ESTIMACION ESTIMACIO N DE UN PARAMETRO PARAMETRO 1.
INT INTRODU RODUCC CCIO ION N Al realizar una investigación investigación estadística a menudo se sabe o se supone que la población definida por una variable aleatoria x, de la cual se selecciona una muestra aleatoria, aleatoria, tiene una forma funcional especifica cuyo parámetro se intenta determinar . determinar . Los método de inferencia estadística, básicamente básicamente consiste en seleccionar una muestra aleatoria de la población población en estudio y con la información información que se obtenga de esta llegar a estimar el o los valores del parámetro desconocido . El método de estimación de parámetro parámetro puede ser puntual o por intervalos, intervalos, en el primer caso, la estimación del parámetro parámetro es un numero !ientras que en el segundo segundo caso la estimación del parámetro es un intervalo de los posible valores que puede tener con un nivel de confianza .
2. ESTI ESTIMA MACI CION ON PUNT PUNTUA UAL L La estimación puntual puntual es el valor valor numérico numérico de un estimador, estimador, un buen estimador estimador es aquel aquel que se acerca al verdadero valor del parámetro .
3. INTERVALO DE CONFIANZA La estimació estimación n por intervalo intervalo es la estimació estimación n del parámetro parámetro " dentro dentro de un intervalo intervalo de extremo extremo cerrado #a, b$, donde los n%meros a y b se obtiene a partir de la distribución distribución de la estadística que estima puntualmente el parámetro y a partir de los valores de la muestra . &ea '(, ')*'n una muestra muestra aleatori aleatoria a de tama+o tama+o n escogida escogida de una població población n fx, "-, cuyo valo valore res s expe experi rime ment ntal ales es resp respec ecti tivo vos s son son x (, x)*xn , sea sea ade además, ás, la ex expresió sión __
φ
=
H ( X 1 , X 2 ,... X n )
es una estadística para estimar el parámetro parámetro " cuya distribución de __
probabilidad sea conocida y sea
φ
el valor del parámetro, dado el numero 1 − α , y si a partir
de la distribución distribuc ión de probabilidad del estimador se puede encontrar el estimador A y . tales que :
[
]
P A ≤ φ ≤ B = 1 − α
se dice entonces que el intervalo [ A B ] es el intervalo del estimador de parámetro parámetro " con el grado de confianza de 1 − α /(001, o que tal intervalo contiene al parámetro " con probabilidad ,
1 − α 4. INTERVA INTERVALO LO DE CONFIANZ CONFIANZA A PARA LA MEDIA VARIANZA CONOCIDA
____
____
LI
=
X E −
LS
=
X + E
E
σ z σ
= n
Ejemplo 1 2na muest muestra ra aleato aleatoria ria de (30 (30 4ogar 4ogares es de una una ciuda ciudad, d, revela revela que el el promed promedio io de los los ingre ingresos sos mensual mensuales es es de de 330 330 dólares dólares 5bteng 5btenga a un inter intervalo valo de confia confianza nza del del 631 para para la media media de la población de los ingresos de todos los 4ogares de esa ciudad Asuma que la desviación estándar estándar poblacional es (33
VARIANZA VARIANZA DESCONOCIDA n !"
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____
____
LI
=
X E −
LS
=
E
X + E
=
t ( n−1,α / 2) s n
Ejemplo 2 7ara confirmar el peso neto promedio de los frascos de conserva de palmito de la empresa agroindustrial 8LA 7AL!A 8 de 9quitos, cuya especificación es de (30 gramos, un estudiante de estadística aplicada selecciono una muestra de tama+o (0 de tales frascos y observo los siguiente peso netos en gramos: (30 (3( (;6 (;< (3= (3) (;< (3= (3= (3; >onstruya un intervalo de confianza del 631 VARIANZA DESCONOCIDA n #!"
____
____
LI
=
X E −
LS
=
X + E
E
=
zS n
Ejemplo ! 2na muestra de <0 ni+as de diez a+os de edad proporciono un peso medio de 30 ?g y una desviación estándar de @ ?g, respectivamente . &uponiendo que no existe normalidad, encuentre los intervalos de confianza del 631 para la media poblacional
5. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION = = LI p − E LS p + E E z =
pq n
Ejemplo 4 En instituto de opinión publica utilizo una muestra aleatoria de <00 lectores que acaban de emitir su voto, para realizar un proyección estadística de los resultados &i el sondeo indica que @;0 electores votaron a favor del candidato A, obtenga el intervalo de estimación del porcentae de electores a favor A en toda la población con el nivel de confianza del 631
6. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA
( n − 1) s 2 =
LI x
2
1−
α
2
; n −1
( n 1) s 2 −
LS =
x
2 α
;n 1 −
2
Ejemplo $ 7ara estimar la variabilidad de los contenidos de un producto que una empresa comercializa en bolsa de (30 gramos 2n analista de métodos cuantitativos escogió una muestra aleatoria de (0 unidades del producto resultando los siguiente pesos en gramos: (30,3 (30B (;<( (30; (;6@ (3() (306 (;6) (30@ (;6@ 5btenga el intervalo de confianza del 631 para la varianza de los contenidos de todas las unidades del producto en mención &upóngase que la población de estos contenidos se distribuye seg%n el modelo de la probabilidad normal
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PRACTICA DIRI%IDA (-
El ingreso mensual de cada una de los microempresario de servicio constituye una población asimétrica cuya media se quiere determinar &i una muestra piloto de 30 microempresario se obtuvo un ingreso mensual promedio de (000 dólares con una desviación estándar de <0 dólares, obtenga un intervalo de confianza del 631
)-
7ara estimar la vida %til de un producto se escogió una muestra aleatoria de 6 unidades del producto resultando las siguientes vidas: BB3 B<0 <00 B63 B60 B<3 B63 B<0 <(0 Estime la media de la población utilizando un intervalo de confianza del 631
@-
2n auditor escoge una muestra aleatoria de (0 cuentas por cobrar de una compa+ía las cuales fueron: B@0 B36 B)3 B;0 B3; B;3 B30 B3= B<0 <(0 Estime la media de la población utilizando un intervalo de confianza del 631
;-
En un estudio socioeconómico se tomo una muestra aleatoria de )00 comerciantes informales y se encontró entre otros datos que solo el @01 de ellos tienen ingresos superiores a <00 dólares por mes, obtenga el intervalo de confianza de la proporción de todos los comerciantes con ingresos superiores a <00 dólares al 631 de nivel de confianza
3-
2n productor afirma que es el 31 el porcentae de unidades defectuosa que resulta del total de su producción, &i una muestra aleatoria de (30 unidades de la producción se encontraron (0 unidades defectuosas Es aceptable la afirmación del productor con un 631 de nivel de confianza
=-
2na empresa cambiara su proceso actual de producción, cuya desviación estándar de los tiempos empleados para procesar cada pieza es de 6 segundo, si solo 4ay prueba que el nuevo proceso es mas estable en cuanto a variabilidad &i una muestra aleatoria de los tiempos empleados para producir (@ piezas con el nuevo proceso 4a dado una desviación estándar de = segundos, con un nivel de confianza del 631 Cdebería la empresa cambiarse al nuevo proceso de producciónD
B-
&e tiene en arc4ivo diez pagos que se realizaron durante el mes los cuales son: ;3), @)3, )3=, B<3, ;3=, 3)@, ;3<, 3=@, )3<, 3=@ eterminar un intervalo de confianza para estimar la desviación con respecto a los pagos que se realizo
<-
El tiempo en minuto que utiliza los clientes en sus distintas operaciones en un banco local es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal con una desviación estándar de @ minuto &e 4an registrado los tiempos de las operaciones de 6 clientes del banco resultando una media igual a 6 minuto, C>uánto es el nivel de confianza si la media poblacional se estima de B a ((D
6-
2n grupo de inversionista quiere determinar la media del rendimiento anual medida en porcentaes de ciertos valores 7ara esto se selecciono una muestra aleatoria de ;6 de tales valores observando una media de <B( y una desviación estándar de )( estime la media del rendimiento anual de tales valores mediante un intervalo de confianza del 631
(0-
2na empresa eléctrica tiene por información de a+os anteriores que la variación de los sueldo de sus trabaadores es de 3=, determinar un intervalo de confianza para el sueldo promedio de los trabaadores si se toma una muestra de tama+o (30 de la cual se estima un sueldo promedio de (3)0
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