Önsöz Diferansiyel denklemler kuramı modern mühendislik, fizik ve matematik eğitiminin önemli bir k ısmını oluşturmaktadır. Mühendislik bölümü öğrencilerinin birinci sınıfta gördükleri Yüksek Matematik (Calculus) derslerinin doğal ve teknik bilimlere uygulanması genel olarak diferansiyel denklemler teorisine dayanmaktadır. Ülkemizdeki üniversitelerde bu ders mühendislik ve fizik bölümlerinde bir yar ıyıldan az olmamak üzere, haftada beş saate (3+2) ulaşan bir zaman diliminde verilmektedir. Matematik bölümlerinde ise diferansiyel denklemlere ayr ılan zaman daha fazla olup, bu ders haftada üç saatten az olmamak üzere iki dönem süresince verilmektedir. Buna rağmen, günümüzde gerek mühendislik gerekse fizik ve matematik bölümü öğrencileri, bu derse ilişkin ciddi bir Türkçe kaynak sık ıntısı içerisinde bulunmaktadırlar. İngilizce ve diğer Avrupa dillerinde yazılmış kaliteli kaynaklar ın olmasına rağmen üniversite öğrencilerimizin yabancı dillerdeki kaynaklara ulaşması hayli zordur, hatta çoğu kez pek mümkün değildir. Bu kitabın amacı belli bir ölçüde diferansiyel denklemler konusunda Türkçe kaynak ihtiyac ını kar şılamaktır. Kitap, büyük ölçüde, yazarlar ın İstanbul Üniversitesi ve Işık Üniversitesi’nin Mühendislik Fakültelerinde vermiş olduklar ı derslerin notlar ı temel alarak yazılmıştır. Fakat kitabın içeriği bu amacı önemli ölçüde aşmakta olup klasik diferansiyel denklemler teorisinin büyük bir k ısmını sistematik bir şekilde kapsamaktadır. Kitap onbir bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde “Diferansiyel denklem nedir, nasıl ortaya çıkar ve bir diferansiyel denklemi çözmek ne anlama gelmektedir?” gibi temel konular ele alınmaktadır. Bu bölüm geri kalan bölümlerin de temelini oluşturduğundan, bu bölümün çok dikkatle okunmas ında fayda görmekteyiz. İkinci bölümde mühendislik dallar ında ve bazı fiziksel uygulamalarda kar şımıza çıkan ve elemanter yöntemlerle çözülebilen diferansiyel denklemler sınıf ı ele alınmıştır. Bu denklemlerin çözüm yöntemleri farklı zamanlarda ve farklı matematikçiler taraf ından geliştirilmiştir. Sözü geçen metodlar ı pekiştirmek için okurun bölümün sonunda verilmiş sorular ı çözmesinde fayda vardır. Üçüncü bölümde türeve göre çözülmemiş diferansiyel denklemler ele alınmaktadır. Bu sınıftan olan denklemler günümüzde de geniş araştırmalara konu olmasına rağmen mühendislik bilim dallar ında pek görülmemektedir. Mühendislik bölümü öğrencileri bu bölümü atlayabilirler. Dördüncü bölümde yüksek mertebeden değişken ve sabit katsayılı lineer denklemler ele alınmıştır. Bu sınıftan olan denklemler klasik teorinin en gelişmiş ve tamamlanmış bölümünü oluşturmasının yanısıra istisnasız olarak bütün mühendislik ve doğa bilim dallar ında ortaya çıkmaktadır. Beşinci bölüm ikinci mertebeden homojen lineer denklemlere ve bu denklemlerin kuvvet serileri yöntemiyle çözümüne hasredilmiştir. Bu bölümde regüler ve tekil nokta kavramlar ı tanımlanmış ve Frobenius yöntemi ele alınmıştır. Bu yöntem aslında yüksek mertebeden olan lineer denklemler için de geçerlidir. Fakat bölümü fazla teknik ayr ıntılarla ağırlaştırmamak için yöntem ikinci mertebeden olan denklemler üzerinde açıklanmıştır. Altıncı bölümde Sturm – Liouville sınır değer problemi ve Green fonksiyonu ele alınmıştır. Bu türden olan problemler fizik ve matematiğin farklı dallar ında kar şımıza çıkmaktadır. Modern matematiğin pek çok kavramının kökleri bu problemden kaynaklanmaktadır. Bölümde, bu problemin mantıksal devamı olan fakat geleneksel diferansiyel denklemler kitaplar ında yer almayan Hilbert – Schmidt teoremine yer verilmesi uygun görülmüştür. Yedinci bölümde özel fonksiyonlar konusu ele al ınmıştır. Bu fonksiyonlar, neredeyse, bütün teknik, fizik ve matematik bilim dallar ında meydana çıkan diferansiyel denklemleri çözerken kar şılaşılan standart fonksiyonlardır. Bölümde, bu fonksiyonlara ilişkin teori, ileri mühendislik konular ında ortaya çıkacak ihtiyacı kar şılayacak seviyede verilmiştir.
Sekizinci ve dokuzuncu bölümlerde değişken ve sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemleri ele alınmıştır. Bu türden olan denklemlerin genel teorisi, yüksek mertebeden lineer denklemlerin genel teorisiyle önemli bir benzerlik göstermektedir ve büyük ölçüde lineer cebir yöntemlerine dayanmaktadır. Bu nedenle dokuzuncu bölümde lineer cebir ile ilişkili bazı kavramlar ın hatırlatılması uygun görülmüştür. Bu kavramlar ı bilen okur, dokuzuncu bölümü incelerken hemen 9.3 alt bölümünden başlayabilir. Onuncu bölümde Laplace dönüşümü ve uygulamalar ı ele alınmıştır. Laplace dönüşümü mühendislik bilim dallar ında meydana çıkan hemen hemen tüm sabit katsay ılı diferansiyel denklemlere ilişkin başlangıç değer problemlerini çözmek için kullanılan bir yöntem olmasının yanısıra fizik ve matematikte de önemli uygulamalara sahiptir. Bir çok elemanter fonksiyonun Laplace dönüşümünün hesaplanması algoritmik karakter taşıdığı için, okurun bölümün sonunda verilmiş problemleri çözmesinde büyük fayda görüyoruz. Onbirinci bölüm diferansiyel denklemlerin nitel teorisine hasredilmiştir. Gerek praktikte gerekse teoride meydana çıkan bir çok diferansiyel denklem elemanter yöntemlerle çözülememektedir ve çoğu kez buna ihtiyaç da duyulmamaktadır. Bu türlü problemlerde önemli olan zaman ın büyük değerleri için çözümün davranışıdır, başka bir değişle çözümün asimptotik özellikleridir. Denklemi çözmeden çözümlerin özelliklerinin incelenmesi nitel teorinin konular ından birisidir. Günümüzde modern diferansiyel denklemler teorisi, büyük ölçüde nitel teori karakteri taşımaktadır. Bu bölüm nitel teoriye giriş niteliğindedir ve ilgili okura daha ileri düzeydeki kitaplara baş vurması tavsiye edilmektedir. Yukar ıda söylendiği gibi kitap büyük ölçüde klasik diferansiyel denklemler teorisinin (sayısal yöntemlerin dışında) büyük bir k ısmını kapsamaktadır. Bu nedenle bu kitabı temel alarak ders programını hazırlayan öğretim elemanı ve öğrencilerimizin aşağıdaki hususlar ı dikkate almalar ında fayda görmekteyiz. Mühendislik bölümü öğrencilerine birinci bölümün (1.7 alt bölümü hariç), ikinci bölümün (2.8 alt bölümü hariç) dördüncü bölümün (4.10 alt bölümü hariç), dokuz ve onuncu bölümlerin verilmesi uygun görülmektedir. Fizik bölümü öğrencileri üçüncü ve onbirinci bölümün dışındaki bütün bölümleri, ciddi bir matematik eğitimi almak isteyen matematik ve yüksek lisans öğrencileri ise kitabın bütün bölümlerini öğrenmek zorundadır. Kitapta öğrencinin konuyu berrak bir biçimde anlamasını kolaylaştıracak toplam 128 çözümlü örnek verilmiştir. Bölüm sonlar ına, okuyucunun öğrendiklerini pekiştirmesine imkan sağlamak amacı ile beşyüzün üzerinde problem konmuştur. Okuyucunun kendini s ınaması amacıyla, bu problemlerin büyük bir k ısmının sonuçlar ı kitabın sonunda toplu halde verilmiştir. Bu kitabın sonraki bask ılar ının daha da yararlı olmasını sağlamak üzere, yapılacak uyar ı ve önerilere şimdiden teşekkür eder, bu çalışmamızın diferansiyel denklemler konusunu öğrenmeyi amaçlayan üniversite öğrencilerine ve genç araştır ıcılara yararlı olacağını umar ız. İstanbul – Ekim 2001 Prof. Dr. Elman Hasanov
[email protected] Prof. Dr. Gökhan Uzgören
[email protected] Prof. Dr. Alinur Büyükaksoy
[email protected]
İÇİNDEK İLER Önsöz…………………………………………………………………………………………… 1. Temel Kavramlar ve Tan ımlar. ….……………………………………………………..1 1.0. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.
Bölümün Amacı …………………………………………………………………….1 n'ci mertebeden Adi Diferansiyel Denklemin Tan ımı………………………………1 Diferansiyel Denklemlerin Oluşturulması…………………………………………..2 Türeve Göre Çözülmüş Denklemler………………………………………………...9 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü..…………………………………………….....9 İzoklin. (1.13) Denkleminin Geometrik Yorumu………………………………….11 Başlangıç Değer Problemi…………………………………………………………14 Genel, Özel ve Tekil Çözüm………………………………………………………19 Birinci Bölüme Ait Problemler ……………………………………………………23
2. Belirsiz İntegrale Dönüştürülebilir Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Sınıf ı..……….……………………………………………………………..27 2.0. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.
Bölümün Amacı……………………………………………………………………27 Sağ Taraf ı Değişkenlerden Birini İçermeyen Denklemler………………………...27 Değişkenlerine Ayr ılabilir Denklemler……………………………………………31 Homojen Diferansiyel Denklemler…………………………………………….…..33 Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler………………………….…..38 Bernoulli Denklemi……………………………………………………...…….…..43 Tam Diferansiyel Denklemler………………………………………………….….44 İntegrasyon (Euler) Çarpanı………………………………………….……………50 Riccati Denklemi………………………………………………………………..…55 İkinci Bölüme Ait Problemler………………………………………….………….59
3. Birinci Mertebeden Türeve Göre Çözülmemiş Denklemler.…………...…………….65 3.0. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.
Bölümün Amacı……………………………………………………..…..…………65 Türeve Göre Çözülmemiş Denklemlerin Geometrik Yorumu……………….……65 Tüm Olmayan Denklemler……………………………………………..………….67 (3.1) Denkleminin Parametre Yardımıyle Çözümü……………………..…………71 Lagrange Denklemi…………………………………………………….………….75 Clairaut Denklemi ve Legendre Dönüşümü…………………………..…………...77 Üçüncü Bölüme Ait Problemler………………………………………….………..81
4. Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler. Lineer Denklemlerin Genel Teorisi……………………………………………………………………….…....85 4.0. Bölümün Amacı……………………………………………………………………..85 4.1. Yüksek Mertebeden Denklemler İçin Bazı Kavramlar……………………………...86 4.2. Yüksek Mertebeden Denklemler İçin Cauchy Problemi…………………………....86 4.3. Yüksek Mertebeden Denklemler İçin Sınır Değer Problemi………………………..88 4.4. Yüksek Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler……………………………....90 4.5. Bir Fonksiyonlar Sistemine İlişkin Lineer Bağımlılık ve Lineer
Bağımsızlık Kavramlar ı…………………………………………………....………..92 4.6. Homojen Lineer Denklemin Genel Çözümü……..……………………….………...95 4.7. Homojen Olmayan Lineer Denklemin Genel Çözümünün Yapısı……………...…..99 4.8. Sabit Katsayılı Lineer Denklemlerin Genel Teorisi…………………………..……104 4.9. Bilinmeyen Katsayılar ı Yöntemi…………………………………………………..110 4.10. Euler - Cauchy Denklemi…………………………………………………….……114 Dördüncü Bölüme Ait Ek Bilgiler Ve Problemler………………………………...117
5. İkinci Mertebeden Homojen Lineer Diferansiyel Denklemler. Frobenius Yöntemi ……………………………………………………………………..123 5.0. Bölümün Amacı…………………………………………………………………….123 5.1. İkinci Mertebeden Lineer Denklemler Üzerinde Baz ı Dönüşümler……………….123 5.2. İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemin Kuvvet Serisi Yardımıyle Çözümü………………………………………………………………..127 5.3. Tekil Noktalar ın Civar ında Çözümün Kuvvet Serisine Aç ılımı. Frobenius Yöntemi………………………………………………………………...131 Beşinci Bölüme Ait Ek Bilgiler Ve Problemler……..………………………….…151
6. Sturm-Liouville Sınır Değer Problemi. Green Fonksiyonu…………………………155 6.0. Bölümün Amacı……………………………………………………..………...…...155 6.1. Sturm-Liouville Problemi………………………………………………………….155 6.2. Sturm-Liouville Teoremi…………………………………….…………………….157 6.3. Green Fonksiyonu. Hilbert – Schmidt Teoremi.…………………………………160 Altıncı Bölüme Ait Problemler……………………………………………………167
7. Özel Fonksiyonlar………………………………………………………………………169 7.0. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.
Bölümün Amacı…………………………………………………………………...169 Özel Fonksiyonlar…………………………………………………………………169 Bessel Denklemi………………………………………………………………….170 Bessel Fonksiyonlar ının Bazı Özel Halleri………………………………………..175 Tam İndisli Bessel Fonksiyonlar ı İçin Türetici Fonksiyon ve Bessel Fonksiyonlar ının İntegral Şeklinde Gösterilmesi…………………………………176 7.5. Bessel Denklemi İçin Sınır Değer Problemi………………………………………178 7.6. Legendre Denklemi ve Legendre Polinomlar ı…………………………………….180 7.7. Legendre Polinomlar ının Dikliği………………………………………………….182 7.8. Legendre Polinomlar ı İçin Türetici Fonksiyon ve Rekurans Bağıntılar…………..184 7.9. Legendre Polinomlar ının İntegral Gösterimi……………………………………...187 7.10. Hermite Fonksiyonlar ı……………………………………………………………189 7.11. Hermite Polinomlar ı İçin Türetici Fonksiyon ve Rekurans Bağıntılar……………190 7.12. Hermite Polinomlar ının Dikliği…………………………………………………...192 7.13. Çebışev-Laguerre Polinomlar ı…………………………………………………….193 7.14. Çebışev-Laguerre Polinomlar ı İçin Rekurans Bağıntılar……………………...….195 7.15. Çebışev-Laguerre Polinomlar ının Dikliği……………………………………...…196 Yedinci Bölüme Ait Problemler…………………………………………..………199
8.
Diferansiyel Denklem Sistemleri…………………………………………………….203 8.0. 8.1. 8.2. 8.3.
Bölümün Amacı………………………………………………………………….203 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Sistemi……………………………...203 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Sisteminin Vektörel Yorumu………207 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri………………………………………...208
8.4. Lineer Sistemlerin Bazı Özellikleri. Fonksiyon Sisteminin Lineer Bağımsızlığı Kavramı………………………………………………………………………….210 8.5. Homojen Lineer Diferansiyel Sisteminin Temel Çözüm Sistemi…………….....214 8.6. Homojen Olmayan Lineer Denklem Sistemi…………………………………….215 Sekizinci Bölüme Ait Problemler……………………………………………......219
9.
Lineer Diferansiyel Denklemler Sistemi……………………………………………223 9.0 Bölümün Amacı………………………………………………………………….223 9.1. Birinci Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler Sistemi………………………………………………………………………...…223 9.2. Karakteristik Denklem. Özdeğer, Özvektör ve Ek Vektörler……………………230 9.3. Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler Sisteminin Genel Çözümünün Bulunması………………………………………………………………………..237 9.4. Üstel Matris. Sabit Katsay ılı Lineer Sistemlerin Temel Çözümler Sistemi ….....243 9.5. Homojen Olmayan Sabit Katsayılı Lineer Denklemler Sistemi…………………250 Dokuzuncu Bölüme Ait Problemler………………………………………...…...253
10. Laplace Dönüşümü…………………………………………………………………..257 10.0. Bölümün Amacı………………………………………………………………...257 10.1. Laplace Dönüşümünün Tanımı…………………………………………………257 10.2. Laplace Dönüşümünün Varlığı İçin Yeter Koşul………………………………260 10.3. Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri……………………………………..262 10.4. Periodik Fonksiyonun ve Basamak Fonksiyonun Laplace Dönüşümü………...268 10.5. Dirak'ın Delta Fonksiyonu. Distribüsiyon Kavram ı……………………………274 10.6. İki Fonksiyonun Konvolüsyonu………………………………………………...277 10.7. Ters Laplace Dönüşümü………………………………………………………..280 10.8. Ters Laplace Dönüşümünün varlığı,Tekliği ve Hesaplanması…………………285 10.9. Laplace Dönüşümümünün Yardımıyle Lineer Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ………………………………………………………………………………287 Onuncu Bölüme Ait Problemler…………………………………………………293
11. Diferansiyel Denklemlerin Nitel Teorisine Giriş…………………………………...297 11.0. 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8.
Bölümün Amacı………………………………………………………………...297 Faz Düzlemi ve Faz Eğrileri…………………………………………………….297 Faz Ak ımı……………………………………………………………………….300 Denge Noktalar ı. Vektör Alanlar ı………………………………………………302 Liyapunof Anlamında Kararlaı Çözümler………………………………...……305 Lineer Sistemlerin Faz Eğrileri……………………………………………...…307 Lineer Olmayan Sitemlerin Denge Noktalar ı ve Faz Eğrileri……………….....317 Matematiksel Sarkacın Faz Düzlemi ve Faz Eğrileri………………………......320 Limit Çevrimler. Bendikson ve Poinkare-Bendikson Teoremleri………...……323 Onbirinci Bölüme Ait Problemler………………………………… ……...…...329
Diferansiyel Denklemler Teorisinin K ısa Tarihi………………………...…...335 Cevaplar…………………………………………………………………….... ..343 Kaynakça…...…………………………………………………………………..351 Dizin….…………………………………………………………………………353