiona la tecla 2nd y luego la letra k, esto produce la barra vertical que aparece enseguida del 1 (ve la figura 1). D. Usa 2nd y la tecla del paréntesis para imprimir una “llave” ({). Como se ve en la figura 1. E. Teclea los valores de entrada de la tabla separándolos con una coma. Cierra la “llave” (}) y presiona la tecla ENTER ENTER. Si hiciste todo correctamente la pantalla de tu calculadora se verá como la de la figura 1. Figura 1 {

} }

{

{ , ,

, ,

}

. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla. Número de entrada

–1.5

1.5

0

0.5

1.5

2.5

2.5

4

Número de salida

67 9

segundo grado

059-073

67

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

38

Programación de una expresión ll

••••••••••••

En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente: Número de entrada

1

3

5

7

9

Número de salida

2

10

26

50

82

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora si escribo en mi programa el número 4? ¿ Y si escribo el número 6?

¿Si escribo el número 17?

¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?

2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo que la mía? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

3. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla. Número de entrada Número de salida

25

37.03

551

653.38

59.83

117.18

136.1

200.79

4. ¿Qué operaciones hiciste para obtener los valores asociados a 551 y 653.38?

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 653.38 es el correcto?

9 68 059-073

preálgebra

68

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

39

Programación de una expresión lll

••••••••••••••

1. Encuentra los números que faltan y completa la tabla. Número de entrada

2.5

3.1

4

Número de salida

7.5

9.3

12

5.3

6.2

7.4

2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener los números que faltaban en la tabla?

3. ¿Puedes programar tu calculadora para encontrar los números de la segunda columna de la tabla anterior? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

Comprueba que tu programa permite obtener los mismos números que se muestran en la tabla. 4. Completa la tabla usando el programa que escribiste. Número de entrada

9

17

18.04

47.01

50.4

Número de salida

63.9 89.1

92.4

¿Qué operaciones hiciste para obtener los valores asociados a 89.1 y 92.4?

3. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 92.4 es el correcto? Explícalo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

69 9

segundo grado

059-073

69

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

40

Comprobación de programas

•••••••••••••••••••••

Construí esta tabla usando un programa. Número de entrada

Número de salida

1

3

2.6

6.2

3

7

4.3

9.6

5

11

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora si escribo en mi programa el número 50? ¿Y si escribo el número 81? ¿Si escribo el número 274? 2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?


4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. Número de entrada

12

16

19.05

48.02

51.45

62.7

Número de salida

88.2

95.4

5. Un alumno dice que puedes usar el programa que hiciste para comprobar que el valor que obtuviste para 88.2 es el correcto ¿Estás de acuerdo con él? Indica con la mayor precisión posible cómo puedes usar el programa que hiciste para comprobar que el valor que obtuviste para 95.4 es el correcto.

9 70 059-073

preálgebra

70

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

41

Programas diferentes para una expresión

••••

En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente Número de entrada

Número de salida

1

1

2

3

3

5

4

7

5

9

1. ¿Qué resultado me dará la calculadora si escribo en mi programa el 6? ¿Y si escribo el 7?

¿Y el 15?

2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?

3. Programa tu calculadora para que haga lo mismo que la mía. Escribe tu programa en el cuadro de la derecha. Comprueba si tu programa produce los mismos resultados que el mío. 4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Comprueba con tu programa que los valores que obtuviste para 25 y 137 son los correctos. Número de entrada Número de salida

10

11

15

27 25

259.14 137

5. ¿Cómo puedes comprobar si el valor que obtuviste para 137 es el correcto?

71 9

segundo grado

059-073

71

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

42

Corrección de programas

••••••••••••••••••••••••

1. Encuentra los números que faltan y completa la siguiente tabla. Número de entrada –10 Número de salida

–9.7

–7.8

–6.2 –5.3

–9.5 –9.2

–7.3

–5.7

–4.6 –0.7

0

1.3

12.4

2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga el trabajo de completar la tabla? Una vez que lo hayas hecho, escribe tu programa en el cuadro de la derecha. Usa el programa que hiciste para obtener los números que se muestran en la tabla anterior. ¿Pudiste obtener los mismos números? Si no es así, corrige tu programa e intenta de nuevo. 3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste. Comprueba con tu programa que el valor que encontraste para –10.3 es el correcto. Número de entrada

–20

–14.7

–13.8

–12.3

Número de salida

–9.6 –10.3

2.5 0

4. Usa tu programa para comprobar que los valores que obtuviste para –10.3 y 0 son los correctos. ¿Obtuviste los mismos valores?

Si no fue así, corrige tu

programa e inténtalo de nuevo.

9 72 059-073

preálgebra

72

11/25/02, 3:42 PM

ACTIVIDAD

43

Descripción de programas

•••••••••••••••••••••••••

1. ¿Puedes ayudarme a encontrar los números que faltan? Número de entrada

Número de salida

–15

–16.5

–14.5

–16

–12.4

–13.9

–10.2

–11.7

–5.8 –4.6 –0.9 0 1. ¿Qué operaciones hiciste para encontrar los números que faltaban en la tabla? Escribe un ejemplo usando uno de los números de la misma.

2. ¿Puedes programar tu calculadora para reproducir los números de la tabla? Una vez que hayas hecho tu programa, escríbelo en el cuadro de la derecha. Comprueba que el programa te permite encontrar los mismos números que se muestran en la tabla. 4. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste. Número de entrada Número de salida

–20

–13.8 –17.3

–10.83 –11.9

–.05 –9.72

10

5. Describe cómo usarías el programa para comprobar que el valor que obtuviste para –9.72 es correcto.

73 9

segundo grado

059-073

73

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

44

Construcción de programas l

••••••••••••••••••••

En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente: Número de entrada

Número de salida

10.5

5.25

14.42

7.21

15.3

7.65

16.7

8.35

20.1

10.05

1. Si escribo el número 6 ¿qué número va a dar como resultado la calculadora? ¿Y si escribo 19.3?

¿Si escribo el número 56?

¿Y si escribo 177? 2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañeros pueda entenderte.

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga lo mismo que la mía? Una vez que lo hayas hecho, escribe tu programa en el cuadro de abajo.

Comprueba si el programa te permite obtener los mismos valores que los de la tabla.

9 74 074-081

preálgebra

74

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

45

Construcción de programas ll

••••••••••••••••••••••

Escribí un programa que produce estos valores: Número de entrada

Número de salida

6

9

8

12

14

21

15

22.5

18

27

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora si escribo el número 10? ¿Y si escribo 13.4?

¿Si escribo 15.6?

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañeros pueda entenderte.


4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Número de entrada Número de salida

20

35 33

44 57

72 75

123

5. Explica cómo usas tu programa para comprobar que los valores que encontraste para 57, 75 y 123 son los correctos.

75 9

segundo grado

074-081

75

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

46

Construcción de programas lII

••••••••••••••••

Hace falta completar esta tabla. ¿Puedes encontrar los números? Número de entrada

Número de salida

4

4.04

6

6.06

9

9.09

10

10.1

12

12.12

15.5 17.8 19.2 20.4 50.2 1. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que cualquiera de tus compañeros pueda entenderte.

2. ¿Puedes programar tu calculadora para obtener los valores de la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de la derecha.

Comprueba que tu programa produce los mismos números que aparecen en la tabla. Si no es así corrígelo e inténtalo de nuevo. 3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. Número de entrada Número de salida

1

3.1 2.222

9 4.343

32 12.12

38.784

4. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.

9 76 074-081

preálgebra

76

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

47

Construcción de programas lV

•••••••••••••••••••••

1. Un alumno dice que el programa B × 4 + 1 produce los mismos resultados que el programa B × 5 5. ¿Estás de acuerdo?

Justifica tu respuesta con un ejemplo.

3. Una alumna de otra escuela dice 2. Escribí en mi calculadora el programa M + 2 × 3 que si le doy el valor 4 me dará por resultado 18. ¿Estás de acuerdo con ella?

Justifica tu respuesta con un ejemplo.

3. Otro alumno dice que si M = 5 5, el programa M + 2 × 3 le dará por resultado 21. ¿Estás de acuerdo?

¿Por qué?

4. Completa la siguiente tabla sin utilizar la calculadora. Programa: C + 5 × 2 Número de entrada Número de salida

2

5

8

9

12

65

115

150

5. Ahora escribe ese programa en la calculadora y úsalo para completar de nuevo la tabla anterior. ¿Obtuviste los mismos resultados?

Si no coinciden los

resultados de tu programa con los que obtuviste, explica detalladamente por qué ocurre eso.

77 9

segundo grado

074-081

77

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

48

Construcción de programas V

•••••••••••••••••

1. Escribe en tu calculadora el programa N + 2 × 3. Usa este programa para completar la siguiente tabla. Número de entrada

6

8

9

10

12

Número de salida 2. Una vez que hayas completado la tabla, observa los resultados y explica qué hace ese programa con cada número de entrada. 3. A continuación, escribe este programa en forma más breve.

4. Un alumno de otra escuela dice que este programa hace lo siguiente: “Primero suma 2 y luego multiplica el resultado de eso por 3”. ¿Estás de acuerdo con lo que dice? ¿Por qué?

5. Escribe en tu calculadora el programa (R — 1) × 3. Completa la siguiente tabla conforme al mismo. Número de entrada

2

4

5

7

8

10

Número de salida Observa los resultados que obtuviste y explica qué es lo que hace ese programa.

6. Otro alumno dice que este programa hace lo siguiente: “Primero resta 1 y luego multiplica el resultado de eso por 3”. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?

9 78 074-081

preálgebra

78

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

49

Construcción de programas Vl

•••••••••••••••••••••

Construí un programa que hace lo siguiente: Primero resta 2 y luego multiplica por 3 Con él completé la siguiente tabla. Número de entrada

2

4

7

9.2

11

15.5

18.4

19.1

Número de salida

0

6

10

21.6

27

40.5

49.2

51.3

1. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados de arriba. Cuando hayas comprobado que funciona bien, escríbelo en el siguiente cuadro.

2. Un estudiante dice que el programa P + 5 × 4 primero suma 5 y luego multiplica por 4. ¿Estás de acuerdo?

¿Por qué?

3. Otro estudiante dice que el programa (R + 2) × 3 da los mismos resultados que el programa 3 × R + 6. ¿Estás de acuerdo?

Justifica tu respuesta mediante

un ejemplo.

4. La siguiente tabla se construyó con un programa en el que se usaron paréntesis. ¿Puedes encontrar cuál es ese programa? Si lo hiciste pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el cuadro de abajo. Número de entrada

1

3

4

6

7

9

10

11

Número de salida

4

8

10

14

16

20

22

24

79 9

segundo grado

074-081

79

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

50

Construcción de programas VII

•••••••••••••••

1. Un alumno dice que los programas (A × 2) + 2 y A × 2 + 2 producen resultados distintos. ¿Estás de acuerdo con él?

Justifica tu respuesta mediante dos

ejemplos.

2. Una alumna dice que los programas (B + 2) × 2 y B + 2 × 2 producen los mismos resultados. ¿Estás de acuerdo con ella?

Justifica tu respuesta mediante

dos ejemplos.

3. Explica, de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender, para qué sirven los paréntesis. Ilustra tu explicación con algunos ejemplos.

4. Subraya los programas en los que, si quitas los paréntesis, aún sigues obteniendo los mismos resultados. No debe haber ningún error en tus respuestas. Verifícalas usando tu calculadora. (3 × B) + 5

3 × (A + 5)

(C + 4) + C

(D + D) × 3

(K — 2) ÷ 3

K — (2 ÷ 3)

( 2 + P) — 1

( R + 4) ÷ 5

5. Escribe los paréntesis que hacen falta de manera que los resultados sean correctos si haces las operaciones en la calculadora. Verifica que no tengas ningún error en tus respuestas. 5 + 3 × 4 = 32

6 × 7 + 2 — 1 = 48

6 × 7 + 2 — 1 = 53

4+8÷4=3

3 × 6 + 4 = 18 + 12

5 × 3 + 4 = 15 + 20

7—4—2=5

6 + 8 — 7 — 5 = 10

9 80 074-081

preálgebra

80

11/25/02, 3:32 PM

ACTIVIDAD

51

Construcción de programas VIII

•••••••••••••••••••

Hice un programa que produce lo siguiente: Número de entrada

Número de salida

1

4

1.5

6

3

12

5

20

1. ¿Qué resultado va a dar la calculadora si el número de entrada es 8? ¿Y si escribo 10 como número de entrada?

¿Y si el número de entrada

es 70? 2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?

3. Intenta programar tu calculadora para que haga lo mismo. Una vez que lo hayas logrado, escribe el programa que hiciste en el cuadro de abajo.

4. Ahora escribe otro programa que haga lo mismo. Una vez que lo hayas hecho, escríbelo en el cuadro de abajo.

5. ¿Puedes construir otros programas distintos que hagan lo mismo? Escríbelos abajo.

81 9

segundo grado

074-081

81

11/25/02, 10:01 AM

ACTIVIDAD

52

Construcción de programas IX

••••••••••••••••

Construí un programa que hace lo siguiente: Número de entrada

Número de salida

2

3

4

6

8

12

10

15

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el número de entrada es 5? ¿Y si el número de entrada es 6?

¿Si el número de entrada es 15?

2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?

3. Intenta programar tu calculadora para que haga lo mismo. Una vez que lo hayas logrado, pruébalo en tu calculadora y si funciona escríbelo en el cuadro de abajo.

4. Una alumna dice que el programa B + B ÷ 2 da los mismos resultados que el mío. ¿Estás de acuerdo con ella?

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu

respuesta.

5. ¿Puedes escribir otro programa como el que ella hizo y que además produzca los mismos resultados que se muestran en la tabla? Pruébalo en tu calculadora. Si funciona, escríbelo en el cuadro de abajo.

6. ¿Puedes encontrar otros programas distintos que hagan lo mismo? Pruébalos en tu calculadora y si funcionan escríbelos abajo.

9 82 082-089

preálgebra

82

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

53

Construcción de programas X

••••••••••••••••••••••

Analiza la tabla que se muestra a continuación. Número de entrada

Número de salida

1

0.25

2

0.5

3

0.75

4

1

6

1.5

1. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos resultados que mi tabla? Prueba tu programa y, si funciona, escríbelo en el cuadro de abajo.

2. Un alumno dice que el programa (B + B) ÷ 8 produce los mismos resultados. ¿Estás de acuerdo con él?

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

3. ¿Puedes construir otro programa como el que hizo ese alumno y que produzca los mismos resultados de la tabla? Pruébalo en tu calculadora y, si funciona, escríbelo en el cuadro de abajo.

4. ¿Puedes construir otros programas distintos que hagan lo mismo? Pruébalos en tu calculadora y escríbelos abajo.

83 9

segundo grado

082-089

83

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

54

Construcción de programas XI

•••••••••••••••••••••

Analiza los resultados que se muestran en la tabla Número de entrada

Número de salida

–1

–0.5

3

1.5

7.4

3.7

17

8.5

21

1.5

1. ¿Cuál va a ser el número de salida si el número de entrada es 5? 2. ¿Y si el número de entrada es 6?

¿Cuál es el número de entrada si

el número de salida es 20? 3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos resultados? Una vez que lo hayas hecho, prueba tu programa y, si funciona, escríbelo en el cuadro de abajo.

4. ¿Puedes escribir otro programa que haga lo mismo? Una vez que lo hayas hecho, pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el cuadro de abajo.

5. Una alumna dice que el programa (R + R) ÷ 4 produce los mismos resultados. ¿Estás de acuerdo con ella?

¿Puedes construir otros programas como el de

ella que produzcan los mismos resultados? Pruébalos en tu calculadora. Si funcionan, escríbelos en los cuadros de abajo.

9 84 082-089

preálgebra

84

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

55

Construcción de programas XII

••••••••••••••••••••••

Encuentra los números que faltan y completa la tabla. Número de entrada

Número de salida

4

6

6

9

10

15

12 16

24

18 22

33 45

1. Si el número de entrada es 12, ¿qué valor le corresponde? ¿Y si es 20?

Si el número de salida es 60,

¿cuál será el número de entrada? 2. Un alumno dice que el programa P × 3 ÷ 2 produce los mismos resultados. ¿Estás de acuerdo con él?

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.

3. Una alumna dice que el programa Q + Q ÷ 2 también produce los mismos resultados. ¿Estás de acuerdo con ella?

Escribe dos ejemplos que justifiquen tu

respuesta. 4. Construye otro programa que haga lo mismo. Una vez que lo hayas hecho, prueba tu programa en la calculadora y, si funciona, escríbelo en el cuadro de abajo.

5. ¿Puedes construir otros programas que produzcan los mismos resultados? Pruébalos en tu calculadora y, si funcionan, escríbelos en los cuadros de abajo.

85 9

segundo grado

082-089

85

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

56

Programas equivalentes

•••••••••••••••••••••••••••

Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados. 1. Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A × 1.

2. Un alumno dice que el programa A × 1 es equivalente al programa A. ¿Estás de Escribe en tu calculadora el programa A y compara

acuerdo con él?

los resultados con el programa A × 1. Escribe tus conclusiones a continuación.

3. Construye tres programas equivalentes al programa 3 × B. Pruébalos en tu calculadora y, si producen los mismos resultados, escríbelos a continuación.

4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa B. No debes tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas. A÷2+A÷2

4×B—4×B

5×C—4×C

B÷B

1×D×1

5. Subraya los programas que sean equivalentes al programa 1.5 × A. No debes tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas. 3×A÷2

B×3÷2

6×C÷4

2×B—B÷2

9 86 082-089

D + 0.5 × D

preálgebra

86

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

57

Incógnitas y ecuaciones

••••••••••••••••••••••••••••••

1. En las siguientes expresiones se ha usado una letra para representar un número que falta. El objetivo es que en cada inciso encuentres el número que falta y que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. Usa la calculadora para verificar tus respuestas.

a) b + 1.03 = 24.7

b) m — 1.67 = 30.25

b=

c) p — 12.22 = 4.05

m=

d) 4.8 — r = 3.5 r=

e)

5.2 n

p= f) 5 × b — 1 = 29

=4

n=

g) k — 1.5 = 6.2 k=

b=

h) 2 × c = 11

i) 3 × a + 1 = 121

c=

a=

2. ¿Habrá manera de verificar que tus respuestas son correctas? Discute esto con tus compañeros y anota el método que te parezca más eficaz.

3. Una alumna dice que el número que falta en 4 × d + 2 = 4 es 0.5. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Por qué?

4. Otro alumno dice que el número que falta en 2 × c = 11 es 5.5, y una alumna dice que es

11 2

. ¿Quién de los dos tiene razón? ¿Los dos están equivocados? ¿Las dos

respuestas son correctas? Discute esto con tus compañeros y anota tus conclusiones.

Resumen A expresiones como las anteriores (por ejemplo, 3 × b + 2 = 14) las llamaremos ecuaciones, y a la letra que aparece en una ecuación la llamaremos incógnita. Podemos usar cualquier letra del alfabeto para representar una incógnita. En una ecuación puedes sustituir una incógnita con cualquier valor numérico, por ejemplo, en la ecuación 3 × b + 2 = 14 podemos decidir que b valga 5, por lo que 3 × b + 2 = 3 × 5 + 2 = 17. Sin embargo, la condición en esta ecuación es que el valor 14, por lo que b = 5 no es el número que buscamos. numérico de 3 × b + 2 sea 14 Observa que sólo cuando b = 4, 3 × b + 2 es igual a 14. Por esto, diremos que b = 4 es la solución de 3 × b + 2 = 14.

87 9

segundo grado

082-089

87

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

58

Números perdidos

••••••••••••••••••••••••••••••••••

1. ¿Puedes encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones? El objetivo consiste en que ninguna de tus respuestas sea incorrecta. Verifica los resultados usando tu calculadora.

a) 2 × a — d)

5 7

1 3

—b=

=1 1 4

g) 356 + 2 × x = 376

b) 18 = 5 × a + 3

c) 27 = 18 × a + 9

e) 3.4 = c + 1.2

f) d × 4 —

h) 457 = 25 + 2 × y

i) 18 + 3 × y = 45

1 8

=

7 8

2. ¿Encontraste un método para resolver las ecuaciones anteriores? Descríbelo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

3. Auxíliate de la calculadora para encontrar los números que faltan y comprobar que tus respuestas sean correctas. Anota en cada espacio las operaciones que hiciste.

a) 2 + 3 × m = 2 × m + 7

m= c) 120 + 5 × p = 10 × p + 85

p=

b) 25 + 3 × y = 8 × y + 5

y= d) 18 × q — 1 = 0

q=

e) b3 — 120 = 5

b=

f) b3 + 2 × b = 12

b=

g) 5x = 3125

x=

h) 2x = 64

x=

9 88 082-089

preálgebra

88

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

59

Ecuaciones con más de una solución I

• • • • • • • •

1. Una alumna dice que la ecuación x2 = 25 tiene dos soluciones: x1 = 5 y x2 = 5. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Por qué? Escribe tus conclusiones de manera que cualquiera de tus compañeros las pueda entender.

2. Un alumno encontró dos soluciones para la ecuación x2 + x = 0. ¿Tú también las puedes encontrar? Escribe a continuación tu respuesta y explica que razonamiento seguiste para resolver esa ecuación.

3. Otra alumna dice que encontró dos soluciones para la ecuación x2 + x = 20. Una es x = 4 y la otra es x = –5. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Por qué? Escribe tus conclusiones y compáralas con las de tus compañeros.

4. Las siguientes ecuaciones tienen dos soluciones. Encuéntralas y verifica tus respuestas usando la calculadora. No debe haber ningún error en tus respuestas.

x 2 + 5 = 69

y 2 = 400

a2 + 2 × a = 0

x1 =

y1 =

a1 =

x2 =

y2 =

a2 =

x 2 — x = 90

a 2 + 2 = 123

a 2 — 7 = 93

x1 =

a1 =

a1 =

x2 =

a2 =

a2 =

c 2 — 3 × c = 10

d2 — 2 × d = 8

m 2 + 3 × m = 70

c1 =

d1 =

m1 =

c2 =

d2 =

m2 =

89 9

segundo grado

082-089

89

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

60

Ecuaciones con más de una solución II

••••

La solución de la ecuación 2 × y — 4 = 8, es y = 6, porque 2 × 6 — 4 = 8. ¿Estás de acuerdo en que 6 también es la solución de la ecuación 5 × a + 4 = 34 1. Construye otras tres ecuaciones distintas cuya solución también sea 6.

2. Construye tres ecuaciones distintas cuya solución sea y = –4.

3. Construye tres ecuaciones distintas cuya solución sea b =

2 3

. Pide a uno de tus

compañeros que las resuelva para verificar tus respuestas.

4. Un alumno dice que x = 2 es la solución de la ecuación ¿Estás de acuerdo con él?

2 × (3x + 4) 3

= x + 2.

Explica a continuación por qué.

5. Construye tres ecuaciones como la de la pregunta anterior que tengan por solución x = 2. Intercambia con algún compañero tus ecuaciones y resuélvanlas para que verifiquen que todas las ecuaciones que están proponiendo tienen por solución x = 2.

6. ¿Encontraste un método para construir ecuaciones a partir de una solución que ya conoces? Descríbelo de manera que cualquiera de tus compañeros pueda entenderlo.

9 90 090-095

preálgebra

90

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

61

Ecuaciones equivalentes

••••••••••••••••••••••••••••

1. A las ecuaciones que tienen la misma solución se les llama ecuaciones equivalentes. Por ejemplo, las ecuaciones 7 × y — 5 = 51 y 5 × m + 3 = 43 son equivalentes porque ambas tienen la misma solución. ¿Cuál es? 2. De las siguientes ecuaciones encuentra las que son equivalentes. Justifica tus respuestas.

a) 4 (x + 12) + 7 = 87

b) 7 × 5 — 3 = 32

c) 12 + 4 × a = 14

d) 15 + 6 × y = 18

e) 2 × m + 11 = 15

f) 5 × b — 1 = 44

g) 28 — 5 × p = 3 j) 3 × y + 1 = 0

h) 23 — 12 × r = 17 k) 20 — 2 × m = 2

i) 21 + 8 × k = 25 l) 42 + 4 × n = 62

3. Unos alumnos resolvieron las ecuaciones que se muestran a continuación. Revisa sus respuestas, si encuentras algunas incorrectas corrígelas y escríbelas. a) 3 × a + 5 = 41, a = 12

b) 4 × p — 2 = 20, p = 7

c) 16 — r = 0, r = 16

d) 20 = 5 , k = 4

e) 2 × n + 5 = 5, n = 0

f) 2 × a + 1 = 3, a = 7

g) (b + 3) × 2 — 4 = 8, b = 3

h) 7 = 3 × y + 1 , y = 9 4

i) 4 × a — 1 = 9, a = 27

j) (2 × b + 3) × 5 — 1 = 34, b = 3

k) (2 + 3 × x) × 4 = 20, x = 1

l) 2 × x — 1 = 5, x = 3

k

5

3

91 9

segundo grado

090-095

91

4—x

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

62

Resolución de ecuaciones por tanteo y refinamiento

• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

En esta hoja de trabajo te mostraremos la estrategia que usó Rodrigo para resolver ecuaciones. Muy probablemente tú usaste alguna estrategia como la de Rodrigo cuando resolviste ecuaciones. Sin embargo, conocer otras formas de resolverlas enriquecerá lo que ya sabes. Llamaremos tanteo y refinamiento a la estrategia que usó. A Rodrigo se le pidió que resolviera la ecuación x2 — 9 = 55. La estrategia que empleó se describe a continuación: • Empezó por preguntarse, ¿qué significa x 2 ? Su respuesta fue “x 2 representa un cierto número que se va a elevar al cuadrado”. • Después, intentó varias veces, dándole valores a x. Primero probó con x = 5, y obtuvo que x 2 = 5 x 5 = 25. Pero 25 — 9 = 16, y el resultado que quería era 55. • Entonces intentó con un número más grande, x = 9. Pero x 2 = 81, y 81 — 9 no da 55. • Finalmente encontró la solución: x = 8. Él estaba seguro de que ésa era la solución porque 82 = 64 — 9 = 55. Como (–8)2 = (–8) × (–8) = 64, entonces también x = –8 es solución de esa ecuación. Al resolver ecuaciones en las anteriores hojas de trabajo, ¿pensaste de manera parecida a Rodrigo?

¿Entendiste cuál era su estrategia?

Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las siguientes ecuaciones usando la misma estrategia.

a) x 2 + 15 = 31

b) x 2 + 31 = 40

c) y 3 — 10 = 54

d) y 4 — 1 = 15

e) p 2 — 4 = 117

f) 67 = p 2 + 18

9 92 090-095

preálgebra

92

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

63

Reducción a ecuaciones más simples

• • • • • • • • •

En esta hoja de trabajo te mostraremos la estrategia que usó Mariana. A ella se le pidió que resolviera la ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59. Su estrategia consistió en ver la ecuación como un todo completo e irla reduciendo sistemáticamente a una más sencilla. A la estrategia de Mariana la llamaremos construcción de ecuaciones más simples. la forma en que ella razonó se describe a continuación. Primero se preguntó qué significaba la expresión 5 × (a + 2), y se dio cuenta de que 5 × (a + 2) significa que a + 2 se debe multiplicar por 5. El problema es que ella no sabía cuál era el valor de a + 2. Después de algunos intentos encontró que no es difícil resolver esa ecuación. Y razonó como sigue: • Como 5 × (a + 2) + 4 = 59, entonces 5 × (a + 2) debe valer 55, porque 55 + 4 = 59. Esto le permitió construir una ecuación más simple: 5 × (a + 2) = 55. • De la misma manera encontró que (a + 2) debe valer la quinta parte de 55, es decir 11. Eso le permitió reducir la aparentemente difícil ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59, a una mucho más sencilla: a + 2 = 11, cuya solución es a = 9. 1. Comprueba que a = 9 es la solución de la ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones usando el método de Mariana. Recuerda que no debes tener errores en lo que escribas ya que siempre puedes comprobar antes tus respuestas.

a) 4 (x + 12) + 7 = 87

b) 10 + 3 (y — 8) = 31

c) 34 — 2(a — 1) = 18

d) 7 (b + 3) — 5 = 51

e) 22 +

p +8 3

= 28

f)

q —3 4

+ 13 = 16

93 9

segundo grado

090-095

93

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

64

“Deshacer” operaciones

••••••••••••••••••••••••

Gerardo y Silvia resolvieron la ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59 “deshaciendo” operaciones. Su estrategia consistió en usar operaciones inversas a las que se muestran en la ecuación. La manera en que razonaron se describe a continuación. • Primero notaron que si 5 × (a + 2) + 4 = 59, entonces el valor de 5 × (a + 2) lo podían obtener “deshaciendo sumar 4” a través de restar 4. Esto lo condujo a la ecuación 5 × (a + 2) = 55. • La ecuación 5 × (a + 2) = 55 para hacerla más sencilla “deshicieron” multiplicar por 5, dividiendo entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta parte de 5 × (a + 2) y la quinta parte de 55 es 11. • Por último resolvieron la ecuación a + 2 = 11, “deshicieron” sumar 2, restando 2. Así encontraron que a = 9 es la solución de la ecuación 5 × (a + 2) + 4 = 59. ¿Entendiste la estrategia que usaron Gerardo y Silvia? Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar esta actividad. Verifica las respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestas correctas.

a) 7 (a — 8) + 25 = 39

c)

2 5

+ 5 (b — 1) =

e) 15 +

g)

y + 12 3

4 (x — 5) 3

= 22

— 6 = –2

52 5

b) 18 + 8 (b + 4) = 94

d)

x—8 2

—2=5

f)

x — 0.5 8

+5=

h)

5 (x — 3) 7

93 16

+ 12 = 17

9 94 090-095

preálgebra

94

11/25/02, 10:02 AM

ACTIVIDAD

65

Las ecuaciones no son tan difíciles

•••••••••••••

1. Construye cuatro ecuaciones parecidas a la ecuación 5 (x + 3) + 12 = I7. Una vez 7 que las hayas resuelto y comprobado, pídele a un compañero o compañera que las resuelva mientras tú resuelves las suyas. Gana el que resuelva las ecuaciones del otro sin cometer ningún error.

a)

b)

c)

d)

2. Inventa tres ecuaciones distintas que tengan como solución tu número de lista. La primera de tus ecuaciones no debe contener paréntesis, la segunda debe incluir paréntesis, la tercera debe incluir una barra de división y paréntesis, como las ecuaciones de los incisos g) y h) de la actividad anterior. Una vez que las hayas resuelto y comprobado pídele a un compañero que las resuelva y tú resuelve las suyas. Gana el que construya correctamente sus ecuaciones y resuelva las ecuaciones del otro sin cometer ningún error.

a)

b)

c)

3. Construye tres ecuaciones que tengan dos soluciones. Una vez que las hayas resuelto y comprobado, pídele a un compañero o compañera que las resuelva. Gana el que resuelva las ecuaciones del otro sin cometer ningún error.

a)

b)

c)

95 9

segundo grado

090-095

95

11/25/02, 10:02 AM

096-104

96

11/25/02, 10:03 AM

Actividades tercer grado

096-104

97

11/26/02, 11:34 AM

ACTIVIDAD

66

Un punto importante en una recta

••••••••••

Activa el editor de ecuaciones de la calculadora (Y=) y escribe la ecuación y = 2x + 5. Para contestar lo que se pide a continuación, construye la gráfica de esa ecuación empleando el editor de gráficas (Graph). 1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje y ?

2. ¿Cuál es la relación que hay entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que aparecen en la ecuación y = 2x + 5?

3. Ahora construye la gráfica de la ecuación y = 3x — 4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que esa gráfica corta al eje y?

4. ¿Qué relación existe entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que aparecen en la ecuación y = 3x — 4?

5. Una alumna dice que la gráfica de la ecuación y = 4x + 3 corta al eje de y en el punto de coordenadas (x = 0, y = 3). ¿Lo que dice esa alumna es correcto? Justifica tu respuesta.

6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica de la ecuación y = 3x corta al eje y?

¿A qué crees que se deba que la gráfica pase

por ese punto?

7. Modifica la ecuación y = 3x para que su gráfica corte al eje y en el punto (x = 0, y = 4.5). ¿Cuál es la ecuación que construiste?

9 98 096-104

puntos de la recta

98

11/25/02, 10:03 AM

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Un punto importante en una recta

8. Inventa cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje y en el punto (x = 0, y = 5.7). Escribe las ecuaciones que inventaste en las líneas de abajo.

9. Un alumno de otra escuela dice que la gráfica de la ecuación y = 5x — 4 corta al eje y en el punto x = 0, y = 5. ¿Es correcto lo que dice ese alumno? Justifica tu respuesta.

10. Inventa cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje y en el punto (x = 0, y = –4). Escribe esas ecuaciones en las líneas de abajo.

99 9

tercer grado

096-104

99

11/25/02, 10:03 AM

ACTIVIDAD

67

Cambio de escala

••••••••••••••••••••••••••••••••

1. Construye en la calculadora la gráfica de la ecuación y = 2x + 3. a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje y? y=

x=

b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje x? x=

y=

2. La pantalla donde se producen las gráficas en tu calculadora puede configurarse de distintas maneras. Las siguientes figuras muestran la gráfica de la ecuación y = 2x + 3 con distintas escalas en el eje y. Arriba de cada pantalla dice qué escala se empleó para producir cada gráfica. Por ejemplo, si ajustas la escala en el eje y como “yscl = 2”, significa que cada marca en el eje y vale 2 unidades. y

y

4

3

2

1 –3

1

x

4

x

–3 –1 1 3 –2

–3

–4 Figura 1: yscl = 1

Figura 2: yscl = 2

y y 3

–4

–1

1

x

4

–3

2 1 1

x

4

–3

Figura 4: yscl = 0.5

Figura 3: yscl = 3

a) ¿Qué diferencias observas en las gráficas?

b) ¿Las coordenadas del punto en que cortan al eje y son las mismas en todas las gráficas? ¿Por qué parecen distintos los puntos en que cada gráfica corta al eje y?

Usa la tecla TRACE para verificar tus respuestas.

9 100 096-104

puntos de la recta

100

11/25/02, 10:03 AM

ACTIVIDAD

68

Más sobre escalas y gráficas

••••••••••••••••••••••••

Las gráficas que se muestran a continuación se hicieron usando una escala en la que cada marca en el eje y equivale a cinco unidades y cada marca en el eje x equivale a dos unidades. y

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la 15

gráfica de la figura 5 corta al eje y?

5

2. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la

x

–6

–4

gráfica de la figura 5 corta al eje x?

2

–5

4

–15


Figura 5

y

gráfica de la figura 6 corta al eje y? 10


–6


–2

2

x

6

–10 Figura 6


y

gráfica de la figura 7 corta al eje y? 6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la

10 –6


–2

2

x

6

–10 Figura 7

7. Reproduce de manera exacta esas gráficas en tu calculadora. Verifica tus respuestas usando la tecla TRACE. ¿Todas tus respuestas fueron correctas? Si tuviste alguna respuesta incorrecta explica por qué.

101 9

tercer grado

096-104

101

11/25/02, 10:03 AM

ACTIVIDAD

69

El rango en el editor de gráficas

••••••••••••••••

Se le llama rango del editor de gráficas a los valores máximo y mínimo que podemos asignar tanto en el eje x como en el eje y. 1. Activa la pantalla de tu calculadora que te muestra los valores mínimo y máximo con los que está configurado el editor de gráficas. Completa la siguiente tabla con los valores que tiene en este momento tu calculadora. 2. Construye la gráfica de la ecuación y = 2x + 3 y anota las coordenadas de los puntos en que la gráfica corta al eje x y al eje y.

xmin =

xmin significa el mínimo valor en el eje x

xmax =

xmax significa el máximo valor en el eje y

ymin =

ymin significa el mínimo valor en el eje y

ymax =

ymax significa el máximo valor en el eje y

3. Ahora configura el rango de tu calculadora con los valores que se muestran a continuación y ve de nuevo la gráfica de la ecuación y = 2x + 3. xmin = –20 xmax = 20 ymin = –30 ymax = 30 ¿Qué ocurre cuando cambias el rango del editor de gráficas?

4. Construye en la calculadora las gráficas de las ecuaciones y = 2x + 30 y y = 40 — 3x. Esas gráficas se cortan en un punto, pero en este momento no puedes verlo. a) Ajusta de manera adecuada el rango y la escala de la pantalla del editor de gráficas para que puedas ver en qué punto se cortan esas gráficas. b) Usa la tecla TRACE para encontrar las coordenadas del punto en que esas gráficas se cortan. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección?

5. Construye una ecuación tal que su gráfica no se vea en la pantalla debido a la forma en que en este momento tienes definida la escala en el editor de gráficas y a los valores máximos y mínimos asignados para x y y. ¿Cuál es la ecuación que construiste? ¿Cómo ajustarías el rango de tu calculadora para que se vea la gráfica?

9 102 096-104

puntos de la recta

102

11/25/02, 10:03 AM

ACTIVIDAD

70

Rectas que ˝crecen˝

••••••••••••••••••••••••••••••••••••

En la figura 8 se muestra la gráfica de la ecuación y = x. Constrúyela en tu calculadora. En la figura se han destacado algunos puntos. No tienes que reproducirlos, sólo son para auxiliarte en la lectura de la gráfica. y 1. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos que se han

3 1 –3 –1

destacado en la gráfica?

1 –2

x

4

–4

Figura 8

2. ¿A qué crees que se deba que los valores de la primera y la segunda coordenadas de esos puntos sean iguales? y

3. En la figura 9 se muestra la gráfica de la ecuación y = 2x. Constrúyela en tu calculadora. Para auxiliarte, se han destacado algunos puntos de la gráfica. ¿Cuáles son

x

las coordenadas de esos puntos? Figura 9

4. ¿Un alumno dice que en esa gráfica los valores de y son el doble de los valores de x? ¿Lo que dice es cierto?

¿Qué relación hay entre esto

y la gráfica construida usando la ecuación y = 2x? 5. Completa la siguiente tabla usando la ecuación y = 5x. ¿Qué relación hay entre los valores de x y y? x

–2.5

–2

1.5

2

3

4.5

y 6. Cuando localizamos las coordenadas de un punto contamos cuántas unidades “avanzas” sobre el eje x, y luego cuántas unidades “subes” sobre el eje y. Traza la gráfica de la ecuación y = 4x. ?Cuántas unidades “sube” la gráfica en el eje y por cada unidad que “avanza” sobre el eje x? ¿Encuentras una relación entre lo que “sube“ y lo que “avanza“ la gráfica con la ecuación y = 4x? ¿Cuál es esa relación? Construye una gráfica en la que por cada unidad que “avance“ sobre el eje x, “suba“ 1.5 unidades sobre el eje y. ¿Cuál es la ecuación que usaste para construir esa gráfica?

103 9

tercer grado

096-104

103

11/25/02, 10:03 AM

ACTIVIDAD

71

¿Qué gráficas “crecen” más rápido?

•••••••••

En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en x y en y es 1.

y

D

1. ¿Cuál de las gráficas que se muestran en la figura 0

10 es la que “crece” más rápido?

0.5

C

B A x

2. ¿Cuál es la gráfica que “sube” más lento? Figura 10

3. La figura 11 muestra la gráfica de la ecuación

y

y = 3x — 2. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica sobre el eje y, mientras avanza desde x = 0 hasta x = 1?

x

¿Cuántas unidades “sube” la gráfica mientras avanza desde x = 1 hasta x = 2? Figura 11

4. ¿Qué relación hay entre esa ecuación y el número de unidades que sube la gráfica en el eje y, respecto a lo que avanza por cada unidad sobre el eje x?

5. Construye lo que se indica en cada caso. a) Dos gráficas que “crezcan” más rápido que la gráfica de y = x. ¿Cuáles son las ecuaciones que usaste para construirlas? b) Dos gráficas que “crezcan” menos rápido que y = x. ¿Cuáles son las ecuaciones que usaste para construirlas? c) Una gráfica que corte al eje y en el punto (x = 0, y = 3), y que suba 5.5 unidades por cada unidad que avanza sobre el eje x? ¿Que ecuación usaste para construirla? Compara tu respuesta con la de tus compañeros. Escribe tus conclusiones a continuación.

d) Dos gráficas distintas que “crezcan” igual de rápido que y = 4x. ¿Cuáles son las ecuaciones que usaste para construirlas?

9 104 096-104

p u n t fo us n d c ie o lnaa lri edcatda

104

11/25/02, 10:03 AM

ACTIVIDAD

72

¿Qué ecuaciones producen esas rectas?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en x y en y es 1. y

1. ¿Puedes construir en tu calculadora una gráfica idéntica a la que se muestra en la figura 12? ¿Qué ecuación usaste x

para construirla? ¿Qué información obtuviste de la gráfica para encontrar la ecuación que necesitabas?

Figura 12

y

2. Construye en tu calculadora tres gráficas idénticas a las que se muestran en la figura 13. x

¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?

Figura 13

3. Construye en tu calculadora tres gráficas idénticas a las que se muestran en la figura 14.

y

¿Qué ecuaciones usaste para construirlas? x

Figura 14

4. ¿Encontraste una manera de obtener la ecuación que corresponde a cada gráfica? Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

105 9

tercer grado

105-112

105

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

73

Gráficas que “decrecen”

•••••••••••••••••••••••••

En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en x y en y es 1. La figura 15 muestra la gráfica de la ecuación y = –x + 2. 1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje y?

2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x = 1 hasta x = 2? y

3. Una alumna dice que esta gráfica “baja” cuando avanzas de izquierda a derecha sobre el eje de las x. ¿Estás de acuerdo con lo que ella dice? ¿Por qué?

x

Figura 15

4. La figura 16 muestra la gráfica de la ecuación y = –2x + 1. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C? 5. ¿Cuántas unidades avanzas sobre el eje x si te mue-

y

ves desde el punto A hasta el punto B?

C 0.5 0.5

6. ¿Cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje y cuan-

A

x

B

do te mueves desde A hasta B? Figura 16

7. ¿Qué relación hay entre lo que “baja” la gráfica y su ecuación?

9 106 105-112

funcionalidad

106

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

74

Más sobre gráficas que “decrecen”

•••••••••••••

La figura 17 muestra la gráfica de la ecuación y = –x + 2.

y

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje y? x

2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x = 0 hasta x = 2? Figura 12

3. Una alumna dice que esta gráfica “baja” cuando avanzas desde x = 0 hasta x = 2. ¿Estás de acuerdo con lo que ella dice?

Da un ejemplo que justifique tu

respuesta. 4. La figura 18 muestra la gráfica de la ecuación

y

y = –2x + 1. ¿Cuáles son las coordenadas de los

C 0.5

puntos A, B y C?

0.5

5. ¿Cuántas unidades avanzas sobre el eje de las x

A

x

B

si te mueves desde el punto A hasta el punto B? Figura 18

(Observa que la escala en x es 0.5.)

6. ¿ Cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje y cuando te mueves desde A hasta B?

7. ¿Encuentras alguna relación entre lo que “baja” la gráfica con su ecuación? ¿Cuál es esa relación? y

8. Construye en la calculadora una gráfica que “baje” como las anteriores y dibújala en el plano de la derecha. ¿Qué ecuación usaste para construir esa

x

gráfica? ¿Cuántas unidades “baja” la gráfica sobre el eje Figura 19

y cuando avanzas una unidad sobre el eje x? 9. ¿Qué relación hay entre lo que “baja” la gráfica y la ecuación que usaste?

107 9

tercer grado

105-112

107

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

75

Rectas y ecuaciones

••••••••••••••••••••••••••••••

1. Reproduce en tu calculadora cada una de las gráficas que se muestran en las siguientes figuras. Anota debajo de ellas las ecuaciones que usaste. La escala en x y en y es 1. y

y

y

x Figura 21

Figura 20

y

x

x

Figura 22

y

y

x

x

x

Figura 24

Figura 23

Figura 25

2. En las siguientes figuras sólo se marcaron algunos puntos. Construye en tu calculadora unas gráficas que pasen exactamente por esos puntos. Anota las ecuaciones que utilizaste en los espacios correspondientes. y

y

y

x

x

y

9 108

x

x

x

105-112

Figura 28

y

y

Figura 29

x

Figura 27

Figura 26

Figura 31

Figura 30

funcionalidad

108

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

76

Cuadriláteros

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

1. Un estudiante de otra escuela construyó la figura 32. Reprodúcela en tu calculadora y anota las ecuaciones que usaste.

Figura 32

2. Construye en la calculadora las gráficas de la figura 33. Anota a continuación las ecuaciones que usaste.

Figura 33

3. Construye las gráficas de la figura 34 y anota las ecuaciones que usaste.

Figura 34

4. ¿Cuál es la información más importante que te proporciona la gráfica para encontrar la ecuación que la produce en la calculadora? Explícalo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

109 9

tercer grado

105-112

109

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

77

¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”? La figura 35 muestra la gráfica de la ecuación y =1. Construye en tu calculadora esa gráfica y compárala con ésta. 1. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica si te mueves desde x =1 hasta x = 2?

2. ¿Cuántas unidades “baja” la gráfica si te mueves desde x = 3 hasta x = 5?

y

0.5 0.5

x

Figura 35

3. ¿Encuentras alguna relación entre la ecuación que produce esa gráfica y el hecho de que no “suba” ni “baje”?

¿Cuál es esa relación?

4. Un alumno de otra escuela dice que esa gráfica no “crece” ni “decrece” porque “no hay x en la ecuación”. Él dice que los valores de y no dependen de los valores de x. ¿Cuáles son tus

¿Estás de acuerdo con lo que dice ese alumno? conclusiones?

5. Otro alumno dice que la ecuación y = 1 es equivalente a la ecuación y = 0 × x +1. ¿Estás de acuerdo con lo que ese alumno dice?

¿Por qué?

¿Cómo crees que afecta el cero en la ecuación respecto a lo que ves en su gráfica?

9 110 105-112

funcionalidad

110

11/25/02, 10:04 AM

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”?

6. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = 2. ¿Qué efecto produce en la gráfica el 2 que aparece en la ecuación? 7. Observa la ecuación y = 3x. Sin construir la gráfica, ¿puedes decir cuánto subirá esa gráfica sobre el eje y por cada unidad que avanza sobre el eje x?

3 8. Observa la ecuación y = 2 x . ¿Qué efecto produce en la gráfica el número 32 ?

Verifica tu respuesta construyendo la gráfica de esa ecuación. 9. Dibuja una gráfica que es una línea recta con las siguientes características: La gráfica sube 3.5 unidades en el eje y por cada unidad que avanza sobre el eje x. Además la gráfica corta al eje y en el punto (0, –2.5). ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esa gráfica?

111 9

105-112

111

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

78

Rectas horizontales

•••••••••••••••••••••••••••••••••

1. Construye en la calculadora la gráfica de las siguientes ecuaciones y dibújalas en el esquema de la derecha. y = 0x + 2

y=

y=2

2. Un estudiante de otra escuela dice que con las tres ecuaciones anteriores obtiene gráficas iguales, ¿estás de acuerdo con él?

Justifica tu respuesta.

3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota las expresiones que utilizaste.

y=

y=

4. En la figura 36 identifica las gráficas de las ecuaciones y = 1 y y = –1.5. ¿Puedes construir gráficas de manera que el espacio entre las gráficas de y = 1 y y = –1.5 quede prácticamente negro? Anota a continuación algunas de las ecuaciones que usaste.

Figura 36

9 112 105-112

funcionalidad

112

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

79

Puntos, rectas y ecuaciones

••••••••••••••••••••••

En esta actividad aprenderás cómo puedes encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de una gráfica como la siguiente. La escala en x y en y es 1 y

5 1

x

1

3

5

1. ¿Cuánto sube la gráfica sobre el eje y cuando avanzas desde x = 1 hasta x = 3?

La figura 37 muestra los dos puntos que nos interesan y la gráfica de la ecuación y = 2x.

y

5

2. ¿Qué modificación hay que hacerle a la ecuación y = 2x para construir una recta que pase por esos dos puntos? Comprueba tu respuesta construyendo la nueva gráfica.

1

x

1

5 Figura 37

¿Qué ecuación usaste para lograr que la recta pase por los dos puntos dados?

3. Una alumna dice que esa gráfica sube 4 unidades en el eje y cuando avanza 2 unidades sobre el eje x. Por lo tanto la gráfica sube 2 unidades en y por cada unidad que avanza sobre x. Con base en eso, ella dice que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos debe empezar con y = 2x, pero falta sumarle algo para que “se suba” y no corte al eje y en el punto (0, 0). ¿Lo que ella dice es correcto?

¿Cuánto hay que sumar?

113 9

tercer grado

113-120

113

11/25/02, 10:04 AM

Puntos, rectas y ecuaciones

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

4. No todos los puntos que se muestran en la figura 38 están alineados. a) Primero ve qué coordenadas tienen los puntos que se dan y constrúyelos en tu calculadora. b) Construye en la calculadora una recta que pase por el mayor número posible de esos puntos. ¿Por cuántos pasa la recta que construiste? ¿Qué ecuación usaste?

La escala en x es 1 y en y es 2 y

8 2 1

2

5

x

Figura 38

9 114 113-120

f ut ne cr ci oe nr agl ri ad da o d

114

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

80

Nubes de puntos y rectas

•••••••••••••••••••••••••••

Escala en x, 1. Escala en y, 2

1. Construye una recta que pase por el mayor número posible de los puntos que se muestran en la figura 39. ¿Qué ecuación usaste?

y

¿La recta que construiste pasa por más x

puntos que las que construyeron tus com¿Puedes

pañeros? mejorar tu ecuación?

Figura 39

¿Encontraste una nueva ecuación? ¿Cuál es? 2. Describe el método que usaste para construir una recta que pase por esos puntos.

3. Los siguientes datos muestran cómo ha crecido el número de habitantes de San Miguel. Año Habitantes

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

12 000

15 000

20 000

24 000

29 000

31000

34 000

Construye una gráfica de puntos que represente esos datos. Considera a 1974 como el año 1; 1978 como el año 2, y así sucesivamente. Te puede ser útil expresar el número de habitantes en unidades de millar, por ejemplo: 12 en lugar de 12 000. Ajusta adecuadamente los valores máximos y mínimos de tu pantalla, y observa que así no hay valores negativos en la tabla. Tu gráfica debe verse como la de la figura 40. y

1974

1982

1990

x

1998 Figura 40

3. Si la población de San Miguel sigue creciendo a ese ritmo, ¿cuántos habitantes tendrá en el año 2002? ¿Cuántos en el año 2010? ¿Cuántos habitantes tenía en 1966?

115 9

tercer grado

113-120

115

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

81

Nubes de puntos y predicciones

••••••••••••

Las gráficas de la figura 41 muestran el número de habitantes de San José y de Teziulapan, de 1960 a 1990 en intervalos de cinco años. En San José ha venido creciendo la población, pero en Teziulapan está disminuyendo drásticamente. La escala en el eje y es 5, en el eje x es 1. Las unidades sobre el eje y están expresadas en unidades de millar. y

x

Figura 41

1. ¿En qué año se esperaría que San José y Teziulapan tengan el mismo número de habitantes?

Justifica tu respuesta.

2. ¿En qué año se esperaría que la población de San José sea mayor que la de Teziulapan?

¿Por qué?

3. ¿Aproximadamente cuántos habitantes tenía San José en 1960? Conforme a la manera en que ha venido aumentando esa población, ¿cuántos habitantes tenía San José en 1955?

4. ¿Aproximadamente cuántos habitantes más tenía Teziulapan que San José en 1970?

5. Construye en tu calculadora dos rectas, una que pase por tantos puntos como sea posible sobre la gráfica de los datos de San José y la otra sobre los datos de Teziulapan. ¿Qué ecuaciones utilizaste para construir esas rectas?

9 116 113-120

funcionalidad

116

11/25/02, 10:04 AM

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Nubes de puntos y predicciones

y

x

Figura 42

6. La figura 42 muestra los datos del movimiento de un automóvil entre las 8:00 y las 14:30 horas, en intervalos de media hora (eje x). La escala en el eje x es 0.5, y el origen corresponde al 8. Los datos en el eje y corresponden a la posición del automóvil en kilómetros recorridos. La escala en el eje y es 100.

¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil de las 8:00 a las 10:00? ¿Cuántos entre las 11:00 y las 14:00 horas? retrocedió el automóvil?

¿En qué momento ¿Cuántos kilómetros retrocedió?

¿A cuántos kilómetros por hora viajó en promedio el automóvil entre las 13:00 y las 14:30 horas?

¿Cuál es la velocidad

máxima que alcanzó durante todo el recorrido? valo alcanzó esa velocidad? despacio el automóvil?

¿En qué inter¿En qué intervalo viajó más ¿A qué velocidad viajó durante

ese tiempo?

117 9

tercer grado

113-120

117

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

82

¿Grados Fahrenheit o centígrados?

• • • • • • • •

En México se usa la escala en grados centígrados para medir la temperatura y en otros países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas escalas. Fahrenheit

–13

–4

5

32

Centígrados

–25

–20

–15

0

100 37.77

1. Usa los datos de esa tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representa los valores en grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados centígrados. 2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos?

¿Qué tipo de gráfica construirías?

¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica?

3. Usa la ecuación que construiste para completar la siguiente tabla y compara los valores que obtuviste con la tabla de valores dados. x (Fahrenheit)

–13

–4

5

32

100

y (centígrados) Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio, ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación. ¿Obtuviste una nueva ecuación?

¿Cuál es?

4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso. a) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit? b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen –12 grados Fahrenheit? c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados? d) El agua hierve a 100 °C, ¿a qué temperatura hierve el agua si la medimos en grados Fahrenheit?

9 118 113-120

funcionalidad

118

11/25/02, 10:04 AM

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Grados Fahrenheit o centígrados?

5. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias notables? ¿A qué crees que se deban?

6. ¿Podrías usar los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta actividad para encontrar una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados centígrados?

¿Cómo lo harías?

Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F =

119 9

tercer grado

113-120

119

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

83

¿No podría ir más rápido? Un automóvil viaja a velocidad constante. En el eje y se muestra la distancia en metros que recorre. En el eje x se registró el tiempo del recorrido en intervalos de 2 segundos.

••••••••••••••••••••••••

y

Escala en el eje x: 1 Escala en el eje y: 2

x

Figura 43

Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica. 1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil? 2. ¿Cuántos metros había recorrido el automóvil después de 2 segundos? 3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos? ¿Y de 7 segundos? 4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros? ¿Cuánto en recorrer 110 metros? 5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste para construirla? ¿Qué hiciste para encontrar la ecuación?

6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas. a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 2 minutos?

¿En una hora?

¿En una hora

y 20 minutos? b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros? c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil? ¿Qué hiciste para responder esta pregunta?

7. Un alumno dice que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento del ¿Por qué?

automóvil? ¿Estás de acuerdo con lo que dice?

9 120 113-120

funcionalidad

120

11/25/02, 10:04 AM

ACTIVIDAD

84

¿Mi peso es distinto en otro planeta?

• • • • • • • •

La figura 44 muestra una gráfica que corresponde a la relación entre el peso de un objeto que está en la Tierra y el peso que le correspondería si estuviera en Marte. Como sabes, las diferencias se dan debido a la diferente fuerza de gravedad de estos planetas.

5 Peso en Marte

3

(kg)

1 2

4

6

8

Peso en la Tierra (kg)

10

12

14 Figura 44

1. Completa la siguiente tabla de acuerdo con los datos que proporciona la gráfica. Peso en la Tierra (kg)

Peso en la Luna (kg)

2 1 8 12 3.5

2. Construye la gráfica en tu calculadora. Anota la ecuación que utilizaste en el siguiente recuadro y explica cómo la encontraste.

121 9

tercer grado

121-130

121

11/25/02, 10:05 AM

¿Mi peso es distinto en otro planeta?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

3. Recorre con TRACE la gráfica que construiste y comprueba que pasa por los mismos puntos que la gráfica de arriba. 4. ¿Cuánto pesa en Marte un objeto que pesa 6.25 kg en la Tierra? 5. ¿Cuánto pesa en Marte un objeto que pesa 25 kg en la Tierra? 6. ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que pesa 5 kg en Marte? 7. ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que pesa 0.5 kg en Marte? 8. Describe cómo razonaste para contestar las preguntas 6 y 7.

9 122 121-130

funcionalidad

122

11/25/02, 10:05 AM

ACTIVIDAD

85

¿Cuánto peso si estoy en Saturno?

• • • • • • • • • • • •

1. La siguiente gráfica representa la relación entre el peso que tiene un objeto que está en la Tierra y el peso que le correspondería si estuviera en Saturno. 20 16 Peso 12 en Saturno 8 (kg)

4 2

4

6

8

Peso en la Tierra (kg)

10

12

14

16 Figura 45

2. Completa la siguiente tabla de acuerdo con los datos que proporciona la gráfica. Peso en la Tierra (kg)

Peso en Saturno (kg)

2 4 12.5 6 20 3. Construye la gráfica en tu calculadora. Anota la ecuación que utilizaste en el espacio y explica abajo cómo la encontraste.

123 9

tercer grado

121-130

123

11/25/02, 10:05 AM

¿Cuánto peso si estoy en Saturno?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

4. Responde lo que se te pide a continuación. a) ¿Cuál es el peso en Saturno de una persona que en la Tierra pesa 40 kg?

b) ¿Cuál es el peso en Saturno de una sandía que en la Tierra pesa 3 kg?

c) ¿Cuál es el peso en la Tierra de una bolsa de papas que en Saturno pesa 1.5 kg?

d) ¿Cuál es el peso en la Tierra de una bolsa de azúcar que en Saturno pesa 6.25 kg?

e) ¿Cuántas veces es mayor la atracción de la fuerza de gravedad en Saturno que en la Tierra? ¿Existe alguna relación entre los números que aparecen en la ecuación que construiste y la relación entre la fuerza de gravedad de Saturno y la Tierra? ¿Cuál es esa relación?

9 124 121-130

funcionalidad

124

12/4/02, 5:50 PM

ACTIVIDAD

86

¿Una ecuación para desalojar la escuela?

•••••••••••••••••••••

La siguiente ecuación permite calcular el tiempo que tardan los estudiantes en desalojar su escuela durante un simulacro. y = –5x + 400 1. Usa esa ecuación para construir una gráfica en la calculadora, ajusta el RANGO de manera que se puedan ver las intersecciones de la gráfica con los ejes vertical y horizontal del plano cartesiano y reprodúcela “a mano” a continuación. 400 Número 300 de estudiantes 200 dentro de la escuela 100

20

40

60 80 Tiempo (segundos)

100 Figura 46

2. Responde las siguientes preguntas y justifica claramente tus respuestas. a) ¿Cuántos estudiantes había dentro de la escuela antes del simulacro? Justificación. b) ¿Cuántos estudiantes estaban aún dentro de la escuela cuando habían transcurrido 30 segundos del simulacro? Justificación. c) ¿Cuántos estudiantes estaban dentro de la escuela cuando habían transcurrido 55 segundos del simulacro? Justificación. d) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes? Justificación. e) ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela? Justificación.

125 9

tercer grado

121-130

125

11/25/02, 10:05 AM

ACTIVIDAD

87

Leyes de los exponentes I

••••••••••••••••••••••

Teclea en tu calculadora la expresión a2 × a3 y presiona la tecla ENTER. La calculadora desplegará una pantalla como la siguiente:

Ahora teclea la expresión a4 × a2 y presiona la tecla ENTER. La calculadora desplegará una pantalla como la siguiente:

1. Observa los resultados que da la calculadora y explica a continuación qué es lo que hace la máquina para efectuar esas operaciones.

2. Construye cuatro multiplicaciones como las anteriores de manera que el resultado sea a9. Comprueba tus respuestas usando la calculadora. Una vez que estés seguro que tus respuestas son correctas, anótalas en los renglones de abajo.

3. Construye 10 multiplicaciones como las anteriores de manera que el resultado sea a13. Comprueba tus respuestas usando la calculadora. Una vez que estés seguro que tus respuestas son correctas, anótalas en los renglones de abajo.

9 126 121-130

leyes de los exponentes

126

11/25/02, 10:05 AM

ACTIVIDAD

88

Leyes de los exponentes II

••••••••••••••••••••••••

Teclea en la calculadora la expresión a3 × b2 × a5 × b8 y presiona la tecla calculadora desplegará una pantalla como la siguiente:

ENTER.

La

1. Explica qué hizo la calculadora para realizar la operación a3 × b2 × a5 × b8. Discute tu respuesta con tus compañeros y escribe tus conclusiones en los siguientes renglones.

2. Construye 10 multiplicaciones como las anteriores de manera que el resultado en cada una sea a10b9. Comprueba tus respuestas usando la calculadora, no debes tener ningún error. 3. Completa las siguientes expresiones de manera que al realizar las operaciones se obtenga el resultado que se indica. a) a7 × ___________ = a16

b) b8 × ____________ = a2

c) m9 × ____________ = m10

d) a7 × ___________= a2b3

e) a3b6 × __________ = a4b7

f) m9 × ___________ = m

g) m15n10 × ________= mn

h) m10n8 × __________= m–3n–2 i) m–4n–3 × ________ = m–6n–5

j) a7b8 × _________= ab m) a1/3b1/4 × _______= a2/3b1/2

k) m–6n4 × __________ = m0n0

l) p7q–4 × _________ = pq

n) a3/4b1/5 × ________= a1/2

o) p1/5q2/3 × ________ = pq

127 9

tercer grado

121-130

127

11/25/02, 10:05 AM

ACTIVIDAD

89

Leyes de los exponentes III

••••••••••••••••••••

Teclea en la calculadora la expresión a7 ÷ a5 y presiona la tecla ENTER. Se desplegará una pantalla como la siguiente:

1. ¿Qué hizo la calculadora para efectuar esa división? Discute tus conclusiones con tus compañeros y escríbelas en los siguientes renglones.

2. Construye cinco divisiones como la anterior de manera que obtengas como resultado a4. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y anótalas en los siguientes renglones.

3. Teclea en la calculadora la expresión (a8 × b4) ÷ (a2 × b3) y presiona la tecla ENTER. La calculadora desplegará una pantalla como la siguiente.

¿Qué operaciones hizo la calculadora para efectuar esa división? Discute tus conclusiones con tus compañeros y anótalas en los siguientes renglones.

9 128 121-130

leyes de los exponentes

128

11/25/02, 10:05 AM

ACTIVIDAD

90

Leyes de los exponentes IV

•••••••••••••••••••••••••

1. Construye cinco divisiones de manera que en cada una obtengas como resultado a4b2. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y anótalas en los siguientes renglones.

2. Teclea en la calculadora la expresión a–5 y presiona la tecla ENTER. Se desplegará una pantalla como la siguiente:

3. Teclea en la calculadora cuatro expresiones distintas de manera que al presionar la 1

obtengas como resultado a 7 para cada una de ellas. Escribe en los siguientes renglones las expresiones que construiste.

tecla

ENTER

4. Teclea en la calculadora cinco expresiones distintas de manera que al presionar la tecla ENTER obtengas como resultado la expresión

1 . Escribe las expresiones que a 5b 4

construiste en los siguientes renglones.

5. Teclea en la calculadora la expresión (a4 × b3) ÷ (a7 × b9). ¿Qué resultado obtienes después de presionar la tecla ENTER? Construye otras cinco divisiones como las anteriores de manera que obtengas el mismo resultado. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y anótalas en los siguientes renglones.

129 9

tercer grado

121-130

129

11/25/02, 10:05 AM

ACTIVIDAD

91

Suma con polinomios

••••••••••••••••••••••••••••••

Teclea en la calculadora la expresión a + a y presiona la tecla ENTER. La calculadora desplegará una pantalla como la siguiente:

1. Observa el resultado que dio la calculadora y teclea otras cuatro sumas distintas de manera que el resultado sea 2a. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y escríbelas en los siguientes renglones.

2. Teclea en la calculadora la expresión a 2 + 3a + 5 + 7a 2 + 6a — 9 y presiona la tecla ENTER. La calculadora desplegará una pantalla como la siguiente:

Revisa el resultado que dio la calculadora y explica cómo realizó la operación que tecleaste. Discute tus conclusiones con tus compañeros y anótalas en los siguientes renglones.

3. Construye 10 sumas distintas de manera que el resultado de cada una sea la expresión 2a2 — 3a + 6. Comprueba tus respuestas usando la calculadora y anótalas en los siguientes renglones. No debes tener ningún error.

9 130 121-130

revisión de álgebra

130

11/25/02, 10:05 AM

Anexo

131-144

131

11/26/02, 11:34 AM

Calculadoras. Primer grado

•••••••••••••••••••••••••••

Examen: T1-92 001 1. Para ejecutar correctamente la operación 5 + 2 × 6 es necesario:

a) Sumar primero 5 y 2, y al resultado de esto multiplicarlo por 6 b) Multiplicar primero 2 por 6, y al resultado de esto sumarle 5 c) Multiplicar 5 por 2, y al resultado de esto multiplicarlo por 6 d) Sumar 5 y 2, y al resultado de esto sumarle 6 e) Ninguna de las anteriores 2. Para realizar correctamente la operación (7 — 5) × 3 3, es necesario:

a) Hacer primero 7 — 5, y al resultado de esto multiplicarlo por 3 b) Hacer primero 5 × 3, y este resultado restárselo a 7 c) Multiplicar 7 × 3 y al resultado de esto sumarle 5 × 3 d) Hacer primero 7 × 3, y restarle 5 a este resultado e) No importa el orden en que se hagan las operaciones, el resultado es el mismo 3. El resultado de efectuar la operación 23 es:

a) 6

b) 5

c) 12

d) 8

e) Ninguno de los anteriores

4. Los divisores de 12 son:

a) 12 y 6 y 1

b) 12, 6 y 1

c) 12, 2 y 1

d) 2, 3, 4, 6 y 12

e) Ninguno de las anteriores 5. El mayor número entero que divide a 18 y a 30 sin dejar residuo es:

a) 1

b) 15

c) 9

d) 6


6. El menor número entero que puede dividirse entre 12 y 30 sin dejar residuo es:

a) 360

b) 60

c) 5

d) 30


7. Un múltiplo de 14 y 5 que está entre 500 y 600 es:

a) 560

b) 588

c) 580

d) 590


9 132 131-144

anexo

132

11/25/02, 3:32 PM

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Calculadoras (primer grado)

8. De los siguientes números, los que tienen exactamente cuatro divisores son:

a) 27 y 6

b) 4 y 8

c) 10 y 16

d) 15 y 20 e) Ningunos de los anteriores

9. ¿En qué inciso se muestran dos números que están entre 3.45 y 3.46 3.46?

a) 3.408 y 3.409

b) 3.400 y 3.450

c) 3.470 y 3.490

d) 3.457 y 3.459

e) Ningunos de los anteriores 10. El número que falta en la operación 1.27 + 3.28 + x = 4.79 es:

a) 0.24

b) 3.52

c) 1.51

11. El número que falta en la operación

a)

5 6

b)

9 12

c)

12. Una fracción equivalente a

a)

4 6

b)

2 4

13. Una fracción equivalente a

a)

4+3 9+3

b)

4 —1 9—3

3 5

2 3

+x=

1 9

7 9

5 3

d)

e) Ninguno de los anteriores es:


es:

c)

6 15

4 9

es:

c)

d) 4.55

4×5 9×5

d)

9 10

4 9

d)

×2

e) Ninguna de las anteriores


14. El siguiente rectángulo representa una pieza de papel que se ha dividido en algunas partes, la fracción correspondiente al rectángulo sombreado es:

a)

2 3

b)

2 6

c)

2 12

d)

2 8

133

2 48

133 9

primer grado

131-144

e)

11/25/02, 3:32 PM

Calculadoras (primer grado)

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

15. Unos estudiantes salieron de excursión y llegaron a su destino después de tres días. Durante el primer día recorrieron una cuarta parte del camino. El segundo día recorrieron la mitad de lo que les faltaba, y el tercer día recorrieron los 120 km que les faltaban. De acuerdo con lo anterior, la distancia total que recorrieron fue:

a) 320 km

b) 240 km

c) 360 km

d) 480 km

e) Ninguna de las anteriores 16. Entre Juan y Mariana obtuvieron $ 270.00 en una colecta para ayuda a damnificados por un huracán. Juan recolectó

3 5

partes de ese total. Una operación que

permite saber cuánto recolectó Juan es:

a)

270 5

b)

270 3

c)

3 5

× 270

d)

5 3

× 270


9 134 131-144

anexo

134

11/25/02, 3:32 PM

Calculadoras. Segundo grado

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Examen: T1-92 002 1. Para ejecutar correctamente la operación 5 + 2 × 6 es necesario:

a) Sumar primero 5 y 2, y al resultado de esto multiplicarlo por 6 b) Multiplicar primero 2 por 6, y al resultado de esto sumarle 5 c) Multiplicar 5 por 2, y al resultado de esto multiplicarlo por 6 d) Sumar 5 y 2, y al resultado de esto sumarle 6 e) Ninguna de las anteriores

2. Para realizar correctamente la operación (7 — 5) × 3 3, es necesario:

a) Hacer primero 7 — 5, y al resultado de esto multiplicarlo por 3 b) Hacer primero 5 × 3, y este resultado restárselo a 7 c) Multiplicar 7 por 3, y al resultado de esto sumarle 5 × 3 d) Hacer primero 7 × 3, y restarle 5 a este resultado e) No importa el orden en que se hagan las operaciones, el resultado es el mismo

3. Observa la siguiente tabla: 4

2.5

3.5

5

9

10.5

12

11

6.5

9.5

14

26

30.5

35

Una expresión que permite obtener los valores que se muestran en la tabla es:

a) 2 × a + 3

b) 2 × a + 1.5

c) 3 × a — 1

d) 3 × a + 1


135 9

segundo grado

131-144

135

11/25/02, 3:32 PM

Calculadoras (segundo grado)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

4. La tabla que se puede producir usando la expresión a + 5 × 4 es:

a)

1 24

3 22

5 36

7 48

9 56

b)

1 21

3 23

5 25

7 27

9 29

c)

1 20

3 60

5 100

7 140

9 180

d)

1 10

3 12

5 14

7 16

9 18

e) Ninguna de las anteriores 5. La opción en la que todas las expresiones son equivalentes es:

a) 7b — 3b + 4;

5b + 4 + 2b; b + 6b + 4

b) 3x — 2 — x;

x + 2x + 2;

5x — 3x + 2

c) 6r + 3 — r;

7r — r + 3;

4r — r + 2r

d) 5y — 6 + 2y;

6 + 7y;

4y + 3y — 6

e) Ninguna de las anteriores 6. El número que falta en la operación 3 × y + 5 = 26 es:

a) 21

b) 9

c) 7

d) 18


7. El número que falta en la operación 3 × a + 5 = 26 es:

a) 10

b) 5

c) 4 y 3.5

d) 8 y 9.5 e) Ninguno de los anteriores

9 136 131-144

anexo

136

11/25/02, 3:32 PM

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Calculadoras (segundo grado)

8. La expresión que invierte lo que hace 7 × m es:

a) 7 — m

b) m — 7

c) m : 7

d) 7 : m


9. La expresión que invierte lo que hace 2 × a + 1 es:

a) a : 2 — 1

b) a — 1 : 2

c) (a : 2) — 1

d) (a — 1) : 2

e) Ninguna de las anteriores 5, el valor numérico de la expresión a2 + a — 1 es: 10. Si a = ----5

a) 19

b) –31

c) 29

d) –30


137 9

segundo grado

131-144

137

11/25/02, 3:32 PM

Calculadoras. Tercer grado

••••••••••••••••••••••••••••

Examen: T1-92 003 1. ¿En cuál de las siguientes expresiones el resultado es correcto?

a) 2 + 8 — 5 × 4 = 20

b) 2 + (8 — 5 × 4 ) = 14

c) 2 + 8 — 5 × 4 = 14

d) 2 + (8 — 5) × 4 = 14

e) (2 + 8) — 5 × 4 = 20

2. Una expresión que permite completar la siguiente tabla es: ----11

----5

4

7

10

13

----3

----1

2

3

4

5

a)

a 3

b)

+2

a 3

+ 0.6

c)

a +2 3

d)

a —2 3

e) 2a + 1

3. Una expresión equivalente de 7b es:

a) 6b + 1

b) 3 + 4b

c) –b + 8b

d) 8b — 1

e) [5b — 12b]

4. Un comerciante vende su mercancía en $ 5.00 más que el doble de lo que a él le 35.00, ¿en cuánto los compró? cuesta. Si vende unos calcetines en $ 35.00

a) $10

b) $15

c) $30

d) $12.50


5. Observa la siguiente sucesión de figuras. ¿Cuántos cuadros tendrá la figura que está en el lugar número 15?

a) 225 b) 30 c) 198 d) 300 e) Ninguna de las anteriores

9 138 131-144

anexo

138

11/25/02, 3:32 PM

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Calculadoras

(tercer grado)

6. ¿Qué número se encuentra en el lugar 55 en la 3, 7, 11, 15, 19, ...?

a) 154

b) 220

c) 221

d) 155

e) 219

7. Las coordenadas del punto P son:

a) (–3, --3)

y

b) (--3, 3)

P

c) (3,–3) x

d) (3, 3) e) Ninguna de las anteriores

8. Las coordenadas del punto R son:

a) (------4,0)

y

b) (0,------4)

c) (0,4) x

d) (4, 0) e) Ninguna de las anteriores

R

9. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa la gráfica de la ecuación y =

a) (1, 2)

b) (2, 2)

c) (3, 2)

d) (3, 3)

(30 — 3×) 7

?

e) Ninguno de las anteriores

10. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa la gráfica de la ecuación y = –3 — y?

a)

b) y

y

x

x

139 9

tercer grado

131-144

139

12/4/02, 5:51 PM

Calculadoras (tercer grado)

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

c)

d) y

y

x

x

e) y

x

11. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la ecuación y = 2x + 4 4?

a) A

y

b) B

D

B

A

C

c) C d) D

x


12. El precio de un auto nuevo es cuatro veces mayor que el de un auto usado. Si

x representa el precio de un auto nuevo y y el de un auto usado, ¿cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

a) x = 4y

b) x — y = 4

c) y = 4x

d) x = y + 4


9 140 131-144

anexo

140

12/4/02, 5:51 PM

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Calculadoras

(tercer grado)

13. Una hoja de cartón rectangular tiene el doble de largo que de ancho. Se corta un cuadrado de 4 cm de lado en cada esquina, y los lados se doblan hacia arriba para formar una caja. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el volumen de la caja?

a) (a)(2a)(4) b) (a + 2a)(4) c) (a)(2a)(4)(4) d) (2a — 4)(a — 4)(4) e) (2a — 8)(a — 8)(4)

4 4

141 9

tercer grado

131-144

141

12/4/02, 5:51 PM

131-144

142

11/25/02, 3:32 PM

131-144

143

11/25/02, 3:32 PM

De los números al álgebra en secundaria mediante el uso de la calculadora se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos en los talleres de con domicilio en el mes de de 2002. El tiraje fue de 10000 ejemplares más sobrantes de reposición.

EMAT/ALGEBRA/SEC/P-131-144.PM7

144

12/10/02, 5:54 PM

ALGEBRAS

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