VIBRACIÓN VIBRACIÓN LIBRE L IBRE Detalles
Pág.
Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ libertad........................................................................................
3
Movimiento armónico.............................................................................................................. armónico..............................................................................................................
4
Ecuación del movimiento - frecuencia natural......................................................................... natural.........................................................................
5
Péndulo simple......................................................................................................................... simple.........................................................................................................................
11
Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................ físico........................................................................................
13
Combinación de resortes.......................................................................................................... resortes..........................................................................................................
16
En paralelo................................................................................................................................ paralelo................................................................................................................................
16
En serie..................................................................................................................................... serie.....................................................................................................................................
18
Método de la energía. energ ía................................................................................................................ ...............................................................................................................
24
Método Newton........................................................................................................................ Newton........................................................................................................................
27
Método de Rayleigh................................................................................................................. Rayleigh.................................................................................................................
28
Vibración forzada sin amortiguamiento................................................................................... amortiguamiento...................................................................................
41
Tipos de amortiguamiento........................................................................................................ amortiguamiento........................................................................................................
46
Vibración libre amortiguada..................................................................................................... amortiguada.....................................................................................................
47
Sistema con amortiguamiento crítico....................................................................................... crítico.......................................................................................
48
Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. sub-amortiguado..................................................................................................
50
Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... sobre-amortiguado...............................................................................................
52
Sistema de un sol o grado de libertad. Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección. Si un sistema está restringido a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por completo la localización geométrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de un solo grado de libertad. Por Ej.:
“Vibración Libre”
K
c
K
m m x
t w n e s
K
x
J
0
F
Movimiento Movimiento armónico. El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un balancín de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos sísmicos. Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “t”, se le llama PERIÓDICO donde “τ” es el periodo de oscilación. Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación: x(t) = x(t + τ) El movimiento periódico más simple es el MOVIMIENTO ARMÓNICO. Este movimiento puede ilustrarse ilustrar se por medio de una u na masa suspendida su spendida de un resorte reso rte liviano (Ver Fig.) Si S i la masa se se desplaza de su posición de reposo y se la libera, oscilará hacia arriba y abajo; si se coloca una fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de película sensible a la luz que es movida a velocidad constante. Este movimiento registrado en la película puede representarse por po r medio de la ecuación: K
x = Asen2π x
A
m
t
t
τ
Donde : A = Amplitud de oscilación, medida desde su posición de equilibrio. τ = Periodo y se repite cuando t = τ
“Vibración Libre”
K
c
K
m m x
t w n e s
K
x
J
0
F
Movimiento Movimiento armónico. El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un balancín de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos sísmicos. Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “t”, se le llama PERIÓDICO donde “τ” es el periodo de oscilación. Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación: x(t) = x(t + τ) El movimiento periódico más simple es el MOVIMIENTO ARMÓNICO. Este movimiento puede ilustrarse ilustrar se por medio de una u na masa suspendida su spendida de un resorte reso rte liviano (Ver Fig.) Si S i la masa se se desplaza de su posición de reposo y se la libera, oscilará hacia arriba y abajo; si se coloca una fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de película sensible a la luz que es movida a velocidad constante. Este movimiento registrado en la película puede representarse por po r medio de la ecuación: K
x = Asen2π x
A
m
t
t
τ
Donde : A = Amplitud de oscilación, medida desde su posición de equilibrio. τ = Periodo y se repite cuando t = τ
“Vibración Libre”
Ecuación del movim iento – frecuencia natur natural. al. El sistema oscilatorio más simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya que su movimiento está descrito por una coordenada “x”.
K K
Posición no 1 7 , 0
esforzada
m
Posición de
m
x
K(G + x)
m
x
Equilibrio estático x
mg mg
Cuando se pone en movimiento, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural que es una propiedad del sistema. La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema. La posición del equilibrio estático: K = mg
(1)
Si se desplaza un “x” a partir del equilibrio estático, las fuerzas que actúan son: En el resorte
K( + x)
Debido al peso
W = mg
Si se toma a “x” como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y aceleración son también positivas por estar dirigidas hacia abajo. mg − K ( + x ) = mx mg − K − Kx = mx
Según (1)
K = mg
⇒m / / − Kx = mx / g/ − K
Por tanto:
mx + Kx = 0
“Vibración Libre”
(2)
Note que el hecho hec ho de haber elegido e legido como referencia refer encia la posici pos ición ón de d e equilibrio estático a la medida “x”, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad (W = mg ) y a la fuerza estática del resorte
(F = K ) de la ecuación del movimiento (Ver ecuación (2)) y la fuerza resultante es solamente debida al desplazamiento “x”.
[÷ m]
mx + Kx = 0 x +
La frecuencia natural circular
2 n
K m
x = 0
(3)
será: 2 n
K
=
m
La ecuación (3) queda por tanto: x +
2 n
x = 0
(4)
El movimiento definido por la ecuación (4) se llama “Movimiento Armónico Simple” y se caracteriza porque la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. Note que sen t , cos t satisfacen la ecuación; por tanto constituyen soluciones particulares. La solución a esta ecuación es de la forma: x = e st
(5)
x = se st
(6)
x = s 2 e st
(7)
Derivando dos veces:
Reemplazando (5) y (7) en (4) s 2 e st +
2
(
e st s 2 + s2 + s1 = e i
Entonces
s 1 = C1e i
Y también será:
x = C1e i
t
t
2
)= 0
=0⇒s =± i
∧ s 2 = e −i
Como:
t
2
e st = 0
son soluciones linealmente independientes
t
∧ s 2 = C 2e −i
t
también son soluciones
+ C 2e −i t
(8)
“Vibración Libre”
Pero:
ei e −i
t
t
= cos t + i sen t
(9)
= cos t − i sen t
(10)
(9) y (10) en (8) x = C1 (cos t + i sen t ) + C 2 (cos t − i sen t ) x = C 1 cos t + C1 i sen t + C 2 cos t − C 2 sen t x = (iC 1 − iC 2 )sen t + (C 1 + C 2 ) cos t
A
B
x = A sen t + B cos t
(11)
Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno. Suponiendo que: p t p t
=0 =0
x = x0
Condiciones de contorno
x = x0
o Condiciones iniciales
Derivando (11) x = Aω cos ω t − Bω senω t
(12)
Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B En (11)
x0 = Asen0 + B cos 0 ⇒ B = x 0
En (12)
x 0 = Aω cos 0 − Bω sen0 ⇒ A =
x 0
ω
Reemplazando las cts. A y B en (11) x =
Donde
x 0
ω =
senω t + x0 cos ω t
ω
K
frecuencia natural circular
m
θ El periodo natural de oscilación es: ω = t
Por tanto: La frecuencia natural:
ωτ = 2π ⇒ τ =
2π
ω
pero: θ = 2π ⇒ t = τ o también: τ = 2π
f n = f
“Vibración Libre”
m K
f =
1
⇒
τ
f =
1
K
2π
m
Estas cantidades pueden expresarse en función a la deflexión o deformación estática δ ya que: K δ = mg ⇒ K =
mg
δ
Reemplazando en estas últimas ecuaciones: mg
* Frecuencia natural circular:
ω =
* Periodo natural:
τ =
* Frecuencia natural:
f =
g
δ ⇒ ω = m 2π
ω 1
τ
⇒ τ = 2π
⇒ f =
δ
δ g
1
g
2π
δ
La solución general también puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares senω t ∧ cos ω t por cts.. arbitrarias y sumándolas, es decir: x = Asenω t + B cos ω t
(a)
x = Aω cos ω t − Bω senω t
(b)
2 2 x = Aω senω t − Bω cos ω t
(c)
(a) y (c) en (4) − + ω ω sen ω t − Bω cos ω t + ω Asen ω t ω t = 0 A B cos 2
2
2
2
x
ω 2 x
Cumple la igualdad, por tanto es solución de (4) la ecuación (a) Como esta expresión contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solución obtenida (a) es la solución general y A y B dependen de las condiciones iniciales.
t
Xm
O wt
wt
A Xm
B
x
t
P
“Vibración Libre”
Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleración obtenidas para una partícula, pueden escribirse en forma más compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma de las componentes en “x” de los vectores A y B respectivamente. Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud x m El M.A.S. de “P” a lo largo del eje “x” puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento de un punto “Q” que describe un círculo de radio x m con una velocidad angular constante “ω ”. Representando por “φ ” el ángulo formado por los vectores OQ y A, se escribe: OP = OQsen(ω t + φ )
Que conduce a otras formas de expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración. x = x m sen(ω t + φ ) x = x mω cos(ω t + φ )
x = x mω sen(ω t + φ ) 2
Ejm. Una masa de ¼ Kg. está suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine
su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexión estática y verifique la frecuencia natural. K=
0.1533 N 1000mm
mm
1
K
2
m
a) Frecuencia natural
f =
b) La deflexión estática
K = mg
=
1m
153.3 N
1
m 0.25Kg
2
=
N = 153.3 m
mg K
=
0.25 ∗ 9.81 153.3
f = 3.94
ciclos seg
[Hz ]
= 0.016[m ]
= 0.015981[m ] = 15.981[mm ]
Ejm.
Determinar la frecuencia natural de la masa “M” en el extremo de un voladizo de masa
despreciable. Primero se encuentra la deformación de la viga en el extremo (Donde está la carga). “Vibración Libre”
m
L
M
y
x
P
M = PL d2y
EI
dx 2
EI
= Px − PL = P(x − L )
dy dx
EIy =
P 6
=
P 2
(x − L )2 + C1
(x − L )3 + C1 x + C 2
Por condiciones de contorno: P x P x
=0
y=0
0=
=0
dy
0=
dx
=0
P(− L )
3
+ C2
6 1 2
P(− L ) + C1 2
1
1
1
6
2
6
C2 =
1
C1 =
1
6 2
PL3 PL2
Por tanto la deformación es: EIy = P(x − L )3 − PL2 x + PL3 La deformación máxima ocurre en x = L EI = 0 −
1 2
PL + 3
1 6
=−
3
PL
PL3 3EI
Como P = K δ siendo δ la deformación, entonces la ecuación (*) se adecua a: K=
P
Se sabe que la frecuencia natural circular es: f =
=
3EI 3
L
1
K
2
m
1
3EI
2
mL3
3EI
Entonces.
f =
1 2
L3 m
f =
“Vibración Libre”
1.
Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresión para la
frecuencia de la masa.
m y
Según tablas: La deformación en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde está m) viene dada por: PL3
y=
192EI
Adecuando a nuestro caso: K =
P
K=
⇒
y
192EI L3
Se sabe que la frecuencia natural está dada por: =
192E
Entonces:
=
K m
I L3
m
⇒
=
192EI 3
mL
Rad seg
Péndul o simple.
T m
L
Ft FN
T mg mg
“Vibración Libre”
El péndulo simple se compone de una masa puntual “m” que cuelga en el extremo inferior de un hilo resistente de longitud “L” de peso despreciable. Desplazada la partícula de la posición de equilibrio en un ángulo “
m
”y luego liberada, el
péndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro “O” y radio “L”, bajo la influencia de la fuerza restauradora “ Ft ”que es la componente del peso “W” en la dirección tangencial. Para un tiempo cualquiera “t”, la cuerda forma un ángulo “ ” con la vertical y el sistema de fuerzas que actúa sobre la partícula lo constituyen el peso “W” y la tensión “T” en la cuerda. Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene: − mg sen = ma t
Donde
= aceleraciónangular =
at = R
dt
2
=
R = L
Radio de la curva Entonces:
d2
− mg sen = mL − g sen = L L + g sen = 0 + g sen
L
=0
K Comparando con la ecuación del M.A.S. x + x = 0 se ve que el movimiento del péndulo no
m
es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilación es pequeña: sen ≅
(En radianes)
Luego puede escribirse: + g
L
=0
(Solución aproximada)
Por comparación se tiene que la frecuencia natural circular está dada por: “Vibración Libre”
2
=
g L
⇒
=
g L
Llegando a la conclusión que el péndulo simple es un M.A.S. para pequeñas oscilaciones. Su periodo está dado (Fórmula de HUYHENS): =
Ejm.
t
⇒ =
2
L
=2
g
Suponiendo que el péndulo de un reloj sigue la teoría del péndulo simple. ¿Cuál será la
longitud si tiene el periodo de un segundo?
Despejando:
L
=2
Se sabe que el periodo está dado por: 2
=4
2
L g
g
⇒L=
2
4
g 2
Trabajando en [pies] L = 9.78P lg .
Péndulo compuesto o péndulo físico. Un cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un punto en suspensión que es su
O
centroide, constituye un péndulo compuesto.
x
Los distintos puntos materiales del rígido, L
constituyen otros tantos péndulos simples que si están a diferentes distancias del eje de giro
T
tendrían que oscilar con periodos distintos.
b Pero como se trata de un péndulo físico, este se
mg
mueve con un periodo propio de oscilación
“Vibración Libre”
Si el péndulo compuesto es desplazado de su posición de equilibrio, esta vuelve por efecto del momento de su peso “W” respecto al eje. M = −mgb b = L sen
pero
M = −mgL sen
I
d2
= −mgl sen
dt 2
donde: Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación
I= mr
Radio de giro
r 2 d θ
Aceleración angular
dt 2
2
= α
sen ≅
Para oscilaciones pequeñas
[Rad]
Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho: ÷I
I + mgl = 0 + mgl
I
+ mgl
mr 2
como I = mr 2
= 0
= 0 ⇒ +
gL r2
= 0
(2)
Analizando esta fórmula (2), se nota que para oscilaciones pequeñas, el movimiento oscilatorio del péndulo físico es M.A.S. siendo: =
gL
τ = 2π
r
2
Frecuencia natural circular
r2
y su periodo de oscilación es: 2
Ejm.
gL
Una chapa cuadrada homogénea de lado “L” (Pies) y masa “m” está suspendida del punto
medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilación. “Vibración Libre”
L/2
x' L
G
G
mg L
∑ M = I L − mg sen = I 2
y
Para oscilaciones pequeñas:
c x'
sen ≅
b
G
I + x
1 2
mgL = 0
(1)
Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro 1 De tablas se tiene que: I x = m(b 2 + c 2 )
12
El momento respecto al eje X es: Ix =
1 12
m(L2 + L2 ) =
Ix =
1 6
1 12
m (2L2 )
mL2
En este caso la rotación es respecto al eje X por tanto según STEINER
[I
x
= I x + md 2 ] 2
1 1 L 2 2 I x = mL + m ⇒ I x = mL + mL 6 6 4 2 1
2
Ix =
5 12
mL2
Reemplazando (2) en (1) “Vibración Libre”
(2)
5 12
mL2 +
1 2
mgL = 0
5 L +g =0 6 + 6g
=0
5L
=
6g 5L
Combinación de resortes. Cuando la deformación de la masa vibratoria implica a más de un resorte. Para facilitar el cálculo de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.
En paralelo.
K1
K2
K3
m P1
P2
P3
P
Las características son: -
Todos los resortes tienen la misma deformación “Vibración Libre”
1
-
=
=
2
=
3
(1)
La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes
(∑ F
v
= 0 ); es decir:
P = P1 + P2 + P3 + .....
-
(2)
Se sabe que: P = K adecuando a (2) según (1) se tiene:
[÷ δ ]
K eq = K 1 + K 2 + K 3 + ..... K eq = K 1 + K 2 + K 3 + ..... =
n
∑K
i
i =1
Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura también representa un sistema en paralelo. -
Considerando la masa “m” descompuesta en dos partes “ m 1 ” y “
m 2 ” tales que m = m1 + m 2 K1
-
m
Sean las frecuencias naturales de cada una: =
2 1
m1 m2
(1)
K1
2 2
m1
=
K2 m2
(2)
Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa. Por tanto:
K2
K eq
(2) en (3)
=
m m1 = m2 =
(4) y (5) en (1)
=
2 1
m=
K1 K eq
K eq
K1 m1
K1 K eq K2 K eq
m+
=
=
2 2
2
=
(3)
K2 m2
m
(4)
m
(5)
K2 K eq
K1
+
m
K2
“Vibración Libre”
K eq ∗ m
En serie. K1
K2 K3
m
El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Características: -
La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de los resortes; es decir: P = P1 = P2 = P3 = .....
-
(1)
El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos. =
1
+
2
+
P=K ⇒
Pero:
3
=
+ .....
(2)
P K
Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2) P
=
K eq 1 K eq Ejm.
=
1 K1
+
P K1 1 K2
+
P
+
K2
+
1 K3
P K3
÷P
+ ..... n
+ ...... = ∑ i =1
1 Ki
Determine la frecuencia natural del vibración del bloque, si sabe que los resortes están
inicialmente comprimidos. K K
K m
K
“Vibración Libre”
Por la figura, se puede decir que el sistema está en paralelo, por tanto: K eq = K + K + K + K K eq = 4K
Luego la figura se reduce a : − 4Kx = mx mx + 4Kx = 0 ⇒ x +
m x Kx
donde:
m
=
2
4K m
4K m
x=0
pero
= 2 f
4K
x f =
2
f =
1
=
m 2
K m
Ejercicios: 1.
Un disco homogéneo semi-circular de radio “r” y masa “m” está pivotado en su centro y gira
libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilación para desplazamientos pequeños.
R
R
r C
mg
∑M = I − mgR sen = I
Para oscilaciones pequeñas:
sen ≅
“Vibración Libre”
÷I
I + mgR = 0
I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. R =
Extrayendo de tablas:
4r
I =
3
mg +
Reemplazando:
1 2
2.
=0
mr 2
3
=0 2
=0
3 r
=
2
I
4r
mr
+ 8g
1
+ mgR
Rad seg
8g 3 r
Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte de constante “K” [lb/Plg]
y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.
K
r
x m
D.C.L. para la posición de equilibrio estático: +
To
G r
r mg
A
[∑ F
= 0 ]
[∑ M
A
v
K + T0 − mg = 0
= 0 ] 2rK − mgr = 0
“Vibración Libre”
(1)
D.C.L. para un desplazamiento x: − 2rK ( + x) + mgr = I A
K +
G r
r
x mg
− 2rK − 2rKx + mgr = I G + mr 2 )
A
IG =
Donde:
FR
1 2
mr
2
Para un cilindro
Según (1) 1 − 2rK − 2rKx + mgr = mr 2 + mr 2 2 3
− 2rKx = mr 2 2
3
Ordenando
2
mr 2 + 2rK (2r
)= 0
(2)
3mr 2 + 8r 2 K = 0 3m + 8K = 0 ⇒ +
=
3.
8K 3m
=0
8K 3m
Una varilla rígida de peso despreciable está restringida a oscilar en un plano vertical.
Determine la frecuencia natural de la masa “m”. 3/4L
1/4L
m O
K
En la posición que se ve en la fig. note que el resorte ya tiene deformación x 0 , por tanto en su equilibrio estático:
“Vibración Libre”
∑M 3
= 0
0
1
mgL =
4
4
Kx 0 L
(1)
Cuando se desplaza un “x”, la sumatoria de momentos será: 3/4L
1/4L
O K (xo + x)
mg
[∑ M
0
=I
]
3 1 mg L − K (x 0 + x ) L = I 4 4
Pero I = mr 2 3
Donde r = L 4
2
3 mgL − KLx 0 − KLx = m L 4 4 4 4 3
1
1
1
9
4
16
(2)
Según (1) queda: − KLx =
Pero x = r donde en este caso
r=
1 4
mL2
L⇒x=
1 4
(3)
L
(4) en (3) 1 1 9 − KL L = mL2 4 4 16
9 16
mL2 +
1 16
KL2 = 0
9m + K = 0 + K
9m
=0
“Vibración Libre”
16 ∗ 2 L
=
4.
K 9m
rad seg
Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo.
Determine el periodo natural de vibración. 200 mm.
5 Kg.
B
C
K = 400 N/m.
. m m 0 0 1
A
Inicialmente para estar en esa posición, el resorte debe estar comprimido. 0.2 m. 0.2 m.
mg
0.1 m.
0.1 m.
K( + x)
K mg
Equilibrio estático:
[∑ M = 0]
0.1K = mg (0.2 )
(1)
Si se desplaza un cierto ángulo θ o distancia x
∑ M = I
mg(0.2) − K ( + x)(0.1) = I
mg(0.2) − K (0.1) − Kx(0.1) = mL2
Según (1) 2 m(0.2 ) + 400(0.1)Kx = 0
Pero x = 0.1
(0.2)2 5 + 0.1(400)(0.1) = 0 0.2 + 4 = 0
“Vibración Libre”
÷ 0.2
+ 20
=0⇒ =
2
2
rad = 20 2 seg
⇒ = =
2
2 20
= 1.4(seg )
Método de la energía. El movimiento armónico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y elásticas de restauración que actúan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos. Entonces la conservación de la energía puede usarse para determinar la ecuación diferencial de movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibración del cuerpo. Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energía total es parte cinética y parte potencial. La energía cinética “T” es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la energía potencial “V” es almacenada en forma de energía elástica de deformación o de trabajo realizado en un campo de fuerza gravitacional. Coma la energía total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir: T + V = ctte. d dt
(T + V ) = 0
Como el interés se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear: T1 + V1 = T2 + V2
Donde (1) es el instante en que la masa está pasando por su posición de equilibrio estático(por “Vibración Libre”
tanto V1 = 0 ) (Ya que el N. R. Está ahí). Sea (2) el instante en que ocurre el máximo desplazamiento de la masa (T2 = 0) T1 + 0 = 0 + V2
Sin embargo, si el sistema está experimentando un movimiento armónico, T1 y V2 son valores máximos y por tanto: Tmax = Vmax
que conduce de inmediato a la frecuencia natural. Ejm. Considerando
el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se
desplaza una cantidad arbitraria “x” desde su posición de equilibrio.
K
m
La energía cinética es:
T=
1
La energía potencial es:
V =
1
Según la conservación de la energía
T + V = ctte. 1 2
mx 2 +
1 2
2
2
mx 2
Kx 2
Kx 2 = ctte.
El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuación respecto a “t”: mxx + Kxx = 0 x (mx + Kx ) = 0
mx + Kx = 0 x +
K m 2
x=0
=
K m “Vibración Libre”
Factorizando x
Si se escribe la ecuación de energía para “Un sistema de cuerpos conectados”, también puede determinarse la frecuencia natural o ecuación del movimiento por medio de la derivación. (Este método permite determinar “Directamente” la frecuencia circular “ ”)
Procedimiento para el análisis . 1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequeña distancia “x” desde la posición de equilibrio estático. (L. R.) 2. Formule la ecuación de energía para el cuerpo T + V = ctte. , recordando que la energía 1
1
2
2
cinética es para traslación y rotación, es decir: T = mx G2 + I G
2
y la energía potencial es:
V = Vg + Ve (Gravitacional y elástica).
3. Se procede a la derivación y se factoriza los términos comunes. 4. La ecuación resultante representa la ecuación del movimiento para el sistema. Ejm. Un
cilindro sólido homogéneo de masa “m” se sujeta por medio de un resorte de constante
“K” lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la frecuencia es:
2K rad
.
3m seg
K x
r m
Por el método energético T=
Pero
1 2
mVG2 +
VG = r ; I G =
1 2
1 2
IG
mr 2 ;
2
=
“Vibración Libre”
T=
Por tanto:
1 2
( )
2
m r
1
T=
2
1 1 + mr 2 2 2 2
mr 2 2 +
1 4
mr 2 2
(1)
La energía potencial Ve =
1
Ve =
1
d dt mr 2 +
1 2
2 2
Pero: x = r
Kx 2 Kr 2
2
(2)
(T + V ) = 0 mr 2 + Kr 2 = 0
1 m + m + K = 0 2 3 2
3 ÷ m 2
m + K = 0 + 2K
3m
=0
2K
=
3m
Método Newton: K
+
K ( + x)
A
A
mg
mg
ESTÁTICA
DINÁMICA
+
“Vibración Libre”
Estática:
∑M
A
= 0
mg sen r − K r = 0
(1)
Dinámica:
∑M
A
= I A
1 mg sen r − K ( + x )r = mr 2 + mr 2 2 mg sen r − K r − Kxr =
3 2
mr 2
(2)
Reemplazando (1) en (2) y ordenando 3 2
mr 2 + Kxr = 0
Como no existe deslizamiento x = r 3 2
mr 2 + Kr 2 = 0 + 2K
3m
=
2 ∗ 3m
=0
2K 3m
Método de Rayleigh: El método de energía, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas, siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido. En sistemas donde las masas están unidas por conectores rígidos, palancas o engranajes, el movimiento de las diferentes masas puede expresarse en términos del movimiento “x” de algún punto específico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad. La energía cinética puede escribirse como: T=
1 2
m ef x 2 “Vibración Libre”
Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto específico.= mef Ahora bien, si la rigidez “K” de este punto es también conocida, la frecuencia natural puede calcularse por: K
=
m ef
En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la distribución de la amplitud de vibración antes de calcular la energía cinética “ RAYLEIGH ”. 1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.
y dy
K
L
m
x
Sea “ x ” la velocidad de la masa “M” Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en “y” varía linealmente. d = t V
L y
=
x y
⇒ y =
y L
x
La energía cinética del sistema puede ser ahora: T=
Masa por unidad de longitud=
1 m
y dy ∫ 2 L 2
m L L
2
1 m y 1 mx 2 T= x dy ⇒ T = 2 0 L L 2 L3
∫
L
∫ y dy 2
0
“Vibración Libre”
1 mx 2 1 3 1 m 2 / ⇒ = T= L T x 2 L 2 3 / 3 3
Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa “M” es 1/3m; es decir: m ef =
1 3
m
Añadiendo esto a la masa concentrada “M”, la frecuencia natural será: =
K 1
M+
2.
3
m
Una viga simplemente apoyada de masa “m” tiene una masa concentrada “M” en el centro de
la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.
M m
y Primero se halla la variación de la amplitud (Deformación) con respecto a “x” según tablas: La ecuación de la elástica y la flecha máxima están dadas por:
EIy =
Px 3
L2 − x 2 12 4
y máx =
PL3 48EI
=
Operando en la ecuación de la elástica se tiene: y=
2 2 Px 3L − 4x
12EI
4
Px
⇒ y = [3L2 − 4x 2 ] 48EI
“Vibración Libre”
Para 0 < x <
L 2
3 3 PL3 x x 2 L 3 L y= 3 − 4 3xL − 4x 3 ⇒ y = 48EI L 48 EI L L L
P
x x 3 y = y máx 3 − 4 L L
Por tanto: La energía cinética será:
2 2 L 2 x x 1 m x 3 1 2m x 3 T = ∫ y máx 3 − 4 3 dx ⇒ T = ∫ y máx 3 − 4 3 dx 2 L L 2 L L L L 0 2 L 2
x 3 24 x 5 16 x 7 2 + ⇒ T= y máx 3 2 − 4 6 2 L 5 7 L L L 0 1 2m
T=
1 2m
y
2 L
L 2 2 máx
∫ 0
T=
T=
2
x x 3 3 − 4 3 dx ⇒ T = L L
1 2
1 2
3 3 L/
2 (2m )y máx
3 2 (2m )y máx −
De donde la masa efectiva es:
8
1 2m
L/ 3 24 − 5 8 5L/
24
+
160
y
2 L
L 2 2 máx
∫ 0
9x 2 x4 x 6 2 − 24 4 + 16 6 dx L L L
L/ 5 16 + 7 32 7L/
16
L/ 7 128
1
2 ⇒ T = (0.4857m )y máx 896 2
m ef = 0.4857m
K Por tanto la frecuencia es: = M + m ef
Pero se sabe que: P = K ⇒ K =
P
K=
P 3
PL
⇒K=
48EI L3
48EI
=
48EI L3 (M + 0.4857m )
“Vibración Libre”
3.
La masa de la varilla delgada de sección uniforme es pequeña comparada con la masa que
tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilación de la masa, suponiendo que la oscilación es pequeña.
O a
K
L
x h La energía potencial es la gravitacional y la elástica: Vg = mgh
Pero: h = L − L cos
Vg = mgL(1 − cos Ve =
1
Ve =
1
2 2
)
(1)
Kx 2 Pero: x = atag Para oscilaciones pequeñas tag ≈ K (a
)2 ⇒ Ve = 1 Ka 2 2
(2)
2
La energía cinética es de traslación: 1
T = 1
T=
2
2
( )
m L
2
Pero: V = L = L
mV 2 1
⇒ T = mL2 2 2
La derivada temporal T + Vg + Ve = 0 mgL(sen
)/ + Ka 2 / + mL2 / = 0
(
mL2 + mgL + Ka 2 + mgL + Ka
2
mL2
=
)
=0
=0
mgL + Ka 2 2
mL
“Vibración Libre”
(3)
4.
Una esfera homogénea de radio “r” y masa “m” puede rodar libremente sin deslizar sobre una
superficie esférica de radio “R”. Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical. Determine la frecuencia natural de oscilación de la esfera.
R
R - r r
h
VG
B
A [V = mgh]
La energía potencial es:
V = mg[(R − r ) − (R − r )cos
] ⇒ V = mg (R − r )(1 − cos )
1 1 La energía cinética es de traslación y rotación T = mVG2 + I G
T1 = T1
T2 =
1 2
IG
2
=
1 2 1 2
2
2
[
m (R − r )
]
2
⇒
T1
=
1 2
2 2 m(R − r )
2
Pero: I G = mr 2
(Considerando A centro instantáneo)
5
VG
⇒
r
R − r T2 = mr 2 5 r 1 2
donde: VG = (R − r ) (Respecto del punto “O”)
mVG2
=
2
2
T2 =
=
(R − r ) r
2
⇒ T = 1 mr/ 2 (R − r ) 2 2 2 5 r/
1 5
2
2 m(R − r ) 2
“Vibración Libre”
d
Por tanto:
dt
mg (R − r )(sen
(V + T1 + T2 ) = 0
)/ + m (R − r )2 / + 2 m(R − r )/ = 0 5
2 2 2 ( ) ( ) − + − m R r m R r + mg(R − r ) sen = 0 5
Pero: sen ≅
7 (R − r ) + mg(R − r ) = 0 5
m(R − r )
+
g 7 5
=
=0
(R − r ) 5g 7(R − r )
5. Un disco homogéneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lb-
plg-seg2. En la posición de equilibrio estático ambos resortes están estirados 1 plg.. Encuentre la frecuencia natural angular de oscilación del disco, cuando se le da un pequeño desplazamiento angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.
10
K
K
“Vibración Libre”
1 T I = 2
La energía cinética:
1
T=
2
2
IG 2
(1)
1 2 = V K 2
La energía potencia elástica:
V = V1 + V2 V= V=
Como: Pero:
1 2
1 2
(
)
K x2 − 1 +
Kx 2 −
1 2
K+
1 2
x = r ⇒ V = K (r d dt
1 2
(
K x2 + 1
Kx 2 +
1 2
)
K = Kx 2
)2 ⇒ V = Kr 2 2
(2)
(T + V ) = 0
d 1 2 I + Kr 2 dt 2
2
=0
I / + 2Kr 2 / = 0
÷I
I + 2Kr 2 = 0 + 2Kr
2
=0
I
Reemplazando valores: + 2 ⋅ 10 ⋅ (10)
2
=0
10
+ 200
=0⇒
2
= 200
rad = 14.14 seg
6.
Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte “K” y una cuerda
inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro. “Vibración Libre”
K
A
VG
r
x m
Energía cinética: T=
1 2
mVG2 +
1 2
2
IG
⇒ T = T1 + T2
VG = r T1 = T2 = T=
Por tanto:
1 2
1 2
( )
m r
2
1
= mr 2 2 2
1 1
1 mr 2 2 = mr 2 2 2 2 4
mr 2 2 +
1 4
mr 2 2 ⇒ T =
3 4
mr 2 2
Energía potencial: V = V= d dt
1 2
2
2
Pero: x = 2r
Kx 2
)2 ⇒ 2Kr 2
2
d 3 mr 2 2 + 2Kr 2 dt 4
(T + V ) = 0 3
K (2r
1
2
=0
mr/ 2 / + 4Kr/ 2 / = 0 3 2
m + 4K = 0 + 8K
3m
=0 “Vibración Libre”
÷
3m 2
8K
=
7.
3m
El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibración “f” si los
resortes están originalmente no estirados. K = 400 N/m x
m
100 mm.
x K = 400 N/m
Energía cinética: T=
1 2
IG
2
2
IG =
Pero: T=
1
= IG 2 1 2
mr 2
1 1
1 mr 2 2 ⇒ T = mr 2 2 2 2 4
(1)
Energía potencial (Elástica solamente): 1 2 = V Kx 2 V=
V = V1 + V2 1 2
Kx 2 +
1 2
V = Kx 2 ⇒ V = Kr 2 d dt
(V + T) = 0
d 2 Kr dt
pero: x = r
Kx 2
2
2
1 + mr 2 2 = 0 4
1 2Kr/ 2 / + mr/ 2 / = 0 2 “Vibración Libre”
(2)
1
m + 2K = 0
2 + 4K
=0⇒
m
2
=
÷
4K
m
⇒
m
=2 2/
= 2 f ⇒ f =
Se sabe que:
f =
1
K m
=
=
2
1
2
K m
K m 2/
400 8
f = 2.25(Hz )
8.
Determine La ecuación diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se
desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de su centro de masa es K G = 125mm. K = 400 N/m
x
200 mm.
VG G
100 mm.
R = 100 mm. = 0.1 m. R = 200 mm. = 0.2 m. K G = 125 mm. = 0.125 m.
Energía cinética (Traslación y rotación): 1 2 = T mV t G 2 1 = T r 2 IG
2
1
Pero: VG = r ⇒ Tt = mr 2 2 2
pero:
1 = ∧ I G = mK G2 ⇒ Tr = mK G2 2 2
“Vibración Libre”
(1) (2)
Energía potencial (Elástica solamente): 1 2 = V Kx 2
1
Pero: x = (r + R ) ⇒ V = K (r + R )2 2
d 1 1 1 2 2 2 2 2 mr + mK G + K (r + R ) dt 2 2 2 2
mr 2 + mK G2 + K (r + R )
(mr
2
2
2
(3)
=0
=0
+ mK G2 ) + K (r + R )
2
÷
=0
Reemplazando valores:
(3.01
2
+ 3 ⋅ 0.125 2 ) + 400(0.1 + 0.2 )
2
=0 ÷ (0.077)
0.077 + 36 = 0
+ 468
=0
9. Para ángulos pequeños de oscilación, encuentre la frecuencia de oscilación del sistema.
K1 r r
r
K2
r
3r
Por el método de la Energía T= V=
Pero
1 2
1 2
/ G2 + mV
1 2
IG
2
Kx 2 + mgh/ ⇒ V =
⇒T= 1 2
1 2
IG 2
K 1 x 12 +
1 2
K 2 x 22
x1 = r x 2 = r + 3r = 4r
“Vibración Libre”
IG =
1 2
mr 2
Reemplazando 1 1
1 1 2 2 mr 2 2 + K 1 (r ) + K 2 (4r ) = 0 2 2 2 2
1 4
mr 2 2 +
1 2
K 1r 2
2
1
+ K 2 (16r 2 2
2
)= 0
Derivando 1 2
mr 2 + K 1r 2 + 16K 2 r 2 = 0 1 2
m + K 1 + 16K 2 = 0
2K + 1
=
10.
÷ r2
+ 32K 2 =0 m
2K 1 + 32K 2 m
Hallar la ecuación del movimiento de un péndulo invertido que está restringido por un
resorte, cuya constante es “K”. Se supone que la masa del péndulo está concentrada a una distancia “L” del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rígido para que el péndulo sea estable. 2 m
m
x 1
K L a
“Vibración Libre”
1 2 T mV = 2 T=
1 2
m(L ) = 2
1 2
Pero x = L = velocidad
mL2 2
1 2 V K = E 2 VE =
1 2
K (a
)2 =
1 2
Pero
=a
a 2 2K
[VG = mgh] VG = mgL cos − mgL = mgl(cos − 1)
d dt
(T + VE + VG ) = 0 ⇒
d 1
1
mL2 2 + Ka 2 dt 2 2
2
+ mgL(cos − 1)
mL2 / + Ka2 − mgl sen / = 0 mL2 + (Ka 2 − mgL) = 0
Pero sen ≈ ÷ (mL2 )
Ka 2 g + mL2 − L = 0
Vibración forzada sin amortiguamiento. Para este caso la ecuación diferencial tiene la forma siguiente: mx + Kx = Po sen
t
Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: x = x c + x p a) Solución a-transitoria complementaria: Cuando la ecuación es homogénea, es decir: mx + Kx = 0
La cual tiene como solución: x = A sen t + B cos t
“Vibración Libre”
(1)
b) Solución estacionaria o particular: Cuando la ecuación es: mx + Kx = Po sen
t
Su solución es del tipo: x(t ) = G sen
t
(2)
Derivando dos veces: x (t ) = G cos x(t ) = −G
2
t t
sen
(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1) m −G
− mG
2
t + K (G sen
sen 2
sen
t + KG sen t = Po sen
− mG −
t ) = Po sen
÷ (sen t )
t
÷ (K )
+ KG = Po
2
2
mG
t
K
+G =
Po K
Factorizando G y ordenando m 1 − K
1 −
2
P G = o K
Pero:
P G = o 2 K
2
=
2
Sea:
=
K m 2 2
(1 − )G = P 2
o
K
G=
(
Po
K 1−
2
)
(4)
Reemplazando (4) en (2) x p (t ) =
Po
K (1 −
2
)
sen
(Solución particular)
t
Como la solución general es del tipo: x(t ) = x c + x p
Entonces:
x(t ) = A sen t + B cos t +
Po
K (1 −
2
)
sen
t
“Vibración Libre”
(5)
Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno Si
t = 0 ⇒ x(0 ) = 0
(a)
Si
t = 0 ⇒ x (0 ) = 0
(b)
Reemplazando (a) en (5) Po
0 = A sen 0 o + B cos 0 o +
K (1 −
2
)
sen 0 o
B = 0
Derivando (5) x (t ) = A cos t − B sen t +
Po
K (1 −
2
)
cos
t
(6)
Reemplazando (b) en (6) 0 = A cos 0 o − B sen 0 o +
0=A +
Po
K (1 −
2
)
=
K (1 −
⇒A=−
2
Pero
Po
2
⇒A=
2
sen t +
2
)
cos 0 o
Po
K (1 −
Po
K (1 −
2
2
)
)
Reemplazando las constantes A y B en (5) x(t ) = −
Po
K (1 −
x(t ) =
)
Po
K (1 −
2
)
(sen
Po
K (1 −
2
)
sen
t
t − sen t )
Donde: Po = Amplitud de la fuerza externa
K = Rigidez del resorte
= Frecuencia circular del movimiento = Frecuencia circular de carga
Si se analiza la ecuación (7), se nota que: “Vibración Libre”
(7)
Si
=
= 1 , es decir;
entonces el factor (1 −
2
)= 0
lo que implica que al estar en el
denominador se hace infinita la expresión. Esta situación se llama RESONANCIA.
P0 K
=
6 5
P K (1 − β ) 0
2
4 3 2
1
2
3
ω 2 2
ω
La solución particular para el caso
=
= β
2
tiene la forma: t sen t x p (t ) = G 1
Donde :
G1 = x p (t ) =
Po 2m
Po 2m t sen t
Esta expresión muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.
t
Ejm. Un bloque de masa “m” está soportado por un resorte de ctte. “K” el cual está montado
sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armónico A o sen t hacia arriba y hacia abajo. Determine el movimiento del bloque. “Vibración Libre”
x
m K (x - y)
t w n e s
K
0
A
− K (x − y ) = mx − Kx + Ky = mx mx + Kx = KA o sen
t
x c = A sen t + B cos t
Solución complementaria Solución particular:
Por uno de los métodos abreviados, se tiene que la solución es de la forma: y=
1
( )
FD
2
1
sen(ax + b ) =
(
F −a
2
)
sen(ax + b )
: F(− a 2 ) ≠ 0
Por tanto en este caso, la ecuación diferencial será: x = D 2 x
Sea
mD + K x = KA o sen 2
xp = xp =
1 mD 2 + K
KA o sen
1
−m
2
+K
KA o sen
t t t
1 xp =
m
−
2
+
K
KA o sen
t
m “Vibración Libre”
Pero
2
=
K m
xp = xp =
(
Ao 2
−
K 2
)m
Ao
(
2
2
2
− 2 ) xp =
sen
2
Ao 1−
2
t
sen t
sen
t
2
Por tanto la solución general es: x = A sen t + B cos t +
Ao 2
1−
sen
t
2
Tipos de amortiguamiento. a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a través de fluidos. F = −cV
c = Ctte. De proporcionalidad V = Velocidad
b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un cuerpo dentro un fluido es alta. F = −bV 2
b = Ctte. De proporcionalidad V = Velocidad
c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra superficie. F= N
= Coeficiente de roce cinético N = Fuerza normal
“Vibración Libre”
Vibración libre amort iguada.
K FR
c
Fa K( + x)
m x
x
cx
mg
mg
En la situación de equilibrio estático (caso b) no actúa todavía la amortiguación K = mg
(1)
En la situación (c) se tiene:
[∑ F = mx] − K ( + x ) − cx + mg = mx − K − Kx − cx + mg = mx
Según (1)
− Kx − cx = mx mx + cx + Kx = 0
Ordenando: dx
Si
dt
= Dx y
d2x dt
2
(2)
= D2 x
mD 2 x + cDx + Kx = 0
(3)
Dividiendo entre “m” la ecuación (3) D2 +
c m
D+
K m
= 0
Resolviendo cual si fuese una ecuación de segundo grado. − D=
Como
c m
c2
±
m2 2 2
=
−4
K m
K m “Vibración Libre”
(4)
− D=
c m
4c 2
±
4m 2
−4
2
2
2
c ± D=− − 2m 2 m c
2
Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles: 2
Si
c − 2m
Si
c − 2m
Si
c − 2 m
2
=0⇒
El sistema tiene amortiguamiento CRITICO
2
<0⇒
El sistema es SUB-AMORTIGUADO
2
>0⇒
El sistema está SOBRE-AMORTIGUADO
2
2
Sistema con amortiguamiento crítico. 2
2
c − 2m
Como
2
c =0⇒ = 2m
2
⇒
C c = 2m
De ahí
c 2m
=
C c = Amortiguamiento crítico
Por tanto la raíz de la ecuación (4) son iguales y serán: 0
− D=
c m
±
c2 m 2
2
−4
2
⇒D=−
Cc 2m
=
− 2/ m / 2/ m /
D=−
Por tanto la solución de la ecuación (4) tendrá la forma: x(t ) = G 1 e Dt + G 2 te Dt x(t ) = (G 1 + G 2 t )e Dt
Factorizando Como
Donde G 1 , G 2 = Ctts. a determinar
D=−
x(t ) = (G 1 + G 2 t )e − t
“Vibración Libre”
(5)
x(t ) = (G 1 + G 2 t )e
Conforme t → ∞ se tiene que e
−
c 2m
t
−
c 2m
t
(5´)
→ 0 más rápidamente que t se aproxima a ∞ ; el movimiento
se disipa exponencialmente. De hecho, el caso de amortiguamiento crítico es el caso límite de sobre-amortiguamiento. “El amortiguamiento crítico, representa una condición en la que e tiene el valor mínimo necesario para hacer que el sistema sea NO VIBRATORIO” Para hallar las constantes G 1 , G 2 de la ecuación (5) se realiza según condiciones de contorno. Se sabe que: e − t = cosh t − senh t
(6)
(6) en (5) x(t ) = (G 1 + G 2 t )(cosh t − senh t ) x(t ) = G 1 cosh t − G 1 senh t + G 2 t cosh t − G 2 t senh t P t
= 0 ⇒ x(t ) = x(0)
(7)
Reemplazando en (7)
x(0) = G 1 cosh 0 o − G 1 senh 0 o + G 2 (0) cosh 0 o − G 2 (0) senh 0 o
G 1 = x(0 )
Derivando (7) x (t ) = −G 1 senh t − G 1 cosh t − G 2 t sen t + G 2 cosh t − G 2 t cosh t − G 2 senh t P t
= 0 ⇒ x (t ) = x (0)
o o o o o o x (0) = −G1 senh 0 − G 1 cosh 0 − G 2 (0) sen 0 + G 2 cosh 0 − G 2 (0) cosh 0 − G 2 senh 0
x (0) = −G 1 + G 2 G 2 = x (0 ) + G 1
⇒ G 2 = x (0 ) + x(0 )
Reemplazando las constantes G 1 y G 2 en (5)
“Vibración Libre”
x(t ) = [x(0) + (x (0) + x(0) )t ]e
− t
Ordenando: x(t ) = [x(0 )(1 + t ) + x (0 )t ]e −
t
X(0)>0 X(0)
X(0)=0
t X(0)<0
Movimiento sub-amortiguado. Esta situación ocurre cuando: 2
c − 2m
2
<0
Que implica tener un discriminante negativo, por tanto tendrá soluciones imaginarias. Sea
= Razón de amortiguamiento =
C Cc
⇒ C = C c ⇒ C = 2m 2
c ± D=− − 2m 2m c
Reemplazando en:
D=− D=−
±
(2/ m/ ) 2/ m / 2
2
−
D=−
2
2
(2/ m / ) ± − / 2/ m 2
⇒D=−
±i
1−
±
2
2
−1
2
“Vibración Libre”
ω 0 = ω
Sea:
1 − ξ
Velocidad angular amortiguado
2
Frecuencia de oscilaciones amortiguadas D=−
±i
0
(a)
La solución a la ecuación diferencial tendrá la forma: x(t ) = G 1e
+ G 2e D t
D 1t
(b)
2
Reemplazando (a) en (b)
x(t ) = G 1 e
(−
x(t ) = G 1e − x(t ) = e −
Como:
e e
i
t
e
0t
)t
0
i
0t
(G e
i
+ G 2 e (−
0
= cos
+ G 2e −i
0t
t + i sen 0
−i
0
+ G 2e − t e −i
1
= cos
0t
−i
t
+i
0
t − i sen
0t
)t 0t
)
(c)
t 0
t
Reemplazando en (c) x(t ) = e − x(t ) = e −
t
t
[G 1 (cos
[G 1 cos
x(t ) = e
−
t
0
0
t + i sen
0
t + iG 1 sen
0
(G 1 + G 2 )cos A
x(t ) = e −
t
t ) + G 2 (cos
0
t )]
t − iG 2 sen
0
0
t + G 2 cos
0
t − i sen
t]
0 t + i (G 1 − G 2 )sen 0 t B
(A cos
0
t + B sen
0
t)
(d)
t = 0 ⇒ x(t ) = x(0 )
Para x(0) = e −
⋅0
A cos 0 o + B sen 0 o ) ⇒ A = x(0)
Derivando (d): x (t ) = e −
t
(− A
0
sen
0
t+B
0
cos
0
)e − t (A cos
t ) + (−
0
t + B sen
0
t)
t = 0 ⇒ x (t ) = x (0 )
Para x (0 ) = e 0 − A
0
sen 0 o + B
0
cos 0 o −
x (0) = B
0
−
e 0 A cos 0 o + B sen 0 o 0
A
“Vibración Libre”
Pero A = x(0)
x (0 ) = B
0
−
x (0 ) +
0 x (0 ) ⇒ B =
0
x(0 )
0
x(t ) = e −
t
x(0 )cos
0t +
x (0 ) +
0
x(0 )
0
sen
0t
xe −ξω t
x x sen
wt
Movimiento sobre-amortiguado. Esto ocurre cuando: 2
c − 2 m
2
>0
= Razón de amortiguamiento =
Reemplazando en:
C Cc
⇒ C = C c ⇒ C = 2m 2
c ± D=− − 2m 2m c
D=−
±
(
D= − ±
2
2
2
−1
−1
(a)
La solución a la ecuación diferencial es del tipo: x(t ) = Ae
D1t
+ Be D t 2
“Vibración Libre”
(b)
Reemplazando (a) en (b) x(t ) = Ae
− +
−1 t
2
+ Be
− −
2
−1 t
(c)
Derivando (c)
(
x (t ) = A − +
2
)
−1 e
− +
2
−1 t
(
+B− −
2
)
−1 e
− −
2
−1 t
(d)
Las condiciones de contorno son: t = 0 ; x(t ) = x(0) ; x (t ) = x (0)
Para: Reemplazando en (c)
x(0) = Ae 0 + Be 0 ⇒ A = x(0) − B
(*)
Reemplazando en (d) x (0) = A − +
2
− 1 e0 + B − −
2
− 1 e 0 (**)
Reemplazando (*) en (**) x (0) = (x(0) − B ) − + x (0) = −
x(0) + 2
2
−1
−
2
− 1 ⋅ x(0) + / / B/ −
2
− 1⋅ B =
2
2
B=
B−
2
−1 ⋅ B
− 1 ⋅ B − / / B/ −
2
− 1 ⋅ x(0) −
2
−1 ⋅ B
x(0) − x (0)
x(0 ) − x (0 )
−1 − 2
2
−1
Reemplazando en (*) 2
A = x(0 ) −
A=
2
2
− 1x(0 ) −
2
− 1x(0) + 2
2 A=
2
x(t ) =
x (0 ) +
2
2
−1 + 2
−1
x(0 )
e
− +
−1 + 2
2 2
−1 t
−1
2
2
x (0 ) +
x(0 ) − x (0 )
−1 −
−1 x(0 )
−1 2
+
x(0 ) + x (0 )
***** x(0 ) − x (0 )
−1 − 2
2
−1
e
− −
“Vibración Libre”
2
−1 t
El movimiento es una función exponencialmente decreciente con el tiempo y se la clasifica como
(−ξ − ξ − ω Ae 2
A
1 t
wt
O B
APERIODICA. Ejm. Si el sistema mostrado en la figura, se suelta desde una altura “h” sobre una superficie dura.
¿Cuál será el movimiento resultante de la masa “m”?
m x K
c
h
t=0
L.R.
La ecuación diferencial para este sistema es: mx + cx + Kx = 0 x +
c m
x +
K m
x=0
La expresión se puede escribir como: D2 +
c m
D+
K m
=0
“Vibración Libre”
÷m
(1)
La solución de esta ecuación es: 2
c ± D=− − 2m 2m c
=
Como
c CC
(2)
2
y C C = 2m ⇒ c = 2m
Reemplazando en (2) D=− D=−
2
(2/ m/ )
(2/ m / ) ± − / 2 m /
2/ m /
±
2
2
−
⇒D=−
2
2
±
2
−1
Cambiando el orden del discriminante; este se hace negativo, por tanto imaginario: D=−
Sea:
±i =
0
1− 1−
D=−
2
2
±i
0
La solución a la ecuación (1) es de la forma: x(t ) = G 1 e
x(t ) = G 1 e x(t ) = e −
Como:
e
i
0t
(− t
+i
−i
0
)t
(G e
i
1
= cos e
D1t
0t
0
+ G 2e D t 2
+ G 2 e (− 0t
+ G 2 e −i
t + i sen
= cos
−i
0
0
0t
0
)t
)
t
t − i sen
0
t
Reemplazando y simplificando: x(t ) = e −
t
(A cos
0
t + B sen
0
t)
(3)
Derivando (3) x (t ) = e −
t
(− A
0
sen
0
t+B
0
cos
0
t ) + (−
)e − t (A cos
0
t + B sen
0
t ) (4)
Considerando el nivel de referencia (L.R) del gráfico, se tiene las consideraciones de contorno P t = 0 ; x = 0 ; x =
2gh
Reemplazando en (3) y (4) Se determina las constantes. “Vibración Libre”
x(t ) =
2gh
−/
e
c 2m /
t
sen
0
En (3)
t
0
0 = e 0 A cos 0 o + B sen 0 o ) ⇒ A = 0
En (4)
(
2gh = e 0 − A
0
sen 0 o + B
0
2gh = B
)
(
cos 0 o −
0
e 0 A cos 0 o + B sen 0 o
)
2gh
⇒B=
0
Reemplazando en (3) x(t ) = e −
t
x(t ) =
0 cos 2gh
2gh
0t
sen
0
e−
t
sen
0
0t
t
0
x(t ) =
2gh
−/
e
c 2m /
Pero
=
c 2m
t
sen
0
t
0
x(t ) =
2gh
−
e
c 2m
t
sen
0
t
0
1. Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Plg.y un amortiguador de 075 lb-seg/Plg..
Si se aplica una velocidad de 4 Plg/seg a la masa en su posición de reposo. ¿Cuál será el desplazamiento al final del primer segundo?.
m x K
c
“Vibración Libre”
La ecuación diferencial para este caso es: ÷m
mx + cx + Kx = 0 c
x +
m
x +
K m
x=0
La solución o primitiva de esta ecuación es: x(t ) = e − 0
=
t
(A cos
1−
0
t + B sen
=
2
0
t)
(a)
c 2m
P t = 0 ; x(t ) = 0 ; x (0 ) = 4 [Plg/seg]
(b)
Reemplazando en (a) 0 = e 0 (A cos 0 o + B sen 0 o ) ⇒ A = 0
Derivando (a) x (t ) = e −
t
(− A
0
sen
4 = e0 − A
0
0
t+B
0
cos
sen 0 o + B
0
4=B
0
cos 0 o − 0
−
)e − t (A cos
t ) + (−
0
t + B sen
0
t)
e 0 A cos 0 o + B sen 0 o
Pero A = 0 ⇒ B =
A
4 0
Reemplazando en (a) x(t ) = e −
Pero
2
=
K m
=
t
4 sen 0
0
t ⇒ x(t ) =
4
e−
lb
sen
0
t
0
p lg 384 ∗ 2⇒ seg
rad = 13.86 seg
25 lb / p lg
50
t
p lg lb ⋅ seg c 288 384 ∗ ⇒ = = ⇒ = 0.21 2 p lg 2 m 2 ( 50 )( 13 . 86 ) seg
c = 0.75
0
=
1−
2
2
= 13.86 1 − (0.21) ⇒
0
rad = 13.55 seg
Por tanto estos valores reemplazado en (c)
“Vibración Libre”
(c)
x(1) =
4 13.55
e −0.21(13.86 )1 sen[13.55(1)]
x(1) = 0.0013[p lg ]
2. Un
péndulo simple está pivotado en “0”. Si la masa de la varilla es despreciable y las
oscilaciones pequeñas; encuentre la frecuencia natural amortiguada del péndulo. K L1 O L2
c
L
m
[∑ M = I ]
donde I = mL2 ⇒ ∑ M = mL2
− Kx 1 L 1 − cx 2 L 2 − mgL sen = mL2
(1)
x1 = L1
pero
x 2 = L 2 ⇒ x 2 = L 2
Reemplazando en (1) − KL21 − cL22 − mgL = mL2
Ordenando
(
mL2 + cL22 + KL21 + mgL 2
+ cL 2
mL2
+
KL21 + mgL mL2
)
= 0
=0
La solución de esta ecuación de segundo grado es: cL22
2 1 cL 2
2
KL21 + mgL mL − 4(1) ± D=− 2 2 2 mL2 mL 2
“Vibración Libre”
(2)
