Licenciatura em Engenharia Civil
TEORIA DE ESTRUTURAS Apontamentos das Aulas Teóricas José Filinto Castro Trigo Manuel Trigo Neves Março 2012
Capítulo 1 - Versão 3 Teoria de Estruturas – 03
Índice: 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
INTRODUÇÃO. ................................................................................................ 1 CONCEITOS GERAIS............................................................................................... 1 HIPÓTESES E PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS ...............................................................2 GRAUS DE LIBERDADE DE UM CORPO RÍGIDO..........................................................3 LIGAÇÕES AO EXTERIOR........................................................................................3 ESTRUTURAS PLANAS E ESPACIAIS.........................................................................4 ESTRUTURAS RETICULADAS .................................................................................. 4 PRINCÍPIO GERAL DO EQUILÍBRIO...........................................................................5 DETERMINAÇÃO DO GRAU DE HIPERSTATICIDADE EM ESTRUTURAS RETICULADAS PLANAS ................................................................................................................ 6
1.8.1 1.8.2 1.8.3
Introdução........................................................... ................................................ 6 Estruturas contínuas ............................................................................................ 7 Estruturas articuladas (sistemas articulados rígidos planos, estruturas articuladas indeformáveis ou treliças) ................................................................. 8 SOLICITAÇÕES EXTERIORES .................................................................................. 9 ESTUDO DAS PEÇAS PRISMÁTICAS ....................................................................... 10 Definições........ .................................................................................................. 10 Redução da solicitação a uma secção ................................................................ 10 Esforços internos................................................. .............................................. 11 Expressão da solicitação interna normal ........................................................... 12 Expressão das solicitações internas tangenciais ................................................ 13 Estado de tensão........................... ..................................................................... 14 Estado de deformação elástica – lei de Hooke generalizada .............................. 15
1.9 1.10 1.10.1 1.10.2 1.10.3 1.10.4 1.10.5 1.10.6 1.10.7
___________________________________________________________________________ Bibliografia: Structural Analysis – R. C. Hibbeler Apontamentos de Estruturas I do Bacharelato em Engenharia Civil do ISEP – José Carvalho e Manuel Trigo Neves Apontamentos de Resistência de Materiais da FEUP – Mota Freitas ___________________________________________________________________________
Teoria de Estruturas – 03
ii
1
Introdução.
1.1
Conceitos gerais. A Teoria de Estruturas estuda a resistência mecânica oferecida pelas estruturas
reticuladas, isto é, os corpos constituídos por peças lineares, realizadas com materiais isótropos, contínuos e homogéneos, deformando-se em regime de elasticidade perfeita, com deformações muito pequenas em relação às dimensões do corpo em que ocorrem e ligados entre si e com o exterior de certas formas peculiares. As Teorias da Elasticidade e da Plasticidade estudam a resistência mecânica oferecida à acção das solicitações pelos corpos sólidos de quaisquer natureza e forma e de qualquer maneira ligados ao exterior. Nas barras de eixo curvilíneo a Teoria de Estruturas ou a Resistência dos Materiais conduzem a resultados que diferem aproximadamente de 5% dos valores correctos oferecidos pela Teoria Matemática da Elasticidade se:
H 1 ≤ P 7
Figura 1.1 – Barras de eixo curvilíneo E conduzem a erros inferiores a 5%, quando aplicadas a barras rectilíneas se:
H 1 ≤ L 5
Figura 1.2 – Barras de eixo rectilíneo
Geralmente
H 1 H 1 H 1 ≅ em barras de betão armado e ≅ a ≅ em barras de aço. L 10 L 20 L 30
Teoria de Estruturas – 03
1
A Estática e a Resistência dos Materiais tratam das estruturas isostáticas. A Teoria de Estruturas trata das estruturas isostáticas e das hiperstáticas.
1.2
Hipóteses e princípios fundamentais Hipóteses fundamentais relativas à constituição da matéria: Continuidade Homogeneidade Isotropia Hipóteses fundamentais relativas à natureza das deformações:
Proporcionalidade com as tensões - Lei de Hooke ( σ = E × ε) Grandeza muito pequena em relação às dimensões do corpo em que ocorrem Destas duas hipóteses decorre o Princípio da Sobreposição de Efeitos: F1
F2
F1
F2
Figura 1.3 – Princípio da sobreposição dos efeitos
Princípio de Saint-Venant A distribuição das tensões e das deformações na secção S1 , desde que esta se encontre suficientemente afastada das acções exteriores, é uniforme, função da resultante das acções exteriores, independentemente do seu número, da sua distribuição e da forma como actuam. Teoria de Estruturas – 03
2
Figura 1.4 – Princípio de Saint-Venant Hipótese de Bernoulli-Navier As secções transversais mantêm-se planas após a deformação:
Antes
Depois
Figura 1.5 – Hipótese de Bernoulli-Navier
1.3
Graus de liberdade de um corpo rígido No espaço – 6 (3 translações e 3 rotações) No plano – 3 (2 translações e uma rotação)
1.4
Ligações ao exterior Apoios. Ligações ao exterior:
Teoria de Estruturas – 03
•
1ª ordem:
•
2ª ordem:
•
3ª ordem:
ou
(biela)
3
1.5
Estruturas planas e espaciais Enquanto que nas estruturas planas os eixos das peças e as solicitações pertencem a um
plano, nas estruturas espaciais os eixos referidos podem ou não pertencer a um só plano: y
y
x
x
y
x y
z
x
z
x
Figura 1.6 – Estruturas planas e espaciais
1.6
Estruturas reticuladas Estruturas reticuladas são estruturas constituídas por peças lineares (barras), ligadas
entre si e com o exterior por: 1.
∆2
Articulações sem atrito (estruturas articuladas)
∆3 ∆1 Figura 1.7 – Estruturas articuladas
Teoria de Estruturas – 03
4
As extremidades das barras concorrentes num nó têm todas os mesmos ∆1 e ∆2, mas diferentes ∆3. 2.
Ligações de continuidade (estruturas contínuas)
Figura 1.8 – Estruturas contínuas As extremidades das barras concorrentes num nó têm todas os mesmos ∆1, ∆2 e ∆3. Enquanto que nas estruturas articuladas os nós não transmitem momentos flectores (só transmitem esforços axiais), nas estruturas contínuas os nós transmitem esforços axiais, esforços transversos e momentos flectores: 3.
Ligações dos dois tipos (estruturas mistas)
Figura 1.9 – Estruturas mistas
1.7
Princípio geral do equilíbrio Os corpos objecto de estudo são considerados em equilíbrio estático sob a acção das
forças exteriores que os solicitam: forças directamente aplicadas e reacções dos apoios. A condição de equilíbrio estático fornece seis equações gerais de equilíbrio; suficientes para a determinação das reacções dos apoios nos corpos ditos isostáticos e insuficientes nos hiperstáticos. Teoria de Estruturas – 03
5
No plano estas equações reduzem-se a três.
1.8
Determinação do grau de hiperstaticidade em estruturas reticuladas planas
1.8.1 Introdução As estruturas podem classificar-se em: Isostáticas Hipostáticas Hiperstáticas
Condição para um sistema (estrutura) ser isostático:
N.º de ligações ao exterior = Nº de equações de equilíbrio fornecidas pela condição de equilíbrio estático
Mas esta condição não é suficiente, existindo excepções:
Figura 1.10 – Equilíbrio instável
Nesta estrutura o deslocamento horizontal é possível, pelo que o equilíbrio é instável.
Teoria de Estruturas – 03
6
1.8.2 Estruturas contínuas Para a determinação do grau de hiperstaticidade em estruturas contínuas suprimem-se ligações, de modo a obter uma estrutura isostática a partir da estrutura dada. Como cada corte corresponde a eliminar um momento flector, um esforço axial e um esforço transverso, por cada corte são eliminadas três incógnitas hiperstáticas.
3 3
3
Grau de liberdade = 3 cortes x 3 incógnitas por corte = 9 Figura 1.11 – Grau de hiperstaticidade em estruturas contínuas Podem também constituir-se arcos de três rótulas que são, também, estruturas isostáticas.
Figura 1.12 – Grau de hiperstaticidade em estruturas contínuas
Regra prática: O grau de hiperstaticidade de uma estrutura reticulada contínua, com todos os apoios encastrados, pode obter-se multiplicando por 3 o número de polígonos formados pelas barras da estrutura e por barras fictícias, ligando os apoios. Teoria de Estruturas – 03
7
1.8.3 Estruturas articuladas (sistemas articulados rígidos planos, estruturas articuladas indeformáveis ou treliças) Nas estruturas articuladas, em cada nó podem estabelecer-se duas equações de equilíbrio de forças concorrentes e complanares. Designando por: a – número de componentes de reacções nos apoios, b – número de barras e n – número de nós, resultarão 2n equações a (a+b) incógnitas. Se b = 2n − a - estrutura articulada interiormente isostática. Estruturas articuladas deformáveis – assumem configurações de equilíbrio compatíveis com as forças exteriores. Pode acontecer que as forças exteriores sejam equivalentes a 0 (R=0 e M R = 0 ) e o sistema não fique em equilíbrio sob a acção arbitrária inicial. A condição de equilíbrio das forças exteriores, que é necessária e suficiente para corpos rígidos indeformáveis, é ainda uma condição necessária, mas não suficiente, para o equilíbrio dos sistemas articulados deformáveis. A condição necessária e suficiente de rigidez de uma estrutura articulada é que
b = 2n − 3 , sendo esta construída a partir de um triângulo, composto por três barras, e adicionando a este um novo nó e duas novas barras, sequencialmente. Se b > 2n − 3 - treliça indeformável e interiormente hiperstática (Figura 1.13);
Figura 1.13 – Treliça indeformável e interiormente hiperstática Teoria de Estruturas – 03
8
Se b < 2n − 3 - treliça deformável e interiormente hipostática (Figura 1.14).
Figura 1.14 – Treliça deformável e interiormente hipostática
1.9
Solicitações Exteriores São as acções capazes de provocar num corpo um estado de tensão e de deformação:
Figura 1.15 – Solicitações exteriores Podendo apresentar-se como exemplos: Forças de massa; Variações de temperatura; Forças de superfície (vento, etc.); Assentamentos; etc..
Estas solicitações instalam no corpo: σ
Um estado de Tensão:
τ
Teoria de Estruturas – 03
9
ε
Um estado de Deformação:
γ
1.10
Estudo das Peças Prismáticas
1.10.1 Definições Peças Prismáticas P
PP' - Fibra
P' S
G
G'
Eixo Longitudinal (Fibra Neutra)
Figura 1.16 – Peça prismática
Nota: A secção S pode não ser constante, desde que assuma uma variação contínua e lenta.
1.10.2 Redução da solicitação a uma secção R
Ry F1
F
F1
x Rx
F3 -R z
II
I F2
Rz F4
S
I F2
II F4
y
Figura 1.17 – Redução da solicitação a uma secção
R - resultante dos esforços internos da secção S do lado I -R - resultante dos esforços internos da secção
S do lado II
R e -R estão em equilíbrio
Teoria de Estruturas – 03
10
δ f
F1
x
δ
A z
I F2
y
Figura 1.18 – Redução da solicitação a uma secção
δ A - área elementar δf - esforço interno elementar δf = ρ - Tensões ( σ e τ ) δA
R = ∫ ρ dA
1.10.3 Esforços internos No caso geral, a resultante R pode: a) ter três componentes: R x - Esforço Transverso ( Tx )
R
Ry
Rx
R y - Esforço Transverso ( Ty ) R z - Esforço Normal ( N z )
x z Rz
y
Figura 1.19 – Forças
Teoria de Estruturas – 03
11
b) provocar três momentos: M x - Momento Flector M y - Momento Flector
x Mx
My
z Mz
M z - Momento Torsor
y
Figura 1.20 – Momentos
N z = ∫ σz dA
Tx = ∫ τzx dA
M x = ∫ σz × y dA
M y = ∫ σz × x dA
Notação de Karman:
Ty = ∫ τzy dA M z = ∫ ( τzx × y − τzy × x ) dA
τzy
z – Eixo perpendicular à superfície
y – Eixo paralelo à superfície No plano, estes esforços resumem-se a três: Um esforço normal – N Um esforço transverso – T Um momento flector – M
1.10.4 Expressão da solicitação interna normal O caso mais geral é o de Flexão Composta Desviada:
σz = ±
Teoria de Estruturas – 03
My M N x± x y± z Iy Ix A
12
1.10.5 Expressão das solicitações internas tangenciais Duas componentes para o esforço transverso: Ty
Tx ⇒ τzx =
Tx × Q y a × Iy
b τ zy
Tx
Ty ⇒ τ zy =
Ty × Q x b × Ix
x
a
y τ zx
Figura 1.21 – Tensões tangenciais
Resultando numa tensão tangencial total de: τ z = τ zx 2 + τzy 2
τ zy
τz
τ zx
Figura 1.22 – Tensões tangenciais
Teoria de Estruturas – 03
13
E a contribuição do momento torsor:
M z ⇒ τz =
Mz × ρ It
dA ρ
x
y Figura 1.23 – Momento torsor
1.10.6 Estado de tensão Considere-se um ponto P de um corpo submetido a solicitações exteriores e considerese, ainda nesse ponto P , três elementos de superfície, infinitesimais, paralelos aos eixos coordenados: σ y
σz τ z
τ τ zy zx
τ yx
P yz
ττ yz xy
xy
σy
σ x
O
ττ xz zy
σx
σ z
τ yx
τ xz
τ xy
τ zx
z x
Figura 1.24 – Estado de tensão
Teoria de Estruturas – 03
14
As tensões nesses elementos têm por componentes: σx
σy
σz
τ xz
τ yx
τzx
τ xy
τ yz
τzy
Facilmente se conclui que apenas seis componentes são independentes, uma vez que: τ xy = τ yx ; τ zx = τ xz ; τzy = τ yz
( Reciprocidade dos índices) Em cada ponto existem, pelo menos, três direcções ortogonais entre si tais que nos elementos de superfície a elas perpendiculares apenas ocorrem tensões normais ( σ ), sendo as tensões de corte ( τ ) nulas. Essas direcções designam-se por Direcções Principais.
1.10.7 Estado de deformação elástica – lei de Hooke generalizada Fy Fx Fz y
Fz
x Fx
O
z Fy
Fy
Fx Fz
Fz Fx
Fy
Figura 1.25 – Lei de Hooke generalizada
εy =
σy
E
ε x = ε z = −υ ×ε y
Teoria de Estruturas – 03
εz =
σz
E
ε x = ε y = −υ × ε z
εx =
σx
E
ε y = ε z = −υ × εx
15
E - Módulo de elasticidade longitudinal ou de Young υ - Coeficiente de Poisson
G - Módulo de elasticidade transversal ou de Coulomb
G=
E 2 × (1 + ν )
As extensões ficam expressas por: εx =
σx
− υ (εy + εz ) =
σx
E E 1 ε y = σ y − υ ( σ x + σ z ) E 1 ε z = σz − υ ( σ x + σ y ) E
−υ
( σy + σz ) 1 = σ E
E
x
− υ ( σ y + σ z )
e as distorções, caso existam tensões de corte, resultam: γ yz =
Teoria de Estruturas – 03
τ yz
G
γ xz =
τ xz
G
γ xy =
τxy
G
16
