05-pd-parsial-gt.doc

BAB V P E R S AM AA N D I F E R E N S I AL P AR S I A L

Pokok Bahasan :

• Penyelesaian Masalah Syarat Batas • Persamaan Konduksi Panas 1 Dimensi •  Aliran Panas Panas Konduksi Konduksi 2 Dimensi • Getaran Tali (Persamaan Gelombang 1 Dimensi

5.1 Pendahuluan Persamaa Persamaan n di!erens di!erensial ial "arsial "arsial adalah adalah "ersama "ersamaan an yang yang memuat memuat suatu suatu !ungsi !ungsi dengan dengan dua atau lebih lebih #ariabe #ariabell bebas bebas berikut berikut deri#at deri#ati#e i#e "arsial "arsial !ungsi !ungsi tersebut tersebut terhada" terhada" #ariabel #ariabel $ #ariabel #ariabel bebasny bebasnya% a% &rde dari dari PD "arsial "arsial : tingkat tingkat tertinggi dari deri#ati! yang ada dalam PD% Dera'at dari PD "arsial : "angkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang ada dalam PD% dikatakan an linier  'ika hany hanya a memuat memuat dera'ad dera'ad "ertama "ertama dari dari PD parsial  parsial  dikatak #ariabel $ #ariabel bebasnya dan deri#ati! $ deri#ati! "arsialnya% Bebera"a ontoh PD "arsial yang "enting :

"ersamaan gelombang satu dimensi "ersamaan konduksi "anas satu dimensi

"ersamaan la"lae dua dimensi

"ersamaan "oisson dua dimensi "ersamaan la"lae tiga dimensi

V - 1

Penyeles Penyelesaian aian

PD parsial parsial

: sembaran sembarang g !ungsi !ungsi yang yang memenuh memenuhii PD seara seara

identik% Penyelesaian umum PD "arsial : "enyelesaian "enyelesaian yang yang terdiri dari se'umlah se'umlah !ungsi sebarang yang bebas linier ( independent (  independent linier) yang banyaknya banyaknya sama dengan orde PD nya% Peny Penyele elesa saian ian khus khusus us PD "arsia "arsiall : "eny "enyele elesai saian an yang yang

di"ero di"eroleh leh dari

"enyelesaian umum dengan "ilihan khusus dari !ungsi ) !ungsi sembarangnya% Peny Penyel eles esai aian an PD deng dengan an syar syara a !aa !aas s adal adalah ah peny penyel eles esai aian an PD yang yang memenuhi syara"syara erenu yang dise!u syara !aas. PD Parsial Linier #rde $ Persamaan umum : (8$1

u

* #ariabel tak bebas+ meru"akan !ungsi dari , dan y

,+ y * #ariabel bebas dari PD  A+ B+ -+ D+ .+ /+ G * koe!isien+ bisa bisa konstan atau meru"akan meru"akan !ungsi !ungsi dari , atau y teta"i bukan !ungsi dari u% 0ika : G * 



disebut PD homogen

G3



disebut PD non homogen

0ika

B2 $ 4a 5 



disebut PD .li"tik 2

 B2 $ 4a * 



disebut PD Parabolis

 B2 $ 4a 6 



disebut PD 7i"erbolis

5.$ Penyelesaian Masalah Syara Baas 5.$.1 Penginegralan seperi PD !iasa Menari "enyelesaian umum dengan metoda yang digunakan dalam PD biasa biasa (deng (dengan an mengin menginteg tegral ralkan kan masing masing $ masing masing ruas ruas ke setia setia" " #aria #ariabe bell bebasnya% V - 2

%&n&h ' a.

Selesaikan PD :

b.

Tentukan masalah nilai batas yang memenuhi 9(,+  *,2  9(1+ y * os y PEN(ELESAIAN '

 Diintegralkan terhada" ,

 Diintegralkan terhada" y

P)PD '  sembarang

G(,

b%

V - 3

dan

7(y

!ungsi

2%Selesaikan PD :

Syarat batas 1 :

Penyelesaian : Syarat batas 2 :

V - 4

 1.1.1. Pemisalan u * ea+,!y PD "arsial linear orde 2 dengan A+B+-+D+.+/ konstan+ P; PD ditentukan dengan memisalkan u * ea+,!y  a+b konstanta yang harus diari% %&n&h'

V - 5

V - 6

5.$.- Pemisahan Varia!el Penyelesaian PD dengan "emisahan #ariabel adalah "enyelesaian PD dengan mengasumsikan bah
n * 'arak bidang = dan bidang == u * tem"eratur bidang = u > u * tem"eraur bidang ==  ?u * "erbedaan tem"eratur 

V - 7

 'ika u 6 maka aliran "anas ter'adi dari bidang == mengalir kebidang =+ sebab u>

u 6u

/luks "anas * 'umlah "anas "ersatuan "an'ang "ersatuan
n  sebanding

 /luks "anas dari = ke == * $k K * konstanta "embanding *  n *   maka ?u * 

* kondukti#itas termal  k 6 

+ karena bidang = dan bidang== makin berim"it+

sehingga+ !luks "anas yang mele
Misalkan "anas masuk dan dan keluar dalam arah , "ositi!+ y "ositi!+ 9 "ositi! 

•

/luks "anas yang mele
Bidang PST *

Bidang P@C *

•

0umlah "anas yang masuk "ada masing masing sisi bidang selama  * (/luks "anas , (luas bidang  ,  sehingga 0umlah "anas yang masuk

V - 8

melalui "ermukaan elemen #olum :

Bidang P@S * Bidang PST * Bidang P@C *

•

•

0umlah "anas yang keluar melalui "ermukaan elemen #olum: Bidang P@S * Bidang PST * Bidang P@C * Perubahan "anas yang ter'adi "ada #olume ? dalam arah ,+ y+ dan 9 * E ( "anas masuk $ "anas keluar  "ada masing masing sisi bidang Perubahan "anas dalam #olume ?# * ?, ?y ?9 adalah :  Arah , *  Arah y *  Arah , *

"erubahan yang ter'adi dalam #olume ?# *

 (i

•

0ika massa dari #olume ?#

adalah m+ maka banyaknya "anas yang

dibutuhkan untuk menaikkan tem"eratur dari u men'adi u>?u adalah: m%F%?u * ( massa , "anas 'enis , kenaikan tem"eratur m *?,?y?9 +  * densitasH massa 'enis dari #olume # #olume

* massa "ersatuan

"anas yang dibutuhkan untuk mrnaikkan tem"erature sam"ai ?u "ada #olume  ? * F ?,?y?9 ?u

(ii

"anas yang dibutuhkan untuk menaikkan tem"eratur ? * dengan 'umlah V - 9

"erubahan "anas dari masing masing sisi  atau (i * (ii

 'ika masing masing ruas dibagi dengan ?,?y?9? men'adi:

0ika ?,+ ?y+ ?9+maka nilai limitnya sama dengan:

Karena k konstan maka :

Persamaan aur unu/ /&ndu/si panas - dimensi adalah ' (8$2

Persamaan /&ndu/si panas sau dimensi

Batang dengan "enam"ang seragam diisolasi seara lateral% Pan'ang

V - 10

batang * I dan diletakkan "ada sumbu ,% Tem"eratur "ada batang "ada suatu
 Ada dua maam syarat batas untuk masalah "er"indahan "anas konduksi yaitu kondisi batas ( boundary condition  dan kondisi a
0ika tem"eratur a
kondisi a
%&n&h' 1.

Tentukan "ersamaan tem"eratur dari suatu ka 28 sin 1, Koe!isien di!usi#itas ka
Penyelesaian : V - 11

Persamaan atur : Syara !aas ' Kondisi batas u(+t * u(J+t *   t N %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 Kondisi a 2 sin 1 x %t* OOOOOOOO J Pemisahan #ariabel: misal P; PD adalah u(,+t * /(t G(,

PD men'adi : /(t G (,* 2/(t GQ(,%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4

Persamaan karakteristik:

m > 2k2 *  m * $ 2k2

Penyelesaian "ersamaan 8 adalah : /(t *

Persamaan karakteristik:

OOOOOOO% R

m2 > k2 *  m2 * $ k2 → m1%2 * → m1+2* ± k =

V - 12

Penyelesaian "ersamaan  adalah: G(, * eo, A1 -os k, > B1 sin k,U * A1 -os k, > B1 sin k, OOOO%%OOO%%%%% L

P; PD : u(,+t * ;(,+ t *

A1 -os k, >B1 sin k,U OOOOOOOOOO%%O%%% V A -os k, > B sin k,U

Kondisi batas 1: u(+t * 

Penyelesaian PD : u(,+ t * Kondisi batas 2 : u (J+t *

0ika B *  akan menghasilkan "enyelesaian tri#ial+ maka: sin Jk *  Jk * m (m + ±1+ ±2+ ±J+%%%%%%%  K*  OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 11 Penyelesaian PD: u(,+ t *

Kondisi a 2sin1, meru"akan "enyelesaian PD+

 'uga "enyelesaian PD

Berdasarkan "rinsi" su"er "osisi :

V - 13

 'uga meru"akan "enyelesaian

Persamaan tem"eratur di se"an'ang ka
2% Sama dengan soal no% 1+ 'ika syarat a
Berdasarkan "rinsi" su"er "osisi :  'uga meru"akan "enyelesaian PD

kondisi a
deret /ourier Sinus dari !(, * 28 W , W J

yang kon#ergen ke !(, * 28 Koe!isien Bm ditentukan dengan :

V - 14

J% Sama se"erti soal no%1 'ika syarat batasnya adalah: kondisi batas : u(+t * 1+ u(J+t * 4 t 6 Kondisi a
Kondisi batas : Y(+t * + Y(J+t *  Kondisi aψ  (x)

PD men'adi:

0ika di"ilih ψ Q(, *  maka PD akan men'adi:

V - 15

sehingga

ψ (, diari dari:

0adi ψ (, * 1, > 1

Persamaan aturnya men'adi :

Kondisi batasnya men'adi :Y(+t *   Y(J+t *  Kondisi a
Berdasarkan "rinsi" su"er "osisi : 'uga meru"akan "enyelesaian

 Kondisi a
Deret /ourier Sinus dari !(,*18$ 1,

V - 16

Menentukan Bm :

Penyelesaian PD : u(,s t * Y(,+ t > ψ (, * Y(,+ t > (1,> 1

Suku (1,>1 meru"akan tem"eratur steady-state dari ka
Aliran panas /&ndu/si $dimensi2 seady sae. Persamaan atur dan kondisi batas untuk "er"indahan "anas konduksi 2 dimensi+ steady state adalah :

B- :

u(+y * u(a+y *  u(,+ *   u(,+b * !(,

V - 17

Syarat batas untuk "er"indahan "anas konduksi 2 D steady state adalah syarat batas "ada sisi$sisi (batas bidang sehingga disebut masalah ini boundary  value problem% Tem"eratur u(,+y "ada bidang ditentukan dengan menyelesaikan boundary value problem tersebut di atas dengan menggunakan metode "emisahan #ariabel :u(,+y * /(, G(y Pemisahan #ariabel : u(,+y * /(, G(y PD men'adi :

u(,+y * /(, G(y * (-1sin ", > -2os ", (-J e"y > -4e$"y

Kondisi batas : u(+y * + maka u(+y * (-1% > -2%1 (-Je"y > -4 e$"y *  →-2 *  u(,+y * -1sin ", (-J e"y > -4e$"y * sin ", (Ae"y>Be$"y Kondisi batas : u (a+y * + maka Sin "a (A e"y>B e$"y *  →sin "a * 

: adalah "enyelesaian PD n * 1+ 2+ J+ O% Berdasarkan "rinsi" su"er"osisi di"eroleh P;PD

Kondisi batas : u(,+ * 

V - 18

Kondisi batas : u(,+b * !(,

Sehingga Penyelesaian dari PD adalah :

:

dimana

3earan ali 4persamaan gel&m!ang dimensi 1 0ika seutas tali (benang+ senar gitar dan sebagainya yang "an'angnya I direntang sam"ai mena"ai tegangan maksimum dan kedua u'ungnya diikat "ada "osisi teta" di , *  dan , * I+ kemudian digetarkan+ maka "osisi tali akan menyim"ang dari "osisi setimbang%

V - 19

;ntuk merumuskan "ersamaan dari getaran tali+ digunakan asumsi sebagai berikut : 1% Massa "ersatuan "an'ang dari tali konstan (tali homogen% 2% Tali elastis sem"urna+ sehingga tidak ada gaya luar yang mem"engaruhi getaran tali (tali bergetar semata$mata karena keelastisannya J% Karena tegangan tali maksimum+ maka tali maksimum+ maka nilai gaya gra!itasi bisa diabaikan 4% Setia" "artikel tali hanya bergerak seara #ertial seara koe!isien Karena "artikel tali hanya bergerak seara #ertikel+ maka 61 7&s 8 * 6$ 7&s * 6 * /&nsan Sehingga resultan gaya yang beker'a adalah :T 2 osβ $ T1 sin F % menurut hukum e
Simpangan ali erhadap p&sisi seim!ang 4de:le/si ali unu/ sem!arang  adalah y4+22 sehingga per7epaan gearan * 0adi+ masing$masing ruas dibagi dengan T

tanβ $ tan F * tan F * slo"e dari y(,+t di ,

tan β * slo"e dari y(,+t di ,>?, V - 20

→ dibagi dengan ?, :

;ntuk ?,→

 Atau

Persamaan gelombang dimensi 1%  dengan : T * tegangan tali  * densitas massa tali (massa "ersatuan "an'ang

Syarat batas "ersamaan gelombang 1 dimensi adalah : Karena u'ung$u'ung tali diikat "ada , *  dan , * I + maka kondisi batasnya adalah y(+t * y(I+t *  Gerakan tali tergantung "ada sim"anganHde!leksi a
Persamaan getaran tali satu dimensi diselesaikan dengan menggunakan metode "emisahan #ariabel%

%&n&h ' 1.

Tentukan "ersamaan de!leksi y(,+t dari senar yang "an'angnya  dan kedua u'ungnya diikat "ada "osisi teta"% 0ika kee"atan a
V - 21

Penyelesaian.

Syarat batas: Kondisi batas : y(+ t * y(+ t *   t N  Kondisi a
PD diselesaikan dengan "emisahan #ariable

PD men'adi : /(,GQ(t * /Q(,G(t

P; PD : y(,+ t (A1 os kt > B1 sin kt(A2 os k, > B2 sin k,

Kondisi batas : y(+t *  y(+t * (A1 os kt > B1 sin kt (A2 os k > B2 sin k *  y(+t* (A1 os kt > B1 sin kt A2 *   A2 * 

Penyelesaian PD : y(,+t * (A1 os kt > B1 sin kt B2 sin k, y(,+t * (A os kt > B sin kt sin k,

Kondisi batas : y( +t *  y( +t * sin k (A os kt > B sin kt * 

V - 22

y( +t * sin k *  k * m (m*+ ±1+ ±2+%%%  k * mH  * m

Penyelesaian PD : y(,+t * sin m, (A os mt > B sin mt

Kondisi a B m os m

→ sin m, (Bm *  B * Penyelesaian PD : y(,+t * sin m, (A os mt

Kondisi a
Berdasarkan "rinsi" su"er "osisi :

 'uga meru"akan "enyelesaian "enyelesaian%

meru"akan deret Sinus dengan !(, * +1, V - 23

S&al Laihan. 1% Tentukan de!leksi u(,+t dari tali yang "an'angnya I% Kedua u'ungnya di"asang teta"+ kee"atan a
2% Tentukan de!leksi u(,+t dari tali yang "an'angnya I * % Kedua u'ungnya di"asang teta" 2 * TH  * 1+ kee"atan a
V - 24

4% Tentukan distribusi tem"eratur u (,+t "ada batang yang diisolasi seara sem"urna (termasuk "ada , *  dan , * I+ bila I * +  * 1 dan kondisi a
8% Tentukan tem"eratur u (,+y "ada bidang yang berbentuk bu'ur sangkar yang "an'ang sisinya a+ tem"eratur "ada sisi #ertikal di'aga teta" * + "ermukaan dan sisi hori9ontal "ada "lat diisolasi sem"urna%

9a0a!an.

V - 25