Acceleradors de Particules-problemes

AULA POLITÈCNICA / FÍSICA

Yury Kubyshin

Acceleradors de partícules Problemes

EDICIONS UPC

AULA POLITÈCNICA 132


AULA POLITÈCNICA / FÍSICA

Yury Kubyshin


EDICIONS UPC

Primera edició: febrero de 2007 Disseny de la coberta: Jordi Calvet ©

Yury Kubyshin, 2007

©

Edicions UPC, 2007 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: [email protected]

Producció:

CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

ISBN: 978-84-8301-909-2 Són rigorosament prohibides, sense l'autorització escrita dels titulars del copyright, sota les sancions establertes a la llei, la reproducció total o parcial d'aquesta obra per qualsevol procediment, inclosos la reprografia i el tractament informàtic, i la distribució d'exemplars mitjançant lloguer o préstec públics.

7

Acceleradors de partícules

Prefaci

Aquesta publicació recull la col·lecció de problemes utilitzada com a material d’estudis en l’assignatura Introducció a la Física de Partícules i d’Acceleradors que s’imparteix a la Universitat Politècnica de Catalunya en el marc del Programa de Doctorat “Enginyeria Nuclear” de l’Institut de Tècniques Energètiques (INTE) i de la Secció d’Enginyeria Nuclear del Departament de Física i Enginyeria Nuclear. El mateix autor va publicar una primera col·lecció de problemes sobre aquest tema l’any 2004 com a publicació interna de l’INTE: va ser la primera publicació de material d’estudis dedicat al tema d’acceleradors a la UPC. Al llarg dels últims anys s’ha observat un interès creixent en la física i tecnologia d’acceleradors i la necessitat formar especialistes en aquest camp a Catalunya. L’impuls principal prové de l’inici de la construcció de la instal·lació de llum de sincrotró Alba al Vallès Occidental, prop de Barcelona. D’acord amb aquesta tendència, la UPC ha mostrat un interès decidit a fomentar l’R+D en acceleradors; en particular ha resolt impulsar un projecte de disseny i de construcció d’un petit accelerador d’electrons de tipus microtró. En coherència amb aquest desenvolupament, les tres universitats de l’àrea de Barcelona (UAB, UB i UPC) conjuntament amb el Consorci CELLS, encarregat de la construcció de l’Alba, han decidit crear el Màster en Radiació de Sincrotró i Acceleradors de Partícules, que es començarà a impartir a partir de l’any acadèmic 2007-2008. Totes aquestes actuacions i iniciatives, com també una evolució natural de l’assignatura de doctorat Introducció a la Física de Partícules i d’Acceleradors, han fomentat la decisió de fer una revisió, ampliació i actualització de la publicació del 2004 a fi d’adaptar-la al temari actual de l’assignatura i al de cursos corresponents del futur Màster. El fruit del treball que s’ha dut a terme d’acord amb aquestes idees i intencions és la publicació que us presentem. La col·lecció consta de 77 problemes i engloba tot el temari de l’assignatura de doctorat. La meitat d’ells es dedica als temes propis de la física d’acceleradors,

© L’autor, 2007; © Edicions UPC, 2007

8


principalment als principis de funcionament d’acceleradors i a l’òptica del feix en sincrotrons, mentre que l’altra meitat tracta temes de caràcter més general, com ara la introducció a la física de partícules o el moviment de partícules carregades en un camp elèctric o magnètic. Es pretén que la resolució dels problemes de la col·lecció per part dels estudiants que cursen l’assignatura permeti als alumnes familiaritzar-se amb els conceptes bàsics de la física d’acceleradors, aprendre tècniques i adquirir una certa perícia de càlcul en aquest camp. Alguns dels problemes de la col·lecció han estat utilitzats en assignatures de lliure elecció, com ara Enginyeria de Sincrotrons, que s’imparteix a l’Escola Politècnica Superior de Castelldefels (EPSC) i Funcionament i Aplicacions d’Acceleradors de Partícules, impartida a l’Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona (ETSEIB). En principi, tots els temes principals de l’assignatura Introducció a la Física de Partícules i d’Acceleradors estan reflectits en els problemes que es presenten aquí. Tanmateix, som conscients que la proposta es pot millorar i ampliar en futures edicions i estem oberts a tot tipus de comentaris i suggeriments sobre la publicació. La majoria dels problemes són originals i s’han preparat precisament per a aquesta assignatura. Una petita part s’ha elaborat utilitzant el material dels llibres [1]-[3] de la llista de bibliografia (Secció 9). Durant els quatre anys de la impartició de l’assignatura, hem tingut l’oportunitat de recollir punts de vista tant d’estudiants com de companys de l’INTE sobre els continguts de la col·lecció dels problemes. Els seus comentaris han estat, sense dubte, un ajut molt important en la preparació d’aquesta publicació. De manera més concreta, la revisió del text feta pel Prof. Xavier Ortega Aramburu i pel Prof. Francisco Calviño Tavares ha permès millorar-ne sensiblement la versió final. Vull destacar la col·laboració fructífera d’Edicions UPC, especialment a la Montserrat Mañé i a l’Ana Latorre, que han acollit la meva proposta de publicació amb molt interès i bona disposició. Amb tots ells estic en deute i els vull expressar el meu agraïment ben sincer.

Barcelona, febrer de 2007


9


Índex Prefaci ..................................................................................................................... 7 Índex........................................................................................................................ 9 1. Relativitat ........................................................................................................11 2. Electromagnetisme ...........................................................................................13 3. Partícules elementals, cinemàtica de processos................................................14 4. Moviment de partícules carregades en un camp elèctric o magnètic ..............17 5. Acceleradors lineals .........................................................................................19 6. Acceleradors circulars .....................................................................................20 7. Sincrotrons .......................................................................................................22 8. Òptica lineal del feix de partícules ..................................................................25 9. Bibliografia ......................................................................................................33 10. Taules de partícules elementals ........................................................................35 11. Algunes unitats i factors de conversió .............................................................37 12. Algunes constants físiques ..............................................................................39


10



11


1

Relativitat

Indicació: Pel valor de la massa de les part´ıcilules que figuren en els problemes consulteu les taules a la Secció 10. 1. Sigui K ′ un sistema de referència que es mou amb velocitat v en la direcció x respecte a un altre sistema de referència K. A partir de la fórmula de la propagació d’una ona electromagnètica esfèrica en K i K ′ , deriveu la transformació de Lorentz que relaciona les coordenades (x′ , y ′ , z ′ , t′ ) en K ′ i (x, y, z, t) en K. 2. Demostreu la invariància de l’interval relativista s sota les transformacions de Lorentz. 3. Per a dos esdeveniments de coordenades (x1 , y, z, t1 ) i (x2 , y, z, t2 ) separats per un interval relativista s de tipus time-like (s2 > 0), trobeu el sistema de referència en el qual els esdeveniments tenen lloc al mateix punt, és a dir, x′1 = x′2 . 4. Trobeu la longitud del recorregut mitjà en el sistema de referència de laboratori de mesons π lents de l’energia cinètica K = 170 MeV. El temps de vida mitjà d’aquest tipus de mesons en el sistema de referència de la part´ıcula és de τ0 = 25, 5 ns. Indicació: La longitud del recorregut mitjà és la distància mitjana que es desplacen les part´ıcules abans de desintegrar-se. 5. En un experiment, mesons π − recorren, des del punt de la seva producció fins al punt de desintegració, la distància mitjana de l = 11 m. L’energia cinètica inicial dels mesons és 0,8 vegades la seva energia en repòs. Trobeu el temps propi de la vida mitjana dels mesons. 6. Analitzeu la desintegració de muons còsmics utilitzant la llei estad´ıstica de la desintegració radioactiva: N(t) = N0 e−t/τ , 1


12


on τ és el temps de vida mitjà de la part´ıcula. A l’altura H = 9 km es detecta N0 = 5.800 muons en 5 minuts. A nivell del mar, el mateix detector detecta Nmar = 2.100 muons, aproximadament, en 5 minuts d’observació. Demostreu que (a) el càlcul fet en el marc de la mecànica no relativista està en contradicció amb les dades de l’observació; (b) el càlcul relativista està d’acord amb les dades experimentals. 7. Calculeu el factor relativista γ, l’energia total, l’energia cinètica i el moment lineal d’un electró la velocitat del qual fos v = 0, 1c, 0, 5c, 0, 9c, 0, 99c. 8. Deriveu les fórmules relativistes que expressen la velocitat d’una part´ıcula en funció de (a) la seva energia total; (b) la seva energia cinètica; (c) el seu moment. 9. Calculeu l’energia cinètica de l’electró de moment p = 10 keV/c, 0, 5 MeV/c o 10 Mev/c. 10. Calculeu el moment lineal d’un protó, d’un muó i d’un electró si l’energia cinètica de cadascun és K = 1, 0 GeV. 11. Calculeu l’energia total i el moment de protons d’energia cinètica K = 10 MeV, 1 GeV, 1 TeV i 7 TeV (l’´ ultim valor és l’energia del feix de protons del futur accelerador LHC del CERN). 12. A partir de la definició del moment p, l’energia total E i l’energia cinètica K, demostreu les relacions sig¨ uents: (a) E 2 = p2 c2 + m2 c4 (b) p2 c2 = K(K + 2mc2 ) 13. Amb quina velocitat s’ha de moure una part´ıcula perquè la seva energia cinètica sigui igual dues vegades la seva energia en repòs?

2


13


14. Calculeu l’energia cinètica d’un mòbil de massa m = 1 g que es mou amb la velocitat v = 2 cm/s (per exemple, un mosquit) i expresseu-la en TeV.

2

Electromagnetisme 1. A partir de les equacions de Maxwell, demostreu la llei de conservació de la carrega elèctrica (equació de continu¨ıtat): ∂ρ + divj = 0, on ρ és ∂t la densitat de la carrega i j és la densitat del corrent. 2. Demostreu les relacions seg¨ uents del càlcul vectorial: (a) div gradf = ∆f (b) div rotA = 0 (c) rot gradf = 0 (d) rot rotA = grad divA − ∆A, on f = f (x, y, z) és una funció escalar i A = A(x, y, z) és un camp vectorial. 3. A partir de les equacions de Maxwell, escriviu les equacions per als potencials A(r, t) i φ(r, t) en el gauge de Coulomb div A = 0. Demostreu que sempre es pot imposar la condició de gauge de Coulomb. 4. Comproveu si una ona electromagnètica amb la longitud d’ona λ = 5 cm pot propagar o no en una guia d’ona cil´ındrica de radi a = 3 cm. En cas afirmatiu, calculeu la freq¨ uència f , la freq¨ uència angular w, el nombre d’ona k, la velocitat de fase vf i la velocitat de grup vg d’aquesta ona. Calculeu també el nombre d’ona cr´ıtic de la guia d’ona. 5. Considereu una ona electromagnètica T M010 que propaga en una guia d’ona cil´ındrica. Demostreu que la seva velocitat de fase vf > c, que la seva velocitat de grup vg < c i que vf vg = c2 .

3


14


6. Calculeu la freq¨ uència de tall wc , el nombre d’ona de tall kc , la veuència locitat de fase vf i la velocitat de grup vg d’una ona de freq¨ f = 2, 96 GHz de tipus T M010 que propaga en una guia d’ona cil´ındrica de radi R0 = 10 cm. 7. Analitzeu la relació de dispersió cosh γL = cosh γ0 L +

y sinh γ0 L 2

d’una guia d’ona carregada amb per´ıode L. Considereu el cas de la càrrega inductiva (el mode T E o ona H) de l’admitància normalitzada y = 2K1 /(γ0 L), on K1 és una constant real positiva adimensional. Dibuixeu la gràfica de cos βL com a funció de β0 L, on γ = iβ, γ0 = iβ0 , i el diagrama de dispersió en què indiqueu les bandes de pas (passbands). 8. A partir de la solució general del potencial escalar del camp magnètic dins de la cambra de buit (

∞ X

1 Φ(x, y) = −Im B0 (bn−1 + ian−1 ) (x + iy)n n n=1

)

trobeu els termes dipolar, quadrupolar i sextupolar de l’expansió multipolar de Φ. Imposeu la condició de simetria de pla mitjà i expresseu els components Bx , By de la inducció del camp magnètic en termes dels coeficients B0 , b0 , b1 i b2 = m/2.

3

Part´ıcules elementals, cinem` atica de processos

Indicació: Pel valor de la massa i per altres caracter´ıstiques de les part´ıcilules que figuren en els problemes consulteu les taules a la Secció 10. 1. Analitzeu el procés de desintegració π + → µ+ + νµ en el sistema de referència del centre de massa. Calculeu l’energia total i l’energia cinètica del muó i les del neutr´ı. Suposeu en aquest càlcul que la massa del neutr´ı mνµ = 0. 4


15


2. Una part´ıcula de massa m d’energia cinètica K xoca contra una part´ıcula en repòs de la mateixa massa m. Trobeu l’energia cinètica total de les part´ıcules en el sistema de referència del centre de massa i el moment lineal i la velocitat de cada de les part´ıcules en aquest sistema. 3. Estudieu el procés d’anihilació e+ e− → 2γ. Calculeu l’energia dels fotons en el sistema de referència del centre de massa. Considereu dos casos: (a) els electrons són no relativistes, és a dir, l’energia cinètica de l’electró K ≪ me c2 ; (b) l’energia total de l’electró E = 100 GeV. 4. Suposem que una part´ıcula de massa m xoca contra una part´ıcula en repòs de massa M i, com a resultat d’això, es produeixen k part´ıcules de masses m1 , m2 , . . . , mk , és a dir, es realitza el procés m + M → m1 + m2 + . . . + mk . L’energia cinètica de llindar d’aquest procés en el sistema de referència de laboratori, és a dir, l’energia cinètica m´ınima de la part´ıcula incident, es dóna per la fórmula: Kmin =

P

n j=1

mj

2

− (m + M)2

2M

c2 .

Demostreu aquesta fórmula. 5. Suposem que en un col·lisionador xoquen dos feixos de part´ıcules a i b de la mateixa massa i d’energia cinètica K. Calculeu l’energia Ebf que ha de tenir la part´ıcula a que xoca contra la part´ıcula b en repòs (blanc fix) perquè la suma de les seves energies en el sistema de referència del centre de massa sigui la mateixa que en el col·lisionador. Calculeu el valor numèric de Ebf en el cas del col·lisionador VEPP-4M a Novosibirsk, el LEP al CERN, el TEVATRON al Fermilab i el futur col·lisionador LHC. Com a font de les dades, utilitzeu, per exemple, el [4].

5


16


6. La lluminositat L del col·lisionador Tevatron (Fermi National Laboratory, Batavia, Estats Units) és L = 2 · 1032 cm−2 · s−1 . Feu una estimació del nombre de col·lisions que es produiran durant dos anys de l’experiment situat al Tevatron. Per a aquest càlcul, feu servir l’estimació clàssica de la secció efica¸c del procés de col·lisió de dos protons representant el protó per una bola de radi rp ∼ 10−15 m i calculant l’àrea πrp2 de la secció transversal de la bola. 7. Constru¨ıu amb tres quarks el protó i amb dos quarks el mesó K − . 8. Constru¨ıu amb dos o tres quarks els barions i els mesons seg¨ uents: el − + 0 − − 0 neutró n, els barions Σ , Σ , Λ i Ω , i els mesons π , K i K¯0 . 9. Decidiu quins dels processos seg¨ uents estan permesos o prohibits: (1) e− + e+ → γ + γ (2) e+ + e− → µ+ + µ− (3) e− + γ → e− + γ (dispersió de Compton) (4) γ + p → p + e+ + e− (5) e− + e− → e− + e− + e− + e+ (6) n → p + e− + ν¯e (desintegració beta) (7) n → p + e− (8) p → n + e+ + νe (9) p → e+ + νe (10) e− → γ + νe (11) e− → µ− + νµ + ν¯e (12) e+ → µ+ + νµ + ν¯e (13) µ− → e− + ν¯e + νµ (14) π 0 → γ + γ (15) π − + p → Σ− + K + (16) n + p → Λ0 + Σ+ (17) Σ− → Λ0 + π − 6


17


Raoneu-ho. Per a cada procés permès, indiqueu-ne el tipus: dispersió elàstica o inelàstica, desintegració, anihilació, etc. Per a cada procés de desintegració, indiqueu també el temps de vida mitjà i la fracció (Γj /Γ) del mode de desintegració. Font de referència: [4]. 10. Són estables els electrons i els positrons? Se sap que la concentració de positrons a l’Univers és molt baixa, quasi nul·la. Què passa aleshores amb els positrons que es produeixen en processos de tipus (4) o (5) de l’exercici anterior? 11. Determineu els nombres quàntics (les càrregues Q, B, S, T3 ) de la part´ıcula X en el procés K − + p → Ω− + K 0 + X. Identifiqueu la part´ıcula X utilitzant les dades a les taules de caracter´ıstiques de les part´ıcules elementals a la Secció 10. 12. Familiriatzeu-vos amb l’experiment ATLAS i les caracter´ıstiques principlas del seu detector utilitzant el material a la pàgina web [5]. Expliqueu com els f´ısics sabran que una part´ıcula detectada pel detector és un fotó. O un protó? O un neutró? Com s’hi detecten els neutrins produ¨ıts en les col·lisions dels feixos?

4

Moviment de part´ıcules carregades en un camp el` ectric o magn` etic

Indicació: Pel valor de la massa de les part´ıcilules que figuren en els problemes consulteu les taules a la Secció 10. 1. Un protó, inicialment en repòs, és accelerat per una diferència de potencial U i entra, a l’instant t = 0, a l’espai entre les dues plaques planes i paral·leles d’un condensador que genera un camp elèctric uniforme E. La longitud de les plaques en la direcció del movimient és d. El camp varia en el temps segons la fórmula E = ǫtα , on ǫ i α són constants. Considereu que el protó és no relativista i que inicialment la direcció 7


18


B a d

1: 2 de la secció 4. Figura 1.Figure Problema del seu moviment és paral·lela a les plaques. Trobeu l’angle entre la direcció inicial i la direcció final del moviment de la part´ıcula. Com a casos particulars considereu α = 0 (camp elèctric constant) i α = 1. 2. Un protó, accelerat per una diferència de potencial U, entra en una banda amb un camp magnètic uniforme perpendicular a la direcció del moviment. La inducció del camp magnètic és B, l’amplada de la banda és d. Deriveu la fórmula de l’angle α entre la direcció de moviment del protó a la sortida de la regió del camp i la seva direcció de moviment inicial en funció de U, B i d. Suposeu que el protó és no relativista. Considereu diferents casos del valor de d, un d’ells es presenta a la fig. 1. Calculeu l’angle α en el cas de U = 450 kV, B = 0, 48 T i d = 10 cm. 3. Una part´ıcula carregada es mou al llarg de la circumferència de radi R = 20 cm en un camp magnètic constant uniforme d’inducció magnètica B = 5 mT. Trobeu-ne la velocitat i el per´ıode de revolució en el cas que sigui (a) un protó no relativista; (b) un electró relativista. 4. Considereu el moviment d’un electró d’energia cinètica K = 3 GeV, en un camp magnètic constant uniforme d’inducció B = 2, 1 kG. El camp magnètic és perpendicular a la velocitat inicial de la part´ıcula. (a) Triem el sistema de referència (x, y, z) amb l’eix z orientat al llarg del vector B del camp magnètic i l’eix x al llarg del vector de la velocitat inicial. Trobeu la trajectòria i la fórmula de moviment de l’electró en aquest sistema de referència amb la condició inicial: x(0) = 0,

y(0) = 0, z(0) = 0,

8


19


vx (0) = v0 , vy (0) = 0, vz = 0. (b) Calculeu el factor relativista γ de l’electró, el radi de l’òrbita, la freq¨ uència ciclotrònica i el per´ıode de revolució.

5

Acceleradors lineals 1. Un electró de velocitat inicial v0 = 0 s’accelera en un accelerador lineal electrostàtic per un camp elèctric uniforme constant d’intensitat E = 10 kV/cm. Calculeu el temps necessari perquè l’energia cinètica de l’electró sigui igual a la seva energia en repòs? 2. Un electró, inicialment en repòs, és accelerat per la diferència de potencial U = 100 kV i entra en un l´ınac de Wideröe. Passa pel primer espai d’acceleració (acceleration gap) i travessa el primer tub de deriva. El guany d’energia a l’espai d’acceleració és de ∆E = 1 MeV. La freq¨ uència del camp elèctric és frf = 5 MHz. Considereu que l’electró està sincronitzat amb la fase d’accelercaió del camp elèctric. Trobeu la longitud del primer tub de deriva. 3. Calculeu la longitud dels tres primers tubs de deriva d’un l´ınac de Wideröe amb els paràmetres seg¨ uentes: l’energia cinètica inicial K0 = 500 keV, el guany d’energia per espai d’acceleració ∆E = 0, 8 MeV, la freq¨ uència del camp frf = 15, 8 MHz. Feu el càlcul tant per al cas d’electrons com de protons, i compareu-ne els resultats. 4. En un l´ınac de Wideröe, el voltatge en el primer espai d’acceleració canvia segons la fórmula U(t) = U0 cos(2πfrf t). Sigui φs la fase de la part´ıcula s´ıncrona. (a) Indiqueu el rang de valors de φs per al qual l’acceleració d’un paquet (bunch) de part´ıcules amb fases properes a la fase s´ıncrona sigui estable. (b) En el cas de l’acceleració estable, quina és la distància m´ınima

9


20


entre els paquets en la injecció? L’energia cinètica d’injecció és igual a K0 . Considereu tant el cas dels electrons com dels ions de càrrega positiva. Es pot negligir la longitud dels espais d’acceleració.

6

Acceleradors circulars 1. El betatró més gran constru¨ıt fins ara és el betatró de Kerst (1950). ´ de radi R = 1, 23 m, el seu imant pesa 350 tones i genera un camp Es magnètic d’inducció B = 8, 1 kG. Trobeu el moment màxim i el guany de l’energia cinètica en el cas que les part´ıcules accelerades siguin: (a) electrons relativistes; (b) protons no relativistes. 2. Considereu el betatró de Kerst de radi R = 1, 23 m. En el moment d’injecció els electrons tenen l’energia cinètica K0 = 25 keV. Trobeu la inducció del camp magnètic en el moment d’injecció i en el moment en què els electrons hagin adquirit l’energia cinètica K = 40 MeV. 3. En un betatró de radi R, la inducció del camp magnètic a la cambra de buit creix des de B = B0 fins a B = B1 . Trobeu el guany d’energia en un cicle d’acceleració. 4. En un betatró amb l’òrbita d’equilibri d’electrons de radi R = 0, 5 m, el flux Φ del camp magnètic dins de l’òrbita creix durant el cicle d’acceleració a un ritme constant, amb dΦ/dt = 10 Wb/s (1 Wb = 1 V · s). Si el guany de l’energia cinètica dels electrons és igual a ∆K = 50 MeV, trobeu el nombre de voltes N que ha fet l’electró durant el cicle d’acceleració i la distància L que ha recorregut durant aquest per´ıode de temps. 5. En un betatró, la inducció del camp magnètic varia amb la distància r des de l’eix de l’accelerador segons la fórmula B(r) = B0 − kr α , on B0 , k i α són constants positives. Utilitzant la condició 1/2 de Wideröe, 10


21


trobeu el radi R de l’òrbita dels electrons. Com a casos particulars considereu α = 1 i α = 2. Indicació: El flux Φ del camp magnètic que travessa una superf´ıcie S ve donat per la integral de superf´ıcie: Φ=

Z

S

B · ds.

Com que la inducció del camp B del betatró és ortogonal al pla de l’òrbita, i si S és el cercle limitat per l’òrbita dels electrons, aleshores en coordenades polars B · ds = B(r)rdrdφ. 6. La inducció del camp magnètic en un ciclotró de protons és igual a B = 0, 7 T. La distància entre les dues òrbites ve¨ınes de radi r ≈ 0, 5 m és igual o superior a ∆r = 1 cm. Trobeu la freq¨ uència del generador de radiofreq¨ uència i el voltatge efectiu d’acceleració entre les Des del ciclotró. Teniu en compte que el nombre harmònic és h = 1. 7. Uns protons s’acceleren en un ciclotró amb el radi de l’òrbita màxima R = 50 cm. L’energia cinètica dels protons al final de l’acceleració és igual a K = 20 MeV. Trobeu la inducció del camp magnètic i la freq¨ uència m´ınima del generador de radiofreq¨ uència. 8. Trobeu la freq¨ uència frf del generador de rf i l’energia cinètica màxima Kmax que poden assolir les part´ıcules en un ciclotró de radi R = 1 m amb el camp magnètic B = 15 kG. Feu el càlcul per al cas de protons, deuterons i ions He++ . 9. En un microtró, la variació ∆T del per´ıode de revolució per una volta és igual al per´ıode de radiofreq¨ uència, és a dir, ∆T = Trf = 1/frf . La inducció del camp magnètic és igual a B = 0, 1 T, la radiofreq¨ uència frf = 5, 7 GHz i durant el per´ıode d’acceleració els electrons dones N = 20 voltes. Trobeu l’energia final que assoleixen els electrons en aquesta màquina i el radi de la seva òrbita màxima. Suposeu que l’energia cinètica inicial és nul·la. 10. Un microtró funciona amb la radiofreq¨ uència fRF = 6 GHz i l’energia inicial d’electrons E1 = 1 MeV. El nombre harmònic en la primera volta és h1 = 2 i l’increment del nombre harmònic en una volta és 11


22


∆h = 1. Calculeu la inducció del camp magnètic B i el guany d’energia ∆E dels electrons en una volta. Trobeu el nombre de voltes nmax que ha de fer un electró per assolir l’energia final Ef in = 15 MeV. Calculeu també el radi de la primera òrbita R1 i el radi de l’´ ultima òrbita Rnmax . 11. Es demana dissenyar un accelerador d’electrons de tipus microtró de pista (race-track microtron) amb els paràmetres seg¨ uents: l’energia cinètica d’injecció Kin = 2 MeV, el guany d’energia en una volta ∆E = 2 MeV, l’energia final Ef in ≈ 24, 5 MeV. En l’estructura d’acceleració del microtró es farà servir un magnetró de la longitud d’ona λRF = 5 cm. La longitud de l’espai entre els imants (secció recta) L ha de ser propera a 25 cm però no inferior a aquest valor. El microtró funcionarà amb l’increment del nombre harmònic en una volta ∆h = 1. (a) Calculeu la inducció del camp magnètic B. (b) Fixeu el valor del nombre harmònic en la primera volta h1 i la longitud de la secció recta L. (c) Calculeu el nombre de voltes que ha de fer un electró per assolir l’energia final. (d) Calculeu el radi de la primera òrbita i de l’´ ultima. (d) Feu un croquis de l’imant de curvatura i indiqueu-ne les dimensions. Tingue en compte que, perquè el camp magnètic sigui suficientment homogeni en els punts de les trajectòries, els pols de l’imant han d’excedir radialment l’´ ultima òrbita com a m´ınim en 3 cm.

7

Sincrotrons 1. Demostreu que en un sincrotró d’electrons relativistes que es mouen a la velocitat v ≈ c es verifica la relació seg¨ uent entre la rigidesa del feix Bρ i l’energia de les part´ıcules: Bρ [T · m] = 3, 3356E [GeV], 12


23


on B és la inducció del camp magnètic dipolar de l’imant corbador i ρ n’és el radi de curvatura. 2. Un sincrotró d’electrons relativistes amb el radi de l’anell ρ = 40 m funciona amb el nombre harmònic h ≡ frf /frev = 420 i la inducció del camp magnètic màxim Bmax = 2, 1 kG. Trobeu la freq¨ uència frf de la cavitat ressonant de l’accelerador i l’energia cinètica màxima Kmax que poden assolir els electrons. 3. Un sincrotró de circumferència (longitud de l’anell) C = 50 m i d’energia E = 300 MeV emmagatzema paquets de N = 109 electrons. La freq¨ uència del camp electromagnètic en la cavitat ressonant és frf = 30 MHz. (a) Trobeu el nombre harmònic de la màquina. (b) Calculeu el corrent tant en el mode d’un paquet (singlebunch mode) com en el mode d’ocupació completa (fully filled mode). (c) Calculeu la inducció del camp magnètic B en els imants corbadors (bending magnets) si el radi de curvatura de l’òrbita dins d’aquests imants és de ρ = 4 m. 4. En el cas del col·lisionador LHC, calculeu el factor relativista γ dels protons i el nombre de paquets (bunches) que circularan en la màquina si l’interval temporal entre dos paquets és igual a ∆τ = 7, 5 ns. Indicació: Les dades que falten es poden trobar, per exemple, a la pàgina web [5]. 5. Es demana dissenyar un sincrotró (booster) per a l’acceleració d’electrons des de l’energia E = 100 MeV fins a E = 650 MeV. L’accelerador funcionarà amb el nombre harmònic h = 2 i es farà servir un klystron comercial de freq¨ uència frf = 190, 86 MHz. Calculeu el radi de l’anell de la màquina, el valor m´ınim i el valor màxim de la inducció del camp magnètic i la freq¨ uència de revolució frev de les part´ıcules. 6. En un electroimant dipolar amb el nucli d’acer, el camp magnètic es crea per un corrent de I = 500 A en dues bobines de N = 40 voltes en

13


24


cada d’elles. L’entreferro (gap) entre els pols és igual a 2G = 4 cm. Calculeu la inducció del camp magnètic B suposant que la permeabilitat relativa de l’acer és µF e = ∞. 7. Un imant crea un camp magnètic simètric respecte del pla mitjà i amb els components dipolar i quadripolar tals que en el punt (x, y) = (0, 0) la inducció ∂By By (0, 0) = 0, 9 T, (0, 0) = −0, 35 T/m ∂x Sabent que el radi de curvatura de l’òrbita dels electrons en aquest imant és ρ = 8 m, trobeu els coeficients B0 , b1 i k de l’expansió multipolar. 8. Un anell d’emmagatzematge d’electrons d’energia E = 2 GeV està format per un imant combinat continu de radi ρ = 7 m i d’´ındex de camp n = 0, 4. Trobeu-ne els coeficients en les fórmules: Bx = gy, By = B0y + gx, de la inducció del camp magnètic creat per l’imant. 9. Un booster de tipus sincrotró de radi ρ = 7 m accelera electrons. El component vertical de la inducció del camp magnètic de l’imant combinat de la màquina com a funció del temps durant el cicle d’acceleració i de la coordenada horitzontal x es dóna per la fórmula seg¨ uent:

By (t, x) = B0 (t) 1 − x · 0, 1 m−1 , B0 (t) = 0, 048 T + t · 0, 301 T/s (se suposa que el cicle comen¸ca a l’instant t = 0). La durada del cicle d’acceleració és Tacc = 3 s. Trobeu l’energia inicial (a l’instant t = 0) i l’energia final (a l’instant t = Tacc ) del feix, el guany de l’energia en una volta i el nombre de voltes que fa un electró durant el cicle d’acceleració. Trobeu també l’´ındex del camp magnètic. 10. Considereu un anell d’emmagatzematge d’electrons d’energia E = 2 GeV i de radi ρ = 7 m. Calculeu la pèrdua d’energia del feix per la radiació de sincrotró en una volta i la potència de radiació de sincrotró d’aquest feix si a l’anell circulen 10 paquets de N = 109 electrons en cada paquet. 14


25


11. Un sincrotró, que es fa servir com a anell d’emmagatzematge d’electrons d’energia E = 2.5 GeV, té el per´ımetre (longitud de l’anell) C = 252 m. La freq¨ uència del camp en la cavitat d’acceleració és de frf = 500 MHz. (a) Trobeu la freq¨ uència de revolució de les part´ıcules. (b) Quants paquets de part´ıcules (bunches) es poden accelerar en aquesta màquina simultàniament? (c) Trobeu la intensitat del feix, és a dir, el corrent mitjà que circula a l’anell, en el mode de n = 210 paquets. El nombre d’electrons a cada paquet és igual a N = 3, 1 · 109 part´ıcules. (d) Suposem que el sincrotró funciona en el mode d’ocupació completa (fully filled mode). Trobeu la potència de la radiació de sincrotró emesa pels electrons i la pèrdua de l’energia de les part´ıcules per la radiació de sincrotró en una volta, si el radi de curvatura dels imants corbadors és ρ = 8, 25 m. 12. Un anell d’emmagatzematge funciona amb dues cavitats ressonants d’acceleració. El voltatge a la cavitat és U = 0, 2 MV, la seva impedància shunt és Rsh = 0, 4 MΩ. Calculeu la potència que s’ha de subministrar a cada cavitat si la potència de la radiació de sincrotró del feix és PSR = 200 kW.

8

` Optica lineal del feix de part´ıcules 1. Un sincrotró d’electrons de radi de l’òrbita d’equilibri ρ = 40 m està compost per un imant combinat que s’estén en forma d’un anell continu per a tota la circumferència. El potencial escalar del camp magnètic creat per l’imant és igual a Φ(x, y) = −B0 y − gxy, on x i y són la coordenada horitzontal i la vertical, respectivament, en el sistema de referència de la part´ıcula s´ıncrona, el component dipolar de la inducció del camp magnètic és B0 = 2, 1 kG i el seu gradient g = −0, 0021 T/m. (a) Trobeu la fórmula dels components Bx i By de la inducció del camp magnètic. 15


26


(b) Dibuixeu el perfil dels pols de l’imant si l’espai (gap) entre els pols en l’òrbita d’equilibri és igual a G = 5 cm i l’amplada del pol és d = 20 cm. (c) Trobeu l’´ındex n0 del camp magnètic. (d) Trobeu la trajectòria de la part´ıcula amb les condicions inicials sig¨ uents a l’instant t = 0: x(0) = 1, 0 cm, vx (0) = 0,

y(0) = 0, 5 cm, vy (0) = 0.

(e) Trobeu els tons (tunes) de la màquina νx i νy . ´ estable el moviment del feix en aquest accelerador? Justifiqueu (f) Es la resposta. 2. Es pot obtenir la matriu de transferència d’un imant rectangular a partir de la matriu d’un imant sectorial (fig. 2) sobreposant un tascó magnètic (magnetic wedge) d’angle δ = ϕ/2 a l’entrada i un altre igual a la sortida (fig. 3). Aqu´ı ϕ és l’angle de l’arc de l’imant sectorial corresponent: ϕ = l/ρ, on l és la longitud de l’arc i ρ és el radi de la curvatura. (a) Demostreu que l’angle de deflecció del tascó magnètic és igual a: α=

x tan δ x ≡ , ρ f

aix´ı que el tascó magnètic actua com una lent fina desfocalitzadora de la potència de focalització 1/f = − tan δ/ρ en el pla horitzontal i focalitzadora de la potència de focalització |1/f | en el pla vertical. (b) Utilitzant aquest resultat, calculeu la matriu horitzontal de transformació d’un imant rectangular. Simplifiqueu el resultat al màxim fent servir identitats trigonomètriques.

16


27


Longitud de l’arc 90º

90º

r j

Figura 2. Imant dipolar sectorial (problema 2 de la secció 8).

-

+

a d

+

c

j

Figura 3. Imant dipolar rectangular i tascó magnètic desfocalitzador (problema 2 de la secció 8).

17


28


3. Comproveu si focalitza o no un sistema de focalització compost per dues lents fines de distància focal f1 = 5 m i f2 = −2, 5 m, respectivament, separades per un espai de d = 3 m. 4. Una xarxa magnètica periòdica és composta per cel·les FODO de longitud L. La longitud dels espais de deriva és igual a L/2. La distància focal dels imants quadrupolars és f > 0. Els imants quadrupolars es consideren en l’aproximació de lent fina. (a) Calculeu la matriu de transport M de la cel·la. ´ estable el moviment (b) Trobeu la condició d’estabilitat del feix. Es del feix si el periòde L = 4 m i la distància focal f = 1, 5 m? 5. Considereu una xarxa magnètica periòdica composta per cel·les FODO amb les caracter´ıstiques seg¨ uents: • la longitud de l’imant quadrupolar lQ = 0, 5 m, • el gradient de l’imant quadrupolar g = 12 T/m, • la distància entre els centres dels imants quadrupolars L/2 = 6, 5 m. La rigidesa del feix (Bρ)beam = 42 T · m. Calculeu la tra¸ca de la matriu de transport per per´ıode. Utilitzant la parametrització de Twiss M=

cos µ + α sin µ β sin µ −γ sin µ cosµ − α sin µ

!

(1)

trobeu la fórmula de l’avan¸c de fase per per´ıode (phase advance per period) µ. Calculeu el valor de µ i el valor de la funció β en l’imant focalitzador. 6. Considereu una xarxa magnètica periòdica composta per cel·les FODO de per´ıode L i amb l’estructura seg¨ uent: QF DS QD DS suposant que l’imant focalitzador de la primera cel·la està situat en el punt s = 0. Calculeu la matriu de transport per cel·la M(s) i les funcions òptiques α(s), β(s), γ(s) en els punts s = 0, s = L/2 i s = L. 18


29


7. Demostreu que u(s) = C(s)u0 + S(s)u′0 + D(s)δ

(2)

és la solució general de l’equació d’Hill no homogènia: 1 u′′ (s) + K(s)u(s) = δ, ρ

(3)

on δ = ∆p/p0 , amb les condicions inicials u(0) = u0 , u′ (0) = u′0 . A la fórmula (2), C(s) i S(s) són solucions de tipus cosinus i sinus, respectivament, i la funció de dispersió D(s) es dóna per la fórmula: D(s) = S(s)

Z

0

s

C(t) dt − C(s) ρ(t)

Z

s

0

S(t) dt. ρ(t)

8. Considereu un anell d’emmagatzematge d’electrons de radi ρ = 1 m format per un imant combinat continu de φ = 2π. El camp magnètic de l’imant es caracteritza pel component dipolar B0y = 0, 5 T i l’´ındex de camp n = 0, 36. (a) Trobeu les freq¨ uències d’oscil·lacions betatròniques wx , wy . (b) Trobeu la trajectòria x(s), y(s) d’una part´ıcula a l’anell amb les condicions inicials seg¨ uents: x(0) = 0, 0 cm; x′ (0) = 0, 01; y(0) = 1, 0 cm; y ′(0) = 0, 00 Calculeu les desviacions màximes en x i y respecte de la posició d’equilibri. (c) Per a tots els valors del paràmetre de l’anell s, les coordenades x(s), x′ (s) verifiquen l’equació d’una el·lipse. En el cas de la trajectòria de l’apartat anterior trobeu els paràmetres de l’el·lipse i dibuixeula esquemàticament. Suposant que aquesta el·lipse rodeja l’espai de fases del feix, calculeu-ne l’emitància. 9. Considereu un anell d’emmagatzematge d’electrons de radi ρ, format per un imant combinat continu de φ = 2π i de radi ρ amb el gradient caracteritzat per l’´ındex de camp n = kρ2 . 19


30


(a) Càlcul anal´ıtic. (a.1) Trobeu les solucions de tipus cosinus C(s) i sinus S(s) tant per al pla horitzontal com per al vertical. (a.2) Calculeu la funció de dispersió D(s). (a.3) Calculeu els tons νx , νy . (a.4) Calculeu les funcions òptiques α, β, γ horitzontals i verticals. (a.5) Calculeu la dispersió periòdica η(s). (a.6) Calculeu el factor de compactació del moment α. (a.7) Trobeu les funcions de Floquet u1 (s) i u2 (s), i la seva expansió en termes de les funcions de tipus cosinus, sinus. (b) Sigui el radi ρ = 1 m i l’´ındex de camp n = 0, 36. (b.1) Utilizant les fórmules anal´ıtiques dedu¨ıdes a l’apartat (a), calculeu la funció β, els tons νx , νy , la dispersió periòdica η i el factor de compactació del moment α. (b.2) Suposant que la dispersió del moment (momentum spread) relatiu és ∆p/p = 0, 03, feu l’estimació del màxim despla¸cament de les òrbites tancades respecte de l’òrbita nominal. 10. Considereu un anell d’emmagatzematge format per N per´ıodes: BM DS on BM és un imant combinat de longitud l caracteritzat pel coeficient K = (1 − n)/ρ2 a l’equació (3), on n és l’´ındex de camp, ρ és el radi de curvatura, i DS és un espai de deriva de longitud d = (L − l), on L és la longitud del per´ıode. (a) Calculeu-ne la dispersió periòdica η(s) i la seva derivada η ′ (s). (b) Calculeu el factor de compactació del moment α. (c) En el cas d = 0, 5 m, ρ = 1, 0 m, n = 0, 6 i N = 4, calculeu el valor de η(s) i de α. Si el radi de la cambra de buit cil´ındrica és R = 5 cm, trobeu la dispersió del moment (momentum spread) màxima que sigui acceptable en aquest accelerador (feu-ne l’estimació per lòrbita tancada). 20


31


11. Considereu un anell d’emmagatzematge format per quatre per´ıodes: BM QF DS QD on BM és un imant dipolar sectorial amb el radi de curvatura ρ i de longitud l = πρ/2, DS és un espai de deriva de longitud d, QF és un imant quadrupolar focalitzador amb la distància focal f > 0, QD és un imant quadrupolar desfocalitzador amb la distància focal igual a (−f ). (a) Trobeu l’expressió anal´ıtica de la dispersió periòdica η(s), de la seva derivada η ′ (s) i del factor de compactació del moment α. (b) En el cas d = 1 m i ρ = 2 m, calculeu els valors m´ınim i màxim de η(s) i el valor de α. (c) Podria circular sense pèrdues en el tub de buit de radi R = 5 cm d’aquest accelerador un feix amb ∆p/p0 = 3% (feu-ne l’estimació per a òrbites sense oscil·lacions betatròniques)? 12. Calculeu la cromaticitat natural ξx d’una cel·la FODO de per´ıode L constitu¨ıda pels imants quadrupolars amb distància focal f > 0 i (−f ). Feu servir l’aproximació de lent fina utilitzant la fórmula: 1 k(s) = − δ (s − sQ ) f per a la potència de focalització dels imants quadrupolars, on sQ és la posició de l’imant. Es demana fer els càlculs seg¨ uents utilitzant els resultats del problema 6 de la Secció 8: (a) Dedu¨ıu la fórmula de ξx en termes de L i f . (b) Dedu¨ıu la fórmula de ξx en termes de l’avan¸c de fase µx . (c) Suposant que f = 1, 5 m i L = 4 m, calculeu la cromaticitat ξx i feu l’estimació del despla¸cament màxim del to νx si la dispersió del moment és ∆p/p0 = 0, 03.

21


32


22


33


9

Bibliografia

[1 ] H. Wiedemann, Particle Accelerator Physics. Basic Principles and Linear Beam Dynamics. Springer, 1993. [2 ] E. Wilson, An Introduction to Particle Accelerators. Oxford University Press, 2001. [3 ] I. Irodov, Zadachi po obsei fizike (I. Irodov, Problemes de la f´ısica general, en rus). Fizmatlit, Moscou, 2001. [4 ] Particle Data Group, Review of Particle Physics: http://pdg.lbl.gov [5 ] Pàgina web de l’experiment ATLAS: http://atlasexperiment.org/

23


34


24


35


10

Taules de part´ıcules elementals

QUARKS Tipus u d c s t b

Massa 1, 5 ÷ 4, 5 MeV/c2 5, 0 ÷ 8, 5 MeV/c2 1, 0 ÷ 1, 4 MeV/c2 80 ÷ 150 MeV/c2 174, 5 ± 5, 1 MeV/c2 4, 0 ÷ 4, 5 MeV/c2

LEPTONS Tipus electró e− neutr´ı electrònic νe muó µ− neutr´ı muònic νµ mesó tau τ − neutr´ı taònic ντ

Q +2/3 −1/3 +2/3 −1/3 +2/3 −1/3

Massa 0, 511 MeV/c2 < 3, 0 eV/c2 105, 66 MeV/c2 < 0, 19 MeV/c2 1.777, 0 MeV/c2 < 18, 2 MeV/c2

Spin J 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

Q −1 0 −1 0 −1 0

B S 1/3 0 1/3 0 1/3 0 1/3 −1 1/3 0 1/3 0

Spin J 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

25


Le 1 1 0 0 0 0

T3 +1/2 −1/2 +1/2 −1/2 +1/2 −1/2

Lµ 0 0 1 1 0 0

Lτ 0 0 0 0 1 1

36


MESONS Tipus de mesó pió π + pió π − pió π 0 kaó K + kaó K − kaó K 0 ¯0 kaó K mesó η

Massa en MeV/c2 139, 57 139, 57 134, 98 493, 68 493, 68 497, 67 497, 67 547, 3

Q +1 −1 0 +1 −1 0 0 0

Spin J 0 0 0 0 0 0 0 0

B 0 0 0 0 0 0 0 0

BARIONS Tipus de barió Massa en MeV/c2 protó p 938, 27 neutró n 939, 56 0 hiperó Λ 1.115, 68 hiperó Σ+ 1.189, 4 − hiperó Σ 1.197, 45 hiperó Σ0 1.192, 6 − hiperó Ω 1.672, 45

Q +1 0 0 +1 −1 0 −1

Spin J 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 3/2

B +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

26


S 0 0 0 +1 −1 +1 −1 0

S 0 0 −1 −1 −1 −1 −3

T3 1 −1 0 1 2

− 12 − 12 1 2

0

T3 +1/2 −1/2 0 +1 −1 0 0

37


11

Algunes unitats i factors de conversi´ o

• Unitats d’energia: 1 keV = 103 eV, 1 MeV = 106 eV, 1 GeV = 109 eV, 1 TeV = 1012 eV. • Unitats de secció efica¸c: barn, 1 b = 10−24 cm2 ; mil·l´ıbarn, 1 mb = 10−27 cm2 ; micròbarn, 1 µb = 10−30 cm2 ; nanòbarn, 1 nb = 10−33 cm2 ; picòbarn, 1 pb = 10−36 cm2 . • 1 J = 6, 2415 × 1018 eV ≈ 6, 24 × 109 GeV. • 1 GeV = 1, 602176 × 10−10 J. • Unitat fonamental de càrrega elèctrica: e = 1, 602176×10−19 C (coulomb) m o e ≈ 9 GeV s ·A • Unitats de la inducció magnètica: 1 tesla (T)= 1 V · s · m−2 ; 1 gauss (G)= 10−4 T. 2

• 1 C2 = 10−7 J · m (c · 1 s · m−1 ) .

27


38


28


39


12

Algunes constants f´ısiques

Nom

S´ımbol

Valor

Velocitat de la llum en el buit

c

299 792 458 m s−1

Constant de Planck

h

6, 626 068 76(52) × 10−34 J s

Constant de Planck redu¨ıda

h ¯

1, 054 571 596(82) × 10−34 J s = 6, 582 118 89(26) × 10−22 MeV s

Càrrega elemental

e

1, 602 176 462(63) × 10−19 C

Constant d’estructura fina

α 7, 297 352 533(27) × 10−3 = e2 /4πǫ0 h ¯ c = 1/137, 03599976(50)

Constant de gravitació

GN

6, 673(10) × 10−11 m3 kg−1 s−2 = 6, 707(10) × 10−39 h ¯ c (GeV/c2 )−2

Constant de Fermi

GF /(¯ hc)3

1, 166 39(1) × 10−5 GeV−2

Constant de la interacció forta αs (MZ )

0, 1172(20)

29


Acceleradors de Particules-problemes

Recommend Documents