1 Matemáticas AAA. Rec-did. Repaso 181. Eval 387. Andalucía. Día a Día. Saber Hacer. Santillana 2016 561p

ESO ANDALUCÍA

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Día a día en el aula

Recursos didácticos y atención a la diversidad ANDALUCÍA

ESO

Matemáticas

Matemáticas

ANDALUCÍA

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO



Matemáticas ESO • Programación didáctica de aula • Guiones didácticos y bancos de recursos • Enseñanza individualizada (repaso, apoyo y profundización) • Evaluación de contenidos • Evaluación por competencias • Rúbricas de evaluación • Solucionario

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Día a día en el aula Recursos didácticos y atención a la diversidad

Matemáticas ESO

Día a día en el aula para 1.º ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz. En su elaboración ha participado el siguiente equipo: TEXTO Ana María Gaztelu Augusto González Francisco Morillo EDICIÓN César de la Prida Silvia Marín Laura Sánchez EDICIÓN EJECUTIVA Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez

Índice 2

¿Por qué SABER HACER? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Claves del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Recursos didácticos y atención a la diversidad 1. Números naturales • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 13 14 15 16 18 23

2. Divisibilidad • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 25 26 27 28 30 35

3. Números enteros • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 37 38 39 40 42 47

4. Fracciones • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 49 50 51 52 54 59

5. Números decimales • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 61 62 63 64 66 71

6. Álgebra • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 73 74 75 76 78 83

7. Sistema Métrico Decimal • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

8. Proporcionalidad y porcentajes • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 97 98 99 100 102 107

9. Rectas y ángulos • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 109 110 111 112 114 119

10. Polígonos. Triángulos • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120 121 122 123 124 126 131

11.

Cuadriláteros y circunferencia • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132 133 134 135 136 138 143

12.

Perímetros y áreas • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13.

Funciones y gráficas • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Estadística y probabilidad • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Curiosidades matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Notación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Resumen de la unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Enseñanza individualizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Recursos para la evaluación de contenidos y por competencias. . . . . . . . . 387 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

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¿Por qué SABER HACER? Todos tenemos una pasión. Desde su fundación, hace más de 50 años, Santillana no ha dejado de trabajar, investigar, realizar productos y servicios y buscar innovaciones que mejoren la educación, como forma de construir un mundo mejor para todos. El fruto de este compromiso ha sido una larga historia de grandes proyectos educativos. Proyectos concebidos desde la realidad social y académica existente en cada momento, nacidos con vocación de acompañar a los alumnos en su aventura de aprender y de dotar a los profesores de todas las herramientas y recursos necesarios para llevar a cabo la tarea de educar. Así, nuestro nuevo proyecto, SABER HACER, surge como respuesta a una nueva ley educativa, la LOMCE, y a los intensos cambios que se están produciendo en todos los aspectos de nuestra vida. Hoy, más que nunca, en la sociedad de la información, en un mundo cada vez más global, regido por un cambio rápido y constante, la educación marca la diferencia. Vivimos un presente de grandes interrogantes que merecen grandes respuestas. Hay que educar hoy a los ciudadanos de un mañana que está por construir. La educación se ha centrado tradicionalmente en la enseñanza de contenidos, se trataba de saber. Hoy, la comunidad educativa es consciente de que hay que dar un paso adelante: además de saber hay que SABER HACER. El aprendizaje por competencias es el modelo elegido para alcanzar con éxito los nuevos objetivos que la sociedad reconoce como necesarios en la educación de niños y adolescentes. Saber comunicar, interpretar, deducir, formular, valorar, seleccionar, elegir, decidir, comprometerse, asumir, etc. es hoy tan importante como conocer los contenidos tradicionales de nuestras materias. Necesitamos trabajar con ideas, ser capaces de resolver problemas y tomar decisiones en contextos cambiantes. Necesitamos ser flexibles, versátiles, creativos… Pero el nombre de la serie tiene un segundo significado. Para superar el reto que tenemos por delante, Santillana va a aportar todo su SABER HACER, va a estar al lado de profesores y alumnos, ofreciendo materiales, servicios, experiencia… para garantizar dicho éxito.

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO


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Las claves del proyecto SABER HACER EL OBJETIVO: QUE LOS ALUMNOS ADQUIERAN LAS COMPETENCIAS QUE NECESITA UN CIUDADANO DEL SIGLO XXI Todos somos conscientes de que la sociedad actual requiere unas capacidades muy diferentes de las que se demandaban hasta hace poco tiempo. Necesitamos personas capaces de: • Hacerse preguntas pertinentes. • Informarse a través de fuentes diversas, textuales o gráficas, lo que implica: – Buscar información. – Interpretar esa información de forma coherente con el tipo de fuente. • Pensar reflexiva, crítica y creativamente. • Crearse una opinión, un juicio y tomar decisiones adecuadas. • Comunicarse oralmente y por escrito. • Hacer conexiones: conectar lo aprendido con la vida real (próxima o lejana) y conectar los saberes de las distintas materias entre sí. • Participar y comprometerse, dar servicio a la comunidad. • Trabajar cooperativamente con otros. • Tener siempre presente la perspectiva ética, tener inteligencia emocional y ética. • Aprender a lo largo de la vida. Este objetivo se materializa en la estructura de las unidades didácticas del material del alumno y en los distintos proyectos que conforman la Biblioteca del Profesorado.

UNA METODOLOGÍA CENTRADA EN EL ALUMNO, PARA QUE ESTE ALCANCE UNA VERDADERA COMPRENSIÓN Y SE CONVIERTA EN UNA PERSONA COMPETENTE El proyecto SABER HACER combina lo mejor de la tradición escolar y las aportaciones de las nuevas metodologías. La escuela debe ser capaz de desarrollar saberes sólidos, puesto que solo es posible pensar y actuar sobre aquello que conocemos con profundidad, pero también de educar personas que conviertan el conocimiento en acción y con sólidas habilidades sociales y morales. En el proyecto SABER HACER: • El alumno es el centro de su propio aprendizaje: se hace preguntas, busca información y se informa, participa, aprende a controlar su aprendizaje, emprende proyectos… • Se combinan actividades sencillas y tareas de mayor complejidad, excelentes para desarrollar las competencias, enseñar a pensar a los alumnos, resolver problemas y situaciones reales, desarrollar el pensamiento creativo… • Se incorpora el aprendizaje cooperativo como elemento destacado, tanto en actividades dentro del libro del alumno, como en proyectos específicos de la Biblioteca del profesor. • Se desarrolla el aprendizaje por proyectos, tanto en el material del alumno como en proyectos específicos de la Biblioteca del Profesorado. • Se busca una educación que vaya más allá de lo académico, que plantee situaciones que fomenten la participación de los alumnos, el emprendimiento y que el alumno se involucre en su realidad cotidiana, en los problemas y realidades del centro escolar, de su barrio, pero también a escala global y planetaria. En definitiva relacionar aprendizaje y servicio a la comunidad, aprendizaje y compromiso social. Esta variedad de planteamientos del proyecto SABER HACER convierte el aula en un escenario de experiencias diversas y enriquecedoras para el alumno. 6


UNA ESCUELA INCLUSIVA, EN LA QUE TODOS DESARROLLEN SUS CAPACIDADES Y TALENTOS Para ello, los libros del alumno disponen de secciones de ampliación y refuerzo, y la Biblioteca del Profesor de planes de apoyo y refuerzo para los alumnos con dificultades y un programa de profundización para aquellos que pueden ir más allá.

UN POTENTE SISTEMA DE EVALUACIÓN COMO GARANTÍA DE ÉXITO La evaluación siempre ha tenido un papel destacado en la escuela. A lo largo de las últimas décadas se ha ido imponiendo una concepción de la evaluación continua y formativa, cuyo objetivo es detectar las dificultades de los alumnos a fin de decidir mecanismos que les permitan superarlas. El papel de la evaluación se va a ver reforzado con la LOMCE, una de cuyas innovaciones es la introducción de evaluaciones externas que todos los alumnos deben pasar en determinados hitos de su vida escolar. El proyecto SABER HACER incluye: • Pruebas de evaluación de contenidos y pruebas de evaluación por competencias para todas las materias, relacionadas con los estándares de aprendizaje. • Rúbricas de evaluación. • Distintas herramientas informáticas: – Deberes, para el seguimiento diario de los alumnos – Generador de pruebas – Informes y estadísticas – Biblioteca de pruebas externas, nacionales e internacionales

LA ATENCIÓN ESPECIAL A LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN En los libros del alumno y la Biblioteca del Profesorado son recurrentes las actividades y tareas que requieren el uso de las TIC. La enseñanza digital se ve potenciada por nuestros productos digitales, LibroMedia y LibroNet, y por el Aula Virtual, un entorno digital con productos, aplicaciones y servicios para alumnos y profesores.


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En qué se concreta el proyecto SABER HACER NUEVOS LIBROS PARA UNOS NUEVOS TIEMPOS Libros con una secuencia didáctica centrada en el propio alumno, en la adquisición de competencias y en los presupuestos del pensamiento creativo: • El punto de partida de las unidades didácticas lo dedicamos a, por una parte, recordar los contenidos esenciales que el alumno necesita conocer para comprender los nuevos contenidos que va a estudiar en la unidad, y por otra, a plantear una situación motivadora que muestra la utilidad de los contenidos que se van a estudiar. – Claves para empezar. Aparecen los contenidos pertenecientes a cursos o unidades anteriores, que te van a ser necesarios para que el alumno comprenda lo que va a estudiar. Además, mediante la realización de las actividades propuestas, se podrá afianzar los contenidos repasados. – Vida cotidiana. Se muestra la historia, las utilidades y curiosidades de algunos inventos cotidianos. En torno a ellos se plantea una situación problemática en la que su resolución requiere de la aplicación de alguno de los contenidos conocidos para el alumno que sirve como introducción a los contenidos que se van a estudiar • A continuación, se desarrollan los contenidos de la unidad didáctica. Junto al contenido conceptual se incluyen una serie de programas innovadores: – SABER HACER recoge el aprendizaje de los procedimientos y destrezas, paso a paso, que se relacionan directamente con los contenidos que se están tratando. Saber y SABER HACER forman, por tanto una unidad de aprendizaje, no se presentan desligados. – Resuelve el reto plantea un problema relacionado con los contenidos expuestos en el que su resolución se basa más en la intuición y el razonamiento que en el conocimiento conceptual. – Al final de cada página de contenidos se proponen actividades clasificadas en tres niveles: ■

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Practica. Son actividades que se resuelven de forma prácticamente exacta el procedimiento que se ha estudiado. Aplica. Son actividades en las que se tendrá que aplicar ese procedimiento. Reflexiona. Una vez que el procedimiento estudiado se ha adquirido y aplicado, se propone una reflexión sobre él.

• En las actividades finales de la unidad el alumno repasa los contenidos principales de la unidad y se verifica, mediante el apartado debes saber hacer, si ha alcanzado los estándares de aprendizaje. En estas páginas se formulan ejercicios y problemas organizados por contenidos y cuyos enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad. • Las páginas finales de la unidad se dedican a la competencia matemática. Estas páginas permiten realizar tareas en las que se integran todos los contenidos estudiados. – En la vida cotidiana. Se analizan situaciones problemáticas reales que ponen a prueba las capacidades matemáticas del alumno. Estos problemas, relacionados con el invento mostrado en el punto de partida de la unidad, muestran la utilidad práctica de todo lo aprendido. – Formas de pensar. Razonamiento matemático. Se formulan actividades de investigación en las hay que descubrir regularidades y propiedades de los contenidos que se acaban de estudiar. – Proyecto final. Trabajo cooperativo. Se plantean supuestos reales con los que un alumno se puede encontrar en tu vida diaria. Se establecen distintas fases para la resolución en grupo de estos supuestos. – Pruebas PISA. Actividades extraídas de las pruebas internacionales de PISA, o formuladas con los mismos criterios, referentes a los contenidos de la unidad. 8


UNA BIBLIOTECA DEL PROFESORADO, QUE ATIENDE TODAS LAS NECESIDADES DE LOS DOCENTES Para su día a día en el aula: • Programación didáctica. • Recursos didácticos para cada unidad: – Esquema de la unidad. – Curiosidades matemáticas. – Notación matemática. – Estrategias de resolución de problemas. – Proyecto matemático. – Matemáticas con ordenador. – Resumen de la unidad. – Actividades de repaso y apoyo. – Actividades de profundización. – Solucionario del libro del alumno. • Tutoría, 22 sesiones por curso para apoyarle en esta labor. Competencias del siglo XXI. Proyectos y tareas para su desarrollo • Literatura y Matemáticas. • Desarrollo de la competencia matemática. • Proyecto de trabajo cooperativo e interdisciplinar. • Proyecto social. • Inteligencia emocional y ética. • La prensa en el aula (más herramienta digital). Sistema de evaluación • Pruebas de evaluación de contenidos. • Pruebas de evaluación por competencias. • Rúbricas. • Generador de pruebas (herramienta digital). • Biblioteca de pruebas de evaluación externa, nacionales e internacionales (biblioteca digital).

UNA POTENTE OFERTA DIGITAL • Aula Virtual Santillana, un entorno de servicios educativos. • LibroNet, un auténtico libro digital, que permite sacar el máximo partido a las nuevas tecnologías de la información. Tiene un útil complemento en papel, el Cuaderno de estudio, que facilita el estudio de los alumnos. • LibroMedia, el libro en papel enriquecido con recursos digitales y potentes herramientas. DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

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Recursos didácticos

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RECURSOS DIDÁCTICOS

NÚMEROS NATURALES

ESQUEMA DE LA UNIDAD Números naturales

Sistemas de numeración

Decimal

Romano

Aproximación

Truncamiento

Redondeo

Propiedades de las operaciones con números naturales

Suma y multiplicación

Resta y división

Potencias

De números naturales

Operaciones con potencias

De base 10

Descomposición polinómica de un número

Producto y cociente de potencias con igual base

Potencias de exponente 1y0

Potencia de una potencia

Producto y cociente de potencias de distinta base

Raíz cuadrada

Raíz cuadrada exacta

Raíz cuadrada entera

Operaciones combinadas

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1


NÚMEROS NATURALES

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Sistemas de medida El sistema de medida más extendido en el mundo es el Siste ma Métrico Decimal, que sirve para medir las magnitudes que nos rodean, y cuya unidad de longitud, el metro, es apropiada a la altura de nuestro cuerpo. Un sistema de medida debe ser adecuado a las magnitudes que queremos medir y al entorno que nos rodea. Hagamos ahora un ejercicio de imaginación y supongamos unos seres inteligentes y de un tamaño medio de 2 ? 10-12 metros. ¿Qué unidad de medida de longitud utilizarían y cuáles serían en su unidad nuestras distancias habituales? Parece lógico entonces que utilizaran una unidad, que llama remos «mini» en lo sucesivo, cuya equivalencia con el metro fuera: 1 mini = 10-12 metros. Con esa unidad, una persona de 1,70 metros de altura mediría 1,7 billones de minis (1,7 ? 1012). Asimismo, una caminata en la que una persona recorriera 4 kiló metros, medida en minis, sería: 4 ? 103 ? 1012 = 4 ? 1015 minis. Y dos ciudades distantes entre sí 300 km, estarían a la distancia de 300 ? 103 ? 1012 = 3 ? 1017 minis. Además, para medir distancias para las que nosotros usamos los múltiplos del metro, ellos tendrían que utilizar una unidad mucho mayor que el mini (como a nosotros nos ocurre con las distancias estelares).

Evolución histórica de la potencia Los babilonios usaban la elevación a potencia como operación auxiliar de la multiplicación, mientras que los griegos utilizaban los cuadrados. Por su parte, Diofanto (siglo III d.C.) ideó la notación: x, xx, xxx… para expresar la primera, segunda y tercera potencias de x. Finalmente, Descartes introdujo en el siglo XVII la notación mo derna: x, x 2, x 3…

Los Pitagóricos No se sabe quién descubrió los números irracionales, pero los pitagóricos, a finales del siglo V a.C., cono cían la condición de irracionalidad de 2 (números inconmensurables).


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1


NÚMEROS NATURALES

NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué significa?

¿Cómo lo escribimos?

Indica que el número romano bajo la línea está multiplicado por 1 000.

L, M

¿Qué significa?


a+b

Indica la suma de dos números naturales.

a>b

Señala una relación entre dos números naturales. El primero, a, es mayor que el segundo, b.

a
Indica una relación entre dos números naturales. El primero, a, es menor que el segundo, b.

¿Qué significa? Señala el producto de dos números.

12 # 7

Se refiere al producto de dos números o las dimensiones de un rectángulo (12 unidades de ancho por 7 unidades de largo).

¿Qué significa?

n

a = a? a?…? a 144424443 n veces

a = a1

14

b

A veces, cuando nos referimos a un número que no conocemos y que queremos hallar, lo designamos por x, y, z...

El producto de dos números se Indica por un punto (?). Aunque también se puede representar por el símbolo #, este se usa para especificar las dimensiones de un rectángulo.


Indican la expresión de una potencia en forma de producto.

Los puntos suspensivos entre los dos signos de multiplicación significan que a se multiplica n veces.

Es la potencia de 1.

Una cifra sin exponente es lo mismo que esa cifra elevada a 1.

¿Qué significa? a=

Los números naturales se representan mediante letras minúsculas. Se suelen utilizar las letras a, b, c..., aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario.


12 ? 7

n an = a ? a ? … ?a

Cuando usamos la notación romana, para escribir números a partir de 4 000 usamos una línea encima de los números para indicar que están multiplicados por 1 000, así L = 50 000 y M = 1 000 000.

¿Cómo lo escribimos? El número a es la raíz cuadrada del número b.

En esta expresión, b es un cuadrado perfecto y, por tanto, a es un número natural.


1


NÚMEROS NATURALES

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Método de ensayo y error Estrategia

E l método de ensayo y error consiste en aplicar las condiciones del enunciado a un posible resultado, operación o propiedad, hasta encontrar el objetivo o comprobar que este no es posible. Aunque en estos problemas se suele empezar eligiendo los valores al azar, después de los primeros ensayos los valores no se eligen así, sino que se tienen en cuenta los ensayos realizados.

PROBLEMA RESUELTO 1

El producto de tres números naturales consecutivos es 2 730. ¿Cuáles son dichos números?

Planteamiento y resolución

Escribimos la serie de números naturales y vamos probando ordenadamente con cada terna de números consecutivos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …

0 ? 1 ? 2 = 0 1 ? 2 ? 3 = 6 2 ? 3 ? 4 = 24 3 ? 4 ? 5 = 60 … Como los números resultan muy inferiores a 2 730, hacemos pruebas cogiendo números más altos, como por ejemplo 20, 21 y 22. 20 ? 21 ? 22 = 9 240

Como ahora resultan números muy superiores a 2 730, probamos, por ejemplo, con la terna 14, 15 y 16. 14 ? 15 ? 16 = 3 360

Vemos que nos hemos pasado por poco, y probamos con la terna anterior, es decir, con 13, 14 y 15. 13 ? 14 ? 15 = 2 730

Los tres números naturales cuyo producto es igual a 2 730 son 13, 14 y 15.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

El producto de tres números pares consecutivos es 1 680. ¿Cuáles son dichos números?

2

Al multiplicar tres números impares consecutivos, y dividir este resultado por su suma, el cociente obtenido es 15. ¿Cuáles son estos números?

3

Al sumar tres múltiplos consecutivos de 3 y dividir este resultado entre 6, el cociente es 12. ¿Cuáles son los tres múltiplos?

4

Un número, su doble y su triple suman 126. ¿Qué tres números son?

5

Cuatro hermanas suman en total 129 años, la diferencia de edad entre las edades de las tres primeras es de dos años entre ellas y de la tercera a la cuarta distan 9 años. ¿Cuáles son sus edades?

6

Coloca en cada círculo los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, de tal forma que la suma de los números de cada lado del triángulo sea igual al número del centro.

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1


NÚMEROS NATURALES

PROYECTO MATEMÁTICO Códigos numéricos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Utilizar códigos para llamar por teléfono. • Reconocer el ISBN como el código internacional del libro. • Observar la utilización de los códigos en las matrículas de los coches. • Crear códigos numéricos propios.


Los números de teléfono Una de las utilidades de los números naturales es transmitir información en forma de códigos. Hay códigos numéricos que utilizamos constantemente, como, por ejemplo, los números de teléfono.

En España, desde 1998 todos los números de teléfonos fijos, salvo los números especiales, tienen nueve cifras y empiezan por 8 o por 9. Asimismo, están formados por un prefijo de 2 o 3 cifras y el número de cada abonado.

Si llamamos desde el extranjero tenemos que añadir el número 34 al principio del número del abonado.

b) Sabiendo que el prefijo de Cuenca es 969, ¿cuáles de estos códigos telefónicos no son de Cuenca? 969238769 9691345976 960123444 34969111943 349698842323

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Imagina que quieres llamar desde el extranjero a una persona de Burgos cuyo número de abonado es 11 11 11. ¿Qué código tienes que marcar si el prefijo de Burgos es 947?

2

EL ISBN Observando cualquier libro, vemos que en la cubierta aparecen las letras ISBN seguidas de un grupo de números. El ISBN es el número con el que quedan catalogados los libros. Está formado por 13 dígitos, divididos en cuatro grupos y separados por guiones:

978 – 84 – 294 – 6823 – 6

El primer grupo se añadió en 2007, para que fuese compatible con el EAN-13, que es el código de otros productos, en este caso 978 indica que el producto es un libro. El segundo grupo es el identificador del país; 84, que corresponde a España. El tercer grupo, 294, es el identificador de la editorial que ha realizado el libro, la Editorial Santillana. El cuarto grupo, de 4 cifras, 6823, es el correspondiente al libro que lleva el código. El quinto grupo, de 1 cifra, es el dígito de control, y sirve para comprobar si el resto de grupos es correcto.

9 ? 1 = 9 7 ? 3 = 21 8 ? 1 = 8 8 ? 3 = 24 4 ? 1 = 4 2 ? 3 = 6 9 ? 1 = 9 4 ? 3 = 12 6 ? 1 = 6 8 ? 3 = 24 2 ? 1 = 2 3 ? 3 = 9 2.º Sumamos los productos anteriores: 9 + 21 + 8 + … + 24 + 2 + 9 = 134

El dígito de control se obtiene de esta forma.

1.º El primer número se multiplica por 1, el segundo por 3, el tercero por 1, el cuarto por 3 y así hasta llegar al último número del cuarto grupo.

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En el ejemplo:

3.º El dígito de control es el valor que se debe añadir a la suma para hacerla divisible por 10. Tras 134 el siguiente número divisible entre 10 es 140: 134 + 6 = 140. Hay que añadir 6 para tener un número divisible entre 10, el dígito de control es 6, que se corresponde con el dígito que teníamos. HAZ LA SIGUIENTE ACTIVIDAD. Comprueba si los siguientes ISBN son correctos o no. Si no lo son, corrige el dígito de control. 978–2–7118–3008–9 978–0–307–71977–5 978–84–15945–09–3 978–84–294–6736–2


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NÚMEROS NATURALES

Las matrículas

Otro de los códigos más comunes son los números que identifican los coches, es decir, la matrícula.

El actual sistema de matrículas utilizado en España es similar al de otros países de la Unión Europea. El tamaño de la matrícula es de 52 # 11 cm e incluye la letra E de España sobre la bandera de la Unión Europea, más una combinación de cuatro números (de 0000 a 9999) y tres letras (comenzaron por BBB y terminarán en ZZZ). Cuando se acaban los números para una combinación de letras, se pasa a la siguiente.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuál fue la primera matrícula del sistema actual? ¿Y la segunda? ¿Y la tercera? ¿Cuáles serán la penúltima y última matrículas con este sistema? b) Observa estas matrículas y señala las que son falsas. E 0008 ABB

E 10001 BTT

E 2345 ZZZ

E 4587 ZÑA

E 11224 CCC

E 0000 CXZ

c) Inventa otro sistema de matriculación.

En este sistema se excluyen las vocales, y Ñ y Q, por confundirse con la N y con la O y el número 0, respectivamente.

4

Otros códigos numéricos Existen códigos numéricos que a veces tenemos que crear nosotros mismos: por ejemplo, el PIN del teléfono móvil, el número secreto de una tarjeta de crédito, etc.

e) Si añadimos al código un nuevo grupo de números a la derecha con los números 0 (si tiene el pelo moreno), 1 (rubio) y 2 (pelirrojo), describe a los alumnos representados por estos códigos.

Para evitar que se nos olviden utilizamos una combinación de números que tengan algún significado para nosotros, aunque hay que tener cuidado de que este no sea muy obvio para evitar que sean usados de manera fraudulenta.

13 – 06 – 2 – 2 13 – 08 – 1 – 1 13 – 07 – 1 – 0 13 – 09 – 2 – 1

Observa el siguiente ejemplo de código numérico para los alumnos de una clase de 1.o ESO:

f ) Crea tú ahora un código que permita saber, a quien lo conozca, el curso en que está un estudiante, si practica deporte, cuántos hermanos tiene y el medio de transporte que usa habitualmente para ir al colegio. Pon algunos ejemplos.

13 – 07 – 1 El primer grupo de cifras por la izquierda indica la edad del alumno, en este caso 13. El siguiente grupo señala la nota media obtenida en Matemáticas en el curso anterior, un 7, y el tercero, el sexo del alumno, 1 si es una chica y 2 si es un chico. Así, el alumno representado por este código es una chica de 13 años que sacó un 7 de nota media el año pasado. REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Describe el alumno representado por cada uno de estos códigos, según el modelo del ejemplo. 13 – 05 – 2 14 – 06 – 1 13 – 09 – 2 13 – 07 – 1 b) Indica por qué estos códigos no son correctos. 23 – 05 – 1 13 – 13 – 2 13 – 07 – 3 13 – 4 – 1 c) El método utilizado para representar a los alumnos, ¿asocia a cada alumno un único código? d) ¿Pueden existir dos chicas que tengan el mismo código? ¿Y dos chicos? ¿Y una chica y un chico? DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

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1


NÚMEROS NATURALES

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR

OpenOffice. CALC es.openoffice.org

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones. a) 173 : 3 b) 267 : 4 c) 1 329 : 9 d) 255 : 11 e) 32 156 : 15 f) 256 : 16 1

Copiamos los números en las columnas A y B y con Cociente() definimos el cociente en C2.

2

Utilizamos la función Residuo() para definir el resto en la celda D2.

3

Copiamos el contenido de la celda C2.

4

Lo pegamos en el resto de celdas de su columna.

3

Pon un ejemplo de dividendo y divisor, y calcula el cociente y el resto. Después, multiplica por 2, 3, 4 y 5 el dividendo y el divisor anteriores.

5. Repetimos el proceso con la celda D2 y las celdas de su columna, y obtenemos el resto de todas las divisiones.

ACTIVIDADES 1

2

18

Calcula el cociente y el resto. a) 1 233 : 7

c) 5 555 : 22

b) 4 518 : 13

d) 6 542 : 13

Halla los términos que faltan en estas divisiones. a) Divisor = 25

Cociente = 33

b) Dividendo = 256

Cociente = 25

Resto = 2

Calcula de nuevo los correspondientes cociente y resto. ¿Qué le pasa al cociente y al resto de una división si multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número?


1


NÚMEROS NATURALES



PASO A PASO 1

1

En la columna A los dividendos y en la columna B los correspondientes divisores.

Para definir el cociente en la celda C2 utilizamos la función Cociente(dividendo;divisor).

En la celda C2 copiamos la fórmula =Cociente(A2;B2), que da como resultado 57.

2

2

3

3

4

Para definir el resto en la celda D2 utilizamos la función Residuo(dividendo;divisor). En la celda D2 copiamos la fórmula =Residuo(A2;B2), que da como resultado 2.

Para obtener el resto de cocientes en la columna C, utilizamos los comandos Copiar y Pegar. Con el cursor sobre la celda C2 y tras presionar en la barra superior la opción Editar aparece un menú, en el que seleccionamos la opción Copiar.

4

5

Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1.

Para pegar la fórmula copiada en el paso anterior, seleccionamos las celdas de la columna C, desde C3 a C7, y con cursor sobre el área seleccionada presionamos en la barra superior la opción Editar y seleccionamos la opción Pegar en el menú que aparece. Tras realizar esta operación aparecen los cocientes de todas las divisiones indicadas.

5

Repitiendo el proceso indicado en los puntos 3 y 4 para los elementos de la columna D, obtenemos los restos de cada una de las divisiones indicadas.


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1


NÚMEROS NATURALES


Microsoft Office. EXCEL

Calcula el cociente y el resto de estas divisiones. a) 173 : 3 b) 267 : 4 c) 1 329 : 9 d) 255 : 11 e) 32 156 : 15 f) 256 : 16 1

Copiamos los números en las columnas A y B y con Cociente() definimos el cociente en C2.

3

Copiamos el contenido de la celda C2.

2

4

Utilizamos la función Residuo() para definir el resto en la celda D2.

Lo pegamos en el resto de celdas de su columna.

5. Repetimos el proceso con la celda D2 y las celdas de su columna, y obtenemos el resto de todas las divisiones.

ACTIVIDADES 1

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Calcula el cociente y el resto. a) 1 233 : 7

c) 5 555 : 22

b) 4 518 : 13

d) 6 542 : 13

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Halla los términos que faltan en estas divisiones. a) Divisor = 25

Cociente = 33

b) Dividendo = 256

Cociente = 25

Resto = 2

Pon un ejemplo de dividendo y divisor, y calcula el cociente y el resto. Después, multiplica por 2, 3, 4 y 5 el dividendo y el divisor anteriores. Calcula de nuevo los correspondientes cociente y resto. ¿Qué le pasa al cociente y al resto de una división si multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número?


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NÚMEROS NATURALES



PASO A PASO 1

1

En la columna A los dividendos y en la columna B los correspondientes divisores.

Para definir el cociente en la celda C2 utilizamos la función Cociente(dividendo;divisor).

En la celda C2 copiamos la fórmula =Cociente(A2;B2), que da como resultado 57.

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2

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3

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Para definir el resto en la celda D2 utilizamos la función Residuo(dividendo;divisor). En la celda D2 copiamos la fórmula =Residuo(A2;B2), que da como resultado 2.

Para obtener el resto de cocientes en la columna C, utilizamos los comandos Copiar y Pegar. Con el cursor sobre la celda C2 y tras presionar el botón derecho del ratón aparece un menú, en el que seleccionamos la opción Copiar.

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5

Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1.

Para pegar la fórmula copiada en el paso anterior, seleccionamos las celdas de la columna C, desde C3 a C7, y con cursor sobre el área seleccionada presionamos el botón derecho del ratón y seleccionamos la opción Pegar en el menú que aparece. Tras realizar esta operación aparecen los cocientes de todas las divisiones indicadas.

5

Repitiendo el proceso indicado en los puntos 3 y 4 para los elementos de la columna D, obtenemos los restos de cada una de las divisiones indicadas.


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1


NÚMEROS NATURALES



PRÁCTICA EXCEL Abre un libro de trabajo Excel y guárdalo cuando acabes la Práctica en tu carpeta personal con el nombre NUMEROS_1. Nombre de la Hoja

Pulsa sobre la pestaña con el botón derecho del ratón y cambia el nombre de esta Hoja por Unidad01_01 (obsérvalo al margen). 1

Escribe las etiquetas: dividendo, divisor, cociente... de las celdas A1 a D1.

2

Con el botón izquierdo del ratón, selecciona las columnas de la A a la D, y modifícalas con el ratón en la intersección de dos de las columnas hasta que veas las etiquetas, por ejemplo, con un ancho de 12.00: .

3

Introduce los números del ejercicio en las celdas: 987, 4.

4

Selecciona con el ratón la celda C2. A partir de las dos ventanas de Diálogo que se ven en el margen, escribe la fórmula siguiente para encontrar el cociente de 987 y 4. Observa que aparece en la celda el cociente entero.

5

Para copiar esta fórmula en las celdas C3 a C5:

Contenido

a) Sitúate en la celda C2 y pulsa las teclas CTRL-C. b) Selecciona con el ratón las celdas C3 a C5 y pulsa las teclas CTRL-V. Sitúate en la celda C3 y observa que la fórmula que ves es A3/B3; y en C4, B4/C4, etc. Fíjate en que se ha copiado la referencia de la celda A2 y no su contenido. 6

Escribe la fórmula siguiente en la celda D2: =A2-B2*C2.

7

Copia esta fórmula en las celdas D3, D4 y D5 para hallar el resto.

Puedes buscar funciones pulsando en . Aparecerán todas las funciones de Excel. Busca y selecciona la que te interese, luego sigue las instrucciones.

Función Cociente

ACTIVIDADES 1

Continúa la tabla escribiendo los números siguientes. Columna A

…

40

80

120

160

200

Columna B

…

6

10

15

21

28

3

Investiga si hay alguna función qué sirva para decir el resto sin necesidad de escribir la fórmula que hemos usado en el ejemplo.

¿Hay algún resultado que dé resto 0? ¿Qué significa? 2

22

Haz una tabla en que los dividendos sean los números del 1 al 100 y usando el procedimiento aprendido para calcular el cociente y el resto con Excel, indica cuáles de los números entre 1 y 100 son divisibles entre 6.

Utiliza la tecla de función para averiguar qué otras funciones existen en Excel. Indica cuáles son las que sirven para realizar las operaciones básicas entre números naturales.

4

Guarda el libro con los datos Introducidos en la hoja de cálculo con " y nómbralo NUMEROS 1.


1


NÚMEROS NATURALES

RESUMEN DE LA UNIDAD Sistemas de numeración

Aproximación

Sistema romano

Sistema decimal

– Aditivo. – Cifras: I, V, X, L, C, D, M.

– Posicional. – Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. – Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

Truncamiento: Sustituir por cero las cifras de órdenes inferiores al seleccionado.

Redondeo: 1.º Observar la cifra de orden siguiente al que se quiere redondear: – Mayor o igual que 5 " sumar una unidad a la cifra del orden del redondeo. – Menor que 5 " mantener la cifra como está. 2.º Después, truncar el número obtenido.

Propiedades:

Operaciones con números naturales

Suma y multiplicación

– Conmutativa: a + b = b + a

a ?b=b?a

– Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (a ? b) ? c = a ? (b ? c) – Distributiva: a ? (b + c) = a ? b + a ? c

Resta

El sustraendo más la diferencia es igual al minuendo.

Dividendo = divisor ? cociente + resto División

• Exacta: El resto es cero. • Entera: El resto es distinto de cero.

Producto: a n ? a m = a n+m

División: a n : a m = a n-m n m

Potencia de una potencia: (a ) = a a 0 = 1 (a ! 0) Potencias BASE

a n

EXPONENTE

n?m

a1 = a

Producto y cociente de potencias de distinta base: (a ? b)n = an ? bn (a : b)n = an : bn Potencias de base 10 de exponente un número natural: es igual a la unidad seguida de tanto ceros como indica el exponente. Descomposición polinómica: producto de las cifras de un número multiplicadas por la potencia de base 10 correspondiente a su orden: 1 977 = 1 ? 103 + 9 ? 102 + 7 ? 101 + 7 ? 100

Raíz exacta: Si Raíz cuadrada


a = b, entonces b2 = a.

Raíz entera: Ejemplo: La raíz entera de 34 es 5. 52 < 34 < 62. El resto es 34 - 52 = 34 - 25 = 9

1.º Las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes. 2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.


23

2


DIVISIBILIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD Divisibilidad

Múltiplos

Divisores

Números primos y compuestos

Criterios de divisibilidad

Descomposición de un número en factores

Máximo común divisor

24

Mínimo común múltiplo


2


DIVISIBILIDAD

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Cigarras y números primos Existe un tipo de cigarras, las cigarras periódicas, que tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. En especial, una de ellas, la Magicicada septendecim vive 17 años bajo tierra alimentándose de las raíces de los árboles, luego emerge a la superficie, pone los huevos y muere. ¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es de esa forma? ¿Y por qué es un número primo de años? Se cree que ese ciclo es un número primo para favorecer la supervivencia de la especie. Según algunas teorías, esta cigarra tiene un parásito con un cierto ciclo vital que la cigarra intenta evitar. Es decir, trata de no coincidir con él. Imaginemos que el parásito vive 2 años, entonces la cigarra no puede vivir un número de años que sea divisible por 2, porque el parásito y la cigarra coincidirían regularmente y eso la perjudicaría. Lo mismo ocurriría si el parásito tuviera un ciclo vital de 3 años. Así, para evitar encontrarse con su parásito, la cigarra alargó su ciclo vital, y, además, lo hizo un número primo para que las coincidencias fueran mínimas. Como la cigarra vive 17 años, si el parásito vive 2 años, solo se encontrarían cada 34 años. Si el parásito viviera 3, se encontrarían cada 51 años. El parásito, para contrarrestar esto, debería alargar también su ciclo vital, porque si no estaría muchos años sin poder parasitar a nadie. Ahora bien, debería estar 16 años sin alimento, lo cual es muy difícil. El largo ciclo vital de las cigarras, y el que este sea un número primo, las protege de forma muy conveniente.

Euclides y Fermat Euclides descubrió la infinitud de los números primos. Así, alcanzó su máximo desarrollo la teoría de números en Grecia.

Evolución histórica de la divisibilidad Los hindúes llegaron a conocer la divisibilidad por 3, 7 y 9, y los griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares e impares. El matemático francés Blaise Pascal (siglo XVII) propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número.

Hasta el siglo XVII en que Fermat propuso sus teoremas (el último de ellos demostrado a finales del siglo XX) no hubo más progresos en esta área.


25

2


DIVISIBILIDAD


a:b a:5 9:a


Todas estas expresiones indican la división de dos números.

Para indicar la división exacta entre dos números naturales se utiliza el símbolo : aunque también se puede usar si la división es entera. Cuando la división es entera se suelen poner los números en forma de fracción.

¿Qué significa?


å

Indica el conjunto de todos los múltiplos de a.

3˚

Indica el conjunto de todos los múltiplos de 3.

El conjunto de todos los múltiplos de un número se representa mediante ese número con un puntito encima de él.

¿Qué significa?


Div (a)

Indica el conjunto de los divisores de un número a.

Div (9)

Indica el conjunto de los divisores de 9.

El conjunto de todos los divisores de un número se representa mediante las letras Div seguidas de un espacio y el número entre paréntesis.

¿Qué significa?


D

Indica el dividendo de una división.

d

Indica el divisor de una división.

En una división existen cuatro elementos: dividendo, divisor, cociente y resto.

c

Indica el cociente de una división.

r

Indica el resto de una división.

Verifican que: D = d ? c + r y r < d

Dividendo

Resto

26

Divisor

Cociente


2


DIVISIBILIDAD

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer una tabla Estrategia

H ay ocasiones en las que, al considerar cada condición de un problema, interesa obtener una tabla con una serie de números. La solución será el número que está en todas las tablas y satisface las condiciones establecidas.

PROBLEMA RESUELTO 1

Una caja de bombones contiene menos de 100 bombones. Contados de 7 en 7 sobran 3, y contados de 11 en 11 sobra 1. ¿Cuántos bombones tiene la caja? Planteamiento y resolución

• 1.ª condición: Si contamos de 7 en 7, sobran 3. Hacemos: (7 ? 1) + 3; (7 ? 2) + 3; (7 ? 3) + 3... y obtenemos la tabla de números: {10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87 y 94}. No seguimos porque el número de bombones es menor que 100.

• 2.ª condición: Si contamos de 11 en 11, sobra 1. Hacemos: (11 ? 1) + 1; (11 ? 2) + 1; (11 ? 3) + 1...

y así obtenemos la tabla de números: {12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 y 89}

El número de bombones es 45, que está en las dos tablas.

Comprobación Lo podemos comprobar efectuando estas divisiones. 45 7

45 11

3 6

1 4

Contados de 7 en 7 sobran 3 bombones, y contados de 11 en 11 sobra 1.


Antonio le dijo a Ana: «Si agrupo mis llaveros en grupos de 11 me sobran 5, y si los agrupo en grupos de 23 me sobran 3. ¿Cuántos llaveros tengo si son menos de 50?».

2

Un pastor agrupaba a las ovejas de su rebaño de 5 en 5, y de 6 en 6, y siempre le sobraba una oveja; pero si las agrupaba de 7 en 7, todos los grupos quedaban con la misma cantidad de ovejas. ¿Cuántas ovejas tenía en total el rebaño si eran menos de 100?

3

Un libro tiene entre 200 y 300 páginas. Si se cuentan de 5 en 5 sobran 4, y si se cuentan de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas puede tener el libro? Si al contarlas de 2 en 2 sobra 1 página, ¿se puede conocer el número de páginas del libro? ¿Y si, además, al contarlas de 3 en 3 sobran 2 páginas?

Indica las posibilidades existentes.

Calcula el número de páginas que tiene el libro que cumple todas las condiciones establecidas.


27

2


DIVISIBILIDAD

PROYECTO MATEMÁTICO Criptografía y números primos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer la importancia de la criptografía y el criptoanálisis. • Utilizar el cifrado de César. • Manejar el cifrado de César mejorado. • Utilizar los números primos en la criptografía.


La criptografía y el criptoanálisis

La criptografía es la ciencia que estudia la protección de la información con distintos métodos para impedir el acceso a la misma de personas no autorizadas.

El criptoanálisis intenta averiguar los métodos anteriores para conseguir la información original.

La criptografía es tan antigua como la escritura. Se dice que las primeras civilizaciones que usaron la criptografía fueron la egipcia, la mesopotámica, la hindú y la china.

Hoy en día la criptografía es una disciplina de gran importancia: las comunicaciones de los gobiernos, entre las sedes de una empresa, en transacciones económicas, en el comercio por Internet, en las llamadas por teléfono móvil, necesitan estar protegidas para salvaguardar los intereses y la intimidad de las personas.

m

Emisor

Criptograma Cifrado

El cifrado de César El cifrado de César consiste en desplazar cada letra del alfabeto tres lugares. El texto que ciframos lo pondremos en minúscula y el criptograma obtenido en mayúsculas.

Observa la relación entre las letras: a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

ñ

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

A

B

C

Por ejemplo, «enemigo» al cifrarlo queda HPHOLJR, y al descifrar ORUD obtenemos «mora». Compruébalo. RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

M

Criptoanálisis

A

El proceso suele ser el que ves en el gráfico. Un emisor A quiere mandar un mensaje m al receptor B. Para que un intruso C no pueda leerlo, A lo somete a un proceso de cifrado, consiguiendo un criptograma M, que es el que envía a B. Este, al recibirlo, lo somete a un proceso de descifrado, obteniendo el mensaje original, m. El criptoanálisis le serviría a C, si tiene éxito, para obtener el mensaje m a partir del criptograma M. Mensaje

Los métodos criptográficos y de criptoanálisis actuales usan fórmulas muy complejas que aprovechan la enorme potencia de cálculo de los ordenadores.

2

Mensaje Descifrado

m

Receptor C

B

Vamos a estudiar a continuación uno de los métodos más famosos en la historia: el cifrado de César, creado por el gobernante romano Julio César.

Una generalización sencilla de este método consiste en desplazar el alfabeto otro número distinto de 3 letras.

Así, si lo desplazamos 4 letras, entonces «enemigo» se traduce como IQIPMKS.

c) Cifra las siguientes frases utilizando el cifrado de César generalizado según los desplazamientos k marcados para cada una de ellas. • k = 1. La bolsa subirá.

a) Utilizando el cifrado de César, encripta estas frases. El examen es fácil. A las cinco en la plaza.

• k = 2. Llegamos mañana.

b) Descifra el mensaje. 28

HÑ HADOHP HV HÑ ÑXPHV DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

2 3


DIVISIBILIDAD

El cifrado de César mejorado REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

Una mejora del cifrado de César consiste en relacionar ada letra con otra, sin que haya un mismo c desplazamiento para todas, eligiendo una combinación al azar. Este método se denomina sustitución monoalfabética.

Por ejemplo, si elegimos la relación:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

B

W

E

R

T

Y

U

I

O

P

C

ñ

o

p

q

r

s

t

u

v

w

G

H

J

K

L

Z

X

A

V

Q

la palabra «enemigo» sería TFTDOUH.

Este sistema es bastante seguro porque se pueden emplear unas 1028 relaciones distintas, tantas como reordenaciones del alfabeto se te ocurran, por lo que si alguien quisiera descifrar el texto, aunque conociera la técnica, no sabría qué reordenación se ha elegido. 4

m

n

S

D

F

x

y

z

N

M Ñ

a) Utilizando la relación estudiada, cifra estas frases. Vienen a las siete. Vende todo. b) Elige una reordenación del alfabeto y cifra las frases anteriores.

A pesar de que este método parece muy seguro, basándonos en la frecuencia con que se repiten las letras en un idioma, y con la actual potencia de cálculo de los ordenadores, es posible descifrar los mensajes.

Date cuenta de que hasta ahora hemos visto métodos de cifrado y descifrado en los que tanto emisor como receptor conocen la forma de enviar y recibir mensajes, es decir, los métodos de cifrado y descifrado son comunes.

En la criptografía actual, sin embargo, no ocurre así: si queremos mandar un mensaje a alguien, sabremos cómo cifrarlo pero solamente el receptor sabrá cómo descifrarlo.

La utilidad de los números primos en criptografía Los sistemas actuales de criptografía utilizan métodos numéricos muy complejos, con operaciones en las que se manejan números primos con gran cantidad de cifras. Muchos matemáticos y científicos trabajan en métodos de cifrado y descifrado, y utilizan los números primos, ya que son la base ideal para un proceso de cifrado fácil y descifrado enormemente difícil.

a/10 b/11 c/12 d/13 e/14 f/15 g/16 h/17 i/18 j/19 k/20 l/21 m/22 n/23 ñ/24 o/25 p/26 q/27 r/28 s/29 t/30 u/31 v/32 w/33 x/34 y/35 z/36 El emisor aplica este método de cifrado: si el número correspondiente a la letra es primo, se deja como está, y si es compuesto, se le suma un número fijo, 30 en este caso. a/40 b/11 c/42 d/13 e/44 f/45 g/46 h/17 i/48 j/19 k/50 l/51 m/52 n/23 ñ/54 o/55 p/56 q/57 r/58 s/29 t/60 u/31 v/62 w/63 x/64 y/65 z/66 De este modo, la palabra «mates» sería 5240604429. Para descifrar el mensaje hacemos grupos de dos cifras en los números y miramos la equivalencia en la tabla. Así, 17555140 29405840 descifrado es la frase «hola sara». RESUELVE LAS ACTIVIDADES.

Vamos a ver, a continuación, un método sencillo de cifrado en el que utilizaremos los números primos. Se requiere que tanto emisor como receptor conozcan cómo cifrar y descifrar mensajes. A cada letra del alfabeto le haremos corresponder un número de dos cifras. La letra A la sustituiremos por 10, la B por 11 y así sucesivamente.

a) Con el método anterior cifra estas frases.

Ven mañana. Tengo frío.

b) Descifra el texto.

604844234429 573144 4429603113484058

c) Inventa otro método para encriptar textos en el que utilices los números primos.


29

2


DIVISIBILIDAD



Calcula todos los divisores de 12. 1

Copiamos el número, 12, en A2 y los números naturales que hay hasta él en la columna B.

2

Utilizamos la función Residuo() para definir el resto en la celda C2.

3

Copiamos la celda C2 y la pegamos en el resto de celdas de la columna C.

4

Con la función Si() aparece el número natural en la celda contigua, D2, si el resto es cero.

3

Las funciones M.C.D() y M.C.M() sirven para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números.

5. Copiamos la celda D2 y pegamos su contenido en el resto de celdas de la columna D para obtener todos los divisores del número.

ACTIVIDADES 1

Calcula todos los divisores de estos números. a) 18

2

30

b) 33

c) 81

d) 100

Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de las siguientes parejas de números naturales. a) 22 y 58

c) 37 y 77

b) 50 y 100

d) 24 y 36

a) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.

b) Multiplica por 2, 3, 4 y 5 los números anteriores, y calcula de nuevo el m.c.d. y el m.c.m.

c) ¿Qué ocurre con el m.c.d. y el m.c.m. de dos números si los multiplicamos por el mismo número?


2


DIVISIBILIDAD



PASO A PASO 1

1

Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1, y el número del que queremos encontrar los divisores en la celda A2.

Para rellenar la columna B utilizamos la función Fila(celda) que devuelve el número de la fila de la celda que pongamos.

En la celda B2 copiamos la fórmula =Fila(B1), que da como resultado 1. Copiamos esta celda, seleccionamos el resto de la columna B y pegamos, de este modo aparecen los números naturales que queremos.

2

2

Utilizamos la función Residuo(número;número_divisor), que devuelve el resto de la división del número entre el número divisor, para rellenar la columna C.

En la celda C2 copiamos la fórmula =Residuo(A$2;B2), que da como resultado 0.

El símbolo $ fija la referencia del número de fila, de esta manera al copiar la fórmula en otras celdas de esa misma columna no variará el primer argumento de la función.

3

3

Copiamos la celda C2, seleccionamos el resto de la columna C y pegamos su contenido. Después de hacer esto aparecen los restos de las divisiones del número entre los sucesivos números naturales.

4

4

Utilizamos la función Si(prueba lógica; valor si verdadero; valor si falso), que devuelve el primer valor si la prueba lógica es cierta y el segundo valor si es falsa, para rellenar la columna D.

En la celda D2 copiamos la fórmula =Si(C2=0;B2;“ ”), que da como resultado 1, que es valor que hay en la celda C2.

Si en una fórmula ponemos algo entre comillas, la función lo trata como si fuera texto y no realiza ninguna operación con él.

5 5

Copiamos la celda D2, seleccionamos el resto de la columna D y pegamos en ella su contenido. Después de hacer esto aparecen los divisores del número cuando el resto al dividir es cero y si el resto no es cero la celda aparece en blanco.


31

2


DIVISIBILIDAD



Calcula todos los divisores de 12. 1

Copiamos el número, 12, en A2 y los números naturales que hay hasta él en la columna B.

2

Utilizamos la función Residuo() para definir el resto en la celda C2.

3

Copiamos la celda C2 y la pegamos en el resto de celdas de la columna C.

4

Con la función Si() aparece el número natural en la celda contigua, D2, si el resto es cero.

3

Las funciones M.C.D() y M.C.M() sirven para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números.

5. Copiamos la celda D2 y pegamos su contenido en el resto de celdas de la columna D para obtener todos los divisores del número.

ACTIVIDADES 1

Calcula todos los divisores de estos números. a) 18

2

32

b) 33

c) 81

d) 100

Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de las siguientes parejas de números naturales. a) 22 y 58

c) 37 y 77

b) 50 y 100

d) 24 y 36

a) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de dos números.

b) Multiplica por 2, 3, 4 y 5 los números anteriores, y calcula de nuevo el m.c.d. y el m.c.m.

c) ¿Qué ocurre con el m.c.d. y el m.c.m. de dos números si los multiplicamos por el mismo número?


2


DIVISIBILIDAD



PASO A PASO 1

1

Escribimos los rótulos en las celdas A1, B1, C1 y D1, y el número del que queremos encontrar los divisores en la celda A2.

Para rellenar la columna B utilizamos la función Fila(celda) que devuelve el número de la fila de la celda que pongamos.

En la celda B2 copiamos la fórmula =Fila(B1), que da como resultado 1. Copiamos esta celda, seleccionamos el resto de la columna B y pegamos, de este modo aparecen los números naturales que queremos.

2

2

Utilizamos la función Residuo(número;número_divisor), que devuelve el resto de la división del número entre el número divisor, para rellenar la columna C.

En la celda C2 copiamos la fórmula =Residuo(A$2;B2), que da como resultado 0.

El símbolo $ fija la referencia del número de fila, de esta manera al copiar la fórmula en otras celdas de esa misma columna no variará el primer argumento de la función.

3

3

Copiamos la celda C2, seleccionamos el resto de la columna C y pegamos su contenido. Después de hacer esto aparecen los restos de las divisiones del número entre los sucesivos números naturales.

4

4

Utilizamos la función Si(prueba lógica; valor si verdadero; valor si falso), que devuelve el primer valor si la prueba lógica es cierta y el segundo valor si es falsa, para rellenar la columna D.

5

En la celda D2 copiamos la fórmula =Si(C2=0;B2;“ ”), que da como resultado 1, que es valor que hay en la celda C2.

Si en una fórmula ponemos algo entre comillas, la función lo trata como si fuera texto y no realiza ninguna operación con él.

5

Copiamos la celda D2, seleccionamos el resto de la columna D y pegamos en ella su contenido. Después de hacer esto aparecen los divisores del número cuando el resto al dividir es cero y si el resto no es cero la celda aparece en blanco.


33

2


DIVISIBILIDAD



PRÁCTICA EXCEL PRÁCTICA 1 Abre el libro NUMEROS_1 e inserta la hoja: Unidad02_1a. Hoja

1

Escribe los rótulos y los datos de las celdas A1, A2, B1 y B2 como se ve en la figura adjunta.

2

Escribe 1 en la celda A3; selecciona tantas celdas como quieras de la misma columna (A4, A5, …, A30) y con la opción:

completa las celdas A4:A30 con los valores de una serie creciente que comienza en 1 y que tiene un incremento de 1 en 1; o sea, la serie de los números naturales hasta el 28. 3

Contenido

Llenar Series

En la celda B3 escribe la fórmula:

Si el resultado de dividir el número de la celda B1 (28) entre el número de la celda A3 es un número entero, significará que el número de A3 (1) es divisor del número B1 y aparecerá sí en B3; si el resultado es un número decimal, se escribirá no. 4

Copia la fórmula en las celdas B4, B5, etc. (los signos $ hacen que la referencia a la celda B1 no cambie, y que en la celda B4 se copie , en la celda B5 se modifique automáticamente con A5, etc.).

5

Observa en qué celdas aparece un y razona qué significa. Después, escribe en la libreta todos los divisores del número 28.

PRÁCTICA 2 Inserta la hoja Unidad02_2a.

Contenido

1

Escribe los rótulos tal como se ven en la figura del margen.

2

Escribe los números 16 y 24 en las celdas A4 y B4, así como los siguientes pares de números: 32 y 96, 45 y 105, 63 y 126.

3

En la celda D4 escribe la fórmula: m.c.d. de los dos números.

4

Copia la fórmula en las celdas D5, D6, etc. para completar el ejercicio.

y obtendrás el

ACTIVIDADES 1

2

34

De manera análoga a como has hecho en la Práctica 1, y en la misma hoja de cálculo, calcula los divisores para 35, 56 y 93. En cada caso, decide hasta qué número llegará la serie de los números naturales. Crea la hoja Unidad02_3a para calcular los divisores de 36 y 42 y haz una lista con los que sean comunes.

3

Calcula el m.c.m. de los números 4 y 14, 11 y 27, y 24 y 68. Para calcular el m.c.m. has de utilizar la fórmula .

4

En la misma hoja, calcula el m.c.d. del número de páginas de tu libro de matemáticas y de tu libro de tecnología. Guarda el libro con

"

.


2


DIVISIBILIDAD

RESUMEN DE LA UNIDAD

Múltiplos y divisores

a es múltiplo de b si a : b es una división exacta. 18 : 2 = 9

18 es múltiplo de 9. 9 es divisor de 18.

b es divisor de a si a : b es una división exacta.

Números primos y compuestos

Un número primo es aquel que solo tiene por divisores a él mismo y a la unidad. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. El número 1 no es primo ni compuesto.

Un número es divisible: Criterios de divisibilidad

– Por 2, si acaba en 0 o en cifra par. – Por 3, cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. – Por 5, cuando termina en 0 o en 5.

Máximo común divisor Es el mayor de los divisores comunes.

Descomposición de un número en factores primos 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 0 1 1 12 = 22 ? 3 30 = 2 ? 3 ? 5

Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se multiplican los factores comunes elevados al menor exponente. m.c.d. (12, 30) = 2 ? 3 = 6

Mínimo común múltiplo Es el menor de los múltiplos comunes. Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se multiplican los factores comunes y los no comunes elevados al mayor exponente. m.c.m. (12, 30) = 22 ? 3 ? 5 = 60


35

3


NÚMEROS ENTEROS

ESQUEMA DE LA UNIDAD Números enteros

Representación

Valor absoluto

Opuesto

Comparación

Operaciones

Suma

Resta

Multiplicación

División


36


3 1


NÚMEROS ENTEROS

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Números rojos Seguro que alguna vez has oído expresiones como esta: «La Bolsa cierra el primer semestre en números rojos». La expresión «números rojos» se utiliza cuando el saldo económico de una empresa o de una persona es un número entero negativo, es decir, cuando se debe dinero. El empleo de esta expresión procede de un hecho muy curioso. Los chinos, que alcanzaron un elevado desarrollo en Matemáticas en la antigüedad, diferenciaban los números enteros negativos de los positivos escribiéndolos en caracteres de color rojo, en contraposición a los positivos, que aparecían en color negro. No utilizaban signo -. Imagina que tienes una cuenta corriente en el banco y tu saldo es negativo. Al sacar dinero con una tarjeta de crédito, el justificante impreso de la operación tendrá aproximadamente esta forma.

CAJA RIAL FECHA 12072015

HORA 07-22

NÚMERO DE TARJETA 00112233445533####

✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

CAJERO 1111111

TIPO OPERACIÓN PAGO CAJERO

IMPORTE

90 euros

CTA. ASOCIADA

-240 euros

Palitos rojos y palitos negros

Michel Stifel

Los chinos utilizaban palitos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una m anera práctica.

Michel Stifel (14871567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos (-) para designar la resta.

Estos bastoncillos eran negros o r ojos según representaran cantidades positivas o n egativas.

NÚM. OPERACIÓN 5555

Su método para aplicar las Matemáticas a la Biblia le llevó a la conclusión de que el papa León X era el anticristo del Libro de la revelación, y también le permitió profetizar el fin del mundo para el 18 de octubre de 1533. Los paisanos de la ciudad donde Stifel era predicador se creyeron esta profecía y gastaron todos sus ahorros, y cuando el mundo no se acabó en la fecha prevista, Stifel, en vez de encontrarse en el cielo, se encontraba en una celda de la cárcel de Wittenberg.


37

3


NÚMEROS ENTEROS


¿cómo lo escribimos?

Z

Indica el conjunto de todos los números enteros.

Cuando queremos indicar el conjunto de todos los números enteros lo designamos por Z.

a

Indica un número entero que puede ser positivo o negativo.

El signo de los números enteros se debe colocar junto al número, sin dejar espacios en blanco.

+a

Indica un número entero positivo.

¿Qué significa?

¿cómo lo escribimos?

2 +2

Las tres formas indican el mismo número, +2.

(+2)

¿Qué significa? Ambas formas expresan el mismo

(-2)

número negativo.

¿Qué significa?

Op (a)

El número entre paréntesis se suele utilizar en las expresiones de operaciones.


Asigna a cada número el mismo número prescindiendo del signo.

Asigna a cada número el mismo número cambiándole el signo.

¿Qué significa?

El valor absoluto de un número es el mismo número prescindiendo del signo. |3| = 3 |-3| = 3 El opuesto de un número es el mismo número cambiado de signo. Op (3) = -3 Op (-3) = 3


Regla de los signos. Indica el signo que tendrá el resultado de multiplicar o dividir dos números enteros.

+ +

+

Para multiplicar o dividir dos números enteros se multiplican o dividen prescindiendo del signo. Después se pone el signo que corresponde según la regla de los signos.

+ -

-

(-3) ? (+5) = -15 (+12) : (+3) = +4

- +

-

(+3) ? (-5) = -15 (-8) : (-2) = +4

- -

+

Factores

38

El número entre paréntesis se suele utilizar en las expresiones de operaciones.


-2

|a|

Si un número no lleva signo se considera que es un entero positivo.

Resultado


3


NÚMEROS ENTEROS

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un diagrama de árbol Estrategia

E n muchos problemas, para hallar la solución hay que organizarse y realizar un esquema apropiado.

El diagrama de árbol nos ayuda mostrándonos todos los caminos que se pueden seguir desde un punto inicial hasta otro final.

PROBLEMA RESUELTO 1

¿Cuántos caminos diferentes hay en este plano desde la entrada hasta la salida, sin pasar dos veces por el mismo sitio? Planteamiento y resolución

Entrada

A

B

C

D

E

F

Salida

B

Una vez en A, se puede ir a B o D: A D

Si estás en B, puedes ir a C o E: A E

Si estás en C vas a F:

B D

C

C F B E F Y si estás en E vas a F: D

A

Si estás en D pasas a E, desde E pasas a B o F. Si pasas a F llegas al final y si pasas a B, desde ahí pasas a C y luego a F.

El diagrama de árbol nos indica los cuatro caminos posibles: Caminos

C F B E F A B D E F

C

ABCF ABEF ADEBCF ADEF

F


¿Cuántos caminos tienes para encontrar la salida en el siguiente plano?

Entrada

A

B

C

D

E

F

G

H

2

¿Cuál será el camino cuya suma sea menor para ir desde la entrada hasta la salida? ¿Cuál será el camino cuya suma sea mayor?

Entrada Salida


1

-3

5

-2

4

-6

Salida

39

3


NÚMEROS ENTEROS

PROYECTO MATEMÁTICO Coordenadas y ciudades En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Localizar la posición de distintas ciudades según sus coordenadas. • Situar ciudades utilizando métodos diferentes a las coordenadas formadas por pares de números enteros.

1

Ciudades españolas y coordenadas cartesianas

Imagina que queremos situar de forma precisa dónde se encuentran algunas ciudades españolas utilizando el método de representar puntos mediante números enteros.

Podemos dibujar una cuadrícula donde aparezcan los ejes cartesianos que se cortan en el punto O, y superponer el mapa de España, haciendo coincidir Madrid con el origen de coordenadas.

Y

A Coruña

Oviedo Palencia

Salamanca -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Cáceres

Sevilla

Sta. Cruz de Tenerife

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Observa que se forman cuatro cuadrantes y que algunas ciudades aparecen situadas en puntos de esa cuadrícula (las localizaciones son aproximadas).

Así, las coordenadas de Barcelona vienen dadas por el par (14, 2), es decir, si contamos 14 unidades en el eje X y 2 en el eje Y, encontramos dicha ciudad en ese punto de la cuadrícula. De igual manera, las coordena das de Salamanca vienen dadas por el par (-5, 2).

Pamplona Zaragoza Barcelona

Madrid

X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 -1 Toledo -2 Cuenca -3 Valencia -4 -5 -6 -7 Murcia -8 -9 -10 -11 Almería Málaga -12 -13 -14 -15 -16 -17

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Indica las coordenadas de Zaragoza, Palencia, Sevilla y Murcia.

g) ¿A quién le corresponde mayor abscisa, a Oviedo o Pamplona? ¿Y mayor ordenada?

b) De las ciudades señaladas en el mapa, ¿cuáles tienen la misma abscisa? ¿Y la misma ordenada?

h) Identifica cuáles de las siguientes frases son verdaderas y falsas.

c) ¿Puede haber dos ciudades que tengan las mismas coordenadas?

1. Las ciudades de Almería y Murcia están en el cuarto cuadrante y tienen la misma abscisa.

d) Señala las ciudades españolas que están situadas en el primer y cuarto cuadrantes.

2. Las ciudades de Zaragoza y Cuenca se encuentran en distintos cuadrantes y tienen diferentes coordenadas.

e) ¿Cuáles son las coordenadas de Madrid? f) ¿En qué cuadrante se encontrará Huelva? Di cuál será el signo de sus coordenadas.

40

3. Sevilla tiene mayor ordenada que A Coruña. 4. Sevilla tiene la misma ordenada que Cáceres.


3 2


NÚMEROS ENTEROS

Otra forma de indicar la posición de las ciudades

Ahora vamos a ver otra forma de identificar dónde se encuentran las ciudades, pero sin usar las coordena das que ya conocemos.

Utilizamos la cuadrícula anterior, los mismos ejes y el mismo origen de coordenadas, y trazamos distintas circunferencias con el compás con centro el origen y distintos radios.

Por ejemplo, pinchamos en Madrid, (0, 0), y, con radio de 5 unidades, trazamos una circunferencia. En su interior están las ciudades de Cuenca y Toledo.

Esto nos indica aproximadamente la posición de Cuenca y de Toledo, pero no con exactitud.

A Coruña

Oviedo

Y

Palencia

Salamanca

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Madrid

¿Cómo podemos especificar con más claridad dónde se encuentran las distintas ciudades?

Veamos, por ejemplo, cómo localizar de una manera más exacta la posición de Zaragoza.

Con centro en Madrid y una abertura del compás que pase por Zaragoza, verás que el radio del compás es de 8 unidades. Trazando una semirrecta con origen Madrid, y que pase por Zaragoza, puedes comprobar que forma con el eje X un ángulo de 30°. Así, podemos decir que Zaragoza está en un círculo de radio 8 unidades y un ángulo de 30°, y situar esta ciudad de manera exacta.

Pamplona Zaragoza Barcelona 30°

-21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Sta. Cruz de Tenerife

X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Cáceres Toledo -1 Cuenca -2 -3 Valencia -4 -5 -6 -7 -8 Murcia Sevilla -9 -10 Almería -11 Málaga -12 -13 -14 -15 -16 -17

RESUELVE ESTAS ACTIVIDADES. a) De las ciudades españolas señaladas en el mapa, ¿cuáles se encuentran en el interior de la circunferencia de radio 10 unidades?

e) El ángulo que forma la semirrecta que pasa por Salamanca con el eje X, ¿será mayor o menor que el que forma la de Zaragoza?

b) ¿Qué ciudades se encuentran en el exterior de la

f) ¿Forma un ángulo de 90° con el eje X alguna de las ciudades españolas representadas en el mapa?

circunferencia de radio 10 unidades? c) Traza una circunferencia de radio 16 unidades. ¿Qué ciudades españolas situadas en el mapa se encuentran dentro de esta circunferencia? d) Dibuja una semirrecta con origen en Madrid y que pase por Pamplona. Mide el ángulo que forma con el eje X. Este ángulo, ¿es mayor o menor que el que forma la semirrecta de Zaragoza con el eje X?

g) ¿Forma alguna ciudad un ángulo mayor de 90° y menor de 180° con el eje X? h) Para situar una ciudad, ¿basta con decir que está en un círculo de radio 7 unidades? ¿Y que su semirrecta forma un ángulo de 45° con el eje X?


41

3


NÚMEROS ENTEROS



Calcula la suma y el producto de las siguientes parejas de números enteros. a) 2 y -4 b) -3 y 44 c) -11 y -20 d) -9 y 9 1

Escribimos los rótulos en la fila 1 y las parejas de números enteros en las columnas A y B.

2

Escribimos la fórmula para la suma en la celda C2 y para ello copiamos la fórmula =A2+B2.

3

Escribimos la fórmula para el producto en la celda D2, y para ello copiamos la fórmula: =A2*B2.

4

Copiamos la celda C2 y pegamos su contenido en las celdas de su columna, para hallar las sumas de los números enteros.

3

Comprueba si se verifican las siguientes propiedades para números enteros.

5. Hallamos los productos copiando la celda D2 y pegándola en las celdas de su columna.

ACTIVIDADES 1

Calcula la suma y el producto de estos números. a) -8 y 14

d) 4 875 y -2 356

b) 216 y -255 e) -555 y -555 c) 2 324 y -175 f) -407 y -213 2

Haz una tabla en la que figuren el opuesto y el valor absoluto de los siguientes números: -3 5 31

42

-1 4 27

-142 0

a) a + b = b + a b) a - b = b - a c) a ? b = b ? a d) a ? (b + c) = a ? b + a ? c e) (a + b) ? c = a ? c + b ? c f) )a + b) = )a) + )b)


3


NÚMEROS ENTEROS



PASO A PASO 1

1

Escribimos los rótulos en la fila 1, a continuación rellenamos las columnas A y B con las parejas de números enteros con las cuales queremos operar.

2

2

Definimos la suma en la celda C2. En la celda C2 copiamos la fórmula =A2+B2, que da como resultado -2.

3

3

En la celda D2 copiamos la fórmula =A2*B2, que da como resultado -8.

4

4

5

Copiamos la fórmula de la celda C2 y la pegamos en C3:C5, es decir, en las celdas C3, C4 y C5. De este modo aparecen las sumas correspondientes: 41, -31, 0.

5

Definimos el producto en la celda D2.

Copiamos la fórmula de la celda D2 y la pegamos en D3:D5, es decir, en las celdas D3, D4 y D5. De este modo aparecen las sumas correspondientes: -132, 220, -81.


43

3


NÚMEROS ENTEROS



Calcula la suma y el producto de las siguientes parejas de números enteros. a) 2 y -4 b) -3 y 44 c) -11 y -20 d) -9 y 9 1

Escribimos los rótulos en la fila 1 y las parejas de números enteros en las columnas A y B.

2

Escribimos la fórmula para la suma en la celda C2 y para ello copiamos la fórmula =A2+B2.

3

Escribimos la fórmula para el producto en la celda D2, y para ello copiamos la fórmula: =A2*B2.

4

Copiamos la celda C2 y pegamos su contenido en las celdas de su columna, para hallar las sumas de los números enteros.

3

Comprueba si se verifican las siguientes propiedades para números enteros.

5. Hallamos los productos copiando la celda D2 y pegándola en las celdas de su columna.

ACTIVIDADES 1

Calcula la suma y el producto de estos números. a) -8 y 14

d) 4 875 y -2 356

b) 216 y -255 e) -555 y -555 c) 2 324 y -175 f) -407 y -213 2

Haz una tabla en la que figuren el opuesto y el valor absoluto de los siguientes números: -3 5 31

44

-1 4 27

-142 0

a) a + b = b + a b) a - b = b - a c) a ? b = b ? a d) a ? (b + c) = a ? b + a ? c e) (a + b) ? c = a ? c + b ? c f) )a + b) = )a) + )b)


3


NÚMEROS ENTEROS



PASO A PASO 1

1

Escribimos los rótulos en la fila 1, a continuación rellenamos las columnas A y B con las parejas de números enteros con las cuales queremos operar.

2

2

Definimos la suma en la celda C2. En la celda C2 copiamos la fórmula =A2+B2, que da como resultado -2.

3

3

4

En la celda D2 copiamos la fórmula =A2*B2, que da como resultado -8.

4

5

Copiamos la fórmula de la celda C2 y la pegamos en C3:C5, es decir, en las celdas C3, C4 y C5. De este modo aparecen las sumas correspondientes: 41, -31, 0.

5

Definimos el producto en la celda D2.

Copiamos la fórmula de la celda D2 y la pegamos en D3:D5, es decir, en las celdas D3, D4 y D5. De este modo aparecen las sumas correspondientes: -132, 220, -81.


45

3


NÚMEROS ENTEROS



PRÁCTICA EXCEL PRÁCTICA 1 Abre el libro NÚMEROS_1 e inserta una nueva hoja con el nombre Unidad03_1a. Formato en rojo

1

Prepara un formato especial para que, cuando introduzcas números negativos, aparezcan de color rojo y con el signo negativo; activa la opción

y, en la ficha

"

, selecciona

la opción correspondiente.

Contenido

2

Introduce las etiquetas y los datos -2 y 3, -8 y -2, -6 y 7, 6 y 9, tal como se ve en el margen.

3

Escribe en la celda C2 la fórmula:

.

4

Escribe en la celda D2 la fórmula:

.

5

Copia la fórmula en las celdas C3:D5, respectivamente. ¿Es la suma conmutativa?

6

Introduce los números de nuevo a partir de la fila 6.

7

Escribe en la celda E6 la fórmula:

.

8

Escribe en la celda F6 la fórmula:

.

9

Copia las fórmulas en las celdas E7:F9. ¿Es la resta conmutativa?

PRÁCTICA 2

Contenido

1

Inserta la hoja Unidad03_2a. Cambia el formato de los números para que los números negativos salgan en rojo.

2

Introduce las etiquetas y los datos tal como se ve en el margen.

3

Escribe en la celda C2 la fórmula:

.

4


.

5

Copia las fórmulas en las celdas C3:D5, respectivamente.

6

¿Es conmutativo el producto de números enteros?

ACTIVIDADES 1

46

Inserta la hoja Unidad03_3a y comprueba si la división es conmutativa con los datos de la Práctica 2. De manera análoga a como lo has hecho en las Prácticas, escribe los rótulos y las fórmulas que necesitas.

2

Inserta la hoja Unidad03_4a; repite el proceso para introducir los rótulos y las fórmulas para resolver y realiza la suma, resta, multiplicación y división de los siguientes pares de números: 27 y 22, -87 y 101, 54 y -89 y -77 y -159.


3


NÚMEROS ENTEROS

RESUMEN DE LA UNIDAD El conjunto Z de los números enteros está formado por: – Los enteros positivos: +1, +2, +3, +4…

Números enteros

– El número 0. – Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4…

El valor absoluto de un entero a es el número natural que resulta al prescindir de su signo. )-5) = 5 )+4) = 4 – Cualquier número positivo es siempre mayor que cualquier número negativo. Comparación de enteros

-98 < +2 – De dos enteros positivos es mayor el de mayor valor absoluto. +3 < +5 – De dos enteros negativos es mayor el de menor valor absoluto. -6 < -4 – El cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier positivo.

Suma • Si los números tienen igual signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo que tienen los sumandos. Operaciones

• Si los números tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos (el menor del mayor) y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (-2) + (-3) = -5 (+2) + (-6) = (-4)

Resta El opuesto de un entero es el mismo número cambiado de signo. op (-5) = +5 op (+4) = -4 Para restar dos enteros se suma al primer sumando el opuesto del segundo. (-5) - (-7) = (-5) + (+7) = (-2)

Multiplicación y división Para multiplicar (o dividir) números enteros se multiplican (o dividen) sus valores absolutos. El signo del resultado es +, si ambos tienen igual signo, y -, si tienen signos distintos. (+2) ? (-3) = -6 (-12) : (+6) = -2 (-4) ? (-2) = +8 (+15) : (+3) = +5


47

4


FRACCIONES

ESQUEMA DE LA UNIDAD Fracciones

Interpretación de fracciones

Fracciones propias

Fracciones impropias

Fracciones equivalentes

Reducción a común denominador

Comparación de fracciones

Fracción irreducible

Operaciones con fracciones

Suma

48

Resta

Multiplicación

División


4


FRACCIONES

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Fracciones en el antiguo Egipto Los números naturales fueron los primeros números utilizados por el hombre y han sido empleados por todas las culturas. Con la evolución del ser humano surgió la necesidad de considerar repartos, herencias, divisiones..., es decir, de hacer fracciones. El uso de las fracciones es, sin duda, el rasgo más curioso de la Matemática egipcia. Los egipcios solo escribían de manera directa las fracciones unitarias, es decir, aquellas con numerador 1. Para ello ponían el denominador con un punto encima o con el símbolo

.

El sistema de numeración de los egipcios no era posicional y se limitaba a sumar los valores de los símbolos: = 1, = 10, = 100, etc. =

1 3

=

1 21

=

1 102

=

1 5

Para representar cualquier otra fracción, la expresaban como suma de fracciones unitarias, intentando poner el menor denominador posible. Para poner

7 escribían 12

7 1 1 = + 12 3 4

Para poner

15 escribían 26

15 1 1 = + 26 2 13

Los sumandos tenían que ser diferentes. Así, Ahmes en el papiro Rhind escribe

1 1 2 1 1 como + , y no como + . 5 5 5 3 15

Los quebrados Las fracciones se conocen también con el nombre de «quebrados». El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto. Ya eran conocidos por babilonios, egipcios y griegos. Pero el nombre de fracción se lo debemos a Juan de Luna, que tradujo al latín, en el siglo XII, el libro de Aritmética de Al-Khwarizmi. De Luna empleó la palabra «fractio» para traducir la palabra árabe «al-Kasr», que significa quebrar, romper.


49

4


FRACCIONES

NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué significa? a b a/b a 2 a/2

¿Cómo lo escribimos? Indica una fracción. Indica la misma fracción que la expresión anterior. Indica una fracción de numerador a y denominador 2. Indica la misma fracción que la expresión anterior.

¿Qué significa?


4 4 /7 7 o 2 /3 2 3

Indican la operación

4 2 : . 7 3

7 7 /2 2 o 5 5

Indican la operación

7 : 5. 2

3 3 o 6 6 /9 9

Indican la operación 3 :

6 . 9

¿Qué significa?

50

Una fracción se puede expresar en forma 3 vertical, , u horizontal, 3/5. 5 Ambas expresiones definen la misma fracción.

La línea de fracción horizontal más larga es la que determina el dividendo y el divisor de la operación.

a b / a = b ¿Cómo lo escribimos?

m.c.m. (a, b)

Indica el mínimo común múltiplo de a y b.

m.c.m. (12, 21) = 84. El menor número natural que es múltiplo a la vez de 12 y 21 es 84.

m.c.d. (a, b)

Indica el máximo común divisor de a y b.

m.c.d. (12, 21) = 3. El mayor número natural que es divisor común de 12 y 21 es 3.


4


FRACCIONES

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Reducir el problema a otro más sencillo Estrategia

E sta estrategia consiste en reducir el problema a casos más simples en los que podamos deducir el proceso para responder al problema planteado.

PROBLEMA RESUELTO 1

Ocho jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en los cuartos de final. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos?


Empezamos resolviendo tres casos sencillos: Si hay dos jugadores AyB

A

A

Si hay tres jugadores A, B y C

B

Sí

A

B

A

Si hay cuatro jugadores A, B, C y D

B

C

Sí

Sí

A

Sí

B

B

B

C

D

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

C Sí

C

1 emparejamiento

A

D

3 emparejamientos

6 emparejamientos

• Con 2 jugadores hay: 1 emparejamiento

• Con 3 jugadores hay: 2 + 1 = 3 emparejamientos

• Con 4 jugadores hay: 3 + 2 + 1 = 6 emparejamientos

Siguiendo este procedimiento, con 8 jugadores habrá: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 emparejamientos


En una liga de fútbol juegan 20 equipos. ¿Cuántos partidos se jugarán en total sabiendo que cada pareja de equipos se enfrentan una vez en sus respectivos campos?

3

¿Cuánto valdrá esta suma? 1 1 1 1 + + + + 1? 2 2?3 3?4 4?5 1 1 1 + + + 5?6 6?7 7?8

2

Este modelo está formado por azulejos blancos y azulejos azules. Su anchura es de 7 azulejos. En el ayuntamiento hay un modelo como este con anchura de 11 azulejos. ¿Cuántos azulejos contendrá en total? ¿Cuántos serán blancos? ¿Y azules?

¿Puedes obtener su resultado sin efectuar todas las sumas?

Prueba sumando los dos primeros números, los tres primeros…, y comprueba si el resultado te indica el valor total.


51

4


FRACCIONES

PROYECTO MATEMÁTICO Ley del oro. La fotografía En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Emplear las fracciones para indicar la ley de una aleación de oro. • Reconocer la presencia de las fracciones en la fotografía. • Trabajar con fracciones en distintos contextos reales.

1

El oro y las fracciones

El oro es uno de los metales más antiguos conocidos por el hombre. Se han encontrado ornamentos de oro en tumbas egipcias, y su uso como medio de intercambio monetario se conoce desde los tiempos bíblicos.

Es este un metal muy escaso y se suele encontrar en yacimientos o filones, y también en pequeñas cantidades; por ejemplo, las pepitas en la grava de los ríos.

52

Los principales yacimientos están en África, California, Alaska, Canadá y Sudamérica.

El oro, entre otras propiedades muy apreciadas, es dúctil y maleable, es decir, con él podemos formar hilos muy finos y láminas extraordinariamente delgadas, por lo cual ha sido utilizado a lo largo de la historia para hacer joyas y, en la actualidad, se usa en diversos aparatos electrónicos, como los ordenadores. En la práctica, para trabajar con el oro se le añaden una serie de metales, con objeto de darle mayor consistencia y poder utilizarlo más adecuadamente, creando una mezcla o aleación. Según las aleaciones, la cantidad de oro presente será distinta. Para indicar la proporción de oro que hay en una aleación, llamada ley de la aleación, se utilizó durante mucho tiempo una unidad: el quilate.

Por tanto, una moneda de oro de 16 quilates y 3 16 48 = 2 gramos gramos d e peso, contendrá: ?3 = 24 24 de oro puro. RESUELVE ESTAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuántos gramos de oro hay en un collar de 18 quilates que pesa en total 6 gramos? b) ¿Cuántos gramos de oro habrá en un collar de 20 quilates que pesa 5 gramos?

En joyería la ley más usual es de 18 quilates. Al oro se le añaden distintos metales que le dan colores diferentes. Por ejemplo, el oro rojo es oro y cobre, y 1 el blanco es oro, de paladio y el resto plata. 10

RESUELVE ESTAS ACTIVIDADES (suponemos oro de 18 quilates). a) ¿Cuántos gramos de plata hay en un collar de oro blanco que pesa 10 gramos en total? b) ¿Cuántos gramos de oro hay en unos pendientes de oro rojo si tienen 3 gramos de cobre? c) ¿En cuál de estas dos pulseras hay más cantidad de oro? Justifica tu respuesta. – Una pulsera de oro rojo con 2 gramos de cobre.

– Una pulsera de oro blanco con 1 gramo de plata.

Así, una joya de oro de 18 quilates quiere decir que los 18 de esa joya son de oro, siendo el resto de otro 24 metal. De igual forma, una joya de 24 quilates sería una 24 joya compuesta totalmente de oro, los = 1 serían 24 de ese metal.


4 2


FRACCIONES

Las fracciones en la fotografía Si comparas una fotografía actual con una fotografía antigua podrás comprobar que la técnica ha avanzado mucho. Uno de los aspectos en los que el avance ha sido considerable es la captación de objetos en movimiento y de instantes que, incluso, no pueden ser apreciados a simple vista.

Las cámaras más modernas, equipadas con motores, son capaces de hacer hasta 8 fotografías en un solo segundo. Esta velocidad es distinta a la velocidad de obturación, que afectará al resultado de cada una de las fotografías.

Date cuenta de que la velocidad de disparo de la cámara limitará la velocidad de obturación, y viceversa. No podemos hacer en un segundo 8 fotografías con velocidad de obturación 2, ya que entonces 1 tardaríamos en hacerlas 8 ? = 4 segundos. 2 REALIZA ESTAS ACTIVIDADES. a) Disparando 8 fotografías por segundo, ¿cuánto tiempo tardaríamos en hacer 24 fotos? ¿Y 36 fotografías? b) Disparando 4 fotografías por segundo, ¿qué velocidad de obturación no podemos utilizar? ¿Cuánto tardaríamos en hacer 36 fotografías? c) ¿Y disparando 2 fotografías por segundo?

Para conseguir fotografías que plasmen imágenes en movimiento o fenómenos que ocurran con gran rapidez, necesitamos que la luz incida en la película durante una cantidad de tiempo muy pequeña, durante fracciones de segundo.

El obturador es la ventana que deja pasar la luz para que incida en la película. Si observas una cámara, verás que tiene marcados unos números: 2, 4, 8, 15, 30, 60, 125, 250, 500, 1 000, 2 000… referidos a esa velocidad del obturador.

El número 50 significa que el obturador se abre y se 1 cierra en de segundo. Las cámaras más modernas 50 1 tienen velocidades de hasta de segundo. 8000 Cuanto mayor es el denominador de la fracción, podemos conseguir fotografiar, con apariencia estática, fenómenos que ocurren a gran velocidad.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

Este número de fotografías (8) por segundo es muy alto. Piensa que en el cine se utilizan 24 fotografías, llamadas fotogramas, por segundo; es decir, cada 1 fotograma del cine es presentado ante nosotros 24 de segundo.

a) Si tienes alguna cámara de fotos en tu casa, anota las posibles velocidades del obturador y explica su significado.

RESPONDE A LAS PREGUNTAS.

b) Algunas cámaras modernas pueden tomar velocidades de obturador distintas a las señaladas anteriormente.

b) Si las tarjetas de memoria que utilizo tienen capacidad para 450 fotografías, ¿cuántas necesitaría?

a) En un minuto, ¿cuántas fotografías o fotogramas de cine hemos visto? ¿Y en hora y media?

Calcula la velocidad de obturador intermedia entre los valores 250 y 500. Para ello suma las fracciones correspondientes y divide entre 2.

c) Calcula la velocidad intermedia entre los valores 500 y 1 000.


53

4


FRACCIONES

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR Resuelve esta operación:


2 1 3 - + 7 5 8

1

Escribimos las fracciones. Utilizamos la celda B4 para hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores con la función M.C.M().

2

En las celdas B7 y B8 calculamos fracciones equivalentes que tengan por denominador el m.c.m. de los denominadores.

3

Copiamos la celda B7 y la pegamos en C7 y D7 para calcular los demás numeradores.

4

Realizamos las operaciones indicadas en el enunciado con los nuevos numeradores.

3

Comprueba que:

5. Pulsamos en la tecla INTRO y aparece el resultado.

ACTIVIDADES 1

2

54

Resuelve estas operaciones con fracciones. 5 3 2 1 1 1 a) - + b) + + 3 2 6 3 2 5 Realiza estas operaciones y utiliza la función M.C.D() para simplificar el resultado. 1 2 1 3 5 2 a) - + b) + 3 5 6 4 12 7

1 1 1 1 1 = 1 - + = 1 2 2 2 4 4

1 1 1 1 + + = 12 4 8 8

Y calcula:

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 4 16 64 2 8 32 128


4


FRACCIONES



PASO A PASO 1

1

Escribimos los rótulos en la columna A, a continuación escribimos las fracciones, cada una en una columna diferente.

En las celdas B1, C1 y D1 anotamos los numeradores y en las celdas de la siguiente fila, B2, C2 y D2, los correspondientes denominadores.

Utilizamos la función M.C.M(número;número;número) para calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.

En B4 copiamos =M.C.M(B2;C2;D2), que da resultado 280. 2

2

Hallamos las fracciones equivalentes cuyo denominador es el m.c.m.

En las celdas B8, C8 y D8 escribimos el m.c.m., 280.

En la celda B7 copiamos la fórmula =B1*$B4/B2, que da como resultado 80.

El símbolo $ fija la referencia de la columna, de esta manera al copiar la fórmula en otras celdas de esa misma fila ese dato no variará.

3

3

Copiamos la celda B7 y pegamos su contenido en las celdas C7 y D7 donde aparecen los numeradores de las otras dos fracciones.

4

4

En la celda B12, que corresponde al denominador del resultado, volvemos a escribir el denominador común, 280. En la celda B11 sumamos y restamos los numeradores según indica el problema, en este caso anotamos la fórmula =B7-C7+D7 cuyo resultado es 129.

5

5

Tras pulsar la tecla Intro, aparece el resultado: el numerador es la celda B11 y el denominador es la celda B12. El resultado obtenido no tiene que ser una fracción irreducible.


55

4


FRACCIONES

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR Resuelve esta operación:


2 1 3 - + 7 5 8

1

Escribimos las fracciones. Utilizamos la celda B4 para hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores con la función M.C.M().

2

En las celdas B7 y B8 calculamos fracciones equivalentes que tengan por denominador el m.c.m. de los denominadores.

3

Copiamos la celda B7 y la pegamos en C7 y D7 para calcular los demás numeradores.

4

Realizamos las operaciones indicadas en el enunciado con los nuevos numeradores.

3

Comprueba que:

5. Pulsamos en la tecla INTRO y aparece el resultado.

ACTIVIDADES 1

2

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Resuelve estas operaciones con fracciones. 5 3 2 1 1 1 a) - + b) + + 3 2 6 3 2 5 Realiza estas operaciones y utiliza la función M.C.D() para simplificar el resultado. 1 2 1 3 5 2 a) - + b) + 3 5 6 4 12 7

1 1 1 1 1 = 1 - + = 1 2 2 2 4 4

1 1 1 1 + + = 12 4 8 8

Y calcula:

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 4 16 64 2 8 32 128


4


FRACCIONES



PASO A PASO 1

1

Escribimos los rótulos en la columna A, a continuación escribimos las fracciones, cada una en una columna diferente.

En las celdas B1, C1 y D1 anotamos los numeradores y en las celdas de la siguiente fila, B2, C2 y D2, los correspondientes denominadores.

Utilizamos la función M.C.M(número;número;número) para calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.

En B4 copiamos =M.C.M(B2;C2;D2), que da 280.

2

2

Hallamos las fracciones equivalentes cuyo denominador es el m.c.m.

En las celdas B8, C8 y D8 escribimos el m.c.m., 280.

En la celda B7 copiamos la fórmula =B1*$B4/B2, que da como resultado 80.

El símbolo $ fija la referencia de la columna, de esta manera al copiar la fórmula en otras celdas de esa misma fila ese dato no variará.

3

3

Copiamos la celda B7 y pegamos su contenido en las celdas C7 y D7 donde aparecen los numeradores de las otras dos fracciones.

4

4

En la celda B12, que corresponde al denominador del resultado, volvemos a escribir el denominador común, 280. En la celda B11 sumamos y restamos los numeradores según indica el problema, en este caso anotamos la fórmula =B7-C7+D7 cuyo resultado es 129.

5

5

Tras pulsar la tecla Intro, aparece el resultado: el numerador es la celda B11 y el denominador es la celda B12. El resultado obtenido no tiene que ser una fracción irreducible.


57

4


FRACCIONES



PRÁCTICA EXCEL Abre el libro NUMEROS_1 e inserta la hoja Unidad04_1a. Prepara un formato especial para operar con fracciones. Selecciona la hoja (con la cruz entre las filas y las columnas) y pulsa el botón izquierdo del ratón. Seleccionar la hoja completa

"

Activa la opción

y en la ficha

selecciona

la opción Fracción|Hasta 3 dígitos tal como se ve en el margen. Observa que EXCEL pone las fracciones en formato mixto, es decir, que si escribes 100/17 en una celda, el programa lo transforma en 5 15/17. PRÁCTICA 1

Formato de números " fracciones

1

Escribe los rótulos del contenido en A1, A2 y de A3 a E3, e introduce las 10 64 653 fracciones , , en las celdas A4:C4. 3 27 122

2


3

Para calcular el producto, sitúate en la celda E4 y escribe la fórmula:

para hallar la suma.

. Observa los resultados. 4

Para hacer operaciones combinadas con sumas y diferencias, ten en cuenta que A - B = A + (-B). Por tanto, cuando escribas una resta, exprésala como una suma de una fracción negativa como ves en el margen: con el valor de la columna B en signo negativo.

PRÁCTICA 2 1

Inserta la hoja Unidad04_2a y selecciona el formato de los números p ara trabajar con fracciones.

2

Escribe los rótulos del contenido de A1 a C3. 3 2 Introduce , en las celdas A4:B4. 5 3 Escribe en la celda C4 la fórmula:

3 4

Contenido

5

. Observa el resultado.

Escribe los valores que ves en el margen y copia la fórmula a las celdas C5 a C7.

ACTIVIDADES 1

2

58

De manera análoga a como lo has hecho en la Práctica 1, calcula la suma de las siguientes fracciones:

3

APLICA: De manera análoga a como lo has hecho en la Práctica 2, resuelve:

a)

38 57 98 3 9 14 b) , , , , 43 13 83 4 10 15

a)

11 19 33 11 c) : : 10 77 2 184

c)

123 987 , 456 654

b)

1 1 123 987 d) : : 3 7 456 654

En la misma hoja calcula el producto de la fracción que se forma con tu edad y tu número favorito y la fracción que se forma con el número favorito de tu compañero de la izquierda y su edad.


4


FRACCIONES


Fracciones

Fracción propia. Su valor es menor que la unidad. 3 11

Numerador < Denominador

Fracción impropia. Su valor es mayor que la unidad. 9 7

3 < 11

Numerador > Denominador 9>7

• Amplificación: consiste en obtener una fracción equivalente a una dada multiplicando sus términos por un mismo número.

Fracciones equivalentes a c Dos fracciones, y , son b b a c equivalentes, y se escribe = , b d si a ? d = b ? c.

• Simplificación: consiste en obtener una fracción equivalente a una fracción dada dividiendo sus términos entre un divisor común a ambos.

2 4 = , ya que 2 ? 10 = 5 ? 4 = 20 5 10

Fracción irreducible: es una fracción que no se puede simplificar.

Reducción a común denominador Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener otras equivalentes con igual denominador.

Comparación de fracciones

a c • Si dos fracciones tienen igual denominador, y , es mayor la que tiene mayor numerador. b b a c Si a > c " 2 . b b a a • Si tienen igual numerador, y , es mayor la que tiene menor denominador. b c a c Si b < c " 2 . b b a c • Si tienen distintos numerador y denominador, y , se reducen a denominador común. b d La mayor es la que tiene mayor numerador. Operaciones con fracciones

Suma y resta Para sumar o restar fracciones se reducen a común denominador y se suman (o restan) los numeradores. 2 5 4 15 4 + 15 19 + = + = = 3 2 6 6 6 6 Producto El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los d enominadores. a c a?c ? = b d b?d

2 5 2?5 10 5 ? = = = 3 4 3?4 12 6

División Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. a c a d a?d 2 5 2 4 8 : = ? = : = ? = 3 4 3 5 15 b d b c b?c


59

5


NÚMEROS DECIMALES

ESQUEMA DE LA UNIDAD Números decimales

Comparación de números decimales

Aproximaciones

Redondeo

Truncamiento

Operaciones

Suma y resta

Multiplicación y división por la unidad seguida de ceros

Multiplicación

División

Paso de fracción a decimal

Tipos de números decimales

60


5


NÚMEROS DECIMALES

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Breve historia de los números decimales Las antiguas civilizaciones no utilizaban las fracciones decimales. Los egipcios usaban las fracciones unitarias y los babilonios utilizaban un sistema sexagesimal manejando fracciones cuyos denominadores eran potencias de 60. Aunque las fracciones decimales (y, por tanto, los números decimales) eran conocidas y utilizadas por árabes y chinos, se atribuye generalmente al científico y matemático belga Simon Stevin (1548-1620), en sus obras la Thiende y la Disme, la introducción de los decimales en el uso común. Stevin no utilizó nuestro actual sistema de notación, sino un sistema algo complejo. Así, donde nosotros escribimos 923,456, él ponía: 923(0) 4(1) 5(2) 6(3) simbolizando 923 unidades, 4 décimas, 5 centésimas y 6 milésimas. Más tarde, el suizo Jobst Bürgi (1552-1632) simplificó esa notación eliminando la mención del orden de las unidades decimales consecutivas, y poniendo junto a la cifra de las unidades el signo °. Así, el número 923,456 se escribía como: 923°456 En lo que respecta a nuestra coma decimal, no se popularizó su uso hasta que no fue utilizada por el escocés John Napier (1550-1617). Actualmente, en los países anglosajones se utiliza un punto para separar la parte entera de la decimal; así, el número anterior sería: 923.456. Se cree que su uso comenzó en 1616 con la traducción de una obra de Napier al inglés realizada por E. Wright.

John Napier John Napier nació en Escocia en 1550. De familia acomodada, estudió en la Universidad de San Andrés. Edificó también un castillo en 1574 donde se reunían inventores, matemáticos, astrólogos, poetas, pintores… Fue un gran inventor, realizando importantes investigaciones en el campo de la agricultura, creando fertilizantes y sustancias con las que poder combatir las plagas. Para él, el estudio de las Matemáticas era un simple entreteni miento. Publicó varios libros donde siempre se disculpaba por la poca profundidad de sus argumentos. Falleció en la misma ciudad que le vio nacer, Edimburgo, en 1617.


61

5


NÚMEROS DECIMALES



a

Puede indicar cualquier tipo de número, incluido un número decimal.

3,452…

Indica un número decimal cuya parte decimal, además de las cifras que aparecen (452), tiene más cifras decimales.

4,56777…

Indica un número decimal periódico en cuya parte decimal la cifra 7 se repite indefinidamente.

¿Qué significa?

2, 4, 6, …

Indica una sucesión de números naturales.

C 2, 4567

62

Tras la última coma, y delante de los puntos suspensivos, se debe dejar un espacio en blanco.


Indica una sucesión de números decimales.

¿Qué significa? X 3, 4

Los puntos suspensivos se colocan inmediatamente detrás de la última cifra, sin dejar espacio en blanco.


¿Qué significa?

0,3; 0,5; 0,7; …

Los puntos supensivos en cualquier notación numérica indican que hay más elementos además de los escritos. En el caso de los números decimales significa que hay un número ilimitado de decimales.

Los números decimales se suelen separar por ; para distinguir dónde termina un número y dónde empieza el siguiente. Los puntos suspensivos deben estar separados del último punto y coma por un espacio en blanco.

¿Cómo lo escribimos? Indica un número decimal periódico puro en el que 4 se repite indefinidamente. Indica un número decimal periódico mixto en el que 67 se repite indefinidamente.

Para indicar que una o varias cifras de la parte decimal se repiten indefinidamente, se pone un pequeño arco sobre ellas.


5


NÚMEROS DECIMALES

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Fases de resolución de un problema Estrategia

La resolución de problemas es un proceso complejo. Por ello conviene que te acostumbres a proceder de un modo ordenado, siguiendo estos pasos.

1. Comprender el problema

3. Resolver el problema

• Lee detenidamente el enunciado del problema varias veces.

• Resuelve las operaciones en el orden establecido.

• Haz un gráfico o esquema cuando entiendas el enunciado.

• Asegúrate de que has realizado correctamente las operaciones.

• Anota los datos conocidos y el resultado o números que quieres obtener. 2. Plantear el problema

4. Comprobar la solución

• Piensa en las condiciones del problema y busca alguna estrategia o plan que te ayude a solucionarlo.

• Comprueba si hay más de una solución. • Piensa en si habría más de una solución.

• Elige las operaciones y anota el orden en que debes realizarlas.

Apliquemos estos pasos en la resolución del siguiente problema.

PROBLEMA RESUELTO 1

Un bocadillo de jamón y un refresco de naranja cuestan 2,50 €. En el mismo bar, un bocadillo de jamón y dos refrescos de naranja cuestan 3,25 €. ¿Cuánto cuesta el bocadillo de jamón? ¿Y el refresco de naranja? 1. Comprender el problema Refresco + bocadillo = 2, 50 Refresco + refresco + bocadillo = 3, 25 Queremos obtener: precio refresco y precio del bocadillo

2. Plantear el problema La diferencia entre los dos pedidos es un refresco más, de modo que la diferencia de precio será lo que vale un refresco. Luego con esa cantidad, podemos saber lo que valió el bocadillo pues tiene que sumar 2,50 con el precio del refresco.

3. Resolver el problema Precio refresco = 3,75 - 2,50 = 0,75 € Precio bocadillo = 2,50 - 0,75 = 1,75 €

4. Comprobar la solución

Vamos a comprobar que los resultados hallados (precios) cumplen las condiciones del enunciado: • 1.a condición: Un bocadillo y el refresco cuestan 2,50 €. 1,75 + 0,75 = 2,50 • 2.a condición: Un bocadillo y dos refrescos cuestan 3,25 €. 1,75 + 2 ? 0,75 = 3,25 €


63

5


NÚMEROS DECIMALES

PROYECTO MATEMÁTICO Un viaje al Reino Unido En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Valorar la necesidad de los números decimales para expresar de forma numérica situaciones reales. • Hacer aproximaciones y redondeos de números decimales. • Resolver problemas de la vida cotidiana mediante números decimales.

1

El viaje de ida

La empresa Exportaciones Intercontinentales tiene un contrato para exportar frutas y hortalizas a la compañía Fruits Import, con sede en Londres.

Un camión se encuentra listo para partir. El conductor y el encargado de los envíos van a pesar la mercancía. Suben el vehículo a una báscula de plataforma gigante.

• El peso total del camión cargado es de 44,604 toneladas.

• El peso del camión vacío es de 15,015 toneladas.

• El precio por usar la báscula es de 6,50 € por tonelada de peso en vacío.

• El remolque del camión mide 12,70 m de largo, 2,40 m de ancho y 2,75 m de alto.

• Una caja de fruta mide 0,60 m de largo, 0,35 m de ancho y 0,30 m de alto.

• El conductor planea parar 1 hora cada 300 km y llevar una velocidad media de 80 km/h.

• Además, a 500 km del punto de partida, tiene que recoger una carta para Fruits Import en otra oficina de su empresa.

Tras descansar el conductor sigue su trayecto y, a los 890 km del punto de partida, el camión se avería. El conductor llama a la empresa y le ofrecen cambiar su camión por otro de dimensiones 11,30 m de largo, 2,39 m de ancho y 2,65 m de alto, o avisar a un mecánico para que lo arregle.

Ninguna de las opciones le parece conveniente, pues el nuevo camión tiene que recorrer de nuevo 890 km y el mecánico tardará aproximadamente 8 horas en llegar.

CON ESTOS DATOS, REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuál es el volumen del nuevo camión? Exprésalo en m3 y en cm3.

CON ESTOS DATOS, REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) Redondea los números que expresan el peso del camión cargado y vacío a las centésimas, décimas y unidades.

b) Haz una estimación del número de cajas (iguales en dimensiones a las anteriores) que puede contener el nuevo camión. ¿Cabrán todas las cajas que llevaba el camión estropeado en el nuevo?

b) ¿Cuántas toneladas de fruta transporta el camión? ¿Y kilogramos?

c) ¿Qué porcentaje del volumen del nuevo camión quedaría sin ocupar si se pasase el mayor número de cajas posibles al nuevo camión?

c) ¿Cuántos euros ha costado pesar el camión? d) ¿Cuál es el volumen del camión en m3? Para obtenerlo multiplica el largo por el ancho y el alto.

d) El mecánico planea parar cuatro veces durante 10 minutos cada vez. Si lleva una velocidad de 110 km/h, ¿cuánto tiempo tardará en llegar al lugar donde se encuentra el camión estropeado? Redondea el resultado a las centésimas.

e) ¿Cuál es el volumen de una caja en m3? f) Haz una estimación del número de cajas que puede contener el remolque y del volumen total que ocupan, y explica cómo lo has hecho. g) ¿Qué porcentaje del volumen total del camión queda vacío según tu estimación? h) ¿Cuánto tiempo tardará el camión en recoger la carta?

64

Tras ser arreglado el camión, el conductor pasa a Francia y, después de varias paradas, llega a Coquelles, el inicio del túnel bajo el Canal de la Mancha. Después, sale por Folkestone, en Inglaterra.


5 2


NÚMEROS DECIMALES

La estancia en las islas y el viaje de vuelta

A partir de ese punto, el conductor se dirige a Londres. Además de conducir por la izquierda, se encuentra con señales en inglés y se da cuenta de que aparecen unidades de medida distintas a las que suele utilizar.

Para interpretarlas mira en unas tablas que tiene en el camión, que marcan:

una persona le indica que acomode el tráiler sobre la báscula y, una vez realizada la maniobra, anota en libras el p eso del vehículo: 98 463 lb (libras). Enseguida, el conductor lleva el tráiler a la zona de descarga y, poco tiempo después, lo coloca nuevamente sobre la báscula, pero ahora totalmente vacío: 33 146 lb.

1 milla terrestre (mi) = 1,609 km 1 pie (ft) = 0,3048 m 1 pulgada (in) = 2,54 cm

En el camino se encuentra con varias señales de tráfico:

• Una de ellas señala que la velocidad máxima permitida es de 55 millas por hora.

• Otra indica que la altura máxima permitida en un puente es de 16 pies.

• Una tercera señala que la gasolinera más próxima está a 3 millas de distancia. CON ESTOS DATOS, CONTESTA A LAS PREGUNTAS REDONDEANDO COMO CREAS OPORTUNO. a) ¿Cuál es la velocidad máxima permitida en esa carretera en kilómetros por hora? ¿Y en metros por segundo?

COMPARA CON LOS DATOS DEL PRINCIPIO Y CONTESTA A ESTAS CUESTIONES.

b) ¿Cuál es la altura máxima, en metros, que puede tener un vehículo para pasar libremente bajo el puente? ¿Y en decímetros?

a) ¿A cuántos kilogramos y gramos equivale, aproximadamente, una libra?

c) ¿Podrá pasar el camión bajo el puente? ¿Cuántos centímetros le faltarán o sobrarán?

b) Con la equivalencia que has hallado antes, completa la siguiente tabla.

d) ¿A cuántos kilómetros de distancia se encuentra la gasolinera? ¿Y a cuántos metros?

Libras (lb)

e) En una parada el conductor conversa con un compañero americano, cuyo camión tiene una cilindrada de 500 pulgadas cúbicas. Halla los centímetros cúbicos que tiene una pulgada cúbica (eleva al cubo el valor de una pulgada) y los centímetros cúbicos de cilindrada del camión.

Kilogramos (kg)

1 10 100 1 10 100

De regreso a casa, el conductor detiene el camión en una estación de servicio. Se acerca a la caja y paga 50 galones de combustible, coloca la manguera dentro del tanque y echa esa cantidad. SI 1 GALÓN SON 3,785 LITROS, CONTESTA A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. a) ¿A cuántos litros de combustible equivalen los 50 galones que cargó?

Finalmente, el conductor llega a la compañía donde ha de descargar la mercancía. En la caseta de vigilancia,

b) Si el tanque tiene capacidad para 200 litros, ¿qué fracción de la capacidad representan los 50 galones? Exprésalo como número decimal.


65

5


NÚMEROS DECIMALES



Calcula la división de números naturales 256 : 11 con 1, 2, 3 y 4 decimales, especificando en cada caso el cociente y el resto. 1

Escribimos el dividendo y el divisor en las celdas B2 y C2, y en las celdas de la columna A, el número de decimales.

2

Utilizamos la función Truncar() para definir el cociente del dividendo entre el divisor con el número de decimales que queremos.

3

Definimos el resto de la división, en la celda E2, como:

4

Copiamos la celda D2 y pegamos su contenido en las celdas de su columna, para hallar los cocientes.

3

En una división cuyo dividendo es un número natural de dos cifras:

Resto = dividendo - divisor ? cociente

5. Copiamos la celda E2 y pegamos su contenido en las celdas de su columna para hallar los restos.

ACTIVIDADES 1

2

66

Realiza las siguientes divisiones, extrayendo cuatro decimales, si es posible. a) 100 : 12

c) 1 265 : 265

b) 23 : 22

d) 451 : 11

a) ¿Puede ser el cociente un número decimal exacto con dos cifras decimales si el divisor es 2?

Haz estas divisiones cuando el dividendo es menor que el divisor, extrayendo cuatro decimales, si es posible. a) 1 : 11

c) 1 935 : 2 065

b) 23 : 42

d) 4 : 125

b) ¿Y si el divisor es 3? ¿Y si es 4? ¿Y si es 5? c) ¿Qué números naturales de una cifra puede ser el divisor para que el cociente sea un número decimal exacto con dos cifras decimales?


5


NÚMEROS DECIMALES



PASO A PASO 1

1

Rellenamos la columna A, debajo del rótulo N º decimales, desde la celda A2 hasta A6 con los números del 0 al 4.

2

2

Para definir el cociente en la celda D2 utilizamos la función Truncar(Número; N.º de decimales) que trunca un número al orden decimal considerado. En la celda D2 copiamos = Truncar(B$2/C$2;A2), que da como resultado 23.

3

Escribimos los rótulos en la fila 1, a continuación escribimos el dividendo y el divisor en las celdas B2 y C2, respectivamente.

3

Definimos el resto en la celda E2, como: Resto = Dividendo - Divisor ? Cociente En la celda E2 copiamos la fórmula = B$2-C$2*D2, que da como resultado 3.

4

4

Copiamos la fórmula de la celda D2 y la pegamos en D3:D6, es decir, en las celdas D3, D4, D5 y D6.

En caso de que debido al formato de la celda no aparezcan más de dos decimales, proceder como se indica: Seleccionamos D5 y en el menú Formato la opción Celda modificamos a 3 el número de decimales. Análogamente, seleccionamos D6 y en el menú Formato la opción Celdas modificamos a 4 el número de decimales.

Así aparecen los cocientes con 1, 2, 3 y 4 decimales.

5

5

Copiamos la fórmula de la celda E2 y la pegamos en E3:E6, es decir, en las celdas E3, E4, E5 y E6.

En caso de que debido al formato de la celda no aparezcan más de dos decimales, proceder como se indica: Seleccionamos E5 y en el menú Formato la opción Celda modificamos a 3 el número de decimales. Análogamente, seleccionamos E6 y en el menú Formato la opción Celdas modificamos a 4 el número de decimales.

Así aparecen los restos de cada una de las divisiones.


67

5


NÚMEROS DECIMALES



Calcula la división de números naturales 256 : 11 con 1, 2, 3 y 4 decimales, especificando en cada caso el cociente y el resto. 1

Escribimos el dividendo y el divisor en las celdas B2 y C2, y en las celdas de la columna A, el número de decimales.

2

Utilizamos la función Truncar() para definir el cociente del dividendo entre el divisor con el número de decimales que queremos.

3

Definimos el resto de la división, en la celda E2, como:

4

Copiamos la celda D2 y pegamos su contenido en las celdas de su columna, para hallar los cocientes.

3

En una división cuyo dividendo es un número natural de dos cifras:

Resto = dividendo - divisor ? cociente

5. Copiamos la celda E2 y pegamos su contenido en las celdas de su columna para hallar los restos.

ACTIVIDADES 1

2

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Realiza las siguientes divisiones, extrayendo cuatro decimales, si es posible. a) 100 : 12

c) 1 265 : 265

b) 23 : 22

d) 451 : 11

a) ¿Puede ser el cociente un número decimal exacto con dos cifras decimales si el divisor es 2?

Haz estas divisiones cuando el dividendo es menor que el divisor, extrayendo cuatro decimales, si es posible. a) 1 : 11

c) 1 935 : 2 065

b) 23 : 42

d) 4 : 125

b) ¿Y si el divisor es 3? ¿Y si es 4? ¿Y si es 5? c) ¿Qué números naturales de una cifra puede ser el divisor para que el cociente sea un número decimal exacto con dos cifras decimales?


5


NÚMEROS DECIMALES



PASO A PASO 1

1

Rellenamos la columna A, debajo del rótulo Nº decimales, desde la celda A2 hasta A6 con los números del 0 al 4.

2

2

Para definir el cociente en la celda D2 utilizamos la función Truncar(Número; N.º de decimales) que trunca un número al orden decimal considerado. En la celda D2 copiamos = Truncar(B$2/C$2;A2), que da como resultado 23.

3

Escribimos los rótulos en la fila 1, a continuación escribimos el dividendo y el divisor en las celdas B2 y C2, respectivamente.

3

Definimos el resto en la celda E2, como: Resto = Dividendo - Divisor ? Cociente En la celda E2 copiamos la fórmula = B$2-C$2*D2, que da como resultado 3.

4

4

5

De este modo aparecen los cocientes con 1, 2, 3 y 4 decimales.

5

Copiamos la fórmula de la celda D2 y la pegamos en D3:D6, es decir, en las celdas D3, D4, D5 y D6.

Copiamos la fórmula de la celda E2 y la pegamos en E3:E6, es decir, en las celdas E3, E4, E5 y E6. De este modo aparecen los restos de cada una de las divisiones.


69

5


NÚMEROS DECIMALES



PRÁCTICA EXCEL Abre el libro NÚMEROS_1 e inserta la hoja Unidad05_1a para calcular el producto de dos números decimales. Obtendrás el resultado con dos aproxi maciones (redondeo y truncamiento) y con el número de decimales que quieras. Combinar celdas

1

Escribe el rótulo de la figura en la celda A1.

2

Ve a la celda E2 y escribe el rótulo «redondear»; después, selecciona las celdas E2 y F2 y pulsa el icono

.

3

Completa la escritura de las etiquetas tal como se ve en el margen.

4

Escribe las siguientes fórmulas: válido. a) Celda D4 "

Contenido

b) Celda F4 " c) Celda H4 " La fórmula de la celda D4 es una fórmula lógica y dice que si introduces en la celda B4 el signo «*», se efectuará el producto del número que hay en la celda A4 por el de C4; si pones el signo «:», se hará la división, y si pones cualquier otro signo, aparecerá el texto «no válido». 5

Introduce los datos 4,5 y 5,1; 8,956 y 14; 6,0123 y 0,987 en las columnas A y C y el signo «*» en las celdas de la columna B.

6

Copia las fórmulas de las celdas D4, F4 y H4 en las celdas que hay en las filas inferiores de las mismas columnas. Por ejemplo, para resolver el apartado b), escribe 8,956 en la celda A5, 14 en la celda C5, y al introducir un 1 en la celda E5 y otro 1 en la celda G5, obtendrás los resultados de redondear y truncar con un decimal. Observa que el redondeo es diferente del truncamiento ya que la segunda cifra del resultado es 8 (que es mayor que 5).

7

Escribe los resultados en tu cuaderno.

ACTIVIDADES 1

Realiza ahora el ejercicio con los siguientes números: a) 0,369 y 8,421 b) 193,87 y 0,00471

70

2

¿Qué pasa si no escribes el signo * en la columna B? ¿Cómo tendrías que modificar la fórmula para poder hacer las divisiones?


5


NÚMEROS DECIMALES

RESUMEN DE LA UNIDAD Números decimales

Unidades decimales d

c

m

7

8

3

4

14243

U

Truncar: a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes decimales inferiores a él.

7 unidades 8 décimas 3 centésimas 4 milésimas

Redondear: a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes decimales inferiores a él, de forma que si la cifra siguiente a la del orden considerado:

7,834 = 7 + 8 ? 0,1 + 3 ? 0,01 + 4 ? 0,001 Aproximación Decimales exactos. Tienen un número finito de cifras decimales: 0,6; 0,765.

• es mayor o igual que 5, sumamos una unidad a la cifra que estamos redondeando.

ecimales no exactos. Tienen infinitas cifras D decimales.

Tipos de números decimales

• Periódicos puros. Una o varias cifras se repiten C X periódicamente a partir de la coma: 1,4 ; 0,345.

• es menor que 5, no cambia la cifra que queremos redondear.

• Periódicos mixtos. La parte decimal tiene alguna cifra que no se repite periódicamente C X y el resto sí: 1,4 ; 0,345. • No periódicos. Tiene infinitas cifras decimales, pero ninguna se repite periódicamente: p, 2.

Operaciones con números decimales

Suma y resta de números decimales

Multiplicación de números decimales

Los números se colocan de forma que las comas estén alineadas y, después, se opera.

Se multiplican como si fueran naturales y se coloca la coma, separando tantas cifras como decimales tengan ambos factores.

4 2, 5

3, 4 2

11 7 2, 3 5 7

29, 6 7 4

3 0, 7

1 8 1, 3 0 7

3 2, 8 2 6

2, 3 9 4

8, 9 5 7

Multiplicación y división por la unidad seguida de ceros. Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.

División de números decimales

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Dividendo decimal y divisor natural. Se dividen como si fueran naturales, pero, al bajar la primera cifra decimal, se pone la coma en el cociente.

Dividendo natural y divisor decimal. Se suprime la coma del divisor y se añaden tantos ceros al dividendo como decimales tenga el divisor.

Divisor decimal. Se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

6 , 4

4

2 4

1,6

f

0

4 0,16

" 4 0 0 8 0 0

16

0,3 0,02

2,5


"

3 0

2

1 0 0

15

71

6


ÁLGEBRA

ESQUEMA DE LA UNIDAD Expresiones algebraicas

Valor numérico

Monomios

Igualdades

Identidades

Ecuaciones

Ecuaciones de primer grado

72


6


ÁLGEBRA

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Ecuaciones en Egipto Parte de los avances matemáticos en la civilización egipcia los conocemos gracias a los escritos encontrados en papiros, tales como el papiro de Rhind. Este papiro contiene 87 problemas. Para poder hallar la solución de algunos de ellos hay que resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. En el problema 21, en términos modernos, se pide encontrar 2 1 un número x tal que + + x = 1 . Para resolver la 15 3 ecuación los egipcios la multiplicaron por 15 y obtuvieron la ecuación auxiliar roja 10 + 1 + 15x = 15, llamada así porque el escribano la escribió con tinta roja. 4 La solución de la ecuación roja es , por lo que la solución 15 de la ecuación original es la misma, ya que ambas son equivalentes. El problema 24 dice así: «Si a una cantidad le agrego el cuarto de esa cantidad obtengo 15. ¿Cuál es la cantidad?». En notax ción moderna, el problema consiste en resolver x + = 15. 4 Para resolver esta ecuación utilizaban el método de la falsa posición, una especie de método de ensayo y error modificado. Así, probaban con x = 4, ya que de esta forma se anula la 4 fracción x , y obtenían = 1 . Pero para x = 4 la expresión 4 4 x se convierte en 5. x+ 4 Por tanto, esta no es la respuesta correcta. Sin embargo, como 15 = 3 ? 5, tomaban tres veces x = 4, esto es: x = 12, que es la solución correcta. Compruébalo tú mismo.

Leibniz Leibniz (1646-1716), filósofo y matemático alemán, comparte con Newton la gloria de ser uno de los creadores del cálculo diferencial. Fue uno de los primeros matemáticos en darse cuenta de la necesidad del tratamiento simbólico de los razonamientos. Pensaba que el lenguaje simbólico y científico debía derribar las barreras de las lenguas nacionales.


73

6


ÁLGEBRA


x+y-z

¿Cómo lo escribimos? Indica una expresión algebraica con tres incógnitas.

¿Qué significa? -5 ? a ? b3 -5ab

3

7 ? (3x - 2) 7(3x - 2)

Las incógnitas de una expresión algebraica se representan con letras minúsculas. Las más usuales son x, y, z, t, u, v…

¿Cómo lo escribimos? Indican el mismo monomio.

El signo de multiplicación entre un número y una incógnita, o entre dos incógnitas, se puede omitir.

Indican la misma operación.

El signo de multiplicación anterior a un paréntesis también se puede omitir.

¿Qué significa?

¿Cómo lo escribimos? En la expresión general de un monomio se distinguen diferentes partes. Coeficiente

ax

n

Es la expresión general de un monomio.

ax n Parte literal

¿Qué significa? 3 x 4 3/4 ? x (3/4)x 3x 4

a = a1


Todas estas expresiones representan el mismo monomio.

Un coeficiente fraccionario se puede expresar mediante cualquiera de sus representaciones.

Es la potencia de 1.

Una cifra sin exponente es lo mismo que esa cifra elevada a 1.

¿Qué significa? 3+4Þ9

74

¿Cómo lo escribimos? Indica que los miembros son distintos.

El símbolo Þ expresa que el primer miembro no es igual al segundo.


6


ÁLGEBRA

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Fases de resolución de un problema Estrategia

E n la resolución de un problema mediante ecuaciones conviene seguir los cuatro pasos indicados: comprender el enunciado, plantear el problema mediante una ecuación, resolver la ecuación y comprobar que la solución cumple las condiciones del problema.

PROBLEMA RESUELTO 1

Ana tiene 2 € más que Berta, Berta tiene 2 € más que Eva y Eva 2 € más que Luisa. Entre las cuatro amigas tienen 48 €. ¿Cuántos euros tiene cada una de ellas?


Comprender el enunciado

Se debe leer el problema las veces que sean necesarias para distinguir los datos conocidos y el dato desconocido que se quiere hallar, es decir, la incógnita. En este problema conocemos: la suma del dinero (en euros) de las cuatro amigas y que, colocadas por el orden alfabético de las iniciales de su nombre, cada una tiene 2 € más que la siguiente.

Plantear y resolver la ecuación

Elegimos como incógnita x la cantidad de euros que tiene Luisa.

Cantidad de euros que tiene Luisa " x

Las cantidades de las otras amigas se escriben en función de x:

Cantidad que tiene Eva " x + 2

Cantidad que tiene Berta " (x + 2) + 2 = x + 4

Cantidad que tiene Ana " (x + 4) + 2 = x + 6

Finalmente, escribimos la condición de que la suma de las cantidades es 48: x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 48 4x + (2 + 4 + 6) = 48 " 4x + 12 = 48 4x = 48 - 12 " 4x = 36 36 x= = 9. Luisa tiene 9 €. 4

PROBLEMA

Eva tiene 9 + 2 = 11 €, Berta tiene 13 € y Ana 15 €.

Comprender el enunciado

Leer atentamente el enunciado

Identificar los datos y la incógnita

Plantear y resolver la ecuación Comprobar la validez de la solución

Comprobación

Se debe comprobar que se cumplen las condiciones del problema.

1.º Las cantidades de dinero que tienen: 9, 11, 13 y 15 €, respectivamente. Eva tiene 2 € más que Luisa, Berta 2 € más que Eva, etc.

2.º La suma de las cantidades es 48 €: 9 + 11 + 13 + 15 = 48.


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6


ÁLGEBRA

PROYECTO MATEMÁTICO Ecuaciones, triángulos y tablas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Usar letras como números generalizados. • Observar regularidades. • Utilizar el álgebra como herramienta para resolver situaciones. • Generalizar situaciones numéricas.

1

Ecuaciones en triángulos Observa el siguiente triángulo. En los lados está la suma de los números de los vértices.

1, 2, 3, 4, 5 y 6, de manera que la suma de los tres números de los lados sea siempre la indicada en el

3

4

b) Completa el siguiente triángulo con los números

centro del triángulo. 1

8 6

1

x

5

6

10

Imagina que no conocieses los números de los vértices, pero sí las sumas. ¿Cómo hallarías los vértices?

Si llamamos x al número de uno de los vértices, los otros vértices serán 8 - x y 4 - x. Sabemos que 6 es la suma de esos dos vértices, luego:

(8 - x) + (4 - x) = 6

c) Busca el valor de A, B, C, D, E y F en el triángulo, sabiendo que la suma de los lados es la indicada en el centro del triángulo y que el valor de A es 2, el valor de B es una unidad mayor que A y el valor de E es el doble de A.

x

4

x+1

x-2

A 8

F

B 11

4-x

8-x

6

E

Resolvemos la ecuación: 12 - 2x = 6, 12 - 6 = 2x, 6 = 2x, x = 3. Los números son 3, 1 y 5.

C

D

d) Observa esta pareja de triángulos que comparten un punto. Averigua los valores que faltan sabiendo que sus lados siempre suman 15, que A es tres unidades

RESUELVE AHORA ESTAS ACTIVIDADES UTILIZANDO ECUACIONES.

mayor que x y B es la quinta parte de x.

a) Averigua los números de vértices del triángulo.

x-2

F 15

12

9

76

A

8

?

15

x

x-3 E

B 15 D

C


6 2

ÁLGEBRA

Regularidades en tablas

Esta tabla contiene los números del 1 al 100.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

08

17 18

11 12 12 13

Observa que: 11 + 13 = 12 + 12.

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES. a) Toma un número cualquiera x y expresa en función de él los números del cuadrado 2 × 2 que lo incluye. ¿Se cumple la propiedad anterior? b) ¿Es válida esta propiedad para todos los cuadrados 2 × 2? ¿Por qué?

Tomamos un cuadrado de 2 × 2, por ejemplo: 07

Considerando otro cuadrado 2 × 2:

Esta es la tabla de la suma de los primeros números pares. + 2 4 6 8 10

Observa que: 7 + 18 = 8 + 17.

2 4 6 8

10

12

4 6 8

12

14

10

Elegimos otros cuadrados y comprobamos:

6 8 10 12 14 16

11 12

8 10 12 14 16 18

21 22 66 67 76 77

Observa que: 11 + 22 = 12 + 21.

10 12 14 16 18 20

Observa que: 66 + 77 = 67 + 76.

Tomamos cuadrados 2 × 2:

2

4

4

6

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Toma un número cualquiera x y expresa en función de él los números del cuadrado 2 × 2 que lo incluye. ¿Se cumple la propiedad anterior? b) ¿Es válida esta propiedad para todos los cuadrados 2 × 2? ¿Por qué?

Considera ahora la tabla de sumar. +

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

4

5

6

7

8

5

6

7

8

9

6

7

8

9

10

7

8

9

10

8

9

10

9

10

11

4

5

5

6

12 14 14 16

Observa que: 12 ? 16 + 4 = 14 ? 14.

RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Toma un número cualquiera x y expresa en función de él los números del cuadrado 2 × 2 que lo incluye. Para ello expresa los valores a y b en función de x en el siguiente cuadrado.

8

9

8

9

10

9

10

11

x

a

9

10

11

12

a

b

9

10

11

12

13

10

11

12

13

14

11

12

13

14

15

x?b+4=a?a

11

12

13

14

15

16

11

12

13

14

15

16

17

c) La expresión que se obtiene en b), ¿es una identidad o una ecuación?

12

13

14

15

16

17

18

Tomamos un cuadrado 2 × 2, por ejemplo:

Observa que: 2 ? 6 Þ 4 ? 4. Pero sí se cumple que: 2 ? 6 + 4 = 4 ? 4.

b) Expresa en función de x la propiedad:

d) ¿Es válida la anterior propiedad para los cuadrados 2 × 2?

Observa que: 4 + 6 = 5 + 5.


77

6


ÁLGEBRA



2

3

Halla el valor numérico de la expresión x - 3xy + 2y y la expresión 3x + 5y - 2y 2x para: a) x = 2 e y = - 4 b) x = - 3 e y = 44 c) x = - 11 e y = - 20 d) x = - 9 e y = 9 1

Escribimos el significado de cada columna en la fila 1 y completamos las columnas A y B con los valores de x e y, respectivamente.

2

Escribimos la fórmula de la primera expresión en la celda C2, teniendo en cuenta que, en este caso, x = A2 e y = B2.

3

Copiamos el contenido de la celda C2 y lo pegamos en las celdas C3, C4 y C5 para obtener el valor numérico de la primera expresión.

4

Escribimos la fórmula de la segunda expresión en la celda D2, teniendo en cuenta que las variables son x = A2 e y = B2.

2

Da valores a x e y, y determina si estas igualdades son ecuaciones o identidades.

5. Copiamos el contenido de la celda D2 y lo pegamos en las celdas D3, D4 y D5 para obtener el valor de la segunda expresión.

ACTIVIDADES 1

Halla el valor numérico de la expresión 4y 2 + 5x 2y + 2 para: a) x = -8 e y = 14

78

d) x = -55 e y = -55

a) x 2 + y = y 2 + x

b) x = 216 e y = -255 e) x = 0 e y = -33

b) ( x - y ) (x + y ) = x 2 - y 2

c) x = 4 875 e y = -2 356

c) (x + y )2 - (x - y )2 = 4xy

f) x = 12 e y = 0


6


ÁLGEBRA



PASO A PASO 1

1

Escribimos los rótulos en la fila 1, a continuación rellenamos las columnas A y B con los valores de x e y que vamos a sustituir en cada polinomio.

2

2

Escribimos la fórmula del primer polinomio en la celda C2. En la celda C2 escribimos =A2^2-3*A2*B2+2*B2, que da como resultado 20.

3

3

4

De este modo aparecen los valores numéricos correspondientes: 493, -579, 342.

4

5

Escribimos la fórmula del segundo polinomio en la celda D2. En la celda D2 escribimos la fórmula =3*A2^3+5*B2-2*B2^2*A2 que da como resultado -60.

5

Copiamos la fórmula de la celda C2 y la pegamos en C3:C5, es decir, en las celdas C3, C4 y C5.

Copiamos la fórmula de la celda D2 y la pegamos en D3:D5, es decir, en las celdas D3, D4 y D5. De este modo aparecen los valores numéricos correspondientes: 11 755, 4 707, -684.


79

6


ÁLGEBRA



Halla el valor numérico de la expresión x 2 - 3xy + 2y y la expresión 3x 3 + 5y - 2y 2x para: a) x = 2 e y = - 4 b) x = - 3 e y = 44 c) x = - 11 e y = - 20 d) x = - 9 e y = 9 1

Escribimos el significado de cada columna en la fila 1 y completamos las columnas A y B con los valores de x e y, respectivamente.

2

Escribimos la fórmula de la primera expresión en la celda C2, teniendo en cuenta que, en este caso, x = A2 e y = B2.

3

Copiamos el contenido de la celda C2 y lo pegamos en las celdas C3, C4 y C5 para obtener el valor numérico de la primera expresión.

4

Escribimos la fórmula de la segunda expresión en la celda D2, teniendo en cuenta que las variables son x = A2 e y = B2.

2

Da valores a x e y, y determina si estas igualdades son ecuaciones o identidades.

5. Copiamos el contenido de la celda D2 y lo pegamos en las celdas D3, D4 y D5 para obtener el valor de la segunda expresión.

ACTIVIDADES 1

Halla el valor numérico de la expresión 4y 2 + 5x 2y + 2 para: a) x = -8 e y = 14

80

d) x = -55 e y = -55

a) x 2 + y = y 2 + x

b) x = 216 e y = -255 e) x = 0 e y = -33

b) ( x - y ) (x + y ) = x 2 - y 2

c) x = 4 875 e y = -2 356

c) (x + y )2 - (x - y )2 = 4xy

f) x = 12 e y = 0


6


ÁLGEBRA



PASO A PASO 1

1

Escribimos los rótulos en la fila 1, a continuación rellenamos las columnas A y B con los valores de x e y que vamos a sustituir en cada polinomio.

2

2

Escribimos la fórmula del primer polinomio en la celda C2. En la celda C2 escribimos =A2^2-3*A2*B2+2*B2, que da como resultado 20.

3

3

4

De este modo aparecen los valores numéricos correspondientes: 493, -579, 342.

4

5

Escribimos la fórmula del segundo polinomio en la celda D2. En la celda D2 escribimos la fórmula =3*A2^3+5*B2-2*B2^2*A2 que da como resultado -60.

5

Copiamos la fórmula de la celda C2 y la pegamos en C3:C5, es decir, en las celdas C3, C4 y C5.

Copiamos la fórmula de la celda D2 y la pegamos en D3:D5, es decir, en las celdas D3, D4 y D5. De este modo aparecen los valores numéricos correspondientes: 11 755, 4 707, -684.


81

6


ÁLGEBRA



PRÁCTICA EXCEL PRÁCTICA 1 Abre el libro NUMEROS_1 e inserta la hoja: Unidad06_1a.

Contenido

1

Escribe las etiquetas que ves en la imagen en las celdas A1 y de A2 a C2.

2

Introduce los valores: 1, 2, -1 y 0 en las celdas A3 a A6.

3

En la celda B3 introduce la fórmula: 3 ? 1 - 4 = -1.

. Observa el resultado:

4

En la celda C3 introduce la fórmula: 12 + 1 = 2.


5

Copia las fórmulas de las celdas B3 y C3 en las celdas inferiores de la misma columna. a) Selecciona las dos celdas y pulsa CTRL + C o b) En la celda B4 pulsa CTRL + V o

.

.

PRÁCTICA 2 Inserta la hoja Unidad06_2a. 1

Escribe las etiquetas en las celdas A1 y de A2 a D2.

2

Introduce varios datos en las celdas de las columnas A y B desde la fila 3 en adelante (para dar valores a las variables a y b): {a = 0, b = 1}, {a = 0, b = 2}...

3

Introduce en la celda C3 la fórmula: 5 ? 0 - 2 ? 1 = -2.


4

Introduce en la celda D3 la fórmula: (0 + 1)2 = 12 = 1.


5

Copia las fórmulas de las celdas C3 y D3 en las celdas correspondientes de las filas posteriores.

6

Escribe los resultados en tu cuaderno.

Contenido

Resultados

ACTIVIDADES 1

Inserta la hoja Unidad06_3a y comprueba si son ciertas las siguientes expresiones numéricas: a) 3 x 2 + x + 1 = 10 cuando x = 3 b) x2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7) para cualquier valor de x. c) x 2y 5 + 12xy 2 - 50 = x + y - 15 cuando x = 0 e y = 35

82

2

De forma análoga a como lo has hecho en el ejercicio anterior, inserta la hoja Unidad06_4a y comprueba cuando tiene que valer t para que sea cierta la igualdad xyzt + z3 - t2 = x4 + y cuando x = 8, y = 1, z = 7. Guarda el libro con

"

.


6


ÁLGEBRA

RESUMEN DE LA UNIDAD Lenguaje algebraico

Expresión algebraica. Conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. b + 4a, 7ab, 3x2, 5y7, 2ab2 + a2b Valor numérico. Número que se obtiene al sustituir las letras por sus valores correspondientes y operar.

Monomios semejantes. Tienen la misma parte literal. Monomios

-7x2 y 3x2, 4a2b2 y a2b2 Monomios opuestos. Sus coeficientes son números opuestos. 7x5 y -7x5, -ab2 y ab2

Operaciones

Suma y resta

Multiplicación

División

– De monomios semejantes. 3x2 + 5x2 = (5 + 3)x2 = 8x2

Por un lado, se multiplican sus coeficientes y, por otro, sus partes literales. -3x ? 2x =

Por un lado, se dividen sus coeficientes y, por otro, sus partes literales, si se puede. [ ? 3 ? [a 2 ? b 3 = 3b 9a 2 b : 3a 2 [ ? [a 2 3

– De monomios no semejantes. La operación se deja indicada. a2b - 3a2

= (-3 ? 2) ? (x ? x) = -6x2

Transposición de términos – Si a los dos miembros de una ecuación se les suma (o resta) un mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. x + 8 = -2 " x + 8 - 8 = -2 - 8 " x = -10

Ecuaciones

– Si los dos miembros de una ecuación se multiplican (o dividen) por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. 5x 15 5x = 15 " = " x = 3 5 5

Método general para resolver ecuaciones 1.o Eliminar paréntesis y operar. x x 3(x - 2) = " 3x - 6 = 3 3 2.o Eliminar denominadores y operar. x 3(3x - 6) = 3 ? " 9x - 18 = x 3

3.o Agrupar los términos con x en un miembro, y los términos independientes, en el otro. 9x - x = 18 " 8x = 18 4.o Despejar la x.


18 8x 18 = " x = 8 8 8

83

7


SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

ESQUEMA DE LA UNIDAD Medida

Longitud

Capacidad

Masa

Superficie

Volumen

Volumen y capacidad

84

Volumen y masa


7



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Inicio del sistema universal de medidas El establecimiento del Sistema Métrico Decimal en España fue un proceso largo y difícil. El Gobierno español adoptó este sistema de forma efectiva el 1 de julio de 1880. Desde 80 años antes, se había ido preparando la obligatoriedad definitiva, creando la Comisión de Pesas y Medidas, encargada de aprobar los patrones primarios y calcular las equivalencias entre las medidas tradicionales y las nuevas. El Gobierno español, en 1801, decretó una unificación fundada en las medidas hispanas tradicionales, concretamente la vara de Burgos y el sistema de pesos y medidas de Castilla. Tras numerosos debates, durante el reinado de Isabel II, el 19 de julio de 1849 se aprobó la Ley de Pesas y Medidas, que establecía el Sistema Métrico Decimal en el país y en las colonias americanas y asiáticas. En el texto aprobado se decía que la utilización obligatoria sería a partir del 1 de enero de 1853, pero en ese momento se inició un proceso de reforma con la creación de la Comisión de Pesas y Medidas, en la cual los problemas y dificultades, junto con los debates intelectuales a favor y en contra, se prolongaron durante casi 20 años. Finalmente el decreto de 14 de febrero de 1879 estableció la definitiva obligatoriedad del sistema a partir del 1 de julio de 1880. Esto supuso la ilegalización de las medidas tradicionales, pero, pese a la intensificación de los controles, la resistencia de las medidas antiguas duró varios decenios. La equivalencia entre las antiguas medidas de longitud y las oficiales era: – La vara de Castilla, equivalente a 0,8359 m, era utilizada en Álava, Ávila, Badajoz, Burgos, Cáceres, Cádiz, Córdoba, Cuenca, Granada, Guadalajara, Huelva, León, Málaga, Murcia, Ourense, Oviedo, Palencia, Pontevedra, Salamanca, Santander, Sevilla, Soria, Valladolid, Vizcaya y Zamora.

– La vara de Albacete, equivalente a 0,837 m, era utilizada en Albacete y Segovia. – El resto de provincias tenían su propia medida. La vara más corta era la de Teruel, con 0,768 m, y la más larga era la de Alicante, con 0,912 m.

– La vara de Madrid, equivalente a 0,943 m, era utilizada en Madrid y A Coruña.

Instrumentos de medida Hay instrumentos de medida, como el metro y las reglas graduadas, que se construyen en distintos materiales según la profesión. • Para grandes longitudes:

• Para pequeñas longitudes:

Cinta métrica de tela o de metal (albañiles, fontaneros, electricistas…).

Regla de madera (carpinteros).


Calibrador.

85

7



NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué significa? 2 hm 5,1 dam 27 m

¿Cómo lo escribimos? Expresa una medida de longitud en forma compleja.

Para expresar medidas en forma compleja se deja un espacio en blanco entre cada una de las unidades.

¿Qué significa?

kilo- (k)


Prefijo que expresa una cantidad equivalente a 1 000 unidades.

1 km Un kilómetro equivale a 1 000 metros. 1 kl

Un kilolitro equivale a 1 000 litros.

1 kg

Un kilogramo equivale a 1 000 gramos.

¿Qué significa?

hecto- (h)


Prefijo que expresa una cantidad equivalente a 100 unidades.

1 hm Un hectómetro equivale a 100 metros. 1 hl

Un hectolitro equivale a 100 litros.

1 hg

Un hectogramo equivale a 100 gramos.

¿Qué significa?

deca- (da)


Prefijo que expresa una cantidad equivalente a 10 unidades.

1 dam Un decámetro equivale a 10 metros. 1 dal Un decalitro equivale a 10 litros. 1 dag Un decagramo equivale a 10 gramos.

¿Qué significa?

deci- (d)

¿Cómo lo escribimos? Prefijo que expresa una cantidad equivalente a la décima parte de la unidad.

1 dm Un decímetro equivale a 0,1 metros. 1 dl

Un decilitro equivale a 0,1 litros.

1 dg

Un decigramo equivale a 0,1 gramos.

¿Qué significa?

centi- (c)

¿Cómo lo escribimos? Prefijo que expresa una cantidad equivalente a la centésima parte de la unidad.

1 cm Un centímetro equivale a 0,01 metros. 1 cl

Un centilitro equivale a 0,01 litros.

1 cg

Un centigramo equivale a 0,01 gramos.

¿Qué significa?

mili- (m)

86

¿Cómo lo escribimos? Prefijo que expresa una cantidad equivalente a la milésima parte de la unidad.

1 mm Un milímetro equivale a 0,001 metros. 1 ml

Un mililitro equivale a 0,001 litros.

1 mg Un miligramo equivale a 0,001 gramos.


7



ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un diagrama de árbol Estrategia

E n la resolución de un problema mediante un diagrama de árbol conviene seguir los cuatro pasos indicados: comprender el enunciado, plantear el problema mediante un diagrama de árbol, encontrar todas las posibilidades y comprobar las soluciones.

PROBLEMA RESUELTO 1

Una empresa vende parcelas triangulares, rectangulares y cuadradas. Las parcelas se pueden elegir grandes o pequeñas, con árboles o sin ellos. Averigua el número de tipos de parcelas y calcula la longitud de la valla de una parcela cuadrada de 0,8 hm de lado.


Hacemos un diagrama de árbol. Tamaño

Con árboles o sin árboles

En el diagrama se observa que hay 3 ? 2 ? 2 = 12 tipos de parcelas.

Triangular

La longitud de la valla de una parcela cuadrada de 0,8 hm es: 0,8 hm ? 4 = 3,2 hm = 320 m Rectangular

Cuadrada


Desde un pueblo M a otro N se puede ir por cuatro caminos diferentes. Desde el pueblo N hasta el pueblo P se puede ir por tres caminos distintos, y desde el pueblo P hasta el pueblo Q se puede ir por dos caminos.

a) ¿Por cuántos caminos diferentes se puede ir desde M hasta P? ¿Y de M hasta Q? b) ¿Cuál es la longitud de uno de los caminos si el tramo entre M y N mide 3 km 4 hm, de N a P hay 6 hm 4 dam y de P a Q hay 2 km 6 hm?

M"N"P"Q


87

7



PROYECTO MATEMÁTICO Unidades de medida antiguas En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Conocer medidas de longitud, capacidad y masa anteriores al Sistema Métrico Decimal. • Relacionar estas medidas con las del Sistema Métrico y establecer comparaciones entre ellas.

1

Medidas de capacidad para aceites

Medidas de longitud, capacidad y masa Antes de la adopción del Sistema Métrico Decimal, cada región, provincia y pueblo tenían sus propias unidades. Las más usadas eran las del reino de Castilla. Vamos a estudiar sus características.

Arroba

En las tablas puedes ver las equivalencias entre las distintas medidas.

Panilla

Arroba

Libra

Panilla

Onza

Libra

Medidas de peso

Una arroba equivale a 12,56 litro.

Arroba Libra Cuarterón Onza Adame Tomín Grano Arroba

25

Libra

4

16

Cuarterón

4

Onza

16

Adame

3

Tomín

12

Observa que: – 1 arroba = 25 libras – 1 libra = 4 cuarterones = 16 onzas Medidas de capacidad para áridos

– 1 cuarterón = 4 onzas Una arroba equivale a 11,5 kg.

Fanega Celemín Cuarterón Ochavo Ochavillo

Medidas de longitud

Fanega

Vara Pie Palmo Pulgada Línea Punto Vara

3

4

36

Pie

12

Palmo

9

12 4

Cuarterón

4

Ochavo

Pulgada

8

Una fanega equivale a 55,5 litros.

12

Línea

12


Una vara equivale a 0,836 metros.

a) ¿A cuántos kilos equivale cada medida de peso?

Medidas de capacidad para vinos y licores

b) ¿A cuántos metros y centímetros equivale cada medida de longitud?

Cántara Azumbre Cuartillo Cántara Azumbre

Copa

8 4

Cuartillo En este caso, una cántara son 16,1 litros.

88

Celemín

4

c) Establece las relaciones entre las medidas de capacidad de las tablas y su equivalencia en litros. d) ¿Qué relación existe entre la arroba de vino, la de aceite y la de áridos? e) ¿Qué dificultades crees que habría con tanta variedad de unidades de medida?


7 2



Otras medidas Archena es un pueblo de la provincia de Murcia, situado en la vega del Segura. Archena, como la mayoría de los pueblos de España, antes de la obligatoriedad de acoger un sistema único de pesas y medidas, tenía el suyo propio, que a lo largo del tiempo se ha ido manteniendo como patrimonio de su tradición e, incluso, lo utilizan los ancianos del lugar en sus compras y ventas agrarias, y también en el trueque.

Medidas de capacidad para áridos Fanega Fanega

Celemín

Medio

12

Celemín

2

Observa que 1 fanega equivale a 12 celemines y cada celemín a 2 medios. Una fanega equivale a 55,5 litros. ¿Qué equivalencias tiene el resto de medidas de capacidad para áridos con el litro? Medidas de capacidad para vinos y licores Una arroba para vinos equivale a 15,96 litros. ¿Qué equivalencia tiene el resto de medidas de capacidad para vinos con el litro? Medidas de capacidad para aceites Arroba Arroba

Cuarterón 4

Una arroba para aceite equivale a 12,56 litros.

La utilización de la medida de capacidad de 16,1 litros para una arroba de vino y de 12,56 litros para una arroba de aceite, se ha mantenido vigente en Archena y en gran parte del país. Las medidas antiguas de Archena y sus equivalencias con las actuales de metro, litro y kilo son: Medidas de peso Quintal

Arroba

Quintal

Libra

Onza

4

Arroba

25

Libra

16

Un quintal equivale a 46 kg. ¿Qué equivalencias tiene el resto de medidas de peso con el kilo actual? Medidas de longitud

¿Qué equivalencia tiene el resto de medidas de capacidad para aceites con el litro? HAZ ESTAS ACTIVIDADES. (Son problemas que podían plantearse en la época en la que las unidades no eran las mismas en España.) a) Un comerciante de Castilla desea realizar una compra de frutas y verduras a un agricultor de Archena. Para poderse entender necesitan saber la relación existente entre las medidas de peso de cada región. ¿Podrías ayudarlos? b) Un vinicultor de Archena quiere comprar vino a granel en Castilla para embotellar. ¿Qué relación hay entre las medidas de las dos regiones? c) Establece la relación entre las medidas de longitud de Archena y del reino de Castilla. d) En el tema de áridos y aceites la situación es más fácil porque la fanega y la arroba tienen la misma equivalencia en litros en Castilla y Archena. Establece un sistema de medida único que sirva para los dos sitios.

1 braza = 2,09 metros 1 palmo = 20,89 centímetros ¿Qué equivalencias tienen estas medidas con el metro? ¿Y entre sí? DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

89

7





Escribe estas medidas de longitud en centímetros. a) 4 m 2 dm 3 cm b) 22,372 km c) 9 km 9 hm 8 dm 1

Escribimos en la fila 1 las unidades de longitud de mayor a menor, la unidad principal y la unidad que nos piden.

2

Introducimos las medidas en las filas 2, 3 y 4 anotando cada cantidad en la celda correspondiente a su unidad.

3

Anotamos en H2 la suma del valor de cada unidad de longitud expresada en metros.

4

Escribimos en I2 la fórmula =H2*10^2, que transforma metros en la unidad pedida.

2

Considera que: 1 milla = 1 760 yardas

5. Copiamos el contenido de las celdas H2 e I2 y lo pegamos en las celdas siguientes de su misma columna.

ACTIVIDADES 1

Escribe estas medidas en decámetros y en decímetros. a) 1 km 2 hm 3 mm b) 3 344 556 677 mm c) 8 km 6 hm 5 dam 7 m 3 dm d) 1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm

90

1 yarda = 3 pies

1 pie = 12 pulgadas

a) Realiza una tabla que transforme cualquier medida del sistema anglosajón en pulgadas. b) Si 1 pulgada es 2,54 cm, ¿a qué velocidad en km/h equivale una velocidad de 55 millas/h?


7





PASO A PASO 1

1

Preparamos la tabla de conversión escribiendo en la fila 1 las unidades de longitud de mayor a menor, a continuación escribimos la unidad principal y en la última celda escribimos la unidad que nos piden.

2

2

Escribimos cada medida de longitud que queremos transformar en una fila distinta, usamos la fila 2, fila 3 y fila 4 respectivamente.

3

Asimismo debemos tener en cuenta las unidades en las que está expresada y escribir cada cantidad en su columna correspondiente.

3

En la celda H2 escribimos =A2*10^3+B2*10^2+ C2*10+D2+E2/10+F2/10^2+G2/10^3, que da como resultado 4,23.

4

4

5

Escribimos en la celda I2 la fórmula que transforma metros en centímetros. En la celda I2 escribimos =H2*10^2, que da como resultado 4,23.

5

Escribimos en la celda H2 la fórmula que convierte cualquier medida de longitud en metros.

Copiamos la fórmula de la celda H2 y la pegamos en las celdas H3 y H4 y aparecen los resultados 22 372 y 9 900,8 respectivamente. Copiamos la fórmula de la celda I2 y la pegamos en las celdas I3 e I4 y aparecen los resultados 2 237 200 y 990 080, respectivamente.


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7



MATEMÁTICAS CON ORDENADOR 1


Escribe estas medidas de longitud en centímetros. a) 4 m 2 dm 3 cm b) 22,372 km c) 9 km 9 hm 8 dm

1

Escribimos en la fila 1 las unidades de longitud de mayor a menor, la unidad principal y la unidad que nos piden.

2

Introducimos las medidas en las filas 2, 3 y 4 anotando cada cantidad en la celda correspondiente a su unidad.

3

Anotamos en H2 la suma del valor de cada unidad de longitud expresada en metros.

4

Escribimos en I2 la fórmula =H2*10^2, que transforma metros en la unidad pedida.

2

Considera que: 1 milla = 1 760 yardas

5. Copiamos el contenido de las celdas H2 e I2 y lo pegamos en las celdas siguientes de su misma columna.

ACTIVIDADES 1

Escribe estas medidas en decámetros y en decímetros. a) 1 km 2 hm 3 mm b) 3 344 556 677 mm c) 8 km 6 hm 5 dam 7 m 3 dm d) 1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm

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1 yarda = 3 pies

1 pie = 12 pulgadas

a) Realiza una tabla que transforme cualquier medida del sistema anglosajón en pulgadas. b) Si 1 pulgada es 2,54 cm, ¿a qué velocidad en km/h equivale una velocidad de 55 millas/h?


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PASO A PASO 1

1

Preparamos la tabla de conversión escribiendo en la fila 1 las unidades de longitud de mayor a menor, a continuación escribimos la unidad principal y en la última celda escribimos la unidad que nos piden.

2

2

Escribimos cada medida de longitud que queremos transformar en una fila distinta, usamos la fila 2, fila 3 y fila 4 respectivamente.

3

Asimismo debemos tener en cuenta las unidades en las que está expresada y escribir cada cantidad en su columna correspondiente.

3

En la celda H2 escribimos =A2*10^3+B2*10^2+ C2*10+D2+E2/10+F2/10^2+G2/10^3, que da como resultado 4,23.

4

4

5

Escribimos en la celda I2 la fórmula que transforma metros en centímetros. En la celda I2 escribimos =H2*10^2, que da como resultado 423.

5

Escribimos en la celda H2 la fórmula que convierte cualquier medida de longitud en metros.

Copiamos la fórmula de la celda H2 y la pegamos en las celdas H3 y H4 y aparecen los resultados 22 372 y 9 900,8 respectivamente. Copiamos la fórmula de la celda I2 y la pegamos en las celdas I3 e I4 y aparecen los resultados 2 237 200 y 990 080, respectivamente.


93

7





PRÁCTICA EXCEL Abre el libro NUMEROS_1 de tu carpeta personal e inserta una nueva hoja con el nombre Unidad07_1a. PRÁCTICA 1 1

Escribe las etiquetas de las unidades de medida en las celdas A1 y de A2 a G2.

2

Introduce en la celda G3 la fórmula: Te permitirá expresar en centímetros cualquier medida compleja. Observa que aparece un 0 en la celda G3 porque todavía no se ha introducido ningún dato en las celdas de su izquierda.

3

Copia la fórmula en las celdas G4 a G8.

4

Introduce los datos: en la celda D3 " 3 y en la celda E3 5 dm) y observa que aparece en la celda G3 " 350.

5

Introduce otros datos en las celdas de las filas 4 a 8 y comprueba cómo se transforman los resultados.

" 5 (o sea, 3 m

PRÁCTICA 2 1

Inserta una nueva hoja Unidad07_2a. Escribe las etiquetas de las unidades de superficie en las celdas A1 y de A2 a G2.

2

Introduce en la celda G3 la fórmula: Te permitirá expresar en cm2 cualquier medida de superficie compleja. Hay que multiplicar y/o dividir por 100 para pasar de una unidad a la siguiente. Observa que tienes un 0 en la celda G3 porque todavía no has introducido ningún dato.

Contenido 3

Copia la fórmula en las celdas G4 a G8 de la misma columna.

4

Escribe en la celda D3 " 430.

5

Introduce otros datos en las celdas de las filas 4 a 8 y comprueba cómo se transforman los resultados.

" 4,3 y observa que aparece en la celda G3 "

ACTIVIDADES 1

2

Inserta una hoja Unidad07_3a y haz de forma análoga una tabla que transforme a kilómetros y a milímetros cualquier unidad de medida que introduzcas. Ten en cuenta la fórmula de transformación que has de utilizar en cada caso. De forma análoga resuelve los siguientes casos: a) 5 kg 7 dag 8 dg a gramos

c) 65,48 hg a cg

b) 43 901 mg a gramos

d) 13 g 4 dg 7 cg a cg

3

Haz lo mismo con estas transformaciones de superficies y volúmenes. a) 4 km2 2 cm2 a m2 2

2

b) 53,73 hm a m

e) 6 hm3 89 dam3 31 m3 a dm3 f) 9 172 cm3 a dm3

c) 1 hm2 7 dam2 1 m2 a m2 g) 30 m3 12 dm3 3 cm3 a dm3 d) 83 124 mm2 a m2

h) 0,00489 hm3 a dm3

Ten en cuenta que la transformación de volúmenes es diferente de la de superficies.

Ten en cuenta las unidades ya que son transformaciones de masas.

94


7




Sistema Métrico Decimal

Múltiplos Unidades de longitud

miriámetro mam 10 000 m

kilómetro km 1 000 m

Submúltiplos

hectómetro hm 100 m

decámetro dam 10 m

metro m 1m

decímetro dm 0,1 m

Múltiplos Unidades de masa

miriagramo mag 10 000 g

kilogramo kg 1 000 g

mirialitro mal 10 000 ℓ

hectogramo hg 100 g

kilolitro kl 1 000 ℓ

decagramo dag 10 g

gramo g 1g

decigramo dg 0,1 g

kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2

hectolitro hl 100 ℓ

litro ℓ 1ℓ

decalitro dal 10 ℓ

decilitro dl 0,1 ℓ

Relación entre unidades de volumen, capacidad y masa

kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3

hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2

hectómetro cúbico hm3 1 000 000 m3

centilitro cl 0,01 ℓ

mililitro ml 0,001 ℓ

Submúltiplos decámetro cuadrado dam2 100 m2

metro cuadrado m2 1 m2

decímetro cuadrado dm2 0,01 m2

Múltiplos Unidades de volumen

centigramo miligramo cg mg 0,01 g 0,001 g

Submúltiplos

Múltiplos Unidades de superficie

milímetro mm 0,001 m

Submúltiplos

Múltiplos Unidades de capacidad

centímetro cm 0,01 m

centímetro cuadrado cm2 0,0001 m2

milímetro cuadrado mm2 0,000001 m2

Submúltiplos decámetro cúbico dam3 1.000 m3

Unidades de volumen

m3

Unidades de capacidad

kl

Unidades de volumen

m3

Unidades de masa

t


metro cúbico m3 1 m3

decímetro cúbico dm3 0,001 m3

centímetro cúbico cm3 0,000001 m3

milímetro cúbico mm3 0,000000001 m3

dm3

hl

dal

ℓ

cm3

dl

cl

dm3

q

mag

kg

ml cm3

hg

dag

g

95

8


PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Razón y proporcionalidad

Propiedad fundamental

Magnitudes directamente proporcionales

Problemas de proporcionalidad directa

Regla de tres simple directa

Porcentajes

Problemas de porcentajes

96


8



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Las medidas de los formatos DIN El sistema DIN ha sustituido a los folios, cuartillas, octavillas, etc., debido a que es un sistema proporcional que se relaciona con nuestra unidad de superficie: el metro cuadrado. La idea es buscar una medida de un rectángulo, DIN A0, cuya superficie sea de 1 m2, de tal manera que conserve la proporción, es decir, que si lo partimos en dos, los nuevos lados conserven la proporción original. a b b

Tipo

Largo a (cm)

Ancho b (cm)

A0

118,90

84,10

A1

84,10

59,45

A2

59,45

A3 A4

29,70

21,05

A5

a 2

a La razón entre a y b será la misma que entre b y , por lo que se ha de 2 a b cumplir que y, en el caso de DIN A0, el área será de 1 m2. = a /2 b Para que se cumplan estas dos condiciones, los valores aproximados son a = 118,90 cm y b = 84,10 cm. En el DIN A1, el largo será 84,10 cm y el ancho 59,45 cm, o sea que el largo es el ancho del DIN A0, y el ancho, la mitad del largo del DIN A0. Haciendo lo mismo, vamos obteniendo los diferentes tamaños. Observa la tabla, donde están algunas medidas de las diferentes hojas. El DIN A4 suele ser el formato que normalmente se utiliza para escribir y se suele llamar folio (aunque el folio es ligeramente mayor), el DIN A5 es la cuartilla, etc. Comprueba que la medida del DIN A4 de la tabla coincide con la real.

Aristóteles Aristóteles (384-322 a.C.) fue el preceptor de Alejandro Magno. Creó la Lógica y dividió las ciencias en tres grupos: Teóricas, Prácticas y Poéticas. Los principios básicos de la Lógica desde Aristóteles son: el principio de no contradicción y el del tercio excluso o del tercero excluido.


97

8





a c = =k b d

Indica una proporción y su constante de proporcionalidad.

La constante de proporcionalidad se representa por k.

a c = x b

Indica una proporción con un término desconocido.

Los términos desconocidos de una proporción se suelen expresar mediante x, y, z…

¿Qué significa?


Magnitud A

a1

a2

a3

…

m

Magnitud B

b1

b2

b3

…

n

¿Qué significa?

a1 ? b1 = a2 ? b2 = a3 ? b3 = … = m ? n

¿Qué significa?

c$ x

a c = , siendo x una cantidad x b desconocida, indica que a es proporcional a b como c lo es a x. La proporción

a c = . x b

¿Qué significa?

k % de C

98

Los puntos suspensivos expresan que todos los pares de valores mantienen la misma relación.


Indica la proporción

%

Las casillas con puntos suspensivos significan que la tabla tiene más valores intermedios que guardan la misma relación de proporcionalidad.


a1 a2 a3 m = = =… = n b1 b2 b3

a$ b

Los valores que puede tomar la magnitud A se expresan mediante a1, a2, a3… y los de la magnitud B mediante b1, b2, b3…


Indica que estamos expresando una cantidad en tanto por ciento.

Indica que de cada 100 partes de C tomamos k.

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos el tanto por la cantidad y dividimos entre 100. 16 $ 230 16 % de 230 $ = 36,8 100 Para expresar una fracción en tanto por ciento tomamos su expresión decimal y la multiplicamos por 100. 2 2 $ = 0,4 = 0,4 ? 100 % = 40 % 5 5


8



ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Empezar por el final Estrategia

P ara resolver un problema, generalmente se empiezan a utilizar los datos que aparecen en primer lugar. Pero hay otros problemas que se resuelven más fácilmente empezando por los datos del final y remontando el problema hacia atrás, usando finalmente los datos del principio. Si en algunos de los problemas hay datos que sobran, se prescinde de ellos.

PROBLEMA RESUELTO 1

Para favorecer la venta de un tipo de bocadillo, una cafetería estableció un precio muy económico. Al cabo de dos meses duplicó su precio. Cuando el dueño vio que el número de bocadillos servidos disminuía, b ajó el precio un 20 %. El precio final del bocadillo quedó en 96 céntimos de euro (0,96 €). ¿Cuál era el precio inicial del bocadillo?


En el siguiente esquema se resume el enunciado del problema, y se señala con flechas el proceso que se seguiría para obtener el dato del final (96 céntimos de euro). En e ste problema debemos ignorar los datos que sobran, que son los referidos al tiempo.

Precio inicial (P)

? 2

:2

Segundo precio (P')

? 0,80

0,96 € : 0,80

Según la parte final del enunciado, si se rebajó el precio un 20 %, el precio final (96 céntimos de euro) es el 80 % del precio anterior, P’.

El número 0,96 se obtiene multiplicando 0,80 por el precio P’: 0,80 ? P’ = 0,96; por ello, este precio P' se calcula dividiendo 0,96 entre 0,80; es decir, P’ = 0,96 : 0,80 = 1,20.

Conociendo este precio (P’ = 1,20), el precio inicial P se obtiene dividiendo 1,20 entre 2. Así, el precio inicial P es 60 céntimos de euro. :2 : 0,80 0,60 !—————————— 1,20 !—————————— 0,96


En una tienda hay tres tipos de televisores. El precio que tiene el mayor es 1 250 € y el precio del menor es el 20 % del valor de los otros dos. ¿Cuál es el precio del televisor mediano?

1 250 €


420 €

99

8



PROYECTO MATEMÁTICO La razón áurea En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Utilizar las razones de proporcionalidad en contextos reales para resolver problemas. • Trabajar con escalas en fotografías, calculando distancias a partir de distancias reales, y viceversa.

1

La razón áurea en geometría

Desde la antigüedad, el hombre ha utilizado las razones y proporciones en multitud de contextos, sobre todo geométricos, y en algunos casos copiado directamente de la Naturaleza. Una razón muy especial que encontramos en la Naturaleza es la conocida como razón áurea, o número de oro, que aparece en las dimensiones del organismo de algunos animales, flores, etcétera.

Pues bien, para que se cumpla esa proporción, la razón vale exactamente: F = 1,618033989... (un número decimal con infinitas cifras). Este número F se llama número de oro.

Se suele definir un rectángulo áureo como aquel que cumple que la razón entre la longitud y la altura es el a = F . 1,62. número de oro, es decir, que b

Dos segmentos están en proporción áurea cuando la longitud de la suma de ambos es al mayor como el mayor es al menor, es decir: AC AB

A

2

=

b

AB BC B

C

a

La razón áurea en la escultura y arquitectura

Leonardo da Vinci dedicó parte de su Tratado de pintura a expresar las proporciones armónicas entre las partes del cuerpo humano. Para ello realizó el famoso dibujo anatómico de la fotografía.

Otro contexto en el que aparece la razón áurea es la arquitectura, por ejemplo, en el Partenón.

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

a) Mide las dimensiones del rectángulo de la fotografía y calcula la razón. ¿Qué razón es?

HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Mide las dimensiones del rectángulo de la figura. b) Calcula la razón entre las dos longitudes. ¿Qué observas?

100

b) Si la altura real es de 18 metros, calcula la escala de la fotografía. c) ¿Cuál será el ancho de la fachada?


8 3



La razón áurea en la Naturaleza La razón áurea aparece en multitud de lugares en la Naturaleza como, por ejemplo, en la forma de los huevos: en general, la razón entre la altura y el ancho está comprendida entre los números F . 1,27 y F . 1,62.

OBSERVA LA VACA DE LA FOTOGRAFÍA Y REALIZA ESTAS ACTIVIDADES.

Veamos de forma gráfica cómo el tamaño de algunos animales guarda también esta proporción, es decir, la longitud dividida entre la altura es, normalmente, un decimal aproximado a 1,6, o, en forma de fracción, 8/5.

4

a) Mide las longitudes de la base y altura del rectángulo donde está inscrita la vaca. ¿Cuál es la razón entre las medidas? b) La vaca de la fotografía mide 1,4 metros de altura. ¿Cuál es la escala con la que se ha representado? c) ¿Y su longitud?

La razón áurea en otros contextos Observa los ejemplos que te damos a continuación, todos ellos son objetos de la vida diaria.

Observa las fotografías de los billetes de 5 € y 500 €.

En la fotografía tienes tarjetas de crédito.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Mide las dimensiones de una tarjeta. b) Calcula la razón entre la longitud y el ancho. c) Si puedes, obtén las dimensiones reales y, a partir de ellas, calcula la escala de la fotografía.

a) Mide las dimensiones de los billetes de las fotografías. b) Calcula la razón entre su longitud y su ancho.

Toma ahora un documento nacional de identidad. Su tamaño está relacionado con la razón áurea.

c) Averigua sus dimensiones reales y, a partir de ellas, calcula la escala de la fotografía.

a) Mide las dimensiones de tu DNI.

d) Las dimensiones de los billetes, ¿están en proporción áurea?

b) Calcula la razón entre la longitud y el ancho. ¿Qué observas? c) Si tuvieras una fotografía de un DNI que midiese 3 cm de largo y 4,8 cm de ancho, ¿a qué escala estaría hecha?

e) Elige otros billetes de valores diferentes e investiga la relación entre sus dimensiones.


101

8





Comprueba si la magnitud A presenta proporcionalidad directa con las magnitudes B, C y D.

Magnitud A

2

5

13

Magnitud B

0,5

1,25

3,25

Magnitud C

4

7

15

Magnitud B

26

10,4

4

1

Copiamos la tabla en la hoja de cálculo en el rango de celdas A1:D4.

2

Calculamos los cocientes de términos correspondientes escribiendo = B$1/B2 en B6.

3

Copiamos el contenido de la celda B6 y lo pegamos en las celdas B7:B8.

4

Ahora copiamos también el contenido de la celda B6 en las filas 6, 7 y 8 de las columnas C y D.

2

Comprueba, con distintos valores, esta propiedad:

5. C uando los cocientes son iguales anotamos proporcionalidad directa.

ACTIVIDADES 1

Comprueba si existe relación de proporcionalidad entre las siguientes magnitudes. a)

102

A

2

3

B

3

4,5

b) 5 A 7,5

B

-1

3

6

36

-12

-6

Si A es directamente proporcional a B y directamente proporcional a C, entonces B y C son directamente proporcionales.


8





PASO A PASO 1

1

Copiamos literalmente la tabla del enunciado. Para que los bordes de la tabla se vean seleccionamos en el menú Formato la opción Celdas…, y aquí en la pestaña Bordes marcamos la opción deseada.

2

2

Para comprobar si existe una relación de proporcionalidad directa calculamos los cocientes de cantidades correspondientes de dos magnitudes. Escribimos en la celda B6 = B$1/B2 y resulta 4.

3

3

4

Este programa presenta los resultados redondeados con dos decimales, para resultados más precisos cambiamos esta opción en Formato Celdas.

4

De nuevo copiamos la celda B6. Seleccionamos el rango C6:D8 y en ellas pegamos el contenido, obteniendo los cocientes buscados. El símbolo $ que precede al 1 fija el número de celda, de modo que al pegar la fórmula en las siguientes celdas los numeradores sean siempre cantidades de la magnitud M1.

5

Copiamos la celda B6 en las celdas B7 y B8.

5

Si las cantidades de una misma fila (en las filas 6, 7 y 8) son iguales existe una relación de proporcionalidad, que será directa.

Escribimos Proporcionalidad directa en la celda D6.


103

8





Comprueba si la magnitud A presenta algún tipo de proporcionalidad con las magnitudes B, C y D.

Magnitud A

2

5

13

Magnitud B

0,5

1,25

3,25

Magnitud C

4

7

15

Magnitud B

26

10,4

4

1

Copiamos la tabla en la hoja de cálculo en el rango de celdas A1:D4.

2

Calculamos los cocientes de términos correspondientes escribiendo = B$1/B2 en B6.

3

Copiamos el contenido de la celda B6 y lo pegamos en las celdas B7:B8.

4

Ahora copiamos también el contenido de la celda B6 en las filas 6, 7 y 8 de las columnas C y D.

2

Comprueba, con distintos valores, esta propiedad:

5. C uando los cocientes son iguales anotamos proporcionalidad directa.

ACTIVIDADES 1

Comprueba si existe relación de proporcionalidad entre las siguientes magnitudes. a)

104

A

2

3

B

3

4,5

b) 5 A 7,5

B

-1

3

6

36

-12

-6

Si A es directamente proporcional a B y directamente proporcional a C, entonces B y C son directamente proporcionales.


8





PASO A PASO 1

1

Copiamos literalmente la tabla del enunciado. Para que los bordes de la tabla se vean seleccionamos en el menú Formato la opción Celdas…, y aquí en la pestaña Bordes marcamos la opción deseada.

2

2

Para comprobar si existe una relación de proporcionalidad directa calculamos los cocientes de cantidades correspondientes de dos magnitudes. Escribimos en la celda B6 = B$1/B2 y resulta 4.

3

3

Copiamos la celda B6 en las celdas B7 y B8.

4

4

De nuevo copiamos la celda B6. Seleccionamos el rango C6:D8 y en ellas pegamos el contenido, obteniendo los cocientes buscados. El símbolo $ que precede al 1 fija el número de celda, de modo que al pegar la fórmula en las siguientes celdas los numeradores sean siempre cantidades de la magnitud M1.

5

5

Si las cantidades de una misma fila (en las filas 6, 7 y 8) son iguales existe una relación de proporcionalidad, que será directa.

Escribimos Proporcionalidad directa en la celda D6.


105

8





PRÁCTICA EXCEL PRÁCTICA 1

Contenido

Abre el libro NÚMEROS_1 e inserta la hoja Unidad08_1a para resolver de manera automática los problemas de porcentajes. Trabajaremos con los valores del Porcentaje – Total – Parte, teniendo en cuenta que cuando conocemos dos de estos valores podemos encontrar el valor que falta mediante la relación: Porcentaje ? Total = Parte 100 1

Escribe las etiquetas de la hoja tal como se ve en el margen.

2

Introduce las siguientes fórmulas.

3

a) En la celda D3:

.

b) En la celda D6:

.

c) En la celda D9:

.

Ahora introduce los siguientes datos:

En la celda B3 " 85 y en la celda C3 " 300

En la celda B6 " 1 200 y en la celda C6 " 876

En la celda B9 " 540 y en la celda C9 " 20 4

Constata que los resultados obtenidos coinciden con los que obtendrías haciendo los cálculos en tu libreta.

PRÁCTICA 2 1

Crea la hoja Unidad08_2a y prepárala con los rótulos de los ejemplos anteriores. Deja para cada ejercicio cuatro filas.

2

Resuelve los siguientes apartados introduciendo cada uno en la tabla adecuada: a) Porcentaje = 10

Total = 27

b) Parte = 12

Porcentaje = 12

c) Total = 125

Parte = 25

3

Del apartado a) queremos saber la parte, introducimos los datos en la primera tabla; del apartado b) queremos saber el total, introducimos los datos en la tercera tabla; y del apartado c) queremos saber el porcentaje, introducimos los datos en la segunda tabla.

4

Revisa los diferentes ejercicios y ejemplos que hay en tu libro de texto relacionados con porcentajes y usa la tabla para comprobar que los resultados que has calculado en tu libreta están bien.

Contenido

ACTIVIDADES 1

Usa la tabla de la práctica 2 para resolver el siguiente problema: En un grupo de 32 personas, el 25 % planea un viaje al extranjero para sus próximas vacaciones, 16 viajarán pero dentro del propio país y el resto pasarán las vacaciones en casa descansando. Indica los

106

porcentajes y las partes de cada uno de los grupos: los que viajan al extranjero, los que viajan en el propio país y los que no viajan.

Al terminar de realizar la actividad guarda el libro utilizando . "


8




Proporción a c = es una proporción si a ? d = b ? c b d

Proporcionalidad

Razón de una proporción 3 6 = = 0,75 $ Constante de la 4 8 proporcionalidad

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: • Al aumentar una al doble, triple…, la otra aumenta de la misma manera. • Al disminuir una a la mitad, un tercio…, la otra disminuye de la misma manera. Dos magnitudes directamente proporcionales cumplen que:

Magnitudes directamente proporcionales

• La constante de proporcionalidad entre dos cantidades correspondientes de cada una de ellas es siempre la misma. :2 ×2 Kilos

2

4

1

Precio por kilo

1,6

3,2

0,8

×2 :2

Regla de tres En hacer 5 cestas tardo 2 horas. ¿Cuánto tiempo necesito para fabricar 7 cestas? Cestas Problemas de proporcionalidad directa

Horas

j

2?7 5 ————" 2 " x = 5 = 2,8 horas 7 ————" x Reducción a la unidad Un estuche de 6 botellas de vino vale 22,20 euros. ¿Cuánto valen dos botellas de ese vino? 22,20 : 6 = 3,7 euros vale una botella 3,7 ? 2 = 7,4 euros valen las dos botellas

Porcentajes

Cálculo del porcentaje salen

Si de C $ A saldrán de 100 $ t A ? 100 de donde: t = C

14 % de 150 = 150 ?

14 = 150 ? 0,14 100

Cálculo del total

Cálculo de la parte

salen

saldrán Si de 100 $ t

Si de 100 $ t saldrán de C $ A t ?C de donde: A = 100


salen de C $ A A ? 100 de donde: C = t

107

9


RECTAS Y ÁNGULOS

ESQUEMA DE LA UNIDAD Rectas

Posiciones relativas de rectas

Semirrectas y segmentos

Mediatriz

Ángulos

Tipos de ángulos

Bisectriz

Posiciones relativas de ángulos

Sistema sexagesimal

Sumas y restas

108

Forma compleja e incompleja


9


RECTAS Y ÁNGULOS

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Ángulos en el reloj Los relojes tienen dos agujas: la horario, que indica las horas, y el minutero, que indica los minutos. Hay relojes que tienen otra manecilla que señala los segundos. La esfera de la mayoría de los relojes está dividida en doce partes iguales. Cada una de esas partes indica una hora. En estos relojes, cada uno de esos arcos mide: 360° : 12 = 30°. Durante una hora, la aguja horario recorre este arco de 30° (es decir, cada minuto avanza 0,5°), y la aguja minutero recorre el círculo completo del reloj, es decir, 360°. Por tanto, en una hora, el recorrido del minutero es 12 veces mayor que el recorrido del horario (360° : 30° = 12). ¿Qué ángulo forman las agujas horario y minutero del reloj cuadrado? Ese ángulo es la suma del ángulo que forma la aguja minutero con el punto que señala las 12, y el ángulo formado con ese mismo punto por la aguja horario. Observa que la aguja horario no está exactamente en las 2. Desde que estaba señalando las 12 han pasado 110 minutos, es decir, ha avanzado 55°. Ángulo aguja minutero: 30° ? 2 = 60°. Ángulo aguja horario: 110 ? 0,5° = 55°. El ángulo que forman ambas es, por tanto, de 60° + 55° = 115°.

Platón Platón (420-348 a.C.) ejerció una gran influencia en el desarrollo de las ciencias exactas. Fundó en Atenas la famosa Academia. En su entrada había un rótulo que decía: «Nadie entre aquí que no sepa Geometría». Entre otras frases características de Platón, se encuentran: «Los números gobiernan el mundo» o «Cuando Dios ordenó el mundo, lo adornó de formas y números».

El calendario Los babilonios, hace cerca de 6 000 años, ya dividían el año en 360 días. Para ello dividieron una circunferencia en 360 partes iguales, obteniendo el grado sexagesimal.


109

9


RECTAS Y ÁNGULOS


¿Cómo lo escribimos? Representa un punto. Aunque un punto no tiene dimensiones, se suele representar gráficamente mediante un punto lo suficientemente grueso como para que sea visible.

p

¿Qué significa?

Mediante una letra mayúscula. Se suelen utilizar las letras A, B, C…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario.


r

Mediante letras minúsculas. Se suelen utilizar las letras r, s, t…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario.

Representa una recta.

¿Qué significa?


r A

Representan una semirrecta de origen el punto A.

r A

¿Qué significa?

A


B

A

Representan un segmento de extremos los puntos A y B.

B

¿Qué significa?

Utilizando los nombres de sus extremos, el segmento se nombra AB, o bien AB.


B

Un ángulo se expresa: – Con el símbolo ^ sobre las tres letras que

A

C

determinan el ángulo, BAC, o bien CAB, Representan un ángulo.

A

A

de manera que quede en el centro la letra del vértice. – Con el símbolo ^ sobre la letra del vértice: A.

r

– Con el símbolo ^ sobre las letras que s

110

Mediante letras minúsculas. Las más usadas son r, s, t… En general, se puede utilizar cualquier letra del abecedario.

designan las rectas que lo forman, rs.


9


RECTAS Y ÁNGULOS

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un dibujo Estrategia

La estrategia consistente en hacer un dibujo para reflejar las condiciones del enunciado ayuda a resolver algunos problemas. Esta estrategia es especialmente útil en los problemas geométricos, ya que las relaciones y el razonamiento geométrico se entienden mejor cuando se trabaja sobre figuras construidas de acuerdo con el enunciado del problema.

PROBLEMA RESUELTO 1

Dibuja un ángulo AOB de 45°. Después, traza el ángulo BOC adyacente al ángulo AOB. Traza mediante plegado del papel las bisectrices de los ángulos anteriores. ¿Qué ángulo forman las bisectrices?


Hacemos el dibujo siguiendo las indicaciones del enunciado. N

B

135° 2

" 135°

C

45°

O

A

C

O

B 45° 2 M A

El ángulo BOC mide: 180° - 45° = 135°, y el ángulo MON que forman las bisectrices 45° 135° 180° mide: + = = 90°. 2 2 2 Comprueba que las bisectrices de dos ángulos adyacentes cualesquiera, a y 180° - a, son perpendiculares.

Para comprobar que las bisectrices de los ángulos a y 180° - a son perpendiculares, haz un dibujo análogo al anterior y procede como se ha hecho con los ángulos de 45° y 135°.


Dibuja un ángulo AOB de 120°. 1.° Señala un punto C en A el lado OA y un punto D en el lado OB. Traza C la recta r perpendicular al lado OA por el punto C, y la recta s perpendicular al lado OB por el punto D.

2

r

s

120°

B O

2.° Las rectas r y s se cortan en el punto P.

P

D

Dibuja un ángulo AOB de 60°. 1.° Traza mediante plegado la bisectriz OD del ángulo AOB. Señala un punto C en la bisectriz y traza por este punto la recta r perpendicular a la bisectriz. La recta r corta al lado OB en un punto S y al lado OA en el punto R.

2.° Traza por el punto R la recta perpendicular al lado OB. Esta recta corta al lado OB en el punto P.

Haz el dibujo y averigua el valor del ángulo PRS .

Averigua el valor del ángulo CPD .


111

9


RECTAS Y ÁNGULOS

PROYECTO MATEMÁTICO Ángulos en aeronaves En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer diferentes tipos de ángulos y líneas en los primeros modelos de aeronaves. • Resolver problemas sobre ángulos en relación con los autogiros y los aviones.

1

Identificación de distintos tipos de líneas en aeronaves

El primer vuelo con éxito fue precedido de siglos de sueños, estudio, especulación y experimentación. Muchos sabios de la antigüedad creían que para volar sería necesario imitar el movimiento de las alas de los pájaros. Finalmente, la Física y las Matemáticas fueron los pilares en los que se apoyaron los progresos de la aviación.

Siglo V. Se diseña el primer aparato volador: la cometa o papalote.

Siglo XIII. El monje inglés Roger Bacon, tras años de estudio, llegó a la conclusión de que el aire podría soportar un ingenio volador de la misma manera que el agua soporta un barco.

Siglo XV. El famoso científico e inventor italiano Leonardo da Vinci analizó el vuelo de los pájaros, e ideó unas alas con las que creía que el hombre podría volar. La experiencia demostró que eso no era posible.

Siglo XVIII. Los hermanos Montgolfier construyeron un globo que, al llenarlo de aire caliente, se elevaba soportando una cesta con los pasajeros.

Siglo XIX. Los globos se perfeccionan y evolucionan en los dirigibles.

Siglo XX. El día 17 de diciembre de 1903, cerca de Kitty Hawk, en el estado de Carolina del Norte, los hermanos estadounidenses Wilbur y Orville Wright realizaron el primer vuelo pilotado de una aeronave más pesada que el aire y propulsada por motor.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Observa la fotografía de la cometa. Si consideras los lados del cuerpo de la cometa como rectas, ¿qué posiciones tienen esas rectas entre sí? ¿Cómo son los ángulos que forman? b) Las rectas formadas por los dos palos que se entrecruzan en medio de la cometa, ¿cómo son? ¿Qué t ipo de ángulos forman al cortarse? c) Observa la fotografía de la máquina voladora de Leonardo y considera las varillas como rectas. ¿Qué posiciones de rectas ves en ella? ¿Cómo son los ángulos que forman algunas de esas rectas? d) Observa el aeroplano de los hermanos Wright. ¿Qué posición tienen las rectas formadas por las varillas respecto a los planos de las alas? ¿Cómo son esas rectas entre sí?

112


9 2


RECTAS Y ÁNGULOS

Cálculo de ángulos en autogiros y aviones

En 1920 el español Juan de la Cierva inventó el autogiro. El autogiro es un tipo de avión con una hélice arriba y que despega verticalmente. Es el antecedente de los helicópteros.

Los helicópteros son utilizados en gran cantidad de situaciones por su facultad de poder permanecer suspendidos sobre un determinado punto. Tienen múltiples diseños, variando el número de aspas de sus hélices.

RESPONDE A ESTAS PREGUNTAS. a) ¿Cuántas aspas tiene cada uno de los helicópteros de las fotografías anteriores? b) ¿En cuántas partes dividen esas aspas al círculo que forman al girar? ¿Cómo son esas partes? c) ¿Qué ángulo forma el par de aspas en cada uno de ellos?

Otro contexto donde aparecen los ángulos en los aviones es el ángulo de ataque, la inclinación del ala con respecto a la corriente del aire.

Al aumentar el ángulo de ataque aumenta la sustentación del avión, es decir, este se sujeta mejor en el aire. Este efecto de sustentación es el mismo que se produce al sacar la mano por la ventanilla de un coche e inclinarla. Sin embargo, la cantidad de sustentación que puede ser generada en los aviones de esta forma tiene un límite.

A partir de los 14 grados de ángulo de ataque, la fuerza de sustentación disminuye rápidamente, hasta que se pierde por la formación de remolinos alrededor de las alas. Se dice entonces que el avión ha entrado en pérdida y cae rápidamente. RESUELVE LAS SIGUIENTES CUESTIONES. a) Indica, para cada uno de estos ángulos de ataque, si el avión entraría en pérdida o no. a) 800’

c) 800’ 2 500”

b) 50 000”

d) 13° 57’ 200”

b) Expresa en minutos y en segundos el ángulo de ataque máximo.


113

9


RECTAS Y ÁNGULOS


GeoGebra www.geogebra.org

Dibuja un segmento, determina su mediatriz y comprueba que el ángulo que forma la mediatriz con el segmento es de 90°. 1

Seleccionamos la herramienta para dibujar segmentos, , que encontramos en la barra superior.

2

Marcamos, con el ratón, dos puntos, y aparece en la zona de trabajo el segmento que une dichos puntos.

3

Seleccionamos la herramienta para dibujar la mediatriz de un segmento, .

4

Colocamos el puntero del ratón sobre el segmento y pulsando en el botón izquierdo, aparece la mediatriz del segmento.

3

Comprueba que si dibujamos dos rectas que se corten en un punto y trazamos una perpendicular a cada una de ellas, las perpendiculares se cortan entre sí y el ángulo que forman mide igual que el ángulo formado por las rectas originales.

5. Seleccionamos la herramienta de medir ángulos, , y marcando los lados que definen el ángulo, aparece su medida en grados.

ACTIVIDADES 1

Dibuja una recta y dos rectas perpendiculares a ella. Comprueba, además, que cada uno de los ángulos que forman con la recta original mide 90º.

2

Dibuja un ángulo y determina su bisectriz.

114


9


RECTAS Y ÁNGULOS



PASO A PASO 1

1

Como queremos dibujar un segmento, seleccionamos la herramienta para dibujar segmentos: , que encontramos en la barra de herramientas de la parte superior de la pantalla.

La herramienta seleccionada aparece en negrita, y detrás sus argumentos:

Segmento entre Dos Puntos: Elegir dos puntos

2

2

Marcamos dos puntos en la pantalla señalando con el cursor y pulsando el botón izquierdo. Al pulsar en el segundo punto aparece el segmento.

3

3

Para dibujar la mediatriz del segmento seleccionamos la herramienta que dibuja la mediatriz de un segmento haciendo clic sobre el icono , de la barra de herramientas de la parte superior de la pantalla.

4

4

Colocamos el puntero del ratón sobre el segmento, en cualquier lugar del mismo, y pulsamos el botón izquierdo apareciendo la mediatriz del segmento.

5

5

Para medir el ángulo que forman ambas rectas seleccionamos la herramienta de medir ángulos: . Marcamos el ángulo que queremos medir señalando primero un lado del ángulo y luego el otro, teniendo en cuenta que esta herramienta mide ángulos en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Tras hacer esto nos aparece la medida del ángulo en grados.


115

9


RECTAS Y ÁNGULOS


CABRI

Dibuja un segmento, determina su mediatriz y comprueba que el ángulo que forma la mediatriz con el segmento es de 90°. 1

Seleccionamos la herramienta para dibujar segmentos, , que encontramos en la barra superior.

2

Marcamos, con el ratón, dos puntos, y aparece en la zona de trabajo el segmento que une dichos puntos.

3

Seleccionamos la herramienta para dibujar la mediatriz de un segmento, .

4

Colocamos el puntero del ratón sobre el segmento y pulsando en el botón izquierdo, aparece la mediatriz del segmento.

3

Comprueba que si dibujamos dos rectas que se corten en un punto y trazamos una perpendicular a cada una de ellas, las perpendiculares se cortan entre sí y el ángulo que forman mide igual que el ángulo formado por las rectas originales.

5. Seleccionamos la herramienta de medir ángulos, , y marcando los lados que definen el ángulo, aparece su medida en grados.

ACTIVIDADES 1

Dibuja una recta y dos rectas perpendiculares a ella. Comprueba, además, que cada uno de los ángulos que forman con la recta original mide 90º.

2

Dibuja un ángulo y determina su bisectriz.

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9


RECTAS Y ÁNGULOS


CABRI

PASO A PASO 1

1

Como queremos dibujar un segmento, seleccionamos la herramienta para dibujar segmentos: , que encontramos en la barra de herramientas de la parte superior de la pantalla.

2

2

Marcamos dos puntos en la pantalla señalando con el cursor y pulsando el botón izquierdo. Al pulsar en el segundo punto aparece el segmento.

3

3

Para dibujar la mediatriz del segmento seleccionamos la herramienta que dibuja la mediatriz de un segmento haciendo clic sobre el icono , de la barra de herramientas de la parte superior de la pantalla.

4

4

Colocamos el puntero del ratón sobre el segmento, en cualquier lugar del mismo, y pulsamos el botón izquierdo apareciendo la mediatriz del segmento.

5

5

Para medir el ángulo que forman ambas rectas, seleccionamos la herramienta de medir ángulos: . Marcamos el ángulo que queremos medir mediante tres puntos, el primero en un lado del ángulo, el segundo en el vértice y el tercero en el otro lado.

Tras hacer esto nos aparece la medida del ángulo en grados.


117

9


RECTAS Y ÁNGULOS

MATEMÁTICAS CON ORDENADOR PRÁCTICA CABRI Abre el programa CABRI. PRÁCTICA 1 1

Dibuja una recta horizontal. a) Activa la herramienta

del grupo RECTAS.

b) Cuando salga el lápiz en la ventana en blanco, pulsa con el botón izquierdo del ratón en un punto cualquiera de la hoja. c) Pulsa la tecla de lao mayúsculas y, al mismo tiempo, el botón izquierdo del ratón: se dibujará una recta horizontal. Escribe la etiqueta r a su lado. 2

Dibuja una recta paralela a la anterior. a) Activa la herramienta Recta paralela a una dada CONSTRUCCIONES.

, del grupo

b) Acércate a la recta dibujada y, cuando salga la mano y veas el rótulo de Paralela a esta recta (obsérvalo en el margen), pulsa el botón izquierdo del ratón. c) Sale el lápiz. Pulsa en otro punto cualquiera de la ventana, con la etiqueta: Por este punto y observa que aparece otra recta horizontal; etiquétala como s. 3

Dibuja la recta t de forma que corte a las dos rectas anteriores.

4

Para calcular el valor del ángulo superior izquierdo, activa la herramienta hedde de ángulo , del grupo CÁLCULOS; te dará el valor del ángulo determinado por tres puntos:

r

a) Un punto cualquiera de la recta t. Acércate a t y pulsa el botón cuando salga la mano con el rótulo: Sobre esta recta. t

s

b) El punto de intersección de las dos rectas. c) Un punto cualquiera de la recta r. 5

Observa que ha salido un número al lado del punto de intersección: es el valor del ángulo. Si no sale 120°, tendrás que mover con el puntero la recta t hasta que consigas este valor.

6

De manera análoga, calcula los otros ángulos.

7

FINAL: Guarda la figura creada con " carpeta o directorio con el nombre Unidad9_Ejercicio_83.

en tu

ACTIVIDADES 1

Usa las funciones de Cabri para dibujar dos rectas secantes y dibujar la mediatriz de cada una de ellas, así como la bisectriz del ángulo que forman. Mide los ángulos que se forman en el dibujo.

118

Cuando acabes, guárdalo con el nombre Unidad9_Practica02 en tu carpeta personal.

2

Usa Cabri para dibujar un triángulo y las bisectrices de sus ángulos. Con centro en el punto donde se cortan las bisectrices traza varias circunferencias. ¿Observas que alguna cumple una propiedad especial? Guarda el archivo con el nombre correspondiente.


9


RECTAS Y ÁNGULOS

RESUMEN DE LA UNIDAD Posiciones relativas • Secantes: cuando se cortan en un punto.

Rectas

• Perpendiculares: son dos rectas secantes que dividen el plano en cuatro partes iguales. • Paralelas: si no tienen ningún punto en común. • Coincidentes: cuando todos sus puntos son comunes.

Semirrectas y segmentos

Ángulos

Mediatriz de un segmento: recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.

Ángulos consecutivos. Tienen en común un vértice y un lado. Ángulos adyacentes. Son consecutivos y tienen los lados no comunes en la misma recta. Tipos de ángulos

Ángulos complementarios. La suma de sus amplitudes es 90°. Ángulos suplementarios. Sus amplitudes suman 180°. Ángulos opuestos por el vértice. Tienen el mismo vértice y sus lados están sobre las mismas rectas.

Relaciones entre ángulos

– Dos ángulos de lados paralelos o perpendiculares que son ambos agudos u obtusos, son iguales. – Dos ángulos de lados paralelos o perpendiculares que son uno agudo y el otro obtuso, son suplementarios.

Bisectriz de un ángulo: la semirrecta cuyo origen es el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales.

3 60

Sistema sexagesimal

hora

minuto : 60

1 h = 60 min

3 60

segundo : 60


1 min = 60 s 1° = 60’ 1’ = 60”

119

10


POLÍGONOS. TRIÁNGULOS

ESQUEMA DE LA UNIDAD Polígonos

Elementos

Clasificación

Triángulo

Clasificación

Suma de los ángulos

Relaciones entre los lados

Ángulos en polígonos

Rectas y puntos notables en triángulos

Teorema de Pitágoras

120


10



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Otros teoremas de Pitágoras El teorema de Pitágoras, muy importante en geometría, dice que si dibujamos tres cuadrados, de forma que cada uno tenga el lado igual que alguno de los tres lados de un triángulo rectángulo, se cumple que el área del cuadrado mayor es igual que la suma de las áreas de los otros dos. Ahora bien, ¿esto ocurre solamente si la figura que dibujamos es un cuadrado o sucede también con otras? En concreto, si tenemos un triángulo rectángulo y dibujamos tres semicírculos cuyos diámetros son los tres lados del triángulo, ¿hay alguna relación A2 entre las áreas de esos semicírculos? A1 c El radio de cada uno de los semicírculos a es la mitad del lado correspondiente, por b lo que sus áreas son: A3 2 1 c p ? c2 A1 = ? p e o = 2 2 8 y de igual forma: p ? b2 A2 = 8

A3 =

p ? a2 8

p 2 p 2 (c + b2) = a = A3, 8 8 puesto que al ser el triángulo rectángulo, se cumple que: a2 = b2 + c2. Luego se verifica la igualdad de áreas con semicírculos. Sumando las áreas: A1 + A2 =

Pitágoras

El inicio de la Geometría

Pitágoras (569-500 a.C.) nació en Grecia y fue discípulo de Tales. Formuló el famoso teorema de Pitágoras. Sus discípulos crearon la llamada Orden de Pitágoras, adoptando como símbolo la estrella pentagonal, al considerarla un símbolo de salud y hermandad.

Una de las historias sobre la aparición de las Matemáticas nos remonta al antiguo Egipto. El faraón Sesostris dividió la tierra del margen del Nilo de manera que cada agricultor recibiera un cuadrado igual, originándose con ello la Geometría. Recordemos que, precisamente, la palabra «Geometría» significa medida de tierras.


121

10





B t B

c

a

t C

t A A

Los vértices del triángulo se designan por letras mayúsculas, los lados con letras minúsculas y los ángulos con las mismas letras que los vértices y el símbolo ^.

b

C

Para representar un triángulo primero se nombran los vértices, comenzando por cualquiera de ellos. Las letras que se suelen utilizar son A, B, C… aunque es válida cualquiera del abecedario. Posteriormente se nombran los lados, que se designan con la letra minúscula de la que representa el vértice opuesto: a, b, c… Por último, los ángulos se designan añadiendo el símbolo ^ a la letra que representa su vértice, t… t, B t, C A Un triángulo se designa por las letras de sus vértices, ABC, con el símbolo

¿Qué significa?

¿Cómo lo escribimos? En un triángulo el punto en el que se cortan las medianas, es decir, las rectas que van de un vértice al punto medio del lado opuesto, se llama baricentro.

¿Qué significa?

Cateto

C

A

122

a

c

El baricentro se designa con la letra G porque es el centro de gravedad del triángulo, es decir, si colgamos el triángulo por ese punto, se mantiene paralelo al suelo, no se inclina hacia ningún lado.

¿Cómo lo escribimos? Hipotenusa

b

, ABC.

B Cateto

En un triángulo rectángulo el lado que es opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa y los lados que forman el ángulo recto son los catetos.

Normalmente a se corresponde con la hipotenusa y b y c son las letras usadas para designar a los catetos.


10



ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer dibujo y encontrar pautas Estrategia

E n algunos problemas problemas de geometría resulta de ayuda dibujar el problema que nos plantean, pero cuando el dibujo de este es muy complejo, es conveniente simplificar el problema e ir incrementando su dificultad poco a poco. A partir de los resultados obtenidos en este proceso dar con la solución final.

PROBLEMA RESUELTO 1

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 10 lados?


Podríamos dibujar un polígono de 85 lados y contar sus diagonales, pero como no es un dibujo que resulte sencillo, probamos primero a hacer dibujos de casos más sencillos y ver si encontramos una relación entre el número de lados de un polígono y el número de diagonales. N.º de lados

N.º de diagonales

N.º de lados

N.º de diagonales

3 lados

4 lados

5 lados

0 diagonales

2 diagonales

2 + 3 = 5 diagonales

6 lados

7 lados

2 + 3 + 4 = 9 diagonales

2 + 3 + 4 + 5 = 14 diagonales

Al ir trazando diagonales vemos cómo van siendo el resultado de la suma de los enteros desde el 2 hasta el n - 2, donde n es el número de lados.

De modo que para un polígono de 10 lados tendríamos la suma:

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 diagonales PROBLEMAS PROPUESTOS 1

La rosa mística es un dibujo que se hace a partir de una circunferencia, en ella se señala un número n de puntos y se unen mediante cuerdas.

Al lado puedes ver una rosa mística para 12 puntos. ¿Cuántos segmentos se han trazado?

Pista: Observa que es como trazar las diagonales de un polígono más sus lados.


123

10



PROYECTO MATEMÁTICO Geometría en las señales de tráfico En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer algunas señales de tráfico y su importancia para la regulación del tránsito vial. • Identificar los aspectos geométricos más relevantes de las señales de tráfico: forma, simetrías, etc.

PROBLEMAS PROPUESTOS Señales triangulares

1

Las señales de tráfico son un elemento vital para la ordenación de este. Por ello, es fundamental respetarlas siempre, tanto por nuestra seguridad como por la de los demás. Todas ellas tienen formas geométricas conocidas. Vamos a ver en este apartado las señales con forma triangular y a identificar algunos de sus aspectos geométricos más relevantes. Las señales triangulares indican peligro.

Todas estas señales constan de un triángulo equilátero rojo y algunos elementos en su interior. Las que vamos a considerar son:

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Observa la señal de cruce normal. ¿Tiene algún eje de simetría? Si lo tiene, indica cuál es. b) En la señal de doble sentido de circulación, ¿cuántos ejes de simetría puedes apreciar? Indica cuáles son. c) Observa la señal de peligro indefinido. Señala cuáles son sus ejes de simetría. d) En la señal de estrechamiento de la calzada, ¿cuántos ejes de simetría podemos encontrar? e) Observa la señal de ceda el paso. ¿Tiene algún eje de simetría? ¿Cuántos son? f) En la señal que indica peligro de animales sueltos, ¿podemos encontrar algún eje de simetría?

2

Cruce normal

Ceda el paso

Doble sentido de circulación

Peligro indefinido

Animales sueltos

Estrechamiento de la calzada

g) Diseña alguna señal de tipo triangular que indique un peligro. Di los ejes de simetría que posee.

Señales con forma poligonal no triangular

Vamos a ver a continuación algunas señales con forma de polígono y que no son triángulos. En general, las señales poligonales son cuadradas o rectangulares y de color azul, aunque hay excepciones.

Parada obligatoria en el cruce (en rojo)

124

Velocidad máxima aconsejable (en azul)

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Observa la señal de stop. ¿De qué polígono tiene forma? Si prescindes de las letras de su interior, ¿cuántos ejes de simetría tiene? ¿Cuáles son? Halla el número de diagonales y el valor del ángulo central e interior del polígono. b) La señal de 70 indica la velocidad máxima aconsejable en kilómetros por hora en un tramo. Si consideras los números, ¿tiene algún eje de simetría? ¿Y si no los consideras? Indica todos los que aprecies. c) ¿Para qué velocidades en kilómetros por hora tendría esta señal un eje de simetría? Indica los números de dos cifras y los ejes en cada caso.


10



Vamos a ver algunas señales poligonales más. Todas van en color azul. Son señales de tipo informativo.

Circulación paralela

Parada de taxis

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Observa la señal que indica circulación paralela. Si no consideras las flechas, ¿cuántos ejes de simetría tiene? ¿Y si las consideras? Indica, en los dos casos, cuáles son esos ejes. b) La señal de parada de taxis, ¿tiene algún eje de simetría? ¿Cuál es? ¿Cómo son los segmentos que forman la T? c) Las diagonales de las señales de circulación paralela y parada de taxis, ¿tienen igual longitud? ¿Son perpendiculares? d) La señal de camping, ¿qué forma tiene? ¿Posee algún eje de simetría considerando el dibujo? ¿Y sin considerarlo? e) Observa la señal de taller. ¿Cuántos ejes de simetría tiene si tenemos en cuenta el símbolo? ¿Y sin considerarlo?

Camping

3

Taller

f) ¿Cómo son las diagonales de las señales de camping y taller?

Otras señales de tráfico Una gran cantidad de señales de tráfico no tienen forma poligonal sino circular. Las señales circulares pueden ser de color rojo, indicando prohibición, blanco si indican fin de prohibición y azul si son señales de obligación. Vamos a ver algunos ejemplos.

REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Observa la señal de circulación prohibida. Indica todos los ejes de simetría que posee. b) Haz lo mismo para la señal de dirección prohibida. El rectángulo que hay dentro de esta señal, ¿está inscrito? ¿Por qué? c) Indica todos los ejes de simetría de la señal de parada y estacionamiento prohibidos.

Circulación prohibida (en rojo)

Dirección prohibida (en rojo)

d) Haz lo mismo para la señal de fin de prohibición de adelantamiento. ¿Cómo podrías modificar la señal para que tuviese un eje de simetría vertical? e) Indica todos los ejes de las señales de sentido obligatorio y velocidad mínima. f) ¿Para qué velocidades mínimas la señal tendría un eje de simetría horizontal?

Parada y estacionamiento prohibidos (en rojo)

Fin de prohibición de adelantamiento (en blanco)

Sentido obligatorio (en azul)

Velocidad mínima (en azul)


125

10





Calcula el incentro de un triángulo de vértices A, B y C y la circunferencia inscrita al mismo. 1

Seleccionamos la herramienta para dibujar un triángulo marcando sus tres vértices A, B y C.

3

Repetimos el proceso con los otros dos ángulos y dibujamos todas las bisectrices.

2

Con la herramienta , determinando el ángulo con tres puntos, dibujamos la bisectriz de uno de los ángulos.

4

Con la herramienta marcamos el punto de corte de las tres bisectrices, el incentro, I.

2

Comprueba que si trazas el triángulo que une tres de los vértices de un polígono regular, el circuncentro y el incentro coinciden.

5. Escogemos la herramienta , y con centro en el incentro trazamos la circunferencia inscrita.

ACTIVIDADES 1

Dibuja un triángulo obtusángulo de vértices A, B y C y calcula su circuncentro. Dibuja también su circunferencia circunscrita.

126


10





PASO A PASO 1

1

FPO

2

Si quisiéramos que el triángulo fuera equilátero escogeríamos la herramienta , marcamos 2 puntos que marca la longitud del lado y en el cuadro de diálogo que aparece escribimos 3 como número de lados, apareciendo un triángulo equilátero con la medida especificada.

2

Para dibujar la bisectriz de uno de los ángulos, seleccionamos la herramienta y marcamos los lados que delimitan el ángulo. Tras efectuar esta operación aparece la bisectriz del ángulo y la perpendicular a la bisectriz que pasa por el vértice, para que no aparezca dicha perpendicular hacemos clic sobre ella con el botón derecho del ratón y, en el menú que aparece, desmarcamos la opción Muestra Objeto.

3

Repetimos el proceso del paso anterior para los otros dos ángulos del triángulo y aparecen las otras dos bisectrices del triángulo.

4

Para marcar el incentro seleccionamos la herramienta y, marcando dos de las bisectrices, aparece señalado el incentro.

FPO

3

Para dibujar el triángulo seleccionamos , marcamos tres puntos distintos y completamos el trazado del triángulo marcando el primer punto que hemos escogido.

FPO

4

FPO

5

Se podría hacer también seleccionando la herramienta y situando el cursor sobre el punto donde se cortan las tres bisectrices, esta opción es menos aconsejable porque es mucho menos precisa.

5

FPO

Para dibujar la circunferencia inscrita, seleccionamos la herramienta , hacemos clic en el incentro y luego vamos aproximando el cursor hacia uno de los lados hasta que la circunferencia que se va formando toque a los tres lados del triángulo en un solo punto.


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10




CABRI

Calcula el incentro de un triángulo de vértices A, B y C y la circunferencia inscrita al mismo. 1

Seleccionamos la herramienta para dibujar un triángulo marcando sus tres vértices A, B y C.

3

Repetimos el proceso con los otros dos ángulos y dibujamos todas las bisectrices.

2

Con la herramienta , determinando el ángulo con tres puntos, dibujamos la bisectriz de uno de los ángulos.

4

Con la herramienta marcamos el punto de corte de las tres bisectrices, el incentro, I.

2

Comprueba que si trazas el triángulo que une tres de los vértices de un polígono regular, el circuncentro y el incentro coinciden.

5. Escogemos la herramienta , y con centro en el incentro trazamos la circunferencia inscrita.

ACTIVIDADES 1

Dibuja un triángulo obtusángulo de vértices A, B y C y calcula su circuncentro. Dibuja también su circunferencia circunscrita.

128


10




CABRI

PASO A PASO 1

1

Para dibujar el triángulo seleccionamos la herramienta y marcamos tres puntos que serán sus vértices.

, para hacerlo es También podemos dibujar un triángulo con necesario marcar tres puntos distintos y completar el polígono marcando el primer punto que hemos escogido.

Si queremos que el triángulo sea equilátero escogemos y dibujamos un polígono regular de tres lados.

2

2

Seleccionamos la herramienta y marcamos tres puntos, el primero punto sobre uno de los lados del triángulo que delimita el ángulo, el segundo punto es el vértice de dicho ángulo y el tercero lo marcamos en el otro lado del triángulo que delimita el ángulo. Tras efectuar esta operación aparece la bisectriz del ángulo.

3

3

Repetimos el proceso del paso anterior para los otros dos ángulos del triángulo y aparecen las otras dos bisectrices del triángulo.

4

4

Para marcar el incentro seleccionamos la herramienta y situamos el cursor sobre el punto donde se cortan las tres bisectrices y marcamos dicho punto.

5

Otra forma de hacerlo es seleccionar la herramienta y, marcando dos de las bisectrices, aparece señalado el incentro.

5

Para dibujar la circunferencia inscrita, seleccionamos la herramienta , hacemos clic en el incentro y luego vamos aproximando el cursor hacia uno de los lados hasta que la circunferencia que se va formando toque a los tres lados del triángulo en un solo punto.


129

10



MATEMÁTICAS CON ORDENADOR PRÁCTICA CABRI PRÁCTICA 1 C

1

Abre una figura y construye un triángulo acutángulo con la herramienta Triángulo , del grupo RECTAS. Crea los tres puntos que necesitas y, al mismo tiempo que señalas con el ratón cada uno de los vértices del triángulo, etiquétalos con A, B y C, respectivamente.

B

A

C p A

B

D

p A

q

2

Construye la mediatriz del lado AB con la herramienta Mediatriz del grupo CONSTRUCCIONES. Pulsa sobre este lado y verás que, junto con la mano, aparece el rótulo: Mediatriz de este lado del triángulo (obsérvalo al margen). Escribe la etiqueta p de la mediatriz.

3

Construye de la misma manera la mediatriz q del lado BC.

4

Con la herramienta Punto(s) de intersección del grupo PUNTOS, marca el punto donde se cortan las dos mediatrices y etiquétalo con la letra D. Obsérvalo en la figura del margen.

5

Construye la mediatriz del lado BC que falta. ¿Qué observas?

6

Con la herramienta ¿Pertenece? del grupo CONSULTA DE PROPIEDADES, comprueba que el punto D es un punto de la mediatriz: pulsa sobre el punto D y, después, sobre la mediatriz q. Observa que aparece un recuadro que dice: El punto está sobre el objeto.

7

¿Qué nombre tiene el punto D? ¿Cuál es su principal característica? Razona tu respuesta.

8

Construye la circunferencia de centro el punto D, y radio, la distancia al punto A, u otro vértice cualquiera. Observa al margen la circunferencia dibujada.

9

Con el Apuntador , pulsa el punto A y muévelo libremente, de manera que el triángulo pase a ser rectángulo u obtusángulo. Observa que el punto D puede estar dentro o fuera del triángulo, pero la propiedad de equidistar de los tres vértices sigue siendo válida.

C

q

D

B

10

FINAL: Guarda la figura creada en tu carpeta o directorio con el nombre Unidad10_Práctica1.

ACTIVIDADES 1

De forma análoga, haz dibuja las medianas de un triángulo ABC acutángulo. Ten en cuenta que tendrás que utilizar la herramienta Punto medio del grupo CONSTRUCCIONES. ¿Dónde se cortan esas medianas?

130

2

Con la herramienta del grupo CÁLCULOS, halla la distancia del baricentro hasta cada uno de los vértices, y comprueba que es el doble que la distancia a los puntos medios de cada lado opuesto. Guarda el archivo con el nombre correspondiente.


10



RESUMEN DE LA UNIDAD Un polígono de n lados: Polígonos

– Se puede dividir en n - 2 triángulos. – La suma de todos sus ángulos es 180º ? (n - 2).

Polígono regular de n lados: Polígonos regulares

t = Ángulo interior: A

180c _ n - 2i

t = 360c Ángulo central: B n

n

D C

E

Ángulo interior Ángulo O central

F G

B A

36° H

I

t = 180c$ 8 = 144c D 10 360c % IOJ = = 36c 10

J

Triángulos

Medianas y baricentro G

G Puntos y rectas notables

Alturas y ortocentro H

Mediatrices y circuncentro O

O

Bisectrices e incentro I

I H


131

11


CUADRILÁTEROS Y CIRCUNFERENCIA

ESQUEMA DE LA UNIDAD Cuadriláteros

Paralelogramos

Construcción

Propiedades

Polígonos regulares

Elementos

Polígonos inscritos

Posiciones relativas

Punto y circunferencia

Recta y circunferencia

Círculo

132


11



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Polígono regular de 65 537 lados La construcción de polígonos regulares con el método clásico de regla y compás solo en posible para unos números muy especiales, que se conocer como número primos de Fermat. Estos se obtienen dando valores a n en la expresión: n

Fn = 2 2 + 1 Los cinco primeros números primos de este tipo son: 3, 5, 17, 257 y 65 537. En la Universidad de Göttingen hay un cofre que contiene un manuscrito en el que se expone la construcción, usando tan sólo regla y compás, de un polígono regular de 65 537 lados. Coxeter fue el matemático que consiguió construir el 65 537gono y para ello tardó alrededor de unos diez años. El siguiente número primo de Fermat es 4 294 967 297. Con esta cantidad de lados, construir el polígono usando regla y compás parece una tarea difícil de completar en un tiempo razonable.

La cuadratura del círculo En el lenguaje común cuando se quiere decir que algo es imposible o muy difícil de resolver se dice que “eso es la cuadratura del círculo”. Esto proviene de un problema matemático muy popular y que intentó resolverse durante muchos siglos sin éxito, ya que es irresoluble, lo que se probó en el siglo XIX. El problema consiste en hallar con regla y compás un cuadrado con la misma área que un círculo dado.

Los Elementos de Euclides Euclides fue un matemátigo de la Grecia Clásica que en su libro Los Elementos, recopiló la mayoría del conocimiento matemático de la época. Su libro está considerado uno de los libros de texto más utilizado de la historia y es el segundo libro, tras la Biblia, con mayor número de ediciones publicadas.


133

11



NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué significa? En un polígono regular el segmento que une el centro con el punto medio de cada uno de los lados se conoce como apotema. Y el segmento que une el centro con cada uno de los vértices es el radio.

¿Cómo lo escribimos? La apotema es un valor que se usa mucho al trabajar con polígono, ya que nos sirve para calcular su área, se escribe con la letra a. El radio se indica con la letra r y los lados normalmente con la letra l.

radio

apotema

¿Qué significa?

d

d D


d Representa la diagonal de un polígono.

La diagonal, d, de un polígono es el segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono.

D y d Indican las dos diagonales de un rombo.

Las diagonales de un rombo se representan por d, la diagonal menor, y por D, la mayor

¿Qué significa?


C

134

r

Indica el radio de una circunferencia.

D

Indica el diámetro de una circunferencia.

C

s la notación usada para designar E a una circunferencia.

D r

Una circunferencia se suele nombrar mediante una letra mayúscula, normalmente C. A veces, cuando tenemos más de una circunferencia se denominan C1, C2, C3… El radio y el diámetro se suelen representar mediante las letras r y D (o d ), respectivamente.


11



ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Imaginar el problema resuelto Estrategia

La estrategia de imaginar el problema resuelto es útil en los problemas de construcciones geométricas. Se empieza trazando a mano alzada una figura aproximada a la que queremos construir. De la observación de esta figura se obtiene generalmente un método para construir la figura.

PROBLEMA RESUELTO 1

A

Dados los puntos no alineados A, B y C, construye un paralelogramo en el que AC sea una de las diagonales.


Imaginemos el problema resuelto en la figura de la derecha. El problema quedará resuelto cuando se determine el vértice D.

c

A

D

B

A

" C

B

C

B

Una forma de determinarlo es la siguiente: & 1.º Dibuja el triángulo ABC. 2.º Por A se traza una paralela al lado BC y por C, una paralela al lado AB. Haz en tu cuaderno esta construcción. ¿Cómo resolverías el problema utilizando la propiedad de que las diagonales se cortan en su punto medio?


Dadas dos rectas r y r ' que se cortan en el punto A y un punto C, traza y explica la construcción de un paralelogramo ABCD, de modo que el punto B esté en la recta r y el punto D en la recta r '. Imagina el problema resuelto haciendo la figura correspondiente.

2

Se sabe que las rectas r y s son ejes de simetría de un rectángulo. Dibuja el rectángulo.

r

s

r C

A

r '


135

11



PROYECTO MATEMÁTICO Circunferencias y sus usos En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer las circunferencias y círculos en objetos que encuentras a tu alrededor. • Identificar los usos de esos objetos y valorar el por qué de su forma geométrica.

1

Ruedas

Debido a su forma, la circunferencia se desliza perfectamente, lo que la hace la figura geométrica más apropiada para usar como mecanismo que nos permita desplazarnos.

Es uno de los primeros inventos de la Humanidad y se cree que tiene su origen en el siglo V a.C.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuáles crees que son los problemas que podrían surgir si en vez de una bicicleta tener las ruedas con forma de circunferencia estas fuesen un polígono cualquiera?

Las primeras ruedas eran discos de madera con un eje. Posteriormente se vio que cambiando su diseño a un aro con ejes, las ruedas eran más ligeras y permitían que los vehículos fuesen más rápidos.

2

b) Da algunas ideas de cómo pudo surgir la idea de usar la circunferencia como herramienta para trasladar cosas. Si no se te ocurre nada piensa en el material por el que estaban formadas las primeras y la forma natural del elementos del que se extrae.

Relojes

Fíjate que aunque los relojes ahora los haya de muchas formas, las agujas giran recorriendo un círculo.

Ten en cuenta que los relojes se basan en un sistema sexagesimal, de 60 minutos, para ello resulta fácil usar la circunferencia, porque con sus 360º, que es un múltiplo de 60, se puede dividir en partes iguales de modo que se haga fácil.

136

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuánto mide los ángulos en los que se queda dividido el reloj al dividirlo en 60 minutos? b) Diseña un reloj de aguja que en vez de moverse en círculo avanza de algún otro modo.


11 3



Engranajes Aunque están dentadas, son circunferencias o círculos las figuras que se usan en los engranajes de muchas máquinas. Estas circunferencias dentadas transmiten el movimiento al rodar o al deslizarse una sobre otra. En los engranajes de distintos tamaños, el engranaje más pequeño se llama piñón, y el más grande se llama rueda.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Hay 5 engranajes conectados en fila (el primero conectado el segundo, el segundo al tercero y así en adelante).

El primer engranaje está girando en el sentido de las agujas del reloj. ¿En que sentido está girando el quinto engranaje?

b) Tenemos dos ruedas dentadas formando un engranaje, una es de 8 dientes y la otra de 18 dientes.

Marcamos los dientes iniciales de conexión con una X. ¿Cuántos dientes del piñón deben pasar para que vuelvan a coincidir las X? ¿Cuántas vueltas dará cada una de las ruedas del engranaje?

c) Investiga en Internet sobre diferentes máquinas que usen engranajes y su funcionamiento.

Haz un esquema y piensa en su funcionamiento. Dos ruedas dentadas consecutivas ¿girarán en el mismo sentido o en sentidos opuestos?

4

Más objetos redondos En nuestro entorno nos encontramos con muchos objetos redondos más:

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Escoge un objeto con forma de circunferencia o círculo e investiga su historia y el por qué de su forma: ¿se debe a una función práctica, a algo natural o es fruto del diseño? b) Del mismo modo que la forma circular es la óptima en muchos casos, hay en ocasiones que son preferibles los polígonos. Piensa tres cosas en los que la forma circular no es beneficiosa.


137

11




Geogebra www.geogebra.com

Dibuja una circunferencia con una recta que la corte, una recta tangente y una exterior. Y comprueba que se cumplen las relaciones vistas entre el radio y la distancia al centro de la circunferencia. 1

Seleccionamos las herramientas y para dibujar la circunferencia y la recta exterior y secante.

2

Ahora dibujamos un punto exterior a la circunferencia y con la herramienta trazamos las tangentes.

3

Trazamos un segmento que una el centro con un punto de la circunferencia y calculamos su longitud con .

4

Usando , trazamos perpendiculares a cada una de las rectas y que pasen por el centro de la circunferencia.

2

Traza una circunferencia tangente a otra circunferencia. ¿Podrías luego trazar una recta tangente a ambas?

5. Traza segmentos que unan el centro con los puntos de corte de las perpendiculares y la recta y mide sus longitudes. Compáralas con el radio de la circunferencia.

ACTIVIDADES 1

Traza una recta exterior a una circunferencia que diste de esta el doble de su radio. Y una interior que diste la mitad.

138


11




Geogebra www.geogebra.com

PASO A PASO 1

1

2

Puedes cambiar el color de alguno de los elementos, seleccionándolo, dándole al botón derecho del ratón y escogiendo Propiedades. Luego en la pestaña Color, selecciona el color que quieras.

2

3

Usando , trazamos perpendiculares a cada una de las rectas. Las movemos hasta que pasen por el centro de la circunferencia. Para no confundir las rectas podemos seleccionarlas, con el botón derecho del ratón escoger Propiedades y ahí cambiar su color y trazo.

5

Medimos el radio, para ello trazamos un segmento de la longitud del radio usando la herramienta y seleccionando los dos puntos que tenemos marcados en la circunferencia (el centro y un punto de la circunferencia). y seleccionando el Luego calculamos su longitud con segmento, en este caso mide 1,55 cm.

4

5

Para dibujar las rectas tangentes, primero necesitamos marcar un punto exterior a la circunferencia con . Después con la herramienta , seleccionamos el punto y la circunferencia y aparecen las tangentes a la circunferencia que pasan por ese punto.

3

4


Con la herramienta intersección , marca los puntos de corte de las rectas con sus perpendiculares. Luego traza segmentos uniendo cada uno de estos puntos con el centro de la circunferencia, para ello usa . Finalmente mide las distancias de estos segmentos con y comprueba que la de la recta interior, 1,2 cm, es menor que el radio. Que la distancia a la recta tangente, 1,55 cm, es igual al radio, y que la distancia a la recta exterior, 4,7 cm, es mayor que el radio.


139

11




Cabri

Dibuja una circunferencia con una recta que la corte, una recta tangente y una exterior. Y comprueba que se cumplen las relaciones vistas entre el radio y la distancia al centro de la circunferencia. 1


3

Trazamos un segmento que una el centro con un punto de la circunferencia y calculamos su longitud con .

2

4

Ahora dibujamos un punto en la circunferencia y con la herramienta trazamos la tangente.

Usando , trazamos perpendiculares a cada una de las rectas y que pasen por el centro de la circunferencia.

5. Traza segmentos que unan el centro con los puntos de corte de las perpendiculares y la recta y mide sus longitudes. Compáralas con el radio de la circunferencia.

ACTIVIDADES 1

Traza una recta exterior a una circunferencia que diste de esta el doble de su radio. Y una interior que diste la mitad.

140

2

Traza una circunferencia tangente a otra circunferencia. ¿Podrías luego trazar una recta tangente a ambas?


11




Cabri

PASO A PASO 1

1

Seleccionamos las herramientas y para dibujar la circunferencia y la recta exterior y secante. Puedes cambiar el color de alguno de los elementos, seleccionándolo, dándole al botón derecho del ratón y escogiendo Propiedades. Luego en la pestaña Color, selecciona el color que quieras.

2

2

Para dibujar la recta tangentes, primero necesitamos marcar un punto de la circunferencia después con la herramienta , seleccionamos el punto y la circunferencia y aparecen las tangentes a la circunferencia que pasan por ese punto.

3

3

Medimos el radio, para ello trazamos un segmento de la longitud del radio usando la herramienta y seleccionando los dos puntos que tenemos marcados en la circunferencia (el centro y un punto de la circunferencia).

4

y seleccionando el Luego calculamos su longitud con segmento, en este caso mide 4,35 cm.

4

5

Para no confundir las rectas podemos seleccionarlas, con el botón derecho del ratón escoger Propiedades y ahí cambiar su color y trazo.

5

Usando , trazamos perpendiculares a cada una de las rectas. Las movemos hasta que pasen por el centro de la circunferencia.

Con la herramienta intersección , marca los puntos de corte de las rectas con sus perpendiculares. Luego traza segmentos uniendo cada uno de estos puntos con el centro de la circunferencia, para ello usa . Finalmente mide las distancias de estos segmentos con y comprueba que la de la recta interior, 2,5 cm, es menor que el radio. Que la distancia a la recta tangente, 4,35 cm, es igual al radio, y que la distancia a la recta exterior, 5 cm, es mayor que el radio.


141

11



MATEMÁTICAS CON ORDENADOR PRÁCTICA GEOGEBRA PRÁCTICA 1 1

2

Construye un pentágono regular inscrito en una circunferencia dada con Geogebra. Para ello dibuja una circunferencia cualquiera con la herramienta Y traza uno sus diámetros.

.

Divide el diámetro en tantas partes iguales como lados tenga el polígono, para ello utiliza la herramienta , pincha en los extremos del diámetro y escala por 1/5, 2/5, 3/5 y 4/5; de esta forma se generan 4 puntos que dividen el diámetro en 5 partes iguales.

3

Desde los extremos del diámetro se trazan dos arcos, con radio el diámetro, que se cortan en un punto.

4

Se traza una semirrecta que pase por el punto calculado y el segundo punto de división del diámetro con la herramienta . El corte con la circunferencia es el siguiente vértice del polígono.

5

Con el compás

se mide el arco entre los dos

vértices y se va trasladando el punto por la circunferencia hasta completar el resto de vértices.

ACTIVIDADES 1

Siguiendo el mismo procedimiento de la práctica 1, dibuja un heptágono inscrito en una circunferencia.

2

Si dibujases un cuadrado, ¿cuál sería la longitud del segmento del paso 2?

142

3

Sabiendo que el lado del hexágono regular inscrito coincide con el radio de la circunferencia, idea un modo de dibujar en Cabri el hexágono inscrito en una circunferencia dada que sea diferente del descrito.


11



RESUMEN DE LA UNIDAD Trapezoides

Cuadriláteros

Trapecios

No tienen lados paralelos.

Tienen dos lados paralelos.

Trapecio isósceles Trapecio rectángulo

Trapecio escaleno

Paralelogramos. Tienen los cuatro lados paralelos dos a dos. Rombos

Circunferencias

Rectángulos

Cuadrados

Posiciones relativas

De una recta y una circunferencia r

De dos circunferencias Exteriores C

r

t

r’

Tangentes exteriores C’

C

d

s

C

tangentes: t y C

Ángulos en una circunferencia

C

r

r r’

d = r - r’

Concéntricas C

C’

r r’

d < r - r’

Ángulo central

Ángulo inscrito

Ángulo semiinscrito

Ángulo interior

% AB

% AB 2

% AB 2

% $ AB + CD 2


C’

d < r + r’

C’ d

r’ d

Interiores C

C’ d

exteriores: r y C

C’

d = r + r’

Tangentes interiores

secantes: s y C

r’ d

d > r + r’ C

r

Secantes

d=0

Ángulo exterior

% $ AB - CD 2

Ángulo circunscrito

% $ AB - CD 2

143

12


PERÍMETROS Y ÁREAS

ESQUEMA DE LA UNIDAD Perímetros

Longitud de una circunferencia

Longitud de arcos

Áreas

Áreas de paralelogramos y triángulos.

144

Áreas de polígonos regulares

Áreas del círculo y de figuras compuestas


12



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Descomposición de polígonos Las Matemáticas recreativas han atraído desde siempre la atención del ser humano. Muchas cuestiones profundas han partido de simples juegos o acertijos. Uno de los campos donde existe una gran cantidad de posibilidades es la Geometría. Vamos a ver a continuación algunos juegos de descomposición de polígonos. En ellos puede resultar interesante que fabriques las piezas que aparecen y las manipules para comprobar los resultados, aunque también lo será que razones a partir de la observación de dibujos. En este tipo de juegos se descompone un polígono en partes para formar otro u otros polígonos con ellas. En la siguiente figura verás cómo podemos, a partir de un hexágono regular, obtener un rectángulo. Basta con descomponer el hexágono en partes y reagruparlas.

Observa que la altura del rectángulo resultante es igual a la apotema del hexágono y que su longitud es tres veces el lado del hexágono. De igual forma resulta sencillo obtener un rectángulo a partir de cualquier triángulo isósceles. Basta con partirlo por la mediatriz del lado desigual y luego reagrupar las partes. Puedes verlo en las figuras del margen.

El círculo zodiacal

Arquímedes

Los babilonios eran excelentes astrólogos y bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Así, dividieron el círculo zodiacal en 12 · 30 = 360 partes.

Arquímedes (287‑212 a.C.) nació y murió en Siracusa (Sicilia). Fue, sin duda, el mayor matemático y físico de la antigüedad.

De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados.

En Geometría, estudiando los perímetros de los polí‑ gonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, obtuvo el valor aproximado del número p. En Física, estableció la ley de la palanca, y, en Hidrostática, la ley que lleva su nombre.


145

12



NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué significa? p


Indican el valor del perímetro. D

El perímetro de un polígono se representa mediante las letras p o P.

C

P

A

B

¿Qué significa?

A

¿Cómo lo escribimos? El área de un polígono se suele representar por la letra A. D·d Por ejemplo, el área de un rombo es A = . 2

Indica el área de un polígono.

¿Qué significa?

p


Representa un número con infinitas cifras decimales. Para trabajar con él se suele tomar una aproximación decimal del mismo, p = 3,14.

¿Qué significa? a

El cociente de la longitud de una circunferencia entre su diámetro es una razón constante para cualquier circunferencia que llamamos pi y escribimos p.


Esta letra, en los polígonos, indica la apotema.

La apotema es el segmento que va desde el centro de un polígono regular al punto medio de un lado. a

146


12



ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Reducir el problema a otro conocido A veces, para facilitar la resolución de un problema, lo reducimos a otro ya conocido. En los siguientes problemas se trata de hallar el área de un polígono irregular que, en principio, es difícil de calcular. Para hallar esta área descomponemos el polígono en otros polígonos de áreas conocidas (triángulos y trapecios) mediante una diagonal y las perpendiculares trazadas a la diagonal por los vértices.

Estrategia

PROBLEMA RESUELTO En un terreno que tiene la forma que indica la figura se quiere construir un gimnasio. El plano del terreno está hecho a escala 1 : 1 000. ¿Cuál es el área que va a tener el gimnasio, en metros cuadrados? Planteamiento y resolución Tenemos que trazar una diagonal que nos ayude a obtener otras figuras de áreas conocidas.

Escala 1 : 1 000

1.º Trazamos la diagonal BE y las perpendiculares a esta desde los vértices A, C y D. Así, el polígono queda & & & descompuesto en tres triángulos: ABE, BCF, HDE, y un trapecio: FCDH. 2.º Tomamos las medidas necesarias para calcular el área de estas figuras y hallamos su valor real. BE = 6,5 cm " 6,5 ? 1 000 = 6 500 cm = 65 m

A B

F

G

H

E

AG = 0,6 cm " 0,6 ? 1 000 = 600 cm = 6 m BF = 1,1 cm " 1,1 ? 1 000 = 1 100 cm = 11 m FC = 1,3 cm " 1,3 ? 1 000 = 1 300 cm = 13 m HE = 1,9 cm " 1,9 ? 1 000 = 1 900 cm = 19 m

C D

HD = 2 cm

" 2 ? 1 000 = 2 000 cm = 20 m

65 ? 6 & Área del triángulo ABE = = 195 m2 2 Calcula el resto de las áreas y halla el área total del gimnasio.


El siguiente plano está hecho a escala 1 : 1 800 y representa el plano de una parcela. ¿Cuál es el área de la parcela, en metros cuadrados?

2

El siguiente plano está hecho a escala 1 : 2 000 y representa el plano de un parque. ¿Cuál es el área del parque, en hectáreas?

Escala 1 : 1 800


Escala 1 : 2 000

147

12



PROYECTO MATEMÁTICO Teselaciones del plano En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Averiguar qué polígonos regulares sirven para enlosar o teselar el plano. • Determinar la figura base de una teselación. • Realizar teselaciones sencillas con polígonos.

1

Teselación del plano

Seguro que muchas veces has visto enlosado el suelo con baldosas de distintas formas. Todas ellas encajan sin dejar ningún hueco entre sí. Teselar el plano viene a ser algo similar.

Así, teselar el plano es recubrirlo con copias de una misma figura plana, de manera que no se superpongan y no dejen huecos entre ellas.

En la fotografía se ve un conjunto de celdillas hexagonales fabricadas por las abejas. Este conjunto de hexágonos es un ejemplo de una teselación o enlosetado del plano.

Teselación con hexágonos regulares

Acabamos de ver que las abejas fabrican celdas hexagonales que recubren el plano.

Esto significa que con hexágonos regulares iguales podemos llenar o recubrir un plano, lo cual es posible porque, al reunir tres hexágonos como indica la figura, la suma de los tres ángulos que concurren en un punto, como el punto A, es 360°. Date cuenta de que el ángulo interior de los hexágonos vale 120° y en el punto A concurren tres de ellos, 3 ? 120° = 360°. De esta forma se va cubriendo el plano.

La figura que se repite, en este caso el hexágono, se llama figura base de la teselación.

A

2

Cuadrados y triángulos equiláteros para teselar el plano

Como acabamos de ver, para que se pueda teselar el plano con un polígono regular es necesario que, al unir varios polígonos por los vértices, los ángulos que concurren sumen 360°. OBSERVA LA FIGURA Y RESPONDE A ESTAS PREGUNTAS.

A

a) ¿Cuántos ángulos concurren en el vértice A? b) ¿Cuál es la amplitud de cada uno? c) ¿Cuánto suman en total? d) ¿Podemos teselar el plano con cuadrados?

148

OBSERVA LA SIGUIENTE FIGURA Y CONTESTA A LAS CUESTIONES.

A

a) ¿Cuánto mide cada ángulo de un triángulo equilátero? b) ¿Cuántos triángulos equiláteros tienen que coincidir en un punto para que la suma de los ángulos sea 360°? c) ¿Se puede teselar el plano con triángulos equiláteros?


12 3



Teselaciones con otros polígonos regulares

Según se ha visto en la página anterior, se puede teselar el plano con triángulos equiláteros, con cuadrados y con hexágonos regulares.

¿Es posible teselar el plano con otros polígonos regulares diferentes de los mencionados?

Se sabe que no es posible teselar el plano con polígonos convexos de más de seis lados; por tanto, vamos a estudiar los polígonos de cinco lados.

b) Observando la siguiente figura, comprueba que no es posible cubrir el plano con pentágonos regulares.

A

REALIZA ESTAS ACTIVIDADES. a) Calcula la medida en grados de cada ángulo interior de un polígono regular de cinco lados.

4

Determinación de la figura base de una teselación Además de los polígonos regulares mencionados, algunas variaciones de los mismos pueden también teselar el plano. Una de las más conocidas es la variación del siguiente cuadrado.

Por lo tanto, haciendo traslaciones y giros podemos cubrir el plano como se indica a continuación.

"

REALIZA LAS ACTIVIDADES. a) Comprueba que, con la pieza anterior, se tesela el plano. Para ello recorta varias piezas iguales a ella y verifica que al unirlas no dejan huecos entre sí.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) ¿Cuál es la figura base en la teselación?

b) Construye, variando el cuadrado de forma similar, alguna pieza que tesele también el plano. Asimismo, se puede teselar el plano mediante polígonos irregulares diversos. Por ejemplo, a partir de este cuadrilátero cóncavo. b) Una figura que no sea un polígono, ¿puede ser la figura base de una teselación? Para ello es suficiente hacer dos giros de 90°, obteniendo este polígono.

c) Dibuja teselaciones a partir de estas figuras base.


149

12





Dibuja un polígono y calcula su perímetro y su área. 1

Elegimos la herramienta , y marcamos los vértices del polígono uno a uno, finalizando en el primer vértice marcado.

2

Con la herramienta y, marcando cada lado del polígono, aparece la medida de ese lado.

3

Con la misma herramienta, , hacemos clic sobre la medida de cada lado y aparece el nombre y la medida del lado.

4

Sin cambiar de herramienta, , si hacemos clic sobre el recinto que encierra el polígono, aparece el valor del perímetro.

3

Comprueba la siguiente propiedad:

5. Seleccionamos la herramienta , señalamos el interior del polígono y aparece el área del mismo.

ACTIVIDADES 1

Dibuja un hexágono y calcula su perímetro y su área.

2

Dibuja un hexágono regular y halla su perímetro y su área.

150

El área de todos los triángulos cuyo vértice C está en una recta paralela a su lado opuesto, AB, es igual.


12





PASO A PASO 1

1

Para dibujar el polígono seleccionamos la herramienta y marcamos los vértices, en este caso marcamos 5 vértices y completamos el polígono marcando el primer vértice que hemos escogido. Para que aparezcan las letras en los vértices, situamos el cursor sobre el vértice, hacemos clic con el botón derecho y, en el menú que aparece, seleccionamos la opción Muestra Rótulo.

2

2

Medimos la longitud de los lados seleccionando la herramienta y haciendo clic sobre cada lado, junto a cada uno aparece la medida que tiene en centímetros.

3

3

Para que aparezcan los nombres de cada lado basta hacer clic sobre la medida y aparece el nombre de forma automática.

Los lados se nombran con letras minúsculas siguiendo el orden alfabético: a, b, c… No obstante es posible nombrarlos de la forma que queramos seleccionándolos con el botón derecho y eligiendo la opción Renombra del menú que aparece.

4

4

Para obtener el valor del perímetro seleccionamos la herramienta , y hacemos clic en el interior del polígono.

5

5

Para calcular el área encerrada en el polígono, utilizamos la herramienta y hacemos clic sobre cualquier punto del interior del polígono, apareciendo el valor del área.


151

12




CABRI

Dibuja un polígono y calcula su perímetro y su área. 1

Elegimos la herramienta , y marcando los vértices, dibujamos un polígono.

2

Con la herramienta , marcando cada dos vértices, aparece la medida de ese lado.

3

Seleccionamos la herramienta fórmula del perímetro.

4

Con la herramienta , seleccionamos la expresión, asignamos la longitud de cada lado a una variable y aparece el perímetro.

3

Comprueba la siguiente propiedad:

y anotamos la

5. Seleccionamos la herramienta , señalamos el interior del polígono y aparece el área del mismo.

ACTIVIDADES 1

Dibuja un hexágono y calcula su perímetro y su área.

2

Dibuja un hexágono regular y halla su perímetro y su área.

152

El área de todos los triángulos cuyo vértice C está en una recta paralela a su lado opuesto, AB, es igual.


12




CABRI

PASO A PASO 1

1

Para dibujar el polígono seleccionamos la herramienta y marcamos los vértices, en este caso marcamos 5 vértices y completamos el polígono marcando el primer vértice que hemos escogido. Para escribir las letras de los vértices, seleccionamos la herramienta , marcamos el vértice y se abre una ventana de escritura donde anotamos la letra.

2

2

Medimos la longitud de los lados seleccionando la herramienta y haciendo clic sobre los vértices, junto a cada uno de los lados aparece la medida que tiene en centímetros.

3

3

4

y escribimos la fórmula Seleccionamos la herramienta del perímetro de un pentágono: a + b + c + d + e con a, b, c, d y e la medida de sus 5 lados.

4

5

Para hallar el perímetro vamos a escribir su expresión.

Para obtener el valor del perímetro seleccionamos la herramienta , señalamos la expresión del perímetro, después, los valores de a, b, c, d y e, y concluimos poniendo el valor al lado de la fórmula. El valor del perímetro también se podría calcular con la herramienta , haciendo clic sobre cualquier lado del polígono.

5

Para calcular el área encerrada en el polígono, utilizamos la herramienta y hacemos clic sobre cualquier lado del polígono, apareciendo el valor del área.


153

12





PRÁCTICA CABRI PRÁCTICA 1

Abre una figura con el programa CABRI y construye un pentágono regular de 9 cm de lado. a) Con la herramienta Polígono regular del grupo RECTAS, construye un pentágono. Son necesarios tres puntos: el centro, otro punto (vértice) y un tercero que señale el tipo de polígono (convexo o estrellado) y el número de vértices: 5 en este caso.

Medida de un segmento

b) Con la herramienta Distancia del grupo CÁLCULOS, mide la distancia entre dos vértices consecutivos del polígono: pulsa sobre los dos puntos de forma consecutiva. Observa que obtienes la medida del lado sobre el mismo lado (es posible que no sean exactamente 9 cm).

Longitudes en un polígono

Área

2

Con el Apuntador , señala un punto del polígono y modifica el aspecto hasta que la medida del lado sea exactamente 9,00 cm.

3

Con la herramienta , traza la recta perpendicular desde el centro hasta uno de los lados del polígono.

4

Traza el segmento que une el centro del polígono con el punto de intersección de la recta anterior con su lado, y calcula su medida. Observa que son 1,376 cm.

5

Con la herramienta del grupo CÁLCULOS GEOMÉTRICOS, halla el área del polígono regular.

6

FINAL: Guarda la figura creada en tu carpeta o directorio con el nombre Unidad11_Práctica.

EJERCICIOS 1

Utiliza Cabri para hallar el área de un hexágono regular cuyo lado mide 3 cm.

2

Calcula con Cabri el área de un heptágono regular cuyo lado mide 2,1 cm.

3

Ten en cuenta la escala que usas en la reproducción de cada uno de ellos para luego poder dar el área que les corresponde a esos elementos en la realidad. 4

154

Elige tres elementos geométricos de tu alrededor. Mide sus lados y calcula su área en Cabri haciendo un dibujo a escala de cada uno de ellos con el programa.

Guarda los ejercicios anteriores con sus nombres correspondientes.


12




Perímetro de polígonos irregulares P = suma de las medidas de todos sus lados

Perímetros

Perímetro de polígonos regulares l: medida del lado P=n?l n: número de lados6

Longitud de la circunferencia d: diámetro L = dp = 2pr r: radio Longitud de un arco de circunferencia 2pr ? n r: radio L= 360 º n: amplitud del arco

Áreas Áreas de paralelogramos

Área del trapecio b

A=a?b

a

h

b

A=

(B + b) ? h 2

A=

P?a 2

B

l

A = l ? l = l2

Área de un polígono regular l

D

A=

d

D?d 2

A=b?h

h

a

Área del círculo r

b

A = pr2

Área del triángulo

h

A=

b?h 2

b


Área de un polígono irregular El área de un polígono irregular se puede hallar descomponiendo la figura en otras cuyas áreas sepamos calcular.

155

13


FUNCIONES Y GRÁFICAS

ESQUEMA DE LA UNIDAD Sistemas de coordenadas

Interpretación de puntos

Idea de función

Expresiones algebraicas, tablas y gráficas

Interpretación de gráficas

156


13



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Gráficos y medios de comunicación

Altitud (m)

En los medios de comunicación aparecen a veces noticias con gráficos, ya que es una forma rápida y muy visual de dar información sobre la relación entre dos variables. Lo más importante se suele resaltar al máximo. Por ejemplo, el gráfico siguiente muestra el perfil de la etapa de la Vuelta a España Gijón-Lagos de Covadonga, de 133 km. Observa que si la longitud total es de 133 km, y la llegada se encuentra a 1 110 metros de altura, o sea, la milésima parte de la longitud, la altura de la gráfica debería ser mucho menor, pero se utiliza una escala diferente para la longitud y la altura. 1 000 500 Gijón

133 km

Covadonga

A continuación hay tres gráficas de la función y = x, pero con diferentes escalas en el eje vertical. La primera es 1 : 1 y la segunda es 4 : 1, y aunque la función es la misma las gráficas parecen distintas. 16 Y 14 12 10 8 6 4 2 2

X 6

10

64 56 48 40 32 24 16 8

14

Y

Y 100 10 X

2

6

10

14

X 2

6

10

14

Incluso, a veces, si se quieren representar números muy grandes se utiliza la escala logarítmica, que consiste en que las unidades del eje vertical son 10, 100, 1 000, etc. En una gráfica con estos ejes una función como la anterior tendría la forma del tercer gráfico, es decir, una curva.

¿Por qué es «cartesiano»? El filósofo y matemático francés Descartes utilizaba su nombre latinizado: Renatus Cartesius. Esta es la causa de que su sistema filosófico se llame cartesiano y que el sistema más habitual sobre el que se trazan curvas, que representan ecuaciones (inventado por él), se denomine cartesiano.


157

13



NOTACIÓN MATEMÁTICA ¿Qué significa? A(1, -2) B d- 1,

3 n 5

¿Cómo lo escribimos? Indica un punto de coordenadas 1 y -2.

C(-1, 3/5)

B y C indican el punto de coordenadas 3 -1 y 5

D(1; 2,3)

Indica un punto de coordenadas 1 y 2,3.

E(3,2; 4)

Indica un punto de coordenadas 3,2 y 4.

Los puntos se nombran mediante una letra mayúscula. Se suelen utilizar las letras A, B, C…, y también P, Q, R… Cuando hay varios puntos, a veces se les designa como P1, P2, P3… Tras la letra figuran, entre paréntesis, sus dos coordenadas separadas por una coma y un espacio en blanco. Las coordenadas fraccionarias se pueden indicar en forma horizontal o vertical. Cuando una de las coordenadas es un número decimal, a veces se sustituye la coma que separa las dos coordenadas por un punto y coma.

¿Qué significa? X, OX O Y, OY

¿Cómo lo escribimos? Indican el eje de abscisas. Representa el origen de coordenadas, el punto (0, 0).

Y

Indican el eje de ordenadas.

O

¿Qué significa? f( x) = x - 5 y=x-5

( x, f( x))

158

X

Utilizamos OY, o eje de ordenadas, cuando nos referimos a este eje. En el gráfico solamente escribimos Y.

¿Cómo lo escribimos? Ambas son expresiones que representan la función cuya expresión algebraica es x - 5.

¿Qué significa? ( x, y )

Utilizamos OX, o eje de abscisas, cuando nos referimos a este eje. En el gráfico solamente escribimos X.

Una función se puede representar mediante la expresión f(x) o mediante la letra y.

¿Cómo lo escribimos? Indican el punto formado por un número y el valor de la función en ese número.

Si se afirma que el punto (2, 3) pertenece a una función f, esto quiere decir que si x = 2, y = 3, o que f(2) = 3. Es decir, (2, 3) = (2, f(2)).


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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Empezar con problemas más sencillos Estrategia

Tanto en problemas numéricos como de medida o geométricos resulta muy útil resolver casos más sencillos que los que nos presentan. De esta forma podremos obtener alguna pauta que nos permita resolver el problema.

PROBLEMA RESUELTO 1

A la derecha tienes una torre formada por 5 capas de cubos; unos son visibles y otros no. ¿Cuántos cubos son visibles? ¿Y cuántos están ocultos? ¿Cuántos cubos hay en total?


Para resolver este problema pondremos torres de 1, 2, 3 y 4 capas de la siguiente forma.

Si hay 1 capa

Si hay 2 capas

Si hay 3 capas

Si hay 4 capas

Cubos visibles: 1 Cubos ocultos: 0 Total de cubos: 1 + 0 = 1 Cubos visibles: 2 + 1 = 3 Cubos ocultos: 1 + 0 = 1 Total de cubos: 3 + 1 = 4 Cubos visibles: 3 + 2 + 1 = 6 Cubos ocultos: (2 + 1) + 1 = 4 Total de cubos: 6 + 4 = 10 Cubos visibles: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 Cubos ocultos: (3 + 2 + 1) + (2 + 1) + 1 = 10 Total de cubos: 10 + 10 = 20

Siguiendo esta pauta podemos obtener, para el caso de 5 capas:

Cubos visibles: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

Cubos ocultos: (4 + 3 + 2 + 1) + (3 + 2 + 1) + (2 + 1) + 1 = 20

Total de cubos: 15 + 20 = 35


2

Si tuviéramos 10 capas de cubos en igual posición que en el caso anterior, ¿cuántos serían visibles? ¿Cuántos estarían ocultos? ¿Y cuántos habría en t otal?

a) ¿Cuántos cubos son visibles?

b) ¿Y cuántos están ocultos?

Aquí tienes otra torre formada por 5 capas de cubos; unos son visibles y otros están ocultos.

c) ¿Cuántos cubos hay en total?

Contesta a estas preguntas para una torre de 10 capas.


159

13



PROYECTO MATEMÁTICO Gráficas y recipientes En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Valorar la utilidad del lenguaje gráfico para estudiar problemas de la vida cotidiana y de la ciencia. • Interpretar gráficas sencillas correspondientes a fenómenos reales y trabajar con los mismos.

1

Gráficas a partir de recipientes

Observando el dibujo, verás que en él hay dibujados recipientes que tienen la misma altura y volumen. Son un vaso esférico, uno cilíndrico, otro cónico, siendo el último troncocónico. 1 2 3 4

Pero estos recipientes no se llenan de igual forma respecto a la altura. Hay recipientes que al principio alcanzan mucha altura y después cada vez menos, o al revés.

¿Qué gráfica corresponde a cada uno? Antes de responder a esta pregunta vamos a realizar algunas actividades previas para que te resulte más sencillo.

Mira los tres vasos cilíndricos de la figura.

A continuación te mostramos los cortes transversales de los recipientes con sus correspondientes graduaciones. 2 3 4 1

C

B

A

Los tres tienen el mismo volumen pero diferente base y altura.

Imagina que vas llenando los tres vasos con tres grifos con igual caudal. Los tres se acabarán llenando al mismo tiempo, pero la altura de llenado será diferente en cada caso.

Observa que la gráfica que obtenemos en el caso del recipiente A no tiene unidades en los ejes, aunque puedes ponerlas tú, por ejemplo: tiempo (minutos) y altura (cm).

Imagina que llenamos los cuatro recipientes con grifos que llevan el mismo caudal, es decir, con igual velocidad de entrada de agua y, cada minuto, anotamos en una tabla la altura de agua para cada vaso. Una vez completadas las tablas, dibujamos las gráficas correspondientes a cada recipiente: son gráficas tiempo-altura. Gráfica B

Altura

Altura

Gráfica A

Tiempo

Altura

Tiempo

Gráfica C

Gráfica D

A

Tiempo

160

Altura

Altura


Tiempo

a) Comparando los recipientes A y B, ¿cuál es más alto? Tiempo

Date cuenta de que todas terminan en el mismo punto ya que, como hemos dicho, tienen la misma altura y volumen.

b) En la gráfica correspondiente al recipiente B, en cada unidad de tiempo que transcurre, ¿el agua alcanzará más altura que en el caso de A o menos? c) Representa las gráficas de B y C.


13


Recipientes a partir de gráficas

Vamos ahora a ver qué pasa si los vasos que tenemos son cilíndricos, pero están formados por diferentes tipos de cilindros, como el de la figura.

Veamos, a continuación, el proceso contrario: vamos a dibujar unas gráficas y analizar qué tipo de recipiente da como resultado una determinada gráfica.

Observa las gráficas siguientes. Gráfica A

Gráfica B

Tiempo

Imagina que tenemos tres recipientes cuyos cortes transversales son los siguientes.

A

B

La gráfica del recipiente A estará formada por un tramo de línea recta hasta cierto punto, y por otro tramo de línea recta más inclinado en el segundo tramo. HAZ ESTAS ACTIVIDADES. a) Completa la gráfica del recipiente A.

Tiempo

Tiempo

La gráfica A crece de forma uniforme.

La gráfica B comienza creciendo lentamente en altura y, a medida que pasa el tiempo, lo hace más deprisa. La gráfica está formada por tres tramos rectos.

La gráfica C es exactamente al revés: comienza muy deprisa y, después, va más despacio. Está formada también por tres tramos rectos.

A partir de las gráficas, representa el tipo de recipiente que es en cada caso.

Volviendo al problema inicial, las características de los recipientes son:

a) La misma altura.

b) El mismo volumen.

c) Diferente forma y base.

C

Gráfica C Altura

Observa la gráfica anterior. Si has resuelto correctamente el ejercicio, las gráficas de los recipientes B y C han de tener mayor inclinación que la gráfica del recipiente A.

Altura

Altura

2


REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. Altura

a) Si hemos indicado los gráficos con las letras A, B, C y D, ¿sabrías deducir a qué recipiente corresponde cada gráfica?

b) Realiza la gráfica tiempo-altura de los recipientes con estos cortes transversales.

Tiempo

b) Haz la gráfica de los recipientes B y C. c) Si siguiésemos «troceando» los recipientes, ¿cómo crees que sería su gráfica? A D

B


161

13





Realiza la representación gráfica de la función y = 2x - 1. 1

Anotamos en la columna A valores para la variable x, utilizando la columna B para los valores de la función, y.

2

Escribimos =2*A2-1 en la celda B2, para calcular el valor de y, y pegamos después el contenido de B2 en el resto de la columna.

3

Seleccionamos las columnas A y B, y en el menú Insertar elegimos la opción Gráfico…

4

En el Asistente de gráficos seleccionamos XY (dispersión), y como subtipo marcamos la opción Puntos y líneas.

2

Representa, para distintos valores del número a, la función y = ax.

5. Elegimos el aspecto de la gráfica en los pasos siguientes del asistente o pulsamos en Finalizar.

ACTIVIDADES 1

Realiza la representación gráfica de las siguientes funciones. a) y = x + 2

c) y = -x + 3

b) y = 3x d) y=2-x 162

Comprueba que si a < 0 la función es decreciente, y si a > 0 la función es creciente.


13





PASO A PASO 1

1

2

Para realizar una tabla de valores de la función, escribimos x y f (x ) en las celdas A1 y B1 respectivamente. Completamos la columna A, desde A2 hasta A8 con los números desde -3 a 3.

2

En la casilla B2 escribimos la expresión algebraica de la función =2*A2-1. Aparece como resultado -7. Copiamos la celda B2 y pegamos su contenido en el resto de la columna (B3:B8) apareciendo el resto de valores de f (x ): -5, -3, -1, 1, 3 y 5.

3

3

Seleccionamos las dos columnas, A y B, y en el menú Insertar elegimos la opción Gráfico… que despliega el asistente para gráficos que en 4 pasos nos guiará hasta completar el gráfico. A medida que vamos eligiendo opciones aparece cómo quedaría el gráfico.

4

4

El tipo de gráfico que elegimos es XY (Dispersión) que representa pares de valores, y por defecto, el de la primera columna en el eje de abscisas y el de la segunda columna en el eje de ordenadas.

5

Dentro de este gráfico marcamos la opción: Puntos y líneas, que representa cada par de valores con un punto y los une con líneas rectas.

5

En los siguientes pasos del asistente de gráficos le damos la forma que queremos:

En los pasos 2 y 3 del asistente, mantenemos lo que sale por defecto.

En el paso 4 del asistente, elegimos aspectos visuales del gráfico: quitamos la marca que señala la opción Mostrar leyenda y dejamos el resto de opciones igual.


163

13





Realiza la representación gráfica de la función y = 2x - 1. 1

Anotamos en la columna A valores para la variable x, utilizando la columna B para los valores de la función, y.

2

Escribimos =2*A2-1 en la celda B2, para calcular el valor de y, y pegamos después el contenido de B2 en el resto de la columna.

3

Seleccionamos las columnas A y B, y en el menú Insertar elegimos la opción Gráfico…

4

En el Asistente de gráficos seleccionamos XY (dispersión), y como subtipo marcamos la opción Puntos y líneas.

2

Representa, para distintos valores del número a, la función y = ax.

5. Elegimos el aspecto de la gráfica en los pasos siguientes del asistente o pulsamos en Finalizar.

ACTIVIDADES 1

Realiza la representación gráfica de las siguientes funciones. a) y = x + 2

c) y = -x + 3

b) y = 3x d) y=2-x 164

Comprueba que si a < 0 la función es decreciente, y si a > 0 la función es creciente.


13





PASO A PASO 1

1

2

Para realizar una tabla de valores de la función, escribimos x y f (x ) en las celdas A1 y B1 respectivamente. Completamos la columna A, desde A2 hasta A8 con los números desde -3 a 3.

2

En la casilla B2 escribimos la expresión algebraica de la función =2*A2-1. Aparece como resultado -7. Copiamos la celda B2 y pegamos su contenido en el resto de la columna (B3:B8) apareciendo el resto de valores de f (x ): -5, -3, -1, 1, 3 y 5.

3

3

Seleccionamos las dos columnas, A y B, y en el menú Insertar elegimos la opción Gráfico… que despliega el asistente para gráficos que en 4 pasos nos guiará hasta completar el gráfico.

4

4

El tipo de gráfico que elegimos es XY (Dispersión) que representa pares de valores, y por defecto, el de la primera columna en el eje de abscisas y el de la segunda columna en el eje de ordenadas.

5

Dentro de este gráfico marcamos la opción: Dispersión con puntos de datos conectados por líneas, que representa cada par de valores con un punto y los une con líneas rectas.

5

En los siguientes pasos del asistente de gráficos le damos la forma que queremos:

En el paso 2 del asistente, en la pestaña Serie podemos elegir los datos que representamos en cada eje.

En el paso 3 del asistente, elegimos aspectos visuales del gráfico: en la pestaña Título eliminamos el título del gráfico y en la pestaña Leyenda quitamos la marca que señala la opción Mostrar leyenda.

El paso 4 nos permite elegir dónde guardar el gráfico realizado, por defecto la ubicación del gráfico es la misma hoja donde están los datos.


165

13





PRÁCTICA EXCEL PRÁCTICA 1 Abre un libro de trabajo EXCEL y guárdalo, cuando acabes la Práctica, en tu carpeta personal con el nombre FUNCIONES_1. Alba consume una botella de dos litros de agua al día durante su viaje a Marruecos, si cada botella vale 1,8 €, haz una representación de cuánto se gastará en agua según el número de días que dure su viaje. 1

En la hoja de trabajo, crea la tabla de datos. a) Escribe la etiqueta en la celda A1 y crea el cuadro correspondiente, tal como se ve en el margen.

Contenido

b) Introduce en la columna días los números del 1 al 10 (celdas B4:B13). c) Introduce en la celda C4 la fórmula las celdas C5 a C13 con Copiar 2

y copia esta fórmula en y Pegar

.

Para obtener la gráfica, selecciona el rango B4:C13 y activa el menú insertar. Ahí aparece la selección de gráficos a insertar.

En este caso seleccionaremos el tipo Dispersión y al pulsar en él escogeremos el subtipo que queremos. Opciones de los gráficos

3

En las diferentes opciones de formato que nos da, podemos elegir el modo en que queremos que aparezca la presentación definitiva de la tabla.

Gráfica

ACTIVIDADES 1

Cambia el nombre de la hoja2 por Unidad13_2a y, de manera análoga a como lo has hecho en la Práctica 1, resuelve el problema: Una población de orangutanes de Borneo está formada por 6 000 individuos y decrece a razón de un 20 % cada 10 años. Haz una gráfica donde consten los individuos a lo largo de 40 años.

166

2

Haz lo mismo con el siguiente problema. Realiza una representación gráfica de la expresión algebraica que relaciona un número entero con su cuadrado. Guarda el libro con

"

.


13



RESUMEN DE LA UNIDAD Eje de ordenadas Y Ordenada

A

Sistemas de coordenadas

Eje de abscisas

Origen O

X

Abscisa B

Funciones

Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la dependiente, y.

Establece la relación entre dos magnitudes. par ordenado

Tablas de valores

par ordenado

Lado

1

2

3

4

…

Área

1

4

9

16

…

(a, b) Y

Gráficas

Variable independiente Se designa normalmente por x.

Precio (€) y = 1,75x

12 10 8 6

Variable dependiente Se designa normalmente por y.

Expresión algebraica

4 2

Peso (kg) 1

2 3

4 5

6

7

X

La relación entre las dos magnitudes de la función se puede escribir de manera algebraica: y = 1,75x


167

14


ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

ESQUEMA DE LA UNIDAD Población y muestra

Variables estadísticas

Frecuencias y tablas

Gráficos

Lenguaje del azar

Probabilidad

Regla de Laplace

168


14



CURIOSIDADES MATEMÁTICAS Un examen sorpresa Imagínate que el profesor de Inglés llega a clase y dice: «Un día de la semana que viene tendremos un examen por sorpresa. Para que sea totalmente imprevisible, ninguno de vosotros podrá saber qué día va a ser, solo lo sabré yo». Pero si el profesor quiere llevar a cabo lo que ha anunciado, la probabilidad de que lo ponga en práctica es nula, es decir, resulta imposible hacerlo. Podemos realizar el siguiente razonamiento, que parece correcto y que niega la posibilidad de hacer el examen: El examen no puede ser el viernes. Efectivamente, si el jueves por la tarde todavía no ha sido, todos sabríamos que será el viernes, y no se cumpliría lo de ser «totalmente imprevisible» y por sorpresa. Pero tampoco puede ser el jueves, pues si el miércoles por la tarde aún no ha sido, y acabamos de ver que no podrá ser el viernes, tendría que ser el jueves; de nuevo no sería imprevisible y por sorpresa, pues todos lo sabríamos. Es fácil ver que nuestro razonamiento lo podemos repetir ahora hacia atrás para el miércoles, el martes, el lunes… ¿Qué es lo que pasa? ¿Crees que este razonamiento tiene algún defecto? Si es así, ¿cuál es?

¿Por qué «Estadística»? En el siglo XVII, Godofredo Achenwall le dio a esta ciencia el nombre de «Estadística», que etimológicamente deriva de la palabra status, y que significa estado o situación.

El inicio de la Estadística Los primeros indicios de Estadística se encuentran en la isla de Cerdeña, en restos prehistóricos pertenecientes a los Nuragas, los primeros habitantes de la isla. Estos monumentos donde aparecen son bloques de basalto superpuestos sin mortero, cuyas paredes muestran toscas señales que han sido interpretadas como signos que utilizaban para llevar la cuenta del ganado y la caza.


169

14




E


Indica el espacio muestral.

A

Indica un suceso.

B

Indica otro suceso.

Para nombrar sucesos se usan letras mayúsculas, comenzando por las primeras letras del abecedario: A, B, C… Si se quiere escribir un suceso definido por los sucesos elementales que lo forman, se escribe la letra asignada al suceso y, después, entre llaves, se enumeran los sucesos elementales que lo forman. A = «Sacar par al lanzar un dado» = {2, 4, 6}

¿Qué significa?

fi

hi

N


Indica la frecuencia absoluta del valor xi.

Indica la frecuencia relativa del valor xi.

Indica el número total de datos que tomamos en el estudio.

¿Qué significa?

P(A)

170

Cuando queremos expresar el espacio muestral se suele utilizar la letra mayúscula E o la letra griega V (omega).

La frecuencia absoluta de un valor se suele representar por fi, donde el subíndice i indica que pertenece al valor xi. xi = Número de hermanos

0

1

2

2

fi = Número de alumnos

4

3

2

1

f1 = 4, f2 = 3, f3 = 2, f4 = 1 La frecuencia relativa se representa: f hi = 1 . En el ejemplo: h1 = 0,4; h2 = 0,3… n El número total de datos de un estudio suele denotarse con la letra N o n. En el ejemplo: N = 10.

¿Cómo lo escribimos? Indica la probabilidad del suceso A.

Para indicar la probabilidad de un suceso A, se escribe la letra P y, después, entre paréntesis, la letra correspondiente al suceso: P(A).


14



ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Averiguar si un juego es justo Estrategia

n juego es justo o equitativo cuando el producto de la probabilidad de ganar por el premio que se percibe (esperanza del U jugador) es el mismo para todos los jugadores. Esto significa que cuanto menor sea la probabilidad de ganar, mayor ha de ser el premio. E1 = Esperanza del jugador 1 = Premio ? Probabilidad E2 = Esperanza del jugador 2 = Premio ? Probabilidad Juego justo: E1 = E2

PROBLEMA RESUELTO 1

Rubén y Violeta juegan lanzando a la vez dos dados y calculan la suma de las puntuaciones. Si sale número par, gana Rubén, y si sale impar, gana Violeta. El juego, ¿es justo?


Forma una tabla con las 36 sumas posibles y comprueba que hay 18 sumas que son números pares y otras 18 sumas que son impares. Suceso Probabilidad

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

+

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Gana Rubén: P(par) = 18/36 = 1/2 Gana Violeta: P(impar) = 18/36 = 1/2 El juego es justo, porque cada jugador puede apostar por el suceso par o por el suceso impar sin ventaja.


Rubén y Violeta deciden multiplicar las puntuaciones de los dados y siguen apostando como en el problema anterior. ¿Cuál de ellos crees que ganará? Responde calculando las probabilidades. ¿Cuántas veces es la probabilidad de Rubén mayor que la de Violeta?

3

2

Lucía y Juan han inventado un juego con las siguientes reglas. • Lanzan dos monedas al aire consecutivamente. • Si las dos salen cara, Lucía gana un punto. • En caso contrario, Juan gana un punto. ¿Crees que es un juego equitativo?

Lucía y Juan continúan jugando con dos monedas, pero ahora las reglas del juego son: • Lanzan las dos monedas a la vez. • Si salen dos caras, Lucía avanza su ficha una casilla en el tablero. • Si sale una cara solamente, Juan avanza su ficha dos lugares en el tablero. • Gana el que antes llegue a la meta. ¿Es justo este juego? Juan Lucía


171

14



PROYECTO MATEMÁTICO Sondeos de opinión En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Saber lo que es un sondeo de opinión y comprender su ficha técnica. • Conocer qué tipo de preguntas se hacen en estos sondeos y cómo se recogen las respuestas.

1

Características de los sondeos de opinión

Los sondeos de opinión tienen su origen en Estados Unidos. Con ellos se pretendía, antes de las elecciones, y con muestras reducidas de la población, realizar una predicción acertada sobre la intención de voto de los ciudadanos estadounidenses.

En España, el Centro de Investigaciones Sociológicas (CIS) es el organismo oficial encargado de realizar los sondeos de opinión. Las encuestas y sondeos de opinión se realizan sobre una muestra representativa de la población y pueden estudiar cualquier fenómeno social, porque: • Se hacen de manera que se puedan estudiar los valores y creencias de las personas. • Las técnicas de encuesta se adaptan a toda clase de información y se pueden realizar en cualquier tipo de población. • Permiten recuperar información sobre sucesos acontecidos a los entrevistados. • Facilitan estandarizar los datos para un análisis posterior, obteniendo gran cantidad de datos a un bajo precio y en un período de tiempo corto.

2

Ficha técnica de un sondeo de opinion

Vamos a analizar un ejemplo de ficha técnica. Pertenece a un sondeo de opinión, el Barómetro, elaborado por el CIS mensualmente y que mide el estado de la opinión pública española respecto a la situación del país.

En la ficha técnica se especifican las características del sondeo y el tipo de técnicas utilizadas en su elaboración. La ficha técnica del Barómetro de octubre de 2009 es: • Ámbito: Nacional. • Universo: Población española de ambos sexos de 18 años y más. • Tamaño de la muestra: Diseñadas 2 500 entrevistas y realizadas 2 478. • Afijación: Proporcional. • Puntos de muestreo: 236 municipios y 48 provincias. • Procedimiento de muestreo: Polietápico, estratificado por conglomerados. Los estratos se han formado por cruce de las 17 Comunidades Autónomas con el tamaño de hábitat dividido en 7 categorías.

172

• Los cuestionarios se han aplicado mediante entrevista personal en su domicilio. • Error muestral: Para un nivel de confianza del 95,5 % y p = q, el error es de 62 % para el conjunto de la muestra. • Fecha de realización: Del 7 al 14 de octubre de 2009. Aunque algunos conceptos son demasiado complejos para este curso, de su lectura podemos deducir que: – La encuesta se hace en todo el territorio español a personas de 18 años y más de ambos sexos. – Se eligen 2 500 personas aleatoriamente en 236 municipios y 48 provincias. Estas personas representan a todos los españoles. – Por último, el nivel de confianza del 95,5 % nos dice que de cada 100 muestras que se tomasen, en el 95,5 % de ellas se darían los resultados que aquí se presentan.


14 3



Tipos de preguntas y recogida de las respuestas Existen muchos tipos de preguntas, siendo los más usuales los siguientes.

En el Barómetro de octubre de 2009 del CIS se hacía la siguiente pregunta.

• Preguntas de identificación. Ejemplo: edad, sexo. • Preguntas de hechos referidos a actividades de los encuestados. Ejemplo: ¿Tiene ordenador? • Preguntas de información para conocer los conocimientos del encuestado. Ejemplo: ¿Sabe lo que es un e-mail? • Preguntas de intención para saber lo que piensan hacer los encuestados. Ejemplo: ¿A quién votará en las próximas elecciones? • Preguntas de opinión. Ejemplo: ¿Qué le parece la situación económica?

• Cuando se habla de política se utilizan las expresiones izquierda y derecha. En esta tarjeta hay una serie de casillas que van de izquierda a derecha (de 1 a 10), ¿en qué casilla se colocaría Ud.?

Las preguntas deben estar formuladas de manera precisa y poder contestarse fácilmente. Además, han de dejar la mínima iniciativa a los encuestados, añadiendo las posibles respuestas. Vamos a ver algunos ejemplos de preguntas, y las respuestas obtenidas. En el Barómetro de junio de 2008 se planteaba: • Por término medio, en un día laborable normal, ¿cuánto tiempo emplea aproximadamente en las tareas del hogar? Nada de tiempo .................................................. 9,1 Menos de 5,59 horas .......................................... 75,3 De 6 a 8 horas .................................................... 11,2 De 8,01 a 10,59 horas ........................................ 2,0 11 horas y más ................................................... 1,2 No contesta ........................................................ 1,3

Las respuestas fueron: Izquierda (1, 2) .................................................. 7,1 % (3, 4) .................................................. 27,0 % (5, 6) .................................................. 35,1 % (7, 8) .................................................. 10,6 % Derecha (9, 10) ................................................ 2,3 % N.s./N.c. ........................................................... 17,8 %

En el Barómetro de febrero 2008 se preguntaba:

• Hablando en particular de Internet, ¿lo utiliza? Sí �� 49,6 No �� 49,5 No sabe, no sabe lo que es �� 0,8


a) Para cada una de las tres preguntas que aparecen en esta página, calcula la cantidad de personas que contestó cada una de las respuestas (en cada encuesta se entrevistó a 2 478 personas). Redondea a las unidades. b) ¿Qué tipo de gráfico utilizarías para representar las respuestas a esas preguntas? c) De acuerdo con los resultados obtenidos en cada caso, si preguntásemos estas cuestiones a 10 000 personas, ¿cuántas contestarían cada respuesta? d) Para la pregunta sobre política, calcula el número de personas que contestó cada opción.


173

14





Las opiniones sobre una obra de teatro son: muy buena 22, buena 31, regular 33, mala 11 y muy mala 3. Ordena la información en una tabla y realiza un diagrama de sectores. 1

Anotamos en la columna A los valores de la variable X = Opinión, y en la columna B la frecuencia correspondiente a cada opinión.

2

Seleccionamos la tabla de las columnas A y B, y en el menú Insertar elegimos la opción Gráfico… y seleccionamos el gráfico Círculo.

3

En el paso 4 escribimos como título Opinión, desmarcamos la opción Mostrar leyenda, y pulsamos en Finalizar.

4

Con un doble clic en el círculo aparece el menú Serie de datos y, en la pestaña Etiquetas de datos, marcamos Mostrar la categoría.

2

Comprueba con varios ejemplos que si multiplicamos todas las frecuencias por un mismo número natural, el diagrama de sectores que resulta es el mismo. ¿Sucede lo mismo si a todas las frecuencias les sumamos el mismo número?

5. Pulsamos en Aceptar y aparece el gráfico en la misma hoja de datos.

ACTIVIDADES 1

Se ha preguntado a 200 usuarios de una biblioteca por sus gustos literarios y 98 prefieren novela, a 22 les gusta el ensayo, 11 poesía y 69 teatro.

174

Construye con estos datos una tabla de frecuencias, y realiza un diagrama de sectores.


14





PASO A PASO 1

1

Anotamos en A2:A6 los valores de la variable X : Muy buena, Buena, Regular, Mala y Muy mala.

Anotamos en B2:B6 las frecuencias de cada valor: 22, 31, 33, 11 y 3.

2

2

3

3

4

Seleccionamos la tabla de las columnas A y B, y en el menú Insertar elegimos la opción Gráfico… y seleccionamos el gráfico Círculo. También podemos llegar al Asistente para gráficos pulsando el icono que aparece en la barra de herramientas.

En el paso 4 del Asistente para gráficos escribimos como título Opinión. En este mismo paso eliminamos la marca que aparece en la opción Mostrar leyenda.

4

5

Escribimos los títulos de las columnas, Opinión en A1 y Frecuencia en B1.

Sobre el dibujo que aparece, situamos el cursor en un punto cualquiera del círculo y hacemos doble clic sobre él, apareciendo un menú que se titula Series de datos. En la pestaña Etiquetas de datos de este menú marcamos la opción Mostrar categoría.

5

Pulsamos Finalizar y obtenemos el diagrama de sectores que se colocará por defecto al lado de la tabla.


175

14





Las opiniones sobre una obra de teatro son: muy buena 22, buena 31, regular 33, mala 11 y muy mala 3. Ordena la información en una tabla y realiza un diagrama de sectores. 1

Anotamos en la columna A los valores de la variable X = Opinión, y en la columna B la frecuencia correspondiente a cada opinión.

3

En el paso 3 escribimos como título Opinión, y en la pestaña Leyenda desmarcamos la opción Mostrar leyenda.

2

4

Seleccionamos la tabla de las columnas A y B, y en el menú Insertar elegimos la opción Gráfico… y seleccionamos el gráfico Círculo.

En la pestaña Rótulo de datos del paso 3 del Asistente de gráficos, marcamos la opción Nombre de la categoría.

5. Continuamos hasta finalizar el asistente o pulsamos directamente Finalizar.

ACTIVIDADES 1

Se ha preguntado a 200 usuarios de una biblioteca por sus gustos literarios y 98 prefieren novela, a 22 les gusta el ensayo, 11 poesía y 69 teatro.

176

Construye con estos datos una tabla de frecuencias, y realiza un diagrama de sectores.

2

Comprueba con varios ejemplos que si multiplicamos todas las frecuencias por un mismo número natural, el diagrama de sectores que resulta es el mismo. ¿Sucede lo mismo si a todas las frecuencias les sumamos el mismo número?


14





PASO A PASO 1

1

Escribimos los títulos de las columnas, Opinión en A1 y Frecuencia en B1.

Anotamos en A2:A6 los valores de la variable X : Muy buena, Buena, Regular, Mala y Muy mala.

Anotamos en B2:B6 las frecuencias de cada valor: 22, 31, 33, 11 y 3.

2

2

3

Seleccionamos la tabla de las columnas A y B, y en el menú Insertar elegimos la opción Gráfico… y seleccionamos el gráfico Circular. También podemos llegar al Asistente para gráficos pulsando el icono que aparece en la barra de herramientas.

3

En el paso 3 del Asistente para gráficos aparece en la pestaña Títulos el nombre de la columna B, Frecuencia, lo cambiamos por Opinión. En este mismo paso, en la pestaña Leyenda eliminamos la marca que aparece en la opción Mostrar leyenda.

4

4

En el paso 3 del Asistente de gráficos, en la pestaña Rótulos de datos marcamos la opción Nombre de la categoría, de esta forma, junto a cada sector circular aparece el valor al que corresponde.

5

5

En el paso 4 del Asistente de gráficos podemos elegir dónde ubicar el gráfico, mantenemos lo que aparece por defecto y pulsamos Finalizar, de esta manera aparece el gráfico en la misma hoja de cálculo en la que estamos trabajando.


177

14



MATEMÁTICAS CON ORDENADOR PRÁCTICA EXCEL PRÁCTICA 1 1

Abre un libro y escribe las cabeceras que se ven en la figura.

2

Escribe en la celda A2 el valor 1. Después, con el cursor selecciona hasta la celda 21 y pulsa en la sección Modificar de la pestaña Inicio y pon un 1 en el cuadro de diálogo, en el incremento, y " pulsa en .

3

En la celda B2 escribe: . Esta función genera un número aleatorio comprendido entre 1 y 6 (se simula la tirada de un dado). Copia esta fórmula en las celdas B3 a B21. Observa la tabla que obtienes (simulación de la tirada de un dado 20 veces).

4

Repite los pasos 2 y 3 en las columnas C a J para casos de 40, 60, 80 y 100 tiradas en cada caso, por tanto, tendrás que seguir las series hasta las celdas C41, E61, G81 e I101, respectivamente.

5

Escribe en las celdas L4 a N4 la tabla con las cabeceras que ves en la figura. Escribe en las celdas L5 a L9 los números 20, …, 100. Escribe en la celda M5 la fórmula: , y haz lo mismo en las siguientes cambiando el rango D2:D41; F2:F61, etc.

6

Escribe en la celda N5 la fórmula: N6:N9.

7

Si tienes en cuenta que la regla de Laplace afirma que P(1) = 1/6 = = 0,1666…, ¿qué observas?

y copia la fórmula en las celdas

ACTIVIDADES 1

Selecciona las celdas N5:N9 y haz un gráfico de líneas: obtendrás una figura semejante a la que ves arriba (en el eje de abscisas aparecen los experimentos: 1 " 20 tiradas; 2 " 40 tiradas...).

178

2

Pulsa la tecla F9 y observa cómo va cambiando toda la tabla, así como también la gráfica. ¿Qué observas? Guarda el libro con

"

.


14



RESUMEN DE LA UNIDAD Es la ciencia que se encarga de recopilar y ordenar los datos referidos a diversos fenómenos para su posterior análisis e interpretación.

Estadística

Población: el conjunto formado por todos los elementos del estudio. Muestra: parte de la población que estudiamos y que nos sirve para deducir características de la población. Variable estadística: cualquier cualidad que estudiamos en los individuos de una muestra o una población.

Frecuencia absoluta fi Es el número de veces que se repite un valor o una modalidad. Tablas de frecuencias fi N Es el tanto por uno que representa la frecuencia absoluta respecto del total de datos. Frecuencia relativa h i =

Gráficos estadísticos

Diagrama de barras

Probabilidad

Gráfico de sectores

Experimento aleatorio: cuando no podemos predecir el resultado que se obtendrá al realizarlo, es decir, depende del azar. Espacio muestral: el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa con la letra E. Suceso: cualquier parte del espacio muestral.

La probabilidad, P, de un suceso indica la posibilidad de que este ocurra. La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1, y cuanto mayor es, mayor será la posibilidad de que el suceso ocurra.

Regla de Laplace para sucesos equiprobables: n.c de casos favorables al suceso A P (A) = n.c de casos posibles


179

Enseñanza individualizada Repaso y apoyo Profundización

Presentación

Enseñanza individualizada Los alumnos y las alumnas son muy diversos, tanto por su nivel académico como por sus intereses y grado de motivación. Las fichas de esta sección tienen como objetivo proporcionar recursos para atender a la diversidad del alumnado. Las fichas de repaso y apoyo proponen trabajar los conceptos fundamentales de cada unidad didáctica atendiendo a los distintos tipos de dificultades que obstaculizan el aprendizaje. • Objetivo de aprendizaje. Cada ficha trabaja un objetivo concreto. Estos objetivos son los contenidos mínimos que todos los alumnos y alumnas deberían alcanzar. • Síntesis teórica. Cada ficha se inicia con una explicación teórica, relativa al objetivo de aprendizaje que se pretende trabajar. Esta síntesis es muy concreta y está escrita en un lenguaje sencillo. • Ejemplo resuelto. La mayoría de las fichas proponen un ejercicio de ejemplo mediante el que el alumno o la alumna pueden comprobar el funcionamiento del concepto o del procedimiento trabajado y encontrar un modelo en el que basarse para realizar las siguientes actividades propuestas. • Actividades propuestas. Con estas actividades los alumnos podrán aplicar y practicar los contenidos y técnicas expuestas, ejemplificadas y que necesitan reforzar. Las fichas de profundización están dirigidas a los alumnos y alumnas que pueden ir más allá del nivel medio del aula o bien a aquellos alumnos que manifiestan un interés especial por determinados aspectos de las Matemáticas. Presentan una metodología indagatoria y plantean sencillas investigaciones.


183

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

CONOCER LA ESTRUCTURA DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Nombre:

Curso:

Fecha:

El sistema de numeración decimal tiene dos características: 1.a Es decimal: 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden siguiente. 2.a Es posicional: el valor de cada cifra depende de su posición en el número. MILLONES (MM)

MILLARES (M)

Centena Decena Unidad Centena de millón de millón de millón de millar CMM

DMM

? 10

UMM

? 10

Decena de millar

Unidad de millar

Centena

Decena

Unidad

DM

UM

C

D

U

CM

? 10

UNIDADES (U)

? 10

? 10

? 10

? 10

? 10

ACTIVIDADES 1

Observa el siguiente número y completa. UMM

CM

DM

UM

C

D

U

8

7

0

6

2

6

5 F

.................. unidades

F

.................. unidades

Se lee ...................................................................................................

2

Expresa con cifras los números y colócalos en orden. a) Tres millones cuatrocientos cinco mil ciento veinte. b) Cincuenta mil ochocientos treinta y nueve.

UMM

CM

DM

UM

C

D

U

c) Mil seis. d) Doscientos ocho mil quinientos setenta y siete. e) Diecisiete mil novecientos cincuenta y dos. f ) Tres mil quinientos cincuenta y siete. g) Doce. h) Setecientos treinta y dos.

184


1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

HACER APROXIMACIONES DE NÚMEROS NATURALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

Truncar un número a un cierto orden consiste en sustituir por ceros las cifras de los órdenes inferiores a él. Para redondear un número a un cierto orden nos fijamos en la cifra del orden siguiente: • Si es mayor o igual que 5, sumamos una unidad a la cifra que estamos redondeando. • Si es menor que 5, mantenemos la cifra como está. Después, se trunca el número obtenido.

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla. Truncamiento a las unidades de millar

Redondeo a las unidades de millar

Truncamiento a las centenas

Redondeo a las centenas

148 521 49 050 121 814 31 990 7 552

2

3

Indica si se produce un truncamiento o un redondeo y a qué orden de unidades. a) 111 077 " 100 000

c) 27 107 " 30 000

e) 55 548 " 56 000

b) 115 " 110

d) 98 765 " 98 000

f ) 64 981 " 64 900

Se realizó una encuesta sobre los hábitos de los alumnos de varios centros de una zona, con estos resultados:

Estudiantes en total en los centros de la encuesta: 1 008

Estudiantes encuestados: 798

Estudiantes encuestados que reciclan habitualmente: 543

Estudiantes encuestados que participan en las tareas del hogar: 701

Estudiantes encuestados que duermen de media 6 horas o menos: 99

Con esta información una revista local publicó el siguiente texto: «Se encuestaron casi 800 alumnos de los 1 000 de los centros escolares de la zona. Alrededor de 700 afirman participar en las tareas del hogar. La cifra desciende cuando se trata de hábitos de reciclaje, ya que no llega a 550 el número de alumnos con este hábito. Sobre los hábitos de descanso podemos afirmar que son bastante saludables, ya que solo 100 de los alumnos duermen de media 6 horas o menos.»

Compara las cifras de la encuesta y las del texto e indica qué tipo de aproximación se hizo en cada caso.


185

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

MANEJAR LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

La suma y multiplicación de dos o más números se puede realizar de distintas maneras sin que el resultado varíe. Son las propiedades conmutativa y asociativa.

EJEMPLO Alberto y Martín juntaron en una cesta las manzanas que habían recolectado. Alberto recolectó 8 manzanas y Martín, 11. ¿Cuántas manzanas hay en la cesta? Conmutativa: 8 + 11 = 19 = 11 + 8 El resultado no varía, no importa que el primer sumando sean las manzanas recolectadas por Alberto o las recolectadas por Martín, el total de manzanas en la cesta es el mismo. Ana tiene un bar y las botellas vacías las mete en cajas, en cada caja caben 12 botellas vacías, estas cajas las apila en montones de 4 y cuando tiene 3 montones llama al distribuidor para que se las lleve. ¿Cuántas botellas se lleva? Asociativa: 3 · (4 · 12) = (3 · 4) ? 12 = 504 El resultado no varía independientemente de cómo agrupemos los números, no importa si calculamos primero cuántas botellas hay por montón (4 · 12) y luego calculamos las botellas según los montones que hay o si primero calculamos las cajas que hay (3 · 4) y luego vemos cuántas botellas en total en función de las cajas.

ACTIVIDADES 1

Completa. a) 8 + 9 = 9 + ......... ......... = ......... b) ........ ? 15 = 15 ? .........

45 = .........

c) 9 + ......... = ......... + .........

10 = .........

d) ......... ? 6 = ......... ? ......... ......... = 48 2

Completa. a) 12 ? 4 ? 2 = 12 ? (4 ? 2) = 12 ? 8 = 96 12 ? 4 ? 2 = (12 ? 4) ? 2 = ......... ? 2 = ......... b) 7 + 10 + 3 = 7 + (10 + 3) = ......... + ........ = ......... 7 + 10 + 3 = (7 + 10) + 3 = ......... + ........ = ......... c) 11 ? 5 ? 6 = 11 ? 5 ? 6 = d) 3 + 5 + 10 + 12 3 + 5 + 10 + 12 3 + 5 + 10 + 12 = (3 + 5) + (10 + 12) = 8 + ........ = ........

186


1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

MANEJAR LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

En una resta: el sustraendo más la diferencia es igual al minuendo. En toda división se cumple que: D = d ? c + r (propiedad fundamental de la división) La división puede ser: • Exacta. Su resto es cero: r = 0. • No exacta o entera. Su resto no es cero: r ! 0 y r < d.

EJEMPLO Comprobación de la resta: 456 - 123 = 333 Sustraendo: 123, diferencia: 333 " 123 + 333 = 456 ! Minuendo Comprobación de la división: División exacta

3

4

5

División no exacta

288 24

96 25

48 12 0

21 3

288 = 24 ? 12

96 = 25 ? 3 + 21

r=0

r = 21 y 21 < 25

Comprueba si estas restas están bien realizando una suma a) 1 501 - 556 = 945

c) 832 - 47 = 795

e) 1 211 - 1 110 = 101

b) 987 - 789 = 198

d) 234 - 54 = 190

f ) 429 933 - 365 888 = 54 045

Indica cuáles de estas divisiones están bien, sin realizar la división. a) 835 : 255 = 3 con resto 70

c) 1 497 : 499 = 3 con resto 0

b) 701 : 9 = 77 con resto 1

d) 31 974 : 2 004 = 16 con resto 1 914

Completa estas tablas: Dividendo

Divisor

350

5

54

Cociente

30

Divisor

41

4

105

9 4

Dividendo


2

Cociente

Resto

10

5

7

1

187

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA

Nombre:

Curso:

Fecha:

Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales.

EJEMPLO En el gimnasio del colegio hay 4 cajas de cartón, cada una de las cuales contiene 4 redes con 4 pelotas en cada red. ¿Cuántas pelotas hay en total? 4 cajas, 4 redes y 4 pelotas 4 ? 4 ? 4 = 64 pelotas Esta operación la podemos expresar de la siguiente manera. 43 = 4 ? 4 ? 4 43 es una potencia.

Una potencia está formada por una base y un exponente. Base: factor que se repite. F

4 3 F

Exponente: número de veces que hay que multiplicar la base por sí misma. F Se lee: «Cuatro elevado al cubo».

3

Por tanto: 4 = 4 ? 4 ? 4.

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla. Potencia

Base

Exponente

35

Se lee Tres (elevado) a la quinta

4

6

10

3 Cinco (elevado) a la sexta

2

3

4

Resuelve con la calculadora. ¿Qué observas en los ejercicios a) y b), y en las actividades c) y d)? a) 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 54

c) 20 ? 20 ? 20 ? 20 ? 20 ? 20 =

e) 4 ? 4 ? 4 =

b) 7 ? 7 ? 7 =

d) 6 ? 6 =

f ) 3 ? 3 ? 3 =

Escribe como producto de factores iguales. a) 24 = 2 ? 2 ? 2 ? 2

c) 82 =

e) 74 =

b) 63 =

d) 105 =

f ) 55 =

Halla el valor de las siguientes potencias.

188

a) 32 = 3 ? 3 = 9

d) 24 =

g) 92 =

b) 43 =

e) 103 =

h) 53 =

c) 94 =

f ) 108 =

i ) 63 =


1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA

Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Escribe con números. a) Seis elevado al cuadrado =

b) Diez elevado a la cuarta =

POTENCIAS DE BASE 10 • Las potencias de base 10 y cualquier número natural como exponente son un caso especial de potencias. • Se utilizan para expresar números muy grandes: distancias espaciales, habitantes de un país, etc. Potencia

Expresión

Número

Se lee

102

10 ? 10

100

Cien

10

10 ? 10 ? 10

1 000

Mil

104

10 ? 10 ? 10 ? 10

10 000

Diez mil

10

10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10

100 000

Cien mil

106

10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10

1 000 000

Un millón

3

5

6

7

Expresa en forma de potencia de base 10 los siguientes productos. a) 10 ? 10 ? 10 =

c) 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =

b) 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =

d) 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =

Completa. Número

Producto de dos números

Con potencia de base 10

15 ? 100 4 ? 106 13 000 000

La descomposición polinómica de un número es igual a la suma de los productos de sus cifras multiplicadas por la potencia de base 10 correspondiente a su orden.

EJEMPLO Escribe la descomposición de 5 612. 5 612 = 5 ? 103 + 6 ? 102 + 1 ? 101 + 2

8

Escribe la descomposición polinómica de 43 931 y 902 274.

9

Indica de que número es la descomposición polinómica 4 ? 104 + 2 ? 103 + 102 + 101 + 2.


189

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5

OPERAR CON POTENCIAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base. Cualquier potencia de exponente 0 es igual a 1.

ACTIVIDADES 1

Calcula estas potencias a) 50 = b) 51 = c) 52 = d) 53 = e) 54 =

Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes.

EJEMPLO Expresa como una sola potencia: a) 35 ? 32 = 35 + 2 = 37

2

b) 1033 ? 10321 ? 10312 = 1033 + 21 + 12 = 10336

Expresa como una sola potencia estos productos de potencias. a) 57 ? 53 =

c) 714 ? 721 =

e) 45 ? 44 ? 49 =

b) 174 ? 172 =

d) 113 ? 11 = f ) 2615 ? 26 ? 263 =

Para dividir dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes.

EJEMPLO Expresa como una sola potencia: a) 35 : 32 = 35 - 2 = 33

3

b) 2313 : 232 : 2310 = 2313 - 2 - 10 = 231 = 23

Expresa como una sola potencia estos productos de potencias. a) 57 : 53 =

c) 721 : 714 =

e) 413 : 44 : 49 =

b) 174 : 172 =

d) 113 : 11 = f ) 2615 : 269 : 265 =

Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.

EJEMPLO Expresa como una sola potencia: (35)2 = 35 ? 2 = 310

4

Expresa como una sola potencia estos productos de potencias. a) (57)8 =

190

b) (721)3 = c) ((4 15) 3) 2 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

1

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 6

CALCULAR RAÍCES CUADRADAS EXACTAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Se dice que un número es un cuadrado perfecto si existe otro número tal que al elevarlo al cuadrado nos da el primero. 9 es un cuadrado perfecto porque 32 = 9

16 es un cuadrado perfecto porque 42 = 16

ACTIVIDADES 1

Calcula los siguientes cuadrados. 12 = 62 = 112 = 22 = 72 = 122 = 32 = 82 = 132 = 42 = 92 = 142 = 52 = 102 = 152 =

2

Identifica los números que son cuadrados perfectos. 18, 25, 39, 44, 56, 64, 76, 81, 99, 111, 122, 136, 144, 152, 169, 174, 186, 195, 207, 218, 225 • Cuadrados perfectos: • No son cuadrados perfectos:

La raíz cuadrada exacta de un número es otro número tal que al elevarlo a cuadrado obtenemos el primero. 9 = 3 porque 32 = 9 F

a=bF

Raíz

F

Símbolo de raíz

16 = 4 porque 42 = 16 Solo existe raíz cuadrada exacta si el radicando es un cuadrado perfecto.

Radicando

3

Determina el radicando y la raíz. a)

64 = 8 b) 1=1 100 = 10 c)

Raíz = Raíz = Raíz = Radicando = Radicando = Radicando = 4

Determina la raíz exacta y completa. a)

36 =

porque

b) 121 = 5

porque

2

= 36

2

c) 49 =

= 121

d) 196 =

porque porque

= =

Determina la raíz exacta y completa. a) Como

2

= 25 entonces

b) Como

2

= 144 entonces

25 = 144 =

c) Como 8 2 = entonces

=8

d) Como 13 2 = entonces

=


191

1

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Completa. a) b) 5

2

3

3

? 25 : 2 2 = 2

:3 = 3

8

: 53 ? 52 =

4

d) 78 ? 7 2 : 7 =

Expresa en una sola potencia. a) 95 : 32 =

c) 367 : 63 =

b) 78 : 492 =

d) 2510 : 1253 =

Completa a) 7 4 ? 4

2

5

4

: 24 =

b) 8 2 ? 3 2 : 4

c) 36 : 3

c) 95 : 35 ? =6 3

= 4 d) : 5 3 ? 2 3 = 10

Calcula el resultado.

a) _ 49 i - 3 2 ? _2 3 - 25 i 3

b) 12 - `18 : 3 4 j + 4 ? 144 2

c)

32 ?

24 - 42

d) 4 3 : 2 4 + 64 : 2 3

5

Un tambor cuesta 68 € y dos equipos de música cuestan lo mismo que 9 tambores. ¿Cuánto cuestan 5 equipos de música?

6

Se quieren repartir 31 alumnos en grupos. Cada grupo debe tener al menos 3 alumnos y como máximo 5. ¿Cuántos grupos se pueden formar como mínimo?

192


1

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

7

Curso:

Fecha:

En una pastelería han fabricado 257 kg de mantecados. Los mantecados se ponen a la venta en cajas de 2, 3 o 5 kg. Las cajas de 2 kg se venden a 14 €, las de 3 kg a 20 € y las de 5 kg a 32 €. a) ¿Cuántas cajas como mínimo tendrán que utilizar? b) ¿Cuántas pueden usar como máximo? c) ¿Con cuál de las dos opciones tendrán mayor ganancia?

8

Para repartir 27 caramelos en bolsas de 4, 5 o 6 caramelos sin que sobre ninguno, ¿cuántas bolsas necesitamos como mínimo?

9

Tenemos 320 kg de naranjas que se quieren empaquetar en bolsas de 12 kg, 5 kg y 3 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitan como mínimo?

10

¿Cuánto hay que aumentar el lado de un cuadrado de lado 5 cm para que su área aumente en 24 cm2? ¿Y en 96 cm2?

11

Una fotografía cuadrada de 16 cm2 la queremos ampliar en cuatro veces su tamaño. ¿Cuál será la longitud de un lado de la foto?


193

1 1

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN

Completa.

6

a)

3

b) 5

: 53 ? 52 = 3

5

2

? 2 : 2 = 2 c) 36 : 3 : 3 = 3

5

2

a) 2 ? 2 : 2 = 2

8

4

78 ? 7 2 : 7 = d)

Si hacemos grupos de 5 alumnos tendremos 6 grupos y sobra 1 alumno. No nos vale esta distribución porque, como mínimo, debe haber 3 alumnos por grupo.

6

b) 59 : 5 3 ? 5 2 = 58

2

c) 36 : 3 4 : 3 = 3

Tomamos 5 grupos de 5 alumnos y sobran 6 alumnos, que repartimos en 2 grupos de 3.

d) 78 ? 7 2 : 7 6 = 7 4

En total, 5 + 2 = 7 grupos como mínimo.

Expresa en una sola potencia 5

a) 9 : 3

2

7 7

3

c) 36 : 6

b) 78 : 492

d) 2510 : 1253

a) 95 : 32 = 38

c) 367 : 63 = 611

8

2

4

10

b) 7 : 49 = 7 3

3

2

d) 25 : 125 = 5

b) ¿Cuántas pueden usar como máximo? c) ¿Con cuál de las dos opciones tendrán mayor ganancia?

4

: 24 = 2

2

b) 8 ? 3 :

c) 95 : 35 ? 3

3

5

=6

a) Para usar las menos cajas posibles, hacemos cajas grandes. Si hacemos cajas de 5 kg tendremos 51 cajas y sobrarían 2 kg, con los que hacemos otra caja, siendo 52 cajas en total.

3

= 4 d) : 5 ? 2 = 10

Respuestas abiertas. Por ejemplo:

b) Haciendo cajas lo más pequeñas posible: 127 cajas de 2 kg y 1 caja de 3 kg; serán 128 cajas en total.

a) 7 4 ? 4 2 : 2 4 = 7 4 b) 8 2 ? 3 2 : 6 2 = 4 2

c) En el primer caso: 51 ? 32 + 1 ? 14 = 1 646 €. En el segundo: 127 ? 14 + 1 ? 20 = 1 798 €. Tendrían más ganancia con la segunda opción.

c) 95 : 35 ? 25 = 65 d) 25 3 : 5 3 ? 2 3 = 10 3 8

Calcula el resultado

a) _ 49 i - 3 ? _2 - 25 i 3

2

3

b) 12 - `18 : 34 j + 4 ? 144 2

c)

2

4

3 ? 2 - 4

a) _ 49 i - 3 2 ? _2 3 - 25 i = 7 3 - 9 ? 3 = 343 - 27 = 316 3

b) 12 - `18 : 3 4 j + 4 ? 144 = 12 - 4 + 4 ? 12 = = 8 + 48 = 56 2

32 ?

Un tambor cuesta 68 € y dos equipos de música cuestan lo mismo que 9 tambores. ¿Cuánto cuestan 5 equipos de música?

Como no tenemos bolsas de 3 caramelos no nos vale esta opción. Veamos la siguiente posibilidad usando la mayor cantidad de bolsas grandes posible.

Ahora calculamos cuántos caramelos de los que nos sobran, 9, podríamos meter en la siguiente bolsa mayor, la de 5 caramelos. 9 5 4 1

Como 2 equipos de música son lo mismo que 9 tambores, 9 ? 68 = 612 €, entonces 1 equipo de música será la mitad, 612 : 2 = 306 €.

Usamos una bolsa de 5 caramelos y nos sobran 4.

Sabiendo cuánto vale un equipo de música, para saber

Por tanto, necesitaríamos como mínimo 5 bolsas: tres de 6 caramelos, una de 5 caramelos y otra de 4 caramelos.

cuánto valen 5 hay que multiplicar 306 ? 5 = 1 530 € 194

Si usamos 4 bolsas de 6 caramelos, sobran 3.

Utilizaremos 3 bolsas de 6 caramelos, 3 ? 6 = 18, y nos quedan por envasar 27 - 18 = 9.

24 - 42 = 6 - 4 = 2

d) 4 3 : 2 4 + 64 : 2 3 = 4 + 1 = 5 5

Para repartir 27 caramelos en bolsas de 4, 5 o 6 caramelos sin que sobre ninguno, ¿cuántas bolsas necesitamos como mínimo? Calculamos cuántos caramelos podríamos meter en las bolsas mayores, las bolsas de 6 caramelos: 27 6 3 4

2

d) 4 3 : 24 + 64 : 2 3

c)

En una pastelería han fabricado 257 kg de mantecados. Los mantecados se ponen a la venta en cajas de 2, 3 o 5 kg. Las cajas de 2 kg se venden a 14 €, las de 3 kg a 20 € y las de 5 kg a 32 €. a) ¿Cuántas cajas como mínimo tendrán que utilizar?

11

Completa a) 74 ? 4

4

Se quieren repartir 31 alumnos en grupos. Cada grupo debe tener al menos 3 alumnos y como máximo 5. ¿Cuántos grupos se pueden formar como mínimo?

Como tenemos bolsas de 4 caramelos, utilizaremos una bolsa de este tamaño.


1 9


Tenemos 320 kg de naranjas que se quieren empaquetar en bolsas de 12 kg, 5 kg y 3 kg. ¿Cuántas bolsas se necesitan como mínimo?

10

¿Cuánto hay que aumentar el lado de un cuadrado de lado 5 cm para que su área aumente en 24 cm2? ¿Y en 96 cm2?

Para usar la menor cantidad de bolsas posibles, usamos el mayor número de bolsas posible del tamaño grande.

Área de cuadrado de lado 5 cm = 25 cm2

Primero usamos 320 : 12 = 26 bolsas y sobran 8 kg, luego usamos 8 : 5 =1 bolsa y sobran 3 kg, y finalmente usamos 3 : 3 = 1 bolsa.

25 + 96 = 121 = 112 " hay que aumentarlo en 11 - 5 = 6 cm cada lado.

Para empaquetar 320 kg de naranjas en el mínimo de bolsas posibles usaremos 26 bolsas de 12 kg, 1 bolsa de 5 kg y 1 bolsa de 3 kg. En total, se necesitan 28 bolsas como mínimo para empaquetar los 320 kg de naranjas.

25 + 24 = 49 = 72 " hay que aumentarlo en 7 - 5 = 2 cm cada lado.

11

Una fotografía cuadrada de 16 cm2 la queremos ampliar en cuatro veces su tamaño. ¿Cuál será la longitud de un lado de la foto? Como 16 ? 4 = 64 cm2, entonces la longitud del lado de la foto.


64 = 8 cm será

195

2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER Y APLICAR LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Nombre:

Curso:

Fecha:

Los criterios de divisibilidad son una serie de normas que permiten saber si un número es divisible por 2, 3, 5, 10… A continuación, vamos a hallar estos criterios.

EJEMPLO Un atleta recorre una distancia en saltos de 2 metros.

0 2 4 6 8 10 12 14 … Una rana recorre una distancia en saltos de 3 metros.

0 3 6 9 12 15 18 21 … Una garza recorre una distancia en saltos de 5 metros.

0 5 10 15 20 25 30 35 … Un canguro recorre una distancia en saltos de 10 metros.

0 10 20 30 40 50 60 70 … • Los saltos del atleta tienen algo en común: al dividirlos entre 2, la división es exacta: el resto es cero; son múltiplos de 2 y la distancia entre ellos es la misma, 2 metros. Los números que acaban en 0, 2, 4, 6 y 8 son divisibles por 2. Esta es la regla de divisibilidad por 2. • Los saltos de la rana tienen algo en común: al dividirlos entre 3, la división es exacta: el resto es cero; son múltiplos de 3 y la distancia entre ellos es la misma, 3 metros. Observa que si sumamos sus cifras, el número obtenido es múltiplo de 3. Esta es la regla de divisibilidad por 3. 3, 12, 21... Sus cifras suman 3, que es múltiplo de 3. 6, 15, 24... Sus cifras suman 6, que es múltiplo de 3. 9, 18, 27... Sus cifras suman 9, que es múltiplo de 3. • Los saltos de la garza tienen algo en común: al dividirlos entre 5, la división es exacta: el resto es cero; son múltiplos de 5 y la distancia entre ellos es la misma, 5 metros. Los números que acaban en 0 o en 5 son divisibles por 5. Esta es la regla de divisibilidad por 5. • Los saltos del canguro tienen algo en común: al dividirlos entre 10, la división es exacta: el resto es cero; son múltiplos de 10 y la distancia entre ellos es la misma, 10 metros. Los números que acaban en 0 son divisibles por 10. Esta es la regla de divisibilidad por 10.

196


2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER Y APLICAR LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Indica cuál de los números cumple los criterios de divisibilidad de la tabla (algunos números pueden serlo por varios). Divisible por 2

Divisible por 3

Divisible por 5

Divisible por 10

18 35 40 84 100 150 1 038 480 1 002 5 027

2

De los números 230, 496, 520, 2 080, 2 100, 2 745 y 455, di: a) ¿Cuáles son múltiplos de 2? b) ¿Cuáles son múltiplos de 3? c) ¿Cuáles son múltiplos de 5? d) ¿Cuáles son múltiplos de 10?

3

Completa la cifra que falta en cada número para que se cumpla el criterio de divisibilidad que se indica (pueden existir varias soluciones).

36....

Divisible por 2

Divisible por 3

Divisible por 5

Divisible por 10

364

369

365

360

35 02.... No puede ser. No acaba en 0 ni en…

9....6 1 4....0 8 8....5 43....79

No puede ser. No acaba en 0, ni en 2…


197

2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

IDENTIFICAR LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO

Nombre:

Curso:

Fecha:

Los múltiplos de un número son aquellos que se obtienen multiplicando dicho número por 1, 2, 3, 4, 5… es decir, por los números naturales. Múltiplos de 4

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…

EJEMPLO En una tienda de deportes las pelotas de tenis se venden en botes de 3 unidades. ¿Cuántas pelotas puedo comprar? 1 bote

2 botes

3 botes

4 botes

5 botes …

3 ? 1 = 3

3 ? 2 = 6

3 ? 3 = 9

3 ? 4 = 12

3 ? 5 = 15 …

Se pueden comprar 3, 6, 9, 12, 15… pelotas. Los números 3, 6, 9, 12, 15… son múltiplos de 3.

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla. X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 4

32

6 8

24 16

10

2

3

90

Escribe los números que faltan (en algunos apartados pueden existir varias soluciones). a) 28

es múltiplo de

b) 35

es múltiplo de ....... porque ....... = ....... ? 7

4

porque

28

= 4 ? .......

c) ....... es múltiplo de

6

porque ....... = ....... ? .......

d) ....... es múltiplo de

8

porque ....... = 8 ? .......

e) 30

es múltiplo de

10

porque

f) 54

es múltiplo de ....... porque ....... = ....... ? .......

30

= 10 ? .......

Juan acude a unos grandes almacenes y observa que algunos artículos se venden de la siguiente forma. • Las cintas de vídeo en paquetes de 3 unidades. • Los lápices en bolsas de 2 unidades. • Los disquetes en cajas de 10 unidades. • Los CD en grupos de 5 unidades. ¿Cuántas unidades de cada artículo podríamos comprar?

198


2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

Los divisores de un número son los que dividen dicho número un número exacto de veces. 24 6 0 4

24 5

24 8

4 4

0 3

veces

24 7 veces

3 3

6 y 8 son divisores de 24 porque dividen exactamente a 24. La división entre ellos es exacta ya que su resto es cero.

EJEMPLO Quiero guardar 18 lapiceros en bolsas, de modo que cada una de ellas contenga la misma cantidad de lapiceros sin que sobre ninguno. Tengo que ordenarlos y agruparlos de las siguientes maneras.

18 1

18 2

18 3

08 18 0

0 9

0 6

1 bolsa de 18 lapiceros

2 bolsas de 9 lapiceros


18 6

18 9

18 18

0 3

0 2

0 1



18 bolsas de 1 lapicero

• Los números 1, 2, 3, 6, 9, 18 son divisores de 18. • Los lapiceros están agrupados en bolsas con igual cantidad de ellos. • La división es exacta, no sobra nada: 1 es divisor de 18 porque

18 : 1 = 18 y el resto es 0.

2 es divisor de 18 porque

18 : 2 = 9 y el resto es 0.


18 : 3 = 6 y el resto es 0.


18 : 6 = 3 y el resto es 0.


18 : 9 = 2 y el resto es 0.

18 es divisor de 18 porque 18 : 18 = 1 y el resto es 0.


199

2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

4

Curso:

Fecha:

Completa la siguiente tabla. 12 : 1

12 : 2

12 : 3

12 : 4

12 : 5

12 : 6

12 : 7

12 : 8

12 : 9

12 : 10

12 : 11

12 : 12

División Cociente Resto

5

6

Tacha aquellos números que no sean: Divisores de 5 = 1, 3, 5

Divisores de 25 = 1, 3, 5, 10, 20, 25

Divisores de 9 = 1, 2, 3, 6, 9

Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48

Divisores de 11 = 1, 3, 9, 11

Divisores de 100 = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100

Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones y razona tu respuesta. El número 15 es: a) Múltiplo de 5 V o F porque 5 ? ......... = ......... b) Divisor de 10 V o F porque ............................ c) Múltiplo de 6 V o F porque ............................ d) Divisor de 45 V o F porque ............................

Para calcular todos los divisores de un número lo dividimos entre los números naturales menores e iguales que él. Los números que hacen que la división sea exacta son sus divisores.

7

8

Halla todos los divisores de: a) 18

d) 20

b) 22

e) 16

c) 15

f ) 14

En la clase de Educación Física hay 24 alumnos. ¿De cuántas maneras se podrán formar grupos iguales de alumnos sin que sobre ninguno? Razona tu respuesta.

200


2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

Múltiplo y divisor son dos conceptos relacionados entre sí. En una división exacta de dos números decimos que existe una relación de divisibilidad. • El número mayor es múltiplo del menor. • El número menor es divisor del mayor. 48 es múltiplo de 8, porque 48 = 8 ? 6. 8 es divisor de 48, porque 8 divide un número exacto de veces a 48 (6 veces).

48 : 8 = 6

48 es múltiplo de 6, porque 48 = 6 ? 8. 6 es divisor de 48, porque 6 divide un número exacto de veces a 48 (8 veces).

48 : 6 = 8

9

Completa con la palabra adecuada, múltiplo o divisor.

10

a) 25 es ...................... de 5

d) 11 es ........................ de 33

b) 60 es ...................... de 120

e) 100 es ...................... de 25

c) 16 es ...................... de 8

f ) 7 es ......................... de 63

Dados los números 15, 10, 1, 25, 5, 8, 20, 45, 2, 12, indica cuáles son: a) Divisores de 50.

b) Múltiplos de 3.

11

Observa estos números: 9, 25, 15, 20, 48, 100, 45, 5, 2, 22, 3. Forma, al menos, 4 parejas que verifiquen la relación de divisibilidad.


201

2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

RECONOCER NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. FACTORIZAR UN NÚMERO

Nombre:

Curso:

Fecha:

Número primo: solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. Número compuesto: tiene más de dos divisores.

EJEMPLO Los 5 jugadores de un equipo de baloncesto quieren saber de cuántas maneras pueden formar grupos iguales para realizar sus entrenamientos. 5 1

5 2

5 3

5 4

5 5

0 5

1 2

2 1

1 1

0 1

Se pueden agrupar en conjuntos de 1 y de 5 jugadores. El número 5 solo tiene dos divisores: 5 y 1 (él mismo y la unidad). Se dice que es un número primo. De igual manera ocurre con los 7 jugadores de un equipo de balonmano. El número 7 solo tiene dos divisores: 7 y 1. Es un número primo. Tengo 8 libros para colocar en una estantería. ¿Cuántos grupos iguales de ellos puedo formar? 8 1

8 2

8 3

8 4

0 8

0 4

2 2

0 2

8 5

8 6

8 7

8 8

3 1

2 1

1 1

0 1

Los puedo colocar en grupos de 1, 2, 4 y 8 libros. El número 8 tiene varios divisores. Se dice que es un número compuesto.

ACTIVIDADES 1

Halla los números primos que hay desde 100 hasta 129 (escríbelos en rojo). 100

101

110

111

102 115 127

2

Clasifica los números en primos o compuestos: 6, 15, 7, 24, 13, 2, 20, 11 y 10. a) Números primos: b) Números compuestos:

3

Un equipo de fútbol tiene 11 jugadores. a) ¿De cuántas maneras se pueden colocar formando grupos iguales de jugadores?

b) Si se une al entrenamiento otro jugador, ¿cómo se agruparían?

202


2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

Curso:

Fecha:

Descomponer un número en factores es expresarlo como un producto de varios números. Un número primo solo admite una descomposición en factores, mientras que un número compuesto puede tener más de una. Como 13 es un número primo solo se puede descomponer en factores como 13 ? 1. En cambio, 32 es un número compuesto y admite más de una descomposición en factores: 32 = 8 ? 4 = 2 ? 16 " Dos descomposiciones en factores de 32 son 8 ? 4 y 2 ? 16.

4

Decide si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y razona tu respuesta. a) Una descomposición en factores de 24 es 2 ? 12.

V o F porque 24 = .................................................................

b) 42 solo se puede descomponer en factores como es 2 ? 12.

V o F porque ...........................................................................

c) Como 8 es un número compuesto tiene varias descomposiciones en factores.

V o F porque ...........................................................................

d) Una descomposición en factores de 48 es 3 ? 16 y además no es la única.

V o F porque 48 = .................................................................

Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como un producto de sus divisores primos.

EJEMPLO Descompón en factores primos el número 36. – Se coloca el número. – Se traza una línea vertical a su derecha. – Se comienza a dividir entre los sucesivos números primos (2, 3, 5, 7…) tantas veces como se pueda. – Acabamos de dividir cuando el último número es un número primo (cociente 1). 36 2

– El primer número primo por el que es divisible 36 es 2: 36 : 2 = 18

18 2

– El primer número primo por el que es divisible 18 es 2: 18 : 2 = 9

9 3

– El primer número primo por el que es divisible 9 es 3:

9:3=3

3 3

– El primer número primo por el que es divisible 3 es 3:

3:3=1

1 Por tanto, la descomposición en factores primos de 36 es: 36 = 2 ? 2 ? 3 ? 3 = 22 ? 32


203

2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Descompón el número 45 en factores primos. 45 3

– El primer número primo por el que es divisible 45 es 3 : 45 : 3 = 15

– El primer número primo por el que es divisible 15 es ...... : ........................

– El primer número primo por el que es divisible ................ : ........................

Podemos expresar el número 45 así: 45 = 3 ? ......... = .........

6

Descompón como producto de factores primos los números 50 y 60. 50 2

60 2

25 5

30 5

50 = 2 ? 5 ................

60 = 2 ? ................

7

Quiero guardar 40 latas en cajas iguales sin que sobre ninguna. ¿De cuántas maneras puedo hacerlo?

8

María desea distribuir el agua de una garrafa de 12 litros en envases que contengan el mismo número de litros. a) ¿Qué capacidades tendrán los recipientes?

Garrafa 12 litros

3 litros

b) ¿Cuántos necesitará en cada caso? 12 litros 4 litros

2 litros

204

1 litro

6 litros


2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

OBTENER DIVISORES Y MÚLTIPLOS COMUNES DE VARIOS NÚMEROS

Nombre:

Curso:

Fecha:

EJEMPLO DIVISORES COMUNES Juan tiene 12 locomotoras de juguete y Pedro 18 aviones. Quieren hacer grupos de manera que tengan el mismo número de juguetes en cada uno. Juan podrá hacer los siguientes grupos:

Pedro podrá hacer los siguientes grupos:

12 2 6 2 3 3 1 3

18 2 9 3 3 30 1 3

12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3

18 = 2 ? 3 ? 3 = 2 ? 32

Vamos a calcular sus divisores:

Vamos a calcular sus divisores:

1 2 3

1 2 3

4 6 12

6 9 18

Locomotoras

Aviones

1 grupo de 12 locomotoras

1 grupo de 18 aviones

2 grupos de 6 locomotoras

2 grupos de 9 aviones







12 grupos de 1 locomotora

18 grupos de 1 avión

Juan y Pedro pueden juntar sus juguetes en grupos iguales de 1, 2, 3 y 6. 1, 2, 3 y 6 son los divisores comunes de ambos números. 6 es el mayor grupo que ambos pueden formar con el mismo número de locomotoras y aviones. 6 es el mayor de los divisores comunes, y se llama máximo común divisor (m.c.d.).

ACTIVIDADES 1

Halla los divisores comunes de: a) 25 y 30

2

b) 9 y 12

c) 15 y 20

d) 16 y 24

Calcula el mayor de los divisores comunes de cada pareja de números del ejercicio anterior, es decir, el máximo común divisor (m.c.d.).


205

2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4


Nombre:

Curso:

Fecha:

EJEMPLO MÚLTIPLOS COMUNES Ana va a nadar al polideportivo cada 2 días y Eva cada 3. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán en el polideportivo? Ana

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Eva

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ana va los días 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20… Eva va los días 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21… 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20… son los múltiplos de 2. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21… son los múltiplos de 3. 6, 12, 18… son los múltiplos comunes de 2 y 3. 6 es el menor de los múltiplos comunes, y se llama mínimo común múltiplo (m.c.m.).

3

Halla los 5 primeros múltiplos comunes de: a) 5 y 10

c) 10 y 25

b) 4 y 6

d) 12 y 15

4

Calcula el menor de los múltiplos comunes de cada pareja de números del ejercicio anterior, es decir, el mínimo común múltiplo (m.c.m.).

5

Un barco sale de un puerto cada 4 días, otro cada 5 y un tercero cada 7 días. ¿Cuándo vuelven a coincidir los tres barcos en el puerto?

206


2

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4


Nombre:

6

Curso:

Fecha:

¿Cuál de las series está formada por múltiplos de 4? ¿Y por múltiplos de 5? ¿Y por múltiplos de 39? a) 1, 4, 9, 16, 25… b) 0, 5, 10, 15, 20… c) 1, 8, 27, 64… d) 0, 8, 16, 24, 32, 40… e) 0, 39, 78, 117, 156…

7

Completa la tabla indicando SÍ o NO. Divisible por 2

Divisible por 3

Divisible por 5

640 1 876 2 987 345 876

8

9

Obtén el m.c.d. de los siguientes números. a) 24 y 36

d) 6 y 14

g) 25 y 50

j ) 28 y 35

b) 12 y 14

e) 9 y 10

h) 14 y 42

k) 42 y 28

c) 16 y 18

f ) 5 y 15

i ) 6 y 15

l ) 4 y 6

Obtén el m.c.m. de los siguientes números. a) 24 y 36

d) 6 y 14

g) 25 y 50

j ) 28 y 35

b) 12 y 14

e) 9 y 10

h) 14 y 42

k) 42 y 28

c) 16 y 18

f ) 5 y 15

i ) 6 y 15

l ) 4 y 6


207

2

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Si 24 ? 32 es la descomposición de un número, ¿cuál es la factorización de su cuadrado? ¿Y la de su cubo?

2

Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números. a) 84 d) 643 b) 163 e) 254 c) 322 f) 495

3

Escribe la descomposición en factores primos: a) 64 ? 122 b) 273 ? 212 c) 182 ? 84

4

Sabiendo que la factorización de un número N es 22 ? 53 ? 74, escribe la factorización de estos números. a) 2N d) 5N b) N2 e) N/7 c) 9N f) N/100

5

Eva tiene una caja de caramelos y le dice a su amiga que se la regala si acierta cuántos caramelos tiene. Le da estas pistas: «La caja tiene menos de 60 caramelos. Si los reparto entre 9 amigos, no sobra ninguno; pero si los reparto entre 11, me falta 1». ¿Cuántos caramelos hay en la caja?

6

Encuentra el número más pequeño que cumple todas estas características: Al dividirlo por 3 el resto es 2; al dividirlo por 4 su resto es 3; al dividirlo por 5 su resto es 4 y al dividirlo por 6 su resto es 5. ¿Puedes encontrar tres más cumpliendo las mismas características?

208


2

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

7

Curso:

Fecha:

El número de divisores de un número se calcula multiplicando los exponentes de los factores de su descomposición aumentados una unidad. Calcula el número de divisores de los números que hay en la pizarra. a) 12 d) 432 b) 60 e) 2 520 c) 72 f) 3 003

8

El número 27 ? 5, ¿es divisible por 2? ¿Y por 5? ¿Y por 25? ¿Y por 80? ¿Y por 6?

9

Si un número es divisible por 3 y por 4, lo es también por 3 ? 4 = 12. Pero si es divisible por 6 y por 4, ¿es divisible por 6 ? 4 = 24?

10

Si un número no es divisible por 3, ¿puede ser su doble divisible por 3?

11

Si un número es par, ¿es divisible por 6 el triple de ese número?


209

2 1


Si 24 ? 32 es la descomposición de un número, ¿cuál es la factorización de su cuadrado? ¿Y la de su cubo?

6

Factorización de su cuadrado: 24?2 ? 32?2 = 28 ? 34 Factorización de su cubo: 24?3 ? 32?3 = 212 ? 36 2

3

Al realizar las divisiones se observa que si se le suma 1 al número, el obtenido es divisible por 3, 4, 5 y 6.

Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números. a) 84

d) 643

b) 163

e) 254

c) 322

f) 495

a) (23)4 = 212

d) (26)3 = 218

b) (24)3 = 212

e) (52)4 = 58

c) (25)2 = 210

f) (72)5 = 710

m.c.m. (3, 4, 5, 6) = 60 " El número es 60 - 1 = 59 Otros números con estas características serían 119, 179 y 239. 7

b) 60 = 22 ? 3 ? 5 " número de divisores = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 ? 2 ? 2 = 12

a) (3 ? 2)4 ? (3 ? 22)2 = 34 ? 24 ? 32 ? 24 = 28 ? 36

c) 72 = 23 ? 32 " número de divisores = (3 + 1)(2 + 1) = 4 ? 3 = 12

b) (33)3 ? (3 ? 7)2 = 39 ? 32 ? 72 = 311 ? 72 c) (2 ? 32)2 ? (23)4 = 22 ? 34 ? 212 = 214 ? 34

d) 432 = 24 ? 33 " número de divisores = (4 + 1)(3 + 1) = 5 ? 4 = 20

Sabiendo que la factorización de un número N es 22 ? 53 ? 74, escribe la factorización de estos números.

e) 2 520 = 23 ? 32 ? 5 ? 7 " número de divisores = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 ? 3 ? 2 ? 2 = 48

a) 2N d) 5N

f ) 3 003 = 3 ? 7 ? 11 ? 13 " número de divisores = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 16

2

b) N e) N/7 c) 9N f) N/100 3

3

4

2

2

3

4

El número de divisores de un número se calcula multiplicando los exponentes de los factores de su descomposición aumentados una unidad. Calcula el número de divisores de los números que hay en la pizarra. a) 12 = 22 ? 3 " número de divisores = (2 + 1)(1 + 1) = 3 ? 2 = 6

Escribe la descomposición en factores primos: a) 64 ? 122 b) 273 ? 212 c) 182 ? 84

4

Encuentra el número más pequeño que cumple todas estas características: Al dividirlo por 3 el resto es 2; al dividirlo por 4 su resto es 3; al dividirlo por 5 su resto es 4 y al dividirlo por 6 su resto es 5. ¿Puedes encontrar tres más cumpliendo las mismas características?

8 2

3

a) 2 ? 5 ? 7 c) 2 ? 3 ? 5 ? 7 e) 2 ? 5 ? 7

3

El número 27 ? 5, ¿es divisible por 2? ¿Y por 5? ¿Y por 25? ¿Y por 80? ¿Y por 6? Es divisible por 2, por ser factor de 27 ? 5.

b) 24 ? 56 ? 78 d) 22 ? 54 ? 74 f) 5 ? 74

Es divisible por 5, por ser factor de 27 ? 5. 5

Eva tiene una caja de caramelos y le dice a su amiga que se la regala si acierta cuántos caramelos tiene. Le da estas pistas:

No es divisible por 25, porque 25 = 52 que no es factor de 27 ? 5. Es divisible por 80, porque 80 = 24 ? 5, que es factor de 27 ? 5 = 23 · (24 ? 5).

«La caja tiene menos de 60 caramelos. Si los reparto entre 9 amigos, no sobra ninguno; pero si los reparto entre 11, me falta 1».

No es divisible por 6, porque 6 = 2 ? 3, que no es factor de 27 ? 5.

¿Cuántos caramelos hay en la caja? El número es múltiplo de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63… El número debe cumplir que sea múltiplo de 9 y que, al sumarle 1, el número obtenido sea menor que 60 y múltiplo de 11: 9 + 1 = 10, 18 + 1 = 19,…, 54 + 1 = 55 es múltiplo de 11, con lo que la caja tiene 54 caramelos.

210

9

Si un número es divisible por 3 y por 4, lo es también por 3 ? 4 = 12. Pero si es divisible por 6 y por 4, ¿es divisible por 6 ? 4 = 24? Si es divisible por dos números, lo es por su m.c.m.; en este caso m.c.m. (6, 4) = 12, pero no podemos asegurar que lo sea por otro de sus múltiplos. Por ejemplo, 60 es múltiplo de 6 y 4, pero no de 24.


2 10


Si un número no es divisible por 3, ¿puede ser su doble divisible por 3? Si no es divisible por 3 en su descomposición factorial no aparece el 3. Considerando su doble, la descomposición factorial estará multiplicada por 2, por lo que seguirá sin tener un 3. Por lo tanto, no será divisible por 3.

11

Si un número es par, ¿es divisible por 6 el triple de ese número? Sí, ya que si un número es par será de la forma 2 ? n. El triple de dicho número será de la forma 3 ? 2 ? n = 6 · n, y 6 ? n es divisible por 6.


211

3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Nombre:

Curso:

Fecha:

NÚMEROS NEGATIVOS En nuestra vida diaria observamos, leemos y decimos expresiones del tipo: • Hemos dejado el coche aparcado en el segundo sótano. • El submarino está a ciento veinte metros bajo el nivel del mar. • Hace una temperatura de cuatro grados bajo cero. • Tu cuenta está en números rojos, debes 160 euros. Desde el punto de vista matemático, y en la práctica, se expresan así: • El coche está en la planta -2. • El submarino está a -120. • Hace una temperatura de -4 °C. • Tienes -160 € en tu cuenta.

Se lee «menos dos». Se lee «menos 120». Se lee «menos cuatro». Se lee «menos 160».

-2, -120, -4, -160 son números negativos. Expresan cantidades, situaciones, medidas, cuyo valor es menor que cero. Les precede el signo menos (-). Se asocian a expresiones del tipo: menos que, deber, bajo, disminuir o restar.

ACTIVIDADES 1

Expresa con números negativos. a) La cueva está a cincuenta y cinco metros de profundidad. b) La sección de juguetes está en el tercer sótano. c) La temperatura es de un grado bajo cero.

2

Escribe situaciones que representen estos números negativos. a) -2: ............................................................................................................................................................ b) -5: ............................................................................................................................................................ c) -10: ..........................................................................................................................................................

NÚMEROS POSITIVOS Por otro lado, también observamos, leemos y decimos expresiones del tipo: • La ropa vaquera está en la tercera planta. • La gaviota está volando a cincuenta metros sobre el nivel del mar. • ¡Qué calor! Estamos a treinta grados. • Tengo en el banco 160 €. Desde el punto de vista matemático, y en la práctica, se expresan así: • La ropa vaquera está en la planta +3. • La gaviota vuela a +50 m. • ¡Qué calor! Estamos a +30 °C. • Tengo +160 €.

Se lee «más tres». Se lee «más 50». Se lee «más 30». Se lee «más 160»

+3, +50, +30, +160 son números positivos. Expresan cantidades, situaciones o medidas, cuyo valor es mayor que cero. Les precede el signo más (+). Se asocian a expresiones del tipo: más que, tengo, sobre, aumentar o añadir.

212


3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Nombre:

3

Curso:

Fecha:

Expresa con números positivos las siguientes expresiones. a) Estamos a treinta y dos grados. b) El avión vuela a mil quinientos metros sobre el nivel del mar. c) El monte tiene una altura de ochocientos metros. d) La cometa puede volar a ochenta metros.

4

Escribe situaciones que representen estos números positivos. a) +3: ............................................................................................................................................................ b) +10: .......................................................................................................................................................... c) +45: ..........................................................................................................................................................

Los números positivos, negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros. Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, … Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, … Cero: 0

5

Expresa con un número entero estas situaciones. a) El helicóptero vuela a 150 m. b) Estoy flotando en el mar. c) El termómetro marca 4 grados bajo cero. d) El Everest mide 8 844 m. e) Ana tiene una deuda de 46 €. f) Te espero en la planta baja.

6

Representa con un dibujo los botones del ascensor de un edificio que tiene 7 plantas, una planta baja y 4 plantas para aparcar.

7

Un termómetro ha marcado las siguientes temperaturas, en ºC, durante una semana. Exprésalo con números enteros. Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Dos sobre cero

Cinco sobre cero

Cero grados

Tres bajo cero

Dos sobre cero

Uno bajo cero

Cinco sobre cero


213

3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

REPRESENTAR, ORDENAR Y COMPARAR NÚMEROS ENTEROS

Nombre:

Curso:

Fecha:

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS Ya conocemos la recta en la que se representan los números naturales, incluyendo el cero. Ahora vamos a representar los números enteros. 1.º Dibujamos una recta. 2.º Señalamos el origen O, que es el valor cero (0). 3.º Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha e izquierda del cero. 4.º A la derecha del origen colocamos los números enteros positivos. 5.º A la izquierda del origen colocamos los números enteros negativos.

…

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

14444444444444244444444444443

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

…

14444444444444244444444444443

Números enteros negativos

Números enteros positivos

ACTIVIDADES 1

Representa en una recta los siguientes números enteros: +8, -9, +5, 0, -1, +6, -7, +11, -6.

2

Representa en una recta numérica los números -5 y +5. a) Señala de rojo los números enteros entre -5 y 0. b) Señala de azul los números enteros entre +5 y 0. c) ¿Qué observas?

3

Considera los siguientes números: -7, +8, +3, -10, +6, +4, -2. a) Represéntalos en la recta numérica. b) ¿Cuál está más alejado del origen? c) ¿Y cuál está más cercano? d) Escribe, para cada uno de ellos, otro número situado a igual distancia del origen que él.

4

En una ciudad el termómetro osciló entre las siguientes temperaturas. Máxima: +3 °C Mínima: -4 °C a) Representa ambos valores en una recta numérica. b) Indica si pudieron marcarse estas temperaturas: -2 °C, +4 °C, -5 °C, +1 °C, 0 °C, +2 °C. c) Representa las temperaturas en la recta numérica.

214


3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO • El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) que le separa del cero en la recta numérica. • En la práctica se escribe entre dos barras, ||, y resulta el mismo número sin su signo: Valor absoluto de -3 se escribe |-3| y es 3. Valor absoluto de +5 se escribe |+5| y es 5.

…

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

…

+3

+4

+5

+6

+7

…

Observa que:

|+5| = 5 y |-5| = 5

…

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

• Los números +5 y -5 están a la misma distancia del origen: 5 unidades. • Se dice que son números opuestos y se escriben así: Op (+5) = -5 Op (-5) = +5 • Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto.

5

Completa la siguiente tabla. Valor absoluto

Resultado

Se lee

|+10|

10

El valor absoluto de -10 es 10.

|-8| 7 7 |-9| El valor absoluto de -15 es 15.

6

Representa en la recta numérica los siguientes números enteros. a) +7 y -7 b) +4 y -4 c) -6 y +6 d) +10 y -10 ¿Qué observas? ¿Cómo son estos números?

7

Para cada número entero, halla su número opuesto. a) -3 b) -12 c) +9 d) +8


215

3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA En la recta se representan los números enteros ordenados. 1.º Este orden supone una determinada colocación en la recta numérica. 2.º Un número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. 3.º Entre varios números enteros, siempre es mayor el que está situado más a la derecha en la recta. 4.º Utilizamos los símbolos mayor que (.) y menor que (,).

…

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

14444444444444244444444444443 Números enteros negativos

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

…

14444444444444244444444444443 Números enteros positivos

+5 . -3 -6 , -3 +7 , +11 -4 . -8 …, -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , +1 , +2 ,+3 , +4 , +5 , +6 , +7, … …, +7 . +6 . +5 . +4 . +3 . +2 . +1 . 0 . -1 . -2 . -3 . -4 . -5 . -6 . -7, …

8

Compara los siguientes pares de números enteros y represéntalos en la recta numérica. a) +13 y -2 b) -5 y -7 c) +4 y +1 d) -5 y 0

9

Ordena, de menor a mayor, los siguientes números, y represéntalos en la recta numérica. +11, -2, +8, 0, -1, +5, -6, +3, -3, +7, -4, -9, +17

10

Ordena, de mayor a menor, estos números. -8, -16, +5, -2, +13, +3, -4, -9, +9, 0, +18, -10

11

Representa y ordena, de menor a mayor, los números -5, +3, -8, +4, -2, +7, -1.

12

Escribe todos los números enteros que sean: a) Mayores que -4 y menores que +2. b) Menores que +3 y mayores que -5. c) Menores que +1 y mayores que -2. d) Mayores que 0 y menores que +3. e) Menores que -3 y mayores que -6.

216


3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS A PARTIR DEL VALOR ABSOLUTO • De dos o números enteros positivos, es mayor el de mayor valor absoluto. • De dos o más números enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto. • Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

EJEMPLO +7 . +3 porque: |+7| = 7 y |+3| = 3 7 . 3 -4 . -6 porque: |-4| = 4 y |-6| = 6 4 unidades están más cerca del cero que 6 unidades.

13

Ordena los números enteros, de mayor a menor, utilizando el valor absoluto. -5, -3, -9, -11, -10, -8, -6, -4

14

Ordena estos números enteros, de mayor a menor, utilizando el valor absoluto. +5, +3, +9, +11, +10, +8, +6, +4

15

16

Escribe el signo que corresponda, , o ., para los siguientes números. a) +7

+10 c) -5 0

b) +9

+5 d) -16 +20 f) +13 -11 h) +3 -3

-8 g) +11 0

Escribe el signo que corresponda (. o ,) entre cada par de números enteros. a) +5 b) 0

17

e) -10

-2 c) -1 0

e) +11

+15 g) -7 -4

+8 d) -4 +1 f) +10 -9 h) +5 -11

¿Es necesario hallar el valor absoluto para comparar dos números si uno es positivo y el otro negativo? ¿Por qué? Pon un ejemplo.


217

3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS ENTEROS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman sus valores absolutos y se pone el signo de los sumandos.

EJEMPLO (+3) + (+2) 3

|+3| = 3 |+2| = 2 3 (+3) + (+2) = +5 3+2=5

(-4) + (-1) 3

|-4| = 4 |-1| = 1 3 (-4) + (-1) = -5 4+1=5

Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el signo del mayor sumando.

EJEMPLO (+5) + (-1) 3

|+5| = 5 |-1| = 1 3 (+5) + (-1) = +4 5-1=4

(-3) + (+5) 3

|-3| = 3 |+5| = 5 3 (-3) + (+5) = +2 5-3=2

(-3) + (+5) = +2 (+5) + (-1) = +4 -1

+5

-5 -4 -3 -2 -1

0

+1 +2 +3 +4 +5

-5 -4 -3 -2 -1 0

+1 +2 +3 +4 +5

ACTIVIDADES 1

2

Realiza las siguientes sumas. a) (+5) + (+10) =

c) (-5) + (-10) =

e) (+7) + (-2) =

b) (-4) + (+4) =

d) (-7) + (+11) =

f) (-8) + (+6) =

Representa en la recta numérica estas sumas. a) (-3) + (-1)

218

b) (+4) + (+4)

c) (+5) + (-2)

d) (-2) + (-5)

e) (+4) + (-4)


3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

Curso:

Fecha:

Para restar dos números enteros hay que sumar al primer sumando el opuesto del segundo. Se aplica a continuación la regla de la suma de números enteros.

EJEMPLO (+5) - (+2) = (+5) + (-2) = +3 op (+2) = -2 3

|+5| = 5 3 5 - 2 = 3 |-2| = 2

(-6) - (-1) = (-6) + (+1) = -5 op (-1) = +1 3

|-6| = 6 3 6 - 1 = 5 |+1| = 1

3

4

Realiza las siguientes restas. a) (+10) - (+5) = (+10) + (-5) =

d) (-15) - (+7) =

b) (+8) - (-12) =

e) (-1) - (-1) =

c) (-18) - (+10) =

f) (-15) - (-10) =

Un submarino se encuentra a 100 metros de profundidad. Si asciende 55 metros, ¿cuál es su posición ahora? Expresa el problema numéricamente.

SUMAS Y RESTAS DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS Para agilizar las operaciones, hay que tener en cuenta una serie de reglas: • En las sumas se prescinde del signo + de la propia suma. • Cuando el primer sumando es positivo se escribe sin su signo. • Un paréntesis con números en su interior: – Siempre se efectúa en primer lugar. – Engloba a todos los números que hay dentro de él. – El signo que le precede afecta a todos los números de su interior. – Signo +

Mantiene los signos de los números de su interior.

– Signo -

Cambia los signos de los números (los transforma en sus opuestos).

• Podemos operar de dos formas: – Sumar por separado los enteros positivos, los enteros negativos y hallar la resta de ambos. – Realizar las operaciones en el orden en que aparecen.

EJEMPLO (+7) + (+2) = 7 + 2 = 9 (-4) + (-1) = -4 - 1 = -5 + (-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -7 + 10 = +3 + (-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -2 - 2 + 7 = -4 + 7 = +3 - (-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = 7 - 10 = -3 - (-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = +2 + 2 - 7 = 4 - 7 = -3


219

3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

5

6

Curso:

Fecha:

Realiza las siguientes operaciones utilizando las reglas anteriores. a) (+11) + (-2) = 11 - 2 = 9

d) (+10) - (+2) =

b) (+7) + (+1) =

e) (-11) - (-10) =

c) (-15) + (-4) =

f) (-7) + (+1) =

Calcula. a) 7 - 5 = d) -3 + 8 = b) 11 - 4 + 5 = e) -1 + 8 + 9 = c) -9 - 7 = f) -10 + 3 + 7 =

7

Haz las operaciones. a) 5 - 7 + 19 - 20 + 4 - 3 + 10 = b) -(8 + 9 - 11) = c) 9 - 11 + 13 + 2 - 4 - 5 + 9 = d) -(20 + 17) - 16 + 7 - 15 + 3 =

8

Opera de las dos formas explicadas. a) 8 - (4 - 7) =

b) -4 - (5 - 7) - (4 + 5) =

c) -(-1 - 2 - 3) - (5 - 5 + 4 + 6 + 8) =

d) (-1 + 2 - 9) - (5 - 5) - 4 + 5 =

e) (-1 - 9) - (5 - 4 + 6 + 8) - (8 - 7) =

f) -4 - (4 + 5) - (8 - 9) + 1 + 6 =

220


3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos: 1.º Se multiplican sus valores absolutos. 2.º Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

EJEMPLO (+5) ? (-3) = -15 3

5 ? 3 = 15 El resultado es -15 ya que son de distinto signo (positivo y negativo).

(-5) ? (-3) = +15 3

5 ? 3 = 15 El resultado es +15 ya que son de igual signo (negativo).

(+5) ? (+3) = +15 3

5 ? 3 = 15 El resultado es +15 ya que son de igual signo (positivo).

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos: 1.º Se dividen sus valores absolutos. 2.º Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

EJEMPLO (+20) : (-4) = -5 3

20 : 4 = 5 El resultado es -5 ya que son de distinto signo (positivo y negativo).

(-20) : (-4) = +5 3

20 : 4 = 5 El resultado es +5 ya que son de igual signo (negativo).

(+20) : (+4) = +5 3

20 : 4 = 5 El resultado es +5 ya que son de igual signo (positivo).

Para agilizar las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos:

Multiplicación División

(+) ? (+) = + (+) : (+) = + (-) ? (-) = + (-) : (-) = + (+) ? (-) = - (+) : (-) = (-) ? (+) = - (-) : (+) = -


221

3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

2

3

4

5

Realiza las siguientes operaciones. a) (+7) ? (+2) =

g) (+16) : (+2) =

b) (+12) ? (-3) =

h) (-8) : (-1) =

c) (-10) ? (+10) =

i) (-25) : (+5) =

d) (-5) ? (+8) =

j) (-100) : (+10) =

e) (-1) ? (-1) =

k) (+12) : (-3) =

f) (+5) ? (+20) =

l) (+45) : (+9) =

Efectúa. a) (-2) ? (-3) ? (+4) =

d) (+3) ? (+2) ? (-5) =

b) (-4) ? (-20) ? (-3) =

e) (-4) ? (+5) ? (-2) =

c) (+4) ? (+1) ? (-3) =

f) (-2) ? (-3) ? (-4) =

Calcula las operaciones aplicando la regla de los signos. a) (+12) ? (-3) =

g) (-1) ? (-18) =

b) (-20) : (-10) =

h) (-77) : (-11) =

c) (+6) ? (-6) =

i) (+10) ? (+4) =

d) (+80) : (-8) =

j) (-9) ? (+8) =

e) (-9) : (-3) =

k) (+35) : (+5) =

f) (-100) : (+25) =

l) (-12) ? (+5) =

Completa con los números enteros correspondientes. a) (+9) ? ........ = -36

g) (+42) : ........ = -7

b) (-7) ? ........ = +21

h) (-8) : ........ = +1

c) ........ ? (-8) = -40

i) ........ : (-9) = +6

d) ........ ? (+10) = -100

j) (-20) : ........ = -20

e) (-30) ? ........ = +30

k) ........ : (-6) = +5

f) (+6) ? ........ = 0

l) (+9) : ........ = -9

Completa con los números enteros correspondientes.

222

a) (-2) ? (-1) ........ = -8

d) (-5) ? (-2) ........ = -20

b) (+4) ? (-3) ........ = +24

e) (-3) ? (-1) ........ = +15

c) (-3) ? (-2) ........ = -12

f) (+4) ? (-5) ........ = -40


3

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5

REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Cuando hay una operación combinada el orden en el que se deben realizar las operaciones es el siguiente: 1.º Corchetes y paréntesIs 2.º Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha 3.º Sumas y restas de izquierda a derecha

ACTIVIDADES 1

2

3

Comprueba los diferentes resultados que se obtienen para la operación 1 + 4 ? 3 + (-5) - 2 ? (-3) según dónde se sitúen los paréntesis: a) 1 + 4 ? (3 + (-5) - 2) ? (-3)

d) 1 + 4 ? (3 + (-5)) - 2 ? (-3)

b) (1 + 4) ? 3 + (-5) - 2 ? (-3)

e) (1 + 4) ? (3 + (-5)) - 2 ? (-3)

c) 1 + (4 ? 3 + (-5)) - 2 ? (-3)

f) 1 + 4 ? (3 + (-5) - 2 ? (-3))

Realiza las siguientes operaciones. a) 27 : 3 - 8 + 5 ? 3

d) (4 - 8 + 6) : 2 ? (4 + 10)

b) 7 + 3 - 8 ? 2 : 4 - 1

e) (3 ? (5 - 3) + 2) : (10 - 6)

c) 3 ? 3 ? 2 + 5 - 7 ? 2 + 10 : 5

f) 15 : (10 - 7) + 3 ? 3 : (5 + 4) ? 10 - 8

Inés tiene una partición en el ordenador de 20 GB para guardar las fotos. Las fotos de sus vacaciones en Marruecos el verano pasado ocupan 3 GB, las fotos de la boda de su hermano ocupan el doble que las de las vacaciones en Marruecos y las de las Navidades pasadas ocupan 2 GB menos que las de Marruecos. El espacio que le queda lo quiere dividir en dos partes iguales, uno para seguir almecenando fotos y el otro para añadirlo a una partición que quiere hacer para música. ¿Qué capacidad en GB tendrá la nueva partición para música?


223

3

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

2

3

Recuerda que una potencia es lo mismo que multiplicar el número de la base, tantas veces como indica el exponente (43 = 4 ? 4 ? 4). Usando esta definición, realiza estos cálculos. a) (-3)2

e) (-3)3

b) (-2)3

f) (-2)4

c) (-1)4

g) (-5)3

d) (-5)2

h) (-1)3

Halla el resultado realizando primero la operación del paréntesis. a) (-2 - 4)2

e) (1 - 5)2

b) (-6 + 3)3

f) (9 - 5)3

c) (-3 - 2)2

g) (-4 + 6)3

d) (2 - 3)5

h) (-10 + 8)4

Efectúa aplicando la jerarquía de las operaciones. a) 32 - (-2)2 e) -5 + (-3)2 b) 10 + (-1)3 f) -8 - (-2)3

4

c) (-1)2 + (3)2

g) (-2)4 - (-2)3

d) 9 + (-3)2

h) 1 - 22

Efectúa.

224

a) 6 - (5 - 7)2

e) 3 ? (-2)2 -8

b) (-2 -5) ? (-1)3

f) 4 + 5 ? (-3)2

c) 10 - (-1 + 4)3

g) (-1)2 : (-1 - 1) ? (3 + 2)

d) -3 - 3 ? (-4)2

h) (2 - 4)4 : (-8) - 2


3

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Realiza los cálculos y obtén el resultado. a) 3 - 3 ? (42 - 3)

d) (12 - 3 ? 5) - 32 + 5

b) 62 - 5 ? (33 - 2)

e) 52 + 22 - 62

c) 72 - (23 - 2) ? (-5)

6

Completa en tu cuaderno los cuadrados mágicos, sabiendo que la suma de los números en horizontal, en vertical y en diagonal es la misma.

7

Coloca en el tablero números enteros de -6 a +2 (ambos inclusive) para que formen un cuadrado mágico.

8

Pon un ejemplo de dos números enteros tales que el valor absoluto de su suma sea igual que la suma de sus valores absolutos. ¿Ocurre eso siempre para cualquier pareja de números enteros?

9

En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser la suma de los dos números de las casillas sobre las que está apoyado. Complétala.

-24 -7 2

-6 -3


225

3 1


Recuerda que una potencia es lo mismo que multiplicar el número de la base, tantas veces como indica el exponente (43 = 4 ? 4 ? 4). Usando esta definición, realiza estos cálculos.

4

e) 3 ? (-2)2 -8

b) (-2 -5) ? (-1)3

f) 4 + 5 ? (-3)2

e) (-3)3

c) 10 - (-1 + 4)3

g) (-1)2 : (-1 - 1) ? (3 + 2)

b) (-2)3

f) (-2)4

d) -3 - 3 ? (-4)2

h) (2 - 4)4 : (-8) - 2

c) (-1)4

g) (-5)3

a) 6 - (-2)2 = 6 - 4 = 2

d) (-5)2

h) (-1)3

b) -7 ? (-1) = 7

a) (-3) ? (-3) = 9

c) 10 - 33 = 10 - 27 = -17

b) (-2) ? (-2) ? (-2) = 4 ? (-2) = -8

d) -3 - 3 ? 16 = -51

c) (-1) ? (-1) ? (-1) ? (-1) = 1

e) 3 ? 4 - 8 = 4

d) (-5) ? (-5) = 25

f) 4 + 5 ? 9 = 4 + 45 = 49

e) (-3) ? (-3) ? (-3) = 9 ? (-3) = -27

g) 1 : (-2) ? (5) = (-1/2) ? 5 = -5/2

f) (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = (-8) ? (-2) = 16

h) (-2)4 : (-8) - 2 = 16 : (-8) - 2 = -2 - 2 = -4 5

h) (-1) ? (-1) ? (-1) = -1

3

a) 6 - (5 - 7)2

a) (-3)2

g) (-5) ? (-5) ? (-5) = 25 ? (-5) = -125

2

Efectúa.

Halla el resultado realizando primero la operación del paréntesis.

Realiza los cálculos y obtén el resultado. a) 3 - 3 ? (42 - 3)

d) (12 - 3 ? 5) - 32 + 5

b) 62 - 5 ? (33 - 2)

e) 52 + 22 - 62

c) 72 - (23 - 2) ? (-5)

a) (-2 - 4)2

e) (1 - 5)2

a) 3 - 3 ? 13 = -36 d) -3 - 9 + 5 = -7

b) (-6 + 3)3

f) (9 - 5)3

b) 36 - 5 ? 25 = -89

c) (-3 - 2)2

g) (-4 + 6)3

c) 49 - 6 ? (-5) = 79

d) (2 - 3)5

h) (-10 + 8)4

a) (-6)2 = 36

e) (-4)2 = 16

b) (-3)3 = -27

f) 43 = 64

c) (-5)2 = 25

g) 23 = 8

d) (-1)5 = -1

h) (-2)4 = 16

6

e) 25 + 4 - 36 = -7

Completa en tu cuaderno los cuadrados mágicos, sabiendo que la suma de los números en horizontal, en vertical y en diagonal es la misma.

Efectúa aplicando la jerarquía de las operaciones. a) 32 - (-2)2 e) -5 + (-3)2 b) 10 + (-1)3 f) -8 - (-2)3 c) (-1)2 + (3)2 2

d) 9 + (-3)

226

g) (-2)4 - (-2)3 h) 1 - 2

2

-4

3

-2

1

-1

-3

0

-5

2

0

-10

1

a) 9 - 4 = 5

e) -5 + 9 = 4

b) 10 - 1 = 9

f) -8 - (-8) = 0

c) 1 + 9 = 10

g) 16 - (-8) = 24

-2

-3

-4

d) 9 + 9 = 18

h) 1 - 4 = -3

-7

4

-6


3 7


Coloca en el tablero números enteros de -6 a +2 (ambos inclusive) para que formen un cuadrado mágico.

9

En esta pirámide, el número de cada casilla debe ser la suma de los dos números de las casillas sobre las que está apoyado. Complétala.

-24 -7 2

-6 -3

-5

0

-1

2

-2

-6

-3

-4

1

-25 6 2

8

Pon un ejemplo de dos números enteros tales que el valor absoluto de su suma sea igual que la suma de sus valores absolutos. ¿Ocurre eso siempre para cualquier pareja de números enteros?

-24

-1

-5

-7 4

7

-17 -6

-11 -3

-8

2

|+3 + 4| = |+3| + |+4|

|+7|

= 3 + 4

7

= 7

|-3 - 4| = |-3| + |-4|

|-7|

7

= 3 + 4 = 7

No ocurre siempre; si cogemos números con distinto signo no se cumple: |(-3) + 5| = |-3| + |+5| |2| = 3 + 5 2 = 5 " NO ES CIERTO.


227

4

REPASO Y APOYO

COMPRENDER EL CONCEPTO DE FRACCIÓN. REPRESENTAR FRACCIONES

Nombre:

Curso:

OBJETIVO 1

Fecha:

• Para expresar una cantidad de algo que es incompleto utilizamos las fracciones. • Ejemplos de frases en las que utilizamos fracciones son: «Dame la mitad de...», «solo nos falta hacer la cuarta parte del recorrido...», «se inundó la habitación de agua en dos quintas partes...», «los dos tercios del barril están vacíos...», «me he gastado la tercera parte de la paga...». • Una fracción es una expresión matemática que consta de dos términos, llamados numerador y denominador, separados por una línea horizontal que se denomina raya de fracción. En general, si a y b son dos números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), una fracción se escribe así: Raya de fracción

F

a F b F

Numerador Denominador

EJEMPLO Fracción como parte de la unidad • Raya de fracción (—). Indica partición, parte de, cociente, entre, división. • Numerador (a). Número de partes que tomamos de la unidad. • Denominador (b). Número de partes iguales en las que se divide la unidad. Juan abre una caja de quesitos que tiene 8 porciones y se come 3. ¿Cómo lo expresarías? 3 F 8 F

3 porciones se come Juan (partes que toma de la caja) 8 porciones tiene la caja (partes iguales de la caja)

Numerador Denominador

¿Cómo se leen las fracciones? Si el numerador es

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Se lee

Un

Dos

Tres

Cuatro

Cinco

Seis

Siete

Ocho

Nueve

Si el denominador es

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Se lee

Medios

Tercios

Cuartos

Quintos

Sextos

Séptimos

Octavos

Novenos

Décimos

Si el denominador es mayor que 10, se lee el número seguido del término -avo. Si el denominador es

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Se lee

Onceavos

Doceavos

Treceavos

Catorceavos

Quinceavos

Dieciseisavos

Diecisieteavos

Dieciochoavos

Diecinueveavos

Por tanto, podemos decir que Juan se ha comido los tres octavos de la caja.

228

3 se lee «tres séptimos». 7

6 se lee «seis novenos». 9

8 se lee «ocho onceavos». 11

5 se lee «cinco décimos». 10


4

REPASO Y APOYO


Nombre:

Curso:

OBJETIVO 1

Fecha:

ACTIVIDADES 1

2

Escribe cómo se leen las fracciones. a)

2 3 9 c) e) 17 5 10

b)

5 12 8 d) f ) 12 20 15

Escribe las siguientes fracciones. a) Seis décimos =

c) Diez veintitresavos =

e) Dos onceavos =

b) Tres octavos =

d) Doce catorceavos =

f ) Quince diecinueveavos =

Para representar gráficamente fracciones seguimos estos pasos: 1.º Elegimos el tipo de dibujo: círculo, rectángulo, cuadrado o triángulo (normalmente es una figura geométrica). 2.º Dividimos la figura en tantas partes iguales como nos indica el denominador. 3.º Coloreamos, marcamos o señalamos las partes que nos señale el numerador.

3

4

Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada uno de los gráficos. a)

c)

e)

b)

d)

f )

María se ha comido 2 trozos de un bizcocho dividido en 6 partes iguales. a) ¿Qué fracción representa lo que se ha comido María? b) Represéntalo mediante cuatro tipos de gráficos.


229

4

REPASO Y APOYO


Nombre:

5

Curso:

OBJETIVO 1

Fecha:

Completa la siguiente tabla. Se Escribe

Se Representa

4 7

Se Lee Cuatro .....................

Seis onceavos 9 10

6

Indica las fracciones que representan cada situación mediante un dibujo. a) De una tableta de chocolate dividida en 15 trozos nos comemos 6. b) Parto una pizza en 8 partes iguales y tomo 5. c) Un paquete de pan de molde tiene 24 rebanadas y utilizo 8. d) De un total de 20 cromos de sellos he cambiado 12. a) b) c) d)

7

Tres amigos se han retrasado un cuarto de hora (15 minutos), tres cuartos de hora (45 minutos) y 20 minutos, respectivamente. Dibuja las fracciones correspondientes, suponiendo que cada círculo representa una hora.

FRACCIÓN COMO COCIENTE Una fracción también puede expresar el cociente de una división. Para calcular su valor se divide el numerador entre el denominador. Si quiero repartir 8 plátanos entre 4 chimpancés d

8 n, ¿cuántos les corresponde a cada uno? 4

8 = 8 : 4 = 2 plátanos les corresponde a cada uno 4

230


4

REPASO Y APOYO


Nombre:

8

Curso:

OBJETIVO 1

Fecha:

Expresa estas fracciones como cociente. a)

40 5 9 5 4 c) = e) = = 0,8 4 10 5 0 0,8

b)

12 10 = d) = 15 20

f )

15 = 20

FRACCIÓN COMO OPERADOR Teresa tiene que realizar una carrera de 200 m. Al poco tiempo se detiene, y su entrenador le dice: «Ánimo, que ya has recorrido las tres cuartas partes de la distancia». ¿Cuántos metros ha recorrido? 3 de 200. 4 • Para calcular su valor: • Hay que hallar

Se multiplica la cantidad por el numerador y el resultado se divide entre el denominador. 3 de 200 4

9

F (200 ? 3) : 4 = 600 : 4 = 150 m ha recorrido Teresa.

Calcula.

10

a)

4 1 de 45 = c) de 35 = 5 5

b)

2 2 de 1 200 = de 18 = d) 3 4

En un instituto hay 650 alumnos. Tres séptimos son alumnos de 1.o y 2.o ESO. ¿Cuántos alumnos de 1.o y 2.o hay?


231

4

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

DIFERENCIAR LOS TIPOS DE FRACCIONES

Nombre:

Curso:

Fecha:

FRACCIONES PROPIAS • El numerador es menor que el denominador: a < b. • Representar un número menor que la unidad. Juan se comió los

3 de la caja de quesitos: 8

Juan se comió 3 de las 8 porciones de la caja, es decir, menos de una caja. Son fracciones propias:

4 , 6 , 10 , 9 . 5 7 15 12

ACTIVIDADES 1

Escribe fracciones propias y represéntalas. 9 a) c) 15 b)

e)

d)

f )

FRACCIONES IMPROPIAS • El numerador es mayor que el denominador: a > b. • Representan un número mayor que la unidad. Juan se come un día los

8 3 de la caja de quesitos y otro día los de otra caja. 8 8

1 caja entera +

Juan se ha comido 11 porciones cuya unidad contiene 8:

3 de otra 8

11 11 8 3 3 , siendo 11 > 8. = más = 1 + 8 8 8 8 8

Una fracción impropia se compone de un número natural y una fracción propia. Son fracciones impropias:

2

3

9 , 15 , 7 , 25 . 5 10 2 18

Escribe fracciones impropias y represéntalas. 15 a) b) 8

c)

Escribe las siguientes fracciones impropias como un número natural más una fracción propia. Fíjate en el ejemplo. 15 8 7 7 12 a) c) = + = 1+ = 8 8 8 8 9 b)

232

7 20 = = d) 4 16 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

4

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE FRACCIÓN EQUIVALENTE

Nombre:

Curso:

Fecha:

FRACCIONES EQUIVALENTES Equivalente es sinónimo de «igual», es decir, representan la misma cantidad. 2 6 y son fracciones equivalentes ya que representan la misma cantidad: 5 15 2 5

6 15

ACTIVIDADES 1

Comprueba gráficamente si son equivalentes las fracciones. 2 6 1 1 a) y c) y 3 9 2 3

b)

1 3 4 5 d) y y 4 12 5 4

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplican en cruz, y si se obtiene el mismo resultado las fracciones son equivalentes. 2 F6 2 ? 15 = 5 ? 6 F 15 5

F

2 6 = 5 15

2 ? 15 = 30 5 ? 6 = 30

2

2 6 y son fracciones equivalentes 5 15

Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones. 4 12 3 9 3 6 8 14 4 20 a) y b) y c) y d) y = e) y 7 21 4 11 5 10 7 15 9 45


233

4

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

Curso:

Fecha:

Para determinar el término que falta para que dos fracciones sean equivalentes, multiplicamos en cruz los dos términos conocidos y dividimos por el tercero. 3 6 = x 8

3

4

"x=

3?8 =4 6

Halla el término que falta para que las fracciones sean equivalentes. a)

x 7 8 6 = = c) 8 2 x 9

b)

10 2 13 x = d) = x 15 2 6

Halla los términos que faltan para que las fracciones sean equivalentes. a)

y x 4 y x 8 2 x 6 b) = = = = = = c) 3 6 21 2 16 32 5 20 y

OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA FRACCIÓN DADA • Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente. F 2?3 2 6 6 F 6:3 F2 = F 5?3 5 15 15 F5 F 15 : 3

• Si multiplicamos, se utiliza el término amplificar. • Si dividimos, se utiliza el término simplificar. • Si una fracción no se puede simplificar se llama fracción irreducible.

5

6

Escribe fracciones equivalentes a: a)

1 2 3 4 = = = = = 3 6 36

b)

5 = 7

=

=

=

2 c) = = = 5

=

3 d) = = = = 2

Escribe fracciones equivalentes mediante simplificación (dividiendo numerador y denominador entre el mismo número). Indica cuál es la fracción irreducible.

234

a)

15 30 15 3 = = = c) 25 40 20

b)

24 12 = = 32

=

40 d) = 56 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

4

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

Curso:

Fecha:

COMPARACIÓN DE FRACCIONES Jorge, Araceli y Lucas han comprado el mismo número de cromos. Luego Jorge ha pegado los dos tercios de los cromos, Araceli la mitad y Lucas los tres cuartos. ¿Quién ha pegado más cromos? Seguimos estos pasos. 1.º Obtenemos fracciones equivalentes con el mismo denominador. 2.º Comparamos las fracciones mediante los numeradores. La fracción que tenga mayor numerador será la mayor. 2 4 6 8 10 1.º Jorge: Fracciones equivalentes: … = = = 3 6 9 12 15 1 2 3 4 5 6 7 Araceli: Fracciones equivalentes: … = = = = = 2 4 6 8 10 12 14 3 6 9 12 Lucas: … Fracciones equivalentes: = = 4 8 12 16 8 6 9 , y son las fracciones que representan a Jorge, Araceli y Lucas. 12 12 12 Todas estas fracciones tienen el mismo denominador. 2.º Las ordenamos de mayor a menor: 9 8 6 > > 12 12 12

"

3 2 1 > > 4 3 2

Lucas fue el que pegó más cromos, luego Jorge y, por último, Araceli.

4 8 6 5 1 9 3 10 , , , , , , , . 10 10 10 10 10 10 10 10

7

Ordena, de menor a mayor, las siguientes fracciones:

8

Escribe mayor que (>), menor que (<), o igual que (=) según corresponda. a)

4 7

5 7 1 6 3 d) g) 7 7 5 6 7

b)

2 3

4 4 7 3 9 e) h) 7 11 5 4 2

c)

3 5

12 20

f)

7 8

12 8 1 i) 7 15 4


235

4

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

9

Andrés se ha comido

Curso:

Fecha:

1 1 de pizza y Ángela . ¿Quién ha comido más pizza? 4 3

Compruébalo numérica y gráficamente.

2 3 4 1 , , , . 3 8 6 2

10

Ordena, de mayor a menor, las fracciones numérica y gráficamente:

11

Escribe una fracción mayor y otra menor que cada una de las siguientes con distintos denominadores. a)

12

236

10 13 9 7 b) c) d) 7 4 4 9

Halla dos fracciones mayores y dos menores que

8 , y represéntalas en la recta numérica para comprobar el resultado. 6


4

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

REALIZAR OPERACIONES CON FRACCIONES

Nombre:

Curso:

Fecha:

SUMAR Y RESTAR FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR Para sumar o restar fracciones de igual denominador se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. 5 2 5+2 7 + = = 8 8 8 8

+

=

7 2 7-2 5 - = = 8 8 8 8

-

=

ACTIVIDADES 1

2

Calcula. a)

3 2 + = 15 15

b)

12 8 - = 5 5

3 2 9 6 1 2 c) e) + + = + + = 11 11 11 9 9 9 4 1 2 d) + + = 10 10 10

f )

4 7 15 + + = 12 12 12

De una pizza, Ana merienda los dos octavos, Paco los tres octavos y María un octavo. a) ¿Cuánto han comido entre los tres?

b) Si Eva llegó tarde a la merienda, ¿cuánta pizza pudo comer?

SUMAR Y RESTAR FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR 1.º Buscamos fracciones equivalentes que tengan igual denominador. 2.º Se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador.

1 2 + 4 3

"*

1 2 3 4 5 = = = = … 4 8 12 16 20 2 4 6 8 10 = = = = Equivalentes a … 3 12 6 9 15 Equivalentes a

+8 11 = 4 " 41 + 23 = 123 + 128 = 3 12 12

Observa que 12 es el menor múltiplo común de 4 y 3 (m.c.m.).

7 3 5 4

"*

7 14 21 28 35 = = = = … 5 10 15 20 25 3 6 9 12 15 = = = = Equivalentes a … 4 20 8 12 16 Equivalentes a

28 15 28 - 15 13 = = 4 " 57 - 43 = 20 20 20 20

Observa que 20 es el menor múltiplo común de 5 y 4 (m.c.m.).


237

4

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4


Nombre:

3

4

Curso:

Fecha:

Completa y realiza las siguientes operaciones. a)

6 1 8 5 1 2 2 + = + = c) - = + = e) + + = 5 4 20 9 6 18 4 4 3 20 18

b)

5 2 2 1 - = d) + = 3 6 7 8

Pepe come

d

f )

3 4 2 + - = 10 5 5

2 partes de un bizcocho dividido en 10 partes. Después, su perro se come la mitad del bizcocho 5

1 n . ¿Quedará algo de bizcocho? Exprésalo numérica y gráficamente. 2

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador, el producto de los denominadores. 4 2 4?2 8 = ? = 5 3 5?3 15

5

2 3 son de color azul, y los de esas canicas azules son transparentes. ¿Qué fracción del 5 4 total representan las canicas azules transparentes?

En una bolsa de canicas, los

3 2 3? de = = 4 5 ?5

6

7

Calcula. a)

2 4 2? 5 2 ? = = c) ? = 3 10 ? 10 6 3

b)

2 3 2 1 3 2 ? 1? 3 ? = d) ? ? = = 7 5 3 4 5

Representa gráficamente. a)

238

3 1 1 4 2 3 de b) de de c) 4 2 2 7 3 4


4

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4


Nombre:

Curso:

Fecha:

DIVISIÓN DE FRACCIONES Dividir fracciones es hallar otra fracción cuyo numerador y denominador es el producto cruzado de los términos de las fracciones dadas (producto en cruz). 4 2 4?3 12 : = = 5 3 5?2 10

8

Un caso especial de división de fracciones es cuando dividimos una fracción entre un número. Por ejemplo, si queremos repartir tres cuartas partes de una caja de golosinas entre 5 amigos. ¿Qué parte de fracción le corresponde a cada uno de ellos?

3 4

:

5

=

3 20

3 5 3 3 5 3 ?1 3 dividido entre es: : 5 = : = = 4 1 4 4 4?

9

Calcula.

10

11

a)

4 8 4 ? 12 4 2 2 : : = e) :3 = = = c) 5 12 5?8 6 5 3

b)

6 2 3 : 2 = d) : = 5 5 4

5 :4 = 3

Efectúa las operaciones. a)

2 2 3 de 12 = c) de 100 = e) de 1855 = 3 5 5

b)

3 1 de 120 = d) de 1000 = 4 8

f )

4 de 2 100 = 7

Suma y simplifica el resultado si se puede. a)

12

f )

2 3 3 5 7 5 9 3 + = b) + + = c) + + = 7 7 2 7 6 6 6 8

Haz estas multiplicaciones y divisiones de fracciones, simplificando el resultado. a)

3 5 4 1 7 4 ? = b) : = c) ? 3 = d) : 3 = 4 7 3 4 8 5


239

4

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 3 de una prueba. ¿Cuál es la longitud de la prueba? 7

1

He recorrido 900 metros, que suponen los

2

Tres cuartos de kilo de jamón cuestan 15 €, ¿cuánto vale un kilo y medio de jamón?

3

La tercera parte de los empleados de una empresa son menores de 40 años, y la cuarta parte de estos, que son 25 trabajadores, tienen más de 30 años. a) ¿Qué fracción del total corresponde a los trabajadores que tienen más de 30 años y menos de 40 años? b) ¿Cuántos empleados tiene la empresa?

4

Juan recorre cinco séptimas partes de un trayecto en coche. Del resto, la mitad lo recorre en tren y la otra mitad, que son 2 km, en bici. ¿Cuál es la distancia total del trayecto?

240


4

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

5

Curso:

Fecha:

En una sala de cine hay 42 filas con 14 butacas en cada una. a) Si hay ocupadas 12 filas completas y ocho a medias, ¿qué fracción del total están ocupadas? b) Si están ocupadas 147 butacas, ¿qué fracción del total están libres?

6

Durante el tiempo que se ha representado una obra de teatro se han recaudado un total de 20 400 €. Las tres cuartas partes de ese dinero corresponden a las seis sesiones del fin de semana en las que se completó el aforo. a) ¿Qué fracción del total del dinero correspondería a cada una de las seis sesiones del fin de semana? b) ¿Cuánto dinero corresponde a cada una de las seis sesiones?

1 de su renta a la adquisición de una vivienda, lo cual significa que 3 destinan un promedio de 6 000 € anuales a este concepto. ¿Cuál es la renta media mensual de una familia española?

7

Según una encuesta, las familias españolas dedican

8

Un coche gasta 6 litros y

1 de litro cada 100 kilómetros. 4 Si el depósito tiene una capacidad de 60 litros, calcula cuántos kilómetros puede recorrer sin repostar.


241

4 1


3 He recorrido 900 metros, que suponen los de una 7 prueba. ¿Cuál es la longitud de la prueba? Se calculan cuántos metros representa Si

4

1 . 7

5 2 En coche, del total " quedan por recorrer 7 7 del total.

3 1 son 900 m " son 900 : 3 = 300m 7 7

Se calcula el total del recorrido.

En tren,

Si una de las 7 partes es 300 m, las 7 partes, es decir, el total, serán:

1 del total, que equivalen a 2 km 7 2 ? 7 = 14 km es la distancia total del recorrido.

La longitud del recorrido es 2 100 m. Tres cuartos de kilo de jamón cuestan 15 €, ¿cuánto vale un kilo y medio de jamón?

2 2 1 : 2= = del total. 7 14 7

En bici,

300 ? 7 = 2 100m

2

Juan recorre cinco séptimas partes de un trayecto en coche. Del resto, la mitad lo recorre en tren y la otra mitad, que son 2 km, en bici. ¿Cuál es la distancia total del trayecto?

5

En una sala de cine hay 42 filas con 14 butacas en cada una. a) Si hay ocupadas 12 filas completas y ocho a medias, ¿qué fracción del total están ocupadas? b) Si están ocupadas 147 butacas, ¿qué fracción del total están libres? a) En total hay 42 ? 14 = 588 butacas. Están ocupadas 12 ? 14 + 8 ?

3 1 kg cuestan 15 € " kg cuesta 15 : 3 = 5 €. 4 4

224 8 = butacas del total están ocupadas. 588 21 441 3 b) Están libres 588 - 147 = 441 " = de butacas 588 4 están libres.

1 kg y medio en forma de fracción es: 1+

1 3 3 1 12 = kg " : = = 6 cuartos de kg. 2 2 2 4 2

1 kilo y medio cuesta 6 ? 5 = 30 €. 3

6

La tercera parte de los empleados de una empresa son menores de 40 años, y la cuarta parte de estos, que son 25 trabajadores, tienen más de 30 años. a) ¿Qué fracción del total corresponde a los trabajadores que tienen más de 30 años y menos de 40 años?

b)

242

1 1 1 1 1 de = $ = del total de empleados tienen 4 3 4 3 12 entre 30 y 40 años. 1 del total equivalen a 25 trabajadores 12 25 ? 12 = 300 empleados que hay en total.

Durante el tiempo que se ha representado una obra de teatro se han recaudado un total de 20 400 €. Las tres cuartas partes de ese dinero corresponden a las seis sesiones del fin de semana en las que se completó el aforo. a) ¿Qué fracción del total del dinero correspondería a cada una de las seis sesiones del fin de semana? b) ¿Cuánto dinero corresponde a cada una de las seis sesiones?

b) ¿Cuántos empleados tiene la empresa? a)

14 = 168 + 56 = 224 2

3 3 1 = del total recaudado corresponde : 6= 4 24 8 a cada sesión del fin de semana. a)

20 400 1 de 20 400 = = 2 550 € se ha recaudado por 8 8 cada sesión del fin de semana. b)


4 7


Según una encuesta, las familias españolas dedican 1 de su renta a la adquisición de una vivienda, lo cual 3 significa que destinan un promedio de 6 000 € anuales a este concepto. ¿Cuál es la renta media mensual de una familia española? 1 del total son 6 000 € 3 Su renta anual es:

8

1 de litro cada 4 100 kilómetros. Si el depósito tiene una capacidad de 60 litros, calcula cuántos kilómetros puede recorrer sin repostar.

Un coche gasta 6 litros y

6 000 ? 3 = 18 000 €, con lo que su renta media mensual es: 18 000 : 12 = 1 500 €. 6+

1 25 litros consume cada 100 km. = 4 4

25 400 = = 16 km recorre con 1 litro de gasolina. 4 25 60 ? 16 = 960 km puede recorrer sin repostar.

100 :


243

5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE NÚMERO DECIMAL

Nombre:

Curso:

Fecha:

El sistema de numeración decimal tiene dos características: 1.a Es decimal: 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden siguiente. 2.a Es posicional: el valor de cada cifra depende de su posición en el número. PARTE ENTERA

PARTE DECIMAL

Centena

Decena

Unidad

Décima

Centésima

Milésima

C

D

U

d

c

m

• Si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada parte se llama décima. 1 1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

2 10

1,9

= 0,1

1 U = 10 d

• Si dividimos una unidad en 100 partes iguales, cada parte se llama centésima. 1 1,4

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,5 100

1,49

= 0,01

1 d = 10 c

• Si dividimos una unidad en 1 000 partes iguales, cada parte se llama milésima. 1 1,46 1,461 1,462 1,463 1,464 1,465 1,466 1,467 1,468 1,469 1,47 1 000

= 0,001

1 c = 10 m

1 unidad = 10 décimas = 100 centésimas = 1 000 milésimas

ACTIVIDADES 1

2

Escribe con cifras. a) Cinco décimas.

c) Once milésimas.

e) Diez centésimas.

b) Una décima.

d) Quince centésimas.

f ) Ciento catorce milésimas.

Completa la siguiente tabla. Número

Parte entera

Parte decimal

Se lee

15,6

15

6

Quince unidades seis décimas

23

35

3,27

0,9 Nueve unidades treinta y tres centésimas

244


5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE NÚMERO DECIMAL

Nombre:

3

Curso:

Fecha:

Representa los números en una recta numérica. a) 2,5 b) 1,9 c) 0,4 d) 2,8 e) 1,3 f ) 0,2

0 4

1

2

3

Representa los siguientes números en una recta numérica. a) 2,35 b) 2,59 c) 2,55 d) 2,43 e) 2,48 f ) 2,33

2,3 5

2,4

7

2,6

Colorea en cada caso el número que se indica. a) 25 centésimas.

6

2,5

b) 9 décimas.

c) 49 centésimas.

d) 200 milésimas.

Completa las siguientes expresiones. a) 3 décimas = 30 centésimas.

d) 20 unidades = ............ décimas.

b) 5 centésimas = ............ milésimas.

e) 7 décimas = ............ milésimas.

c) 15 unidades = ............ milésimas.

f ) 4 centésimas = ............ milésimas.

¿Cuál es el valor de la cifra 7 en cada número? a) 37,98 b) 43,07 c) 91,75 d) 70,51 e) 52,347

8

Realiza la descomposición de los siguientes números. C

D

U

d

c

m

Descomposición

4

3

0

,

5

8

1

400 + 30 + 0,5 + 0,08 + 0,001

5

0

9

,

0

3

2

7

4

5

,

3

0

3

,

600 + 50 + 4 + 0,1 + 0,03 + 0,007

,

80 + 9 + 0,4 + 0,03 + 0,005


245

5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

COMPARAR Y ORDENAR NÚMEROS DECIMALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

Para comparar números decimales hay que seguir estos pasos. 1.º Observamos la parte entera. • Es mayor el número que tiene mayor parte entera. • Si las partes enteras son iguales, se compara la parte decimal. 2.º Observamos la parte decimal. • Se comparan las décimas, luego las centésimas, milésimas…

EJEMPLO En la clase de Educación Física realizan pruebas de lanzamiento de peso. Los mejores resultados han sido: Alberto, 2,95 m; Ana, 3,16 m, y Elena, 3,17 m. ¿Quién ha lanzado más lejos? 1.º Parte entera: 2,95 es menor que 3,18 y 3,17.

2<3

3,18 y 3,17 tienen la misma parte entera.

3=3 Décimas Centésimas

2.º Parte decimal: 3,17 es mayor que 3,16.

1 = 1 7 > 6

Por tanto: 3,17 > 3,16 > 2,95.

3,1

2,95

3,16

F

3

F

2,9

F

Podemos ver el orden en la recta numérica.

3,17

ACTIVIDADES 1

Ordena, de menor a mayor, los siguientes números decimales. 6,22; 5,67; 4,98; 5,07; 4,99; 5,81; 6,01; 7,34; 5,73; 5,91; 6,30; 6,28; 7,11

2

Sitúa en una recta numérica los números 5,92; 5,50; 5,67; 5,25; 5,73; 5,81.

3

Las estaturas (en m) de 10 alumnos de 1.o ESO son las siguientes. 1,45; 1,59; 1,52; 1,49; 1,50; 1,48; 1,55; 1,61; 1,58; 1,60 Ordénalas, de mayor a menor, y represéntalas en la recta numérica.

246


5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

REALIZAR APROXIMACIONES DE NÚMEROS DECIMALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

Truncar a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes decimales inferiores a él.

5,671

truncamiento a las décimas " 5,6

Redondear a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes decimales inferiores a él, de forma que si la cifra siguiente a la del orden considerado: • es mayor o igual que 5, sumamos una unidad a la cifra que estamos redondeando. • es menor que 5, no cambia la cifra que queremos redondear.

5,671

redondeo a las décimas " 5,7

5,671

recondeo a las centésimas " 5,67

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla: Truncamiento a las décimas

Redondeo a las décimas

Truncamiento a las centésimas

Redondeo a las centésimas

1,8579 2,0123 3,6371 4,9993 5,0087 6,4526 7,5554

2

3

Realiza la aproximación que se indica. ! a) Truncamiento a las décimas de 0,4

! d) Redondeo a las décimas de 0,03

# b) Truncamiento a las décimas de 0,62

! e) Redondeo a las centésimas de 0,08

! c) Truncamiento a las centésimas de 0,07

! f ) Redondeo a las centésimas de 0,09

Pon el ejemplo de dos números en los que se obtenga el mismo resultado haciendo un truncamiento a las milésimas y un redondeo a las milésimas. Y otros tres números en que sea diferente el resultado del truncamiento a las milésimas que el redondeo a las milésimas.


247

5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS DECIMALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

Para sumar o restar números decimales, colocamos los números, de forma que coincidan las comas en la misma c olumna, y se añaden los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales. Después, se suman o se restan como si fueran números naturales, poniendo la coma en el resultado debajo de la columna de las comas.

EJEMPLO En una calle se encuentran estacionados 4 vehículos. Sus longitudes en m son: 3,8; 4,17; 10,23; 5,1. ¿Qué longitud de calle ocupan? 3,80 4,17 10,23 + 5,10

F Se añaden ceros para que todos los números

F tengan el mismo número de decimales.

2 3 , 3 0 m ocupan los vehículos. En una calle hay estacionados 2 camiones: uno mide 12,98 m y el otro 16,3 m. ¿Qué diferencia de longitud hay entre los dos vehículos? 16,30 - 12,98

F Se añaden ceros para que todos los números

tengan el mismo número de decimales.

3 , 3 2 m hay de diferencia.

ACTIVIDADES 1

2

Calcula. a) 123,046 + 35,23 =

c) 415,208 - 4,27 =

b) 0,128 + 17,4 =

d) 30,08 - 0,425 =

Realiza las siguientes operaciones.

248

a) 73,987 + 20,621 + 0,34 + 23,96 =

c) 0,702 + 11,8 + 238,4945 + 9,2 =

b) 234,76 - 155,3 - 27,4 =

d) 74,78 - 7,831 - 1,27 =


5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS DECIMALES

Nombre:

3

Curso:

Fecha:

Efectúa estas operaciones. a) 7,42 + 4,15 - 3,2 + 0,715 =

d) 0,47 + 84,6 - 0,28 + 4 =

b) 82,05 - 7,425 + 0,6 - 7,25 =

e) 125 - 81,416 - 4,22 - 0,1 =

c) 124,2 + 0,46 - 3,425 - 0,408 =

f ) 4 + 7,15 - 2,457 - 0,7 =

4

Una casa tiene 30,56 metros de altura. El cuarto piso está situado a 15,3 metros del suelo. ¿Qué distancia hay desde este piso hasta la azotea?

5

A un muro que medía 35,4 metros de longitud se le ha añadido una parte nueva de 14,25 metros. ¿Qué longitud tiene el nuevo muro?


249

5 Nombre:

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON NÚMEROS DECIMALES Curso:

Fecha:

6

En mi cuenta bancaria había 5 642 €. Primero he tenido que pagar el recibo de la luz, 54,28 €, y después, el recibo del gas, 43,02 €. ¿Cuánto me queda?

7

Carlos ha comprado un ordenador portátil. Pagó con 2 billetes de 100 € y 4 billetes de 50 €, y le devolvieron 45,90 €. ¿Cuánto pagó por el ordenador?

8

He comprado 2,45 kg de naranjas y una bolsa de manzanas. El peso total de la compra ha sido de 50 kg. ¿Cúanto pesan las manzanas que he comprado?

9

Un rollo de cinta mide 15 m. Se han cortado, primero, un trozo de 2,5 m, después, otro de 3,75 m y por último, otro de 0,78 m. ¿Cuánta cinta queda en el rollo?

250


5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5

REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para multiplicar dos números decimales: 1.º Se multiplican como si fueran números naturales, sin tener en cuenta la coma. 2.º En el resultado obtenido se coloca la coma. Para ello, se cuentan desde la derecha tantos lugares como cifras decimales tengan los dos factores.

EJEMPLO ara forrar mis libros y carpetas de este curso he necesitado 2,75 m de forro. El precio del metro de forro es de P 1,30 €. ¿Cuánto me ha costado en total? 2,75 3 1,3 825 2755 3 , 5 7 5 € me ha costado en total.

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1 000... se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3... 78,562 ?

1 0 0 = 78 5 6 , 2

4,739 ? 1 0 0 0 = 4 7 3 9

ACTIVIDADES 1

Efectúa las operaciones. a) 34,5 ? 1,2 =

b) 71,23 ? 4 =

c) 108,24 ? 9,6 =

2

Un pueblo tenía 13 568 habitantes en 1970. En 1988 la población se multiplicó por 1,5 y en 2001 se multiplicó por 2,25 en relación a 1988. ¿Cuántos habitantes había en el año 2001?

3

Realiza las siguientes operaciones. a) 534,235 ? 100 =

d) 3,56 ? 10 =

b) 98,381 ? 1 000 =

e) 5,7 ? 100 =

c) 0,78 ? 100 =

f ) 10,840 ? 1 000 =


251

5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5


Nombre:

Curso:

Fecha:

4

Un ciclista se entrena en un circuito de 62,35 m de longitud. ¿Cuántos metros habrá recorrido si realiza 10 vueltas al circuito? ¿Y si hace 100? ¿Y 1 000?

5

Indica, en cada caso, la unidad seguida de ceros por la que se ha multiplicado. a) 19,45 ? ............... = 1 945

d) 4,8 ? ................ = 48 000

b) 34,820 ? ............. = 348,2

e) 0,658 ? ............. = 6 580

c) 1,4 ? .................. = 14

f ) 437,1 ? ............. = 43 710

Para multiplicar un número decimal por un número natural seguido de ceros: 1.º Se multiplica el número decimal solo por el número natural sin los ceros. 2.º El producto obtenido se multiplica por la unidad seguida de los ceros que tenga el número natural. 8,56 ? 200 )

6

7

8

8,56 ? 2 = 17,12 17,12 ? 100 = 1712

Calcula los siguientes productos. a) 9,45 ? 200 =

c) 12,4 ? 300 =

b) 3,41 ? 4 000 =

d) 18,5 ? 5 000 =

Sabiendo que 364 ? 123 = 44 772, coloca la coma decimal en estos productos. a) 3,64 ? 1,23 = 44 772

c) 3,64 ? 1 230 = 44 772

b) 36,4 ? 12,3 = 44 772

d) 36,4 ? 1,23 = 44 772

Realiza las siguientes operaciones combinadas con números decimales.

Si lo precisas, recuerda el orden: paréntesis, multiplicaciones, sumas y restas. a) (73,4 ? 2,5) - (56,7 + 3,8) = b) (12,72 - 11,04) ? (58,7 + 0,99) = c) 2,56 ? (23,98 + 41,07) = d) 1,3 ? (28,5 ? 20) =

252


5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5


Nombre:

Curso:

Fecha:

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Existen tres casos: 1.º Dividendo decimal y divisor natural. Se divide como si fuera una división normal, pero al bajar la primera cifra decimal se pone la coma en el cociente. 2.º Dividendo natural y divisor decimal. Se suprime la coma del divisor y se añaden tantos ceros al dividendo como cifras decimales tenga el divisor. 3.º Dividendo y divisor decimales. Se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tiene el divisor. Si es necesario, se añaden ceros al dividendo.

EJEMPLO Dividendo decimal y divisor natural 8,5

5

3,5

1,7

441

3,6

F 4410

081

36 122,5

0090

F

0

Dividendo natural y divisor decimal

0018

Dividendo y divisor decimales 1,28

0,2

F 12,8

10 8

2 6,4

1,00

9

Efectúa las siguientes divisiones. a) 253,35 : 25 =

e) 14,21 : 15 =

b) 9 680 : 12,5 =

f ) 158,75 : 1,25 =

c) 0,52 : 0,2 =

g) 123,52 : 6,4 =

d) 325 : 1,4 =

h) 10,2 : 0,85 =


253

5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5


Nombre:

Curso:

Fecha:

10

En una fiesta de cumpleaños hay 9,5 ℓ de refresco de cola. Si los vasos tienen una capacidad de 0,25 ℓ, ¿cuántos se llenarán?

11

Un ciclista ha dado 25 vueltas a un circuito durante un entrenamiento. Ha recorrido un total de 237,5 km. ¿Qué longitud tiene el circuito?

Para dividir un número decimal entre 10, 100, 1 000... se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor: 1, 2, 3… Si es necesario se añaden ceros. 834,7 :

1 0 0 = 8 , 3 4 7

18,3 : 1 0 0 0 = 0 , 0 1 8 3

12

Realiza estas operaciones. a) 534,235 : 100 =

d) 30,56 : 10 =

b) 98,381 : 1 000 =

e) 5,7 : 100 =

c) 4,78 : 10 =

f) 7 108,40 : 1 000 =

13

Una carretera tiene una longitud de 3 500 km. Se van a poner teléfonos de emergencia cada 10 km. ¿Cuántos teléfonos podrán instalarse? Y si se van a poner gasolineras cada 25 km, ¿cuántas se instalarán?

14

Antonio, Tomás, Juana y Manuela han reunido 156,34 € para adquirir material deportivo. Si todos han puesto la misma cantidad, ¿cuál ha sido la aportación de cada uno?

254


5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 6

EXPRESAR FRACCIONES EN FORMA DE NÚMERO DECIMAL

Nombre:

Curso:

Fecha:

DIVISIÓN DECIMAL DE DOS NÚMEROS NATURALES 1.º Si la división es exacta, el resto es cero, r = 0. (Recuerda que D = d ? c + r). 2.º Si la división no es exacta, el resto es distinto de cero y menor que el dividendo, r Þ 0 y r < d. E n este caso, se puede seguir dividiendo, bajando un cero al resto y poniendo una coma decimal en el cociente hasta obtener una división con resto cero, o aproximar con una, dos, tres o más cifras decimales.

EJEMPLO

División exacta

División no exacta

352 16 032 22 0

125 20

125

05 6

F 1050

20 6,25

10100 10000

ACTIVIDADES 1

Decide si las siguientes divisiones son exactas y si no lo son calcula el cociente con una cifra decimal. a) 27 : 2

2

b) 210 : 3

c) 185 : 7

Calcula el cociente con dos cifras decimales. a) 17 : 3

c) 101 : 7

e) 83 : 13

b) 175 : 6

d) 356 : 8

f) 1 456 : 11


255

5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 6


Nombre:

Curso:

Fecha:

FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES • Para expresar una fracción como número decimal se divide el numerador entre el denominador. • Si el resto es cero, el número decimal es exacto. 7

7 2

F 10

2

F

3,5

0

7 = 7 : 2 = 3,5 2

F 3,5 es un número decimal exacto.

• Si el resto no es cero, el número decimal es periódico (si seguimos dividiendo siempre se repetirá un factor).

7 3

7

3

10

2,3333

F 10

10 10 1

F

7 = 7 : 3 = 2,3333… 3

F 2,333… es un número decimal periódico.

Un número decimal se puede expresar como fracción decimal. Para ello se coloca el número sin la coma en el numerador, y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal. 0,5 =

3

4

15 379 5 4 578 45,78 = 15,379 = 1 000 10 100

Averigua si las fracciones dan como resultado un número decimal exacto o periódico. a)

1 24 9 = c) = e) = 3 50 10

b)

11 6 = d) = 33 9

f )

25 = 50

Expresa en forma de fracción decimal los siguientes números.

256

a) 36,78 =

d) 2,801 =

g) 21,8456 =

b) 130,9 =

e) 73,06723 =

h) 0,00009 =

c) 0,75 =

f ) 0,30675 =

i ) 0,0000100 =


5

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 6


Nombre:

5

6

Curso:

Fecha:

Halla el número decimal que corresponde a cada fracción. a)

12 560 24 6 = d) = g) = 1 000 10 100

b)

19 065 53 204 35 = e) = h) = 10 000 000 10 100

c)

398 = 100

f )

29 525 = 1 000

i )

13 = 10 000

Expresa estas fracciones como números decimales. a)

11 4 45 = e) = c) 5 990 9 999

b)

29 3 = d) = 7 16

f )

562 = 9 990

7

Escribe un número decimal comprendido entre 4,7 y 4,8 y que sea menor que 4,75.

8

Escribe un número decimal comprendido entre 8 y 9 y que sea mayor que 8,5.


257

5

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Carmen ha comprado una lavadora por 546,85 €. Debe pagar dos quintas partes al principio y el resto en seis pagos. a) ¿A cuánto asciende el primer pago? b) ¿Cuánto dinero pagará en cada uno de los siguientes pagos? Recuerda que las cantidades en euros se redondean a las centésimas.

2

Un tonel vacío pesa 18,452 kg y si se llena la cuarta parte, 127,4 kg. ¿Cuánto pesaría totalmente lleno?

3

El mes pasado Ramón tenía 25,80 €; ahora tiene tres cuartas partes de ese dinero y decide ahorrar una quinta parte para comprar un regalo de 62 € a su madre. ¿Durante cuántas semanas debe ahorrar para poder comprar el regalo?

4

Tomás acaba de llegar de Estados unidos. Del dinero que se llevó le han sobrado 850 dólares. Ha ido a cambiarlo al banco y le han dado por ese dinero 641,93 €. a) ¿Cuánto le han dado por cada dólar? b) Si cuando se marchó de viaje cambió cada euro por 1,41 dólares, ¿cuánto dinero ha perdido en el cambio? Recuerda que las cantidades en euros se redondean a las centésimas.

258


5

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

5

En una granja de gallinas se han recogido 3 480 huevos. En el proceso de limpiado, envasado y transporte, se ha roto 1 huevo de cada 20. Si cada docena se ha vendido a 1,45 €, ¿cuánto dinero se ha facturado?

6

Se quiere adornar una rotonda con plantas de flores situadas en cuatro circunferencias concéntricas. Los radios de estas circunferencias son 2,75 m; 3,5 m; 4,25 m y 5 m, respectivamente. La distancia entre cada planta debe ser de 0,18 m. Calcula cuántas plantas adornarán la rotonda.

7

Al pagar un libro damos un billete de 10 € y nos devuelven 2,80 €. El dependiente nos dice que si compramos 6 libros, nos descuenta una octava parte del precio total. a) ¿Cuánto costaba el libro? b) Si compramos 6 libros, ¿cuánto dinero menos cuesta cada libro con la oferta? c) ¿Cuántos libros podríamos comprar con un billete de 50 €?

8

Una sartén cuesta 30,40 € y dos ollas cuestan lo mismo que cinco sartenes. ¿Cuánto cuestan tres ollas?


259

5 1


Carmen ha comprado una lavadora por 546,85 €. Debe pagar dos quintas partes al principio y el resto en seis pagos.

5

a) ¿A cuánto asciende el primer pago?

En una granja de gallinas se han recogido 3 480 huevos En el proceso de limpiado, envasado y transporte, se ha roto 1 huevo de cada 20. Si cada docena se ha vendido a 1,45 €, ¿cuánto dinero se ha facturado?

b) ¿Cuánto dinero pagará en cada uno de los siguientes pagos? Recuerda que las cantidades en euros se redondean a las centésimas. 2 a) de 546,85 = 218,74 € 5 b) 546,85 - 218,74 = 328,11 " 328,11 : 6 = 54,685 Cada plazo será de 54,69 € 2

Un tonel vacío pesa 18,452 kg y si se llena la cuarta parte, 127,4 kg. ¿Cuánto pesaría totalmente lleno?

1 1 19 de los huevos, con lo que 1 = 20 20 20 del total se han podido vender. Se han roto

La cuarta parte llena pesa: 127,4 - 18,452 = 108,948 kg El tonel lleno completamente: 108,948 ? 4 + 18,452 = 454,244 kg 3

El mes pasado Ramón tenía 25,80 €; ahora tiene tres cuartas partes de ese dinero y decide ahorrar una quinta parte para comprar un regalo de 62 € a su madre. ¿Durante cuántas semanas debe ahorrar para poder comprar el regalo? 3 Ahora tiene: de 25,8 = 19,35 € 4 1 Decide ahorrar: de 19,35 = 3,87 € 5 Si cada semana ahorra 3,87 €, para poder llegar a 62 € " 62 : 3,87 = 16,02.

3 306 : 12 = 275,5 docenas 275,5 · 1,45 = 399,475 " Se facturan 399,48 €. 6

Se quiere adornar una rotonda con plantas de flores situadas en cuatro circunferencias concéntricas. Los radios de estas circunferencias son 2,75 m; 3,5 m; 4,25 m y 5 m, respectivamente. La distancia entre cada planta debe ser de 0,18 m. Calcula cuántas plantas adornarán la rotonda. Longitud de cada circunferencia: 2 ? p ? r Circunferencia I: 2 ? 3,14 ? 2,75 = 17,27 m " Plantas cada 0,18 m: 17,27 : 0,18 > 95 plantas

Debe ahorrar esa cantidad durante algo más de 16 semanas. 4

19 de 3 480 = 3 306 huevos 20

Tomás acaba de llegar de Estados unidos. Del dinero que se llevó le han sobrado 850 dólares. Ha ido a cambiarlo al banco y le han dado por ese dinero 641,93 €. a) ¿Cuánto le han dado por cada dólar? b) Si cuando se marchó de viaje cambió cada euro por 1,41 dólares, ¿cuánto dinero ha perdido en el cambio? Recuerda que las cantidades en euros se redondean a las centésimas.

Circunferencia II: 2 ? 3,14 ? 3,5 = 21,98 m " Plantas cada 0,18 m: 21,98 : 0,18 > 122 plantas Circunferencia III: 2 ? 3,14 ? 4,25 = 26,69 m " Plantas cada 0,18 m: 26,69 : 0,18 > 148 plantas Circunferencia IV: 2 ? 3,14 ? 5 = 31,4 m " Plantas cada 0,18 m: 31,4 : 0,18 > 174 plantas En total hacen falta: 95 + 122 + 148 + 174 = 539 plantas

a) 641,93 : 850 = 0,755… " Le han dado 0,76 € por cada dólar b) Cuando se fue dio 1 € y le dieron 1,41 $, ahora si devolviese esos 1,41 $, recibe: 1,41 ? 0,76 = 1,07 €. Así que en realidad no ha perdido dinero, sino que lo ha ganado. Ha ganado 7 céntimos por cada euro de los que cambió al principio y no ha gastado.

260


5 7

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN a) 10 - 2,8 = 7,20 € costaba el libro 1 7 b) Cada libro nos saldría por 1 - = del total 8 8 7 de 7,20 = 6,30 € 8

Al pagar un libro damos un billete de 10 € y nos devuelven 2,80 €. El dependiente nos dice que si compramos 6 libros, nos descuenta una octava parte del precio total.

Cuesta cada libro 7,20 - 6,30 = 0,90 € menos c) Con 50 € podemos comprar más de seis libros

(6,30 ? 6 = 37,80 €), cada uno nos sale a 6,30 €

50 : 6,30 = 7,9365… Podríamos comprar 7 libros y nos sobrarían 50 - 7 ? 6,3 = 50 - 44,1 = 5,90 €. 8

a) ¿Cuánto costaba el libro?

Una sartén cuesta 30,40 € y dos ollas cuestan lo mismo que cinco sartenes. ¿Cuánto cuestan tres ollas? 2 ollas cuestan 30,40 ? 5 = 152 € " 152 : 2 = 76 € cuesta una olla " 76 ? 3 = 228 € cuestan 3 ollas.

b) Si compramos 6 libros, ¿cuánto dinero menos cuesta cada libro con la oferta? c) ¿Cuántos libros podríamos comprar con un billete de 50 €?


261

6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO

Nombre:

Curso:

Fecha:

El lenguaje que utilizamos habitualmente se llama lenguaje usual, y es con el que escribimos y/o hablamos. También usamos el lenguaje numérico, en el que empleamos números y signos aritméticos.

EJEMPLO

Lenguaje usual

Lenguaje numérico

La suma de dos más cuatro es seis. Diez menos tres es siete. Ocho dividido entre dos es cuatro. El cuadrado de tres es nueve.

2+4=6 10 - 3 = 7 8:2=4 32 = 9 12 =6 2

La mitad de doce es seis.

ACTIVIDADES 1

Expresa las siguientes frases con lenguaje numérico. a) El triple de dos es seis.

c) Quince menos ocho es siete.

b) Veinte dividido entre cinco es cuatro.

d) El cubo de dos es ocho.

• Además del lenguaje escrito y el lenguaje numérico, se utilizan letras, normalmente minúsculas, para designar a un número cualquiera y para sustituir números. • El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se denomina Álgebra. • Las letras más usuales son: x, y, z, a, b, c, m, n, t, r, s, y representan a cualquier número.

EJEMPLO

Lenguaje usual

La suma de dos números. Un número aumentado en cuatro unidades. El triple de un número. 2

Lenguaje numérico a+b x+4 3?m

Completa la siguiente tabla. Lenguaje usual

Lenguaje Algebraico

El doble de un número Un número disminuido en 3 unidades La mitad de un número El cuadrado de un número El triple de un número Un número aumentado en 5 unidades

262


6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

OBTENER EL VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Nombre:

Curso:

Fecha:

Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras combinados con los signos de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

EJEMPLO • El área de un cuadrado se obtiene multiplicando la medida de sus lados: A = l ? l = l 2 • El perímetro de un campo de fútbol es la suma de sus lados (bandas): P = x + y + x + y

EJEMPLO

a + b

2?a

x + 1 3

x2 + 1

3 ? (a + b)

x+y-5

ACTIVIDADES 1

Utiliza expresiones algebraicas para expresar las siguientes informaciones. Expresión escrita El doble de la suma de dos números

Expresión Algebraica 2 ? (x + y)

El área de un cuadrado de lado x El cuadrado de un número más 4 unidades El perímetro de un campo de baloncesto (largo b y ancho a) El producto de tres números cualesquiera La mitad de un número El doble de un número más 3 unidades

2

Inventa frases para estas expresiones algebraicas. Expresión escrita

Expresión Algebraica a+b x 4 m+2 3 ? (a ? b) x +2 3


2 ? (x - y)

263

6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

OBTENER EL VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Nombre:

Curso:

Fecha:

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar las operaciones que se indican.

EJEMPLO Halla el valor numérico de la expresión 2 ? x + 1, para x = 1. Primero habrá que sustituir la x de la expresión por el valor que se indica: 1. 2?1+1 Realizamos la operación y obtenemos el resultado, el valor numérico: 2?1+1 = 2+1=3 3

4

Halla el valor numérico de la expresión 3 ? x - 5 cuando x toma los valores. a) x = 0 3 ? 0 - 5 = 0 - 5 = -5

c) x = 1

e) x = -1

b) x = 2

x = -3 d) x = -2 f)

Calcula el valor de las expresiones para estos valores. Valor de x x=1

x2 + 1

3?x-2 3?1-2=3-2=1

12 + 1 = 1 + 1 = 2

5?a-2?b

(a + b)2

x=2 x = -1 x=0 x = -2 Valor de a y b a=0 b=1

5 ? 0 - 2 ? 1 = 0 - 2 = -2

(0 + 1)2 = 12 = 1

a=1 b=2 a = -1 b = -2 a=2 b=3 a = -2 264

b = -3


6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

IDENTIFICAR MONOMIOS. REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON MONOMIOS

Nombre:

Curso:

Fecha:

MONOMIOS Un monomio es la expresión algebraica más simple y está formada por productos de letras y números. • Los números se denominan coeficientes. • Las letras se denominan parte literal. Ejemplos de monomios: 2 ? x; 5 ? x2; -x; x; -3 ? y2; 3 ? a ? b Monomio

Coeficiente

Parte Literal

Monomio

Coeficiente

Parte Literal

2?x

2

x

-3 ? a ? b

-3

a?b

REGLAS PARA ESCRIBIR MONOMIOS 3.a El signo de multiplicación no se pone ni entre los números ni entre las letras: 2 ? a ? b2 es igual que 2ab2.

1.a El factor 1 no se pone: 1 ? x ? y es igual que x ? y. 2.a El exponente 1 no se indica: -3 ? x1 ? y2 es igual que -3 ? x ? y2.

ACTIVIDADES 1

Completa las siguientes tablas. Monomio

Coeficiente

-5ab

-5

Parte Literal

Monomio

Coeficiente

4xyz

4

x3

Parte Literal

-3ab2c

GRADO DE UN MONOMIO Los monomios se clasifican por grados. El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de la parte literal del monomio.

EJEMPLO

2

Monomio

Grado

Explicación

2x

1

El exponente de x es 1.

-4x2y

3

La suma de los exponentes de x2y1 es 3.

Completa la siguiente tabla. Monomio

Coeficiente

Parte Literal

Grado

2x

2

x

1

Explicación del Grado

-4a2bc3 3x3


265

6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

IDENTIFICAR MONOMIOS. REALIZAR SUMAS Y RESTAS CON MONOMIOS

Nombre:

Curso:

Fecha:

MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

EJEMPLO Monomios

3

Parte Literal

¿son semejantes?

2x

3x

x

x

Sí

4x2y

2xy2

x2 y

xy2

No

Para cada monomio escribe dos que sean semejantes y sus partes literales. Monomio

Semejante

Semejante

Parte Literal

3x -2a2b -5x3 -y2z3

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS • La suma o resta de monomios se puede realizar si son semejantes, es decir, si tienen la misma parte literal. • El resultado es otro monomio que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes y la misma parte literal.

+

3p

+ 2p

3p

5

=

3p + 2g

Son monomios semejantes. La parte literal es p.

3p

=

+ 2g =

La parte literal es p.

5p =

- 2p

+

Son monomios semejantes.

=

-

5p

4

=

Son monomios no semejantes. La suma se deja indicada.

Escribe dos monomios semejantes y súmalos. a) x + ........ + ........ =

c) ........ + 2x3 + ........ =

b) ........ + ........ + 3a =

d) ........ + ........ + 3xy =

Escribe otro monomio semejante y réstalos. a) 6x - ........ = 2

b) ........ - 5x =

266

c) 8ab - ........ = d) ........ - 3xy =


6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

IGUALDAD Una igualdad está formada por dos expresiones separadas por un signo igual (=). Las igualdades pueden ser: • Numéricas, si solo aparecen números: 5 + 2 = 7 o verdadera 5 + 2 = 8 o falsa • Algebraicas, si aparecen números y letras: 10 + x = 13

ACTIVIDADES 1

Escribe tres igualdades numéricas y otras tres algebraicas. Numéricas Algebraicas

2

Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Razona tus respuestas. a) (3 ? 7) + 21 = 15 + 10 b) 22 - 10 = 8 ? 2 c) (6 ? 4) - 5 = (7 ? 2) + 7 d) 25 : 5 = (10 ? 5) - (9 ? 5)

IDENTIDAD Una identidad es una igualdad algebraica (números y letras) que es cierta para cualquier valor de las letras.

EJEMPLO x + x = 2x

a+b=b+a

Si x = 1 " 1 + 1 = 2 ? 1 " 2 = 2

Si a = 1, b = 2 " 1 + 2 = 2 + 1 " 3 = 3

3

Comprueba que las identidades se cumplen; da valores y verifica la igualdad. a) 2x + x = 3x b) a?b=b?a

4

Di si son verdaderas o falsas las siguientes identidades. a) a + b = b + a c) a - b = b - a e) x + x = x2 b) x + x = 2x d) x ? x = x2 f) x ? x = 2x


267

6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad algebraica que no es cierta para todos los valores de las letras.

EJEMPLO x + 2 = 8 " Solo se cumple cuando x toma el valor 6 " 6 + 2 = 8 5

Indica cuáles de las expresiones son igualdades, identidades o ecuaciones. Expresión

Tipo

6 + 5 = 11 3 + x = 15 a+b=b+a 7 + 3 = 10 20 - x = 4 x + x + x = 3x 6

Halla mentalmente el valor x en las siguientes ecuaciones. Ecuación

Valor de x

Razonamiento

5+x=7

x=2

5+2=7

11 - x = 6 9-x=1 10 - x = 3 x+1=1 10 - 2x = 4 7

Completa los huecos para verificar las ecuaciones.

268

a) ........ + 5 = 15

c) ........ - 6 = 11

e) ........ + 8 = 12

b) 3 - ........ = 3

d) 17 + ........ = 20

f) 22 - ........ = 12


6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5

RESOLVER ECUACIONES SENCILLAS DE PRIMER GRADO

Nombre:

Curso:

Fecha:

LAS ECUACIONES Y SU ESTRUCTURA Miembros y términos Una ecuación es una igualdad algebraica que está separada por un signo igual (=). Este signo diferencia dos partes en la ecuación, llamadas miembros, que contienen términos formados por números y/o letras. Primer miembro = Segundo miembro 5 + x = 12 Términos: 5, x

Término: 12

Incógnitas La incógnita es el valor que desconocemos y queremos hallar. Es un valor numérico y se representa habitualmente por las letras x, y, z, a, b. • En la ecuación 5 + x = 12, x es la incógnita, el valor que desconocemos. • El término x tiene grado 1, x = x1, por lo que estas ecuaciones se denominan ecuaciones de primer grado con una incógnita. Solución La solución es el valor numérico que debemos hallar para que se verifique una ecuación. • En la ecuación 5 + x = 12, x = 7 es la solución de la ecuación. • Si sustituimos la incógnita por su valor se verifica la ecuación: 5 + 7 = 12.

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla. Ecuación

Primer miembro

Segundo miembro

Términos

Incógnita

Grado

7 + x = 20 18 = 2x 5x = 12 + x 14 - 3x = 8 + x 2

Indica la solución de las ecuaciones. a) 7 + x = 20

c) 3x = 6

b) 15 - x = 12

d) 18 = 2x

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Resolución por tanteo Este método utiliza el razonamiento y la intuición para probar valores numéricos en enunciados sencillos y obtener su solución. • En la ecuación: x + 5 = 12, la pregunta sería: ¿Qué número sumado a 5 da 12? • Solución: x = 7, ya que 7 + 5 = 12.


269

6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5


Nombre:

3

Curso:

Fecha:

Completa la tabla. Ecuación

Pregunta

Solución

Comprobación

x + 8 = 11

¿Qué número sumado a 8 da 11?

x=3

3 + 8 = 11

x-6=9 18 = 2x x2 = 4 4

Calcula la solución por tanteo. Ecuación

Solución

x+1=7 14 = 2x x =3 6 x2 = 9

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO El objetivo de resolver ecuaciones es encontrar y hallar la incógnita. Para ello, debemos conseguir «dejarla sola», despejarla y encontrar el valor numérico que verifica la igualdad. 1.º Eliminamos los paréntesis, si los hubiera. 2.º Agrupamos los términos con la incógnita en un miembro y los términos numéricos en el otro. 3.º Reducimos los términos semejantes. 4.º Despejamos la incógnita y hallamos su valor numérico.

EJEMPLO Resuelve la ecuación 5 + x = 12. 5 + x = 12 5 + (-5) + x = 12 + (-5) Agrupamos los términos con la incógnita en un miembro y los términos numéricos en el otro. 0 + x = 12 - 5 x = 7 5

Reducimos términos semejantes. Despejamos y hallamos el valor numérico de la incógnita.

Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x + 10 = 16

270

x + 10 = 16

x + 10 + (-10) = 16 + (-10)

x + 0 = 16 - 10

x=4

b) 12 = 6 + x

c) x - 7 = 3


6

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5


Nombre:

6

Curso:

Fecha:

Halla la solución de las ecuaciones. a) 4x - 7 = 3 - x 4x - 7 + 7 = 3 - x + 7

Agrupamos los términos numéricos en un miembro.

4x = 10 - x

Los términos con incógnita en el otro miembro.

4x + (+x) = 10 - x + (+x)

Reducimos términos semejantes.

4x + x = 10 Agrupamos.

7

5x = 10 5x 10 = 5 5 x=2

Reducimos términos semejantes. Despejamos la incógnita y hallamos su valor numérico.

b) 6x - 2x = 8

c) 8x - 5x = 12

Resuelve estas ecuaciones. a) 3x + 2 + x = 8 + 2x b) x + 8 = 3x - 6

8

c) 5x - 3x = 20 + x

Completa la resolución de las ecuaciones, dando prioridad a las operaciones entre paréntesis. a) 3(x - 3) = 5(x - 1) - 6x

b) 3x + 8 - 5x - 5 = 2(x + 6) - 7x

3x - 9 = 5x - 5 - 6x

-2x + 3 = 2x + 12 - 7x


271

6

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

El abuelo de Pedro quiere repartir entre sus nietos, Pedro, Lorenzo y Diego, su colección de 1 020 sellos. Al menor le da Ias tres quintas partes de Io que le da al mayor y al mediano 30 sellos más que al menor. Calcula los sellos que recibe cada uno.

2

Antonio, que tiene 64 lápices, tiene el doble de lápices que Lucía; Lucía tiene el doble que Carlos y Carlos tiene el doble que Diana. ¿Cuántos lápices tiene cada uno?

3

Dentro de un año, Juan tendrá Ia tercera parte de Ia edad que tendrá Irene, mientras que hace un año solo tenía Ia cuarta parte de Ia edad que en ese momento tenía Irene. ¿Qué edad tiene actualmente Irene?

4

Considera el cuadrado C que se forma con 4 cuadrados iguales de perímetro x cm. a) Escribe Ia expresión algebraica del perímetro del cuadrado C. b) Razona cuál es Ia relación entre el perímetro de C y x. c) Calcula el perímetro del cuadrado C en el caso de que x = 12 cm.

272


6

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

5

Un padre tiene 33 años y su hijo 12. ¿Cuántos años tienen que pasar para que Ia edad del padre sea el doble de Ia de su hijo?

6

Una madre tiene 39 años y su hijo 15. ¿Cuántos años hace que Ia madre tenía cuádruple edad que su hijo?

7

La diferencia de edad entre una madre y su hija es y años. Escribe Ias ecuaciones cuyas soluciones nos proporcionan estos momentos: a) Momento en que Ia edad de Ia madre cuadruplica Ia edad de Ia hija. b) Momento en que Ia edad de Ia hija es Ia tercera parte de Ia edad de Ia madre. c) Momento en que sus edades suman 70 años. d) Momento en que Ia edad de Ia hija excede en uno a Ia mitad de Ia edad de Ia madre.


273

6 1


El abuelo de Pedro quiere repartir entre sus nietos, Pedro, Lorenzo y Diego, su colección de 1 020 sellos. Al menor le da Ias tres quintas partes de Io que le da al mayor y al mediano 30 sellos más que al menor. Calcula los sellos que recibe cada uno.

4

Considera el cuadrado C que se forma con 4 cuadrados iguales de perímetro x cm. a) Escribe Ia expresión algebraica del perímetro del cuadrado C. b) Razona cuál es Ia relación entre el perímetro de C y x.

Sellos que recibe el mayor = x 3x Sellos que recibe el menor = 5 3x Sellos que recibe el mediano = + 30 5 3x 3x x+ + + 30 = 1 020 5 5

c) Calcula el perímetro del cuadrado C en el caso de que x = 12 cm. a) Si cada lado C vale c " Perímetro = 4c. b)

5x + 3x + 3x + 150 = 5 100

x 4

11x = 5 100 - 150 11x = 4 950 " x = 450

Como el perímetro del cuadrado pequeño vale x, cada x uno de sus lados vale . 4 Cada lado del cuadrado C equivale a dos lados del cuadrado pequeño, con lo que cada lado C mide x x c= (observar dibujo) " Perímetro C = 4 ? = 2x 2 2 c) 2 · 12 = 24

Antonio, que tiene 64 lápices, tiene el doble de lápices que Lucía; Lucía tiene el doble que Carlos y Carlos tiene el doble que Diana. ¿Cuántos lápices tiene cada uno? Lápices de Lucía = x Lápices de Antonio = 64 " 2x = 64 " x = 64 : 2 x = 32 lápices tiene Lucía. x 32 Lápices de Carlos = = = 16 2 2 x 32 Lápices de Diana = = =8 4 4 Lucía tiene 32 lápices, Carlos 16 y Diana 8.

3

5

Edad del padre dentro de x años = 33 + x Edad del hijo dentro de x años = 12 + x 33 + x = 2(12 + x) " 33 + x = 24 + 2x

" x - 2x = -33 + 24 " -x = -9 " x = 9 Deben pasar 9 años; el padre tendrá 42 años y el hijo 21.

Edad de Juan ahora = x 6

Edad de Juan hace un año = x - 1 Edad de Irene dentro de un año = 3 ? (x + 1) Edad de Irene hace un año = 4 ? (x - 1) Edad de Irene ahora = 3 ? (x + 1) - 1 = 4 ? (x - 1) + 1 3 ? (x + 1) - 1 = 4 ? (x - 1) + 1

Años que han pasado = x Años que tenía la madre hace x años = 36 - x 36 - x = 4(15 - x) " 36 - x = 60 - 4x

3x - 4x = -3 + 1 - 4 + 1 -x = -5 " x = 5 3 ? (x + 1) - 1 = 3 ? (5 + 1) - 1 = 15 + 3 - 1 = 17

274

Una madre tiene 36 años y su hijo 15. ¿Cuántos años hace que Ia madre tenía cuádruple edad que su hijo?

Años que tenía su hijo hace x años = 15 - x

3x + 3 - 1 = 4x - 4 + 1

Irene tiene 17 años.

Un padre tiene 33 años y su hijo 12. ¿Cuántos años tienen que pasar para que Ia edad del padre sea el doble de Ia de su hijo? Años que deben pasar = x

Dentro de un año, Juan tendrá Ia tercera parte de Ia edad que tendrá su prima Irene, mientras que hace un año solo tenía Ia cuarta parte de Ia edad que en ese momento tenía Irene. ¿Qué edad tiene actualmente Irene? Edad de Juan dentro de un año = x + 1

x x x 2x + = = 4 4 4 2

El hermano mayor recibe 450 sellos, el mediano 300 y el pequeño 270. 2

x 4

" -x + 4x = -36 + 60 " 3x = 24 " x = 24 : 3 "x=8 Hace 8 años; la madre tenía 28 años y su hijo 7.


6 7


La diferencia de edad entre una madre y su hija es y años. Escribe Ias ecuaciones cuyas soluciones nos proporcionan estos momentos: a) Momento en que Ia edad de Ia madre cuadruplica Ia edad de Ia hija. b) Momento en que Ia edad de Ia hija es Ia tercera parte de Ia edad de Ia madre. c) Momento en que sus edades suman 70 años.

Edad de la madre = x Edad de su hija = x - y a) x = 4(x - y) x b) x - y = 3 c) x + x - y = 70 " 2x - y = 70 x d) x - y = +1 2

d) Momento en que Ia edad de Ia hija excede en uno a Ia mitad de Ia edad de Ia madre.


275

7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

MANEJAR LAS UNIDADES DE LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD

Nombre:

Curso:

Fecha:

• Una magnitud es una cualidad, característica… de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, capacidad, superficie, volumen, velocidad... • Las magnitudes se expresan en unidades de medida. Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, centilitros, metros cuadrados, metros cúbicos, kilómetros por hora…

ACTIVIDADES 1

Une cada magnitud con su unidad correspondiente. El agua de un embalse

36 kilómetros por hora

La capacidad de una lata de refresco

7 450 metros cuadrados

La capacidad de una piscina

45 kilogramos

La velocidad de un ciclista

12 000 litros

El peso de un saco de patatas

4 500 kilogramos

La longitud de un bolígrafo

350 metros

El área de un campo de girasoles

33 centilitros

El peso de un camión

15 centímetros

La altura de un rascacielos

145 hectómetros cúbicos

• El Sistema Métrico Decimal es un sistema de medida decimal porque las unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10. • Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1 000… se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3… 3,47 ? 100 = 347 5,89 ? 1 000 = 5 890 • Para dividir un número decimal entre 10, 100, 1 000… se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad: 1, 2, 3… 25,87 : 100 = 0,2587 2,9 : 10 = 0,29

2

3

Realiza las siguientes operaciones. a) 34,56 ? 100 =

d) 0,71 ? 1 000 =

g) 139 ? 10 =

b) 0,198 ? 100 =

e) 3 528 ? 10 =

h) 7 ? 10 000 =

c) 18,2 ? 1 000 =

f) 0,1 ? 10 =

i) 84 002 ? 100 =

a) 987 : 1 000 =

d) 0,37 : 10 =

g) 23 600 : 100 =

b) 15,37 : 100 =

e) 0,9 : 10 =

h) 253,6 : 1 000 =

c) 46 : 10 =

f) 61 302 : 10 000 =

i) 47,05 : 100 =

Calcula.

276


7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

Curso:

Fecha:

UNIDADES DE LONGITUD • El metro es la unidad principal de longitud. Abreviadamente se escribe m. • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del metro son: Unidad principal

Múltiplos del metro 1 000 m kilómetro (km)

100 m hectómetro (hm)

10 m decámetro (dam)

Submúltiplos del metro

metro (m)

0,1 m

0,01 m

0,001 m

decímetro

centímetro

milímetro

(dm)

(cm)

(mm)

• Cada unidad, en la vida real, se emplea para medir: – Grandes distancias como carreteras, vías férreas: km, hm. – Distancias intermedias como calles, alturas: dam, m. – Pequeñas medidas como fotografías, mobiliario: dm, cm. – Medidas reducidas como alfileres, insectos: mm. • Para transformar una unidad de longitud en otra se multiplica o se divide por 10.

: 10

: 10

mm

F

F

F

F

cm : 10

: 10

Asocia una unidad de longitud con cada ejemplo. a) La altura de una casa.

d) La distancia entre dos ciudades.

g) Una ventana.

b) La longitud de una hormiga.

e) El tablero de tu pupitre.

h) Un imperdible.

c) Tu altura.

f) La anchura de una calle.

i) Tu habitación.

Ordena, de menor a mayor (<), las medidas. Toma como referencia el metro, pasando todas las medidas a esta unidad. 1 500 cm

6

dm

F

5

: 10

? 10 F

: 10

m

? 10 F

F

dam

? 10 F

F

hm

km

4

? 10

F

? 10

F

? 10

3,5 m

94,7 dm

0,15 km

0,03 dam

6 341 mm

1,3 m

2,04 km

1 000 m

Completa la siguiente tabla. km

hm

dam

m

dm

cm

mm

2,1 13 472 34 0,33 9,35 7 749 54


277

7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

7

8

9

Curso:

Fecha:

Expresa las siguientes altitudes de estas montañas en hectómetros y kilómetros. Nombre

Altitud (en m)

Everest

8 844

Mont Blanc

4 810

Mulhacén

3 482

Teide

3 718

Almanzor

2 592

Aneto

3 404

Altitud (en hm)

Altitud (en km)

Longitud (en hm)

Longitud (en m)

Expresa la longitud de estos ríos en hectómetros y metros. Nombre

Longitud (en km)

Tajo

1 120

Ebro

927

Duero

913

Guadiana

743

Guadalquivir

680

Júcar

535

Segura

341

Miño

340

Completa. a) 5,5 km = ........ m

c) 6,7 dam = ........ m

e) 785 cm = ........ m

b) 34,5 mm = ........ m

d) 12 km = ........ m

f) 1,60 dm = ........ m

INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE LONGITUD Flexómetro Cinta métrica

Rueda métrica

278

Metro de sastre

Metro de carpintero

Regla


7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

Curso:

Fecha:

UNIDADES DE MASA • El kilogramo y el gramo son las unidades principales de masa. Abreviadamente se escriben kg y g. • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del gramo son: Múltiplos del gramo 1 000 g kilogramo (kg)

100 g hectogramo (hg)

Unidad principal

10 g decagramo (dag)

Submúltiplos del gramo

gramo (g)

0,1 g

0,01 g

0,001 g

decigramo

centigramo

miligramo

(dg)

(cg)

(mg)

• Para medir grandes masas se utilizan: Unidades

Símbolo

Equivalencias (en kg)

Equivalencia (en g)

Tonelada métrica

t

1 000 kg

1 000 000 g

Quintal métrico

q

100 kg

100 000 g

Miriagramo

mag

10 kg

10 000 g

Ejemplos: carga de un avión, envíos de alimentos, masa de un camión, etc. • Para transformar una unidad de masa en otra se multiplica o se divide por 10.

dg

cg

mg

: 10

: 10

: 10

F

g

F

dag

F

F

F

F

F

F

F

: 10

? 10

: 10

: 10

mayor a menor (>), las medidas. Toma como referencia el kilogramo y pasa todas las medidas a esta unidad. 27 dag

11 Completa

: 10

? 10 F

10 Ordena, de

: 10

hg

? 10 F

: 10

kg

? 10 F

mag

? 10 F

q

? 10 F

F

F

t

? 10

F

? 10

F

? 10

27 dg

56 g

0,23 hg

1,02 kg

8,34 cg

345 mg

0,5 t

1,1 q

la siguiente tabla. t

q

kg

g

dg

cg

mg

0,5 31 872 65 0,31 9 1 749 59 12 Completa.

a) 2,5 kg = .......... g

c) 0,7 dag = .......... g

e) 587 cg = .......... g

b) 5 345 mg = .......... kg

d) 1 258 g = .......... kg

f) 6,6 dg = .......... kg


279

7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

Curso:

Fecha:

INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE MASA Báscula

Dinamómetros

Balanza granatario Peso de cocina Balanza Roberval

UNIDADES DE CAPACIDAD • El litro es la unidad principal de capacidad. Abreviadamente se escribe ℓ. • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del litro son: Unidad principal

Múltiplos del litro 1 000 ℓ kilolitro (kl)

100 ℓ hectolitro (hl)

10 ℓ decalitro (dal)

Submúltiplos del LITRO 0,1 ℓ decilitro (dl)

litro (ℓ)

0,01 ℓ centilitro (cl)

0,001 ℓ mililitro (ml)

• Para transformar una unidad de capacidad en otra se multiplica o se divide por 10.

ℓ

dl

cl

ml

: 10

: 10

F

F

F

F

: 10

F

: 10

? 10 F

dal

? 10 F

hl

? 10 F

F

F

kl

? 10

F

? 10

F

? 10

: 10

: 10

13 Ordena,

de menor a mayor (<), las siguientes medidas. Toma como referencia el litro y pasa todas las medidas a esta unidad. 250 cl

280

1 500 ml

2,5 ℓ

0,005 kl

0,7 dal

19 dl

7 hl

30 ℓ

450 cl


7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

Curso:

14 Completa

Fecha:

la siguiente tabla.

kl

hl

dal

ℓ

dl

cl

ml

1,5 50 400 3,5 6 5 600 14

15 Completa.

a) 8,5 kl = .......... ℓ

c) 0,7 dal = .......... ℓ

e) 785 cl = .......... ℓ

b) 3 295 ml = .......... ℓ

d) 36,5 hl = .......... ℓ

f) 9,6 dl = .......... ℓ

16 Calcula

las siguientes cantidades, expresando el resultado en litros.

a) 1/4 de 500 hl =

c) 3/4 de 1 000 kl =

b) 2/5 de 2 500 cl =

1/8 de 450 ml = d)

17 La

capacidad de una piscina es de 75 kl. Actualmente contiene 300 hl. ¿Cuántos litros faltan para que se llene?

18 Queremos

llenar de vino un tonel, que tiene 5 dal de capacidad, con recipientes de 10 ℓ. ¿Cuántos recipientes de 10 ℓ necesitaremos?

INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE CAPACIDAD Cazos

Jarras y vasos graduados

Probetas

Medidas


281

7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

MANEJAR LAS UNIDADES DE SUPERFICIE Y VOLUMEN

Nombre:

Curso:

Fecha:

UNIDADES DE SUPERFICIE • El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. Se escribe m2. • Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado. • Los múltiplos (unidades mayores) y submúltiplos (unidades menores) del m2 son: Múltiplos del metro cuadrado 1 000 000 m2 kilómetro cuadrado (km2)

10 000 m2 hectómetro cuadrado (hm2)

Unidad principal

100 m2 decámetro cuadrado (dam2)

Submúltiplos del metro cuadrado 0,01 m2 decímetro cuadrado (dm2)

metro cuadrado (m2)

0,0001 m2 centímetro cuadrado (cm2)

0,000001 m2 milímetro cuadrado (mm2)

• Para medir superficies de grandes objetos se utilizan:

dm2

cm2

F

F

F

F

: 100

: 100

F

: 100

? 100 F

: 100

m2

dam2

? 100 F

hm2

? 100 F

F

F

km2

? 100

mm2

F

? 100

F

? 100

: 100

: 100

• Para medir grandes superficies, como extensiones agrarias o terrestres, se emplean otras unidades: Unidades

Símbolo

Equivalencia

Equivalencia (en m2)

Hectárea

ha

1 hm2

10 000 m2

Área

a

1 dam2

100 m2

Centiárea

ca

1 m2

1 m2

ACTIVIDADES 1

Si 1 m2 es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado, expresa. a) 1 dm2 b) 1 cm2 c) 1 mm2 d) 1 dam2 e) 1 hm2 f) 1 km2

2

3

Indica qué unidad de medida utilizarías para expresar las siguientes superficies. a) Una calculadora de bolsillo.

d) Un campo de fútbol.

b) La terraza de una casa.

e) Un botón.

c) Un campo de girasoles.

f) El suelo del aula.

Ordena, de menor a mayor (<), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro cuadrado y pasa todas las medidas a esta unidad. 25,4 km2

282

610 m2

34 000 dm2

157 530 cm2

2,4 hm2

2 dam2

234 971 mm2


7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

4

Curso:

Fecha:

Completa la siguiente tabla. km2

ha

hm2

a

dam2

m2

0,5 43 0,25 30 625 2 500

5

6

Completa. a) 850 dm2 = .......... m2

c) 7 m2 = .......... dm2

e) 785 cm2 = .......... dm2

b) 3 295 mm2 = .......... m2

d) 36,5 cm2 = .......... mm2

f) 6,9 dm2 = .......... mm2

El área de un cuadrado es el producto de sus lados, A = I ? I. Calcula el área de estos cuadrados en cm2 y dm2. Fíjate en el ejemplo y dibuja las figuras. a) I = 5 cm

b) I = 3 cm

c) I = 4 cm

I = 5 cm I = 5 cm A = I ? I = 5 cm ? 5 cm = 25 cm2 25 cm2 : 100 = 0,25 dm2 7

El área de un rectángulo es el producto de base por altura, A = b ? a. Calcula el área de estos rectángulos en cm2 y dm2. Fíjate en el ejemplo y dibuja las figuras. a) b = 5 cm a = 3 cm

b) b = 4 cm a = 2 cm

c) b = 6 cm a = 4 cm

a = 3 cm b = 5 cm A = b ? a = 5 cm ? 3 cm = 15 cm2 15 cm2 : 100 = 0,15 dm2 8

El suelo de una pista de gimnasia es un cuadrado cuyo lado mide 20 m. Determina su área.

9

Un campo de fútbol mide 100 m de banda y 70 m de fondo. Expresa el área en m2 y a.


283

7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

UNIDADES DE VOLUMEN • El metro cúbico es la unidad principal de volumen. Se escribe m3. • Un metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene 1 metro de arista. • Los múltiplos del m3 son cubos que tienen de arista múltiplos del metro: – 1 decámetro cúbico, dam3, es un cubo que tiene de arista 1 dam. – 1 hectómetro cúbico, hm3, es un cubo que tiene de arista 1 hm. – 1 kilómetro cúbico, km3, es un cubo que tiene de arista 1 km. • Los submúltiplos del m3 son cubos que tienen de arista submúltiplos del metro: – 1 decímetro cúbico, dm3, es un cubo que tiene de arista 1 dm. – 1 centímetro cúbico, cm3, es un cubo que tiene de arista 1 cm. – 1 milímetro cúbico, mm3, es un cubo que tiene de arista 1 mm. G

1 dm F

1m • Para transformar una unidad de volumen en otra se multiplica o se divide por 1 000.

cm3

: 1 000

: 1 000

mm3

F

F

F

F

dm3

F

: 1 000

? 1 000 F

: 1 000

m3

dam3

? 1 000 F

hm3

? 1 000 F

F

F

km3

? 1 000

F

? 1 000

F

? 1 000

: 1 000

: 1 000

• Principales equivalencias: 1 hm3 = 1 000 dam3 = 1 000 000 m3

1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3

1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 000 000 mm3

10

Indica qué unidad de medida utilizarías para expresar los siguientes volúmenes. a) Una piscina.

d) Un embalse.

b) Un dado de parchís.

e) Tu aula.

c) Un cartón de leche.

f) El maletero de una furgoneta.

11 Ordena,

de mayor a menor (>), las siguientes medidas. Toma como referencia el metro cúbico y pasa todas las medidas a esta unidad. 0,4 km3

61 dam3

54 000 m3

3 157 530 cm3

3,4 hm3

2,01 hm3

23 234 971 mm3

12 Completa.

284

a) 950 dm3 = .......... m3

c) 5 m3 = .......... dm3

e) 385 cm3 = .......... dm3

b) 3 295 mm3 = .......... cm3

d) 9,65 cm3 = .......... mm3

f) 0,369 dm3 = .......... mm3


7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Sabemos que 1 dm3 = 1 000 cm3, es decir, que en un cubo de 1 dm (10 cm) de arista caben 1 000 cubos de 1 cm de arista.

13 El

El volumen de un cubo es igual a: largo ? ancho ? alto = a ? a ? a = a3 a Vc = a3 1 cm3 14 Calcula

a

1 dm3 = 10 ? 10 ? 10 = 1 000 cm3

a

el volumen de un cubo cuya arista mide 3 cm.

a = 3 cm

15 Si

cada cubo

a)

mide 1 cm3, calcula el volumen de las figuras. b)

c)

d)

e)

VOLUMEN DEL ORTOEDRO Existen figuras geométricas que tienen una forma parecida a la del cubo. Por ejemplo, una piscina, tu aula, una caja de cerillas o un rascacielos. Calcular su volumen es muy sencillo: sus aristas no son iguales (a, b y c) y la fórmula es:

c a

V = a ? b ? c

b

Estas figuras se llaman ortoedros, y son prismas geométricos cuyas caras son todas rectángulos.

16 Una

caja de cerillas tiene las siguientes dimensiones: 5 cm, 3 cm y 2 cm. Halla su volumen.

2 cm 5 cm 17

3 cm

Calcula el volumen de una piscina de dimensiones: 10 m de largo, 8 m de ancho y 2 m de alto.


285

7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

COMPRENDER LA RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA

Nombre:

Curso:

Fecha:

RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE CAPACIDAD Y VOLUMEN • Si tomamos un recipiente de agua de 1 ℓ de capacidad y lo vertemos en 1 dm3, observamos que cabe exactamente. 1ℓ

1 litro es el volumen de un cubo que tiene 1 dm de arista, es decir, la capacidad de 1 dm3.

G

1 dm3

1 dm

Por tanto, 1 ℓ = 1 dm3.

F

• Si tomamos un recipiente de agua de 1 ml de capacidad y lo vertemos en 1 cm3, observamos que cabe exactamente.

1

m

l

1 mililitro es el volumen de un cubo que tiene 1 cm de arista, es decir, la capacidad de 1 cm3. Por tanto, 1 ml = 1 cm3.

1 cm3 G

F

1 cm

ACTIVIDADES 1

Recuerda las unidades de capacidad y volumen, y establece la equivalencia entre m3, dm3, ℓ y kl. 1 m3 = ............. dm3 = ............. ℓ = ............. kl 1 m3

2

Expresa en ℓ. a) 4 m3 = .......... ℓ 3

3

4

d) 3,5 kl = .......... ℓ

b) 2 000 mm = .......... ℓ

e) 3 000 cm3 = .......... ℓ

c) 50 dm3 = .......... ℓ

f) 0,5 m3 = .......... ℓ

Expresa en dm3. a) 55 ℓ = .......... dm3

d) 0,35 m3 = .......... dm3

b) 35 dl = .......... dm3

e) 0,25 kl = .......... dm3

c) 10 dal = .......... dm3

f) 5 000 ml = .......... dm3

Expresa en cm3.

286

a) 125 ℓ y 9 dl = .......... cm3

d) 2 kl y 5 ℓ = .......... cm3

b) 12 dal y 8 ℓ = .......... cm3

e) 3 ℓ y 25 dl = .......... cm3

c) 7 hl y 5 dl = .......... cm3

f) 12 dl y 45 cl = .......... cm3 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

7

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

COMPRENDER LA RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA

Nombre:

Curso:

Fecha:

RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE MASA Y VOLUMEN • Si tomamos un recipiente con agua destilada de 1 ℓ de capacidad y lo pesamos en una balanza, esta se equilibraría exactamente con una pesa de 1 kg. 1 kg es la masa que tiene 1 dm3 de agua destilada.

Por tanto, 1 kg = 1 ℓ. 1 dm3

1 kg

• Y si tomamos un recipiente con agua destilada de 1 ml de capacidad (que ocupa 1 cm3) y lo pesamos en una balanza, esta se equilibraría exactamente con una pesa de 1 g. 1 g es la masa que tiene 1 cm3 de agua destilada.

Por tanto, 1 g = 1 cm3. 1g

1 cm3 TABLA DE EQUIVALENCIAS Unidades de volumen

m3

Unidades de capacidad

kl

hl

dal

ℓ

dl

cl

ml

Unidades de masa

t

q

mag

kg

hg

dag

g

cm3

dm3

1 ℓ = 1 dm3 = 1 kg

5

6

Expresa en kilogramos los siguientes volúmenes y capacidades de agua destilada. a) 45 ℓ = .......... kg

c) 0,5 kl = .......... kg

e) 3 000 cm3 = .......... kg

b) 20 dm3 = .......... kg

d) 3,5 kl = .......... kg

f) 0,5 m3 = .......... kg

Expresa en gramos estos volúmenes y capacidades de agua destilada. a) 55 ℓ = .......... g b) 35 dl = .......... g

7

c) 1 dal = .......... g 3

d) 0,357 m = .......... g

e) 0,25 cl = .......... g f) 5 000 ml = .......... g

Un embalse contiene 95 hm3 de agua. Calcula. a) Su capacidad en m3.

b) Su capacidad en litros.

c) Si fuera agua destilada, ¿cuál sería su masa en toneladas y en kilogramos? DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

287

7

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Completa estas igualdades con Ia medida necesaria. a) 16 hm 8 dam 5 cm + b) 85 dal 25 cl 32 ml c)

= 3 km 9 hm 6 mm = 32 ℓ 4 dl

? 3 = 12 hg 6 dag 9 g 27 cg

d) (25 km 15 m 40 cm):

= 5 hm 3 dm 8 mm

2

Cuáles son Ias dimensiones en metros de Ia figura que se forma al colocar 2 000 fólios de tamaño DIN A4 (210 mm × 297 mm) uno a continuación de otro por su lado más corto?

3

La superfície media de los 179 municípios de Ia Comunidad de Madrid es 4 480 ha. ¿Cuál es Ia extensión en kílómetros cuadrados de Ia Comunidad de Madrid?

4

Rubén realiza diariamente, en el autobús, un viaje de 0,697 km 89,72 hm 435 dam. ¿Cuánto ha tardado en hacerlo si el autobús en el que ha viajado circulaba a 75 km/h?

5

Un envase de detergente líquido de 150 cl cuesta 5,80 €. Sabiendo que cada 1,5 kg de ropa necesita un tapón de 3,5 cl y que Ia carga completa de Ia lavadora es 4,5 kg: a) ¿Cuántas lavadoras completas pueden hacerse con un envase de detergente? b) ¿Cuánto se gasta en detergente cada vez que se hace un lavado con carga completa?

288


7

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

6

La densidad de Ia gasolina es 0,68 g/cm3. ¿Cuánto pesa una garrafa de 5 ℓ de gasolina?

7

La densidad del butano es 0,026 g/cm3. ¿Cuántos litros de butano tiene una bombona que pesa 10 kg?

8

Tres máquinas excavadoras extraen 1 380 m3 de arena al día. a) ¿Cuántos m3 extraen 7 máquinas en un día? b) Expresa en decímetros cúbicos Ia arena que extrae una máquina en un día. c) La densidad de Ia arena es de 1,5 kg/dm3.Halla el peso de Ia arena que extrae una máquina.

9

La densidad del granito es 2,6 kg/dm3, ¿qué volumen tiene una piedra de granito que pesa 246 kg?

10

Una piscina mide 50 m de largo, 20 m de ancho y 3 m de profundidad. a) Si un nadador hace 10 largos de piscina, ¿recorre más o menos de 1 km? b) ¿Cuál es el volumen de Ia piscina en dm3? c) ¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar Ia piscina? d) ¿Cuál es el peso, en kilos, del agua de Ia piscina? e) Si Ia llenásemos de aceite, ¿cuánto pesaría el aceite contenido en Ia piscina? (Densidad del aceite: 0,92 kg/dm3)


289

7 1

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN a) 1 lavadora completa tiene 4,5 kg de ropa (esto son 3 veces 1,5 kg de ropa), que necesita 3,5 ? 3 = 10,5 cl de detergente.

Completa en tu cuaderno estas igualdades con Ia medida necesaria. a) 16 hm 8 dam 5 cm + h = 3 km 9 hm 6 mm

b) 85 dal 25 cl 32 ml - h = 32 ℓ 4 dl c) h ? 3 = 12 hg 6 dag 9 g 27 cg

b) Se gastan 3 tapones, que son 3 ? 3,5 cl = 10,5 cl.

d) (25 km 15 m 40 cm): h = 5 hm 3 dm 8 mm

6

a) 3 900 006 mm - 1 680 050 mm = = 2 km 2 hm 1 dam 9 m 9 dm 5 cm 6 mm

De modo que: 5 000 ? 0,68 = 3 400 g = 3,4 kg

c) (4 hg 2 dag 3 g 9 cg) ? 3 = 12 hg 6 dag 9 g 27 cg d) (25 km 15 m 40 cm) : 50 = 5 hm 3 dm 8 mm

7

¿Cuáles son Ias dimensiones en metros de Ia figura que se forma al colocar 2 000 folios de tamaño DIN A4 (210 mm × 297 mm) uno a continuación de otro por su lado más corto? 2 000 ? 210 mm = 420 000 mm = 420 m

La densidad del butano es 0,026 g/cm3. ¿Cuántos litros de butano tiene una bombona que pesa 10 kg? 10 kg = 10 000 g 10 000 : 0,026 = 384 615,38 cm3 = 384,615 dm3 = = 384,615 ℓ

8

Las dimensiones son 420 × 0,21 m. 3

La densidad de Ia gasolina es 0,68 g/cm3. ¿Cuánto pesa una garrafa de 5 ℓ de gasolina? 5 litros = 5 dm3 = 5 000 cm3

b) 850 282 ml - 32 400 ml = = 8 hl 1 dal 7 ℓ 8 dl 8 cl 3 ml

2

Por tanto con un envase entero podemos poner 150 : 10,5 = 14 lavadoras completas.

Tres máquinas excavadoras extraen 1 380 m3 de arena al día. a) ¿Cuántos m3 extraen 7 máquinas en un día?

La superfície media de los 179 municípios de Ia Comunidad de Madrid es 4 480 ha. ¿Cuál es Ia extensión en kílómetros cuadrados de Ia Comunidad de Madrid?

b) Expresa en decímetros cúbicos Ia arena que extrae una máquina en un día. c) La densidad de Ia arena es de 1,5 kg/dm3. Halla el peso de Ia arena que extrae una máquina.

La Comunidad de Madrid tiene: 179 ? 4 480 ha = 179 · 4 480 hm2 = 801 920 hm2 = = 8 019,2 km2 de extensión. 4

Rubén realiza diariamente, en el autobús, un viaje de 0,697 km 89,72 hm 435 dam. ¿Cuánto ha tardado en hacerlo si el autobús en el que ha viajado circulaba a 75 km/h? Realiza diariamente: 0,697 + 8,972 + 4,35 km = 14,019 km Y si cada hora recorre 75 km, tardará en recorrerlo:

a) Cada máquina extrae: 1 380 : 3 = 460 m3, de modo que 7 máquinas extraerán 460 · 7 = 3 220 m3.

14,019 : 75 = 0,18692 horas

b) 460 m3 = 460 000 dm3 c) 1,5 · 460 000 = 690 000 kg

Que son: 0,18692 ? 60 = 11,21 minutos. 5

9

Un envase de detergente líquido de 150 cl cuesta 5,80 €. Sabiendo que cada 1,5 kg de ropa necesita un tapón de 3,5 cl y que Ia carga completa de Ia lavadora es 4,5 kg:

La densidad del granito es 2,6 kg/dm3, ¿qué volumen tiene una piedra de granito que pesa 246 kg? El volumen es el cociente entre la masa y la densidad, así 246 que será = 94,62 dm 3. 2,6

a) ¿Cuántas lavadoras completas pueden hacerse con un envase de detergente? b) ¿Cuánto se gasta en detergente cada vez que se hace un lavado con carga completa?

290


7 10


Una piscina mide 50 m de largo, 20 m de ancho y 3 m de profundidad. a) Si un nadador hace 10 largos de piscina, ¿recorre más o menos de 1 km? b) ¿Cuál es el volumen de Ia piscina en dm3? c) ¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar Ia piscina? d) ¿Cuál es el peso, en kilos, del agua de Ia piscina?

a) 10 largos son 500 m < 1 km. b) El volumen de la piscina son 50 ? 20 ? 3 = 3 000 m3 = = 3 000 000 dm3. c) Como 1 dm3 equivale a 1 ℓ, entonces serán necesarios 3 000 000 ℓ de agua. d) Suponiendo 1 ℓ = 1 kg, el peso del agua de la piscina será de 3 000 000 kg. e) 0,92 ? 3 000 000 = 2 760 000 kg.

e) Si Ia llenásemos de aceite, ¿cuánto pesaría el aceite contenido en Ia piscina? (Densidad del aceite: 0,92 kg/dm3)


291

8

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

IDENTIFICAR LA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD ENTRE MAGNITUDES

Nombre:

Curso:

Fecha:

CONCEPTO DE MAGNITUD • Una magnitud es una cualidad o una característica de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, número de alumnos, capacidad, velocidad, etc. • Las magnitudes se expresan en unidades de medida. Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, centilitros, kilómetros por hora, etc.

ACTIVIDADES 1

2

Indica si son magnitudes o no. a) El peso de un saco de patatas.

c) Las dimensiones de tu pupitre.

e) Los litros de agua de una piscina.

b) El cariño.

d) La belleza.

f) La risa.

Indica dos unidades de medida para cada magnitud. a) El precio de una bicicleta.

c) El peso de una bolsa de naranjas.

e) El agua de un embalse.

b) La distancia entre dos pueblos.

d) El contenido de una botella.

f) La longitud de la banda de un campo de fútbol.

RAZÓN ENTRE DOS NÚMEROS O CANTIDADES • Una razón es el cociente entre dos números cualesquiera o cantidades que se pueden comparar. a • Si a y b son dos números, la razón entre ellos es . b • No hay que confundir razón con fracción: – En una razón, los números a y b pueden ser enteros o decimales. En una fracción, tienen que ser enteros.

3

Indica si estos cocientes son fracciones o razones. a)

4 2 5 b) 0,5 c) d) 3,5 e) 8 5 10 7 9 EJEMPLO

En un comedor escolar cada alumno se come 2 croquetas. Dos alumnos comen 4 croquetas; 3 alumnos, 6 croquetas; 4 alumnos, 8 croquetas... Número de alumnos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Número de croquetas

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

• Podemos expresar las razones de los valores de cada magnitud de la siguiente manera. 1 2 3 4 5 9 12 15 , , , , , …, , …, , …, 2 4 6 8 10 18 24 30 Son razones de las magnitudes número de alumnos y croquetas. 1 2 3 4 9 12 • Observamos que: = 0,5 = 0,5 = 0 ,5 = 0 ,5 … = 0,5 … = 0 ,5 … 2 4 6 8 18 24 Todas las razones tienen el mismo valor: 0,5. • La igualdad de dos razones forma una proporción. 3 4 1 2 = = 0,5 = = 0,5 6 8 2 4

15 = 0, 5 30

9 12 = = 0,5 18 24

• El cociente de las razones de una proporción se llama constante de proporcionalidad (0,5).

292


8

REPASO Y APOYO

Nombre:

4

5

Curso:

a)

1 2 y 3 6

d)

3 9 y 7 21

b)

2 6 y 5 15

e)

17 4 y 3 5

c)

5 10 y 3 6

f )

8 3 y 9 2

Completa las tablas, formando razones iguales. Indica la constante de proporcionalidad. 2

3

6

15

b) 1

100

4

5

6

En un mercado 1 kilogramo de manzanas cuesta 1,50 €. Elabora una tabla en la que las magnitudes: masa de manzanas (de 1 a 10 kg) y el precio correspondiente, forman razones iguales. 1

Precio (€/kg)

7

3

10

Peso (kg)

Fecha:

Comprueba si estas razones forman proporción.

a)

6

OBJETIVO 1


1,50

Averigua el número por el que hay que multiplicar o dividir y completa las tablas. Escribe las constantes de proporcionalidad. a)

1

2

3

10

15

4

5

6

b) 1 2

30


3

6

9

6

7

15

293

8

REPASO Y APOYO


Nombre:

Curso:

OBJETIVO 1

Fecha:

PROPIEDAD DE LA PROPORCIÓN En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Recuerda el concepto de fracciones equivalentes y los productos cruzados. a c = b d

8

9

1 2

" a ? d = b ? c =

2 4

3 6

" 1 ? 4 = 2 ? 2 =

4 8

"3?8=6?4

Determina si estas razones forman una proporción aplicando su propiedad. a)

8 4 42 6 108 4 y c) y e) y 3 6 35 5 81 3

b)

2 6 24 12 49 11 y d) y f) y 7 5 12 6 37 15

Comprueba si los siguientes números forman una proporción.

10

a) 5, 4, 8, 10

c) 9, 12, 45, 60

e) 6, 12, 21, 42

b) 3, 17, 24, 39

d) 12, 75, 84, 505

f) 40, 72, 120, 216

Una entrada de cine cuesta 5 €. ¿Cuánto costarán 2, 4, 6, 8 y 10 entradas? a) Forma la tabla de valores. b) Comprueba si las razones forman proporción. c) Calcula la constante de proporcionalidad. d) Comprueba la propiedad de la proporción.

294


8

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

RECONOCER MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Nombre:

Curso:

Fecha:

EJEMPLO En un establo con 6 kg de pienso se alimentan 10 vacas; con 12 kg, 20 vacas; con 18 kg, 30 vacas; con 24 kg, 40 vacas; con 30 kg, 50 vacas… Formamos la tabla de valores de ambas magnitudes: Pienso (kg)

6

12

18

24

30

Número de vacas

10

20

30

40

50

Observamos que: 1.o Al aumentar los kilos de pienso (doble, triple…), aumenta el número de vacas en la misma proporción (doble, triple…). Al disminuir una magnitud (mitad, tercio…), la otra disminuye de la misma manera (mitad, tercio…). 2.o La razón entre dos valores cualesquiera de kilos de pienso y número de vacas forma una proporción: 6 12 = 10 20

18 24 = 30 40

6 30 = 10 50

3.o La constante de proporcionalidad los kilos de pienso y el número de vacas es la misma: 6 12 30 18 24 = = = = = 0 ,6 10 20 50 30 40 Por tanto, las magnitudes, pienso y número de vacas, son directamente proporcionales.

ACTIVIDADES 1

Indica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales. a) El peso de naranjas (en kilogramos) y su precio. b) La velocidad de un coche y el tiempo que emplea en recorrer una distancia. c) El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla. d) El número de hojas de un libro y su peso. e) El precio de una tela y los metros que se van a comprar. f) La edad de un alumno y su altura.

2

En un supermercado encontramos la siguiente información.

«1 botella de refresco de cola cuesta 3,50 €; 2 botellas, 6 €; 4 botellas, 11 €; 6 botellas, 16 €».

Indica si las magnitudes, número de botellas de refresco y precio que se paga por ellas, son directamente proporcionales. Razona tu respuesta.

3

Completa las tablas para que los valores sean directamente proporcionales. a)

3

6

12

24

48

4


b)

4

8

12

16

4 820

1

295

8

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

EJEMPLO Si 3 rotuladores cuestan 6 € ¿cuánto costarán 7 rotuladores? • Intervienen dos magnitudes, número de rotuladores y precio, que son directamente proporcionales: cuantos más rotuladores compremos, más dinero costarán. • Conocemos tres cantidades de estas magnitudes: 2 cantidades de rotuladores: 3 y 7. 1 cantidad de precio: 6 €, que corresponde a 3 rotuladores. • Desconocemos una cuarta cantidad, lo que cuestan 7 rotuladores. Se resuelve de la siguiente manera:

$6 7 rotuladores $ x

Si 3 rotuladores

cuestan

cuestan

Son magnitudes directamente proporcionales: 3 6 42 = 3? x = 7?6 x= 3x = 42 x 7 3 7 rotuladores costarán 14 €.

x = 14

4

Dos kilos de naranjas cuestan 1,50 €. ¿Cuánto costarán 5 kg? ¿Y 12 kg?

5

En una obra, dos obreros realizan una zanja de 5 m. Si mantienen el mismo ritmo de trabajo, ¿cuántos metros de zanja abrirán si se incorporan 3 obreros más?

6

El precio de 12 fotocopias es de 0,50 €. ¿Cuánto costará hacer 30 fotocopias?

7

Un ciclista recorre 75 kilómetros en 2 horas. Si mantiene siempre la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas?

296


8

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

8

Un túnel de lavado limpia 12 coches en una hora (60 minutos). ¿Cuánto tiempo tardará en lavar 25 coches? ¿Y 50 coches?

9

Diez barras de pan cuestan 4,75 €. ¿Cuánto costarán 18 barras? ¿Y 24 barras?

10

El precio de 9 billetes de autobús es 10 €. ¿Cuál será el precio de 12 billetes? ¿Y de 15 billetes?

11

Si 5 botellas de leche cuestan 3,75 €, ¿cuánto costará una caja de 12 botellas? ¿Y una caja de 36 botellas?


297

8

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

CALCULAR PORCENTAJES Y RESOLVER PROBLEMAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

SIGNIFICADO DE PORCENTAJE. TANTO POR CIENTO (%) • Fíjate en las siguientes frases. «El equipo ganó este año el 85 % de los partidos». «El 9 % de los alumnos de la clase superan los 13 años». • En la vida diaria se utilizan los números mediante expresiones de porcentaje. • Expresar un determinado tanto por ciento (85 %, 9 %) de una cantidad (partidos, alumnos) consiste en dividir esa cantidad en 100 partes y coger, tomar, indicar, señalar… el tanto indicado.

EJEMPLO %

Significado

Fracción

Valor

Se Lee

El equipo ganó el 85 % de los partidos

85

85 de cada 100

85 100

0,85

85 por ciento

El 9 % de los alumnos superan los 13 años

9

9 de cada 100

9 100

0,09

9 por ciento

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla. %

Significado

Fracción

Valor

Se Lee

7 0,15 38 100 4 de cada 100 2

Expresa la fracción y el tanto por ciento que representa la zona coloreada. a)

298

b) c)


8

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

CALCULAR PORCENTAJES Y RESOLVER PROBLEMAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

PORCENTAJE DE UNA CANTIDAD Recordando el concepto de fracción de una cantidad, el tanto por ciento de una cantidad se puede calcular de dos maneras: 1.ª Multiplicando la cantidad por el tanto por ciento y dividiendo entre 100. 2.ª Dividiendo la cantidad entre 100 y multiplicando por el tanto por ciento.

EJEMPLO Enrique ha comprado unas zapatillas en las rebajas. Las zapatillas marcaban un precio de 60 €, pero le han realizado un descuento del 15 % ¿Cuántos euros le han rebajado del precio inicial? 15 % de 60 "

*

15 ? 60 900 = = 9 € le han descontado. 100 100 60 ? 15 = 0,6 ? 15 = 9 = 9 € le han descontado. 100

Después de realizar el descuento al precio de las zapatillas, ¿cuánto pagó Enrique por ellas? Una vez realizado el descuento, se resta a la cantidad lo que valía el artículo. 60 - 9 = 51 € Por tanto, Enrique pagó 51 € por las zapatillas. 3

Expresa los números en porcentajes. a) 0,16 =

b)

c) 0,03 =

4 7 = d) = 5 8

e) 0,625 =

f) 0,25 =

4

Calcula el 37,5 % de 50.

5

En una población hay 1 842 personas. Si el 30 % no tienen conexión a internet, ¿cuántas personas no tienen acceso a internet?

6

El número de chicos del total de alumnos de 1.o ESO es el 80 % del número de chicas. Si hay 30 chicas, ¿cuántos chicos son? Fíjate en el razonamiento: Los chicos son el 80 % de las chicas, es decir, el 80 % de 30. 80 80 80 % de 30 = de 30 = ? 30 = 100 100


299

8

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Si 20 kg de patatas cuestan Io mismo que 5 kg de manzanas y 12 kg de manzanas tienen el mismo precio que 6 kg de naranjas, ¿a cuántos kilos de patatas equivalen 8 kg de naranjas?

2

Al hacer Ia compra diaria, un cliente observa un aumento de los precios de algunos productos. Artículo A: antes 6 €

ahora 7,5 €

Artículo B: antes 20 €

ahora 22 €

Artículo C: antes 56 €

ahora 70 €

¿Han incrementado todos los precios en Ia misma medida?

3

En un establecimiento, aplican Ias siguientes rebajas a algunos de sus artículos. ¿Qué porcentaje de descuento se ha experimentado en cada caso? a) Abrigos: de 90 € a 72 € b) Pantalones: de 34 € a 23,8 € c) Camisas: de 24 € a 18 € d) Sudaderas: de 37,5 € a 12,5 €

4

Marta ha comprado una lavadora. Tras incluir el 21 % de IVA, el precio de Ia lavadora de Marta ha sido 605 €. Por el servicio de transporte e instalación te han cobrado el 12 % del precio final del artículo. ¿Cuánto ha pagado en total Marta? ¿Cuál era el precio de Ia lavadora sin IVA?

300


8

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

5

Si cinco de cada ocho hogares disponen de al menos un ordenador en casa, ¿qué porcentaje de familias no tiene ordenador personal?

6

Según una estadística realizada en un instituto, 2 de cada 3 alumnos tienen caries. Si en Ia ciudad se ha encuestado a 36 000 personas, ¿cuántas tienen caries? ¿Y si Ias personas encuestadas son 72 000?

7

Esta es Ia factura de una reforma que se ha hecho en una casa. ¿Qué porcentaje del precio total corresponde a fontanería?

Factura Concepto

Importe

Albañilería

1134 €

Fontanería

756 €

Electricidad

630 €

8

En una fábrica hacen coches de tres modelos diferentes. Del primer modelo se han fabricado 1 225 unidades; del segundo modelo, 820; y del tercero, 1 024. Calcula los porcentajes correspondientes a cada modelo.

9

En un instituto de 1 100 alumnos, hay 350 alumnos rubios, 200 de ojos azules y a 750 Ies gusta el fútbol. Expresa estas cantidades en porcentajes.


301

8 1

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN a) 90 - 72 = 18 € de descuento

Si 20 kg de patatas cuestan Io mismo que 5 kg de manzanas y 12 kg de manzanas tienen el mismo precio que 6 kg de naranjas, ¿a cuántos kilos de patatas equivalen 8 kg de naranjas? Patatas

Manzanas

" 100 " 90

Naranjas

20 kg

" 5 kg

"

a

" 12 kg

" 6 kg

x

"

" 8 kg

20 5 = a 12

Total Descuento

Manzanas

" 5 kg

"

48 kg

" 12 kg

" 6 kg

x kg

"

" 8 kg

" 100 " 34

x=

10,2 x

100 ? 10,2 = 30 % de descuento 34

c) 24 – 18 = 6 € de descuento Total Descuento

" 100 "

48 6 = " 6x = 8 ? 48 " x = 384 : 6 " x = 64 x 8 64 kg de patatas cuestan lo mismo que 8 kg de naranjas.

24

2

100 ? 18 = 20 % de descuento 90

Total Descuento

Naranjas

20 kg

x

b) 34 – 23,8 = 10,2 € de descuento

" 5a = 20 ? 12 " a = 240 : 5 " a = 48

Patatas

x=

18

Al hacer Ia compra diaria, un cliente observa un aumento de los precios de algunos productos.

x=

6 x

100 ? 6 = 25 % de descuento 24

d) 37,5 – 12,5 = 25 € de descuento

Artículo A: antes 6 € ahora 7,5 €

Total Descuento

Artículo B: antes 20 € ahora 22 €

37,5

" 100 "

Artículo C: antes 56 € ahora 70 € ¿Han incrementado todos los precios en Ia misma medida?

x=

25 x

! 100 ? 25 = 66,6 % de descuento 37,5

Antes Ahora 4

" x 6 € " 7,5 € 20 € " 22 € 56 € " 70 € 100

100 ? 7,5 = 125 % 6 100 ? 22 Artículo B: x = = 110 % 20 100 ? 70 Artículo C: x = = 125 % 56 Los artículos A y C han incrementado su precio un 25 % y el artículo B solo un 10 %. Artículo A: x =

3

En un establecimiento, aplican Ias siguientes rebajas a algunos de sus artículos. ¿Qué porcentaje de descuento se ha experimentado en cada caso? a) Abrigos: de 90 € a 72 € b) Pantalones: de 34 € a 23,8 € c) Camisas: de 24 € a 18 € d) Sudaderas: de 37,5 € a 12,5 €

302

Marta ha comprado una lavadora. Tras incluir el 21 % de IVA, el precio de Ia lavadora de Marta ha sido 605 €. Por el servicio de transporte e instalación le han cobrado el 12 % del precio final del artículo. ¿Cuánto ha pagado en total Marta? ¿Cuál era el precio de Ia lavadora sin IVA? Con el transporte Marta ha pagado un 100 + 12 = 112 % del precio. 112 % de 605 € =

605 ? 112 = 677,6 € paga en total 100

Antes del IVA x 100

Después del IVA 605 " " 121

x= 5

605 ? 100 = 500 € costaba la lavadora sin IVA. 121

Si cinco de cada ocho hogares disponen de al menos un ordenador en casa, ¿qué porcentaje de familias no tiene ordenador personal? No tienen ordenador 3 de cada 8 hogares: 3 = 0,375 = 37,5 % 8


8 6


Según una estadística realizada en un instituto, 2 de cada 3 alumnos tienen caries. Si en Ia ciudad se ha encuestado a 36 000 personas, ¿cuántas tienen caries? ¿Y si Ias personas encuestadas son 72 000?

8

Unidades totales: 1 225 + 820 + 1 024 = 3 069

2 de 36 000 = 24 000 personas tienen caries de 36 000. 3 2 de 72 000 = 48 000 personas tienen caries de 72 000. 3 7

Total 3 069 100

Albañilería

1134 €

Fontanería

756 €

Electricidad

630 €

Se calcula la cantidad total.

Con la cantidad total y las partes (cada una de las cantidades restantes) se calcula el porcentaje.

Total

$ 756 € 100 € $ x €

Si de 2 520 € de

Parte se pagan

se pagan

2 520 756 100 ? 756 "x = = = 30 % 100 2 520 x El gasto en fontanería representa el 30 % de la factura.

Modelo 3 1 024 z

3 069 1 024 100 ? 1 024 = " z = 3 069 = 33,37 % z 100 del total fabricado son del tercer modelo. 9

En un instituto de 1100 alumnos, hay 350 alumnos rubios, 200 de ojos azules y a 750 Ies gusta el fútbol. Expresa estas cantidades en porcentajes. Total

1134 + 756 + 630 = 2 520

Modelo 2 820 y

3 069 820 100 ? 820 = " y = 3 069 = 26,72 % 100 y del total fabricado son del segundo modelo.

Factura Importe

Modelo 1 1 225 x

3 069 1 225 100 ? 1 225 = " x = 3 069 = 39,92 % x 100 del total fabricado son del primer modelo.

Esta es Ia factura de una reforma que se ha hecho en una casa. ¿Qué porcentaje del precio total corresponde a fontanería?

Concepto

En una fábrica hacen coches de tres modelos diferentes. Del primer modelo se han fabricado 1 225 unidades; del segundo modelo, 820; y del tercero, 1 024. Calcula los porcentajes correspondientes a cada modelo.

Rubios

Ojos azules

Fútbol sí

1 100 350 200 750 100 x y z

" 1100 350 100 ? 350 = " x = 1100 = 31,81 % 100 x de los alumnos son rubios.

# 1100 200 100 ? 200 = " y = 1100 = 18,18 % y 100 de los alumnos tienen los ojos azules. # 1100 750 100 ? 750 = " z = 1100 = 68,18 % 100 z de los alumnos les gusta el fútbol.


303

9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER LOS CONCEPTOS DE RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO. ESTUDIAR LAS POSICIONES RELATIVAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

RECTA • Una recta es una línea continua formada por infinitos puntos que no tiene principio ni fin. • Para denominar una recta se suelen utilizar letras minúsculas. G

F

F

G

G

A

F

G G

r

F

• Por dos puntos A y B pasa una única recta r.

G

• Por un punto A pasan infinitas rectas.

F

r

B A

F

ACTIVIDADES 1

Dibuja un punto P y traza cuatro rectas que pasen por él.

2

Señala dos puntos cualesquiera, M y N, y traza una recta t que pase por ellos.

SEMIRRECTA Y SEGMENTO • Una semirrecta es una recta que tiene principio (origen) pero no fin. • Un punto cualquiera de una recta determina dos semirrectas. G semirrecta r

A

semirrecta s

F

El punto A es el origen de las semirrectas r y s. • Un segmento es la porción o parte de una recta delimitada por dos puntos. t G

F M

N

M y N son los extremos del segmento MN.

304


9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER LOS CONCEPTOS DE RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO. ESTUDIAR LAS POSICIONES RELATIVAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

3

Señala un punto cualquiera P y dibuja dos semirrectas, r y s, cuyo origen sea el punto P.

4

Determina si son rectas, semirrectas o segmentos. a) • F

c) •

•

e) G

F

b) G

d) G

•

f)

•

•

F

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS • Rectas paralelas Son rectas que nunca se cortan, no tienen ningún punto en común.

• Rectas secantes Son rectas que se cortan en un punto.

• Rectas perpendiculares Son rectas que se cortan en un punto, formando 4 ángulos rectos (90°).

r

r

P

s

s

r s

r

r

s

r 90°

s

s

P

5

Observa el dibujo y completa. F

a) r y t son rectas ................................... F

r

b) r y s son rectas ...................................

d) r y u son rectas ................................... e) r y v son rectas ...................................

s

G

u

G

v G

G

G

c) t y s son rectas ...................................

F

F F

t

f) u y v son rectas ................................... g) t y v son rectas ................................... h) u y v son rectas ................................... 6

Dibuja una recta cualquiera m y traza. a) Dos rectas perpendiculares a m. b) Dos rectas paralelas a m.


305

9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

COMPRENDER EL CONCEPTO DE ÁNGULO. CLASIFICAR ÁNGULOS

Nombre:

Curso:

Fecha:

ÁNGULO • Un ángulo es la región que forman dos semirrectas que tienen el mismo origen.

F

• En un ángulo distinguimos:

A

– Vértice O: origen de las semirrectas. – Lados A y B: semirrectas de origen O.

O

– Amplitud: abertura del ángulo.

F • B

TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS • Para medir ángulos utilizamos el transportador de ángulos. • Es un instrumento de plástico transparente de forma semicircular, dividido en 180 partes iguales. • Cada parte corresponde a una unidad de medida de ángulos: el grado (1°). • Para dibujar un ángulo seguimos estos pasos:

120°

O

1.º Se coloca el transportador de forma que su centro coincida con el vértice del ángulo; y el eje, con un lado del ángulo previamente trazado.

O

O

2.º A continuación se busca en el transportador el valor del ángulo en cuestión y se marca un trazo en el papel cerca del transportador.

3.º Finalmente se quita el transportador y se une el vértice del ángulo con la marca efectuada.

ACTIVIDADES 1

Mide con tu transportador los siguientes ángulos. a) b) c) d)

2

Con la ayuda del transportador, dibuja estos ángulos. a) 60° b) 45° c) 150° d) 90° e) 180°

306


9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

TIPOS DE ÁNGULOS SEGUN SU ABERTURA

Rectos: 90°

Agudos: menos de 90°

Llanos: 180° (2 rectos)

Obtusos: más de 90°

Completos: 360° (4 rectos)

3

Indica, según su abertura, el tipo de cada ángulo del ejercicio 1.

4

Dibuja e indica en estas esferas de reloj el tipo de ángulo que forman las agujas al marcar las horas. a) Las tres en punto.

a)

c)

e)

b)

d)

f)

b) Las seis menos cuarto. c) Las seis en punto. d) Las siete en punto. e) Las cinco y cuarto. f) La esfera sin agujas.

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

Complementarios: suman 90°.

Suplementarios: suman 180°.

26°

116° 64°

64° 64° + 26° = 90°

Consecutivos: vértice y lado en común.

116° + 64° = 180°

Opuestos por el vértice: vértice común.


307

9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Indica, según la posición, el tipo de ángulos. a) b) c) d)

6

Calcula la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata. a)

b)

45° 32°

7

Halla la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata. a)

b) 130°

8

40°

Determina la abertura del ángulo que falta. Di de qué tipo de ángulos se trata. a)

b) 29° 50°

9

Completa la siguiente tabla. Ángulo

35°

Complementario

55°

89°

25°

45°

60°

Suplementario 10

308

Utilizando tu transportador, dibuja. a) Un ángulo completo (360°).

c) Dos ángulos consecutivos de 20° y 30°.

b) Dos ángulos consecutivos de 45° cada uno.

d) Dos ángulos consecutivos de 90° cada uno.


9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

CONOCER Y UTILIZAR INSTRUMENTOS DE MEDIDA

Nombre:

Curso:

Regla Está graduada en mm y cm, y es de forma rectangular. Se utiliza principalmente para medir magnitudes lineales.

Escuadra Es un triángulo isósceles, con dos lados iguales que forman un ángulo recto, 90°; y los otros dos de 45°. 45° a 90°

Fecha:

Compás Es un instrumento que sirve para transportar magnitudes y trazar arcos y círculos. Consta de dos brazos articulados, uno con una aguja de centrado, y otro, más corto, para accesorios de pintura: mina, lápiz, tinta, etc. Cartabón Es un triángulo escaleno: sus tres lados son desiguales. Los ángulos agudos son de 30° y 60°, y el otro de 90°.

45°

30°

60° 90°

a

INSTRUCCIONES PARA TRAZAR RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

1.o Para dibujar líneas paralelas, se desliza uno de los catetos de la escuadra sobre la hipotenusa del cartabón.

2.° Se gira la escuadra para que apoye el otro cateto sobre la hipotenusa del cartabón.

3.° Para dibujar líneas perpendiculares a las anteriores, se vuelve a deslizar la escuadra sobre el cartabón.

ACTIVIDADES 1

Sobre una recta vertical, s, dibuja con la escuadra y el cartabón cuatro rectas paralelas y otras cuatro perpendiculares. s


309

9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

CONOCER Y UTILIZAR INSTRUMENTOS DE MEDIDA

Nombre:

2

Curso:

Fecha:

Dibuja dos rectas perpendiculares, m y n. Traza una recta perpendicular r a m, y otra recta s perpendicular a n. ¿Cómo son entre sí las rectas r y s?

t

3

Traza con el compás una circunferencia de centro O, y de radio 4 cm. Con el vértice en el centro de la circunferencia, dibuja un ángulo de 45°.

4

Dibuja un segmento AB de 6 cm y divídelo en 6 partes iguales. Señala en la mitad del segmento el punto O. Con el compás fija el brazo de la aguja en O y radio en el punto A, y traza el arco correspondiente. a) ¿En dónde corta el arco al segmento? b) ¿Qué tipo de ángulo se ha formado? c) ¿Cuánto mide?

310


9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

EXPRESAR LA MEDIDA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

Nombre:

Curso:

Fecha:

El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulos. Se denomina sexagesimal porque cada unidad es 60 veces mayor que la unidad del orden inmediatamente anterior. Para medir ángulos con precisión utilizamos el grado, el minuto y el segundo. – 1 grado equivale a 60 minutos.

1° = 60’

– 1 minuto equivale a 60 segundos.

1’ = 60”

– 1 grado equivale a 3 600 segundos (60 ? 60).

1° = 3 600”

? 60 grado

? 60 minuto

: 60

segundo : 60

ACTIVIDADES 1

Completa la siguiente tabla. Grados

Minutos

7

7 ? 60 = 420

Segundos

10 12 24 48 2

3

4

Expresa en segundos. a) 32° 30’ =

c) 53° 10’ =

b) 430’ =

d) 81° 15’ =

Expresa en minutos. a) 62° 36’ =

c) 47° 59’ =

b) 41° 22’ =

d) 117° 30’ =

Expresa en grados. a) 120’ =

c) 420’ =

b) 240’ =

d) 600’ =


311

9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4


Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Expresa en grados, minutos y segundos. Observa el ejemplo resuelto. a) 5 370” b) 6 400” c) 4 042” d) 6 000” a) Dividimos 5 370 entre 60 para pasar los segundos a minutos: 5370” 60 570 89’ 30”

Dividimos 89 entre 60 para obtener los grados; el cociente es el número de grados, y el resto, los minutos del resultado final. 89’ 60

5 370” = 1° 29’ 30”

29’ 1° b)

6

c)

d)

Efectúa las siguientes operaciones.

312

a) 25° 13’ 44” + 21° 30’ 25" =

d) 110° 35°+ 49’ 56” =

b) 83° 47’ 55” + 44° 35’ 47” =

e) 25° 49’ 12” + 38° 54’ 49” =

c) 81° + 22° 20’ 13” =

f) 41° 12’ 25” + 29° 54’ 39” =


9

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4


Nombre:

7

Curso:

Fecha:

Realiza las siguientes restas en el sistema sexagesimal. Observa el ejemplo resuelto. a) 63° 45’ 5” - 11° 50' 15”

c) 45° 27’ 52” - 30° 44’ 27”

b) 82° 59’ 47” - 42° 33’ 25”

d) 52° 12’ 15” - 10° 21’ 42”

a)

63° 45’ 5”

Como a 45 no se le puede restar 50, pasamos 1° a minutos.

- 11° 50’ 15” 1° = 60’

^ 63° 45’ 5”

62° 105’ 5”

- 11° 50’ 15”

- 11° 50’ 15”

60 + 45

Como a 5 no se le puede restar 15, pasamos 1 minuto a segundos. Restamos normalmente.

1’ = 60”

^

60 + 5

62° 105’ 5”

62° 104’ 65”

62° 104’ 65”

- 11° 50’ 15”

- 11° 50’ 15”

- 11° 50’ 15” 51° 54’ 50”

b)

8

c)

d)

V, el triple del ángulo BV y el cuádruple del ángulo CV. Halla el doble del ángulo A

V = 15° 28’ 32” B V = 21° 15’ 9” CV = 43° 17’ 32” A


313

9

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Halla el valor del ángulo X en cada caso siendo AV = 37° 25’ 18” y BV = 49° 21’ 50”. V + X = 90° a) A V = 180° b) BV + X - A V+B V + X = 90° c) A d) X - AV = 90°

2

Traza la perpendicular a r pasando por A, y la paralela a s pasando por B. Calcula el ángulo entre estas dos rectas sabiendo que el ángulo entre r y s es de 70°.

A

r

B

s

3

Encuentra, en cada caso, el ángulo que verifica las siguientes afirmaciones: a) Su complementario es 40° menos que él mismo. b) Su bisectriz lo divide en dos ángulos de 35°. c) Es el suplementario de 180° - 87°. d) La suma de su complementario y 46° es 100°. e) Su suplementario vale el triple que él mismo. f) Su valor es el mismo que el del complementario del suplementario de 102°.

314


9

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

4

Curso:

Fecha:

Averigua el valor de los ángulos desconocidos que están marcados en esta figura. 130°

100°

5

Halla el valor del ángulo con el interrogante.

55° ?

6

25°

Averigua el valor de todos los ángulos que se forman.

148°

160°


315

9 1


Halla el valor del ángulo X en cada caso siendo V = 37° 25’ 18” y BV = 49° 21’ 50”. A

3

V + X = 90° a) A

a) Su complementario es 40° menos que él mismo.

V = 180° b) BV + X - A

b) Su bisectriz lo divide en dos ángulos de 35°.

V + BV + X = 90° c) A

c) Es el suplementario de 180° - 87°.

V = 90° d) X - A

d) La suma de su complementario y 46° es 100°.

a) X = 90° - AV = 52° 34’ 42”

e) Su suplementario vale el triple que él mismo. f) Su valor es el mismo que el del complementario del suplementario de 102°.

89° 59’ 60”

- 37° 25’ 18” 52° 34’ 42”

V - AV = 11° 56’ 32” b) B V) = 168° 3’ 28” X = 180° - (BV - A

a) Complementario de X = 90° - X 90° - X = X - 40° " X = (90° + 40°) : 2 = 65° b) X = 2 ? 35° = 70°

49° 21’ 50”

48° 81’ 50”

179° 59’ 60”

- 37° 25’ 18”

- 37° 25’ 18”

- 11° 56’ 32”

11° 56’ 32”

168° 3’ 28”

V + BV = 86° 47’ 8” c) A V) = 3° 12’ 52” X = 90° - (AV + B

d) Complementario de X = 90° - X 90° - X + 46° = 100° e) Suplementario de X = 180° - X

37° 25’ 18”

89° 59’ 60”

+ 49° 21’ 50”

- 86° 47’ 8”

3X = 180° - X " X = 180° : 4 " X = 45° f) Suplementario de 102° = 180° - 102° = 78°

3° 12’ 52”

d) X = 90° + AV = 90° + 37° 25’ 18” = 127° 25’ 18” Traza la perpendicular a r pasando por A, y la paralela a s pasando por B. Calcula el ángulo entre estas dos rectas sabiendo que el ángulo entre r y s es de 70°. A

c) X = 180° - (180° - 87°) = 87°

X = 90° + 46° - 100° = 36°

86° 46’ 68” " 86° 47’ 8”

2

Encuentra, en cada caso, el ángulo que verifica las siguientes afirmaciones:

X = complementario de 78° = 90° - 78° = 12° 4

Averigua el valor de los ángulos desconocidos que están marcados en esta figura. 130°

r 100° B

s

A

90 + 70 = 160°

80°

130° 80°

100°

r 70°

70°

50°

80° B

s

Forman un ángulo de 160°

316


9 5


Halla el valor del ángulo con el interrogante.

6

Averigua el valor de todos los ángulos que se forman.

55° ?

25°

148°

160°

Ángulo = 25° + 55° = 80° 32° 20° 160° 20° 160°


20°

128° 128°

20° 32° 148° 32° 148°

32°

317

10

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POLÍGONO. RECONOCER Y CLASIFICAR POLÍGONOS

Nombre:

Curso:

Fecha:

POLÍGONOS • Varios segmentos unidos entre sí forman una línea poligonal. • Una línea poligonal cerrada y su interior forman un polígono. Línea poligonal

Polígono

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO Los ángulos son las regiones que forman los lados al U. cortarse. Se escriben así: E

E A

Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula.

B

Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

D

Los lados son los segmentos que limitan el polígono.

C

• Un polígono se nombra asignando letras a los vértices. Por ejemplo, polígono ABCDE.

ACTIVIDADES 1

Dibuja una línea poligonal y un polígono. a) Línea poligonal.

2

b) Polígono.

Señala cuáles de las figuras son polígonos.

318

a)

c)

e)

b)

d)

f )


10

REPASO Y APOYO

Nombre:

3

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POLÍGONO. RECONOCER Y CLASIFICAR POLÍGONOS Curso:

Fecha:

En los siguientes polígonos, dibuja estos elementos: vértices, diagonales, lados y ángulos. Nómbralos con sus letras correspondientes.

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Los polígonos se clasifican por su número de lados: Triángulo

3 lados

Heptágono

4

7 lados

Cuadrilátero

4 lados Octógono

8 lados

Pentágono

5 lados

Hexágono

6 lados

Eneágono

9 lados

Decágono

10 lados

Dibuja los siguientes polígonos. Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono


319

10

REPASO Y APOYO

Nombre:

5

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POLÍGONO. RECONOCER Y CLASIFICAR POLÍGONOS Curso:

Fecha:

Fíjate en las señales de tráfico, e indica cuáles son polígonos y de qué tipo.

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Los polígonos se clasifican también por sus ángulos. • Convexos • Cóncavos Todos los ángulos son menores que 180°.

Tienen algún ángulo mayor que 180°.

6

Clasifica los siguientes polígonos en cóncavos o convexos.

7

Indica si los polígonos son cóncavos o convexos. Justifica tu respuesta. a) b)

8

Dibuja dos polígonos cóncavos y dos convexos.

320


10

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

CLASIFICAR TRIÁNGULOS. RECONOCER SUS RECTAS Y PUNTOS

Nombre:

Curso:

Fecha:

A

TRIÁNGULO • Un triángulo es una figura plana limitada por una línea poligonal cerrada de tres segmentos. – Tiene 3 vértices, puntos de unión de los lados: A, B y C. – Tiene 3 lados, segmentos que lo limitan: a, b y c. T y CT . – Tiene 3 ángulos: AT, B

AU

c U B B

b CU

C

a

ACTIVIDADES 1

Nombra con letras los vértices, lados y ángulos de estos triángulos. a)

b)

c)

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Los triángulos se pueden clasificar atendiendo a la longitud de sus lados o a la amplitud de sus ángulos. • Según sus lados: Equilátero Tres lados iguales

Isósceles Dos lados iguales

Escaleno Tres lados distintos

Rectángulo Un ángulo recto

Obtusángulo un ángulo obtuso

• Según sus ángulos: Acutángulo Tres ángulos agudos

2

Escribe Verdadero o Falso según corresponda.

• Un triángulo equilátero es acutángulo.

• Un triángulo isósceles puede ser rectángulo.

• Un triángulo rectángulo puede ser escaleno.


321

10

REPASO Y APOYO

Nombre:

3

OBJETIVO 2

CLASIFICAR TRIÁNGULOS. RECONOCER SUS RECTAS Y PUNTOS Curso:

Fecha:

Mide con tu regla los lados de cada triángulo y clasifícalos.

a) b) c) d)

a) Triángulo...................... c) Triángulo......................

b) Triángulo...................... d) Triángulo...................... 4

Utilizando el transportador, clasifica estos triángulos según sus ángulos.

a) b) c)

d)

a) Triángulo...................... c) Triángulo......................

b) Triángulo...................... d) Triángulo......................

5

Clasifica los triángulos según sus lados y ángulos.

3 2

6 4

1 Equilátero

Isósceles

5 Escaleno

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4 Triángulo 5 Triángulo 6

322


10

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

CLASIFICAR TRIÁNGULOS. RECONOCER SUS RECTAS Y PUNTOS

Nombre:

Curso:

Fecha:

RECTAS Y PUNTOS DE UN TRIÁNGULO • Medianas

Baricentro F

– Las medianas de un triángulo son las rectas que van desde cada uno de sus vértices al punto medio del lado opuesto. – Un triángulo tiene tres medianas que se cortan en un punto llamado baricentro. • Mediatrices – Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio. – Un triángulo tiene tres mediatrices, que se cruzan en un punto llamado circuncentro.

Circuncentro F

• Alturas – Las alturas de un triángulo son las rectas que van desde cada uno de sus vértices perpendicularmente al lado opuesto. – Un triángulo tiene tres alturas que se cruzan en un punto llamado ortocentro.

Ortocentro F

• Bisectrices

6

Dibuja las mediatrices y bisectrices y nombra el punto donde se cortan.

Mediatrices

7

Incentro F

– Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de los ángulos en dos partes iguales. – Un triángulo tiene tres bisectrices que se cruzan en un punto llamado incentro.

Bisectrices

En este triángulo rectángulo, dibuja sus medianas y alturas. Marca el punto donde se cortan. ¿Qué observas?

Medianas

Alturas


323

10

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Indica si es posible dibujar los siguientes polígonos y si lo es, haz un dibujo.

a) Un cuadrilátero con dos ángulos obtusos.

b) Un hexágono con cuatro ángulos rectos.

2

Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales que miden 5 cm y cuyo ángulo desigual mide 30o.

a) Calcula la medida de los ángulos iguales.

b) ¿Cuánto mide el otro lado?

c) ¿Podríamos calcular la medida del tercer lado si no conociéramos cuánto miden los lados iguales?

3

Halla el valor de los ángulos en cada triángulo rectángulo. a)

c)

2x

28°

x

b)

x

50

°+

4

x

Selecciona en tu aula tres elementos poligonales, represéntalos y clasifica los polígonos resultantes.

324


10

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Un televisor clásico tiene una pantalla en una proporción de 4 × 3, pero uno más actual, un televisor LCD, LED o Plasma, tiene la proporción de 16 × 9. Teniendo en cuenta que la medida con la que se identifica el televisor es la de su diagonal y 1 pulgada equivale a 2,54 cm, calcula: a) Las dimensiones, en cm, de un televisor de 37 pulgadas si la diagonal de un televisor de lados 16 y 9 cm sería 18,36 cm. b) La diagonal, en pulgadas, de un televisor que tiene 92,98 cm de ancho.

6

Dibuja un triángulo equilátero y traza en él sus mediatrices, medianas, bisectrices y alturas. ¿Qué observas? Usa la regla y el compás para encontrar la relación entre la altura del triángulo y el radio de la circunferencia circunscrita.

7

Razona por qué es cierto que un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes.

8

Luisa quiere pasar, por una puerta de altura 2 m y ancho 1 m, un tablero de madera de más de 2 m de longitud. No puede pasarlo de pie y tiene que hacerlo inclinándolo. ¿Cuál es la máxima longitud que puede tener el tablero para poder hacerlo? Haz una representación a escala y toma las medidas oportunas para hallar la solución.


325

10 1


Indica si es posible dibujar los siguientes polígonos y si lo es, haz un dibujo.

a) Un cuadrilátero con dos ángulos obtusos.

b) Un hexágono con cuatro ángulos rectos.

a) Cualquier rombo o romboide cumple estas condiciones.

b) No sería posible, pues los otros dos ángulos deberían ser llanos. 2

4

Respuesta abierta. Podría ser la pizarra, con forma rectangular, la goma de borrar con forma cuadrada, el respaldo de la silla con forma de trapecio. 5

Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales que miden 5 cm y cuyo ángulo desigual mide 30o.

Selecciona en tu aula tres elementos poligonales, represéntalos y clasifica los polígonos resultantes.

Un televisor clásico tiene una pantalla en una proporción de 4 × 3, pero uno más actual, un televisor LCD, LED o Plasma, tiene la proporción de 16 × 9. Teniendo en cuenta que la medida con la que se identifica el televisor es la de su diagonal y 1 pulgada equivale a 2,54 cm, calcula: a) La diagonal mide 37 pulgadas = 37 ? 2,54 = 93,98 cm

a) Calcula la medida de los ángulos iguales.

Usando proporcionalidad y regla de tres:

b) ¿Cuánto mide el otro lado?

9 cm alto

c) ¿Podríamos calcular la medida del tercer lado si no conociéramos cuánto miden los lados iguales?

x

a) 180 - 30 = 150° " 150 : 2 = 75° mide cada ángulo.

16 cm ancho

9 $ 93,98 x= = 46,07 cm 18,36

b) Se dibujan los segmentos de 5 cm formando un ángulo de 30° entre ellos. Se unen sus vértices y se mide el lado obtenido. 3 cm

y=

16 cm ancho 30°

c) No se podría porque hay infinitos triángulos con esos ángulos.

106 cm = 106,7 : 2,54 = 42 pulgadas El televisor es de 42 pulgadas.

c) 28°

x

b)

x

Al hacer el dibujo se ve que todas las rectas y puntos notables coinciden.

El radio de la circunferencia equivale a dos tercios de la altura del triángulo.

x 7

a) 180° = 90° + x + 2x " 3x = 90° " x = 30°. Los ángulos del triángulo son 30°, 60° y 90°.

b) 180° = 90° + x + 50° + x " 2x = 40° " x = 20°. Los ángulos del triángulo son 20°, 70° y 90°.

c) 180° = 90° + x + 28° " x = 62°. Los ángulos del triángulo son 28°, 62° y 90°.

326

Dibuja un triángulo equilátero y traza en él sus mediatrices, medianas, bisectrices y alturas. ¿Qué observas? Usa la regla y el compás para encontrar la relación entre la altura del triángulo y el radio de la circunferencia circunscrita.

50

°+

d

92,98 ? 18,36 = 106,7 cm 16

6

2x

18,36 cm de diagonal

Halla el valor de los ángulos en cada triángulo rectángulo. a)

"

92,98 cm de ancho "

d=

5 cm

3

16 $ 93,98 = 81,9 cm 18,36

b) Usando proporcionalidad y regla de tres:

y

" 18,36 cm de diagonal " 93,98 cm de diagonal

Las dimensiones de la televisión son : 81,9 × 46,07 cm

5 cm

" 18,36 cm de diagonal " 93,98 cm de diagonal

Razona por qué es cierto un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes.

El ángulo externo de un triángulo es suplementario con su ángulo adyacente, esto quiere decir que suman 180°.

Es decir, sea el ángulo interno x, entonces el externo es 180° - x.


10

8


La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 180°. Si eliminamos el ángulo adyacente al exterior tendremos 180° - x y esto es la suma de los otros dos ángulos internos. Luisa quiere pasar, por una puerta de altura 2 m y ancho 1 m, un tablero de madera de más de 2 m de longitud. No puede pasarlo de pie y tiene que hacerlo inclinándolo. ¿Cuál es la máxima longitud que puede tener el tablero para poder hacerlo? Haz una representación a escala y toma las medidas oportunas para hallar la solución. La máxima longitud del tablero coincide con la diagonal de la puerta, para pasar a través de ella inclinado.

2m

d

1m

Al medir la diagonal vemos que es 2,24 m. Luisa puede pasar el tablón a través de la puerta si no mide más de 2,24 m.


327

11

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE CUADRILÁTERO. RECONOCER Y CLASIFICAR CUADRILÁTEROS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Se clasifican en: PARALELOGRAMOS: tienen los cuatro lados paralelos dos a dos. Rombo

Rectángulo 4 ángulos iguales

Ángulos iguales 2 a 2 F

F

F F

F

4 lados y 4 ángulos iguales

F

F

Lados iguales 2 a 2

F

F

F

Romboide

F

Cuadrado

F

Lados iguales 2 a 2

4 lados iguales

Ángulos iguales 2 a 2

TRAPECIOS: tienen solo dos lados paralelos. Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

Ángulos iguales 2a2 2 ángulos rectos

F

F

F

F

4 lados y 4 ángulos distintos

F

F

Lados no paralelos iguales

TRAPEZOIDES: no tienen lados paralelos.

ACTIVIDADES 1

Fíjate en tu aula y señala cuatro elementos con forma de cuadrilátero. Luego dibuja su contorno y marca sus lados, ángulos y vértices.

328

a)

c)

b)

d)


11

REPASO Y APOYO

Nombre:

2

Curso:

Indica el nombre de los cuadriláteros. a) c)

b)

3

OBJETIVO 1

COMPRENDER EL CONCEPTO DE CUADRILÁTERO. RECONOCER Y CLASIFICAR CUADRILÁTEROS Fecha:

e)

d)

f )

Completa la siguiente tabla. Semejanzas

Diferencias

Un paralelogramo y un trapecio Un trapecio y un trapezoide Un paralelogramo y un trapezoide

4

Un paralelogramo tiene sus cuatro ángulos iguales. a) ¿Qué tipo de paralelogramo es? b) ¿Puede ser de varios tipos? c) Dibújalos.

5

Traza las diagonales y los ejes de simetría del paralelogramo. ¿Qué observas? a)

b)


329

11

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

DISTINGUIR ENTRE CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Nombre:

Curso:

Fecha:

Circunferencia

CIRCUNFERENCIA La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia del centro.

Centro

Círculo CÍRCULO El círculo es la figura plana formada por la circunferencia y su interior.

Centro

RECTAS DE LA CIRCUNFERENCIA Centro, O: punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.

tangente

tro me

diá

rad i

cue

rda

o

Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma. Diámetro: segmento que pasa por el centro y divide a la circunferencia en dos partes iguales (semicircunferencias).

O

Cuerda: segmento con extremos en dos puntos de la circunferencia.

nte

seca

Secante: recta que corta en dos puntos a la circunferencia. Tangente: recta que corta a la circunferencia en un punto.

ACTIVIDADES 1

2

Con tu compás traza una circunferencia de radio 1,5 cm y dibuja. a) El centro O.

c) Un radio r.

e) Un diámetro d.

b) Una cuerda AB con su arco.

d) Una recta tangente t.

f) Una semicircunferencia.

Observa la circunferencia y escribe qué representa cada elemento. a) b divide a la circunferencia en dos ...................

g

m O

b) Si prolongásemos g, sería una recta ................... O...........................

m.........................

R z...........................

b..........................

b

z

RS......................... s

330


11

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

DISTINGUIR ENTRE CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Nombre:

Curso:

Fecha:

POSICIONES DE DOS CIRCUNFERENCIAS Secantes

Tangentes exteriores

Tienen dos puntos en común. Concéntricas

Mismo centro y distinto radio.

3

4

Tienen un punto en común.

Exteriores

No tienen ningún punto en común.

Interiores

No tienen ningún punto en común.

Tangentes interiores

Tienen un punto en común.

Observa y clasifica las circunferencias según su posición. a)

c)

e)

b)

d)

f )

Observa los siguientes dibujos y expresa cada recta y circunferencia según su posición y tipo. a)

b) s

c)

t v 5

Dibuja una circunferencia y traza. a) Un radio cualquiera. b) Una recta secante que pase por el centro O. c) ¿En cuántas partes divide a la circunferencia? ................. Se llaman .................. d) Traza una recta paralela a la recta secante del apartado a), pero que sea tangente a la circunferencia.


331

11

REPASO Y APOYO

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POLÍGONO REGULAR. CLASIFICAR POLÍGONOS REGULARES

Nombre:

Curso:

OBJETIVO 3

Fecha:

RECTAS Y PUNTOS PRINCIPALES DE UN POLÍGONO REGULAR Centro

Centro: punto que equidista de los vértices. F

Radio

Radio: segmento que une el centro y un vértice. Apotema: segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

F

Apotema

ACTIVIDADES 1

De los siguientes polígonos, indica cuáles son regulares e irregulares.

a)

c) e)

b)

d)

2

f )

Completa la siguiente tabla. Polígono

332

Nombre

Ejes de simetría

Radios

Apotemas


11

REPASO Y APOYO

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POLÍGONO REGULAR. CLASIFICAR POLÍGONOS REGULARES

Nombre:

Curso:

OBJETIVO 3

Fecha:

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA Hexágono regular 1. Trazamos una circunferencia con el compás. 2. Sin cambiar la abertura, marcamos seis puntos de división.

P

3. Unimos los puntos.

P

4. Cada lado del hexágono es el radio de la circunferencia. Triángulo equilátero 1. Realizamos los mismos pasos que para el hexágono. 2. Unimos las divisiones de dos en dos.

P

P

O

O

Cuadrado 1. Trazamos una circunferencia con el compás. 2. Dibujamos dos diámetros perpendiculares. 3. Unimos los extremos de los diámetros.

3

Dibuja una circunferencia de 5 cm de radio y construye un hexágono regular inscrito. ¿Cuánto mide el lado del hexágono regular? En esa misma circunferencia inscribe un cuadrado.

4

Dibuja tres circunferencias de 5 cm de radio y construye un hexágono que no sea regular, un triángulo que no sea equilátero y un cuadrilátero que no sea un cuadrado, inscritos en la circunferencia.


333

11

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Averigua el valor de x. a)

c) a a

115°

b) a

b

b

x

b

a x

132° x

60° a

d)

b 84°

a

a

x

66°

3x a

2

Dibuja un trapecio isósceles a partir de este triángulo obtusángulo.

100° 42°

3

Observa este rombo y determina si las siguientes medidas son ciertas o falsas.

32 cm 30°

10x + 2 246x + 1 20

a) Medida del lado = 36,95 cm. b) Medida de la diagonal mayor = 21x + 1. c) Ángulos del rombo: (80° ? x) y (40° ? x). d) Perímetro = 128 cm.

4

Calcula el perímetro de un hexágono que tiene un radio de 3,2 cm.

334


11

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

5

Dibuja dos circunferencias exteriores. Señala los puntos que están a igual distancia de los centros de ambas circunferencias. ¿Qué figura forman esos puntos? ¿Sabes cómo se denomina?

6

Traza dos circunferencias, ambas de radio 3 cm que sean tangentes exteriores. Determina todos los puntos que están a igual distancia de los centros de ambas circunferencias. ¿Qué figura forman esos puntos? ¿Cómo se denomina?

7

Copia en tu cuaderno la figura siguiente y dibuja una circunferencia que sea tangente a las dos. Explica cómo lo haces. c2 c1

8

Traza la circunferencia a la que pertenece cada uno de los siguientes arcos. Para ello, señala tres puntos de cada arco.

9

Determina el valor del radio de la circunferencia circunscrita a este polígono.

Mediatriz

F

3 cm


335

11 1

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN 3

Averigua el valor de x.

a)

c) a a

115°

b) a

b

b

x

b

a x

132° x

60°

32 cm 30°

10x + 2

a

d)

b 84°

a

246x + 1 20 a

x

66°

a) Medida del lado = 36,95 cm. b) Medida de la diagonal mayor = 21x + 1.

3x

c) Medida de la diagonal menor = Lado del rombo.

a

U = 115° - 90° = 25° a) X

d) Ángulos del rombo: (80° ? x) y (40° ? x).

b) En un cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores vale 360°: 2a + 2b + 66° + 84° = 360° " 2a + 2b = 210° " a + b = 105° La suma de los ángulos de un triángulo vale 180°: a + b + x = 180° " 105° + x = 180° " x = 75° c) En un cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores vale 360°. 2a + 2b + 132° + 60° = 360° 2a + 2b = 168° " a + b = 84° La suma de los ángulos de un triángulo vale 180°. a + b + (180° - x) = 180° " x = a + b " x = 84° d) En un cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores vale 360° y sus ángulos opuestos son iguales. 3x + 3x + 2x + 2x = 360° " 10x = 360° " x = 360 : 10 " x = 36° 2

Observa este rombo y determina si las siguientes medidas son ciertas o falsas.

e) Perímetro = 128 cm. a) El lado mide =

246x + 1 20

La mitad de la diagonal mayor mide 10x + 2 = 32 10x = 30 " x = 3 cm

Se sustituye el resultado: La medida es cierta.

246 ? 3 + 1 = 36,95 cm 20

b) 21x + 1 = 2 ? (10x + 2) " 21x + 1 = 20x + 4 x = 3 " 21 ? 3 + 1 = 20 ? 3 + 4 " 64 = 64

La medida es cierta.

c) Los ángulos del rombo son 30 ? 2 = 60° y 180° - 60° = 120° x = 3 " 80° ? 3 = 240° y 40° ? 3 = 120°. Solo uno de ellos coincide " Las medidas no son ciertas. d) Lado = 36,95 cm

Dibuja un trapecio isósceles a partir de este triángulo obtusángulo.

Perímetro = 4 ? 36,95 = 147,8 cm La medida no es cierta.

100° 42°

Con tres triángulos obtusángulos iguales puede construirse un trapecio isósceles. 100° 42°

100° 42°

38°

El resultado es un trapecio isósceles. 138° 42°

336

138° 42°


11 4


Calcula el perímetro de un hexágono que tiene un radio de 3,2 cm.

7

En un hexágono regular el radio y el lado miden lo mismo.

Copia en tu cuaderno la figura siguiente y dibuja una circunferencia que sea tangente a las dos. Explica cómo lo haces. c2

3,2 ? 6 = 19,2 cm 5

c1

Dibuja dos circunferencias exteriores. Señala los puntos que están a igual distancia de los centros de ambas circunferencias. ¿Qué figura forman esos puntos? ¿Sabes cómo se denomina?

Dibujo el segmento que une los centros O1O 2. Los puntos de corte de ese segmento con las circunferencias son los — puntos A y B. Hallo el punto medio del segmento AB trazando su mediatriz.

Esos puntos forman una recta, que es la mediatriz del segmento que une sus centros. Se denomina eje radical de las dos circunferencias.

c2

c1 A

B

O1

6

O2

Dibujo una circunferencia con centro en M y radio la longitud de AM (igual a la longitud de MB). Esa circunferencia es tangente a C1 en el punto A y tangente a C2 en el punto B.

Traza dos circunferencias, ambas de radio 3 cm que sean tangentes exteriores. Determina todos los puntos que están a igual distancia de los centros de ambas circunferencias. ¿Qué figura forman esos puntos? ¿Cómo se denomina?

c2

c1

Esos puntos forman una recta perpendicular al segmento que une sus centros (es la mediatriz) y pasa por el punto que tienen en común.

A

B

O1

8

O2

Traza la circunferencia a la que pertenece cada uno de los siguientes arcos. Para ello, señala tres puntos de cada arco. Señalo tres puntos en cada arco y trazo los dos segmentos que los unen. Dibujo sus mediatrices; el punto de corte son los centros y el radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos de la circunferencia.

9

Determina el valor del radio de la circunferencia circunscrita a este polígono.

Mediatriz F

3 cm

Se trata de un triángulo equilátero.

El radio mide 2 veces la medida de la apotema: altura = 2 ? 3 = 6 cm.


337

12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

MANEJAR UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERFICIE

Nombre:

Curso:

Fecha:

UNIDADES DE LONGITUD • El metro es la unidad principal de longitud. Abreviadamente se escribe m. • Los múltiplos (unidades mayores) del metro son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro. • Los submúltiplos (unidades menores) del metro son el decímetro, el centímetro y el milímetro. • Para transformar una unidad de longitud en otra se multiplica o se divide por 10.

cm

: 10

: 10

mm

F

F

F

F

dm

F

: 10

? 10 F

: 10

m

? 10 F

dam

hm

? 10 F

F

F

km

? 10

F

? 10

F

? 10

: 10

: 10

• Para expresar medidas y longitudes de figuras geométricas vamos a utilizar principalmente el decímetro (dm), el centímetro (cm) y, en ocasiones, el metro (m).

ACTIVIDADES 1

Observa en tu aula qué elementos tiene la silueta de estos polígonos. Mídelos y anota el resultado. a)

2

Realiza la misma operación pero con elementos que tengan forma de circunferencia. Mide con una cinta métrica el contorno de la figura. Expresa el resultado en m y en cm. a)

3

c)

b)

b)

Con tres segmentos de medidas: 30 mm, 0,5 dm y 7 cm, forma estas figuras. a) Un cuadrado de 3 cm de lado. b) Un triángulo equilátero de 5 cm de lado. c) Un rectángulo de 7 ◊ 3 cm.

338


12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

Curso:

Fecha:

OTRAS UNIDADES DE LONGITUD • Existen otras unidades de longitud, como, por ejemplo: la milla, la yarda y la pulgada (medidas inglesas). 1 milla = 1 610,4 m 1 yarda = 0,914 m 1 pulgada = 2,54 cm • La pulgada es una unidad que utilizamos con frecuencia; así, cuando decimos que hemos comprado un televisor de 25 pulgadas nos estamos refiriendo a la medida de la diagonal de la pantalla. 25 pulgadas = 25 ? 2,54 cm = 63,5 cm mide la diagonal.

4

La distancia entre tres puntos viene expresada en millas. Exprésala en metros, kilómetros y yardas. A 9 millas

6 millas

B

7 millas

C

AB = 6 millas = .................. metros = .................. kilómetros = .................. yardas BC = 7 millas = .................. metros = .................. kilómetros = .................. yardas AC = 9 millas = .................. metros = .................. kilómetros = .................. yardas

5

Expresa en cm y en mm las medidas del tablero de tu pupitre. ¿Qué tipo de polígono es? Calcula la medida de su diagonal. Exprésala en cm y en pulgadas. Después, dibuja una figura representativa.

6

En un establecimiento venden televisores de 14, 21, 25 y 28 pulgadas. Expresa en centímetros estas medidas. 14 pulgadas = .................. cm de .................. 21 pulgadas = .................. cm ...................... 25 pulgadas = .................. cm ...................... 28 pulgadas = .................. cm ......................


339

12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

Curso:

Fecha:

SUPERFICIE DE UNA FIGURA

7

Figura A

Figura B

Coloreamos 6 cuadrículas, que se consideran 6 unidades cuadradas. Es la superficie de la figura.

Coloreamos 10 cuadrículas, que se consideran 10 unidades cuadradas. Es la superficie de la figura.

Tomando como unidad de medida una unidad cuadrada, calcula la superficie de las figuras. a)

d)

b) e)

c)

8

Colorea las siguientes figuras para obtener 20 unidades cuadradas de superficie.

340

a)

d)

b)

e)

c)

f)


12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

Curso:

Fecha:

UNIDADES DE SUPERFICIE • El metro cuadrado es la unidad principal de superficie. Se escribe m2. • Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado. • Los múltiplos (unidades mayores) del m2 son: dam2, hm2, km2. • Los submúltiplos (unidades menores) del m2 son: dm2, cm2, mm2. • Para transformar una unidad de superficie en otra se multiplica o se divide por 100.

: 100

dm2

cm2

mm2

: 100

F

F

F

F

: 100

F

: 100

m2

? 100 F

dam2

? 100 F

hm2

? 100 F

F

F

km2

? 100

F

? 100

F

? 100

: 100

: 100

• Para expresar superficies de figuras geométricas vamos a utilizar principalmente el decímetro cuadrado (dm2), el centímetro cuadrado (cm2) y el metro cuadrado (m2).

9

Dibuja un rectángulo de 7 cm de largo y 3 cm de ancho. Traza cuadrículas de 1 cm de lado. Fíjate en la figura. ¿Cuántas unidades cuadradas de 1 cm contiene? Exprésalo en cm2.

10 Dibuja

un cuadrado de 6 cm de lado. Traza cuadrículas de 1 cm de lado. Fíjate en la figura. ¿Cuántas unidades cuadradas de 1 cm contiene? Exprésalo en cm2.


341

12

REPASO Y APOYO

CALCULAR PERÍMETROS DE POLÍGONOS Y LA LONGITUD DE CIRCUNFERENCIAS

Nombre:

Curso:

OBJETIVO 2

Fecha:

PERÍMETRO DE UN POLÍGONO • El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. • Para calcular el perímetro se suman todos sus lados. • El perímetro es una medida de longitud.

EJEMPLO Halla el perímetro de un rectángulo de lados 7 cm y 3 cm. 7 cm 3 cm

3 cm

P = 7 cm + 3 cm + 7 cm + 3 cm = 20 cm

7 cm Calcula el perímetro de un pentágono regular de 3 cm de lado.

3 cm

P = 3 cm ? 5 = 15 cm

ACTIVIDADES 1

Calcula el perímetro del tablero de tu pupitre. Realiza un dibujo significativo y utiliza el instrumento y la unidad de medida adecuados.

2

Halla el perímetro de las siguientes figuras y realiza un dibujo. a) Un triángulo equilátero de 5 cm de lado. b) Un cuadrado de 5 cm de lado. c) Un rectángulo de 10 cm y 4 cm de lado. d) Un pentágono regular de 4,5 cm de lado.

342


12

REPASO Y APOYO


Nombre:

3

Curso:

OBJETIVO 2

Fecha:

Determina el perímetro de las figuras y haz un dibujo. a) Un romboide de lados 5 cm y 2,5 cm. b) Un hexágono regular de 6 cm de lado. c) Un decágono regular de 3 cm de lado. d) Un trapecio de lados 7 cm, 6 cm, 5 cm y 4 cm.

4

La banda y el fondo de un campo de fútbol miden 100 y 70 m, respectivamente. Si se quiere pintar su longitud, ¿cuántos metros de línea blanca se pintarán? Realiza un dibujo.

5

Un pastor quiere construir un cercado para sus ovejas con forma de hexágono regular. Si emplea 7,2 dam de valla, ¿cuántos metros medirá cada lado del cercado? Haz un dibujo.

6

El perímetro de un polígono regular es 77 cm. Si cada lado mide 11 cm, ¿qué tipo de polígono es? Realiza un dibujo.


343

12

REPASO Y APOYO


Nombre:

Curso:

OBJETIVO 2

Fecha:

RELACIÓN ENTRE LA CIRCUNFERENCIA Y SU DIÁMETRO Considera que medimos en clase los siguientes objetos. Contorno (Longitud de la circunferencia)

Diámetro

Cociente del contorno y el diámetro

Reloj

78,5 cm

25 cm

3,14

Papelera

157 cm

50 cm

3,14

Portalápices

23,55 cm

7,5 cm

3,14

Observamos que: • Al dividir la longitud de la circunferencia entre el diámetro se obtiene siempre el mismo número: 3,14. 78,5 : 25 = 3,14 157 : 50 = 3,14 23,55 : 7,5 = 3,14 • 3,14 es el número p y se lee pi. longitud de la circunferencia L = p = p diámetro d

7

8

Completa la siguiente tabla. Longitud de la circunferencia

Diámetro

Sartén

55 cm

17,5 cm

Aro de gimnasia

226 cm

72 cm

Rueda

168,5 cm

53,5 cm

Rotonda

204 m

65 m

Longitud entre diámetro

Localiza objetos circulares en tu aula. Mide el borde de la circunferencia y completa esta tabla. Longitud de la circunferencia

Diámetro

Longitud entre diámetro

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA En los ejemplos anteriores también se observa que: • La longitud de la circunferencia es algo mayor que el triple del diámetro: 3,14 veces. 78,5 = 3,14 ? 25 157 = 3,14 ? 50 23,55 = 3,14 ? 7,5 L • De = p, se tiene que L = d ? p. d • El diámetro de una circunferencia es la suma de dos radios: d = 2r. • Por tanto, la longitud de la circunferencia es: L = d ? p " L = 2 ? r ? p.

344


12

REPASO Y APOYO


Nombre:

9

Curso:

OBJETIVO 2

Fecha:


Diámetro 15 cm 35 cm

L=d?p

0,25 cm 7m

10


Radio 5 cm 50 cm

L=2?r?p

0,15 cm 4m

11

¿Cuál es la longitud de una circunferencia de diámetro 5 cm? Realiza un dibujo representativo.

12

La rueda de la bicicleta de Luis tiene un diámetro de 44 cm. a) ¿Qué distancia recorre la bicicleta cada vez que la rueda da una vuelta? b) ¿Y si da tres vueltas? c) Determina cuántas vueltas dará la bicicleta en 10 metros.

13

Calcula el radio de una circunferencia de longitud 80 cm. Recuerda que L = 2 ? r ? p.


345

12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

CALCULAR EL ÁREA DE POLÍGONOS

Nombre:

Curso:

Fecha:

CONCEPTO DE ÁREA El área de un polígono es la medida de su superficie.

EJEMPLO • La superficie de la figura son 18 unidades cuadradas. • Si cada cuadrado tiene 1 cm de lado, podemos medir la superficie de la figura, en este caso un rectángulo. • Se dice entonces que el rectángulo tiene un área de 18 cm2.

ACTIVIDADES 1

Calcula el área de las figuras, tomando como unidad un cuadrado que tiene 1 cm de lado. a)

c)

b)

d)

ÁREA DEL CUADRADO

ALTURA a = 5 dm

ÁREA DEL RECTÁNGULO

3 dm 3 dm

BASE b = 7 dm El rectángulo tiene 35 cuadrados de 1 dm2.

El cuadrado tiene 9 cuadrados de 1 dm2.

• Son 7 columnas y 5 filas.

• Son 3 columnas y 3 filas.

• Para hallar el área del rectángulo se multiplica la longitud de la base por la longitud de la altura.

• Para hallar el área del cuadrado se multiplica la longitud de un lado por la longitud del otro lado.

A = base ? altura = b ? a = 7 dm ? 5 dm = 35 dm2

346

A = lado ? lado = l ? l = 3 dm ? 3 dm = 9 dm2


12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

2

Curso:

Calcula el área de estos rectángulos y realiza un dibujo representativo. a) Base = 7 cm, altura = 3 cm

3

Fecha:

b) Base = 9 cm, altura = 2 cm

Calcula el área de estos cuadrados. a) Lado = 5 cm

b) Lado = 4 cm

4

Dibuja un rectángulo que tenga 24 cm2 de área.

5

Calcula el área de las siguientes figuras. 9 cm

a)

12 cm

b)

2 cm

4 cm 6 cm 4 cm

8 cm

6 cm


347

12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

Curso:

ÁREA DEL ROMBO

Fecha:

ÁREA DEL ROMBOIDE

d

a

D b

a b • El área de un rombo es igual al producto de sus diagonales dividido entre 2. A=

6

• El área de un romboide es igual al producto de la base por la altura.

D?d 2

A = base ? altura = b ? a

Halla el área de los siguientes rombos. a) Diagonal mayor = 12 cm

b) Diagonal mayor = 15 cm

Diagonal menor = 6 cm

Diagonal menor = 7 cm

7

Calcula el área de un romboide de base 7 cm y altura 3 cm. Realiza un dibujo representativo.

8

Dibuja un rectángulo de base 6 cm y altura 3 cm. a) Obtén su área. b) Traza las medianas de cada lado. c) Halla el área del rombo formado.

348


12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

Curso:

Fecha:

ÁREA DEL TRIÁNGULO F

• Al trazar la diagonal del romboide, este queda dividido en dos triángulos. • Los dos triángulos ocupan igual superficie.

a G

G

A=

F

b

Área del romboide b? a = 2 2 b?a 2

Calcula el área de los siguientes triángulos. F

9

Área del triángulo =

6m

5 dm G

F

17 dm

G

F

11 m

el área de los triángulos. c) G

8,7 cm

F

G

15 dm

4,1 cm

F

b)

5,4 cm

10 Determina

a)

F

12 cm

F

G

G

18 cm

G

5,7 cm 5 dm

11

Observa la siguiente figura. A

B

a) ¿Qué figura es? b) Su base mide 7 cm y su altura 4 cm. Nómbralas. c) Calcula el área de la figura. d) Traza la diagonal AD. ¿Qué figuras se han formado?

C

D

e) Halla el área de las figuras del apartado anterior.


349

12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

Curso:

Fecha:

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES • Un hexágono regular se descompone en 6 triángulos iguales cuya altura es la apotema.

l a

Área de cada triángulo =

a

lado ? apotema l?a base ? altura = = 2 2 2

a

l

l

• Área del hexágono regular = 6 ?

a

l

a

l

a

l

a

l

perimetro ? apotema l?a 6?l?a = = 2 2 2

6 ? l = perímetro del hexágono (suma de sus lados) En general, el área de un polígono regular es A =

12 Calcula

el área de los siguientes polígonos.

a)

Área del triángulo = 15 cm2

b)

Área del triángulo = 12 cm2

13 Halla

350

P?a , siendo P el perímetro del polígono. 2

el área de las figuras.

a)

Apotema = 2,4 cm Lado del octógono = 2 cm

b)

Apotema = 2,6 cm Lado del hexágono = 3 cm


12

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3


Nombre:

Curso:

Fecha:

ÁREA DEL CÍRCULO

r

Para calcular el área del círculo es necesario conocer su radio y se calcula con la siguiente fórmula: A = p ? r2

14 Completa

la siguiente tabla. r

r2

Área del círculo

1 2 3 4 5 10

15 Calcula

el área de las siguientes figuras:

a)

7m

b) 12 m

16 ¿Cuánto

mide el radio de un círculo cuya área es 31 400 m2?


351

12

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

Calcula el área del cuadrado más pequeño sabiendo que el lado del cuadrado mayor es 10 cm.

2

Un perro está atado a una cuerda de longitud 5 m. Se pasea manteniendo tensa la cuerda y barriendo un ángulo de 85° cada 5 segundos, volviendo una y otra vez sobre sus pasos.

a) ¿Qué longitud recorre el perro en 3 minutos? ¿Y en una hora? b) ¿Qué ángulo recorre el perro en 3 segundos? ¿Y en 14 segundos?

3

El profesor de matemáticas propone a sus alumnos el diseño de una figura compuesta de otras elementales. Uno de ellos es este. a) Calcula el área total de la figura. b) Para pintar la figura, ¿cuál es el color que más utilizaremos? ¿Y el que menos? 12 cm

Nota: el radio del hexágono azul es 8 cm. Las apotemas de los hexágonos miden 10,39 cm en el mayor y 6,93 cm en el menor.

352


12

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

4

Curso:

En el trapecio de la figura, el área del triángulo coloreado es

Fecha:

8 del área total del trapecio. 13 9 cm

16 cm

a) Halla el área del triángulo coloreada. b) ¿Cuál es el área del trapecio? c) Calcula el valor del área del triángulo que aparece sin colorear en la figura. d) Halla el valor de la base menor del trapecio.

5

En una circunferencia de radio r y centro O se traza un diámetro PQ. Se dibujan dos cuerdas AB y CD paralelas a PQ, una a cada lado del diámetro, y cuyas medidas son AB = 10,72 cm y CD = r. & & A continuación se trazan los triángulos AOB y COD. La distancia del segmento AB a O es 4,5 cm y el ángulo B mide 40°. D C

Q O B

P A 4,5 cm

Calcula: a) La medida del radio r.

% % b) La medida de los arcos AB y CD. % c) El área comprendida entre AB y AB. % d) El área comprendida entre CD y CD.


353

12 1

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN a) El área de la fígura es la del hexágono de 12 cm de lado y 6 semicírculos de 12 cm de diámetro.

Calcula el área del cuadrado más pequeño sabiendo que el lado del cuadrado mayor es 10 cm.

Vamos calculando el lado de los diferentes triángulos usando el teorema de Pitágoras.

(6 ? 12) ? 10,39 62 p +6 ? = 713,16 cm 2 2 2

b) El color rojo lo usaremos en un área de 62 p 6? = 339,12 cm 2. 2 El color azul lo usaremos en un área de (8 ? 6) ? 6,93 = 166,32 cm 2. 2

Cuadrado 2: l2 = 52 + 52 " l = 7,07 cm Cuadrado 3: l2 = 3,542 + 3,542 " l = 5 cm Cuadrado 4: l2 = A = 2,52 + 2,52 = 12,5 cm2 2

A=

Un perro está atado a una cuerda de longitud 5 m. Se pasea manteniendo tensa la cuerda y barriendo un ángulo de 85° cada 5 segundos, volviendo una y otra vez sobre sus pasos. 4

El color amarillo lo usaremos en un área de

(6 ? 12) ? 10,39 (8 ? 6) ? 6,93 = 207,72 cm 2. 2 2

Usaremos más el rojo y menos el azul.

En el trapecio de la figura, el área del triángulo 8 del coloreado es 13 área total del trapecio. a) Halla el área del triángulo coloreada.

a) ¿Qué longitud recorre el perro en 3 minutos? ¿Y en una hora? b) ¿Qué ángulo recorre el perro en 3 segundos? ¿Y en 14 segundos? a) La longitud que recorre en 5 segundos es la de un sector circular de radio 5 y arco 85, esto es 2p ? 5 ? 85 L= = 7,41 m. 360

Tenemos que 3 min = 180 s, si agrupamos estos segundos en grupos de 5, tenemos 36 veces recorre el perro la distancia, de modo que recorre 36 ? 7,41 = 266,76 m.

9 cm

16 cm

b) ¿Cuál es el área del trapecio? c) Calcula el valor del área del triángulo que aparece sin colorear en la figura. d) Halla el valor de la base menor del trapecio. 16 ? 9 = 72 cm 2 2 8 b) Tenemos que del área del trapecio vale 72, de 13 modo que el área del trapecio es 117 cm2. a) A =

c) 117 - 72 = 45 cm2 d) 117 =

(16 + b) ? 9 2

" b = 10 cm

Por otro lado, 1 h = 3 600 s, si los agrupamos en grupos de 5 segundos, tenemos que el perro recorre 720 la distancia, esto es 720 ? 7,41 = 5 335,2 m. 3 b) En 3 segundos recorre de 85 = 51°. 5 En 14 segundos recorre dos veces el ángulo de 85° 4 y luego de 85 = 68°. 5 3

El profesor de matemáticas propone a sus alumnos el diseño de una figura compuesta de otras elementales. Uno de ellos es este. a) Calcula el área total de la figura. b) Para pintar la figura, ¿cuál es el color que más utilizaremos? ¿Y el que menos?

354

12 cm


12 5


En una circunferencia de radio r y centro O se traza un diámetro PQ . Se dibujan dos cuerdas AB y CD paralelas a PQ, una a cada lado del diámetro, y cuyas medidas son AB = 10,72 cm y CD = r. A continuación & se trazan los triángulos AOB y & COD. La distancia de AB a O es

a) El radio es igual a la longitud de OB, que podemos calcular usando el teorema de Pitágoras.

D C

Q O B

P A 4,5 cm

r2 = 4,52 + 5,362 " r = 7 cm.

b) Como el ángulo B mide 40°, el ángulo que queda en el triángulo rectángulo mide 180 - 90 - 40 = 50°, de modo que el arco AB es el de un sector de 100°. 2p ? 7 ? 100 = 12,21 cm 360

L=

El sector de CD se corresponde con el ángulo de un triángulo equilátero, es decir, 60°.

4,5 cm y el ángulo B mide 40°.

L=

2p ? 7 ? 60 = 7,33 cm 360

Calcula:

a) La medida del radio r.

c) Es el área del sector circular menos el área del triángulo.

% % b) La medida de los arcos AB y CD. % c) El área comprendida entre AB y AB. % d) El área comprendida entre CD y CD.

A=

p ? 7 2 ? 100 10,72 ? 4,5 = 18,62 cm 2 360 2

d) Es el área del sector circular menos el área del triángulo.

Tenemos que calcular la altura del triángulo. Para ello usamos Pitágoras: 72 = 3,53 + h2 " h = 6,06 cm A=


7 ? 6,06 p ? 7 2 ? 60 = 4,43 cm 2 360 2

355

13

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

REPRESENTAR Y LOCALIZAR PUNTOS EN SISTEMAS DE COORDENADAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN LA RECTA 1.º Dibujamos una recta. 2.º Señalamos el origen O, que corresponde al valor cero. 3.º Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha e izquierda del cero. 4.º A la derecha del origen colocamos los números enteros positivos. 5.º A la izquierda del origen colocamos los números enteros negativos. Observa en la recta que los números están ordenados:

-7

-6

-5

-4

-3

-2

Números enteros negativos

-1 F

…

0

1

2 F Números

3

4

5

6

7

…

enteros positivos

ACTIVIDADES 1

Representa en una recta los siguientes números enteros: +5, -4, +8, 0, -1, -3, +6, +4, +6.

2

Representa en una recta los números opuestos del ejercicio anterior.

3

Dados los números -3, +5, -1, +4, +8, -7, +2, -6, -9, +10:

356

a) Ordénalos de menor a mayor.

c) ¿Cuál es el más alejado del origen?

b) Represéntalos en la recta numérica.

d) ¿Y cuál es el más cercano?


13

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

Curso:

Fecha:

COORDENADAS EN EL PLANO • Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas. – La recta horizontal es el eje de abscisas, y se representa por X. – La recta vertical es el eje de ordenadas, y se representa por Y. – El punto de corte de los ejes, es el origen de coordenadas, y se representa por O. • Un punto P del plano queda determinado por un par de números llamados coordenadas cartesianas del punto P y se escribe P (a, b). • El primer número (a) corresponde al eje X y el segundo número (b), al eje Y. • Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes, cada una de las cuales se llama cuadrante. Y

Y 6 Segundo cuadrante (-, +)

5 4

4 3

2

2

D (-7, 1)

A (3, 2)

1

0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

Primer cuadrante (+, +)

5

3 1

X

0 1

2

3

4

5

-2

6 X

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 C (-5, -2)

-3

1

Tercer cuadrante (-, -)

-5 -6

2

3

4

5

6

-2 -3 -4

-4

4

6

-5 -6

B (4, -3) Cuarto cuadrante (+, -)

Indica en qué cuadrante del plano están situados los siguientes puntos de coordenadas. Primer cuadrante

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

(-3, -4) (5, 2) (-1, 7) (2, -2) (-1, -4) (-2, 5) (3, -3)


357

13

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1


Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Dados los puntos A(4, -1), B(3, 4), C(-3, 2), D(-2, -3): a) Determina el cuadrante en el que se encuentra cada uno. b) Represéntalos en los ejes de coordenadas. c) Une los puntos alfabéticamente y, finalmente, une el punto D con A. ¿Qué figura obtienes? Y 6 5 4 3 2 1 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

-2 -3 -4 -5 -6

6

Escribe las coordenadas de los puntos señalados en el siguiente sistema de ejes. Y

Punto A:

Punto E:

Punto B: Punto F: Punto C: Punto G:

C A

D

Punto D: Punto H:

1 B E

O

1

• ¿Qué valor tiene la abscisa de un punto situado en el eje X ?

H

F G

358

X

• ¿Qué valor tiene la ordenada de un punto situado en el eje Y ?


13

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

RELACIONAR E INTERPRETAR TABLAS Y PARES DE VALORES

Nombre:

Curso:

Fecha:

TABLAS DE VALORES • Podemos expresar valores de números en forma de pares. • Estos pares se colocan ordenadamente en una tabla.

EJEMPLO Los pares de valores (2, 3), (-4, 6), (1, 0), (3, -5) pueden representarse en estos formatos de tablas.

Tabla vertical 2 -4 1 3

Tabla horizontal

3 6 0 -5

2 3

-4 6

1

3

0

-5

ACTIVIDADES 1

Escribe los siguientes pares de valores en una tabla vertical y otra horizontal.

(4, 6), (2, 0), (1, 9), (5, 5), (0, 1), (9, 4)

RELACIÓN TABLA DE VALORES-PUNTOS DEL PLANO • Cada par de valores de una tabla representa un punto del plano, y viceversa. • A cada punto del plano le corresponde un par de valores ordenados de una tabla. – La primera fila o columna corresponde al valor numérico del eje horizontal, X. – La segunda fila o columna corresponde al valor numérico del eje vertical, Y.

EJEMPLO Forma la tabla y representa los siguientes pares de valores.

Y 7

(2, 3), (4, 6), (-1, -3), (-3, 5), (3, -5)

6 (-3, 5)

(4, 6)

5 4

Valor del eje X

Valor del eje Y

3

2

3

2

4

6

-1

-3

-3

5

3

-5

(2, 3)

1 0 -7 -6 -5 -4 -3 -2

-1

1 2 3 4 5 6 7 X

-2 (-1, -3) -4 -5 -6

(3, -5)

-7


359

13

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

2

3

Curso:

Fecha:

Representa en el plano los pares de valores de la siguiente tabla. Valor del eje X

-1

-2

3

6

2

4

Valor del eje Y

3

-2

5

-1

4

0

Forma una tabla de valores ordenados que correspondan a los puntos representados. Y 7 6 5 4 3 2 1 0 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1 2 3 4 5 6 7

X

-2 -3 -4 -5 -6 -7

360


13

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

RELACIÓN DE MAGNITUDES MEDIANTE UNA TABLA ara relacionar magnitudes mediante una tabla es necesario recordar los conceptos relativos a la proporcionalidad P numérica, ya estudiada por los alumnos.

EJEMPLO En un comedor escolar cada alumno se come dos croquetas. • Tenemos dos magnitudes: –Número de alumnos: 1, 2, 3, 4, 5… –Número de croquetas, que contamos de dos en dos: 2, 4, 6, 8, 10… • Podemos formar una tabla que relaciona ambas magnitudes: 1

2

3

4

5

6

…

Número de croquetas

2

4

6

8

10

12

…

4

5 6 7 Alumnos

Y

Completa la representación de los pares de valores del ejemplo anterior en el sistema de coordenadas. Alumnos

1

2

3

4

5

6

…

Croquetas

2

4

6

8

10

12

…

En el eje X se representan los valores del número de alumnos.

En el eje Y se representan los valores del número de croquetas.

Croquetas

4

Número de alumnos

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

5

1

2 3

8

9 10 X

Una entrada de cine cuesta 8 €. ¿Cuánto costarán 2, 4, 6, 8 y 10 entradas? a) Forma la tabla de valores. b) Representa los pares de valores en un sistema de coordenadas.


361

13

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

6

Curso:

Fecha:

Y 40

La temperatura, en °C, durante el mes de agosto en una semana viene representada en el sistema de coordenadas. a) ¿Cuáles son las dos magnitudes?

35

b) Forma una tabla de valores.

30

c) ¿Qué días tuvieron la mayor temperatura de la semana?

25

d) ¿Y la menor temperatura?

20 15 10 5 0 L

7

M

X

J

V

S

D X

Una tortuga avanza 4 m cada minuto. a) ¿Cuáles son las dos magnitudes? b) Forma la tabla de valores para los 5 primeros minutos, tomando los valores de la distancia de 10 en 10.

8

Los puestos de clasificación de un equipo de fútbol han sido, durante las 10 primeras jornadas de liga: Jornada

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Clasificación

3

5

8

7

7

5

3

2

1

5

a) Representa los pares de valores en un sistema de coordenadas mediante puntos:

Jornada: eje horizontal, X.

Clasificación: eje vertical, Y.

b) Une los puntos obtenidos mediante líneas continuas. c) ¿En qué jornada ocupó el primer puesto? d) ¿En qué jornada obtuvo su peor clasificación? e) ¿Cuántas jornadas transcurrieron desde su peor hasta su mejor clasificación?

362


13

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER Y COMPRENDER LA IDEA DE FUNCIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

VARIABLES Y GRÁFICAS

x a c e

• Las tablas de valores relacionan dos magnitudes. • Las magnitudes se llaman variables, porque toman distintos valores, es decir, varían. • En cada par de valores, el segundo valor depende del primero.

y b d f

– a, c, e son valores de la variable independiente; se fijan previamente. – b, d, f son valores de la variable dependiente; dependen del valor correspondiente de la variable dependiente. • Si trasladamos los valores a un sistema de coordenadas y unimos sus puntos, obtenemos una gráfica.

– Variable independiente x, en el eje de abscisas u horizontal.

– Variable dependiente y, en el eje de ordenadas o vertical.

EJEMPLO Un canguro avanza 3 metros en cada salto que realiza. a) Magnitudes: saltos y distancia.

Variable independiente (x) número de saltos

Variable dependiente (y) distancia (en metros)

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

b) Variable independiente: número de saltos (se fija previamente). c) Variable dependiente: distancia en metros (depende del número de saltos).

ACTIVIDADES 1

Respecto al ejemplo anterior del canguro:

Y

a) Representa los pares de valores en un sistema de coordenadas. b) Une los puntos. ¿Qué obtienes?

O

2

En un mercado 2 kg de peras cuestan 1,50 €. ¿Cuánto costarán 4, 6, 8 y 10 kg de peras, respectivamente?

X

Y

a) Forma la tabla de valores con las magnitudes correspondientes. b) Indica la variable independiente y la dependiente. c) Representa los valores en un sistema de coordenadas y traza la gráfica.

O


X

363

13

REPASO Y APOYO

Nombre:

3

OBJETIVO 3

INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER Y COMPRENDER LA IDEA DE FUNCIÓN Curso:

Fecha:

La temperatura media, en °C, durante el año 2009 en un lugar, viene determinada por la siguiente tabla de valores. Mes

E

F

M

A

My

J

Jl

A

S

O

N

D

Temperatura

5

10

15

20

25

25

35

35

25

11

10

0

N

D

a) Indica la variable independiente y la dependiente. b) Representa los valores en estos ejes y traza la gráfica correspondiente uniendo los puntos. Y 40

Temperatura

35 30 25 20 15 10 5 0 E

F

M

A

My

J

Jl

A

S

O

X

Meses del año

4

Respecto al ejercicio anterior, contesta a las siguientes cuestiones. a) ¿Cuál fue el mes con la menor temperatura media?

c) ¿Qué observas de enero a mayo?

b) ¿Y el mes con mayor temperatura?

d) ¿Y de agosto a diciembre?

IDEA DE FUNCIÓN • La relación entre dos magnitudes la podemos escribir mediante una expresión algebraica, es decir, combinando letras, números y signos aritméticos. • Esta relación se denomina función. – Expresa el valor de y dependiendo de x. – A cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. • Una función hace corresponder a un valor x otro valor de y. Se suele escribir: y = expresión algebraica con x.

EJEMPLO Interpreta la función y = 2x + 1. – Es una expresión algebraica que relaciona dos magnitudes. – Para cada valor de x obtenemos un único valor de y. – Cada vez que introducimos un valor de x, la función y = 2x + 1 le hace corresponder un valor de y, que se obtendrá multiplicando x por 2 y sumándole 1.

364


13

REPASO Y APOYO

Nombre:

5

OBJETIVO 3

INTERPRETAR GRÁFICAS. RECONOCER Y COMPRENDER LA IDEA DE FUNCIÓN Curso:

Fecha:

Obtén la tabla de valores de la función y = 2x + 1. y = 2x + 1 Para x = 0

Para x = 1

Para x = 2

y

y=2?0+1=0+1=1

y=2?1+1=2+1=3

y=2?2+1=4+1=5

Para x = 3

^

x

Abreviadamente se expresa: x

0

1

2

y

1

3

5

3

4

5

También se pueden dar valores negativos: Para x = -1

y

y = 2 ? (-1) + 1 = -2 + 1 = -1

Para x = -2

^

6

x

Para x = -3

Obtén la tabla de valores de cada una de las funciones. a) y = x + 1 x

y

0

1

c) y = x - 1

e) y = 2x - 1

x

x

y

1

1

y

1 -1 2 -2

-2

-3

x = 0

x = -2 x=1

y = 0 + 1 = 1

y = -2 - 1 = -3 y=2?1-1=1

b) y = 3x d) y = 1 - x f) y = 2x + 2 x

y

x

y

x

y

0 1 -1 2 -2


365

13

REPASO Y APOYO


Nombre:

7

Curso:

OBJETIVO 3

Fecha:

Obtén la tabla de valores y representa en un sistema de coordenadas. a) y = x + 2

Y 6

x

5

y

4

0

3 2

1

1

-1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

2

1 2 3 4 5 6 X

-2

-2

-3

3

-4

-3

-5 -6

b) y = 2x + 3 x

y

Y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1 2 3 4 5 6 X

-2 -3 -4 -5 -6

c) y = 2x x

Y 6 y

5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1 2 3 4 5 6 X

-2 -3 -4 -5 -6

366


13

REPASO Y APOYO


Nombre:

Curso:

OBJETIVO 3

Fecha:

EJEMPLO Para celebrar un cumpleaños cada alumno pone 2 €. 1.° Determinamos las magnitudes: alumnos y euros. 2.° Relacionamos las magnitudes entre sí: el número de euros reunidos depende del número de alumnos. 3.° Construimos la tabla de valores. Alumnos (x)

1

2

3

4

5

6

7

…

Euros (y)

2

4

6

8

10

12

14

…

4.° Observamos que a cada valor de x le corresponde otro valor de y, que es su doble. Por tanto, podemos expresar esta relación mediante la función y = 2x.

8

Representa gráficamente la función anterior y contesta. a) ¿Cuántos euros reúnen 6 alumnos? b) 12 € corresponden a ............... alumnos.

20 € corresponden a ............... alumnos.

c) Observa esta relación en la representación gráfica. Al aumentar el número de alumnos, ................. el número de euros. Analiza cuándo la gráfica crece y decrece.

9

En un mercado, el precio del kilo de melocotones es 1,50 €. a) Expresa ambas magnitudes mediante la expresión algebraica de una función. b) Forma la tabla de valores dando cuatro valores a la variable independiente. c) Representa la función en un sistema de coordenadas. d) Enumera las características de la función.


367

13

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES 1

2

Dibuja un cuadrado, cuya área es 64 unidades cuadradas, sabiendo que el punto de corte de sus diagonales es el origen de coordenadas. Escribe las coordenadas de sus vértices.

\ que es isósceles y que tiene uno de los vértices en el punto Escribe las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC A(5,4) de tal manera que:

a) El lado desigual esté contenido en el eje X y su medida sea de 6 unidades.

b) El lado desigual esté contenido en el eje Y y su medida sea de 4 unidades.

3

Dibuja las gráficas para las siguientes situaciones.

a) Dos ciclistas salen al mismo tiempo, del mismo lugar y a la misma velocidad, 20 km/h. b) Dos ciclistas salen del mismo lugar y en el mismo momento, uno a 20 km/h y otro a 25 km/h. c) Dos ciclistas que salen del mismo lugar uno 40 minutos después que otro y con igual velocidad, 20 km/h.

368


13

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

4

Curso:

Fecha:

En una fábrica se elaboran 100 unidades de cierto producto cada hora y se venden a 3,60 € cada una. Escribe la expresión algebraica que relaciona:

a) La cantidad de unidades producidas en función del tiempo de trabajo.

b) El beneficio obtenido en función de las unidades producidas siendo el coste de producción 1,10 € por unidad.

5

En un aparcamiento se establece el precio para los estacionamientos de vehículos de la siguiente manera:

Primera hora o fracción: 1,20 € Resto de horas o fracción: 0,60 €

a) Escribe la ecuación de la función que relaciona el precio con el tiempo de estacionamiento de un vehículo.

b) Elabora una tabla en la que aparezcan los precios para cada una de las primeras seis horas de estacionamiento.

c) ¿Cuántas horas ha estado un vehículo estacionado si se pagan 6,60 €?

6

Una empresa alquila un autobús por 400 € diarios. Elabora una tabla con los precios a pagar por los ocupantes, en función del número que viaje, y halla la expresión algebraica que relacione precio y número de pasajeros.


369

13 1


Dibuja un cuadrado, cuya área es 64 unidades cuadradas, sabiendo que el punto de corte de sus diagonales es el origen de coordenadas. Escribe las coordenadas de sus vértices.

3

Dibuja las gráficas para las siguientes situaciones.

a = l2 " 64 = l2 " l = 64 = 8 " El lado del cuadrado mide 8 cm. Las diagonales se cortan en su punto medio, con lo que cada lado dista del origen de coordenadas 4 cm. (-4, 4)

(4, 4)

Y

a) Dos ciclistas salen al mismo tiempo, del mismo lugar y a la misma velocidad, 20 km/h. b) Dos ciclistas salen del mismo lugar y en el mismo momento, uno a 20 km/h y otro a 25 km/h.

X

(-4, -4) 2

c) Dos ciclistas que salen del mismo lugar uno 40 minutos después que otro y con igual velocidad, 20 km/h.

(4, -4)

a) km

Escribe las coordenadas de los vértices de un triángulo \ que es isósceles y que tiene uno de los vértices ABC en el punto A(5,4) de tal manera que:

a) El lado desigual esté contenido en el eje X y su medida sea de 6 unidades.

b) El lado desigual esté contenido en el eje Y y su medida sea de 4 unidades.

140 120 100 80 60 40 20 0

a) Y

0 1 2 3 4 5 6 7 tiempo (horas)

b) km (5, 4)

(8, 0)

(2, 0)

X

b)

Y (0, 6)

0 1 2 3 4 5 6 7 tiempo (horas)

c) km (5, 4)

(0, 2)

X

370

140 120 100 80 60 40 20 0

140 120 100 80 60 40 20 0

0 1

3 5 7 tiempo (horas)


13 4


En una fábrica se elaboran 100 unidades de cierto producto cada hora y se venden a 3,60 € cada una. Escribe la expresión algebraica que relaciona:

a) La cantidad de unidades producidas en función del tiempo de trabajo.

b) El beneficio obtenido en función de las unidades producidas siendo el coste de producción 1,10 € por unidad.

a) Variable independiente " tiempo en horas Variable dependiente " unidades producidas Expresión algebraica: y = 100x

b) Variable independiente " unidades producidas Variable dependiente " beneficio Beneficio = precio al que se vende - coste de producción = 3,60 - 1,10 = 2,50 € Expresión algebraica: y = 2,5x 5

a) Variable independiente " tiempo (horas) Variable dependiente " precio (€) Expresión algebraica: y = 1,20 + 0,60(x - 1)

b) Horas Precio (€)

2

3

4

5

6

1,20

1,80

2,40

3

3,60

4,20

c) y = 6,60 " 6,60 = 1,20 + 0,60(x - 1) " 6 = 0,6x " x = 6/0,6 = 10 h

El vehículo ha estado estacionado 10 horas. 6

En un aparcamiento se establece el precio para los estacionamientos de vehículos de la siguiente manera:

Primera hora o fracción: 1,20 €

1

Una empresa alquila un autobús por 400 € diarios. Elabora una tabla con los precios a pagar por los ocupantes, en función del número que viaje, y halla la expresión algebraica que relacione precio y número de pasajeros. Pasajeros

10

20

30

40

50

Precio por viajero (€)

40

20

13,3

10

8

Variable independiente " número de ocupantes

Variable dependiente " precio por viajero

Expresión algebraica: y = 400/x

Resto de horas o fracción: 0,60 €

a) Escribe la ecuación de la función que relaciona el precio con el tiempo de estacionamiento de un vehículo.

b) Elabora una tabla en la que aparezcan los precios para cada una de las primeras seis horas de estacionamiento.

c) ¿Cuántas horas ha estado un vehículo estacionado si se pagan 6,60 €?


371

14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

INTERPRETAR Y ELABORAR TABLAS DE FRECUENCIAS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Cuando recogemos una serie de datos o anotamos las respuestas de una pregunta, escribimos esos datos en tablas para analizarlos, organizarlos y emitir una serie de opiniones y conclusiones. Esos datos se llaman datos estadísticos, y la ciencia que se ocupa de realizar estas investigaciones es la Estadística.

EJEMPLO En una clase de 24 alumnos de 1.º ESO las calificaciones obtenidas en el examen de Lengua han sido: 4, 6, 7, 3, 6, 8, 5, 9, 2, 7, 5, 8, 7, 5, 4, 7, 8, 4, 6, 5, 8, 7, 3 y 10.

Notas

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia absoluta

2

I

1

1/24

Frecuencia relativa

3

II

2

2/24

4

III

3

3/24

5

IIII

4

4/24

Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos, e indica la relación del dato con respecto al total de datos.

6

III

3

3/24

7

IIII

5

5/24

8

IIII

4

4/24

9

I

1

1/24

10

I

1

1/24

24

24/24 = 1

Total

Es el número de veces que se repite el dato.

• La suma de frecuencias absolutas es el número total de datos: 1 + 2 + 3 + + 4 + 3 + 5 + 4 + 1 + 1 = 24 • La suma de las frecuencias relativas es la unidad. 1 2 3 4 3 5 + + + + + + 24 24 24 24 24 24 4 1 1 24 + + + = =1 24 24 24 24

ACTIVIDADES 1

Se ha preguntado a 50 alumnos del primer ciclo de ESO la edad, que tienen, y se han obtenido los siguientes datos: 12, 13, 12, 14, 13, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 14, 15, 13, 12, 13, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 13, 12, 14, 15, 13 y 12. Completa la tabla. a) Suma todas las frecuencias absolutas. b) Suma todas las frecuencias relativas.

Edades

c) ¿Cuál es la edad que más se repite?

12

d) ¿Cuál es la edad que menos se repite?

Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

13 14 15 16 Total

372


14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 1

INTERPRETAR Y ELABORAR TABLAS DE FRECUENCIAS

Nombre:

2

Curso:

Fecha:

Las temperaturas medias diarias (en °C) durante el mes de diciembre han sido: +11, -2, +8, +2, -1, +6, +8, +4, +8, +9, +2, +6, +2, +4, +8, -1, +9, +6, +9, +6, +8, +4, +8, -2, +4, -1, -2, +1, +6, +2, +8

Completa la siguiente tabla. Temperatura (°C)

Frecuencia absoluta

Recuento

Frecuencia relativa

-1 -2 +1

Total

En ocasiones, los datos que recogemos no son numéricos, sino que responden a valores cualitativos, es decir, a c aracterísticas o valores que no son números, sino cualidades.

3

Natalia ha preguntado en los cursos de 1.º ESO A, B y C sobre el tipo de música que prefieren sus compañeros. Los datos los ha reflejado en la siguiente tabla. Completa los valores que faltan. Tipo de música Rock

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

16 21 75

Pop Bakalao Tecno

18 9 75

Melódica Total

75


373

14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2

ELABORAR GRÁFICOS PARA REPRESENTAR UN CONJUNTO DE DATOS

Nombre:

Curso:

Fecha:

Los datos estadísticos se representan mediante gráficos, que nos ayudan a visualizar e interpretar la información recogida.

DIAGRAMA DE BARRAS • Para hacerlo utilizamos un sistema de ejes. En el eje horizontal representamos los datos, y en el vertical, las frecuencias absolutas. • La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra. En ocasiones se puede mostrar la frecuencia sobre la barra.

EJEMPLO En el curso de 1.º ESO los deportes favoritos de los alumnos son: Deportes

Fútbol

Baloncesto

Tenis

Atletismo

Balonmano

10

14

8

12

6

Frecuencias absolutas

Frecuencia

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

14 12 10 8 6

Fútbol

Baloncesto

Tenis

Atletismo Balonmano

Deportes preferidos

ACTIVIDADES 1

Entre los alumnos de 1.º ESO se ha realizado una encuesta sobre el tipo de programas de televisión preferido, y se han obtenido los resultados de la tabla. Represéntalos en un diagrama de barras. Programa TV Frecuencia absoluta

374

Deportivos

Musicales

Culturales

Películas

Concursos

16

10

4

8

12


14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

2

Curso:

Fecha:

Las edades de 24 alumnos de ESO que participan en competiciones deportivas son:

16, 14, 15, 13, 14, 15, 12, 16, 12, 13, 12, 14, 13, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 14, 15, 13, 12 a) Forma una tabla de frecuencias. b) Representa los datos en un diagrama de barras.

3

En una clase de 25 alumnos se ha realizado una encuesta para conocer el número de hermanos que tienen. Los resultados han sido:

0, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 4, 5, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 2, 6, 0, 1, 2, 3, 2 a) Forma una tabla de frecuencias. b) Representa los datos en un diagrama de barras.

4

Se ha lanzado 100 veces un dado de parchís. Los resultados obtenidos en los lanzamientos vienen indicados en la tabla. Represéntalos en un diagrama de barras. Caras

Frecuencia absoluta

1

12

2

14

3

16

4

18

5

20

6

20

Total

100


375

14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 2


Nombre:

Curso:

Fecha:

DIAGRAMA DE SECTORES Los datos se representan en un círculo. Cada sector representa un valor de la variable. El ángulo de cada sector circular es proporcional a la frecuencia absoluta de cada dato.

EJEMPLO Los deportes favoritos de 40 alumnos son:

5

Fútbol

8

Baloncesto

12

Tenis

6

Atletismo

10

Balonmano

4

Total

40

Balonmano F

Fútbol

Atletismo

F

F

Deportes favoritos

Frecuencia

F

Deporte

Baloncesto

F

Tenis

Para hallar el ángulo de cada sector utilizamos el siguiente procedimiento.

Dividimos el círculo completo (360°), en tantas partes como frecuencias absolutas hay (40); multiplicamos el resultado por cada frecuencia absoluta y con el transportador se halla cada sector circular.

Fútbol

8

9° ? 8 = 72°

Baloncesto

12

9° ? 12 = ......

A cada parte le corresponden 360° : 40 = 9°.

Tenis

6

9° ? ...... = ......

Completa la tabla.

Atletismo

10

9° ? ...... = ......

Balonmano

4

9° ? 4 = 36°

Total

40

........ = 360°

6

Deporte

Frecuencia

Sector circular (°)

El destino vacacional de 90 familias ha sido el siguiente. Destino

376

Frecuencia

Playa

26

Montaña

22

Turismo rural

18

Circuitos

10

Extranjero

8

Otros destinos

6

Total

90

Sector circular (°)

360°

Completa la tabla y representa los datos mediante un diagrama de sectores. DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 3

DISTINGUIR ENTRE EXPERIMENTO ALEATORIO Y DETERMINISTA

Nombre:

Curso:

Fecha:

Un experimento determinista es aquel experimento que una vez estudiado podemos predecir, es decir, saber lo que sucederá antes de que ocurra. Por ejemplo: – Si ponemos un recipiente con agua a calentar, sabemos que a 100 °C el agua hervirá. – Si un coche circula a 100 km/h, y tarda en hacer un trayecto 2 horas, habrá recorrido 200 km. Para expresar los resultados de experimentos deterministas se suele emplear la frase: «Es seguro que…». Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir, es decir, por muchas veces que repitamos el experimento en igualdad de condiciones, no se conoce el resultado. El lenguaje utilizado para expresar experimentos aleatorios está relacionado con situaciones de incertidumbre, ya que se trata de situaciones de azar: «Es más probable que, es igual de probable que salga, es imposible, es poco probable, es más seguro, es improbable, es casi seguro…». Por ejemplo: – Si lanzamos un dado, no podemos predecir el número que saldrá. – C uando sacamos una bola de una caja que contiene bolas de diferentes colores, no podemos predecir el color que obtendremos.

ACTIVIDADES 1

Clasifica los siguientes experimentos. Si el experimento es aleatorio, escribe un posible resultado. Experimento

Determinista

Lanzar un dado

Aleatorio Sacar un 3

El resultado de dividir 10 entre 2 En una caída libre de 5 metros, conocer la v elocidad que se alcanza Lanzar una moneda al aire Sacar una carta de una baraja española Saber la fecha de tu nacimiento Sacar una ficha roja de una caja donde hay 20 fichas rojas y 5 fichas azules Al lanzar un dado, obtener una puntuación mayor que 5 El resultado de elevar un número al cuadrado El tiempo que va a hacer mañana 2

Escribe dos experimentos deterministas y dos aleatorios, de tu vida cotidiana.


377

14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 4

OBTENER EL ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Nombre:

Curso:

Fecha:

• El espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa por E. • Cada uno de los resultados posibles se denomina suceso elemental.

EJEMPLO

Lanzar una moneda Lanzar un dado

Espacio muestral

Sucesos elementales

E = {cara, cruz}

cara (c) y cruz (x)

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1, 2, 3, 4, 5 y 6

F

F

Experimento

Todos los resultados posibles.

Cada uno de los resultados posibles.

ACTIVIDADES 1

Se tiene un dado en forma de tetraedro (ocho caras numeradas del 1 al 8). a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? b) ¿Cuáles son los sucesos elementales del experimento aleatorio que consiste en tirar el dado?

2

Determina el espacio muestral de un experimento que consiste en sacar tres bolas, sin introducir la bola que se saca, de una urna que contiene tres bolas numeradas de 1 a 3.

3

Di cuál es el espacio muestral de un experimento que consiste en sacar dos bolas, sin introducir la bola que se saca, de una urna que contiene dos bolas numeradas como 1 y 2.

4

Se lanzan dos dados y se suman los puntos. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener? Forma el espacio muestral.

378


14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 5

OBTENER SUCESOS ELEMENTALES, EL SUCESO SEGURO Y EL SUCESO IMPOSIBLE

Nombre:

Curso:

Fecha:

• Un suceso está formado por uno o varios sucesos elementales. • El suceso seguro está formado por todos los resultados posibles (sucesos elementales). Se verifica siempre. • El suceso imposible no contiene ningún suceso elemental. Nunca se verifica.

EJEMPLO En el experimento de lanzar un dado al aire, un suceso seguro es obtener un número menor que 7 y un suceso imposible es obtener el número 30.

ACTIVIDADES 1

Se tiene una baraja de cartas española. Realizamos el experimento de sacar una carta. Escribe los sucesos elementales. a) Sacar oros. b) Sacar un 5. c) Sacar una figura. d) Sacar bastos.

2

Se tienen ocho cartas numeradas del 1 al 8. Realizamos el experimento aleatorio de sacar una carta. Escribe los sucesos elementales. a) Obtener número par. b) Obtener múltiplo de 3. c) Obtener número mayor que 4.

3

De los siguientes experimentos, indica qué sucesos son seguros y cuáles son imposibles.

Experimento

Suceso seguro

Suceso imposible

De una baraja española de 40 cartas, sacar picas En una bolsa con 2 bolas rojas y 3 verdes, obtener una bola azul En una caja con fichas numeradas del 1 al 4, obtener una ficha con un número menor que 5 Al lanzar un dado al aire, obtener un número mayor que 6 Al tirar dos dados al aire y sumar la puntuación de sus caras, obtener 0 Al tirar dos dados al aire y sumar la puntuación de sus caras, obtener 3 Al tirar dos dados al aire y multiplicar la puntuación de sus caras, obtener 40


379

14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 6

CALCULAR LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO

Nombre:

Curso:

Fecha:

La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima la frecuencia relativa de ese suceso conforme aumenta el número de veces de repeticiones de un experimento aleatorio.

EJEMPLO Se lanza un dado de cuatro caras y se anotan las veces que aparece la cara 1. Lanzamientos

20

40

60

80

100

fi

7

11

15

18

27

hi

0,35

0,275

0,25

0,225

0,27

Observa que el número al que se aproxima la frecuencia del suceso «aparecer cara 1» es 0,25. Por tanto, la probabilidad de obtener cara 1 al lanzar un dado de cuatro caras es P = 0,25. ACTIVIDADES 1

Tira una moneda 25 veces y completa la tabla. Recuento

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

CARA CRUZ

a) ¿Son las frecuencias relativas números próximos a 0,5? b) ¿Qué consecuencias obtienes? REGLA DE LAPLACE Cuando todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, la probabilidad de un suceso A es el cociente del número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles. Esta expresión es la regla de Laplace: P(A) =

número de casos favorables número de casos posibles

EJEMPLO Se lanza un dado de seis caras al aire. El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Calcula las siguientes probabilidades.

Sucesos Salir número par Salir número par o menor que 5 (Se puede dar cualquiera de las opciones: número par o menor que 5) Salir número par y 4 (Se tienen que dar las dos opciones a la vez: número par y 4)

380

Casos favorables Casos posibles

Casos favorables

Casos posibles

{2, 4, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

P=

3 6

{1, 2, 3, 4, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

P=

5 6

{4}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

P=

1 6

p=


14

REPASO Y APOYO

OBJETIVO 6

CALCULAR LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO

Nombre:

2

Curso:

Fecha:

Hacemos quinielas con un dado de tres caras con el 1, dos caras con la X y la otra cara con el 2. Tras lanzar el dado, halla mediante la regla de Laplace (son sucesos elementales equiprobables). a) El espacio muestral: E = ...... b) La probabilidad de obtener 1. c) La probabilidad de obtener X. d) La probabilidad de obtener 2.

3

Una urna contiene 4 bolas: 1 roja, 1 azul, 1 verde y 1 blanca. Si se sacan 2 bolas a la vez, halla. a) El espacio muestral: E = ...... b) La probabilidad de que una bola sea blanca y la otra roja. c) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas. d) La probabilidad de que ninguna de las dos bolas sea blanca.

4

5

Se saca una carta de una baraja española de 40 cartas. Mediante la regla de Laplace, halla la probabilidad de obtener. a) Un rey.

e) Una carta que no sea de copas.

b) Oros.

f ) Una figura de bastos.

c) Un 4 o un 6.

g) Una carta que no sea figura.

d) El rey de oros.

h) Una carta menor que 5.

En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han tomado carne 16 hombres y 20 mujeres, y el resto ha tomado pescado. Completa la tabla, considerando que elegimos una persona al azar. Carne

Pescado

Suma

Hombres

16

28

Mujeres

20

32

Suma

36

a) ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tomado pescado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y haya tomado pescado?

6

Si se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos, halla. a) El espacio muestral: E = ...... b) La probabilidad de que la suma sea 3. c) La probabilidad de que la suma sea 7. d) La probabilidad de que la suma sea superior a 10. e) La probabilidad de que la suma sea 4 o 5.


381

14

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

Curso:

Fecha:

ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN 1

Las frecuencias relativas de un grupo de 200 datos son:

0,23 0,15 0,08 0,09 0,2 0,18 0,07

Representa estos datos mediante un diagrama de barras.

2

Completa la tabla de frecuencias. Fruta preferida

f1

Naranja

25

h1

Porcentaje 10 %

Manzana

12 %

Sandía

0,4

Fresa Uva

15

3

En un diagrama de sectores, el sector que corresponde a un dato con frecuencia absoluta 28 tiene una amplitud de 120°. Averigua cuál es la amplitud de los demás sectores sabiendo que tienen como frecuencias absolutas 6,15 y 20, respectivamente. Dibuja el diagrama de sectores.

4

Después de revisar los cuadernos de sus alumnos, el profesor los deposita en los pupitres, quedándole tres que no tienen nombre. Calcula la probabilidad de que dejando los cuadernos al azar en los tres pupitres que quedan sin cuaderno, acierte en uno de ellos.

382


14

PROFUNDIZACIÓN

Nombre:

5

Curso:

Fecha:

Si lanzamos dos dados y observamos sus puntuaciones de las caras superiores: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre sus puntos sea 0? b) ¿Y de que sea 1?

6

Juan acude a un restaurante asiático y pide la carta. En ella se ofrecen seis platos de carne, seis de pescado y cuatro de marisco. No quiere comer carne pero como no llega a comprender el idioma, escoge uno al azar. a) ¿Cuál de los platos tiene mayor probabilidad de ser escogido? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no coma carne? c) En el caso de que Juan recibiera en su primera petición un plato de carne, lo rechazaría, y pediría, al azar, otro entre los restantes de la carta. ¿Qué probabilidad hay de que el segundo plato sea también de carne?

7

Un experto jugador tiene una moneda trucada de tal manera que la probabilidad de que salga cara es el doble que la probabilidad de que salga cruz. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz al tirar la moneda? ¿Y de que salga cara?

8

Este gráfico muestra las preferencias deportivas de los alumnos de 1.º de ESO.

Estudiantes

20 16 12 8 4 Fútbol

Vóley

Básquet Deportes

Si elegimos un alumno al azar, ¿qué probabilidad hay de que su deporte preferido sea el fútbol? ¿Y de que no sea el fútbol?


383

14 1


Las frecuencias relativas de un grupo de 200 datos son:

0,23 0,15 0,08 0,09 0,2 0,18 0,07

Representa estos datos mediante un diagrama de barras.

xi

fi

hi

Amplitud sectores

A

28

0,3333

120°

xi

fi

hi

B

6

0,0714

25,70°

A

46

0,23

C

15

0,1786

64,30°

B

30

0,15

D

20

0,2381

85,72°

C

16

0,08

E

15

0,1786

64,30°

D

18

0,09

Total

84

1

360°

E

40

0,2

F

36

0,18

G

14

0,07

Total

200

1

15 28

20

50

6 40

15

30 20

4

10 0

2

B

C

D

E

F

G

Completa la tabla de frecuencias.

3

A

Fruta preferida

f1

h1

Porcentaje

Naranja

25

0,1

10 %

Manzana

30

0,12

Sandía

100

Fresa Uva

CASOS POSIBLES Pupitre 1

Pupitre 2

Pupitre 3

Caso 1

Cuaderno 1

Cuaderno 2

Cuaderno 3

12 %

Caso 2

Cuaderno 1

Cuaderno 3

Cuaderno 2

0,4

40 %

Caso 3

Cuaderno 2

Cuaderno 1

Cuaderno 3

80

0,32

32 %

Caso 4

Cuaderno 2

Cuaderno 3

Cuaderno 1

15

0,06

6 %

Caso 5

Cuaderno 3

Cuaderno 1

Cuaderno 2

Caso 6

Cuaderno 3

Cuaderno 2

Cuaderno 1

En un diagrama de sectores, el sector que corresponde a un dato con frecuencia absoluta 28 tiene una amplitud de 120°. Averigua cuál es la amplitud de los demás sectores sabiendo que tienen como frecuencias absolutas 6,15 y 20, respectivamente. Dibuja el diagrama de sectores.

Después de revisar los cuadernos de sus alumnos, el profesor los deposita en los pupitres, quedándole tres que no tienen nombre. Calcula la probabilidad de que dejando los cuadernos al azar en los tres pupitres que quedan sin cuaderno, acierte en uno de ellos.

Acierta en todos los pupitres en el CASO 1 y acierta en uno de ellos en los CASOS 2, 3 y 6. P(acertar en uno de ellos) = 3/6 = 0,5 = 50 %

h = amplitud : 360° " h = 120° : 360° = 0,3333 N = f : h = 28/0,3333 = 84 Frecuencias absolutas: 28, 6, 15, 20 y 84 - (28 + 6 + 15 + 20) =15

384


14 5

SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN a) Los platos de carne y de pescado tienen la misma probabilidad de ser escogidos pero es mayor que la de escoger un plato de marisco. P(carne) = P(pescado) = 6/16 = 3/8 = 0,375

Si lanzamos dos dados y observamos sus puntuaciones de las caras superiores: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre sus puntos sea 0?

b) P(no carne) = 10/16 = 5/8 = 0,625

b) ¿Y de que sea 1?

c) P(carne en el segundo plato) = 5/15 = 1/3 = 0,333

E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

7

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

P (C) = 2P (+)

36 resultados posibles

P (C) + P (+) = 1 " 2P(+) + P(+) = 1 "

a) A = «diferencia 0» = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} " P(A) = 6/36 = 1/6 = 0,167

" 3P (+) = 1 " P (+) =

b) B = «diferencia 1» = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)} P(B) = 10/36 = 5/18 = 0,278

P (C) = 2 ? P (+) " P (C) = 8

Juan acude a un restaurante asiático y pide la carta. En ella se ofrecen seis platos de carne, seis de pescado y cuatro de marisco. No quiere comer carne pero como no llega a comprender el idioma, escoge uno al azar.

2 3

20

a) ¿Cuál de los platos tiene mayor probabilidad de ser escogido? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no coma carne? c) En el caso de que Juan recibiera en su primera petición un plato de carne, lo rechazaría, y pediría, al azar, otro entre los restantes de la carta. ¿Qué probabilidad hay de que el segundo plato sea también de carne?

1 3

Este gráfico muestra las preferencias deportivas de los alumnos de 1.o de ESO.

Estudiantes

6

Un experto jugador tiene una moneda trucada de tal manera que la probabilidad de que salga cara es el doble que la probabilidad de que salga cruz. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz al tirar la moneda? ¿Y de que salga cara?

16 12 8 4 Fútbol

Vóley

Básquet Deportes

Si elegimos un alumno al azar, ¿qué probabilidad hay de que su deporte preferido sea el fútbol? ¿Y de que no sea el fútbol?

Total de alumnos = 18 + 12 + 20 = 50 P(fútbol) = 18/50 = 9/25 = 0,36 P(no fútbol) = 1 - 0,36 = 0,64


385

Recursos para la evaluación De contenidos Por competencias

Presentación

LA EVALUACIÓN EN LA LOMCE La evaluación constituye una fase fundamental del proceso educativo: • Nos informa del grado de adquisición de los contenidos y del desarrollo de las competencias por parte del alumnado. • Es un instrumento fundamental para orientar la labor docente, pues, a raíz de sus resultados, es posible elaborar planes específicos para que cada alumno o alumna desarrolle mejor sus capacidades o habilidades, reforzando y mejorando en determinados campos en unos casos o profundizando y abarcando nuevos contenidos en otros. EVALUACIONES EXTERNAS La Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE) plantea importantes innovaciones relacionadas con el proceso de evaluación, la principal de las cuales es, sin duda, el establecimiento de cuatro evaluaciones externas: • Al finalizar los cursos de 3.º y 6.º de Primaria. • Tras 4.º de Educación Secundaria Obligatoria. • Al terminar 2.º de Bachillerato. Las pruebas de Primaria son evaluaciones de diagnóstico que tienen como objetivo comprobar la adquisición de destrezas y de competencias por parte de los alumnos, de modo que, si se detectase alguna carencia, se puedan establecer planes específicos de mejora. Sin embargo, las pruebas de 4.° de ESO y 2.° de Bachillerato tienen importantes efectos académicos: si no se superan, los alumnos no obtendrán los títulos de Graduado en ESO y de Bachillerato, respectivamente.

EVALUACIONES EXTERNAS EN LA LOMCE

388

3.o Primaria

6.o Primaria

Diagnóstico

Diagnóstico

4.o ESO

Obtención del título de Graduado en ESO

2.o Bachillerato

Obtención del título de Bachillerato


UN COMPLETO SISTEMA DE EVALUACIÓN El proyecto SABER HACER ofrece un amplio conjunto de recursos para facilitar la labor del profesorado y responder a sus necesidades, atendiendo a todos los aspectos de la evaluación: • Evaluación de contenidos. Pruebas de control para cada unidad didáctica para comprobar el nivel de adquisición de los principales conceptos y procedimientos. • Evaluación por competencias. Pruebas que evalúan el gradó de adquisición de las competencias. • Rúbricas de evaluación. Documento en el que se proporcionan, para cada unidad didáctica, criterios para la observación y el registró del grado de avance de los alumnos, de acuerdo con los estándares de aprendizaje. • Generador de pruebas de evaluación. Herramienta informática que permite elaborar pruebas de evaluación personalizadas mediante la selección de actividades a través de un sistema de filtros. También permite editar y modificar las actividades o que el profesorado incluya otras de elaboración propia. • Evaluaciones externas: nacionales e internacionales. Análisis de las principales evaluaciones externas de ámbito autonómico, nacional e internacional, destinadas a los alumnos. RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN DE CONTENIDOS La evaluación de contenidos permite controlar el proceso de enseñanza y aprendizaje, efectuando una comprobación permanente del nivel de adquisición de contenidos. Como apoyo para facilitar esta labor, se proporcionan en todas las unidades didácticas: • Pruebas de control. Se ofrecen dos pruebas: – Prueba B. Prueba de nivel básico en la que se evalúan los contenidos mínimos que todos los alumnos y alumnas deben adquirir. – Prueba A. Prueba de nivel avanzado. • Estándares de aprendizaje y soluciones. En una tabla se relacionan los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje del currículo de cada unidad con las actividades de las pruebas. Se incluyen, además, las soluciones de todas las actividades.


389

Presentación

LAS COMPETENCIAS EN LA LOMCE Las competencias son un conjunto integrado de capacidades (conocimientos, estrategias, destrezas, habilidades, motivaciones, actitudes…) que los alumnos han de poner en juego para dar respuesta a problemas cotidianos, aunque complejos, de la vida ordinaria. La nueva ley de educación, basándose en el Marco de Referencia Europeo para las competencias clave en el aprendizaje permanente, ha definido siete competencias que los alumnos deben haber adquirido al finalizar su trayectoria académica. Estas competencias son las siguientes: Competencias

Comunicación lingüística

Es la habilidad para expresar e interpretar conceptos, pensamientos, sentimientos, hechos y opiniones de forma oral o escrita (escuchar, hablar, leer y escribir), y de interactuar lingüísticamente de una manera adecuada y creativa en todos los contextos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología

Integra la habilidad de aplicar los conceptos matemáticos, con el fin de resolver problemas en situaciones cotidianas, junto con la capacidad de aplicar el conocimiento y el método científico para explicar la naturaleza.

Competencia digital

Implica el uso seguro y crítico de las tecnologías de la información y la comunicación en la formación, el trabajo y el ocio.

Aprender a aprender

Engloba las habilidades necesarias para aprender, organizar el propio aprendizaje y gestionar el tiempo y la información eficazmente, ya sea de forma individual o en grupo.

Competencia social y cívica

Recoge los comportamientos que preparan a las personas para participar de una manera eficaz y constructiva en la vida social, profesional y cívica, en una sociedad cada vez más diversificada y plural.

Sentido de iniciativa y emprendimiento

Hace referencia a la habilidad de cada persona para transformar las ideas en actos, poniendo en práctica su creatividad, a la capacidad de innovación y de asunción de riesgos, y a las aptitudes necesarias para la planificación y la gestión de proyectos.

Conciencia y expresión cultural

Implica apreciar la importancia de la expresión creativa de ideas, experiencias y emociones a través de distintos medios (música, literatura, artes escénicas, artes plásticas…).

La incorporación de las competencias al currículo hace necesario integrarlas en las tareas y actividades didácticas que se desarrollan en el proceso de enseñanza-aprendizaje y, por tanto, tienen una relación directa con la evaluación del alumnado. Esto requiere que los estándares de aprendizaje evaluables hagan referencia no solo a los contenidos propios de las distintas áreas, sino también a la contribución de dichas áreas al logro de las competencias.

390


RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS Entre los recursos para la evaluación que se incluyen en el proyecto SABER HACER, se proporcionan pruebas diseñadas para evaluar el desarrollo y la adquisición de las competencias educativas por parte de los alumnos. Estas pruebas de evaluación por competencias son complementarias a las que se proponen para la evaluación de contenidos. Tanto unas como otras evalúan los procesos cognitivos y el progreso en el aprendizaje, aunque las segundas están más guiadas por el currículo de las áreas y las primeras, por la contribución de tales áreas al logro de las competencias educativas. En el área de Matemáticas, nuestro proyecto editorial ofrece los siguientes elementos: • Pruebas de evaluación por competencias. Para cada unidad se ofrece una prueba referida fundamentalmente a las competencias más ligadas con el área: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología, sentido de iniciativa y emprendimiento, comunicación lingüística y competencia social y cívica. • Estándares de aprendizaje. Los estándares de aprendizaje del perfil de la competencia se ponen en relación con las actividades. • Soluciones. Se incluyen las respuestas a todas las actividades planteadas en cada prueba.


391

1

PRUEBA B

EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

Nombre:

1

2

Curso:

Fecha:

Calcula las siguientes operaciones y anota el resuItado. a) 207 + 897 =

e) 25 ? 8 + 40 ? 5 =

b) 512 - 276 =

f)

c) 7 ? 98 =

g) 16 + 9 =

d) 657 : 9 =

h) 4 2 + 49 + 5 =

49 + 3 2 =

Completa con los números correspondientes. a) 8 765 + b)

= 19 806 - 3 870 = 8 702

c) 99 ?

= 1 881

d) 1 001 : e)

= 11 : 23 = 1 794

3

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división.

4

De las siguientes divisiones, señala las que son exactas y anota el cociente y el resto. Haz primero la división en papel y utiliza después la calculadora. División

Exacta

Cociente

Resto

Igualdad

732 : 15

No

48

12

732 = 48 ? 15 + 12

7 021 : 37 4 004 : 26

392


5

Haz estas las operaciones. a) 17 + 4 ? (108 - 65) : 4 = b) 375 + (79 - 36) ? (121 : 11) - 575 = c)

225 - (19 + 5) : 8 =

d) 182 + (107 - 44) : (66 - 63)2 = 6

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en: b a) Un producto de la forma: a · a · a · … · a. a b) Un producto de la forma: b · b · b · … · b.

c) El producto de a por b. 7

La raíz cuadrada de 16 es: a) 8, porque 8 · 2 es 16. b) 4, porque 4 · 4 es 16. c) 32, porque 16 · 2 es 32.

8

María ha decidido repartir su colección de cromos en sobres. Si tiene 437 cromos y 30 sobres, ¿cuántos cromos tendrá que poner en cada sobre?

9

En un grupo de seis amigos cada uno pone 5 € para merendar y les devuelven 6 €. Calcula cuánto cuesta la merienda de cada amigo.


393

1

PRUEBA A


Nombre:

1

2

Curso:

Fecha:

Calcula las siguientes operaciones y anota el resuItado. a) 207 + 897 =

e) 25 ? 8 + 40 ? 5 =

b) 512 - 276 =

f)

64 + 5 2 =

c) 9 ? 98 =

g)

36 + 25 =

d) 657 : 73 =

h) 4 2 + 49 + 5 =

Completa con los números correspondientes. a) 8 765 + b)

- 3 200 = 16 606 - 3 870 = 8 702

c) 99 ?

= 1 881

d) 1 001 : e)

= 11 : 23 = 1 794

3

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división.

4

De las siguientes divisiones, señala las que son exactas y anota el cociente y el resto. Haz primero la división en papel y utiliza después la calculadora. División

Exacta

Cociente

Resto

Igualdad

6 578 : 15 7 021 : 307 41 002 : 26

394


5

Haz estas las operaciones. a) 2 618 + 303 ? (75 - 20) : 5 = b) 793 + (230 - 108) ? (95 : 5) - 2 673 = c)

324 - (38 + 37) : 5 =

d) 282 + (7 854 - 3 354) : (650 - 645)2 = 6

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en: b a) Un producto de la forma: a · a · a · … · a. a b) Un producto de la forma: b · b · b · … ·b

c) El producto de a por b. 7

La raíz cuadrada entera de 86 es: a) 43, porque 43 · 2 es 86. b) 9, porque 9 · 9 = 81 < 86. c) 172, porque 86 · 2 es 172.

8

María ha decidido repartir su colección de cromos entre sus 23 compañeros. Si tiene 189 cromos, ¿cuántos cromos dará a cada uno? ¿Le sobrará algún cromo?

9



395

1

PRESENTACIÓN PRUEBA B Y SUGERENCIAS

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES Estándares de aprendizaje

Criterios de evaluación*

1

2

Actividades

B.1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

B.1-2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema).

8y9

B.2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

B.2-1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de números enteros y exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

1, 2, 3 y 4

B.2-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.

B.2-2.4. Realiza cálculos en los que intervienen potencias de números enteros y exponente natural y aplica las reglas básicas de las operaciones con calculadora.

6y7

B.2-3. Desarrollar, en casos sencillos, la competencia en el uso de operaciones combinadas como síntesis de la secuencia de operaciones aritméticas, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones o estrategias de cálculo mental.

B.2-3.1. Realiza operaciones combinadas entre números enteros, decimales y fraccionarios, con eficacia, bien mediante el cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o medios tecnológicos utilizando la notación más adecuada y respetando la jerarquía de las operaciones.

5

Calcula las siguientes operaciones y anota el resuItado. a) 207 + 897 = 1 104

e) 25 ? 8 + 40 ? 5 = 400

b) 512 - 276 = 236

f)

49 + 32 = 16

c) 7 ? 98 = 686

g)

16 + 9 = 7

d) 657 : 9 = 73

h) 42 + 49 + 5 = 28

Completa con los números correspondientes. a) 8 765 + 11 041 = 19 806 b) 12 572 - 3 870 = 8 702 c) 99 :

= 1 881

19

d) 1 001 :

91

= 11

e) 41 262 : 23 = 1 794 3

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una Igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división. Diviendo

Divisor

Diviendo

135 11

= Divisor ? Cociente + Resto

135 =

11

?

12

+

3

25 12 Cociente Resto 3

396


4

5

De las siguientes divisiones, señala las que son exactas y anota el cocIente y el resto. Haz primero la división en papel y utiliza después la calculadora. División

Exacta

Cociente

Resto

Igualdad

732 : 15

No

48

12

732 = 48 ? 15 + 12

7 021 : 37

No

189

28

7 021 = 37 ? 189 + 28

4 004 : 26

Sí

154

0

4 004 = 26 ? 154

Haz estas operaciones. a) 17 + 4 ? (108 - 65) : 4 = 60 b) 375 + (79 - 36) ? (121 : 11) - 575 = 273 c)

225 - (19 + 5) : 8 = 12

d) 182 + (107 - 44) : (66 - 63)2 = 331 6

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en: b a) Un producto de la forma: a · a · a · … · a. a b) Un producto de la forma: b · b · b · … ·b

c) El producto de a por b. La respuesta correcta es a). 7

La raíz cuadrada de 16 es: a) 8, porque 8 ? 2 es 16. b) 4, porque 4 ? 4 es 16. c) 32, porque 16 ? 2 es 32. La respuesta correcta es b).

8

María ha decidido repartir su colección de cromos en sobres. Si tiene 437 cromos y 30 sobres, ¿cuántos cromos tendrá que poner en cada sobre?

437 dividido entre 30 da 14 sobre con 30 cromos y quedan 17. 9


Les han devuelto 6 € a los seis amigos, es decir, 1 € para cada uno. Por tanto, la merienda de cada amigo cuesta 5 - 1 = 4 €.

* Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje del currículo oficial del Ministerio.


397

1

PRESENTACIÓN PRUEBA A Y SUGERENCIAS

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES Criterios de evaluación*

1

2

Estándares de aprendizaje

Actividades



8y9

B.2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

B.2-1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de números enteros y exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

1, 2, 3 y 4


B.2-2.4. Realiza cálculos en los que intervienen potencias de números enteros y exponente natural y aplica las reglas básicas de las operaciones con calculadora.

6y7



5

Calcula las siguientes operaciones y anota el resuItado. a) 207 + 897 = 1 104

e) 25 ? 8 + 40 ? 5 = 400

b) 512 - 276 = 236

f)

64 + 52 = 33

c) 9 ? 98 = 882

g)

36 + 25 = 11

d) 657 : 73 = 9

h) 42 + 49 + 5 = 28

Completa con los números correspondientes. a) 8 765 + 11 041 - 3 200 = 16 606 b) 12 572 - 3 870 = 8 702 c) 99 :

= 1 881

19

d) 1 001 :

91

= 11

e) 41 262 : 23 = 1 794 3

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una Igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división. Diviendo

Divisor

Diviendo

135 11

= Divisor ? Cociente + Resto

135 =

11

?

12

+

3

25 12 Cociente Resto 3

398


4

5

De las siguientes divisiones, señala las que son exactas y anota el cocIente y el resto. Haz primero la división en papel y utiliza después la calculadora. División

Exacta

Cociente

Resto

Igualdad

6 578 : 15

No

438

8

6 578 = 438 ? 15 + 8

7 021 : 307

No

22

267

7 021 = 22 ? 307 + 267

41 002 : 26

Sí

1 577

0

41 002 = 1 577 ? 26

Haz estas operaciones. a) 2 618 + 303 ? (75 - 20) : 5 = 5 951 b) 793 + (230 - 108) ? (95 : 5) - 2 673 = 438 c)

324 - (38 + 37) : 5 = 3

d) 282 + (7 854 - 3 354) : (650 - 645)2 = 964 6

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en: b a) Un producto de la forma: a · a · a · … · a. a b) Un producto de la forma: b · b · b · … · b.

c) El producto de a por b. La respuesta correcta es a). 7

La raíz cuadrada entera de 86 es: a) 43, porque 43 ? 2 es 86. b) 9, porque 9 ? 9 = 81 < 86. c) 172, porque 86 ? 2 = 172. La respuesta correcta es b).

8

María ha decidido repartir su colección de cromos entre sus 23 compañeros. Si tiene 189 cromos, ¿cuántos cromos dará a cada uno? ¿Le sobrará algún cromo?

189 dividido entre 23 da 8 cromos y sobran 5. 9


Les han devuelto 6 € a los seis amigos, es decir, 1 € para cada uno. Por tanto, la merienda de cada amigo cuesta 5 - 1 = 4 €.



399

1

EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

Nombre:

1

Curso:

Fecha:

A Sofía le ha llegado este mensaje telefónico:

No rompas la cadena deA. la FORTUN Reenvía estees mensaje a tr amigos.

Sofía no se lo ha creído, pero le ha dado una idea: en su grupo ecologista quieren hacer una campaña para concienciar a la gente del deterioro de los fondos marinos. Sofía va a enviar este mensaje a tres amigos. Cada uno de ellos, al día siguiente, enviará el mensaje a otros tres amigos. Así, la cadena no se rompe.

Ch 13:0arla, vie Env 0 h. rnes, mañ íalo ami ana a go tres SA s. LOSLVEMO MA S RES

a) ¿Cuántos mensajes enviará Sofía? ¿Y cada uno de sus amigos?

b) Si Sofía envía hoy los mensajes, ¿cuándo se enviarán el resto de mensajes?

c) ¿Cuántos mensajes se enviarán el tercer día?

d) Si falta una semana para el acto y todas las personas envían sus mensajes, ¿a cuántas personas, como máximo, llegará el mensaje?

e) ¿Qué ocurriría si Sofía hubiera enviado solo 2 mensajes? ¿Y si hubieran sido 4? ¿Y 5?

400


2

El consejo directivo del polideportivo Nuevo Centro ha decidido incluir publicidad en su campo de hockey. La pista de hockey tiene una superficie de 800 m2, y los bordes de la pista están rodeados por vallas publicitarias. Se propone cobrar una cuota anual de 400 €/m. Los miembros del consejo directivo quieren calcular el dinero anual que recibirían por la publicidad, pero desconocen las dimensiones exactas de los lados del campo. A un miembro del consejo se le ha ocurrido una forma de calcularlo, pues el campo de hockey está formado por dos cuadrados iguales.

a) ¿Dónde se va a colocar la publicidad? Haz un gráfico en tu cuaderno y señala la parte del campo de hockey que ocupará la publicidad.

b) ¿Cuál es la superficie del campo? ¿Cuáles serán los ingresos del polideportivo anualmente por cada metro de publicidad?

c) Dibuja en tu cuaderno un campo de hockey con las características que indica el enunciado.

d) Si alquilan todas las vallas publicitarias del campo, ¿cuánto dinero recibirán anualmente?

e) Si el presupuesto para unas obras de reforma que necesitan hacer es de 54 000 €, ¿a cuánto tienen que cobrar el metro de publicidad para cubrir los gastos?


401

1

PRESENTACIÓN Y SUGERENCIAS

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES

Competencias que se evalúan Competencia matemática

Sociales y cívicas

Sentido de la iniciativa y emprendimiento

1



Actividades


B.2-2.4. Realiza cálculos en los que intervienen potencias de exponente natural y aplica las reglas básicas de las operaciones con potencias.

1

B.3-2. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de perímetros, áreas y ángulos de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado expresar el procedimiento seguido en la resolución.

B.3-2.1. Resuelve problemas relacionados con distancias, perímetros, superficies y ángulos de figuras planas, en contextos de la vida real, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas.

2, apartados b) y c)

B.1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

B.1-6.1. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

1

B.1-6.2. Establece conexiones entre un problema del mundo real y el mundo matemático: identificando el problema o problemas matemáticos que subyacen en él y los conocimientos matemáticos necesarios.

1

B.1-8. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático.

B.1-8.2. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al nivel educativo y a la dificultad de la situación.

2, apartados a), b), d) y e)

B.1-8.4. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y buscar respuestas adecuadas, tanto en el estudio de los conceptos como en la resolución de problemas.

1, apartado e)

A Sofía le ha llegado este mensaje…

a) Sofía enviará 3 mensajes. Cada uno de sus amigos enviará también 3 mensajes. b) Los tres amigos a los que Sofía envía los mensajes mandarán sus mensajes al día siguiente. c) El primer día se enviarán: 3 mensajes

402

El segundo día:

32 = 9 mensajes

El tercer día:

33 = 27 mensajes


d) El mensaje llegará a: 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2 187 = 3 279 personas e) • Si Sofía manda 2 mensajes: 2 + 2 ? 3 + 2 ? 32 + 2 ? 33 + 2 ? 34 + 2 ? 35 + 2 ? 36 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1 458 = 2 186 personas

• Si Sofía manda 4 mensajes: 4 + 4 ? 3 + 4 ? 32 + 4 ? 33 + 4 ? 34 + 4 ? 35 + 4 ? 36 = 2 ? (2 + 2 ? 3 + 2 ? 32 + 2 ? 33 + 2 ? 34 + 2 ? 35 + 2 ? 36) = = 2 ? 2 186 = 4 372 personas

• Si Sofía manda 5 mensajes: 5 + 5 ? 3 + 5 ? 32 + 5 ? 33 + 5 ? 34 + 5 ? 35 + 5 ? 36 = 5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1 215 + 3 645 = 5 465 personas

2

El consejo directivo del Polideportivo…

a) En las vallas que delimitan los lados del campo de hockey. b) La superficie del campo es de 800 m2. Los ingresos anuales serán de 400 €/m. c) El campo de hockey que se dibuje tendrá que tener el doble de longitud de largo que de ancho. d) Si el campo está compuesto por dos cuadrados iguales, cada cuadrado tiene una superficie de 800 : 2 = 400 m2. Por tanto, cada cuadrado tiene de lado: 400 = 20 m

Lado del cuadrado =

Dimensiones del campo:

20 m de ancho 40 m de largo

Longitud de valla publicitaria = Perímetro del campo = 20 ? 2 + 40 ? 2 = 120 m

Ingresos anuales = 120 ? 400 = 48 000 €

e) 54 000 : 120 = 450 €/m



403

1 2

PRUEBA B

SOLUCIÓN EVALUACIÓN DEDE LAS CONTENIDOS ACTIVIDADES

Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Un número es divisible por 10 cuando: a) Su última cifra es 0. b) Su última cifra es 5 o 0. c) La suma de sus cifras es múltiplo de 10.

2

Indica los números divisibles por 2, 3 y 5 y explica por qué. 2

N

3

5

Criterios

1 232 11 135 12 390 22 222 202

3

Se quiere hacer un campeonato de Trivial por equipos. En nuestra clase somos más de 20 y menos de 30 alumnos, y si hacemos equipos de dos, tres o cuatro personas nos sobra una. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

4

Un número es primo cuando: a) Solo es divisible por 2.

5

b) Solo es divisible por sí mismo y por 1.

c) Es impar.

Comprueba, mediante divisiones, cuáles de estos números son primos. 21

37

63

83

101

121

343

Explica en cada caso qué divisiones haces.

6

Descompón el número 60 como un producto de dos factores de todas las maneras posibles.

7

Haz la descomposición en factores primos de estos números. 84 = 110 =

404


1 8

SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES

Calcula todos los divisores de los números 24 y 98. D(24) = D(98) =

9

Decide si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) El m.c.d. de dos números es el menor de sus divisores comunes. b) El m.c.m. de dos números es el mayor de sus múltiplos comunes. c) El m.c.d. de dos números es el mayor de sus divisores comunes.

10

Descompón los números 44 y 120 en factores primos y escribe los divisores comunes. ¿Cuál es el máximo común divisor? 44

120

44 =

120 =

• Divisores comunes de 44 y 120 " • Máximo común divisor " 11

¿Cuáles de las siguientes parejas son números primos entre sí? a) 42 y 35 b) 132 y 65 c) 680 y 429

12

Calcula los múltiplos comunes de los números 12 y 18. M(12) = M(18) =

{

" M(12, 18) =

13

¿Cuál es el m.c.m. de los números 12, 18 y 21?

14

Tres hermanos van a ver a su abuela. El mayor acude cada 5 días, el segundo cada 6 días y el menor cada 10 días. ¿Cada cuántos días coincidirán los tres hermanos en casa de su abuela?


405

1 2

PRUEBA A

SOLUCIÓN EVALUACIÓN DEDE LAS CONTENIDOS ACTIVIDADES

Nombre:

1

Curso:

Un número es divisible por 3 cuando: a) Su última cifra es 3.

2

Fecha:

b) Su última cifra es 3, 6 o 9.

c) La suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Indica los números divisibles por 2, 3 y 11 y explica por qué. N

2

3

11

Criterios

1 232 939 004 12 390 22 222 202

3

Observa los números y responde cuáles son divisibles por 4, 6 o 10 y explica por qué. 18 024 "

50 550 "

12 348 "

4

Se quiere hacer un campeonato de Trivial por equipos. En nuestra clase somos más de 20 y menos de 30 alumnos, y si hacemos equipos de dos, tres o cuatro personas nos sobra una. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

5

Comprueba, mediante divisiones, cuáles de estos números son primos. 21 37 63 83 101 121 343 Explica en cada caso qué divisiones haces.

6

Descompón el número 72 como un producto de dos factores de todas las maneras posibles.

7

Haz la descomposición en factores primos de estos números. 84 = 1 001 =

406


1 8


Calcula todos los divisores de los números 24 y 98. D(24) = D(98) =

9

Decide si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) El m.c.d. de dos números es el menor de sus divisores comunes. b) El m.c.m. de dos números es el mayor de sus múltiplos comunes. c) El m.c.d. de dos números es el mayor de sus divisores comunes.

10


120

66 =

120 =

• Divisores comunes de 66 y 120 " • Máximo común divisor " 11

¿Cuáles de las siguientes parejas son números primos entre sí? a) 42 y 35 b) 132 y 65 c) 680 y 429

12

Calcula los múltiplos comunes de los números 12 y 18. M(12) = M(18) =

{

" M(12, 18) =

13

¿Cuál es el m.c.m. de los números 12, 18 y 21?

14

Tres hermanos van a ver a su abuela. El mayor acude cada 5 días, el segundo cada 6 días y el menor cada 10 días. ¿Cada cuántos días coincidirán los tres hermanos en casa de su abuela?


407

2

PRUEBA B



1


Actividades

B.2-1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.

B.2-1.3. Emplea adecuadamente los distintos tipos de números y sus operaciones, para resolver problemas cotidianos contextualizados, representando e interpretando mediante medios tecnológicos, cuando sea necesario, los resultados obtenidos.


B.2-2.2. Aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 11 para descomponer en factores primos números naturales y los emplea en ejercicios, actividades y problemas contextualizados.

1, 2, 3, 5, 6, 7, 8,10, 11, 12, 13 y 14

B.2-2.3. Identifica y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales mediante el algoritmo adecuado y lo aplica a problemas contextualizados

9, 10, 13 y 14

3 y 14

Un número es divisible por 10 cuando: a) Su última cifra es 0. b) Su última cifra es 5 o 0. c) La suma de sus cifras es múltiplo de 10. Un número es divisible por 10 cuando: a)

2

3

Indica los números divisibles por 2, 3 y 5 y explica por qué.

2

3

5

Criterios

1 232

Sí

No

No

Acaba en 2 y sus cifras suman 8

11 135

No

No

Sí


12 390

Sí

Sí

Sí


2 222 202

Sí

Sí

No


Se quiere hacer un campeonato de Trivial por equipos. En nuestra clase somos más de 20 y menos de 30 alumnos, y si hacemos equipos de dos, tres o cuatro personas nos sobra una. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? Será un número del tipo múltiplo de 2 + 1, múltiplo de 3 + 1 y, también, múltiplo de 4 + 1; es decir, ha de ser múltiplo de 12 + 1 y estar comprendido entre 20 y 30. Por tanto, solo puede ser 25.

4

Un número es primo cuando: a) Solo es divisible por 2. b) Solo es divisible por sí mismo y por 1. c) Es impar. Un número es primo cuando: b)

5

Comprueba, mediante divisiones, cuáles de estos números son primos. 21 37 63 83 101 121 343 Explica en cada caso qué divisiones haces. 21 = 3 ∙ 7

408

37 primo

63 = 32 ? 7

83 primo

101 primo

121 = 112

343 = 73


6

Descompón el número 60 como un producto de dos factores de todas las maneras posibles. 60 = 1 ? 60 = 2 ? 30 = 3 ? 20 = 4 ? 15 = 5 ? 12 = 6 ? 10

7

Haz la descomposición en factores primos de estos números. 84 = 22 · 3 · 7 110 = 2 · 5 · 11

8

Calcula todos los divisores de los números 24 y 98.

D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

D (98) = {1, 2, 7, 14, 49, 98} 9

Decide si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) El m.c.d. de dos números es el menor de sus divisores comunes. b) El m.c.m. de dos números es el mayor de sus múltiplos comunes. c) El m.c.d. de dos números es el mayor de sus divisores comunes. a) Falsa. b) Falsa. c) Verdadera.

10


2

120

2

22

2

60

2

11

11

30

2

15

3

5

5

1

1 44 = 22 · 11

120 = 23 · 3 · 5

• Divisores comunes de 44 y 120 " {1, 2, 4} • Máximo común divisor " m.c.d. (44, 120) = 4 11

12

¿Cuáles de las siguientes parejas son números primos entre sí?

a) 42 y 35

b) 132 y 65

c) 680 y 429

a) No (m.c.d. (42, 35) = 7)

b) Sí

c) Sí

Calcula los múltiplos comunes de los números 12 y 18.

M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 108, ...} M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, 108, ...} 13

" M(12, 18) = {36, 72, 108,…}

¿Cuál es el m.c.m. de los números 12, 18 y 21? 12 = 22 ? 3 18 = 2 ? 32 21 = 3 ? 7 " m.c.m. (12, 18, 21) = 22 ? 32 ? 7 = 252

14

Tres hermanos van a ver a su abuela. El mayor acude cada 5 días, el segundo cada 6 días y el menor cada 10 días. ¿Cada cuántos días coincidirán los tres hermanos en casa de su abuela? Cada nieto irá un día que sea múltiplo de 5, 6 o 10; es decir, coincidirán un día que sea múltiplo de los tres números. Por tanto, coincidirán cada 30 días, que es el m.c.m. de los números 5, 6 y 10.



409

2

1

PRUEBA A



Actividades



4 y 14


B.2-2.2. Aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 11 para descomponer en factores primos números naturales y los emplea en ejercicios, actividades y problemas contextualizados.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,10, 11, 12, 13 y 14


9, 10, 13 y 14

Un número es divisible por 3 cuando: a) Su última cifra es 3. b) Su última cifra es 3, 6 o 9. c) La suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible por 3 cuando: c)

2

Indica los números divisibles por 2, 3 y 11 y explica por qué.

3

2

3

1 232

Sí

No

Sí

Acaba en 4, sus cifras suman 8 y la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0

939 004

Sí

No

Sí


12 390

Sí

Sí

No


22 222 202

Sí

No

No

Acaba en 2, sus cifras suman 14 y la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es –2

11

Criterios

Observa los números y responde cuáles son divisibles por 4, 6 o 10 y explica por qué. 18 024 " Es múltiplo de 4 (las dos últimas cifras lo son) y de 6 (es múltiplo de 2 y de 3). 50 550 " Es múltiplo de 6 (es múltiplo de 2 y de 3) y de 10 (acaba en 0). 12 348 " Es múltiplo de 4 (las dos últimas cifras lo son) y de 6 (es múltiplo de 2 y de 3).

4

Se quiere hacer un campeonato de Trivial por equipos. En nuestra clase somos más de 20 y menos de 30 alumnos, y si hacemos equipos de dos, tres o cuatro personas nos sobra una. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? Será un número del tipo múltiplo de 2 + 1, múltiplo de 3 + 1 y, también, múltiplo de 4 + 1; es decir, ha de ser múltiplo de 12 + 1 y estar comprendido entre 20 y 30. Por tanto, solo puede ser 25.

410


5

Comprueba, mediante divisiones, cuáles de estos números son primos. 21 37 63 83 101 121 343 Explica en cada caso qué divisiones haces. 37 primo

21 = 3 ? 7 6

83 primo

63 = 32 ? 7

101 primo

121 = 112

343 = 73

Descompón el número 72 como un producto de dos factores de todas las maneras posibles. 72 = 1 · 72 = 2 · 36 = 3 · 24 = 4 · 18 = 6 · 12 = 8 · 9

7

Haz la descomposición en factores primos de estos números. 84 = 22 · 3 · 7 1 001 = 7 · 11 · 13

8

Calcula todos los divisores de los números 24 y 98. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(98) = {1, 2, 7, 14, 49, 98}

9

Decide si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) El m.c.d. de dos números es el menor de sus divisores comunes. b) El m.c.m. de dos números es el mayor de sus múltiplos comunes. c) El m.c.d. de dos números es el mayor de sus divisores comunes. a) Falsa. b) Falsa. c) Verdadera.

10


2

120

2

33

3

60

2

11

11

30

2

15

3

5

5

1

1 120 = 23 · 3 · 5

66 = 2 · 3 · 11

• Divisores comunes de 66 y 120 " {1, 2, 3, 6} • Máximo común divisor " m.c.d. (66, 120) = 6 11

12

¿Cuáles de las siguientes parejas son números primos entre sí? a) 42 y 35

b) 132 y 65

c) 680 y 429

a) No (m.c.d. (42, 35) = 7)

b) Sí

c) Sí

Calcula los múltiplos comunes de los números 12 y 18. M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 108, ...} M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, 108, ...}

13

¿Cuál es el m.c.m. de los números 12, 18 y 21? 12 = 22 ? 3

14

" M(12, 18) = {36, 72, 108,…}

18 = 2 ? 32

21 = 3 ? 7

" m.c.m. (12, 18, 21) = 22 ? 32 ? 7 = 252

Tres hermanos van a ver a su abuela. El mayor acude cada 5 días, el segundo cada 6 días y el menor cada 10 días. ¿Cada cuántos días coincidirán los tres hermanos en casa de su abuela? Cada nieto irá un día que sea múltiplo de 5, 6 o 10; es decir, coincidirán un día que sea múltiplo de los tres números. Por tanto, coincidirán cada 30 días, que es el m.c.m. de los números 5, 6 y 10.



411

1 2

SOLUCIÓN EVALUACIÓN DEPOR LAS COMPETENCIAS ACTIVIDADES

Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Marta y Daniel se van a casar y están organizando el banquete. El banquete tiene un total de 212 invitados contando a los novios, y en el salón de bodas en el que se celebrará les han dicho que pueden elegir entre mesas de 18, 12 y 8 comensales. Pero existen algunas restricciones:

• Por cada mesa que se coloque de 18 personas, se pueden poner como máximo 2 mesas de 12 personas. • Por cada mesa de 12 personas, se pueden colocar como máximo 4 mesas de 8 personas. • Tiene que haber mesas de los tres tipos, de 18, 12 y 8 personas. • Todas las mesas deben estar completas. • Hay que contar con la mesa de los novios, en la que se sentarán ellos y sus padres.

Al examinar la lista de invitados han decidido que elegirán 3 mesas de 18 personas y para el resto de invitados utilizarán mesas de 12 y 8 personas. a) Una vez que reservan la mesa de los novios, ¿cuántas personas quedan por colocar?

b) ¿Cuántas posibilidades de elección tienen para organizar a estos invitados?

c) ¿Consideras que la elección de mesas es la adecuada? ¿Qué otros factores deben tener en cuenta en la organización?

412


1 2


Para las elecciones municipales de una localidad se han constituido siempre dos colegios electorales, pero esta vez se ha añadido uno más debido al aumento de población que se ha producido en los últimos años. En esta ocasión figuran 1 218 electores y hay que seleccionar unos 400 por colegio.

Al presidente de la junta electoral se le ha ocurrido una idea.

Los vecinos que figuren en la lista en una posición que sea múltiplo de 6 o de 8, votarán en el primer colegio. De los restantes vecinos, los 400 primeros de la lista votarán en el segundo colegio, y el resto, en el tercero.

a) Si figuro en la lista de electores en el número 27, ¿en qué colegio votaré?

b) ¿Y si estoy en el lugar 648?

c) ¿Y si aparezco en el lugar 1 114?

d) ¿Cuántas personas votarán en cada colegio?

e) ¿De qué modo podría plantearse un reparto más adecuado?


413

2



Sociales y cívicas


1



Actividades



1y2


B.2-2.1. Reconoce nuevos significados y propiedades de los números en contextos de resolución de problemas sobre paridad, divisibilidad y operaciones elementales.

1y2


2



1y2


1y2

B.1-6.4. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad.

1y2


1y2


Marta y Daniel se van a casar... a) De los 212 invitados, la mesa de los novios tiene 6 personas y quedan 212 - 6 = 206 personas por colocar. b) Hay dos posibilidades:

PRIMERA POSIBILIDAD 8 8 12 8

8 12 8 18 12

8 18 8 8 12 8 8

414

12 18 12

3 mesas de 18, 6 de 12 y 10 de 8 personas.


SEGUNDA POSIBILIDAD 8 8 12 8 8 18 8 8 12 8 8 8 8 12 8 18 8

12 8

18

3 mesas de 18, 4 de 12 y 13 de 8 personas.

c) Al tener dos posibilidades puede haber problemas a la hora de colocarlos, teniendo en cuenta otros factores como relaciones familiares, amigos… Podría ser conveniente negociar alguna de las restricciones. 2

Para las elecciones municipales de una localidad... Colegio 1: múltiplos de 6 y 8. Colegio 2: los 400 primeros que no son múltiplos de 6 y 8. Colegio 3: el resto. a) En el colegio 2. b) Múltiplo de 6 " En el colegio 1. c) En el colegio 3. d) Múltiplos de 6 " 1 218 : 6 = 203 Múltiplos de 8 " 1 218 : 8 = 152,25 Los múltiplos de 6 y de 8 son los multiplos del m.c.m. (6, 8) = 24, 1 218 : 24 = 50. En el primer colegio votarán: 203 + 152 - 50 = 305 personas. En el colegio 2 votarán 400 personas. En el colegio 3 votarán: 1 218 - 305 - 400 = 513 e) Respuesta abierta. Por ejemplo: En el colegio 1 los múltiplos de 3, en el 2 los 600 primeros que no sean múltiplos de 3 y el resto, en el colegio 3.



415

3

PRUEBA B


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Escribe los datos numéricos con el signo adecuado. a) La profundidad del Mar Muerto es 790 m por debajo del nivel del mar. b) La temperatura de ebullición del agua es 100 °C sobre cero. c) La temperatura de fusión del alcohol es 90 °C bajo cero. d) La altura del Everest es de 8 848 metros sobre el nivel del mar. a)

2

b)

c)

d)

Representa en la recta los números enteros. A " -2

B " +4

C " -3

D " +5 0

3

4

5

6

Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros. a) |-3| =

c) |+5| =

b) |-2| =

d) |0| =

Escribe el símbolo < o >, según corresponda. a) -5

+4

c) +3

-4

b) +3

+5

d) -5

-4

Haz estas operaciones. a) (+3) + (+6) =

d) (-3) + (+5) + (-2) =

b) (+2) + (-4) =

e) (-5) + (-4) + (-6) =

c) (-3) + (-5) =

f) (+4) + (-2) + (+4) =

Efectúa los siguientes cálculos.

416

a) (+3) - (+5) =

c) (-3) - (+4) =

b) (+2) - (-7) =

d) (-2) - (-6) =


7

Efectúa los siguientes cálculos. a) (-2) - (-4) + (-5) - (-1) - (+2) = b) (+2) - (-3) - (-5) + (+2) + (-3) = c) (-5) + (+5) + (-2) - (-4) + (-5) =

8

Haz estas operaciones. a) (-2 + 4) - (-4 - 3 + 5) + (4 - 5) = b) (2 - 3) - (-5 + 2) + (1 - 3 - 4) =

9

Calcula los siguientes productos. a) (-3) ? (-2) = b) (+3) ? (+4) ? (-2) = c) (+2) ? (-3) ? (-4) = d) (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) =

10

Haz estas divisiones de números enteros. a) (-3) : (+3) = b) (+12) : (-4) = c) (-24) : (-8) = d) (+21) : (+7) =

11

El punto más alto de la Tierra es el Everest, que tiene una altura de 8 848 metros sobre el nivel del mar, y el punto más «bajo» es la Fosa de las Marianas, que tiene una profundidad de 11 510 m. Calcula la diferencia de nivel entre estos dos puntos de la Tierra.


417

3

PRUEBA A


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Escribe los datos numéricos con el signo adecuado. a) La profundidad del Mar Muerto es 790 m por debajo del nivel del mar. b) La temperatura de ebullición del agua es 100 °C sobre cero. c) La temperatura de fusión del alcohol es 90 °C bajo cero. d) La altura del Everest es de 8 848 metros sobre el nivel del mar. a)

2

b)

c)

d)


B " +4

C " -3

D " +5 0

3

4


c) |+31| =

b) |-101| =

d) |0| =

Escribe el símbolo < o >, según corresponda. a) -5 b) -23

5

6

-102 0

c) 3 d) -73

-58 0


d) (+12) + (-5) + (+30) =

b) (+2) + (-4) =

e) (-5) + (-4) + (-6) =

c) (-23) + (-15) =

f) (+4) + (-2) + (+4) =

Efectúa los siguientes cálculos.

418

a) (+3) - (+5) =

c) (-13) - (+23) =

b) (+2) - (-7) =

d) (+15) - (-5) =


7

Efectúa los siguientes cálculos. a) (-2) - (-4) + (-5) - (-1) - (+2) = b) (+2) - (-3) - (-5) + (+2) + (-3) = c) (+10) - (-25) + (-3) + (-30) - (-2) =

8

Haz estas operaciones. a) (-2 + 4) - (-4 - 3 + 5) + (4 - 5) = b) (-2 + 11) - (10 + 5) - (-12 + 21 - 2) =

9

Calcula los siguientes productos. a) (-3) ? (-2) = b) (+3) ? (+4) ? (-2) = c) (-4) ? (+2) ? (-11) = d) (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) =

10

Haz estas divisiones de números enteros. a) (-3) : (+3) = b) (+12) : (-4) = c) (-24) : (-8) = d) (+21) : (+7) =

11

El punto más alto de la Tierra es el Everest, que tiene una altura de 8 848 metros sobre el nivel del mar, y el punto más «bajo» es la Fosa de las Marianas, que tiene una profundidad de 11 510 m. Calcula la diferencia de nivel entre estos dos puntos de la Tierra.


419

3

PRUEBA B


Criterios de evaluación

1

Actividades


B.2-1.1. Identifica los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales) y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa. B.2-1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

5, 6, 7, 8, 9 y 10

B.2-4. Elegir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora), usando diferentes estrategias que permitan simplificar las operaciones con números enteros, fracciones, decimales y porcentajes y estimando la coherencia y precisión de los resultados obtenidos.

B.2-4.1. Desarrolla estrategias de cálculo mental para realizar cálculos exactos o aproximados valorando la precisión exigida en la operación o en el problema.

5, 6, 7, 8, 9 y 10

B.2-4.2. Realiza cálculos con números naturales, enteros, fraccionarios y decimales decidiendo la forma más adecuada (mental, escrita o con calculadora), coherente y precisa.

5, 6, 7, 8, 9 y 10

1y2

Escribe los datos numéricos con el signo adecuado. a) La profundidad del Mar Muerto es 790 m por debajo del nivel del mar. b) La temperatura de ebullición del agua es 100 °C sobre cero. c) La temperatura de fusión del alcohol es 90 °C bajo cero. d) La altura del Everest es de 8 848 metros sobre el nivel del mar. a) -790

2

b) +100

B " +4

-3

-2

C

A

C " -3

D " +5 0

+4

+5

B

D


c) |+5| =

b) |-2| =

d) |0| =

a) |-3| = +3 4

d) +8 848


3

c) -90

b) |-2| = +2

c) |+5| = +5

d) |0| = 0

Escribe el símbolo < o >, según corresponda. a) -5

+4

c) +3

-4

b) +3

+5

d) -5

-4

a) -5

420

<

+4

b) +3

<

+5

c) +3

>

-4

d) -5

<

-4


5


d) (-3) + (+5) + (-2) =

b) (+2) + (-4) =

e) (-5) + (-4) + (-6) =

c) (-3) + (-5) =

f) (+4) + (-2) + (+4) =

a) +9 b) -2 c) -8 d) 0 e) -15 f) +6 6

Efectúa los siguientes cálculos. a) (+3) - (+5) =

c) (-3) - (+4) =

b) (+2) - (-7) =

d) (-2) - (-6) =

a) -2 b) +9 c) -7 d) +4 7

Efectúa los siguientes cálculos. a) (-2) - (-4) + (-5) - (-1) - (+2) = b) (+2) - (-3) - (-5) + (+2) + (-3) = c) (-5) + (+5) + (-2) - (-4) + (-5) = a) -4 b) +9 c) -3

8

Haz estas operaciones. a) (-2 + 4) - (-4 - 3 + 5) + (4 - 5) = b) (2 -3) - (-5 + 2) + (1 - 3 - 4) = a) +3 b) -4

9

Calcula los siguientes productos. a) (-3) ? (-2) = b) (+3) ? (+4) ? (-2) = c) (+2) ? (-3) ? (-4) = d) (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = a) +6 b) -24 c) +24 d) +16

10

Haz estas divisiones de números enteros. a) (-3) : (+3) = b) (+12) : (-4) = c) (-24) : (-8) = d) (+21) : (+7) = a) -1 b) -3 c) +3 d) +3

11

El punto más alto de la Tierra es el Everest, que tiene una altura de 8 848 metros sobre el nivel del mar, y el punto más «bajo» es la Fosa de las Marianas, que tiene una profundidad de 11 510 m. Calcula la diferencia de nivel entre estos dos puntos de la Tierra. 8 848 - (-11 510) = 20 358 m de diferencia.



421

3

PRUEBA A


1


Actividades



5, 6, 7, 8, 9 y 10



5, 6, 7, 8, 9 y 10


5, 6, 7, 8, 9 y 10

1y2

Escribe los datos numéricos con el signo adecuado. a) La profundidad del Mar Muerto es 790 m por debajo del nivel del mar. b) La temperatura de ebullición del agua es 100° C sobre cero. c) La temperatura de fusión del alcohol es 90° C bajo cero. d) La altura del Everest es de 8 848 metros sobre el nivel del mar. a) -790

2

b) +100

B " +4

-3

-2

C

A

C " -3

D " +5 0

+4

+5

B

D


c) |+31| =

b) |-101| =

d) |0| =

a) |-13| = 13 4

d) +8 848


3

c) -90

b) |-101| = 101

c) |+31| = 31

d) |0| = 0

Escribe el símbolo < o >, según corresponda. a) -5 b) -23 a) -5

422

c) 3

-102 0 >

-102

d) -73 b) -23

<

0

c) 3 >

-58 0 -58

d) -73

<

0


5


d) (+12) + (-5) + (+30) =

b) (+2) + (-4) =

e) (-5) + (-4) + (-6) =

c) (-23) + (-15) =

f) (+4) + (-2) + (+4) =

a) +9 b) -2 c) -38 d) 37 e) -15 f) +6 6

Efectúa los siguientes cálculos. a) (+3) - (+5) =

c) (-13) - (+23) =

b) (+2) - (-7) =

d) (+15) - (-5) =

a) -2 b) +9 c) -36 d) +20 7

Efectúa los siguientes cálculos. a) (-2) - (-4) + (-5) - (-1) - (+2) = b) (+2) - (-3) - (-5) + (+2) + (-3) = c) (+10) - (-25) + (-3) + (-30) - (-2) = a) -4 b) +9 c) +4

8

Haz estas operaciones. a) (-2 + 4) - (-4 - 3 + 5) + (4 - 5) = b) (-2 + 11) - (10 + 5) - (-12 + 21 - 2) = a) +3 b) -13

9

Calcula los siguientes productos. a) (-3) ? (-2) = b) (+3) ? (+4) ? (-2) = c) (-4) ? (+2) ? (-11) = d) (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = a) +6 b) -24 c) +88 d) +16

10

Haz estas divisiones de números enteros. a) (-3) : (+3) = b) (+12) : (-4) = c) (-24) : (-8) = d) (+21) : (+7) = a) -1 b) -3 c) +3 d) +3

11

El punto más alto de la Tierra es el Everest, que tiene una altura de 8 848 metros sobre el nivel del mar, y el punto más «bajo» es la Fosa de las Marianas, que tiene una profundidad de 11 510 m. Calcula la diferencia de nivel entre estos dos puntos de la Tierra. 8 848 - (-11 510) = 20 358 m de diferencia.



423

3


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

En el golf se denomina par al número de golpes que se necesitarían para completar un hoyo. Estos son algunos ejemplos:

pes Menos de 230 m " 3 gol 4 golpes Entre 230 y 430 m " pes Más de 430 m " 5 gol

Cada campo tiene asignado un par (número de golpes necesario) según el número de hoyos y sus distancias.

La puntuación de un jugador se obtiene comparando su número de golpes con el par del campo. Así, una puntuación de -4 indica que se han dado 4 golpes menos que el par, y una puntuación de +3, que se han dado 3 golpes más que el par. En un torneo gana el jugador con menor puntuación. a) La tabla muestra las puntuaciones de tres amigos en un campo de par 72. Complétala y ordena los jugadores según su puntuación.

Jugador

N.º de golpes

Luis

69

Puntuación

Marta

-4

Antonio

+5

b) Completa la tabla con Pablo, Pilar y Elena, si:

• Pablo obtuvo 2 puntos menos que Elena.

• Pilar obtuvo 8 puntos más que Pablo.

• Elena obtuvo 5 puntos más que el ganador.

c) ¿Cómo organizarías dos equipos, con los 6 amigos, que sean lo más homogéneos posible?

424


2

Se ha publicado una convocatoria de oposiciones para el cuerpo de funcionarios del estado. Además de un concurso de méritos, la prueba consistirá en un examen de tipo test que consta de 100 preguntas. En ese examen no solo se van a contar las preguntas acertadas, sino que también se van a penalizar las preguntas con contestaciones incorrectas e incluso, las que se dejan sin contestar.

Respuesta Correcta En blanco Incorrecta

Puntos 4 –1 –3

a) Si contesto a 57 preguntas bien, 16 mal y el resto las dejo en blanco, ¿qué puntuación obtendría en el examen?

b) Si para superar esta prueba es necesario obtener, al menos, 100 puntos, ¿cuál es el mínimo número de respuestas correctas que es necesario para aprobar el examen? ¿Y el máximo número de errores?

c) Antes de que termine el examen repaso todas las preguntas y estoy seguro de que he contestado a 47 correctamente, de 28 no estoy seguro y puede ser que algunas sean erróneas, y el resto las tengo en blanco. De las que tengo en blanco hay 7 preguntas de las que creo que sé la respuesta, aunque no estoy seguro. ¿Debería responderlas?


425

3



Sociales y cívicas


1



Actividades



1y2

B.2.-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.

B.2-1.1. Identifica los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales) y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.

1y2

B.2-1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

1y2



1y2


1y2


1y2


1y2


En el golf se denomina par al número de golpes... a)

426

Jugador

N.º de golpes

Puntuación

Luis

69

-3

Marta

68

-4

Antonio

77

+5


b)

El orden por puntuación sería:

1.ª Marta

2.º Luis

3.º Antonio

La ganadora fue Marta con -4.

Jugador

Puntuación

Elena

-4 + 5 = +1

Pablo

+1 - 2 = -1

Pilar

-1 + 8 = +7

c) Respuesta abierta. Habría que conseguir que al sumar las puntuaciones de los tres amigos de cada equipo, la diferencia de puntuación de ambos equipos sea la menor posible.

2

Así, se podrían organizar por ejemplo de esta forma:

Un equipo formado por Marta (-4), Pilar (+7) y Pablo (-1). Su puntuación sumaría -4 + 7 - 1 = 2.

Otro equipo formado por Luis (-3), Antonio (+5) y Elena (+1). Su puntuación sería -3 + 5 + 1 = 3.

Se ha publicado una convocatoria de oposiciones... a) 57 ? 4 + 16 ? (-3) + (100 - 57 -16) ? (-1) = 153 b) Si se dejaran todas las preguntas en blanco, se obtienen -100 puntos. Por cada pregunta que, en lugar de dejar en blanco, se contesta bien se suma 4 puntos y se deja de restar 1, luego hay una diferencia de 5 puntos.

6100 - (-100)@ : 5 = 200 : 5 = 40

El número mínimo de respuestas correctas es 40, en el caso de que el resto estén en blanco.

Si en la prueba respondemos a todas las preguntas mal tendremos 100 ? (-3) = -300 puntos. Por cada pregunta que, en lugar de ser incorrecta, se contesta bien se suma 4 puntos y se deja de restar 3, luego hay una diferencia de 4 - (-3) = 7 puntos. 6100 - (-300)@ : 7 = 400 : 7 = 57,14

Necesitaríamos 58 respuestas correctas, por lo que el máximo de respuestas incorrectas para aprobar el examen es de 100 - 58 = 42.

c) 47 ? 4 + 28 ? (-3) + (100 - 47 - 28) ? (-1) = 79

En estos momentos, si las 28 preguntas son erróneas, el examen está suspenso. Necesitaría 21 puntos más para aprobar. Como cada pregunta que en lugar de dejar en blanco se contesta correctamente suma 5 puntos, necesito contestar 5 preguntas más:

52 ? 4 + 28 ? (-3) + (100 - 52 - 28) ? (-1) = 104



427

4

PRUEBA B


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Representa, mediante una fracción, las siguientes expresiones. a) Tres cuartos de una hora "

b) De los 30 alumnos de una clase, 12 son niños "

2

3

Señala las fracciones propias e impropias, y expresa estas últimas en forma de un número y una fracción propia. a)

5 9

"

c)

17 3

"

b)

9 5

"

d)

17 27

"

Representa las fracciones

7 3 7 , , en la recta. 10 2 5

0 4

1

Determina qué fracciones corresponden a los puntos E, F y G en el gráfico.

E

F 6

5

8

La mayoría de los envases de bebida son fracciones de un litro. Si el siguiente rectángulo representa un litro, marca en cada caso la fracción correspondiente. 1 de litro 4

1 de litro 3

Completa de manera que sean fracciones equivalentes. a)

7

G 7

1 litro 2

6

2

6 8 2 32 8 = = = b) c) 8 4 16 48

Calcula la fracción irreducible: 90 60

428

m.c.d. (90, 60) =


8

Averigua, en cada caso, cuál es la mayor fracción. a)

9

5 6 3 5 2 7 y b) y c) y 14 20 8 12 22 39

¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor y cuál es la menor? 15 15 13 14

10

11

16 15 14

16 15 16 15 13 14

16 13

16 14

a)

4 10 + = 6 3

c)

4 1 - = 3 2

e)

2 20 $ = 4 3

b)

6 4 + = 9 3

d)

6 1 - = 4 8

f)

10 10 $ = 2 15

Efectúa las siguientes divisiones entre fracciones. 11 3 2 3 : = b) : = c) 3 : 12 = 3 5 7 8 4 4

Efectúa las operaciones y da el resultado lo más simplificado posible. a)

13

16 15 16 15 14 13

Realiza estas operaciones.

a) 12

16 15 13

3 2 5 5 4 10 5 15 9 + + = b) $ : = c) + = 5 7 4 3 5 9 6 14 10

4 1 son chicos y el resto chicas. De las chicas, llevan gafas y de los chicos solo 9 3 la mitad. Calcula y completa la tabla. De los estudiantes de una clase,

Con gafas

Sin gafas

Total

Chicos Chicas Total

14

Juan, Ana y Pedro reciben un terreno como herencia de un familiar, y se lo reparten en función de sus edades. 4 1 Si a Ana le corresponden los del terreno y a Juan , ¿cuál es la parte que le toca a Pedro? 7 3


429

4

PRUEBA A


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Representa, mediante una fracción, las siguientes expresiones. a) Tres cuartos de una hora "

b) Cuarto y mitad de un kilo "

2

3

Señala las fracciones propias e impropias, y expresa estas últimas en forma de un número y una fracción propia. a)

5 9

"

c)

17 3

"

b)

9 5

"

d)

17 27

"


7 3 21 , , en la recta. 10 2 15

0 4

1

Determina qué fracciones corresponden a los puntos E, F y G en el gráfico.

E

F 6

5

2

G 7

8

La mayoría de los envases de bebida son fracciones de un litro. Si el siguiente rectángulo representa un litro, marca en cada caso la fracción correspondiente. 1 de litro 4

1 litro 2

6

7

1 de litro 3

Completa de manera que sean fracciones equivalentes. a)

6 8 2 32 8 = = = b) c) 8 4 16 48

d)

180 45 15 = = = = = = 360 180 120 60

2

Calcula la fracción irreducible de las siguientes: 90 60

430

84 105


8


9

3 5 2 7 5 6 y = b) y c) y 8 12 22 39 14 20

¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor y cuál es la menor? 15 15 13 14

10

+

16 15 16 15 13 14

15 44

42 30

? 11 5

14 30

7 35

16 13

16 14

11 7

12 5

Efectúa las siguientes divisiones entre fracciones. 11 3 2 3 7 3 : = b) : = c) : = 3 5 7 8 18 6

Efectúa las operaciones y da el resultado lo más simplificado posible. a)

13

16 15 14

12 15

a) 12

16 15 16 15 14 13

Completa las tablas.

11

16 15 13

3 2 5 5 15 9 5 9 15 : + + = b) + = c) ? = 5 7 4 6 14 10 27 20 28


Con gafas

Sin gafas

Total

Chicos Chicas Total

14

Juan, Ana y Pedro reciben un terreno como herencia de un familiar, y se lo reparten en función de sus edades. 4 1 Si a Ana le corresponden los del terreno y a Juan , ¿cuál es la parte que le toca a Pedro? 7 3


431

4

PRUEBA B





5, 11, 12, 13 y 14



5, 11, 12, 13 y 14


5, 6, 7, 11, 12, 13 y 14

1

Representa, mediante una fracción, las siguientes expresiones. 3 a) Tres cuartos de una hora " 4 12 b) De los 30 alumnos de una clase, 12 son niños " 30

2

Señala las fracciones propias e impropias, y expresa estas últimas en forma de un número y una fracción propia. 17 17 4 5 9 2 a) 9 " (propia) b) 5 " 1 + 5 c) 3 " 5 + 3 d) 27 " (propia)

3

7 10

7 5

1

3 2

2

Determina qué fracciones corresponden a los puntos E, F y G en el gráfico. E F G 6 E"

5

1, 5, 9, 13 y 14

7 3 7 Representa las fracciones 10 , 2 , 5 en la recta. 0

4

Actividades

59 10

8

7 F"

67 10

G"

71 10

La mayoría de los envases de bebida son fracciones de un litro. Si el siguiente rectángulo representa un litro, marca en cada caso la fracción correspondiente. 1 litro 2

432

1 de litro 4

1 de litro 3


6

Completa de manera que sean fracciones equivalentes. 3 6 8 2 32 8 a) 16 = b) 8 = 4 c) 48 = 4 12

7

Calcula la fracción irreducible:

8

2

3 5 y 8 12

3

2

5

7

2

5

7

6

5

6

" 8 < 12 b) 22 y 39 " 22 < 39 c) 14 y 20 " 14 > 20

¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor y cuál es la menor? 15 13

10

11

12

16 13

16 14

16

4 10 24 + = 6 3 6

c)

4 1 5 - = 3 2 6

e)

2 20 40 $ = 4 3 12

b)

6 4 18 + = 9 3 9

d)

6 1 11 - = 4 8 8

f)

10 10 100 $ = 2 15 30

Efectúa las siguientes divisiones entre fracciones. 3 12 12 16 11 3 55 2 3 : = b) : = c) : = 4 4 48 21 3 5 9 7 8

Efectúa las operaciones entre fracciones y da el resultado lo más simplificado posible. 5 4 10 180 5 15 9 211 299 3 2 5 : = = b) $ c) + + + = 3 5 9 150 140 5 7 4 6 14 10 210


Con gafas

Sin gafas

Total

Chicos

1/2 de 4/9 = 4/18 = 2/9

1/2 de 4/9 = 4/18 = 2/9

4/9

Chicas

1/3 de 5/9 = 5/27

2/3 de 5/9 = 10/27

5/9

11/27

16/27

1

Total

14

15

" Mayor 13 y menor 14

a)

a) 13

15 14


a)

3


9

30

m.c.d. (90, 60) =

90 60

Juan, Ana y Pedro reciben un terreno como herencia de un familiar, y se lo reparten en función de sus edades. 4 1 Si a Ana le corresponden los del terreno y a Juan , ¿cuál es la parte que le toca a Pedro? 7 3 Sumamos las partes de Ana y Juan, 1-

19 2 del terreno. = 21 21

4 1 19 ; por tanto, a Pedro le corresponden + = 7 3 21



433

4

PRUEBA A


1


5, 11, 12, 13 y 14



5, 11, 12, 13 y 14


5, 6, 7, 11, 12, 13 y 14

1 1 + 4 2

Señala las fracciones propias e impropias, y expresa estas últimas en forma de un número y una fracción propia. 5 9

4

9


7 3 21 , , en la recta. 10 2 15 7 10

7 5

1

3 2

2

Determina qué fracciones corresponden a los puntos E, F y G en el gráfico. E F G 6 E"

5

17

2

17

" (propia) b) 5 " 1 + 5 c) 3 " 5 + 3 d) 27 " (propia)

0 4

1, 5, 9, 13 y 14

Representa, mediante una fracción, las siguientes expresiones. 3 a) Tres cuartos de una hora " 4

a) 3

Actividades


b) Cuarto y mitad de un kilo " 2


59 10

8

7 F"

67 10

G"

71 10

La mayoría de los envases de bebida son fracciones de un litro. Si el siguiente rectángulo representa un litro, marca en cada caso la fracción correspondiente. 1 litro 2

434

1 de litro 4

1 de litro 3


6

Completa de manera que sean fracciones equivalentes. 3 6 8 2 32 8 a) 16 = b) 8 = 4 c) 48 = 12 4

7

Calcula la fracción irreducible: 3

90 60 8

2

3 5 y 8 12

3

2

5

7

2

7

5

6

5

6

" 8 < 12 b) 22 y 39 " 22 < 39 c) 14 y 20 " 14 > 20

¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor y cuál es la menor? 15 13

10

11

12

16 14

16

15

" Mayor 13 y menor 14

+

15 44

42 30

?

11 7

12 5

12 15

251 220

11 5

11 5

121 35

132 25

14 30

533 660

28 15

7 35

11 35

12 25

42 2 3 16 11 3 7 3 55 : = b) : = c) : = 54 7 8 21 3 5 18 6 9

Efectúa las operaciones entre fracciones y da el resultado lo más simplificado posible. 299 211 7 3 2 5 5 15 9 5 9 15 : b) + c) = ? + + = = 140 210 45 5 7 4 6 14 10 27 20 28


Con gafas

Sin gafas

Total

Chicos

1/2 de 4/9 = 4/18 = 2/9

1/2 de 4/9 = 4/18 = 2/9

4/9

Chicas

1/3 de 5/9 = 5/27

2/3 de 5/9 = 10/27

5/9

11/27

16/27

1

Total

14

16 13

Efectúa las siguientes divisiones entre fracciones.

a)

13

15 14

Completa las tablas.

a)

5


9

4

84 105

Juan, Ana y Pedro reciben un terreno como herencia de un familiar, y se lo reparten en función de sus edades. 4 1 Si a Ana le corresponden los del terreno y a Juan , ¿cuál es la parte que le toca a Pedro? 7 3 Sumamos las partes de Ana y Juan,

19 2 4 1 19 = ; por tanto, a Pedro le corresponden 1 del terreno. + = 21 21 7 3 21



435

4


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

El alcalde de Pueblorrico ha decidido adornar los árboles de la calle Mayor con luces de colores para Navidad.

12 m

12 m

12 m

CALLE MAYOR Longitud: 408 m

12 m

12 m

12 m

A la vista de este plano, el alcalde de Pueblorrico ha previsto colocar 25 bombillas de colores en cada árbol de la calle Mayor. a) ¿Cuántos árboles hay en la calle? b) ¿Cuántas bombillas se necesitarán para adornar los árboles? c) En la ferretería de Pueblorrico han lanzado esta oferta:

¿Cuántas bombillas se van a comprar?

OFERTA D E

Estas bombillas son más económicas porque tienen un control de calidad menos exigente. Normalmente, de cada 15 bombillas, una está fundida… Compraremos 100 bombillas más para reposiciones.

NAVIDAD Caja de bombillas de colore s: 345 unid ades

40 €

d) ¿Cuántas cajas se necesitan? ¿Cuál es su precio? e) En un pueblo cercano encuentran la siguiente oferta:

436

De cada 30 bombillas, una suele estar fundida; las cajas tienen 360 bombillas y su precio es de 50 €. ¿Es mejor esta oferta?


2

En el tablón de la cocina de un restaurante se muestran algunas de las equivalencias que se utilizan para las recetas de cocina que preparan cada día.

S EN LA

EQUIVALENCIA

COCINA

1 cucharada de café = 3 sopera 1 cucharada 1 vaso ras = pe so as ad 8 2 cuchar litro 1 = 5 vasos sos 1 kilo = 4 va

a) ¿A cuántos kilos equivale un vaso? ¿Y a cuántos litros? b) ¿A cuántos kilos equivale una cucharada sopera? ¿Y a cuántos litros? c) ¿A cuántos kilos equivale una cucharada de café? ¿Y a cuántos litros? d) Para elaborar una tarta de cumpleaños se usan los siguientes ingredientes:

TARTA DE C UMPLEAÑ OS 6 vasos de ha rina 5 vasos de az úcar 5 vasos y med io de leche Medio vaso de licor 1 cucharada sopera de le vadura 5 cucharadas de café de va inilla Escribe esta receta en kilogramos y litros. e) Al final he decidido hacer una tarta de chocolate con una receta en la que los ingredientes son similares, y solo hay que añadir 10 cucharadas soperas de cacao. He buscado en la despensa y he encontrado un paquete de 200 g. ¿Tendré suficiente cacao?


437

4



Sociales y cívicas


1



Actividades



1y2

B2.-2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.


1y2


1y2

B1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.


1y2


1y2


1y2


1y2


El alcalde de Pueblorrico... 408 = 34 espacios hay entre los árboles a cada lado de la calle, luego habrá 35 árboles en cada uno, a) 12 siendo un total de 70 árboles. b) 70 ? 25 = 1 750 bombillas c) 70 ? 25 + 100 = 1 850 bombillas se quieren comprar.

438


d) En cada caja hay:

1850 125 = 5+ . Se necesitan 6 cajas de bombillas que costarán 6 ? 40 = 240 €. 345 345

e) En esta oferta, en cada caja hay:

2

d1 -

1 29 n ? 360 = ? 360 = 348 bombillas que funcionan bien. 30 30

1850 110 = 5+ . Se necesitan 6 cajas de bombillas, que costarán 6 ? 50 = 300 €. 348 348

Por tanto, esta oferta es peor.

En el tablón de la cocina de un restaurante... a) 1 vaso =

1 1 kg = ℓ 4 5 1 1 1 1 1 1 ? de vaso = ? ? = kg = 2 8 2 8 4 64 1 1 1 1 = ? ? = ℓ 2 8 5 80

b) 1 cucharada sopera =

1 1 1 1 kg = de cucharada sopera = ? = 3 64 192 3 1 1 1 = ? = ℓ 3 80 240

c) 1 cucharada de café =

d) Receta en kilogramos y litros:

6?

1 3 kg de harina = 4 2

1 1 1 ℓ de licor ? = 2 5 10

5?

1 5 kg de azúcar = 4 4

1 kg de levadura 64

e5 +

1 1 o ? ℓ = 11 ? 1 = 11 ℓ de leche 2 5 2 5 10

e) 10 cucharadas soperas =

5?

1 5 kg vainilla = 192 192

10 kg = 156,25 g 64

Como hay 200 g, hay suficiente cacao.



439

5

PRUEBA B


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Ordena los números de menor a mayor. 2,01 20,01 2,101 0,2001 <

2

3

<

<

Efectúa las operaciones con números decimales. 43,01

56,08

+ 71,34

- 49,3

Calcula el cociente de la división, redondeando el resultado hasta las milésimas. 56,23 3,8

4

Convierte los números fraccionarios en números decimales, y represéntalos en la recta. a)

3 " 4

1 11 b) " c) " 5 10

0,1

0,5

0 5

1

Calcula la expresión decimal de las fracciones, y señala el tipo de decimal del que se trata. Fracción

Exp. decimal

7 3

" "

18 25

" "

7 300

" "

440

Tipo de decimal


6

Nueve amigos han obtenido un premio de 102 342 €. Efectúa dos estimaciones del dinero que le corresponde a cada uno.

7

Vamos a comprar 2,65 kg de un producto que cuesta 1,08 €/kg. ¿Cuál de los precios es el más correcto: 2 €; 2,50 € o 3 €?

8

El cocinero de un colegio sabe que necesita 0,25 litros de agua por cada alumno para elaborar sopa. Si almorzasen 132 alumnos, ¿qué cantidad de agua necesitaría para hacer la sopa?

9

Tenemos un rollo de tela que mide 21,24 m. Si queremos dividirlo en 4 partes iguales, ¿cuánto medirá cada parte? ¿A cuánto tenemos que vender cada parte si se vende a 3,45 € el metro?


441

5

PRUEBA A


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Ordena los números de menor a mayor. 2,01 20,01 2,101 0,2001 0,0201 20,1 <

2

3

<

<

<

<


406,53

+ 306,112

- 251,273


4


3 " 4

1 8 11 b) c) d) " " " 5 25 10

0,1

0,5

0 5

1


Exp. decimal

7 3

" "

18 25

" "

7 300

" "

442

Tipo de decimal


6


7

Vamos a comprar 2,65 kg de un producto que cuesta 1,08 €/kg. ¿Cuál de los precios es el más correcto: 2 €; 2,50 € o 3 €?

8

El cocinero de un colegio sabe que necesita 0,25 litros de agua por cada alumno para elaborar sopa. Si almorzasen 132 alumnos, ¿qué cantidad de agua necesitaría para hacer la sopa?

9

Tenemos un rollo de tela que mide 21,24 m. Si queremos dividirlo en 4 partes iguales, ¿cuánto medirá cada parte? ¿A cuánto tenemos que vender cada parte si se vende a 3,45 € el metro?


443

5

PRUEBA B



1


Actividades



1, 6, 7, 8 y 9


2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9



2, 3, 4, 6, 7, 8 y 9


2, 3, 4, 6, 7, 8 y 9

Ordena los números de menor a mayor. 2,01 20,01 2,101 0,2001 0,2001 <

2

<

2,101

<

20,01


56,08

+ 71,34

- 49,3

114,35

3

2,01

6,78

Calcula el cociente de la división, redondeando el resultado hasta las milésimas.

" 5 6 2 ,3

56,23 3,8

38

182

14,7973

3 0 3 3 7 0 280 140 26 cociente = 14,7973

4

redondeo

cociente = 14,797


3 " 4

0,75

b)

1 " 5

0,1

0,2

c)

11 " 10

0,5

0

1 0,2

444

1,1

0,75

1,1


5


Exp. decimal

Tipo de decimal

7 3

"

! 2,3

"

D. periódico puro

18 25

"

0,72

"

D. exacto

7 300

"

! 0,023

"

D. periódico mixto

6

Nueve amigos han obtenido un premio de 102 342 €. Efectúa dos estimaciones del dinero que le corresponde a cada uno. • Primera aproximación: dividimos mentalmente 100 000 (la potencia de 10 más cercana) entre 10 (el número), siendo el resultado 10 000 €. • Segunda aproximación: dividimos 110 000 entre 10 y resulta 11 000 €, que es un resultado más preciso que el caso anterior.

7

Vamos a comprar 2,65 kg de un producto que cuesta 1,08 €/kg. ¿Cuál de los precios es el más correcto: 2 €; 2,50 € o 3 €? 2,65 ? 1,08 = 2,862. La respuesta correcta es 3 €.

8

El cocinero de un colegio sabe que necesita 0,25 litros de agua por cada alumno para elaborar sopa. Si almorzasen 132 alumnos, ¿qué cantidad de agua necesitaría para hacer la sopa? Multiplicamos 132 por 0,25 y obtenemos 33 litros.

9

Tenemos un rollo de tela que mide 21,24 m. Si queremos dividirlo en 4 partes iguales, ¿cuánto medirá cada parte? ¿A cuánto tenemos que vender cada parte si se vende a 3,45 € el metro? 21,24

4

1 2

5,31

0 4 0 Cada parte medirá 5,31 m. 5,31 ? 3,45 = 18,3195 Cada parte costará 18,32 €.



445

5

PRUEBA A



1


Actividades





2, 3, 4, 6, 7, 8 y 9


2, 3, 4, 6, 7, 8 y 9


1, 6, 7, 8 y 9

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Ordena los números de menor a mayor. 2,01 20,01 2,101 0,2001 0,0201 20,1 0,0201 < 0,2001 <

2

3

2,01

<

2,101

<

20,01

<

20,1


406,53

+ 306,112

- 251,273

429,162

155,257


" 1245,870 , 27237

3245 0,3839

, 1 2 7 7 0 , 3 0 3 5 0 , 1 1 4 5

cociente = 0,3839

446

redondeo

cociente = 0,384


4


3 " 4

0,75

b)

1 " 5

c)

0,2

8 " 25

0,32

1,1

1

0 0,2

0,32

0,75

1,1

Calcula la expresión decimal de las fracciones, y señala el tipo de decimal del que se trata. Tipo de decimal

Exp. decimal

Fracción

7 3

"

! 2,3

"

D. periódico puro

18 25

"

0,72

"

D. exacto

7 300

"

! 0,023

"

D. periódico mixto

6

11 " 10

0,5

0,1

5

d)


• Primera aproximación: dividimos mentalmente 100 000 (la potencia de 10 más cercana) entre 10 (el número), siendo el resultado 10 000 €. • Segunda aproximación: dividimos 110 000 entre 10 y resulta 11 000 €, que es un resultado más preciso que el caso anterior.

7

Vamos a comprar 2,65 kg de un producto que cuesta 1,08 €/kg. ¿Cuál de los precios es el más correcto: 2 €; 2,50 € o 3 €? 2,65 ? 1,08 = 2,862. La respuesta correcta es 3 €.

8

El cocinero de un colegio sabe que necesita 0,25 litros de agua por cada alumno para elaborar sopa. Si almorzasen 132 alumnos, ¿qué cantidad de agua necesitaría para hacer la sopa? Multiplicamos 132 por 0,25 y obtenemos 33 litros.

9

Tenemos un rollo de tela que mide 21,24 m. Si queremos dividirlo en 4 partes iguales, ¿cuánto medirá cada parte? ¿A cuánto tenemos que vender cada parte si se vende a 3,45 € el metro? 21,24

4

1 2

5,31

0 4 Cada parte medirá 5,31 m. 5,31 ? 3,45 = 18,3195 Cada parte costará 18,32 €.



447

5


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

El director de Seguros Tencuidado tiene que visitar las sucursales de París, Berlín, Londres y Praga.

La tabla de cambios de moneda que ha consultado tiene los siguientes datos: 10 libras esterlinas....11,10 euros 1 euro..............26,44 coronas

Según su previsión de gastos, ha decidido que necesitará:

PREVISIÓN GASTOS 650 libras esterlinas 18 100 c oronas checas 2 000 euros

a) Si cambia en un banco 100 libras esterlinas por euros, ¿cuántos euros le darán? b) Si cambia euros por coronas checas, ¿cuántas coronas recibirá por 2 €? c) Según su previsión de gastos, ¿cuántos euros necesitará en total para realizar el viaje? d) Al llegar a Londres ha consultado el cambio, que es el siguiente: 1 libra.....29,35 coronas

£

€

$

¿Dónde le conviene cambiar a coronas, en Londres o en España?

448


2

Leonardo trabaja a 18 km de su casa. Suele realizar el trayecto en coche, pero quiere calcular cuánto ahorraría si utilizara el transporte público.

Para ello ha reunido los siguientes datos:

km. Mi coche consume 8 litros por cada 100 Precio del litro de gasolina: 1,10 € € Abono de transporte mensual: 41,20

a) Si hace un viaje de 100 km con su coche, ¿cuántos litros de gasolina, más o menos, necesitará? ¿Cuánto se gastará en gasolina en un viaje de 200 km? b) ¿Cuántos litros de gasolina, aproximadamente, consume su coche en el trayecto desde su casa al trabajo? ¿Cuál es el coste de esa gasolina? c) Si cada día utiliza el coche para hacer dos viajes entre su casa y el trabajo, uno de ida y otro de vuelta, ¿cuánto dinero se gasta, aproximadamente, en gasolina diariamente? d) Si Leonardo trabaja de lunes a viernes, y considerando que hace dos viajes diarios y un mes tiene de media 21 días laborables, calcula el dinero que se ahorraría si decidiese ir al trabajo en transporte público. e) Leonardo se ha trasladado a vivir a otra localidad, y ahora está a 29 km de su trabajo. En esta localidad vive un compañero de trabajo con el que ha llegado a un acuerdo para ir juntos al trabajo, y cada día llevará uno el coche. ¿Le sigue conviniendo ir en transporte público?


449

5



Sociales y cívicas


1



Actividades



1y2



1y2


1y2



1y2


1y2


1y2


1y2


El director de seguros tencuidado... a) Por 10 libras esterlinas me darán 11,10 €.

Por 20 libras recibiré el doble que por 10: 2 ? 11,10 = 22,20 €

Por 100 libras recibiré 5 veces lo que he recibido por 20: 5 ? 22,20 = 111 €

b) Por 1 € me darán 26,44 coronas checas.

Por 2 € recibiré el doble que por 1: 2 ? 26,44 = 52,88 coronas

450


c) Si 1 € son 26,44 coronas checas " 1 : 26,44 euros será 1 corona checa.

1 corona checa vale 0,0378 €.

650 libras " 65 ? 11,10 € =

18 100 coronas " 18 100 ? 0,0378 € =

721,50 € 684,18 €

2 000,00 €

3 405,68 € necesitará para el viaje.

d) Si cambiamos en España las 18 100 coronas a euros nos darán:

2

18100 = 684,57 € 26,44

Si cambiamos en Londres 18 100 coronas nos darán: 10 Como 1 € = = 0,90 libras esterlinas, 684,57 € serán: 684,57 ? 0,90 = 616,11 libras, y como la libra es igual a 29,35 coronas, 11,10 resulta: 616,11 ? 29,35 = 18 082,83 coronas. Conviene cambiar en España.

Leonardo trabaja a 18 km de su casa... a) Para un viaje de 100 km necesitará, aproximadamente, 8 litros de gasolina.

Para un viaje de 200 km necesitará el doble de gasolina:

2 · 8 = 16 ℓ

b) En 1 km consume 8 : 100 = 0,08 ℓ

Desde su casa al trabajo consume: 18 ? 0,08 = 1,44 ℓ

El coste es 1,44 ? 1,10 = 1,58 €.

c) Diariamente gasto en gasolina: 36 ? 0,08 ? 1,1 = 3,17 €. d) 2 ? 18 = 36 km diarios 21 ? 36 = 756 km al mes 756 ? 0,08 ? 1,10 = 66,53 € gasta al mes 66,53 - 41,20 = 25,33 € ahorraría si fuera en transporte público. e) Dos viajes al día son 2 ? 29 = 58 km diarios: 58 ? 21 = 1 218 km al mes

En 1 km el coche consume 0,08 ℓ y el litro cuesta 1,10 €.

1 218 ? 0,08 ? 1,1 = 107,18 € al mes

Como cada día lleva uno el coche:

107,18 : 2 = 53,59 € al mes

Un abono mensual cuesta 41,20 €:

53,59 - 41,20 = 12,39 € se ahorraría al mes utilizando el transporte público.



451

6

PRUEBA B


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Expresa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico en función de dos números, a y b. a) A la mitad del número a le restamos la cuarta parte de b. b) El cuadrado del número a más el doble del número b. c) El producto del triple del número a por el doble del cubo del número b.

2

Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico. a) La edad que tenía hace 5 años. b) La edad que tendrá dentro de 7 años. c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años.

3

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x. a) e(x) = 4x + 3

si x = 3 " e (3) =

b) e(x) = -3x + 3x2 si x = 2 " e (2) = 4

Comprueba si las dos expresiones son o no una identidad. a) 3(x + 2) + 4 = 3x + 10 b) 4(x + 1) + 3(2 - x) = x + 1

5

Expresa el área y el perímetro de las siguientes figuras. 3x x

452

x


6

En las ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas mentalmente o por el método de ensayo y error. a) x + 4 = 7 " b) y - 3 = 5 " c) 2x = 8 " d)

7

y =2" 5

Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x - 5 = -3 " b) 2x + 4 = 3x - 8 " c) 3(3x + 4) = 5(x -1) " d)

8

x+2 x-1 = " " 3 2

La suma de las edades de Pedro y de Julia es 38 años. Pedro tiene el doble de la edad de Julia más dos años. Por tanto, las edades de Pedro y Julia son: a) Julia tiene 16 años y Pedro 22 años. b) Julia tiene 14 años y Pedro 24 años. c) Julia tiene 12 años y Pedro 26 años. d) Julia tiene 10 años y Pedro 28 años.

9

Determina un número sabiendo que si al doble de este número le sumamos 7 da 27 . 2

10

Calcula las dimensiones de una parcela rectangular, si su perímetro es de 400 metros y es el triple de larga que de ancha.


453

6

PRUEBA A


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Expresa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico en función de dos números, a y b. a) A la mitad del número a le restamos la cuarta parte de b. b) El cuadrado del número a más el doble del número b. c) El producto del triple del número a por el doble del cubo del número b. d) La mitad del número a más la tercera parte de b es 100.

2

Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico. a) La edad que tenía hace 5 años. b) La edad que tendrá dentro de 7 años. c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años. d) Los años que tendrá cuando hayan pasado el doble de los años que componen su edad actual.

3

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x. a) e(x) = 4x + 3

si x = 3 " e (3) =

b) e(x) = -3x + 3x2 si x = 2 " e (2) = c) e(x) = (x2 - 4)2 si x = -2 " e (-2) = 4

Comprueba si las dos expresiones son o no una identidad. a) 3(x + 2) + 4 = 3x + 10 b) 4(x + 1) + 3(2 - x) = x + 1

5

Expresa el área y el perímetro de las siguientes figuras. x x

3x x

x

x y

454


6

En las ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas mentalmente o por el método de ensayo y error. a) x + 4 = 7 " b) y - 3 = 5 " c) 2x = 8 " d)

y =2" 5

e) 8 - z = 6 " f) 3z - 2 = 10 " 7

Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x - 5 = -3 " b) 2x + 4 = 3x - 8 " c) 3(3x + 4) = 5(x -1) " d)

8

x-1 x-2 3-x = = " " 2 3 4

La suma de las edades de Pedro y de Julia es 38 años. Pedro tiene el doble de la edad de Julia más dos años. Por tanto, las edades de Pedro y Julia son: a) Julia tiene 16 años y Pedro 22 años. b) Julia tiene 14 años y Pedro 24 años. c) Julia tiene 12 años y Pedro 26 años. d) Julia tiene 10 años y Pedro 28 años.

9

Si al doble de un número le sumamos 11, a continuación lo dividimos entre 5 y al resultado le restamos el número inicial, obtenemos -2. ¿Cuál es este número?

10



455

6

1

PRUEBA B



Actividades

B.2-6. Analizar procesos numéricos cambiantes, identificando los patrones y leyes generales que los rigen, utilizando el lenguaje algebraico para expresarlos, comunicarlos, y realizar predicciones sobre su comportamiento al modificar las variables, y operar con expresiones algebraicas.

B.2-6.1. Describe situaciones o enunciados que dependen de cantidades variables o desconocidas y secuencias lógicas o regularidades, mediante expresiones algebraicas, y opera con ellas.

1, 2, 3, 5, 8, 9 y 10

B.2-6.3. Utiliza las identidades algebraicas notables y las propiedades de las operaciones para transformar expresiones algebraicas.

4, 7, 8, 9 y 10

B.2-7. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar y resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer, segundo grado y sistemas de ecuaciones, aplicando para su resolución métodos algebraicos o gráficos y contrastando los resultados obtenidos.

B.2-7.1. Comprueba, dada una ecuación (o un sistema), si un número (o números) es (son) solución de la misma.

6, 7, 8, 9 y 10

B.2-7.2. Formula algebraicamente una situación de la vida real mediante ecuaciones de primer y segundo grado, y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, las resuelve e interpreta el resultado obtenido.

8, 9 y 10

Expresa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico en función de dos números, a y b. a) A la mitad del número a le restamos la cuarta parte de b. b) El cuadrado del número a más el doble del número b. c) El producto del triple del número a por el doble del cubo del número b. a) a - b b) a2 + 2b c) 3a ? 2b3 2 4

2

Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico. a) La edad que tenía hace 5 años. b) La edad que tendrá dentro de 7 años. c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años. a) x - 5 b) x + 7 c) 65 - x

3

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x. si x = 3 " e (3) = 15

a) e(x) = 4x + 3

b) e(x) = -3x + 3x si x = 2 " e (2) = 6 2

4

Comprueba si las dos expresiones son o no una identidad. a) 3(x + 2) + 4 = 3x + 10 " Identidad b) 4(x + 1) + 3(2 - x) = x + 1 " No es identidad

5

Expresa el área y el perímetro de las siguientes figuras. P = 2(x + 3x) = 8x 3x x

x

A = 3x2 P = xp A=

456

x2 p 4


6

En las ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas mentalmente o por el método de ensayo y error. a) x + 4 = 7 " x = 3 b) y - 3 = 5 " y = 8 c) 2x = 8 " x = 4 d)

7

y = 2 " y = 10 5

Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x - 5 = -3 " x = -3 + 5 = 2 b) 2x + 4 = 3x - 8 " 4 + 8 = 3x - 2x " x = 12 c) 3(3x + 4) = 5(x -1) " 9x + 12 = 5x - 5 " 4x = -17 " x = d)

8

x-1 x+2 = 2 3

-17 4

" 3(x - 1) = 2(x + 2) " 3x - 3 = 2x + 2 " x = 5

La suma de las edades de Pedro y de Julia es 38 años. Pedro tiene el doble de la edad de Julia más dos años. Por tanto, las edades de Pedro y Julia son: a) Julia tiene 16 años y Pedro 22 años. b) Julia tiene 14 años y Pedro 24 años. c) Julia tiene 12 años y Pedro 26 años. d) Julia tiene 10 años y Pedro 28 años. La respuesta correcta es c).

27 Determina un número sabiendo que si al doble de este número le sumamos 7 da . 2 27 13 2x + 7 = " 4x = 27 - 14 = 13 " x = 4 2 9

10


Las dimensiones son x y 3x, y el perímetro: P = 2(x + 3x) = 8x = 400 " x = 50. Por tanto, la parcela tiene 50 metros de ancho y 150 metros de largo.



457

6

1

PRUEBA A



Actividades



1, 2, 3, 5, 8, 9 y 10


4, 7, 8, 9 y 10



6, 7, 8, 9 y 10


8, 9 y 10

Expresa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico en función de dos números, a y b. a) A la mitad del número a le restamos la cuarta parte de b. b) El cuadrado del número a más el doble del número b. c) El producto del triple del número a por el doble del cubo del número b. d) La mitad del número a más la tercera parte de b es 100. a b a) a - b b) a2 + 2b c) 3a ? 2b3 d) - = 100 2 3 2 4

2

Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico. a) La edad que tenía hace 5 años. b) La edad que tendrá dentro de 7 años. c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años. d) Los años que tendrá cuando hayan pasado el doble de los años que componen su edad actual. a) x - 5 b) x + 7 c) 65 - x d) 3x

3

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x. si x = 3 " e (3) = 15

a) e(x) = 4x + 3

b) e(x) = -3x + 3x si x = 2 " e (2) = 6 2

c) e(x) = (x2 - 4)2 4

si x = -2 " e (-2) = 0

Comprueba si las dos expresiones son o no una identidad. a) 3(x + 2) + 4 = 3x + 10 " Identidad b) 4(x + 1) + 3(2 - x) = x + 1 " Identidad

5

Expresa el área y el perímetro de las siguientes figuras. P = 2(x + 3x) = 8x 3x x

A = 3x2

P = x + y + 2x + x + x + + (y - x) = 4x + 2y x

x

A = xy + x2 y

458

x

P = 4x + 2p d

x n 2

x A = x2 + p d

x 2 n 2


6

En las ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas mentalmente o por el método de ensayo y error. a) x + 4 = 7 " x = 3 b) y - 3 = 5 " y = 8 c) 2x = 8 " x = 4 y d) = 2 " y = 10 5 e) 8 - z = 6 " z = 2 f) 3z - 2 = 10 " z = 4

7

Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x - 5 = -3 " x = -3 + 5 = 2 b) 2x + 4 = 3x - 8 " 4 + 8 = 3x - 2x " x = 12 c) 3(3x + 4) = 5(x -1) " 9x + 12 = 5x - 5 " 4x = -17 " x = d)

8

x -1 x -2 3- x 6x - 6 4x - 8 9 - 3x = " = 12 12 12 2 3 4

- 17 4

" 6x - 6 = 4x - 8 - 9 + 3x " x = 11

La suma de las edades de Pedro y de Julia es 38 años. Pedro tiene el doble de la edad de Julia más dos años. Por tanto, las edades de Pedro y Julia son: a) Julia tiene 16 años y Pedro 22 años. b) Julia tiene 14 años y Pedro 24 años. c) Julia tiene 12 años y Pedro 26 años. d) Julia tiene 10 años y Pedro 28 años. La respuesta correcta es c).

9

Si al doble de un número le sumamos 11, a continuación dividimos entre 5 y al resultado le restamos el número inicial, obtenemos -2. ¿Cuál es este número?

2x + 11 - x = -2 " 2x + 11 - 5x = -10 " -3x = -21 " x = 7 5

10


Las dimensiones son x y 3x, y el perímetro: P = 2(x + 3x) = 8x = 400 " x = 50. Por tanto, la parcela tiene 50 metros de ancho y 150 metros de largo.



459

6


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Se recomienda que los deportistas con una alta actividad física lleven una dieta rica en hidratos de carbono, grasas y proteínas.

Las recomendaciones de los especialistas son tomar el doble de hidratos de carbono que de grasas.

Cantidades (en 100 g) del alimento indicado Kcal

Hidratos de carbono

Grasas

Proteínas

Queso

38

0,5

29,5

28,2

Yogur

62

6,3

3,5

3,8

Alimento Leche y derivados

Carnes, huevos y pescados Cerdo

219

0,5

16,5

17,5

Ternera

190

0

12,0

19,0

Pollo

200

0

15,0

18,0

Huevos

160

0,8

12,0

12,0

Trucha

162

0

10,0

18,0

Lenguado

100

0,5

2,5

19,0

Merluza

80

0

0,5

19,0

Pan

261

51,5

0,8

8,0

Pasta

359

72,0

1,5

12,8

Naranja

49

9,0

0,5

1,0

Plátano

97

21,0

0,2

1,0

Melón

56

12,5

0,1

0,8

Harinas y pastas

Frutas

a) ¿Cuántas calorías hay en 100 gramos de pan? ¿Y en 200 gramos de pollo? ¿Y grasas? b) Si un deportista decide hacer una cena que no exceda de 1 500 Kcal, y come 300 g de pollo, ¿qué puede tomar de primer plato y de postre? c) A partir de la tabla, confecciona el desayuno, la comida y la cena apropiados para un ciclista que necesita tomar unas 5 000 kilocalorías al día. 460


2

Mañana es el cumpleaños de Tomás. Sus amigos nos hemos reunido y hemos decidido comprar un monopatín. Se ha encargado de comprarlo Pablo, lo ha buscado en varias tiendas y ha comparado los precios. Al final ha dividido el mejor precio entre todos los amigos y nos ha pedido 8,50 € a cada uno. Esta mañana, cuando iba a darle el dinero me ha dicho que Eva y Celia también van a participar en el regalo, y que como inicialmente no había contado con ellas, pondríamos menos dinero.

Al final, Eva y Celia también participan en el regalo, así que solo pondremos 6,80 �.

a) Si inicialmente hubieran sido 7 amigos, ¿cuánto valdría el monopatín? b) Si tras la incorporación de Eva y Celia fuesen 9 amigos, ¿cuál sería el precio? c) Si x es el número de amigos que compran el regalo, ¿cuál es su precio? d) ¿Cuántos amigos participan en el regalo? e) Si un monopatín y un casco tienen el mismo precio y hay una promoción en la que comprando los dos, el casco cuesta solo un 25 %, ¿pueden comprarlo manteniendo el dinero que habían puesto?


461

6



Sociales y cívicas


462



Actividades



1y2


1y2



2


2



1y2


1y2


1y2


1y2



1

Se recomienda que los deportistas... a) En 100 gramos de pan hay 261 Kcal y en 200 gramos de pollo, 400 Kcal.

100 gramos de pan contienen 0,8 g de grasas y 200 gramos de pollo, 30 g de grasas.

b) Respuesta abierta. Como la única restricción es que consuma 300 gramos de pollo, podemos completar esa cena tomando 100 g de queso, 150 g de pasta y un yogur. Así tomará menos de 1 499,5 Kcal. c) La solución a este problema no es única ni exacta. Una solución sería:

Desayuno: 200 g de queso, 150 g de yogur, 2 huevos (equivalentes a 100 g), 100 g de pan, 1 naranja, 2 plátanos. Total: 833 Kcal; 113,75 g de hidratos de carbono y 77,95 g de grasas.

Comida: 100 g de queso, 400 g de cerdo, 100 g de pan, 350 g de pasta, 1 naranja, 2 plátanos. Total: 2 674,5 Kcal; 357 g de hidratos y 102,45 g de grasas.

Cena: 100 g de queso, 300 g de pollo, 100 g de pan, 150 g de pasta, 150 g de yogur. Total: 1 530,5 Kcal; 169,45 g de hidratos y 82,8 g de grasas.

Sumando las calorías correspondientes, tenemos como resultado: 5 038 Kcal; 640,2 g de hidratos de carbono y 263,2 g de grasa. La relación entre los gramos de grasa y los de hidratos de carbono se calcula dividiendo: 640,2 : 263,2 = 2,43. 2

Mañana es el cumpleaños de Tomás... a) El monopatín valdría: 8,50 ? 7 = 59,50 € b) Siendo 9 amigos costaría: 6,80 ? 9 = 61,20 € c) Número de amigos que compramos el regalo: x

Número de amigos iniciales: x - 2

Precio del regalo: 8,5 ? (x - 2) o bien, 6,8 ? x

d) 8,5 ? (x - 2) = 6,8 ? x " 8,5x - 17 = 6,8x " 1,7x = 17 " x = 10

Hemos comprado el monopatín 10 amigos, y su precio ha sido 68 €.

e) Como el monopatín cuesta 68 €, si compramos el casco costará: 68 ? 0,25 = 17 €

Si mantienen el dinero que habían puesto al principio, tendrían 85 €.

Si aprovechan la promoción, los dos regalos les costarán: 68 + 17 = 85 €

Por tanto, podrían comprarlos.



463

7

PRUEBA B


Nombre:

1

b) Capacidad.

c) Longitud.

d) Masa.

Para conocer la distancia que hay entre la Tierra y el Sol se utilizan las unidades de: a) Longitud.

3

Fecha:

Para conocer la cantidad de lluvia caída por metro cuadrado se utilizan las unidades de: a) Superficie.

2

Curso:

b) Superficie.

d) Capacidad.

c) Volumen.

Para envolver un paquete necesitamos 2,5 m de cuerda y tenemos 4 rollos con las siguientes cantidades de cordel. ¿Qué rollo nos servirá para atar el paquete? a) 0,03 km

b) 0,03 dam

c) 30 cm

d) 300 mm

4

¿Cuántas botellas de 500 cm3 necesitamos para vaciar un depósito de 2 m3 5 dm3?

5

Calcula el volumen del siguiente cuerpo tomando el cubo U como unidad.

U

464


6

Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica. a) En metros: 7 dm 6 mm b) En centilitros: 7 hl 5 ℓ c) En litros: 8 dl 7 cl 5 ml

7

Completa para que se cumplan las igualdades. 8 dag 5 g 7 kl

dg = 8 530 cg dal 2 ℓ = 70,32 hl

8

Transforma en mililitros 6 kl 1 hl 5 dal 6 cl.

9

En una fábrica producen dos tipos de latas: de medio kilo y de 2 hg 5 dag. Si hay 5 000 latas de cada clase, ¿cuántas toneladas pesan en total?

10

Una finca de 8 ha, 40 a y 25 ca se divide en dos partes. Si una de ellas tiene 30 000 m2, ¿cuánto mide la otra parte?

11

Una botella de 3 dm3 de agua de colonia se distribuye en frascos de 50 ml. ¿Cuántos frascos se llenarán?


465

7

PRUEBA A


Nombre:

1

c) Longitud.

d) Masa.

b) Superficie.

d) Capacidad.

c) Volumen.

Para envolver un paquete necesitamos 180 cm2 de papel y 2,5 m de cuerda, y disponemos de estas cantidades de papel. ¿Cuál de ellas nos servirá para envolverlo? a) 20 cm2

4

b) Capacidad.


3

Fecha:


2

Curso:

b) 2 dm2

c) 0,002 m2

d) 0,00002 dam2

Tenemos 4 rollos con las siguientes cantidades de cordel. ¿Qué rollo nos servirá para atar el paquete anterior? a) 0,03 km

b) 0,03 dam

c) 30 cm

d) 300 mm

5


6


U

466


7

Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica. a) En metros: 7 dm 6 mm b) En centilitros: 7 hl 5 ℓ c) En litros: 8 dl 7 cl 5 ml d) En gramos: 8 kg 6 hg 4 g 3 dg e) En hectogramos: 7 g 4 dg

8

Completa para que se cumplan las igualdades. 8 dag 5 g 9 dam 5 dm 7 kl

9

dg = 8 530 cg cm 6 mm = 90 546 mm dal 2 ℓ = 70,32 hl

Transforma 3 km2 4 hm2 5 m2 7 dm2 en cm2.

10

En una fábrica producen dos tipos de latas: de medio kilo y de 2 hg 5 dag. Si hay 5 000 latas de cada clase, ¿cuántas toneladas pesan en total?

11

Una finca de 8 ha, 40 a y 25 ca se divide en dos partes. Si una de ellas tiene 30 000 m2, ¿cuánto mide la otra parte?

12

Tenemos un depósito de 3 m3 de agua mineral. ¿Cuántas botellas de litro y medio podemos llenar?


467

7

PRUEBA B


1


Actividades


B.1-2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones por los datos, contexto del problema).

1, 2, 3, 9, 10 y 11



3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11



3, 9, 10 y 11


b) Capacidad.

c) Longitud.

d) Masa.

La respuesta correcta es b). 2


b) Superficie.

c) Volumen.

d) Capacidad.

La respuesta correcta es a). 3

Para envolver un paquete necesitamos 2,5 m de cuerda y tenemos 4 rollos con las siguientes cantidades de cordel. ¿Qué rollo nos servirá para atar el paquete? a) 0,03 km

b) 0,03 dam

c) 30 cm

d) 300 mm



Primero transformamos el volumen del depósito en cm3:

2 m3 5 dm3 " 2 ? 1 000 000 + 5 ? 1 000 = 2 005 000 cm3, y después dividimos esta cantidad entre 500, obteniendo: 4 010 botellas. 5


U

Si consideramos la primera fila tenemos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 cubos; en la segunda fila:

1 + 2 + 3 = 6 cubos; en la tercera fila: 1 + 2 = 3 cubos, y en la última: 1 cubo. Por tanto, 10 + 6 + 3 + 1 = 20 cubos.

468


6

7

Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica. a) En metros: 7 dm 6 mm

0,706 m

b) En centilitros: 7 hl 5 ℓ

70 500 cl

c) En litros: 8 dl 7 cl 5 ml

0,875 ℓ

Completa para que se cumplan las igualdades. 8 dag 5 g 7 kl

8

dg = 8 530 cg

3 3

dal 2 ℓ = 70,32 hl

Transforma en mililitros 6 kl 1 hl 5 dal 6 cl. 6 kl 1 hl 5 dal 6 cl = 6 ? 10 + 5 ? 10 000 + 1 ? 100 000 + 6 ? 1 000 000 = 6 150 060 ml

9

En una fábrica producen dos tipos de latas: de medio kilo y de 2 hg 5 dag. Si hay 5 000 latas de cada clase, ¿cuántas toneladas pesan en total? Las latas de medio kilo " 5 000 ? 0,5 = 2 500 kg. Las latas de 2 hg 5 dag = 0,25 kg " 5 000 ? 0,25 = 1 250 kg La suma total es 3 750 kg que, dividido entre 1 000, son 3,75 toneladas.

10

Una finca de 8 ha, 40 a y 25 ca se divide en dos partes. Si una de ellas tiene 30 000 m2, ¿cuánto mide la otra parte? 8 ha 40 a 25 ca = 8 ? 10 000 + 40 ? 100 + 25 = 84 025 ca = 84 025 m2. La segunda parte medirá: 84 025 - 30 000 = 54 025 m2.

11

Una botella de 3 dm3 de agua de colonia se distribuye en frascos de 50 ml. ¿Cuántos frascos se llenarán? 3 dm3 = 3 ℓ? = 3 000 ml 3 000 : 50 = 60 frascos



469

7

PRUEBA A


1


Actividades



1, 2, 3, 4, 10, 11 y 12



3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12



4, 10, 11 y 12


b) Capacidad.

c) Longitud.

d) Masa.



b) Superficie.

c) Volumen.

d) Capacidad.


Para envolver un paquete necesitamos 180 cm2 de papel y 2,5 m de cuerda, y disponemos de estas cantidades de papel. ¿Cuál de ellas nos servirá para envolverlo? a) 20 cm2

b) 2 dm2

c) 0,002 m2

d) 0,00002 dam2


Tenemos 4 rollos con las siguientes cantidades de cordel. ¿Qué rollo nos servirá para atar el paquete anterior? a) 0,03 km

b) 0,03 dam

c) 30 cm

d) 300 mm



Primero transformamos el volumen del depósito en cm3:

2 m3 5 dm3 " 2 ? 1 000 000 + 5 ? 1 000 = 2 005 000 cm3, y después dividimos esta cantidad entre 500, obteniendo: 4 010 botellas. 6


U

Si consideramos la primera fila tenemos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 cubos; en la segunda fila:

1 + 2 + 3 = 6 cubos; en la tercera fila: 1 + 2 = 3 cubos, y en la última: 1 cubo. Por tanto, 10 + 6 + 3 + 1 = 20 cubos.

470


7

8

Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica. a) En metros: 7 dm 6 mm

0,706 m

b) En centilitros: 7 hl 5 ℓ

70 500 cl

c) En litros: 8 dl 7 cl 5 ml

0,875 ℓ

d) En gramos: 8 kg 6 hg 4 g 3 dg

8 604,3 g

e) En hectogramos: 7 g 4 dg

0,074 hg

Completa para que se cumplan las igualdades. 8 dag 5 g 9 dam 5 dm 7 kl

9

dg = 8 530 cg

3

3

4

cm 6 mm = 90 546 mm

dal 2 ℓ = 70,32 hl

Transforma 3 km2 4 hm2 5 m2 7 dm2 en cm2. 3 km2 4 hm2 5 m2 7 dm2 = 7 ? 100 + 5 ? 10 000 + 4 ? 100 000 000 + 3 ? 10 000 000 000 = 30 400 050 700 cm2

10

En una fábrica producen dos tipos de latas: de medio kilo y de 2 hg 5 dag. Si hay 5 000 latas de cada clase, ¿cuántas toneladas pesan en total? Las latas de medio kilo " 5 000 ? 0,5 = 2 500 kg Las latas de 2 hg 5 dag = 0,25 kg " 5 000 ? 0,25 = 1 250 kg La suma total es 3 750 kg que, dividido entre 1 000, son 3,75 toneladas.

11

Una finca de 8 ha, 40 a y 25 ca se divide en dos partes. Si una de ellas tiene 30 000 m2, ¿cuánto mide la otra parte? 8 ha 40 a 25 ca = 8 ? 10 000 + 40 ? 100 + 25 = 84 025 ca = 84 025 m2. La segunda parte medirá: 84 025 - 30 000 = 54 025 m2.

12

Tenemos un depósito de 3 m3 de agua mineral. ¿Cuántas botellas de litro y medio podemos llenar? 3 m3 = 3 ? 1 000 = 3 000 ℓ 3 000 : 1,5 = 2 000 botellas



471

7


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Las medidas de un contenedor son:

Largo

Ancho

Alto

Contenedor pequeño

5 898 mm

2 358 mm

2 395 mm

Contenedor grande

12 035 mm

2 330 mm

2 370 mm

En esta tabla figuran los pesos de las mercancías que se transportan en ellos.

Elementos

Peso de 1 dm3

Madera

0,84 kg

Plomo

11,34 kg

Pizarra

2,65 kg

Mármol

2,69 kg

a) ¿Cuánto pesa 1 m3 de plomo? ¿Cuánto ocupa 1 t de plomo? b) ¿Cuántas vigas de madera de 2,5 m de largo; 0,4 m de ancho y 0,2 de alto caben en un contenedor si no las queremos cortar? c) ¿Cuánto espacio libre quedará? d) ¿Cuál es el mínimo número de contenedores necesarios para transportar estas mercancías?

• 1 500 vigas de madera de 2,5 m de largo; 0,4 m de ancho y 0,2 m de alto. • 19 toneladas de pizarra. • 51 toneladas de plomo.

472


2

Tras un verano muy seco, en Villaguapa hay preocupación por la escasez de agua del municipio. En el último pleno municipal se ha discutido sobre este asunto, y ante la posibilidad de dejar de regar los jardines del pueblo durante el próximo año, una concejala ha hecho la siguiente propuesta: Si en cada vivienda metiésemos un ladrillo como este en la cisterna del inodoro durante un mes, ahorraríamos el agua suficiente para regar los jardines de este pueblo durante todo el año.

23 c m

11

cm

5 cm

La cantidad de agua necesaria para regar los jardines durante un año es de 6 500 m3, y el número de habitantes del pueblo es 11 873.

a) ¿Cuál es el volumen del ladrillo que se propone para meter en las cisternas del inodoro de cada vivienda del pueblo? b) ¿Cuántos litros de agua se ahorrarían al tirar de la cadena si se introdujera un ladrillo como ese en la cisterna? c) ¿Cuántas veces se necesitaría tirar de la cadena para ahorrar el agua suficiente para regar los jardines durante un año? d) ¿Crees que es cierta la afirmación que hace la concejala?


473

7


Competencias que se evalúan



Actividades

Competencia matemática



1y2

Sociales y cívicas



1y2


1y2


1y2


1y2


1


Las medidas de un contenedor son... a) 1 m3 de plomo pesa 11 340 kg.

1 000 : 11,34 = 88,18 dm3

b) En el contenedor pequeño caben:

5,898 : 2,5 = 2,3592 " 2 vigas de largo

2,358 : 0,4 = 5,895 " 5 vigas de ancho

2,395 : 0,2 = 11,975 " 11 vigas de alto

Así, en un contenedor pequeño caben 2 ? 5 ? 11 = 110 vigas.

En el contenedor grande caben:

12,035 : 2,5 = 4,814 " 4 vigas de largo

2,330 : 0,4 = 5,825 " 5 vigas de ancho

2,370 : 0,2 = 11,85 " 11 vigas de alto

Así, en un contenedor grande caben 4 ? 5 ? 11 = 220 vigas.

c) Volumen de la viga: 2,5 ? 0,4 ? 0,2 = 0,2 m3

474

Volumen del contenedor pequeño: 5,898 ? 2,358 ? 2,395 = 33,30842418 m3

110 · 0,2 = 22 m3


En el contenedor pequeño quedan libres: 33,30842418 - 22 = 11,30842418 m3

Volumen del contenedor grande: 12,035 ? 2,330 ? 2,370 = 66,4584735 m3

220 ? 0,2 = 44 m3

En el contenedor grande quedan libres: 66,4584735 - 44 = 22,4584735 m3

d) 1 500 : 220 = 6,81

Para transportar las vigas hacen falta 7 contenedores grandes.

Pizarra:

19 000 : 2,65 = 7 169,811321 dm3 = 7,169811321 m3

Plomo:

2

51 000 : 11,34 = 4 497,354497 dm3 = 4,497354497 m3

El espacio libre en 7 contenedores es: 22,4584735 ? 7 = 157,2093145 m3

Por tanto, el número mínimo de contenedores necesarios es 7.

Tras un verano muy seco... a) Volumen del ladrillo: 23 ? 11 ? 5 = 1 265 cm3 = 0,001265 m3 b) 1 265 cm3 = 1,265 dm3 = 1,265 ℓ c) Para ahorrar esa cantidad de agua se necesitaría tirar de la cadena: 6 500 : 0,001265 = 5 138 340 veces. d) Esto equivale a que cada habitante tire de la cadena: 5 138 340 : 11 873 = 433 veces en un mes, lo que equivale a 433 : 30 = 14,43 veces al día. Por tanto, es difícil que se cumpla la estimación.



475

8

PRUEBA B


Nombre:

Curso:

3 35 y forman proporción. 5 96

1

Averigua si las razones

2

Averigua qué números faltan para completar estas proporciones.

3

a)

8 = 16

b)

3 = 4

Fecha:

2

8

Determina si las siguientes magnitudes son o no directamente proporcionales. Razónalo. a) La edad de una persona y su peso. b) El precio y la cantidad de carne comprada. c) El número de hojas de un libro y su peso. d) El lado de un cuadrado y su perímetro.

4

Si un décimo de la lotería de Navidad cuesta 20 € y el premio es de 2 millones de euros, ¿qué cantidad nos tocará si tenemos una participación de 1 € y hemos ganado el Gordo?

5

Si 25 bolsas de caramelos valen 15 €, ¿cuánto cuestan 13 bolsas? ¿Y 20 bolsas?

476


6

Completa la tabla para que dos magnitudes que se representan sean directamente proporcionales. 5 3

15

20

6

21

7

En una bicicleta que valía 150 € me hacen un 12 % de descuento. ¿Qué cantidad me han rebajado? ¿Y qué cantidad tendré que pagar?

8

Hemos efectuado una encuesta sobre los 30 alumnos de una clase y los resultados han sido los siguientes: 18 chicas (10 morenas y 8 rubias) y 12 chicos (8 morenos y 4 rubios). a) ¿Qué porcentaje del total son chicas morenas? b) ¿Y qué porcentaje son chicos?


477

8

PRUEBA A


Nombre:

Curso:

Fecha:

1

Juan y Pedro discuten sobre quién posee el coche más económico respecto al gasto de gasolina. Juan dice que su coche gasta 4,7 litros de gasolina cada 100 km, mientras que Pedro afirma que con un depósito de 52 litros puede recorrer 1 100 km. ¿Cuál de los amigos tiene el coche más económico?

2


3

Averigua qué números faltan para completar estas proporciones.

4

a)

6 = 4

b)

15 = 9


3

6

Determina si las siguientes magnitudes son o no directamente proporcionales. Razónalo. a) La edad de una persona y su peso. b) El precio y la cantidad de carne comprada. c) El número de hojas de un libro y su peso. d) El lado de un cuadrado y su perímetro. e) El lado de un cuadrado y su área.

5

Si un décimo de la lotería de Navidad cuesta 20 € y el premio es de 2 millones de euros, ¿qué cantidad nos tocará si tenemos una participación de 1 € y hemos ganado el Gordo?

6

Si 25 bolsas de caramelos valen 15 €, ¿cuánto cuestan 13 bolsas? ¿Y 20 bolsas?

478


7

Completa la tabla para que dos magnitudes que se representan sean directamente proporcionales. 6 6

9

12 63

99

8

En una bicicleta que valía 150 € me hacen un 12 % de descuento. ¿Qué cantidad me han rebajado? ¿Y qué cantidad tendré que pagar?

9

Hemos efectuado una encuesta sobre los 30 alumnos de una clase y los resultados han sido los siguientes: 18 chicas (10 morenas y 8 rubias) y 12 chicos (8 morenos y 4 rubios). a) ¿Qué porcentaje del total son chicas morenas? b) ¿Y qué porcentaje son chicos?


479

8

1

PRUEBA B



Actividades

B.2-5. Utilizar diferentes estrategias (empleo de tablas, obtención y uso de la constante de proporcionalidad, reducción a la unidad, etc.) para obtener elementos desconocidos en un problema a partir de otros conocidos en situaciones de la vida real en las que existan variaciones porcentuales y magnitudes directa o inversamente proporcionales.

B.2-5.1. Identifica y discrimina relaciones de proporcionalidad numérica (como el factor de conversón o cálculo de porcentajes) y las emplea para resolver problemas en situaciones cotidianas.

1, 2, 3, 5, 6, 7 y 9



4, 5, 7 y 9


4, 5, 7 y 9



3 35 y no forman proporción, ya que 3 ? 96 ? 8 ? 35. 8 96 2

3

Averigua qué números faltan para completar estas proporciones: a)

8 2 = 16 4

b)

6 3 = 4 8

Determina si las siguientes magnitudes son o no directamente proporcionales. Razónalo. a) La edad de una persona y su peso. No. b) El precio y la cantidad de carne comprada. Sí. c) El número de hojas de un libro y su peso. Sí. d) El lado de un cuadrado y su perímetro. Sí.

4

Si un décimo de la lotería de Navidad cuesta 20 € y el premio es de 2 millones de euros, ¿qué cantidad nos tocará si tenemos una participación de 1 € y hemos ganado el Gordo? 20 � (lotería) " 2 000 000 � (premio)

" x (premio)

1 � (lotería) 5

6"

2 000 000 : 20 = 100 000 � se ganan por 1 �.

Si 25 bolsas de caramelos valen 15 €, ¿cuánto cuestan 13 bolsas? ¿Y 20 bolsas? 25 bolsas " 15 � 1 bolsa

480

" x�

6

" 15 : 25 = 0,60 �

5

13 bolsas: 13 ? 0,60 = 7,80 � 20 bolsas: 20 ? 0,60 = 12 �


6

7

Completa la tabla para que dos magnitudes que se representan sean directamente proporcionales. 10

15

20

35

3

6

9

12

21

En una bicicleta que valía 150 € me hacen un 12 % de descuento. ¿Qué cantidad me han rebajado? ¿Y qué cantidad tendré que pagar? 150 ?

8

5

12 = 18 � " Precio: 150 - 18 = 132 � 100

Hemos efectuado una encuesta sobre los 30 alumnos de una clase y los resultados han sido los siguientes: 18 chicas (10 morenas y 8 rubias) y 12 chicos (8 morenos y 4 rubios). a) ¿Qué porcentaje del total son chicas morenas?

10 de 30 " 33,3 %

b) ¿Y qué porcentaje son chicos?

12 de 30 " 40 %



481

8

PRUEBA A


1


Actividades



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9



1, 4, 5, 6, 8 y 9


1, 5, 6, 8 y 9

Juan y Pedro discuten sobre quién posee el coche más económico respecto al gasto de gasolina. Juan dice que su coche gasta 4,7 litros de gasolina cada 100 km, mientras que Pedro afirma que con un depósito de 52 litros puede recorrer 1 100 km. ¿Cuál de los amigos tiene el coche más económico? Gasto del coche de Juan: 4,7 litros cada 100 km. Gasto del coche de Pedro:

52 = 4,727 litros cada 100 km. 11

El coche más económico es el de Juan. 2



3 35 no forman proporción, ya que 3 ? 96 ? 8 ? 35. y 8 96 3

4

Averigua qué números faltan para completar estas proporciones: a)

6 3 = 4 2

b)

10 15 = 9 6

Determina si las siguientes magnitudes son o no directamente proporcionales. Razónalo. a) La edad de una persona y su peso. No. b) El precio y la cantidad de carne comprada. Sí. c) El número de hojas de un libro y su peso. Sí. d) El lado de un cuadrado y su perímetro. Sí. e) El lado de un cuadrado y su área. No: a doble lado le corresponderá un área cuatro veces mayor.

5

Si un décimo de la lotería de Navidad cuesta 20 € y el premio es de 2 millones de euros, ¿qué cantidad nos tocará si tenemos una participación de 1 € y hemos ganado el Gordo? 20 � (lotería) " 2 000 000 � (premio) 1 � (lotería)

482

" x (premio)

6"

2 000 000 : 20 = 100 000 � se ganan por 1 �.


6

Si 25 bolsas de caramelos valen 15 €, ¿cuánto cuestan 13 bolsas? ¿Y 20 bolsas? 25 bolsas " 15 � 1 bolsa

7

8

15 : 25 = 0,60 �

5

13 bolsas: 13 ? 0,60 = 7,80 � 20 bolsas: 20 ? 0,60 = 12 �

Completa la tabla para que dos magnitudes que se representan sean directamente proporcionales. 4

6

12

42

66

6

9

18

63

99

En una bicicleta que valía 150 € me hacen un 12 % de descuento. ¿Qué cantidad me han rebajado? ¿Y qué cantidad tendré que pagar? 150 ?

9

" x �

6"

12 = 18 � " Precio: 150 - 18 = 132 � 100

Hemos efectuado una encuesta sobre los 30 alumnos de una clase y los resultados han sido los siguientes: 18 chicas (10 morenas y 8 rubias) y 12 chicos (8 morenos y 4 rubios). a) ¿Qué porcentaje del total son chicas morenas?

10 de 30 " 33,3 %

b) ¿Y qué porcentaje son chicos?

12 de 30 " 40 %



483

8


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

La compra de comida para abastecer el comedor del colegio se hace mensualmente. Aunque existen ofertas en los supermercados cercanos al colegio, los responsables de esta tarea no les prestan atención.

El consejo directivo quiere controlar de manera más exhaustiva el gasto del comedor, por lo que están estudiando las ofertas de zumos. Compra uno y mitad llévate otro a . io ec pr de

3x2

Por la compra de 2 botellas de zumo te regalamos 1.

OFERTA

30 % de descuento

6x5

Por la compra de 5 botellas de zumo te regalamos 1.

Todas estas ofertas se refieren al mismo tipo de botella de zumo y a idéntico precio por unidad. Si una botella de zumo cuesta 1,15 €: a) ¿Cuánto cuestan 2 botellas si la oferta es «compra uno y llévate otro a mitad de precio»?

b) ¿Cuánto cuestan 2 botellas si la oferta es «30 % de descuento»?

c) ¿Cuánto cuestan 3 botellas si la oferta es «3 ◊ 2»?

d) Si una botella de zumo cuesta 1,15 €, ¿cuánto cuestan 6 botellas atendiendo a las distintas ofertas?

e) Si se compran 240 botellas de zumo al mes, ¿cuál crees que será la oferta más ventajosa?

484


2

Maquinaria Torreón compra máquinas que después vende a empresas constructoras aumentando un 20 % su precio. Sin embargo, se encuentran con el problema de que sus clientes siempre piden un descuento y ellos no quieren disminuir sus beneficios. a) Si el beneficio de la empresa es el 20 % del precio de venta, ¿cuál es el beneficio de una máquina que cuesta 4 250 €?

b) ¿Cuál debe ser el precio de venta de esa máquina si la empresa quiere ganar un 20 %?

c) Si un cliente pide un descuento para comprar esa máquina, y la empresa decide reducirle el precio un 5 %, ¿cuál es el precio final de la máquina?

d) Para realizar ese descuento, delante del cliente, sin perjudicar sus ganancias, a su gerente, Joaquín Cárdenas, se le ha ocurrido una idea:

Al precio que nosotros compramos las máquinas le incrementaremos un 25 %. Así, cuando el cliente venga a comprar le rebajaremos un 5 % del precio y nuestros beneficios seguirán siendo los mismos.

¿Cuál será ahora el precio de venta de la máquina de 4 250 €?

e) ¿A cuánto ascenderá la rebaja que se hará delante del cliente? ¿Cuál será el precio final que pagará el cliente por la máquina?

f ) ¿A cuánto ascenderán los beneficios de la venta para la empresa?

g) ¿Crees que con la idea del gerente los beneficios seguirán siendo los mismos?


485

8



Sociales y cívicas


1



Actividades



1y2



1y2



1y2


1y2


1y2


1y2


La compra de comida para abastecer... a) 1,15 +

1,15 = 1,725 € 2

b) 1,15 ? 2 = 2,30 € 30 % de 2,30 € = 0,69 € Precio final = 2,30 - 0,69 = 1,61 €

486


c) 2 ? 1,15 = 2,30 € y nos regalan 1 botella. d) Con la oferta compramos una y la segunda a mitad de precio:

Si 2 botellas cuestan 1,725 €, 6 botellas cuestan: 1,725 ? 3 = 5,175 €

Con la oferta 30 % de descuento: 1,15 ? 6 ? 0,70 = 4,83 €

Con la oferta de 3 × 2: Si 3 botellas cuestan 2,30 €, 6 botellas cuestan: 2 ? 2,30 = 4,60 €

Con la oferta de 6 × 5: 5 ? 1,15 = 5,75 €

e) Con la oferta compramos una y la segunda a mitad de precio:

2

Oferta del 30 % de descuento: 1,15 ? 240 ? 0,70 = 193,20 €

Con la oferta de 3 × 2: 240 ? 2,30 = 184 * 3

Con la oferta de 6 × 5: 240 ? 5,75 = 230 * 6

La oferta más ventajosa es la de 3 × 2.

240 ? 1,725 = 207 * 2

Maquinaria Torreón compra máquinas... a) 4 250 ? 0,20 = 850 € de beneficio b) 4 250 + 4 250 ? 0,20 = 5 100 € debe ser el precio de venta. c) 5 100 - 5 100 ? 0,05 = 4 845 € precio final de la máquina. d) 4 250 + 0,25 ? 4 250 = 5 312,50 € e) 5 312,5 ? 0,05 = 265,625 € rebaja delante del cliente. 5 312,5 - 265,625 = 5 046,875 € precio final que pagará. f) 5 046,875 - 4 250 = 796,875 € beneficio para la empresa. g) No son los mismos, con la segunda opción ganan menos que con la primera.



487

9

PRUEBA B


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Dado el punto P exterior a una recta r, traza la perpendicular de P a r y explica cómo lo has hecho. P

r

2

El ángulo adyacente a un ángulo de 135° mide: a) 35° b) 45° c) 55° d) 65°

3

El suplementario de un ángulo de 35° es un ángulo de: a) 55°

4

b) 65°

c) 145°

d) 165°

El complementario de un ángulo de 85° es un ángulo de: a) 115° b) 95° c) 15° d) 5°

5

Dibuja un ángulo de 120° y otro de 30° y calcula de forma gráfica la suma y la resta de estos dos ángulos.

488


6

Dibuja los siguientes ángulos: a) 40°

7

Expresa en segundos. a) 22° 32’ 14”

8

b) 70°

b) 14° 23’ 45”

Realiza esta operación. 35° 14’ + 56’ 14”

9

Si tenemos el ángulo AV = 45°11’, ¿cuánto medirá el triple de AV?


489

9

PRUEBA A


Nombre:

1

Curso:

Fecha:


r

2

El ángulo adyacente a un ángulo de 135° mide: a) 35° b) 45° c) 55° d) 65°

3


4

b) 65°

c) 145°

d) 165°

El complementario de un ángulo de 85° es un ángulo de: a) 115° b) 95° c) 15° d) 5°

5

El ángulo opuesto por el vértice a un ángulo recto mide: a) 90° b) 180° c) 270° d) 360°

6

Dibuja un ángulo de 120° y otro de 30° y calcula de forma gráfica la suma y la resta de estos dos ángulos.

490


7


8

c) 110°

b) 14° 23’ 45”

c) 27,654°


9

b) 70°

Realiza estas operaciones. a) 35° 14’ + 56’ 14”

b) 31° 14’ 16” + 17° 25’

10

Si tenemos un ángulo AV = 108° 13’ 40”, ¿Cuánto medirá el ángulo triple de AV?

11

En la siguiente figura, el ángulo AV vale 41° 30’. Calcula el valor del resto de ángulos.

C G

F

B

A

D

E

H


491

9

PRUEBA B


1


Actividades



7, 8 y 9



7, 8 y 9

B.3-1. Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

B.3-1.1. Reconoce y describe las propiedades características de los polígonos regulares: ángulos interiores, ángulos centrales, diagonales, apotema, simetrías, etc.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9


r

2

El ángulo adyacente a un ángulo de 135° mide: a) 35° b) 45° c) 55° d) 65° La respuesta correcta es b).

3


b) 65°

c) 145°

d) 165°

La respuesta correcta es c).

492


4

El complementario de un ángulo de 85° es un ángulo de: 95° c) 15° d) 5° b) 115° a) La respuesta correcta es d).

5

Dibuja un ángulo de 120° y otro de 30° y calcula de forma gráfica la suma y la resta de estos dos ángulos. 120º

120º 30º

150º 30º 30º

120º

Ángulo de 120° Ángulo de 30° Suma: 120° + 30° = 150°

6

8

Diferencia: 120° - 30° = 90°

Dibuja los siguientes ángulos. a) 40°

7

90º

b) 70°


b) 14° 23’ 45”

a) 22° 32’ 14” = 81 134”

b) 14° 23’ 45” = 51 825”

Realiza esta operación. 35° 14’ + 56’ 14” = 36° 10’ 14”

9

Si tenemos el ángulo AV = 45°11’, ¿cuánto medirá el triple de AV? Multiplicamos por 3 " 3 ? 45° 11’ = 135° 33’



493

9

PRUEBA A


1


Actividades



7, 8 y 9



7, 8 y 9



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9 y 10


r

2

El ángulo adyacente a un ángulo de 135° mide: a) 35° b) 45° c) 55° d) 65° La respuesta correcta es b).

3


b) 65°

c) 145°

d) 165°

La respuesta correcta es c).

4

El complementario de un ángulo de 85° es un ángulo de: a) 115° b) 95° c) 15° d) 5° La respuesta correcta es d).

494


5

El ángulo opuesto por el vértice a un ángulo recto mide: 180° c) 270° d) 360° 90° b) a) La respuesta correcta es a).

6

Dibuja un ángulo de 120° y otro de 30° y calcula de forma gráfica la suma y la resta de estos dos ángulos. 120º

120º 30º

150º 30º 120º

30º

Ángulo de 120° Ángulo de 30° Suma: 120° + 30° = 150°

7

9

Diferencia: 120° - 30° = 90°


8

90º

b) 70°

c) 110°


b) 14° 23’ 45”

c) 27,654°

a) 22° 32’ 14” = 81 134”

b) 14° 23’ 45” = 51 825”

c) 27,654° = 99 554,4”


10

a) 35° 14’ + 56’ 14”

b) 31° 14’ 16” + 17° 25’

a) 35° 14’ + 56’ 14” = 36° 10’ 14”

b) 31° 14’ 16 ” + 17° 25’ = 48° 39’ 16”

Si tenemos un ángulo AV = 108° 13’ 40”, ¿cuánto medirá el ángulo triple de AV? Multiplicamos por 3 " 3 ? 108° 13’ 40” = 324° 41’

11

V vale 41° 30’. Calcula el valor del resto de ángulos. En la siguiente figura, el ángulo A

C G

V = 41° 30’ A V E = 41° 30’

V = 138° 30’ B V F = 138° 30’

F

B

A

D

E

H

V = 41° 30’ C V = 41° 30’ G

V = 138° 30’ D V = 138° 30’ H



495

9


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Los habitantes de Villa Mayor y Villa Menor discuten sobre la construcción de una autopista. Según los proyectos, la autopista tendrá una única salida que irá a los dos pueblos.

Villa Mayor es un pueblo grande, con poca población anciana, casi todos sus habitantes trabajan en la industria y en el comercio, y tiene varios polígonos industriales. Por su parte, Villa Menor es un pueblo pequeño, la mayor parte de la población está jubilada, y los habitantes que aún no lo están se dedican casi íntegramente a la agricultura. Sus alcaldes no se ponen de acuerdo.

La salida tiene que estar más cerca de Villa Mayor porque nosotros tenemos un polígono industrial con mucho tráfico.

En Villa Menor tenemos una población muy envejecida y con mala salud y necesitamos la máxima rapidez en las comunicaciones.

a) ¿Por qué opina el alcalde de Villa Mayor que la salida debe estar más cerca de su pueblo?

b) ¿Por qué opina el alcalde de Villa Menor que la salida debe estar más cerca de su pueblo?

c) Si los técnicos deciden que la salida se colocará a la misma distancia de los dos pueblos, ¿dónde hay que colocarla?

d) ¿Crees que es justo colocar la salida a la misma distancia de los dos pueblos?

496


2

Todos los telediarios de las televisiones nacionales han informado de los resultados de las elecciones de ayer.

La manera de presentar los resultados ha variado. En la mayoría dan el reparto de escaños mediante una tabla en la que aparece el partido y el resultado obtenido.

NÚMERO DE ESCAÑOS

AB AC AD

120 200 40

Y solo una cadena de televisión ha dispuesto los resultados mediante un gráfico, en el cual el reparto de escaños es proporcional al ángulo que ocupan.

NÚMERO DE ESCAÑOS

AB 120

AC 200 40 AD

a) ¿Cuántos escaños ha recibido cada uno de los partidos AB, AC y AD?

b) Si el gráfico representa los 360 escaños totales, ¿cuántos grados le corresponden a la representación de un escaño?

c) ¿Crees que son correctos los datos representados?


497

9





Actividades




1y2

Sociales y cívicas



1y2


1y2


1y2


1y2


1


Los habitantes de Villa Mayor y Villa Menor discuten... a) Porque, al tener un polígono industrial, existen muchos más desplazamientos en esta localidad. b) Porque al tener una población envejecida, el riesgo de enfermedad es mayor y necesita traslados rápidos. c) Trazando la mediatriz del segmento que une los dos pueblos, la distancia de cada pueblo a un punto de la mediatriz es la misma.

d) Respuesta abierta. Por ejemplo: • Es justo, porque así todos los habitantes tienen las mismas ventajas. • Es injusto porque los desplazamientos por enfermedad deberían ser prioritarios.

498


2

Todos los telediarios de las televisiones nacionales... a) AB ha recibido 120 escaños; AC, 200 escaños, y AD, 40 escaños. b) 180° representan 360 escaños, luego 1° representa 2 escaños. c) 1°

x

representa

" 2 escaños " 40 escaños

x = 20° representa AD. 60° representa AB y 100° representa AC.

Los datos están bien representados, porque los ángulos son correctos.



499

10

PRUEBA B


1

b)

a)

Nombre:

Fecha:

Señala cuáles de las figuras son un polígono y, en los casos en que lo sean, indica el tipo de polígono en función del número de lados. e) f) d)

a)

a)

b)

c)

e)

d)

d)

c)

b)

a)b)

a)

c)

c) f)

d)

e)

e)

f)

f)

b)

2

c)

Curso:

d)

Un triángulo con los tres lados diferentes se denomina: a) Equilátero.

c) Isósceles.

b) Equiángulo.

d) Escaleno.

3

¿Puede existir un triángulo con un ángulo de 36° y otro de 123°? ¿Y un triángulo con dos ángulos de 90°?

4

Dos triángulos que poseen los mismos ángulos, ¿son siempre iguales? Razona tu respuesta.

5

& En el triángulo ABC traza, mediante la regla y el compás, la mediatriz del lado AB y la altura trazada desde el vértice C. C

500

A

B


6

Construye la circunferencia circunscrita al triángulo de la figura.

C

A

B

7

Dibuja una señal de STOP. ¿Qué tipo de polígono es? Si se quisieran hacer señales de STOP de diferentes tamaños, ¿variaría el tamaño de los ángulos en cada una de ellas?

8

Dibuja un pentágono regular y traza sus diagonales. Al trazarlas obtienes una estrella, ¿qué tipo de polígono es? ¿Es cóncavo o convexo?


501

10

PRUEBA A


Nombre:

1

Curso:

Señala cuáles de las figuras son un polígono y, en los casos en que lo sean, indica el tipo de polígono en función del número de lados. a)

c) e)

b)

2

3

Fecha:

d)

f )


c) Isósceles.

b) Equiángulo.

d) Escaleno.

Un triángulo con dos ángulos de 20° es un triángulo: a) Equiángulo.

c) Acutángulo.

b) Rectángulo.

d) Obtusángulo.

4

Dos triángulos que poseen los mismos ángulos, ¿son siempre iguales? Razona tu respuesta.

5

& En el triángulo ABC traza, mediante la regla y el compás, la mediatriz del lado AB y la altura trazada desde el vértice C.

C

502

A

B


6

Construye la circunferencia circunscrita al triángulo de la figura.

C

A

B

7

Dibuja una señal de CEDA EL PASO. ¿Qué tipo de polígono es? Si se quisieran hacer señales de CEDA EL PASO de diferentes tamaños, ¿variaría el tamaño de los ángulos en cada una de ellas?

8

Dibuja un pentágono regular y traza sus diagonales. Al trazarlas obtienes una estrella, ¿qué tipo de polígono es? ¿Cómo son los ángulos del polígono que se forma en el interior de la estrella respecto a los ángulos del pentágono regular original?


503

10

PRUEBA B


1


Actividades



7y8

B.3-1.2. Define los elementos característicos de los triángulos, trazando los mismos y conociendo la propiedad común a cada uno de ellos, y los clasifica atendiendo tanto a sus lados como a sus ángulos.

2, 3, 4, 5 y 6



1, 7 y 8

Señala cuáles de las figuras son un polígono y, en los casos en que lo sean, indica el tipo de polígono en función del número de lados.

a)

c)

Pentágono Cuadrilátero

b)

d)

Hexágono No polígono

2


c) Isósceles.

b) Equiángulo.

d) Escaleno.

La respuesta correcta es d).

3

¿Puede existir un triángulo con un ángulo de 36° y otro de 123°? ¿Y un triángulo con dos ángulos de 90°? Un triángulo con un ángulo de 36° y otro de 123° puede existir ya que: 36° + 123° = 159° < 180° Un triángulo dos ángulos de 90° no puede existir, ya que 90° + 90° = 180° no es menor que 180°.

504


4

Dos triángulos que poseen los mismos ángulos, ¿son siempre iguales? Razona tu respuesta. No tienen por qué ser iguales. Por ejemplo, dos triángulos semejantes tienen los mismos ángulos, pero las longitudes de sus lados son diferentes.

5

Mediatriz: trazamos con el compás dos arcos del mismo radio, con centro en A y en B. Uniendo los puntos de corte obtenemos la recta r.

Altura: se puede trazar con la regla y la escuadra, y como es paralela a la anterior, se puede trazar también con la regla y la escuadra o el cartabón una vez se haya realizado la mediatriz.

6

r

&

En el triángulo ABC traza, mediante la regla y el compás, la mediatriz del lado AB y la altura trazada desde el vértice C.

C s

A

La señal de STOP es un octógono regular.

No variarían los ángulos, variaría la longitud de los lados, pero los ángulos se conservarían.

A

B

Dibuja una señal de STOP. ¿Qué tipo de polígono es? Si se quisieran hacer señales de STOP de diferentes tamaños, ¿variaría el tamaño de los ángulos en cada una de ellas?

8

C

Construye la circunferencia circunscrita al triángulo de la figura. Se trazan las mediatrices de los lados. El punto de corte será el circuncentro, y el radio, la distancia entre este punto y un vértice cualquiera.

7

B

Dibuja un pentágono regular y traza sus diagonales. Al trazarlas obtienes una estrella, ¿qué tipo de polígono es? ¿Es cóncavo o convexo? La estrella que se obtiene al trazar las diagonales tiene 10 lados, por lo tanto es un decágono. Es un polígono cóncavo.



505

10

PRUEBA A


1


Actividades



7y8


2, 3, 4, 5 y 6



1, 7 y 8

Señala cuáles de las figuras son un polígono y, en los casos en que lo sean, indica el tipo de polígono en función del número de lados.

a)

c) e)

No polígono Decágono Cuadrilátero

b)

d)

f )

Pentágono Hexágono No polígono

2


c) Isósceles.

b) Equiángulo.

d) Escaleno.


3

Un triángulo con dos ángulos de 20° es un triángulo: a) Equiángulo.

c) Acutángulo.

b) Rectángulo.

d) Obtusángulo.


506


4

Dos triángulos que poseen los mismos ángulos, ¿son siempre iguales? Razona tu respuesta. No tienen por qué ser iguales. Por ejemplo, dos triángulos semejantes tienen los mismos ángulos, pero las longitudes de sus lados son diferentes.

5

Mediatriz: trazamos con el compás dos arcos del mismo radio, con centro en A y en B. Uniendo los puntos de corte obtenemos la recta r.

Altura: se puede trazar con la regla y la escuadra, y como es paralela a la anterior, se puede trazar también con la regla y la escuadra o el cartabón una vez se haya realizado la mediatriz.

6

r

&

En el triángulo ABC traza, mediante la regla y el compás, la mediatriz del lado AB y la altura trazada desde el vértice C.

C s

A

A

B

Dibuja una señal de CEDA EL PASO. ¿Qué tipo de polígono es? Si se quisieran hacer señales de CEDA EL PASO de diferentes tamaños, ¿variaría el tamaño de los ángulos en cada una de ellas?

Es un triángulo equilátero invertido.

No variarían los ángulos, variaría la longitud de los lados, pero los ángulos se conservarían.

8

C

Construye la circunferencia circunscrita al triángulo de la figura. Se trazan las mediatrices de los lados. El punto de corte será el circuncentro, y el radio, la distancia entre este punto y un vértice cualquiera.

7

B

Dibuja un pentágono regular y traza sus diagonales. Al trazarlas obtienes una estrella, ¿qué tipo de polígono es? ¿Cómo son los ángulos del polígono que se forma en el interior de la estrella respecto a los ángulos del pentágono regular original? La estrella que se obtiene al trazar las diagonales tiene 10 lados, por lo tanto es un decágono. El polígono que se forma en el interior de la estrella es un pentágono regular, sus ángulos medirán lo mismo que los ángulos del pentágono inicial.



507

10


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Las dimensiones de un televisor vienen indicadas por la longitud de su diagonal, que se expresa en pulgadas, y para obtener su longitud en centímetros hay que considerar que cada pulgada tiene 2,54 cm.

Por otro lado, también hay que considerar el formato del televisor. El formato establece la relación que hay entre la altura y el ancho del aparato.

Un televisor con formato 9:16 significa que por cada 9 cm que la pantalla mide de altura, tiene 16 cm de ancho.

a) Si el televisor es de 32 pulgadas, ¿cuántos centímetros mide su diagonal?

508


b) Si el televisor tiene un formato 9:16, y en las especificaciones técnicas se indica que mide 46,48 cm de ancho, ¿cuál es su altura?

c) Calcula las dimensiones de un televisor de 32 pulgadas con formato 9:16. Ten en cuenta que se cumple la relación: diagonal2 = alto2 + ancho2.

d) Tengo que colocar el televisor en el hueco de un mueble que mide 80 cm de ancho y 60 cm de alto. ¿Puedo tener un televisor de 40 pulgadas con formato 9:16?


509

10



Sociales y cívicas


510



Actividades


B.3-1.3. Clasifica los cuadriláteros y paralelogramos atendiendo al paralelismo entre sus lados opuestos y conociendo sus propiedades referentes a ángulos, lados y diagonales.

1

B3.-1.4. Identifica las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la circunferencia y el círculo.

1


1


1


1


1


1




1

a) Diagonal = 32 ? 2,54 = 81,28 cm 9 ? 46,48 b) 9 cm de alto " 16 cm de ancho 3 x= = 26,145 cm x 16 " 46,48 cm de ancho "

La altura del televisor es de 26,15 cm, aproximadamente.

c) Llamamos x a la altura del televisor, si el formato es 9:16, entonces su anchura

Aplicando la relación dada:

x2 + d

337x 2 = 535 121,5104 " x =

Anchura =

16 ? x . 9

256x 2 16 ? x 2 = 6 606,4384 n = 81,28 2 x 2 + 81 9 535 121,5104 337

= 39,85 cm de altura

16 ? 39,85 = 70,84 cm 9

d) Las medidas de un televisor de 40 pulgadas con formato 9:16 son: Diagonal = 40 ? 2,54 = 101,6 cm

Por la relación dada en el apartado anterior:

x2 + d

337x 2 = 836 127,36 " x =

Anchura =

El ancho del televisor (88,55 cm) sobrepasa el ancho del hueco (80 cm).

256x 2 16 ? x 2 = 10 322,56 n = 101,6 2 x 2 + 81 9 836 127,36 337

= 49,81cm de altura

16 ? 49,81 = 88,55 cm 9



511

11

PRUEBA B


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Razona cuáles de las afirmaciones son ciertas. En caso de que sean falsas, escribe la verdadera. a) Un cuadrilátero con los cuatro lados iguales se llama rombo. b) Un cuadrilátero que tiene los lados paralelos, dos a dos, es un trapezoide. c) Un rectángulo no es un paralelogramo. d) Un trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos.

2

¿Puede existir un paralelogramo con todos sus lados de distinta longitud? ¿Y un trapecio?

3

Dibuja una circunferencia de radio 3 cm y haz un cuadrado inscrito en la circunferencia. ¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado?

4

Tenemos dos triángulos isósceles iguales. ¿Es posible unirlos por alguno de sus lados y formar un cuadrilátero cóncavo? Dibuja dos triángulos que al unirlos formen un cuadrilátero cóncavo.

5

Estoy haciendo un plano de mi habitación que tiene 4 paredes. No sabía cómo medir los ángulos de las esquinas y me he inventado un método que creo que funciona. Los resultados que he obtenido son un ángulo de 72°, dos de 98° y uno de 100°. ¿Es válido el método que he diseñado?

512


6

Una circunferencia y una recta que se cortan en un punto son: a) Secantes. b) Tangentes. c) Interiores. d) Exteriores.

7

¿Existe alguna cuerda que sea mayor que el diámetro de una circunferencia?

8

Una recta pasa por el centro de una circunferencia. ¿En cuántos puntos cortará la recta a la circunferencia?

9

Dibuja un hexágono regular y calcula el valor de su radio.


513

11

PRUEBA A


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Razona cuáles de las afirmaciones son ciertas. En caso de que sean falsas, escribe la verdadera. a) Un cuadrilátero con los cuatro lados iguales se llama rombo. b) Un cuadrilátero que tiene los lados paralelos, dos a dos, es un trapezoide. c) Un rectángulo no es un paralelogramo. d) Un trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos.

2

¿Puede existir un paralelogramo con todos sus lados de distinta longitud? ¿Y un trapecio?

3

Dibuja una circunferencia de radio 2,5 cm y haz un hexágono inscrito en la circunferencia. ¿Cuánto mide la diagonal que une dos vértices opuestos del hexágono?

4

Tenemos dos triángulos isósceles iguales. ¿Es posible unirlos por alguno de sus lados y formar un cuadrilátero cóncavo? Dibuja dos triángulos que al unirlos formen un cuadrilátero cóncavo.

5

Estoy haciendo un plano de mi habitación que tiene 4 paredes. No sabía cómo medir los ángulos de las esquinas y me he inventado un método que creo que funciona. Los resultados que he obtenido son un ángulo de 80°, dos de 85° y uno de 100°. ¿Es válido el método que he diseñado?

514


6

Una circunferencia y una recta que se cortan en un punto son: a) Secantes. b) Tangentes. c) Interiores. d) Exteriores.

7

¿Existe alguna cuerda que sea mayor que el diámetro de una circunferencia?

8


9

Los radios de dos circunferencias tangentes interiores miden 4 cm y 2 cm. Haz un dibujo y calcula la distancia a la que se encuentran sus centros.

10



515

11

PRUEBA B


Criterios de evaluación* B.3-1. Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

Actividades


3


4



1

1, 2

B.3-1.4. Identifica las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la circunferencia y el círculo.

6, 7 y 8


5

Razona cuáles de las afirmaciones son ciertas. En caso de que sean falsas, escribe la verdadera. a) Un cuadrilátero con los cuatro lados iguales se llama rombo. Falso. No todos los cuadriláteros con los 4 lados iguales son rombos; puede ser un cuadrado. b) Un cuadrilátero que tiene los lados paralelos, dos a dos, es un trapezoide. Falso. Es un paralelogramo. c) Un rectángulo no es un paralelogramo. Falso. Sí lo es, ya que sus lados son paralelos. d) Un trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos. Verdadero.

2

¿Puede existir un paralelogramo con todos sus lados de distinta longitud? ¿Y un trapecio? No puede existir un paralelogramo con todos sus lados de distinta longitud; para que tengan sus lados paralelos dos a dos es necesario que esos lados tengan la misma longitud. Un trapecio sí puede tener todos sus lados de distinta longitud.

3

Dibuja una circunferencia de radio 3 cm y haz un cuadrado inscrito en la circunferencia. ¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado? Hacemos una circunferencia de radio 3 y trazamos dos diámetros perpendiculares. Unimos los puntos en que estos diámetros cortan a la circunferencia y tenemos el cuadrado. La diagonal mide lo mismo que el diámetro, es decir, 6 cm.

4

Tenemos dos triángulos isósceles iguales. ¿Es posible unirlos por alguno de sus lados y formar un cuadrilátero cóncavo? Dibuja dos triángulos que al unirlos formen un cuadrilátero cóncavo. Para formar un cuadrilátero tenemos que unirlos por lados que midan lo mismo. Al juntar dos triángulos isósceles, si los juntamos por el lado desigual tenemos un cuadrilátero con los cuatro lados iguales que no es cóncavo. Si los juntamos los lados que son iguales, se forma un paralelogramo, que tampoco es cóncavo. Para obtener un cuadrilátero cóncavo basta con dibujar dos triángulos escalenos obtusángulos y unirlos por el mayor de los lados que forma el triángulo obtuso.

516


5

Estoy haciendo un plano de mi habitación que tiene 4 paredes. No sabía cómo medir los ángulos de las esquinas y me he inventado un método que creo que funciona. Los resultados que he obtenido son un ángulo de 72°, dos de 98° y uno de 100°. ¿Es válido el método que he diseñado? Los ángulos suman: 72° + 98° + 98° + 100° = 368°. El método no es del todo preciso, porque los ángulos suman más de 360°, por lo tanto no es posible que esos ángulos formen un cuadrilátero.

6

Una circunferencia y una recta que se cortan en un punto son: a) Secantes. b) Tangentes. c) Interiores. d) Exteriores. La respuesta correcta es b).

7

¿Existe alguna cuerda que sea mayor que el diámetro de una circunferencia? No, el diámetro es la cuerda de mayor tamaño.

8

Una recta pasa por el centro de una circunferencia. ¿En cuántos puntos cortará la recta a la circunferencia? La recta tendrá que atravesar la circunferencia para pasar por el centro, por lo tanto, la cortará en dos puntos; es secante.

9


El radio del hexágono coincide con el radio de la circunferencia que lo circunscribe.



517

11

PRUEBA A

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES Criterios de evaluación



Actividades


3


4



1

1, 2


6, 7, 8 y 9


5

Razona cuáles de las afirmaciones son ciertas. En caso de que sean falsas, escribe la verdadera. a) Un cuadrilátero con los cuatro lados iguales se llama rombo. Falso. No todos los cuadriláteros con los 4 lados iguales son rombos; puede ser un cuadrado. b) Un cuadrilátero que tiene los lados paralelos, dos a dos, es un trapezoide. Falso. Es un paralelogramo. c) Un rectángulo no es un paralelogramo. Falso. Sí lo es, ya que sus lados son paralelos. d) Un trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos. Verdadero.

2

¿Puede existir un paralelogramo con todos sus lados de distinta longitud? ¿Y un trapecio? No puede existir un paralelogramo con todos sus lados de distinta longitud; para que tengan sus lados paralelos dos a dos es necesario que esos lados tengan la misma longitud. Un trapecio sí puede tener todos sus lados de distinta longitud.

3

Dibuja una circunferencia de radio 2,5 cm y haz un hexágono inscrito en la circunferencia. ¿Cuánto mide la diagonal que une dos vértices opuestos del hexágono? Hacemos una circunferencia de radio 2,5 y con la medida del radio hacemos marcas consecutivas en la circunferencia, las unimos y tenemos un hexágono regular. La diagonal que une vértices opuestos mide lo mismo que el diámetro, 5 cm.

4

Tenemos dos triángulos isósceles iguales. ¿Es posible unirlos por alguno de sus lados y formar un cuadrilátero cóncavo? Dibuja dos triángulos que al unirlos formen un cuadrilátero cóncavo. Para formar un cuadrilátero tenemos que unirlos por lados que midan lo mismo. Al juntar dos triángulos isósceles, si los juntamos por el lado desigual tenemos un cuadrilátero con los cuatro lados iguales que no es cóncavo. Si los juntamos los lados que son iguales, se forma un paralelogramo, que tampoco es cóncavo. Para obtener un cuadrilátero cóncavo basta con dibujar dos triángulos escalenos obtusángulos y unirlos por el mayor de los lados que forma el triángulo obtuso.

518


5

Estoy haciendo un plano de mi habitación que tiene 4 paredes. No sabía cómo medir los ángulos de las esquinas y me he inventado un método que creo que funciona. Los resultados que he obtenido son un ángulo de 80°, dos de 85° y uno de 100°. ¿Es válido el método que he diseñado? Los ángulos suman: 80° + 85° + 85° + 100° = 350°. El método no es del todo preciso, porque los ángulos suman menos de 360°, por lo tanto no es posible que esos ángulos formen un cuadrilátero.

6

Una circunferencia y una recta que se cortan en un punto son: a) Secantes. b) Tangentes. c) Interiores. d) Exteriores. La respuesta correcta es b).

7

¿Existe alguna cuerda que sea mayor que el diámetro de una circunferencia? No, el diámetro es la cuerda de mayor tamaño.

8


9

Los radios de dos circunferencias tangentes interiores miden 4 cm y 2 cm. Haz un dibujo y calcula la distancia a la que se encuentran sus centros.

La recta tendrá que atravesar la circunferencia para pasar por el centro, por lo tanto, la cortará en dos puntos; es secante.

La distancia entre los centros será de 2 cm.

2 cm

C

10

4 cm C’


El radio del hexágono coincide con el radio de la circunferencia.



519

11 Nombre:

1

EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS Curso:

Fecha:

La iglesia de Villagrande tiene una enorme vidriera cuadrada rematada con un arco, es del siglo XVIII y tiene gran valor artístico.

El ayuntamiento de la localidad ha decidido protegerla con una malla metálica que impida a las palomas acceder a ella. Como la malla metálica es casi imperceptible desde el exterior, se ha decidido que sea de forma rectangular y que tape por completo la vidriera.

a) ¿Qué relación habrá entre el ancho de la vidriera y el ancho de la malla metálica?

b) Si pudiésemos medir la altura de la vidriera, ¿en qué punto de la base habría que situar la cinta métrica para medirla?

520


c) En los antiguos archivos de la iglesia han encontrado este croquis de la vidriera. Describe las figuras que lo forman.

1,41 m

2m 1m 2m

d) El herrero encargado de fabricar la malla metálica tiene un trozo de malla cuadrado de 2,25 m de lado. ¿Tendrá malla suficiente para cubrir la vidriera?


521

11



Sociales y cívicas


522



Actividades



1


1


1


1


1


1


1




1

La iglesia de Villagrande tiene una enorme vidriera... a) Deben tener la misma longitud. b) En el punto medio de la base.

c) La vidriera está formada por dos trapecios rectángulos de bases 1 m y 2 m y altura 1 m, y la cuarta parte de una circunferencia de radio 1,41 m. d) El rectángulo tiene como dimensiones: base = 1 + 1 = 2 m altura = 1 + 1,4142 = 2,4142 m

La malla del herrero no tiene la altura suficiente.



523

12

PRUEBA B


Nombre:

Curso:

Fecha:

1

Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus longitudes.

2

¿Cuál es la longitud de un arco de 36° correspondiente a una circunferencia de 10 cm de radio?

3

Calcula la longitud de la curva.

3 cm

4

Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 8 m.

5

Una parcela de forma rectangular está vallada mediante un alambre de 600 m de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, ¿cuál es su área?

6

Calcula el área de un rombo si sus diagonales miden 4 cm y 5 cm.

524


7

Una habitación tiene forma de trapecio rectángulo y sus medidas son las de la figura. Calcula su área. 8m

10,5 m

9m

8

Halla el área de un octógono regular si su lado mide 2 m y su apotema 2,41 m.

9

Calcula el área de la parte sombreada de la siguiente figura.

4m


525

12

PRUEBA A


Nombre:

Curso:

Fecha:

1

Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus longitudes. Si el radio de la segunda circunferencia es el doble que el de la primera, ¿cómo son entre sí las longitudes de ambas circunferencias?

2

¿Cuál es la longitud de un arco de 36° correspondiente a una circunferencia de 10 cm de radio?

3


3 cm

4

La longitud del arco de una circunferencia de 10 cm de radio es 40 cm. ¿Cuál es la amplitud del arco?

5

Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 3 dam y 6 m.

6

Una parcela de forma rectangular está vallada mediante un alambre de 600 m de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, ¿cuál es su área?

7

Calcula el área de un rombo si sus diagonales miden 4 cm y 5 cm.

526


8


10,5 m

9

9m

Halla el área de un octógono regular si su lado mide 2 m y su apotema 2,41 m.

10


4m

11

Obtén el área de la figura a partir de sus longitudes.

5 cm

3 cm 3 cm

3 cm

6 cm


3,5 cm

527

12

1

PRUEBA B



Actividades



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8y9

B.3-6. Resolver problemas que conlleven el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes del mundo físico, utilizando propiedades, regularidades y relaciones de los poliedros.

B.3-6.1. Resuelve problemas de la realidad mediante el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, utilizando los lenguajes geométrico y algebraico adecuados.

Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus longitudes.

r = 2 cm C

2

R = 4 cm C’

L = 2pr = 2 ? 3,14 ? 2 = 12,56 cm

L9 = 2pr = 2 ? 3,14 ? 4 = 25,12 cm

¿Cuál es la longitud de un arco de 36° correspondiente a una circunferencia de 10 cm de radio? L1 =

3

5

2 ? p ? 36 ? 10 = 6,28 cm 360


3 cm

Son 3 semicircunferencias de radio 0,5 cm. Por tanto, la longitud será: L = 3 ? p ? r = 3 ? 3,14 ? 0,5 = 4,71 cm 4

Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 8 m. El lado será

5

1 8 del perímero = = 2 m. Por tanto el área del cuadrado será, A = 4 m2 4 4

Una parcela de forma rectangular está vallada mediante un alambre de 600 m de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, ¿cuál es su área? P = 2(x + 2x) = 6x = 600 " x = 100 m " A = 100 ? 200 = 20 000 m2

6

2x x

Calcula el área de un rombo si sus diagonales miden 4 cm y 5 cm. A=

528

D?d 4?5 = = 10 cm 2 2 2


7


10,5 m

9m

Se calcula el área del trapecio: A = 8

Halla el área de un octógono regular si su lado mide 2 m y su apotema 2,41 m. Se aplica la fórmula: A =

9

10,5 + 9 B+b ?h = ? 8 = 78 m 2 2 2

P?a 2 ? 8 ? 2,41 = = 19,28 m 2 . 2 2


4m

Se restan las áreas de ambos recintos: A = 42 - p ? 22 = 3,43 m2.



529

12

1

PRUEBA A

SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES Criterios de evaluación


Actividades



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11



Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus longitudes. Si el radio de la segunda circunferencia es el doble que el de la primera, ¿cómo son entre sí las longitudes de ambas circunferencias?

R = 4 cm

r = 2 cm C

2

C’

L = 2pr = 2 ? 3,14 ? 2 = 12,56 cm

L9 = 2pR = 2 ? 3,14 ? 4 = 25,12 cm " L9 = 2 L

¿Cuál es la longitud de un arco de 36° correspondiente a una circunferencia de 10 cm de radio? L1 =

3

6

2 ? p ? 36 ? 10 = 6,28 cm 360


3 cm

Son 3 semicircunferencias de radio 0,5 cm. Por tanto, la longitud será: L = 3 ? p ? r = 3 ? 3,14 ? 0,5 = 4,71 cm 4

La longitud del arco de una circunferencia de 10 cm de radio es 40 cm. ¿Cuál es la amplitud del arco? L = 40 =

5

40 ? 360 2 ? p ? 10 ?n"n= = 229,3° = 229° 17 9 58 0 360 20 ? 3,14

Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 3 dam y 6 m. El lado será

6

1 3 dam 6 m 36 del perímetro: = 9 m, y el área del cuadrado, A = 81 m2. = 4 4 4

Una parcela de forma rectangular está vallada mediante un alambre de 600 m de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, ¿cuál es su área? P = 2(x + 2x) = 6x = 600 " x = 100 m " A = 100 ? 200 = 20 000 m2

7

2x x

Calcula el área de un rombo si sus diagonales miden 4 cm y 5 cm. A=

530

D?d 4?5 = = 10 cm 2 2 2


8


10,5 m

9m

Se calcula el área del trapecio: A = 9

10,5 + 9 B+b ?h = ? 8 = 78 m 2. 2 2

Halla el área de un octógono regular si su lado mide 2 m y su apotema 2,41 m. Se aplica la fórmula: A =

10

P?a 2 ? 8 ? 2,41 = = 19,28 m 2 . 2 2


4m

Se restan las áreas de ambos recintos: A = 42 - p ? 22 = 3,43 m2. 11

Obtén el área de la figura a partir de sus longitudes.

5 cm

3 cm 3 cm

3 cm

6 cm

3,5 cm

A = (15,5 ? 5) - e

3?3 6?3 o = 64 cm2 + 2 2



531

12


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Tras varios años trabajando en una empresa de decoración, Jacinto ha decidido montar su propia empresa. Su primer trabajo es pintar la planta superior de una casa rural, donde ha tomado estas notas:

■

Dos paredes iguales en forma de 6,6 m

trapecio.

4,6 m

3,2 m

8,2 m

Dos paredes rectangulares, una de 13 x 4,6 m, y la otra de 13 x 3,2 m, ■

3 ventanas

con:

2 ventanas

1,8 m

G

F

0,6 m

0,4 m GF

0,4 m

1m

■ También tiene que pint ar el techo de la habitación (no hay ventanas).

a) ¿Cuánto miden las superficies que se van a pintar? ¿Y el perímetro de las ventanas?

b) Haz un presupuesto con estos datos:

Cinta adhesiva para no manchar los contornos de las ventanas ...... 2,40 €/m 2 Pintura ............................................... 2,60 €/m 2 Mano de obra ................................... 4,80 €/m

c) Jacinto presenta otro presupuesto de 1 500 € en el que no incluye la pintura, ¿qué presupuesto consideras que es más conveniente?

532


2

Lee la siguiente noticia:

Nuevo desastre ecológico

Varias grietas en el casco del petrolero Orosucio provocan el vertido de miles de litros de fuel en el puerto de Feixó.

Los vertidos se produjeron durante la noche y fueron advertidos por los vigilante s del puerto. Se han puesto en marcha medidas de emergencia encaminadas a tapar la salida del puerto para impedir que el fuel se extienda por el mar.

Los técnicos estiman que la superficie del puerto podría estar limpia en 18 horas y advierten que les será imposible limpiar más de 6 ha por hora. Si se sobrepasase este tiempo, el petróleo rebasaría la entrada del puerto y sería irremediable su extensión por el mar.

1,2 km

0m 73

a) ¿Qué forma tiene el puerto? b) ¿Cuánta superficie se puede limpiar en una hora? c) ¿En cuánto tiempo se estima que puede estar limpio el puerto? d) Si la superficie del puerto es 1 424 153 m2 ¿crees que son ciertas las informaciones que proporcionan los técnicos?


533

12



Sociales y cívicas


534



Actividades



1y2

B.3-3. Reconocer el significado aritmético del Teorema de Pitágoras (cuadrados de números, ternas pitagóricas) y el significado geométrico (áreas de cuadrados construidos sobre los lados) y emplearlo para resolver problemas geométricos.

B.3-3.2. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular longitudes desconocidas en la resolución de triángulos y áreas de polígonos regulares, en contextos geométricos o en contextos reales.

2



1y2



1y2


1y2


1y2


1y2



1

Tras varios años trabajando en una empresa... a) Área de la pared con forma de trapecio: 8,2 + 6,6 ? 3,2 = 23,68 m2 Área = 2 Las dos paredes con forma de trapecio tendrán un área de: 47,36 m2

Las dos paredes rectangulares tendrán un área de: 13 ? 4,6 + 13 ? 3,2 = 59,8 + 41,6 = 101,4 m2

Área de la ventana alta = Área del rectángulo + Área del semicírculo = = 1 ? 1,8 +

p ? 0,5 2 = 2,1925 m2 2

Área de la ventana octogonal = Área del cuadrado - Área esquinas = 0,4 ? 0,4 = (0,4 + 0,6 + 0,4)2 - 4 ? = 1,64 m2 2 Área de la zona pintada en las paredes rectangulares: 101,4 - 3 ? 2,1925 - 2 ? 1,64 = 91,5425 m2

Área del techo: 6,6 ? 13 = 85,8 m2

Área total pintada: 47,36 + 91,5425 + 85,8 = 224,7025 m2

Perímetro de la ventana alta: 2 ? 1,8 + 1 + p ? 0,5 = 6,17 m

Lado de la ventana octogonal que no es 0,6 cm: Lado =

0,4 2 + 0,4 2 =

0,32 = 0,57 cm

Perímetro de la ventana octogonal: Perímetro = 4 ? 0,6 + 4 ? 0,57 = 4,68 m

Perímetro total de las ventanas: Perímetro = 3 ? 6,17 + 2 ? 4,68 = 27,87 m

b) Precio de la pintura = 224,7025 ? 2,60 = 584,23 €

Precio de la cinta adhesiva = 27,87 ? 2,40 = 66,89 €

Precio de la mano de obra = 4,80 ? 224,7025 = 1 078,57 €

Presupuesto = 1 078,57 + 66,89 + 584,23 = 1 729,69 € c) 1 500 + 584,23 = 2 084,23 € 2

Este presupuesto es más caro que el presupuesto anterior.

Lee la siguiente noticia... a) Tiene forma de semicírculo. b) Como mucho, se pueden limpiar 6 ha por hora. c) Se estima que puede estar limpio en 18 horas. d) Se pueden limpiar hasta 6 hectáreas por hora = 60 000 m2 por hora.

El tiempo que se tarda en limpiar es: 1 424 153 : 60 000 = 23,7 horas, luego necesitan más de 18 horas para limpiar completamente el puerto.



535

13

PRUEBA B


Nombre:

Curso:

Fecha:

1

Dibuja un plano con coordenadas y representa los puntos A(4, 0), B(3, 3), C(0, 5), D(-3, 3), E(-4, 0), F(-4, -4) y G(4, -4). Únelos entre sí en ese orden. ¿Qué figura se obtiene?

2

Escribe las coordenadas de los puntos del gráfico y responde. a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante? b) ¿Cuáles están en el segundo cuadrante? c) ¿Algún punto está sobre los ejes?

Y

D A E

X

C

3

B

En el gráfico se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras. 1) Un cuadrado de 1 cm de lado. 2) Un círculo de 1 cm de radio. 3) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales. Señala en cada caso a cuál corresponde cada punto. (1) " A

3

(2) " (3) "

2

C

1

B

0 1

536

2

3

4

5

6


4

En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas a lo largo de un día. La gráfica es el registro de la temperatura de un día de invierno. 6 °C

Temperatura

4 °C

A

2 °C

Hora 3

6

12

9

15

18

21

24

22 °C 24 °C

a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura bajo 0 °C? b) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál es esta temperatura? c) ¿En qué tramo decrece la temperatura?

5

En la tabla se reproduce la temperatura de una persona enferma durante la mañana de dos días consecutivos. Hora

6

7

8

9

10

11

12

Día 1

37,6

37,8

38,5

38,8

38,9

39,5

38,4

Día 2

37,5

37,8

38,6

38,4

38,3

38

37,6

a) Haz una gráfica que recoja las temperaturas de ambos días. b) ¿Cuál es la temperatura máxima de cada día? c) ¿En qué momentos tiene la misma temperatura?


537

13

PRUEBA A


Nombre:

Curso:

Fecha:

1

Dibuja un plano con coordenadas y representa los puntos A(4, 0), B(3, 3), C(0, 5), D(-3, 3), E(-4, 0), F(-4, -4) y G(4, -4). Únelos entre sí en ese orden. ¿Qué figura se obtiene?

2

Escribe las coordenadas de los puntos del gráfico y responde. a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante? b) ¿Cuáles están en el segundo cuadrante? c) ¿Algún punto está sobre los ejes? Y

D A E

X

C

3

B

En el gráfico se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras. 1) Un cuadrado de 1 cm de lado. 2) Un círculo de 1 cm de radio. 3) Un triángulo equilátero de 1 cm de lado. 4) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales. 5) Un hexágono de 1 cm de lado. Señala en cada caso a cuál corresponde cada punto.

(1) " A

3

B

2

(3) " (4) "

D

1

1

2

(5) "

C

E

0

538

(2) "

3

4

5

6


4


Temperatura

4 °C

A

2 °C

Hora 3

6

12

9

15

18

21

24

22 °C 24 °C

a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura bajo 0 °C? b) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál es esta temperatura? c) ¿En qué tramo decrece la temperatura?

5

Disponemos de 60 cm de alambre y queremos construir un rectángulo de diferentes dimensiones. Sabemos que si es muy largo tendrá que ser muy estrecho, y viceversa. Haz una tabla con tres columnas en las que se recojan la base, la altura y el perímetro en cada caso y representa estos datos en una gráfica.

6


6

7

8

9

10

11

12

Día 1

37,6

37,8

38,5

38,8

38,9

39,5

38,4

Día 2

37,5

37,8

38,6

38,4

38,3

38

37,6

a) Haz una gráfica que recoja las temperaturas de ambos días. b) ¿Cuál es la temperatura máxima de cada día? c) ¿En qué momentos tiene la misma temperatura?


539

13

PRUEBA B


1




3, 4 y 5

B.4-1. Conocer, manejar e interpretar el sistema de coordenadas cartesianas.

B.4-1.1. Localiza puntos en el plano a partir de sus coordenadas y nombra puntos del plano escribiendo sus coordenadas.

1, 2, 3, 4 y 5

Dibuja un plano con coordenadas y representa los puntos A(4, 0), B(3, 3), C(0, 5), D(-3, 3), E(-4, 0), F(-4, -4) y G(4, -4). Únelos entre sí en ese orden. ¿Qué figura se obtiene? Y C

B

D

X

A

E

F

2

Actividades

Se trata de un heptágono.

G

Escribe las coordenadas de los puntos del gráfico y responde. Y

D A E

X

C

B

A(3, 2), B(1, -3), C(-4, -2) D(-2, 4), E(-3, 0)

a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante? B(1, -3) b) ¿Cuáles están en el segundo cuadrante? D(-2, 4) c) ¿Algún punto está sobre los ejes? E(-3, 0)

3

En el gráfico se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras. 1) Un cuadrado de 1 cm de lado.

A

3

2) Un círculo de 1 cm de radio.

" C

(2)

" A

(3)

" B

2

3) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales. Señala en cada caso a cuál corresponde cada punto.

C

1

B

0 1

540

(1)

2

3

4

5

6


4


Temperatura

4 °C

A

2 °C

Hora 3

6

12

9

15

18

21

24

22 °C 24 °C

a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura bajo 0 °C? De 0 a 2 horas y de 22 a 24 horas: 4 horas. b) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál es esta temperatura? Máxima: a las 13 horas, cuando la temperatura era de 6 °C. c) ¿En qué tramo decrece la temperatura? La temperatura decrece desde las 13 hasta las 24 horas. 5


6

7

8

9

10

11

12

Día 1

37,6

37,8

38,5

38,8

38,9

39,5

38,4

Día 2

37,5

37,8

38,6

38,4

38,3

38

37,6

a) Haz una gráfica que recoja las temperaturas de ambos días. Día 1

Día 2

Máximo día 1

Y 39,5 39

Máximo día 2

38,5 38 37,5

X 6

7

8

9

10

11

12

b) ¿Cuál es la temperatura máxima de cada día?

Temperatura máxima del 1.er día " 39,5°; máxima del 2.° día " 38,6°.

c) ¿En qué momentos tiene la misma temperatura?

Igual temperatura " a las 7 h y a las 8 h 15 min (aprox.)



541

13

PRUEBA A


1




3, 4, 5 y 6



1, 2, 3, 4, 5 y 6

Dibuja un plano con coordenadas y representa los puntos A(4, 0), B(3, 3), C(0, 5), D(-3, 3), E(-4, 0), F(-4, -4) y G(4, -4). Únelos entre sí en ese orden. ¿Qué figura se obtiene? Y C

B

D

A

E

F

2

Actividades

X

Se trata de un heptágono.

G

Escribe las coordenadas de los puntos del gráfico y responde. Y

D A E

X

C

B

A(3, 2), B(1, -3), C(-4, -2) D(-2, 4), E(-3, 0)

a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante? B(1, -3) b) ¿Cuáles están en el segundo cuadrante? D(-2, 4) c) ¿Algún punto está sobre los ejes? E(-3, 0)

3

En el gráfico se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras. 1) Un cuadrado de 1 cm de lado. 2) Un círculo de 1 cm de radio. 3) Un triángulo equilátero de 1 cm de lado.

2

4) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales.

1

5) Un hexágono de 1 cm de lado.

B D

1

2

" D

(2)

" A

(3)

" E

(4)

" C

(5)

" B

C

E

0

Señala en cada caso a cuál corresponde cada punto.

542

A

3

(1)

3

4

5

6


4


Temperatura

4 °C

A

2 °C

Hora 3

6

12

9

15

18

21

24

22 °C 24 °C

a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura bajo 0 °C? De 0 a 2 horas y de 22 a 24 horas: 4 horas. b) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál es esta temperatura? Máxima: a las 13 horas, cuando la temperatura era de 6 °C. c) ¿En qué tramo decrece la temperatura? La temperatura decrece desde las 13 hasta las 24 horas.

5

6

Disponemos de 60 cm de alambre y queremos construir un rectángulo de diferentes dimensiones. Sabemos que si es muy largo tendrá que ser muy estrecho, y viceversa. Haz una tabla con tres columnas en las que se recojan la base, la altura y el perímetro en cada caso y representa estos datos en una gráfica. Base (x)

Altura (y)

Perímetro

30

1

29

60

25

2

28

60

20

3

27

60

15

5

25

60

10

10

20

60

5

15

15

60

20

10

60

25

5

60

28

2

60

Y

X 5

10

15

20

25

30


6

7

8

9

10

11

12

Día 1

37,6

37,8

38,5

38,8

38,9

39,5

38,4

Día 2

37,5

37,8

38,6

38,4

38,3

38

37,6 Día 1

b) ¿Cuál es la temperatura máxima de cada día?

Temperatura máxima del 1.er día " 39,5°; máxima del 2.° día " 38,6°.

c) ¿En qué momentos tiene la misma temperatura?

Igual temperatura " a las 7 h y a las 8 h 15 min (aprox.)

Día 2

Máximo día 1

Y

a) Haz una gráfica que recoja las temperaturas de ambos días. 39,5 39

Máximo día 2

38,5 38 37,5

X * Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje del currículo oficial del Ministerio.


6

7

8

9

10

11

12

543

13


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

En un laboratorio están estudiando la propagación de una enfermedad en una población de animales. Para ello, cada día se ha anotado el número de animales infectados y se ha observado que, a partir de cierta cantidad, el número de animales permanece estable. Los datos obtenidos se representan en esta gráfica: Y 600

N.º de animales infectados

500 400 300 200 100 Días

0

1

2

3

4

5

6

7

8X

a) Observa la gráfica y realiza una tabla con los datos obtenidos. Día

0

1

2

3

4

5

6

7

8

N.º de infectados

b) A la vista de esta tabla, realiza un informe sobre el comportamiento de la enfermedad:

• Número de animales infectados con el que comienza el experimento.

• Número de animales infectados necesarios para que se estabilice la enfermedad, y día en el que se estabiliza.

• Relación entre los días y el número de infectados, y el número de infectados en el 4.º, 5.º y 6.º días si esta relación se mantiene.

c) En otra población se han detectado hace 2 días 5 animales infectados por la misma enfermedad. Si en ese momento se dispone de 175 antídotos, ¿crees que son suficientes para erradicar la enfermedad?

544


2

Damián, Ruth, Luis y Amanda utilizan la bicicleta o la moto para ir desde su casa a la playa. Acababa de salir de casa cuando me di cuenta de que se me había olvidado la toalla. He tenido que volver a casa y cogerla. Para llegar a tiempo he pedaleado muy fuerte.

Yo iba en motocicleta. Por el camino me quedé sin gasolina y he tenido que seguir andando, llevando la moto parada.

Ruth Luis Yo siempre salgo con calma. Cuando estoy en el camino empiezo a pedalear más deprisa hasta llegar a la playa. Damián

a) Si dibujamos una gráfica para cada uno de los amigos en la que la variable independiente sea el tiempo, y la dependiente, la distancia, ¿cómo se indicará que Ruth ha tenido que volver a casa?

b) ¿Cómo se representará que Luis ha seguido andando después de quedarse sin gasolina?

3

Distancia

1

Distancia

c) Si las gráficas que representan los trayectos son las siguientes, ¿cuáles corresponden a los viajes de Ruth, Luis y Damián?

Tiempo 4

Distancia

2

Distancia

Tiempo

Tiempo

Tiempo

d) ¿Qué crees que dijo Amanda sobre su trayecto?


545

13




Actividades




1y2

Sociales y cívicas



1y2


1y2


1y2


1y2


1



En un laboratorio están estudiando... a)

Días

0

1

2

3

4

5

6

7

8

N.º de infectados

20

60

180

540

600

600

600

600

600

b) Se empieza la observación con 20 animales infectados.

El número de animales infectados crece hasta el cuarto día, en el que alcanza los 600 y, después, se mantiene constante.

El número de animales infectados crece de una forma rápida, multiplicándose por 3 cada día, hasta estabilizarse en 600 el cuarto día.

c) En este caso se estabiliza en el quinto día, que es cuando se llega a las 600 bacterias.

546

Días

0

1

2

3

N.º de infectados

5

15

45

135

Si el número de animales infectados crece de la misma forma que en la observación, el tercer día habrá, aproximadamente, 135 animales infectados. Tenemos suficientes antídotos.


2

Damián, Ruth, Luis y Amanda utilizan la bicicleta... a) La gráfica cortará al eje X en un punto distinto del origen. b) La pendiente de la gráfica a partir de un cierto punto tiene que ser menor que la pendiente del trozo de gráfica inicial. c) Ruth se corresponde con la gráfica 4, que representa el retorno a casa.

Luis se corresponde con la gráfica 1, que comienza con mayor pendiente (más rápido, en moto) y continúa con menos pendiente (más lento, andando).

Damián se corresponde con la gráfica 3, que comienza con menos pendiente (más lento) y cuya pendiente se va incrementando (aumenta la velocidad).

d) Amanda diría:

«Salí de casa, me paré a descansar y después seguí hasta la playa», que se corresponde con la gráfica 2.



547

14

PRUEBA B


Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Queremos encargar varias encuestas y necesitamos conocer cuál es la población y si es necesario escoger una muestra o no. a) La asignatura preferida por los alumnos de la clase de 1.º A. b) La canción preferida por los jóvenes de 13 años de Cataluña. c) El tipo de fruta que prefieren los alumnos de 1.º ESO de una población (hay 5 centros y 310 alumnos).

2

Un profesor pregunta a 30 alumnos sobre el mes de su nacimiento, y obtiene estos resultados.

Ene Jun Mar Abr May Feb

Jul

May

Jun

May Sep

Jun May Feb Feb May Feb

Ago Sep Mar May May Jun

Sep

Oct

Nov

Dic

Oct

Jul

Dic

a) ¿Sobre qué población se ha hecho el estudio?

b) ¿Cuál es la variable estudiada?

c) Elabora el recuento y una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de esta variable.

d) Dibuja un gráfico de barras con estos datos.

548


3

Indica si los siguientes experimentos son aleatorios o deterministas, y escribe todos los resultados posibles. a) En un partido de fútbol, observar el resultado del lanzamiento de un penalti:

Resultados posibles "

b) Sacar dos bolas de una bolsa donde hay bolas blancas, amarillas y negras:


c) Lanzar al aire dos monedas y observar el resultado:

4


Considera el experimento de lanzar un dado y responde. a) El experimento, ¿es determinista o aleatorio? b) ¿En qué consiste el suceso «Obtener un número par»?

5

En una bolsa tenemos 4 bolas blancas, 7 azules y 6 negras. Calcula la probabilidad de sacar una bola. Blanca "

Azul "

Negra "


549

13 14

PRUEBA A

ESTÁNDARES EVALUACIÓN DE DE CONTENIDOS APRENDIZAJE Y SOLUCIONES

Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Queremos encargar varias encuestas y necesitamos conocer cuál es la población y si es necesario escoger una muestra o no. a) La asignatura preferida por los alumnos de la clase de 1.º A. b) La canción preferida por los jóvenes de 13 años de Cataluña. c) El tipo de fruta que prefieren los alumnos de 1.º ESO de una población (hay 5 centros y 310 alumnos). d) Las marcas de los coches más vendidos en Asturias.

2



Jul

May

Jun

May Sep



Sep

Oct

Nov

Dic

Oct

Jul

Dic

a) ¿Sobre qué población se ha hecho el estudio?

b) ¿Cuál es la variable estudiada?

c) Elabora el recuento y una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de esta variable.

d) Dibuja un gráfico de barras con estos datos.

550


3





c) Tirar una piedra desde una altura de 1 m y observar el tiempo que tarda en caer:


d) Lanzar al aire dos monedas y observar el resultado:

4


Considera el experimento de lanzar un dado y responde. a) El experimento, ¿es determinista o aleatorio? b) ¿En qué consiste el suceso «Obtener un número par»?

5

En una bolsa tenemos 3 bolas azules, 2 bolas amarillas y 4 bolas negras. a) Determina la probabilidad de obtener 1 bola negra. b) Calcula la probabilidad de obtener 2 bolas negras seguidas.

6


Azul "

Negra "


551

13 14

PRUEBA A B


1


Actividades

B.5-1. Formular preguntas adecuadas para conocer las características de interés de una población y recoger, organizar y presentar datos relevantes para responderlas, utilizando los métodos estadísticos apropiados y las herramientas adecuadas, organizando los datos en tablas y construyendo gráficas, calculando los parámetros relevantes y obteniendo conclusiones razonables a partir de los resultados obtenidos.

B.5-1.1. Define población, muestra e individuo desde el punto de vista de la estadística, y los aplica a casos concretos.

1, 2

B.5-1.3. Organiza datos, obtenidos de una población, de variables cualitativas o cuantitativas en tablas, calcula sus frecuencias absolutas y relativas, y los representa gráficamente.

2

B.5-4. Inducir la noción de probabilidad a partir del concepto de frecuencia relativa y como medida de incertidumbre asociada a los fenómenos aleatorios, sea o no posible la experimentación.

B.5-4.1. Describe experimentos aleatorios sencillos y enumera todos los resultados posibles, apoyándose en tablas, recuentos o diagramas en árbol sencillos. B.5-4.3. Calcula la probabilidad de sucesos asociados a experimentos sencillos mediante la regla de Laplace, y la expresa en forma de fracción y como porcentaje.

2, 4 y 5

5

Queremos encargar varias encuestas y necesitamos conocer cuál es la población y si es necesario escoger una muestra o no. a) La asignatura preferida por los alumnos de la clase de 1.º A. b) La canción preferida por los jóvenes de 13 años de Cataluña. c) El tipo de fruta que prefieren los alumnos de 2.º ESO de una población (hay 5 centros y 310 alumnos). a) Población: los alumnos de 1.º A. No es necesario escoger ninguna muestra. b) Población: todos los jóvenes catalanes de 13 años. Se tendrá que realizar el estudio sobre una muestra. c) Población: los 310 alumnos de 2.º ESO. Se tendría que escoger una muestra.

2



Jul

Jun May Sep Oct Jul



May Sep Oct Nov Dic Dic

a) ¿Sobre qué población se ha hecho el estudio? b) ¿Cuál es la variable estudiada? c) Elabora el recuento y una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de esta variable. d) Dibuja un gráfico de barras con estos datos.

552


a) 30 alumnos. b) Los meses de nacimiento. c)

Meses

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

Frec. absoluta

1

4

2

1

7

4

2

1

3

2

1

2

Frec. relativa

1 30

4 30

2 30

1 30

7 30

4 30

2 30

1 30

3 30

2 30

1 30

2 30

d) Alumnos

8 6 4 2

3

c


Aleatorio

Resultados posibles " B-B, B-A, B-N, A-A, A-N, N-N.

c) Lanzar al aire dos monedas y observar el resultado:

Aleatorio

Resultados posibles " Gol-No gol.


4

Di

v No

Oc t

Se p

l

Ag o

Ju

n Ju

ay M

r Ab

ar M

Fe b

En

e

Meses

Aleatorio

Resultados posibles " CC, CX, XC y XX.

Considera el experimento de lanzar un dado y responde. a) El experimento, ¿es determinista o aleatorio? b) ¿En qué consiste el suceso «Obtener un número par»? a) Es aleatorio. b) Es un suceso compuesto por los sucesos: {2, 4, 6}.

5


4 Azul " 7 Negra " 17 17

6 17



553

13 14

PRUEBA A


1


Actividades


B.5-1.1. Define población, muestra e individuo desde el punto de vista de la estadística, y los aplica a casos concretos.

1, 2


2


B.5-4.1. Describe experimentos aleatorios sencillos y enumera todos los resultados posibles, apoyándose en tablas, recuentos o diagramas en árbol sencillos. B.5-4.3. Calcula la probabilidad de sucesos asociados a experimentos sencillos mediante la regla de Laplace, y la expresa en forma de fracción y como porcentaje.

2, 4, 5 y 6

5y6

Queremos encargar varias encuestas y necesitamos conocer cuál es la población y si es necesario escoger una muestra o no. a) La asignatura preferida por los alumnos de la clase de 1.º A. b) La canción preferida por los jóvenes de 13 años de Cataluña. c) El tipo de fruta que prefieren los alumnos de 2.º ESO de una población (hay 5 centros y 310 alumnos). d) Las marcas de los coches más vendidos en Asturias. a) Población: los alumnos de 1.º A. No es necesario escoger ninguna muestra. b) Población: todos los jóvenes catalanes de 13 años. Se tendrá que realizar el estudio sobre una muestra. c) Población: los 310 alumnos de 2.º ESO. Se tendría que escoger una muestra. d) Población: todos los coches de Asturias. Se tendría que escoger una muestra.

2



Jul

Jun May Sep Oct Jul



May Sep Oct Nov Dic Dic

a) ¿Sobre qué población se ha hecho el estudio? b) ¿Cuál es la variable estudiada? c) Elabora el recuento y una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de esta variable. d) Dibuja un gráfico de barras con estos datos.

554


a) 30 alumnos. b) Los meses de nacimiento. c)

d)

Meses

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

Frec. absoluta

1

4

2

1

7

4

2

1

3

2

1

2

Frec. relativa

1 30

4 30

2 30

1 30

7 30

4 30

2 30

1 30

3 30

2 30

1 30

2 30

8 Alumnos

6 4 2

3

c Di

v No

Oc t

Se p

l

Ag o

Ju

n Ju

ay M

r Ab

ar M

Fe b

En

e

Meses



Aleatorio

Resultados posibles " Gol-No gol. Aleatorio

Resultados posibles " B-B, B-A, B-N, A-A, A-N, N-N.

c) Tirar una piedra desde una altura de 1 m y observar el tiempo que tarda en caer: Determinista Resultados posibles " En las mismas condiciones el tiempo es el mismo. d) Lanzar al aire dos monedas y observar el resultado: 4

Aleatorio

Resultados posibles " CC, CX, XC y XX.

Considera el experimento de lanzar un dado y responde. a) El experimento, ¿es determinista o aleatorio? b) ¿En qué consiste el suceso «Obtener un número par»? a) Es aleatorio. b) Es un suceso compuesto por los sucesos: {2, 4, 6}.

5

En una bolsa tenemos 3 bolas azules, 2 bolas amarillas y 4 bolas negras. a) Determina la probabilidad de obtener 1 bola negra. b) Calcula la probabilidad de obtener 2 bolas negras seguidas. 4 a) P (negra) = es la probabilidad de obtener 1 bola negra. 9 b) P (negra) =

6

4 3 1 ? = es la probabilidad de obtener 2 bolas negras seguidas. 9 8 6


4 Azul " 17

7 Negra " 17

6 17



555

13 14

PRUEBA A

ESTÁNDARES EVALUACIÓN POR DE APRENDIZAJE COMPETENCIAS Y SOLUCIONES

Nombre:

1

Curso:

Fecha:

Estos son algunos de los datos de la última factura de electricidad. HISTORIAL DEL CONSUMO 300

250

kWh

200

150

100

50

0

E

F M A M

J

J

A

S

O N

D

En la factura hay dos conceptos que son fijos:

ELECTRICIDAD DEL OESTE

r Potencia y alquile ....... 8 € ... ... ... ... . . de equipo Impuesto de h).... 0,11 € consumo (por kW

a) ¿Cuántos kWh se consumieron en diciembre? b) ¿Cuál es el gasto fijo por potencia y alquiler de equipo? ¿Y el importe de consumo por kWh? c) Si en el mes de diciembre se pagaron 72 €, ¿cuál es el precio de 1 kWh? d) Si el gasto por equipamiento es el que muestra el gráfico, ¿cómo crees que se podría reducir dicho gasto?

20 %

Iluminación 40 %

40 %

556

Calefacción Electrodomésticos


2

Esta mañana Andrés y yo hemos visto el anuncio de un restaurante que ofrece un menú a 9,50 € y, además, afirma que podemos escoger entre 27 menús diferentes. Después de ver el anuncio del menú, Andrés no está muy convencido de su veracidad. En el menú que exhiben en la entrada podemos escoger entre 3 primeros platos, 3 segundos y 3 postres. Además, podemos hacer cualquier combinación tomando un primer plato, un segundo y un postre.

27 menús diferentes para elegir Primeros: Sopa del día Menestra Pasta Segundos: Pescado fresco Estofado de carne Tortilla de gambas Postres: Fruta del tiempo Tarta Flan 9,50 €

a) Si elegimos sopa de primero y fruta de postre, ¿cuántas posibilidades de menú hay?

b) Si elegimos menestra de primero, ¿cuántas posibilidades de menú hay en este caso?

c) ¿Cuántas posibilidades de menú hay?

d) A la vista de los datos, ¿es correcta la publicidad exhibida por el restaurante?


557

13 14

PRUEBA A



Sociales y cívicas


558



Actividades



1


B.5-4.1. Describe experimentos aleatorios sencillos y enumera todos los resultados posibles, apoyándose en tablas, recuentos o diagramas en árbol sencillos.

2



1y2


1y2


1y2


1y2



1

Estos son algunos de los datos... a) En diciembre se consumieron 300 kWh. b) El gasto fijo por potencia y alquiler de equipo es de 8 €, y el importe de consumo por kWh es de 0,11 €. c) El coste de la factura de diciembre es:

72 = 8 + 0,11 ? 300 + x ? 300 " x =

31 = 0,103 €/kWh 300

d) Se podría reducir el gasto en iluminación. Según los dos gráficos dicho gasto es excesivo puesto que, por ejemplo, en julio, donde los días son largos y no es necesario encender la calefacción, el consumo ha sido de 210 kWh y el gasto en iluminación supondría 84 kWh, lo que equivale a tener las luces muchas horas encendidas. 2

Esta mañana Andrés y yo... a) Como el primero y el postre están elegidos, hay 3 posibilidades de menú, una para cada segundo plato que se elija:

• Sopa, pescado y fruta.

• Sopa, estofado de carne y fruta.

• Sopa, tortilla de gambas y fruta.

b) En este caso, como el primero está elegido, las posibilidades se forman al elegir cada uno de los segundos y cada uno de los postres, por tanto, son 3 ? 3 = 9:

• Menestra, pescado y fruta.

• Menestra, estofado de carne y fruta.

• Menestra, tortilla de gambas y fruta.

• Menestra, pescado y tarta.

• Menestra, estofado de carne y tarta.

• Menestra, tortilla de gambas y tarta.

• Menestra, pescado y flan.

• Menestra, estofado de carne y flan.

• Menestra, tortilla de gambas y flan.

c) Se pueden elegir 3 primeros, 3 segundos y 3 postres, por tanto, las posibilidades de menú son: 3 ? 3 ? 3 = 27 d) Por tanto, es correcta la publicidad del restaurante.



559

Dirección de arte: José Crespo González. Proyecto gráfico: Estudio Pep Carrió. Jefa de proyecto: Rosa Marín González. Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Sevillano. Ilustración: Eduardo Leal Uguina. Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda de la Calle. Desarrollo gráfico: Raúl de Andrés González y Jorge Gómez Tobar. Dirección técnica: Jorge Mira Fernández. Coordinación técnica: Alejandro Retana Montero y Marisa Valbuena Rodríguez. Confección y montaje: Alfonso García Cano y Luis González Prieto. Corrección: Livia Villaluenga García-Page y Juan Latorre Pérez. Fotografía: ARCHIVO SANTILLANA.

© 2016 by Santillana Educación, S. L. Avda. de los Artesanos, 6 28760 Tres Cantos, Madrid Printed in Spain ISBN: 978-84-9132-049-4 CP: 797299 Depósito legal: M-28168-2016

La presente obra está protegida por las leyes de derechos de autor y su propiedad intelectual le corresponde a Santillana. A los legítimos usuarios de la misma solo les está permitido realizar fotocopias para su uso como material de aula. Queda prohibida cualquier utilización fuera de los usos permitidos, especialmente aquella que tenga fines comerciales.

1 Matemáticas AAA. Rec-did. Repaso 181. Eval 387. Andalucía. Día a Día. Saber Hacer. Santillana 2016 561p

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