III. Calcul des éléments secondaires
INTRODUCTION : Dans toute structure on distingue deux types d’éléments :
•
Les éléments porteurs principaux qui contribuent aux contreventements directement.
•
Les éléments secondaires qui ne contribuent pas au contreventement contreventement directement.
Ainsi l’escalier et l’acrotère sont considérés comme des éléments secondaires dont l’étude est indépendante de l’action sismique (puisqu’ils ne contribuent pas directement à la reprise de ces eorts!" mais ils sont considérés comme dépendant de la géométrie interne de la structure.
A. L’A ’ACRO CROTÈR TÈRE E A.1. INTRODUCTION : L’acrotère est un élément de sécurité au niveau de la terrasse. Il forme une paroi contre toute chute, il est considéré comme une console encastrée à sa base, soumise à son poids propre et à une surcharge horizontale. Il est soumis à la flexion composée due à :
∗ n effort normal du à son poids propre (G). ∗ n moment du à la surcharge (Q) IL a pour r!le de :
• "rotection d’étanchéité. • #ervant comme garde corps. • $ntretient des fa%ades. A.2. PRINCIPE PRINCIP E DE CALCUL : Le calcul se fera en flexion flexion composée dans la section d’encastremen d’encastrementt pour une bande de &m linéaire. L’acrotère est exposé aux intempéries, donc la fissuration est pré'udiciable, dans ce cas le calcul se fera à l’$L, et à l’$L#.
A.3. EVALUATION EVALUATION DES CHARGES CHA RGES : cm
&+cm
-cm cm *+cm /
( #chéma de l’acrotère )
&+ cm
a) charge permanente :
Q
#0 1+.*+.&2+.++.&2 3+.+- +.&4562+.++.&
⇒ /0#x6
⇒
#0+.+-6 m7
G= 1.837 KN/m G
b) Surcharge d’exploitation :
* + c m
(de la main courante de personne!.
Q= 1 KN/m
Détermination ion de l’effort l’effort due au séisme : c) Déterminat 8’après 8’après le RPA!!V2""3 39rticle *.6.-4 les éléments non structuraux doivent tre calculés sous l’action des forces horizontales suivant la formule suivante ;
#P = $ A CP %P A #$"%& .<<<<<<<<<.. #$"%& .<<<<<<<<<..A: coefficient d’accélération de zone 3zone II4. ' #$")$<<<<<<< #$")$<<<<<<
>" 0 ?@+,&@+,A+@&.A-
• P&' G :
⇒ #P = ".88 KN/m
B/0 &.A- CB5ml D/0 + E/0 +
• P&' Q :
BF0+ DF0GxF0 +.* CB5ml EF0F0 & CB5ml
• P&' # :
B>p0 + D>p0+.*x+.AA0 +.6A CB5ml E>p0>p0 +.AA CB5ml
Hn a : #P*Q + alors, le ferraillage sera donc donnée par les sollicitions du deuxième cas ui sont :
"oids propre : B / 0 &.A- CB5ml
#urcharges : F 0 &.++ CB5ml
n moment : D $ 0: F..h0&.+++.*0 +.* CB5ml
n effort tranchant : EF 0 &.++ CB
A.$. EVALUATION DES SOLLICITATIONS : • E,-, m, ',m : B 0 &.- B / 0 &.- @&.A- 0 6.?A CB D 0 &. DF 0 &.@+.* 0 +.J CB.m E 0 &.×EF 0 &.×& 0 &. CB
E,-, m, 0 :
•
Bser 0 B/ 0 &.A- CB Dser 0 DF 0 +.* CB.m Eser 0EF0 & CB
• V45-,&6 0 6&6 5-mm6,: Le calcul se fait à l’état limite ultime, notre acrotère est assimilé à une console: L #0.L $
L : la longueur de lambement.
06x+.*
= L
⇒
L5 = 1.2 m
&6
a: l’épaisseur de l’acrotère.
a
= &.6
&6
⇒
= $1.97
+.&
1: l’élncement.
L’excentricité:
e$ 0
a
⇒
*
e$ 0
⇒ e%0
2u
*
0 +.+& m
" =1.7 m
⇒
.u
+.&
e%0
⇒
+.J 6.?A
e$: l’excentricté du noyau central. 0 +.-* m
1 =3 m
e%: l’excentricté du premier ordre.
e% 3 e$ ⇒ la section est partiellement comprimée.
max0 Dax33+,min3&++, e&5a4 4 cm 0 Dax33+,min3&++, $.+4 5+.&4 4 cm on a :
0 ?&. ≤ m-;= 9"
L’excentricité total de calcul :
e#ea5e%5e0 ea# 2ax(0cm "
l 6+
!
⇒ m-;= 9"
donc : pas de risue de flambement.
# 2ax(0cm "
e0#( +x 8#$
*+ 6+
L 7 &++++ x6
⇒
!
-=2m.
!(05a.7!
car : / ne crée aucun moment.
7#0 donc : e0#( +x
3&.647
!x0
⇒ 2=".8 m
⇒
=38.98 m
&++++ x +.&
9lors : e#ea5e%5e0
062-*2+.A*
C-' 0' &556, 0 m-<&-,&6 : (5) min3 &2+.&35-473a5e+4 , &.? 4 <<<<..<..si : e$ /6 3$.,&
Kf 0
&2+.6235-47 <<<<<<<<<<<.<. si : e$ /6
• = L a &6 = &.6+.&&6 •
⇒
≤ $.,&
= $1.97
e&5a 0 -.* M +.
8onc: Kf 0 min [&.? ; &2+.&3 λ5-47×3a5e+4] 0 min [&.? ; &2+.&3?&.5-47 ×3+.&5+.-*4] 0 min [&.? ; &.+J ] 9lors :
Kf 0 &.+J
A.9. #ERRAILLAGE :
C-' > ?ELU : Le calcul se fait sur une section rectangulaire avec : h 0&+ cm b 0&++ cm
d0A cm
h0&+cm
d0 A cm
d’0 6 cm b0&++cm DuN59 9
BuN59
DuN5/ BuN5/
« Schémas des Coupes transversales de l’acrotère
Les sollicitations ma!orées :
BuN 0 9 x u # &.+Jx6.?A 0
2.2 KN ".!! KN.m
D/N 0 BuN 3e+ 2 ea4 0 6.*6* 3 +.-* 2 +.+6 4 0
@-'-,&6 0 m&m6, -' 6-' 0 -m-,' ,60' : D9N 0 D/N 2 BuN ×3d O h564
⇒
0+.JJ 2 6.?A 3 +.+A O +.&56 4
UAB = 1."$ KN.m
C-' > - 5;&6 m : Hn peut maintenant terminé le calcul par assimilation à la flexion simple.
σ bu# bu#($.)&. c0) !/ b σ bu#
+.A x 6 &.
σ s# e / s 0
b#%.&
0 1$.1 P-
?++ &.&
0 3$8 P-
Le moment réduit :
µ 0
2 ;A bo d 7 bu
0
= ".18
&.+*? x&+
−-
= "."12
⇒
6
& x+.+A x&?.&*
⇒ pas d’acier comprimé.
Hn a le domaine3&4 ,
εs 0 & P , σs 0 -?A Dpa
α 0 &.6 3& O
4
3& − 6u 4
A # D9N / < ×σ s As # A = u/ σ s
= 7.!9 m
⇒
< # d(% = $.> ×α !
⇒ ⇒
= "."19
⇒
A5 = 38.32 m A = "3"m
.
UAB (KN/m)
F (m)
(P)
(P-) &.+*? +.+&6 +.+& +.+J & -?A "ableau de Calcul de la section des armatures .
C-' > ?E.L.S :
#osition du centre de pression :
Bser 0 &.A- CB Dser 0 +.* CB.m
es 0 Dser 5Bser 0 +. *5&.A- 0 +.-6 m
A5 (m2/m) AS(m2/m) +.-A-
+.-+
e+ 0 h 5* 0 +.+& m. es > e+
⇒
La section est partiellement comprimée 3#.".Q4
Sollicitations ma!orées :
Bser N 0 9 x ser # &.+Jx&.A-0 1.!$9 KN Dser5/N 0 39 x Dser 4 2 3Bser N x ea4 0 3&.+J x +.*4 2 3 &.J? x +.+6 4 0
".7 KN.m
Le moment fictif:
Dser9N 0 Dser/N 2 Bser N ×3d O h564
⇒
0+.* 2 &.J? 3 +.+A O +.&56 4
AB = ".728 KN.m
Calcul au flexion simple:
OLa contrainte du béton est donnée à $L# par la formule suivante :
σ bc # $.4 × c0) 0 19 OLa contrainte de l’acier :
σ sc # min (0/+ c" %&$ ×η 2pa ! 3>issuration pré'udiciable4. η # %.4 σ sc 0 min 365- × ?++, &+×&.*4
⇒
= 2$" -
Qalcul du moment limite de service D & : 2 % # µ r .b.d?.σ bc
µ r # ( α /0! r / (% @ α /+! r α r # (%& σ b c! / (%&σ bc 5 σ s ! 0 +.?A? µr 0 +.6+- ⇒ 1 ="."1!9 KN.m Dser9N < D& 3 pas d’armateur comprimé 9 0 + 4. `
R 0 d3& O αr 5-4 0 "."7 m 9s 0 Dser 53R.σs4 0 +.6A53+.+* ×6?+4 0 ".$9 m Qalcul à la flexion compose: 9ser 0 9s O Bser N 5σs 0 +.?.&+ O? O 3&.J?56?+4
A = ".3m Dais: A s#2axAu " A ser " Amin B
P&'6,- m6m- 0?-m-,' &6,'06-: Amin#$.0+.b.d. t0) / e# ".! m 9lors : A s#2axAu " A ser " Amin B
⇒
# Dax1+.-+ , +.-* , +.J** S
A=".! m
Bous adoptons un ferraillage sTmétriue : $ T 8 /m
•
V45-,&6 0 - &60,&6 0 6&6 5-,4 :
9s06.+& cm7 ≥ 9min0+.J** cm7
•
.. A=2."1 m
..C.V
V45-,&6 -' -m6, :
Hn doit vérifier la condition suivante : τu U τu’ 0
τ u
Cu max b + d
Vu 0 &, CBm 0 +,++&5 3&x+.+A4 0 +.+&A Dpa
τ u τ u
0 min 3 +.& fc6A 5 γ b , - D"a4 0 min 3 6. Dpa , - D"a4
τ u
U
τ u
⇒
⇒
'?= 2.9 P-
pas de risue de cisaillement.
9lors : les armatures transversales ne sont pas nécessaires.
•
V45-,&6 0 &6,-6, : σ b ≤ σ bu
Hn doit vérifier ue : σ bu
et σ s ≤ σ s
#$.4. c0) #19 -
σ b #-. ser -# ser /E.
$$$$$$$$$$$$$$$$$$% &'(L*%
P&,&6 0' 6, 0 &6 (C): C : c’est la distance du centre de pression à la fibre la plus comprimée de la section. : la distance de l’axe neutre au centre de pression. ser # c5' '# 6/0 @ e $ = +.&56 W +.*5&.A- 'F$
⇒ C=J".27 m
⇒ le centre de pression se trouve à l’extérieur de la section.
C-' 0 - &',&6 : Xc : c’est la solution d’euation.
3 . =" p0 O-Q7 O 3Q O d4.3*n
A′ G
0 O6Q- O 3Q O d47.3*n
4 2 3d O Q43*n.
A′ G
A G
4 2 3d O Q473*n.
4
A G
4
;
A′ 0+
8onc : p0 O-Q7 O 3Q O d4.3*n 0 O6Q- O 3Q O d47.3*n
-
G A G
40 J ".222 m 4 0 J "."3!7 m
3
M ".212 "."33 ="
L’éuation devient : ∆ 072?.p
A
56<AEL!1
0 3+.+-*-472?.3O+.6&64 -56 0 O +.++++??A ∆U
-.q
⇒ on calcul : cos ϕ # 6. p
+
⇒
cos ϕ # @ $.H)4 a06
− p -
−-
p
ϕ #%,$.>$I
⇒ a0+.??* m
les solution des éuation sont : X&0 a.cos3 ϕ 5-4 0 +.6JA m. X60 a.cos3 ϕ 5-2&6+Y4 0 +.?- m. X-0 a.cos3 ϕ 5-26?+Y4 0 +.6? m. Hn choisit la solution ui convient parmi les 3-4 solutions. #oit : X&0Xc0+.6JA m.
⇒
Xser 0X&0Q0 6.6 cm.
= 2.2 m.
C-' 0' m&m6, 0?6, 0 - ,&6 ,&,- &m&6 (I) : ⇒ I=2."7!.1"J9 m$ E 0b.Xs- 2 &.9s3d W Xs47 K=2331.217 mJ3 σ b0C.Xser 0 6*--&.6&x+.+66 ⇒ σ =".97! P⇒
C03Bs5I4.Xc
σ b0+.J
≤
D"a
σ bu
0&D"a
C.V
V45-,&6 > - 5'-,&6 : σ s#%&.-.(d = c !
⇒
+ 22.!"8 P-.
s
La issuration est préJudiciable :
σ s# 66.J+A D"a ≤ σsc 0 6?+ Dpa C.V
L -m-,' 0 4-,,&6: At #
A& ?
#
6.+&
Hn adopte :
?
# ".9"2 m
$ T 8 = 2."1 m.
L’espacement : #t0
*+ ?
0
19 m
A..Cro,uis de ferraillage :
B. LES ESCALIERS
.1. D456,&6 464- : n escalier est un élément constitué d’une succession de gradins permettant le passage à pied entre les différents niveaux. Hu bien, il sert à relier deux différents niveaux d’une construction. La cage d’escalier est située à l’intérieur du bZtiment et l’escalier adopté est du tTpe coulé en place dont la paillasse viendra s’appuTer sur les paliers.
.2. C&m&,&6 0?'6 - : Il est caractérisés par :
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
La montée ou la hauteur d’escalier 3G4. La hauteur d’une marche 3h4. Le giron : la largeur de marche 3g4. L’emmarchement : la largeur de la volée 3b4. La contre marche : la partie verticale d’une marche. La paillasse : plafond ui monte sous marches. Le palier : la partie horizontale. La volée : suite ininterrompues des marches.
.3. 0m6&66m6, 0?- : Le choix de dimension en fonction du condition d’utilisateur et de destination de l’ouvrage ; pratiuement on doit remplir les condition suivantes : O "our passer d’un étage à l’autres difficilement, on prend entre &? et 6+cm :
1$m * * 2"m $t entre le 66 cm et --cm : O
22m * * 33m
"our vérifie ue la condition convient, on utilise la
formule empiriue de GLKDL :
2=m
9vec : Jcm[ m [ **cm 8ans notre cas nous avons : &? cm [ h0 & cm [ 6+cm 66 cm [ g 0 -+ cm [ --cm J cm [ g26h 0 *?cm [ **cm 8onc on adopte :
= 17 m = 3" m
% -ombre de contre marche et de marche :
Bc.m 0G56h
5G : hauteur libre d’étage
Bc.m 0 -.+*56 & 0 ! contre marches Bm 0 Bc.m O& 0 8 marches. % La longueur de la volée :
Lv0 Bmg0 A -+ 0 2$" m % L’angle d’inclinaison :
tg\ 0 G5L 0 &-56?+ 0 +.*- \ 0 cotg 3+,*-4 0
3291"
% L’épaisseur de la paillasse : est calculée suivant la condition
L/+$M e ML/0$ L0 3l62 G64&56 0 36+?62&-64&56 0 28$2m 6A?,*65-+ [ e [ 6A?,*656+ J,?A cm [ e [ &?,6-& cm Hn adopte:
=17m<<<< ((our les raisons de la vériication de la lèc6e!!
.$. E-'-,&6 0 - : Hn à un escalier à double palier a)% Le palier :
-,4-'; Qarrelage Dortier de pose Qouche de sable "oids propre de palier $nduit ciment
E-' (m) G = 9.7! Q = 2.9 6
P&0 &'m' (KN/m) KN/m3 (KN/m)6+
6 6 & 6
6+ &J 6 &A
N. : on à deux paliers de longueur 3 L&0+. et 8onc :
P&0 (KN/m2) +.?+ +.?+ +.-A ?.6 +.-*
L60&.*+ 4 m
G=G1 =G2= 9.7!KN/m2 Q= Q1 =Q2= 2.9KN/m2
&)% La volée .paillasse )
-,4-';
E-' (m)
P&0 &'m'
Qarrelage Dortier de pose
6 6
P&0 (KN/m2)
KN/m3 6+ 6+
+.?+ +.?+
Qouche de sable "oids propre des marches "oids propre de la paillasse $nduit ciment
6 A. & 6
G = 8.92 Q = 2.9
&J 6 &A5cos-6.*6 &A5cos-6.*6
+.-A &.A .+-J +.?-
(KN/m) (KN/m)
.9. #-- 0?- : L’escalier est un élément ui n’est pas exposé aux intempéries, donc les fissurations sont considérées comme peu nuisible ; La section est soumise à la flexion simple. L’enrobage : Q ≥ 1 cm soit c = 2cm.
&-+cm -cm &-+cm
9"m
cm
6?+cm « (scalier /vue en plan/
&*+cm
&-cm
6?+cm
9"m 3"m cm
&*+cm
« (scalier coupe transversale
-) C-' 0 &,-,&6 > ELU : Hn a la combinaison à L .$.L. :
qu#%.+&N5%.&OPPPPPPP pour 3&ml4 "alier : &0-0&.-.J2&.6.0 11.9KN/m "aillasse : 60&.-A.62&.6.0 19.29KN/m Charge é,uivalente :
e0
q& . L& + q 6 . L6 + q - . L L& + L6 + L-
&
6
-
L-
L6
L&
on a : L&0&.*+ m L60 6.?+ m L-0 +. m 9lors :
=13.9" KN/m
Calcul des moments :
l#>.&& m
.moment isostatiue : D+0
qeq .l 6 A
0 3$.!91
KN.m
.moment en travée :
Dt0 +.A.D+0 2!.7"8 KN.m
.moment sur appui :
Da0 +.-+.D+0 1".$89 KN .m
Calcul des armatures longitudinales :
σ bu# bc#($.)&. c0) !/ b σ bu#
+.A x 6 &.
σ s# e / s 0
PP..
0 &?.&* D"a
?++ &.&
0 -?A D"a
b#%.&
Hn utilise les formules suivantes : ]0Du5b.d6. ^ bc \0&.6 3&O
&
− 6 µ 4
R0 d3&O+.?\4 9s0Du5R σ s 9min03+.6-.b.d. ^ t6A4 5 ^e
=
+.6- × &++ × &-. × 6.&
⇒ Am6= 1.3 m
?++
d# e@c@Q/0 0 &O6O&56
⇒ 0= 13.9 m
Les résultats dans le tableau : section Eravée 9ppuis
b3cm4
d3cm4
Du3CB.m4
1"" 1""
13.9 13.9
2!.7"8 1".$89
]
\
R3cm4
9smin
9s3cm64
9adopte
".13 ".13
1.3 1.3
.2 2.2$
T 12=.78 $T 1"=3.1$
".11 ".19 "."$ "."9
(spacement maximal :
R t M min (+6S ++cm! 0 min 3-&; --4 cm 0 33m
J$n travée: #t0 &++5*0 &*.* cm [ --cm<<<<<<<<..<.. CV J#ur appui : #t0 &++5?0 6 cm [ --cm<<<<<<<
O$n travée : 9rep09ado5?0 *.A5?0&.*J cm 6 ; on adopte :
3 T1"=2.3m2
J#ur appui : 9rep0 9ado5?0-.&?5?0+.A cm 6 ; on adopte : 3 T8=1.92m2 C&60,&6 0 6&6 5-,4 : 9min0+.6-.b.d6.^t6A5^e0+.6-&++&-. 6.&5?++0 1.3 m2
V45-,&6 > ELU : C&6,-6, ,-66, 0' 4,&6 :
• τ u
0issuration non pré!udiciable :
= min3 $.0.Tc0) /b S &2A!
#min3+.665&. ; 4D"9 0 qeq . L
Vu0
6
=
&-.+*x ?. 6
3.33 PA
= -+.-
⇒ V'= 3".72 KN
C u
τ u = τ u
b.d
= +.66A 2(A
• τ u
⇒
= +.66A 2(A
*
τ u
τ u
= +.66A 2(A
= -.-- 2(A <<<.<<<<..C.V
0issuration très pré!udiciable:
= +.+ Tc0) / b 0 &.&*D"9
_u0 +.66* D"9 [
τ u
= &.&* 2(A <<<.<<<<<.C.V
) -' > E.L.S : Hn a la combinaison à L .$.L.# :
ser 0 g 2PPPPPPP pour 3&ml4 "alier : &0-0 .J 2 6.0 8.2! KN/m "aillasse : 60 A.6 2 6.0
11."2 KN/m
Charge é,uivalente :
e0
q& . L& + q 6 . L6 + q - . L L& + L6 + L-
&
6
-
L&
L6
L-
on a : L&0&.*+ m L60 6.?+ m L-0 +. m 9lors :
= !.73 KN/m
V45-,&6 > ?E.L.S : Calcul des moments :
l#>.&& m
.moment isostatiue : D+0
qeq .l 6 A
0 29.17!
KN.m
.moment en travée :
Dt0 +.A.D+0 21.$"2 KN.m
.moment sur appui :
D a0 +.-+.D+0 7.99$ KN .m
1érification des contraintes maximales du béton :
Il faut vérifier :
α [ γ − & + c 6A 6
&++
.E6 ,-4 : \ 0 +.& <..3Eableau4 ; `0 γ − & c 6A
+
6
&++
2 u 2 ser
0&.-AJ ; c0)#0& 2a
0 +.???
\ 0+.& [ +.???<<<<<<<<<<<.<<<.. C.V
.S' -' : \ 0+.+ γ − & c 6A
+
6
;
`0
2 u 2 ser
0&.-AA
0 +.???
&++
\ 0+.+ [ +.???<<<<<..<<<<<<<<..C.V
Les conditions sont vérifiées , donc la vérification des fissurations est inutile.
V45-,&6 0 - 5 : 6
&
A b.d
≤
⇒
&
= +.+- ≤ +.+*6 → c.n.v &* ? 2 t ≥ ⇒ +.+- ≤ +.+?6 → c.n.v L 6+ 2 + L 6
≥
?.6
e
⇒
*.A &++ × &-.
= +.++ ≤ +.+& → c.v
Hn à deux conditions sont non vérifiées , on passe au calcul de la flèche par « la méthode exposée dans les références du béton armé ; selon les règles de AEL !1.
∗ C-' 0 - 5 : #elon la méthode de 9$L J& la flèche totale est donnée par :
,= J < J :les flèches due à l’ensemble des charges permanentes. < : la flèche due à l’ensemble des charge appliuée au moment de la mise en ouvre des cloison : la flèche due à l’ensemble des charges permanentes et d’exploitation supportées par l’élément.
2oment d’inertie de la section homogène réduite «3 :
I0
b. y -
+ & A s 3d − y 4 6 → GALJ&
/La #osition De Laxe -eutre b. y 6 + -+3 A s + A s′ 4 y − -+3 d . A s − d ′. A s′ 4 = +
⇒ &++ y 6 + 3-+ x*.A4. y − 3-+ x&-. x*.A4 = + ⇒ &++ y 6 + 6+-.? y − 6?.J = + ∆0
6+-.?62?x&++x6?.J
0 &&-J-&.*
=$.321 m
Hn prend la racine positive : 8onc : I0
&++3 ?.-6&4
-
-
+ & *.A 3&-.O?.-6&4 60&&6.AJcm ?
I = 11297.8! m $ C-' m&m6, 0?6, 0 - ,&6 &m&6 I " : 6
-
6 6 + b.6 − C + & A s ( d − C ) I+0 &6 6 b.6
b.6 6 + & A s .d C = 6
[ b.d + & A s ]
1 = 1"88! m 2
I"= $1$".!9 m 2 C-' &556, :
∗
λ i
= +.+
t 6A p
= $.18
8onc :
;
p#
A s b.d
#$.$$&
t0)#0.% 2a
=".$ =1.7
et
∗
i = &&+++ × - c 6A 0-6&*?.6+D"a
∗
v =
i
S
= &+6&.-J 2(A
-
5 6,-6,-64 0' > G + : La combinaison : 0 &.-/<<<<.3pour &ml4
- palier : &0-0&.-.J0 7.81 KN/m - paillasse : 60&.-A.60 11.9"2 KN/m
La charge é,uivalente : qeq =
0
q& . L& + q 6 . L6 + q- . L L& + L6 + L.A&* x&.* + &&.+6 x 6.? + .A&* x+. &.* + 6.? + +.
⇒ =!.923 KN/m
% Calcul du moment et contrainte :
∗ ∗
2 s#$.)&.2 $0 +.A. σ s
qeq . L6 A
= +.A.
J.6- × ( ?.) A
6
=
23.$ KN.m
= & 2 s ( d − y ) 5 E = & × 6?.*?.&+ ? (&-. − ?.-6&) 5 &&6 .AJ = -+&-.J6 2(A
= ".!$1 ? ρ .σ s + t 6A
∗
µ = & −
∗
E g =
∗
&.,. t 6A
&.& × E + & + λ i . µ
= !283.!! m
2 s . L6
gi =
&+. i . E g
=
6?.*? × ( ?.) &+ × -6&*? .6 × &+
+-
6
× J6A- .JJ × &+ −A
= 17."8 mm
5 055 0' > G : :
∗ ∗
E v =
&.&× E + & + λ v . µ
= 17812.8 m $
6
gv =
2 s . L
= 23.71 mm
&+ v . E v
5 0' > GQ : :
∗
σ s
= & 2 s ( d − y ) 5 E ;........ 2 s = 2 t = 6&.?+6 -. .m
9lors :
= 21.179 P -
∗
&.. t 6A µ = & − = ".$!8 ρ σ ? . . + s t 6A
∗
E p =
∗
&.&. E + & + λ i . µ
= 1$89!.!2
6
pi =
2 s . L
&+. i . E p
= !.27 mm
5 6,-6,-64 0' > < : Hn à la combinaison : q#%.+&J 3 < :charge permanente avant la mise en place le revtement4
- palier :&0-0 &.-?.J0 .$KN/m - paillasse :60&.-.60 1".192KN/m % charge é,uivalente : e0
q& L& + q 6 . L6 + q- . L L& + L6 + L-
= 8.$1 KN/m
Calcul 2 s : q eq . L6
∗
Ds0+.AD+0+.A.
∗
σ s = & 2 s ( d − y ) 5 E =
∗
&.. t 6A µ = & − = ".$$9 ρ σ ? . . + s t 6A
A
0 18.$!! KN.m
22.29 P-
∗ ∗
&.&. E +
E J =
= 1""8.$7 m $
& + λ i . µ 6
Ji =
2 s . L
= 7.$$ mm
&+. i . E J
8onc : ∆ t = gv − Ji + pi − gi
^t06-.& O .?? 2 J.6 W &.+A 0 A.?* mm
,= 8.$ mm $t on a : ≤
L ++
......... Ri : L ≤ m
≤ +.cm +
L0?. m :
⇒ =
UTt # ).>4 mm
W
L &+++
?
=
++
=
....Ri : L m
!.1 mm
J.&mm
..C%1
.. P- 0 &6& : Hn le étudier comme une console encastrée dans la poutre palière et libre dans l’autre coté ui chargée avec une surcharge du mur extérieur 3 double cloison 4.
-) C-' 0 &,-,&6 > ELU :
P
Hn a la combinaison à L .$.L. :
qu#%.+&N5%.&OPPPPPPP pour 3&ml4 Charge permanente 4 :
+.+m
/&0 .J CB5m7 <<
Surcharge d’exploitation 5 :
F&0 6. CB5m7
0 11.9 KN/m
u&0&.-/&2&.F&0 3&.-x.J2&.x6.4 x&
9lors :
u60pu0 &.-x/ 60 &.-x&6.-- 0 1.$ KN/m Calcul des moments : 6
2 u =
qu &l 6
+ qu .l
3l#$.& m!
6
0&&.*x3+.4756 2 &*.*? x+.
⇒ '= !.7 KN.m
C-' 0 5-- : Calcul des armatures longitudinales :
σ bu# bc#($.)&. c0) !/ b σ bu#
+.A x 6 &.
σ s# e / s 0
PP..
b#%.&
0 &?.&* D"a
?++ &.&
0 -?A D"a
Hn utilise les formules suivantes : ]0Du5b.d6. ^ bc \0&.6 3&O
&
− 6 µ 4
R0 d 3&O+.?\4 9s0Du5R σ s 9min0 3+.6-.b.d. ^ t6A4 5 ^e
⇒ Am6= 1.3 m
d# e@c@Q/0 0 &O-O&56
⇒ 0= 13.9 m
Les résultats dans le tableau : section b 3cm4 1"" 9ppui
d 3cm4
Du 3CB.m4
13.9
!.7
]
\
"."38 "."9
R 3cm4
9smin
9s3cm64
9adopte
".13
1.3
2.2$
$T 1"=3.1$
(spacement maximal :
R t M min (+6S ++cm! 0 min 3-&; --4 cm 0 33m
J#ur appui : #t0 &++5?0 6 cm [ --cm<<<<<<<
J#ur appui : 9rep09ado5?0 -.&?5?0 +.A cm 6 ; on adopte : 3 T8= 1.92m2
9vec espacement de : R t ≤ 2in ( >.6 S >& cm !
≤ >& cm.CV
8onc, on prend : S t+ 67 cm
C&60,&6 0 6&6 5-,4 : 9min0+.6-.b.d6.^t6A5^e0+.6-&++&-.6.&5?++0 1.3 m2CV
V45-,&6 > ELU : C&6,-6, ,-66, 0' 4,&6 :
•
0issuration non pré!udiciable :
= min3 $.0.Tc0) /b S &2A!
τ u
#min3+.665&. ; 4D"9 0 C u# q%.l 5 q 0 0 &&.*x+.+2&*.*?
τ u = τ u
C u
= +.&** 2(A
τ u
⇒ V'= 22.$2 KN
= ".1 P-
b.d
•
3.33 PA
*
τ u
= -.-- 2(A <<<<<..<<<<<<<<..C.V
0issuration très pré!udiciable:
= +.+ Tc0) / b 0
_u0 +.&** D"9 [
1.17PA
τ u
= &.&* 2(A <<<.<<.<<<<<.<<<.C.V
D’oV les les cadre transversaux sont inutile.
) -' > E.L.S : Hn a la combinaison à L .$.L.# : #&0/&2F0.J26. = 8.2! KN/m #6 0 12.33 KN 6
Dser 0
q R &l 6
+ qR .l ⇒
=7.2" KN.m
6
1érification des contraintes maximales du béton :
c0)#0& 2a γ + 2u + J.* 0 &.- 2s
.6+
α 0 +.+ [ γ − & + c 6A 6
&++
0 +.?6J
.CV
Donc la vériication de la issuration est inutile.
V45-,&6 0 - 5 :
6
≥
L 6
≥
&
&
⇒
&* 2 t
=
+ ⇒
6+ 2 +
L A
≤
b.d
?.6
+.-? ≥ +.+*6...............................................................'C
+.-?
≥
+.+?6...............................................................'C
-.&?
⇒
=
&++ × &-.
e
+.++6 ≤ +.+&...............................................'C
Donc le calcul de la lèc6e est inutile. Donc pas d’armature transversale%
.7. E,'0 0 - &', - : La poutre palière : c’est une poutre partiellement encastrée à l’extrémité dans les poteaux et soumise à la flexion et à la torsion. Qes sollicitations sont dues à son poids propre plus le poids du mur et à l’action du palier. La poutre palière sert d’encastrement au palier, prévue pour tre un support d’escalier elle est normalement noTée dans l’épaisseur du palier.
"outre "alière Da
Dt
Da
LL06.Jm
Dm6&66m6, : La poutre palière est dimensionnée d’après les formules empiriues données par le Q9 Jet vérifié en considérant le 9" JJ5version 6++-.
S&6 CA !3
• La hauteur h’ de la poutre palière L &
≤h≤
6J &
L &+
≤6≤
doit tre :
cm
6J &+
&J.** ≤ 6 ≤ 6J.cm , on prend :
•
= 39m
La largeur b de la poutre palière doit tre :
+,-h
≤ b ≤ +,h
&+.
≤ b ≤ 6?. cm ,
on prend : = 3"
S&6 RPA!!/ &6 2""3
h -+ : vérifier ,
h 0 -..CV
b 6+ :
b0-+.CV
vérifier ,
.CV
h5b 0 -5-+ 0 &.&* U ?
8onc on choisie un section de la poutre palière 3
X = 3"X39 4 cm6
C-' 6 - 5;&6 :
E-'-,&6 0 - : Charge permanente :
poids propre de la poutre : +.-+.-60 2.29KN/m
poids du palier console avec le mur : &0 3&&.*x+.42&6.-- 0
poids des paliers et paillasse : 60
q eq l 6
&-.+* x ?.
0
6
=
18.11 KN/m
3".73 KN/m
Surcharge d’exploitation :
F0+.-6.0 ".79 KN/m
C-' - ?E.L.U : La poutre palière se calcul à l’$L puisue la fissuration est considérée peu nuisible.
C&m6-&6 0 - : qu #%.+&N5%.&O5W 0 &.-x6.*6 2 &. +. 2 3-+.-2&A.&&4 ⇒ '= 9391 KN/m
les moments :
l # 0.H& m
le moment isostatiue : D+0 3uL645A 0 98.21 KN.m
Le moment en travée : Dt0 +.A D+ 0 $!.$8 KN.m
Le moment sur appui : D a0 +.- D+ 0 17$ KN.m
Ferraillage de la poutre palière :
C-' 0 -m-,' : σ bu# bc#($.)&. c0) !/ b σ bu#
+.A x 6 &.
PP..
0 &?.&* D"a
b#%.&
?++
σ s# e / s 0
&.&
0 -?A D"a
Hn utilise les formules suivantes : ]0Du5b.d6. ^ bc \0&.6 3&O
&
− 6 µ 4
R0 d3&O+.?\4 9s0Du5R σ s 9min03+.6-.b.d. ^ t6A4 5 ^e +.6- × &++ × -6 × 6.&
=
⇒ Am6= 1.1 m
?++
⇒ 0= 32 m
d0 +.Jxh 0 +.Jx-
section b3cm4 3" Eravée 9ppui 3" V45-,&6
d3cm4
Du3CB.m4
32 32
$!.$8 17.$
]
\
R3cm4
".118 ".1 2!.92 "."$1 "."9 3".83
9smin
9s3cm64
9adopte
1.3 1.3
$.83 1.3
$T 1$=.1 2T 12=2.3
> ? E.L.U :
C&60,&6 0 6&6 5-,4 : 9smin0+,6-.d.b3^t6A5^e4 ⇒ Am6= 1.1 m 9addopté
≤ 9min .CV
V45-,&6 0 - &6,-6, ,-66, 0' 4,&6 : #'-,&6 6&6 4<'0- : τ u
= min( +,6. .^c6A ` b ; D"a ) 0 -,--D"a
C u = q u
τ u = τ u
L 6
C u b.d
=
-.*J* × 6.J 6
= 7!.2" KN
= ".829 P-
= +,A6 2(A ≤ τ u = -,-- 2(A CV
C-' 0 -m-,' 0?Ym : τ ≥ max u ;+,? 2(A = +,? 2(A b.R t 6 et : R t ≤ min( +,Jd ;?+cm ) = 6A,Acm 6 b.R t -+ × 6A,A ⇒ At ≥ +,? = +,? = +,A*?cm
At . e
e
?++
⇒
A,= ".8$ m
8onc on adopte
2T8 = 1"1m2
:
C-' > ?E.L.S : L - &,4 : Charge permanente :
poids propre de la poutre : +.-+.-60 2.29KN/m
poids du palier console avec le mur : &0 3&&.*x+.42&6.-- 0
poids des paliers et paillasse : 60
qu l
&-.+* x ?.
6 0
6
=
18.11 KN/m
3".73 KN/m
Surcharge d’exploitation :
F0+.-+6.0 ".79KN/m
C&m6-&6 0 - : q s# N 5 O 5 W 0 6.*6 2 +.A 2 3-+.-2&A.&&4 ⇒
= 92.219 KN/m
le moment isostatiue : D+0s.L65A0 9.8" KN.m
le moment en travée : Dt0+,AD +0 $8.28 KN.m
le moment sur appui : D a0+,-+D+0 17."$ KN.m
V45-,&6 > ?E.L.S : C&6,-6, m-;m- 0' 4,&6 :
• E6 ,-4 : \0+,&* `0 2 u /2 ser 0 ?J.?A5?A.6A 0 &, 3`O&456 2 3^c6A5&++4 0 +,*6 \0+,&* [ +,*6
•
CV
S' -' : \0+,+
`0 2 u /2 ser 0 &.?*5&.+? 0 &.+6 3`O&456 2 3^c6A5&++ 4 0 +,6*6 \0+,+ [ +,6*6..CV
V45-,&6 0 - 5 : 6 L 6
≥
≥
L A b.d
&
⇒
&* 2 t
-
⇒
&+ 2 + ≤
?,6 e
=
6J
⇒
+,&&A
+,&&A
≥
*,&* -+ × -6
≥
+,+*6....................................................'C
+,+A.........................................................'C
=
+,++* ≤ +,+&.............................................'C
Donc le calcul de la lèc6e est inutile.
C-' > - ,&&6 :
C-' m&m6, 0 ,&&6 > ?E.L.U Hn à : 2 ua#2 Xa@2 ea 0 &.6OJ.*0
7.7 KN.m
2 tor #2 ua.L/0 0 11.$$ KN.m
C-' 0 ?- 0 - ,&6 55- Z : b[h 0 3hOe4. 3 bOe 4 e 0 b5* 0 -+5* 0 9m 0 3-O4. 3-+O40 79"m 2
C-' 4m, 0 - ,&6 55- : 0 13hOe4. 3 bOe 4Sx6 0 3-+264.6 0 11"m
C-' 0 - &6,-6, ,-66, 0' > - ,&&6 ([ ,) : 2 tor
τ t =
6.Ω.e
=
&&.??*&+
−-
6 × + × × &+
−*
= 1.92 P-
V45-,&6 0 - &6,-6, ,-66, > - ,&&6 : #uivant la condition : 8 6 f 9 8 6t 8 6u
= min3-,--; 2(A4 = -,-- 2(A ⇒ τ u 6 = &&,+AA 2(A 6 6 6 6 6 τ + τ t = +,? + 3&.6*4 = 6.AJ 2(A ≤ τ u = &&,+AA 2(A → c.v τ u
C-' 0' 5-- > - ,&&6 : Al
=
;
2 tor 6.Ω. e 5 γ s
⇒ Al =
2 tor .γ s .; 6.Ω. e
0
&&.??* x&.+- x&.&+ 6 x+.+ x ?++ x&+
A,= 2.1 m Am-,' ,-6- : At & R t
=
2 tor 6.Ω. e 5 γ s
=
&&.??*.&+ −6.+.-?A.&+
−?
= 2.1!;1" J$ m
Am-,' ,-6- 0' > ?55&, ,-6-6, : Hn à : _u0 +,A6 D"9 At 6 R t
=
b3τ u − +,-. t 6A. . - 4 +,J. e
Hn à le cas d’une flexion simple C0& At 6 R t
=
+,-3+,A6 − +,-.6,&.&4 +,J.?++
= 1.29;1" J$ m
-
0 6.&* cm7
C&; 0 -m-,' : Am-,' &6,'06- : E6 ,-4 :
Al #A le5Ator 0 *.&* 2 6.&* 0 8.32 m <<<<<<<<<<<<<T1$ = !.2$ m 2
Hn adopte :
S' -' :
9l09fle29tor 0 6.-* 2 6.&* 0 $.92 m2 <<<<<<<<<<<<<3T12 2T1"= $! m2
Hn adopte :
Am-,' ,-6- : At R t
=
At & R t &
+
At 6 R t 6
= 36,&J + &,*64.&+ − ? = -.A&.&+ − ? m
R t = min3+,J.d ;?+cm4 = 6A,Acm
8onc : 9t0 -.A&x&+ O6 x 6A.A 0
1."!! m
Hn adopte : <<<<<<<<<<<.<<
P-6 0 5-- 0 - : P&', - : E6 ,-4 : <<. *E&? 0 J.+? cm 6 S' -' : <<. -E&6 2 6E&+ 0 ?.J* cm 6
$ T 8 =2"1m2
3T122T1"
$ C-0 T8
T1$ S' -'
E6 ,-4
Schéma de ferraillage de la poutre palière
P-6 0 5-- :
".9"m
".3"m
2.$"m
".99m
1.9 m
$T1"/m S,= 29m
1.93m
T12/m S,= 1m
3T1"/m S, = 33m
$T1"/m S= 29m
3T8/m S= 33m
"outre paliere
#lan de ferraillage d’escalier
C. LES BALCONS
C.1. I6,&0',&6 :
3T1"/m S, = 2"m
Les balcons sont des dalles pleines ui sont supposées des plaues horizontales minces en béton armé, dont l’épaisseur est relativement faible par rapport aux autres dimensions, ui est comprise entre A et &6 cm. Qette plaue repose sur deux ou plusieurs appuis, comme elle peut porter dans une ou deux directions. 8ans notre cas les balcons sont réalisés en dalles pleines d’épaisseur &6 cm. #elon les dimensions et les surcharges, nos balcons sont partiellement encastrées et se reposent sur trois appuis.
C.2. E,'0 D -&6 E6-,4 S' T& C&, : Le balcon est modélisé comme une dalle encastrée sur trois cotes pour le calcul, on a fait un calcul automatiue à l’aide de programme ( S;C;"(C ).
LT0&.66m m Lx0-.?+m
e0&6 cm
poutre LX L
A. P40m6&66m6, : Hn a : $t on a :
Lx0-.?+m LD L Y
L’épaisseur : Hn prend :
;
LT0&.66mm
0 +.-* L Y -
≤ e ≤
L Y -+
⇒ J.& ≤ e ≤ &&.--
= = 12 m
. E-'-,&6 0 - : a) charges permanentes :
poids propre : /&0+.&6x60 - CB5m7 poids propre de mur 3cloison extérieur4 : /60 6.* CB5m7
poids de revtements : /-0 &.*? CB5m7 b) charge d’exploitation :
F0 -. CB5m7 #elon le #HQHE$Q , les résultats obtenus sont : 2 YY (-.m! Rection 2u (-.m! 2 ser (-.m!
à .L.; à .L.R
Rens YY Rur appuis n travée /<%== 6%*6 />%6* *%><
Rens Rur appuis en travée />%=7 ?%*> /@%A@ ?%*@
C. C-' 0 5-- : C&60,&6 0 6&6 5-,4 : b0&++ cm ; h0&6 cm &6
6
Z x " Z y
≤
&+
dx0h W c O dT0 d O
φ Y
6
#
&+
#
&.6
0 &6O&O+.
φ Y + φ D 6
0 &+. W &
⇒ ⇒
\ = 1 m 0;= 1".9 m
⇒ 0 = !.9 m
Sections minimales:
S6 ;J; : 9min 0 +.+++A.b.h 0 ".! m2 ..AEL!1 S6 J : 9min 0 +.+++A.b.h.3-O\456 0 1.27 m2 <<<<<.3 \0 LT5Lx 0 ".3 4 "our le calcul on utilise les formules suivantes :
µ =
9 s0
2 u 6
b.d . bc
;
α = &,63& −
& − 6.µ 4
;
Ζ = d 3& − +,?.α 4
2 u
Ζ .σ s
9min0
+,6-.b.d . t 6A e
2 YY (-.m! Rection 2 u (-.m! b (m! d (m! [ 8 < (cm! A s (cm?! Amin (cm?! Aadoptée (cm?!
Rens YY Rur appuis n travée /<%== 6%*6 % % %$.& %$.& $.$&++ $.$%+&, $.$4)& $.$%,$, $.%$0% $.%$>0 6%=7 ?%7< %.$$+ %.$$+
Rens Rur appuis en travée />%=7 ?%*> % % H.& H.& $.$>H4& $.$$%0& $.$4+4H $.$$%&4+ $.$H0&,H $.$H>H> *%A ?%?7? %.)> %.)>
9T8
3T8
3T8
3T8
=2.91
=1.91
=1.91
=1.91
D. V45-,&6 > ?E.L.U : (spacement minimal :
S6 J :
le moins sollicité
#t [ min3?.h ;?cm4 0 #t 0 -- cm [ ? cm
S6 ;J;:
$9 m
..........................................................................CV
le plus sollicité.
#t [ min 3-h; --cm4 0 #t 0 -- cm [ -- cm
33 m
CV
C&6,-6, ,-66, 0' 4,&6 : J0issuration non pré!udiciable : τ u
= min3+.6.
τ u
=
c 6A
C u b.d
"our : LT0 &.66 m
τ u
=
&*.* & × +.&+
=
-*.&6 & × +.&+
; Vu0 EXR0 &*.* CB<<<<<<.<<.. #HQHE$Q
= &A.*6 -. 5
"our :L x0 -.?+ m
τ u
; 2(A 4 = -.-- 2(A
γ b
=
; ;
m6
=
+.&A 2(A
≤
-.-- 2(A........................................' .C
Vu0 ER0-*.&6 CB<<<<<<<<. #HQHE$Q
-?? -. 5 m
6
=
+.-?? 2(A
≤ τ u =
⇒ Donc pas d’armatures transversales.
E. 45-,&6 > ?E.L.S Contrainte tangentielle du béton :
-.-- 2(A.......... ..........................' .C
S6 :;J; E6 ,-4: ` 0 Du5Dser 0 6.&65&.*A0 &.6* γ − & 6
α
=
;
\0+.+&
c 6A
= +.-A &++ +.+& +.-A ⇒ .................... .......................................' .C +
S6 J: E6 ,-4 `0Du5Dser 0+.&*5+.&? 0 &.&? γ − & 6
α
=
;
\0 +.+&
c 6A
= +.-6 &++ +.+& +.-6 ⇒ .........................................................' .C +
Qondition vérifiée
⇒
pas de vériication des issurations.
P-6 0 5-- :
&++cm 9
LT0&.66m 9
Lx0-.?+ m
