ESTADÍSTICA APLICADA1 Probabilidades La Estadística, como un método de toma de decisiones, debe evaluar la confiabilidad y riesgos existentes en todo proceso de estimación. Esto es posible gracias a la teoría de probabilidad, que permite generar indicadores de confiabilidad o riesgo.
Revisión rápida de teoría de conjntos!
Sean los conjuntos y ! tal que A ⊂ Ω y B ⊂ Ω , entonces se puede decir que y ! son subc subconj onjunt untos os de Ω "en "en la teor teoría ía de conj conjun unto toss a Ω se le cono conoce ce com como espacio niversal#
Ω
El n$mero de elementos que contiene con tiene el conjunto se define como n" A# . El n$mero de elementos que contiene el conjunto ! se define como n" B # . El n$mero de elementos que es contenido por los conjuntos y ! se define como n" A ∩ B # .
Espacio "estral "estral, a los En prob probabi abili lida dade des, s, l conj conjunt unto o Ω se le cono onoce como Espacio subconj subconjunt untos os y ! se les conoce como Scesos o Eventos, y a los elementos de los subconjuntos o conjuntos se les llama maneras de ocurrencia. Revisión de Análisis Co#binatorio! Es un conjunto de procedimientos que permiten determinar el n$mero de resultados de un suce suceso so o expe experi rime ment nto, o, sin sin util utili% i%ar ar una una enum enumer erac ació ión n dire direct ctaa de todos todos los los posi posibl bles es result resultado adoss de dic&o dic&o suceso suceso.. El an'lis an'lisis is combin combinato atorio rio est' est' basado basado en los siguie siguiente ntess principios b'sicos(
1!1! Principio Principio de adición adición
Sean los conjuntos y ! provenientes de un conjunto Ω ( A ⊂ Ω y B ⊂ Ω ) , el n$mero de resultados posibles en que puede ocurrir el suceso o el suceso ! "definido por ( A ∪ B ) # es dado por( n( A ∪ B )
= n" A# + n" B# − n" A ∩ B#
)
*uente( recopilado recopilado y editado de diversos materiales materiales "+L"+L- y otros#
)
donde( n" A#
(
$mero de maneras en que puede ocurrir el suceso . ambién se puede ver como el n$mero de elementos que contiene n" B# ( $mero de maneras en que puede ocurrir el suceso !. n" A ∩ B # ( $mero de maneras en que puede ocurrir el suceso y !.
Eje#plo! En una reunión &ay )// estudiantes, donde 0/ son estudiantes de la +123E. Si se sabe que de los )// estudiantes &ay 45 estudiantes de la especialidad de 6ng. 6ndustrial. dem's, &ay 5 estudiantes que son de la +123E y de la especialidad de 6ng. 6ndustrial. 78u'ntos son estudiantes de 6ng. 6ndustrial o que sea un estudiante de la +123E9
5
0/
45
n" A# = 0/ : ;Estudiante de la +123E< ! : ;Estudiante de la especialidad de 6ng. 6ndustrial< n" B # = 45 ∩ !:;El estudiante es de la especialidad de 6ng. 6ndustrial y sea de la +123E< n" A ∩ B#
=5
1or lo tanto el n$mero de estudiantes que sean de la +123E o de la especialidad de 6ng. 6ndustrial son( n( A ∪ B )
= n" A# + n" B# − n" A ∩ B# n( A ∪ B ) = 0/ + 45 − 5 = 5/
1!$! Principio de la #ltiplicación =ados los sucesos A) , A4 , , Ak , si el suceso A) puede ocurrir de n" A) # maneras diferentes, y luego ocurrir A) , puede ocurrir otro suceso A4 de n " A4 # maneras diferentes, y luego de ocurrir A4 , puede ocurrir el suceso A de n" A0 # maneras diferentes, y así sucesivamente> entonces el n$mero de maneras diferentes en que pueden ocurrir consecutivamente los sucesos A) , A4 , , Ak es dado por( 0
n" A)
∩ A4 ∩ ∩ Ak # = n" A) # ⋅ n" A4 # ⋅ ⋅ n" Ak #
Eje#plo%
4
+na persona desea comprar un televisor y un &orno a microondas, ingresa a una tienda y el vendedor le muestra 0 marcas diferentes de televisores y ? marcas distintas de &ornos a microondas. 7=e cuantas maneras diferentes esa persona p uede efectuar su compra9
Solción% A) :;El
cliente compra un televisor< A4 :;El cliente compra un &orno microondas< n" A)
∩ A4 # = n" A) # ⋅ n" A4 # = "0#"?# = )4
1!&! Per#taciones! ' el orden es i#portante( +na permutación de un conjunto de elementos es una disposición de tales elementos de acuerdo a un origen establecido. El n$mero de permutaciones de n elementos tomados r cada ve% "de r en r# se define por( P r n
=
n@ "n − r #@
=onde( n@= n ⋅ "n − )# ⋅ ⋅ "4#")#
Eje#plo% Luis, 1aco y Augo se encuentran esperando la atención en una ventanilla y cerca existe una banca con 4 sillas. 7=e cuantas maneras se pueden ubicar a esas personas en las sillas9
Solción% Se define el evento o suceso( :;$mero de maneras de ubicarse en las dos sillas< P r n
L )S
1 4S
1 )S
L 4S
=
n@ "n − r #@
L )S
= P 40 =
A 4S
0@ "0 − 4#@
A )S
L 4S
=B 1 )S
A 4S
A )S
1 4S
Ejemplo Si en un concurso de belle%a a -iss 1er$ llegan a la final B candidatas de cuantas maneras pueden ganar los tres primeros puestos9. Ejemplo 7=e cuantas maneras 0 mujeres y 4 &ombres pueden sentarse en una fila9 7=e cuantas maneras pueden sentarse si los &ombres se sientan juntos y las mujeres también9 7=e cuantas maneras pueden sentarse en fila si justamente las mujeres se sientan juntas 3esp )4/, 4?, 0B Ejemplo Supóngase que una urna contiene C bolas .Aallar el numero de pruebas ordenadas de tamaDo 0 " i # con sustitución "ii# sin sustitución
0
1!)! Per#taciones con ele#entos se#ejantes! Es el conjunto de disposiciones distinguibles que se puede formar cuando algunos elementos son semejantes. El n$mero de permutaciones de n elementos, de los cuales son iguales entre sí n) , n 4 , , n k ( n = n) + n4 + + nk ) es dado por( n@
n
P n , n ,, n = ) 4 k
n) @n4 @
nk @
Eje#plo% 78u'ntas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra ES=6S68 "aun cuando no tengan significado# 9
Solción% 1alabra( ES=6S68 ")) letras# Letras( E S = 6 8 *recuencia( ) 4 4 4 ) 4 ) P nn) ,n4 ,
,
nk
=
n@ = P 4)), 4 , 4 , 4 n)@n 4 @ n k @
=
))@ = ?ECEB// 4@⋅4@⋅4@⋅4@
1!*! Co#binaciones! +na combinación de un conjunto de elementos de una selección de tales elementos sin tener en cuenta su orden. El n$mero de combinaciones de n elementos tomados r cada ve% "de r en r# es dado por(
n n@ C = = r r@"n−r#@ n
r
Eje#plo% Luis, 1aco y Augo se encuentran esperando la atención en una ventanilla y cerca existe una banca con 4 sillas. 7=e cuantas maneras se pueden ocupar las 4 sillas9 Solución( Se definen el evento o suceso( :;$mero de maneras de ocupar las dos sillas<
?
n n@ 0 0@ C = = C4 == =0 r r@" −rn #@ 4@"0−4#@ n
r
Luis )S
1aco 4S
Luis )S
Augo 4S
1aco )S
Augo 4S
Ejemplo +n equipo de b'squet tiene )4 jugadores disponibles de cuantas maneras el entrenador puede escoger a sus jugadores "5# Si siempre excluye a los dos m's bajos Si siempre incluye al m's alto
$! Probabilidad! Es un n$mero real que expresa la confian%a o incertidumbre de la ocurrencia de un suceso o evento, cuyo resultado no se puede predecir con certe%a. 1ara definir formalmente el concepto de probabilidad es necesario tener en cuenta algunas definiciones.
$!1! De+iniciones Previas! a. E,peri#ento Aleatorio 'E( Es una operación o acto cuyo resultado no se puede predecir con certe%a y que se reali%a bajo lo siguientes criterios( 1uede ser repetido bajo las mismas condiciones • Se puede describir el n$mero de resultados posibles. • Se puede establecer un modelo matem'tico asociado a E. •
Eje#plo% E):;Extraer una esfera de una urna que contiene 5 esferas de color a%ul y 4 rojas< E4:;8ontar el n$mero de pie%as defectuosas producidas por una m'quina durante la producción diaria< E0:;iempo de vida de un foco de lu%<
b! Espacio "estral Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio E. Ω) = ;%ul, rojo<
Ω 4 = ; x F x ≥ /, x ∈ Z < Ω0 = ; x F x ≥ / x, ∈ R<
5
c! Pnto #estral Es cualquier elemento de muestrales
Ω . Si Ω = ;o , o )
)
Eje#plo% , rojo< los puntos muestrales son Ω) = ;azul
,
4
, on < entonces
Ω tienen n puntos
o) = ;azul < , o4 = ;rojo<
d! Evento Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Los eventos se identifican mediante may$sculas.
Eje#plo% Si se define el experimento aleatorio E :;3esultado de un partido de f$tbol<, su espacio muestral ser' ;ganar, empatar, perder< > si se define el siguiente evento( A:;2btener
al menos un punto como resultado< A:;ganar, empatar< Eventos mutuamente excluyentes =os eventos y ! son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, es decir no pueden ocurrir simult'neamente. Se cumple que A ∩ B = φ .
Eje#plo% +n experimento aleatorio consiste seleccionar un alumno al a%ar de la +123E y anotar su facultad. Sean los eventos( A:;El
alumno seleccionado al a%ar pertenece a la *acultad de 6ng. 6ndustrial< B:;El alumno seleccionado al a%ar pertenece a la *acultad de dministración< 1or lo tanto y ! son eventos mutuamente excluyentes ( A ∩ B = φ ) dado que un alumno no puede pertenecer a dos facultades a la ve%. Eventos colectivamente exhaustivos o Eventos complementarios: =os eventos y ! son complementarios si son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral. Es decirse cumple que( A ∩ B = φ y A ∪ B = Ω Si y ! son complementarios entonces se puede expresar lo siguiente(
A C = B y B C = A ambién se puede decir ! es el complemento de por lo tanto ! es todo lo que no le pertenece a considerando que A ∪ B = Ω
Eje#plo% En un curso dictado por un profesor 5 alumnos tienen los siguientes promedios finales( )/, )4, )?, )C y )B. Se define el experimento aleatorio E:;Elegir un alumno al a%ar< y los eventos(
B
A:;El
alumno seleccionado aprobó el curso< B:;El alumno seleccionado desaprobó el curso< 1or lo tanto y ! son eventos complementarios considerando que A ∪ B = Ω La probabilidad que la secretaria del =epartamento de estadistica reciba a lo mas 5 llamadas telefónicas al día es /.4/> y por lo menos llamadas en un día es de /.5/ 78u'l es la probabilidad de que la secretaria reciba B,G u C llamadas en un día9 3espuesta /.0 +na caja contiene )// tubos de neón, la probabilidad de que &aya al menos un tubo defectuoso es /./5 y de que &aya al menos dos tubos es /./) 78u'l es la probabilidad de que la caja contenga ( ing$n tubo defectuoso Exactamente un tubo defectuoso lo mas un tubo defectuoso 3esp /.5, /./?, /.
$!$! De+iniciones de probabilidad de n evento! a! De+inición sbjetiva 'o personalista( Las probabilidades subjetivas se basan en una combinación de experiencias del individuo, la opinión personal y el an'lisis de una situación particular. La probabilidad subjetiva es muy utili%ada en la toma de decisiones, donde la probabilidad de diversos eventos no puede determinarse empíricamente.
Eje#plo% La probabilidad que el 1er$ clasifique al -undial de !rasil 4/)? esHH
b! De+inición Clásica de probabilidad 'a priori( Si un experimento aleatorio E tiene n( Ω ) resultados Imutuamente excluyentes e igualmente posiblesJ, y si n( A) =e tales resultados est'n a favor de un evento > entonces, la probabilidad de ocurrencia del evento es dada por( P " A#
=
n" A# n"Ω #
Se dice que es a priori porque antes de reali%arse el experimento ya se sabe cual es la probabilidad de que ocurra el evento . Ejemplo( =el ejemplo anterior, calcular la probabilidad de seleccionar un alumno desaprobado ")/, )4, )?, C, )B#( Solución( (;Elegir un alumno desaprobado< P " A#
=
n" A# n " Ω#
=
0 5
= /.B/
Ejemplo =os personas se distribuyen al a%ar en tres oficinas numeradas con ), 4 ,0 respectivamente, pudiendo estar ambos en una misma oficina
G
78u'l es la probabilidad que la oficina dos quede vacía9 78u'l es la probabilidad que dos oficinas queden vacías9 3esp ?F 0F
c! De+inición de probabilidad a partir de +recencias relativas 'a posteriori( Si un experimento aleatorio E se repite n veces bajo las mismas condiciones y n"# resultados est'n a favor de un evento , la frecuencia relativa del evento es fr:nFn y la probabilidad estimada se conoce después de reali%ar el experimento P " A# = lim fr A n→∞
= lim
nA
n →∞
n
Eje#plo% La siguiente tabla de frecuencias muestra los pesos de los rendimientos de maí% "en n.# de 4/ parcelas de un experimento llevado a cabo en el fundo de cultivo( 3endimiento N de parcelas
K).04.0# 4
K4.00.0# ?
K0.0?.0# B
K?.05.0# 5
K5.0B.0M 0
Si se elige una parcela al a%ar( 78u'l es la probabilidad de que se obtenga una parcela que tenga un rendimiento mayor o igual a las 4.0 on. 1ero menor a las ?.0 on.9
Solción% (;Elegir una parcela mayor o igual a las 4.0 on. 1ero menor a las ?.0 on.<
f 4 + f 0
?+B = / .5 n 4/ ote que la probabilidad obtenida es después de reali%arse el experimento P " A# =
=
d! De+inición a,io#ática de probabilidad
Sea E un experimento aleatorio, Ω su espacio muestral asociado y un evento cualquiera de Ω . +n n$mero real es 1"# llamado probabilidad de ocurrencia del evento , si satisface las siguientes condiciones( • • •
≤ P " A# ≤ ) P "Ω # = ) /
Si los eventos A) , A4 , A0 , , Ak son eventos mutuamente excluyentes, es decir Ai ∩ A j = φ ∀i ≠ j i, j = ),4,, k se cumple que(
k k P Ai = ∑ P " Ai # i =) i =) 1ropiedades b'sicas de probabilidad( Si φ es el conjunto vacío, entonces P "φ # = / • Si Ω es el conjunto vacío, entonces P "Ω # = ) •
C
$!&! Re+erencia de Teore#as!
eorema( Si y ! son dos eventos de un espacio muestral Ω , entonces la probabilidad que ocurra el evento o que ocurra el evento ! es igual a( P " A ∪ B#
= P " A# + P " B # − P " A ∩ B#
Si dos eventos y ! son mutuamente excluyentes [ " A ∩ B# = φ ] entonces se cumple que( P " A ∪ B #
= P " A# + P " B#
Eje#plo% La probabilidad que un alumno apruebe el curso de -atem'tica !'sica es de /.? y la probabilidad de que apruebe el curso de Ouímica Peneral es igual a /.5 y la probabilidad de que apruebe ambas materias es /.0. 8alcular la probabilidad que apruebe al menos un curso.
Solción% Sean los eventos( ( ;El alumno apruebe el curso de -atem'tica !'sica< !( ;El alumno apruebe el curso de Ouímica Peneral< P " A#
= / .?
P " A ∪ B#
= /.5
P " B #
P " A ∩ B #
= /.0
= P " A# + P " B# − P " A ∩ B# = /.? + /.5 − /.0 = /.B
eorema( Si es un evento de un espacio muestral se cumple( P " A C #
Ω , y A C su complemento, entonces
= ) − P " A#
Eje#plo% =el ejemplo anterior, calcule la probabilidad de que el alumno desapruebe el curso de -atem'tica !'sica(
Solción% ( ;El alumno no apruebe el curso de -atem'tica !'sica<
= ) − P " AC # ⇒ P " A C # = ) − P " A# = ) − /.? = /.B $!)! Probabilidad Condicional P " A#
Si y ! son dos eventos de un espacio muestral Ω , entonces, la probabilidad condicional que ocurra el evento dado ! es igual a( P " A F B #
=
P " A ∩ B # P " B#
siendo que P " B # > /
Si y ! son dos eventos de un espacio muestral Ω , entonces, la probabilidad condicional que ocurra el evento ! dado es igual a( P " B F A#
=
P " A ∩ B# P " A#
Eje#plo%
siendo que P " A# > /
La 2ficina de Estudios, reali%ó una investigación en la cual clasificó a los alumnos del ciclo b'sico por sexo y algunos de los cursos que estaban llevando por segunda ve%, obteniendo los siguientes resultados "se asume que se matriculan en un solo curso#( Sexo
8ursos
Aombres )4 )? )0 0
-atem'tica !'sica Ouímica Peneral 8astellano otal
-ujeres )G )0 )0 ?0
otal 4 4G 4B C4
Si se elige un alumno al a%ar( a# 78u'l es la probabilidad de elegir un alumno que se encuentre matriculado en 8astellano, si se sabe que es mujer9 A(;El alumno se encuentre matriculado en 8astellano< B(;El alumno es mujer< P " A#
=
4B C4
= /.0)G P " A Q B#
P " B #
=
=
?0 C4
P " A ∩ B# P " B#
=
P " A ∩ B#
= /.54? )0 F C4 ?0 F C4
=
)0 ?0
=
)0 C4
= /.)5E
= /.0/40
b# 78u'l es la probabilidad de elegir a una alumna, si se sabe que se encuentre matriculado en Ouímica9 c# 78u'l es la probabilidad de elegir un alumna que no se encuentre matriculado en 8astellano, si se sabe que el mujer9 0/F?0 d# 78u'l es la probabilidad de elegir un alumno que se encuentre matriculado en 8astellano o -atem'tica !'sica, si se sabe que es &ombre9 45F0 e# 78u'l es la probabilidad de elegir una alumna que se encuentre matriculado en -atem'tica si se sabe que es mujer9 f# 8u'l es la probabilidad de elegir un estudiante que no se encuentre matriculado en 8astellano y se encuentre matriculado en Ouímica Peneral, si se sabe que es &ombre9
En una universidad el G/R de los estudiantes son de ciencias y el 0/ R son de letras> de los estudiantes de ciencias el B/R son varones y de los de letras el ?/R son varones. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la p robabilidad de que( Sea un estudiante varón Sea un estudiante varón, si es de ciencias Sea un estudiante de ciencias, si es varón
)/
Sea un estudiante de ciencias y varón 3esp /.5?, /.B, /.GGC y /.?4 +n &ombre tiene dos carros viejos y !> ellos tienen problemas parar arrancar en las maDanas frías. La probabilidad de que ambos arranquen es /.)> la probabilidad que arranque ! y no, es /.4> la probabilidad que ninguno de ellos arranque es /.?. Aallar la probabilidad que el carro arranque Aallar la probabilidad que arranque , dado que arrancó ! Aallar la probabilidad que arranque ! , dado que no arrancó 3esp /.?,)F0,)F0
Propiedades de probabilidad condicional! • • • • • • • •
/ ≤ P " A Q B#
≤)
P "Ω Q B #
=) P "φ Q B# = / P " A Q Ω# = P " A# P " A Q B # = ) − P " A C Q B # P K" A C ∩ B# Q C M = P " B Q C # − P K" A ∩ B# Q C M P K" A ∪ B# Q C M = P " A Q C # + P " B Q C # − P K" A ∩ B# Q C M Si los eventos A) , A4 , A0 , , Ak son k eventos de Ω mutuamente excluyentes, es decir Ai ∩ A j = φ ∀i ≠ j i, j = ),4, , k se cumple que(
k i =)
P Ai B =
k
∑ P " A Q B# i =)
i
$!* Re-la de #ltiplicación de probabilidades! Si y ! son dos eventos en el espacio muestral condicional se sabe que( P " A Q B#
=
P " B Q A#
=
P " A ∩ B# P " B# P " A ∩ B# P " A#
Ω > por la definición de probabilidad
⇒ P " A ∩ B# = P " B# P " A Q B# ⇒ P " A ∩ B# = P " A# P " B Q A#
Eje#plo% Se &i%o un estudio y se encontró que el B/R son &ombres y el ?/R son mujeres. Se sabe adem's que el 0/R de los &ombres y el )/R de las mujeres fuma. =etermine la probabilidad de que un estudiante seleccionado al a%ar sea &ombre y fume.
Solción% Se definen los eventos(
))
H (
;EL estudiante seleccionado es &ombre< M ( ;El estudiante seleccionado es mujer< F ( ;El estudiante seleccionado fuma< P " H #
= /.B
>
P " M #
= /.?
>
P " F Q H #
= /.0 >
P " F Q M #
= /.)
Dia-ra#a de árbol
P " F Q H #
P " H #
= /.B
= /.0
*8
A P " F C Q H #
P " F Q M #
P " M #
= /.?
*
= /.G
= /.)
*
-
P " F C Q M #
= /.E
*8
La probabilidad de elegir al a%ar un alumno que sea &ombre y fume( P " H ∩ F #
= P " H # P " F Q H # = "/.B#"/.0# = /.)C
4.B. Ley de probabilidad total Sean los eventos A) , A4 , A0 , , Ak que cumplen las siguientes condiciones( •
Ai
≠ φ , Ai ≠ Ω, i = ),4,0,..., k
•
Ai
∩ A j = φ ∀i ≠ j
k •
Ai i =)
i, j
= ),4, , k "Eventos mutuamente excluyentes#
= A) ∪ A4 ∪ ... ∪ Ak = Ω "Eventos colectivamente ex&austivos#
Luego cualquier otro evento ! se puede obtener mediante la siguiente igualdad( P " B#
k
k
i =)
i =)
= ∑ P " Ai ∩ B# = ∑ P " A# P " B Q Ai #
)4
Eje#plo% Suponga que solo los candidatos y * compiten a la alcaldía de Lima y las probabilidades de que estos candidatos ganen son /.? y /.B respectivamente. La probabilidad de que se realice un nuevo intercambio vial en el distrito es de /.4 si gana y /.0 si gana *. 8alcule la probabilidad de que se construya el intercambio vial.
Solción% Se definen los eventos( 3:;El candidato gana las elecciones< *:;La candidata * gana las elecciones< 6:;El intercambio vial es construido< P " K #
= /.?
> P " F #
= /.B > P " I Q K # = /.4 >
P " I Q F #
= /.0 >
P " I #
= 999
= P " R ∩ I # + P " F ∩ I # = P " R# P " I Q R# + P " F # P " I Q F # = "/.?#"/.4# + "/.B#"/.0# = /.4B $!. Teore#a de /a0es! P " I #
Sean los eventos A) , A4 , A0 , , Ak mutuamente excluyentes y colectivamente ex&austivos con P " Ai # > / para i = ), 4, 0,..., k > para cualquier otro evento ! "no nulo#
P " Ai Q B # =
P " Ai ∩ B # P " B #
=
P " Ai ∩ B # k
=
P " Ai # P " B Q Ai # k
∑ P " Ai ∩ B # ∑ P " Ai # P " B Q Ai # i =)
i =)
Eje#plo% =el ejemplo anterior, &allar la probabilidad que la candidata * &aya ganado si se sabe que después de las elecciones el intercambio vial fue construido.
Solción% Se definen los siguientes eventos( 3(;El candidato gana las elecciones< *(;La candidata * gana las elecciones< 6( ;El intercambio vial es construido< P " K #
= / .?
> P " F #
= /.B > P " I Q K # = /.4 >
)0
P " I Q F #
= /.0 >
P " F Q I #
= 999
P " F Q I # =
P " F ∩ I # P " I #
P " F Q I #
=
P " F # P " I Q F # P " K ∩ I # + P " F ∩ I #
=
=
P " F # P " I Q F # P " K # P " I Q K # + P " F # P " I Q F #
"/.B#"/.0# "/.?#"/.4# + "/.B#"/.0#
=
/.)C /.4B
= /.BE4
Ejercicio! ). El propietario de una tienda de discos clasifica a las personas que entran en su tienda en clientes muy jóvenes, clientes de edad universitaria y clientes mayores> se sabe que el 0/R, 5/R y 4/R pertenecen a esas categorías respectivamente. El propietario también comprueba que el 4/R de los clientes muy jóvenes, el B/R de los clientes universitarios y el C/R de los clientes mayores reali%an alguna compra. a. 78u'l es la probabilidad de que un cliente elegido al a%ar &aga alguna compra9 b. Si un cliente elegido al a%ar reali%a una compra, 78u'l es la probabilidad que sea muy joven9 c. Si un cliente elegido al a%ar reali%a una compra, 7cu'l es la probabilidad de que sea muy joven9 d. Si un cliente elegido al a%ar no &ace una compra, 7cu'l es la probabilidad de que sea muy joven9 4. +n banco &a estimado, por experiencias anteriores, que la probabilidad de que una persona falle en los pagos de un préstamo personal es de /.4. ambién &a estimado que el 0/R de los préstamos no pagados a tiempo se &an &ec&o para financiar viajes de vacaciones. 8alcular. a. La probabilidad de que un préstamo que se &aya &ec&o para financiar un viaje de vacaciones no se pague. b. La probabilidad de que si el préstamo para propósitos distintos a viajes de vacaciones sea pagado a tiempo. -artín -, gerente del departamento de crédito del !81, sabe que el banco utili%a tres métodos para conminar a pagar a sus clientes morosos. =e los datos se tiene registrado, el sabe que el G/R de los deudores son visitados personalmente , el 4/R se le sugiere que paguen por vía telefónica y al restante )/ R se le envía una carta .Las probabilidades de recibir alg$n pago como consecuencia de tres metidos son /.G5,/.B/ y /.B5, respectivamente. -artín acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. 78u'l es la probabilidad de que la petición de pago se &aya &ec&o &ec&o a. personalmente b. por correo odas las noc&es el seDor 1orras llega tarde a su casa. La seDora 1orras ,le deja encendida la lu% de la entrada de la casa. La probabilidad que 1orras llegue borrac&o es
)?
/.B/. si llega borrac&o, &ay una probabilidad de /./ que se olvide de apagar la lu% en tanto es solo de /./5 si llega sobrio 78u'l es la probabilidad de que el seDor 1orras apague la lu% una noc&e cualquiera9 =ado que el seDor 1orras apago la lu% una cierta noc&e. 78u'l es la probabilidad de que &aya llegado borrac&o9 El profesor Lópe% dicta un curso de estadística y quiere tomar una prueba en cada clase. Sabedor que a veces se olvida de ir a &acer su clase, a dado instrucciones a su jefe de practicas que se &aga cargo de la clase cuando el esta ausente. Si el profesor Lópe% &ace la clase , la probabilidad es de /.G/ de que tome la prueba en tanto que si el jefe de practica &ace la clase ,esta probabilidad es solo de /.)/si el profesor Lópe% falta el C/R de las clases. 78u'l es la probabilidad de que &aya prueba en una clase dada 9 Suponiendo que &ubo prueba en una clase determinada 78u'l es la probabilidad de que el seDor Lópe% &aya estado ausente 9 res maquinas 6, 66 y 666 manufacturan el 0/R, 0/R y ?R de la producción total de cierto articulo. Las maquinas producen un ?R, 0R y 4R de productos defectuosos , respectivamente .Se toma un articulo al a%ar , se prueba y resulta ser defectuoso. 78u'l es la probabilidad de que &aya sido manufacturado por la maquina =e los alumnos del primer aDo de un determinado programa académico, se sabe que el ?/R asistió a centros secundarios privados y el B/R asistió a centros estatales. El registro de matricula seDala que al final del curso alcan%aron una nota media el 0/R de los alumnos que asistieron a centros secundario privados y solo el 4/R de los que asistieron a centros estatales. l final del ciclo, se elige al a%ar a un alumno de dic&o curso y tiene nota media . 78u'l es la probabilidad de que el alumno &ubiera asistido a un centro estatal9 +na estación meteorológica suele acertar el B/ R de las veces que pronostico día lluvioso, también la probabilidad de acertar en su pronostico dado que indica tiempo no lluvioso es de /.C. Se sabe que la probabilidad de que llueva en un día cualquiera es de /.45 78u'l es la probabilidad que la estación de un pronostico correcto en un día cualquiera 9 78u'l es la probabilidad de que llueva dado que se sabe que el pronostico esta correcto9 dd &ace planes para un día de campo de la compaDía. Lo $nico que podría cancelarlo seria una tormenta .El servicio de información del clima &a pronosticado condiciones seca con una probabilidad de /.4, condiciones &$medas con una probabilidad de /.?5 y condiciones lluviosas con probabilidad de /.05.Si la probabilidad de una tormenta eléctrica dadas las condiciones secas es /.0 , dadas las condiciones &$medas es /.B y dadas las condiciones de agua es /.C 78u'l es la probabilidad de una tormenta eléctrica 9 Si supiéramos que el día de campo de &ec&o se cancelo, 78u'l es la probabilidad de que las condiciones &ayan sido de &umedad9
)5
$!.!
Independencia de eventos!
=os eventos y ! son independientes si( P " A ∩ B #
= P " A# P " B #
=os eventos se consideran independientes si la ocurrencia de ellos no afecta la ocurrencia del otro evento. Es decir si son independientes, entonces(
P " B Q A#
=
P " A ∩ B# P " A#
=
P " A# P " B # P " A#
= P " B #
Eje#plo% La probabilidad de que -iguel apruebe Ouímica Peneral es de /.0 y la probabilidad de que Tessica apruebe *ísica Peneral es /.B. Aallar la probabilidad de que ambos aprueben sus cursos.
Solción% (;-iguel apruebe Ouímica Peneral< !(;Tessica apruebe *ísica Peneral< mbos eventos son independientes dado que la probabilidad de que -iguel apruebe su curso no depende de si Tessica apruebe su curso, entonces( P " A ∩ B #
= P " A# P " B # = "/.0#"/.B# = /.)C
eorema( Sean y ! dos eventos independientes, entonces también ser'n independientes(
⇒ P " A ∩ B C # = P " A# P " B C # AC y B ⇒ P " AC ∩ B# = P " A C # P " B# AC y B C ⇒ P " AC ∩ B C # = P " AC # P " B C # Ejercicio% •
A y B
C
• •
+na compaDía de seguros estima que el 0/R de los accidentes de automóvil son debidos a las condiciones climatológicas y que el 4/R provocan &eridos. dem's el ?/R de los accidentes que dan lugar a &eridos son debido a condiciones climatológicas.
)B
a. 78u'l es la probabilidad de que un accidente elegido al a%ar &aya sido causado por condiciones climatológicas y &aya dado lugar a &eridos. b. 7Son lo sucesos Idebido a las condiciones climatológicasJ y Ida lugar a &eridosJ independientes. c. Si un accidente elegido al a%ar es causado por las condiciones climatológicas, 7cual es la probabilidad de que &aya dado lugar a &eridos9 d. 78u'l es la probabilidad de que un accidente elegido al a%ar &aya sido provocado por las condiciones climatológicas y no &aya causados &eridos9
1. En cierta población la probabilidad de que un individuo sea de color moreno es 0.30 y que tenga ojos verdes es 0.15. Ambas características son independientes. a) !u"l es la probabilidad de que un individuo al nacer presente sólo una de estas características# b) $i nacen 3 individuos% cual es la probabilidad de que sólo uno tenga ojos verdes. &. En una cierta 'acultad el &5( de los estudiantes desaprueban atem"tica% el 15( *uímica y el 10( ambas materias. $e selecciona un estudiante al a+ar. a) $i ,a desaprobado *uímica% cu"l es la probabilidad de que desapruebe atem"tica# b) $i tiene *uímica aprobada% cu"l es la probabilidad de que tenga tambi-n atem"tica aprobada#
1. $i se escoge al a+ar tres lamparas entre 15 de'ectuosas .,allar la probabilidad de que /inguna sea de'ectuosa Eactamente una sea de'ectuosa na por lo menos de'ectuosa
de las cuales
5 son
• • •
&. a probabilidad que un ,ombre viva 10 a2os mas es 14% y la probabilidad de que su esposa viva 10 a2os mas es 13. $uponiendo que estos eventos son independientes% ,allar la probabilidad que a) or lo menos uno de ellos est- vivo entre los 10 a2os b) /inguno est- vivo entre los 10 a2os c) $olamente la esposa est- viva entre los 10 a2os
&! 6aime se presenta a un eamen de manejo varias veces ,asta que lo aprueba. $uponga que la probabilidad que lo apruebe en cualquier eamen sea de 0.1 y que las pruebas son independientes. !alcular la probabilidad que le tome cuatro intentos. !alcular la probabilidad que le tome por lo menos cuatro intentos.
)G
=e un grupo de personas , el 0/R practica f$tbol y el ?/R practica ajedre%. =e los futbolistas el 5/R juega ajedre%. Si se elige al a%ar una persona. 78u'l es la probabilidad de que( Tuegue f$tbol o ajedre% 1ractique uno de estos deportes o practique ni f$tbol ni ajedre% Sean y ! dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que 1"#:/.4/ 1"!#: /.0/ y 1"U!#:/.)/ 8alcular P " AC B C #
)C
