SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Se genera por la rotación de un rayo (en el mismo plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. Consideramos un ángulo positivo cuando la rotación del rayo sea contraria al movimiento de la manecillas de un reloj (antihorario); cuando la rotación sea en el mismo sentido de movimiento (horario) el ángulo se considera negativo.
Donde: O : vértice de los ángulos generados : ángulo trigonométrico positivo : ángulo trigonométrico negativo Cuando a un ángulo trigonométrico se le invierte su sentido, su valor cambia de signo. Para sumar ángulos trigonométricos en un gráfico, estos deben tener el mismo sentido. MEDICIÓN DE UN ÁNGULO Al medir un ángulo, tratamos de asignarle un número que indique la magnitud de este. Se debe tener presente para un ángulo positivo, que cuando sea mayor la rotación, mayor será el ángulo. ÁNGULO DE UNA VUELTA Es aquel que se genera, cuando el lado final e inicial coinciden por primera vez luego de cierta rotación. Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y decir que ángulo de una vuelta es: 1v. La forma más lógica para medir el ángulo es el número de vueltas o llamado también número de revoluciones.
ERATÓSTENES (c. 284-c. 192 a.C.).
Matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Fue el primero que midió con buena exactitud el meridiano terrestre. Para ello ideó un sistema a partir de la semejanza de triángulos. Erastótenes midió en primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo meridiano: Siene (Assuán) y Alejandría. Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra. Después se dio cuenta que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo
65
MEDIDA EN GRADOS SEXAGESIMALES El sistema más utilizado en aplicaciones de ingeniería, topografía, navegación, es el sistema sexagesimal. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel ángulo cuya medida es 360° (1° grado sexagesimal). Ejemplo:
2 de una vuelta y calculemos su medida. 3 2 La medida en grados de este ángulo es 360 240 3
Dibujemos un ángulo de
Medida de un ángulo en grados sexagesimales = (Número de revoluciones) (360°) Tenemos también: 1v = 360°
1°= 60’
1’ = 60
donde: 1’ = minuto sexagesimal 1’’ = segundo sexagesimal NOTA: 1 vuelta : 360° = 400g = 2 rad 1 vuelta: 180° = 200g = rad 2 1 vuelta: 90° = 100g = rad 4 2 1 rad > 1° > 1g 27’ = 50m 1’ > 1m 81’ = 250g 1” > 1g 27’ = 5000g 1’ > 1g
Sigamos aprendiendo con nuestro Libro de Trabajo
MEDIDA EN GRADO CENTESIMALES Debido a que este sistema no es muy utilizado y carece de aplicaciones prácticas, sólo nos limitaremos a mencionar algunas equivalencias. En este sistema definimos el ángulo de vuelta como aquel cuya medida es 400g (1g: grado centesimal). También tenemos: 1v = 400g Donde:
1m : minuto centesimal 1g : segundo centesimal 66
1g = 100m
1m = 100g
MEDIDA EN RADIANES Consideremos un ángulo y dibujemos una circunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su centro “O”; sea además L la longitud del arco de la circunferencia que se genera. Entonces se define: La medida de un ángulo en radianes (número de radianes) viene expresado por.
Ejemplo:
L r
De la definición:
"El "El principal principal objeto objeto de de la la educación educación no no es es el el de de enseñarnos enseñarnos aa ganar ganar el el pan, pan, sino sino en en capacitarnos capacitarnos para para hacer hacer agradable agradable cada cada bocado." bocado."
8 cm L 4 r 2 cm
El número 4 no tiene unidades, así un ángulo de 4(radianes) significa un ángulo que subtiende un arco cuya longitud es de dos veces la longitud del radio (L = 4r). Ahora si consideramos L = r, entonces según la definición tenemos:
L r 1 l r
Podemos definir un ángulo de un radián (1rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS QUE REPRESENTA LA MEDIDA DE UN ÁNGULO Consideremos ahora un ángulo trigonométrico positivo como se muestra en la figura: Siendo S : Número de grados sexagesimales del ángulo C : Número de grados centesimales del ángulo R : Número de radianes del ángulo
67
Se cumple: S C R 180 200
S
180R
C
200R
ARQUÍMEDE S
S C 9 10
S = 9k C = 10k
S = 180k C = 200k R = k
LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA Si un arco de longitud L en una circunferencia de radio r, subtiende un ángulo central (medida en radianes). Entonces:
L=.r
0 < < 2
L=.r =
L r
r=
L
Aplicaciones: Número de vueltas que da una rueda sin resbalar, al desplazarse de una posición a otra. En la figura se muestra una rueda de radio r, que se desplaza de una posición A a otra B, sin resbalar.
Arquímedes (287-212 a.C.), Se le considera padre de la ciencia mecánica y el científico y matemático más importante de la edad antigua. Tuvieron que pasar casi dos mil años para que apareciese un científico comparable con él: Isaac Newton. En el campo de las Matemáticas puras su obra más importante fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón mandó Arquímedes que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro. A él le debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos enemigos. ¡ Eureka, eureka ¡ ¡Lo encontré! Eso es lo que dicen que gritó un día el sabio Arquímedes mientras daba saltos desnudo en la bañera. No era para menos. Ayudaría ( a él y a todos nosotros después) a medir el volumen de los cuerpos por irregulares que fueran sus formas.
El número de vueltas que da dicha rueda, para tal condición se calcula mediante la siguiente relación:
nv
68
lc 2r
Donde: n : Número de vueltas que da la rueda. lc : Longitud descrita por el centro de la rueda. r : Radio de la rueda Poleas y engranajes Engranajes en contacto y poleas unidas por una faja de transmisión.
La moral no se La moral no se impone a las impone a las naciones con las naciones con las leyes. Se les leyes. Se les infunde con el infunde con el ejemplo. ejemplo.
Figura (I)
Figura (II) En la figura (I) se tiene dos engranajes y en la figura (II) se tiene dos poleas unidad por una faja de transmisión. En cada caso si A gira un ángulo A entonces B girará otro ángulo B,. Además las longitudes descritas por los puntos P, T y F son iguales, es decir.
l
p
= lT = lF
A rA = B rB = lF
lP
: Denota la longitud de la trayectoria descrita por el punto P, análogamente para los otros puntos mencionados. Poleas unidas por un eje.
Se tiene dos poleas unidas por un eje, si la polea A gira un ángulo A, entonces la polea B, girará un ángulo B A = B
69
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A la posición sombreada de la figura, se denomina sector circular. Si es el ángulo central expresado en radianes, de una circunferencia de radio r y si “S” denota el área de un sector circular subtendido por .
Lo que no puede ser bien hecho, no merece ser hecho. Lord Chesferfield
Entonces: S
r 2 2
S
Lr 2
S
L2 2
ACTIVIDADES EN AULA 1. Calcular: 11 280 rad 90 9 A rad 7 60
g
b) 2 e) 5
c) 3
a) 2 d) 4
a) 1 d) 4
b) 2 e) 3 3
3. Calcular el valor de: 2. Hallar “x”: 70
c) 3
A
CS CS
S CR 22 18 200 3
2S C 1 CS
S, C y R son lo convencional.
Si S y C son los convencional. a) 2 b) +2 c)+4 d) + 4 e) 8
2 3 3 d) 4 a)
4. Calcular el valor de “A” en: S 1 C 1
A 1 S C 1 2
d)
38 3
5. Hallar “R”, si:
19 2 19 e) 3 b)
3 2
c)
4 3
e)
6. Hallar “x”
S, C son lo convencional. a) 19
b)
c) 38
a) 1 b) 2 1 c) 2 1 d) 3 2 e) 3
7. De la figura calcular:
71
R = 6m
ab ab
a) 1 d) 5
b) 3 e) 4
a) 12 m2 b) 14 m2 c) 15 m2 d) 16 m2 e) 17 m2
c) 6
8. Calcular el área de la región sombreada:
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Calcular la medida del ángulo que cumpla:
A
90 100 1 S C R
b) 200g e) 400g
a) 180° d) 4 rad
c) rad
a) +6 d) 2
60
x y 4 y x
b) +4 e) 6
c) 4
4. Siendo (a) el número de contenidos en 700g. Calcular:
radianes
2. El promedio de los números convencionales
de una medida angular es: 38
. 10
E
Calcular la medida del ángulo en rad. rad 10 3 rad d) 5
a)
rad 5 3 rad e) 20
b)
c)
3 rad 10
a) 1 d) 7
a 1 11
3a 16 ; a 1 1 5
b) 3 e) 9
5. De la figura, calcular 10x – 9y 3. Si: 27° x <> yg Calcular: 72
a) 210 b) 2 100 c) 21 000
22 7
c) 5
d) 240 e) 2 400
a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2 e) 3
6. Calcular: “2 + ”
x
8. Calcular el valor de “x”:
a) 1 1 d) 2
b) 2 1 e) 3
c) 3
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
7. Hallar “x”:
Cada cual merece ser apreciado por lo que hace, no por lo que dicen de él.
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 73
Se llama triángulo rectángulo al que tiene un ángulo recto, recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos. En la figura llamamos c a la hipotenusa, para indicar que su longitud es de c unidades y, con el mismo fin, llamamos a y b a los catetos; ahora supongamos que es el ángulo agudo.
PITÁGORAS (c. 582-c. 500 a.C.),
En el triángulo rectángulo mostrado se cumple: 0 < < 90° a < c; b < c Teorema de Pitágoras: a2 + b2 + c2 RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (RT) La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene en dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto al ángulo agudo. Si en el triángulo de a figura anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cateto adyacente (a) al ángulo . Podemos definir las razones trigonometricas de del modo siguiente:
sen
cateto opuesto al ángulo b hipotenusa c
cos =
cateto adyacente al ángulo a hipotenusa c
tan =
cateto opuesto al ángulo b cateto adyacente al ángulo a
cot =
cateto adyacente al ángulo a cateto opuesto al ángulo b
hipotenusa
c
sec = cateto adyacente al ángulo a
csc =
Vivió inmediatamente después de Tales. Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y en especial a las Matemáticas y a la Música. Después el pueblo se rebeló contra ellos y quemó su sede. Algunos dicen que el propio Pitágoras murió en el incendio. Otros, que huyó y, desencantado, se dejó morir de hambre. Además de formular el teorema que lleva su nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas. A partir de la Edad Media, el teorema de Pitágoras fue considerado como el "pons asinorum", el puente de los asnos, es decir, el conocimiento que separaba a las personas cultas de las incultas.
hipotenusa c cateto opuesto al ángulo b
Ejemplo: Calcular los valores de las seis razones trigonometricas del menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 u 15 unidades. 74
Esfuérzate por ser cada día mejor.
Resolución: Teorema de Pitágoras. (8)2 + (15)2 = a2 289 = a2 a = 17 Con el
rectángulo:
sen =
8 17
cot =
15 8
cos =
15 17
sec =
17 15
tan =
8 15
csc =
17 8
RAZONES TRIGONOMETRICAS AGUDOS: 30°, 60°, 45°, 37° y 53°
DE
LOS
ÁNGULOS
NOTA
Las razones trigonometricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.
Ángulo RT
30°
37°
45°
53°
60°
sen
1 2
3 5
2 2
4 5
3 2
75
cos
3 2
tan
3 3 3
cot
2 3 3
sec
2
csc
4 5 3 4 4 3 5 4 5 3
3 2
1 1 2 2
3 5 4 3 3 4 5 3 5 4
1 2
NOTA
3
3 3
2 2 3 3
RAZONES TRIGONOMETRICAS RECÍPROCAS
Los valores de las seis razones trigonometricas dependen únicamente de la medida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo. Luego.
Siendo un ángulo agudo, se cumple:
csc =
1 sen . csc = 1 sen
sec =
1 cos . sec = 1 cos
cot =
1 tan . cot = 1 tan
Ejemplos:
Si:
5 cot = 5
rectángulo AC’ B’ tenemos que: B' C' sen = AB' Luego:
2 7 sen = csc = 7 2
tan =
rectángulo ACB tenemos que: BC sen = AB
5 5
BC B' C' AB AB'
Así encontramos el mismo valor para que sen sin importar cuál sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo; una idea similar podría servir
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto. En la figura que se muestra: y : son agudos complementarios. ( + = 90°) Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b, como y el ángulo opuesto al cateto a como , en consecuencia: 76
sen =
b = cos ; c
cos =
a = sen c
tan =
b = cot ; a
cot =
a = tan b
sec =
c = csc ; a
coc =
c = sec b
sen = cos (90 - ) tan = cot (90 - ) sec = csc (90 - )
TARTAGLIA Debido a estas relaciones, las rezones: seno y coseno tangente y cotangente secante y cosecante
RT () = Co – RT () + = 90°
Se llaman co-razones trigonometricas una de la otra, respectivamente. Ejemplos: sen 40° = cos 50° tan 80° = cot 1c° cos 62° = sen 28°
sec 20° = csc 70° cot 3° = tan 87° csc 24° = secNiccoló 66° Fontana conocido con el apodo de RESOLUCIONES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Tartaglia debido a su tartamudez, Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver consecuencia de un golpe triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de su cada en la cabeza durante lado y la medida de cada ángulo del triángulo. infancia. Su apodo está ligado al del triángulo En esta sección veremos que podemos resolver cualquier formado por los triángulo rectángulo si se nos da: coeficientes de las Las longitudes de dos lados. sucesivas potencias de un binomio. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. Conociendo las longitudes de dos lados: Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente. Resolución: Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:
De familia muy humilde, su genio y su fuerza de voluntad le llevaron a ser un gran matemático. Resolvió una importante ecuación de 3º grado y guardó en secreto sus descubrimientos.
(1)2 + (2)2 = a2
77
a2 = 5 a=
5
Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1y2 Por decir: tan =
1 = 26° 30’ 2
como : + = 90° = 63° 30’ Conociendo un lado y la media de un ángulo agudo A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo. Incógnitas : x, y Cálculo de x: x = cos a x = acos Calculo de y : y = sen y = a sen a En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90° -
B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo. Incógnitas: x, y Cálculo de x: x = cot a x = acot Cálculo de y: y = csc y = acsc a
78
Lo más importante en este mundo, no es lugar donde estamos, sino la dirección que llevamos.
En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es 90 -
C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo. Análogamente a los triángulos rectángulos anteriores tenemos:
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR El área de cualquier región triangular está dada por el semiproducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. Así tenemos: S
1 ab sen 2
ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador. Línea vertical. Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. Línea horizontal. Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical. Plano vertical. Es el que contiene a toda línea vertical. Línea visual. Llamada también línea de mira, es aquella línea imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse. Los ángulos verticales pueden ser:
79
ÁNGULO DE ELEVACIÓN Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. En la figura se muestra la ubicación de los ángulos de elevación y depresión. : Es la medida del ángulo de elevación, porque se encuentra contenido en un plano vertical. : es la medida del ángulo de depresión, porque está contenido en un plano vertical. : No es un ángulo de elevación porque está contenido en un plano inclinado. Ángulo de depresión Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.
Ejemplo: El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60° a 72 metros de ella, estando el ojo del observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente: Resolución: Observar que: MN = 3 , entonces: QM = H - 3 PMQ H 3 72 H 3 3 72
tan 60° =
H = 73 3
ACTIVIDADES EN AULA
1. Si 13cos x - 12 = 0; 0 < x < 90° Calcular A = csc x + cot x a) 1
b) 3 80
c) 5
d) 7
e) 9
4. Del gráfico calcular “tan ” 30 4 4 b) 4 5 c) 3 5 d) 2
a)
2. Dado un triángulo rectángulo ABC Simplificar: E = sec2A + 2tanAtanC – cot2C a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
e)
5
4
5. Hallar “x”
3. Del gráfico calcular: “tan cot”
a) 3sentan b) 2sencot c) 3sensen d) 3costan e) 3coscot
a) 1 b) 1/ 2 c) 1/3 d) 3 e) 2
81
e)
6. De la figura calcular: a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13 7
a b
/5 3 /5 3 /5 3 /5 3 /5
3
8. De la figura calcular tan:
a)
3
b)
d)
2/2
e)
3 2 3 3
c) 2 3
7. Calcular “sec ” del gráfico: 13 3 13 b) 4 13 c) 5 13 d) 6 a)
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Del gráfico calcular:
d) 6 e) 7
A = csc + 2 csc 2. Siendo “” un ángulo agudo donde se cumple: tan 3. cot (2 + 10°) = sen 50°. sec40°.
a) 3 b) 4 c) 5 82
Calcular A = 1 + tan3 tan4 tan5 tan6 a) 3 b) 2 c) 3 3 d) 2 e) 3
d)
2/2
e)
3 3
6. De la figura calcular “tan” 3. Dado un triángulo ABC (C = 90°) Simplificar: P = a2 cos B – ab cos A a) a d) b
b) ab e) c
c) ac
4. Del gráfico AO = OB Calcular cot
a) 1/2 b) 2 c) 1/4 d) 4 e) 1
7. De la figura calcular “tan ” a) 0.1 b) 0.2 c) 0.3 d) 10/3 e) 10
a) 3 +1 b) 2 1 c) 2 3 1 d) 2 3 1 e) 2 + 3
8. De la figura. Calcular “tan”
5. De la figura: Hallar csc, si AO = OB a) 2 b) 2 2 c) 2 3
a) 1/2 b) 1/3 c) 4/7 d) 3/5 e) 5/7
RA ZONE S TRIGONOME TRIC A S DE Á NGULOS E N P OSIC IÓN E STÁ NDA R CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES A la unión del conjunto de todos los números racionales e irracionales se le llama números reales. Para tener una mejor idea de los números reales, veamos cómo están estructurados:
83
Números Racionales (Q)
Enteros (Z)
Fraccionarios Números Reales (|R)
Números Irracionales (I)
Positivos Z+ {1; 2; 3; 4; ....} Cero (0) Negativos Z- {...; -3; -2; -1}
m ; m, n Z n 0 n 1 2 7 , , , .... 2 5 9
f=
Irracionales algebraicos { 2 , 7 , 3 2 , ....., 5 } Números transcendentes = 3.141592... = 2.71828182... c = 0.5772.... (constante de Euler)
RECTA NUMÉRICA REAL Es aquella representación geométrica de los números reales en donde a cada punto de la recta le corresponde también un número real, asimismo a cada número real se le hace corresponder un único punto de la recta.
O : origen de la recta numérica. El número asociado al punto se llama “coordenada del punto”. 2 es la coordenada de D O es la coordenada de O 1 es la coordenada de A 2 es la coordenada de B luego. x < y, x > y; x < y; x > y se llaman desigualdades: Desigualdades estrictas
El entusiasmo, El entusiasmo, alivia los pesares alivia los pesares de la pobreza y el de la pobreza y el aburrimiento de aburrimiento de la riqueza. la riqueza.
x < y es menor que y x > y; x es mayor que y x < y; x es menor o igual que y (x < y x = y)
Desigualdades 84
no estrictas
x > y; x es mayor o igual que y (x > y x = y)
Sean x, y |R, luego:
x > 0 x es positivo. x < 0 es negativo. x > y (x – y) es positivo x < y (x – y) es negativo
Ejemplos: 2 < 5 pues 2 – 5 = -3 < 0 y se lee 2 es menor que 5. sen 37° > cos 60° pues sen 37° - cos 60° > 0 y se lee sen37° es mayor que cos 60° LEY DE TRICOTOMÍA Para dos números x, y |R, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero: xy INTERVALOS Sea II un subconjunto de |R (II |R), decimos que II es un intervalo si y sólo si el conjunto de todos los números reales está comprendido entre dos extremos (pueden ser finitos o ideales como + o -). Los intervalos pueden ser acotados y no acotados. Intervalos acotado Es aquel cuyos extremos son finitos, dados dos números reales a y b tales que a < b, se definen los conjuntos siguientes llamados también intervalos finitos de extremo superior b y extremos inferior a.
1. Abierto: (a, b) = {x R/a < x < b}
2. Cerrado: [a; b] = {x R/a < x < b}
ESFUÉRZATE ESFUÉRZATE POR SER CADA POR SER CADA DÍA MEJOR. DÍA MEJOR.
85
Intervalo no acotado Es aquel intervalo que tiene por lo menos un extremo real. a; + = {x R/x < a}
-; b] = {x R/x < b}
OPERACIONES CON INTERVALOS Dado que un intervalo es un conjunto de números, admite las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento, etc. Sean A y B dos intervalos, se definen y se denotan. Unión A B = {x R/ x A x B} Intersección A B = {x R / x A x B} Diferencia A – B = { x R / x A x B} Complemento AC = A’ = {x R/ x A}
TEOREMAS SOBRE DESIGUALDADES Sean: x, y, z, w; números reales, luego: x>yx+y>y+z x>y x>y
z > 0 xz > yz z < 0 xz < yz
x R; x2 > 0 86
x >0x>0
xy > 0 x e y tiene el mismo signo xy < 0 x e y tiene signos diferentes xy > 0 x > y
1 1 x y
Es decir:
I.
0
II. x < y < 0 0 >
1 1 0 x y
1 1 x y
x><y>wx+y>z+w
TEOREMA: a y b R+ ; x R – {0} Se cumple: Si: x > 0 E > 2 ab Si: x < 0 E < -2 ab
VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x denotado por |x| se define por: |x|
Ejemplos:
x; si x > 0 -x; si x < 0
|-7| = 7 |sen 60° - tan30°| = tan 30° - sen60° |-tan 37°| = tan 37° |sen20°| = sen20°
TEOREMA:
87
x R; |x| > 0 |x|2 = x2 x R;
r 2 = |x|
|x| = |-x| |x| = |y| (x = y x = - y) Si: a < 0 b > 0, a < x < b 0 < |x| < máx {|a|, |b|} x, y R; |x + y| < |x| + |y| x,y R;
|x – y| < |x| + |y| |x| - |y| < |x – y|
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL La distancia dirigida desde un punto P cuya coordenada es a hasta un punto Q cuya coordenada es b en una recta numérica viene dada por: b – a, análogamente la distancia dirigida del punto Q al punto P está dada por a – b. Como se muestra a continuación:
Es decir:
PQ
=b–a
Es decir:
QP
=a–b
Asimismo podemos indicar que la distancia, entre los puntos P y Q viene dada por la siguiente expresión: d = |a – b| = |b – a|
Donde: d = |a – b| = |b – a| PLANO CARTESIANO
88
La recta horizontal recibe el nombre de eje de x o eje de abscisas y la recta vertical recibe el nombre de eje o eje de ordenadas. El punto P determinado por el par ordenado de valores a y b se denota por (a; b), siendo a y b las coordenadas de P, donde el valor de a se llama abscisa de P y el valor de b su ordenada, debemos tener presente que los dos ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre P3 y P2 es: |x3 – x2|; la distancia entre P1 y P3 es: |y1 – y3|; por el teorema de Pitágoras tenemos: P1P22 P1P32 P2 P32 ................. (I)
Si :
P1 P2 = d
Reemplazando en (I): d2 = |x1 – x2|2 + |y1 – y2|2
d=
x1 x 2 2 y1 y 2 2
RADIO VECTOR Es la distancia del origen de coordenadas a un punto cualquiera del plano cartesiano, dicho radio vector se representa por r, siendo este siempre positivo. Si P(a;b) es un punto del plano cartesiano, el radio vector se calcula así: r
a2 b2
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO POR UN PUNTO EN UNA RAZÓN DADA Si: P1 (x1; y1) y P2(x2; y2) son los extremos de un segmento P1P2.
89
Las coordenadas (x; y) de un punto P que divide a este segmento en razón r =
x
x 1 rx 2 1 r
y
P1P son: P P2
y 1 ry 2 1 r
Siendo : r -1 En el caso particular en que r = 1 tenemos: Las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos P1 (x1; y1) y P2(x2; y2) son:
x
x1 x 2 2
y
y1 y 2 2
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO (G) En el triángulo cuyos vértices son: A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x3; y3), veremos a continuación que las coordenadas del baricentro están dadas por:
x1 x 2 x 3 y1 y 2 y 3 ; 3 3
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR Para calcular el área (S) de una región triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y seguimos un sentido antihorario hasta cerrar la figura geométrica y volver a colocar el primer vértice escogido. Finalmente procedemos como a continuación se indica:
x3 y2 x1y3 x2y1 B
90
x3 x1 x2
x2 y3 y3 y2
y2 x2y3 x3y1 x1y2 A
S
Luego:
A B 2
ÁNGULO DE POSICIÓN NORMAL Un ángulo está en posición normal, posición estándar o canónica, si su vértice está en el origen de un sistema coordenado rectangular y su lado inicial coincide con el eje x positivo.
Cuando un ángulo está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes en cuyo caso se dice que está en tal cuadrante, o bien encontrarse sobre el eje x o el eje y, entonces se dice que es un ángulo cuadrantal. Ejemplos: I.
II.
III.
IV.
Entonces , están en posición normal, IIIC, IIC y es un ángulo cuadrantal. no está en posición normal. ÁNGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos que pueden o no estar en posición normal, tienen las siguientes características: El mismo lado inicial. El mismo vértice. El mismo lado final. Sin considerar el sentido de los ángulos, es decir que ambos ángulos pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos, se tiene:
91
En ambas figuras y son ángulos coterminales, en el primer gráfico son ángulos trigonométricos y en el segundo ambos están en posición normal. PROPIEDADES DE ÁNGULOS COTERMINALES La diferencia de dos ángulos coterminales es un número que se representa por 360° k (k; entero). Es decir: Si y son ángulos coterminales, se cumple: - = 360° k donde: k = +1; +2; +3; …. Siendo y ángulos coterminales y en posición normal como se muestra en la figura, se tiene:
y r y sen = r
sen =
x r x cos = r cos =
y x y tan = x
tan =
Análogo para las demás razones trigonometricas. 92
sen = sen
cos = cos
tan = tan
Luego, podemos concluir: RT () = RT () Donde: RT : razón trigonométrica RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
r
sen =
y ordenada r radio vector
cos =
abscisa x = radio vector r
tan =
ordenada y = abscisa x
cot =
x abscisa = y ordenada
sec =
radio vector r x abscisa
csc =
radio vector r y ordenada
ACTIVIDADES EN AULA
1. De la figura calcular el valor de: E=
5
csc - cot
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 2. De la figura calcular el valor de: P=
3
(sen - cos) 93
a) -5 b) –3 c) –2 d) 1 e) 2
5. Siendo “” un ángulo en posición estándar 3 del II cuadrante, donde tan = , 2 calcular: P=3+ a) 1 d) 4
3. De la figura, hallar: E = (sen + cos ) csc
13
(sen + cos )
b) 2 e) 5
c) 3
a) 17/24 b) 24/17 c) 7/24 d) –17/24 e) –7/24
6. Si el punto (-1; -3) pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar “”. Calcular: R = sen . cot 4. Si cot = 2,4 siendo “” un ángulo estándar del tercer cuadrante, calcular el valor de: 1 E = 2sen + cos 4 a) –2 d) 1
b) -1 e) 2
94
c) 1/2
a) –1/ 10 d) -4/ 10
b) -2/ 10 c) -3/ 10 e) 10 / 10
8. Del gráfico, hallar: Q= 7. Calcular a/b si se tiene que:
a b 2 cos 0 2ab tan 2 4ab sec 3 a 2 sen b 2 csc 2 2
a) –2 d) 2
b) –1/2 e) 3
c) 1/2
tan 2 cos cos tan
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS
1. A qué cuadrante pertenece el ángulo “”, si
a) -2 b) –1/2
se cumple:
c) –1/3
cos < cos (/2)
d) –3 a) IC
b) IIC
d) IVC
e) Ninguno
c) IIIC
e) 1/2 3. Hallar “a” si tan = 3 a) -1
2. Del gráfico, hallar “tan ”, si: OABC es un cuadrado:
b) –2 c) –3 d) –4 95
e) –5 6. Siendo y ángulos del II y III cuadrante 4. Si: 0 < x < 2 y sen x = tan 2, calcular el
respectivamente, hallar el signo de:
valor de: x x x P sen cot csc 2 4 6 a) 5
b) 2
d) 4
e) 0
E
c) 3
sen. cos . tan cot . sec . csc
a) +
b) -
c) (+)
d) Cero
e) Faltan datos
5. a y b son complementario, además se 7. Indicar el signo de:
cumple: (tan) 2tan+3 = (cot)tan + 1; IVC
E Calcular: M = sen + cos a)
5
/5
b) - 5 /5
d) - 5 /10
e)
5
c)
5
/10
sen220 cos 370 tan 275 sen45 cos 120 sec 240
a) +
b) -
d) Cero
e) FD
c) + y –
/15
R REESSO OLU LUCCIIÓ ÓN ND DEE TTR RIIÁ ÁN NG GU ULO LOSS R REECCTÁ TÁN NG GU ULO LOSS II REGLA GENERAL LADO INCOGNITA R.T.0 LADO DATO
LADO INCÓGNITA = (LADO DATO). R.T.0
Ejemplo: Determinar el valor de en función de m y .
96
El éxito de casi todos los campos, depende más de la energía y la voluntad, que de la inteligencia.
CASO I:
BC = d. sen AC = d. cos
CASO II: AB = d.sec BC = d.tg
CASO III
AB = d.csc AC = c.ctg
ACTIVIDADES EN AULA 1. Determinar el perímetro rectángulo mostrado. a) m(1+sen+cos) b) m(1+sec+tg) c) m(1+csc+ctg) d) m(sen+cos) e) m(tg+ctg)
del
triángulo
2. Determinar el área del triángulo rectángulo mostrado. m2 sen 2 m2 c) tg 2 m2 e) 2
a)
m2 cos 2 m2 d) ctg 2
b)
97
5. Del gráfico, hallar “x” en función de m, y . a) msen.csc c) mcos.csc e) mcos.sen
b) msen.sec d) mcos.sec
3. Del cuadrado mostrado, Hallar “x”. a) m(1 - sen) c) m(1-tg) e) m(tg-ctg)
b) m(1-cos) d) m(1-ctg)
4. Del gráfico, Hallar el valor de “x” en función de m, y . a) msen . sen sen c) mcos . cos cos e) mcos . sec
98
b)
mcos
.
d)
msen
.
6. Del gráfico, Hallar “x”: a) msen c) mtg e) msen.cos
b) mcos d) mctg
8. Del gráfico, Hallar “x”: a) b) c) d) e)
7. Del grafico, hallar AC a) b) c) d) e)
mcos(+ncos) msen+nsen msec+nsen mcsc+ncsc (m+n)sen+sen
R(1-sen) R(1-cos) R(1-tg) R(1-ctg) R(tg-ctg)
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Determinar el perímetro rectángulo mostrado.
del
triángulo
a) b) c) d) e)
msen.sen msen.cos mcos.sen mcos.cos msen.tg
3. Del gráfico, hallar “x” a) b) c) d) e)
m(1+sen+cos) m(1+tg+sec) m(1+ctg+csc) m(1+tg+ctg) m(1+sec+csc)
2. Del gráfico, Hallar “x”:
a) b) c) d) e)
m(sen+sen) m(cos+cos) m(tg+cos) m(ctg+ctg) m(sec+sec)
4. Del gráfico, Hallar AB. 99
a) msen.sen c) mcos.sen e) mtg.cos a) b) c) d) e)
msen.cos mctg mtg msec.cos m(sen+cos)
b) msen.cos d) mcos.cos
7. Del gráfico, Hallar “x”:
5. Determinar “x” del gráfico: a) mcos.tg b) msen.ctg c) msen.cos d) mcos.ctg e) msen.tg
a) msec.cos m b) sec.cos 2 m c) m.csc .sec 2 m d) csc.sen 2 m e) tg.tg 2
8. Del gráfico, hallar “x” a) b) c) d) e)
6. Del gráfico, Hallar AC.
mcos.ctg mcos.tg mcos.sen mtg.tg msen.tg
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE DE TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS RECTÁNGULOS II II ACTIVIDADES EN AULA 1. Indicar el área del triángulo mostrado. a) 0.5ab Sen A c) 0.5bc Sen B e) 0.5bc Sen A
100
b) 0.5ab Sen B d) 0.5bc Sen C
2. Del gráfico, Calcular HC en función de my
a) mTgTg c) mCotTg e) mSenCsc
b) mTgCot d) mCotCot
5. Del gráfico, determinar AP en términos de “R” y “” a) mSen2 c) mTg2 e) mSec2
b) mCos2 d) mCot2
a) R(1-Sen) c) R(Sec-1) e) R(1-Tg)
b) R(1-Cos) d) R(Csc-1)
3. Del gráfico, determinar EF , si ED =m
a) b) c) d) e)
mCot.Tg .Csc mCot.Tg .Cos mTg.Cot .Sec mTg.Cot .Sen mCot.Cot .Cos 6. Desde la parte alta de un muero de altura “a” se observa un objeto en el suelo con ángulo de depresión “”. A que distancia del muro se halla el objeto.
4. Del gráfico, determinar CD en función de m,
a) a.Sec d) a.Ctg
b) a.Csc c) a.Tg e) aSen.Cos
101
7. Una persona de 1.75m de estatura observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 60°, luego observa la parte baja del mismo con ángulo de depresión 30°. Hallar la altura del árbol. a) 6m d) 6 3
b) 7 e) 3 3
8. Desde un punto en tierra se observa lo alto del sexto piso de un edificio con ángulo de elevación “” luego se observa la parte baja del onceavo piso del mismo edificio con ángulo de elevación “”. Calcular: Tg Tg
c) 8
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Del gráfico , calcular BC en términos de m,
a) mSen.Csc b) mCos.Sec c) mTg.Tg d) mTg.Cot e) mCot.Cot 2. Del siguiente gráfico, indicar la relación correcta: 102
a) mSen=nSen b) mCos = nCos c) mTg = nTg d) mTg = nTg e) mCos = nCos 3. Del gráfico, calcular el perímetro del cuadrado ABCD.
d) 5
e) 6
6. Desde un punto en tierra se observa la parte alta de un poste de 24m, de altura con ángulo de elevación de 53°. Hallar la distancia del poste al punto de observación. a) 4mSen c) 4mTg e) 4mSec
b) 4mCos d) 4mCot
a) 18 d) 36
4. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide “m” y la medida de uno de los ángulos agudos es “”. Indicar el perímetro de dicho ángulo. a) m(Sen + Cos) b) m(Tg + Cot) c) m(1+Sen + Cos) d) m(1+Tg + Cot) e) m(Sec + Csc) 5. Si:
AC 3BH .
a) 6m d) 18
b) 12 e) 15
c) 24
8. Desde los puntos A y B en el piso se observa un avión que vuelta entre ellos con ángulos de elevación “” y “” respectivamente, hallar la altura que tiene el avión con respecto del piso si la distancia entre los puntos A y B es 150m y además: Tg = 1/2; Tg = 1/3
Calcular “Tg+Cot”
b) 3
c) 32
7. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación “”. Nos alejamos 12m y el ángulo de elevación es “”. Si Ctg - Ctg = 2. Calcular la altura de la torre.
a) 150m d) 30 a) 2
b) 24 e) 40
b) 75 e) 15
c) 50
c) 4
R REEPA PASSO O
ACTIVIDADES EN AULA
1. Si es un ángulo agudo, tan=sen30° + tan45° 1 3 7 d) 2 a)
7 3 5 e) 2 b)
c)
tal que
5 3
103
2. Calcule el valor para la expresión: Q = (sec60° + 5sen37°) sen53° a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
a) 2 5 d) 105
b) 4 5 e) 16 2
c)
561
c) 3
5. A partir del gráfico, calcule tan
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3. Calcule el área de la región triangular ABC, si AB = 2BC y AC = 2 3
a) 4 3 d)
2 2 2
b) 2 3 2 e)
c) 3 2
3 2 4
6. Del gráfico, AM = MP = PB. Halle el valor para tan
4. Calcule BC, si sen =
1 3
a)
104
3 2
b)
3 3
c)
6 3
d)
6 12
e)
3
8. A partir del gráfico (AM = MB), halle el valor de tan
7. Calcule el valor de la expresión Q = (sec45° + sen45°) a) 2.5 d) 4.5
b) 3.5 e) 6.5
csc30°
c) 5.5
a)
3
b)
d)
3 4
e)
3 2 6 2
c)
1 2
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Calcule tan, si tan = 1/5 y BE = BC.
a) 2.1 d) 2.4
b) 2.2 e) 2.5
c) 2.3
2. Calcule el área del CDM, si NB = 4
a) 152 d) 4 2 2
b) 102 e) 62
c) 182
3. Se cumple que: tan (3 + 30°) tan (2 + 10°) = 1 sen (3) sec (80° - ) = 1 105
Calcule E = sen( + 4) + cos(12) 1 2 2 e) 5
a) 1 d)
b)
3 4
c)
2 3
4. Se cumple que: sen ( + 30°) = cos ( + 5°) tan () cot = sen 90° Calcule tan ( + + 10°) + sen ( + 5°) 3 3 1 2 2 3 1 d) 2
a)
b) 4 2 1
e)
b) 10° e) 25°
b) R(1-tg) d) R(1-sen)
7. Dado el gráfico, determine cos. Se sabe que AE = EC = 5
c) 1 2 3 1 2
5. Si 30° + 2x es agudo, calcule x cot (secx) tan(csc (30° + 2x)) = 1 a) 5° d) 20°
a) R(1+cos) c) R(1-sec) e) R(1-cos)
c) 15°
8 3 d) 3 a)
8. Calcule
b)
24 25
e)
2
c)
4 5
sen sensen
si BM = 2MC
6. Del gráfico mostrado, determine x en término de R y
a) 1/2 d) 3
b) 1 e) 1/4
c) 2
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN Las razones trigonometricas en general se definen para un ángulo en posición Normal. Ángulo en Posición Normal Es aquel ángulo cuyo vértice es el origen del sistema de coordenadas cartesianas siendo su lado el semi eje positivo de las abcisas, y su lado final el que nos indica el cuadrante al que pertenece.
Sigamos aprendiendo con nuestro Libro de Trabajo.
106
Sistema de Coordenadas Cartesianas
Ángulo en Posición Normal
Definición de las Razones Trigonométricas
x Abcisa de “P” y Ordenada de “P” r Módulo del radio Vector r
x2 y2
107
Signos de las Razones Trigonométricas
Sen = y/r Cos = x/r Tan = y/x Cot = x/y Sec = r/x Csc = r/y
Nota: Las razones trigonometricas que no aparecen en la figura serán negativas.
ACTIVIDADES EN AULA
d) –0.6
1. Del gráfico hallar “Cos”
a) 0.6
b) 0.5 108
c) –0.5
e) –0.4
2. Del gráfico, calcular: Sen + Cos
a) –5/13 d) 8/13
b) 12/13 e) 7/12
c) –7/13
d) 1/24 e) –73/2
5. Hallar “Csc” 3. Hallar tg dada la figura: a) 1 / 4 b) 4 c) –1/5 d) 225 e) -5
a) 2 3 d) F.D.
4. Hallar tg + ctg en la figura: a) 73/74 b) –75/24 c) –73/24
b) - 3 e) 1
c)
6. Hallar “Tg” en la figura: a) 3/4 b) 1/4 c) 1/3 d) 4/3
109
3
e) 4/5
8. Si ctg = -3/4 IIQ. Calcular: M
a) 5/3 d) 5/4
1 Csc Tg Sen Cos Ctg
b) –5/3 e) 95/11
c) –5/4
ˆ . Calcular: 7. Si III Q y Cos = 0. 6
E
a) 5 d) - 5
Tg Sen Sec
b) - 5 /8 e) N.A.
c) - 5 /9
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS
1. Calcular : “Tg” a) 41 b) 12 c) –41/12 d) –12/41 e) -1
2. Sabiendo Sen = -8/17; IV Q. Hallar: P = 15tg - 17Sen a) 0 d) 16
b) 8 e) –16
La verdad es la luz de la La verdad es la luz de la justicia; y la justicia es la justicia; y la justicia es la consejera de la verdad. consejera de la verdad.
110
c) –8
3. Indicar el signo de: M
a) + d) + ó -
Tg300 Sen70 Sec170 Cos130 Ctg301 Sen170
b) e) F.D.
c) + -
4. Indicar verdadero o falso de las siguientes proposiciones: I. Si: Q N = Cos es negativo. II. Si: III Q n = Tg es positivo. III. Si: ( + ) IV Q N = Sen ( + ) es positivo. a) VVF d) VVV
b) FFV e) FVF
c) FFF
RAZONES RAZONES TRIGONOMETRICAS TRIGONOMETRICAS DE DE ÁNGULOS ÁNGULOS EN EN POSICIÓN POSICIÓN ESTÁNDAR ESTÁNDAR 111
ACTIVIDADES EN AULA 1. Sabiendo que 180° < < 270°, además: 270° < < 360°; indicar si es verdadero (V) o falso (F) en cada caso: ( ) Tg > Sen ( ) Cos > Cos ( ) Sen > Sec a) VVV d) FVV
b) FFF e) VFF
c) VFV
podemos afirmar: I. + son ángulos coterminales. II. + = 360° III. Sen = Sen a) Sólo I d) I y II
b) Sólo II e) I y III
c) Sólo III
4. Sabiendo que: Tg 0 Cos < 0 Indicar el signo en caso: M = Sen Ctg 2. Completar: Los ángulos ........................... son aquellos ángulos trigonométricos en posición estándar cuyo lado final coincide con algún semieje del plano cartesiano y cuya medida es ........................... donde n Z.
N a) +; + d) -; +
Sec Sen 2
b) -; e) + ; +
c) +; -
a) positivos – 180° n b) negativos – 180° n c) cofinales – 90° n d) canónicos – 360° n e) cuadrantales – 90° n 5. De la figura, calcular “Sen”
3. De la figura mostrada: a) 5 /5 d) - 5 /5
112
b) 2 5 /5 e) - 5 /5
c) 1/5
55 11
a)
d) - 55
b) -
55 11
c)
55
e) –11
6. Si el punto A(-5; 2) pertenece al lado final del ángulo “” en posición normal, calcular: M = 29 Sen + 2Ctg a) –1 d) 1
b) –2 e) 2
c) –3
8. Si los puntos P(-5; 12) y Q(3; -4) son puntos que pertenecen a los lados terminados de los ángulos en posición normal “” y “”, respectivamente. Calcular: E = Csc + Ctg
a) 1 d)
1 2
b)
1 3
c) 3
e) 2
7. Si: Sec = 2.6 m Sen > 0 calcular: Csc + Ctg
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS
1. Calcular el número de ángulos cuadrantales que existen en el intervalo:
<720°; 1000°> a) 1
b) 2
c) 3 113
d) 4
e) 5
2. Del gráfico, calcular: Tg + Ctg
a) 2 d) –2
b) e)
5
c) – 5
10
6. Si un ángulo “w” en posición normal cumple: Cosw Senw < 0 a) –1 d) 1,5
b) –1,5 e) 2,5
c) 2,5
3. Del grafico, calcular : E = Sec + Tg Si = OQ = 61
Indicar el signo de: I. Tgw + Ctgw II. SenwCosw a) + ; + d) -; +
b) + ; e) -; -
c) + ; -
7. Sabiendo que 180° < x < 270°, hallar el signo en cada caso: M = Sen2xTgx N Cos
a) 10-1 d) –11-1
b) 11-1 e) 0
c) –10-1
a) + ; + d) - ; +
3x Cosx 4
b) - ; e) +; +
c) + ; -
b) –7/3 e) 7/3
c) 3/7
8. Calcular : Tg
4. Calcular b/a si se sabe que:
a b 2 Sen90 2abTg180 4abCos180 3 a 2 Cos0 b 2 Csc 270
a) –1 d) –1/3
b) –2 e) ½
5. Calcular: Secw
c) 1
a) 1/3 d) –3/7
FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOMÉRICAS TRIGONOMÉRICAS SENO SENO YY COSENO COSENO ACTIVIDADES EN AULA 114
1. Indicar que solución.
proposicion(es)
admite(n)
2 3
I. sen =
II. co = 2 III. sen =
5
2
a) I y II c) I y III e) Sólo III
b) II y III d) Sólo I
4. Indicar el intervalo en el que se encuentra “a”. Si sen = 2a – 3 a) [0; 1] d) [0; 2]
b) [1; 2] e) [1: 3]
c) [2; 3]
2. Indicar el signo de comparación que debe ir en un círculo: Sen 170° ( a) > d) <
) Sen 80° b) < e) =
c) >
5. En que cuadrante se cumple que el seno es creciente y su valor numérico es negativo. a) IC d) IVC
b) IIC e) IIIC IVC
c) IIIC
3. Indicar el máximo valor de: E = 3senx + 4cosy + 1 a) 1 d) 7
b) 2 e) 8
c) 4
115
6. Indicar el menor valor de los elementos del conjunto “A” A = (sen70°; sen 140°; sen200°, sen260°, sen350°) a) sen70° c)sen200° e) sen350°
b) sen140° d) sen260°
8. Indicar el máximo valor que toma la expresión: E = 2 – 3cos2x a) –1 d) 5
b) 1 e) –2
7. Determinar el mayor valor de la expresión: E = 4cos + 3. Si = [60° ; 150°] a) 1 d) 4
b) -1 e) 5
c) 3
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS
1. Indicar que proposicion(es) (n) solución: 116
I. Cos =
2
c) 2
II. Sen =
4
a) I y II d) Sólo I
5. En que cuadrante el coseno es creciente y su valor numérico negativo. b) II y III e) Sólo III
c) I y III
2. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo. cos 160° ( a) > d) <
b) IIC e) IIC y IIIC
c) IIIC
6. Indicar el menor valor: a) cos 80° c) cos 170° e) cos 310°
) cos 280° b) < e) =
a) IC d) IVC
b) cos 100° c) cos 260°
c) >
NEWTON
7. Que valor no puede tomar la expresión: 3. Indicar el máximo valor de:
E = 2senx + 3
E = 2sen x – 3 cos y + 4 a) 2 d) 7
b) 3 e) 9
a) 3.7 d) 1.2
b) 4.8 e) 2.1
c) 5.3
c) 4 8. Indicar el máximo valor que toma la expresión:
4. Indicar el intervalo en el que se encuentra E = 3 - 4sen2x – cosy
“m”, si: cos = m - 2 a) [-1; 2] d) [1; 2]
b) [0, 2] e) [0;3]
c) [1; 3]
a) 6 d) 3
Nació el día de la Navidad de 1642, año en que moría De muchacho b)Galileo. 1 c) 2daba la impresión de ser "tranquilo, silencioso 4 lleno de imaginacion. Se y reflexivo" e) pero divertía construyendo artilugios con los que provoca admiración entre sus compañeros: un molino de viento, un reloj de agua, un carricoche que andaba mediante una manivela accionada por el propio conductor, cometas con articulaciones y luces, etc. Durante los primeros años de escuela Isaac no dio signos de su futura grandeza. Lo que le sacó de este estado fue su primera riña con su compañero de la escuela que, además de ser uno de los mejores estudiantes de la clase, era muy agresivo hacia los otros muchachos. Al recibir un golpe en el vientre que le asestó este camorrista, Newton le desafió a luchar y le venció a causa de su "espíritu superior y resolución". Después de haber ganado en el aspecto físico, decidió completar su victoria en la batalla de la inteligencia y, trabajando esforzadamente, llegó a ser el primero de su clase. Después de ganar otra batalla con su madre que quería dedicarle a la agricultura, entró en el colegio de la Trinidad a la edad de 18 años y se consagró al estudio de las matemáticas.
CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA TRIGONOMÉTRICA (C.T.) (C.T.) CONCEPTO Es aquella circunferencia que se encuentra ubicada en un sistema rectangular de coordenadas, considerando su centro
117
el origen de coordenadas y su radio a la UNIDAD DE MEDIDA, por esta razón también se le denomina CIRCUNFERENCIA UNITARIA (C.U.) REPRESENTACIÓN GRÁFICA
ELEMENTOS O
:
Centro de la rectangulares.
C.T. u
A
:
ORIGEN DE ARCOS
origen
de
coordenadas
Es el punto de intersección de la circunferencia con el semi – eje positivo horizontal. P
:
EXTREMO DEL ARCO (X; Y) Es el punto que determina las características del arco, que son: a) Sentido de giro (positivo o negativo). b) Su magnitud (medida). c) El cuadrante en que se ubica el arco.
REPRESENTACIÓN Y VARIACIÓN TRIGONOMETRICAS EN LA TRIGONOMÉTRICA LÍNEA TRIGONOMÉTRICA SENO A. Representación
118
DE LAS LÍNEAS CIRCUNFERENCIA
Esfuérzate por ser cada día mejor.
En el seno de un arco está representado por la perpendicular trazada del extremo del arco al diámetro horizontal (ordenada del extremo del arco) LÍNEA TRIGONOMÉTRICA COSENO A. Representación
Quién abandona su juventud al vicio, entrega su vejez al pesar.
El coseno de un arco está representado por la perpendicular trazada del extremo del arco al diámetro vertical (abscisa del extremo del arco)
ACTIVIDADES EN AULA
1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? a) Sen 40° d) Sen220°
b) Sen 100° c) Sen160° e) Sen280°
119
2a 3 , hallar la suma de todos 5 los valores enteros que puede tomar “a”
4. Si: Sen
a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor? a) Cos20° d) Cos260°
b) Cos100° e) Cos320°
c) Cos160°
5. Hallar el área de la región sombreada:
3. Hallar los valores de “k” si: Sen a) [-1; 1] d) [-2; 3]
k 1 2
b) [-1; 2] e) [-1; 4]
120
c) [-1; 3] a) Sen d) -Cos
b) Cos e) 1
c) -Sen
6. En la C.T. hallar el área de la región sombreada:
a2 , ¿cuántos 5 valores enteros puede tomar “a”?
8. Si IVC y Sen = 1 Sen 2 1 d) 2 a)
b)
1 Cos 2
c)
1 Tg 2
a) 3 d) 7
e) 1
7. Si IIC y Cos =
b) 4 e) 6
c) 5
k3 ; entonces el 5
intervalo de “k” es: a) [-2; 8] d) ]-2;8[
b) [-2; 3] e) N.A.
c) ]2; 3[
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Si 0 < < < /2, señalar verdadero (V) o falso (F) ( ) Sen < Sen ( ) Cos < Cos ( ) SenCos > 0 a) VVV d) VVF
b) VVF e) FFF
c) VFV
2. Si:
< x < y < , entonces: 2
I. Senx < Seny II. Cosx < Cosy III. Senx > Cosy Son verdaderas: 121
a) Sólo I d) I y II
b) Sólo II e) N.A.
c) Sólo III
3. Si “a” es el máximo valor y “b” el mínimo valor de la expresión: 7Senx –2; determinar el valor de “a –b” a) –5 d) 5
b) –4 e) 14
7. Hallar el área de la región sombreada:
c) 4
4. Si A y B representan los valores mínimo y máximo respectivamente de: E = 5 – 3Cosx Hallar A.B a) –16 d) 12
b) 15 e) 24
c) +8
5. Del gráfico, hallar MP
a) Sen b) Cos c) Sen+Cos d) Sen-Cos e) -Cos 8. Hallar el área de la región sombreada:
a) SenCos d) TgCsc
b) SenTg c) SenCtg e) CtgSec
6. Si: sen = 0,8; Hallar MQ
a) b) c)
a) 0, 3 b) 0,6 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,2
d) e)
1 (1-Sen + Cos) 2 1 (1+Sen - Cos) 2 1 (1 + Sen + Cos) 2 1 (1 - Sen - Cos) 2 1 (1 + Sen) 2
IDENTIDADES IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES I.T. POR DIVISIÓN
122
La única manera de poseer un amigo es serlo.
Tg x =
Sen x Cos x
Cot x =
Cos x Sen x
I.T. RECÍPROCAS
Sec x =
1 Cos x
Csc x =
Cosx.Sec = 1
1 Sen x
Senx.Cscx = 1
Cot x =
1 Tgx
Tgx.Cotx = 1
I.T. PITAGÓRICAS
Sen2 x + Cos2 x = 1
Sen2 x = 1 - Cos2 x Cos2 x = 1 – Sen2 x
1 + Tg2 x = Sec2 x
1 = Sec2 x – Tg2 x
1 + Cot2 x = Csc2 x
1 = Csc2x - Cot2 x
ACTIVIDADES EN AULA
1. Reducir: E = Sen3x Cscx + Cos3x Secx a) 1 d) Cosx
b) 2 c) Senx e) Senx +Cosx
123
E
a) 2 d) Tgx
1 Tg 2 x Sec 2 x
b) Senx e) Cotx
1 Cot 2 x Csc 2 x
c) Cosx
2. Simplificar: E
1 Cos 2 x Cosx Tgx Senx
a) 0 d) Cosx
b) 1 e) 2Senx
c) Senx
5. Reducir: E = (1 – Cos2x)
3. Simplificar:
E a) 1 d) Tg x
Cosx 1 Secx 1 Senx b) Sen x e) Cot x
4. Simplificar: 124
a) 1 d) Secx
c) Cos x
6. Reducir:
b) Senx e) Cscx
1 Cot 2 x
c) Cosx
E = Sen2 x + Cos2 x + Tg2 x a) 1 d) Sec2x
b) 2 e) Csc2x
c) Cot2x
8. Reducir: E=Tgx(1-Cot2x)+Cotx(1-Tg2x) a) 0 d) Tgx
b) 1 e) Cotx
c) 2
7. Reducir: E = (1-Sen2x)(Sec2x-1)Cscx a) 1 d) Cosx
b) 2 e) 2Senx
c) Senx
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS
1. Calcular: E = (1 + Senx) (1 - Senx) + (1 + Cosx) (1 – Cosx)
2. Calcular: E = (1-Sen2x)Tg2x+(1-Cos2x)Cot2x
a) 1 d) Cosx
b) 2 e) 2Senx
c) Senx a) 1
b) 2
c) 2Sen2x 125
d) 2Cos2x
e) 2Tg2x 6. Calcular:
3. Simplificar: E
a) 1 d) Tgx
1 Tgx 1 Cotx
b) Senx e) Cotx
E = Senx Cosx Tgx Cotx Secx Cscx
c) Cosx
b) Sen2x e) Cot2x
a) 1 d) Tg2x
c) Cos2x
7. Calcular: 4. Reducir:
E = (Sec2x –1) (Csc2 x - 1)
E = Cotx (Secx - Cosx) a) 1 d) Tgx
b) Senx e) Cotx
c) Cosx
a) 1 d) Cosx
b) 2 e) Tgx
c) Senx
8. Calcular: E=Senx(Cscx+Senx)+Cosx(Secx+Cosx)
5. Reducir: E = (Secx + Tgx) (Secx-Tgx)+Cot2x a) 1 d) Csc2x
b) 2 e) Tg2x
2
c) Sen x
a) 1 d) 3Senx
b) 2 e) 3Cosx
c) 3
El vicio marchita la frescura de la juventud.
IDENTIDADES DEFINICIÓN Son aquellas igualdades que relacionan funciones trigonometricas de una cierta variable angular, las cuales se verifican para todo valor permisible de la variable presente.
126
Bueno es tener amigos, Bueno es tener amigos, pero malo tener pero malo tener necesidad de ellos. necesidad de ellos.
CLASIFICACIÓN Las identidades trigonometricas se clasifican de la siguiente manera: A. Identidades Trigonometricas Recíprocas SenxCscx = 1
Cscx =
CosxSecx = 1
1 Senx
Secx=
1 Cosx
TgxCtgx = 1
Ctgx=
1 Tgx
B. Identidades Trigonométricas por División
Tgx =
Senx Cosx
Ctgx =
Cosx Senx
C. Identidades Trigonométricas Pitagóricas Sen2x + Cos2x = 1
1 + Tg2x = Sec2x
1+ Ctg2x = Csc2x
Sen2x = 1 – Cos2x
Tg2x = Sec2x – 1
Ctg2 x = Csc2 x – 1
Cos2x = 1 – Sen2x
1 = Sec2 x – Tg2 x
1 = Csc2x – Ctg2x
ACTIVIDADES EN AULA
1. Si ]0; A
[ , simplificar: 4
1 2SenCos
a) 2Cos d) 2Csc
1 2SenCos
b) 2Sec c) 2Sen e) 2SenCos
127
4. Reducir: 1 Senx Cosx Cosx 1 Senx a) 2Secx d) 2Cosx
2. Si: Sec - Tg = 0.75 Hallar: Sec + Tg a) 2/3 d) 4
b) 4/3 e) 3
b) 2Cscx e) 2Tgx
c) 2Secx
c) 3/2
5. Si: 2 Sen 2 5 1 Cos calcular: Tg + 2Ctg
3. Reducir: Sen E Ctg 1 Cos a) Sen d) 2Cosx
b) 2Cscx e) 2Tgx
a) 2 d) 5
c) 2Secx
6. Simplificar:
128
b) 3 e) 6
c) 4
CosTg SenCtg Sen Cos
a) 1 d) Cos
b) Sen e) 2
c) Tg
8. Reducir: E = Tg (Csc - Sen) a) Sen d) Sen22
b) Cos e) Cos2
c) Tg
7. Reduciendo la expresión: (Sen + Cos)2 + (Sen - Cos)2 se obtiene: a) 1/2 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS
1. Reducir: M = (Cscx – Ctgx) (1 +Cosx)
2. Reducir: M = (Secx-Cosx)Ctgx
a) 1
b) Senx
d) Sen2x
e) Cos2x
c) Cosx a) 1
b) Senx
c) Sen2x 129
e) Cos2x
d) Secx
d) Secx
e) Cscx
6. A qué es igual la expresión: 3. Si: Sec - Tg = 3 Cosx Tgx 1 Senx
Calcular: Sec + Tg a) 1
b) 9
d) 1/3
e) 3
c) 1/9
4. Simplificar:
a) Senx
b) Cosx
d) Ctgx
e) Secx
c) Tgx
7. Simplificar: P = SenCosTgSec
Sen Cos N Csc Sec
a) 1
b) 2
d) 2Tg
e) 2Ctg
c) 2Sec2.
a) 1
b) Sen
d) Sec
e) Csc
c) Cos
8. Si: Tg + Ctg = 4 Calcular: Tg2 + Ctg2
5. Reducir:
M
Senx 1 Cosx 1 Cosx Senx
a) 2
b) 2Secx
130
c) 2Cscx
a) 16
b) 14
d) 10
e) 8
c) 12
