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UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRÉS BELLO Facultad de Ingeniería Escuela de Telecomunicaciones

Señales y Sistemas II Módulo VIII: Filtros Discretos de Respuesta Impulsiva Infinita Infinita

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Contenido de este módulo

1.1.- Dise Diseño ño de de filtr filtros os IIR IIR usando repuesta impulsiva invariante 2.2.- Dise Diseño ño de de filtr filtros os IIR IIR usando la transformación bilineal 3.3.- Dise Diseño ño de de filtr filtros os IIR IIR usando métodos de optimización 4.- Transfo Transforma rmacio ciones nes de filt filtros ros

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Observación importante

REPASAR LOS CONCEPTOS Y MÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS IIR CONTINUOS: BUTTERWORTH, CHEBYSHEV Y ELÍPTICOS

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1.-- Di 1. Dise seño ño de de filtr filtros os IIR IIR usando repuesta impulsiva invariante 2.2.- Dise Diseño ño de de filtr filtros os IIR IIR usando la transformación bilineal 3.3.- Dise Diseño ño de de filtr filtros os IIR IIR usando métodos de optimización 4.- Transfo Transforma rmacio ciones nes de filt filtros ros

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Respuesta impulsiva invariante

La forma más intuitiva de diseñar un filtro IIR discreto es mediante el muestreo de la respuesta impulsiva de un filtro continuo conocido: h[n] = T s hc (nT s )

Este procedimiento se conoce con el nombre de “respuesta impulsiva invariante”

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Respuesta en frecuencia y aliasing

6

La respuesta en frecuencia del filtro discreto obtenido h[n] estará dada, de acuerdo con el teorema de muestreo, por: ∞

H (j /T + j 2 Σ k -

H(e j ) =

c

=

s

k /T s ) , con

=

T s

∞

donde se hace evidente que para evitar aliasing, la respuesta en frecuencia del filtro continuo original debe ser de banda limitada: H c ( ) = 0 para | | ≥ /T s , de forma que la respuesta del filtro discreto sea: H(e j ) = H c (j /T s ) para | | ≤


Construcción del filtro discreto

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Supongamos un filtro continuo cuya función de transferencia H c (s) y su respuesta impulsiva hc (t) están dadas por: K

Σ k 1

H c (s) =

=

K

C k s – sk

s t , si t ≥ 0 C e Σ k k

hc (t) =

k=1

si t < 0

Aplicando el procedimiento descrito obtenemos h[n] : K

Σ k 1

h[n] = T s hc (nT s ) =

=

T s C k ( e s T )n u[n] k

s


Función de transferencia obtenida

La función de transferencia del filtro discreto es: K

Σ k 1

H(z) =

=

T s C k 1 – e

sk T s z –1

Polos z = e s T

Coeficientes T s C k

Polos s = sk

Coeficientes C k

k

s

y comparando con la del filtro continuo: K

Σ k 1

H c (s) =

=

C k s – sk

8


9

Ubicación de polos en los planos S y Z

Plano Z

Plano S

z k = e j sk =

k +

j

|z k | = e k

T s

k

T s

k


Observaciones importantes

10

Para la técnica de respuesta impulsiva invariante debe tenerse en cuenta que: • Dependiendo del contenido de frecuencia del filtro continuo

original podrá ocurrir solapamiento espectral o aliasing. • Dado un filtro continuo de partida causal y estable, el filtro

discreto resultante también será causal y estable. • La ubicación de los polos del

filtro discreto resultante z k se

relaciona con la de los del filtro continuo sk mediante la relación: z k = e s T , sin embargo no se puede decir lo mismo de las ubicaciones de los ceros !!! k

s


Ejercicio VIII.1

• DISEÑO DE UN FILTRO IIR

Se desea diseñar un filtro IIR discreto pasabajo con frecuencia de corte

c

= /4.

Utiliza el método de respuesta impulsiva invariante para diseñar el filtro deseado a partir de un filtro continuo Butterworth de orden 2.

11


12

Ejercicio VIII.1

• RESPUESTA

La función de transferencia H(s) de un filtro Butterworth de orden 2 está dada por: H(s) =

1 (s / c )2 + 2 (s/ c ) +1

donde la frecuencia de corte de tiempo continuo

c

se re-

laciona con la frecuencia de corte de tiempo discreto través de la expresión:

c

=

c T s

c

a


Ejercicio VIII.1

• RESPUESTA (continuación)

Reescribiendo H(s) y hallando la ubicación de los polos: H(s) =

2 c

s2 + 2

cs +

p1,2 = –

2 c

c (1+ j)

de forma que: H(s) =

2 c

(s +

c (1+ j)

/ 2 ) (s +

c (1

– j) / 2 )

/ 2

13


Ejercicio VIII.1


Descomponiendo H(s) en fracciones simples: H(s) =

j (s +

c /

2 c (1+ j) / 2 )

+

– j (s +

c /

2 c (1 – j) / 2 )

y aplicando la transformación vista en la lámina 8: H(z) =

j

c T s / 2 – (1+j) c T s / 2 –1 z

1 – e

+

– j

c T s / 2 – (1–j) c T s / 2 –1 z

1 – e

14


Ejercicio VIII.1

15


Finalmente, manipulando la expresión de H(z) y usando c

=

c T s

H(z) =

se obtiene:

2

– e c

c /

sin( c / 2 ) z –1

2

–

1 – 2 cos( c / 2 ) e

c /

2

–

z –1 + e

c

2

z –2

de donde se extraen fácilmente los coeficientes de la ecuación en diferencias b0, b1, a0, a1 y a2


Ejercicio VIII.1

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Ubicación de polos y respuesta impulsiva del filtro diseñado Diagrama de Polos y Ceros

Respuesta impulsiva 0. 4

1

0. 3 0. 5 0. 2 0 0. 1 -0.5 0 -1 -1

-0.5

0

0.5

1

-0.1 -10

0

10

20

30


Ejercicio VIII.1


Respuesta en frecuencia H(e j ) del filtro diseñado Espectro de amplitud (en dB)

Espectro de fase

0

4

-5

2

-10

0

-15

-2

-4

-20

0

π

0

π

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Ejercicio VIII.1


Respuestas impulsivas del filtro continuo original y del filtro discreto diseñado 0. 4

0.35

h[n]

0. 3

0.25

hc (t )

0. 2

0.15

0. 1

0.05

0

-0.05 -10

-5

0

5

10

15

20

25

30

18


1.- Diseño de filtros IIR usando repuesta impulsiva invariante 2.- Diseño de filtros IIR usando la transformación bilineal 3.- Diseño de filtros IIR usando métodos de optimización 4.- Transformaciones de filtros

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La transformación bilineal

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Una manera de evitar el problema de aliasing en el diseño de filtros IIR es el uso de la transformada bilineal, la cual se realiza mediante la siguiente substitución, o cambio de variable: s=

2 T s

1 – z –1 1 + z –1

De esta forma la función de transferencia del filtro discreto se calcula como: 2 H(z) = H c T s

1 – z –1 1 + z –1


Relación entre los planos S y Z

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La transformación bilineal es una manipulación algebraica que ofrece un mapeo bidireccional y no lineal entre los planos complejos S y Z Plano S Semiplano izquierdo

Plano Z

Eje imaginario

- ∞ ≤

≤∞

Círculo unitario

-

≤

≤

s=0 Interior del círculo unitario Semiplano derecho

Exterior del círculo unitario

z = 1


Distorsión de la frecuencia

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La transformación bilineal tiene como consecuencia una compresión no lineal del eje de frecuencia de tiempo continuo j sobre el eje de frecuencia de tiempo discreto . Dicha compresión está dada por:

= 2 arctan( T s /2)


Observaciones importantes

23

Para la técnica de transformación bilineal debe tenerse en cuenta que: • El eje de frecuencia de tiempo continuo es comprimido en

forma no lineal sobre el eje de frecuencia de tiempo discreto. • Dado un filtro continuo de partida causal

y estable, el filtro

discreto resultante también será causal y estable. • La ubicación de los polos y ceros del

filtro discreto resultante

relaciona con la de los del filtro continuo mediante la relación establecida por la transformación bilineal.


Ejercicio VIII.2

• DISEÑO DE UN FILTRO IIR

Se desea diseñar un filtro IIR discreto pasabajo con frecuencia de corte

c

= /4.

Utiliza el método de la transformación bilineal para diseñar el filtro deseado a partir de un filtro continuo Butterworth de orden 2.

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Ejercicio VIII.2

• RESPUESTA

Nuevamente la función de transferencia H(s) de un filtro Butterworth de orden 2 está dada por: H(s) =

1 (s / c )2 + 2 (s/ c ) +1

pero ahora, la frecuencia de corte de tiempo continuo c se relaciona con la frecuencia de corte de tiempo discreto c

a través de la expresión:

c

= 2/T s tan( c /2)

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Ejercicio VIII.2


Aplicando la transformación bilineal: s=

2 T s

1 – z –1 1 + z –1

y la relación entre frecuencias: tenemos que: H(z) =

c

= 2/T s tan( c /2)

tan2( c /2) 1 – z –1 2 1 + z –1

+ 2 tan( c /2)

1 – z –1 1 + z –1

+ tan2( c /2)

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Ejercicio VIII.2

27


Finalmente, manipulando la expresión de H(z) se obtiene: b0 = b2 =

a0 = 1

tan2( c /2) 1 + 2 tan( c /2) + tan2( c /2) a1 =

b1 = 2 b0

2 tan2( c /2) – 2 1 + 2 tan( c /2) + tan2( c /2) a2 =

1 – 2 tan( c /2) + tan2( c /2) 1 + 2 tan( c /2) + tan2( c /2)


Ejercicio VIII.2

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Ubicación de polos y respuesta impulsiva del filtro diseñado Diagrama de Polos y Ceros

Respuesta impulsiva 0. 4

1

0. 3 0. 5 0. 2 0

2 0. 1

-0.5 0 -1 -1

-0.5

0

0.5

1

-0.1 -10

0

10

20

30


Ejercicio VIII.2


Respuesta en frecuencia H(e j ) del filtro diseñado Espectro de amplitud (en dB)

Espectro de fase

20

4

0 2 -20 0 -40 -2 -60

-80

-4

0

π

0

π

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Ejercicio VIII.2


Respuestas impulsivas del filtro continuo original y del filtro discreto diseñado 0. 4

0.35

h[n]

0. 3

0.25

hc (t )

0. 2

0.15

0. 1

0.05

0

-0.05 -10

-5

0

5

10

15

20

25

3

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Comparación entre métodos

Respuestas en frecuencia de los filtros diseñados usando el método de respuesta impulsiva invariante y el método de la transformación bilineal Espectros de amplitud

Espectros de fase

1

4

Respuesta impulsiva invariante

0. 8

0. 6

Transformación bilineal

2

0 0. 4 -2 0. 2

0

-4

0

π

0

π

31



32


Diseño como problema de optimización

33

Otra metodología de diseño de filtros IIR consiste en plantear el diseño en términos de un problema de optimización: Para tales efectos se define una Respuesta aproximada

H(e j )

j

H d (e ) Respuesta deseada

función de error en términos de la diferencia entre las respuestas deseada y aproximada. Luego se procede a minimizar la función de error.

Nota: No es objetivo de este curso entrar en los detalles de la resolución de problemas de optimi zación. Sólo veremos a modo ilustrativo esta técnica de diseño.


Método de Deczky

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Entre los algoritmos de diseño de filtros IIR que usan métodos de optimización, uno de los más populares es el presentado por Deczky (1972). En este procedimiento, la función de transferencia del filtro diseñado H(z) es representada en forma de productoria: K

Π

H(z) = G

k

=1

(1– z k z –1 ) (1– z *k z –1 ) (1– pk z –1 ) (1– p*k z –1 )

donde G es la ganancia y * denota conjugación compleja.


Error total y error de magnitud

Y la función de error se construye en términos de una suma pesada del error de magnitud y el error de retardo de grupo entre la respuesta deseada y la diseñada: Error total = Error mag + (1– ) Error rdeg

donde el error de la magnitud se define como: N

Σ i 1

Error mag =

=

W mag ( i ) | H d (e j ) – H(e j ) |2 m i

i

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Error de retardo de grupo

y el error del retado de grupo se define como: N

Σ i 1

Error rdeg =

W rdeg ( i ) |RG d (e j ) –RG(e j ) + c |2 q i

i

=

NOTA: el retardo de grupo RG(e j ) se define como menos

la derivada de la fase de la respuesta en frecuencia. RG(e j ) = – d d

H(e j )

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Solución del problema de optimización

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De esta forma el error total queda definido como una función de 4K+2 variables: las magnitudes y fases de los K pares conjugados de polos y ceros, la ganancia G y la variable de ajuste c. El mínimo de la función de error se busca igualando a cero el gradiente del error, lo cual da origen a un sistema de 4K+2 ecuaciones no lineales que Deczky resuelve utilizando el algoritmo iterativo propuesto por Fletcher y Powell (1963).


Criterio de optimalidad

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El método presentado por Deczky tiene la ventaja de ofrecer un criterio de optimalidad variable, el cual es controlado por los parámetros m y q que aparecen en las expresiones del error de magnitud y del error de retardo de grupo respectivamente. De esta forma: • Para m = q = 1 se está utilizando el criterio de minimización del error cuadrático medio. • Para m y q muy grandes (m,q ∞) el criterio de minimización aproxima el criterio minimax.



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40

Transformaciones de filtros

Otra estrategia de diseño bastante común es el uso de transformaciones para obtener una respuesta en frecuencia deseada a partir de un filtro prototipo pasabajo discreto. Transformación Filtro Prototipo

Respuesta deseada |H(e j )|

|H(e j )|

0

π

0

π


Dado un filtro pasabajo con frecuencia de corte

, se puede

p

obtener un nuevo filtro pasabajo con frecuencia de corte mediante el uso de la siguiente transformación:

z –1

=

z –1 – 1 – z –1

41

Transformación pasabajo a pasabajo

=

p

sin(½[ p – p ]) sin(½[ p + p ])

Tomado de Oppenheim & Schafer (1989)


42

Transformación pasabajo a pasaalto

Dado un filtro pasabajo con frecuencia de corte p, se puede obtener un nuevo filtro pasaalto con frecuencia de corte mediante el uso de la siguiente transformación:

z –1

= –

z –1 + 1 + z –1

p

cos(½[ p + p ]) = – cos(½[ p – p ])



Transformación pasabajo a pasabanda

43

Dado un filtro pasabajo con frecuencia de corte p, se puede obtener un nuevo filtro pasabanda con frecuencia de corte inferior p1 y frecuencia de corte superior de la siguiente transformación: z –1

z –2 –

= – k – 1

k+1

2 k k+1

z –2 –

z –1 + 2 k k+1

k–1 k+1

z –1 + 1

=

p2

mediante el uso

cos(½[ p2 + cos(½[ p2 –

k = cot(½ [ p2 –

p1 ])

p1 ]) p1 ])

tan(½ p )



Transformación pasabajo a rechazabanda

44

Dado un filtro pasabajo con frecuencia de corte p, se puede obtener un nuevo filtro rechazabanda con frecuencia de corte inferior p1 y frecuencia de corte superior de la siguiente transformación: z –1

=

z –2 –

2 1 + k

z –1 +

1 – k –2 2 z – 1 + k 1 + k

1–k 1 + k

z –1 + 1

=

p2

mediante el uso

cos(½[ p2 + cos(½[ p2 –

k = tan(½ [ p2 –

p1 ])

p1 ]) p1 ])

tan(½ p )


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