3lab Física (1).pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

CUERDAS VIBRANTES”

“

Alumnos: NUÑEZ DELGADO ERWIN RONALDO CHUQUIN COSTILLA MORRIS ALBERT RODRÍGUEZ BAUTISTA KIARA MICAELA

20180202K 20180129A 20182139D

Curso: Física II - FI204N Docentes: RODRIGUEZ MORALES MARIA ISABEL DURAND BERNALD LUIS GIRALDO Lima – Perú 2018

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

ÍNDICE 1.

.......................................................................................................................... 3 RESUMEN ...........................................................................................................................

2.

JUSTIFICACIÓN DE LA EXPERIENCIA ....................................................................... 3

3.

..................................................................................................... 3 OBJETIVO GENERAL ......................................................................................................

4.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................ 3

5.

DESARROLLO DEL FUNDAMENTO TEÓRICO ......................................................... 3 5.1. El principio de superposición ................................................................................... 3 ............................................................................................. 4 5.2. Reflexión y transmisión .............................................................................................. ....................................................................... 5 5.3. Ondas estacionarias en una cuerda ........................................................................

6.

........................................................................... 10 RESULTADOS EXPERIMENTALES ............................................................................

7.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES .............................................. 13

8.

.............................................................................................................. ...................................................... 16 CUESTIONARIO ........................................................

9.

................................................................................................................ ...................................................... 21 REFERENCIAS ..........................................................

10.

....................................................................................................................... 21 ANEXOS ........................................................................................................................

P á g i n a 2 | 22


1. RESUMEN En la realización de este laboratorio se analizó y describió el comportamiento de ondas estacionarias producidas en una cuerda en sus dos límites fijos a través de un vibrador con una frecuencia establecida e invariable. Luego, al experimentar con diversas variaciones de tensión, de tal manera que se produzcan frecuencias naturales de vibración, se pudo obtener una serie de valores con el fin poder calcular la frecuencia promedio del sistema analizado. Asimismo, para cada uno de los casos desarrollados con las distintas masas proporcionadas y, dado un valor de densidad lineal, se pr ocedió a determinar el número armónico y su longitud de onda.

2. JUSTIFICACIÓN DE LA EXPERIENCIA La finalidad con la que nos llevó a realizar este experimento con el mejor esmero y seriedad posible fue que el tema nos abre un campo muy amplio de conocimiento y, con mayor razón en la que nos preparamos para ser futuros ingenieros electrónicos es su implicación en los circuitos electrónicos, cavidades resonantes, guías de onda, antenas, vibraciones mecánicas; además, y no menos importante, en lo que se refiere a ondas longitudinales es que se logra un mejor entendimiento al funcionamiento de instrumentos musicales.

3. OBJETIVO GENERAL Estudiar experimentalmente la relación entre la frecuencia, tensión, densidad lineal y longitud de onda de una onda estacionaria en una cuerda tensa con sus dos extremos fijos.

4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

 

Determinar gráficamente los puntos donde se encuentra la mayor energía potencial y cinética de la cuerda. Determinar la frecuencia del vibrador. Encontrar la velocidad de propagación propagación de una onda onda estacionaria estacionaria en la cuerda para diferentes tensiones.

5. DESARROLLO DEL FUNDAMENTO FUNDAMENTO TEÓRICO 5.1. El principio de superposición Cuando dos o más ondas pasan a través de la misma región del espacio al mismo tiempo, se encuentra que, para muchas ondas, el desplazamiento real es la suma vectorial (o algebraica) de los desplazamientos separados. A esto se le llama principio de superposición. Es válido para ondas mecánicas siempre que los desplazamientos no sean muy grandes y haya una relación lineal entre el desplazamiento y la fuerza restauradora del medio oscilante. Si la amplitud de una onda mecánica, por ejemplo, es tan grande que va más allá de la región P á g i n a 3 | 22


elástica del medio, y ya no se cumple la ley de Hooke, el principio de superposición deja de ser preciso. Un resultado del principio de superposición es que, si dos ondas pasan a través de la misma región del espacio, continúan moviéndose de manera independiente una de la otra. Por ejemplo, tal vez haya notado que las ondas en la superficie del agua (ondas bidimensionales), que se forman a partir de dos piedras que golpean el agua en diferentes lugares, pasan unas sobre otras. La figura 1 ilustra un ejemplo del principio de superposición. En este caso hay tres ondas presentes en una cuerda estirada, cada una de diferente amplitud y frecuencia. En cualquier momento, como en el instante que se muestra, la amplitud real en cualquier posición x es la suma algebraica de la amplitud de las tres ondas en esa posición. La onda real no es una onda sinusoidal simple y se llama onda compuesta (o compleja). (En la figura 1 las amplitudes están exageradas). Es posible demostrar que cualquier onda compleja se puede considerar como compuesta de muchas ondas sinusoidales simples de diferentes amplitudes, longitudes de onda y frecuencias. Esto se conoce como teorema de Fourier. Una onda periódica compleja de periodo T se puede representar como una suma de términos sinusoidales puros cuyas frecuencias son múltiplos enteros de f=1/T. Si la onda no es periódica, la suma se convierte en una integral (llamada integral de Fourier). Aunque no entraremos en detalles aquí, vemos la importancia de considerar ondas sinusoidales (y el movimiento armónico simple), ya que cualquier otra forma de onda se puede considerar como una suma de tales ondas sinusoidales puras.

5.2. Reflexión y transmisión Un pulso de onda que viaja por una cuerda se refleja cómo se ilustra en la figura 2. El pulso reflejado regresa invertido como en la figura 2a si el extremo de la cuerda está fijo; pero regresa derecho si el extremo está libre, como en la figura 2b. Cuando el extremo está fijo a un soporte, como en la figura 2a, el pulso que llega a ese extremo fijo ejerce una fuerza (hacia arriba) sobre el soporte. El soporte ejerce una fuerza igual, aunque opuesta hacia abajo sobre P á g i n a 4 | 22


la cuerda (tercera ley de Newton). Esta fuerza descendente sobre la cuerda es lo que “genera” el pulso invertido reflejado. Considere a continuación un pulso que viaja por una cuerda que consiste en una sección ligera y una sección pesada, como se aprecia en la figura 3. Cuando el pulso de onda alcanza la frontera entre las dos secciones, parte del pulso se refleja y parte se transmite, como se muestra. Cuanto más pesada es la segunda sección, menos energía se transmite. (Cuando la segunda sección es una pared o un soporte rígido, se transmite muy poca, en tanto la mayor parte se refleja, como en la figura 2a). Para una onda periódica, la frecuencia de la onda transmitida no cambia a través de la frontera, pues el punto de frontera oscila a esa frecuencia. Por consiguiente, si la onda transmitida tiene una rapidez más baja, su longitud de

= = .

onda también es menor [1]

Figura 2: Reflexión de un pulso de onda en una cuerda que yace sobre una mesa. a) El extremo de la cuerda está fijo a un pivote. b) El extremo de la cuerda tiene libertad de movimiento.

Figura 3: Cuando un pulso de onda que viaja hacia la derecha a lo largo de una cuerda delgada a) alcanza una discontinuidad donde la cuerda se vuelve más gruesa y pesada; entonces, parte se refleja y parte se transmite b)

5.3. Ondas estacionarias en una cuerda Hemos hablado de la reflexión de un pulso de onda en una cuerda cuando llega a una frontera (un extremo fijo o libre). Veamos ahora lo que sucede cuando una onda sinusoidal es reflejada por el extremo fi jo de una cuerda. Otra vez enfocaremos el problema considerando la superposición de dos ondas que se propagan a través de la cuerda, una que representa la onda original o incidente, y otra que representa la onda reflejada en el extremo fijo. La figura 4 muestra una cuerda fija en su extremo izquierdo. El extremo derecho sube y baja con movimiento armónico simple para producir una onda que viaja a la P á g i n a 5 | 22


izquierda; la onda reflejada del extremo fijo viaja a la derecha. El movimiento resultante cuando se combinan las dos ondas ya no se observa como dos ondas que viajan en direcciones opuestas. La cuerda parece subdividirse en varios segmentos, como en las exposiciones en diferentes tiempos de las figuras 4a, 4b,4c y 4d. La figura 4e muestra dos formas instantáneas de la cuerda de la figura 4b. En una onda que viaja a través de la cuerda, la amplitud es constante y el patrón de la onda se mueve con rapidez igual a la rapidez de la onda. Aquí, en cambio, el patrón de la onda permanece en la misma posición a lo largo de la cuerda, y su amplitud fluctúa.

Figura 4: Exposicion Exposiciones es sucesivas de ondas estacionarias

Existen ciertos puntos llamados nodos (identificados con N en la figura 4e) que nunca se mueven. A la mitad del camino entre los nodos hay puntos llamados antinodos (identificados con A en la figura 4e) donde la amplitud de movimiento es máxima. Dado que el patrón de onda no parece estarse moviendo a lo largo de la cuerda, se denomina onda estacionaria. (Para enfatizar la diferencia, una onda que sí se mueve por la cuerda es una onda viajera).

P á g i n a 6 | 22


Figura 5: Formación de una onda estacionaria. Una onda que viaja a la izquierda (curvas rojas) se combina con otra que viaja a la derecha (curvas azules) para formar una onda estacionaria (curvas marrones).

El principio de superposición explica cómo las ondas incidente y reflejada se combinan para formar una onda estacionaria. En la figura 5, las curvas rojas indican una onda que viaja a la izquierda. Las curvas azules muestran una onda que viaja a la derecha con la misma rapidez de propagación, longitud de onda y amplitud. Las ondas se muestran en nueve instantes, separados por



de periodo. En

cada punto de la cuerda, sumamos los desplazamientos (valores de y) para las dos ondas individuales; el resultado es la onda total en la cuerda, dibujada en color marrón. En ciertos instantes, como

 =  

, los dos patrones de onda P á g i n a 7 | 22


están exactamente en fase entre sí, y la forma de la cuerda es una curva sinusoidal con el doble de amplitud de las ondas individuales. En otros instantes, como

 =  

, las dos ondas están totalmente desfasadas y la onda

total en ese instante es cero. El desplazamiento resultante siempre es cero en los lugares marcados con N en la parte inferior de la figura 5. Estos son los nodos, donde los desplazamientos de las dos ondas en rojo y azul siempre son iguales y opuestos, y se cancelan. Esta cancelación se llama interferencia destructiva. A la mitad del camino entre los nodos están los puntos de máxima amplitud o antinodos, marcados con A. En los antinodos, los desplazamientos de las dos ondas en rojo y azul siempre son idénticos, dando un desplazamiento resultante grande; este fenómeno se llama interferencia constructiva. Podemos ver en la figura f igura que la distancia entre nodos o antinodos



sucesivos es media longitud de onda, .

(,, )  (,, )

Podemos deducir una función de onda para la onda estacionaria de la figura 5, sumando las funciones de onda de dos ondas con amplitud, periodo y longitud de onda iguales que viajan en direcciones opuestas. Aquí, (las curvas rojas de la figura 5) representa una onda incidente que viaja a la izquierda por el eje +x, llegando al punto x = 0 y reflejándose; (las curvas azules de la figura 5) representan la onda reflejada que viaja a la derecha desde x = 0. En la sección 5.2 señalamos que la onda reflejada del extremo fijo de una cuerda se invierte, así que anteponemos un signo negativo a una de las ondas:

(,, )

(,, )

(,, ) = (+) (,, ) = (() )    (+) (,, ) = (,, ) + (,, ) = (+) +() ( ) cos  ∓  =± ) (,, ) = (,, ) + (,, ) = (2) 2  (onda incidente incidente que viaja viaja a la izquierda) (onda reflejada que viaja a la derecha)

Observe también que el cambio de signo corresponde a un desfasamiento de 180° o radianes. En x = 0, el movimiento de la onda reflejada es ; y el de la incidente, , que también podemos escribir como . Luego, la función de onda para la onda estacionaria es la suma de las funciones de onda individuales:

Podemos replantear los términos coseno usando las identidades para el coseno de la suma y la diferencia de dos ángulos: . Haciéndolo y combinando términos, obtenemos la función de la onda estacionaria: (1)

El factor indica que, en cada instante, la forma de la cuerda es una curva sinusoidal. No obstante, a diferencia de una onda que viaja por una cuerda, la forma de la onda permanece en la misma posición, oscilando verticalmente según el factor . Este comportamiento se muestra P á g i n a 8 | 22


gráficamente en las curvas de color marrón de la figura 5. Todos los puntos de la cuerda tienen movimiento armónico simple, pero todos los que están entre cualquier par sucesivo de nodos oscilan en fase. Esto contrasta con las diferencias de fase entre oscilaciones de puntos adyacentes, que vemos en las ondas que viajan en una dirección. Podemos usar la ecuación 1 para determinar las posiciones de los nodos; estos son los puntos donde sen kx = 0, de modo que el desplazamiento siempre es

 = 0,,2,3,…,  = 0,  ,  ,  , … =0,  ,  ,  … =0

cero. Esto sucede cuando

es decir, usando

Usando nodos de una onda estacionaria en una cuerda, extremo fijo en

=0.= 

.

, entonces

En particular, hay un nodo en , como debería ser, ya que este punto es un extremo fijo de la cuerda. A diferencia de una onda viajera, una onda estacionaria no transfiere energía de un extremo al otro. Las dos ondas que la forman transportarían individualmente cantidades iguales de energía en direcciones opuestas. Hay un flujo local de energía de cada nodo a los antinodos adyacentes, y de regreso; pero la razón media de transferencia de energía es cero en todos los puntos. [2]

Modos normales de una cuerda Las frecuencias a las que se producen las ondas estacionarias son las frecuencias naturales o frecuencia resonantes de la cuerda, y los distintos patrones de onda estacionaria que se representan en la figura 6 son diferentes “modos de vibración resonante”. resonante”. Para determinar las frecuencias resonantes, primero hay que hacer notar que las longitudes de onda de las ondas estacionarias tienen una relación simple con la longitud de la cuerda. La frecuencia más baja, llamada frecuencia fundamental, corresponde a un antinodo (o bucle). Y, como se puede ver en la figura 6, toda



 =  

la longitud corresponde a media longitud de onda. Por lo tanto,



, donde

representa la longitud de onda de la frecuencia fundamental. Las otras frecuencias naturales se llaman sobretonos; para una cuerda que vibra son múltiplos enteros (integrales) de la frecuencia fundamental, y también se llaman ll aman armónicos, siendo la frecuencia fundamental el primer armónico. El siguiente modo de vibración después del modo fundamental tiene dos bucles y se llama segundo armónico (o primer sobretono). La longitud de la cuerda en el segundo armónico corresponde a una longitud de onda completa: . Para el tercero y cuarto armónicos,

  =     =    =  =   = = 1,2,3… y

, respectivamente, y así

sucesivamente. En general podemos escribir:

P á g i n a 9 | 22


 =2 =1   = 2 ,  =1, 2 , 3 …(… (    ) )   =  =  2 = , =1,2,3,….

El entero indica el número del armónico: para la frecuencia fundamental, para el segundo armónico y así sucesivamente. Despejamos y obtenemos

Para encontrar la frecuencia de cada vibración aplicamos

Como vemos, cada frecuencia resonante es múltiplo entero de la frecuencia fundamental. [1]

6. RESULTADOS EXPERIMENTALES



6.1. Calcule f, y v para cada peso(= mg) llenando el cuadro siguiente:

 √ 

 = 



F (N)

n

L (m)

0.751

2

1.25

37.1

1.25

46.4

0.952

2

1.45

36.0

1.45

52.2

1.49

1

0.845

38.6

1.69

65.2

0.256

4

1.44

37.6

0.722

27.1

0.452

3

1.49

36.2

0.992

36.0

0.163

3

0.942

34.4

0.628

21.6

0.672

1

0.569

38.5

1.14

43.9

0.201

1

0.324

36.9

0.648

23.9

1.46

1

0.896

36.04 36.04

1.79

64.5

0.358

2

0.863

37.1

0.863

32.0

0.868

2

1.36

36.6

1.36

49.8

0.163

5

1.38

39.1

0.55

21.5

f=

Fpromedio = 37.01

− P á g i n a 10 | 22

V=


6.2. Grafique un perfil de la cuerda indicando la posición de mayor Energía Cinética y la posición de mayor Energía Potencial en la cuerda. Posición donde la Energía Cinética es máxima.

Posición donde la Energía Potencial es máxima.



6.3. Grafique versus F e interprete el resultado. Haga ajustes por mínimos cuadrados. Frecuencia^2 vs Fuerzas Frecuencia^2 1800 1600 1400 1200 1000 y = 11.074x + 1364.3

800 600 400 200 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 Fuerzas

Las frecuencias fundamentales obtenidas de los resultados son similares a la frecuencia definida por el vibrador, aunque difieren relativamente.

P á g i n a 11 | 22


Ahora procederemos a realizar el ajuste por mínimos cuadrados: cuadrados:





0.751

1376.41

0.952

1296

1.49

1489.96

0.256

1413.96

0.452

1310.44

0.163

1183.36

0.672

1482.25

0.201

1361.61

1.46

1298.88

0.358

1376.4

0.868

1339.56

0.163

1528.81





1033.68

0.564

1233.79

0.906

2220.04

2.22

361.92

0.0655

592.32

0.204

192.89

0.0266

996.072

0.451

273.68

0.0404

1896.36

2.13

492.75

0.128

1162.56

0.753

249.19

0.0266

=.   =16457.44 =10705.252 ∑  =

7.5151

Calcularemos la pendiente:

∑ ∑ ( )( ) ∑     = ∑   (∑)  (7. 7 86)(16457. 4 4) 10705. 2 52 52   = 7.5151 (7.786)12  12 =11.008 P á g i n a 12 | 22


Calcularemos la intercepción en y: Comenzaremos calculando calculando la media de x e y:

̅ = ∑ ̅ = . ̅=0.648

 = ∑  = .  =1371.45

Usaremos la fórmula para calcular la intercepción en y:

 ̅  ̅ 1371.45 = m +b +b

b = - m b=

- (11.008)(0.648)

b=1364.3 Entonces tenemos: y=mx + b

y=11.008x + 1364.3

7. DISCUSIÓN DE RESULTADOS RESULTADOS Y CONCLUSIONES CONCLUSIONES 

La onda estacionaria es la suma suma de las continuas continuas ondas incidentes y reflejadas, pero no es realmente una onda pues no cumple con la ecuación diferencial de la onda.

El



experimento

nos

sirvió

para

contrastar

la

teoría

con

el

comportamiento real de una onda estacionaria; sin embargo, se presentan pequeños errores debido a diversos factores como la pequeña vibración en los nodos. 

La tensión por la cual se pueda generar la onda estacionaria estacionaria es igual al al peso de las masas que se encuentran en el vasito, y, además, experimentalmente, observamos cómo, aunque disminuimos la longitud P á g i n a 13 | 22


de la cuerda esto no afecta a la velocidad de propagación, debido a que, a pesar de que la longitud disminuya la densidad lineal permanece constante. 

Las frecuencias fundamentales obtenidas obtenidas de los resultados son diferentes a pesar de que el vibrador poseía una frecuencia definida, esto debido a que la frecuencia fundamental no depende solo de la longitud de la cuerda sino también de la tensión que se produce debido a la masa dentro del vasito y la densidad lineal de la cuerda.



Realizando la gráfica v2 vs F notamos que la pendiente de la gráfica es muy próxima a la inversa de la densidad lineal



Se concluye concluye que los nodos presentan la mayor energía energía potencial pues como no poseen amplitud, es decir, no realizan movimiento, no tiene una velocidad y por ende no posee energía cinética por lo que toda la energía mecánica del nodo es igual a la energía potencial, los puntos localizados en los antinodos la mayor energía cinética requerida para sus máximas amplitudes.



Gracias

al

experimento,

verificamos

y

pudimos

estudiar

experimentalmente la relación existente entre la frecuencia, tensión densidad lineal y la longitud de onda lo que nos permitió lograr nuestro objetivo principal.

P á g i n a 14 | 22


DIAGRAMA DE GOWIN

Estudiar la relación entre la frecuencia, tensión, densidad lineal y “longitud de onda” de una onda estacionaria en una cuerda tensa

Procedimientos: Hacer

Conceptos: Pensar

¿Para qué me sirve lo que aprendí?

Principios y teorías: Ondas y sus fenómenos Ondas transversales

Para poder comprender el funcionamiento por

Onda Estacionaria

ejemplo de la cuerda de una guitarra, además del poder calcular la densidad lineal de cualquier cuerda conociendo la frecuencia, tensión y la longitud de

Conceptos y definiciones:

onda esto es útil en el sentido de que muchas veces la masa de una cuerda es tan pequeña que nos complica el poder conocer su densidad lineal

Las ondas presentan diferentes fenómenos como la interferencia que es el fenómeno que permite la formación

de

ondas

estacionarias.

¿Cuáles son los resultados o afirmaciones?

Las ondas transversales son aquellas en las que la oscilación ocurre en una dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Las ondas estacionarias se denominan así porque nacen de la suma de dos funciones de ondas, pero estas no son una onda.

Hipótesis: Es posible estudiar experimentalmente la relación que existe entre la frecuencia, tensión, densidad lineal y “longitud de onda” de una onda estacionaria en una cuerda tensa

Verificamos y estudiamos la relación existente entre la frecuencia, tensión densidad lineal y la longitud de onda

La velocidad de propagación al cuadrado y la tensión presenta una relación con la inversa de la densidad lineal, esto lo comprobamos gracias a la gráfica realizada. Además, se comprueba la relación existente entre las variables

del

problema

que

conocíamos

¿Cómo los transformo o interpreto? Primero antes de transformar debemos interpretar todos los datos recolectados e intentar relacionarlos, luego se transformaron dichos datos presentándolos

Variables del Problema La frecuencia de la onda, la longitud de onda, la tensión y la densidad lineal de la cuerda

en forma de graficas donde podíamos apreciar de mejor manera l relación existente entre los datos conocidos y obtenidos durante el experimento

Lo que conozco del problema

¿Cómo organizo y registro los Datos resultantes?

Las masas que se encuentran en el vaso que

Organizamos los datos primeramente en una hoj a,

producen el peso, la longitud de la cuerda

para que después de los cálculos respectivos anotemos, en el presente informe, los datos resultantes que nos permiten hallar las conclusiones

Relacionar la frecuencia, tensión, densidad lineal y “longitud de onda”

P á g i n a 15 | 22


8. CUESTIONARIO

  

8.1. Grafique para todos los valores obtenidos en el experimento. Realice el ajuste lineal e indique el valor de u y el % de error.

^2  

Velocidad ^2 4500 4000 3500 3000

y = 2852.5x + 3.465 2500 2000 1500 1000 500 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fuerza

Se procederá a hallar la densidad lineal experimentalmente:

 = 

y = 2852.5x + 3.465

La pendiente de la ecuancion será m= Entonces u = u =

 .



=



10− 10−

3.505x

Se tenía que u = 3.50x

El porcentaje de error será:

%=    ×100 −.x ×100 % = .x.x  %=0.00142

P á g i n a 16 | 22


8.2. ¿Cuál es la frecuencia del oscilador utilizado en el experimento? (la incertidumbre y el error relativo) La frecuencia del oscilador utilizado en el experimento es 37.01 Hz y el valor de las frecuencias del vibrador obtenidas experimentalmente y sus errores relativos respectivos son:

F (N)

n

L (m)

f (Hz)

Error Relativo

0.751

2

1.250

37.10

0.002

0.952

2

1.450

36.00

0.027

1.490

1

0.845

38.60

0.043

0.256

4

1.440

37.60

0.016

0.452

3

1.490

36.20

0.022

0.163

3

0.942

34.40

0.071

0.672

1

0.569

38.50

0.040

0.201

1

0.324

36.90

0.003

1.460

1

0.896

36.04

0.026

0.358

2

0.863

37.10

0.002

0.868

2

1.360

36.60

0.011

0.163

5

1.380

39.10

0.056

8.3. Encuentre la expresión de la energía cinética para ondas estacionarias.

(,, ) =2()()  = 2 ((, ))  = 2 (4 ()() )  =2( =2(  ()()) )      ()) ∫  =(2  () () ∫ 

Sea la función de onda estacionaria:

Luego, evaluando la energía cinética para un tramo pequeño de la cuerda:

Derivando se obtiene:

Pero esta expresión es solo para un pequeño tramo, así que integramos:

P á g i n a 17 | 22


Como

 =2 ()). 2 =2  =        =   () y

, reemplazamos:

8.4. Determine las condiciones donde ocurren los valores máximos de la energía cinética.

     =   ()

De la ecuación se puede observar que la energía cinética será máxima cuando la Amplitud sea mayor que ocurre en los antinodos y cuando la velocidad sea máxima que ocurre en la posición de equilibrio estable. Se concluye que la energía cinética máxima se da a la mitad de distancia entre dos nodos.

8.5. Al incrementar la tensión, ¿Aumenta o disminuye el número de vientres? Justifique. Los números de vientres disminuirán al incrementar la tensión y esto lo podemos justificar fácilmente con la ecuación con la que podemos hallar la frecuencia que es la siguiente:

 = 2   Entonces, despejando “n” que representa el número de nodos y a partir del cual podemos conocer el número de vientres, se tiene la siguiente fórmula:

 = 2  √ 

En la formula despejada notamos claramente que entre más se incrementa la tensión el número de vientres disminuirá, ya que la longitud de la cuerda, la frecuencia y la densidad lineal permanecerán constantes. Sabemos que dicha fórmula es verdadera porque la fórmula de la que se despeja se comprobó que experimentalmente en el laboratorio.

8.6. Al incrementar la frecuencia, ¿Aumenta o disminuye el número de vientres? Justifique. Los números de vientre aumentaran al incrementar la frecuencia y esto podemos verlo claramente en la formula despejada en la pregunta anterior: P á g i n a 18 | 22


 = 2  √ 

Esto se justifica debido a que qu e solo variara la frecuencia mientras la longitud de la cuerda, la densidad lineal y la tensión t ensión permanecerán constantes.

9.7. Al incrementar la tensión ¿La velocidad aumenta,disminuye o se mantiene constante.

de

la

onda

La velocidad de una onda viajando a través t ravés de una cuerda de vibración es directamente proporcional a la raiz cuadrada de la tensión de la cuerda (T) entre la densidad lineal (u). Se tiene:

 =   Si aumentamos la Tensión T: Se tendrá como consecuencia el aumento de la velocidad de propagación debido a que son directamente proporcionales.

8.8. Flautas son básicamente tubos con aberturas en ambos extremos, pero clarinetes, trompetas y trombones son básicamente tubos que están cerrados en un extremo. ¿Por qué hace esto una diferencia en las frecuencias que cada instrumento produce? Se hace una diferencia de frecuencias porque existe una correspondencia a lo que se refiere a si un nodo (extremos cerrado) o antinodo (extremo abierto) para un extremo, teniendo en cuenta, que, para estos casos, el otro extremo por señalar se encuentra abierto. En otras otr as palabras, se explica lo siguiente:

Ondas con extremos libres Cuando una onda estacionaria está confinada a un espacio con los dos extremos libres, coincide un antinodo con la zona abierta. Las condiciones que se imponen es este caso es que tanto en x=0, como en x=L debe haber un antinodo. De esta manera nos damos cuenta que se cumple la misma condición que las ondas estacionarias con ambos extremos fijos, o sea λ = 2L.

P á g i n a 19 | 22


En un tubo con ambos extremos libres, las frecuencias de vibración natural forman una serie armónica, es decir, los armónicos más altos son múltiplos enteros del frecuencia fundamental.

Entonces nos queda:

 = 2 ; ;  = 1,2,3… 3 …  =  = 2  ()

Ondas con un extremo fijo y otro libre

Cuando las ondas estacionarias están confinadas en un tubo con un extremo libre y uno fijo, como la zampoña, tenemos que x=0 y debe situarse un nodo, en cambio en x= L debe haber un antinodo. Así el primer armónico encontramos que la longitud del tubo coincide con una cuarta parte de la longitud de la onda.

14 =,=4 El segundo armónico se produce cuando en el tubo hay tres cuartas partes de la longitud de onda.

34  =  4   = 1,2,3 …  = 21  = 4 (21) 21)  = = 1,2,3 … ()

Si nos fijamos en la imagen inferior, podemos llegar a la fórmula general para cualquiera longitud de onda de cualquier modo.

Por lo que la frecuencia del modo enésimo es:

P á g i n a 20 | 22


En un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro, la serie armónica creada consiste sólo de múltiplos de entero impar de la frecuencia fundamental: f 1 , 3f 1 , 5f 1 , …

Por lo que se concluye de (a) y (b) que dependiendo que si el tubo esta abierto en uno o dos en sus extremos la frecuencia la longitud de onda, dada una longitud L, va a cambiar según sea el caso, y por ende, existe una diferencia de frecuencias.

9. REFERENCIAS [1] Giancoli, D. (2008). F i isica s ica para ciencias e ingenier i i a 4th ed. Volumen 1, pág.258265, Naucalpan de Ju Jurez: Pearson Educació Educaci ón. [2] Young, H. & Freedman, R., (2013), SEARS & ZEMANSKY Física Universitaria 12 Edición Volumen 1 pág. 296-303, México, Pearson Education.

10.ANEXOS 10. ANEXOS La ecuación diferencial de onda y sus soluciones La ecuación diferencial obtenida describe la dinámica de la onda en la cuerda. En lo sucesivo, omitiremos las dependencias x y t que deben sobreentenderse. Además introducimos la constante , definida como:



 = ()/

Luego veremos que tal constante debe ser interpretada como la velocidad de propagación de la onda a lo largo de la cuerda. Con estas notaciones, la ecuación diferencial se escribe

P á g i n a 21 | 22


Esta es una ecuación diferencial de segundo orden en derivadas parciales. A continuación veremos que funciones de la forma

=

(,, ) =()

Son soluciones de la misa. Para ello calculamos las derivadas y las reemplazamos. Sea . Entonces

Reemplazando en la ecuación diferencial llegamos a una identidad, por lo que asumimos que la función propuesta es solución. Habríamos llegado a la misma conclusión si la función propuesta hubiera sido

(,, ) =(+)

P á g i n a 22 | 22

3lab Física (1).pdf

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