x
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Mortalitas
Mortalitas atau dalam asuransi lebih dikenal dengan nama tabel tingkat kematian mempunyai peranan yang sangat penting dalam menentukan premi tersebut. Dalam tabel ini tertulis seperangkat fungsi-fungsi probabilititas yang berhubungan dengan hidup dan meninggalnya seseorang pada usia tertentu. Tabel mortalitas ini berisi daftar dari lx, dx ,qx dan sebagainya. Secara umum dapatlah dinyatakan bahwa : lx = banyak orang yang hidup pada usia X tahun dx= banyak orang yang meninggal sebelum mencapai usia X+1 tahun tetapi sudah mencapai X Tahun
Dari hasil-hasil ini maka akan dapat diturunkan nilai-nilai peluang hidup dan meninggal dalam bentuk fungsi lx dan dx. Peluang dari orang yang berusia X akan hidup dalam masa satu tahun mendatang, ditulis sebagai : lx + 1 lx
P =
(2.1.1)
Peluang dari orang yang berusia X tahun akan meninggal dalam masa satu tahun mendatang, ditulis sebagai : qx =
dx lx
(2.1.2)
Lebih umum, npx dan nqx adalah peluang orang yang berusia X akan hidup/meninggal dalam masa n tahun mendatang. Dengan rumus dapat ditulis sebagai : p =
n x
lx + n lx
dan
q =1−
n x
(2.1.3)
p
n x
Dalam hal ini, penulis menggunakan tabel mortalitas “Comissioners 1941 Standard Ordinary Mortality Table” atau biasa disebut “CSO Table.” Berikut ini adalah grafik lx yang diplotkan terhadap usia.
Gambar 2.1 Plot lx Tabel Mortalitas CSO terhadap Usia
2.2 Fungsi Kehidupan (Survival Function)
Misalkan X adalah sebuah peubah acak kontinu yang menyatakan usia kematian dari seseorang yang baru lahir dan X memiliki fungsi distribusi Fx(X). Fx ( x) = P( X ≤ x)
x≥ 0
(2.2.1)
x≥ 0
(2.2.2)
Di bawah asumsi Fx(0)=0 maka fungsi s( x) = 1 − Fx( x) = P( X > x)
Akan memberikan s(0)=1. Fungsi s(x) seperti ini disebut dengan fungsi kehidupan. Dengan kata lain fungsi kehidupan s(x) adalah peluang seseorang berusia 0 tahun (baru lahir) akan bertahan hidup sampai berusia x tahun. Dalam bidang ilmu aktuaria dan demografi fungsi kehidupan s(x) sering digunakan sebagai langkah awal untuk perhitungan-perhitungan yang dilakukan misalnya untuk menentukan peluang seseorang berusia x akan tetap hidup ataupun meninggal pada suatu selang waktu. Walaupun demikian, penggunaan fungsi distribusi Fx(x) pun dapat dan biasa dilakukan terutama dalam kaitannya dengan teori peluang dan statistika. Melalui penerapan hukum-hukum probabilitas, peluang suatu kejadian yang berhubungan dengan X dapat dituliskan sebagai persamaan dalam fungsi kehidupan atau fungsi distribusi. Sebagai contoh, peluang seseorang yang baru lahir meninggal di antara x dan z (x
(2.2.3)
Dan peluang bersyarat dari seseorang yang baru lahir akan meninggal di antara usia x dan z, jika diketahui akan tetap hidup sampai usia x,
P( x < X ≤ z | X > z) =
Fx( z) − Fx( x) 1 − Fx( x)
=
s( x) − s( z)
(2.2.4)
s( x)
Hubungan antara tabel mortalitas dengan fungsi kehidupan adalah pada tabel mortalitas digambarkan penyebaran kematian dari manusia yang awalnya berusia 0 tahun sampai manusia berusia 100 tahun. Di dalam tabel mortalitas terdapat lx yaitu jumlah sekelompok otang yang hidup pada usia x, dengan lx = lo.s( x)
atau
lx + 1 = lo.s( x + t )
(2.2.5)
2.3 Waktu Hidup yang Tersisa (Future Lifetime)
Satu notasi yang digunakan untuk menyatakan seseorang masih hidup dan berusia x adalah(x). Jika (x) meninggal pada usia X(X>x) maka T(x)=X-x menyatakan waktu hidup yang tersisa dari (x), T(x) merupakan fungsi peubah acak kontinu X, oleh sebab itu T(x) juga merupakan suatu peubah acak kontinu. Misalkan Gx(t) adalah fungsi distribusi dari T(x) maka, Gx(t ) = P(T ( x) ≤ t ), =
=
Fx ( x + t ) − Fx( x) 1 − Fx( x) s( x) − s( x + t )
t≥ 0 (2.3.1)
s( x)
Fungsi Gx(t) menyatakan peluang (x) akan meninggal dalam t tahun. Namun demikian, dalam komunitas aktuaria internasional, peluang(x) akan meninggal dalam t tahun dinotasikan dengan tqx , karenanya,
q = Gx(t )
t x
= x)
Fx ( x + t ) − Fx( 1 − Fx( x)
=
s( x) − s( x + t ) s( x) (2.3.2)
s( x + t ) =1− s( x)
Akibatnya, Px = 1 − Gx(t)
t
= t)
1 − Fx( x + t ) 1 − Fx( x)
=
s( x +
(2.3.3)
s( x)
menyatakan peluang (x) akan tetap hidup sedikitnya dalam t tahun. Dengan kata lain tPx menyatakan peluang (x) akan tetap hidup sampai usia x-t. Hal ini menunjukkan tP adalah x
fungsi kehidupan dari (x). Jika t=1, penulisan indeks 1 pada 1Px dan 1qx , tidak perlu dilakukan, oleh karenanya Px=P[(x) akan tetap hidup sedikitnya dalam 1 tahun] qx=P[(x) akan meninggal dalam waktu 1 tahun]
Di samping itu untuk kasus diskrit, Future Life Time diubah bentuknya menjadi Curtate Future Life Time, yaitu nilai variable acak T yang kontinu diubah menjadi diskrit atau T=K+S K Polis dikeluarkan
Tahun 1
Tahun 2
K +1
S T
Tahun 3
Gambar 2.2 Ilustrasi T dan K
2.4 Force of Mortality
Sebuah analogi dari fungsi dari sebuah kematian dapat di dapat dengan menggunakan kepadatan probabilitas kematian pada saat mencapai umur x, yaitu menggunakan (2.2.3) dengan z = x + Δx
Pr( x < X < x + Δx | X > x) = ≅
Fx( x + Δx) − Fx( x) 1 − Fx( x) fx( x)Δx
1 − Fx( x)
(2.4.1)
Pada ekspresi ini, F ' x ( x) fx ( x adalah fungsi kepadatan peluang dari random variable ) = umur saat kematian kontinu. Fungsi
fx ( x) 1 − Fx ( x)
mempunyai interpretasi kepadatan peluang kondisional. Untuk setiap umur x, fungsi tersebut memberikan nilai dari fungsi kepadatan peluang kondisional pada X pada saat umur x, diberikan kehidupan pada umur tersebut,dan dinotasikan sebagai μ ( x) . Kita mempunyai
μ ( x)
=
nilai dari fx ( x) dan 1 ? Fx( x) megimplikasikan bahwa ? ( x) ? 0
f
( x) 1 − Fx( x)
x
=
−s '( x) s( x)
nilai dari fx ( x) dan 1 ? Fx( x) megimplikasikan bahwa ? ( x) ? 0
(2.4.2)
?? ?
?
?x
n
?? ?x
Force of mortality dapat digunakan untuk menspesifikasikan distribusi X. Untuk mendapatkan hasil ini, kita mulai dengan (2.4.2), ubah x menjadi y dan atur kembali untuk mendapatkan
− μ ( y)dy = d log s( y) mengintegralkan persamaan ini dari x sampai x+n, kita mendapat x+ n ⎡ s( x + n) ⎤ − ∫ x μ ( y)dy = log ⎤ s( x) ⎤
= log nPx dan mengambil eksponensial mendapatkan x+n
Px = exp − ∫ μ ( y)dy ⎤ ⎤ x ⎤
n
dengan mengganti s=y-x, maka persamaannya menjadi Px = exp ⎤ − μ ( x + s)d s ⎤ ⎤0 ⎤
n
Secara khusus, kita mengganti notasi untuk memudahkan penggunaannya dengan mengganti umur sudah hidupnya dengan 0 dan waktu kehidupannya dengan x. Maka kita dapat
P 0 = s( x) = e xp ⎤− μ (s)ds ⎤
x
∫
⎤⎤
0
⎤⎤
Sebagai tambahan Fx( x) = 1 − s( x) = 1 − e xp ⎤− ∫
μ (s)ds ⎤ ⎤⎤
0
⎤⎤
dan
x
?
?
? F ' x ( x) = fx( x) = e xp ⎡ − μ (s)ds ⎤ μ ( x)
∫
⎡ ⎡
0
⎤⎡
= xP 0 μ (
F x)
T(
(2.4.3)
x)
T(x )
(t) dan f
(t )
adalah fungsi distribusi dan fungsi kepadatan peluang dari T(x),
waktu hidup yang tersisa dari (x). Dari (2.3.2) kita dapat bahwa
F
T(
(t ) = tqx , maka
x)
d f T ( x )(t )= tqx dt d ⎤ s( x + t) ⎤ = ⎤ 1 ⎤ dt ⎡ s( x) ⎤ s( x + t t)) ⎤ ⎤ s' ( x + = ⎤ − ⎤ s( x) s( x + t) = tPxμ ( x + t )
t≥ 0
(2.4.4)
2.5 Hukum-Hukum Mortalitas ( Gompertz )
Terdapat tiga prinsip dalam membangkitkan bentuk analitik dari fungsi kehidupan dan mortalitas. Pertama adalah filosofi. Banyak fenomena yang dipelajari dan fisika dapat dijelaskan secara efisien dengan rumus yang sederhana. Untuk itu, dengan menggunakan argumen biologi bahwa kehidupan manusia dikendalikan oleh sebuah hukum persamaan yang sederhana. Yang kedua, justifikasi (pembenaran) adalah praktis. Adalah lebih mudah melihat fungsi dengan sedikit parameter daripada melihat sebuah tabel kehidupan dengan
mungkin 100 parameter atau peluang kematian. Yang ketiga , justifikasi (pembenaran) untuk fungsi kehidupan analitik yang sederhana adalah mengurangi perkiraan beberapa parameter fungsi dari data kematian.
Terdapat beberapa jenis fungsi kehidupan dan mortalitas analitik yang berkaitan dengan hukum-hukum tersebut, antara lain :
μ ( x)
Penemu De
Moivre
(ω − x )
−1
S(x)
Batasan
x 1− ω
0≤ x≤ω
(1729)
Gompertz (1825) Mahekam(1860)
Bc
x
A + Bc
Weibull(1939) kx
[ (c − 1)]
B > 0, C > 1, x ≥ 0
[
(c −
B > 0, A ≥ − B, c > 1, x
]
k≥ >0 0, n > 0, x ≥ 0
x
exp − m
x
exp − Ax − m
)] [
1exp − μ
n
x
x
n +1
Tabel 2.1 Hukum- Hukum Mortalitas Dimana : m=
B dan μ log c =
k n+ 1
(2.5.1)
Dalam hal ini, penulis menggunakan pendekatan Gompertz. Ini dikarenakan, menurut penulis bentuk Gompertz ini yang paling sesuai dengan bentuk demografi Indonesia. Bentuk Gompertz yang dimaksud yaitu, s( x) =
exp
⎡⎡ − m (
c
x−1
) ⎡⎡
(2.5.2)
2.6 Bunga
Jenis bunga yang digunakan adalah bunga majemuk.Didefinisikan sebagai suatu perhitungan bunga yang besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besarnya pokok
1 i
?1
?
(m)
sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh. Besarnya pendapatan bunga tergantung pada besar pokok, jangka waktu investasi dan tingkat suku bunga.
d
Dalam bunga majemuk didefinisikan fungsi v sebagai faktor diskonto 1 v= 1+i
(2.6.1)
sedangkan untuk tingkat diskonto didefinisikan d sebagai berikut i = i*v = 1 −v d= 1+i 1−d =
sehingga v
(2.6.2)
Untuk tingkat bunga nominal dan tingkat diskonto nominal dengan pembayaran m kali setahun dapat didefinisikan sebagai berikut :
⎡ =i ⎡ ⎡ 1+
m
(m) m
(m)
(
Æ
1+ i =
(2.6.3)
+
)
⎡ ⎡
i
m
⎡
=
m (m)
⎡ 1−d =
⎡ ⎡
1+ m
⎡
m
⎡
Æ
d
= m⎡ 1−
(1−d )
1/
⎡ ⎡ 1/
m
⎤
⎡
⎡ ⎡ = m
⎤
⎡
1−
(2.6.4)
1/ m
⎡
v
⎤
⎡ (m)
dengan analogi pada persamaan (2.6.2) maka bentuk d
dapat dinyatakan dengan
(i i)
??
persamaan :
d
)( m
i
= 1+
?
(m)
(m)
(2.6.5) /m
Force of interest δ :
δ = lim
m →∞
(m )
= ln(1 +
(2.6.6)
i)
e
=
(1+i )
1
=v
(2.6.7)
2.7 Metode Pembayaran Benefit Asuransi Jiwa 2.7.1 Benefit Asuransi yang Dibayarkan Pada Saat Terjadinya Kematian ( Cara perhitungan Kontinu) Pada Asuransi yang dibayarkan pada saat kematian /perhitungan kontinu ini, pembayaran benefit kepada ahli waris dilakukan seketika pada saat si tertanggung meninggal. Namun asumsi ini tidak mencerminkan praktek asuransi yang real, namun mempunyai keuntungan bahwa formula dapat dievaluasi langsung dari Tabel Mortalitas. Jumlah dan waktu pembayaran benefit asuransi tergantung pada panjang interval dari mulainya asuransi sampai kematian tertanggung. Model ini akan dikembangkan dengan model fungsi benefit, bt , dan fungsi diskon(bunga), vt
. Dalam model
perancangan ini, vt adalah tingkat faktor diskon(bunga) dari waktu pembayaran kembali pada saat polis dikeluarkan dan t adalah panjang interval pada saat polis dikeluarkan sampai dengan waktu kematian. Definisi dari fungsi Present Value (Nilai Tunai), zt, adalah
Zt=btvt
(2.7.1)
Zt adalah nilai tunai atau premi pada saat polis dikeluarkan. Waktu yang tersisa dari waktu pada saat polis dikeluarkan sampai si tertanggung meninggal adalah variable acak waktu hidup yang tersisa dari si tertanggung x,yaitu T=T(x).
2.7.2 Benefit Asuransi yang Dibayarkan Pada Akhir Tahun Kematian ( Cara perhitungan Diskrit) Pada asuransi yang dibayarkan pada akhir tahun kematian /cara perhitungan diskrit ini, pembayaran benefit kepada ahli waris ketika si tertanggung meninggal adalah pada akhir tahun kematian. Pada prakteknya, sebagian besar benefit dianggap dibayarkan pada saat kematian si tertanggung sampai pembayaran yang sesungguhnya dilakukan. Model tersebut dibentuk dengan mengunakan fungsi waktu hidup yang tersisa dari tertanggung T.Pada sebagian besar aplikasi asuransi, informasi yang terbaik terdapat pada distribusi peluang T pada pembentukkan tabel kematian diskrit. Ini adalah distribusi peluang K, waktu hidup yang tersisa yang dipotong pada saat polis dikeluarkan.Pada asuransi ini, kita membangun perbedaan dengan membangun modelmodel asuransi jiwa, dimana bentuk dan waktu pembayaran benefit bergantung pada jumlah tahun-tahun yang lengkap dari waktu pada saat polis dikeluarkan sampai dengan waktu kematian. Model asuransi jiwa ini menggunakan waktu hidup yang tersisa yang dipotong dari si tertanggung.Dalam hal ini fungsi benefit, bk+1, dan fungsi diskon, vk+1, secara berturut-turut adalah benefit yang dibayarkan dan factor diskon yang dibutuhkan untuk jangka waktu dari waktu pembayaran benefit kembali ke waktu saat polis dikeluarkan ketika waktu yang tersisa yang dipotong adalah k, dan si tertanggung meninggal pada tahun k+1. Present Value/ Nilai Tunai pada asuransi diskrit ini adalah dinyatakan dengan ZK+1 yaitu
Zk + 1 = bk + 1.Vk + 1
(2.7.2)
p q
1
A
=
2.8.Jenis-Jenis Asuransi 2.8.1. Asuransi Berjangka (n-Term Insurance) Asuransi Berjangka adalah Asuransi dimana benefit dibayarkan kepada ahli waris bila si tertanggung meninggal dalam suatu jangka waktu tertentu, disebut jangka waktu polis (term).
2.8.1.1. Benefit Dibayarkan Di Akhir tahun Kematian (Diskrit) Misal 1 unit dibayarkan jika si tertanggung meninggal dalam jangka waktu n tahun, dan waktu pembayaran adalah akhir tahun kematian. Maka
⎡1 bk + 1 ⎤ ⎤0
k = 0,1,...,n − 1 lainnya
Vk + 1 = v k +1
{
K +1
Z=v 0
K = 0,1,...,n − 1 K = n, n + 1, n + 2,...
Premi yang sekali bayar atau Net Single Premium(NSP) didefinisikan dengan
1 x:n
yaitu,
A
n −1
x:n
= E[Z ] = ∑
v
k +1 k
x.
x +
(2.8.1)
k
k =0
Diukur dari waktu pengeluaran polis, tahun asuransi dari kematian adalah 1 plus variabel acak curtate-future-lifetime, K.
=
t
v
2.8.1.2. Benefit Dibayarkan Sesaat Terjadinya Kematian (Kontinu) Sebuah asuransi jiwa dalam jangka waktu n-tahun menyediakan pembayaran jika hanya tertanggung meninggal dalam jangka waktu n-tahun seperti yang telah disetujui dalam polis. Jika pembayarannya dilakukan pada saat kematian (x) , maka : ⎡1
bt
t≤n , t>n
⎡ ⎡0
v =v
t≥0 ,
⎤⎡ t Z=⎤ ⎤⎤ 0
T≤n . T>n
t
Ketiga definisi ini mengunakan 3 konvensi. Pertama, karena waktu hidup masa depan adalah variabel yang non negativ, kita mendefinisikan bt, vt, dan Z hanya nilai-nilai non-negativ. Kedua, untuk sebuah nilai t dimana bt, adalah 0 nilai dari vt adalah tidak relevant. Ketiga, kecuali ditetapkan, nilai bunga ditetapkan konstan. Ekspetasi variable acak nilai Tunai variabel azak Z, dinamakan actuarial present value(Nilai Tunai Asuransi) dari asuransi. Actuarial present value untuk asuransi berjangka waktu n-tahun dengan pembayaran pada saat kematian(x), E[Z], didefinisikan
1
A
x:
. Ini dapat dihitung dengan mengetahui Z sebagai fungsi
n
T sehingga E[Z]=E[Zt ]. Kemudian kita menggunakan p.d.f pada T untuk mendapatkan
t
∞
1
= E[ z] = E[ zt ] =
∫ A
x:n
0
n
Zt. fT (t )dt = dt
∫
0
(2.8.2)
P q
2.8.2 Asuransi Seumur Hidup (Whole Life Insurance) Asuransi berjangka, karena relative lebih murah, adalah asuransi yang termurah untuk beberapa keadaan (preminya lebih murah). Akan tetapi, mempunyai kelemahan. Bila periodanya sudah habis maka asuransi pun habis pula sedang si tertanggung mungkin merasa masih perlu diasuransikan. Sudah barang tentu bila habis periodenya, si tertanggung dapat pula mengasuransikan kembali dirinya, akan tetapi karena umurnya yang sudah lebih tua, maka harga asuransi yang harus dibayar (premi) akan menjadi lebih besar pula. Asuransi Seumur Hidup adalah suatu jawaban untuk mengatasi masalah di atas. Asuransi ini menjamin bahwa ahli waris si tertanggung akan menerima sejumlah uang kapan sajapun si tertanggung meninggal sedangkan besar premi tidak berubah (tetap).
2.8.2.1. Benefit Dibayarkan Di Akhir Tahun Kematian (Diskrit) Jumlah pembayaran benefit sudah pasti namun waktu pembayaran (K+1) adalah acak. dan mengikuti aturan bk + 1 = 1
v
k + 1
=v
k = 0,1, 2,... k
k = 0,1, 2,...
+1
Z=v
k
K≥
+1
(2.8.3)
0
Dan Nilai Tunai (Present Value) adalah didefinisikan dengan ∞
Ax = E[Z ] = ∑
v
K +1 k
k =0
k
x. x +
(2.8.4)
tt ?
=
2.8.2.2. Benefit Dibayarkan Sesaat Terjadinya Kematian (Kontinu) Asuransi Seumur hidup ini membayarkan benefit kepada ahli waris kapapun di masa depan pada saat si tertanggung meninggal. Dan Pembayaran benefit yang dilakukan sesaat setelah si tertanggung meninggal adalah : bt = 1
t≥0
vt = v
t≥0
Z=
V
T≥0
Nilai Tunai Asuransinya adalah n
= E[ z] =
Ax
∫ vdt
p μ x (t )
t x
(2.8.5)
0
Asuransi Seumur hidup sebenarnya adalah asuransi berjangka waktu n = ∞ 2.8.3 Asuransi Dwiguna Asuransi Dwiguna membayar nilai nominal asuransi bila: a)
Si tertanggung meninggal dunia selama jangka waktu tertentu, atau
b)
Si tertanggung hidup sampai akhir jangka waktu tertentu.
Secara matematika, Dwiguna ini merupakan jumlah antara asuransi berjangka dan Dwiguna murni. Dwiguna Murni n Tahun menyediakan pembayaran benefit pada akhir tahun n jika dan hanya jika si tertanggung selamat sedikitnya n tahun dari sejak polis dikeluarkan. Jika jumlah yang dibayarkan 1 unit maka:
bt
⎤0 ⎤ ⎤1
t≤n t>n ,
n
vt =
v
t≥
,
(2.8.6)
0
⎤0 Z=⎤ n ⎤v
T≤n T>n
Satu-satunya element dari Dwiguna murni yang tidak pasti ini adalah apakah sebuah klaim akan terjadi. Ukuran dan waktu pembayaran, jika klaim terjadi, dapat n
ditentukan sebelumnya. Dalam ekspresi Z= v Y,
dimana Y adalah indikator dari
sebuah kejadian bertahan hidup sampai dengan umur x+n. Y ini mempunyai nilai 1 jika tertanggung bertahan hidup sampai usia x = n dan bernilai 0 jika tidak. Dwiguna murni ini mempunyai lambang nEx. Sedangkan asuransi Dwiguna n tahun menyediakan sejumlah uang yang akan dibayarkan baik pada saat kematian tertanggung atau sampai lamanya bertahan hidup tertanggung sampai akhir jangka waktu n tahun, yang mana dulu yang terjadi.
2.8.3.1 Benefit Dibayarkan Di Akhir Tahun Kematian (Diskrit) Asuransi Dwiguna n tahun dengan sejumlah unit dibayarkan pada akhir tahun kematian adalah kombinasi antara asuransi berjangka n tahun diskrit dengan n tahun dwiguna murni. Untuk itu maka fungsinya :
bk + 1 = 1
Vk + 1 =
⎡ ⎡
v⎡
k = 0,1,... k
k = 0,1,...,n −
+1 n
1
(2.8.7)
?
v
⎡⎡
v
k +1
Z =⎡ ⎡ n ⎤⎡ v
k = n, n + 1, ...
k = 0,1, ...,n − 1 k = n, n +
1,...
(2.8.8)
Tt
1
Atau dengan kata lain asuransi Dwiguna adalah gabungan antara asuransi berjangka n tahun dan Dwiguna murni
A
x:n
=
A
x:n
+
(2.8.9)
Ex
n
2.8.3.2 Benefit Dibayarkan Sesaat Terjadinya Kematian (Kontinu) Jika asuransi ini dibayarkan sejumlah uang(benefit) pada saat kematian maka : bt = 1
t≥0
⎤ Vt =⎤⎤ vn ⎤⎤v
t≤n t>n
⎤ Z =⎤⎤ v n ⎤⎤v
T≤n T>n
Asuransi Dwiguna ini dapat dipandang sebagai kombinasi antara asuransi berjangka waktu n tahun dan Dwiguna murni n tahun. Misalkan Z1, Z2,Z3 menyatakan secara berturut-turut Nilai Tunai asuransi berjangka, Dwiguna murni, dan asuransi Dwiguna dengan benefit dibayarkan pada saat si tertanggung meninggal. Dari definisi di atas kita dapat :
Z =1
⎤⎤ v ⎤ ⎤⎤ 0
T≤n T>n
⎤0 Z2=⎤ n ⎤v
T≤n T>n
⎤ Z 3 =⎤⎤ v n ⎤⎤v
T≤n T>n
T
.
Sehingga Z3=Z1+Z2 dan dengan melihat nilai ekpetasinya maka :
A
x:n
= Ex
n
1
A
x:n
+
(2.8.10)
2
3
+v
v
2.9 Anuitas
Anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan. Suatu anuitas yang pasti dilakukan dalam jangka waktu pembayaran disebut anuitas pasti. Jika pembayaran dilakukan tergantung hidup matinya seseorang disebut ‘anuitas hidup’.
2.9.1 Anuitas Pasti 2.9.1.1 Pembayaran Tahunan Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan 1 kali dalam setahun disebut anuitas tahunan. Pembayaran anuitas yang dilakukan pada akhir periode (akhir tahun) disebut anuitas akhir, sedangkan pembayaran anuitas yang dilakukan di awal periode (awal tahun) disebut anuitas awal. Total nilai sekarang dari anuitas akhir (ditulis
a
n
n−1
= v + v + v + ...
a
n
) adalah
n
+v
(
2
= v 1 + v + v + ... + v −2
+v
n −1
n
)
Dengan menggunakan rumus pada deret geometri diperoleh ⎤1 −
a
= v⎤ n
n
⎤ ⎤
⎤ 1− v ⎤ ⎤⎤ 1 ⎤− ⎤n v⎤ = v⎤ ⎤ iv ⎤ ⎤ ⎤
(2.9.1)
n
v
=
1− i
(2.9.2)
+v
?
2 n n ? (1+i) v ? =1 ?
n
1/ m n +1/ m Sedangkan total nilai sekarang dari anuitas awal (ditulis
a &&
) adalah
n
a&&
n
= 1 + v + v + ...
n −1
n− 2
+v =
=
1− 1− v 1− d
(2.9.3)
2.9.1.2 Pembayaran m kali Setahun Suatu anuitas pasti yang pembayarannya dilakukan m kali setahun dengan selang pembayaran setiap 1/m tahun disebut anuitas dengan pembayaran m kali. Total nilai sekarang dari anuitas akhirnya (ditulis
an (m)
an
=
1/ m
+ m ⎡v
2/m
v+
+ ...
n−1/ m
v =
1⎡
v
−v
⎤ 1 − 1/ m ⎡ m⎤ ⎡ 1v− v = 1/ m − m ⎤
⎡ ⎤⎤ 1⎡ ⎤
n
⎡
+v ⎡
(m )
) adalah
v n
=
v +v
1−v
i
(2.9.4)
(m)
a&&
Total nilai sekarang dari anuitas awalnya (ditulis
a&&
=1
1/ m
2/m
n
(m) =
⎤ ⎤ m 1+
n −(1/ m )
⎤
⎤ + ... +
n
(m)
) adalah
n
1 d?v
n n
n
dt
n
?? =
1 ⎡ 1−v
⎡ ⎡ ⎡ m ⎤ 1 − 1/ m ⎤ ⎡ v ⎡ 1−v = ⎤ m − 1−d ⎤
(
=
)
1/ m
⎤
1−
(2.9.5)
(m)
2.9.1.3 Pembayaran Kontinu Pembayaran anuitas dilakukan setiap saat disebut anuitas kontinu. Total nilai sekarang dari anuitas tersebut adalah
a n = lim a
n
m →∞
1−v
1−
(m)
v = lim m→∞
() m
=
i
(2.9.6)
δ
2.9.2 Anuitas Hidup Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang masih hidup. Besarnya pembayaran bisa tetap atau berubah-ubah. 2.9.2.1 Anuitas Hidup Kontinu Anuitas hidup seumur hidup menyediakan pembayaran sampai kematian. Nilai sekarang dari anuitas ini adalah Y = aT
T≥ 0
(2.9.7)
Total nilai sekarang dari anuitas ini (ditulis ax ) adalah ∞
ax = ∫ a t .tPx μ0
x+t
(2.9.8)
Anuitas hidup n-tahun menyediakan pembayaran selama (x) hidup untuk n tahun ke depan. Nilai sekarang dari anuitas ini adalah
?v
a P
T
n
1− aT = δv Y= ⎡⎡ 1− ⎤⎡ a n = δv
,0 ≤ T < n ,T ≥
(2.9.9)
n Total nilai sekarang dari anuitas ini ( ditulis a x:n ) adalah
a
x:n
= E[Y ]
∫
n 0
aT .tPx
μ
=
dt +
n .n
(2.9.10)
x
x+t
Dan hubungan antara anuitas hidup n-tahun dengan asuransi Dwiguna n-tahun adalah
E [Y ] = a x:n
=
δ a x:n = 1 − Ax:n
⎡1 − Z ⎡=1 − A x:n E⎡ ⎡ δ ⎡⎡ δ
Æ
A x:n + δ a x:n
=
(2.9.11)
1
dengan Z=
T
V
n
0≤T < n T≥n
2.9.2.2 Anuitas Hidup Diskrit Teori anuitas diskrit mirip dengan teori anuitas hidup kontinu. Untuk anuitas kontinu tidak ada perbedaan pembayaran di awal atau di akhir interval, sedangkan di dalam anuitas diskrit perbedaan waktu pembayaran itu sangat berpengaruh. Anuitas hidup diskrit menurut waktu pembayaran terbagi menjadi 2 yaitu
segera(immediate) dan awal(due). Yang dimaksud dengan segera adalah sutau rangkaian pembayaran, pembayaran pertama setahun dari sekarang, yang kedua dua tahun dari sekarang dan seterusnya Dan yang dimaksud awal adalah
k
Y =?
pembayaran pertama dilakukan sekarang dan pembayaran kedua dilakukan setahun dari sekarang dan seterusnya. Dan untuk perhitungan premi ini digunakanlah anuitas hidup awal(due) karena biasanya premi dibayar di depan. Nilai sekarang dari anuitas seumur hidup adalah Y = a&& k +1
K≥ 0
(2.9.12)
Total nilai sekarang dari anuitas seumur hidup ini adalah ∞
a&& =∑E [Y ] = ∑ a&& x
∞
. Px .qx + k = v
(2.9.13)
k +1 k
Px
k
k =0
k =0
Nilai sekarang dari anuitas awal n-tahun adalah ⎤⎤a&&k +1 ⎤⎤a&&n
0≤k<
(2.9.14)
n K≥n
Total nilai sekarang dari anuitas ini adalah n −1
n−1
a&& n = E [Y ] = ∑ v kPx
∑ a&&
k
. Px .qx + k + a&& n . nPx = k =0
k
karena Y =
1−
=0
K
dan v
{
Z
Z= n
V 1 − E [Z
a&& x:n = E Y =
d
0≤ K<
, maka
+1
d
[ ] ]
(2.9.15)
k +1 k
n K≥n
1− = Ax:n d
atau A x:n + d a&& x:n =1
(2.9.16)
dengan analogi yang sama, maka ini berlaku juga untuk anuitas seumur hidup yaitu a&& x = 1 − Ax d
(2.9.17)
m
2.9.2.3 Anuitas Hidup dengan m-kali Pembayaran Anuitas hidup sebesar 1 pertahun yang dibayarkan sebesar 1/m pada awal setiap 1/m tahun selama orang yang berusia (x) tersebut hidup. Total nilai (m)
sekarang dari anuitas ini dinotasikan dengan simbol a&& x:n . Sebelumnya akan kita bahas terlebih dahulu satu asumsi yang sering digunakan dalam interpolasi pada interval (x,x+1). Asumsi itu adalah asumsi interpolasi linear, dengan x merupakan integer dan 0 ≤ t ≤ 1 . Jika menggunakan asumsi interpolasi liniar maka f ( x + t) = (1 − t ) f ( x) + tf ( x + 1) s( x + t ) = (1 − t )s( x) + ts( x + 1) k +1 k +1
v tv
k
Px = (1 − t )v kPx +
k +1 k +1
Px
Sekarang kita bahas anuitas untuk m-kali pembayaran pertahun selama n- tahun. 1/m
1/m
1
1/m
1/m
1/m
2/ m
(m1)/m
1/m
1/ m
1/ m
1/ m
2
n-1
1/ m
2/m
1/m
(m-1)/m
n
Gambar 2.3 Ilustrasi m-kali pembayaran dalam pertahun
(m)
a&& x:n +
1 m =
1
1
1/
v m
m
. + Px
1
2/
v m
. + Px + ...
1
1
v.P + mv m 1
x
1
1
1 m m
v
k =0
v
j =0
k
2
( m−1)
.1 Px + ... +
v m m m 1 1⎤ 1 1 0+1/ 0+ 2 / m m 1 2 1 .0 + m Px v .0 + m Px + ... v + .1Px v m+.1 m Px + ... = ⎤1 v + + + m⎤ 1 n−1 k m−1 j / m = ∑ dimana t + sPx = tPx * sPx + t j / mPx + kPx ∑ 1
( n−1)
m
.( n − 1)
1
m ( m−1)
m ( n−1)
v
( m−1) m
.( n − 1)
⎤ ( m−1) m
Px⎤ ⎤
Px
sehingga, (m)
a&& x:n ∑∑
n−1 m−1
1 =
k =0 k =0
k+(j/m)
m
v
k + (j / m)
Px
(1( ? ? n−1 m−1
1 ⎡⎡
⎡
(
=∑⎡
j
k +1
k x
k
k + 1
k + 1
x
Px
m
⎤
k =0
⎡
Px −
v
k +1
k
v
k
2m
Px −
k
k + 1
Px
⎤
⎤ ⎤
j =0
m− 1
k
=∑⎡
j ⎡ ⎤ 2
)∑
⎡
n−1
Px ⎡ ⎡ , asumsi interpolasi linier ⎡⎡
m−1
k
v P − v −P v k
⎡⎡
k +1
−1 v +kPx m v m ⎡⎡⎡⎡ m
k =0 k =0
n−1
(
j k
∑∑
=
?
)
v
k =0
⎤ m− 1
n−1 k
=∑
Jadi,
v
Px − k
2m
k =0
k +1
k
n −1
∑v v
Px −
k
k + 1
Px
)
k =0
(m)
a&& x:n = a&& x:n − m − 1 2m
n
Px
n
)
atau
(2.9.18)
v (m)
a&& x:n = d( m ) a&& x:n m − − 1Ax :
d
(2.9.19)
n
2m
Dengan analogi yang sama maka berlaku juga untuk anuitas seumur hidup yang (m)
m kali pembayaran a& &
=
d
d
(m)
m−1 a&& x − 2m A x
(2.9.20)
didefinisikan nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut yang merupakan
v
n
variabel acak dari Y adalah 1−Z Y = ( m ) dengan d Z
K +( j +1) /
=
k < n, J = 0,1, ..., h
h
V
−1 k≥n
(2.9.21)
2.10 Premi Bersih (Net Premium)
Berkenaan dengan polis asuransi didefininisikan jumlah kerugian (total loss) L, untuk penanggung adalah perbedaan antara nilai sekarang dari santunan dan nilai sekarang dari pembayaran premi. Kerugian ini (L) merupakan peubah acak dari nilai santunan sekarang yang dibayar oleh penanggung dikurangi anuitas dari premium yang dibayar oleh tertanggung. Prinsip ini dikenal dengan prinsip ekivalen (equivalence principle) dan mempunyai syarat bahwa :
E[L]=0
(2.10.1)
Sehingga E[Nilai santunan sekarang – Nilai premi sekarang]=0 E[Nilai santunan sekarang]=E[Nilai Premi sekarang Premi yang memenuhi prinsip ini disebut premi bersih. Jika besar L>0 maka kerugian telah terjadi. Selanjutnya jika disebut premi maka yang dimaksud adalah premi bersih.
2.10.1 Premi diskrit
Premi diskrit yang dibayarkan tiap tahun untuk asuransi diskrit (benefit dibayarkan pada akhir tahun kematian) Untuk asuransi seumur hidup , premi tahunan disimbolkan dengan
P
X
A
= X
a& & X
P
X
diperoleh dari (2.10.2)
? P1 L =v ? P
1
K +1
1
a&&K +11
xn : .
P
Premi ini dibayar tahunan selama si tertanggung masih hidup. Kerugian penanggung adalah L=v
− P X a&&
K = 0,1, 2...
(2.10.3)
K +1
Untuk asuransi berjangka n-tahun , premi tahunan disimbolkan dengan P
x:n
diperoleh dari
P
x:n
=
A
x:n
(2.10.4)
a&&x: n
Premi ini dibayar tahunan selama n tahun. Kerugian penanggung adalah L=
K +1
K = 0,1,..., n −
1
x :n . a&&n
(2.10.5)
1 K≥n
Untuk asuransi Dwiguna n tahun , premi bersih tahunan disimbolkan dengan
P
x:n
diperoleh dari
x:n
=
A
x:n
(2.10.6)
an &&x:
Premi ini dibayar tahunan selama n tahun. Kerugian penanggung adalah K +1 v − P x :n .a&&K +1 − P x :n .a&&n
K = 0,1,..., n − 1 K≥n
(2.10.7)
Premi diskrit yang dibayarkan tiap tahun untuk asuransi kontinu (benefit dibayarkan segera setelah si tertanggung meninggal) Dan untuk benefit asuransi yang dibayarkan segera setelah si tertanggung meninggal masih tetap menggunakan premi diskrit, sehingga gabungan antara asuransi kontinu dan premi diskrit disebut semi kontinu
P
P
=
1
P Untuk Asuransi seumur hidup premi tahunan yang harus dibayar adalah
P
X
A
=
(2.10.8)
X
a& & X
Dan untuk asuransi berjangka n-tahun adalah 1
P
x:n
=
A
x:n
a&&x:
(2.10.9)
n
Yang terakhir untuk asuransi Dwiguna, premi yang harus dibayarkan tiap tahun adalah
x:n
=
A
x:n
(2.10.10)
an &&x:
2.10.2 Premi m-kali Pembayaran Premi m-kali pembayaran adalah premi yang diperoleh dari jenis asuransi diskrit atau kontinu dan dari anuitas hidup m-kali pembayaran tiap tahun.
Premi yang dibayarkan tiap m-kali tiap tahun untuk asuransi diskrit (benefit dibayarkan pada akhir tahun kematian) Untuk asuransi seumur hidup , premi bersih m-kali per tahun disimbolkan dengan (m) X
, diperoleh dari (m ) X
A
X
(m)
a& &
(2.10.11)
Premi ini dibayar m-kali dalam setahun seumur hidup si tertanggung. Kerugian penanggung adalah
1
P
? L =v
1
a& & 1
v
K +1
a& &
( m) −Px(m) a&& K +1
K = 0,1, 2, ...
(2.10.12)
Dan untuk asuransi berjangka n-tahun , premi bersih m-kali per tahun disimbolkan dengan
P
(m )
, diperoleh dari
x:n
P
(m) x:n
=
A
x:
(2.10.13)
n (m)
a&& x:n
Premi ini dibayar m-kali dalam setahun selama n-tahun. Kerugian penanggung adalah K = 0,1,...n − 1
⎡⎡ K +1− 1( m ).a&&( m ) P x:n K +1 L=⎡ (m) 1( m ) − ⎤⎡ P . x:n a&&
K≥n
(2.10.14)
n
Serta untuk asuransi Dwiguna n tahun, premi bersih m-kali per tahun disimbolkan dengan
P
(m )
, diperoleh dari
x:n
(m) x:n
=
A
x:n (m)
(2.10.15)
a&& x:n
Premi ini dibayar m-kali dalam setahun selama n tahun. Kerugian penanggung adalah (m) ⎡⎡ K +1− L = ⎡ v P x:n
⎤⎡
v
(m) K +1
K = 0,1,...n − 1
(2.10.16)
K≥n n
(m)
P x:n
(m)
n
Premi yang dibayarkan m-kali tiap tahun untuk asuransi kontinu (benefit dibayarkan pada akhir tahun kematian)
Untuk asuransi seumur hidup , premi bersih m-kali pembayaran per tahun disimbolkan dengan PX( m ) (A X ) , diperoleh dari
P
?
(
PP (
)
A
P
a&?)a&= A )
(m)
?
(m)
?
=AXA X
( ) X
a &&
(2.10.17)
(m)
x
Premi ini dibayarkan m kali dalam setahun selama si tertanggung hidup. Kerugian si penanggung adalah L=v
(m) x
T
(m )
T≥
(2.10.18)
K +1
−
0
Sedangkan untuk asuransi berjangka n-tahun , premi bersih m-kali per tahun
P
disimbolkan dengan
(m)
1 A x:n ) , diperoleh dari
( 1
P (A (m)
A
1
(2.10.19)
x:
x:n
n (m)
a&& x:n
Premi ini dibayarkan m kali dalam setahun selama n tahun. Kerugian si penanggung adalah
L=
(m) 1 ⎡ & &K ⎡⎡ vT −P( m)⎡⎡⎡ Ax:n . +1 ⎡⎡
( m) ⎤ 1
− ⎡⎤ P
⎤ ⎤
T
⎡
⎡
T≥ n
a& &
Ax:n
⎤.
(2.10.20)
n
⎤
Dan untuk asuransi Dwiguna n tahun, premi bersih m-kali per tahun disimbolkan dengan
(m) x:n
diperoleh dari x:n
(m)
=
A
x:n
?
? Ax:n ?
a&&
? ? ?
n
(m)
(2.10.21)
a&& x:n
Premi inidibayarkan m kali dalam setahun selama n tahun. Kerugian si tertanggung adalah
L
⎤⎤v T
T
aA&&x:nK +1⎤ ⎤
( m) ⎤
−P = ⎤ ⎤⎤ − P ⎤ ( m)
⎤
⎤
⎤ ⎤
(m)
(m)
(2.10.22) T≥n
t
? ?
q
2.11 Hubungan Antara Diskrit dan Kontinu
Ax =
∞
v∫
.tPx.ux(t )dt
0
1 t
=∫ +∫
t
v
2
v+ . P .u (t )dt + ... ∫
.tPx.ux(t )dt
0
t
1
misal y=t-k maka t=k
t
1
k
x
t
v . P .u (t )dt + ... t
x
k
y=1
∫ v . P .u (t)dt = ∫ v t
K +1
x
y=0
t=k+1
K +1
x
x
y+k
. y + kPx.ux( y + k )dy
0
karena Ux(y+k)=Ux+y(k) maka 1
=∑
∫v
k =0
karena
y+kPx=kPx.yPx+k
. y + kPx.ux + k ( y)dy
0
maka
=∑
1
y
k
∫ v .v
k =0
karena
y+ k
0
x+ k
Px + k .ux + k ( y) =
y
Px.yPx + k .ux + k ( y)dy
k
maka
k
q
1
∞
=∑
v
k =0 ∞
k
Px ∫
k
0
v
y
d ( y)
x+k
1
y
x
=∑
v
k =0
k
Px q x + k ∫0 v d ( y)
y
?
1
sehingga dan
i
∫ v d ( y) = 0
δ i ∞ = Ax ∑
v
k
k =0
A
x
=
i δ
A
Px
k
q
x+ k
x
(2.11.1)
2.12 Deterministik Model Deterministik model biasa digunakan oleh perusahaan asuransi jiwa dalam menghitung premi suatu asuransi. Perhitungan premi pada model ini biasa tergantung pada tabel mortalitas.Pembayaran benefit pada model deterministik ini dilakukan pada kahir tahun kematian (diskrit). Dalam kesempatan ini penulis menggunakan deterministik model ini sebagai pembanding hasil perhitungan premi yang telah penulis lakukan dengan menggunakan simulasi fungsi T.
2.12.1 Asuransi Jiwa Berjangka Misal ada lx orang masing-masing menaruh uang di suatu dana sebesar z dan sesudah 1 tahun setiap ahli waris dari mereka yang sudah meninggal mendapat 1 unit , dari dana tadi. Yang menjadi pertanyaan adalah berapa besar z. Banyaknya lx yang meninggal adalah dx, jadi banyaknya dana yang harus dikumpulkan adalah dx unit. Jadi jumlah uang yang disumbangkan dengan bunga haruslah sama dengan dx unit atau zlx(1 + i) = dx
dx z = lx(1 + i)
1
A
=
v
x +1 x
vdx lx
z= Notasi : cx = v d x lx Jadi :
vd z = cx x =
lx
v
dx
(2.12.1)
x
v lx
Cx atau z disebut premi bersih untuk asuransi berjangka selama 1 tahun. Misal
1 x:n
= Nilai Tunai suatu asuransi berjangka sebesar 1 unit pada seseorang
berumur x selama n tahun, artinya bila (x) meninggal dalam jangka waktu antara x dan x+n maka ahli warisnya akan menerima 1 unit, pada akhir tahun (x) meninggal. Jadi n
2
A
x:n
= vqx +
=v
dx
n−1
v
1
qx
+v
2
lx
+ ... + qx dx + 1
v
n −1
+ ... + v
n
lx
dx +
(2.12.2)
lx
2.12.2 Asuransi Jiwa Seumur Hidup Notasi: Ax= Nilai Tunai dari suatu asuransi seumur hidup sebesar 1 yang dibayarkan pada akhir tahun si tertanggung (usia x) meninggal. Dengan menggunakan metoda diskonto diperoleh Ax = v d lx
+
2
dx +
+ ... +
1
lx
v
dw lw
w− x +1
?v
=
∞ i =0
d x
x +1+i
v
x+i
lx
(2.12.3)
A
1
x
n
2.12.3 Asuransi Jiwa Dwiguna Asuransi Dwiguna adalah kombinasi antara asuransi Berjangka n-term dengan Dwiguna murni yaitu :
A
1
=
x:n
+
(2.12.4)
E
n x x:n
n
2
dengan
A
x:n
= vqx + d v
dan
v
1
+ ... +
v
n −1
= +v
2
dx +
1
qx
qx lx
lx
+ ... +
v
n
dx + n − 1 lx (2.12.5)
x
Ex = v lx
2.13 Perangkat lunak Menurut Pressman (2001, p6), perangkat lunak adalah : 1. instruksi – instruksi (program komputer) yang jika dijalankan akan menyediakan fungsi yang diperlukan. 2. struktur data yang memungkinkan program untuk memanipulasi informasi 3. dokumen yang menyatakan operasi dan kegunaan program.
2.13.1 Dasar Perancangan Perangkat Lunak Menurut Mahyuzir (1991, p78), perancangan merupakan
proses penerapan
bermacam-macam tehnik dan prinsip dengan tujuan untuk mendefinisikan peralatan, proses atau sistem secara rinci. Perancangan dilakukan pada tahap awal pengembangan. Tujuan perancangan adalah menghasilkan model yang akan dibuat. Perancangan perangkat lunak mengalami perubahan jika didapatkan metode yang baru, analisis yang
baik dan penyusunan pengertian yang lebih luas.
2.13.2 Fase Pengembangan Perangkat Lunak Model fase pengembangan perangkat lunak yang digunakan adalah Waterfall Model. Adapun fase-fase yang ada pada Waterfall model ini antara lain : 1. Analisis Kebutuhan dan definisi masalah Pada fase ini, kita menganalis apa yang menjadi kebutuhan dan yang menjadi tujuan dari membuat perangkat lunak ini. 2. Merancang Sistem dan perangkat lunak Merancang sistem adalah membagi-bagi kebutuhan-kebutuhan tersebut pada perangkat keras dan perangkat lunak. Yang kemudian keduanya saling bersinkronisasi 3. Implementasi dan unit testing Pada fase ini, rancangan perangkat lunak direalisasikan menjadi sekumpulan
unit/modul-modul
program.unit
testing
berguna
untuk
mengecek apakah suatu unit tersebut sesuai dengan spesifikasi dan kegunaan yang diharapkan. 4. Integrasi dan Tes Sistem Modul-modul program tersebut kemudian diintegrasikan satu sama lain menjadi satu kesatuan sistem yang utuh dan mengecek system tersebut apakah sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan. Setelah selesai dengan testing program, sistem tersebut dapat dilepas ke klien 5. Penggunaan dan perawatan Biasanya fase ini adalah yang paling lama.Perawatan perangkat lunak meliputi perbaikan kesalahan yang tidak muncul pada tahan-tahap sebelumnya dalam pembuatan perangkat lunak, mengembangkan perangkat lunak yang sudah ada ketika ada kebutuhan yang baru.
Definisi Kebutuhan
Merancang Perangkat Lunak dan Sistem Implementasi dan Testing Unit Integrasi dan Testing Sistem Penggunaan dan Perawatan Gambar 2.4 Waterfall Model
2.14 Simulasi Monte Carlo Jika ingin menggambarkan suatu fenomena kejadian yang seusai dan mirip dengan kejadian nyata, maka akan banyak faktor biaya yang sesuai dan mirip dengan kejadian nyata, maka akan banyak faktor biaya yang harus disediakan. Faktor biaya tersebut diantaranya tenaga, waktu, dana dan faktor-faktor lainnya yang mungkin saja faktor tersebut sulit untuk diperoleh. Oleh karena itu, simulasi merupakan suatu solusi atas penggambaran suatu fenomena yang tidak memerlukan faktor biaya. Simulasi adalah suatu teknik numerikal untuk mengadakan percobaan pada komputer digital yang mencakup tipe dari matematika dan model logika tertentu yang menggambarkan tingkah laku bisnis atau sistem ekonomi dalam suatu periode dari kejadian yang nyata.
Keuntungan dari simulasi adalah : • Dapat digunakan untuk membantu menganalisa suatu tujuan dari sistem meskipun data masukkannya tidak lengkap • Sebagai alat pendidik untuk memperkuat analisa penyelesaian dari suatu metodologi. • Simulasi data lebih murah biayanya(dari segi waktu,tenaga,dana,dll) dariapada data lapangan (kejadian nyata) • Pada model analitik, umumnya menggunakan pembatasan dengan pendekatan asumsi untuk menyederhanakan atau memudahkan pengerjaan matematikanya sehingga jumlah yang bisa dihitung terbatas pada bentuk pengukuran sistem tersebut. Sedangkan pada model simulasi tidak terdapat pembatasan serta data yang dibangkitkan pada simulasi dapat digunakan untuk menaksir beberapa hal pada bentuk pengukuran. Inti dari simulasi dalam tugas akhir ini adalah membangkitkan peubah acak T(x). T(x) adalah lamanya sisa hidup seseorang yang berusia x. Tabel yang digunakan pada tabel populasi adalah tabel mortalitas “Comissioners 1941 Standard Ordinary Mortality Table” atau biasa disebut “CSO Table.” dengan asumsi tingkat suku bunga 2,5 %
Simulasi Monte Carlo banyak digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tertentu dalam statistika yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Simulasi Monte Carlo menggunakan bilangan acak untuk mengakpromasikan solusi permasalahan. Salah satu penggunaan standar dari Simulasi Monte Carlo ini adalah Menghitung integral
θ =
b
∫
a
g ( x)dx
dengan g(x) adalah fungsi nilai real yang tidak bisa diintegralkan secara analitik. Untuk mengaprokmasikan nilai integral dengan simulasi Monte Carlo, misalkan ( x − a)
y=
(b − a)
dy =
Æ x = a + y(b − a)
dx Æ dx = dy(b − a) (b − a)
sehingga
θ = =
1
∫ g (a + (b − a) y)(b − a)dy 0
∫
1
0
h( y)dy
dengan h( y) = g (a + (b − a) y)(b − a) . Jika y merupakan peubah acak berdistribusi uniform (0,1) maka f(y)=1 sehingga 1
θ = ∫ h( y)dy 0
1
θ = ∫ h( y)1dy 0
= E [ (h( y)] Jika y1,y2,...,yk saling bebas dan berdistribusi U(0,1), maka h( y1), h ( y 2 ), ..., h( yk ) saling bebas dan berdistribusi identik dengan mean θ . Dan menurut Hukum bilangan besar k
∑ θ i =1
h( yi ) Æ E [ (h( y) ] = k
untuk k → ∞
Oleh karena itu, kita bisa mengaprokmasikan θ dengan membangkitkan yi sebagai bilangan besar kemudian diambil rata-rata dari h( yi ) .
=
2.15 Menaksir Parameter Gompertz Dari persamaan (2.2.5) dan (2.3.3) akan diperoleh s( x + t ) lo.s( x + lx + t t) tPx = = = s( x) lo.s( x) lx
(2.15.1)
Hubungan dengan Gompertz, diperoleh dari persamaan (2.2.5) dan (2.5.2) , yatitu t
s( x + t ) Px = s x =
(
)
⎡ exp ⎡⎡⎡− m c x +t −1 ⎡⎡ ⎡
x
⎤
(( ) ) /expexp(⎡⎡m− )m(c −1)⎤⎤ e xp ( − m c x ) / exp( m )
exp − m c x +t
= exp ⎡⎡ − m (
c
x+t− x c
) ⎡⎡
(2.15.2)
Sehingga akan didapat: lx + t = lx.tPx = lx. exp ⎤⎤ − m ( t x − c )⎤ ⎤ Jika t = x
c
x+
dan x = 0 , maka lx = l 0. exp ⎤⎤ − m (
c
x
−1
) ⎤⎤
(2.15.3)
Persamaan ini menyatakan banyaknya orang yang hidup pada usia x. Nilai-nilai lx dan lo didapat dari tabel mortalitas “Comissioners 1941 Standard Ordinary Mortality Table” atau biasa disebut “CSO Table.” Dengan menggunakan software Mathlab 6.01 didapat parameter m = 0.0105 dan c = 1.0652.
u
1 ?
2.16 Teknik Transformasi Invers Proposisi: Misalkan U adalah peubah acak berdistribusi Uniform (0,1). Untuk sembarang fungsi distribusi kontinu F, peubah acak V yang didefinisikan oleh V = F −1(U , mempunyai ) distribusi F. Bukti: Pr(V ≤ v) = Pr( F −1(U ) ≤ v) = Pr(F ( F −1(U ))) ≤ F (v)) = Pr(U ≤ F (v)) = F (v), U U (0,1) ∴ Fungsi distribusi v adalah F Proposisi diatas menunjukkan bahwa kita dapat membangkitkan peubah acak V dari fungsi distribusi kontinu F dengan membangkitkan bilangan acak U dan mentransformasikan V menjadi F −1(U atau V = F −1(U ) ) Peubah acak U1,U2,U3... yang berdistribusi Uniform(0,1) dibangkitkan melalui random numbers di komputer, dan setiap U1 mempunyai fungsi kepadatan peluang :
f ( x) =
1, 0,
⎤0, ⎤ Fu ( x) = x, ⎤ ⎤
0≤ x≤1 , lainnya x<0 0≤ x≤1 x>1
Misalkan kita akan membangkitkan V yang berdistribusi eksponensial dengan parameter
λ =1. Kita tahu bahwa fungsi kepadatan peluang untuk V yang berdistribusi eksponensial adalah :
⎡ λe− λv , f (v) ⎡= ⎤ ⎤⎡ 0,
,v≥0
⎤ − F (v) = ⎤λ e
,v≥0
,v<0
,v<0
1− ⎤ ⎤⎤λv 0
Jika λ = maka 1, ⎤ −v f (v) = ⎡e , ⎡ 0,
,v≥
dan
0 ,v< 0
⎡ − F (v) ⎡⎡ 1−e ⎤ v ⎤ 0 =
,v≥0 ,v<0
Langkah-langkah untuk membangkitkan peubah acak V yang berdistribusi eksponensial ( λ = 1 )adalah : 1) Hitung fungsi distribusi dari peubah acak V. Untuk distribusi eksponensial ( λ = 1 ), fungsi disribusinya F (v) = 1 − e − v , v ≥0 2) Tetapkan F (v) = U . Dalam hal ini, peubah acak, sehingga 1 − e
(2.16.1)
F (v) = 1 − e
, v ≥ 0 . Di sini V merupakan
−v
merupakan peubah acak yang kemudian disebut U.
−v
3) Selesaikan persamaan F (v) = U 1 − e− v = U e
−v
=U+
Untuk V dalam bentuk U. Dalam hal ini,
1 v = − ln(1 − U) Pada umumnya persamaan terakhir ditulis V = F −1(U ) 4) Membangkitkan peubah acak U1,U2,U3... yang berdistribusi Uniform (0,1), kemudian menghitung peubah acak yang diinginkan dengan Vi = F −1(Ui ) Untuk kasus ini, Vi = − ln(1 − Ui ) , untuk i=1,2,3..
x
x
(
)
t
x
?
2.17 Membangkitkan Peubah Acak T(x) Untuk memperoleh peubah acak T(x), kita gunakan persamaan (2.15.2) yaitu Px =
exp
⎡⎡ − m (
c
x
c
x+t−
) ⎡⎡
Fungsi distribusi dari T(x) adalah F (t ) = Pr (T ( x) ≤
t) = tqx = 1 − tPx = 1 − exp ⎡ ⎡
−m
(
c
x+t
−c
x
) ⎤⎤
Bentuk persamaan di atas mirip dengan persamaan (2.16.1), sehingga F (v) = F (t ), v =m
(c
maka
c)
x+t
−
Sehingga jika kita menggunakan teknik transformasi invers akan didapat peubah acak T(x) yaitu : v = − ln(1 −
m (c
x+t
U)
c) mc
( c − 1) t
= − ln(1 − U) = − ln(1 − U ) − ln(1 −
??
c
=
−1
t
=
c
?
U) mc
x
− ln(1 − U ) + 1x mc
t ln C = ln ⎤−ln(1−U ) ⎤ +1 ⎤ m x c ⎤
⎤ ⎤
ln ⎤ −ln(1−U ) t=
⎤
+1⎤ m c⎤x ⎤
ln C
⎤
? ?
t = ln ?ln(1?U ) +1 * Jadi, peubah acak T(x) adalah ⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎤
1
⎤
mc x
⎡ ln C Untuk membangkitkan peubah acak T(x), langkah-langkah yang diambil adalah : ⎡
1) Kita bangkitkan peubah acak berupa U1,U2,U3...n yang masing-masing berdistribusi Uniform (0,1). Buat peubah acak baru, yakni peubah acak antitetik yang diperoleh dari hasil 1-Ui, i=1,2,...n. Kegunaan peubah antitetik adalah untuk memperkecil variansi dari taksiran. 2) Transformasikan data tersebut sehingga berdistribusi eksponensial ( λ = 1 ), dengan transformasi sebagai berikut : Vi = − ln(1 − Ui ),
i=1,2,...,n
3) Transformasi ini akan menghasilkan peubah acak T(x), Yakni t1,t2,...tn. yang diperoleh dengan persamaan berikut :
t = ln
⎤
⎤
Vi ⎤ ⎤m x c
⎤
+1⎤
*
1 . ln C
i=1,2,...,n
