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CURSO: MATEMATICA IV – IV – ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: Lic. Mg. RICARDO ALEJANDRO CHUNG CHING INSTITUCIÒN FACULTAD Período lectivo Fecha
2017-I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÌA INGENIERIA ECONÒMICA, ESTADÌSTICA Y CIENCIAS SOCIALES Sección V Aula 01 - 5B Turno Mañana
JUEVES 16 de Marzo de 2017
Horario
Fila (*)
13:00 a 18:00 Horas.
Primer, Segundo, Tercer y Cuarto Conjunto de Problemas A)
PROBLEMAS DE MODELAMIENTO MATEMATICO MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES
2.
Hallar la ecuación diferencial de la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal a cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este este punto al origen de coordenadas. coordenadas. Halle la EDO de todas todas las circunferencias tangentes tangentes a la recta 3 y 4 x .
3.
Determine la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por por los
1.
puntos de intersección de la circunferencia x 4.
5.
2
y 2 2 y la recta y x .
Halle la ecuación diferencial de la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas. Determine la ecuación diferencial de la familia familia de circunferencia que que pasan por los los .puntos de intersección de
y x 2 e y x 2 .
A B sen A B , A B 2 2
NOTA: cos A cos B 2sen 6. 7.
Halle la ecuación diferencial diferencial de la familia de de parábolas cuyos focos están en el origen de coordenadas y cuyos ejes están sobre sobre el eje Y. Hallar la ecuación diferencial de la curva, para la cual el área F, limitada por la curva, el eje OX y y las rectas x a y
x b sea la función:
2 y F ( y ) a Ln . a
x, y de una curva que pasa por por el origen
8.
Por un punto cualquiera
9.
rectas paralelas a los ejes coordenados. Halle la ecuación ecuación diferencial de la curva de modo que divida al rectángulo formado por las rectas y los ejes coordenados en dos superficies, una de las cuales sea triple de la otra. Determine la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio 2 que tienen su centro sobre la recta
se trazan dos
y 3 el eje Y .
10. Halle la ecuación diferencial de la familia de curvas curvas que satisfacen
la siguiente propiedad; “La recta tangente a las curvas en cualquiera de sus puntos P, es la bisectriz del ángulo determinado por la recta vertical que pasa por P y la recta que une P con el origen de coordenadas.
11. Halle la ecuación diferencial de las rectas normales a la parábola
2
y x 1 1
|
12. Halle la ecuación diferencial de una curva que cumple la siguiente condición: el área
limitada por el arco de la curva, el eje X y dos rectas verticales, verticales, una fija y la otra variable, es numéricamente igual al doble de la longitud del arco entre ambas rectas. 13. Halle la ecuación diferencial de las parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje X. 14. Halle la ecuación diferencial de la f amilia de circunferencias de radio 3, cuyos centros se encuentran en la recta
y x.
15. Determine la ecuación diferencial de la familia de parábolas de ejes focales verticales,
con parámetro p 0 (fijo)
y cuyos cuyos vértices vértices se encuentran sobre la recta recta
L : 4 x 2 y 2 0 16. Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0, 10) y que goza de la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de ella se traza la tangente geométrica y por el el pie de la ordenada del punto de tangencia una perpendicular a la tangente geométrica, geométrica, hasta encontrar dicha tangente, tal perpendicular mide siempre 10 unidades de longitud. 17. Halle la ecuación diferencial de la f amilia de circunferencias de radio 2, cuyos centros se encuentran sobre la parábola y
2
x 1
18. Halle la ecuación diferencial de la familia de rectas normales a la parábola
2
y x .
19. Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de las
ordenadas por la normal a cualquiera cualquiera de sus puntos, puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas 20. Formar la ecuación diferencial que represente todas las tangentes a la parábola
y 2 2 x 21. Hallar la ecuación diferencial de la curva para la cual el producto de la abscisa abscisa de
cualquiera de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas. 22. Una curva está definida por la l a condición de que l a suma de los segmentos, interceptados por sus tangentes en los ejes ejes coordenados en cualquier punto punto
P ( x, y) de ella, es
siempre igual a 2. Exprese la condición por medio de una ecuación diferencial 23. Obténgase la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por las intersecciones de la circunferencia x
2
y 2 1 y la recta y x
(3.5)
24. Determine ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola
x 2 2 y
Encuéntrese una solución solución singular de dicha ecuación diferencial. 25. Encuentre la ecuación diferencial que describe la familia de circunferencias que pasan por el origen. 26. Hallar la familia de curvas para las que la longitud de la parte de la tangente entre entre el punto de contacto
( x, y )
y el Eje Y es igual al segmento segmento interceptado en en el eje Y por
la tangente. 27. Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tienen sus centros centros sobre el eje Y.
B)
PROBLEMAS DE VERIFICACION DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL 2
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12. Halle la ecuación diferencial de una curva que cumple la siguiente condición: el área
limitada por el arco de la curva, el eje X y dos rectas verticales, verticales, una fija y la otra variable, es numéricamente igual al doble de la longitud del arco entre ambas rectas. 13. Halle la ecuación diferencial de las parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje X. 14. Halle la ecuación diferencial de la f amilia de circunferencias de radio 3, cuyos centros se encuentran en la recta
y x.
15. Determine la ecuación diferencial de la familia de parábolas de ejes focales verticales,
con parámetro p 0 (fijo)
y cuyos cuyos vértices vértices se encuentran sobre la recta recta
L : 4 x 2 y 2 0 16. Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (0, 10) y que goza de la siguiente propiedad: “Si por un punto cualquiera de ella se traza la tangente geométrica y por el el pie de la ordenada del punto de tangencia una perpendicular a la tangente geométrica, geométrica, hasta encontrar dicha tangente, tal perpendicular mide siempre 10 unidades de longitud. 17. Halle la ecuación diferencial de la f amilia de circunferencias de radio 2, cuyos centros se encuentran sobre la parábola y
2
x 1
18. Halle la ecuación diferencial de la familia de rectas normales a la parábola
2
y x .
19. Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de las
ordenadas por la normal a cualquiera cualquiera de sus puntos, puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas 20. Formar la ecuación diferencial que represente todas las tangentes a la parábola
y 2 2 x 21. Hallar la ecuación diferencial de la curva para la cual el producto de la abscisa abscisa de
cualquiera de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas. 22. Una curva está definida por la l a condición de que l a suma de los segmentos, interceptados por sus tangentes en los ejes ejes coordenados en cualquier punto punto
P ( x, y) de ella, es
siempre igual a 2. Exprese la condición por medio de una ecuación diferencial 23. Obténgase la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por las intersecciones de la circunferencia x
2
y 2 1 y la recta y x
(3.5)
24. Determine ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola
x 2 2 y
Encuéntrese una solución solución singular de dicha ecuación diferencial. 25. Encuentre la ecuación diferencial que describe la familia de circunferencias que pasan por el origen. 26. Hallar la familia de curvas para las que la longitud de la parte de la tangente entre entre el punto de contacto
( x, y )
y el Eje Y es igual al segmento segmento interceptado en en el eje Y por
la tangente. 27. Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que tienen sus centros centros sobre el eje Y.
B)
PROBLEMAS DE VERIFICACION DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL 2
|
1.
Verifique si la función
y c1 x c2 x
diferencial: xysenx senx 2.
x
0
sent t
dt ,
es solución de la ecuación
xy cos x y cos x 0
Verifique si la función dada por
x tet es t y e
solución de la ecuación diferencial:
2 xy( y)3 3( y)3 y3 y 0 3.
Verificar si la función dada por: x t arcs arcsen ent t
y
y
x y arcsen arc sen y
solución de la ecuación diferencial:
2
t
2
1 t 2 ,es la
1 sen x es solución de la siguiente ecuación diferencial: 4. Verifique que la función y e
xy y tan( Lny)
5.
Verificar si la función dada es solución de la ecuación diferencial: x x t 2 x x x2
y e
0 e
y y e
dt Ce ;
6. Verifique si la función y
y tgx tgx. y
7. Verificar
C cos x
es solución de la ecuación diferencial
0
x Lnt sent sent es solución de la ecuación diferencial y t (1 sent sent ) cos t
si :
x L n y seny seny 8.
Comprobar si
x
x sent
0
t
dt y Lny .t
es o no solución de
xy xLny xLny xsenx xsenx yLny yLny 9.
Verifique que la relación 2
yLny x
yy(1 Lny Lny) y 2xye xye
x t 2 e dt es solución de la ecuación diferencial : 0
x2
10. Verifique que la función dada por x(t ) a(t sent sent ) x
constante, satisface la ecuación diferencial 1 ( y)
2
y y y(t ) a(t cos t ) a:
2 yy 0)
11. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial planteada
x t arc sen t ;
t 2 2 y 1 t 2 x y arc sen y
12. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial planteada x x t 2 x x x2
y e
0 e
dt Ce ; y y e
3
|
C)
PROBLEMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LASOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL 1. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial de valor inicial
tiene solución: y
y , y(0) 0
2. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
1
3.
y
2
2
1 x
dy 0
ax by c , b a , ab 0
Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
x y
6.
y 1 y
3/ 2
Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: x x y 1 e dx e y 1 x dy 0 y
5.
2
Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: y tan
4.
dx
2
2
dx 2 xydy 0
Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
y 2 cos( x) dx 4 5 ysen( x) dy 0 7.
Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: y
8.
x
2
2 2/3 xy ( xy )
Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
7 x4 y 3y8 dx 2x5 9xy7 dy 0 9.
Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: x
y ye
10. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
senx tan( x 2 y) dx 2 tan( x 2 y)dy 0 11. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
1 e x / y dx ex / y 1 x y dy 0 12. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: 2 2 xy 2 xyLn y yLny dx 2 x Lny x dy 0
xy2 y2 x 1 dx x2 y 2xy x2 2 y 2 x 2 dy 0
4
| 13. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: 2 2 2 1 x y ydx xy 1 xdy 0
14. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
y y cos ydx xdy y xdy ydx 0 x x
xsen
15. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: dy
2x 5 y
2x 5 y
dx
16. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: dy
2 xy
dx
y
4
x
4
2 2 2 2 2y x y x
0
17. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
3 2 3 2 x 3 xy dx y 3 x y dy 0
18. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
3 x y a2
2 y 4 x y b
19. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
x y x y cos 2 2
y cos
20. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: 2 dy y xy
2 xx y
dx
21. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
3 xy
2
3 3 2 x y y dx
2 x 2 y 1 dy 0 x
22. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
dy
dx
2 y senx e senx y y 3e e cos 2 x
23. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
x y 2 xy dx xdy 0 24. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: 2 2 dy 1 xy x y
2
3
x y 25. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución: dx
dy dx
x
y cos 2 x x
2y
5
| 26. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
3 4 2 2 4 4 x ydx x 4 x y y dy 0 27. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
2 ydx x x y 1 dy 0 28. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
x
1 3
xy y x y x 2 y 2
29. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
2 3 x y 3
y
3
x
2 dx 3x. y dy 0 2 x 3
30. Determine el conjunto A de R 2,donde la siguiente ecuación diferencial tiene solución:
x y 2 xy dx xdy 0 D) PROBLEMAS DE RESOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por cualquiera de los Métodos desarrollados en clase:
1.
1 y dx y
2.
y tan 2 ax by c , b a , ab 0
3.
x 1 e y
4.
x y dx 2xydy 0
5.
2
1 y
2
1 x 2
3/2
dy 0
x dx e y 1 x dy 0 y
2
y 2 cos( x) dx 4 5 ysen( x) dy 0
6. y
x 2 xy ( xy 2 )2/3
7.
7 x4 y 3 y8 dx 2 x5 9 xy7 dy 0
8.
senx tan( x 2 y) dx 2 tan( x 2 y)dy 0
1 e dx e 1 yx dy 0 10. xy 2 xyLn y yLny dx 2 x Lny x dy 0 11. xy y x 1 dx x y 2 xy x 2 y 2 x 2 dy 0 12. 1 x y ydx xy 1 xdy 0 x / y
9.
x/ y
2
2
2
2 2
2
2
2
2
6
|
y y ydx xdy y cos x xdy ydx 0 x dy 2x 5 y 14. dx 2x 5 y 13. xsen
15.
16. 17. 18.
19.
20.
dy dx
x
3
22.
23.
24.
dy
4
2 2
2
y x 2y x y x
2
0
3xy2 dx y3 3x 2 y dy 0
dx
y xy 2
2
xx y
2
3 xy
dx
3
dy
dx
x
2
1
dy 0
x
senx e2 y senx
3e y
e
y
cos 2 x
xy dx xdy 0
1 xy x 2 y 2
dy d x
dx
3 2
x y y dx 2 x y
x y 2
dy 25.
4
3 x y a 2 y 4 x y b2 x y x y y cos cos 2 2
dy 21.
2 xy
2
3
x x y
x 2 y 2 y y cos 2 x x
2y
26.
4 x3 ydx x 4 4x 2 y 2 y 4 dy 0
27.
ydx x x 2 y 1 dy 0
3 2y2
1
28.
x
29.
x 2 y 3 3 3 3 y 2 dx 3x. y 2 dy 0 x x
xy y x y x
7
| 1
30.
0 f (ax) da n f (x)
31.
x y 2
32.
33.
34.
y y
xy dx xdy 0
xy 3x y 3 xy 2 x 4 y 8 3 2
x y y 4
2 x x y x y x y y cos cos 2 2 dr sen e 2 r sen t d 3e e r cos 2
35.
36.
xy 2 yxLn2 y yLny dx 2x2 Lny x dy 0
37.
y xy2 dx x x2 y dy 0
1 y dx xdy 2
38. 39.
y 2(2 x 3 y )2
40.
y 2 ( x2 2) dx (x3 y 3 )( ydx xdy ) 0 dy
41.
42.
43.
dx
senx e2 y senx
3e y
e
y
cos 2 x
y dx x
xdy ydx tg
x2 xy2 x 2xy2 1 dx 2x 2 ydy 0
44.
45.
x 1 y 2 y 1 dx y 1 x2 x 1 dy
46. 47.
2
2
2 y 2 x y ydx x y 2 y xdy 0
x2 y
y 1 e 2 x 3 y 4 dy dx 1 x 1 y 2 3 2 8
|
48.
1 3 x 2 y 1 dy 2 y dx 0 x 2
2
49. x ( y 1) dx y ( x 1) dy
0
50.
x x x y 1 e dx e y 1 dy 0 y
51.
Lnx y 3 dx 3 xy 2 dy 0
52.
y cos2 ( x y 1)
53.
y 1 2xy dx x 1 xy dy 0
54.
2 x
55.
56.
x y
57.
y y x y cos dx x cos dy 0 x x
58.
y y x2 y4 1 dx 2 xdy 0
59.
xy 2xyLn2 y yLny dx 2x2 Lny x dy 0
60.
61.
2
3 y 2 7 xdx 3x2 2 y 2 8 ydy 0
3 1 xy 1 dx
2
3 x y
dy 0
y 4
x y x y sen 2 2 y y x 2 y 4 1 dx 2 xdy 0
y sen
62.
4 xy 2 dx (3 x 2 y 1) dy 0
63.
( x y 2) dx ( x y 3) dy 0
64.
x 2 x y 3 x y
65.
y 2(2 x 3 y) 2
66.
y x 2 y 2 dx x x x 2 y 2 dy 0
67.
xdx 1 x 4 dy x 2 1 x 4 dy
68.
x 3 3 xy 2 dx y 3 3 x 2 y dy 0
9
|
69.
2
2
xy 2 xyLn y yLny dx 2 x Lny x dy 0
70. y sec y sen( x y) sen( x y)
x x dy 0 , y
71. ydx y cos
y(0)=2
72.
( x y 3 )dx 3 y 5 3 y 2 x dy 0
73.
y
74.
y 1 6 x e ( x y )
75.
xdx sen 2
76. 77.
4 x 3 y 2
x y 1
y y dx x dy 0 x x y 3dx 3 x y 1 dy 0
Lnx y 3 dx 3 xy 2 dy 0
78.
x 2 ( y 1) dx y 2 ( x 1) dy 0
79.
y cos(4 x 4 y )
80. 81.
x 1 e dx e 1 dy 0 y ydx (2 x 3 y )dy
82.
xdy ydx x cos
83.
y x y
84.
y x y ( y)2
85.
3 x 2 y 12 dy 2 x 3 y 42 dx
86.
x 6 2 x 5 2 x 4 y 3 4 x 2 y dx xy
87.
y y x 2 y 4 1 dx 2 xdy 0
x y
y dx x
2
4 x 3 dy 0
3
2
88.
x y
dx cos x 0 2 dy dy
d x
x y
89.
y 2
90.
( xy 2 xyLn 2 y yLny)dx (2 x 2 Lny x)dy 0
91.
y 2 x 2 x y e y dx xy dy 0
10
|
92. x 93.
dy d x
1 x 2 y 2 y ( xy 1) 2 xy 0
d y 94.
95.
96.
x 2 y 2 y ; y(3) 0
d x
2 x y 1 4 x 2 y 4
x 3
y x tg x y x 2 a y y x y 1 ( y ) 2
y
2 y
2 2 dy 1-xy -x y 97. = 3 dx x 2 -x y
2 3 98. (y L -nx)dx +xy dy =0 2 2 2 3 99. (3x +6xy )dx +(6x y +4y )dy = 0
E)
PROBLEMAS DE APLICACIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Resolver los siguientes Problemas de Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por cualquiera de los Métodos desarrollados en clase: 1. Suponga que una substancia decrece a una razón que es inversamente proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 12 unidades presentes y si 8 unidades están presentes después de 2 días. ¿Cuánto tiempo tomará para que la substancia desaparezca? 2. Cierta sustancia C se produce de la reacción de dos químicos A y B. La tasa a la cual se produce C es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B presentes. La formación de tal sustancia C requiere 3 libras de A por cada 2 libras de B. Si inicialmente había 60 libras de A y 60 libras de B y luego de una hora, de iniciada la reacción, se han producido 15 libras de C, determine: a) La cantidad de C en cualquier instante t. b) la cantidad de C al cabo de 2 horas de iniciada la reacción. c) La cantidad máxima de C que se puede formar. 3. Obtener las trayectorias ortogonales de las siguientes familias a) x y c b) x 4cy 4. Si la temperatura del aire es 20ºC y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100º C hasta 60º C a) ¿Determinar en cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30º C? b) Determinar además la temperatura del c uerpo en cualquier instante t . 2
2
3
2
5. Suponga que un tanque cilíndrico que inicialmente contiene V 0 galones de agua se vacía (a través de un agujero en el fondo) en T minutos. Use la ley de Torricelli para demonstrar que el volumen del agua en el tanque después de t T minutos está dado por
V V0 1 t / T
2
11
| 6. Suponga que se usa pentobarbitol sódico para anestesiar al perro: el perro queda anestesiado cuando la concentración en su corriente sanguínea es por lo menos de 45 miligramos (mg) de pentobarbitol sódico por kilogramo del peso del perro. Suponga también que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial, con una vida media de 5h. ¿Qué dosis simple debe ser administrada para tener anestesiado durante una hora a un perro de 50 kg? 7. Halle la ecuación de la curva que pasa por (1, 3) y que satisface la siguiente propiedad: “Si la ordenada PH de cualquier punto P (x, y) de la curva corta a la recta 2x+y-10=0
en un punto Q y si sobre PH tomamos un punto M tal que PM=QM entonces el segmento OM resulta ser paralelo a la recta tangente a la curva en P” (O origen de coordenadas) 8. Determine la ecuación de una curva que pasa por (0, 0) y que goza de la siguiente propiedad: “la pendiente en un punto cualquiera P de ella, es igual a 10 dividido entre la distancia del punto P a la recta medida sobre la recta que pasa por P y es perpendicular al eje X” 9. Un pastel es retirado del horno a 210 o F y dejado enfriarse a la temperatura ambiente de 70o F. Después de 30 minutos la temperatura del pastel es 140 o F. ¿Cuál es la temperatura del pastel en cualquier instante t? y ¿Cuándo estará a 100 o F? 10. Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de 0.5 henrios y una resistencia de 10 ohmios. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero. Asimismo hallar el mínimo valor de la corriente si el circuito funciona indefinidamente. 11. Halle la familia de curvas que gozan de la siguiente propiedad “si por un punto cualquiera P de ella se trazan las rectas tangentes respectivamente, obteniéndose que
tales
que, LT
eje X A ,
LT
y normal
L N
L N eje Y B ,
AB es perpendicular a OP (O origen de coordenadas).
12. Si un circuito eléctrico contiene una resistencia R = 10 ohmios y un condensado de 3 capacidad C 10 faradios en serie y una f.e.m E (t ) 100sen(120 t ) voltios
q(0) 0 b) Halle la corriente i, suponiendo que i (0) 5 amperios a) Halle la carga q del condensador suponiendo
13. Un portador de un Virus Mortífero llega a un País compuesto de 30 millones de habitantes. Si la cantidad de fallecidos después de “t” días sigue la Ecuación (E).¿En cuánto tiempo la Población desaparecerá completamente?
(E)
dP P(2 4LNP) dt
14. Se disuelven inicialmente 50 libras (lb.) de sal en un gran tanque que contiene 300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 2 galones por minuto. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal.,
12
| determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min.? ¿Cuánto de sal hay después de un tiempo largo? 15. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 días el número N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el número 200N es considerado como el límite saludable. ¿A los cuántos días, después de elaborado, vence el alimento? 16. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar una sustancia química C. La rapidez de la reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas que no se han convertido en la sustancia química C. Inicialmente hay 40g de A y de 50g de B se usan por cada gramo de B se usan 2g de A. Se forman 10g de C en 5 minutos ¿Cuánto se forma en 20 minutos?¿Cuál es la cantidad limite de C después de un tiempo largo?¿Cuánto queda de las sustancias química A y B después de un tiempo largo? 17. Una colonia de bacterias cuya población es No, duplicará su población en 4Ln(2) días. Si las bacterias son extraídas a razón uniforme de R bacterias por día. Halle el número de bacterias presentes en función del tiempo. D emuestre, además, que si: a) R < No, la población es Creciente. b) R = No, la población es Estacionaria. c) R > No, la población es Decreciente. d) En este último caso, halle el tiempo mínimo que pasará para que las bacterias se extingan 18. Un Modelo matemático para describir la población humana
x (t ) es la que se muestra
a continuación. ¿Cuántos habitantes llegará tener la tierra según este modelo? Justifique sus afirmaciones.
dx dt
ax(t ) bx2 (t ) donde a 0,029 b = 2, 695 x
-12
10 . 19. Se ha determinado experimentalmente que la variación del peso, p(t), de un cierto tipo de pez sigue la ley L mostrada. ¿Para qué valor del tiempo t le parece razonable autorizar la captura de peces de esta especie?
2
dp ap 3 - bp L: dt p(t) : peso en el tiempo t
20. Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones de líquido en el que se disolvieron 10 libras de sal. Se bombea al depósito salmuera que contiene media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada se bombea del depósito con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos. 21. Un termómetro que marca 18ºF, se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 70ºF, un minuto después de la lectura del termómetro es de 31ºF. Determínese las temperaturas medidas como función del tiempo y en particular la temperatura del termómetro cinco minutos después que se lleva al cuarto. 22. Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1,0) y goza de la siguiente propiedad: “si por un punto cualquiera P de ella se traza la tangente geométrica y la
13
| normal respectiva, la tangente corta al eje Y en T y la normal corta al eje X en N, resultando TN perpendicular a OP , siendo O el origen de coordenadas. 23. Determine las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
y x 1 Ke x , K
es una constante 24. Determine las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
a sec tan
25. En un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora ¿Cuántas veces puede esperarse que se tenga la cantidad original al cabo de 23 / 4 horas? 26. Se disuelven inicialmente 50 libras (lb.) de sal en un gran tanque que contiene 300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 2 galones por minuto. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal., determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 minutos? ¿Cuánta después de un tiempo largo? 27. Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY al radio vector es una cantidad constante. 28. Bajo ciertas condiciones, el azúcar se transforma en dextrosa a una velocidad proporcional en cada instante, a la cantidad de azúcar sin transformar. Si para t 0 la cantidad de azúcar es de 75g., y que al cabo de 30 minutos se han transformado 8g. Halle la cantidad transformada al cabo de una hora y media 29. Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones de líquido en el que se disolvieron 10 libras de sal. Se bombea al depósito salmuera que contiene media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada se bombea hacia fuera con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos. 30. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t , determine la cantidad restante después de 24 horas. 31. Se ha comprobado que hay una concentración de 0, 2% CO2 en una galería subterránea de 150 x 50 x 12 dm, por lo que se trata de renovar esta atmósfera con aire del exterior, cuya concentración de CO2 es del 0.05% mediante ventiladores a una velocidad de 9000 dm3/min. Hállese el porcentaje de CO 2 después de 20 minutos. 32. Halle la curva para que el segmento de la normal trazada en el punto x, y , cuyos extremos son este punto y el de intersección con el eje X , es cortado en dos partes iguales por el eje Y . 33. Un tanque tiene 60 galones de agua pura . Una solución con 3 lb de sal por galón entra a 2 gal/min y sale a 2.5gal/min. a) Encuentre la concentración de sal cuando el tanque en cualquier tiempo.
14
| b) Encuentre la concentración de sal cuando el tanque tenga 30 gal de agua salada c) Encuentre la cantidad de agua en el tanque cuando se tenga la máxima concentración 34. Suponga que una bola de naftalina pierde su volumen por evaporación con una rapidez proporcional a su área instantánea. Si el diámetro de la bola disminuye de 2cm a 1 cm en 3 meses, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que la bola prácticamente desaparezca, digamos hasta que su diámetro sea de un 1mm? 35. Un tanque contiene 100 Dl de salmuera obtenida disolviendo 60 kg de sal en agua. Se introduce en el tanque, a una velocidad de 2 Dl/min, agua salina que contiene 1 Kg. de sal por decalitro, y la mezcla conservada homogénea mediante agitación, sale a una velocidad de 3 Dl/min. Hallar la cantidad de sal en el tanque al cabo de 1 hora. 36. Una sustancia radiactiva se desintegra a una razón proporcional a la masa presente al tiempo t. Al tiempo cero había 2 gramos de la sustancia. En 80 años habrá 1,7 gramos. a) ¿Cuántos gramos habrá en 200 años? b) ¿En cuántos años quedará exactamente un gramo de la sustancia. 37. Un termómetro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura ambiente es de 70°F. Al cabo de 5 minutos, el termómetro registra 60°F y, 5 minutos después, registra 54 °F, ¿Cuál es la temperatura del exterior ? 38. Resolver:
L
di dt
Ri E sen (2t )
donde L, R, E son constantes y con la condición i
0
para t 0 39. Un embudo de 10 cm de diámetro en la parte superior y 1 cm de diámetro en la parte inferior tiene una altura de 24 cm. Si se llena de agua, hallar el tiempo que se tarda en vaciar. 40. Jaimito, antes de salir de su casa a las 2:00 pm para dirigirse a la UNI le comenta a su mamá que hoy día tendrá su práctica N° 2 de Ecuaciones Diferenciales y que para recuperar energías, le pide a su mamá que le prepare una sabrosa chuleta, y que para que esté cocido y caliente cuando regrese por la noche, que ponga la chuleta a las 19:30 p.m. Si inicialmente la temperatura de la carne es de 15°C y la del horno 115° y después de 1 hora la temperatura de la carne es 95°C. ¿Cuál será la temperatura de la carne a la 21:30 p.m., hora en que está cocida? 41. Se coloca un objeto con una temperatura de 90 grados Fahrenheit en un medio con una temperatura de 60 grados. Diez minutos después el objeto se ha enfriado a 80°F. ¿Cuál será la temperatura del cuerpo después de estar en este ambiente durante 20 minutos?. Determine la temperatura en un tiempo t cualquiera. 42. Un tanque de 400 galones se llena con una solución salina que contiene 45 libras de sal. En cierto momento, la solución salina comienza a salir de una válvula abierta en la base del tanque a razón de 5 gal/min. En forma simultánea se agrega al tanque una mezcla de solución salina que contiene
1 8
lb/gal a razón de 3 gal/min. Tres horas después se abre
una válvula de agua dulce, la cual suministra 2 gal/min al tanque además de la mezcla salina que ya se agrega al tanque. Calcule la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier tiempo t 0 . ¿Cuál es la cantidad de sal estacionaria en el tanque?
15
| 43. Las posiciones de cuatro barcos de batalla en el océano son tales que forman los vértices de un cuadrado con lados de longitud L. En cierto instante, cada barco dispara un proyectil el cual dirige su movimiento paulatinamente hacia el proyectil que está a su derecha. Suponiendo que los cuatro proyectiles vuelan horizontalmente y con la misma rapidez, encuentre la trayectoria de cada uno. 44. De entre las soluciones de la ecuación x 1 dy 2 y ( x 1)
4
dx 0 , ¿cuál es la que
al cruzar el OY lo hace perpendicularmente a él? 45. Cierto producto químico se disuelve en el agua a una velocidad proporcional al producto de la cantidad aún no disuelta y la diferencia entre la concentración en una solución saturada y la concentración en la solución real. Se sabe que en 100 g de una solución saturada están disueltos 50 g de la sustancia. Si se agitan 30 g del producto químico con 100 g de agua en 2 horas se disuelven 10 g; ¿Cuántos se disolverán en 5 horas? 46. Un tanque contiene 100 Dl de salmuera obtenida disolviendo 60 kg de sal en agua. Se introduce en el tanque, a una velocidad de 2 Dl/min, agua salada que contiene 1 kg de sal por decalitro, y la mezcla, conservada homogénea mediante agitación, sale a una velocidad de 3 Dl/min. Hallar la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora 47. En una reacción química, la sustancia A se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad A no transformada. Si había en un principio, 40g de A y una hora más tarde 12g, ¿cuándo se ha transformado el 90% de A? 48. Se disuelven inicialmente 50 libras (lb.) de sal en un gran tanque que contiene 300 g alones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 2 galones por minuto. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal., determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 minutos? ¿Cuánta después de un tiempo largo? 49. En un depósito, que contiene inicialmente 150 litros de salmuera con 6 kg de sal en la solución, está entrando agua a razón de 2 litros por minuto y la mezcla sale a razón de 3 litros por minuto, manteniéndose uniforme la concentración por agitación. Hállese la cantidad de sal que hay en el depósito al cabo de media hora. 50. Si el alimento y el espacio vital son ilimitados, algunas poblaciones aumentan a una razón proporcional a la población. Se calcula que la población del mundo en 1900 era de 1600 millones de personas y que para 1950 había aumentado a 2510 millones de personas. ¿Cuál fue la población del mundo en el año 2000, suponiendo que hay alimento y espacio vital ilimitado. 51. La policía descubre el cuerpo de un adjunto a la cátedra de ecuaciones diferenciales. Para deslindar responsabilidades y resolver el crimen es decisivo determinar cuando se cometió el homicidio. La Forense llega al medio día y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 94.6°F. Espera una hora y observa que la temperatura del cuerpo ha disminuido a 93.4°F. Asimismo, observa que la temperatura de la habitación es constante a 70°F. Suponiendo que la víctima estaba normal (cuando menos en lo que la temperatura
16
| se refiere) hasta el momento de su fallecimiento, determine la hora en que se cometió el crimen. 52. Un capacitor ( C = 0.1F) en serie con un resistor (R = 200 ) se carga con una fuente (E0 = 12V). Encuentre la tensión V(t) en el capacitor, suponiendo que en t = 0 el capacitor está completamente descargado. Muestre la gráfica de V(t) 53. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones de líquido en los cuales se disuelven 10 lb de sal. Una salmuera que contiene
1 2
lb de sal por galón se bombea al
tanque con una rapidez de 6 gal/min. La solución adecuadamente mezclada se bombea en seguida hacia afuera del tanque con una rapidez menor, de 4 gal/min. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos. 54. Considere un tanque que se usa para ciertos experimentos de hidrodinámica. Después de un experimento, el tanque contiene 200 litros de una solución de colorante con una concentración de 1 gr/lt. Para preparar el experimento siguiente, el tanque debe enjuagarse con agua limpia que entra a razón de 2 lt/min y la solución bien homogénea sale con la misma rapidez. Encuentre el tiempo que transcurrirá antes de que la concentración del colorante en el tanque alcance el 1% de su valor original. 55. Se le asigna a un oficial de la policía un caso de homicidio. Llega a las 6:00 p.m y descubre que la temperatura de la víctima es 35ºC. Una hora después la temperatura del cuerpo es 34ºC. La temperatura del cuarto es 25ºC y la temperatura normal del cuerpo es de 37ºC (que es la temperatura inicial de la víctima). ¿Aproximadamente a qué hora se cometió el crimen? 56. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100 galones de solución salina obtenida al disolver 500 libras de sal. Ingresa al tanque una solución salina, que contiene 2 libras de sal por galón, a razón de 5 gal/min, mientras que del tanque la solución que se mantiene homogénea sale del tanque a razón 3 gal/min. Determine la concentración en cualquier instante y la cantidad de sal que hay en el tanque al momento que se desborda. 57. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior donde la temperatura del aire es 5°F. Después de un minuto, el termómetro indica 55°F, y después de cinco marca 30°F. ¿Cuál era la temperatura del recinto interior? 58. Un generador con una f.e.m. de 20 e 10t voltios se conecta en serie con una resistencia de 20 voltios y un inductor de 2 henrios. Si el interruptor se cierra en t = 0. a) b) c) d)
Establezca una ecuación diferencial para la corriente. Determine la corriente en el tiempo t. La corriente máxima y cuándo ocurre. Muestre la gráfica de i(t).
59. Determine la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de
y x 2 e y 5 x 6 .
60. Determine la curva que pasa por (2, 4) y corta a cada miembro de la familia
y cx 2 en
ángulo de 37º.
17
|
61. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva
y x 4/ 3 alrededor
del eje de las y. Se retira un tapón que está en el fondo a mediodía, cuando la profundidad del agua en el tanque es de 12 pies. A la 1 p.m la profundidad del agua es de 6 pies. A qué hora estará vacio el tanque 62. Un tanque contiene 100 galones de salmuera preparada disolviendo 60 libras de sal en agua. Agua con sal que contiene 10 libras de sal por galón corre dentro del tanque a un ritmo de 2 galones por minuto a la solución bien agitada abandonada el tanque a un ritmo de 3 galones por minuto. Encuentre la cantidad de sal luego de 30 minutos. 63. Se está formando una sustancia C por la reacción de dos sustancias A y B, de forma que 30 gramos de A y 20 gramos de B forman 50 gramos de C. si al principio hay 270 gramos de A y 180 gramos de B y ninguno de C, y si la velocidad de formación de C es proporcional al producto de las cantidades de A y B que aún no se han combinado, exprese la cantidad (en gramos) de C formada como una función del tiempo t. 64. Si suponemos, como es usual, que cada miembro de una población requiere de otro para la reproducción y que los encuentros se realizan al azar. Si el número de machos y de 2
hembras en un instante dado es P, el número de encuentros es proporcional a P por lo 2
que el número de nacimientos por unidad de tiempo será proporcional a P , y el de defunciones a P. la población satisface pues la ecuación diferencial.
d P bP 2 aP ; a, b 0 constantes. d t Calcular la población para t , según los valores de a y b y de la población en un momento dado P 0 65. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia x
2
4c( y c) 0
66. Una resistencia de R ohmios varía con el tiempo t (segundos)
de acuerdo a
R R(t ) 1 0, 01t , 0 t 1000 . Se conecta en serie con un condensador de 0.1 faradios y una f.e.m de 100 voltios. La carga inicial en el condensador es de 5 culombios. Encuentre: a) La carga y la corriente como una función de tiempo. b) La carga máxima teórica. 67. Una persona de un pueblo de 1000 habitantes regresó con gripa. Si se observa que el número de agripados el primer día es 100 a) Hallar el principio que gobierna la cantidad de no agripados en el tiempo “t” y el correspondiente Modelo Matemático en forma de una EDO. b) Hallar el número de no agripados cinco días después. 68. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 metros, con una velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s. Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera.
18
| 69. Determine la curva cuyos puntos P ( x, y ) cumplen la siguiente propiedad. La recta normal en el punto
P( x, y ) y la recta que pasa por el origen y el punto P( x, y ) forman un
triángulo isósceles que tiene al eje X como base. 70. Supóngase que un alumno de la FIIS es portador del virus de la gripe y a pesar de ella va a la Universidad donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razó n con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de alumnos infectados después de 6 días de iniciado el proceso si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50. 71. Un muchacho se mueve en una línea recta de modo que su velocidad excede en 2 a su distancia respecto de un punto fijo de la línea recta. Si el valor numérico de su velocidad
t 0 , halle la ecuación del movimiento. 2 Dada la familia x 4c( y c ) 0 es 5 cuando
72.
a) Encuentre la ecuación diferencial ordinaria de esta familia. b) Hallar las trayectorias ortogonales de esta familia. c) Hallar, si existen, sus envolventes y verifique si son las soluciones singulares de la edo hallado en (a) 73. Una gota de lluvia esférica, partiendo del reposo, cae por influjo de la gravedad. Si recoge vapor de agua (supuesto en reposo) a un ritmo proporcional su superficie, y su radio inicial era 0, probar que cae con aceleración constante g / 4 . NOTA: La segunda ley de Newton en su forma general dice que
d (mv) dt
Siendo v la velocidad del cuerpo móvil respecto a un sistema inercial, fuerza exterior que actúa sobre dicho cuerpo.
F m su
masa y
F la
74. Obtener la temperatura T (t ) , en el instante t , de recipiente con agua que se está enfriando en el aire a 20ºC. Si el agua estuvo en un principio hirviendo a 100ºC y la temperatura descendió 10ºC en los primeros 20 minutos. Halle también, el tiempo necesario para que la temperatura del agua descienda de 90ºC a 80ºC, y la temperatura del agua después de transcurridos 90 minutos. 75. En un circuito serie RL se cierra el interruptor en t 0 . Si la inductancia es 0.5 henrios, la resistencia 3 ohmios y la fuerza electromotriz es u(t ) 64 sen 8t voltios, determine la intensidad de corriente en cualquier tiempo t 0 Nota:
e
at
senbtdt
(asenbt b cos bt ) e
at
a 2 b2
76. Un tanque contiene, en un principio, sal en los poros de material inerte y 10 decalitros de agua. La sal se disuelve a una velocidad por minuto de dos veces la diferencia entre 3kg/decalitro y la concentración de la salmuera. En el tanque entran dos decalitros de agua pura por minuto. ¿Cuánta sal se disuelve en los primeros 10 minutos. 77. Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de 0.5 henrios y una resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero. Asimismo hallar el mínimo valor de la corriente si el circuito funciona indefinidamente.
19
|
78. Mezclado Supongamos que un tanque mezclador grande contiene 300 galones de agua, en donde se ha disuelto sal. Otra solución de salmuera se bombea al tanque a una tasa de 3 galones por minuto. El contenido se agita perfectamente, y es desalojado a la misma tasa (Fig.). Si la concentración de la solución que entra es 2 libras/galón, hallar el modelo matemático de la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento. si había 50 Ib de sal disueltas en los 300 galones iniciales, ¿cuánta sal habrá en el tanque pasado mucho tiempo? 79. Se está formando una sustancia C por la reacción de dos sustancias A y B, de forma que 30 gramos de A y 20 gramos de B forman 50 gramos de C. si al principio hay 270 gramos de A y 180 gramos de B y ninguno de C, y si la velocidad de formación de C es proporcional al producto de las cantidades de A y B que aún no se han combinado, exprese la cantidad (en gramos) de C formada como una función del tiempo t. 80. Una resistencia de R ohmios varía con el tiempo t (segundos) de acuerdo a R= R(t) = 1 + 0,01t , 0 t 1000. Se conecta en serie con un condensador de 0.1 faradios y una f.e.m. de 100 voltios. La carga inicial en el condensador es de 5 coulombios. Encuentre: a) La carga y la corriente como una función del tiempo. b) La carga máxima teórica. 81. Halle las trayectorias ortogonales para la familia de curvas 82.
cos y ae x
Un insecto se encuentra volando junto con una pequeña lámpara. La luz se dirige verticalmente hacia abajo apuntando a un espejo que tiene una inclinación de una ángulo ALFA y refleja la luz hacia una pared vertical. En todo momento el insecto se dirige hacia el punto Q de la pared vertical, donde cae el reflejo de la luz. VER figura adjunta.
83. Hallar la ordenada de la posición del insecto cuando la abscisa vale 0. 84. Hallar la ecuación diferencial del movimiento del insecto y resolverlo. 85. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de 24 horas. 86. Una fuerza electromotriz de 200 voltios se aplica a un circuito RC en serie en el que la 6 resistencia es de 1000 ohmios y la capacitancia es de 5 10 faradios. Determine la carga q (t ) en el capacitor si i(0) 0,4 . Determine la carga y la corriente en t = 0,005 s. Determine la carga cuando
20
| 87. En un principio, un cultivo al inicio tiene P 0 cantidad de bacterias. En t = 1 hora se determine que el número de bacterias
es
3 2
P 0 . Si la rapidez de crecimiento es
proporcional al número de bacterias P(t ) presentes en el tiempo t. determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias 88. Suponga que un estudiante portador del virus de la gripe porcina AH1N1 vuelve a un campus universitario aislado de 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez a la que se disemina el virus es proporcional no sólo al número x de estudiantes infectados si no también al número de estudiantes sanos, determine la cantidad de estudiantes infectados después de seis días, si además se observa que a los cuatro días x(4) 50 . 89. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar un compuesto C. La reacción que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usan 2 gramos de B. Se observa que se forman 6 gramos del compuesto C en 20 minutos. Determine la cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 20 gramos de A y 10 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay después de 15 minutos?. Interprete la solución cuando t . 90. En el circuito que se ilustra en el diagrama, el capacitor está descargado inicialmente. Si R=250 k , E=80V, C=2 uF ¿Cuánto tiempo después de que se cierre el interruptor llegará a 76 volts el voltaje del capacitor? Determine la corriente en el resistor en ese tiempo. (Aquí, k denota 1000 ohmios y uF denota 10-6 faradios) 91. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar un compuesto C . La reacción que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada 2 gramos (2) de A se usa 1 gramo de B. Se observa que se forman 6 gramos del compuesto C en 20 minutos. Determine la cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 10 gramos de A y 20 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay después de 15 min?. Interprete la solución cuando t . 92. El químico C se produce de una reacción que involucra los químicos A y B. La tasa de producción de C varía con el producto de las cantidades instantáneas de A y B presentes. La formación requiere 3 libras de A por cada 2 libras de B. Si inicialmente están presentes 60 libras de cada químico A y B y se forman 15 libras de C en 1 hora, encontrar: a) La cantidad de C en cualquier tiempo b) La cantidad de C después de 2 horas c) la máxima cantidad de C que se puede formar 93. Determine la ecuación de la curva para la que el segmento de perpendicular desde el origen a una recta tangente de la curva es igual a la abscisa del punto de contacto x, y
21
| 94. Una fuerza electromotriz E (t ) : E (t ) 120,
0 t 20 se aplica a un circuito serie
LR en el que la inductancia es de 20 henrios y la resistencia es de 2 ohmios. Determine la corriente
i (t ) , si i(0) 0 .
95. Dada la ecuación diferencial
y P( x) Q( x) y K ( x) y 2
Probar que mediante el cambio
… (I)
y y1 u (donde y1 es una solución particular de
(I)) la ecuación diferencial se transforma en una ecuación de Bernoulli. 96. Halle la ecuación diferencial de todas las líneas rectas que están a la distancia de una unidad del origen. 97. Una fuerza electromotriz de 200 voltios se aplica a un circuito RC en serie en el que la resistencia es de 1000 ohmios y la capacitancia es de 5 x 10-6 faradios. a) Determine la carga q( t ) en el capacitor si, i (0) 0,4 . b) Determine la carga y la corriente en t=0,005 segundos. c) Determine la carga cuando t 98. Los experimentos muestran que las líneas de fuerza eléctrica de dos cargas opuestas de la misma intensidad y que se encuentran en (-1, 0) y (1, 0) son las circunferencias que pasan por (-1, 0) y (1, 0) . Demuéstrese que es posible representar estas circunferencias por la ecuación: x
2
( y c) 2 1 c 2 .
Determine,
además, las líneas
equipotenciales
(trayectorias ortogonales) 99. Una
bala se introduce en una tabla de h = 10 cm
de espesor con la velocidad
V0 200 m / s traspasándola con la velocidad V1 80 m / s . Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, halle el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. 100. Hallar las trayectorias ortogonales a la fami lia de curvas, que tienen la propiedad siguiente: “La recta tangente, en cualquier punto
P x, y , a la curva es bisectriz del ángulo
formando por la recta vertical que pasa por P y la recta que une P con el origen de coordenadas cartesianas”. 101. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
y2 2 x2 (1 C x )
102. Encuentre la forma de un reflector para que los rayos de luz emitidos por una fuente puntual se reflejen paralelos a una línea fija. 103. Un día empezó a nevar intensa y constantemente. Un quitanieves empezó a trabajar al mediodía haciendo dos kilómetros durante la primera hora, y uno durante la segunda. ¿A qué hora empezó a nevar?
2
104. Hallar las trayectorias ortogonales de
y
x
3
c x
22
| 105. Si en un cultivo de levadura la rapidez de crecimiento es proporcional a la población presente
p (t ) en el instante t y la población se duplica en un día. ¿Cuánto se puede
esperar en 1 semana, con la misma rapidez de crecimiento?. 106. En un circuito serie RC, se tiene C = 0.1 F y R = 100 y la carga inicial en el capacitor es de 2 C. En t = 0 se cierra el interruptor y el capacitor empieza a descargar. Encuentre la corriente I ( t ) , la carga
Q ( t ) y la tensión V (t ) en el capacitor.
107. En el circuito que se ilustra en el diagrama, el capacitor está descargado inicialmente. ¿Cuánto tiempo después de que se cierre el interruptor llegará a 76 voltios el voltaje del capacitor? Determine la corriente en el resistor en ese tiempo. (Aquí, k denota 1000 ohmios y uF denota 10-6 faradios) 108. La policía descubre el cuerpo inerte de una persona. Para resolver el crimen es decisivo determinar cuándo se cometió el homicidio. Para ello recurre a su hijo, que estudia en la FIIS, el curso de ecuaciones diferenciales y le comenta que la forense llegó al mediodía y de inmediato observó que la temperatura del cuerpo fue de 94.6 grados Fahrenheit. Esperó una hora y observó que la temperatura del cuerpo disminuyó a 9 3.4°F. Asimismo, observó que la temperatura de la habitación es constante a 70°F. Suponiendo que la v íctima estaba normal (cuando menos en lo que a temperatura se refiere) hasta el momento de su fallecimiento, determine la hora a la que se cometió el crimen. 109. Supóngase que una esfera de hielo se funde o derrite a una razón proporcional al área de su superficie. Deseamos hallar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier tiempo t. 110. Si cuando la temperatura del aire es 20°C, se enfría una sustancia desde 100°C hasta 60°C en 10 minutos, hallar la temperatura después de 40 min. 111. Una resistencia de R ohmios varía con el tiempo t (segundos) de acuerdo a R= R(t)
=1 + 0,01t , 0 t 1000. Se conecta en serie con un condensador de 0.1 faradios y una f.e.m de 100 voltios. La carga inicial en el condensador es de 5 culombios. Encuentre: a) La carga y la corriente como una función del tiempo. b) La carga máxima teórica.
112. Los experimentos muestran que las líneas de fuerza eléctrica de dos cargas opuestas de la misma intensidad y que se encuentran en ( -1, 0) y (1, 0) son las circunferencias que pasan por (-1, 0) y (1, 0). Demuéstrese que es posible representar estas circunferencias por la ecuación:
x 2 ( y c) 2 1 c 2 . Determine, además las líneas equipotenciales
(trayectorias ortogonales). 113. Encuentre la forma de un reflector para que los rayos de luz emitidos por una fuente puntual se reflejen paralelos a una línea fija. 114. Un circuito consiste de una resistencia de 20 ohmios y un condensador de 0.01 faradios y una f.e.m de 200 e-5t voltios que están en serie. La carga inicial en el condensador es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un máximo, calcúlelo y halle cuando se obtiene.
23
|
115. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar un compuesto C. La reacción que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada 2 gramos (2) de A se usa 1 gramo de B. Se observa que se forman 6 gramos del compuesto C en 20 minutos. Determine la cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 10 gramos de A y 20 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay después de 15 minutos?. Interprete la solución cuando t . 116. En un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora, ¿cuántas veces puede esperarse que se tenga la cantidad original al cabo de 2
3 4
hora?
117. En un circuito serie RL se cierra el interruptor en
t 0 . Si la inductancia es 0.5 henrios,
u (t ) 64 sen 8t voltios, tiempo t 0 . Nota:
la resistencia 3 ohmios y la fuerza electromotriz es determine la intensidad de corriente en cualquier
e
a t
senbtdt
(asenbt b cos bt ) e
a t
a2 b2
118. Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de cardiode r = (1+ sen ) 119. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces la pendiente de la recta que pasa por el origen y éste punto. 120. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 121. “El carbono C14 radioactivo contenido en las personas se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad presente”. El carbono extraído de un cráneo antiguo c ontenía
solamente una sexta parte del carbono C14 extraído de un hueso de los tiempos actuales. ¿Cuál es la antigüedad del cráneo? 122. Hallar las trayectorias ortogonales de:
cos y a e x
123. Dos sustancias A y B se combinan para producir una tercera C. La velocidad (de producción con relación al tiempo) a la que se forma C varía proporcionalmente con el producto de las cantidades instantáneas de A y B que se hallan presentes. La formación requiere de 3 kg de A por cada kg de B. Si inicialmente hay presentes 20 kg de A y 25 kg de B y, para t = 30 minutos quedan 20 kg de B. Dígase cuanto queda de A y cuánto quedará de las sustancias originales al cabo de 60 minutos. 124. Hallar la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada por :
2
r ( ) a(1 sen )
24
| 125. En un circuito en serie RL con una fuerza electromotriz de la forma E=sen(wt) voltios, siendo E y w constantes; la inductancia es de L henrios y la resistencia de R ohmios. Si es i = 0 para t = 0 , demuéstrese que:
i(t )
Nota:
F)
E
EwL 2 2 (Rsenwt – wLcoswt) +
2
R w L
e a t senbtdt
2
2 2
R w L
(asenbt b cos bt ) e
e
t R L
a t
a2 b2
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por cualquiera de los Métodos desarrollados en clase: 1.
y 4 y 4 y 6 senx 8cos 2 x 12e x
2.
( D2 2D 1) y e x Lnx
3. 4.
( x 2 1) y 2 xy 2 y (x 2 1)2 ( D3 4D) y 6 e x 3e 2 x 12x
6.
D D
7.
x3 y xy 12 y 0 Tiene tres soluciones linealmente independientes
5.
8. 9. 10.
11.
12. 13.
3
7 D2 16D 12 y e2 x senx
2
25D 34 D4 4 y 0
D D D 1 y e e senx D 1 y x D 5D 6 y e sec x 1 2 tan x 3
2
2
d 2x 2
dt
2 x
k1
dx
k2 x
dt y (8) 256 y 0
2
2
, k1
4k 2
y y y y 4e3 x 2 x2 6
d y 3
2
d y dx
15. y y
2
dy dx
y e x e- x Sen2 x
(sec2x)3/2
1 x y 2xy 2 y 2
3
17.
x
2
dx
16.
x
2
3
14.
6
d y 3
dx
2
d y dx
2
dy dx
1 x2
x
, si se sabe que y1
x es solución de la EDOH
y e x e x x sen2x
25
| 2
18.
d y 2
dx 19.
2
dy dx
2 y Sen3x 20e x
m
y y 2 x
6
20. Determine la dependencia ó independencia lineal del siguiente conjunto de funciones.
y1 eax , y2 ebx y
y3 ebx ,
21.
y 4 y 16e2 x 36 x 2 8
22.
y 9 y 85e x cos x 12sen3x
a b c
x
e
23.
y 2 y y
24.
1 x2 y 2xy 0
1 x2
25. Encuentre la solución general de x
4
3 2 y x y 4x y 1 , dado que y1 x
es una solución de la ecuación homogénea asociada. 4 3 2 26. Demostrar que D D 3D 5D 2 y
soluciones linealmente independientes de la forma
tiene únicamente dos
y eax
D2 D 1 y e x
27.
D
28.
y 2 y y 12e x / x3
29.
D
30.
y 6 y 9 y 9x e
31.
y
32.
(1 x) y x y y ( x 1) e
3
0
2
3
D2 D 1 y e x senx 10
2 3 x
18 12sen3x
4 x y 25 x 2 2 x
z m y escoja m apropiadamente para resolver la ecuación diferencial xy y 4 x y 0 33. Haga x 3
34. Un circuito serie RLC se conecta en serie con una fuerza electromotriz de u(t) = 220 e- 8 t sen6t voltios Si L = 2 henrios, R = 32 ohmios y C = 0.005 faradios y en t = 0 tanto la carga del condensador como la corriente del circuito valen cero.
Encontrar la carga y la corriente en cualquier tiempo t 0 . d3 y d2y dy 3 2x 6 +12 8y = x e ; y"(0) = -2y'(0) = 2y(0) =2 35. 3 2 dx
dx
36.
dx
y y cos(x)
26
|
37.
( D6 1)2 y e x x 24
38. Determine la carga
q(t ) en el capacitor de un circuito en
serie LRC, cuando L = 0.25 henrios (h), R = 10 ohmios ( ), C = 0.001 faradio ( f ), E (t ) sent , q(0) q0 coulomb (C) e i(O) = 0 amperios (A). 39. Resolver la
ecuación
1 x2 y xy y 1 0
diferencial:
, sabiendo que
y1 x , es una solución de la
ecuación diferencial homogénea asociada
2
2D 2 y e x csc x
6
1 y e x x24
40.
D
41.
D
xy x 4 y 4 y 0 43. Determine la carga q (t ) en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 0,25 henrios, R = 10 ohmios, C = 0,001 faradios , E (t ) 0 , q(0) q0 e i (0) 0. 42.
44. Demostrar que la E.D.O.
d2y dx
coeficientes
dq dx 45.
46.
constantes,
2
p( x)
Si
dy dx
q( x) y 0
se
verifica
se vuelve de lo
siguiente:
2 p( x)q( x) kq3/ 2 ( x) , k R
D3 3D2 2D y x2 4x 8 y 2 y y
e x x 2 1
47. Halle la curva para que cada una de sus tangentes forme con los ejes coordenados 2 un triángulo de área constante a . 48. Un circuito serie RLC. fuerza electromotriz de
L = 1 henrio,
u(t ) u(t) 220e
y la intensidad de corriente
C
R = 6 ohmios,
4t 2
t
i(t ) , en un instante
49. Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 50. Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 51. Demostrar que la ecuación diferencial
1 9
faradios y una
voltios, halle la carga
Q (t )
t cualquiera.
D 6D 12D 8D y 0 D3 4D y x 8e2x 4
3
2
x3 y 6 xy 12 y 0 tiene tres
soluciones linealmente Independientes de la forma
y x r 27
|
52. Demostrar que independientes 53.
eax senbx
eax cos bx
y
son funciones linealmente
Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 5 ohmios, y un condensador de 0,08 faradios. En t = 0 la corriente es 10 amp. y la carga en el condensador es cero. Muestre que la carga se eleva al máximo en 0,2 seg. y determine el valor del máximo.
2 3
y 2 px y p
54. Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 55. Resuelva
la
siguiente
ecuación
diferencial:
D3 3D2 2D y x2 4x 8 y 2 y y
56. Resuelva la siguiente ecuación diferencial: 57.
x
e
x2 1
Halle la curva para que cada una de sus tangentes forme con los ejes coordenados 2 un triángulo de área constante a .
y1 1 x ,
58. Determine si el conjunto de funciones:
y2 1 x2
,
y3 x x2 Son linealmente dependientes o independientes. Justifique 59. Resolver la siguiente ecuación diferencial: 60. Resolver la EDO
y 7 y 6 y 2 x 1 e x
yiv 5 y 4 y 8 20ex 24 senx
61. Resolver la siguiente EDO y 4 y
8tg 2 2x
62. Un circuito serie RLC consta de una f.e.m. dada por u(t ) = 110e-2t sen 2t voltios, una inductancias 0.5 heríos, una resistencia de 2 ohmios y un condensador de 0.25 faradios. Halle la carga Q en el condensador y la intensidad de corriente en cualquier instante t . 63. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)
2
y y sen x 4
64. Demostrar que
d y dx
4
b)
3
d y 3
3
dx
2
d y dx
2
y 3 y 2 y x 2 4 x 8 5
dy dx
2 y 0
soluciones linealmente independientes de la forma 65. Suponga que diferencial
x
y1 e
lineal
y
homogénea.
y2 e
x
Justifique
únicamente tiene dos
y e
ax
son soluciones de una ecuación por
qué
y3 cosh x
y
y4 senhx también son soluciones de la ecuación. 66. En el circuito serie RLC se pide determinar la carga Q (t ) , en el condensador, y la intensidad de corriente i (t), en cualquier instante de tiempo t , si: L= 0, 5
28
| henrios, R =3 ohmios, C =0,08 faradios, alimentado por una fuerza electromotriz de:
u(t ) 110e 3t sen4t voltios; 67.
sabiendo que en t = 0, Q (0) = 0 y i (0) = 0
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: A)
y 4 y 4 y 8xe2 x 18 9sen2x
B)
( D3 9 D) y 6 e3 x cos 3 x e3x
C)
D2 4 D2 9 y 84e5 x 30 e2 x 40sen2 x
68. En el circuito serie R L C si: R = 8 ohmios L = 2 henrios,
C
1 6
faradios y la
tensión de alimentación es: (t) = 220e-3tsen3t. Si inicialmente el condensador está descargado y i (0) = 0, determine: i) Q(t) 69.
ii) i(t)
Un punto material de masa m es atraído por dos centros. La fuerza de atracción de cada uno es proporcional a la distancia (el coeficiente de proporcionalidad es igual a k). Hallar la ley del movimiento de dicho punto, sabiendo que la distancia entre los centros es de 2b, que en el momento inicial el punto en cuestión se encontraba en el segmento que une entre si dichos centros, a una distancia c del punto medio del mismo y que su velocidad era igual a cero.
70. Averiguar si las siguientes funciones son linealmente independientes
e ax , eax sen(ax)
,
eax cos(ax)
para
71. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: x 3 2
a>0 a)
( D D 2 D) y e 2
b)
2
( D 6D 9) y
3 x
e
x
c)
2
( D4 2D 3 3D 2 ) y x 2 3e 2 x 4sen x
72. En el circuito serie RLC se pide determinar la carga Q (t ) , en el condensador, y la intensidad de corriente i (t), en cualquier instante de tiempo t , si: L= 0, 5 henrios, R =3 ohmios, C =0,08fd, alimentado por una fuerza electromotriz de: sabiendo que en t = 0, Q (0) = 0 y i (0) = 0. (5.0) u(t ) 110e3t sen4t voltios; 72. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
x
2
y 2 y 4 y e cos x x sen2x
a)
b)
2
y y tg x c)
D3 2D2 5D y 10 15cos 2 x 4e xsen2 x
73. Averiguar si las siguientes funciones son linealmente independientes:
cos x,
cos( x 1),
cos(x 2)
74. Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 5 o hmios, y un condensador de 0,08 faradios. En t = 0 la corriente es 10 amp, y la carga en el
condensador es cero. Muestre que la carga se eleva al máximo en 0,2 seg y determine el valor del máximo. .
29
| 75. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
D4 6D3 13D2 12D 4 y 0
a)
b)
3.0)
D3 D2 D 1 y ex ex senx (3.5)
c)
D2 1 D2 16 y 30 e x 96 e2x 48sen2x (3.5)
76. Dado el conjunto de funciones
eax , ebx , ecx
, se pide determinar para que
valores reales de a, b y c el conjunto es L.I y para que valores es L.D 77. Un circuito consta de una inductancia de 0.05 henrios, una resistencia de 5 ohmios
y un condensador de 4 x 10-4 faradios de capacidad si
q i 0 para
t = 0, hallar
q e i en función del tiempo t cuando hay una f.e.m alterna de 200cos (100t ). También hallar las soluciones de régimen permanente, es decir, cuando t toma valores grandes. 78. Un punto material de masa m es atraído por dos centros. La fuerza de atracción de
cada uno es proporcional a la distancia (el coeficiente de proporcionalidad es igual a k). Hallar la ley del movimiento de dicho punto, sabiendo que la distancia entre los centros es de 2b, que en el momento inicial el punto en cuestión se encontraba en el segmento que une entre si dichos centros, a una distancia c del punto medio del mismo y que su velocidad era igual a cero. 79. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) b)
3 2 ( D D 9 D 9) y 0
y 4 y 4 y 6 senx 8 cos 2 x
c)
( D 1) y (1 e )
d)
( D 3 3 D 2 2 D) y x 2 4 x 8 4e x 6 senx
e)
y iv 8 y 20 y x 2 e 3 x 16 e 4x sen 2 x
2
x 2
80. Averiguar si el siguiente conjunto de funciones
Lnx, x Lnx, x 2 Lnx
es
linealmente dependiente o independiente 81. Hallar la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes
coordenados tiene una longitud constante “a“ 82. Los experimentos muestran que las líneas de fuerza eléctrica
de dos cargas
opuestas de la misma intensidad y que se encuentran en (-1, 0) y (1, 0) son las
30
| circunferencias que pasan por (-1, 0) y (1, 0). Demuéstrese que es posible representar estas circunferencias por la ecuación x
2
( y c) 2 1 e 2
.
Demuestre que las líneas equipotenciales (trayectorias ortogonales) son las circunferencias
( x c *) y 2 c *2 1 .
83. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
D3 2 D 2 D y 2 12 et
a)
2 3t 6 13 13 D D y e sen 2 t b)
c) Hallar una expresión de i en función de t para el circuito serie R L C cuando
u (t )
20 sen 500t ,
R = 2 ohmios, L = 0, 2 henrios, C = 20 x 10 -6
faradios y si i y Q son ceros cuando
t 0 .
84. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
( D 3 4 D) y 16 6e 2 x x 3e x 4e 2 x
a)
y y y y 3 e x sen2 x b)
y (0) 0, y(0) 1, y(0) 0
c) y
( 6)
4 y
(5)
6 y
( 4)
,
2
x
8 y 9 y 4 y 4 y
2
e 2 x x
2
,
x 0
85. En el circuito serie RLC donde: L = 0, 2 henrios, R = 2 ohmios, C = 20 x 10 -6 faradios
y la fuente de alimentación u (t )
20 sen 500t
y si i y Q son ceros cuanto t =
0, hallar i (t ) . 86. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
D 2 4 D 3 y 8 xe x 6 12e x sen2 x
b) y y
c)
y
iv
1 cos 2 x cos 2 x
y y y y e 4 x
87. Resolver la siguiente ecuación:
x1 xLnx y 1 x 2 Lnx y x 1 y 1 xLnx e x , sabiendo que 2
y1 Lnx es una solución de la ecuación diferencial homogénea. 88. En un circuito serie RLC, con R = 2 ohmios, L = 1 henrio, C = 0.25 faradios y la fuente
de alimentación
u(t ) 200 e2t sen3t voltios,
se pide hallar la carga Q(t ) .
89. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
31
|
a)
x y 3 y 2 y e cos 2 x sen3 x Lnx (3.5)
y (4) 2 y y e x senx. cosh 2 x
b)
c) x
y x y 3 y
2
16 Lnx
x
90. Resolver la ecuación diferencial:
cos x senx y 2 senx y senx cos x y e x cos x senx2 si
y1 senx es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.
91. Un circuito serie RLC se conecta en serie con una fuerza electromotriz de u(t) = 220
e- 8 t sen6t voltios Si L = 2 henrios, R = 32 ohmios y C = 0.005 faradios y en t = 0 tanto la carga del condensador como la cor riente del circuito valen cero. Encontrar la carga y la corriente en cualquier tiempo t 0 . 92. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y + 6 y + 11y + 6y = 0(3.0)b) y + 2y + 2y = e -x cosx + xe -x c) y + y = (3x – 1) + senx( d) y + 4y + 4y = 4e-2x cos2x + 4sen2x + 2sen4x 93. En el circuito serie RLC con L = 1 henrio, R = 8 ohmios, c = 0.04 faradios y un
generador teniendo una fuerza electromotriz dada por (t) = 120 e-4t cos3t voltios, se pide determinar la carga Q(t) y la corriente i(t) 94. Determine si las siguientes funciones son l inealmente independientes y 1 = exy2 =
xex 95. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y 6 y 6 y b)
9 xe 3x 18 9 sen 3x
y 5 y 6 y 12 x 7 e x
,
y0 y 0 0
96. Resolver la ecuación diferencial siguiente:
x x 1 y 2 x 1 y 2 y x 2 2 x 3 Sabiendo que y1 x 2 es una solución de la ecuación homogénea asociada. 97. En el circuito serie R L C si: R = 8 ohmios L = 2 henrios,
C
1 6
faradios y la
tensión de alimentación es: (t) = 220e-3tsen3t si inicialmente el condensador está descargado y i (0) = 0, determine : i) Q(t) ii) i(t) 98. Un punto material de masa m = 1 se mueve por una recta acercándose a un centro
por el cual es repelido con una fuerza igual a k 2x (x es la distancia del punto al centro). Para
t = 0, x = a,
dx dt
ka . Hallar la ley del movimiento. 32
|
99. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: x 3 x
4 D) y 6 e
a) ( D
3e
b) y 8 y 25 y 26 y
7e3x cos 2 x
c) x y 2 x y 9 x y 5 y 3
d) ( D
2
3
4 cos ( Ln x) 6 sen ( Lnx) , x 0
2 D 2 5 D) y 10 15cos 2 x
100. En el circuito serie RLC la fuerza electromotriz es t 160 e
t
cos 2t voltios, R
= 2 ohmios, L = 1 hernio y C = 0,2 faradios. Determinar la carga Q(t) y la intensidad de corriente i(t).
101. Resuelva la siguiente ecuación diferencial : siendo :
G.
x 4 y 2 x 3 y y 16 e 3 / x ,
y1 e1/ x una solución de la ecuación homogénea asociada
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Resolver los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por cualquiera de los Métodos desarrollados en clase: 102.
x´´2 x´ y´´ x 3 y sent ; x´ y´ 4 x 2 y e
t
103.
dz t z t ( t 1) e ty 104. dt dy t z e z(0) -1 y(0) 1 dt dy dx 2et y(0) 1 3 2 dt dt dx 2 dy 0 x(0) 2 dt dt
105.
d2x dx dy dy y 3t , (0) 6.5 2 3 dt dt dt dt 106. dy dx dx 3 x 1 0 (0) dt dt dt
33
|
dx t 2 y e , 1 x(0) dt 107. dy 8 x t y(0) 1 dt d2 x dy dx 3 y 0, (0) 0 2 3 dt dt dt 2 d x 108. t 3 y te , x(0) y(0) 0 dt2 dy dx t x 2 3 y e , 0 x(0) dt dt 109. dx dy 3 x 4 y 0 y(0) 1 dt dt
d2 x dy dx 2 t 5 (0) 0 3 2x y(0) dt 2 dt dt 110. dx dy x y 2t 1 x(0) 3 dt dt dx dy 2 2 x 1 y(0) 0 dt dt dx dy 3( x y) 2 x(0) 0 dt dt
111.
d2 x 2 x y 0, x(0) y(0) 0 112. dt 2 dx dy d y y x 0, 2 1 (0) (0) 2 dt dt dt
113.
d2 x d2 y 2 2 2 t , x(0) 0 y(0) dt dt 2 2 dx dy d x d y 4 t 0 (0) (0) 2 dt dt dt2 dt
34
|
G.
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES – SEPARACION DE VARIABLES Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por cualquiera de los Métodos desarrollados en clase:
2u U x x 2
114.
U xx
117.
,
119.
0
115.
2u k 2 U y , k 0 x 2 2u 2 u 5 a x 2 y 2
116.
118.
3U xy 2U yy U x
2U 2U U x 2 y 2 U xx
3U xy 2U yy U x
0
V 1 2S 2 2V rS V rV 0 t 2 S S2 donde V(S, t) es el Precio del Derivado Financiero ( La S(t)
es el
es la Rentabilidad Compuesta Contínua
Temperatura )
Precio Vigente dentro de un Año
120.
121.
x2Uxx xUx y2Uyy yUy
122.
3Ux Uy 6U 0
123.
Ux Uy 0
124.
Utt k 2U xx , U(x,0) Senx U(x,2) 0 U(0, y) U(, y) Seny 35
| 125.
Uxx U Tgy
126.
x2Uxx xU x U y
127.
Ux Uy 2 xU
128.
Ux Uy U 2
129.
x(Ux Uy ) 2U
130.
U(Ux Uy) x
36
|
OTROS EJERCICIOS A) Serie de Frobenius. B), C) y D) Transformadas de Laplace. E) Variables Separables.
2
1. A) 2xy
d y dx2
(1 x )
dy (1 x ) y 0 dx
dz t z t ( t 1) e ty dt C) dy t z e z(0) -1 y(0) 1 dt
d2 y
1, 0 t 1 s 1 2 2 yUy B) L-1 sLn ( ) 2 4y E) x U xU y U xx x yy s 1 dt 2 0, t 1 2 1 s 2 a 2 dy 2 2 d y -1 (2 x 3x) 3y 0 Ln ( ) 2. A) x B) L E) 3Ux Uy 6U 0 10 dx s 2 b2 dx2 s dy dx 3 2et y(0) 1 2 2 2t d y dy e Cost, 0 t 2 dt dt D) 4 C) 5 y dt t 2 dt 2 0, t 1 dx 2 dy 0 x(0) 2 dt dt ( s a )( s 2 c 2 ) d2 y dy 3 -1 ) E) Ux Uy 0 4 xy 0 3. A) x ( x 1) 2 ( x 1) B) L Ln( dx ( s c ) 2 ( s b) dx d2 x dx dy dy 3 y 3t , 6.5 (0) t dx 2 dt dt dt D) 5 euCos 2(t u ) x(u ) du e t ( x) 1, x(0) 0 C) dt dt dx 0 dx 3 x dy 1 (0) 0 dt dt dt Utt k 2U xx , U(x,0) Senx 2 s dy 3 d y -1 ( s 3)e 4. A) 2x B) L 2 E) U(x,2 ) 0 U(0, y) x (2 5 x) y 0 dx dx2 4 s 4s 9 U(, y) Seny dx t 2 y e , 1 x(0) 2 dy d y 2y e t C) dt D) 2 2 dt dt dy 8 x t y(0) 1 dt D)
37
|
d2 y dy 2 3 5. A) (2x 5x ) (3x x 2 ) (1 )y 0 2 dx dx d2 x dy dx (0) 0 y(0) 3 2x 2t 5 dt 2 dt dt C) dx dy dt x dt y 2t 1 x(0) 3
s2 1 E) Ux Uy 2xU B) L Ln( ) s(s 1) d2 y dy s2 1 -1 1 12 4 y 0 B) L Ln( 6. A) 9x(1 - x) ) dx 2 dx 2 s2 dx dy 2 2 x 1 y(0 ) 0 dt dt C) dx dy dt dt 3(x y) 2 x(0) 0 d3 y
d2 y dy 3 3 y t 2e t D) dt dt 3 dt 2
-1
d2 y dy dy dy D) (0) 1 (0) -1 E) Ux Uy U2 4 4 y 2, y(0) 0 dt dt dt dt 3 dt 2 d3 y
7. A) x
2
d2 y dx
D)
d2 y dt
2
2
2
2x dy dt
dy dx
4(x 2 1)y 0
(s2 1) B) L Ln( ) 2 (s 1)2
5 y e - t Sent , y(0) 0
-1 1
dy dt
E) x(Ux Uy ) 2U
(0) 1
d2 x x y 0, x(0) y(0) 0 dt 2 C) d2 y dx dy y x 0 , (0) 2 (0) 1 2 dt dt dt 2 dy ( s2 1) 2 d y -1 x(x 1) y 0 B) L Ln( 8 A) 2x ) E) U(U x Uy) x dx s(s 3) dx 2 d2 y dy dy d2 y -t D) (0) 18 3 4 12 y 12e , y(0) 4, (0) 2, 3 2 2 dt dt dt dt dt d3 y
d2 x d2 y 2 t , x(0) 0 y(0) dt 2 dt 2 C) d2 x d2 y dx dy 4 t (0) 0 (0) 2 dt dt dt 2 dt
38
