2004
Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları ¨ Mustafa Ozdemir ˙ cindekiler I¸ cindekiler
Temel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tam Diferensiyel Denklemler ........................................................4 Ayrılabilir Diferensiyel Denklemler ............... ...................................7 Homo jjeen Di Difernsiyel De Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Lineer Di Diferensiyel De Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 Bernoulli Diferensiyel Denklemler ................. .................................19 I˙ ntegrasyon C ¸arp ¸arpanının Belirlenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ˙ de˘gi¸ Iki gi¸skenli skenli lineer li neer katsayılı katsayıl ı diferensiyel dif erensiyel denklemlerin denklem lerin ¸c¨oz¨ oz¨ um¨ um¨ u ......................27 Riccati Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 E˘gri gri Aileler Ail elerini inin n y¨or¨ or¨ungelerinin Den Denkleminin bul bulunması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Clairaut Diferensiyel Denklemleri ................. ................................. 37
1
˙ Diferensiyel Denklemlerle Ilgili Temel Bilgiler Soru 1: A¸ A¸ sa˘ gıdaki gıdaki diferensi diferensiyel yel denklemle denklemlerin rin adi-kısm adi-kısmii olup olmadı˘ olmadı˘ gını, gını, mertebesini, lineer olup olmadı˘ gını, lineer is katsayısının t¨ gını, ur¨ ur¨ un¨ un¨ u belirtiniz.
d2 y a) + x3 y xex = 0 2 dx d3 y d2 y dy b) + 2 2y = 0 dx3 dx2 dx dr 3 d2 r c) = +1 dθ dθ 2 ∂ 2 u ∂ 2 u d) + 2 =1 ∂x 2 ∂y 2 ∂ y ∂ 3 y e) + + x sin y = 0 ∂x 2 ∂z 3 5 d4 y d2 y f) +3 + 5y 5y = 0 dx4 dx2 dr g) = rθ dθ h) y h) y + xy = xy = sin y ∂ 2 y ∂ y i) + + y sin x = 0 ∂x 2 ∂z C ¸¨ oz¨ oz¨ um um : a) 2.mertebeden, de˘gi¸ gi¸sken sken katsayılı lineer adi diferensiyel diferen siyel denklem. de nklem. b) 3.mertebeden,sabit katsayılı lineer adi diferensiyel denklem. c) 2.mertebeden, lineer olmayan adi diferensiyel denklem. d) 2.mertebeden, sabit katsayılı lineer kısmi diferensiyel denklem. e) 3.mertebeden, lineer olmayan kısmi diferensiyel denklem.
− − −
√
f ) 4.mertebeden, 4.mertebeden, lineer olma olmayan yan adi diferensiy diferensiyel el denklem. denklem. g) 1.mertebeden, 1.mertebeden, lineer olmayan olmayan adi diferensiy diferensiyel el denklem. denklem. h) 2.mertebeden, 2.mertebeden, lineer olma olmayan yan adi diferensiy diferensiyel el denklem. denklem. i) 2.mertebeden, de˘gi¸ gi¸sken sken katsayılı lineer l ineer kısmi diferens d iferensiyel iyel denklem. denk lem.
Soru 1: (y
( x − c2 )2 = 1 denklemindeki − c1)2 + (x denklemindeki sabitleri yok ederek diferensiyel diferensiyel
denklem denk lem olu¸sturunuz. stur unuz.
Denklemin x de˘gi¸ gi¸skeni ske nine ne g¨ore ore iki kez t¨urevini urevini alalım. C ¸¨ oz¨ oz¨ um um : Denklemin x
− c1 ) y + 2 ( x − c2 ) = 0 2y y + 2 (y − c1 ) y + 2 = 0
2 (y
olur. Son denklemden denklemden c c 1 sabitini yalnız bırakırsak, 1 + (y ( y )2 + yy c1 = y 2
˙ Diferensiyel Denklemlerle Ilgili Temel Bilgiler Soru 1: A¸ A¸ sa˘ gıdaki gıdaki diferensi diferensiyel yel denklemle denklemlerin rin adi-kısm adi-kısmii olup olmadı˘ olmadı˘ gını, gını, mertebesini, lineer olup olmadı˘ gını, lineer is katsayısının t¨ gını, ur¨ ur¨ un¨ un¨ u belirtiniz.
d2 y a) + x3 y xex = 0 2 dx d3 y d2 y dy b) + 2 2y = 0 dx3 dx2 dx dr 3 d2 r c) = +1 dθ dθ 2 ∂ 2 u ∂ 2 u d) + 2 =1 ∂x 2 ∂y 2 ∂ y ∂ 3 y e) + + x sin y = 0 ∂x 2 ∂z 3 5 d4 y d2 y f) +3 + 5y 5y = 0 dx4 dx2 dr g) = rθ dθ h) y h) y + xy = xy = sin y ∂ 2 y ∂ y i) + + y sin x = 0 ∂x 2 ∂z C ¸¨ oz¨ oz¨ um um : a) 2.mertebeden, de˘gi¸ gi¸sken sken katsayılı lineer adi diferensiyel diferen siyel denklem. de nklem. b) 3.mertebeden,sabit katsayılı lineer adi diferensiyel denklem. c) 2.mertebeden, lineer olmayan adi diferensiyel denklem. d) 2.mertebeden, sabit katsayılı lineer kısmi diferensiyel denklem. e) 3.mertebeden, lineer olmayan kısmi diferensiyel denklem.
− − −
√
f ) 4.mertebeden, 4.mertebeden, lineer olma olmayan yan adi diferensiy diferensiyel el denklem. denklem. g) 1.mertebeden, 1.mertebeden, lineer olmayan olmayan adi diferensiy diferensiyel el denklem. denklem. h) 2.mertebeden, 2.mertebeden, lineer olma olmayan yan adi diferensiy diferensiyel el denklem. denklem. i) 2.mertebeden, de˘gi¸ gi¸sken sken katsayılı lineer l ineer kısmi diferens d iferensiyel iyel denklem. denk lem.
Soru 1: (y
( x − c2 )2 = 1 denklemindeki − c1)2 + (x denklemindeki sabitleri yok ederek diferensiyel diferensiyel
denklem denk lem olu¸sturunuz. stur unuz.
Denklemin x de˘gi¸ gi¸skeni ske nine ne g¨ore ore iki kez t¨urevini urevini alalım. C ¸¨ oz¨ oz¨ um um : Denklemin x
− c1 ) y + 2 ( x − c2 ) = 0 2y y + 2 (y − c1 ) y + 2 = 0
2 (y
olur. Son denklemden denklemden c c 1 sabitini yalnız bırakırsak, 1 + (y ( y )2 + yy c1 = y 2
olur. Bu ifadeyi birinci t¨urevde urevde yerine yazıp c2 yi bulalım. 2 y 2 (x
−
1 + (y (y )2 + yy y
y +
sit li˘ginden ginden − c2) = 0 e¸sitli˘ y − (y )3 + xy − c2 = y
bulunur. c bulunur. c 1 ve c ve c 2 sabitlerini ilk denklemde yerine yazalım.
y
−
1
+ (y (y )2
+ yy
y
2
+
(y )3
y
− − x−
+ xy
y
2
=1
e¸sitl si tli˘ i˘ginde ginde gerekli sadele¸stirmeler stirmel er yapılırsa, yapıl ırsa,
1 + (y ( y )2
2
+
y
+ (y (y )3
2
= y
diferensiyel denklemi elde edilir.
ALIS AL IS¸ TIRM TI RMAL ALAR AR A¸ sa˘ gıda g ıdaki ki de denk nkle leml mler erde deki ki olu¸ ol u¸ stur st urunu unuz. z.
sabi sabitl tler erii
yok
a) y a) y = c = c 1 e−2x + c2 e3x b) (x c)2 + y 2 = c 2 c) y c) y 2 = 4cx 4 cx d) y d) y = x = x 2 + c1 ex + c2 e3x e) y e) y = c = c 1 e2x cos3x cos3x+c2 e2x sin3x sin3x
−
Cevapla Cev aplar r:
a) y a) y y 6y = 0 b) x2 y2 dx + dx + 2xydy 2 xydy = = 0 c) 2xdy ydx = ydx = 0 d) y d) y 5y + 6y 6y = 6x2 10 10x x + 2 e) y e) y 4y + 13y 13y = 0
−− − − −
−
−
3
eder ed erek ek
dife difere rens nsiy iyel el
denk de nkle lem m
Tam Diferensiyel Denklemler
¨z¨ un¨ uz. Soru 1 : 2xydx + x2 + cos y dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ∂M ∂N C ¸¨ oz¨ um : M = 2xy ve N = x 2 + cos y oldu˘gundan, = 2x = oldu˘ gundan denklem ∂y ∂x bir tam diferensiyel denklemdir. Dolayısıyla ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, M = ∂U ∂U = 2xy ve N = = x 2 + cos y ’dir. ∂x ∂y ∂U = 2xy e¸sitli˘gini x de˘gi¸skenine g¨ore integre edersek, U (x, y) = x 2 y + ϕ (y) elde edilir. ∂x ∂U Ayrıca, = x 2 + ϕ (y) = x 2 + cos y e¸sitli˘ginden ϕ (y) = cos y ve ϕ (y) = sin y + c1 elde ∂y edilir. B¨oylece, U (x, y) = x2 y + sin y + c 1 = c2 ve istenen genel ¸co¨z¨um x2 y + sin y = c olarak bulunur.
xy 2 1 y = Soru 2 : diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz. 1 x2 y y (0) = 1 C ¸¨ oz¨ um : Denklem d¨ uzenlenirse
−
−
− − − − xy2
olur. Buradan, M = xy 2
1 dx + x2 y
1 ve N = x2 y
1 dy = 0
1 i¸cin,
∂M ∂N = 2xy = ∂y ∂x
oldu˘ gundan denklem bir tam diferensiyel denklemdir. Dolayısıyla ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, M =
’dir.
∂U = xy 2 ∂x
∂U = xy 2 ∂x
−
−
1 ve N =
∂U = x2 y ∂y
− 1
1 e¸sitli˘gi x ’e g¨ore integre edilirse, ∂U dx = ∂x
− xy 2
1 dx
x2 y 2 ve U (x, y) = x + ϕ (y) = c bulunur. 2 ∂U Ayrıca, N = = x2 y 1 oldu˘gu g¨ oz ¨on¨ une alınırsa, yx 2 +ϕ (y) = yx 2 1 e¸sitli˘ginden, ∂y ϕ (y) = 1 ve ϕ (y) = y + c bulunur. B¨oylece,
−
−
−
−
−
x2 y 2 U (x, y) = 2 4
− x − y = c
elde edilir. y (0) = 1 ’den x = 0 ve y = 1 yerine yazılırsa, c = denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u x2 y 2 2
−1 bulunur. O halde
− x − y + 1 = 0
olur.
Soru 3 :
− −
dr r 2 sin θ = dθ 2r cos θ 1 θ (2) = π
C ¸¨ oz¨ um : (2r cos θ r2 sin θ i¸cin
−
− 1) dr
diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz.
r2 sin θ dθ = 0 denkleminde M = (2r cos θ
,
∂M = ∂θ
− 1) ve N =
−2r sin θ = ∂N ∂r
oldu˘ gundan denklem bir tam diferensiyel denklemdir. Dolayısıyla ¨oyle bir U (r, θ) fonksiyonu vardır ki, M = ’dir.
∂U = (2r cos θ ∂r
=− − 1) ve N = ∂U ∂θ
r 2 sin θ
− 1) e¸sitli˘gini r ’ye g¨ore integre edersek,
∂U dr = ∂r
(2r cos θ
− 1) dr ve U (r, θ) = r 2 cos θ − r + ϕ (θ) = c
∂U = r 2 sin θ oldu˘g u g¨ oz ¨on¨une alınırsa, ∂θ r2 sin θ e¸sitli˘ginden, ϕ (θ) = 0 ve ϕ (θ) = c bulunur. B¨oylece,
bulunur. Ayrıca, N =
−
∂U = (2r cos θ ∂r
−
U (r, θ) = r 2 cos θ
−r2 sin θ + ϕ (θ) =
− r = c
elde edilir. θ (2) = π ’den r = 2 ve θ = π yerine yazılırsa, c = halde denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u
−4 − 2 = −6 bulunur. O
r 2 cos θ
− r + 6 = 0
olur.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki tam diferensiyel denklemleri ¸c¨ oz¨ un¨ uz
−
a) 3x (xy 2) dx + x3 + 2y dy = 0 b) 2x3 xy 2 2y + 3 dx x2 y + 2x dy = 0
− − − c) (2xy − y) dx +
x2 + x dy = 0
5
d) [2x + y cos(xy)] dx + x cos(xy) dy = 0 e) (r + sin θ cos θ) dr + r (cos θ + sin θ) dθ = 0 f) 2xy cos x2 2xy + 1 dx + sin x2 x2 dy = 0 g) sin θ 2r cos2 θ dr + r cos θ (2r sin θ + 1) dθ = 0 h) (2xy tan y) dx + x2 x sec2 y dy = 0
− − − − − − − −
i) w2 + wz 2 j)
z dw + z 3 + w 2 z
w dz = 0
Cevaplar :
a)x3 y b) x 4
− 3x2 + y2 = c − x2y2 − 4xy + 6x = c
c) y (x + 1) 3 = cx d) x2 + sin (xy) = c e) r 2 + 2r (sin θ cos θ) = c f) y sin x2 x2 = c x g) r sin θ r 2 cos2 θ = c
− − − −
h) x 2 y
−
x tan y = c
i) w2 + z 2
2
= 4wz + c
6
Ayrılabilir Diferensiyel Denklemler dy + 2x 2x sin y = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dx dy C ¸¨ oz¨ um : cos y + 2x (1 sin y) = 0 denkleminin her tarafını cos y ile b¨olersek, dx
Soru 1 : cos y
−
−
dy = dx
−2x (1 −cossiny y)
ve d¨ uzenlersek cos y dy + 2xdx = 0 1 sin y
−
ayrılabilir dif. denklemi elde edilir. Buradan,
− ln |1 − sin y| + x2 + c = 0 e¸sitli˘ginden 1
2
− sin y = ex +c
bulunur.
Soru 2 : (xy + 2x + y + 2) dx + x2 + x dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : Katsayıları ¸carpanlarına ayırırsak, (x + 1) (y + 2) dx+(x + 1) xdy = 0 elde edilir. Buradan, aynı de˘gi¸skeni i¸ceren ifadeleri bir araya getirmek i¸cin her tarafı (y + 2) (x (x + 1)) ile b¨olersek, dx dy + =0 x y + 2 elde edilir. Bu denklemin integre edilmesiyle ln x + ln y + 2 = ln c veya x (y + 2) = c bulunur.
||
|
|
dy = (x + y + 1) 2 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dx dy du du C ¸¨ oz¨ um : x + y + 1 = u ve 1 + = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u ile denklem = u2 + 1 olur. Bu dx dx dx 1 ayrılabilir diferensiyel denklemdir. 2 du = dx ’in integre edilmesiyle arctan u = x + c u +1 ve buradan arctan (x + y + 1) = x + c veya tan (x + c) = x + y + 1 elde edilir.
Soru 3 :
Soru 4 : sin x cos ydx + cos x sin ydy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um 4 : Bu denklemin bir tam diferensiyel denklem oldu˘gu g¨or¨ulerek ¸c¨oz¨ulebilir. Fakat, aynı zamanda bu denklem bir de˘gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemdir. Ger¸cekten her tarafı cos x cos y ile b¨olersek, 7
sin x sin y dx + dy = 0 cos x cos y elde edilir. Bu denklemin integre edilmesiyle cos x cos y = c elde edilir.
− ln |cos x| − ln |cos y|
=
− ln |c| veya
√ 2x + y + 1 diferensiyel denklemini ¸co¨z¨un¨uz. dy du du C ¸¨ oz¨ um 5 : 2x+y +1 = u, 2 + = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u ile, − 2 = 2√ u veya du = 2 (√ u + 1) Soru 5 : y =
dx dx dx elde edilir. Bu de˘gi¸skenlerine ayrılabilen bir diferensiyel denklemdir. integralini hesaplayalım. Bunun i¸cin
dx 1 du = u + 1
√
2dx
√ u + 1 = z , √ 1 du = dz d¨on¨u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulayalım. 2 u
Buradan, 1 du = 2 u + 1
√
1
z
−
1 z
− ln z) √ oldu˘ g u g¨ or¨ ulebilir. O halde, 2 (z − ln z) = 2x + c e¸sitli˘ginde z = 2x + y + 1 + 1 yerine z
dz = 2
− 1
dz = 2 (z
yazılırsa,
2 elde edilir.
√
2x + y + 1 + 1
− ln √ 2x + y + 1 + 1
= 2x + c
Soru 6 : y = cos (x + y) diferensiyel denklemini ¸c¨ oz¨ un¨ uz. dy du du C ¸¨ oz¨ um 6 : x +y = u , 1+ = d¨on¨ u¸su ¨m¨ u ile, 1 = cos u de˘gi¸skenlerine ayrılabilen dx dx dx diferensiyel denklem elde edilir. Buradan,
−
du = 1 + cos u
dx
du du = x + c bulunur. S¸imdi, integralini hesaplayalım, 1 + cos u 1 + cos u u du du u bunun i¸cin cos u = 2 cos2 1 ¨ozde¸sli˘gini kullanırsak, = ve = v u 2 1 + cos u 2 2cos2 2 d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ u ile e¸sitli˘ginden,
−
du
u = 2cos2 2
olur. B¨ oylece, tan v = x + c veya tan
dv = tan v cos2 v
x + y = x + c elde edilir. 2
Soru 7 : y = tan (x + y) diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dy du = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u ile denklemimiz C ¸¨ oz¨ um : x + y = u, 1 + dx dx 8
du dx
− 1 = tan u
olur. Buradan du = dx tan u + 1 ve du tan u + 1
x + c = bulunur .Sa˘g tarafın integrali
tan u = v , 1 + tan2 u du = dv d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ u ile
du = tan u + 1
dv (v + 1) (v 2 + 1)
olur. A B v + C 1 + 2 = v + 1 v +1 (v + 1) (v 2 + 1) ifadesinden A = 1/2, B = x + c =
1 2
dv v + 1
−1/2 ve C = 1/2 bulunur. B¨oylece, − 1 v − 1 dv = 1 ln (v + 1) − 1 2vdv + 1
2 v2 + 1 1 x + c = ln (v + 1) 2
−
2 4 v2 + 1 1 1 ln v 2 + 1 + arctan v 4 2
ve v = tan(x + y) ifadesini yerine yazarak 1 x + c = ln(tan (x + y) + 1) 2 genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunur.
y y2 dy Soru 8: = dx x (y 2
− 14 ln
2
dv v2 + 1
1 tan2 (x + y) + 1 + arctan (tan (x + y)) 2
− x2 − 1 diferensiyel − x2 + 1)
denklemini x = r cos θ ve y = r sin θ
d¨ on¨ u¸ su ¨ m¨ u yaparak ¸ c¨ oz¨ un¨ uz.
C ¸¨ oz¨ um : x = r cos θ ve y = r sin θ ifadelerinin diferensiyelini alırsak dx = cos θdr
− r sin θdθ
dy = sin θdr + r cos θdθ 9
olur. Bunları denklemde yerine yazalım.
2
r sin θ (r sin θ) sin θdr + r cos θdθ = cos θdr r sin θdθ r cos θ (r sin θ)2
−
2
−
− (r cos θ) 1 − (r cos θ)2 + 1
sadele¸stirmeler yapılırsa
sin θ r2 cos2θ + 1 sin θdr + r cos θdθ = cos θdr r sin θdθ cos θ (r 2 cos2θ 1)
−
−
ve buradan
(sin θdr + r cos θdθ)cos θ r2 cos2θ ¸carpımından
− 1 = sin θ
r2 cos2θ + 1 (cos θdr
− r sin θdθ) :
sin θr 2 cos θ cos2θdr + r 3 cos θ cos2θ cos θdθ
− cos θ sin θdr − r cos2 θdθ = r 2 sin θ cos2θ cos θdr + sin θ cos θdr − r3 sin θ cos2θr sin θdθ − r sin2 θdθ ve buradan
− sin2θdr +
− r3
r cos2θdθ = 0
de˘ gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir. O halde, 2dr r3
−r
cos2θ dθ sin2θ
=2
e¸sitli˘ginin intergarsyonu ile, ln c + ln sin2θ =
||
| −2
|
’den
dr + r
dr
r
r2 1 ln c sin2θ = ln r2
|
|
veya c sin2θ = bulunur. c2r sin θr cos θ = r2 oldu˘ gundan,
dr r + 1
− −
1
+
r2 1 r2
−
− 1 denkleminden x = r cos θ, y = r sin θ ve r2 = x2 + y 2 10
c2xy = x2 + y 2
−1
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
Soru 9 : y (1 + xy) dx + x (1 xy) dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : xy = u , xdy + ydx = du d¨on¨u¸su ¨ m¨ u uygulayalım. Bu durumda, denklem
−
u (1 + u) dx + x (1 x
− u) xdu x−2 udx = 0
haline gelir. Bu denklem d¨uzenlenirse, u (1 + u) dx + (1 u) (xdu udx) = 0 u2 dx + (1 u) xdu = 0
− −
−
ayrılabilen diferensiyel denklemi elde edilir. Buradan, dx 1 u + du = 0 x u2 dx du du + 2 =0 x u u
−
−
integralini alırsak,
| | − u1 − ln |u| = c
ln x
ln
x 1 = c + u u 1 x = e c+ u u 1 1 c+ xy = e y
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki de˘ gi¸ skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemleri ¸ c¨ oz¨ un¨ uz.
a) y = e 2x−y b) 2x (y + 1) dx
− ydy = 0,
y (0) =
c) x 2 yy = e y d) dr = a (cos θdr + r sin θdθ) e) ye2x dx = 4 + e2x dy f) y ln x ln ydx + dy = 0 g) (1 + ln x) dx + (1 + ln y) dy = 0
−2
h) e2x + 4 y = y 11
Cevaplar
a) 2ey = e 2x + c b) x 2 = y ln y + 1 + 2 c) x (y + 1) = (1 + cx) ey d) r = c (1 a cos θ)
− |
|
−
e) c 2 y 2 = 4 + e2x f) x ln x + ln ln y = x + c g) x ln x + y ln y = c h) y 8 1 + 4e−2x = c 2
| |
12
Homojen Diferensiyel Denklemler
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 birinci mertebeden diferensiyel denklemini g¨oz ¨on¨ une alalım. dy y E˘ ger bu denklemi + g = 0 formunda yazabilirsek bu denklem homojen bir diferendx x y siyel denklemdir. Bu t¨ur denklemleri ¸c¨ozmek i¸cin = u d¨on¨u¸su ¨ m¨ u uygulanarak denklem x ayrılabilen diferensiyel denkleme d¨on¨ u¸st¨ ur¨ ul¨ur.
Soru 1 : co ¸ ¨z¨ un¨ uz.
y y 2x sinh + 3y cosh dx x x
y 3x cosh dy = 0 diferensiyel denklemini x
−
C ¸¨ oz¨ um : Denklem birinci dereceden homojen bir diferensiyel denklemdir. Denklemin her tarafını x b¨olelim ve y = ux, dy = xdu + udx d¨on¨ u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulayalım.Bu durumda denklem, (2 sinh u + 3u cosh u) dx 3cosh u (udx + xdu) = 0 2sinh udx 3x cosh udu = 0
−
−
ayrılabilir diferensiyel denklemine d¨on¨ u¸su ¨ r. 2 dx x denklemini integre ederek, 2 ln x
u du = 0 − 3 cosh sinh u
− 3 ln(sinh u) = ln c veya x 2 = c sinh3 xy bulunur.
Soru 2 : (x y ln y + y ln x) dx + x (ln y C ¸¨ oz¨ um : Denklem d¨uzenlenirse,
−
− ln x) dy = 0
x x + y ln y
dx
− x ln xy dy = 0
veya
x x + ln y y
homojen diferensiyel denklemi elde edilir.
dx
− xy ln xy dy = 0
x = u , dx = udy + ydu d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulanırsa, y
(u + ln u) (udy + ydu) u ln udy = 0 u2 dy + y (u + ln u) du = 0
−
ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir. 13
dy (u + ln u) + du = 0 y u2 (u + ln u) ln u du = ln u + du u2 u2
||
1 1 1 son integralde kısmi integrasyon uygulayalım, ln u = w, 2 du = dv, ve du = dw, = v u u u d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ unden ln u du = wv u2
oldu˘ gundan
−
vdw =
−lnuu +
−
du = u2
− lnuu − u1
dy (u + ln u) + du = 0 ifadesinin integrasyonundan y u2
| | − lnuu − u1 = c
ln y + ln u
||
veya u =
x i¸cin y
| | − y ln xy = cx + y
x ln x genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunur.
Soru 3 : y
x2
+ y 2 dx
− −
x2 + y 2 dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz.
x x +
C ¸¨ oz¨ um : Her tarafı x 2 ile b¨olelim. Bu durumda denklem y x
y x
1+
2
dx
1+
1+
y x
2
dy = 0
olur. Bu homojen denklemde, y = ux ve dy = xdu + udx d¨on¨ u¸su ¨ m¨ uyle
√ u 1 + u2 dx −
√ 1 + 1 + u2
(xdu + udx) = 0
denklemi elde edilir. Gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa,
veya
√ 1 + 1 + u2
1 + u
√ 1 + u2 u
xdu + udx = 0
14
du +
dx =0 x
√
1 + u2 olur. du integralini hesaplayalım. Bunun i¸c in, 1 + u2 = v 2 , 2udu = 2vdv u d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulanırsa,
√
v2 v 2 dv dv = = dv + u2 v2 1 1 1 1 = v + dv dv 2 v 1 v + 1
1 + u2 du = u
1
− − − − √ √ − | − | √ | | √ √ − √
1 v 1 = v + ln = 2 v + 1
1 + u2
v2
1 + u2
1 + ln 2
1
1
1 + u2 + 1
bulunur. Buna g¨ore, diferensiyel denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u
ln u +
ve
y = u oldu˘gundan, x y 1 ln + x x
1 + u2
x2
1 + ln 2
+ y 2
1 + ln 2
bulunur.
1 + u2 1 + u2
x2
1
= ln cx
+1
+ y 2
− x
x2 + y 2 + x
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki homojen diferensiyel denklemleri ¸c¨ oz¨ un¨ uz.
− − − − − − −
a) x2 xy + y 2 dx xydy = 0 b) (xy) dx + x2 + y 2 dy = 0
−
c) (xy) dx x2 + 3y 2 dy = 0 d) (x y) (4x + y) dx + x (5x y) dy = 0 y e) x csc y dx + xdy = 0 x f) xdy ydx- x2 y2 dx = 0
−
g) x3 + y 3 dx + 3xy 2 dy = 0 h) ydx = x +
y2
x2 dy
Cevaplar :
y a) (y x) e x = c b) y 2 2x2 + y 2 = c y c) x 2 = 6y 2 ln c
−
15
= ln cx
dv
d) x (x + y)2 = c (y x y e) ln = cos c x
2x)
− y
f) cx = e arcsin x g) x 4 + 4xy 3 = c x y h) arcsin = ln y c
16
Lineer Diferensiyel denklemler dy + P (x) y = Q (x) formundaki lineer diferensiyel denklemlerde η = e P (x)dx intedx grasyon ¸carpanıdır ve genel ¸c¨oz¨ um y = e
−
P (x)dx
Q (x) e
P (x)dx
dx + c
((*L*))
e¸sitli˘giyle hesaplanabilir.
Soru 1 . y = csc x y cot x diferensiyel denklemini ¸ c¨ oz¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : y + y cot x = csc x lineer bir diferensiyel denklemdir. P (x) = cot x ve Q (x) = csc x ifadeleri (*L*) denkleminde yerine yazarsak,
−
y = e − e¸sitli˘ginden
cot xdx =
cot xdx
cot xdx
csc xe
dx + c
cos x 1 dx = ln sin x ve csc x = oldu˘ gu g¨ oz¨ on¨ une alnırsa, sin x sin x
|
1 y = sin x
|
1 1 sin xdx + c = (x + c) sin x sin x
bulunur.
−
x2 dx + dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dy + 2xy = 2x3 lineer diferensiyel denklemi elde edilir. C ¸¨ oz¨ um : Denklem d¨uzenlenirse, dx 3 P (x) = 2x ve Q (x) = 2x ifadelerini y = e− P (x)dx Q (x) e P (x)dx dx + c de yerine yazarsak,
Soru 2 : 2x y
y = e −
2xdx
2
2x3 e
2xdx
2
dx + c = e −x
2
ex 2x3 dx + c
bulunur. ex 2x3 dx integralini hesaplayalım. Bunun i¸cin x2 = s, 2xdx = ds d¨on¨ u¸su ¨myle ex 2x3 dx = es sds elde edilir. Kısmi integrasyon uygularsak, s = u, es ds = dv den es = v ve ds = du e¸sitliklerini yazarsak, 2
udv = uv
−
vdu = ses
−
−
ex + c
elde edilir. B¨oylece dif. denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u, 2
y = e −x
2
x2 ex
17
es ds = se s
2
− es
elde edilir. dx y2 + xy = 2y 2 + 1 Soru 3 : dy y (2) = 1
diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz.
dx x 2y2 + 1 C ¸¨ oz¨ um : Her ile b¨olersek x de˘gi¸skenine g¨ore lineer + = diferensiyel dy y y2 1 2y2 + 1 denklemi elde edilir. P (y) = ve Q (y) = oldu˘ gundan, y y2 tarafı y 2
x = e
1 dy − y
x =
x =
1 y
1 y
2y +
1 y2
1 2y2 + 1 y dy e dy + c y2
2y 2 + 1 ydy + c y2 1 2 dy + c = y + ln y + c y
bulunur. x = 2 ve y = 1 yazılırsa, 2 = 1 + 0 + c e¸sitli˘ginden c = 1 bulunur. B¨oylece dif. denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u yx = y 2 + ln y + 1 olur.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemleri ¸c¨ oz¨ un¨ uz.
a) ydx + (3x xy + 2) dy = 0 b) 2 y 4x2 dx + xdy = 0 c) y = x 2y cot2x dy d) n, m R olmak u ¨ zere my = ne mx dx e) dy = (x 3y) dx
− − − ∈ −
−
Cevaplar
a) xy 3 = 2y 2 + 4y + 4 + cey b) x 2 y = 2x4 + c c) 4y sin2x = c + sin 2x d) y = (nx + c) emx e) 9y = 3x 1 + ce−3x
− 2x cos2x
−
18
Bernoulli Diferensiyel Denklemi
− − −
Soru 1: 1 x2 y xy = axy 2 (a R) diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : Her tarafı y 2 1 x2 ile b¨olersek,
∈
y −2
dy dx
− 1 −x x2 y−1 = 1 −axx2
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. y −1 = u,
dy du = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u ile −y−2 dx dx
ux ax = − du − dx 1 − x2 1 − x2 veya x (u + a) = − du dx 1 − x2 diferensiyel denklemi elde edilir. Bu de˘gi¸skenlerine ayrılabilir bir dif. denklemdir. B¨oylece, du x + dx = 0 u + a 1 x2
−
denkleminin integrasyonu ile ln u + a
|
| − 12 ln 1 − x2 = ln c
veya
√ u + a = c 1 − x2 y −1
olur. lunur.
√ − −
= u yerine yazılarak dif. denklemin ¸c¨oz¨ um¨ uy= c 1
dy = cos y dx
x2
a
−1
olarak bu-
− x cos2 y diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz. dy du ¨ cos y = u , − sin y = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ un¨ u uygularsak, C ¸¨ oz¨ um : Oncelikle dx dx du = u − xu2 veya + u = xu 2 bulunur. Bu denklemin her tarafını u 2 ile b¨olersek, − du dx dx Soru 2 : sin y
u−2
du + u−1 = x dx 19
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. O halde u−1 d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ unden, dv v = x lineer diferensiyel denklemi elde edilir. B¨oylece, dx
−
= v,
−u−2 du dx
=
dv dx
−
−
(−1)dx
v = e x
−
v = e − (−1)dx e¸sitli˘ginden
( x) e
xe−x dx + c
dx + c
xe−x dx kısmi integrasyon ile x = m, e −x dx = dn ve dx = dm, e−x = n uygulanırsa mdn = mn ndm den xe−x dx = xe−x + e−x bulunur. B¨oylece
−
−
−
v = e x (xe−x + e−x + c)
ve cos y = u, u−1 = v oldu˘gu g¨ oz¨ on¨ une alınırsa cos y = (x + 1 + cex )−1 elde edilir. dy = 5x 3sin y diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dx dy du C ¸¨ oz¨ um : sin y = u, cos y = d¨on¨u¸su ¨m¨ u uygulanırsa, dx dx
Soru 3 : 2x2 cot y
−
2x2
du = 5xu dx
− 3u2
elde edilir. Her tarafı 2x2 ile b¨olersek 2
5xu 3u + = − du dx 2x2 2x2 olur. u 2 ile her tarafı b¨olersek 5 −1 3 + u = 2 −u−2 du 2x dx 2x Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. u −1 = v,
dv = d¨on¨u¸su ¨ m¨ unden, −u−2 du dx dx
dv 5 3 + v = dx 2x 2x2 lineer diferensiyel denklemi elde edilir. Buradan, 20
v = e
−
5 dx 2x
5 dx 3 − 2x dx + c = e ln|x| e 2 2x
5/2
x
3 ln|x| e 2x2
5/2
dx + c
e¸sitli˘ginden v = x −5/2 v = x −5/2
3 5/2 x dx + c 2x2
3 2 3/2 . x + c = x −5/2 x3/2 + c 2 3
ve (sin y)−1 = u −1 = v den (sin y)−1 = x −1 + cx−5/2 bulunur.
Soru 4 : 6y 2 dx = x 2x3 + y dy diferensiyel denklemini ¸c¨ oz¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : x 2x3 + y dx dx x x4 = e¸sitli˘ginden = + 2 elde edilir. Her tarafı x −4 ile b¨olerek 2 dy 6y dy 6y 3y
x−4
dx dy
− x−3 6y1 = 3y12
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. x −3 = u,
du = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ uyle −3x−4 dx dy dy
u 1 = 2 − 13 dy − dy 6y 3y veya dy u + = dy 2y
− 1y2
lineer diferensiyel denklemi elde edilir.
u = e
dy − 2y
−
dy
1 e 2y dy + c y2
e¸sitli˘ginden u = y −1/2
y −3/2 dy + c = y −1/2 21
−
2y −1/2 + c
ve x −3 = u e¸sitli˘ginden x−3 = y −1/2 bulunur.
Soru 5 : y
− 2xy = 2xex √ y ,
−
2y −1/2 + c
2
y (0) = 1 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. π 2π Soru 6 : xy + y = x 2 y 2 sin x , y = diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz. 3 3 ¨z¨ un¨ uz. Soru 7 : yy + y 2 cot x = csc 2 x diferensiyel denklemini ¸co dy cos x 1 C ¸¨ oz¨ um : y + y2 = denklemi bir Bernoulli diferensiyel denklemidir. y 2 = u, 2 dx sin x sin x dy du 2y = d¨on¨u¸su ¨ m¨ u ile denklem dx dx
du cos x 2 + 2u = dx sin x sin2 x lineer diferensiyel denklemine d¨on¨ u¸su ¨ r. P (x) = 2 u = e
−
2 cos x dx sin x
e¸sitli˘ginden
cos x 2 ve Q (x) = oldu˘gundan, sin x sin2 x
2 cos x dx 2 e sin x dx + c sin2 x
u = sin−2 x
2dx + c
y 2 sin2 x = 2x + c bulunur.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki verilen diferensiyel denklemlerin ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ u bulunuz.
a) y = y xy3 e−2x b) y tan x sin2y = sin2 x + cos2 y c) 2x3 y = y y 2 + 3x2 d) y = 1 + 6xex−y e) y 6y 2 x 1 dx + 6y3 dx = 0
−
− −
a) e 2x = y 2 x2 + c b) sin2 x + 3 cos2 y sin x = c c) y 2 (c x) = x 3 d) e x−y = 3x2 + c e) y 2 (6 + ce−x ) = x
−
22
˙ Integrasyon C ¸ arpanının Belirlenmesi M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 diferensiyel denklemi i¸cin ∂M ∂ N f (x)dx ∂y ∂x a) = f (x) , sadece x ’e ba˘glı bir fonksiyon ise η = e bir integrasyon N ¸carpanıdır. ∂M ∂ N g(y)dy ∂y ∂x b) = g (y) , sadece y ’ye ba˘glı bir fonksiyon ise η = e bir integrasyon M ¸carpanıdır. 1 c) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 denklemi homojen ise η = bir integrasyon M x + Ny ¸carpanıdır.
− −
−
Soru 1 : 2xy 4 ey + 2xy3 + y dx + x2 y 4 ey x2 y 2 3x dy = 0 diferensiyel denklemini co ¸ ¨z¨ un¨ uz. ∂M = 8xy 3 ey + 2xy 4 ey + 6xy2 + 1 ∂M ∂N = oldu˘ gundan tam diferensiyel C ¸¨ oz¨ um : ∂y ∂N ∂y ∂x 4 y 2 = 2xy e 2xy 3 ∂x de˘ gil.
−
∂M ∂y
−
−
−
− ∂∂xN = 8xy3ey + 8xy2 + 4
ve ∂M ∂y
− ∂∂xN M
=
4 = y
−g (y) (Sadece y ’ye ba˘glı bir fonksiyon)
O halde, η = e
g(y)dy
integrasyon ¸carpanıdır. Denklemi η =
x 1 2xey + 2 + 3 y y
= e
−4 dy y
= e −4 ln|y| =
1 y4
1 ile ¸carpılırsa, y4
dx + x2 ey
x 2 y2
− −
x 3 4 y
dy = 0
∂U tam diferensiyel denklemi elde edilir. O halde ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, = ∂x M ’dir.
23
U (x, y) =
x 1 2xey + 2 + 3 y y
dx = x 2 ey
x 2 x + + 3 + ϕ (y) y y
oldu˘ gundan, ∂U = x 2 ey ∂y
x 2 y2
− − 3 xy4 + ϕ (y) = N
e¸sitli˘ginden ϕ (y) = 0 ve ϕ (y) = c bulunur. Dolayısıyla, diferensiyel denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u x2 ey +
x 2 x + 3 = c y y
bulunur.
Soru 2 : x2 + y 2 + 2x dx + 2ydy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. ∂M = 2y ∂M ∂N ∂y = oldu˘ gundan tam diferensiyel de˘gil. C ¸¨ oz¨ um : ∂N ∂y ∂x =0 ∂x
∂M ∂y
− ∂∂xN = 2y
ve ∂M ∂y
− ∂∂xN N
= 1 = f (x) (Sadece x ’e ba˘glı bir fonksiyon)
O halde, η = e
g(x)dx
= e
dx
= e x
integrasyon ¸carpanıdır. Denklemi η = e x ile ¸carpılırsa,
ex x2 + y 2 + 2x dx + 2ex ydy = 0 tam diferensiyel denklemi elde edilir. O halde ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, N ’dir. U (x, y) = oldu˘ gundan,
2ye y dy = y 2 ex + ϕ (x)
∂U = y 2 ex + ϕ (x) = M ∂x 24
∂U = ∂y
e¸sitli˘ginden
ϕ (x) = e x x2 + 2x ve ϕ (x) =
ex x2 dx +
ex x2 + 2x dx =
ex 2xdx
(∗∗∗)
∗ ∗ ∗) i¸cin x 2 = u, 2xdx = du, exdx = dv ve e x = v denilirse, ϕ (x) = ex x2 + 2x dx = ex x2 dx + ex 2xdx = x 2 ex − ex 2xdx +
olur. (
bulunur. Dolayısıyla, diferensiyel denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u
ex 2xdx = x 2 ex
U (x, y) = y 2 ex + x2 ex = c bulunur.
− − −
Soru 3 : x2 y 2xy dx + 3x2 y x3 dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨ oz¨ un¨ uz. ∂M = x 2 4xy ∂M ∂N ∂y C ¸¨ oz¨ um : = oldu˘gundan tam diferensiyel de˘gil. Ayrıca ∂N ∂y ∂x 2 = 6xy 3x ∂x verilen denklem homojen bir diferensiyel denklemdir. O halde, integrasyon ¸carpanı
−
η =
1 = xM + yN x (x2 y
−
1 2xy) + y (3x2 y
− x3)
=
1 x2 y2
olur. Denklemi integrasyon ¸carpanı ile ¸carpıp d¨ uzenlersek, x
− 2y dx + 3y − x dy = 0 y2
xy
∂U tam diferensiyel denklemi elde edilir. O halde ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, = ∂x M ’dir. U (x, y) =
− − x
2y xy
1 y
dx =
2 x
dx =
x y
− 2 ln |x| + ϕ (y)
oldu˘ gundan, ∂U = ∂y e¸sitli˘ginden ϕ (y) = ¸co¨z¨um¨ u
− xy2 + ϕ (y) = N
3 ve ϕ (y) = 3 l n y bulunur. Dolayısıyla, diferensiyel denklemin y
||
x y
− 2 ln |x| + 3ln |y| = c 25
veya x y 3 + ln 2 = c y x bulunur.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki diferensiyel denklemler i¸ cin integrasyon ¸ carpanını buluarak, diferensiyel denklemi ¸ c¨ oz¨ un¨ uz
a) 4xy + 3y2 x dx + x (x + 2y) dy = 0 b) y (x + y + 1) dx + x (x + 3y + 2) dy = 0 c) y (x + y) dx + (x + 2y 1) dy = 0
−
−
a) η = x 2 , x3 4xy + 4y 2 x = c b) η = y, xy 2 (x + 2y + 2) = c c) η = e x , y (x + y
−
− 1) = ce−x
26
˙ de˘gi¸skenli Lineer Katsayılı Diferensiyel Denklemlerin Iki C ¸ ¨oz¨ um¨ u Soru 1 :(x + 2y 4)dx (2x + y 5)dy = 0. diferensiyel denklemini ¸ c¨ oz¨ un¨ uz. x + 2y 4 = 0 denklem sisteminin ¸c¨oz¨ um¨ unden x = 2 ve y = 1 bulunur. C ¸¨ oz¨ um : 2x + y 5 = 0 Dolayısıyla, x = u +2 ve y = v +1 d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u yapılırsa, diferensiyel denklem (u + 2v) du (2u + v) dv = 0 homojen diferensiyel denklemine d¨on¨u¸su ¨ r. u O halde, = z , du = zdv + vdz d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u yaparsak, v
−
− −
−
−
−
(z + 2) (zdv + vdz)
− (2z + 1) dv = 0
veya d¨ uzenlenirse
− z2
1 dv + v (z + 2) dz = 0
de˘ gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklem elde edilir. Yani, dv (z + 2) dz + =0 v z2 1
−
olur. Bu denklemi, dv A B + + =0 v z 1 z + 1
−
¸seklinde yazarsak, A + B = 1 ve A O halde integrasyon ile
− B = 2 denklemlerinden A = 32 ve B = − 12 bulunur.
3 ln v + ln z 2
||
| − 1| − 12 ln |z + 1| = ln |c|
veya v 2 (z elde edilir. z =
u x = v y
− 1)3 = c (z + 1)
− 2 yerine yazarsak −1 (x − y − 1)3 = c (x + y − 3)
¸co¨z¨um¨ u elde edilir.
Soru 2 : (2x + 3y 1) dx + (2x + 3y + 2) dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨ oz¨ un¨ uz. 2x + 3y 1 = 0 C ¸¨ oz¨ um : denklem sisteminin katsayıları orantılı oldu˘g undan bu 2x + 3y + 2 = 0 do˘ grular paraleldir ve sistemin ¸c¨oz¨ um¨ u yoktur. Dolayısıyla bir ¨onceki soruda uygulanan d¨ on¨ u¸su ¨ m uygulanamaz. Burada, 2x + 3y = v, 2dx + 3dy = dv d¨on¨ u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulanırsa,
− −
27
(v
− 1) dx + (v + 2)
dv
− 2dx 3
= 0
veya (v
− 7) dx + (v + 2) dv = 0
ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir.
− 7 + 9 dv = 0 v−7 9 dx + 1 + dv = 0 v−7 x + v + 9ln |v − 7| = c 1 dx +
v
olur. B¨oylece, x + y + 3 ln 2x + 3y
|
− 7| = c
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
Soru 3:
2x3 + 3y2
co ¸ ¨z¨ un¨ uz.
−7
3x2 dx
−
3x3 + 2y 2
−8
ydy = 0 diferensiyel denklemini
3 = u ve y 2 = v d¨ ¨ on¨ u¸su ¨m¨ u uygulayalım. Bu durumda denklem C ¸¨ oz¨ um : Oncelikle x
(2u + 3v
− 7) du − (3u + 2v − 8) dv = 0
2u + 3v 7 = 0 olur. denklem sisteminin ¸co¨z¨um¨ unden, u = 2 ve v = 1 bulunur. O 3u + 2v 8 = 0 halde u = m + 2 ve v = n + 1 d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulanırsa,
− −
(2m + 3n) dm
− (3m + 2n) dn = 0
homojen diferensiyel denklemi elde edilir.
m = z ve dm = zdn + ndz d¨on¨ u¸su ¨ m¨ unden, n
(2z + 3) (zdn + ndz)
− (3z + 2) dn = 0
veya
−
2 z2
1 dn + (2z + 3) ndz = 0
ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir. 2 2z + 3 dn + 2 dz = 0 n z 1 2 1 dz 5 dz dn + =0 n 2 z + 1 2 z 1
−
−
−
28
denkleminin integrasyonu ile 4 ln n
| | − ln |z + 1| + 5ln |z − 1| = ln |c|
bulunur. z =
u v
− 2 = x3 − 2 yerine yazılıp gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa, − 1 y2 − 1
x3
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
Soru 4: (x co ¸ ¨z¨ un¨ uz.
− y2 − 1 5 = c
x3 + y 2
−3
− 2sin y + 3) dx − (2x − 4sin y − 3)cos ydy
= 0 diferensiyel denklemini
C ¸¨ oz¨ um : sin y = u , cos ydy = du d¨on¨u¸su ¨ m¨ u yapılırsa, (x elde edilir.
− 2u + 3) dx − (2x − 4u − 3) du = 0
x 2u + 3 = 0 2x 4u 3 = 0
− − −
denklem sisteminin katsayıları orantılı oldu˘ gundan bu
do˘ grular paraleldir ve sistemin ¸c¨oz¨ um¨ u yoktur. Bu durumda x d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulayabiliriz. Bu durumda
dv = − 2u = v , 1 − 2 du dx dx
(v + 3) dx (2v 3) du = 0 2v + 6 du dv =2 =1 2v 3 dx dx
−
−
−
−
denkleminden 2v 3 dv = dx 4v + 3 9 1 dv = 2dx 4v + 3
−
− olur. Bu denklemin integrasyonu ile v
− 94 ln |4v + 3| = 2x + c1
veya 4v
− 9 ln |4v + 3| = 8x + c
olur. Ba¸slangı¸cta yaptı˘ gımız d¨on¸su ¨ mleri g¨oz¨ on¨une alırsak 4 (x
− 2sin y) − 9 ln |4 (x − 2sin y) + 3| = 8x + c 29
veya 4x + 8 sin y + 9ln (4x
− 8sin y + 3) = c
bulunur.
Soru 5 : (x C ¸¨ oz¨ um :
− y − 1) dx − (x + 4y − 1) dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co¨z¨un¨uz.
Soru 6 : y =
2x + y 1 diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz. 4x + 2y + 5
−
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki diferensiyel denklemleri ¸co ¨z¨ un¨ uz
a) (2x y) dx + (4x + y 6) dy = 0 b) (x 4y 3) dx (x 6y 5) dy = 0 c) (x y + 2) dx + 3dy = 0 d) (x + y 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = 0
− − − − − − − − − e) (x − 1) dx − (3x − 2y − 5) dy = 0, y (2) = 1 a) (x + y 3)2 = c (2x + y 4)2 b) (x 2y 1)2 = c (x 3y 2)
− − −
− − − c) x + c = 3 ln |x − y + 5 | d) x + 2y + c = 3 ln |x + y + 2 | e) (2y − x + 3)2 = 9 (y − x + 2)
30
Riccati Diferensiyel Denklemi y = A (x) y2 + B (x) y + c (x) tipindeki diferensiyel denklemlerde y1 bir ¨o zel ¸c¨oz¨ um 1 verilirse y = y 1 + d¨on¨u¸su ¨ m¨ u yapılarak genel ¸c¨oz¨ um bulunur. v
Soru 1 : y +y2 3y tan x+tan2 x 1 = 0 diferensiyel denkleminin bir ¨ ozel ¸ co ¨z¨ um¨ u y = tan x ise genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunuz. 1 dy 1 dv C ¸¨ oz¨ um : y = tan x + ve = 1 + tan2 x d¨on¨ u¸su ¨m¨ un¨ u uygulayalım.Bu duv dx v 2 dx rumda denklem
−
−
−
1 + tan2 x
−
1 dv 2 x + 1 + 2 tan x + tan v 2 dx v2 v
− 3tan2 x − 3v tan x + tan2 x − 1 = 0
olur. Sadele¸stirmeler yapılırsa, 1 + = tan x − v1 dx dx v veya dv + v tan x = 1 dx lineer diferensiyel denklemi elde edilir. P (x) = tan x ve Q (x) = 1 oldu˘ gundan,
− tan xdx
sin x dx = 1 cos2 x
−−
v = e
e
tan xdx dx + c
= sin x
dx + c sin x
olur. dx = sin x
−
1 2
du = 1 u2
du
1 2
du = u + 1
− − − 1
u
−
−
1 1 u ln 2 1 + u
Buna g¨ore, v = sin x bulunur.
− −
1 1 cos x ln + c = 2 1 + cos x y
−
1 tan x
Soru 2 : y = y 2 csc2 x+y cot x 1 diferensiyel denkleminin bir ¨ ozel ¸ co ¨z¨ um¨ u y = sin x ise genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunuz. 1 dy 1 dv C ¸¨ oz¨ um : y = sin x + ve = cos x d¨on¨ u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulayalım.Bu durumda v dx v 2 dx denklem
−
−
cos x
−
1 dv = v 2 dx
1 sin x sin x + 2 + 2 v v 2
31
1 + sin2 x
1 cos x sin x + v sin x
− 1
veya cos x
dv 1 2 cos x = 1 + 2 2 + + cos x + − v12 dx − 1 v sin x v sin x v sin x
olur. Gerekli sadele¸stirmeler yapılırsa,
dv + dx
2 + cos x sin x
v =
−1
sin2 x
lineer diferensiyel denklemi elde edilir. 2 + cos x 1 ve Q (x) = sin x sin2 x
−
P (x) = oldu˘ gundan, −
e
2+cos x dx sin x
= e
−
cos x + sin x
2 sin x dx
= e −(ln|sin x|+ln|1−cos x|−ln|1+cos x|)
(1 + cos x)2 = sin3 x
bulunur. O halde, (1 + cos x)2 v = sin2 x
−
1 sin3 x dx + c sin2 x (1 + cos x)2
olur. sin x dx = (1 + cos x)2
−
dw w −3 (1 + cos x)−3 = = ve v = w2 3 3 y
−
−
−
1 sin x
oldu˘ gu g¨ oz¨ on¨une alınırsa, 2
y
−
1 (1 + cos x) = sin x sin2 x
−3
(1 + cos x) 3
−
+ c
veya
y
−
3 = sin x
−
(1 + cos x)−1 + c (1 + cos x)2 2 sin x
genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunur.
Soru 3 : y =
−4
+ (3
− cot x) y + y2 sin x diferensiyel
denkleminin bir ¨ ozel
sin x 1 ise genel ¸co¨z¨um¨ u bulunuz. co ¸ ¨z¨ um¨ u y = sin x 1 1 dy cos x 1 dv + ve = d¨on¨u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulayalım. Bu durumda C ¸¨ oz¨ um : y = 2 sin x v dx v 2 dx sin x denklem
−
−
32
− cos x − sin2 x
1 dv 4 = + (3 v 2 dx sin x
−
− cot x)
1 1 + sin x v
+
1 1 + sin x v
2
sin x
veya sa˘g taraf d¨ uzenlenirse
− cos x − sin2 x
1 dv 5 = v 2 dx v
x cot x sin x − cot − v + v2 sin x
olur. Gerekli sadele¸stirmeler yapılırsa, dv + (5 dx
− cot x) v = − sin x
lineer diferensiyel denklemi elde edilir. P (x) = 5
v = e − (5−cot x)dx
− cot x ve Q (x) = − sin x oldu˘gundan,
− − −− ( sin x) e
(5−cot x)dx dx + c
v = e −5x+ln|sin x| ( sin x) e5x−ln|sin x| dx + c v = sin xe−5x e5x dx + c v =
ve v =
sin xe−5x
e5x + c 5
sin x oldu˘gu g¨ oz¨ on¨une alnırsa y sin x 1
−
1 y sin x
−1
−15 + ce−5x
=
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
33
E˘ gri ailelerinin y¨or¨ ungelerinin denkleminin bulunması Soru 1: 2xyy = y 2
− x2 diferensiyel denkleminin integral e˘grilerinin ortogonal
y¨ or¨ ungelerinin denklemini bulunuz.
C ¸¨ oz¨ um : y yerine
− y1 yazalım. Bu durumda, 2xy =
− x2
y 2 y homojen diferensiyel
denklemi elde edilir. Bu denklemin her tarafı x 2 ile b¨ol¨ un¨ urse y 2 = x olur.
−
y 2 dy x2 dx
1
y dy du = u , = u + x d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulanırsa, x dx dx
− u2
2u = 1
du u + x dx
− u3 − xu2 du dx du u3 + u = x 1 − u2 dx 2 1 − u du dx =
2u = u + x
du dx
x
u3 + u
ayrılabilir diferensiyel denklem elde edilir. 1 u2 A Bu + C u2 (A + B) + Cu + A = + 2 = u3 + u u u +1 u3 + u
−
e¸sitli˘ginden C = 0, A = 1 ve B =
−2 oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Dolayısıyla
− − 1
u2 du = u3 + u
du u
2udu = ln u u2 + 1
| | − ln u2 + 1 = ln
olur. B¨oylece diferensiyel denklemin genel ¸c¨ oz¨um¨ u
u2
u +1
u u ln x + ln c = ln 2 veya cx = 2 ’dir. u +1 u +1
||
Ayrıca,
||
y = u oldu˘gundan genel ¸co¨z¨um c y 2 + x2 = y olarak bulunur. x
Soru 2: Kutupsal koordinatlarda verilen r2 = 2c2 cos2θ lemniskat ailesinin ortogonal y¨ or¨ ungelerinin denklemini bulunuz.
¨ r2 = 2c2 cos2θ denkleminden sabit sayıyı yok ederek bu e˘gri ailesinin C ¸¨ oz¨ um : Oncelikle diferensiyel denklemini olu¸sturalım. bunun i¸cin t¨ urev alırsak, 34
2rr
=
−
4c2 sin2θ
ve c 2
=
−
rr 2sin2θ
ifadesi r 2 = 2c2 cos2θ denkleminde yerine yazılırsa,
r =
r cos2θ −sin2θ
veya r sin2θ = r cos2θ
−
diferensiyel denklemi elde edilir. Kutupsal koordinatlarda verilen e˘grilerin ortogonal r2 y¨ or¨ungelerinin denklemini bulmak i¸cin r yerine yazılır. O halde r
−
−r2 = − tan2θ
rr r = tan2θ r dr = cot2θdθ r 2 ln r = ln sin2θ + 2ln c r2 = c 2 sin2θ
||
|
|
||
olarak bulunur.
ALIS¸TIRMALAR 1. A¸ sa˘ gıdaki dik koordinatlarda verilen e˘ g ri y¨ or¨ ungelerinin diferensiel denklemlerini bulunuz.
ailelerinin
ortogonal
a) y 2 = cx 3 b) x = ce y c) x 2 y2 = cx x3 d) y 2 = a x e) y = c 1 (sec x + tan x) 2
−
−
2. A¸ sa˘ g ıdaki kutupsal koordinatlarda verilen e˘ gri ailelerinin ortogonal y¨ or¨ ungelerinin diferensiel denklemlerini bulunuz.
a) r = a (1 + cos θ) b) r = a cos2 θ c) r 2 = a sin2θ d) r 2 cos2θ = c 1 e) r = a 1 + sin2 θ
Cevaplar
35
1. a) 2x2 + 3y 2 = m 2 2
b) y = c 1 e−x c) y y2 + 3x2 = c 1
d) x2 + y 2
2
= b 2x2 + y 2
e) y 2 = 2 (c2 sin x) 2. a) r = b (1 cos θ) b) r 2 = b sin θ c) r 2 = b cos2θ d) r 2 sin2θ = c 2 e) r 2 = b cos θ cot θ
− −
36
