ZADATAK A.2.1: Matemati čki model spremnika tekućine Za spremnik tekućine prema slici postaviti matematički model. Matematički model prikazati pomoću strukturnog blokovskog prikaza. Pri tome su: qu(t) – ulazna veličina [m2/s] (dotok tekućine u proces) qi(t) – odtok [m3/s] h(t) – izlazna veličina procesa A – poprečni presjek spremnika a – poprečni presjek izlazne cijevi
qu(t) (t)
h(t)
qi(t) (t)
Volumen tekućine u spremniku: V (t ) = A ⋅ h(t )
Promjena tekućine u spremniku:
dV dt
= A ⋅
dh dt
Vrijedi i promjena volumena tekućine u spremniku: dV = q d (t ) ⋅ dt
(1) (2)
gdje je:
q d (t ) = q u ( t ) − qi (t )
(3)
Izjednačavanjem (1) i (2) dobivamo:
dV = A ⋅ dh dt
=
1
A
dh dt
=
qd (t ) ⋅ dt dt
= qu (t ) − qi (t )
⋅ q d ( t )
(4)
Istjecanje tekućine (odtok) iz spremnika je:
q i (t ) = a ⋅ v i ( t ) vi(t) – brzina istjecanja (brzina tekućine u izlaznoj cijevi)
Automatsko Automatsko upravljanje, auditorne vježbe, vježbe, zadatak zadatak A.2.1
1 / 3
Prema Toricellijevom zakonu istjecanja slijedi:
vi (t ) =
2 gh
(5)
g – gravitacijska konstanta Konačno:
qi (t ) = a ⋅ 2 gh
(6)
Jednadžbe (3), (4) i (6) opisuju dinamičko vladanje spremnika tekućine → određuju model procesa. Strukturni blokovski prikaz služi za grafičko predočavanje procesa. ulaz izlaz → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ →
qu (t )
h(t )
Izlazna veličina h(t) iznosi:
h(t ) =
1
A
t
⋅ ∫ qd (t ) ⋅ d τ
(7)
0
Radi jednostavnosti uzimamo da je h(0)=0 (definicija prijenosne funkcije G ( s ) =
Y ( s ) U ( s )
uz
početne uvjete jednake nuli), pa (7) prelazi u:
H ( s) =
1 1
1
A s
As
⋅ ⋅ Q D ( s) =
QD(s)
⋅ Q D ( s)
H(s)
1 As
qd
qu
qd (t ) = qu (t ) − qi (t )
(8)
(9)
qi
qi (t ) = 2 gh(t )
h
a
2g
qi
(10)
ili h
a 2 gh
Automatsko Automatsko upravljanje, auditorne vježbe, vježbe, zadatak zadatak A.2.1
qi
2 / 3
Ta tri prikaza povezana u jedan model izgledaju ovako:
QD(s) (s)
QU(s) (s)
1
H(s)
a 2 gh
As As
Qi(s) (s)
⇓ QU(s)
1
H(s)
As
Qi(s)
a 2 gh
Automatsko Automatsko upravljanje, auditorne vježbe, vježbe, zadatak zadatak A.2.1
