algebras de carcaj

´ ALGEBR ALG EBRAS AS DE CARCAJ CARCAJ JOHN STEWART FABILA CARRASCO

´ n. Introducci on. o

Las siguientes notas tratarán an un tema muy particula pa rticularr sobre so bre la Teor´ eor´ıa ´ de Representaciones, que son las Algebras de Carcaj, y su objetivo principal es poner al alcance de un estudiante de Matemáticas aticas una breve introducción on a este tema tan interesan interesante. te. Es importante importante destacar destacar que los unicos u ńicos prerrequisitos para entender estas notas son un haber llevado ´ un curso de Algebra Lineal y un curso de Teor´ eor´ıa de Anillos. Las notas se dividen en dos secciones, en la primer sección se trató de reunir todo el material de la teor´ teor´ıa de álgebras y de módulos odulos que se necesitan para el desarrollo de los temas posteriores. Finalmentente en la segunda sección on estudiaremos las álgebras algebras de carcaj, sus ideales admisibles y el cociente del álgebra algebra de caminos por estos ideales. Finalmente asociaremos un carcaj a cada K -´ -algebra álgebra A de dimensi´ on on finita, donde K denotar´ a un campo algebraicamente cerrado. K denotar´ Para concluir quiero agradecer a la AMC (Asociación on Mexicana de la Ciencia) ya que la realización o n de estas notas fue en el marco del septimo Verano de la Investigación on organizado por esta institución on y en particular a la Dra. Edith Corina Saénz enz Valadez, investigadora de la UNAM, bajo cuya dirección on se ralizó este trabajo. México, exico, Agosto del 2008

1

2

JOHN STEWART FABILA CARRASCO

1.

Preliminares

En este primer cap´ cap´ıtulo presentaremos presentaremo s la terminolog terminol og´´ıa necesaria necesari a de algebras álgebras y módulos, odulos, además as de otros conceptos conceptos importantes, importantes, y algunos algunos ejemplos. Es importante notar que a lo largo de estas notas K denotara siempre un campo algebraicamente cerrado.

´ 1.1. ALGEBRAS. Definicion Definicion 1.1. Sea -algebra a ´lgebra es un anillo A Sea K un camp campo. o. Una Una K -´

(con uno) tal que A posee estructura de K -espacio -espacio vectorial y satisface α(xy) xy ) = (αx) αx)y = x(αy) αy ) para cualesquiera x, y ∈ A y para cualquiera α ∈ K dimensionalmente te finita si la dimensi´ Una K -´ -algebra a´lgebra A es dimensionalmen on on de -espacio vectorial es finita. A como K -espacio -s ub´ ´ alge al gebr bra a Un K -subespacio -subespacio vectorial B de una K -´ -algebra álgebra A es una K -sub   de A si la identidad de A pertenece a B y bb ∈ B para todo b, b ∈ B . derecho Un K -subespacio -subespacio vectorial I de una K -´ K -álgebra algebra es un ideal derecho de A (o ideal izquierdo de A) si xa ∈ I (o ax ∈ I , respectivamente) para todo x ∈ I y a ∈ A. Un ideal bilateral de A (o simplemente ideal de A) es un K -subespacio -subespacio vectorial I de A tal que es ideal derecho e ideal izquierdo de A.

Si I es un ideal bilateral de A y m ≥ 1 es un entero, denotamos por I el ideal bilateral de A generado por los elementos x1 x2 · · · xm , donde x1 , x2, . . . , xm ∈ I , es decir, I m consiste en todas las sumas finitas de los elementos de la forma x1 x2 · · · xm donde x1 , x2, . . . , xm ∈ I . Definimos I 0 = A. El ideal I se dice nilpotente si I m = 0 para algun m ≥ 1. m

-´ alge al gebr bras as es Sean A y B dos K -´ -algebras, álgebras, un homomorfismo de K -´ on f : A → B tal que f es homomorfismo de anillos y f es transformación lineal simultaneamente. Dos K -´ -algebras álgebras A y B son isomorfas se existe un f : A → B tal que f es homomorfismo de K -´ -algebras álgebras y además as es biyectivo. Ejemplo 1.2.

´ LGEBRAS DE CARCAJ A

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(a) El anillo K [t] de polinomios con variable t con coeficientes en K y el anillo K [x1 ,...,xn ] de los polinomios con variables conmutativos t1 ,...,tn con coeficientes en K son K son K -´ -algebras ´ dimensionalmente sionalmente infinita. (b) El anillo K x, y  de polinomios con variables x,y no conmutativos es una K -´ -algebra algeb ´ ra dimensionalmen dimensionalmente te infinita. Sea Sea I el ideal generado por el elemento xy − yx, -´ algebra yx, entonces la K -´ K x, y/I es isomorfa a K [x, y]. Sea A una K -´ -´ algebra, podemos construir su ´ algebra de matrices (c) Sea A M n [A], que es el conjunto de matrices de n × n con entradas en A, que tienes estructura de K -´ -algebra, ´ mediante la suma y multiplicaci´ on de matrices usual, y con la acci´ on evidente de K . Sea (G, ·) un grupo finito con identidad e identidad e y sea A sea A una K una K -´ -´ algebra. (d) Sea ( El algebra ´ algebra de grupo grupo de G con coeficientes en A, es el K espacio vectorial AG consistente en todas las sumas g∈G gλ g , con λ con λg ∈ A y g y g ∈ G, y con la multiplicaci´ on definida como sigue



(



gλ g ) · (

g∈G

 h∈G

hµh ) =



f λg µh .

f =gh∈G

(e) Sean B y C dos K -´ -algebra. ´ El producto de algebras de B y ´ algebra A = B × C con la suma y multiplicaci´ an entrada C es el ´ a entrada. Decimos que una K -´ -´ algebra A es conexa si no es producto de 2 ´ algebras. (f) Para cualquier K-´ algebra A, podemos definir el algebra ´ algebra opOP de A cuya ´ algebra tiene la misma estructura de K uesta A espacio vectorial, pero la multiplicaci´ on * en AOP esta definida por a ∗ b = ba. ba. Definicion 1.3. El Radical de una K una K -´ -´ algebra A es la intersecci´ on de

todos los ideales maximales de A. Denota Denotarremo emoss por rad A al radic radical del ´ algebra A. La siguientes es una importante equivalencia del rad A Lema 1.4. Sea A una K -´ -algebra ´ y sea a ∈ A. Las siguiente siguientess condiondi-

ciones son equivalentes quivalentes (a) a ∈ radA; radA;

4


(a’) a pertenece ertenece a la intersecc intersecci´ i´ on de todos todos los ideale idealess max maximal imales es izquierdos de A; inverso; (b) para todo b ∈ A, 1 − ab tiene inverso; (b’) para todo b ∈ A, 1 − ab tiene inverso derecho; (c) para todo b ∈ A, 1 − ba tiene inverso; inverso; (c’) para todo b ∈ A, 1 − ba tiene inverso izquierdo; izquierdo; Prueba.

(a) ⇒ (b ) Sea b ∈ A, si 1 − ab no tiene inverso derecho, entonces existe un ideal maximal derecho I tal que 1 − ab ∈ I , pero a ∈ radA ⊆ on. As´ As´ı 1 − ab tiene I,ab ∈ I entonces 1 ∈ I , que es una contradicción. inverso inverso derecho. (b ) ⇒ (a) Si a ∈ / radA, radA, entonces existe ideal maximal derecho tal que a ∈ / I , entonces A = I + aA y existe x ∈ I y b ∈ A tal que 1 = x + ab, ab, asi 1 − ab = x ∈ I asi 1 − ab no tiene inverso derecho, contradiciendo nuestra hipotesis. (a ) ⇒ (c ) Análogo alogo al anterior (b) ⇔ (c) Se demuestran fácilmente acilmente usando las siguientes implicaciones: (i) Si (1 − cd) cd)x = 1, entonces (1 − dc)(1 dc)(1 + dxc) dxc) = 1 (ii) Si y(1 − cd) cd) = 1, entonces (1 + dyc)(1 dyc )(1 − dc) dc) = 1  (b ) ⇒ (b). Sea b ∈ A, por (b’) (b’) enton entonces ces existe existe c ∈ A tal que (1 − ab) ab)c = 1, asi c = 1 − a(−bc) bc) nuevamente por (b’) existe d ∈ A tal que 1 = cd = d + abcd = d + ab, ab, y entonces d = 1 − ab y c es el inverso de 1 − ab. ab.  (c ) ⇒ (c) Similar a la anterior. (b) ⇒ (b ) y (c) ⇒ (c ) es trivial. 2 A partir de ahora para abreviar escribiremos álgebra algebra A en lugar de una K -´ -álgebra algebra A si no hay confusión. on. algebra A Corolario 1.5. Sea rad A el radical de una ´ (a) (b) (c) (d)

rad A es la intersecci´ on de todos los ideales maximales de A rad A es un ideal bilateral rad(A/rad A)=0 Si I es un ideal bilaterial nilpotente de A, entonces I ⊆ radA. radA. Si adem´ as el ´ algebra A/I es isomorfa al producto K × ... × K de copias de K , entonces I = radA. radA.

Prueba.

(a) y (b) se siguen fácilmente acilmente de ?? (c) Sea (a (a + radA) radA) ∈ A/radA, A/radA, por ??, (1 + radA) radA) − (r + radA)( radA)(a a+ ( b + radA) radA) radA) = (1 − ra) ra) + I es invertible asi existe (b radA) ∈ A/radA tal


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que (b (b + radA)((1 radA)((1 − ra) ra) + I ) = 1 + radA, radA, asi 1 − (b − bra) bra) ∈ radA nuevamente por ??, b − bra tiene inverso, entonces existe c ∈ A tal que c(b − bra) bra) = (cb)(1 cb)(1 − ra) ra) = 1, as´ı 1 − ra tiene inverso para todo r ∈ A, por ??, a ∈ radA. radA. Entonces a + radA = radA, radA, concluyendo que rad( rad(A/radA) A/radA) = 0. (d) Por ser I nilpontente I m = 0 con m > 0. Sea Sea x ∈ I y a ∈ A, r entonces ax ∈ I y por tanto (ax (ax)) = 0 par para alg´ alg´ un r > 0. As´ un As´ı 2 r −1 r (1 + ax + (ax) ax) + ... + (ax) ax) )(1 − ax) ax) = 1 − (ax) ax) = 1 para todo consecuen uencia cia I ⊆ radA. a ∈ A entonces por ??, x ∈ radA, radA, y en consec radA. Para la otra contensión, on, supongamos el algebra algebra A/I es isomorfa al producto de copias de K , entonces rad( rad(A/I ) = 0, Ahora nos fijamos en el homomorfismo canónico o nico de álgebras algebras (que es sobre) π : A → A/I que lleva radA al rad( rad(A/I ) = 0, si a ∈ radA y sea b ∈ A, entonces π(b) = b + I ∈ A/I y por ?? , 1 − ba es invertible en A y entonces π(1 − ba) ba) = 1 − π(a)π(B ) es invertible en A/I ; as´ı π (a) ∈ rad( rad(A/I ) = 0 por ??, asi radA ⊆ ker π = I que concluye la prueba. 2 En el estudio de módulos odulos sobre K -´ -algebras a´lgebras dimensionalmente finito sobre un campo K algebraicamente cerrado juega un papel muy importante en el siguiente teorema, conocido como el teorema de WedderburnMalcev. Omitiremos la demostración. on. algebra dimensionalmente finita. Si K es Teorema 1.6. Sea A una K-´ un campo algebraicamente cerrado, entonces existe una K-sub´ algebra B de A tal que esiste una descomposici´ on de K-espacios K-espacios vectoria vectoriales les on del homomorfismo can´ onico de A = B ⊕ radA tal que la restricci´ algebras ´ algebras. π : A → A/radA a B es un isomorfismo de K-´ ´ 1.2. MODULOS. Definicion Definicion 1.7. Sea A Sea A una K una K -´ -algebra. ´ Un A-m´ odulo derecho (o un

m´ odulo derecho sobre A) es una pareja (M, ·) donde M es un K-espacio vectorial y · : M × A → M , (m, a) → on binaria ma, es una operaci´  ma, satisface las siguientes condiciones: (a) (b) (c) (d) (e)

(x (x + y)a = xa + ya; ya; x(a + b) = xa + xb; xb; x(ab) ab) = (xa) xa)b; x1 = 1; (αx (αx))a = x(αa) αa) = α(xa) xa)

para todo x, y ∈ M , a, b ∈ A y α ∈ K

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La definición on de A-módulo odulo izquierdo es análoga. aloga. Adem´ Adem´ as as escribiremos M o M A en lugar de (M, (M, ·) y AA o A A para ver a la álgebra algebra A como A-módulo odulo derecho o izquierdo respectivamente. dimensionalmente te finito si la dimensi´ Una M módulo odulo es dimensionalmen on o n de -espacio vectorial es finita. M como K -espacio

Un A-módulo odulo derecho se dice generado por los elementos m1 ,...,ms de M, si cada elemento m ∈ M es de la forma m = m1a1 +...+ ...+ms as para algunos a1 ,...,as ∈ A, si es el caso escribiremos M = m1 A + ... + ms A. finitamente generado si sus generadores son un Un módulo odulo M es finitamente subconjunt subconjuntoo finito de M . Es facil notar que un módulo odulo derecho M sobre una álgebra algebra dimensionalmente finita A, es finitamente generado si y solo si M es dimensionalmente finito. A continuación on mencionaremos un lema que utilizaremos con frecuencia y se conoce como el lema de Nakayama. Lema 1.8. Sea A Sea A una K -´ -algebra, ´ M un A-m´ odulo derecho finitamente

generado, e I ⊆ radA un ideal bilateral de A. Si M I = M entonces M = 0 Supongamos que M  = 0, consideremos el sistema de generadores m1 ,...,mn del A-módulo odulo M, de cardinalidad m´ınima. ınima. Como M I = M , podemos escribir m1 = m1 a1 + ... + mn an con ai ∈ I , asi m1 (1 − a1 ) = m2a2 ... + mn an , como ai ∈ I ⊆ radA entonces 1 − a1 es invertible y entonces m1 = m2 A... + mn A as´ı m2 ,...,mn es un sistema de generadores de M, que es una contradicción pues el minimo era de n elementos. 2 Prueba.

Corolari Corolario o 1.9. Sea A una K -´ -´ algebra algebra dimensionalmente dimensionalmente finita, en-

tonces el radA es nilpotente. Prueba.

Como la dimK A < ∞, entonces la cadena

A ⊇ radA ⊇ (radA) radA)2 ⊇ ... ⊇ (radA) radA)m ⊇ (radA) radA)m+1 ⊇ ... se estaciona, entonces (radA ( radA))m = (radA) radA)m(radA) radA) para algun m, y por m el lema de Nakayama ?? tenemos (radA (radA)) = 0 2 Diremos que un A-módulo odulo derecho M no nulo es inescindible si no tiene sumandos directos no triviales. Es decir que si M ∼ = N ⊕ L


7

entonces N = 0 o´ L = 0. Teorema 1.10. Teorema de descomposici´ on unica ´

Sea A una K-´ algebra dimesionalmente finita. ∼ M 1 ⊕ ... ⊕ M m odulo tiene una descomposici´ on M = (a) Cada M m´ donde M 1 ,...,M m son m´ odulos inescindibles. (b) Si m

M ∼ =

n

  M i ∼ =

i=1

N j ,

j =1

donde M i y N j son inescindibles, entonces m=n y existe una ∼ N σ(i) para cada i = permutaci´ on σ de {1,...,n} tal que M i = 1, ...n ...n.. Una demostración on del teorema anterior puede verse en [ ?] pp.23-24. pp.23-24. Es importante notar que una álgebra algebra A puede ser vista como un Amódulo odulo gracias a la multiplicación on del anillo. anillo. De esta forma forma,, A tiene tiene una descomposición on unica u ´ nica en inescindibles por el teorema anterior m

∼ AA =



P i

i=1

En el estudio de módulos odulos indescidibles sobre una K -´ -algebra álgebra A, los elementos idempotentes de A juegan un papel muy importante.Un sistema completo de idempotentes idempotentes ortogonales primitivos primitivos de A, es ... + en = 1), {e1 ,...,en } un subconjunto de A, tal que es completo (e1 + ...+ 2 de idempontes (ei = ei ), ortogonales (ei e j = 0 si i =  j ) y primitivos (si ei = a + b con a y b idempotentes ortogonales, entonces a = 0 o b = 0).Un idempotente e es central si ea = ae para todo a ∈ A. As´ı dada da da A una K -´ -algebra álgebra dimensional dimensionalmen mente te finita, y sea AA = o n como módulo odulo AA en indescindibl indescindibles. es. P 1 ⊕ ... ⊕ P n su descomposición Descompongamos, en esta suma directa el uno de A, 1 = e1 + ... + en , entonces {e1,...,en } forman un sistema completo de idempotentes ortogonales primitivos, y análogamente, alogamente, si dado {e1 ,...,en } un sistema completo de idempotentes ortogonales (con ei =  0 para toda i), entonces AA = Ae1 ⊕ ... ⊕ Aen es una descomposición on en inescindib inescindibles. les. Una algebra a´lgebra A es conexa (o inescidible) si no es producto directo de dos álgebras, algebras, o equivalentemente, A es conexa si y solo si los únicos unicos idempotentes centrales son 0 y 1.

8


Teorema 1.11. Un idempotente e ∈ A es primitivo si y solo si el

algebra ´ eAe tiene dos idempotentes 0 y e. Una demostración on de este teorema puede encontrarse [ ?] pp 8 Definicion 1.12. Sea A una K-´ algebra con un conjunto completo de

ortogonales idempotentes primitivos {e1,...,en }. El algebra ´ A es llamada b´ asica si ei A  e j A para todo i =  j


2.

9

Algebras Algebras de Carcaj Carcaj

En esta sección, on, mostraremos que a cada álgebra algebra dimensionalmente finita finita sobre sobre un campo campo algebr algebraic aicame ament ntee cerra cerrado do K corresponde corresponde una gráfica, afica, llamada carcaj. Y a cada carcaj le corresponde una K -´ -algebra álgebra asociativa, que es dimensionalmete finita y tiene identidad bajo ciertas condiciones.

2.1. CARCAJ. Definicion Definicion 2.1. Un carcaj es un cuarteto Q = (Q0 , Q1 , s , t) t) de dos conjuntos: Q0 ( puntos puntos o v´ ertices ces) y Q1 ( flechas), y dos funciones erti er tice ce inica in ical l s, f : Q1 → Q0 que a cada flecha α ∈ Q1 le asigna un v´ erti er tice ce final fin al t(α) ∈ Q0 . s(α) ∈ Q0 y un v´

Una flecha α ∈ Q1 con co n vértic ert icee inic in ical al a = s(α) y vértice ert ice fin final al b = t(α) es usualmente denotada por α : a → b, y el carcaj es denotado solo por Q. Son ejemplos de carcajes

afica afica Un carcaj es finito si Q0 y Q1 son conjun conjuntos tos finitos finitos.. La gr´ subyacente Q de un carcaj Q se obtiene de Q olvidandonos de la orientaci´ on on de las flechas flechas.. El carcaj carcaj Q es conexo si Q es un unaa gráfica afi ca conexa.

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Sea Q = (Q0 , Q1 , s , t) t) un carcaj y a, b ∈ Q0 . Un camino de longitud  ≥ 1 con inicio a y fin b (de a a b) es una secuencia (a|α1 ,...,α |b) donde αk ∈ Q0 para todo 1 ≤ k ≤  y tenemos que s(α1 ) = a, t(αk ) = camino lo denota denotarem remos os s(αk+1 ) para todo 1 ≤ k <  y t(α ) = b. El camino brevemente como α1 α2...α y se visualara α1

α2

α3

α

 a = a0 −→ a1 −→ a2 −→ ... −→ a = b

Q denotara el conjunto de todos los caminos de longitud . A cada vértice a ∈ Q0 le asociaremos un camino de longitud  = 0, llamado el camino trivial o estacionario en a, y lo denotaremos por εa = (a||a)

Un camino de longitud  ≥ 1 es un ciclo si el vértice ertice inicial y el v´ ertice ertice final coinciden. coinciden. Un ciclo ciclo de longitud longitud 1 es llamado llamado loop. Un carcaj es aciclico si no tiene ciclos. Definicion 2.2. Sea Q un carcaj. El algebra ´ de caminos K Q de Q

es una K una K -´ -algebra ´ cuya base como K -espacio -espacio vectorial es el conjunto de todos los caminos (a|α1 ,...,α |b) con  ≥ 0 en Q y el producto de dos vectores b´ asicos (a|α1 ,...,α |b) · (c|β 1 ,...,β k |d) de QK se define como cero si b =  d y (a|α1 ,...,α , β 1 ,...,β k |d) si b = d. Es fácil a cil ver que el producto de los básicos asicos se puede puede extend extender er a cualquier elemento arbitrario de K Q por la propiedad distributiva. Ejemplo 2.3.

(a) Sea Q el siguiente carcaj

La base del ´ algebra de caminos de K Q es {ε1 , α , α2 ,...,αk ,...} y su mulpilicaci´ on esta dada por para todo k ≥ 0 y ε1 αk = αk ε1 = αk k j k+ j α α = α ; l, k ≥ 0 para todo l, k ≥ 0


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donde ε1 = α0 . As´ı ı KQ es isomorfa al ´ algebra de polinomios K[t] con variable t, y el isomorfismo esta dado por ε1 →  1 y α →  t . (b) Sea Q el siguiente carcaj

La base de KQ son todas las palabras formadas con {α, β }, con identidad ε1 . As´ As´ı KQ es isomorfa a la algebra asociativa de variables no conmutativa K t1 , t2 , con el ismorfismo  1,α→  t1 y β →  t2 ε1 → (c) Sea Q el siguiente carcaj

la base del algebra de caminos K Q es {ε1 , ε2 , α} con la tabla de multiplicar . ε1 ε1 ε1 ε2 0 α α

ε2 0 ε2 0

α 0 α 0

Es f´ acil ver que KQ es isomorfo al algebra de matrices triangulares, con el siguiente isomorfismo: ε1 → 

      1 0 0 0

, ε2 → 

(d) Sea Q el sigueinte carcaj:

0 0 0 1

,α → 

0 0 1 0

.

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An´ alogamente al ejemplo anterior podemos ver el siguiente isomorfismo de K-algebras KQ ∼ =

 

K K K K

0 K 0 0

0 0 K 0

0 0 0 K

 

Lema 2.4. Sea Q un carcaj y KQ su algebra de caminos. Entonces

(a) KQ tiene elemento identidad si y solo si Q0 es finita (b) KQ es dimensionalmente finita si y solo si Q es finita y aciclica. Prueba.

(a) Claramente cada camino estacionario εa es idempotente en KQ. Si Q0 es finito, a∈Q εa es claramente la identidad de K Q. Si 1 = m i=1 λi ωi (donde λi es escalar y ωi son caminos de Q) es la identidad de KQ, y si Q0 fuera infinito, entonces podemos escoger un vérti er tice ce en Q0 tal que no es vértice ertice inicial de ωi , para alguna i, entonces on. εa · 1 = 0, que es una contradicción.

 

0

(b) Si Q es finito y aciclico, existe un número umero finito de caminos de K Q, entonces KQ es dimensionalemente finita. Si Q fuera infinito, la base de KQ ser´ ser´ıa infinita y por tanto K Q dimensionalmente infinita, ahora si tuviera un ciclo, digamos ω = α1 ...αk , para cada t ≥ 0, tendr tend r´ıamos ıam os un básico asico ω t , lo que haria de K Q dimensionalmente infinito. 2 Corolario 2.5. Sea Sea Q un carca carcajj finito. El elemento 1 =



εa es la identidad de KQ y el conjunto {εa |a ∈ Q} es un sistema completo de idempotentes ortogonales primitivos de KQ. a∈Q0

Claramente εa son elementos idempotentes ortogonales de K Q, del lema anterior {εa |a ∈ Q} es completo y por ser finito Q0 , 1 = a∈Q εa es la identidad de K Q. Sólo olo falta demostrar que son primitivos εa que por ?? basta ver que los unicos u ńicos idempotentes ε de εa (K Q)εa son 0 y εa . De hecho cualquier idempotente de εa (KQ KQ))εa es de la forma ε = λεa + ω, donde λ ∈ K y ω es combinacion lineal de ciclos que pasan por a y de longitud  ≥ 0. Asi la desigualdad Prueba.



0

0 = ε2 − ε = (λ2 − λ)εa + (2λ (2λ − 1)ω 1)ω + ω 2 que da ω = 0 y por tanto λ2 = λ, y as´ı λ = 0 o λ = 1. en el prim primer er caso, ε = 0 y en el segundo ε = εa 2


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Claramente, {εa |a ∈ Q} no es el unico u ´ nico conjunto completo de idempotentes ortogonales primitivos de K Q. En el ejem ejempl ploo ??(c), {ε1 , 2 } y {1 + α, ε2 − α} son dos conjuntos completos de idempotentes ortogonales primitivos. El siguiente lema reduce la conexidad de una álgebra algebra a la partición on de un conjunto completo de idempotentes ortogonales primitivos. Lema 2.6. Sea A una ´ algebra asociativa con identidad y sea {e1 ,...,en }

un conjunto completo (finito) de idempotentes ortogonales primitivos. algebra conexa si y s´ olo si no existe una partici´ on trivial I trivial I ∪ J A es una ´ del conjunto {1, 2,..,n} tal que i ∈ I y j ∈ J implica que ei Ae j = 0 = e j Aei Asumamos que existe una partición on no trivial, y sea c = omo e j son idempotentes ortogonales,  0, 1. Como j ∈J e j , entonces c = entonces c es ortog ortogon onal al.. Mas Mas aún, un, cei = ei c = 0 para todo i ∈ I y arbitrario.. Por hip´ hipotesis, ótesis, ce j = e j c = e j para cada j ∈ J . Sea a ∈ A arbitrario ei ae j = 0 = e j aei donde i ∈ I y j ∈ J . En consecuencia Prueba.



ca =

 

      

e j )a = (

j ∈J

=

e j a) · 1 = (

j ∈J

e j aek = (

j ∈J

e j +

j ∈J

j,k ∈J

e j a)(

i∈I

ei )a(

i∈I

ei +

ek )

k∈J

ek )

k∈J

= ac As´ı c es idempotente central, y A = cA×(1 −c)A es una descomposición on en producto no trivial en de A, contradiciendo la hipotesis de que A es conexa. Para el regreso supongamos que A no es conexa, entonces contiene un idempotente central c = As´ı tenemos tene mos  0, 1. As´ n

n

n

  

c=1·c·1=(

ei )c(

i=1

j =1

e j ) =

i,j =1

n

ei ce j =



ei cei

i=1

pues c es central. Sea ci = eice j ∈ ei Aei . Entonces ci2 = (ei cei )(e )(ei cei ) = 2 ei c ei = ci , y as´ı ci es idempotente de ei Aei . Como ei es primitivo entonces ci = 0 o ci = ei . Sea I = {i|ci = 0} y J = { j |c j = e j }. Co Como mo on on no trivial. trivial. Mas aún u n si i ∈ I , tenemos c =  0, 1, esta es un partici´ ei c = cei = 0 y, si j ∈ J , tenemos e j c = ce j = e j . por lo tanto, si i ∈ I y j ∈ J , tenemos que ei Ae j = ei Ace j = ei cAe j = 0 y similarmente e j Aei = 0 . 2

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Lema 2.7. Sea Q un carcaj finito. El ´ algebra de caminos KQ es conexa

si y solo si Q es un carcaj conexo Suponga que Q no es conexa, SPG tiene dos componentes conexos Q y Q . Sea a ∈ Q y b ∈ Q . Co Como mo Q no es conexa existe  un camino ω totalmente contenido en Q o en Q.En el primer caso ωεb = 0 y entonces εa ωεb = 0, en el otro caso tenemos que εa ω = 0 y entonces εa ωεb = 0. Esto Esto muestr muestraa que εa (K Q)εb = 0 y similarmente εb (K Q)εa = 0 y por ??,KQ es no conexa. Ahora supongamos que Q es un carcaj conexo pero KQ no es un álgebra conexa. Por ref1.6 existe una unión on disjunta que da una partición on con     Q0 = Q0 ∪ Q0 tal que, se x ∈ Q0 y y ∈ Q0 entonces ex (K Q)ey = 0 = ey (K Q)ex . Co Como mo Q es conex conexo, o, exist existee a ∈ Q y b ∈ Q tal que α : a → b. Asi tenemos Prueba.



α = εa αεb ∈ εa (K Q)εb = 0 siendo una contradicción. on.

2

Sea Q un carca carcajj finito y conexo. El ideal bilatera bilatera del Definicion 2.8. Sea algebra de camino de KQ generada por las flechas de Q es llamada hay am ambi bigu gueedad dad ideal ideal flecha flecha de KQ y se denota como RQ . Si no hay notamos a RQ simplemente como R. En el siguiente teorema caracterizamos la propiedad universal. Teorema 2.9. Sea A un carcaj finito y conexo y A una K-algebra

asociativ asociativaa con identidad. identidad. Para Para cada par de funciones ϕ0 : Q0 → A tal que ϕ1 : Q1 → A que satisface las siguientes condiciones: (i) 1 = a∈Q ϕ0(a), ϕ0 (a)2 = ϕ0(a), y ϕ0 (a) · ϕ0 (b) = 0 para todo b a= (ii) si α : a → b entonces ϕ1(α) = ϕ0(a)ϕ1 (α)ϕ1 (b) existe un unico homomorfismo de K-algebras ϕ : KQ → A tal que ϕ(εa ) = ϕ0 (a) para cada a ∈ Q0 y ϕ(α) = ϕ1 (α) para cada α ∈ Q1



Prueba.

0

Sea µ ∈ K Q, entonces µ=



λa εa +

a∈Q0



λb b

b∈RQ

y como b ∈ RQ entonces b = α1 · · · α con  ≥ 1 y αi ∈ Q1 . Definamos ϕ : K Q → A, dada por ϕ(µ) =



a∈Q0

λa ϕ0 (εa) +



b∈RQ

λb (ϕ1 (α1 ) · · · ϕ1 (α ))


15

Es fácil acil ver que ϕ es un homomorfismo de K-algebras que extiende a ϕ0 y ϕ1 . Adem´ as as para todo ω1 · · · ωk camino de Q, tenemos que (1) (2)

ϕ(ω1 · · · ωk ) = ϕ(ω1) · · · ϕ(ωk ) = ϕ1 (ω1 ) · · · ϕ1 (ωk )

que demustra la unicidad de ϕ. Por otro lado, ϕ es compatible con la composición on de caminos (y entonces preserva el producto) y es tal que preserva la identidad, pues ϕ(1) = ϕ(

  εa ) =

a∈Q0

ϕ(εa ) =

a∈Q0



ϕ0 (εa ) = 1

a∈Q0

asi es entonces un homomorfismo de K-algebras

2

Proposicion 2.10. Sea Q un carcaj finito y conexo, R el ideal flecha

de KQ y εa = (a||a) para a ∈ Q0 . el conjunto {εa = εa + R|a ∈ Q0 } es un conjunto completo de idempotentes ortogonales de KQ/R, y KQ/R es isomorfo a un producto de copias de K. Si adem´ as Q es aciclico, entonces radKQ = R. Prueba.

Claramente, existe una descomposición on directa KQ/R =



εa (KQ/R) KQ/R)εb

a,b∈Q0

como K-espacio vectorial, como R contiene todos lo caminos de longitud  ≥ 1, este se convierte en KQ/R =



εa (KQ/R) KQ/R)εa

a,b∈Q0

Entonces KQ/R es generado, como K-espacio vectorial, por las clases residuales de longitud zero, esto es, por el conjunto {εa = εa + R|a ∈ Q0 }. Claramente este es un conjunto completo de idempotentes ortogonales primitivos del algebra cociente KQ/I. Mas aún, un, para cada a ∈ Q0 , el algebra εa (KQ/R) KQ/R)εb , es generado, como K-espacio vectorial, por εa y en consecuencia es isomorfa, como K-algebra, a K. Esto muestra que el algebra cociente es isomorfa al producto de |Q0 | de copias de K. Ahora suponga que Q es aciclica, entonces KQ es dimensionalemte finita (por ??. En Enton tonces ces existe existe caminos caminos de longit longitud ud máxima axima  ≥ 1, implicando que cualquier producto de  + 1 flechas es cero, es decir, R+1 = 0, en consecuencia R es nilpotente y por ?? R ⊆ radKQ. radKQ. Como KQ/I es isomorfo a un producto de copias de K, se sigue de ?? que radKQ=R. 2

16


Asuma que Q es un carcaj finito y aciclico. Sea n = |Q0 | el numero de vertices de Q. Es fácil acil ver que podemos numerar los vértices ertices de Q del 1 al n tal que, si existe un camino de i a j , entonces j ≤ i. Con esta observación on enunciaremos el siguiente lemma del cual omitiremos la demostración. on. Lema 2.11. Sea Q un carcaj conexo, finito y aciclico con Q0 = {1, 2,...,n}

tal que para cada i, j ∈ Q0 , j j ≤ i si existe un camino de i a j . Entonces el algebra de caminos KQ es isomorfo al algebra de matrices triangulares inferiores

A=

 

0 ε1 (K Q)ε1 ··· ε2 (K Q)ε1 ε2 (K Q)ε1 · · · .. .. . . εn (KQ KQ))ε1 εn (K Q)ε2 · · ·

0 0 .. . εn (K Q)εn

 

donde εa = (a||a) para cada a ∈ Q0 , la adici´ on es la obvia y la multiplicaci´ on es inducida por la multiplicaci´ on de KQ. 2.2. IDEALES ADMISIBLES Y EL COCIENTE DEL ALGEBRA DE CAMINOS. Definicion 2.12. Sea Q un carcaj finito y RQ el ideal flecha del algebra de caminos de KQ. Un ideal bilateral I de KQ es admisible si existe

m ≥ 2, tal que m 2 RQ ⊆ I ⊆ RQ

Se sigue directamente de la definición on que un ideal I de KQ, cnotenido 2 en RQ , es admisible si y solo si contiene a todos los caminos suficientemen temente te grandes grandes.. Este Este es el caso caso si y solo solo si, para cada ciclo ciclo σ ∈ Q, s existe un s ≥ 1 tal que σ ∈ I . 2 En particular, si Q es aciclica, cualquier ideal contenido en RQ es admisible.

Ejemplo 2.13. m (a) Sea Q un carcaj finito arbitrario y m ≥ 2, el ideal RQ es admisible. (b) El ideal cero es admisible en KQ si y solo si Q es aciclico. De hecho, el ideal cero es admisible si y solo si existe m ≥ 2 tal que 2 = 0, esto es, que cualquier producto de m flechas en KQ es RQ cero. En este es el caso si y solo si Q es aciclico.


17

(c) Sea Q el carcaj

El ideal I 1 = αβ − γδ  del K-algebra KQ es admisible, pero I 2 = αβ − γ  no lo es. (d) Sea Q el siguiente carcaj

Es ideal I = αβ − γδ,βλ,λ3  es admisible. admisible. Claramente Claramente I ⊆ 2 dem´ ´ as cada camino de longitud mayor a 5,contiene λ3 , RQ . Adem 5 entonce RQ ⊆ I . (e) Sea Q el carcaj

Cada uno de los ideales I 1 = αβ  y I 2 = αβ − γδ  es admisible, y adem´ as las algebras KQ/I 1 y KQ/I 2 son isomorfas bajo el isomorfismo isomorfismo KQ/I 1 → KQ/I 2 inducida por la correspondencia εı →  εı para ı = 1, 2, 3; α →  α, β →  β − γ y γ →  γ . Definicion Definicion 2.14. Sea Q un car carccaj. Una relaci´ on en Q con coefi-

cientes en K es una K -combinacion -combinacion lineal de caminos de longitud al menos 2 con el mismo vértice ertice inicial y final. Entonces, Entonces, la relacion relacion ρ es un elemento de KQ tal que m

ρ=



λı ωı

ı=1

donde los λı son escalares (no cero) y los ωı son caminos en Q de longitud al menos 2, tal que si ı = ertice inicial (o final,  , donde el vértice respectivamente) respectivamente) de ωı coincide con los de ω  .

18


Lema 2.15. Sea Q un carcaj finito y I un ideal admisible de KQ. El

conjunto {ea = εa + I |a ∈ Q0 } es un conjunto completo de idempotentes ortogonales del algebra KQ Prueba. Por ?? es f´ acil ver que este conjunto es un conjunto completo acil

de idempotentes idempotentes ortogonales. ortogonales. Falta ver que cada ea es primitivo, que por ?? basta probar que los unicos idempotentes idempotentes de ea(KQ/I )ea son 0 y ea . De hecho hecho cada idempote idempotent ntee e de ea(KQ/I )ea se puede escribir de la forma e = λεa + ω + I , donde λ ∈ K y ω es combinacion lineal de ciclos que pasan por a y de longitud  ≥ 1. Asi la desigualda desigualdad d e2 = e da que (λ2 − λ)εa + (2λ (2λ − 1)ω 1)ω + ω 2 ∈ I 2 Sea RQ el ideal flecha de KQ. Como I ⊆ RQ , tenemos λ2 − λ = 0 y entonces λ = 0 o λ = 1. 1. Si λ = 0, entonces e = ω + I donde ω es m idempotente modulo I . Y por otro otro lado lado,, como como RQ ⊆ I para algun m m ≥ 2 tenemos que ω ∈ I , es decir ω es nilpotente modulo I y en consecuencia ω ∈ I y e es cero cero.. Por otro otro lado lado si λ = 1, enton entonces ces ea − e = −ω + I es idempotente en ea (KQ/I )ea y nuevamente ω es idempotente modulo I . Igual que el anterior, anterior, es nilpotente nilpotente modulo I , y pertenece a I . Consecuentemente, ea = e 2 Lema 2.16. Sea Q un carcaj finito e I un ideal admisible de KQ. El

algebra KQ/I es conexa si y solo si Q es un carcaj conexo Si Q no es un carc carcaj aj cone conexo xo,, ento entonc nces es KQ no es un unaa algebra conexa por ??. Entonces KQ contiene un idempotente central γ distinto de 0 y 1, y que por la prueba de ?? puede ser elegido como sema de caminos de longitud longitud cero, es decir, decir, de puntos. puntos. Pero Pero entonces entonces c = γ + γ + I no es igual a I . Por otro lado, c = 1 + I implica 1 − γ ∈ I , que 2 es imposible (pues I ⊆ RQ ). Como Como es claro claro que c es un idempotente central de KQ/I , entonces inferimos que KQ no es una álgebra algebra conexa. Si Q es un carcaj conexo pero KQ/I no es una algebra conexa. Por ?? y ?? existe una partición on no trivial Q0 = Q0 ∪ Q0 tal que si x ∈ Q0 y y ∈ Q0 entonces ex (KQ/I )ey = 0 = ey (KQ/I )ex . Como Q es conexa, sin perdida de generalidad existe una flecha α : a → b con x ∈ Q0 y y ∈ Q0 . Pero Pero entonce entoncess α = εa αεb implica que α = α + I satisface 2 0. Asi α = ) que es una α = εa αεb ∈ εa (KQ/I )εb = 0.  I (pues I ⊆ RQ contradicci´ on. on. Prueba.













2

Proposicion 2.17. Sea Q un carcaj finito y I un ideal admisible de

KQ. El algebra KQ/I es dimensionalmente fininita Prueba. Como I es admisible, existe m ≥ 2 tal que Rm ⊆ I , donde R

es el ideal flecha RQ de KQ. Pero esiste un homomorfismo de algebras


19

sobreyectivo KQ/Rm → KQ/I . Asi es suficiente suficiente probar que KQ/Rm es dimensionalmen dimensionalmente te finita. Pero Pero las clases clases residuales residuales de los caminos de longitud menor que m forman una base de KQ/Rm como K-espacio vecto vectoria rial. l. Como Como hay hay un nu numer meroo finito finito de estos estos caminos, caminos, se sigue sigue el resultado. 2 Si I no es admisible, el algebra KQ/I no es necesariamnente dimensionalmente finita. Lema 2.18. Sea Q un carcaj finito, RQ el ideal flecha de KQ, e I un

ideal admisible de KQ. Entonces el rad( rad(KQ/I ) = RQ /I . Como I es admisible, existe m ≥ 2 tal que Rm ⊆ I , donde R = RQ . As´ı, (R/I )m = 0 y R/I es ideal nilpotente de KQ/I . Por otro lado, el algebra (KQ/I (KQ/I )/(R/I ) ∼ = KQ/I es isomorfo a un producto de copias de K, por ?? y entonces por ?? finalizamos la prueba. 2 Prueba.

Corolari Corolario o 2.19. Para Para cada  ≥ 1, tenemos que el rad (KQ/I ) =

(RQ /I ) As´ As´ı el K-espaci K-es pacioo vectori vec torial al

∼ RQ /R2 rad( rad(KQ/I )/rad2 (KQ/I ) = (RQ /I )/(RQ /I )2 = Q admite como base el conjunto α + rad2 (KQ/I ), ), donde α = α + KQ/I y α ∈ Q1 2.3. EL CARCAJ DE UN ALGEBRA DIMENSIONALMENTE FINITA.

En este cap´ cap´ıtulo mostraremos que toda K-algebra dimensionalmete finita, básica asica e indescomponible, es isomorfa al cociente de un álgerba algerba de carcaj por algun ideal admisible. Definicion Definicion 2.20. Sea A un K-algebra dimensionalmetnte finita, b´ asica

y conexa y {e1, e2 ,...,en } un conjunto completo de idempotentes ortogonales primitivos de A. El carcaj ordinario de A, denotado por QA , es definido como sigue: (a) Los vérti er tices ces de QA nuemrados 1,2,...,n est´ an en correspondencia biyectiva con los idempotentes e1 , e2 ,...,en (b) Dados dos vertices a, b ∈ (QA )0 , las flechas α : a → b estan en correspondencia biyectiva con los vectores de la base del Kespacio vectorial ea(radA/rad2A)eb . Lo primero que es necesario checar es que el carcaj ordinario no depende de la elección on del conjunto conjunto de idempotente idempotentes. s.

20


Lema Lema 2.21. Sea A una K-algebra dimensionalmente finita, b´ asica y

conexa. (a) El carca arcaj j QA de A no depende de la elecci´ on del conjunto de idempotentes ortogonales primitivos de A. Prueba.

(a) El número ume ro de vértices erti ces de QA esta determinado de manera única, unica, y es igual al número umero de sumandos directos indescomponibles de AA , y este es único unico por ??. Por otro lado, el mismo teorema nos dice que los factores factores de la descomposici descomposici´ón on es unica salvo isomorfismos, es decir: n

AA =

n

  ea A =

a=1

eb A,

b=1

entonces podemos enumerar los factores para que ea A ∼ = ea A, para cada a con 1 ≤ a ≤ n. Solo Solo falta falta mostrar mostrar que dimK ea (radA/rad2 A)eb = para todo pareja pareja (a,b). (a,b). Es fácil acil ver que el AdimK ea (radA/rad2 A)eb para homomorfismo de módulos odulos ϕ : ea (radA) radA) → ea (radA/rad2 A) dado por  ea (x + rad2 A) admite a ea (rad2 A) como kernel y en consecuencia ea → ∼ ea(radA) ea (radA/rad2 A) = radA)/ea (rad2 A) ∼ rad(ea A)/rad2 (ea A). = rad( Y entonces tenemos esta sequencia de isomorfismos de K -espacios -espacios vectoriales )]eb ea (radA/rad2 A) ∼ rad(ea A)/rad2 (ea A)]e = [rad( ∼ A,rad(ea A)/rad2(ea A)) = HomA (eb A,rad( ∼ A,rad(ea A)/rad2(ea A)) = HomA (eb A,rad( ∼ ))]eb rad(ea A/rad2 (ea A))]e = [rad( ∼ = ea (radA/rad2 A)eb 2

Ahora mostraremos que todos los elementos de rad A se pueden expresa expr esarr en términos ermi nos de xα y los caminos de QA . Lema 2.22. Para cada flecha α : ı →  en (QA )1 , sea xα ∈ eı (radA) radA)e 

tal que el conjunto {xα +rad2 A|α : ı → } es una base de eı (radA/rad2 A)e  . Entonces: (a) para cada dos pintos a, b ∈ (QA )0 , cada elemento x ∈ ea (radA) radA)eb puede ser escrito de la forma: x = xα xα ...xα λα α ...α , donde λα α ...α ∈ K y la suma es tomado sobre todos los caminos xα xα ...xα en QA de a a b; y (b) para cada flecha α : ı →  el elemento xα determina de manera unica ´ un isomorfismo no cero xα ∈ HomA (e  A, eı A) tal que xα (e  ) = xα , I mxα ⊆ eı (radA) radA) y I mxα  eı (rad2A) 1

1





2

2





1

2

1

2


21

Prueba.

∼ (radA/rad2 A) ⊕ rad2A, (a) Por ser K -espacio -espacio vectorial, radA = tenemos que ea (radA) radA)eb ∼ = ea (radA/rad2 A)eb ⊕ ea (rad2A)eb . Entonces x puede ser escrito de la forma x=



xα λα

α:ı→ 

modulo ea (rad2 A)eb (donde λα ∈ K para cada flecha α de a a b ), o más as formalmente, 

x = x−

 

xα λα ∈ ea(rad2 A)eb

α:ı→ 

La descomposición on radA = ⊕ı, eı (radA) radA)e  implica que ea (rad2 A)eb =



[ea (radA) ][ec (radA) radA)ec ][e radA)eb ]

c∈(QA )0

   asi asi que que x = radA)ec y yc ∈ c∈(QA ) xc yc donde xc ∈ ea (radA) Porr la discusi discusi´ón on anterior, tenemos las expresiones ec (radA) radA)eb . Po   de la forma xc = β :a→c xβ λβ y yc = γ :c→b xγ λγ modulo 2 rad A, donde λβ , λγ ∈ K . Entonces

x=



0



xα λα +

α:a→b





xβ xγ λβ λγ

β :a→c γ :c→b

modulo ea (rad3 A)eb . Terminamos la prueba por una inducción on y usando que el rad A es nilpotente. (b) Por hipótesis, otesis, el elemento xα ∈ eı (radA) radA)e  es no cero y mapea al elemento no cero xα por el isomorfismo K-lineal eı (radA) radA)e  ∼ = HomA (e  A, eı (radA)) sigue ue que que xα (e  ) = xα , I mxα ⊆ radA)).. Se sig 2 eı (radA) radA) y I mxα  eı (rad A) que finaliza la prueba. 2









El siguiente es un importante corolario del lemma anterior, del cual se omite la demostración. on. Corolario 2.23. Si A es una ´ algebra conexa, b´ asica y dimensional-

mente finita, entonces el carcaj QA de A es conexa Lema 2.24. Sea Q un carcaj finito conexo, I un ideal ideal admisiblede

KQ, y sea A=KQ/I. Entonces QA = Q Por ??, el conjunto {ea = εa + I |a ∈ Q0 } es un conjunto completo de idempotentes ortogonales primitivos de A = KQ/I . Asi los puntos de QA estan en correspondencia biyectiva con los de Q . Por Prueba.

22


otro lado por ?? y como las flechas de a a b en Q están an en correK -espacio vectorial spondencia biyectiva con los vectores básicos asicos del K -espacio s an con las flechas de a a b en QA . 2 ea (radA/rad A)eb, entonces lo están Ejemplo 2.25. Ahora veremos algunos ejemplos sobre como construir

de un ´ algebra su carcaj ordinario. con m ≥ 1, el unico ´ idempotente de A es el 1, (a) Si A = K [t]/tm con m entonces QA tendr´ a un solo punto. Tenemos que el radA = t, m donde t = t + t ;de hecho tm = 0 y asi A/t ∼ = K . En 2 2 2 consecuencia, rad = t  y la dimK (radA/rad A) = 1. Una base del (radA/rad2A) esta dada por la clase de t del cociente 2 t/t . Asi el carcaj QA es

(b) Sea

 

 

K 0 0 K K 0 A= K 0 K el ´ algebra de las matrices triangulares inferiores [λij ] ∈ M3 (K ), con λ32 = 0 y λ pq = 0 para p¿q. Un obvio conjunto de idempotentes ortogonales primitivos de A, esta dada por las matrices: e1 =

 

1 0 0 0 0 0 0 0 0

Entonces el

      , e2 =

radA =

0 0 0 0 1 0 0 0 0

      , e3 =

0 0 0 0 0 0 0 0 1

 

.

0 0 0 K 0 0 K 0 0

y rad2 = 0 Mediante alg´ unos calculos que se omiten aqui es f´ acil ver que as ese2 (radA) radA)e1 y e3 (radA) radA)e1 son de dimension 1 y los dem´ pacios de la forma ei (radA) on cero (pues la radA)e j son de dimensi´ dimK (radA) radA) = 2). Asi QA es el carcaj


23

on del anterior es le siguiente. Sea A el (c) Una obvia generalizaci´ ´ algebra de matrices triangulartes inferiores de n × n.

A=

  

0 K 0 .. . K 0 K K K .. .

0 0 K .. . 0

··· 0 ··· 0 ··· 0 . .. . .. · · · K

  

Asi su QA es el carcaj

Ahora llegamos al teorema fundamental de estas notas. algebra dimensionalmente finita conexa Teorema 2.26. Sea A una K-´ y b´ asica. Entonces exite un ideal I de K QA tal que A ∼ = K QA /I .

Asignaremos a cada elemento de la base de KQ A otro elemento de A. Esto dará lugar a un morfismo ϕ : KQ A → A de K-espacios vectoriales, de hecho ϕ será un morfismo de K-algebras, despues mostraremos que ϕ es sobreyectiva y el kernel I = Kerϕ es un ideal admisible de K QA Prueba.

Para cada Para cada flecha flecha α : ı →  en (QA )1 , sea sea xα ∈ radA elegida 2 de tal tal mane manera ra que que {xα + rad A|α : ı → } form forman an un unaa base base de 2 eı (radA/rad A)e  . Sea ϕ0 : (QA )0 → A sea el mapeo definido por ϕ0 (a) = ea para cada a ∈ (QA )0 y ϕ1 : (QA )1 → A sea el mapeo definido por ϕ1 (α) = xα para α ∈ (QA )1 . Entonces los elementos ϕ0 (a) forman un un conjunto completo de idempotentes ortogonales primitivos de A, y si α : a → b tenemos que ϕ0 (a)ϕ1 (α)ϕ0 (b) = ea xα eb = xα = ϕ1 (α). Y as a s´ı p por or la propiedad universal de algebras de caminos ??, existe un unico u ´ nico homomorfismos de K -Algebras K -Algebras ϕ : K QA → A que extiende ϕ0 y ϕ1 . Veremos que ϕ es sobre. sobre. Como Como la imagen imagen es generad generadaa por p or los elementos ea (con a ∈ (QA )0 y xα (para α ∈ (QA )1 ), es suficiente probar que estos elementos generan a A. Como K es algebraicamente cerrado,

24


se sigue del teorema de Wedderburn-Malcev ?? que el homomorfismo canónico onico A → A/radA se escinde. escinde. Asi es claro que el anterior anterior es generado por ea , es suficiente probar que cada elemento de radA puede ser escrito como polinomios en xa y se sigue de ?? . Solo queda demostrar que I = Kerϕ es admisib admisible. le. R denotara denotara el ideal flecha del algebra K QA . Por definición on de ϕ, tenemos tenemos que ϕ(R) ⊆   radA y asi ϕ(R ) ⊆ rad A para cada  ≥ 1. Como rad A es nilpotente, entonces existe m ≥ 1 tal que radm A = 0 y en consequencia Rm ⊆ Ahor oraa probar probarem emos os que que I ⊆ R2 . Si x ∈ I , podemo podemoss Kerϕ = I . Ah escribirlo de esta forma x=

 

εa λa +

a∈(QA )0

 

αµa + y

α∈(QA )1

Donde λa , µα ∈ K y y ∈ R2 . Ahora ϕ(x) = 0 da 0=

ea λa +

a∈(QA )0

Entonces



α∈(QA )1

ea λa = −

a∈(QA )0

xa µa + ϕ(y)



xa µa − ϕ(y ) ∈ radA.

α∈(QA )1

Como rad A es nilpotente, y los ea son idempotentes ortogonales, se puede inferir que λa = 0 para cualquier a ∈ (QA )0. Simila Similarme rment ntee 2 Enton tonces ces la igualdad igualdad α∈(QA ) (xa + α∈(QA ) xa µa − ϕ(y ) ∈ rad A. En ero el conj conjun unto to {xa + rad2 )µa = 0 se mantiene en radA/rad2 A. Pero 2 on, una base de radA/rad2A. Enrad A|α ∈ (QA )1 } es, por construcción, tonces µα = 0 para cada α ∈ (QA )1 y entonces x = y ∈ R2





1

1

2

References

[1] C. Cibils, Cibils, F. Larrión, on, L. Salmerón. on. Métodos etod os Diagram Dia gram´ ´ aticos en Teor´ Teor´ıa ıa de Repaticas, UNAM. 1982. resentaciones Monografias del Instituto de Matemáticas, [2] F.W. Anderson y K.R. K.R. Fuller. Fuller. Rings and Categories of Modules Graduate Text in Mathematics 13, Spring-Verlag, New York. 1973. [3] David David M. Burton A First Course in Rings an Ideals. Addison-Wesley. 1970. [4] Ibrahim Assen, Daniel Simson, Andrzej Andrzej Skowronski. Skowronski. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras I. London Mathematical Society. 2006. John Stewart Fabila Carrasco: Facultad de Ciencias, U.A.E.M. México, exic o, D.F. D.F . MEXICO. MEXIC O. jer stew stewart@ art@yaho yahoo.com o.com.mx .mx

algebras de carcaj

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