Casos y problemas
resueltos
Inferencia Estadística no paramétrica Estadísticas de asociación Contrastes con Chi-cuadrado
Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y problemas resue ltos Inferencia Estadística no paramétrica: contraste de asociación con Chicuadrado Patricio Alcaíno Martínez – erechos !eser"ados
#
Palabras iniciales Estimado Estimados s us usua ua ri@s @s:: Este material que pongo a su disposición, está elaborado a partir de la recreación de casos e investigaciones reales en distintos ámbitos de las Ciencias Sociales. Los datos y situaciones pueden haber sido cambiados para adecuarlos a contetos de ense!an"a aprendi"a#e. $or ello, %uera del ámbito de este documento, la in%ormación y conclusiones a las que llegan los casos anali"ados no son necesariamente válidas ni pueden servir de re%erencia para otras construcciones. Este volumen está dirigido a e#ercitar el contraste de asociación entre variables categóricas con Chi&cuadrado. Chi&cuadrado. El lector deberá mane#ar los conceptos y procedimientos elementales de contraste de hipótesis y ehibir competencia en el cálculo de probabilidades con la tabla de la distribución Chi&cuadrado. $ara traba#ar con este material el usuario deberá hacer uso de calculad calculadora ora cient'%i cient'%ica, ca, demostran demostrando do capacida capacidad d para operar operar con habilidad con la misma. Este material está concebido con %ines educativos educativos no comerciales y
Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y p roblemas resueltos Inferencia $o paramétrica: Contrastes de asociación de "aria%les cate&óricas Patricio Alcaíno Martínez – erechos !eser"ados
Caso
1: Estado
civil y síntomas depresivos
(o%re la %ase de los resultados de un estudio) se ha afirmado *ue las madres cas adas presentan menos síntomas de depresión *ue las solteras+ En una muestra de mu,eres de .-/ a0os con hi,o) se reca%ó la si&uiente información) en n1mero de casos) desa&re&adas por estado ci"il:
ESTAD C!"!#
S$%TMAS DEPRES!"S
Total
(í
$o
Casadas
23
'
74
(olteras
.'
#7
#5
Total
#.
#3.
'.4
++ Contraste) con estos datos 6 un de si&nificación) la hipótesis de *ue el síntoma depresi"o de las mu,eres est8 asociado a su estado ci"il+ Constru6a sus conclusiones respecto del caso+ +#+ 9ué si&nifica) en este conte;to) cometer error de tipo II<
(olución: ++ (ituación típica de resol"er a tra"és del contraste de hipótesis de asociación con la prue%a Chi-cuad rado+ =a muestra es lo suficientemente &rande como para utilizar Chi- cuadrado de Pearson) esto es) sin corrección por continuidad de >ates+ (i&nificación: α ? 5)5
@ipótesis:
'
Caso
2:
Consumo de cocaína y terapia
En cierta uni"ersidad de F(A) se realizó un estudio con .7 consumidores compulsi"os de cocaína) los *ue fueron aleatoriamente asi&nados a acupuntura auricular o a terapia de rela,ación sin acupuntura+ urante el estudio) los su,etos fueron sometidos a e;8menes de orina para detectar la presencia de cocaína en el or&anismo+ e 5' su ,etos asi&nados a tratamiento de auriculopuntura) '3 presentaron e"idencia de cocaína en la orina) mientras *ue entre los sometidos a rela,ación) 3 de un total de .2+ #+-+ A un ni"el de si&nificación del ) contraste la hipótesis de *ue el consumo de cocaína durante el estudio resultó asociado al tipo de tratami ento+
(olución: (e trata de contrastar la posi%le asociación entre dos "aria%les cate&óricas) dicotómicas: E"idencia de cocaína en la orina: (í – $o
Gratamiento: Auriculopuntura – Gerapia de r ela ,ación Es aplica%le una prue%a de hipótesis de asociación con la Chi-cuadr ado+ Primeramente se lle"ar8n los datos a una ta%la de contin&encia #;#+
TRATAM!E%T
Cocaína en la orina
Total
(í
$o
Auriculopuntura
'3
4.
5'
!ela,ación
3
''
.2
Total
.4
5
.7
(i&nificación:
Caso
3:
Salud y sobrepeso
El &r8fico de la fi&ura presenta) en $H de casos) la e"aluación del estado &eneral de salud de una muestra de personas adulto ma6or) se&1n si presentan peso normal o so %r epeso+ Nº de casos
// 0 1 2
Peso normal (o%repeso
E(GA E (A=F Jueno
Malo
Estado &eneral de salud de adulto mayor' se&(n peso
'+-+ Con los datos del &r8fico) analice) al 3) la e;istencia de una relación si&nificati"a entre peso 6 estado &eneral de salud en el adulto ma6or +
'+#+ 9En *ué consiste cometer error de tipo I en este contraste<
(olución: '+-+ (e cuenta con dos "aria%les dicotómicas) con datos de frecuencia+ Por esta razón es aplica%le una prue%a de hipótesis de asociación con la Chi-cuadrado+ Primero se lle"ar8n los datos a una ta%la de contin&encia #;#+
ESTAD DE
PES
Total
Estadístico de pr ue%a: #
# = χ o%s
# 5 − . 3 − 5)3 '2B #5 2 4 . ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
'2 ? #)'
⋅
> #)'B ? 5)22/
alor p: αD
⋅
=
P Aχ
#
p
e cisión: Como
αD
> 5)53 ) $ se rechaza @5 al 3+
Conclusión:
El estado &eneral de salud del adulto ma6or no est8 asociado a su peso p ? 5)22/B+
'+#+ El error de tipo I es rechazar la hipótesis nula siendo *ue es "er dadera+
En el marco del caso consiste en rechazar la independencia entre estado de salud 6 peso en el adulto ma6or) dado *ue en realidad est8n asociados+
Caso
4:
Deserción estudiantil
Fna $K realiza un estudio de deserción estudiantil en la educación superior en una muestra aleatoria de estudiantes de educación superior+ =os estudiantes fu er on se&mentados se&1n &énero 6 tipo de carrera 6 se les hizo un se&uimiento a lo lar&o del primer semestre de estudio) instancia en la *ue se determinó si ha%ían a%andonado o no sus estudios+ =as "aria%les estudiadas fueron las si&uientes: •
eserción:
eserta del sistema: ? (í 5 ? $o
•
Kénero:
(e;o del encuestado: ? @om%re # ? Mu,er
Gipo de carrera: Carrera de estudio del encuestado: ? Profesional # ? Gécnica =os datos o%tenidos de la in"esti&ación se analizaron con el test de independencia χ ) lle&8ndose a las si&uientes conclusiones: •
•
C: =a deserción se da i&ual en hom%res 6 mu,eres p ? 5)5.'.B
•
C#: =a deserción est8 asociada al tipo de carrera p ? 5)5.2B
e acuerdo a esta información: 2++ Indi*ue cu8l fue la hipótesis nula en el contraste de la conclusión C+ 2+#+ Para la conclusión C#) 9cu8l fue la decisión en el contraste<
2+'+ (i am%as hipótesis fueron contrastadas al mismo ni"el de si&nificación) de los "alores usuales en in"esti&ación social) 9cu8l es ese "alor< 2+2+ (i la correlación entre eserción 6 Gipo de carrera fue de ne&ati"a 6 si&nificati"a) 9*ué conclusión puede sacar de ello<
(olución: (e trata del contraste de asociación entre "aria%le cate&óricas) definidas con dos "alores fue realizado con prue% la Chi-cuadrado+ dicotómicos+ El
Caso
5: Percepción
de la situación económica
(e hizo en Chile un estudio hacia fines del a0o #55 con una muestra informantes diri&entes sociales) 7 hom%res 6 3 mu,eres) a fin de conocer su percepción de la situación económica del país+ =os resultados son los si&uientes) en n1mero de casos:
Se*o
Percepci+n de la situaci+n econ+mica
Gotal
Juena
Acepta%le
eficiente
@om%re
.
4
'
7
Mu,er
/
2
#
3
Gotal
7
5
3
'#
3+-+ Con un ni"el de si&nificación del 5 realice un contraste de hipótesis para responder a la afirmación de *ue la percepción de la situación económica est8 asociada al &énero del encuestado+
(olución: 3++ Primero se calculan los "alores esperados %a,o la hipótesis de independencia "erdadera+ alores es perados:
Se*o
Percepci+n de la situaci+n econ+mica
Gotal
Juena
Acepta%le
eficiente
@om%re
/)5'
3)'
#)44
7
Mu,er
7)/7
2)4/
#)'2
3
Gotal
7
5
3
'#
(i&nificación: α
= 5)5
@ipótesis:
@5: =a percepción de la situación económica es independiente del se;o del encuestado+ @: =a percepción de la situación económica est8 asociada al se;o del encuestado+
Estadístico de pr ue%a: A . P 4 − / P / − 5)3 P '# B# P '# 7 P 3 P 7 P3 ? 5)2## # χ>ates
=
alor p: αD
#
= Pχ > 5)2##B ? 5)754 p
e cisión: $o se rechaza @5) al 5+ Conclusión:
=a percepción de la situación económica es independiente del se;o del encuestado p ? 5)754B
Caso
: Estado
civil y situación laboral de mu!eres
(e realiza un estudio para esclarecer la posi%le asociación entre el estado ci"il de las mu,eres 6 su situación la%oral) con,eturando inicialmente *ue las mu,eres *ue tra%a,an remuneradamente f uer a del ho&ar son) f undamentalmente) solteras+ Para los efectos) el estudio in"esti&ó a 22 mu,eres casadas 6 '2 solteras) independientes entre sí+ =os resultados se or&anizaron en una ta%la como la si&uiente : Mu,eres se&1n estado ci"il 6 situación la%oral Gra%a,a remuneradamente
Estado ci"il
Gotal
Casada
(oltera
22
'2
(í $o Gotal
7.
El an8lisis de la ta%la de contin&encia dio los si&uientes estadísticos: Estadística
valor
p
Chi-&$earson Chi-&con corrección de 6ates 8est&9 Chi-&cemar
3,2403252,2150750 3,3-45223 -,00
,/4 ,521 ,/07 ,047
Correlación&%i ; de 6ule
&,-1337 &,3-33/
,/00
Con estos datos) 6 un 3 de si&nificación) realice el an8lisis necesario para "alidar o refutar las si&uientes afir maciones: 4+-+ =a situación la%oral de la mu,er est8 asociada a su estado ci"il+
confirman el rechazo de la hipótesis de independencia+ Por lo tanto) se puede afirmar) *ue: =a situación la%oral de la mu,er est8 asociada a su estado ci"il pL 5)53B+
4+#+ =as mu,eres *ue tra%a,an remuneradamente son) f undamentalmente) solter as+
>a se conclu6ó *ue la situación la%oral de la mu,er est8 asociada a su estado ci"il+ Qalta analizar ahora la dirección de dicha asociación+ Para los ef ectos sir"en los dos estadísticos *ue aparecen en la ta%la de estadísticos: el coeficiente de correlación φ 6 la de >ule+ Am%os estadísticos son ne&ati"os 6 e;iste un "alor p menor al 3+ Esto hace concluir *ue la correlación entre estado ci"il 6 situación la%oral es in"ersa 6 si&nificati"a al 3+ e acuerdo a la or&anización de la ta%la de frecuencias) esta correlación indica *ue la situación la%oral de N(í tra%a,a remuneradamenteO) est8 correlacionada con el estado ci"il N(olteraO+ Aun*ue la correlación es %a,a en "alor a%soluto) es si&nificati"a) lo *ue lle"a a poder concluir *ue: En la mu,er) la situación la%oral de Nsí) tra%a,andoO) est8 asociada) en forma %a,a) pero si&nificati"a) a las solteras pL5)53B+
Caso
#besidad en el tiempo
":
En el marco de una in"esti&ación de la o%esidad) se hizo un se&uimiento a 25 adolescentes o%esos 6 25 no-o%esos) todos independientes entre sí+ Cuando adultos) se "erificó su estado de peso de los mismos) encontrando los si&uientes datos:
AD)#TS
AD#ESCE%TES
Total
%eso
$o-o%eso
%eso
4
#
'7
$o-o%eso
#2
/
2'
Total
25
25
-
7+-+ A un ni"el de si&nificación del 5) contraste la hipótesis de *ue los adolescentes o%esos suelen ser adultos o%esos+ Analice 6 formule una conclusión en el marco del caso+
(olución: 7+-+ e acuerdo a la descripción 6 datos dados) se trata de una muestra pareada en una situación antes-después+ Por lo tanto) es aplica%le el contraste con el estadístico Chi- cuadrado de Mc$emar+ (i&nificación: α
@ipótesis:
? 5)5 @5: =a o%esidad es independiente de la etapa etaria del en cuestado+ @: =a o%esidad est8 asociada a la etapa etaria del encuestado+
Estadístico de pr ue%a:
#
#2 − #B
Caso
$: El
debate televisivo% &cambió la intención de voto'
(e in"esti&a la intención de "oto en las elecciones presidenciales en #25 su,etos+ es pués de un de%ate de los dos candidatos por tele"isión) se les "ol"ió a consultar a los mismos su,etos su intención de "oto) lle&ando a los datos de la ta%la si&uiente:
!ntenci+n de voto DESP),S del debate otaría por candidato
!ntenci+n de voto A%TES del debate otaría por candidato
TTA#
A
J
A
3
23
/4
J
.5
42
22
'
5/
#25
GGA=
.+-+ Con estos datos) 6 un ni"el de si&nificación del 3) contraste la hipótesis de *ue el de%ate tele"isi"o cam%ió si&nificati"amente la intención de "oto+
(olución: .+-+ e acuerdo a los datos dados 6 descripción del caso) se trata de una muestra pareada en una situación antes-despué s+ Por lo tanto) es ideal realizar el contraste con el estadístico Chi-cuadrado de Mc$emar+ (i&nificación: α
@ipótesis:
? 5)5
Caso
(: )ccidentes
de tr*nsito con resultado de muerte
(e in"esti&a una muestra aleatoria de accidentes de tr8nsito) se&1n se;o del conductor ? mu,er # ? hom%r eB 6 su hu%o o no resultado de muerte ? sí 5 ? noB+ (e desea sa%er si se;o 6 accidentes de tr8nsito con resultados de muerte est8n o no asociados 6 la dirección de la asociación) si la hu %ier a+ El an8lisis de una ta%la de #;# arro,ó los si&uientes resultados de estadísticos: χ
-
->ule? 5)2/.
? 2)#
/++ (o%re la %ase de estos resultados) constru6a las conclusiones del caso) al 3 de si&nificación+
(olución: -
El estadístico χ se usa en el contraste de asociación+ Como la ta%la es de #;#) por ser am%as "aria%les dicotómicas) esta Chi-cuadrado tiene &rado de li%ertad+ Por lo tanto) el "alor p de la prue%a es: 5)5252) rechaz8ndose la hipótesis de independencia) al 3 de si&nificación+ Por otro lado) el estadístico de >ule indica una dirección positi"a de la correlación entr e se;o hom%re ? # 6 !esultado de muerte ? síB) 6a *ue esos son los "alores ma6ores de am%as "aria %les+ Por lo tanto) el an8lisis nos permite afirmar la e;istencia de una asociación si&nificati"a entre se;o del conductor 6 accidente de tr8nsito con resultado de muerte p ? 5)5252B) "erific8ndose *ue los resultados de muerte se asocian a los conductores hom%r es+
Caso 1+: Estr,s post-terremoto espués del terremoto en Chile en fe%rero de #55) se realizaron una serie de estudios de los f enómenos sociales asociados al acontecimiento+ Fno de ellos enfocó el estrés postterremoto de la po%lación en relación al &rupo socioeconómico de los su ,etos+ =a ta%la ad,unta muestra el estado de estrés pos-terremoto se&1n condición socioeconómica de un &rupo de personas seleccionadas aleatoriamente+
Con estrs
Sin estrs
Total
Alta
3
#3
25
Media
#5
'#
3#
Ja,a
45
3
73
Gotal
/3
7#
47
Condici+n socioecon+mica
-5+-+ Con estos datos) 6 a un ni"el de si&nificación del ) 9est8 el estrés post-t err emoto asociado a la condición socioeconómica<
(olución: (e trata de un contraste de hipótesis de asociación entre "aria%les cate&óricas+ Fna es dicotómica Aestado de estrésB 6 otra ordinal de tres "alores AC ondición socioeconómicaB+
Para el contraste) se re*uiere una prue%a con la Chi-cuadrado en una ta%la de ';#+ Como no se tiene una ta%la de #;# no pueden ser utilizadas las fórmulas de c8lculo a%r e"iados+ @ipótesis:
@5: fo ? fe
El estrés pos-terremoto es independiente de la condición
#R fila) R columna:
3#
fe =
⋅
/3 ? #/)4
47
#R fila) #R columna se calcula por diferencia: 3# – #/)4 ? ##)2 'R fila) R columna: se puede calcular por diferencia: /3 – ##). – #/)4 ? 2#)4 'R fila) #R columna se calcula por diferencia: 7# – 2#)4 ? #/)2
C8lculo del estadístico de pr ue %a:
Fna "ez calculadas todas las frecuencias esperadas) se calcula Chi-cuadrado: # #
B
χJ(
?
∑
o e Af − f ? f e
# 3 − ##).B
##).
# A#3 − 7)#B
S
7)#
# A#5 − #/)4B
S
#/)4
#
# # '# − ##)2B 45 − 2#)4B 3 − '#)2B S S ##)2 2#)4 '#)2
# J(
χ
#
χ J(
? #)47 S ')32 S ') S 2) S 7) S /)'2 ? #/)..
? #/)/
Krados de li%ertad:
Para una ta%la de ' ; # los &rados de li%ertad son: ' – B # – B ? # &l+
S
Caso 11: .niversidades y /SE (e in"esti&a una muestra aleatoria de estudiantes uni"ersitarios) se&1n &rupo socioeconómico 6 tipo de uni"ersidad en la cual estudian Estatales –Pri"adasB+
Fni"ersidades
Krupo socioeconómico Alto
Medio alto
Medio %a,o
Ja,o
Estatales
'
7
2
'
Pri"adas
'.
/
#
#
--+-+ A un ni"el del 3 ha&a una prue%a de hipótesis con el test K para "alidar la afirmación *ue dice *ue los estudiantes uni"ersitarios de las uni"ersidades pri"adas son pr ef er entemente de los estratos socioeconómicos altos+
(olución: El test K) tam%ién llamado Nrazón de "er osimilitudO) es una prue%a de Chi-cuadrado) *ue entre&a me,ores resultados *ue el de Pearson+ Est8 dado por :
K =#
∑ fo
⋅
ln
f o f e
--+-+ =a ta%la tiene un 35 de celdas *ue no cumplen con la cantidad mínima e;i&ida por la prue%a de Chi-cuadrado+ Para resol"er esto) se fusionar8 la columna Nmedio %a,oO con N %a,oO) *uedando así:
=a ta%la resultó con una cela con la frecuencia esperada menor a 3) *ue es el "alor mínimo recomendado para la prue%a+ Pero) así mismo) se acepta hasta un #5 de las celdas *ue no cumplan con el re*uisito+ Como en este caso+ Por lo tanto) se procede al c8lculo del estadístico K+
(e calcula en cada celda el "alor de: fo P ln
Fni"ersidades
fo f e
Krupo socioeconómico
Gotal
Alto
Medio alto
Medio %a,o-%a,o
Estatales
-3)
').5
')43
Pri"adas
4).'
-')'
-#)3
Gotal
')./
El estadístico K es i&ual a:
∑ f o
K =#
⋅
ln
f o f e
K ? # -3) S ').5 S ')43 S 4).' – ')' – #)3B K?#
P
')./ ? 7)7.
Krados de li%ertad:
Para una ta%la de # ; ' los &rados de li%ertad son: ν
= # – B
P
' – B ? # &l+
Esta K es una Chi-cuadrado con # &rados de li%ertad+
Caso 12: 0E en Es pa2a (e seleccionan 35 mu,eres espa0olas 6 '5 e;tran,eras residentes en Espa0a) *ue se realizaron una IE + A estas se les consultó si 6a se ha%ían realizado una IE anterior + El resultado es *ue) de las espa0olas) . 6a lo ha%ían hecho anteriormente) mientras *ue de las e;tran,eras) un total de #5+
#++ 9E;iste una diferencia en la realización de IE anterior respecto de la nacionalidad de las mu,eres< Fse un 5 de si&nificación+
(olución: -#+-+ Con los datos se constru6e la si&uiente ta %la: IE anterior
$acionalidad
Gotal
Espa0ola
E;tran,era
(í
.
#5
'.
$o
'#
5
2#
Gotal
35
'5
.5
@ipótesis:
@5: fo ? f e @: fo ≠ fe
Estadístico de pr ue%a: Fsando la forma a%re"iada del estadístico Chi-cuadrado de Pearson) se tiene: χ obs
?
. P 5 − #5 '.
P
2#
P
P
'#B #
35
P
P
'5
.5 ? 7)57+
Caso 13: Compra de ca3, En un supermercado se o%ser"a a 24 personas *ue compran café) de las cuales #7 lle"an de la marca A) mientras *ue las restantes / lle"an marca J+ -'+-+ Al 3) 9constitu6e este dato un fundamento para afirmar *ue las personas compran preferentemente el caf é marca A<
(olución: -'+-+ =as hipótesis son: @5: las frecuencias o%ser"adas son i&uales a las esper adas+ @: las frecuencias o%ser"adas son distintas a las es perada s+
En el marco del caso) la hipótesis nula afirma *ue la compra del café es independiente de la marca) *ue las personas compran por i&ual marca A o J 6 *ue las diferencias son de%idas al azar+ =a hipótesis alternati"a afirma *ue ha6 diferencias en la marca *ue com pran+ =a situación se puede resumir como si&ue: Qrecuencia %ser"ada
Marca de café
Gotal
A
J
#7
/
24
C8lculo del "alor de Chi-cuadrado+
(e calculan las frecuencias esperadas) %a,o la hipótesis de *ue no ha6 diferencia por
α*
= 5)#'47+ Este resultado lle"a a no rechazar la hipótesis nul a+
Conclusión:
Con estos datos) no se puede afirmar *ue los compradores tienen preferencia por una marca de caf é+
(olución con el test K: Marca de café
Qrecuencia
Gotal
A
J
%ser"ada
#7
/
24
Esperada
#'
#'
24
Para la primera celda el "alor es: #7 P ln
#7
#'
? 2)''
Para la se&unda celda el "alor es: / P ln
/
#'
? – ')4'
Estadístico de prue%a K: ? # P 2)'' – ')4'B ? )2 K ? # o%s
Caso 14: Salud% e!ercicio y seo (e in"esti&a en una muestra aleatoria de personas al&unas "aria%les de sus h8%itos de "ida) para lo cual se han reco&ido datos de las si&uientes "aria%les: U ? Estado &eneral de salud 2 ? mu6 %ueno ' ? %ueno # ? re&ular ? maloB U # ? (e;o ? femenino # ? masculinoB+ U ' ? $i"el de e,ercicio diario 5 ? $in&uno ? Moderado 6 # ? IntensoB+ Con las ta%las de contin&encia correspondientes) fueron calculados los si&uientes estadísticos Chi-cuadrado para contrastes de asociación: -2+-+
χ
-2+#+
χ
-
U ) U # B ? .)#
-
) U ' B ? 2)4 #
U -2+'+
χ
-
U ) U B ? 4)#
'
Con esta información) analice 6 constru6a una conclusión al 3 para cada una de las pare,as de "aria%les+
(olución: Calculando los "alores p de cada estadístico) se tiene: -2+-+
χ
-
< -
B ? .)#
Esta ta%la tiene ' &rados de li%ertad+ Entonces)
α*
= P χ
.)#B ? 5)52#
V
Tabla Chi-cuadrado
p
PROBBI!I"" p "E ! "I#TRIB$CI%& C'I C$"R" ! "EREC' "E W i #
W p V
(R"O# "E !IBERT" )
*
+
W p# V
#
(R"O# "E !IBERT" )
*
+
0
W p# V
(R"O# "E !IBERT" )
*
W
W i # +
W p# V
#
(R"O# "E !IBERT" )
*
+
,) ,* ,+ ,0 ,1
,73/0
,43/-
,44/0
+-)
,705
,-/--
,5713
.-)
,/53
,272
,/10
/-)
,-1
,/1
,-0
,1327
,420
,4771
+-*
,751
,-/4
,51/0
.-*
,/-0
,23
,/-5
/-*
,-2
,//
,-17
,3054
,017
,41
+-+
,145
,/4-
,5271
.-+
,/-/
,2-4
,474
/-+
,-5
,41
,-31
,3-7/
,0/07
,42-
+-0
,13-
,/0-7
,552
.-0
,//2
,20
,457
/-0
,--
,4/
,-22
,2743
,7700
,4/04
+-1
,1/2
,/750
,5-0
.-1
,/0
,500
,047
/-1
,-/
,07
,-55
,. ,2 ,3 ,/ ),
,2501
,720
,0412
+-.
,370
,/135
,50
.-.
,/-
,514
,030
/-.
,/4
,0-
,--5
,2-0
,727
,075-
+-2
,322
,/37-
,-437
.-2
,41
,53/
,0-/
/-2
,/0
,70
,-/5
,57//
,175
,0243
+-3
,3/5
,/241
,-054
.-3
,4/
,552
,701
/-3
,/7
,72
,-5
,52-0
,1571
,0-32
+-/
,205
,/2-5
,-7-3
.-/
,01
,5/7
,73-
/-/
,/7
,7/
,/42
,5/75
,113
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Distribución Chi Cuadrado - Percentiles Valores de W # tales que la probabilidad sea menor o igual a la especificada (*)
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