6 Diseo de Los Sistemas b

6. DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Lámina 52

Síntesis Sínte sis de los controlado controladores res por retro retroalim alimenta entación ción Para el diagrama de bloques mostrado, tenemos: R(s)

Gc (s)

M(s)

C(s)

G(s)

C ( s )

–

R( s )

De donde: Gc ( s ) =

G ( s )Gc ( s )

=

1 + G ( s )Gc ( s )

 C ( s) / R ( s )  (51)   G ( s ) 1 − [C ( s ) / R ( s )] 1

=>

(50)

Fórmula de síntesis del controlador

C(s)/R(s) = respuesta deseada

Ejemplo: (s)/R(s) (s) = 1 , se tendría: Si el control fuera perfecto, entonces: C (s) = R (s) ó C (s)/R

Gc ( s ) =

1

1

G ( s) 1 − 1

=

1

1

G ( s) 0

=∞

(52)

=>

Pero: En la práctica, el proceso oscilaría (no se cumple la condición)


Lámina 53

Especificación de la respuesta de circuito cerrado Se desea una respuesta con retardo de primer orden: ∆r

C ( s ) R ( s )

1

= τ c

s +1

(53)

Remplazando (53) en (51):

0,63∆r τc

t

0

Gc ( s ) =

1

1

G ( s ) τ c s

(54)

El controlador tiene acción integral. τc es el único parámetro de ajuste

Dahlin propuso originalmente esta respuesta y definió el parámetro de ajuste como: λ = 1/ τc. Rara vez es necesario especificar respuestas de segundo orden o superiores. Si el proceso contiene tiempo muerto, se debe incluir en el controlador.


Lámina 54

Modos del controlador y parámetros de ajuste, según el tipo de proceso (respuesta de primer orden) Proceso con respuesta instantánea : G ( s ) = K Según (54):

Gc ( s ) =

1

1

G ( s ) τ c s

=

1 1 K τ c s

(55)

Controlador integral puro, recomendable para procesos muy rápidos: control de flujo, gobernadores de turbinas de vapor, etc. Proceso de primer orden: G ( s ) = K /( s + 1) Según (54):

1  1  Gc ( s ) = 1 +  K τ c  τ s 

(56)

Controlador proporcional-integral, con los parámetros de ajuste:

K c =

1 K τ c

I

=

(57)

τI

= fijo Kc = variable


Lámina 55

Modos del controlador y parámetros de ajuste

Proceso de segundo orden:

G ( s ) = K / [(τ 1 s + 1)( 2 s + 1)]

Siendo: τ τ1 = constante de tiempo más larga del proceso τ τ2 =

constante de tiempo más corta del proceso

Gc ( s ) =

Según (54):

 1  1 + (τ 2 s + 1) (58) K τ c  τ 1s  τ 1

Controlador PID industrial, con los parámetros de ajuste:

K c =

τ 1

K τ c

I

=

1

τ D

=

2

(60)

τI , τD =

fijo Kc = variable

Los controladores PID se usan en control de temperatura, de manera que la acción derivativa compense el retardo del sensor. Esto se observa en la Ec. anterior en donde τ τ D compensa a τ τ2 . Proceso de orden superior: se acostumbra aproximarlos por procesos de primer orden más tiempo muerto.

Lámina 56


Modos del controlador y parámetros de ajuste

Proceso de primer orden más tiempo muerto: Según (54): Gc ( s ) =

1  1  t 0 s 1 + e K τ c  τ s 

− t 0 s

/(τ s + 1)

(61) Respuesta especificada c(t)

Este controlador es irrealizable ya que require un tiempo muerto negativo, como se ve en la gráfica:

Mejor

0,63∆r respuesta

0

Por lo tanto, se debe especificar un tiempo muerto en la respuesta deseada:

El controlador sintetizado resulta:

G ( s ) = Ke

=>

Gc ( s ) =

to

posible t

τc

C ( s )

=

R ( s ) s +1 K

e τ c

− t 0 s

s +1

1 τ c

s +1− e

− t 0 s

(62)

(63)


Lámina 57

Modos del controlador y parámetros de ajuste − t s

El término e 0 no se puede implementar analógicamente, pero si digitalmente. El término se conoce como “predictor” o “compensación de tiempo muerto” Por Taylor:

e

− t 0 s

= 1 − t 0 s +

1 2!

Aproximando con los dos primeros términos de (64), la Ec. (63) queda: Este es un controlador PI (sin tiempo muerto) con el siguiente ajuste:

=>

1

(t 0 s )2 − (t 0 s )3 + ... (64) 3!

Gc ( s ) =

K c =

 1  1 +  (66) K (τ c + t 0 )  τ s  τ

K (τ c + t 0 )

I

=

(67)

Esta aproximación por Taylor solo es válida si t0 << τc . Es decir, el controlador PI anterior (sin tiempo muerto) es una buena aproximación de un controlador sintetizado sólo si t0 << τc . Nótese que cuando τc → 0, entonces , de (67): Kc max = τ /Kt0


Lámina 58

Modo derivativo para procesos con tiempo muerto −t 0s

Si el término e se remplaza por la aproximación de Padé:

e

− t 0 s

= (1 −

t 0

t 0

s ) /(1 +

2

2

s)

(69)

La aproximación de Padé es más precisa que los dos primeros términos de Taylor (coincide en los tres primeros términos de Taylor).

en (63), entonces se obtiene para el controlador:

Gc ( s ) =

 1  1 + (t 0 / 2) s  1 +   (71) K (τ c + t 0 )  τ s  1 + τ ´s  τ

Este es un controlador industrial de la forma: 0,05 ≥ α ≤ 0,1

=>

´=

t

τ c 0

τ

2(τ c + t 0 )

 1  τ D s + 1    Gc ( s ) = K c 1 + τ s ατ s + 1 

I



D



(59)

Comparando con (71), los parámetros de ajuste son:

K c =

τ

K (τ c + t 0 )

I

=

τ D

= t 0 / 2

(72)


Lámina 59

Modo derivativo para procesos con tiempo muerto

Tabla 6-5. Modos del controlador y fórmulas de ajuste para síntesis Dahlin Proceso

Controlador

G(s) = K

I

Kc = 1 / Kτc ajustable

G(s) = K / (τs+ 1)

PI

Kc = τ / Kτc ajustable τ I = τ

G(s) = K / (τ1 s+ 1)(τ2 s+ 1) τ1 > τ2

PID

Kc = τ1 / Kτc ajustable τ I = τ1 τ D = τ2

G(s) = Ke-tos / (τs+ 1)

PI, PID (PI => τ D = 0) (PID si t o > τ /4)

Parámetros de ajuste

Kc = τ / K(t o + τc ) ajustable τ I = τ τ D = t o / 2

Para controladores digitales, modificar los parámetros para PID así: K´c = Kc(1+ τ D / τ I )

τ´ I = τ I + τ D

τ´ D = τ D [τ I /(τ I + τ D ) ]


Lámina 60


Otras reglas que se utilizan para procesos con tiempo muertos son: Si se desea IAE mínima: Para entrada de perturbaciones: Si 0,1 < t o / τ < 0,5

hacer τc = 0 y usar controlador PI (τ D = 0)

Si 0,1 < t o / τ < 1,5

hacer τc = 0 y usar controlador PID

Para cambios en el punto de control: Si 0,1 < t o / τ < 1,5

hacer τc = (2/3) t o para controlador PI (τ D = 0) hacer τc = (1/5) t o para controlador PID

Utilizar estas fórmulas con el último renglón de la tabla anterior (6-5) Si se desea un sobrepaso del 5%, para entradas en el punto de control: Recomendación de Martin: hacer τc = t o , de donde:

K c =

τ

K (τ c + t 0 )

=

0,5  τ 

  (76) K  t 0 


Lámina 61


Ejemplo 6-14: Para el intercambiador de calor del ejemplo 6-5, determinar los parámetros de ajuste mediante el método de síntesis. Comparar con los ajustes para IAE mínima para entradas del punto de control, Tabla 6-4. El modelo POMTM se obtuvo en el ejemplo 6-9:

=>

G ( s) =

K = 0,8 %/% τ = 33,8 s t o = 11,2 s

0,8e −11, 2 s 33,8 s + 1

Como se tiene tiempo muerto, se aplica (71) para la síntesis del controlador:

1  1 + 5,6 s   Gc ( s ) = 1 +   0,8(τ c + 11,2)  33,8s  1 + τ ´s  33,8

´=

τ

5,6τ c τ c

+ 11,2

Como t o > τ /4, se usa un controlador PID. Si deseamos IAE mínima para perturbación, obtenemos: Haciendo τc = 0

=>

Kc = τ / K( t o + τc ) = 33,8 / (0,8*11,2) = 3,8 %/%


Lámina 62

Modo derivativo para procesos con tiempo muerto. Ejemplo 6-14

Si deseamos IAE mínima para entrada del punto de control, obtenemos: τc =

(1/5) t o = (1/5)*11,2 = 2,24 s

Kc = τ / K(t o + τc ) = 33,8 / [0,8*(11,2 + 2,24)] = 3,1 %/% Para un sobrepaso del 5 % en la entrada del punto de control, de (76):

K c =

0,5  τ 

0,5  33,8    =   = 1,9 % / % K  t 0  0,8  11,2 

Los tiempos de derivación e integración para los casos anteriores son (Tabla 6-5): τ I = τ = 33,8 s = 0,81 min

τ D = t o / 2 = 5,6 s = 0,071 min

Los parámetros para IAE mínima para entradas del punto de control, según la Tabla 6-4 (para un PID) son: Kc =

a 1  t 0 





K   

b1

=

1,086  11,2 





0,80  33,8 

-0,869

= 3,5 % / %


Lámina 63

Modo derivativo para procesos con tiempo muerto . Ejemplo 6-14

τ I

τ D

=

τ

=

a 2 − b2 ( t 0 / )

 t 0  = a 3τ     

b3

33,8 0,740 − 0,130(11,2 / 33,8)

 11,2  = 0,348 * 33,8 *   33,8  

= 48,5 s (0,81 min )

0,914

= 4,3 s (0,071 min )

Se observa que los resultados de los distintos métodos son muy parecidos.

Ejemplo 6-15: Un proceso tiene la función de transferencia mostrada abajo. Comparar las respuesta con un controlador PI a un cambio en el punto de control, tipo escalón , con ajuste mediante: a) Razón de asentamiento de 1/4 de Ziegler-Nichols b) IAE mínima c) Síntesis del controlador para un sobrepaso del 5 %

G ( s) =

1,0e −0, 26 s s2 + 4s +1

−0 , 26 s

1,0e Factorizando el ( ) G s =  denominador: (3,73s + 1)(0,27 s + 1)


Lámina 64


Como τ2 << τ1 , podemos aplicar la regla práctica para un modelo POMTM, por lo que: τ ' = τ 1 = 3,73 min t 'o = τ 2 = 0,27 min De donde:

t o = t o

proceso

Los parámetros del modelo POMTM serán:

+ t 'o = 0,26 + t 'o = 0,26 + 0,27 = 0,53 min

τ

K = 1,0

= 3,73 min

t o = 0,53 min

a) Razón de asentamiento de 1/4, Tabla 6-2 para un PI: K c =(0,9 / K)(t o / τ) – 1 = (0,9 / 1,0)(0,53/3,73) – 1 = 6,3 %/% τ1 = 3,33 t o =

3,33*0,53 = 1,76 min

b) IAE mínima para cambios en el punto de control, Tabla 6-4 para un PI :

Kc =

0,758  0,53 

  1,0  3,73 

-0,861

=

4,1 % / %

τ I

=

3,73 1,02 − 0,323(0,53 / 3,73)

= 3,83 min


Lámina 65


c) Síntesis del controlador con ajuste para sobrepaso del 5 % : De la Ec. (67), para un PI:

I

= τ = 3,73 min

Para un sobrepaso del 5,% , según Martin, hacer τc = t o = 0,53 min Y según (76): K c =

0,5  τ 

2.0 Ajuste razón de asentamiento de 1/4

0,5  3,73 

  =   = 3,57 % / % K  t 0  1,0  0,53 

Para graficar las respuestas del sistema ante cada ajuste, se utiliza un computador (Matlab). La gráfica se muestra a la derecha, según Martin. Nótese que las respuestas IAE mínima y de síntesis, son las mejores.

IAE mínima para cambios en el punto de control

1.0

Síntesis, 5 % de sobrepaso

0

2

4

6

8

10


Lámina 66

Prevención del reajuste excesivo El reajuste excesivo se debe a la acción integral (para error cero), la cual puede saturar la salida del controlador, como se observa en el siguiente ejemplo: m(t) TIC

Tfijo(t)

T(t) Alimen tación

Sobrepaso debido al reajuste

T(t) Tfijo

TT

t

Vapor 20 15 Producto T Condensado

m(t) psig 3

Salida del controlador Abierta

Cerrada

t


Lámina 67

Prevención del reajuste excesivo

Cuando la temperatura del tanque alcanza el punto de control, la salida del controlador vale (En ese instante el error es cero):

m(t ) = m + K c e(t ) +

K c τ I

 e(t )dt = 20 psig

La válvula de control no se empieza a cerrar sino cuando la salida del controlador disminuya por debajo de 15 psig. Si el controlador fuera solo proporcional, con una BP de 25 % (Kc = 4), el error mínimo necesario para empezar a cerrar la válvula es de:

m = m + K c e = 15 e=

m − 20 K c

=

15 − 20 4



20 + K c e = 15

= −1,25 psig ( −10,4 % del rango )

Es decir, la temperatura subiría por encima de la referencia hasta un cierto valor, para que empiece a cerrarse la válvula  el controlador está excedido.


Lámina 68


El problema del reajuste excesivo de evita: • Tener el controlador en manual hasta que se alcance la temp. de referencia. Luego pasarlo a automático. • Limitando la salida del controlador. Formas de limitación: La función de transferencia de un PI es:



M ( s ) = K c 1 +



1   E ( s ) = K c E ( s ) + M I ( s ) τ I s 

M I ( s ) =

1 τ I

s

K c E ( s )

Limitando la salida del controlador PI: Esta forma de evitar el gran sobrepaso debido al reajuste excesivo no funciona  M(s) se limita a 15, pero MI(s) se satura.

E(s)

R(s)

– C(s)

15

Kc 1 s

τ 1

3 MI(s)

M(s)

(77)


Lámina 69


Limitando la salida de la acción de integración del PI: De (77):

τ I

sM I ( s ) = K c E ( s )

(78)

De las ecuaciones anteriores: M I ( s ) =

y

K c E ( s ) = M ( s ) − M I ( s )

(79)

 1    M ( s ) (80) τ I s + 1

Implementado el controlador PI teniendo en cuenta la ecuación anterior: Esta forma si funciona:

E(s)

R(s)

 M(s) se limita a 15 y

15

Kc

–

MI(s) también debido al retardo de primer orden.

M(s)

3 C(s)

Se denomina: Conmutador por lotes.

MI(s)

1

Realimentación para ajuste

s +1

τ 1

Cuando el error se hace negativo:

m(t ) = 15 + K c e(t ) < 15

, ya que e(t) < 0

La válvula empieza a cerrarse en forma inmediata

6 Diseo de Los Sistemas b

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