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Magnitudes Directamente
Magnitudes Inversamente
Proporcionales (A b):
Proporcionales (A 1/ b):
AB
A = constante B
A 1/ B A B = constante
Gráficamente:
Gráficamente:
B
B
6
12
3 6
1,5
4
A
4
B
3
5
5
8
8 6
1,5
A
3
A
3
B
12
6
6 10
18
8
6
OBSERVACIONES:
1°
AB
2°
A 1/ C
3°
2
A B
3
A 1 / C
A
A
= constante
B2 C
AC B3
= constante C = constante
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
A
9.
Material de Clase
A y B son magnitudes directamente proporcionales. Cuando el valor inicial de B se triplica el valor de A aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo valor de B se divide entre 5. ¿Qué sucederá con el valor de A respecto al inicial?
1.
Si “A” varía en razón directa a “B” e inversa al cuadrado de “C”. Cuando A =10, entonces B = 4 y C = 14. Hallar: A cuando B = 16 y C = 7.
10. El área lateral de un sólido geométrico es directamente proporcional a su apotema y al perímetro 2 de la base. Si el área es 600 m cuando el apotema es 5m y el perímetro de la base 12m. Hallar el área cuando el apotema es 0,5m y el perímetro de la base 100m.
2.
Señalar la relación en la que A y B no son magnitudes proporcionales. a) A x B =3,6 c) 9A +3B = 11B e)A = B + 9 2 2 b) A =144B d) 3A+ 7B = 11A
3.
En una empresa el sueldo es DP, a la edad y a los años de servicio del empleado e IP al cuadrado de la categoría Juan empleado de segunda categoría con
11. Si el precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. ¿Cuánto se ganará ó perderá en un diamante que vale S/.720 que se parte en dos pedazos, uno el doble del otro?
10 años de servicio de la empresa y de 56 años de edad gana S/.2000. José que entró a la empresa 3 años después que Juan, gana S/.500 y es empleado de 3ra categoría. Hallar la diferencia de las edades.
12. Una rueda dentada “A” de 50 dientes está unido mediante un eje con el engranaje B y éste a su vez engrana con otra C. Sabiendo que B y C tienen
4.
Se sabe que A es D.P. a
respectivamente 28 y 42 dientes. Si “A” da 360 revoluciones por minuto. ¿Cuánto tiempo empleará la rueda “C” en dar 48000 vueltas?
B e I.P. 3 C . Además
cuando A es 14 entonces B = 16 y C = 8. Hallar A cuando B sea 4 y C sea el doble de B. 5.
6.
13. La cantidad de demanda de un cierto bien es directamente proporcional al cubo de la inversión en publicidad e inversamente al cuadrado del precio unitario. Si el año pasado se vendieron 64 millones de artículos a S/.2 invirtiendo en publicidad S/.4000.
2
Sabiendo que A es D.P a B , las variaciones de las magnitudes A y B se muestran en el siguiente cuadro. Hallar a + b + d A
27
6a + d d
a
B
a
b
8
4
¿Cuánto hay que invertir este año en publicidad si se quiere vender 250 millones de artículos a S/.4 cada uno?
El precio de un televisor a color varía en forma D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume “E” de energía su precio es de
14. A es la suma de dos cantidades, de las cuales una es directamente proporcional a B y la otra inversamente 2 proporcional a B . Si cuando A es 19, B es 2 ó 3. Hallar A, cuando B es 6.
$360. ¿Cuánto costará un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas si consume E/4 de energía?
15. La fuerza de sustentación sobre el ala de un avión es D.P a su área y al cuadrado de la velocidad. Si se aumenta el área en un 20% y se reduce la velocidad en un 10%. ¿Qué sucede con la fuerza de sustentación?
2
7.
Se sabe que una magnitud A es I.P. a B . Hallar el valor de A, sabiendo que si disminuye en 36 unidades el valor de B varía en un 25%.
8.
Dos engranajes de 24 y 38 dientes están concatenados y en el transcurso de 4 minutos uno da 70 vueltas más que el otro. Hallar la velocidad menor en rev/mín.
-2-
Proporcionalidad
1.
3a 6
144 b
Si: A es D.P. con B
C) 339 2
e I.P. a
c 2
5.
6.
7.
La ley de Boyle dice que: “La presión que soporta un gas es I.P. al volumen que ocupa manteniendo la temperatura constante”. Si la presión disminuye en 6 atmósferas, el volumen varía en 1/5 de su valor. Hallar la presión que está sometido dicho gas (en atmósferas) A) 30 B) 42 C) 24 D) 54 E) 36
9 a
D) 335
E) 340
C . Cuando A = 4;
B = 8; C = 16. Hallar A; cuando B = 12; C = 36 A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 8
4.
9.
2
Hallar: a + b + c A) 5 B) 12
3.
El precio de una casa campestre es directamente proporcional a su área e inversamente proporcional a la distancia que separa a la casa de la ciudad. Si una casa ubicada a 20 Km cuesta $60000. ¿Cuánto costará otra casa del mismo material que se encuentra a 150 Km de la ciudad, si su área es 50% mayor ? A) $45000 C) $150000 E) $180000 B) $22500 D) $90000
La magnitud A es I.P. a B . Las variaciones de A y B están dados en la siguiente tabla de valores: A B
2.
8.
Dos ruedas de 24 y 45 dientes están conectadas. En el transcurso de 10 minutos unos da 280 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad mayor en rev/mín. A) 85 B) 20 C) 37,5 D) 60 E) 22,5
10. Una rueda A, de 80 dientes, engrana con otra B, de 50 dientes. Fija al eje B hay otra rueda C de 15 dientes, que engrana con otra cuarta rueda D de 40 dientes, dando la rueda A 120 vueltas por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará la rueda “D” en dar 18000 revoluciones? A) 5h 5min C) 4h 10min E) 3h 55min B) 4h 20min D) 4h 5min
2
Una magnitud A es D.P a B y C e I.P con D . ¿Qué variación experimenta A, cuando B se duplica, C aumenta en su doble y D se reduce a su mitad? A) Aumenta 23 veces su valor B) Aumenta 30 veces su valor C) Se reduce en 1/3 de su valor D) Se duplica E) Aumenta 35 veces su valor
11. Si A es D.P. a B y cuando A = a; B = b y si A aumenta 1 unidad, B aumenta en 2. Entonces el valor de la constante de proporcionalidad es: A) 1/2 B) 1/3 C) 2,5 D) 4 E) 1/4
Según las estadísticas se puede afirmar que el rendimiento de un obrero varía en forma inversamente proporcional al cuadrado de su edad. Si un obrero de 60 años tiene un rendimiento como 3. ¿Qué edad tenía cuando rendía como 12? A) 10 B) 18 C) 20 D) 30 E) 40
12. Se tiene 3 magnitudes A, B y C tales que A es D.P a C e I.P a.
B . Hallar A cuando B = C
2
sabiendo que
A = 10 entonces B = 144 y C = 15. A) 4 B) 8 C) 12 D) 16
E) 15
13. Los saltos de mamá canguro son proporcionales a los saltos de su hijo. Cuando el hijo canguro da 398 saltos, su madre da 995. ¿Cuántos saltos dará ella, cuando su hijo recorra 600 m considerando que un salto de este equivale a 50 cm? A) 1600 B) 2000 C) 2400 D) 3000 E) 1000
Dos veteranos de guerra tienen concedidas pensiones que son D.P a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos más que el segundo y las pensiones están en la relación de 91 a 65. ¿Cuántos balazos a recibió el segundo? A) 25 B) 20 C) 15 D) 27 E) 30
2
3
14. A varía en forma directamente proporcional con B y al mismo tiempo en forma inversamente proporcional con C, cuando A = 3; B = 2; C = 4. Hallar el valor de C
En un pueblo de 43200 habitantes un tanque reparte 50 litros por segundo. ¿Cuánto recibirá de agua cada persona diariamente? A) 86,4 B) 84,4 C) 83,4 D) 90 E) 100
cuando A = A) 4
-3-
6 , B = 34
B) 3
C) 5
D) 6
E) 8
Proporcionalidad
2
3
15. Se tiene 2 magnitudes A y B que son I.P. cuando A aumenta 6 unidades, B varía en 20%. ¿Cómo varía B cuando A disminuye en 4 unidades? A) Aumenta 10% D) Aumenta 20% B) Aumenta 12,5% E) N.A. C) Aumenta 25%
22. Sabiendo que A es I.P a la inversa de B e I.P a C y 2 3 además que B es D.P a D y C es I.P a E . Determinar el valor de A cuando E = 4 y D = 9, si cuando E = 2 y D = 3; A = 2. 9 5 7 5 A) 2 .3 C) 2 . 3 E) N.A. 10 4 9 7 B) 2 . 3 D) 2 .3
16. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar, si Javier tuvo un sueldo mensual de S/. 600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces ¿cuál es el sueldo de Sergio, si su rendimiento es como 8 y faltó 3 días? A) S/. 960 C) S/. 1280 E) S/. 980 B) S/. 1080 D) S/. 1440
23. Un tendero hurta en el peso utilizando una balanza de brazos desiguales que miden 20 cm y 22 cm. Una mujer compra 4,4 Kg. de azúcar y el tendero pone las pesas sobre el platillo correspondiente el brazo menor de la balanza, luego la mujer compra otros 4,4 Kg. del mismo artículo y obliga al comerciante a poner las pesas en el otro platillo.¿Cuánto dio demás el tendero en total? A) 40 gramos C) 30 gramos E) 100 gramos B) 80 gramos D) 60 gramos
17. El incremento anual de la población de una ciudad es D.P. a la población existente al comienzo de año. Si al comenzar el año 2000 la población era de 400000 habitantes; y al comenzar el año 2001 era 420000. ¿Cuál será la población al terminar el año 2002? A) 46 000 C) 440 000 E) 441 000 B) 463 050 D) 480 000
24. El peso “w”de un cilindro varía proporcionalmente a su altura “h” y al cuadrado del diámetro “d” de su base. ¿Cuál es la suma de números con que se llenará los espacios en blanco de la siguiente tabla? w h d
18. El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se impriman. Se editaron 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas y cuesta $.6 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de 360 páginas A) $.6 B) $.8 C) $.4 D) $.7 E) $.5
A) 4,80
7.2 2
4 0.6
B) 5,04
C) 6,80
D) 7,20
E) 7,44
25. Sean dos magnitudes A y B tales que A I.P B (B 30); A D.P B (B 30) si A = 6 cuando B = 20. ¿Cuál será el valor de A cuando B = 60? A) 18 B) 16 C) 12 D) 10 E) 8
19. Dos personas tienen pensiones concedidas en razón directa a la raíz cuadrada del número de años de servicio. El tiempo de servicio de la primera excede al de la 2da en 4 ¼ años y las pensiones están en la relación de 9 a 8. ¿Cuánto ha servido la 2da? A) 16 B) 14 C) 18 D) 15 E) 20 20. Se sabe que A es D.P a
25 2.5 2
26. El valor de un vino es proporcional al cuadrado de la antigüedad que tiene. Si actualmente tiene 20 años, ¿dentro de cuántos años cuadruplicará su valor? A) 20 B) 10 C) 25 D) 40 E) 80 27. Se tiene 3 magnitudes: A, B y C donde A es D.P. a B y 2 B es I.P. a C . Hallar a + b del siguiente cuadro.
B e I.P. 3 C . Además
cuando A es 8 entonces B = 1 y C = 27. Hallar cuando B sea 4 y A sea el triple de B. A) 343 B) 1000 C) 1 D) 7 E) 64
A B C
21. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D? A) 45 B) 200 C) 190 D) 72 E) 80
A) 52
B) 56
12 3
8 24
C) 60
a 12 b D) 50
E) N.A.
28. Si el tiempo que demora un planeta en dar la vuelta al Sol es directamente proporcional al cubo de la distancia entre el Sol y el planeta, e inversamente -4-
Proporcionalidad
proporcional al peso del planeta, ¿cuánto tiempo demora un planeta de doble peso que el de la Tierra en dar la vuelta al Sol, si la distancia que lo separa del Sol es el doble de la distancia de la Tierra al Sol? A) 1 año C) 3 años E) 5 años B) 2 años D) 4 años
A) 12000 B) 24000
C) 15000 D) 15000
E) 4000
35. El precio de una piedra preciosa es directamente proporcional al cubo de su peso. Si una piedra preciosa de este tipo que vale S/. 100 000, se parte en dos pedazos, uno de los cuales es 2/3 del otro, ¿qué pérdida de valor sufrió dicha piedra? A) 28 B) 56 C) 14 D) 72 E) 36
29. En un pueblo, el precio del café varía en forma D.P. al precio del azúcar e I.P. al pecio del té. ¿En qué porcentaje varía su precio, cuando el precio del té aumenta en 20% y el del azúcar disminuye en 10%? A) Disminuye en 15% D) No varía B) Disminuye en 25% E) Aumenta en 10% C) Aumenta en 25%
36. Se tienen 2 magnitudes A y B; la siguiente tabla muestra los valores que relacionan dichas magnitudes: A B
30. La fuerza de sustentación sobre el ala de un avión es D.P. a su área y al cuadrado de su velocidad. Si se incrementa la velocidad en 25% y el área se reduce en 36%, ¿qué sucede con la fuerza de sustentación? A) Aumenta en 10% D) Aumenta en 5% B) Disminuye en 11% E) No varía C) Disminuye en 10%
1 1728
2 432
3 192
4 108
6 48
Si cuando A vale x, B también vale x, hallar la suma de las cifras del valor x. A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 14 37. El gasto de una persona es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es de $ 900 ahorra S/. 90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 1 260? A) 1400 C) 1500 E) 1300 B) 1134 D) 1600
31. El costo de un terreno es D.P. a la distancia que lo separa de Lima y a su tamaño. Un terreno cuadrado está ubicado a 36 Km de Lima y es valorizado en $ 14 400. ¿Cuál será el precio de otro terreno cuadrado cuyo perímetro es los 9/5 del anterior y está ubicado a 10 Km de Lima? A) $ 12 960 C) $ 8 640 E) N.A. B) $ 14 400 D) $ 34 560
38. El precio de un tubo de fierro varía proporcionalmente al cuadrado de su longitud, si las longitudes de 2 tubos están en la relación 4 es a 9, ¿en qué relación están sus precios? A) 81/4 C) 16/81 E) 3/2 B) 4/9 D) 2/3
2
32. A es directamente proporcional a B y C , y es inversamente proporcional a D y E. Cuando A = 2B, D = 4, C = 2, entonces E = 3. Calcula E, cuando A = 72, D = 6, B = 2 y C = 3E. A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
39. Las magnitudes B y el cuadrado de A son inversamente proporcionales. Cuando A es 20, entonces A es a B como 10 es a 9. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72? A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18
33. La velocidad de un auto de carrera es D.P. a su longitud, su ancho y su potencia; e I.P. a su peso. Si un auto de 3 m de largo, 1,5 m de ancho, 80 HP de potencia y 600 Kg desarrolla 360 km/h, ¿qué velocidad alcanza un auto de 4 m de largo, 1,29 m de ancho, 900 Kg de peso y 100 HP de potencia? A) 3440 C) 3420 E) 3400 B) 3260 D) 3404
40. La resistencia de un conducto metálico de sección circular es proporcional a su longitud es inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro, ¿qué sucede con la resistencia cuando su longitud se duplica y el radio se hace la mitad? A) no cambia D) se hace 8 veces su valor B) se duplica E) se hace la mitad C) se cuadruplica
34. Si el precio de un diamante es D.P. al cuadrado de su volumen y teniendo un diamante de S/. 36 000, se parte en 3 trozos iguales, ¿cuánto se pierde debido al fraccionamiento? -5-
Proporcionalidad
